"Noções Gerais de Matemática Usual", por Paulo Apgaua Paulo Guilherme Sempre me preocupou o problema didático da matemática. O método usual de apresentação e ensino desta admirável disciplina do espírito, encontra uma enorme resistência em quase todos os estudantes. Os primeiros conceitos e definições exigem, desde logo, um esforço inaudito de abstração, uma atitude nova perante a realidade, para a qual não se sentem preparados. O obstáculo parece-lhes intransponível. Terminado o ginásio, onde lhes fragmentaram toda a matemática, não sabem como recordar o que aprenderam, por falta de exposição geral e sistemática da matéria. Creio que a dificuldade pode ser obviada se lhes fornecermos, preliminarmente, um quadro geral dos objetivos da matéria, em sua totalidade, como, por exemplo, dizendo-lhes:

1. A matemática é um estudo sistematizado que nos permite resolver todos os problemas em que entre a idéia de quantidade. Com a matemática podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir quantidades. Por meio da matemática, podemos dominar a natureza, contando e medindo coisas e fenômenos, descobrindo os processos pelos quais eles acontecem e, assim, tornando-nos capazes de reproduzi-los por nossa iniciativa. Aí está, pois, uma fórmula que não deixa margem à dúvida. Toda as pessoas em nosso meio civilizado, em idade escolar, já estão familiarizados com estas palavras principais: ?? “um estudo sistematizado” ?? “para resolver problemas” ?? “de quantidades” ?? como ?? “somar, subtrair, multiplicar e dividir” ?? “contar e medir coisas” ?? “reproduzir fenômenos da natureza”. 2. Vejamos, agora, como havemos de introduzir, na mente do estudante a idéia dos objetivos globais da matemática.

Em primeiro lugar, entra em discussão a amplitude dos conhecimentos matemáticos: se todo estudo sistematizado dos fenômenos da natureza, por meio da observação e da experiência, é uma ciência; se a matemática é um estudo sistematizado e, portanto, é uma ciência: se a ciência procura conhecer toda a natureza, fazer descobertas em todo o universo, a conclusão é a seguinte:

O campo da matemática é universal, porque o universo é formado das coisas em quantidade que o homem procura medir e contar.

Em segundo lugar, vem a pergunta:

De uma maneira geral, que espécies de coisas e fenômenos existem, na natureza, com as quais imediatamente o homem tem de lidar e que exigem contagem e medida, na sua luta contra o meio?

Naturalmente, isso depende do grau de conhecimento, de cultura e de civilização. Por exemplo: muitos povos primitivos apenas compreendem a contagem de poucas coisas ao seu redor: a coisa isolada (um), a repetição imediata da coisa (dois) e nada mais especificamente, senão a idéia geral de muitas coisas iguais ou parecidas, usando indiscriminadamente a palavra “muitos”. As crianças , no nosso meio, pensam, também, da mesma forma, até certa idade. Os primitivos tentam igualmente medir o tempo, buscando um conhecimento sistematizado que os ajude a organizar a vida religiosa e os trabalhos agrícolas. Foi assim que apareceram os calendários, pelos quais o tempo é contado e

medido em séculos, anos, meses, dias, horas, minutos, segundos e outros períodos especiais. Numa época mais adiantada, o homem empreendeu a tarefa de contar e medir as distâncias. Passou a preocupar-se com o espaço circundante, para distribuir terras, construir casas, palácios e monumentos, abrir caminhos, etc. Depois ampliou-se esse estudo para as grandezas dos astros, entrou no terreno do movimento, da força, da tensão ou elasticidade, das diferenças infinitamente pequenas, o grau de dependência que pode existir entre as coisas que têm, entre si, influência mútua, etc., etc. Chegou-se, assim, à construção de máquinas, cuja capacidade de produção pode ser também contada e medida...

Mas, voltemos à nossa pergunta:

De maneira geral, o que se conta e o que se mede? Podemos responder:

Contam-se e mede-se coisas inteiras, pedaços de coisas e crescimento contínuo de coisas, variações ou forças de tensão, de dependências e até mesmo a probabilidade de um acontecimento qualquer. Tudo isso é objeto de somar, subtrair, multiplicar e dividir. Penetramos, assim, na intimidade dos fenômenos e nos segredos da natureza. Este é o meio pelo qual podemos chegar a compreender toda a natureza.

3. É fácil, pois, compreender que, em matemática há uma idéia geral que é o alicerce de todas as outras: a idéia de quantidade, qualidade característica dos corpos, segundo a qual eles podem sofrer aumento ou diminuição.

Os interesses humanos, nas relações sociais, exigem sempre a medição das quantidades das coisas e fenômenos. Essa é a utilidade social da matemática. O exemplo mais patente desta utilidade, no mundo atual, é o sistema métrico, introduzido na França, em 1790, e, no Brasil, declarado obrigatório pelo decreto nº 4.257, de 16.06.1939.

Grandeza, magnitude ou tamanho é uma idéia mais geral. As grandezas são incomensuráveis ou mensuráveis. Aquelas são as que não se podem medir: por exemplo, a do sentimento. As grandezas mensuráveis são justamente as quantidades a que nos referimos. Todavia, alguns autores consideram grandeza e quantidade palavras sinônimas.

Ainda dentro do esquema que seguimos, podemos passar à seguinte distinção:

As quantidades podem ser contínuas ou descontínuas. O tempo que flui é uma quantidade contínua: uma dúzia de bananas, em que se tem cada banana separadamente, é uma quantidade descontínua. A medição é própria para as quantidades contínuas; a contagem, para as descontínuas. De qualquer forma, medição das contínuas, ou contagem das descontínuas usa-se para isso uma quantidade prefixada convencionalmente, porém homogênea em relação à classe da quantidade considerada. Assim é que a quantidade prefixada para contar-se uma dúzia de banana é uma banana: para medir-se o tempo, é, digamos um dia. Em qualquer caso se diz uma unidade. A unidade é o denominador comum para medição e contagem.

Mais adiante, voltaremos ao assunto.

4. Tudo o que dissemos gira em torno das idéias de quantidade, contagem e medida. Acontece, no entanto, que a sistematização destes conhecimentos, mesmo que isso importe em análise de fenômenos da natureza, não é considerada, por diversos autores, como ciência propriamente dita.

Há uma certa razão para que não se considere a matemática uma ciência, nos termos em que outras ciências recebem esse nome.

Ciências são a astronomia, geologia, a física, a química, a biologia, a psicologia, a sociologia, etc. Nelas, há observação e experimentação sobre um determinado fenômeno básico, materialmente considerado. E considerado segundo métodos de lógica, emprego da linguagem, uso de instrumentos apropriados.

Ora, a matemática tem justamente o caráter de método de análise, de linguagem expositiva e de instrumento de pesquisa, ou seja, a matemática é um processo auxiliar das demais ciências, para disciplinar o raciocínio na apuração de uma verdade científica.

Quando alguém classifica as matemáticas em puras e aplicadas, as puras em análise e geometria e as aplicadas em cinemática, dinâmica, mecânica, etc., esse alguém estará cometendo uma incongruência ao considerar a matemática uma ciência, porque a parte chamada pura é apenas um método de bem raciocinar e a parte chamada aplicada é o emprego de tal método em ciências específicas.

Aliás, conforme o diz N.W. Sawyer,

“A matemática pura é o estudo de como se deve pensar para se obter resultados certos. Não toma consideração as fraquezas humanas. Seria talvez mais exato dizer que a matemática pura é o estudo de como nós deveríamos construir máquinas de calcular se decidíssemos prescindir dos matemáticos”.

