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Geometria Analítica Priscila Leal da Silva UFABC

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Page 1: Geometria Analítica - professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~priscila.silva/courses/classes/notas-GA.pdf · Na geometria analítica, existem dois tipos de grandezas matemáticas:

Geometria Analítica

Priscila Leal da Silva

UFABC

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2019 Priscila Leal da Silva

http://professor.ufabc.edu.br/ priscila.silva/

Este é um texto preliminar que está passando por constante adequações e que não está livrede erros. O conteúdo é completamente baseado nas referências sugeridas para o curso deGeometria Analítica e em momento nenhum tem a intenção de tomar direitos autoriaispara si. Quaisquer dúvidas ou sugestões são bem vindas.

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Sumário

1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Espaço euclidiano e geometria Euclidiana 5

1.2 O plano R2 e o espaço tri-dimensional R3 5

1.3 O espaço Rn 5

1.4 Vetores 5

1.5 Exercícios 5

2 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Soma de vetores 7

2.2 Multiplicação de vetores por escalares 9

2.3 Exercícios 13

3 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Dependência e independência linear 16

3.2 Base 24

3.3 Exercícios 31

4 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Ângulos entre vetores 33

4.2 Produto escalar 33

4.3 Projeção 33

4.4 Exercícios 33

3

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5 Estudo vetorial de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1 Estudo da reta 34

5.2 Estudo do plano 34

6 Posição relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1 Posição relativa entre reta e reta 35

6.2 Posição relativa entre reta e plano 40

6.3 Posição relativa entre plano e plano 43

7 Ângulo e distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.1 Ângulo 49

7.2 Distância 53

7.2.1 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3 Distância entre ponto e reta 54

8 Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.1 Elipse 57

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1. Vetores

1.1 Espaço euclidiano e geometria Euclidiana 5

1.2 O plano R2 e o espaço tri-dimensional R3 5

1.3 O espaço Rn 5

1.4 Vetores 5

1.5 Exercícios 5

1.1 Espaço euclidiano e geometria Euclidiana

1.2 O plano R2 e o espaço tri-dimensional R3

1.3 O espaço Rn

1.4 Vetores

1.5 Exercícios

5

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2. Operações com vetores

2.1 Soma de vetores 7

2.2 Multiplicação de vetores por escalares 9

2.3 Exercícios 13

No capítulo anterior estudamos a teoria geométrica por trás dos vetores e, além disso, en-tendemos como lidar com as coordenadas de vetores em R2 e R3 e representar vetores emespaços bi- e tri-dimensionais.

Duas perguntas naturalmente surgem ao definirmos vetores:

1. Uma vez que vetores são definidos como classes de equivalência, que por outro ladosão definidas como conjuntos de segmentos orientados que possuem mesma norma,mesma direção e mesmo sentido, como matematicamente determinar que dois seg-mentos orientados são, de fato, equivalentes?

2. A segunda pergunta se refere à manipulação de vetores. Afinal, que operações pode-mos fazer com vetores?

As duas perguntas acima são de extrema importância para várias áreas de estudo, comoa Física no estudo, por exemplo, de movimento uniforme na mecânica ou então de camposelétricos no eletromagnetismo.

Para responder a primeira pergunta, observemos inicialmente que já sabemos como de-terminar se dois vetoers possuem a mesma norma e o mesmo sentido. De fato, utilizamoso Teorema de Pitágoras para determinar as normas e a condição ?? para verificar se elespossuem o mesmo sentido. Com relação à direção de dois vetores, ainda não possuímos asferramentas necessárias, porém neste capítulo determinaremos precisamente quando doisvetores possuem mesma direção.

Com relação à segunda pergunta, a resposta é um tanto ampla e será abordada em boaparte do que se segue neste texto. Inicialmente, neste capítulo veremos que podemos somare subtrair vetores e, além disso, podemos multiplicar vetores por números reais1. Veremos,todavia, que muitas outras operações podem ser realizadas com vetores e, por mais que nãotenhamos uma multiplicação de vetores, faremos uso de diversas outras operações cruciais.

1A princípio, podemos multiplicar vetores por números complexos, mas neste texto apenas consideraremosnúmeros reais.

6

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Capítulo 2. Operações com vetores 7

2.1 Soma de vetores

Iniciaremos a seção com a precisa definição de soma de dois vetores.

Definição 2.1 Dados os vetores u =−−→AB e v =

−−→BC , o vetor soma u + v é definido como

o vetor que tem−−→AC como representante, ou seja,

u + v =−−→AB +

−−→BC =

−−→AC . (2.1)

Observemos que na Definição 2.1, para somar dois vetores u e v, forçamos que a extre-midade final de u seja igual à inicial de v. Desta forma, graficamente o que fazemos é fecharo “triângulo” de tal forma que o último lado seja exatamente o vetor u + v desejado.

u

v

u + v

A

B

C

Figura 2.1: Soma u + v de dois vetores não paralelos.

Note que, no caso de dois vetores paralelos u e v, o raciocínio de colocar a extremidadeinicial de v na final de u continua válido, mas não temos um triângulo para fechar. O quefazemos é juntar a extremidade inicial de u com a final de v da mesma forma que na Figura2.1.

Observe agora que, na Definição 2.1, forçamos que a extremidade final de u coincida com a inicial dev, o que nem sempre acontece com os vetores. Por exemplo, vimos que em R2, escrevemos u = (2,1) ev = (0,2) dizendo que os vetores vu e vv possuem mesma origem (0,0).

Para esse caso e consequentemente para quaisquer pares de vetores, sempre podemos calcular asoma por meio da Proposição ??. Ou seja, como sempre podemos mudar um vetor de posição de talforma que sua extremidade final coincida com a extremidade inicial do outro vetor. É isso o quefaremos com os vetores a fim de somá-los. Para uma visualização melhor, veja a Figura 2.1.

Definição 2.2 Dados os vetores u e v, a soma de u com o oposto −v de v é chamada dediferença de u e v e é denotada por

u − v = u + (−v). (2.2)

Antes de prosseguirmos com exemplos, passemos para uma regra importante para asoma de vetores: a regra do paralelogramo. Nela, a partir de dois vetores commesma origemconseguiremos construir os vetores soma e diferença.

Considere dois vetores não paralelos u e v com representantes−−→AB e

−−→EF . Pela Proposição

??, tomando P = A sabemos que existe um ponto C tal que−−→AB =

−−→AC , ou seja, v =

−−→AC . A

partir dos vetores de mesmo início u e v, construa o paralelogramo associado da seguinte

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8 2.1. Soma de vetores

y

x

v

u

vu + v

3

1

2

Figura 2.2: A extremidade final do vetor u = (2,1) não possui as mesmas coordenadas doinício do vetor v = (0,2), mas ainda assim conseguimos somar os vetores transformando ovetor v em um novo, igual a ele, com início em (2,1).

forma: a partir do ponto C construa uma reta paralela ao vetor u e, analogamente, uma retaparalela a v passando pelo ponto B. Seja D o ponto de intersecção das duas retas. A soma

dos vetores u e v será então dada por u + v =−−−→AD , ou seja, a diagonal do paralelogramo

construído. A Figura 2.1 representa a construção que acabamos de fazer.

u

v

u + v

D

B

C

A

Figura 2.3: Construção do paralelogramo associado aos vetores u e v, com a soma sendo dadapor u + v.

Para determinarmos u − v, a construção do paralelogramo se dá da mesma forma, porém

a diferença será dada pela outra diagonal, ou seja, u − v =−−→CB , veja a Figura 2.1.

Exemplo 2.1.1 Considere os vetores u = (2,3),

Uma observação se faz importante: a regra do paralelogramo não se aplica a vetores de mesmadireção, ou seja, vetores paralelos. No caso da diferença de dois vetores, vale a pena frisar que sempreteremos o vetor u − v saindo de C e chegando em B.

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Capítulo 2. Operações com vetores 9

u

v

u − v

D

B

C

A

Figura 2.4: Representação da diferença u − v.

2.2 Multiplicação de vetores por escalares

Na geometria analítica, existem dois tipos de grandezas matemáticas: as vetoriais e as esca-lares. As grandezas vetoriais são aquelas que são representadas por vetores que, de interesseneste curso, terão sempre três coordenadas espaciais (x,y,z). As grandezes escalares, porsua vez, é um número real α ∈ R. Como vimos na seção anterior, podemos somar e subtrairvetores, resultando sempre num novo vetor, mesmo que ele eventualmente venha a ser nulo.No caso de multiplicações, não podemos prosseguir multipliacando vetores, mas podemossempre estender um vetor multiplicando por escalares, ou seja, por números reais. É exata-mente isso que faremos nesta seção a fim de entender que propriedades essa operação nosproporciona.

Definição 2.3 Sejam α ∈ R e u = (x,y,z) um vetor. Definimos o vetor αu como

αu = α(x,y,z) = (αx,αy,αz).

Algumas observações se fazem necessárias:

a. Teremos αu = 0 se, e somente se, α = 0 ou u = 0.

b. O vetor αu é sempre paralelo ao vetor u. De fato, diremos que dois vetores não-nulos u e v sãoparalelos se existe um número real λ , 0 tal que u = λv (e, consequentemente, v = 1/λu). Nocaso em que um dos vetores é nulo, também diremos que eles são paralelos, pois o vetor nulo éum ponto, que trivialmente é paralelo a qualquer outro vetor.

c. Os vetores αu e u são de mesmo sentido se α > 0 e de sentidos contrários se α < 0.

A última observação é com respeito à norma de vetores e, pela sua importância, seráconsiderada separadamente.

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10 2.2. Multiplicação de vetores por escalares

Propriedades 2.1 (Norma) Dados dois vetores u, v e um escalar α, temos as seguintespropriedades:

a. ∥u∥ ≥ 0;

b. ∥u∥ = 0 se, e somente se, u = 0;

c. ∥αu∥ = |α|∥u∥;

d. ∥u + v∥ ≤ ∥u∥+ ∥v∥.

A propriedade d. acima é conhecida como desigualdade triangular e é uma consequên-cia da geometria Euclidiana. De fato, sabemos que a soma do comprimentos de dois lados deum triângulo qualquer sempre será maior do que o comprimento do terceiro lado. Pois bem, se asoma u e v resulta num vetor u + v que corresponde ao terceiro lado de um triângulo comlados u, v e u + v, então temos

∥u + v∥ < ∥u∥+ ∥v∥,

como no caso da Figura 3.1. A desigualdade triangular, todavia, nos diz que para alguns

u

vu + v

Figura 2.5: Para um triângulo formado pelos lados u, v e u + v, sempre teremos ∥u + v∥ <∥u∥+ ∥v∥.

casos bastante específicos teremos ∥u + v∥ = ∥u∥ + ∥v∥. Na verdade, esse é o caso de vetoresparalelos e de mesmo sentido (veja Exercício 10), como representado na Figura 2.6.

u v

u + v

Figura 2.6: Quando dois vetores u e v são paralelos e de mesmo sentido, teremos ∥u + v∥ =∥u∥+ ∥v∥.

Exemplo 2.2.1 Considere os vetores u = (−1,1), v = (1,1) e w = (4,0). Represente osvetores u, v, w e z = 2u − v + 5

4 w no plano cartesiano e encontre suas normas.

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Capítulo 2. Operações com vetores 11

Temos

2u = 2(−1,1) = (−2,2),− v = −1(1,1) = (−1,−1),54w =

54(4,0) = (5,0),

z = 2u − v + 54w = (−2,2) + (−1,−1) + (5,0) = (−2− 1+5,2− 1+0) = (2,1).

Desta forma, a representação dos vetores no plano cartesiano é dada por

y

x

vu

1

1

1

−1 4

1

2

As normas dos vetores são então calculadas como

∥u∥ =√(−1)2 +12 =

√2,

∥v∥ =√12 +12 =

√2,

∥w∥ =√42 +02 = 4,

∥z∥ =√22 +12 =

√5.

Dado um vetor não-nulo u qualquer, o vetor

u

∥u∥=

1∥u∥

u

é chamado de versor ou vetor unitário. Observe que se v = u/∥u∥, então

∥v∥ =∥∥∥∥∥ u

∥u∥

∥∥∥∥∥ = 1∥u∥∥u∥ = 1,

ou seja, todo vetor unitário tem norma igual a 1.

