Universidade Estadual de Montes ClarosCentro de Ciencias Exatas e Tecnologicas

Departamento de Ciencias Exatas

Notas de Aula de

Fundamentos de Matematica

Rosivaldo Antonio Goncalves

Notas de aulas que foram elaboradas para orientar oestudo de conteudos basicos de Matematica.

Montes Claros, 26 de fevereiro de 2012

Capıtulo 1

Linguagem de Conjuntos

1.1 Conjuntos

Intuitivamente se pode considerar um conjunto como uma colecao de objetos, cada

um dos quais se diz que e um elemento do conjunto.

Em geral representaremos os conjuntos por letras maiusculas e a seus elementos

por letras minusculas, quando fizermos o uso de letras, claro.

Para indicar que um objeto x e elemento de um conjunto A se escreve x ∈ A, e se

le x pertence a A.

Para indicar que um objeto x nao e elemento de A se escreve x /∈ A, e se le x nao

pertence a A.

Utilizaremos frequentemente os sımbolos

Signo se le denomina-se

∀ para todo quantificador universal

∃ existe ao menos um quantificador existencial

∃! existe um e so um

⇒ se ..., entao... . implicacao simples

⇔ se e somente se dupla implicacao ou equivalencia

| ou ; tal que

: se verificaUm conjunto esta determinado ou definido quando se conhece quais sao os objetos

que o formam. A determinacao de um conjunto se pode fazer por extensao ou por

compreensao:

a) um conjunto esta determinado por extensao quando se enumera todos os seus

elementos. Escreve-se entre duas chaves todos os seus elementos, separados por

vırgulas.

Exemplo:

A = {a, e, i, o, u}.

b) um conjunto esta determinado por compreensao quando se da uma propriedade

que verificam todos e cada um dos seus elementos, e somente eles. Escreve-se

entre duas chaves a propriedade que caracteriza os elementos de dito conjunto.

Exemplo:

– Para representar o conjunto de todos os meses do ano se escrevera {x|x e um

mes do ano}. Lera-se ”Conjunto dos x tais que x e um mes do ano”.

– O conjunto dos numeros pares se representara por {x|x e um numero par}.

Se a condicao que tem de verificar os elementos de um conjunto e a conjuncao de

outras duas, sendo uma delas que o elemento ha de pertencer a um conjunto dado, se

emprega uma simplificacao na notacao. Por exemplo:

– O conjunto dos numeros naturais maiores que um {x|x ∈ N e x > 1} se escrevera

{x ∈ N|x > 1}.

– O conjunto das raızes reais do polinomio x5−6x+3, que se pode escrever {x|x ∈ R

e x5 − 6x+ 3 = 0} se abrevia escrevendo {x ∈ R;x5 − 6x+ 3 = 0}.

Para expressar que algum elemento x de um conjunto A verifica a propriedade

P (x) se escreve ∃x ∈ A;P (x), o que significa exatamente que {x ∈ A|P (x)} = ∅. (∅ :=

conjunto vazio).

Se se quer expressar que ha exatamente um elemento do conjunto A que verifica a

propriedade P (x), se escrevera ∃!x ∈ A|P (x).

Expressando por ¬P (x) a propriedade que nega a propriedade P (x), a negacao de

∀x ∈ A : P (x) e ∃x ∈ A|¬P (x) e a negacao de ∃x ∈ A;P (x) e ∀x ∈ A : ¬P (x).

Dada uma propriedade qualquer P (x) e certo que ∀x ∈ ∅ : P (x). Com efeito,

{x ∈ ∅;¬P (x)} = ∅.

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1.2 Igualdade e Inclusao de Conjuntos

Para que dois conjuntos sejam iguais e necessario e suficiente que qualquer elemento

de qualquer deles seja elemento do outro.

Definicao 1.1 Sejam A e B dois conjuntos. Diz-se que A e um subconjunto de B,ou que A esta contido em B, ou que A e parte de B, e se denota por A ⊂ B, se todoelemento de A e um elemento de B.

Em linguagem matematica se escrevera

A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A : x ∈ B.

Exemplo

{1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

{a} ⊂ A ⇔ a ∈ A

Nota 1.2 O conjunto vazio e subconjunto de qualquer conjunto.De fato, suponha ∅ * A, para algum conjunto. Assim, existe algum x ∈ ∅ tal que

x /∈ A. Mas isso e absurdo.

As formas mais usadas para representar conjuntos sao:

a) Diagrama linear. Consiste em assinalar sobre uma linha reta todos os elementos

do conjunto.

Exemplo: O conjunto A = {a, e, i, o, u} se pode representar

b) Diagrama de Venn. Os conjuntos vem representados por uma regiao do plano

limitada por uma curva regular fechada. Os elementos sao representados por

pontos situados no interior da curva. O conjunto anterior se representaria:

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Definicao 1.3 O numero de elementos de um conjunto A recebe o nome de cardina-lidade do conjunto A. Denotamos este fato por n(A), Card(A) ou ♯(A).

Nota 1.4 a) IN = {0} ∪ N, sendo N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

b) Chama-se conjunto vazio ao conjunto que nao tem elementos, e o conjunto vaziosera considerado um conjunto finito.

Com relacao ao numero de elementos, um conjunto e finito no caso em que o numero

de elementos dele e um numero natural. A Todo conjunto que nao e finito se diz que

ele e infinito. Convenciona-se que quando um conjunto A e vazio, ou seja, A = ∅, entao

n(A) = 0.

Para expressar que todos os elementos x de um conjunto A tem uma propriedade

P (x) se escreve ∀x ∈ A : P (x); o que significa, literalmente, que ∅ = {x ∈ A | x nao

verifica P (x)}.

Proposicao 1.5 Sejam A, B e C conjuntos. Entao

a) A ⊂ A

b) A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A

c) Se A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

Demonstracao.

a) ∀x ∈ A : x ∈ A.

b) (⇒) e consequencia imediata de (a).

(⇐)∀x ∈ A : x ∈ B, por ser A ⊂ B.

∀x ∈ B : x ∈ A, por ser B ⊂ A.

Assim A e B tem os mesmos elementos.

c) x ∈ A ⇒ x ∈ B, por ser A ⊂ B.

x ∈ B ⇒ x ∈ C, por ser B ⊂ C.

Assim, todo elemento de A e elemento de C. Logo A ⊂ C.

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Nota 1.6 Os subconjuntos de A distintos do vazio e do proprio A se chamam sub-conjuntos proprios. O conjunto A e o conjunto vazio recebem o nome de subconjuntosimproprios.