A matemática nasceu das ações básicas de contar, medir e situar dentro de um mundo concreto, tratando com coisas concretas, como seja a comparação da quantidade de coisas com a quantidade de dedos da mão: a indicação de pontos, no solo, para orientação na medida do tempo, ou para edificação de obras públicas, ou para a divisão das terras após as inundações: o desenho de linhas, ângulos, figuras esquemáticas e abstratas, para enfeitar trabalhos de cerâmicas, etc.

O grau de adiantamento da matemática, como se pode verificar pela sua história, sempre dependeu da atitude do homem em face dos erros inevitáveis da experiência. É uma questão de escala. Ou o padrão cultural dispensa uma rigorosa aproximação do resultado que se quer obter numa ação qualquer ou a exige para que o erro seja menor possível.

É por isso mesmo que um autor assim se exprime:

“O fim das matemáticas, consideras como a linguagem das ciências, é o de nunca ocasionarem, por si mesmas, erros suplementares. Nas aplicações poder-se-á sempre identificar a um “infinitamente pequeno” qualquer grandeza que escapa à medição ou, se o preferem, que é o de certeza inferior aos erros inevitáveis da experiência. Este princípio de aproximação é uma das linhas diretrizes do método científico: se não pudéssemos abstrair de uma multidão de fatores ligados ao fenômeno estudado, toda a ação e todo o conhecimento nos seria interditos”.

Fica, assim claro que o infinitamente grande ou o infinitamente pequeno são metas buscadas pelos matemáticos, na sua ânsia de combater o erro na contagem e medição das quantidades. Isso é o questão de escala. Uma cultura rudimentar, evidentemente não se aplica a uma busca requintada do erro cometido, na solução de um problema qualquer. Mas, ao longo da evolução histórica, as ciências vão exigindo, cada vez mais intensamente, instrumentos de alta precisão técnica. Um desses instrumentos é a matemática.

Por isso mesmo, Kant dizia que “ em toda ciência natural só há de verdadeiramente científico o que de matemática nela se contém”.

5. Temos, então, assentado esse caráter instrumental da matemática. O que se compreende nesta instrumentalidade da matemática?

Ainda aqui, podemos fazer uma distinção: há uma parte que pode ser consubstanciada pela sua instrumentalidade lógica. Os instrumentos lógicos da matemática são meramente conceituais: o número e o cálculo. Eles têm uma função informativa. Há outra parte que abrange a sua instrumentalidade técnica. Os instrumentos técnicos da matemática são os sinais básicos e as operações básicas. Os sinais básicos são os algarismos e os símbolos operatórios: as operações básicas são a algoritmia, as expressões e a análise. Estes sinais e operações têm função de automatizar o raciocínio.

Tudo isso pode também ser arrolado assim:

I. Idéia II. Sinal III. Relação A idéia fundamental, como já vimos, é a de quantidade.

Idéia básica: quantidade. Resultado de experiência, desenvolveu-se por etapas e se estende ainda a fenômenos de novas categorias que vão sendo integrados no campo da ciência, como por exemplo, ao fazer-se a distinção entre quantidades escalares e vetoriais.

1ª etapa de abstração da idéia de quantidade: o número, que a racionaliza e generaliza, para domínio do universo.

2ª etapa de abstração da idéia de quantidade: o cálculo que a aplica e disciplina para novas descobertas técnicas.

Podemos, com eles, formular as seguintes conceituações diretas e específicas, nesta exposição orgânica da matéria:

Número é a idéia simples de quantidade. É uma idéia básica.

Cálculo é a idéia complexa de quantidade. Uma idéia complexa é a ação. Cálculo é uma ação básica.

Na expressão sinal, por sua vez, arrolamos:

a. Sinais de valor b. Sinais operatórios

Sinais de valor são aqueles que representam quantidade. Assim, os algarismos, as letras, as figuras.

Os algarismos são sinais que se usam para exprimir números determinados, segundo princípios e regras especiais.

As letras são sinais que se usam para exprimir classes de números.

As figuras são sinais de natureza gráfica especial que se usam para exprimir a extensão.

Essas três espécies de sinais definem, cada uma, pela freqüência do seu emprego, as partes da matemática tradicional:

?? aritmética ?? álgebra ?? geometria

Os sinais operatórios são aqueles que determinam, entre dois ou mais números, qual a operação a que se vai proceder. São os sinais especiais das quatro operações, o traço de fração ordinária, a virgula das decimais, o da igualdade, os das desigualdades, da radiciação, o sinal de infinito, etc.., etc.

O estudo específico dos sinais chama-se sinalética. A sinalética compreende os sinais simples que são os enumerados: e os sinais complexos que são as operações.

Em princípio, algarismos, letras, e figuras, são sinais simples de número. São sinais básicos para exprimi-los. Também em princípio, os sinais operatórios são sinais simples de cálculo. São, igualmente, sinais básicos, para execução das operações.

O sinal se torna complexo, quando se converte em fórmula, isto é, quando passa a envolver a inter-relação de valores quantitativos diversos, ou, por outras palavras, quando se trata de operação. A operação é uma ação complexa para exprimir gráfica ou mecanicamente, o cálculo. As operações mais elementares são quatro: somar, subtrair, multiplicar e dividir.

Por fim, temos o terceiro item:

Relação. Estudar relações entre fenômenos é o objetivo da ciência. A matemática estuda as relações de valores mensuráveis. Nesta parte, estão abrangidas as seguintes matérias:

c. análise; d. teoria dos números: e. filosofia da matemática.

É pelo estudo das relações matemáticas que se aprende o que é conjunto, série, função, infinito, limite, etc., assuntos todos de fundamental importância em todos os ramos da matemática.

6. Dedicar-nos-emos sucessivamente ao estudo de:

?? número ?? cálculo ?? sinais de valor ?? sinais de operatórios ?? operação ?? figuras ?? relações. Este trabalho, todavia, depende de considerações preliminares. É que estamos empreendendo fazer exposição de um sistema de matemática, ou seja coordenando os elementos informativos de que ela dispõe, para a realização de sua finalidade.

A matemática é uma arte prática, um instrumento que evolui com a experiência. Tem o seu corpo de princípios e noções que lhe dão a natureza de sistema. É minha intenção apresentar ao leitor o sistema e não a estrutura. O sistema está para a estrutura como a função para o órgão, como o método para o problema, como a estratégia para a tática. Um sistema só se compreende a longo prazo e a sua exequibilidade se efetiva pela sua estratégia. A estrutura, diferentemente, opera a prazo curto e a sua eficácia se mede pela sua tática.

Enquanto a cultura matemática dos povos e dos sábios permaneceu voltada para problemas de estrutura e buscando soluções imediatas, a matemática ficou estagnada em esquema rudimentares de casos particulares. Aquela era a matemática que só se usava para resolver

problemas. Tinha o caráter de aritmética rudimentar e cujos equipamentos eram insuficientes para resolver os problemas propostos, a não ser por tentativas. Uma aritmética de artesanato, para resolver problemas profissionais.

Exemplo disso temos no papiro de Ahmes, onde se encontra o famoso problema dos pães, como se houvesse probabilidade de algum dia na história universal algum padeiro viesse a se defrontar com uma singular maneira de distribuir o seu produto.

Problemas famosos foram também o dos touros, de Arquimedes e o da coroa, também do grande matemático.

A imaginação dos matemáticos era, naqueles remotos tempos, extraordinariamente fértil. A preocupação pelo número era de natureza ,mística. Aliás, conferir propriedades mágicas aos números é uma característica de atividade mental das sociedades inferiores. Já dizia Pitágoras que os números governam o mundo. Platão e Aristóteles sofreram influência do pitagorismo que pregava a adoração do número, “uma superstição erigida em sistema”.