Exemplo 2.2.2 Com os vetores do exemplo anterior, encontre os vetores unitáriosassociados.

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12 2.2. Multiplicação de vetores por escalares

Temos

u

∥u∥=

1√2(−1,1) =

(−√22

,

√22

),

v

∥v∥=

1√2(1,1) =

(√22

,

√22

),

w

∥w∥=14(4,0) = (1,0),

z

∥u∥=

1√5(2,1) =

(2√5

5,

√55

).

Em geral, a utilização de coordenadas simplifica substancialmente os cálculos envol-vendo vetores. Porém, existem casos em que um procedimento mais geométrico nos levade maneira mais simples aos resultados desejados. Esse é o caso do nosso próximo exemplo.

Exemplo 2.2.3 Sejam B e C dois pontos distintos eM o ponto médio do segmento BC.

Prove que, se A é um outro ponto qualquer, então−−→AB +

−−→AC = 2

−−−→AM .

Façamos um diagrama para melhor entender o problema.

CB M

A

Sabemos que−−→AB =

−−−→AM +

−−−→MB e

−−→AC =

−−−→AM +

−−−→MC . Daí temos

−−→AB +

−−→AC = 2

−−−→AM +

−−−→MB +

−−−→MC .

Como M é o ponto médio de BC, temos ¯BM ≡ MC, ou seja,−−−→MC =

−−−→BM =

−−−→MB . Logo,

concluímos que−−→AB +

−−→AC = 2

−−−→AM +

−−−→MB − −−−→MB = 2

−−−→AM .

A multiplicação de vetores por escalares possuem propriedades já conhecidas de núme-ros reais e a checagem da próxima proposição fica a cargo do leitor.

Proposição 2.1 Quaisquer que sejam os vetores u, v e w, e os números reais α e β,valem as propriedades:

a. α(u + v) = αu +αv;

b. (α + β)u = αu + βv;

c. 1 · u = u;

d. α(βu) = (αβ)u = β(αu).

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Capítulo 2. Operações com vetores 13

2.3 Exercícios

Exercício 2.1 A partir dos pontos A e B dados, determine os respectivos vetores equi-valentes com início na origem (0,0,0) e calcule suas normas.

a. A = (5,2,4) e B = (0,0,5);

b. A = (2,−5,8) e B = (−1,−4,3);

c. A = (−2,0,−2) e B = (1,0,1);

d. A = (1,0,0) e B = (0,1,0).

Exercício 2.2 Utilize o plano cartesiano para geometricamente determinar as opera-ções abaixo e calcule a norma de cada um dos vetores resultantes.

a. u + v, com u = (2,4) e v = (0,1).

b. u + v, com u = (2,0) e v = (1,0).

c. u − v, com u = (−3,−2) e v = (1,1).

d. u − v, com u = (−2,0) e v = (1,−3).

e. u +3v, com u = (−1,2) e v = (1,−1).

f. 35 u + 1

2 v −14 w, com u = (−5,3), v = (2,−2) e w = (0,−4).

g. u − v +2w, com u = (−1,2), v = (1,−1) e w = (4,6).

Exercício 2.3 Para os vetores não-nulos a seguir, determine se eles são unitários. Emcaso negativo, determine os versores associados.

a. u = (2,5).

b. u = (3,0).

c. u =(√

22 ,√22

).

d. u =(√

3,√33

).

e. u = (−4,−3,2).

f. u = (−3,3,0).

g. u = (6,0,1).

Exercício 2.4 Dados os vetores

u = (−2,4,3), v =(7,−14,−21

2

)w =

(√2,−2

√2,−3

√2

2

)z = (3,−1,−

√2),

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14 2.3. Exercícios

determine

a. os pares de vetores que são paralelos;

b. os pares de vetores que possuem mesmo sentido;

c. os pares de vetores que possuem mesma norma;

d. os pares de vetores iguais.

Exercício 2.5 Sabendo que um vetor u = (x,y,z) tem norma 4 e que suas coordenadassão iguais, determine os valores de x, y e z.

Exercício 2.6 (Retirado da lista de Fenômenos Mecânicos) Uma pessoa indo parauma caminhada segue a trajetória mostrada na figura abaixo. O passeio total consisteem quatro trajetórias em linha reta. No final da caminhada, qual é o deslocamentoresultante da pessoa medido a partir do ponto de partida? Encontre a magnitude dodeslocamento.

y

x

100m

300m

150m

200m

3060

Exercício 2.7 Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por es-calares, prove que

a. (−α)v = −(αv);

b. α(−v) = −(αv);

c. −α(−v) = αv;

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Capítulo 2. Operações com vetores 15

Exercício 2.8 Mostre que u = −u se e somente se u = 0.

Exercício 2.9 Mostre que se−−→AC =

−−→BC então A = B.

Exercício 2.10 Mostre que ∥u+ v∥ = ∥u∥+∥v∥ se, e somente se, os vetores u e v possuemmesma direção e sentido.

Exercício 2.11 Utilize o Princípio de Indução Finita para provar que, dados n vetoresu1, u, . . . , un, temos

∥u1 + u2 + · · ·+ un∥ = ∥u1∥+ ∥u2∥+ · · ·+ ∥un∥

se, e somente se, existem λ1,λ2, . . . ,λn > 0 tais que ui+1 = λi ui .

Exercício 2.12 Prove que u + z = u implica em z = 0 e que u + z = 0 implica em z = −u.

Exercício 2.13 Dado um vetor não nulo v, mostre que v∥v∥ é um vetor unitário com a

mesma direção e sentido que v.

Exercício 2.14 Dados os vetores u, v, w, z tais que w = u + v e u é paralelo a z. Proveque w é paralelo a z se, e somente se, v é paralelo a z.

Exercício 2.15 Prove que se αv = 0 então α = 0 ou v = 0.

Exercício 2.16 Prove que se αv = βv e v , 0, então α = β.

Exercício 2.17 Prove que se u e v são dois vetores não paralelos tais que

αu + βv = 0,

então α = β = 0.

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3. Base

3.1 Dependência e independência linear 16

3.2 Base 24

3.3 Exercícios 31

3.1 Dependência e independência linear

A partir deste momento, consideraremos vetores em R3. Os conceitos aqui apresentadospodem ser considerados em R2 ou até mesmo em Rn, para n ≥ 3, mas serão apresentado emcursos posteriores com a devida profundidade. Desta forma, todo vetor u será escrito comou = (x,y,z).

Definição 3.1 a. Um vetor u é dito ser linearmente independente se u , 0. Seu = 0, ele é dito ser linearmente dependente.

b. Dois vetores u e v são ditos linearmente independentes se a equação vetorial

α1u +α2v = 0

possui única solução (α1,α2) = (0,0). Se existe uma solução não nula (α1,α2) ,(0,0), os vetores são ditos linearmente dependentes.

c. Os 3 vetores u1, u2, u3, são ditos serem linearmente independentes se a equaçãovetorial

α1u1 +α2u2 +α3u3 = 0 (3.1)

possui única solução (α1,α2,α3) = (0,0,0). Caso exista uma solução (α1,α2,α3) ,(0,0,0), u1, u2, u3 são ditos linearmente dependentes.

d. Quatro ou mais vetores são ditos linearmente dependentes.

Notação: escreveremos LD para nos referirmos a vetores linearmente dependentes e, analogamente,por LI estaremos nos referindo a vetores linearmente independentes.

Antes de prosseguirmos com exemplos, algumas observações se fazem importantes.

16

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Capítulo 3. Base 17

1. Considere três vetores u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3). Para que os vetores u, v ew sejam linearmente independentes, devemos considerar o sistema

α1u +α2v +α3u = 0,

ou seja,α1(x1, y1, z1) +α2(x2, y2, z2) +α3(x3, y3, z3) = (0,0,0).

Desta forma, para determinar se os três vetores são linearmente independentes, resolver aequação vetorial (3.1) é equivalente a resolver

(α1x1 +α2x2 +α3x3,α1y1 +α2y2 +α3y3,α1z1 +α2z2 +α3z3) = (0,0,0)

para α1,α2 e α3 ou, escrito de outra forma,α1x1 +α2x2 +α3x3 = 0,α1y1 +α2y2 +α3y3 = 0,α1z1 +α2z2 +α3z3 = 0.

2. Se u e v são linearmente dependentes, então, em termos geométricos, os vetores são paralelos.Isso se dá porque neste caso existe uma solução não nula (α1,α2) para α1u + α2v = 0 e, destaforma, podemos tomar α1 , 0 de tal forma que escrevemos

u =α2

α1v,

caracterizando, desta forma, o paralelismo entre u e v. Desta forma, se os vetores forem linear-mente independentes, eles não podem ser paralelos.

3. No caso de três vetores u, v e w, a dependência linear geometricamente significa que os vetoresestão num mesmo plano.

4. Por último mencionamos a observação mais importante: a dependência e independência li-near é uma característica de um conjunto de vetores especificados. Por exemplo, um vetor nãonulo u é linearmente independente quando é considerado sozinho, mas pode ser linearmentedependente quando comparado com um outro vetor v.

Com relação à observação 4 acima, introduziremos a seguinte definição.

Definição 3.2 Um conjunto de k vetores {u1, u2, . . . , uk} é dito ser linearmente indepen-dente se os vetores u1, u2, . . . , uk são conjuntamente linearmente independentes. Casocontrário, o conjunto é dito ser linearmente dependente.

Passemos para exemplos nos quais consideraremos conjuntos de vetores e os procedi-mentos para determinarmos se os vetores são LD ou LI.

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18 3.1. Dependência e independência linear

Exemplo 3.1.1 Considere os vetores u = (2,3,0) e v = (1,1,2). Queremos determinarse eles são linearmente dependentes ou independentes. Tome α1,α2 ∈ R tais que α1u+α2v = 0, ou seja,

α1(2,3,0) +α2(1,1,2) = (0,0,0).

Temos então que resolver o sistema2α1 +α2 = 0,

3α1 +α2 = 0,

2α2 = 0.

Da terceira equação temos α2 = 0. Substituindo nas equações restantes, temos

2α1 = 0,

3α1 = 0,

ou seja, α1 = 0, de onde segue que a única solução de α1u +α2v = 0 é (α1,α2) = (0,0) eos vetores u e v são linearmente independentes.

x

y

z

v

u

Exemplo 3.1.2 Considere os vetores u = (1,2,0) e v = (3,6,0). Queremos determinarse eles são linearmente dependentes ou independentes. Para isso, tome α1,α2 ∈ R taisque α1u +α2v = 0, ou seja,

α1(1,2,0) +α2(3,6,0) = (0,0,0).

Temos então que resolver o sistemaα1 +3α2 = 0,

2α1 +6α2 = 0.

Da primeira equação, temos que α1 = −3α2. Substituindo o valor encontrado para α1na segunda equação não encontramos nenhuma informação, pois

2α1 +6α2 = 0⇒−6α2 +6α2 = 0.

Desta forma, podemos escolher α2 como qualquer valor e substituir na expressão α1 =−3α2.Tomando, por exemplo, α2−1, temos α1 = −3α2 = 3 e, com isso, encontramos (α1,α2) =(3,−1) não nulo de tal forma que

3(1,2,0)− (3,6,0) = (0,0,0)

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Capítulo 3. Base 19

e os vetores u e v são linearmente dependentes. Neste caso, podemos escrever

v = (3,6,0) = 3(1,2,0) = 3u

e u, v são paralelos.

xy

z

u

v = 3u

Exemplo 3.1.3 Considere os vetores u = (1,3,0), v = (4,1,0) e w = (0,3,0). Quere-mos determinar se eles são linearmente dependentes ou independentes. Tome entãoα1,α2,α3 ∈ R tais que α1u +α2v +α3w = 0, ou seja, α1(1,3,0)+α2(4,1,0)v +α3(0,3,0) =(0,0,0), Temos então o sistema linearα1 +4α2 = 0,

3α1 +α2 +3α3 = 0.

Da primeira equação concluímos que α1 = −4α2 e, ao substituirmos na segunda equa-ção, encontramos 11α2 = 3α3. Escolhendo α3 = 1, encontramos

α1 = −1211

, α2 =311

, α3 = 1,

de onde segue que os vetores u, v e w são linearmente dependentes.

x

y

z

Exemplo 3.1.4 Considere os vetores e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1). Para veri-ficarmos se eles são linearmente dependentes, sejam α,β,γ ∈ R tais que

αe1 + βe2 +γe3 = 0,

ou seja,(α,0,0) + (0,β,0) + (0,0,γ) = (0,0,0).