Definicao 1.7 Seja A um conjunto. Chama-se conjunto das partes de A ao conjunto℘(A) = {B|B ⊂ A}.

Exemplo: Seja A = {1, 2, 3}. Entao:

℘(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

1.3 Operacoes entre conjuntos: uniao, interseccao,diferenca

Definicao 1.8 Sejam A e B dois conjuntos. Entao:

a) Chama-se uniao de A e de B ao conjunto A ∪B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}.

b) Chama-se insterseccao de A e de B ao conjunto A ∩B = {x|x ∈ A e x ∈ B}.

c) Chama-se diferenca de A e de B ao conjunto A−B = {x ∈ A|x /∈ B} = {x ∈ Ae x /∈ B}.

Exemplo

Se A = {1, 3, 5} e B = {2, 3, 4} se tem: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3},

A−B = {1, 5} e B −A = {2, 4}.

1.3.1 Propriedades das operacoes entre conjuntos

Sejam A, B e C conjuntos. Entao

a) A ∪A = A e A ∩A = A (Propriedade idempotente)

b) A ∪B = B ∪A e A ∩B = B ∩A (Propriedade comutativa)

c) (A∪B)∪C = A∪ (B∪C) e (A∩B)∩C = A∩ (B∩C) (Propriedade associativa)

d) (A ∪B) ∩A = A e (A ∩B) ∪A = A (Propriedade simplificativa)

e) A∪ (B ∩C) = (A∪B)∩ (A∪C) e A∩ (B ∪C) = (A∩B)∪ (A∩C) (Propriedade

distributiva)

Demonstracao.

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a) A ∪A = {x|x ∈ A ou x ∈ A} = {x|x ∈ A} = A

A ∩A = {x|x ∈ A e x ∈ A} = {x|x ∈ A} = A

b) A ∪B = {x|x ∈ A ou x ∈ B} = {x|x ∈ B ou x ∈ A} = B ∪A

A ∩B = {x ∈ A e x ∈ B} = {x ∈ B e x ∈ A} = B ∩A

c) (A∪B)∪C = {x|x ∈ A∪B ou x ∈ C} = {x|x ∈ A ou x ∈ B ou x ∈ C} = {x|x ∈ A

ou x ∈ B ∪ C} = A ∪ (B ∪ C)

(A∩B)∩C = {x|x ∈ (A∩B) e x ∈ C} = {x|x ∈ A e x ∈ B e x ∈ C} = {x|x ∈ A

e x ∈ B ∩ C} = A ∩ (B ∩ C)

d) ∀x ∈ (A ∪B) ∩A ⇒ x ∈ A. Logo (A ∪B) ∩A ⊂ A.

∀x ∈ A ⇒ x ∈ (A ∪B) e x ∈ A ⇒ x ∈ (A ∪B) ∩A, i.e., A ⊂ (A ∪B) ∩A.

Tambem temos que, ∀x ∈ (A ∩B) ∪ A, x ∈ A ∩B ou x ∈ A. De x ∈ A ∩ B vem

que x ∈ A. Assim, em qualquer das situacoes, x ∈ A. Logo, (A ∩ B) ∪ A ⊂ A.

Por outro lado, ∀x ∈ A ⇒ x ∈ (A ∩B) ∪A. Logo, A ⊂ (A ∩B) ∪A.

e) ∀x ∈ A ∪ (B ∩ C) temos que x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C). De x ∈ A vem que

x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C, logo x ∈ (A ∪ B) ∩ A ∪ C). De x ∈ (B ∩ C) vem

que x ∈ B e x ∈ C. Consequentemente, x ∈ (A ∪ B) e x ∈ (A ∪ C), ou seja,

x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Assim, pois, A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Agora,

se x ∈ A ∪ B) ∩ (A ∪ C) : se x ∈ A entao x ∈ A ∪ (B ∩ C). Caso contrario,

x ∈ (A ∪ B) ∩ A ∪ C) ⇒ x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C. Assim, x ∈ B e x ∈ C, pois

xx /∈ A. Entao, x ∈ B∩C ⇒ x ∈ A∪(B∩C). Logo, (A∪B)∩(A∪C) ⊂ A∪(B∩C).

Da dupla inclusao se conclui a igualdade. A demonstracao da outra propriedade

distributiva e similar a esta:

De fato, x ∈ A∩ (B∪C) ⇒ x ∈ A e x ∈ (B∪C). De x ∈ (B∪C), vem que x ∈ B

ou x ∈ C). Assim, x ∈ A∩B ou x ∈ A∩C), donde A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C).

Por outro lado temos que x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇒ x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C).

De x ∈ A ∩ B vem que x ∈ A e x ∈ B e de x ∈ A ∩ C vem que x ∈ A e

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x ∈ C. Assim, x ∈ A e x ∈ B ou x ∈ C. Portanto, x ∈ A ∩ (B ∪ C), ou

seja,(A ∩B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C).

Proposicao 1.9 Sejam A e B conjuntos. Sao equivalentes:(a)A ⊂ B(b)A ∪B = B(c)A ∩B = A(d)A−B = ∅

Demonstracao. (a) ⇒ (b)

Seja x ∈ A ∪ B. Entao, x ∈ A ⇒ x ∈ B ou x ∈ B. Em qualquer dos casos, x ∈ B.

Logo A ∪B ⊂ B. Como sempre e certo que (B ⊂ A ∪B, se conclui a igualdade.

(b) ⇒ (c)

A ∪B = B ⇒ A ∩B = A ∩ (A ∪B) = A.

(c) ⇒ (d)

Suponhamos que A−B = ∅. Assim, ∃x ∈ (A−B). Entao x ∈ A = A∩B ⇒ x ∈ B.

Absurdo, pois x ∈ (A−B).

(d) ⇒ (a)

Seja x ∈ A. Como a−B = ∅ ⇒ x /∈ (A−B) ⇒ x ∈ B, ja que x ∈ A e x /∈ (A−B).

Proposicao 1.10 Sejam A, B e C conjuntos. Entao

a) A− (B ∪ C) = (A−B)− C

b) A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C)

c) A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C)

Demonstracao. Basta comprovar em cada caso que um dos dois conjuntos esta

contido no outro.

a) x ∈ A − (B ∪ C) ⇒ x ∈ A e x /∈ (B ∪ C), ou seja, x /∈ B e x /∈ C. De x ∈ A

e x /∈ B vem que x ∈ (A − B). Como x /∈ C, temos x ∈ (A − B) − C. Logo

A− (B ∪ C) ⊂ (A−B)− C.