Marcel Boll, o grande matemático francês, o acentua de maneira apropriada:

“A fascinação especial que os números, tomados individualmente, têm exercido sobre o espírito humano, desde um tempo imemorial, foi o primeiro obstáculo à edificação de uma teoria coletiva dos números”.

Efetivamente, entre outros exemplos, temos os seguintes: o número treze, tido como nefasto; o dez, como perfeito; o três, número das pessoas no corpo de Deus, bem como das graças; quatro, das virtudes teologais; o sete, em uma grande quantidade de representações naturais e sobrenaturais; o 666, a besta do apocalipse e outros números fatídicos do judaísmo e da teologia cristã, sem falar nos que servem para expressões insultuosas...

Como é sabido, houve interferência de magos, pitonisas e sibilas nas clássicas discussões dos matemáticos gregos sobre três grandes problemas da antigüidade: a quadratura do círculo, a triseção do ângulo e a duplicação do cubo.

7. Modernamente – é a conclusão a que desejamos chegar – a matemática não vive mais à cata de problemas pitorescos e singulares. A sua missão é vista sob uma perspectiva muito mais geral e muito mais ampla.

Tenho para mim que até a cansativa enumeração de teoremas de aritmética e geometria, não mais tem aquela constância didática que foi encanto dos mestres medievais.

Houve tempo em que não se fazia distinção entre joio e o trigo. Atulhava-se a cabeça do estudante de teoremas, corolários, lemas, etc. Eram ensinados rigorosamente e sem qualquer motivação, pequenas coincidências, casos particulares inúteis, infreqüentes, únicos.

Distinguia-se axioma de postulado, conceitos que hoje se identificam. Hoje, a matemática é mais funcional. Observa-se a relatividade dos seus objetivos.

Conforme diz Paul Karlson, “a verdadeira lei matemática jamais depende de pequenas coincidências, das contingências de um caso particular, talvez único”.

Assim como assinalamos o progresso na noção de escala humano, constatamos igualmente, como o esclarece Titschmarch “que a norma da evidência (nos resultados finais de uma demonstração matemática) tende naturalmente a alterar-se segundo vamos sendo matemáticos mais espertos”.

Os teoremas não são evidentes por si mesmos. Pelo contrário, eles são quase todos obscuros e de demonstração relativamente complicada. Alguns são de tal forma complicados que os próprios autores apenas os enunciam, escusando-se expressamente de demonstrá-los, para não cansar o leitor não especializado. Este, nem por isso perde a sua fé na matemática. A sua confiança na palavra da autoridade já está lastreada pelo evidente êxito da matemática, no seio da ciência moderna e das suas realizações espetaculares. Ninguém, de sã consciência, leva a sério a famosa declaração de Bertrand Russell, segundo a qual, “ a matemática é uma ciência onde não se sabe de que se fala, nem se é verdadeiro aquilo que se diz”.

O teorema compreende duas partes: a hipótese e a tese. A demonstração é uma cadeia de raciocínios destinados a comprovar a insofismável veracidade da tese, desde que a hipótese seja razoável e se fundamente em verdades axiomáticas. Assim, a base de tudo são os axiomas ou postulados. No dizer de Titschmarch “os axiomas são as regras do jogo, em que estão conformes o leitor e o autor”.

Também neste caso o progresso da matemática tem contribuído consideravelmente para reduzir o número de proposições fundamentais. A síntese, na matemática, se torna cada vez mais requintada. O espírito de sistema se faz cada vez mais imperativo.

Por isso mesmo, Black esclarece:

“A análise filosófica dos conceitos matemáticos tende a converter-se em um processo construtivo sintético para prover noções novas, mais claras e precisas que as antigas, selecionadas de modo tal que todas as verdades encerradas nos conceitos do sistema matemático sigam sendo certas depois de sua substituição”. NÚMERO E CÁLCULO

8. Já ficou estabelecido que número é a idéia simples de quantidade. Essa definição deve ser examinada com as necessárias precauções, pois em termos absolutos, nada é simples. Se número fosse a simples idéia de quantidade, o número seria a própria quantidade e as duas palavras seriam sinônimas.

O que ocorre é que número é um ente ideal, uma construção do pensamento, uma solução técnica para raciocinar sobre quantidades. Surgiu gradativamente das experiências da vida diária, desde tempos remotos. Cada expressão numérica representa o resultado de milhares e milhares de comparações, erros, acertos, aproximações, critérios, perspectivas, interesses, etc. Uma infinidade de problemas relativos à quantidade se condensa na idéia, na abstração a que damos o nome de número.

Número é apenas nome. Não existe em si nem por si. É apenas uma palavra, com utilidade conceitual, dentro da gramática da quantidade. Tem também a sua filosofia e a sua semântica. Através da história passou por muitas e muitas etapas e sofreu igualmente a influência dos conceitos da representação coletiva que formam a cultura dos grupos humanos.

A partir da experiência da pluralidade e da unidade, o homem foi aos poucos construindo o edifício da matemática, por meio dos números. O espírito de comparação trouxe consigo as noções de conjunto, classe e grupo. Pela comparação se observam os atributos comuns ou particulares, nos indivíduos de um conjunto, uma coleção, um grupo. Pelo mesmo processo se chega à idéia de tipo, denominador comum, padrão, unidade.

Foi a metodização da experiência e dos conhecimentos assim alcançados que destacou o número das suas significações rudimentares.

Botocudos: um = pogik = dedo dois = krã-põ = dedo duplo três e muito = uruhu Latim: unus = um duo = dois tres = três (Francês: muito). A análise da relações entre coisas foi despindo-as das suas singularidades e a relação entre idéias abstratas de quantidade foi, pouco a pouco, introduzindo uma técnica de utilização da idéia de número, um regime de raciocínio que se transformou em sistema de pensamento lógico e científico.

A própria idéia de pluralidade de coisas está acondicionada, como o observa bem Marcel Boll: primeiro, pela vaga percepção de diferença entre dois conjuntos de objetos análogos; segundo, pela visão global do “espaço ocupado” por um conjunto de objetos. A pluralidade é uma noção global com características elementares.

Qualquer pluralidade de objetos constitui um conjunto. Por definição, a idéia de conjunto se aplica também a uma só coisa ou a nenhuma coisa. “O número é o conceito que nos serve para diferenciar conjuntos de seres por certa propriedade que chamamos pluralidade; é um índice desta”, no dizer de F. N. Biosca.

Mas não é só. A importância desses conceitos exige outras considerações. A noção de conjunto é primitiva, básica para toda investigação quantitativa. As noções básicas carecem de definição: são intuitivas. Maurer diz que não há definição para conjunto. Segundo Cantor “entende-se por conjunto uma coleção de objetos de nossa percepção ou do nosso pensamento, bem distintos uns dos outros, concebidos como um todo”.

Com estes esclarecimentos, podemos dizer, com Marcel Boll, que:

“Um conjunto de símbolos tem número por elementos quando, atendendo o principio da permanência (Herman Hankel, 1867), os elementos são ordenáveis e se, para dois deles, se pode definir a sua adição e a sua multiplicação”.

Efetivamente, ordenar, somar e multiplicar são operações básicas que se podem realizar com os números e representam as condições necessárias e suficientes para que um conjunto de símbolos seja conjunto de números.

Outras considerações importantes são feitas por Marcel Boll:

“Conjunto é uma reunião, considerada como formando um todo, de vários elementos ou objetos: os dedos da mão, as árvores de um pomar, os viajantes de um comboio, as moléculas da atmosferas, as estrelas da via láctea...

“Experimentalmente os conjuntos definem-se:

f. por designação; g. por enumeração; h. por atribuição de uma propriedade.