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20 3.1. Dependência e independência linear

Com isso, devemos resolver o sistema α = 0,

β = 0,

γ = 0,

cuja única solução obviamente é (α,β,γ) = (0,0,0) e, portanto, e1, e2 e e1 são linear-mente independentes.

x

y

z

Os vetores(1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1)

do Exemplo 3.1.4 serão muito importantes no que se segue e merecem destaque quanto àindependência linear.

Definição 3.3 Dizemos que um vetor u é combinação linear dos k vetores v1, v2, . . . , vkse existem α1,α2, . . . ,αk ∈ R tais que

u = α1v1 +α2v2 + . . .αk vk .

Neste caso, dizemos que u é gerado por v1, v2, . . . , vk .

Um exemplo de vetor que é gerado por qualquer conjunto de vetores v1, v2, . . . , vk é o vetornulo 0. De fato, temos

0 = 0v1 +0v2 + · · ·+0vk .

Esta expressão para o vetor nulo é conhecida como trivial.Continuemos com alguns exemplos relacionados ao conceito de combinação linear.

Exemplo 3.1.5 Considere os vetores u = (1,2,−1) e v = (6,4,2). Verifique que w =(9,2,7) é combinação linear de u e v e que w′ = (4,−1,8) não é combinação linear de ue v.Para mostrar que w é combinação linear de u e v, tome escalares α e β e escreva

w = αu + βv,

ou seja,(9,2,7) = α(1,2,−1) + β(6,4,2).

Desta forma, queremos resolver (9,2,7) = (α + 6β,2α + 4β,−α + 2β), o que nos leva ao

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Capítulo 3. Base 21

sistema α +6β = 9,

2α +4β = 2,

−α +2β = 7.

Utilizando a segunda equação, temos que α = 1 − 2β. Substituindo na primeira e ter-ceiras equações, encontramos

1− 2β +6β = 9, −1+2β +2β = 7,

ou seja, das duas equação concluímos que β = 2 e α = 1− 2β = −3 de modo que

w = −3u +2v.

Para verificarmos que w′ não é combinação linear de u e v, tomamos novamente α,β ∈R tais que

w′ = αu + βv.

Substituindo as expressões para os vetores, temos

(4,−1,8) = α(1,2,−1) + β(6,4,2) = (α +6β,2α +4β,−α +2β),

de onde segue que devemos resolver o sistemaα +6β = 4,

2α +4β = −1,−α +2β = 8.

Da terceira equação temos que α = 2β−8 e quando substituímos essa relação nas outrasduas equações encontramos

2β − 8+6β = 4, 4β − 16+4β = −1.

Resolvendo ambas para β, da primeira encontramos β = 3/2, enquanto da segundaencontramos β = 15/8. Desta forma, concluímos que não é possível encontrar α e β detal forma que w′ seja combinação linear de u e v.

Proposição 3.1 Se os vetores u e v são linearmente independentes, então u, v e w sãolinearmente dependentes se, e somente se, w é gerado por u e v.

Demonstração. Comecemos mostrando que se w é gerado por u e v, então u, v e w são linear-mente dependentes.

Se w = 0, nada há a ser feito pois 0 é linearmente dependente a qualquer conjunto devetores.

Se w , 0 é gerado por u e v, existem escalares α,β ∈ R tais que

w = αu + βv.

Assim, podemos escreverαu + βv − w = 0,

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22 3.1. Dependência e independência linear

o que significa que existe uma solução (α,β,−1) não nula de tal forma que u, v e w são line-armente dependentes.

Suponha agora que u, v e w sejam linearmente dependentes. Novamente, se w = 0, nadahá a fazer, pois

w = 0 = 0u +0v.

Suponha então w , 0. Como u e v são linearmente independentes, devem existir α,β,γ ∈ R,com γ , 0, tal que

αu + βv +γw = 0.

Desta forma, podemos escrever

w = −αγu −−

β

γv,

de forma que w seja escrito como combinação linear de u e v e seja, portanto, gerado por u ev.

Proposição 3.2 Três vetores u, v e w são linearmente dependentes se, e somente se,um dos vetores é gerado pelos outros dois.

Demonstração. Suponha que os vetores u, v e w sejam linearmente dependentes. Então exis-tem escalares α,β,γ ∈ R, não todos nulos, de tal forma que

αu + βv +γw = 0.

Suponha, sem perda de generalidade, que α , 0. Desta forma, podemos escrever

u = −β

αv −

γ

αw

e u é gerado por v e w.Reciprocamente, suponha que um dos vetores seja gerado pelos outros dois. Sem perda

de generalidade, suponha que tenhamos

u = αv + βw.

Assim, podemos escreveru −αv − βw = 0,

e, portanto, existirá uma solução não nula (1,−α,−β) de tal forma que u, v e w sejam linear-mente dependentes.

Antes de procedermos, precisamos observar um detalhe sutil na Proposição 3.2. Elagarante que se três vetores são linearmente dependentes, então algum deles é combinaçãolinear dos outros dois. Porém, em nenhum momento nos diz quantos ou quais vetores sãolinearmente dependentes. Uma afirmação, porém, é certa: se dois vetores u e v são linear-mente dependentes, então a Proposição 3.2 diz que u, v e w também são linearmente depen-dentes independentemente da escolha de w. Já a Proposição 3.1 aborda o caso de dois vetoreslinearmente independentes u, v que quando considerados com um terceiro vetor w podemser tanto linearmente independentes quanto dependentes.

Sabemos da Definição 3.1 que quatro vetores u, v, w e z são sempre linearmente depen-dentes. A pergunta que surge é se é possível selecionar três vetores linearmente independen-tes, de forma que o vetor restante será gerado pelos outros. A resposta depende dos vetores,pois pode não ser possível fazer tal escolha.

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Capítulo 3. Base 23

Exemplo 3.1.6 Considere os vetores u = (1,0,1), v = (−4,0,−4), w = (√3,0,√3) e

z = (π,1,π). Sabemos que eles são linearmente dependentes, pois constituem um con-junto de quatro vetores. Queremos saber se existe algum conjunto de três vetoreslinearmente independentes. Temos, de fato, quatro possibilidades para os conjuntos:

{u, v, w}, {u, v, z}, {u, w, z}, {v, w, z}.

Consideremos inicialmente {u, v, w} e escalares α,β,γ ∈ R tais que

αu + βv +γw = 0.

Temos então

(0,0,0) = α(1,0,1) + β(−4,0,4) +γ(√3,0,√3) = (α − 4β +

√3γ,0,α − 4β +

√3γ),

cuja solução éα − 4β +

√3γ = 0.

Desta forma, escolhendo γ = 0 e β = 1, temos α = 4β = 4 e, portanto,

4u +1v +0w = 0

e u, v e w são linearmente dependentes.Fica como exercício para o leitor mostrar que os três conjuntos restantes também são li-nearmente dependentes, de tal forma que é impossível tomar três vetores linearmenteindependentes. Por outro lado, pode-se checar que o conjunto existem duplas de veto-res linearmente independentes.

Mas, se temos um conjunto de n vetores linearmente dependentes u1, u2, . . . , vn, podemossimplificar os cálculos de forma que verificamos de maneira mais simples se um conjunto detrês vetores quaisquer são linearmente independentes ou não.

Proposição 3.3 Três vetores u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2), e w = (x3, y3, z3) são linear-mente dependentes se, e somente se,∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (3.2)

Demonstração. Vimos os vetores u, v e w são linearmente dependentes se existe uma soluçãonão nula (α,β,γ) , (0,0,0) para a equação vetorial

αu + βv +γw = 0.

Reescrevamos a equação em termos das coordenadas dos vetores como o sistemaαx1 + βx2 +γx3 = 0,

αy1 + βy2 +γy3 = 0,

αz1 + βz2 +γz3 = 0,

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24 3.2. Base

e observamos que, pela Regra de Cramer, o sistema acima possui solução não-trivial (α,β,γ) ,(0,0,0) se, e somente se, ∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Com isso concluímos que u, v e w são linearmente dependentes se, e somente se, (3.2) ésatisfeito.

Antes de prosseguirmos com exemplos, observemos que se A é uma matriz 3 × 3, entãotemos detA = detAT , no qualAT denota amatriz transposta deA. Desta forma, é irrelevantecolocar as entradas de u, v e w como colunas ou linhas no determinante.

Exemplo 3.1.7 Verifique se os vetores u = (1,−1,2), v = (0,1,3) e w = (4,−3,11) sãolinearmente dependentes ou independentes. De∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 20 1 34 −3 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (11+0− 12)− (8− 9+0) = −1+1 = 0

resulta que os vetores são linearmente dependentes.

Exemplo 3.1.8 Verifique se os vetores u = (2,1,1), v = (−1,−1,0) e w = (0,2,2) sãolinearmente dependentes ou independentes. De∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −1 01 −1 21 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−4− 2+0)− (0 + 0− 2) = −6+2 = −4 , 0

concluímos que os vetores são linearmente independentes.

3.2 Base

Na seção anterior definimos conjuntos linearmente dependentes e independentes. O quefaremos nesta seção é utilizar os vetores LI para definirmos bases.

Definição 3.4 Um conjunto ordenado de vetores B = {u, v, w} linearmente indepen-dente é chamado de base de R3.

Um resultado crucial com relação a bases de R3 é que, dada uma base B qualquer, todovetor u em R3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base. Em termosexplícitos, temos o seguinte resultado:

Proposição 3.4 Dada uma base B = {u1, u2, u3} de R3 e um vetor v qualquer, existemescalares α,β,γ ∈ R tais que

v = αu1 + βu2 +γu3.

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Capítulo 3. Base 25

Demonstração. Faremos a demonstração por absurdo. Suponha que v não seja combinaçãolinear dos vetores de B. Logo, o conjunto de quatro vetores {u1, u2, u3, v} é LI, o que é umabsurdo, pois todo conjunto de mais de três vetores é LD.

No exemplo a seguir consideraremos uma das bases mais importantes de R3.

Exemplo 3.2.1 Considere

e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1).

Já vimos no Exemplo 3.1.4 que B = {e1, e2, e3} é linearmente independente. Portanto,pela Definição 3.4, o conjunto B é uma base para R3.Pela Proposição 3.4, todo vetor u = (x,y,z) pode ser escrito como combinação linear dee1, e2 e e3. De fato, temos

u = (x,y,z) = (x,0,0) + (0, y,0) + (0,0, z) =

= x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) = xe1 + ye2 + ze3.

A base B = {e1, e2, e3} do exemplo acima, com

e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)

é chamada de base canônica de R3.

Exemplo 3.2.2 Considere os vetores u = (3,1,−2), v = (−1,−3,0) e w = (4,8,1).

a. Mostre que B = {u, v, w} é uma base.

b. Exprima z = (1,1,1) como combinação linear de vetores de B.

c. Exprima um vetor z = (x,y,z) como combinação linear de vetores de B.

Como B possui três elementos, para que B seja uma base é suficiente demonstrar queos vetores do conjunto são linearmente independentes. Como∣∣∣∣∣∣∣∣

3 1 −2−1 −3 04 8 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −16 , 0,pela Proposição 3.3 concluímos que os vetores de B são linearmente independentes e,portanto, B é uma base.Resolvamos o item b. Queremos encontrar constantes a,b,c ∈ R tais que

z = au + bv + cw.

Substituindo as expressões para os vetores nos respectivos lugares, temos a equação

(1,1,1) = a(3,1,−2) + b(−1,−3,0) + c(4,8,1) = (3a− b+4c,a− 3b+8c,−2a+ c),

que por sua vez nos leva ao sistema1 = 3a− b+4c,

1 = a− 3b+8c,

1 = −2a+ c,

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26 3.2. Base

Da última equação, encontramos c = 1+2a. Substituindo o resultado obtido para c nasoutras duas equações, obtemos o sistema11a− b = −3,17a− 3b = −7

para a e b. Isolando b na primeira equação nos dá b = 11a + 3 e, após substituição nasegunda equação, obtemos

a = −18, b = 11a+3 =

138, c = 1+2a =

34.

Portanto, temos

z = −18u +

138v +

34w.