Seja agora x ∈ (A−B)−C ⇒ x ∈ (A−B) e x /∈ C. De x ∈ (A−B) vem que x ∈ A

e x /∈ B. Assim, x /∈ (B∪C) e x ∈ A−(B∪C) Portanto A−(B−C) ⊂ A−(B∪C).

Da dupla inclusao se conclui a igualdade.

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b) x ∈ A − (B ∩ C) ⇒ x ∈ A e x /∈ B ∩ C). De x /∈ B ∩ C) vem que x /∈ B ou

x /∈ C. Assim, x ∈ (A − B) ou x ∈ (A − C), ou seja, x ∈ (A − B) ∪ (A − C).

Logo, A− (B ∩ C) ⊂ (A−B) ∪ (A− C).

Seja agora x ∈ (A−B)∪ (A−C) ⇒ x ∈ (A−B) ou x ∈ (A−C). De x ∈ (A−B)

vem que x ∈ A e x /∈ B. De x ∈ (A− C) vem que x ∈ A e x /∈ C. Em qualquer

dos casos, x ∈ A. Como x /∈ B nem x /∈ C, x /∈ (B∩C), ou seja, x ∈ A−(B∩C).

Assim, (A−B)∪(A−C) ⊂ A−(B∩C). Da dupla inclusao se deduz a igualdade.

c) Seja x ∈ A− (B −C) ⇒ x ∈ A e x /∈ (B −C).) De x /∈ (B −C)) vem que x /∈ B

ou x ∈ C. Assim, x ∈ (A−B) ou x ∈ (A ∩ C), ou seja, x ∈ (A−B) ∪ (A ∩ C).

Logo, A− (B − C) ⊂ (A−B) ∪ (A ∩ C).

Seja agora x ∈ (A−B)∪ (A∩C) ⇒ x ∈ (A−B) ou x ∈ (A∩C). De x ∈ (A−B)

vem que x ∈ A e x /∈ B. De x ∈ (A ∩ C) vem que x ∈ A e x ∈ C. Em qualquer

dos casos, x ∈ A. Como x /∈ B ou x ∈ C, temos que x /∈ (B − C) donde

x ∈ A− (B − C). Assim, (A−B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A− (B − C).

Da dupla inclusao se deduz a igualdade.

Definicao 1.11 Seja A um conjunto e seja B ∈ ℘(A). Chama-se complementar de B(em A) ao conjunto {BA = A−B = B.

Exemplo

Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {1, 3, 5} se tem que B = {2, 4, 6, 7}.

Se A = N e B = 2N, entao {BA = {x ∈ N|x e ımpar}.

Proposicao 1.12 Seja A um conjunto e seja B ∈ ℘(A). Entao B∪B = A e B∩B = ∅.

Demonstracao. ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B ou x /∈ B ⇒ x ∈ B ∪B. Logo A ⊂ B ∪B.

Por outra parte, B ⊂ A e B ⊂ A ⇒ B ∪B ⊂ A. Daı a igualdade.

Suponhamos agora que B∩B = ∅ ⇒ ∃x ∈ B∩B. Entao x ∈ B e x ∈ B - absurdo!

Nota 1.13 Muitas vezes tem-se um conjunto U que contem todos os conjuntos queocorrem em certa discussao. Nesse caso, U − X chama-se complementar de X eindicamos esse fato por {X . U e chamado conjunto fundamental ou conjunto universo.

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1.4 Produto Cartesiano

Definicao 1.14 Chama-se par ordenado ao ente matematico formado por dois tiposde objetos matematicos dados em uma ordem determinada. Se simboliza (a, b), onde ae b se denominam primeira e segunda componentes do par (a, b).

Diz-se que dois pares sao iguais se, e somente se – sse –, as componentes corres-pondentes sao iguais entre si, e dizer,

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d

Dessa condicao se deduz que

(a, b) = (b, a) ⇔ a = b.

Definicao 1.15 Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se produto cartesiano de A e Bao conjunto

A×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.

Exx. Se A = {1, 2, 3} e B = {a, b} se tem que

A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.

A/B a b

1 (1,a) (1,b)

2 (2,a) (2,b)

3 (3,a) (3,b)

Se A = N = {1, 2, 3, ...}, B = R, A×B e o conjunto de todos os pares ordenados cuja

primeira componente (ou coordenada) e um numero natural e cuja segunda componente

(ou coordenada) e um numero real.

Proposicao 1.16 Sejam A,B,C,D conjuntos. Entao

a) A×B = ∅ ⇔ A = ∅ e B = ∅

b) A×B = C ×D = ∅ ⇔ A = C e B = D

c) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C) e (B ∪ C)×A = (B ×A) ∪ (C ×A)

d) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C) e (B ∩ C)×A = (B ×A) ∩ (C ×A)

e) A× (B − C) = (A×B)− (A× C) e (B − C)×A = (B ×A)− (C ×A)

Demonstracao.

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a) A×B = ∅ ⇔ ∃(a, b) ∈ A×B ⇔ ∃a ∈ A e b ∈ B ⇔ A = ∅ e B = ∅.

b) (⇐) Trivial

(⇒) Seja (a, b) ∈ A × B = C × D ⇒ a ∈ A, a ∈ C, b ∈ B, b ∈ D. Entao

x ∈ A ⇔ (x, b) ∈ A × B ⇔ (x, b) ∈ C × D ⇔ x ∈ C. Logo, A = C e,

analogamente, B = D.

c) Seja (a, b) ∈ A× (B ∪C) ⇒ a ∈ A e b ∈ B ∪C. De b ∈ B ∪C vem que b ∈ B ou

b ∈ C.

Se b ∈ B ⇒ (a, b) ∈ A×B ⇒ (a, b) ∈ (A×B) ∪ (A× C)

Se b ∈ C ⇒ (a, b) ∈ A× C ⇒ (a, b) ∈ (a×B) ∪ (A× C)

Assim, pois: A× (B ∪ C) ⊂ (a×B) ∪ (A× C)

Se (a, b) ∈ (A×B) ∪ (A× C) ⇒ (a, b) ∈ A×B ou (a, b) ∈ (A× C)

Se (a, b) ∈ A×B ⇒ a ∈ A e b ∈ B ⇒ a ∈ A e b ∈ B ∪C ⇒ (a, b) ∈ A× (B ∪C).

Assim, pois A×B) ∪ (A× C) ⊂ A× (B ∪ C).