O equipamento mental, por sua evolução, alcançou duas técnicas: o emparelhamento e o recenseamento.

“O emparelhamento consiste em fazer corresponder a cada elemento de cada um dos conjuntos um elemento de outro conjunto, continuando, assim, até que um dos conjuntos – ou ambos – seja esgotado.

“O emparelhamento toma por base o número mais simples, depois da unidade - o dois e seus sinônimos - e consigna a noção da interdependência, porque estabelece qual o conjunto mais numeroso e de maior potência.

A freqüência do uso dos dedos como conjunto – tipo, no emparelhamento, deu origem ao cálculo digital e dele surgiu o recenseamento que é a contagem. Estabeleceu-se, assim, um critério relativo de medida que toma uma grandeza-tipo, por padrão: os números assumem, aí, o caráter de cardinais ( o nº 936, referindo-se ao ano de 1936) ou ordinais (o nº 7, referindo-se ao dia 7-3-1936). O primeiro, indica a potência; o segundo, a situação.

Ordenam-se os conjuntos tomando como padrão a sucessão dos números naturais”.

9. Foi a operação de contar os objetos de uma coleção ou os indivíduos de um grupo que deu origem aos chamados números naturais (Maurer). Os números naturais têm, como propriedade característica, o principio da indução completa ou, por outras palavras, é sempre possível fazer-se a conclusão de n para n + 1. Como esta operação não tem limite, os números naturais constituem exemplo de um conjunto infinito. n é o último elemento do conjunto, é o índice ou número cardinal. Na expressão de F. M. Biosca, “ é o ente abstrato que serve para representar os conjuntos coordenáveis entre si, diferenciando-os dos não coordenáveis”.

Assim é que um conjunto infinito é numerável quando os seus elementos podem ser emparelhados com os números naturais.

Que são os números naturais? Os números naturais são os números inteiros positivos, isto é, afetados pelo sinal + (mais). Entende, porém, que ordenados, em seu conjunto infinito, são números absolutos, porque cada elemento é ente isolado, alheio à operação de soma com qualquer outro. Não há relação; não é relativo a outro; não aparece afetado por sinal operatório; não é positivo nem negativo. Só mais adiante, em nossa exposição classificaremos as espécies de números e situaremos devidamente, no quadro geral, números tais como absolutos, relativos, positivos, negativos.

Duas outras questões devem ser aqui apresentadas. A primeira se refere à relação lógica entre número e classe de quantidade. Aparentemente, um número representa uma classe de quantidade. É a lição de Bertrand Russell, tão discutida: “os números são definíveis pelas classes que representam. Assim, a classe de todas as coisas pares será o número dois”. Essa definição, embora lastreada na genialidade de seu autor, padece de uma contradição muito clara. Por exemplo, um caso: os números primos, separados como é notável, em grupos de dois, próximos entre si, integrando portanto grupo de pares, aparecendo em pares de primos, pertencem à classe dos pares ou à classe dos primos (que não são pares)? – A segunda observação é de Titschmarch: “Talvez possamos considerar os números como espécies de signo de troca, como a moeda”.

Está neste caso o uso primitivo dos dedos da mão, como signo para operações de troca. O sistema decimal de numeração foi estruturado na base dos dedos da mão. Por ele, observa Paul Karlson, somente o acaso, que nos dotou de dez dedos, foi o responsável. O dez primeiros números são, por isso, chamados números dígitos

“Todas as proposições matemáticas podem deduzir-se a partir dos números naturais e, para estabelecê-las, bastam três termos e cinco proposições. Os três termos são: número, zero e sucessivo. As cinco proposições são as que se seguem:

1º - O zero é um número; 2º - O sucessivo de um número é também um número; 3º - Dois números diferentes não podem ter o mesmo sucessivo; 4º - O zero não é sucessivo de número algum; 5º - Toda propriedade que pertença ao zero e ao sucessivo de um número que possua dita propriedade, pertence a todos os números”. 10. Este é o ensinamento de F. M Biosca. Ele vem encerrar a exposição que estamos fazendo sobre o número como efeito e como demonstração do caráter funcional da matemática moderna. As partes funcionam segundo um princípio orgânico geral do todo. Paul Karlson o confirma esclarecidamente:

“O pensamento dinâmico, ou melhor, o pensamento funcional assumiu agora a liderança, com o seu lema: o número nada mais é – o cálculo é tudo. Este processo de decomposição chega ao ponto, como haveremos de ver, de se procurar evitar a definição precisa de um número na matemática moderna. Desapareceram irremissivelmente todas aquelas particularidades, aquele caráter multicolorido que os números apresentam aos olhos dos gregos, para quem tinha mesmo um significado físico e uma “personalidade”. Atualmente definimos os números como elementos de natureza qualquer regidos por certas e determinadas leis de combinação e que, portanto, se comportam de maneira predeterminada e previsível”.

Falemos, agora, do cálculo:

O cálculo é trabalho mental por excelência. Por isso, definimo-lo como a idéia complexa de quantidade. A sua estruturação se faz pela associação de idéias de números; na maioria das vezes a partir do simples para o complexo, da análise para a síntese, do homogêneo confuso para o heterogêneo coordenado, chegando-se a um resultado final.

A história demonstra que o cálculo teve sua origem na experiência, embora a ciência antiga, no dizer de Brunschwigg tenha omitido essa conexão que existe entre o cálculo e a física, entre o cálculo e a experiência..

Como tudo o mais, o cálculo passou por etapas na evolução do poder de abstração. É sabido que “cálculos” eram pedrinhas usadas pelos romanos nas operações. E a primeira forma de cálculo se operou pelo emparelhamento entre um conjunto de coisas a contar e os dedos da mão. Esse era o cálculo concreto ou digital.

11. O fato de o cálculo ter uma grande parcela de automatismo na associação de um número para solucionar problemas freqüentes, deu origem ao uso de instrumentos, que substituiriam, com mais vantagem, os dedos e as pedrinhas nas referência comparativas. O ábaco é o mais antigo e o mais conhecido dos instrumentos tradicionais auxiliares do cálculo. Também os gregos usaram o ábaco. Diz-se que os egípcios e babilônios o conheciam e ainda hoje é empregado na China e no Japão. As escolas primárias igualmente o adotam no ensino elementar de aritmética. A razão da universalidade desse aparelho está provavelmente na impropriedade dos sistemas de enumeração para proceder-se às operações por escrito. Mas a experiência conquistada no emprego do ábaco muito contribuiu para a vitória do princípio posicional de que se vale o sistema numérico, dando aos algarismos valores relativos de unidade, dezena, centena, etc. Dele vieram muitas regras de cálculo, inclusive e principalmente nas operações

elementares de somar, subtrais, multiplicar e dividir. O seu arranjo por colunas e pedrinhas móveis exigia dos abaquistas o conhecimento da movimentação de números e parcelas dentro de um pequeno espaço previamente preparado para esse trabalho. Neste trabalho, as pedrinhas percorriam de uma coluna para outra, como dizemos “vai tanto” e, assim, as pedrinhas eram apostas a uma coluna qualquer, de acordo com a regra. Em latim, dizia-se ad-dere, donde provém a palavra adição.

O ábaco é ancestral de instrumentos mais aperfeiçoados de cálculo mecânico. Entre eles, a máquina de calcular, a regra de cálculo e o computador eletrônico.