Para o item c., observemos que pela Proposição 3.4 um vetor z = (x,y,z) será sempre es-crito como combinação linear dos vetores da base B. Queremos então obter constantesa,b,c ∈ R tais que

z = au + bv + cw

e essas constantes dependerão, obviamente, dos valores específicos de x,y,z.Da equação vetorial para z temos então (x,y,z) = (3a− b +4c,a− 3b +8c,−2a+ c), o quenos leva ao sistema

x = 3a− b+4c,

y = a− 3b+8c,

z = −2a+ c.

Analogamente ao item anterior, da terceira equação encontramos c = z + 2a e, apóssubstituição nas outras equações, temos o sistema11a− b = x − 4z,

17a− 3b = y − 8z

para a e b. Isolando b na primeira equação nos dá b = 11a− x + 4z e após substituiçãona segunda equação concluímos que

a =3x − y − 4z

16, b =

17x − 11y +20z16

, c =3x − y +4z

8.

Portanto, temos

z =3x − y − 4z

16u +

17x − 11y +20z16

v +3x − y +4z

8w.

Vimos na Proposição 3.4 (e com auxílio do exemplo anterior) que fixada uma base B ={u, v, w} sempre podemos escrever qualquer vetor z como combinação linear de elementos deB:

z = αu + βv +γw. (3.3)

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Capítulo 3. Base 27

Definição 3.5 Dada uma base B = {u, v, w}, denotamos por

z = (a,b,c)B

a representação (3.3) do vetor z na base B. Os valores a,b,c são então chamados decoordenadas de z na base B.

A Definição 3.5 merece que seu entendimento seja reforçado. Dados uma base B = {u, v, w} e umvetor z, sempre que escrevermos

z = (a,b,c)B

significará que o vetor z está escrito na base B, ou seja,

z = au + bv + c+ w,

em acordo com (3.3).Será convencionado que no caso em que escrevemos

z = (a,b,c)

sem qualquer menção à base B considerada, estaremos falando da base canônica de R3 e, desta forma,teremos

z = ae1 + be2 + ce3. = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (a,b,c).

Até este momento havíamos trabalhado apenas com a base canônica e, a fim de reali-zarmos cálculos com as coordenadas dos vetores, somávamos ou subtraíamos coordenadasquando queríamos somar vetores e multiplicávamos as coordenadas por escalares.

Em termos geométricos, a base canônica se comporta como temos trabalhado: três vetoreslinearmente independentes, um perpendicular ao outro (característica de vetores ortogonais,assunto que veremos em breve). No caso de outra base de vetores, pode ser que essa particu-laridade não ocorra. Ou seja, os vetores, por serem linearmente independentes, não estarãono mesmo plano mas não necessariamente precisam ser ortogonais.

e1

e3

e1

u

v

w

Figura 3.1: Os vetores em azul representam a base canônica B = {e1, e2, e3}, enquanto osvetores vermelhos u, v e w também formam uma base, mas com uma característica não-ortogonal.

Para todos os conjuntos de três vetores linearmente independentes (ou seja, bases) queconsideramos até aqui, escrevemos u = (x,y,z) para dizer que o vetor u sai da origem O =(0,0,0) e atinge, como extremidade final, o ponto A = (x,y,z). Podemos definir um conceitode sistema de coordenadas mais gerais para que possam auxiliar em problemas concretos.

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28 3.2. Base

Definição 3.6 Fixados um ponto O e uma base B quaisquer, um sistema de coorde-nadas será um par Σ = (O,B). Neste caso, o ponto O é dito ser a origem do sistema decoordenadas.

No que trabalhamos até aqui, o nosso sistema de coordenadas usuais foi Σ = (O,B), com

O = (0,0,0), B = {e1, e2, e3}.

É possível, porém, considerar a mesma base porém com centros distintos.

Exemplo 3.2.3 Considere O = (0,0,0) e a base canônica B = {e1, e2, e3}. Sabemos que ovetor u = (1,0,1) é escrito como

u = 1e1 +0e2 +1e3.

Considere agora o sistema de coordenadas Σ = (O′ ,B), com O′ = (1,1,0). Como muda-mos a origem do sistema de coordenadas, nossa base canônica, neste sistema de coor-denadas agora passa a sair de (1,1,0). Como consequência, todos os vetores no novosistema de coordenadas saem de O′ = (1,1,0) e vetores mudarão de posição quandocomparados com o sistema de coordenadas cuja origem é O = (0,0,0), como é repre-sentado abaixo com o vetor u = (1,0,1).

e2

e3

e1 e′2

e′3

e′1

O

O′

Quando trocamos a base e lidamos com uma base B qualquer de R3, os procedimentos desoma e multiplicação permanecem os mesmos, ou seja, continuamos somando coordenadase multiplicando coordenadas por escalares.

Proposição 3.5 Dados um sistema de coordenadas Σ = (O,B) em R3 e vetores u =(x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), temos, para todo α ∈ R,

a. u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2);

b. αu = (αx1,αy1,αz1).

Exemplo 3.2.4 a. Verifique que B = {u, v, w}, com

u = (1,3,−2), v = (−4,0,1), w = (0,0,1),

é uma base de R3.

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Capítulo 3. Base 29

b. Encontre as coordenadas dos vetores e1, e2 e e3 na base B.

c. Encontre as coordenadas do vetor z = (5,−7,2) na base B.Para resolvermos o item a., basta observarmos que∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 −2−4 0 10 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 12 , 0,

e da independência linear dos vetores u, v e w concluímos que B é uma base.Passemos agora para o item b. e consideremos inicialmente o vetor e1 = (1,0,0). ComoB é base, devem existir constantes a,b,c ∈ R tais que

e1 = au + bv + cw = a(1,3,−2) + b(−4,0,1) + c(0,0,1) = (a− 4b,3a,−2a+ b+ c).

Igualando as coordenadas, concluímos que a = 0,b = −1/4 e c = 1/4 de tal forma que

e1 = 0u − 14v +

14w =

(0,−1

4,14

)B.

Analogamente para e2 = (0,1,0), devemos encontrar as constantes a,b e c que resolvem

(0,1,0) = e2 = au + bv + cw = (a− 4b,3a,−2a+ b+ c).

Da segunda coordenada temos a = 1/3 e, ao substituirmos nas outras duas coordenadasconcluímos que b = 1/12 e c = 7/12 e, consequentemente, escrevemos

e2 =13u +

112

v +712

w =(13,112

,712

)B.

Para o vetor e3 = (0,0,1), observe que e3 = w e, portanto, escrevemos

e3 = 0u +0v +1w = (0,0,1)B.

Com relação à resolução do item c., utilizaremos o item b. para encontrar as coorde-nadas do vetor pedido. Observemos que o vetor z = (5,−7,2) já está escrito na basecanônica, ou seja,

z = (5,−7,2) = 5e1 − 7e2 +2e3.

Como do item b. temos que

e1 =(0,−1

4,14

)B,

e2 =(13,112

,712

)B,

e3 = (0,0,1)B,

podemos substituir em z de tal forma que encontraremos

z =(−73,−11

6,−5

6

)B.

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30 3.2. Base

Exemplo 3.2.5 Seja B = {v1, v2, v3} uma base. Tome f1 = (1,1,1)B, f2 = (1,0,1)B e f3 =(0,−1,1)B.

a. Mostre que B′ = {f1, f2, f3} é base.

b. Encontre as coordenadas do vetor u1 = (1,2,3)B′ na base B.

c. Encontre as coordenadas dos vetores de B na base B′.

d. Encontre as coordenadas do vetor u2 = (1,2,3)B na base B′.

Para determinarmos que B′ é base, basta calcularmos o determinante da matriz com ascoordenadas de f1, f2 e f3: ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 11 0 10 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1 , 0.Com isso concluímos que B′ é linearmente independente e constitui, portanto, umabase de R3.Para resolvermos o item b., observe que

u1 = (1,2,3)B = 1f1 +2f2 +3f3.

Comof1 = (1,1,1)B, f2 = (1,0,1)B, f3 = (0,−1,1)B,

ao substituirmos na expressão para v1 encontramos

v1 = 1(1,1,1)B +2(1,0,1)B +3(0,−1,1)B = (3,−2,6)B.

Passemos para o item c. Queremos encontrar as coordenadas de f1, f2, f3 na base B.Temos

f1 = 1v1 +1v2 +1v3,

f2 = 1v1 +0v2 +1v3,

f3 = 0v1 − 1v2 +1v3.

Subtraindo f1 de f2 nos dáf1 − f2 = v2.

Desta forma, escrevemos v2 como

v2 = f1 − f2 = 1f1 − 1f2 +0f3 = (1,−1,0)B′ .

Agora subtraindo f2 de f3 nos dá

f2 − f3 = v1 + v2 = v1 + f1 − f2,

ou seja,v1 = −1f1 +2f2 − 1f3 = (−1,2,−1)B′ .

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Capítulo 3. Base 31

Finalmente, substituindo as coordenadas encontradas para v1 e v2 na terceira equação,obtemos

v3 = f3 + v2 = f3 + f1 − f2 = (1,−1,1)B′ .

Portanto,v1 = (−1,2,−1)B′ , v2 = (1,−1,0)B′ , v3 = (1,−1,1)B′ .

Para resolvermos o item d., faremos uso do item c. e das coordenadas dos vetores dabase B na base B′ para determinarmos as coordenadas de v2 na base B′. Para isso,observe que

u2 = (1,2,3)B = 1v1 +2v2 +3v3 = 1(−1,2,−1)B′ +2(1,−1,0)B′ +3(1,−1,1)B′= (4,−3,2)B′ .

3.3 Exercícios

Exercício 3.1 Verifique se os vetores são linearmente dependentes ou independentes:

a. u = (4,−1,2), v = (−4,10,2);

b. u = (8,−1,3), v = (4,0,1);

c. u = (−2,0,1), v = (3,2,5), w = (6,−1,1), z = (7,0,−2);

d. u = (1,0,0), v = (2,2,1), w = (3,1,2);

e. u = (1,−1,2), v = (−3,4,1), w = (1,0,9);

f. u = (1,2,1), v = (1,−1,7), w = (4,5,−4);

g. u = (7,6,1), v = (2,0,1), w = (1,−2,1).

h. u = (1,−2,3), v = (5,6,−1), w = (3,2,1);

i. u = (−3,0,4), v = (5,−1,2), w = (1,1,3).

Exercício 3.2 Expresse os vetores abaixo como combinação linear dos vetores u =(2,1,4), v = (1,−1,3) e w = (3,2,5) :

a. w = (0,0,0);

b. w = (−9,−7,−15);

c. w = (6,11,6);

d. w = (7,8,9).

Exercício 3.3 Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = (0,−2,2) ev = (1,3,−1)?

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32 3.3. Exercícios

a. w = (2,2,2);

b. w = (0,0,0);

c. w = (3,1,5);

d. w = (0,4,5).

Exercício 3.4 Dentre os vetores linearmente dependentes u = (−2,0,1), v = (3,2,5), w =(6,−1,1), z = (7,0,−2), verifique se existem pares e trios de vetores linearmente inde-pendentes.Dica: existem 6 pares e 4 trios de vetores distintos.

Exercício 3.5 Sejam a = u+w, b = 2u+v−w e c = v−2w. Prove que {u, v, w} é linearmenteindependente se, e somente se, {a, b, c} é linearmente independente.

Exercício 3.6 Prove que u e v são linearmente independentes se, e somente se u + v eu − v são linearmente independentes.

Exercício 3.7 Prove que u, v e w são linearmente independentes se, e somente se u +v + w, u − v e 3v são linearmente independentes.

Exercício 3.8 Dados u, v e w linearmente independentes, mostre que

α1u +α2v +α3w = β1u + β2v + β3w

se, e somente se α1 = β1,α2 = β2 e α3 = β3.

Exercício 3.9 Determine α e β sabendo que u e v são linearmente independentes eque (α − 1)u + βv = βu − (α + β)v.

Exercício 3.10 Suponha que u, v e w sejam linearmente independentes. Seja z umvetor tal que z = αu + βv + γw, para α,β,γ ∈ R fixados. Mostre que u + z, v + z e w + zsão linearmente independentes se, e somente se, α + β +γ +1 , 0.

Exercício 3.11 Verifique quais conjuntos de vetores do Exercício 3.1 formam uma basepara R3.