Da dupla inclusao se deduz a igualdade. De igual forma se procede para demons-

trar que (B ∪ C)×A = (B ×A) ∪ (C ×A).

d) E similar a c)

e) E similar aos dois anteriores.

1.5 Problemas

1) Para cada sentenca abaixo, diga se ela e verdadeira ou falsa e forme sua negacao:

a) Existe um numero real x tal que x2 = −1.

b) Para todo numero inteiro n, vale n2 > n.

c) Para todo numero real x, tem-se x > 1 ou x2 < 1.

d) Para todo numero real x existe um numero natural n tal que n > x.

e) Existe um numero natural n tal que, para todo numero real x tem-se n > x.

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2) Considere os conjuntos abaixo:

F = conjunto de todos os filosofos

M = conjunto de todos os matematicos

C = conjunto de todos os cientistas

P = conjunto de todos os professores

a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos:

i) Todos os matematicos sao cientistas.

ii) Alguns matematicos sao professores.

iii) Alguns cientistas sao filosofos.

iv) Todos os filosofos sao cientistas ou professores.

v) Nem todo professor e cientista.

b) Faca o mesmo com as afirmacoes abaixo:

vi) Alguns matematicos sao filosofos.

vii) Nem todo filosofo e cientista.

viii) Alguns filosofos sao professores.

ix) Se um filosofo nao e matematico, ele e professor.

x) Alguns filosofos sao matematicos.

c) Tomando as cinco primeiras afirmativas como hipoteses, verifique quais das

afirmativas do segundo grupo sao necessariamente verdadeiras

3) Falso ou verdadeiro:

a) {a, a, b, c} = {a, b, c}

b) {a} ∈ {a, {a}}

c) {{a}} ⊂ {a, {a}}

d) {a} = {a, {a}}

e) {a} ⊂ {a, {a}}

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f) {a, b} ⊂ {a, {a, b}}

4) Falso ou verdadeiro:

a) ∅ ∈ {∅}

b) ∅ = {∅}

c) ∅ ⊂ {∅}

d) ∅ ⊂ {{∅}}

e) ∅ ∈ {{∅}}

f) ∅ = {∅, {∅}}

5) Quantos subconjuntos tem cada um dos seguintes conjuntos

a) {1}

b) {1, 2}

c) {1, 2, 3}

d) generalize.

6) Caracterize todos os inteiros X para os quais e verdadeira a sentenca aberta P (x)

dada por

a) Existem inteiros m e n tais que x = m · 2 + n · 3

b) Existem inteiros m e n tais que x = m · 4 + n · 6

7) Determine os seguintes conjuntos:

a) Z+ − Z−

b) Z+ ∩ Z−

a) Z+ ∪ Z−

8) Mostre que se B ⊂ A, entao

a) B ∪ {BA = A

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b) B ∩ {BA = ∅

9) O diagrama de Venn para os conjuntos X,Y, Z decompoe o plano em oito regioes.

Numere essas regioes e exprima cada um dos conjuntos abaixo como reuniao de

algumas dessas regioes. (Por exemplo: X ∩ Y = 1 ∪ 2)

a) {({X ∪ Y )

b) ({X ∪ Y ) ∪ {Z

c) ({X ∪ Y ) ∪ (X ∩ {Z)

d) {X∪Y ∩ Z

10) Diga se cada uma das seguintes assercoes e falsa ou verdadeira. Prove-a quando

verdadeira e de um contra-exemplo quando falsa.

a) A ∪B = A ∪ C ⇒ B = C

b) A ∩B = A ∩ C ⇒ B = C

a) A ∪B = A ∪ C ⇒ B = C e A ∩B = A ∩ C ⇒ B = C

11) Dados A,B subconjuntos de um conjunto universo U , mostre que

a) {({A) = A

b) A ⊂ B ⇔ {B ⊂ {A

c) A = ∅ ⇔ {A = U

d) {(A∪B) = {A ∩ {B

e) {(A∩B) = {A ∪ {B

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Capıtulo 2

Correspondencias e Aplicacoes

Definicao 2.1 Sejam A e B conjuntos. Chama-se correspondencia (ou relacao) entreA e B a qualquer f subconjunto de A×B.

Exemplo 2.2 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. Entao o quadro do produtocartesiano A×B vem dado por:

A/B 3 4

1 (1,3) (1,4)

2 (2,3) (2,4)

3 (3,3) (3,4)

Seja f = {(1,3),(2,4),(3,4)}. Assim, f ⊂ A × B e, portanto, f e uma corres-pondencia.

Definicao 2.3 Sejam A,B,C conjuntos e sejam f ⊂ A×B, g ⊂ B × C.Entao:

i) Chama-se domınio de f o conjunto dom(f) = {x ∈ A;∃ y ∈ B com (x, y) ∈ f};

ii) Chama-se imagem de f o conjunto Im(f) = {y ∈ B;∃x ∈ A com (x, y) ∈ f};

iii) Chama-se correspondencia inversa o conjunto f−1 = {(y, x) ∈ B×A; (x, y) ∈ f};

iv) Chama-se composicao de f e g (e se escreve g ◦ f) a correspondenciag ◦ f = {(x, z) ∈ A× C;∃y ∈ B com (x, y) ∈ f, (y, z) ∈ g};

v) O conjunto B e chamado contradomınio de f .

Nota 2.4 E bom lembrar que:

1) Se (x, y) ∈ f dizemos que y e a imagem de x pela f e denotemos esta imagempor y = f(x). Frequentemente, e de forma coloquial, a vocalizacao do sımbolof(x) e “f de x”, mas deve-se ter em mente que se trata da imagem de x pela f ,e, portanto, de um elemento do contradomınio de f ;

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2) f = f(x). De fato, f e o sımbolo para a correspondencia e, portanto, umanotacao para o conjunto, enquanto f(x) e um elemento de B que esta associadoao elemento x do domınio de f .

As definicoes apresentadas em cada item permite fazer algum exercıcio de demons-

trar propriedades que as articulam, e e disso que se trata a seguinte proposicao.

Proposicao 2.5 As seguintes propriedades se verificam:

i) dom(f−1) = Im(f) e Im(f−1) = dom(f)

ii) (f−1)−1 = f

iii) (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

iv) h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f – e dizer, a propriedade associativa se verifica para aoperacao de composicao de correspondencias.