Os instrumentos mentais mais remotos eram inadequados para o cálculo mediante regras, fórmulas e princípios gerais. Basta dizer que a própria noção de um número era deficiente e limitada, dentro de uma escala bastante restrita, como resultado de um sistema de vida pouco evoluído. Os egípcios, por exemplo, só conheciam frações de numerador: 1: ½, 11/5, 1/32, etc. Os astrônomos babilônios só trabalhavam com frações de denominador 60 ou múltiplo de 60. Os romanos preferiram o 12 para operar frações. A divisão era matéria de universidade, na idade média. Os números muito grandes sempre foram incompreendidos pela massa. O emprego de determinados números sofria enorme influência do pensamento místico da época e o progresso da matemática e do cálculo foi consideravelmente retardado pelas fantasias numéricas de Platão e de Aristóteles. A matemática pitagórica chegou a ser a base ideológica de uma organização maçônica.

12. Está claro que falar-se de cálculo em sentido amplo é falar-se de toda a matemática. Mas, em sentido restrito podemos destacar momentos e processos que, na história, melhor identificam e consolidam o cálculo propriamente dito, sem as vacilações, artifícios e esquemas primitivos. Em Arquimedes temos o maior gênio do cálculo e das aplicações mecânicas, na Antigüidade. Ele desenvolveu segundo Chasles, a geometria das dimensões, mas o fez com inexcedível realismo e critério experimental. Tornaram-se famosos os seus trabalhos sobre seções cônicas, a sua invenção do método de exaustão em que antecipou o cálculo infinitesimal que só surgiria dois milênios depois e o cálculo da circunferência. É a famosa pesquisa que fez em torno do número ? .

13. Em época posterior, já com o maior adiantamento da aritmética, Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, árabe, escreveu um tratado que se tornou famoso: “A arte de calcular”. O seu nome se conserva ainda hoje na palavra algoritmo, que é “um método de cálculo com símbolos, seguindo-se regras determinadas”, na definição de Eurjalo Canabrava. Conforme Paul Karlson, “por algoritmo entendemos hoje uma norma geral de cálculo que se desenrola, por assim dizer, automaticamente, poupando-nos todo e qualquer esforço mental durante o seu curso”.

Neste caso, estão as regras de cálculo decorrentes da numeração de posição, tratadas com grande habilidade por Leonardo de Pisa, no seu “Liber Abaci”.

Assim, têm seus algoritmos as quatro operações fundamentais para números inteiros e fracionários, números primos (crivo de Eratóstenes), números múltiplos (máximo divisor comum, famoso algoritmo de Euclides), e ainda, com os modernos progressos da matemática, tomaram impulso os algoritmos de álgebra, das séries, do cálculo integral para generalização do problema das quadraturas, do cálculo diferencial, no que diz respeito às variações, acelerações, declives; e tudo isso porque a ossatura de toda matemática foi afetada pela preeminência alcançada pelo cálculo, como processo de pesquisa sistemática e não apenas como artifício para a solução de problemas isolados.

Assim, esclarece René Taton que:

“Hoje, a palavra algoritmo designa todo o conjunto de regras fixas permitindo efetuar automaticamente uma categoria dada de cálculos”.

O algoritmo, em seu sentido moderno, é o mais eficiente aliado da automatização industrial, a base em que se assenta a “produção em série” nas operações matemáticas.

Algoritmos clássicos, como o do máximo divisor comum, trabalham com a precisão e a segurança de uma máquina, e nossas máquinas de calcular repousam naturalmente em algoritmos muito semelhantes ( Paul Karlson). O emprego de algoritmo, nas operações, veio suprir o esforço e memória de, a todo momento, ter-se de fazer remissão aos princípios matemáticos aplicáveis no decurso do processo operatório. Estabiliza-se o processo operatório como uma invariável cadeia de raciocínios de que não se precisa recordar. A técnica vem, assim, distanciar o operador das leis básicas da operação, pelo uso das tabelas e instrumentos práticos, estudados em monografia.

A mais alta expressão desse espírito mecanicista se encontra em Descartes, ao criar a geometria analítica, através de sua concepção das coordenadas para o cálculo algébrico. Outros setores da análise matemática deram origem a estupendos algoritmos: a solução de equação por determinantes, a análise combinatória, a derivação de uma função pela fórmula de Taylor, etc.

De tudo se conclui que o algoritmo é a modernização do cálculo. O engenheiro o emprega eficientemente, mas acaba esquecendo as fórmulas básicas donde se origina o cálculo. Este é o mal da especialização. Os engenheiros que tenho consultado não sabem mais explicar o cálculo infinitesimal. Talvez mesmo não saibam mais a razão da existência dos logaritmos. Isso constitui, em último termo, a grandeza aparente e a desgraça da civilização.

14. Falando sobre o cálculo, René Taton assim se expressa: “D’Alembert definiu o cálculo como uma realização das operações a fazer sobre os dados de uma questão para obter o resultado. Por esta extensão, o cálculo torna-se a ossatura de toda matemática quantitativa. Limitado, por longo tempo, à aritmética e à álgebra, ele toma no século XVII uma extensão considerável pela criação do cálculo diferencial, do cálculo integral e do cálculo das probabilidades. A rapidez deste progresso fez nascer então esperanças desmesuradas sobre o poder real do cálculo. Os sucessores de Descartes e Leibnitz pensaram poder reduzir todas as ciências em uma ciência única regida por um cálculo superior, espécie de síntese da álgebra e da lógica. Mau grado os progressos extraordinários das matemáticas nos séculos XIX e XX e a sua extensão dia a dia mais rápida, estas vistas nos parecem hoje muitíssimo ambiciosas”.

Finalmente, três observações:

1ª - na matemática anglo-saxônicas, o vocábulo “cálculo” significa especificamente “cálculo infinitesimal”; 2ª - o conjunto de todos os números racionais e irracionais forma o dos números necessários ao cálculo ordinário; 3ª - não existe algoritmo especial nem para potenciação, nem para radiciação.

ESPÉCIES DE NÚMEROS E CÁLCULOS

Prosseguindo, em nossa exposição sobre número e cálculo, passamos à enumeração das espécies de números e de cálculos.

Neste terreno, cumpre assinalar que a evolução histórica do conceito de número acompanhou pari-passu as necessidades e conveniências dos esquemas lógicos. Sucessivas extensões do conceito de número foram completando o quadro geral das suas diversas categorias lógicas.

Já vimos que a origem da idéia de número está nas intuições básicas de pluralidade e unidade, o conjunto e quantidade, e, ao mesmo tempo, na experiência. Os primeiros números eram concretos e houve um tempo em que se deu a passagem para os números abstratos. O alemão “zehn” significa “duas mãos”. Conforme Paul Karlson, um simples pastor ou criador de gado possui uma representação mental pictórica da quantidade, mas ainda nenhum conceito de número. Certamente a descoberta do número puro, como abstração do caso particular, e firmado de um modo conceitual, é o primeiro feito matemático da humanidade”. Presentemente os números são objetos do pensamento, essencialmente abstratos, não obstante, na sua origem, tenham sido representações de objetos concretos ( Maurer).

Temos, então:

Homogêneo

Heterogêneo

Incompleto

Concreto

Complexo

Absoluto

Número

Abstrato Relativo

Dois números concretos são homogêneos quando se referem a coisas da mesma espécie. Quando não são heterogêneos. Por exemplo: duas bananas, três bananas. Esta distinção é absolutamente necessária em algoritmo (algoritmia concreta). Ainda em algoritmia concreta se faz a distinção entre incomplexo e complexo: aquele quando se diz, por exemplo, dezoito meses (com referência a um só tipo de unidade-medida) e um ano e seis meses (com referência a mais de um tipo de unidade).

O número abstrato é absoluto quando puro: um, dois, dezoito. É relativo, quando afetado por sinal positivo ou negativo, em sentido operatório: mais dezoito, + 18; ou menos dezoito, - 18. Gauss ponderava que seria mais apropriado chamá-los direto e inverso.