Exercício 3.12 (Completamento de base) Sejam u = (1,3,−2) e v = (−4,0,1). É possívelconstruir um vetor w tal que B = {u, v, w} seja base?

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4. Produto escalar

4.1 Ângulos entre vetores 33

4.2 Produto escalar 33

4.3 Projeção 33

4.4 Exercícios 33

4.1 Ângulos entre vetores

4.2 Produto escalar

4.3 Projeção

4.4 Exercícios

33

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5. Estudo vetorial de retas e planos

5.1 Estudo da reta 34

5.2 Estudo do plano 34

5.1 Estudo da reta

5.2 Estudo do plano

34

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6. Posição relativa

6.1 Posição relativa entre reta e reta 35

6.2 Posição relativa entre reta e plano 40

6.3 Posição relativa entre plano e plano 43

Quando falamos em posição relativa entre dois objetos, estamos nos referindo à intersecçãoentre eles. O interesse de estudo neste capítulo é a caracterização da intersecção entre retase planos. De fato, o que estudaremos neste capítulo são as posições relativas entre retas, retae plano e planos.

Antes de entrarmos em cada um dos casos, observemos que, em termos de intersecção,apenas dois casos podem acontecer: ou os objetos se intersectam ou não se intersectam.Dentre de cada um desses casos, temos outros subcasos que dependem exclusivamente de seestamos lidando com retas ou planos.

No que se segue, estudaremos inicialmente a posição relativa entre retas, demonstrandoque a interpretação geométrica da posição relativa entre elas muda de acordo com o espaçoconsiderado. Após, consideraremos uma reta e um plano e deduziremos condições para aspossíveis posições relativas. Por fim, faremos o mesmo estudo com dois planos.

Um aviso se faz necessário: utilizaremos muitas vezes os conceitos de dependência/in-dependência linear e ortogonalidade entre vetores. Além disso, é aconselhável que, mais doque decorar fórmulas, usemos nossa intuição geométrica para entender os conceitos. Comoveremos a seguir, muitas condições serão deduzidas e decorá-las pode não ser o melhor a serfeito.

A partir de agora, todo sistema de coordenadas Σ = (O,B) considerado terá a origemO = (0,0,0) e a base fixada B = {e1, e2, e3} como sendo a canônica.

6.1 Posição relativa entre reta e reta

Comecemos considerando a posição relativa entre duas retas r e s definidas no plano R2.Observemos que, neste caso, a intersecção r ∩ s deve ser representada por um de três casos:

1. As retas r e s não se intersectam. Neste caso, as retas são paralelas e denotamos r//s(Figura 6.1).

2. As retas r e s se cruzam num único ponto (Figura 6.2). Aqui, elas são ditas concorren-tes.

35

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36 6.1. Posição relativa entre reta e reta

rs

Figura 6.1: As retas r e s não se intersectam. Portanto, no plano, elas obrigatoriamente devemser paralelas.

r

s

P

Figura 6.2: As retas r e s são concorrentes e se intersectam em um único ponto P .

3. As retas r e s se cruzam em infinitos pontos e são chamadas coincidentes (Figura 6.3).Escrevemos r = s.

r = s

Figura 6.3: As retas r e s se intersectam em todos os pontos e, portanto, são coincidentes.

Observemos que, caso haja intersecção entre duas retas, a intersecção necessariamente deve ser umúnico ponto ou infinitos pontos. Não há possibilidade de casos intermediários, ou seja, é impossívelobter um número finito maior que 1 de pontos na intersecção.

Passemos agora para R3, o espaço de nosso interesse de estudo. No caso em que háintersecção entre as retas r e s, as possibilidades não se alteram, sendo elas coincidentesou concorrentes. Porém no caso em que a intersecção é vazia, as retas ainda podem serparalelas, mas o aumento de dimensão no espaço produz um caso em que as retas não sãoparalelas, não são coincidentes e também não são concorrentes.

Antes de verificarmos quais são as possibilidades de posição relativa de retas em R3, ob-servemos que duas retas paralelas são sempre coplanares, pois seus vetores diretores sãolinearmente dependentes e, desta forma, basta tomar um ponto A em r, um ponto B em s e

construir o vetor−−→AB para determinarmos um segundo vetor diretor do plano π que contém

as duas retas, veja a Figura 6.4. Por outro lado, se as retas r e s são coincidentes, elas trivi-almente estão em qualquer plano π que contenha o vetor diretor de qualquer uma das duasretas. Finalmente, se r e s são concorrentes, então seus vetores diretores são linearmentedependentes e conseguimos construir um plano π contendo as duas retas, veja a Figura 6.5.Desta forma, de acordo com o que construímos em R2, os casos de retas paralelas, concor-rentes e coincidentes em R3 são caracterizados por retas coplanares.

O caso extremo em que as retas não são paralelas, concorrentes ou coincidentes é entãocaracterizado por retas que não são coplanares, ou seja, não é possível construir um planoque contenha ambas as retas, conforme a Figura 6.6. Além disso, não sendo coplanares, asretas obrigatoriamente possuem intersecção vazia.

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Capítulo 6. Posição relativa 37

r sπ

Figura 6.4: As retas r e s são paralelas e sempre podem ser colocadas dentro de um plano π.

r

s

π

Figura 6.5: As retas r e s são concorrentes e necessariamente são coplanares.

z

y

x

r

s

Figura 6.6: As retas r e s são não são paralelas, não são concorrentes e nem coincidentes.Note que não é possível construir um plano que contenha ambas as retas.

Com isso, temos quatro possibilidades para a posição relativa entre duas retas r e s emR3:

1. Se r e s são coplanares e não se intersectam, então elas são ditas retas paralelas eescrevemos r//s (Figura 6.4).

2. Se r e s são coplanares e se intersectam em um único ponto, então elas são ditas retasconcorrentes (Figura 6.4),

3. Se r e s são coplanares e se intersectam em infinitos pontos, então elas são ditas retascoincidentes e escrevemos r = s.

4. Se r e s não são coplanares, então r e s são ditas retas reversas.

O que faremos agora é analisar vetorialmente as retas, a partir de suas formulações ve-toriais, a fim de que possamos entender como se dá o estudo da posição relativa entre duas

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38 6.1. Posição relativa entre reta e reta

retas dadas.Considere as retas

r : X = A+αr, α ∈ R, (6.1)

s : X = B+ βs, β ∈ R. (6.2)

Em termos dos vetores diretores r e s, temos duas possibilidades: eles devem ser linearmentedependentes ou independentes.

Consideremos inicialmente o caso em que eles são linearmente dependentes. Então elesdevem ser paralelos paralelos e temos duas possibilidades: r e s são colineares ou não. Nocaso em que r e s são colineares, temos r = s, enquanto se r e s são estão na mesma retatemos r//s. Resta saber se as retas são coincidentes ou não. Como a intersecção, nessas duaspossibilidades, é vazia ou infinita, basta tomar um ponto A ∈ r e verificar se A ∈ s. Caso Aesteja em s, então todos os pontos de r estarão em s e teremos r = s. Caso A < s, então nenhumponto de r pode estar em s e teremos r//s.

Proposição 6.1 Dados os vetores diretores r e s das retas r e s, respectivamente, se r es são linearmente dependentes, então r = s ou r//s.

Suponha agora que r e s sejam linearmente independentes. Então as retas r e s são concor-rentes ou reversas. Observe que r e s são concorrentes se, e somente se, r e s são coplanares.

Daí, segue que se A ∈ r e B ∈ s, então o vetor−−→AB está no mesmo plano que r e s. Assim, se

r = (a,b,c), s = (m,n,p), A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2), então−−→AB = (x2−x1, y2−y1, z2− z1) e os

vetores r , s e−−→AB são linearmente dependentes, resultando em∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1a b cm n p

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Supondo agora que as retas r e s são reversas, os vetores r e r não são coplanares.. To-

mando um ponto A ∈ r e B ∈ s, temos que as retas r e s são reversas se, e somente se, r , s,−−→AB

não são coplanares. Portanto, r, e s e−−→AB são linearmente independentes e∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1a b cm n p

∣∣∣∣∣∣∣∣ , 0.Com isso temos o seguinte resultado:

Proposição 6.2 Dados os vetores diretores r e s das retas r e s, respectivamente, ser e s são linearmente independentes, então r e s são concorrentes ou reversas. Emparticular, dados pontos A ∈ r e B ∈ s quaisquer, temos os seguintes casos:

a. Se r , r e−−→AB são linearmente dependentes, então r e s são concorrentes.

b.

c. Se r , r e−−→AB são linearmente independentes, então r e s são reversas.

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Capítulo 6. Posição relativa 39

Em termos das equações vetoriais (6.1), fazendo

A+αr = B+ βs, (6.3)

a solução do sistema (em termos de α e β) correspondente nos dá os pontos que estão em r e em s aomesmo tempo, ou seja, igualando as duas equações vetoriais obtemos a intersecção entre as retas.

Logo, se (6.3) tem única solução para α e β, a intersecção entre as retas é um único ponto e as retassão, portanto, concorrentes. Se a solução de (6.3) é indeterminada, ou seja, se obtemos a solução paraα em função de β (ou vice-versa), isso significa que a solução é infinita e, portanto, temos infinitospontos na intersecção, resultando na coincidência das retas r e s. Por fim, caso (6.3) não possuasolução, então a intersecção é vazia e as retas são reversas ou paralelas.

No caso em que (6.3) não tem solução, nada podemos afirmar sobre qual dos dois casos vale exata-mente. Para isso, precisamos verificar se os vetores r e s são linearmente dependentes ou indepen-dentes.

Exemplo 6.1.1 Estude a posição relativa das retas

r : X = (1,2,3) +λ(0,1,3), r : X = (0,1,0) +λ(1,1,1).

Resolução 1: Tomando r = (0,1,3) e s = (1,1,1), vemos claramente que r e s são line-armente independentes. Desta forma, temos r e s concorrentes ou reversas. Tomando

os pontos A = (1,2,3) ∈ r e B = (0,1,0) ∈ s, construímos o vetor−−→AB = (−1,−1,−3). Daí,

temos ∣∣∣∣∣∣∣∣−1 −1 −30 1 31 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 , 0.

e os vetores r , s e−−→AB são linearmente independentes. Portanto, r e s são reversas.

Resolução 2: Igualando as equações vetoriais, encontramos

(1,2,3) +λ(0,1,3) = (0,1,0) +µ(1,1,1),

de forma a obtermos o sistema µ = 1,

2+λ = 1+µ,

3+3λ = µ,

de onde segue que λ = 0 e λ = −2/3 e o sistema é inconsistente. Portanto, o sistemanão possui solução e as retas são paralelas ou reversas. Como r e s são linearmenteindependentes, concluímos que r e s são reversas.

Exemplo 6.1.2 Estude a posição relativa das retas

r : X = (1,2,3) +λ(0,1,3), r : X = (1,3,6) +λ(0,2,6).

Resolução 1: Considere os vetores diretores r = (0,1,3) e s = (0,2,6). Observe ques = 2r, o que significa que r e s são linearmente dependentes e as retas são paralelas ou

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40 6.2. Posição relativa entre reta e plano

coincidentes.Para verificar qual dos dois casos é válido, tome A = (1,2,3) ∈ r. Verifiquemos se A ∈ s.Sabemos que um ponto está na reta r somente se existe λ tal que X = (1,3,6)+λ(0,2,6).Logo, tomando X = A, temos

(1,2,3) = (1,3,6) +λ(0,2,6) = (1,3+2λ,6+6λ),

o que nos leva ao sistema 3+2λ = 2,

6+6λ = 3,

cuja solução é λ = −1/2. Portanto, A ∈ s e r = s.Resolução 2: Igualando as duas equações vetoriais, temos

(1,2,3) +λ(0,1,3) = (1,3,6) +µ(0,2,6),

o que nos fornece o sistema 2+λ = 3+2µ,

3+3λ = 6+6µ.

A solução do sistema é dada por λ = 2µ+1 e, portanto, a solução é indeterminada (ouseja, temos liberdade para escolher µ). Portanto, temos infinitas soluções e as retas r es são coincidentes.