Demonstracao.

a)

dom(f−1) = {y ∈ B|∃x ∈ A com (y, x) ∈ f−1}

= {y ∈ B|∃x ∈ A com (x, y) ∈ f}

= Im(f)

b)

(f−1)−1 = {(x, y) ∈ A×B|(y, x) ∈ f−1}

= {(x, y) ∈ A×B|(x, y) ∈ f}

= f

c) (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

(g ◦ f) = {(x, z) ∈ A× C|∃y ∈ B com (x, y) ∈ f, (y, z) ∈ g}

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(g ◦ f)−1 = {(z, x) ∈ C ×A|(y, z) ∈ g ◦ f}

= {(z, x) ∈ C ×A|∃y ∈ B com (x, y) ∈ f, (y, z) ∈ g}

= {(z, x) ∈ C ×A|∃y ∈ B com (z, y) ∈ g−1 e (y, x) ∈ f−1}

= f−1 ◦ g−1

d) Sejam A, B, C e D conjuntos e f ⊂ A×B, g ⊂ B × C, h ⊂ C ×D.

h ◦ (g ◦ f) = {(x, k) ∈ A×D|∃z ∈ C com (x, z) ∈ g ◦ f, (z, k) ∈ h}

= {(x, k) ∈ A×D|∃y ∈ B e ∃z ∈ C com (x, y) ∈ f, (y, z) ∈ g, (z, k) ∈ h}

= {(x, k) ∈ A×D|∃y ∈ B com (x, y) ∈ f(y, k) ∈ h ◦ g}

= (h ◦ g) ◦ f

Definicao 2.6 Seja f ⊂ A×B uma correspondencia. Entao:

a) Diz-se que f e unıvoca se ∀x ∈ A ∀y, z ∈ B com (x, y), (x, z) ∈ f , se tem y = z.

b) Diz-se que f e biunıvoca se f e f−1 sao unıvocas.

c) Diz-se que f e uma aplicacao se f e unıvoca e dom(f) = A.

d) Diz-se que f e injetiva se f−1 e unıvoca.

e) Diz-se que f e sobrejetiva se Im(f) = B.

f) Diz-se que f e bijetiva se f e injetiva e sobrejetiva simultaneamente.

Proposicao 2.7 Sejam f : A → B e g : B → C aplicacoes. Entao:

a) g ◦ f e aplicacao.

b) f e injetiva se ∀x, x′ ∈ A com f(x) = f(x′) : x = x′

c) Se f e g sao injetivas, entao g ◦ f e injetiva.

d) Se f e g sao sobrejetivas, entao g ◦ f e sobrejetiva.

e) Se f e g sao bijetivas, entao g ◦ f e bijetiva.

17

f) f e bijetiva ⇔ f−1 : B → A e uma aplicacao.

Demonstracao.

g ◦ f : A → C

a) Seja x ∈ A ⇒ ∃y ∈ B : (x, y) ∈ f , porque f e uma aplicacao.

∀y ∈ B ⇒ ∃z ∈ C.

i) (y, z) ∈ g, porque g e uma aplicacao. Entao se verifica que (x, y) ∈ g ◦f ⇒

x ∈ dom(g ◦ f) ∴ dom(g ◦ f) = A.

ii) Seja x ∈ A e sejam z, z′ ∈ C com (x, z), (x, z′) ∈ g ◦ f ⊂ A×C ⇒ ∃y, y′ ∈

B com (x, y), (x, y′) ∈ f e (y, z), (y′, z′) ∈ g. Como (x, y), (x, y′) ∈ f , que e

aplicacao, ⇒ y = y′. Entao (y, z), (y, z′) ∈ g, que e aplicacao ⇒ z = z′. Assim,

pois, g ◦ f e unıvoca. Sendo g ◦ f unıvoca e dom(g ◦ f) = A, g ◦ f e aplicacao.

b) f e injetiva ⇔ f−1 e unıvoca ⇔ ∀y ∈ B,∀x, x′ ∈ A com (y, x), (y, x′) ∈ f ′ : x =

x′.

Mas se (x, y) ∈ f ⇒ y = f(x)

(x′, y) ∈ f ⇒ y = f(x′)

Entao se y = f(x) = f(x′) ⇒ (x, y), (x′, y) ∈ f ⇒ x = x′.

c) Sejam x, x′ ∈ A tal que (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(x’). Sendo (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(x’)

⇒ g(f(x)) = g(f(x′)). Mas g e injetiva, logo f(x) = f(x′), e por f ser injetiva,

x = x′.

d) Seja z ∈ C. Sabemos que C e o contradomınio de g. Como g e sobre, existe

algum elemento do domınio de g, que e B, digamos y ∈ B, tal que g(y) = z.

Mas B e o contradomınio de f , e f e sobrejetora. Logo, existe algum elemento do

domınio de f , que e A, digamos x ∈ A, tal que f(x) = g. Assim temos z = g(y)

e y = f(x), portanto z = g(f(x)) = (g ◦ f)(x). Portanto g ◦ f e sobre.

e) Consequencia imediata de c) e d).

f) f : A → B f−1 : B → A

f e bijetiva ⇔ f−1 e aplicacao.

18

f e bijetiva ⇔ f−1 e injetiva e f e sobrejetiva ⇔

f e unıvoca e Im(f) = B ⇔

f−1 e unıvoca e dom(f−1) = B ⇔ f−1 e aplicacao.

EXERCICIOS

1) Sendo E = {a, b, c, d} e F = {1, 2, 3}, decida quais das relacoes abaixo sao

aplicacoes de E em F .

a) R1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}

b) R2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}

c) R3 = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}

d) R4 = {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)}

2) Determinar todas as aplicacoes de E = {1, 2, 3} em F = {3, 4}.

3) Se E e F sao conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, quantas

sao as aplicacoes de E em F?

4) Escrever como conjunto de pares ordenados a funcao f : E → F tal que f(x) = 1,

se x ∈ Q e f(x) = −1 se x /∈ Q. Sao dados E = {0, 1, 12 ,√2, π, 73} e F = {−1, 1}.

5) Seja a aplicacao f : N×N −→ N tal que f(x, y) = mdc(x, y). Determinar f(5, 1),

f(12, 8), f(3, 7), f(0, 5) e f(0, 0).

6) A aplicacao f : R −→ R e tal que

f(x) =

2x+ 5, se x < −1

x2 − 1, se −1 ≤ x ≤ 1

5x, sex > 1

Determinar f(0), f(53), f(−72), f(

√2) e f(−2π

5 ).