Assim como no caso do número abstrato, o número relativo é uma extensão da idéia de número. A qualificação de número relativo é estritamente matemática. Aliás, segundo Maurer, é a única expressa em linguagem matemática.

Assim, já temos:

Número Concreto

Abstrato Absoluto

Relativo Positivo

Negativo

Os números relativos negativos só foram reconhecidos e passaram a integrar o pensamento matemático em tempos recentes. Foi grande o obstáculo à sua admissão; a álgebra rudimentar da antigüidade não permitia a sua existência: eram os não-números. Os gregos não souberam resolver o problema da sua incorporação à matemática. Os chineses adotam cores para distinguir os positivos (vermelhos) e os negativos (pretos). O mesmo que se faz nas máquinas de contabilidade. Grandes matemáticos se opuseram ao reconhecimento dos números negativos: eram eles absurdos, para Stífel; Viéte e Wallis, que os negavam; Descartes considerava falsas as raízes negativas.

No entanto, os números negativos são verificáveis nas dívidas e nos termômetros: pelas dívidas, o devedor tem “menos tanto” no seu patrimônio, e pelo termômetro, tem-se a temperatura “abaixo de zero”, que é temperatura negativa.

Os números negativos concorreram amplamente para o desenvolvimento da álgebra. Eles são “um subproduto da subtração, isto é foram criados a fim de tornar sempre possível a equação x + a = b ou x = b – a, equação que, no campo dos números absolutos só tem sentido quando b é maior ou igual a.

Deve-se observar que os indus admitiram fria e objetivamente a existência dos números negativos. No século 15, Chuquet foi um pioneiro: aceitou-os sem rebuços.

A extensão seguinte do conceito de número se verificou para que fossem reconhecidos os números fracionários. Os anteriores integravam a categoria dos inteiros. Os novos números vieram racionalizar a idéia de pedaço, em conseqüência da operação de medir (divisão). Esta é, pois, a sua origem. Diz Maurer que os números fracionários são, por assim dizer, um subproduto da operação de dividir.

Mas o cálculo de frações propriamente dito, com todo o seu rudimentarismo e dificuldades devidas à ausência de notação adequada, já se encontra desde os primórdios da civilização. Como já mencionamos, os egípcios, babilônios, indus, chineses, etc., usavam as frações na antigüidade, adotando para isso os critérios especiais, de acordo com as possibilidades dos seus respectivos sistemas de numeração. Na idade Média, como entre os romanos antigos, usava-se um sistema duodecimal para operar frações.

Temos, pois:

Absoluto Relativos

Número

Concreto Abstrato

Inteiros Fracionários

Positivo Negativo

A extensão de conceito de número se deveu à admissão do número irracional. O conjunto dos números inteiros e fracionários era “racional”, tudo de acordo com a razão tal como era entendida.

A surpreendente categoria dos novos números era estranha aos quadros racionais da matemática de então: eram “irracionais”. É que à primeira vista, todo número é par ou ímpar. Mas se dá o caso de termos: x2 = 2 ( um número desconhecido x elevado ao quadrado ser igual a 2). Se x é o lado de um quadrado, na fórmula “o quadrado da hipotenusa é igual soma dos quadrados dos catetos”, tem-se o mesmo caso:

x2 = 12 + 12 x2 = 2 x = raiz de 2 Assim, o número cujo quadrado seja 2, não podendo ser número inteiro, tem que ser fracionário, em sua mínima expressão (a / b), e, então, verifica-se que a / b nem é par, nem é ímpar.

Qualquer número irracional pode se considerar como um número fracionário decimal. Observa, a esse respeito Titschmarch, que essa característica os torna mais palpáveis. “A esses decimais pode-se aplicar a aritmética finita ordinária e, nas aplicações, chegam a adquirir os números irracionais uma realidade tão natural como os racionais.”.

Há, pois, uma relação íntima entre número irracional e número fracionário decimal.

Há duas espécies de números decimais: os exatos, como cinco inteiros e dois décimos (5,2) e os indefinidos como as dízimas periódicas simples (5,222...) ou mistas (5,2333...) a raiz de dois (1,414...) o número “? ” (razão entre circunferência e diâmetro = 3,1415...), o número ? (base dos logaritmos neperianos = 2,71828182845...), etc.

O número decimal indefinido não é mais do que um caso particular de uma série indefinida, a qual, como se pode demonstrar tende para um ponto-limite.

Os números decimais sempre expressam um número racional ou irracional: se o decimal é exato ou periódico, a soma é racional; fora disso, é irracional.. Reciprocamente, um número qualquer pode-se por em forma decimal, finita ou indefinida, e para cada número há somente uma expressão decimal, desde que não sejam periódicos como o algarismo 9.

Entre outras aplicações, cumpre assinalar que os números irracionais são indispensáveis: a. no mecanismo de fórmulas algébricas; b. para exprimir e demonstrar teorema de média aritmética e geométrica; c. na teoria das sucessões. Cabe aqui uma referência à distinção entre números racionais e irracionais: os números irracionais, compreendidos entre zero e um, por não terem denominador exato, não podem ser ordenados por magnitude, como ser faz com os números racionais. O problema não tem solução conforme demonstração feita por Cantor.

Enfim, convém repetir: o conjunto de todos os números racionais e irracionais forma o dos números necessários ao cálculo ordinário. A esse conjunto se dá o nome de números reais.

Efetivamente, deu-se aqui mais uma extensão do conceito de número. O quadro, no ponto a que chegamos ficou sendo:

Concreto

Absoluto

Número:

Abstrato:

Relativo: Positivo

Inteiro

Negativo

Racional

Fracionário

Irracional Real

Acrescente-se, agora, a nova extensão: imaginário. Gauss entendia que se lhe devesse dar a designação de número lateral.

Chama-se número imaginário à raiz quadrada de menos um. Os pontos de partida para compreender esse número são os seguintes:

I. Trata-se de uma criação dos matemáticos, sobre a qual W. W. Sawyer diz: “Os números negativos não podem ter raízes quadradas, nenhumas. No que respeita às raízes quadradas, os números negativos são “as gatas borralheiras” da matemática. Mas os matemáticos conseguiram arranjar-lhes uma espécie de substituto. Se não arranjarem um príncipe para a gata borralheira, arranjaram-lhe, pelo menos, um autômato”. II. Número imaginário é um operador, como diz o mesmo autor: ”não é um número, mas pode fazer muita coisa que os números reais não fazem”. Ele se liga à geometria cartesiana (análise a duas dimensões), integra a teoria dos números complexos (conjunto dos números reais e imaginários) e resolve problemas de direção (cálculo vetorial), simetria e periodicidade (funções), principalmente em eletrotécnica, rádio-eletrecidade e micro-física. III. Trata-se de uma questão de movimento, uma meia volta, na reta dos números, em que temos, como no termômetro, números positivos acima de zero e número negativos abaixo de zero. A raiz quadrada de menos um é o multiplicador que converte o número positivo em negativo, quando há: a) Rotação de um quarto (1/4) em torno de um eixo, pois : b) apenas 1? da 1? 1?? = -1 (símbolo de meia volta: ? ?1? 2 =-1; assim:

c) 1? está fora da reta dos número; não é um número real, é lateral. IV. Surge na equação: x2 + 1 = 0 ? x = 1? E se explica pelo sistema dos números complexos pelo qual se prova que tem duas raízes (0,1) e (0, - 1), conhecidas respectivamente com os nomes de i e –i. V. Tanto a extensão do conceito de número irracionais como imaginários resultou da operação de radiciação de que são subprodutos. Finalmente, ao conjunto de todos os números reais e imaginários se dá o nome de números complexos.

Que é conjunto dos números complexos? É o que passaremos a examinar.