6.2 Posição relativa entre reta e plano

Diferentemente do estudo de duas retas, quando consideramos o caso entre uma reta r e umplano π, não temos possibilidade de ter uma reta r “reversa” a um plano π. As possibilidadesque temos no estudo da posição relativa entre r e π são:

1. a reta r fura o plano π (Figura 6.7). Neste caso dizemos que r e π são transversais edenotamos por r−⋔π.

2. a reta r está contida no plano π (r ⊂ π) (Figura 6.8).

3. a reta r não está contida em π e não é transversal a π, ou seja, r é paralela a π (r//π)(Figura 6.9).

π

r

Figura 6.7: A reta r fura o plano π e, portanto, é transversal a π.

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Capítulo 6. Posição relativa 41

π

r

Figura 6.8: A reta r está contida no plano π.

π

r

Figura 6.9: A reta r é paralela ao plano π.

O que faremos agora é estudar cada um dos três casos de duas maneiras diferentes: pri-meiro utilizaremos, assim como no estudo da posição relativa de retas, os vetores diretoresde r e π; depois, também faremos uso do vetor diretor de r, mas para o plano consideraremosum vetor normal.

Considere as equações vetoriais

r :X = A+αr, α ∈ R,π :X = B+λu +µv, λ,µ ∈ R.

Se {r , u, v} são linearmente dependentes, então os vetores r , u e v estão no plano π. Ob-serve que, pela definição de π, os vetores u e v estão no mesmo plano π. Desta forma,podemos ter r ⊂ π. Por outro lado, note agora que se r//π, então existe um vetor r ′ em π talque, enquanto vetores, r ′ = r. Desta forma, r//π se, e somente se, {r ′ , u, v} é linearmente de-pendente. Assim, temos a seguinte caracterização: se r , u e v são linearmente dependentes,então r//π ou r ⊂ π.

Observemos que a diferença entre ambos os casos é se há intersecção entre os objetos. Defato, no caso em que r//π a intersecção r ∩π é vazia, enquanto no caso r ⊂ π, temos r ∩π = r.De maneira mais explícita, ou a interseção é vazia ou é a reta inteira. Segue então que paradeterminarmos qual dos dois casos corresponde o estudo da posição relativa das retas dadas,tomamos um ponto A ∈ r e verificamos se A ∈ π. Caso tenhamos A ∈ π, então todos os pontosde r devem estar em π, pois a intersecção é não-vazia, e r ⊂ π. Caso A < π, nenhum pontopode estar em π e, portanto r//π.

Suponha agora que {r , u, v} seja linearmente independente. Neste caso, então eles nãopodem ser colocados em um mesmo plano. Logo, não podemos ter r//π ou r ⊂ π, pois sepudéssemos então nossa análise anterior concluiria que r , u e v são linearmente dependentes.Portanto, neste caso devemos ter r−⋔π.

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42 6.2. Posição relativa entre reta e plano

Observemos que no caso em que r é transversal a π, a intersecção r ∩π é dada por um único ponto,possível de ser encontrado igualando as duas equações vetoriais.

Mudemos o enfoque da análise de posição relativa. Considere agora a equação geral doplano π

ax+ by + cz+ d = 0.

Com isso, construímos o vetor normal n = (a,b,c) do plano π. Observe que se r ⊂ pi ou r//π,temos r ortogonal a n, o que significa que n · r = 0. Caso contrário, se r−⋔π, devemos tern · r , 0.

No caso em que n · r = 0, vericamos qual dos dois casos é válido exatamente da mesmamaneira: tomamos um ponto A ∈ r e verificamos se A ∈ π. Caso tenhamos A ∈ π, a posiçãorelativa é r ⊂ π, enquanto se A < π, temos r//π.

Exemplo 6.2.1 Estude a posição relativa entre

π :X = (1,1,3) +λ(1,−1,1) +µ(0,1,3), λ,µ ∈ R,r :X = (1,1,1) +α(3,2,1), α ∈ R.

Tome r = (3,2,1), u = (1,−1,1) e v = (0,1,3). Temos∣∣∣∣∣∣∣∣3 2 11 −1 10 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −17 , 0e, portanto, {r , u, v} é linearmente independente. Com isso concluímos que r é trans-versal a π. Determinemos o ponto P de intersecção entre π e r. Para isso, devemosdeterminar a única solução de

(1,1,1) +α(3,2,1) = (1,1,3) +λ(1,−1,1) +µ(0,1,3).

Fazendo as operações devidas e igualando as coordenadas, obtemos o seguinte sistemade equações para α,λ e µ:

1+3α = 1+λ,

1+2α = 1−λ+µ,

1+α = 3+λ+µ,

cuja solução é dada por α = −2/17,λ = −6/17 e µ = −10/17. Logo, basta substituir osrespectivos valores em uma das equações vetoriais para obter

P = (1,1,1)− 217

(3,2,1) =(1117

,1317

,1517

),

ou, utilizando a equação vetorial do plano,

P = (1,1,3)− 617

(1,−1,1)− 610

(0,1,3) =(1117

,1317

,1517

).

Observemos, por fim, que como buscamos o único ponto de r∩π, o ponto P obtido viaequação vetorial de r deve ser o mesmo encontrado via equação vetorial de π.

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Capítulo 6. Posição relativa 43

Exemplo 6.2.2 Estude a posição relativa de

π :X = (1,0,1) +λ(1,1,1) +µ(0,0,3), λ,µ ∈ R,r :X = (2,2,1) +α(3,3,0), α ∈ R.

Considere os vetores diretores r = (3,3,0), u = (1,1,1) e v = (0,0,3). Temos∣∣∣∣∣∣∣∣3 3 01 1 10 0 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

e os vetores são linearmente dependentes, ou seja, temos r//π ou r ⊂ π. Para determi-nar qual dos dois casos é válido, tome P = (2,2,1) ∈ r. Utilizando a equação vetorial doplano, temos

(2,2,1) = P = (1,1,1) +λ(1,1,1) +µ(0,0,3),

o que nos leva ao sistema inconsistente2 = 1+λ,

λ = 2,

1+λ+3µ = 1.

Portanto, P < π e temos r//π.

6.3 Posição relativa entre plano e plano

O estudo da posição relativa entre planos é muito similar ao que vimos no caso de reta eplano. Analogamente ao último tópico, a presença de dois planos não permite que tenhamoscasos em que os planos não possuam intersecção e também não sejam paralelos. Desta forma,temos três casos para o estudo de dois planos π1 e π2:

1. π1 é paralelo a π2 (Figura 6.10). Neste caso, escrevemos π1//π2.

2. os planos π1 e π2 coincidem (Figura 6.11) e escrevemos π1 = π2.

3. O plano π1 fura π2 (Figura 6.12). Neste caso, dizemos que π1 e π2 são transversais etambém denotamos π1

−⋔π2.

Observemos que, diferentemente da transversalidade entre uma reta r e um plano π, que sempre nosdará um único ponto na intersecção r ∩ π, a transversalidade entre os planos π1 e π2 resulta numareta (veja a Figura 6.12). Desta forma, a intersecção π1 ∩π2 é um conjunto infinito de pontos. Comisso, concluímos que se a intersecção entre dois planos é não-vazia, então ela tem infinitos pontos.

Relembremos que no estudo de posição relativa feito até aqui, consideramos os vetoresdiretores dos objetos em consideração do ponto de vista de dependência/independência li-near. No caso de reta e plano, também vimos que é possível considerar o vetor normal n

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44 6.3. Posição relativa entre plano e plano

π1//π2

Figura 6.10: Os planos π1 e π2 são paralelos e, consequentemente, não se intersectam.

π1 = π2

Figura 6.11: Os planos π1 e π2 são coincidentes e, desta forma, escrevemos π1 = π2.

r = π1 ∩π2

π1

π2

Figura 6.12: Os planos π1 e π2 são transversais e, desta forma, a intersecção entre eles é umareta r.

do plano e obter condições para a posição relativa com base no produto escalar entre n e ovetor diretor da reta. No caso de dois planos, temos dois vetores diretores para cada plano,totalizando quatro. Como sabemos, quatro vetores são sempre linearmente dependentes e,desta forma, a análise dos vetores se torna irrelevante. O que faremos é analisar a posição re-lativa entre dois planos não por meio de seus vetores diretores, mas sim utilizando os vetoresnormais aos planos.

Sejam π1 e π2 dois planos de vetores normais n1 e n2, respectivamente. Observemos que

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Capítulo 6. Posição relativa 45

se π1 = π2, então os vetores n1 e n2 são trivialmente paralelos. Por outro lado, se π1 é paraleloa π2, então todo (e qualquer) vetor u em π1 tem um correspondente vetor paralelo v′ em π2.Desta forma, como n1 é normal a π1 e u está em π1, n1 é ortogonal a u. Mais ainda, sendo uparalelo a u′, temos que u′ é ortogonal a n1. Logo, como u é qualquer, e consequentementeu′ é qualquer, temos que n1 é normal a π2 e, portanto, n1 é paralelo a n2. Reciprocamente,se n1 é paralelo a n2, então n2 é normal a π1 e π2 ao mesmo tempo, sendo que o mesmovale para n1. Desta forma, devemos ter π1//π2 ou π1 = π2. De qualquer forma, obtivemosgeometricamente o seguinte resultado:

Proposição 6.3 Dados os planos π1 e π2, temos os seguintes casos:

a. Se n1 e n2 são paralelos, então a interseção π1 ∩π2 é vazia ou π1 = π2.

b. Se n1 e n2 não são paralelos, então a intersecção π1 ∩π2 é uma reta. Com isso,temos π1

−⋔π2.

Demonstração. Para provarmos a proposição de maneira rigorosa, utilizaremos as equaçõesgerais dos planos π1 e π2 dadas por

π1 : ax+ by + cz+ d = 0,

π2 : ax+ by + cz+ d = 0.

Suponha inicialmente que n1 e n2 sejam paralelos. Então existe λ ∈ R não nulo tal quen2 = λn1, ou seja,

a = λa, b = λb, c = λc.

Temos então que a equação geral de π2 pode ser escrita como

π2 : λ(ax+ b+ y + cz) + d = 0.

Como λ é não nulo, podemos reescrever

π2 : ax+ by + cz+dλ= 0.

Queremos então estudar a intersecção entre os dois planos de equações vetoriais

π1 :ax+ by + cz+ d = 0,

π2 :ax+ by + cz+dλ= 0.

Desta forma, queremos igualar as duas equações estudar a solução da equação resultante.Subtraindo a equação de π1 da equação para π2, temos

d − dλ= 0,

ou seja, λd−λ = 0. Com isso, vemos que a intersecção será não-vazia somente quando d = λd,enquanto não haverá solução se d , λd. Além disso, observe que se d = λd, a equação geralde π2 se transforma em

π2 : ax+ by + cz+ d = 0,

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46 6.3. Posição relativa entre plano e plano

ou seja, as equações gerais de π1 e π2 são as mesmas e, portanto, π1 = π2. Com isso, concluí-mos que se n1 é paralelo a n2, então π1 = π2 ou π1//π2, provando o item a.

Para provarmos o item b, suponha agora que n1 não seja paralelo a n2. Por exclusão po-demos concluir que π1

−⋔π2, porémmostremos rigorosamente que a intersecção é exatamenteuma reta, ou seja, que o sistema

ax+ by + cz+ d = 0,

ax+ by + cz+ d = 0

tem solução da forma (x,y,z) = (x0, y0, z0) +λ(m,n,p). Como n1 é normal a π1, ele é não-nuloe, portanto, uma de suas coordenadas é não-nula. Suponha, sem perda de generalidade, quea , 0. Da equação geral de π1 escrevemos

x = −bay − c

az − d

a.

Substituindo na segunda equação, temos(b − b a

a

)y +

(c − c a

a

)z+ d − d a

a= 0.

Observe que a = a aa , ou seja, se a , 0, então a é sempre proporcional a a. Além disso,observe que se (

b − b aa

)= 0,

(c − c a

a

)= 0, (6.4)

então b é proporcional a b e c é proporcional a c, de tal forma que teremos n1 = aa n2 e os

vetores n1 e n2 seriam paralelos, o que é um absurdo. Portanto, um dos fatores em (6.4) deveser não-nulo. Sem perda de generalidade, assuma que

c − c aa, 0.

Isolando z, encontramos z = α1y +α2, com

α1 =b aa − b

c − c aa, α2 =

d aa − d

c − c aa.