7) Decidir em cada caso se f e g sao funcoes iguais.

a)f(x) = x2−4x+3x−3 , g(x) = x− 1 e x ∈ R− {3}

b)f(x) = 1, g(x) = x4 e x ∈ {1,−1, i,−i}

c)f(x) = x3, x ∈ R e g(y) = y3, y ∈ [−1, 1]

19

8) Seja f : E → F uma aplicacao e sejam A ⊂ E e B ⊂ F . Provar que

a) se A ⊂ B, entao f(A) ⊂ f(B)

b) f(A ∪B = f(A) ∪ f(B)

c) f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B)

d) A ⊂ f−1(f(A)) e f(f−1(B)) ⊂ B

e) f e bijetora se, e somente se, f(AC) = (f(A))C .

9) Abaixo estao indicadas algumas aplicacoes de E = {a, b, c, d} em F =

{0, 1, 2, 3, 4}. Quais sao injetoras?

a) f1 = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (d, 4)}

b) f2 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)}

c) f3 = {(a, 2), (b, 4), (c, 3), (d, 0)}

d) f4 = {(a, 3), (b, 0), (c, 0), (d, 4)}

10) Quais das seguintes aplicacoes de E = {a, b, c} em F = {0, 1} sao sobrejetoras?

a) f1 = {(a, 0), (b, 0), (c, 0)}

b) f2 = {(a, 0), (b, 0), (c, 1)}

c) f3 = {(a, 1), (b, 0), (c, 1)}

d) f4 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}

11) Determine todas as injecoes de A = {1, 2} em B = {3, 4, 5}.

12) Determine todas as sobrejecoes de A = {1, 2, 3} em B = {4, 5}.

13) Se E e F sao conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, quantas

sao as aplicacoes injetoras de E em F? E quantas sao as sobrejetoras?

14) Mostrar que toda aplicacao injetora (sobrejetora) de um conjunto finito sobre si

mesmo e tambem sobrejetora (injetora).

20

15) Classificar (se possıvel) em injetora ou sobrejetoa as seguintes funcoes de R em

R.

a) y = x3

b) y = x2 − 5x− 6

c) y = 2x

d) y = |sinx|

e) y = x+ |x|

f) y = x+ 3

16) Achar uma funcao f : A → B, com A e B subconjuntos de R, para cada caso

abaixo.

a) A = R, B $ R e f injetora mas nao sobrejetora.

b)A $ R, B = R e f injetora mas nao sobrejetora.

c) A = R, B $ R e f sobrejetora mas nao injetora.

d)A $ R, B = R e f sobrejetora mas nao injetora.

17) Provar que a funcao f : R → R definida por f(x) = ax+ b, com a e b constantes

reais, a = 0, e uma bijecao. Obter f−1.

18) Provar que a funcao f :] − 1, 1[→ R definida pela lei f(x) = x1−|x| e bijetora.

Definir sua inversa.

19) Sejam A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}eC = {8, 9, 0}. Seja f : A → B dada por

f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6. Seja g : B → C dada por g(4) = 8, g(5) = 8,

g(6) = 9 e g(7) = 0. Quais sao os pares ordenados de g ◦ f? A funcao g ◦ f e

injetora ou sobrejetora?

20) Sejam f , g, h funcoes reais definidas por f(x) = x−1, g(x) = x2+2 e h(x) = x+1.

a) Determinar f ◦ g, f ◦ h, g ◦ h, g ◦ f , h ◦ f e h ◦ g.

b) Verificar que (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).

21

21) Sejam as funcoes reais f(x) = sinx e g(x) = |x|. Esbocar os graficos das com-

postas f ◦ g e g ◦ f .

22) Sejam f : R → R e g : R → R as aplicacoes assim definidas:

f(x) =

{2x+ 5 se x ≥ 0

x2 − 1 se x < 0e g(x) = 3x− 2

Determinar as compostas f ◦ g e g ◦ f .

23) Determinar as compostas f ◦ g e g ◦ f , sabendo que f e g sao funcoes de R em

R tais que

f(x) =

{x2 se x < 0

2x se x ≥ 0e g(x) =

{1− x se x < 1

1 + x se x ≥ 1

22

Capıtulo 3

Numeros Naturais

3.1 Definicao formal do conjunto dos numeros naturais

Definicao 3.1 Sao dados

i) Um conjunto N cujos elementos sao chamados numeros naturais

ii) Uma aplicacao s : N → N definida por s(n) = ns onde ns se chama o sucessorde n e s satisfaz os seguintes axiomas (de Peano):

A1- ∀ n ∈ N ∃ ns ∈ N (”seguinte de n”)

A2- s e injetora, i.e., ∀ n,m ∈ N : n = m ⇒ ns = ms

A3- N−s(N) consta de um so elemento denotado por 1. Assim, existe um unicoelemento (numero natural) que nao e sucessor de nenhum outro numeronatural. Dito numero se chama ”um.”

A4- (Princıpio de Inducao) Se S ⊂ N e um subconjunto tal que 1 ∈ S e ∀n ∈S : ns ∈ S, entao S = N.

A4 pode ser enunciado como:

Seja P uma propriedade referente a objetos de N. Se 1 satisfaz a propriedade Pe, se do fato de um n ∈ N satisfazer P ser possivel demonstrar que ns satifaz P,entao todos os objetos de N satisfazem essa P.

Exemplo ⊢: ∀ n ∈ N ns = n.

Seja S = {n ∈ N : n = ns}. Claro que 1 ∈ S pois 1 nao e sucessor de elemento

algum em particular 1 = 1s.

Temos que n = ns , i.e. ns = (ns)s porque S e injetora.

Seja f : S → s tal que para cada n ∈ N associamos de modo unico fn : S → S

como segue:

f1 = f e fns = fofn

Assim se f=s

2 = 1s 3 = 2s 4 = 3s

fn : S → S chama-se n-esima iterada de f

De tal modo que

fns = fofn

Definicao por inducao

Por S : N → N e iterados de s definimos

+ : N× N → N

(m,n) → m+ n = sn(m)

portanto m+ 1 = s1(m) = s(m) = ms

m+ n significa, a partir de m, iterar n vezes a operacao de tomar o sucessor de

m

i.e. m+ n = (m) +

nvezes︷ ︸︸ ︷1 + 1 + 1 + 1 + ...+ 1

Em outras palavras

m+ 1 = ms = s(m)

m+ S(n) = S(m+ n)

Como S(n) = n+ 1 temos

m+ S(n) = m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1 (*)

24

A funcao + chama-se adicao e de cara a adicao e associativa.