Um número complexo é um par de números reais, tomados numa ordem imutável. Também os números fracionários se compõem de dois números para serem operados segundo regras determinadas. E ainda quando operamos, por exemplo, 2 anos e sete meses mais 5 anos e dois meses, empregamos um tipo de adição que ocorre com os números complexos a que nos referimos agora.

Conforme Titschmarch, “ usando como componentes x e y, cada número se indica por (x, y). Cada um dos números x e y pode ter um valor qualquer inteiro, fracionário ou irracional,

A natureza deste sistema de números depende das circunstâncias em que consideremos que dois deles são iguais e de suas leis, para soma e multiplicação”.

Dizemos que dois números complexos (a, b) e (c, d) são iguais quando a = c e b = d.

Dessa teoria, como dissemos acima, deduz-se a maneira de proceder com a “raiz quadrada de menos um”.

Soma: 4 , 7 + 4 , 7 = 4+4 , 7+7 = 8 , 14

Subtração: 8 , 14 - 4 , 7 = 8-4 , 14-7 = 4 , 7

Multiplicação: 4 , 7 x 4 , 7 = 4x4 – 7x7 , 4x7 + 7x4 = 16-49 , 28+28 = -35 , 36

Divisão: -33 ,56 ? 4 , 7 =

-33 x 4 + 56 x 7 , 56 x 4 – (-33 x 7 ) =

42 + 72 42 + 72

4916392132

???

, 4916231224

??

= 65

260,

65445

= 4 , 7

Percorrendo atentamente a seqüência de operações, verifica-se que efetivamente os resultados conferem e jogam uns com os outros.

O mesmo raciocínio se aplica às subclasses

(a, 0) e (c, 0) (0, b) e (0, d)

Tem-se, então, como casos particulares:

(0, b) x (0, b) = (-b2, 0) = - b2 ou (0, 1) x (0, 1) = (-1, 0) = -1.

Vê-se que se torna possível o quadrado de um número, com sinal negativo.

Portanto,

x2 + 1 = 0 ? x2 = - 1 sendo: x = (a, b) 1 = (1, 0) 0 = (0, 0) tem-se: (a + b)2 = (0, 0) – (1, 0) = (-1, 0). Sendo: a = 0 e b = 1 tem-se x = (0, 1) e também (0, -1). Portanto,

Resultam duas raízes quadradas de menos um: 1 e –1

Vejamos, agora, um número complexo qualquer (x, y).

Segundo as leis da soma e da multiplicação,

(x, y) = (x, 0) + (0, y)

= (x, 0) + (0, 1) x (y, 0) Suprimindo-se os parênteses,

Pondo-se x em lugar de (x, 0)

E também 1 em lugar de (0, 1)

Tem-se:

(x, y) = x + 1y.

Aí está o número complexo em que se reúnem o número real e o número imaginário. Opera-se ele da mesma maneira que os ordinários.

Substituindo-se 1 por –1.

“O aspecto misterioso da expressão raiz quadrada de menos um se deve ao uso denominações pouco felizes: os números da forma (x, 0), se consideram como reais e os números da forma (0, y) e 1y receberam o nome de imaginários. Desse modo x + 1y é a soma de uma parte real e outra imaginária”.

Decorrem deste estudo:

a. diagrama de Argand (representação cartesiana)

b. a resolução de equações quadráticas:

x2 + 1 = 0 ? x2 = -1? x = raiz quadrada de menos um. X’ = 1 x” = -1 x2 – 4x + 5 = 0 ? (x – 2)2 + 1 = 0 ? (x – 2)2 = - 1 ? (x – 2 )= raiz quadrada de menos um ? x’ = 2 + 1 x” = 2 – 1. c. o teorema fundamental de álgebra: qualquer equação tem solução se lhe aplicamos o sistema dos números complexos. Para toda classe de problemas é suficiente o sistema dos números complexos. d. o sistema dos números complexos adotados por Eddington para representar certos aspectos do mundo físico e no qual há nada menos de 16 raízes quadradas de menos um. e. o sistema dos números quatérnios. Outras categorias de números existem em matemática, para efeito de algoritmia, medição e cálculo.

Por exemplo:

1) Nas quatro operações fundamentais encontramos: parcela, total, unidade, número homogêneo e heterogêneo; minuendo, subtraendo, resto ou diferença; multiplicando, multiplicador, fator, produto, dividendo, divisor, quociente, resto;

2) Na potenciação: base, expoente; 3) Na radiciação: radicando, índice e raiz; 4) Nas operações de fração: numerador, denominador; 5) Em divisibilidade: par, ímpar, múltiplo e primo; 6) Em medição: unidade, módulo.

16. Em álgebra ainda vamos encontrar outras especificações como número algébrico, número transcendente, número transfinito, coeficiente, etc. 17. Passemos ao cálculo e suas espécies. Inicialmente, podemos referir-nos ao cálculo aritmético.

A aritmética é a parte da matemática em que predomina o emprego de algarismos. Tem uma feição mais elementar. É por isso que W. W. Sawyer diz: “A aritmética desempenha papel pouco importante na matemática, em especial na matemática superior”.

O seu alicerce se encontra nas quatro operações fundamentais e respectivas leis, sobre as quais falaremos mais adiante. Elas integram a chamada algoritmo fundamental: soma, subtração, multiplicação e divisão, com os respectivos princípios e teoremas.

Analiticamente, distinguem-se: as operações diretas: soma, multiplicação, potenciação; e as inversas: subtração, divisão e radiciação. A numeração é um caso particular da soma. A parte de divisibilidade, uma extensão de divisão, na qual estão abrangidas: teoria dos números primos, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, frações ordinárias e decimais, sistema métrico e razões e proporções.

O cálculo aritmético obedece às propriedades das operações, que são:

Comutatividade, associatividade, distributividade, univocidade, monotonicidade, uniformidade.

18. Em seguida, temos o cálculo algébrico. Conforme René Taton “ a álgebra permite estabelecer, entre problemas diferentes, analogias de estrutura e resolver todos os problemas do mesmo tipo em um só cálculo. As características essenciais da álgebra nos aparecem desde logo: sistematização dos cálculos, emprego generalizado do simbolismo”. Efetivamente, as quantidades em álgebra são representadas predominantemente por letras. O cálculo tem por objetivo a apuração da magnitude de uma ou mais quantidades desconhecidas, empregando-se, para isso, as fórmulas correspondentes às relações existentes entre elas e as quantidades conhecidas.

“As fórmulas algébricas ressaltam o que há de característico nas fórmulas aritméticas”. No dizer de Titschmarch, “ a álgebra chega até a raiz do problema, prescindindo das singularidades dos casos particulares”.

O mesmo se pode dizer quanto às relações geométricas e respectivas fórmulas: automaticamente se identificam com fórmulas algébricas sobre o espaço, a distância e a extensão.

Ensina Agricola Bethlem:

“A tendência natural da matemática é generalizar as questões, procedendo a uma série de abstrações sucessivas.

Suponhamos que se tenha um montículo de pedras para contar. Procedida a contagem, dizemos 34 pedras. Mas o número 34 pode, também, exprimir metros, quilogramas, homens, casas, etc.

Se nós dissermos, portanto, apenas, 34, fica uma indeterminação 34 o que? Pedras, metros, homens, etc.?

A conveniência de proceder a essa abstração, isto é, de conservar o número com a indeterminação da unidade está no fato de que as operações com os números, quer eles representem pedras, metros, homens, etc., se faz sempre da mesma maneira. É por isso que

se diz 4 mais 5 igual a 9, sem precisarmos mais pensar na unidade. E aí está, também, porque dizem, erradamente, que 3 sem designação da unidade é abstrato e “3 pedras” é um número concreto. O número é um só. O número não é a coleção de pedras, mas sim o que representa essa coleção que também pode representar coleções análogas de outros objetos.