Substituindo na expressão encontrada para x, temos

x = −bay − c

aα2 −

caα1 −

da.

Logo, tomando y = λ as coordenadas do ponto (x,y,z) são dadas por

(x,y,z) =(−baλ− c

aα2 −

caα1 −

da,λ,α1λ+α2

)=

( caα2 −

caα1,0,α2

)+λ

(−ba,1,α1

)(6.5)

e a intersecção π1 ∩π2 é uma reta r de equação vetorial (6.5).

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Capítulo 6. Posição relativa 47

Observemos que a Proposição 6.3 diz apenas que se os vetores normais são paralelos, então a posiçãorelativa deve ser de paralelismo ou coincidência. Ele, a princípio, não diz qual dos dois casos devevaler. Porém, de maneira similar ao que foi feito antes, sabemos que a diferença entre os dois casosé a intersecção entre os planos, já que no primeiro caso (paralelos) não há intersecção, enquanto nosegundo (coincidentes) todo ponto de um plano está no outro. Desta forma, para determinar qualcaso temos devemos tomar um ponto P em π1 e verificar se P pertence a π2. Como a intersecção deveser vazia ou total, temos

P ∈ π1⇒ P ∈ π2 : coincidentes;P ∈ π1⇒ P < π2 : paralelas.

Porém, a demonstração da Proposição 6.3 nos sugere uma maneira alternativa de verificar qual doscasos vale. Se n1 é paralelo a n2, então existe λ , 0 tal que n1 = λn2. Basta então considerar os termosd e d das equações gerais

π1 :ax+ by + cz+ d = 0,

π2 :ax+ by + cz+ d = 0,

e verificar se d = λd. Caso tenhamos d = λd, então os planos são coincidentes, enquanto se d , λd, osplanos necessariamente são paralelos.

Exemplo 6.3.1 Estude a posição relativa de

π1 : x+10y +−z = 4, π2 : 4x+40y − 4z = 16.

Sejam n1 = (1,10− 1) e n2 = (4,40,−4) os vetores normais dos planos π1 e π2, respecti-vamente. Observe que n2 = 4n1 e os vetores são paralelos. Para verificarmos se π1//π2ou π1 = π2, considere a constante de proporcionalidade λ = 4 entre n1 e n2. Precisamosverificar se d = 4d.Das equações gerais, temos que o coeficiente d em π1 é d = 4, enquanto d em π2 éd = 16. Desta forma, temos que d = 4d e, portanto, os planos são coincidentes.

Exemplo 6.3.2 Verifique que os planos

π1 : X = (1,0,1) +λ(1,1,1) +µ(0,1,0), π2 : X = (0,0,0) +α(1,0,0) + β(−1,0,3)

são transversais e determine uma equação vetorial da reta r de intersecção.Para determinarmos que os planos são transversais, precisamos de vetores normaisaos planos para verificarmos que eles não são paralelos. Tomando A = (1,0,1), u1 =(1,1,1), v1 = (0,1,0), sabemos que uma equação geral do plano π1 é dada pelo cálculode ∣∣∣∣∣∣∣∣

x − 1 y z − 11 1 10 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

o que nos dá z − x = 0. Analogamente para o plano π2, encontramos a equação geraly = 0. Desta forma, temos os vetores normais n1 = (−1,0,1) e n2 = (0,1,0) e podemosobservar que eles claramente não são paralelos. Portanto, temos π1

−⋔π2.

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48 6.3. Posição relativa entre plano e plano

Queremos encontrar a reta de intersecção dos dois planos. Para isso, consideremos asequações gerais

−x+ z = 0, y = 0.

Sabendo que y = 0, tome z = λ e reescreva a primeira equação como x = z = λ. Logo,um ponto X = (x,y,z) na intersecção de π1 com π2 será dado por

X = (x,y,z) = (λ,0,λ) = λ(1,0,1) = (0,0,0) +λ(1,0,1).

Como o ponto X depende de um parâmetro λ, X descreve uma reta, que é a intersecçãodos planos dados.

No Exemplo 6.3.2, utilizamos as equações gerais para obterX = A+λr. Observemos que seria possíveligualar as equações vetoriais de π1 e π2 para encontrarmos os pontos de intersecção. De fato, fazendo

(1,0,1) +λ(1,1,1) +µ(0,1,0) = (0,0,0) +α(1,0,0) + β(−1,0,3),

temos o sistema 1+λ = α − β,λ+µ = 0,1+λ = 3β,

cuja solução é dada por λ = −µ, β = (1 − µ)/3 e α = 4/3(1 − µ). Logo, substituindo o valor encontradopara λ na equação vetorial do plano π1, temos

X = (1,0,1) +µ(−1,0,−1),

uma reta que é coincidente (verifique!) à reta encontrada ao final do Exemplo 6.3.2.

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7. Ângulo e distância

7.1 Ângulo 49

7.2 Distância 53

7.2.1 Distância entre dois pontos

7.3 Distância entre ponto e reta 54

Dado um sistema de coordenadas ortogonal, durante o estudo de produto escalar no Capí-tulo 4 determinamos o ângulo θ entre dois vetores u e v utilizando o produto escalar:

cosθ =u · v∥u∥∥v||

.

No caso de vetores, verificamos que o ângulo θ é agudo se u · v > 0, obtuso se u · v < 0 etemos vetores ortogonais quando u · v = 0. Além disso, sabemos que, como o sistema decoordenadas é ortogonal, podemos calcular a norma do vetor u = (x0, y0, z0) por meio de

||u|| =√x20 + y20 + z20,

o que nadamais é do que a distância do ponto (x0, y0, z0) à origem do sistema de coordenadas.O que faremos neste capítulo é estender os conceitos de ângulo e distância para pontos, retase planos. Como naturalmente se espera, tais novos conceitos farão uso pleno das definiçõespara vetores e, desta forma, recomenda-se que o leitor retorne ao Capítulo 4 caso sinta quenão está familiarizado com os conceitos de ângulo e norma para vetores.

No que se segue, inicialmente estudaremos ângulos entre retas, reta e plano, e planos.Como veremos a seguir, o estudo de ângulos envolvendo planos se reduz ao caso de duasretas. De fato, utilizaremos os vetores diretores das retas para estudar ângulos entre retas e,no caso de planos, consideraremos um vetor normal ao plano.

Após o estudo de ângulo, daremos atenção ao estudo de distância.No que se segue, nosso sistema de coordenadas será sempre dado pela origem usual

O = (0,0,0) e a base canônica {e1, e2, e3} de R3.

7.1 Ângulo

Considere dois vetores linearmente independentes u e v e seja α o ângulo entre eles. Dafórmula

cosα =u · v||u||||v||

49

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50 7.1. Ângulo

para o ângulo α, temos que o sinal do produto escalar u · v nos dá informação sobre o tipode ângulo entre os vetores. De fato, se u · v > 0, então 0 ≤ α < π

2 e o ângulo será agudo. Casou · v < 0, temos π

2 < α < π e o ângulo é dito obtuso. No caso extremo em que u · v = 0, temosα = π

2 e o ângulo é reto (e os vetores, consequentemente, ortogonais).Com isso em mente, podemos prosseguir com os conceitos de ângulo.Dadas as retas r e s, tome r e s vetores diretores de r e s, respectivamente. Seja s′ uma

reta paralela a s de vetor diretor s tal que a origem de r seja igual à origem de s. Então, seα denota o ângulo entre r e s, deve existir θ tal que θ + α = π, o que equivale a dizer queθ = π −α.

Como 0 ≤ α ≤ π, temos dois casos possíveis:

1. se o ângulo α é agudo, então o ângulo θ é obtuso;

2. se o ângulo α é obtuso, então o ângulo θ é agudo.

Isso nos leva a definir o conceito de ângulo entre duas retas:

Definição 7.1 Dadas as retas retas r e s de vetores diretores r e s, respectivamente,formando um ângulo α entre eles, o ângulo θ entre as retas r e s é definido comoθ = α, 0 ≤ α ≤ π

2 ,

θ = π −α, π2 ≤ α ≤ π.

É importante observar que, na Definição 7.1, o ângulo θ está sempre entre 0 e π/2. Isso significa queo cosseno do ângulo é sempre um número maior ou igual a zero.

Analisemos ambos os casos para que possamos deduzir uma fórmula para determinaçãodo ângulo θ. No caso em que θ = α, temos

cosθ = cosα =r · s||r ||||s||

.

Já no caso em que θ = π − α, abrimos a expressão do cosseno da subtração de ângulos paraobter

cosθ = cos(π −α) = cosπcosα + sinπ sinα = −cosα = − r · s||r ||||s||

.

Como cosθ ≥ 0, devemos ter r · s ≤ 0. Daí, concluímos que

cosθ =

r · s||r ||||s||

, θ = α,

− r · s||r ||||s||

, θ = π −α,

o que nos diz que podemos sempre calcular o cosseno do ângulo θ entre as retas r e s como

cosθ =|r · s|||r ||||s||

, 0 ≤ θ ≤ π2.

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Capítulo 7. Ângulo e distância 51

Outra observação importante e bem mais crucial que a anterior é que a Definição 7.1 explicita agrande diferença entre os conceitos de ângulo entre dois vetores e ângulo entre duas retas. No caso

de vetores−−→AB e

−−→AC , o ângulo θ entre eles é dado pelo ângulo ∠BAC. Já no caso de duas retas, o

ângulo será sempre o menor valor entre α e π −α, conforme esboçado na Figura 7.1.

−−→AB

−−→AC

rs

α−−→AB

−−→AC

θ

Figura 7.1: Na figura do lado esquerdo, α representa o ângulo entre dois vetores linearmenteindependentes. No caso da direita, os vetores são vetores diretores das retas r e s e o ânguloentre as retas é dado por θ = π −α.

Exemplo 7.1.1 Ache a medida em radianos do ângulo entre as retas r : X = (1,1,9) +λ(0,1,−1) e s : X = (2,1,3) +λ(1,1,0).Os vetores diretores das retas r e s são dados respectivamente por r = (0,1,−1) e s =(1,1,0). Daí, temos

cosθ =|r · s|||r ||||s||

=|(0,1,−1) · (1,1,0)|

√2√2

=12,

ou seja, θ = cos−11/2 = π/3.

Seguiremos agora para o estudo de ângulo entre retas e planos. Dados uma reta r e umplano π, definiremos o ângulo entre r e π por meio do que acabamos de deduzir para duasretas.

Definição 7.2 Dado um vetor normal n ao plano π, definimos o ângulo θ entre r e πcomo o ângulo entre a reta r e uma reta s que tem n como vetor diretor.

Pelo que acabamos de ver, podemos encontrar o ângulo θ por meio de

cosθ =|n · r |||n||||r ||

.

Exemplo 7.1.2 Obtenha equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P =(1,1,1), é paralela ao plano π1 : x+2y −z = 0 e forma com o plano π2 : x−y +2z = 1 umângulo de π/6.Sabemos que θ = π/3 e, das equações gerais dos planos π1 e π2, construímos os ve-tores normais n1 = (1,2,−)1 e n2(= 1,−1,2). Como a reta r deve passar pelo ponto P ,tomando r = (a,b,c) como um vetor diretor de r (a ser determinado), temos as equações

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52 7.1. Ângulo

paramétricas

r :

x = 1+λa,

y = 1+λb,

z = 1+λc.

Desta forma, precisamos determinar a,b,c. Observemos que como r é paralela ao planoπ1 então os vetores n1 e r são ortogonais. Desta forma, devemos ter n1 · r = 0, de ondesegue que

0 = n1 · r = (1,2,−1) · (a,b,c) = a+2b − c,

e, consequentemente, c = a+2b. Desta forma, escrevemos r = (a,b,a+2b).Também é dado que o ângulo θ entre r e π2 é igual a π/3. Logo, utilizando a fórmulapara determinação do ângulo θ, temos

√32

= cosπ3=|n2 · r |||n2||||r ||

=|(1,−1,2) · (a,b,a+2b)|√6√a2 + b2 + (a+2b)2

=|3a+3b|

√6√2a2 +4ab+5b2

Elevando ambos os lados ao quadrado, encontramos

34=

9(a+ b)2

6(2a2 +4ab+5b2)=32

a2 +2ab+ b2

2a2 +4ab+5b2.