De fato: Seja S = p ∈ N : m+ (n+ p) = (m+ n) + p ∀ m,n ∈ N

1 ∈ S por (*) Sendo p ∈ S entao

m + (n + S(p)) = m + S(n + p) = S(m + (n + p)) =hip p∈S S((m + n) + p) =

(m+ n)′ ∈ S(p).

Logo 1 ∈ S e ∀ p ∈ S; ps ∈ S ⇒ S = N

Propriedades formais da soma

Associatividade: m+ (n+ p) = (m+ n) + p

Comutatividade: m+ n = n+m

Lei do corte: m+ n = m+ p ⇒ n = p

Tricotomia: Sejam m,n ∈ N exclusivamente uma das situacoes se verifica{m = n

∃ p ∈ N;m = n+ p ou ∃ q ∈ N;n = m+ qAs demonstracoes sao feitas por inducao.

Relacao de ordem

Sejam m,n ∈ N dizemos que:

a) m e menor que n, denotamos por m < n, se ∃p ∈ N tal que m+ n = p

b) m e maior que n se ∃q ∈ N tal que n+ q = m

* A notacao m 6 n significa que m e menor ou igual a n

A relacao < satisfaz:

25

transitividade m < n, n < p ⇒ m < p

tricotomia ∀ m,n ∈ N tem-se uma unica alternativa

m = n m < n n < m

monotonicidade da adicao

m < n ⇒ m+ p < n+ p ∀ p ∈ N

⊢: (N,6) e uma ordem total

Multiplicacao de N

N× N → N

(n,m) 7→ n ·m =

mvezes︷ ︸︸ ︷n+ n+ ...+ n

Prop:

M1 Associativa

M2 Comutativa

M3 (Elemento neutro do produto ou unidade)

Definicao 3.2 A = ∅ se diz finito se ∃n ∈ N e uma funcao f : A → {1, 2, ..., n}tal que f e bijetiva

caso contrario se diz que A e infinito

26

Capıtulo 4

Os numeros inteiros

4.1 Os numeros inteiros

Em N× Ndefinimos a seguinte relacao de equivalencia

(n,m) ∼ (n′,m′) ⇔ n+m′ = n′ +m

Exemplo (1, 3) ∼ (2, 4)

[(n,m)] = (n′,m′) ∈ N× N : n+m′ = n′ +m

Definicao 4.1 Z = N×N∼ = {[n,m]; (n,m) ∈ N× N}

O no inteiro [(1, 1)] se denota por 0 e se chama zero.

*Se [(n,m)] e n > m, se escreve K = n−m ∈ N

i.e. ∃ k ∈ N : n = k +m.

A classe [(n,m)] se denota ”K”≡ n−m

*Se [(n,m)] e n < m i.e. ∃ k′ ∈ N : m = k′ + n

A classe [(n,m)] se denota −K”

Operacoes em Z

1-Soma +: Z× Z → Z

[(n,m)], [(n′,m′)] → [(n,m)]⊕ [(n′,m′)] = [n+ n′,m+m′]

27

exemplo: (−2) + 5 = 3 [(1, 3)] + [(6, 1)] = [(7, 4)] = 3

Prop:

• associativa

• comutativa

• elemento neutro

• ∀ (n,m) ∃ o ”o oposto”, [(n′,m′)] : [(n,m)] + [(n′,m′)] = 0

Nota (Z,+) e um grupo

2-Produto

Z× Z → Z

[(n,m)], [(n′,m′)] → [(n,m)]⊙ [(n′,m′)] = [(n · n′ +m ·m′, n ·m′ + n′ ·m)] .

Ex: (−3) · (−5) = 15

[(1, 4)] · [(1, 6)] = [(25, 10)]

Prop:

associativa

comutativa

elemento neutro → [(2, 1)]

[(n,m)] · [(2, 1)] = [n,m]

a menos de 1 e -1 os outros inteiros nao possuem inverso em (Z, ·)

28

Relacao soma - produto

Distributiva

([(n,m)]⊕ [(n′,m′)]) · [(n′′,m′′)] = [(n,m)] · [(n′′,m′′)] + [n′,m′] · [(n′′,m′′)]

Relacao de ordem

[(n,m)] < [(n′,m′)] ⇔ n+m′ < m+ n′

[(n,m)] > [(n′,m′)] ⇔ n+m′ > m+ n′

[(n,m)] = [(n′,m′)] ⇔ n+m′ = m+ n′

Ex:

a) [(3, 1)] < [(7, 2)]

ja que 5 < 8

b) [(1, 2)] < [(2, 2)]

ja que 3 ¡ 4

Relacao de ordem - operacoes

1) [(n,m)] ≤ [(n′,m′)] e [(n′′,m′′)] ∈ Z

[(n,m)] + [(n′′,m′′)] ≤ [(n′,m′)] + [(n′′,m′′)]

2)(a) n′′ > m′′ ⇒ [(n,m)] · [(n′,m′)] · [(n′′,m′′)]

(b) n′′ = m′′ ⇒ [n,m] · [1, 1] = [(1, 1)]

[(n,m)] · [(1, 1)] = [(1, 1)]

29

(b) n′′ < m′′ ⇒ [(n,m)] · [(n′′,m′′)] ≥ [(n′,m′)] · [(n′′,m′′)] .

→ os numeros do tipo [(n,m)] com n > m sao chamados os +(positivos) , os

outros diferentes de [(n, n)] os -(negativos)

Z = Z+ ∪ 0 ∪ Z−

Nota: Z e enumeravel i.e. existe uma bijecao f : Z −→ N

N −→ Z

1 −→ 0

2 −→ 1

3 −→ −1

4 −→ 2

5 −→ −2

Definicao 4.2 Dados a, b ∈ Z se diz que

i) a divide b , a|b (a e divisor de b, b e multiplo de a) se ∃ k ∈ Z : b = k · a

ii) Se n ∈ N, n > 1 se diz que n e primo se os unicos divisores de n em N sao 1 e n.