Segue que 2a2 + 4ab + 5b2 = 2a2 + 4ab + 2b2 e, portanto b = 0. Substituindo em c,encontramos c = a e, portanto,

r = (a,0, a) = a(1,0,1).

Tomando a = 1 temos r = (1,0,1) e as equações paramétricas são dadas por

r :

x = 1+λ1,

y = 1,

z = 1+λ.

Prossigamos para o estudo de ângulo entre dois planos π1 e π2.

Definição 7.3 Definimos o ângulo θ entre dois planos π1 e π2 como o ângulo entreduas retas r e s que possuem os respectivos vetores normais n1 e n2 como vetoresdiretores.

Desta forma, o ângulo θ pode ser obtido por meio de

cosθ =|n1 · n2|||n1||||n2||

=

Exemplo 7.1.3 Ache a medida do ângulo entre os planos

π1 : 2x+ y − 4z = 10, π2 = x+ y +2z = 0.

Os vetores normais aos planos π1 e π2 são dados por

n1 = (2,1,−4), n2 = (1,1,2).

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Capítulo 7. Ângulo e distância 53

Daí,

cosθ =|n1 · n2|||n1||||n2||

=|(2,1,−4) · (1,1,2)|

√21√6

=5

3√14

,

o que significa que θ = cos−1(

5

3√14

).

7.2 Distância

Dados dois conjuntos de pontos emR3 (ouRn, com n ∈ N fixado), sempre é possível construiruma função que determine uma distância entre esses conjuntos. Desta forma, o que estuda-remos nessa seção é a distância entre os objetos previamente analisados: retas e planos.

No que se segue, veremos apenas dois casos de distância: entre dois pontos e entre pontoe reta. Isso se dá porque, na prática, estamos preparando o terreno para o estudo de cônicas,sendo que utilizaremos apenas esses dois conceitos.

7.2.1 Distância entre dois pontos

Na geometria Euclidiana, dados dois pontos distintos A e B, a distância entre eles é definidacomo o comprimento do menor segmento que une os dois pontos. Supondo então que A =

(x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) sejam dois pontos distintos, podemos o vetor−−→AB = (x2 − x1, y2 −

y1, z2 − z1) cujo comprimento é dado por

||−−→AB || =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Desta forma, a distância entre os pontos A e B, denotada por d(A,B), é dada por

d(A,B) =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2,

ou seja, a distância entre A e B nada mais é do que a norma do vetor−−→AB .

d(A,B)

A

B

Figura 7.2: A distância entre os pontos A e B sempre será dada pela norma do vetor formadopelos pontos.

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54 7.3. Distância entre ponto e reta

7.3 Distância entre ponto e reta

Dados um ponto P e uma reta r, tome A,B ∈ r pontos distintos e construa o triângulo ∆APB.Definimos a distância de P a r como sendo a altura h do triângulo ∆APB (Figura 7.3).

r

h

P

A B

Figura 7.3: A distância entre P e r será dada pela altura h do triângulo ∆APB.

O que queremos agora é determinar essa altura h em termos dos pontos P ,A e B. Para isso,

considere os vetores−−→AP e

−−→AB e observe que como A,B ∈ r, temos

−−→AB um vetor inteiramente

contido na reta r. Construindo o paralelogramo determinado pelos vetores−−→AP e

−−→AB (Figura

7.4), sabemos que, por um lado, sua área S é dada por

S = ||−−→AB ||h.

r

h−−→AP

−−→AB

P

A B

Figura 7.4: Para determinar a distância h, construímos o paralelogramo e utilizamos os con-ceitos já vistos com relação ao produto vetorial e a área do paralelogramo.

Por outro lado, vimos no estudo de produto vetorial que podemos calcular a mesma áreaS por meio de

S = ||−−→AP ∧

−−→AB ||.

Desta forma, como ambas as áres são iguais, encontramos que

h =||−−→AP ∧

−−→AB ||

||−−→AB ||

e conseguimos determinar a altura h que simboliza a distância de P a r. Observemos agora

que como A e B são pontos quaisquer de r, podemos tomar−−→AB como um vetor diretor de r.

Desta forma, temos a seguinte definição:

Definição 7.4 Dados um ponto P ∈ R3 e uma reta r de vetor diretor r, definimos a

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Capítulo 7. Ângulo e distância 55

distância do ponto P à reta r como

d(P , r) := h =||−−→AP ∧ r ||||r ||

,

no qual A representa um ponto qualquer da reta r.

Uma observação se faz importante: se P ∈ r, então o vetor−−→AP será sempre linearmente dependente

a qualquer vetor diretor r de r. Desta forma, o vetor−−→AP ∧ r é nulo e a distância d(P , r) é zero. Ou seja,

a distância de qualquer ponto na reta à própria reta é zero. Por outro lado, se P < r, então temosd(P , r) > 0.

Exemplo 7.3.1 Obtenha uma equação vetorial da reta r, paralela a s : X = (1,1,0) +λ(2,1,2), contida em π : x − 4y + z = 0 e que dista

√20/3 do ponto P = (1,0,1).

Queremos encontrar uma equação vetorial de r da forma

r : X = A+λr, λ ∈ R.

Como r//s e s = (2,1,2) é vetor diretor de s, isso significa que podemos tomar r = s =(2,1,2) como vetor diretor de r.Seja X = (a,b,c) um ponto qualquer da reta r. Como r ⊂ π e a equação geral de π é dadapor x − 4y + z = 0, o ponto X deve pertencer a π e devemos ter

a− 4b+ c = 0. (7.1)

Além disso, como a distância entre P = (1,0,1) e r é d(P , r) =√20/3 e X ∈ r, devemos

ter √203

= d(P , r) =||−−→XP ∧ r ||||r ||

.

Sabendo que ||r || = 3, calculemos o produto vetorial−−→XP ∧ r:∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k1− a −b 1− c2 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−2b+ c − 1,2a− 2c,−a+2b+1).

Segue então que √20 = ||(−2b+ c − 1,2a− 2c,−a+2b+1)||,

o que, após o cálculo da norma e simplificações, nos leva a

5a2 +8b2 +5c2 − 4ab − 8ac − 4bc − 2a+8b − 2c − 18 = 0. (7.2)

Portanto, um X ∈ r nas condições pedidas se e somente se a,b,c satisfazem as equações(7.1) e (7.2). De (7.1) temos a = 4b − c e, após substituição em (7.2), encontramos

4b2 − 4bc+ c2 = 1⇒ (2b − c)2 = 1.

Com isso, concluímos que temos duas possibilidades de solução

c = 2b − 1 ou c = 2b+1.

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56 7.3. Distância entre ponto e reta

Ou seja,c = 2b − 1 e a = 2b+1.

ouc = 2b+1 ou c = 2b − 1,

o que nos provém as equações vetoriais

r1 : X = (x,y,z) = (2b+1,b,2b − 1) = (1,0,−1) + b(2,1,2),

our2 : X = (x,y,z) = (2b − 1,b,2b+1) = (−1,0,1) + b(2,1,2).

Observe que como os dois vetores diretores são iguais, as retas devem ser paralelas oucoincidentes. Tomando A = (1,0,−1) ∈ r1, concluímos que A < r2 e, portanto, temosr1//r2.

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8. Cônicas

8.1 Elipse 57

Cônicas, também conhecidas como seções cônicas, são curvas emR2 geradas pela intersecçãode um plano com um cone. No que se segue, estudaremos três tipos de cônicas: elipses, hi-perboles e parábolas. Para isso, precisamos ter claros os conceitos de distância estabelecidosno Capítulo 7, pois será a partir deles que as cônicas serão introduzidas.

Observemos, porém, que por mais que as cônicas aqui estudadas sejam consideradas emR2, o estudo delas pode ser realizado em qualquer plano π dado. De qualquer maneira,assim como no capítulo anterior, nosso sistema de coordenadas será o usual com O = (0,0) eB = {e1, e2} sendo a base canônica de R2.

8.1 Elipse

Definição 8.1 Dados dois pontos F1,F2 ∈ R2, distantes 2c > 0 entre si, seja a > c.Chamamos de elipse o conjunto de pontos P ∈ R2 tais que

d(P ,F1) + d(P ,F2) = 2a.

F2F1

Figura 8.1: A soma das distâncias dos pontos P a F1 e F2 deve dar exatamente 2a, conformerepresentados com as distâncias em vermelho e verde. A figura geométrica associada a essespontos recebe o nome de elipse.

Na Definição 8.1, os pontos apresentados recebem nomes especiais. Os pontos F1 e F2são chamados focos da elipse, enquanto a distância 2c > 0 entre os dois focos é chamada dedistância focal. Consideremos inicialmente o caso em que os focos estejam no eixo x, ou seja,temos focos dados por F1 = (−c,0) e F2 = (c,0), e tome a > c. Observe então que os pontos

57

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58 8.1. Elipse

A1 = (a,0) e A2 = (−a,0) são tais que

d(A1,F1) + d(A1,F2) =2a,

d(A2,F1) + d(A2,F2) =2a,

ou seja, os pontos A1,A2 estão na elipse. De maneira mais geral, se P = (x,y) é um ponto daelipse, temos

d(P ,F1) = ||−−−→F1P || =

√(x+ c)2 + y2,

d(P ,F2) = ||−−−→F2P || =

√(x − c)2 + y2.

Como d(P ,F1) + d(P ,F2) = 2a, temos

√(x+ c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a.

Após elevar ao quadrado e simplificar a expressão resultante, encontramos

a√(x − c)2 + y2 = a2 − cx.

Elevando novamente ao quadrado, encontramos

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).

Como a > c > 0, temos a2 − c2 > 0, de onde segue que

x2

a2+

y2

a2 − c2= 1.

Tomando b2 = a2 − c2, encontramos finalmente

x2

a2+y2

b2= 1, (8.1)

que a partir de agora chamaremos de equação da elipse.Precisamos agora fixar a notação: dados os focos F1 = (−c,0),F2 = (c,0), os pontos A1 =

(−a,0),A2 = (a,0),B1 = (0,b),B2 = (0,−b) são chamados de vértices da elipse determinadapela equação (8.1). Os segmentos ¯A1A2 e ¯B1B2 são os eixos, sendo o eixo ¯A1A2 relacionadoaos focos F1 e F2 chamado de eixo maior, enquanto o outro eixo é dito ser o eixo menor. Osegmento ¯F1F2 que une os dois focos é chamado de segmento focal. Neste caso, O = (0,0) éa origem da elipse.

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Capítulo 8. Cônicas 59

A2A2

B1

B2

F2F1 Ox

y

ba

c

Figura 8.2: A elipse exemplifica os conceitos definidos acima. Os focos distam 2c > 0, en-quanto o eixo maior sempre tem comprimento 2a. O eixo menor tem comprimento 2b > 0 ea,b e c são relacionados, pelo Teorema de Pitágoras, como a2 = b2 + c2.

Definição 8.2 A excentricidade da elipse é definida como o número

e =ca.

Observe que como a > c > 0, sempre teremos e < 1. Na definição de elipse, assumimosque c > 0, mas será que podemos ter c = 0? De fato, como 2c determina a distância entre osfocos, não podemos ter c < 0, mas é possível ter c = 0. Para isso, suponha que a = b. Entãode b2 = a2 − c2 concluímos que c = 0, de onde segue que a distância focal é zero e, portanto,os focos F1 e F2 são iguais e F1 = F2 = (0,0). Além disso, a excentricidade neste caso é e = 0(Figura 8.3).

Definição 8.3 Uma circunferência é uma elipse de excentricidade e = 0. A equaçãoda circunferência de centro O = (0,0) é dada por

x2 + y2 = r2.

O valor r é chamado de raio da circunferência.

No caso anterior, consideramos a elipse com centroO = (0,0) e focos F1 = (−c,0),F2 = (c,0)no eixo x. No caso em que os focos se encontram no eixo y e são da forma F1 = (0, c) e F2 =(0,−c) o eixo maior será dado por ¯A1A2 com A1 = (0, a) e A2 = (0,−a). O centro continuarásendo O = (0,0), porém, dado a > c. a equação geral da elipse sofrerá uma mudança, já que oeixo maior está no eixo y:

x2

b2+y2

a2= 1.

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60 8.1. Elipse

A2A2

B1

B2

O = F1 = F2x

y

Figura 8.3: Uma elipse de excentricidade e = 0 é chamada de circunferência.

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Capítulo 8. Cônicas 61