Sejam m,n ∈ N se diz m.d.c (n,m) ao maior divisor comum em N{n = 98 Div(98) = {7, 2}, 98 = 72 · 2m = 21 Div(21) = {7, 3}, 21 = 7 · 3

m.d.c (98, 21) = 7

Nota:

m.d.c sempre existe

A = {k ∈ N | k|n, k|m}A = ∅, 1 ∈ A e esta limitado superiormente por

min{n,m}

Prop: d = m.d.c(n,m) ⇔

d ∈ Nd|n e d|mse k|n e k|m ⇒ k|d

⋆ n,m ∈ N se dizem primos entre si se m.d.c(n,m) = 1

30

Teorema 4.3 (Identidade de Bezoot)

Dados n,m ∈ N. se existem k1, k2 ∈ Z tal que d = k1n + k2m , se cumpre qued = m.d.c(n,m)

Exemplo: m.d.c(98, 21) = 7

7 = k1 · 98 + k2 · 21

7 = 2 · 98− 9 · 21

Lema de Euclides

Se k|n ·m e m.d.c(k,m) = 1 ⇒ k|n

Dem Pela identidade de Bezoot∃ k1k2 ∈ Z1 = k1 · k + k2 · n ⋆

∃ d ∈ Z tal que n ·m = d · k pois k|n ·m

m = k1 ·m · k + k2 ·m · n (m|m| ⋆ por m)

m = k1 ·m · k + k2 · d · k

m = (k1 ·m+ k2 · d)k ⇒ k|m

COROLARIO Se p ∈ N primo e p|n ·m ⇒ p|n ou p|m

Dem usar o lema de Euclides

Todo no n > 1 pode se decompor de maneira unica (salvo de ordem de fatores)

como produto de numeros primos

Dem por inducao

Teorema de Euclides Existem infinitos (enumeravel) numeros Primos

Dem ∃N ∈ N A = {P1, P2, ..., Pn} todos os numeros primos.

Seja P = P1 · P2 · ... · Pn + 1

31

{p nao pertence a A

p > pj ∀ jmas p e primo , caso contrario → p = produto de primos ∈ A(pk esta entre eles)

pk|p

mas p = p1 · ... · pk · ... · pn + 1 ⇒ pk|1 (absurdo !)

n|mn|m′

}⇒ n|k1m+ k2m

′′

32

Capıtulo 5

Numeros Racionais

Z∗ = {n ∈ Z : n = 0}

Em Z× Z definimos:

(n,m) ∼ (n′,m′) se nm′ = mn′

⊢:∼ e uma relacao de equivalencia

Exemplo (7,−3) ∼ (−14, 6)

7 · 6 = (−3) · (−14)

[(n,m)] = {(n′,m′) ∈ Z× Z∗ : n ·m′ = m · n′}

Q = Z×Z∼

Representante canonico de uma classe : Fracao irredutivel

n ∈ Z

m ∈ Z∗{n se n ≥ 0

−n se n < 0∈ N ∪ {0}

|n| = pn11 ...pnk

k

|m| = qm11 ...qme

e

[(n,m)] = [(n′,m′)] onde simplificamos os fatores comuns.

Teorema 5.1 Q e enumeravel

Ideia

01

11

−11

21

−21 , ...

02

12

−12

21

−22 , ...

03

13

−13

23

−23 , ...

Se consigo um caminho que toque os numeros uma so vez, consegui numera-los

construindo uma aplicacao bijetiva

Operacoes em Q

Q = Z×Z∗

∼ = {[(n,m)] : n ∈ Z,m ∈ Z∗}nm = [(n,m)] = {(n′,m′) : nm′ = mn′}

SOMA + : Q×Q → Q

[(n,m)] + [(n′,m′)] −→ [(n ·m′ +m · n′,m ·m′)]

nm + n′

m′ =n·m′+n′·m

m·m′

PRODUTO ·Q×Q → Q

[(n,m)], [(n′,m′)] 7−→ [(n · n′,m ·m′)]

Nota 5.2 (Q,+, ·) tem estruturas algebricas que o identificam como um corpo. Umcorpo e um anel em que cada elemento e invertıvel com respeito a multiplicacao, e 1 eo elemento neutro da multiplicacao.

Definicao 5.3 Dizer que um conjunto X nao vazio munido de duas operacoes + –soma–, e · – multiplicacao–, e um anel e afirmar que

i) (X,+) e um grupo abeliano;

ii) (·) e associativa e (·) e distributiva em relacao a (+), tanto a direita quanto aesquerda.

34

iii) Se em X ha um elemento neutro com respeito a (·), o anel se diz unitario, comunidade, ou com identidade, e que denotamos por 1 ou por 1X .

Definicao 5.4 O par (X,+) e um grupo se + satisfaz:

i) associatividade

ii) ∃ elemento neutro, denotado por 0, tal que x+ 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ X.

iii) ∀x ∈ X ∃ y ∈ X elemento simetrico, ou oposto de x, denotado por y=-x, tal quex+ y = y + x = 0

iv) Se, alem disso, x+ y = y + x,∀x, y ∈ X entao o grupo e dito grupo comutativo,ou abeliano.

As operacoes de adicao e de multiplicacao definidas em Q sao tais que (Q,+, ·) e

um corpo.

Para elemento neutro e inverso basta considerar:

• como elemento neutro da multiplicacao o numero racional [(1, 1)]

Exemplo: [(n,m)] · [(1, 1)] = [(n,m)]

• e para ∀ [(n,m)] = [(0, 1)]∃ inverso de [(n,m)], i.e., existe [(m,n)] ∈ Q, tal que

[(n,m)] · [(m,n)] = [(1, 1)].

As outras propriedades sao todas facilmente verificadas.

Outro fato interessante e que o conjunto dos numeros racionais e ordenado. Basta

considerar o seguinte fato.

Def [(n,m)] ≤ [(n′,m′)] se (sendo nm ≤ n′

m′m,m′ ∈ N )

n ·m′ ≤ m · n′

(ordem definida em Z)

(Q,≤) e uma ordem TOTAL.

(Sempre um numero e menor ou igual ao outro)

Compatibilidade da ordem e da soma

35

Sejam [(n,m)], [(n′,m′)] ∈ Q tais que [(n,m)] ≤ [(n′,m′)]. Para [(n′′,m′′)] ∈ Q tem-se

[(n,m)] + [(n′′,m′′)] ≤ [(n′,m′)] + [(n′′,m′′)].

Compatibilidade da ordem e do produto

Sejam [(n,m)], [(n′,m′)] ∈ Q tais que [(n,m)] ≤ [(n′,m′)].

• Se [(n′′,m′′)] ≥ [(0, 1)], entao [(n,m)] · [(n′′,m′′)] ≤ [(n′,m′)] · [(n′′,m′′)]; e

• se [(n′′,m′′)] ≤ [(0, 1)], entao [(n,m)] · [(n′′,m′′)] ≥ [(n′,m′)] · [(n′′,m′′)].

36