As necessidades do cálculo exigem abstrações e, portanto, novas indeterminações..

Suponhamos que se quer um múltiplo de 2 qualquer.

4 é um múltiplo de 2; 8, 16, 32, etc., são múltiplos de 2. Pode-se, então, dizer a é um múltiplo de 2 e escrever : a = 2.

Esta igualdade quer dizer a é um qualquer dos múltiplos de 2. Pode ser 60, 100, 144, etc.

O número a contém duas indeterminações: o seu valor numérico e a espécie da unidade. Evidentemente, quando se diz o número a, ele pode representar 10, 15, 90, etc., pedras, livros, metros, etc.,”.

“A indicação de um certo número de operações a efetuar por meio de símbolos e dos sinais algébricos chama-se:

expressão algébrica.

3 a b, 5 a3 b x4, a + b, x2 + 3 a x + 5a, são expressões algébricas

“Chama-se, pois, expressão algébricas a um conjunto de números dados e de números não especificados, representados por letras ligados pelos sinais das operações.

As letras representativas de números quaisquer, ou não especificados, chamam-se quantidades algébricas. Quando as letras são substituídas por números dados, estes dizem-se valores das quantidades”. (Amadeu Pereira Rodrigues).

As expressões algébricas assim se classificam:

Inteiras Racionais

Fracionárias

Expressões algébricas propriamente ditas Irracionais

Expressões Algébricas

Expressões transcendentes

Monômios Polinômios

São racionais as que não contém letra debaixo de racionais. Exemplo: a + 2b

São irracionais as que contém letras debaixo de radicais. Exemplo: ba 2?

São inteiras as que não contém letras em denominadores. Exemplo: 2 a b.

São fracionárias as que contém letras em denominadores. Exemplo: 2 / a b.

Monômios são as que compõem de um só termo. Exemplo: 3 a2 b5.

Polinômios são as que se compõem de dois ou mais termos:

a / 2 + 4 ab (binômio)

a / 2 + 4 ab + c (trinômio)

a / 2 + 4 ab + c – d ( polinômio)

Termo é a expressão algébrica em que não há interposição de sinal + ou -. Exemplos: 5 a²b³c, 4/7 ab9.

Chama-se valor numérico duma expressão algébrica para um conjunto de valores dados às letras, o número que se obtém substituindo as letras por esses valores e efetuando as operações indicadas. Por exemplo:

a = 5

b = 20

Duas expressões algébricas dizem-se identicamente iguais ou equivalentes quando têm valores numéricos iguais para cada sistema de valores dados às letras. Exemplo:

100 = 5 x 20

= 4 x 25

a = 5

b = 20

c = 4

d = 25

"As propriedades das operações com números permitem transformar muitas vezes as expressões algébricas em outras equivalentes mais simples. O conjunto das regras de transformação e redução denominam-se cálculo algébrico" (Amadeu Pereira Rodrigues).

"Fórmula é o conjunto das operações a efetuar com os dados dum problema, expressas as operações e os dados em linguagem algébrica (símbolos e sinais) a fim de avaliar a incógnita" (Agricola Bethlem).

O desenvolvimento da álgebra, nos séculos XVII e XVIII propiciou a descoberta de novos métodos de calcular, entre os quais se destacam o cálculo infinitesimal e a geometria analítica. As regras e algoritmos destes setores da álgebra adquirem uma tão grande amplitude, que eles se destacaram do conjunto da linguagem algébrica, para constituírem cálculo à parte, com esquemas próprios de trabalho. Por outro lado surgiram como instrumentos auxiliares do cálculo algébrico os chamados cálculo de logaritmo e de determinantes ou matrizes. São aspectos do cálculo algébrico que estão intimamente ligados à teoria das funções.

Por outro lado, a álgebra dá concisão, segurança e beleza ao raciocínio. Atinge ao ponto mais alto da abstração no cálculo e na pesquisa. Absorve o caso particular pela correta generalização, converte os números concretos em números abstratos, dá, numa só expressão, o universo com toda a sua variedade.

Daí, a famosa frase de Bhaskara: "Aritmética é regra de três; álgebra, porém, é a arte dos raciocínios perfeitos. Que é desconhecido aos perspicazes?"

Enfim, conforme W.W. Sawyer, "a álgebra desempenha na matemática um papel que pode ser comparado ao da escrita ou da estenografia na vida corrente".

A chamada teoria dos números é uma parte da álgebra. Ela se ocupa dos problemas referentes à matéria de aritmética a que nos referimos linhas acima, como fatores,

ab = 5 x 20 = 100

ab

cd

ab = cd

divisibilidade, representação de certos números por expressões algébricas. Tem, conforme Titschmarch, “ a particularidade de que muitos de seus problemas se pleiteiam com facilidade porém a sua solução é muito difícil”. Os números a que se refere são só os inteiros. Não se estende a frações e números análogos

19. Passemos ao cálculo geométrico. Geometria significa “medição de Terras”. Era o que se fazia freqüentemente no Egito Antigo, para redividir as terras inundadas nas cheias do Nilo. Vigorava, então, um conceito rudimentar de espaço, destituído de número e cálculo, com todas as suas singularidades topográficas, dentro de uma escala primitiva de consciência matemática.

Idearam-se, assim, sistema de construção de figuras geométricas e discutiam-se longamente famosos problemas. Aplicaram-se tais sistemas aos espaços estelares, para orientar a construção das pirâmides.

Descartes tem a glória de ter unido o espaço ao número. A geometria atual tornou-se completamente diferente da antiga medição de terras. Contar e medir estão hoje situados na geometria cartesiana através de coordenadas e abcissas. Um número é um ponto e tem um lugar bem definido. Uma linguagem nova se emprega para relacionar o nosso sistema de números com o sistema de pontos no espaço físico.

Conforme José Adelino Serrasqueiro,

“Geometria é a ciência que tem por objeto o estudo das propriedades das figuras e, por fim especial, a medida de sua extensão”.

Somente podemos medir diretamente linhas retas, aplicando sobre elas a unidade linear e suas subdivisões; e mesmo em relação à linha reta há muitos casos em que a medição direta é impossível; por exemplo, medir a distância de um ponto acessível a outro inacessível; medir a distância entre dois pontos inacessíveis, etc.

Não podemos medir diretamente linhas curvas, superfícies e volumes. A geometria, porém, tem por fim especial fazer depender a medição de qualquer extensão, ou seja linha, superfície ou volume, da medição direta de certas linhas retas”.

Por que os estudantes são rebeldes à geometria? Primeiro, porque o raciocínio deve ser rigoroso; não pode vacilar. Segundo, porque a sua didática obedece ao plano do famoso livro de Euclides que lecionou na Escola de Alexandria em 315/325 antes de Cristo.

Os “Elementos” se compõem de 13 livros, assim concebidos:

1º - 35 definições, a começar pela ponto; 2º - álgebra geométrica; 3º - 11 definições – círculo e circunferência; 4º - 7 definições – polígonos regulares; 5º - 20 definições e 4 axiomas – propriedades, razões e proporções. 6º - aplicação da teoria anterior; 7º 8º 9º 10º - aritméticas; definições, postulados, axiomas e proposições; 11º- 29 definições e 40 proposições – retas e planos; 12º - 18 proposições – razões geométricas; 13º - divisão áurea. A geometria cartesiana é vista pelos estudantes com mais simpatia. Não predomina a preocupação de decorar. Ela “funciona”. As referencias tomadas para o raciocínio e a pesquisa são poucas, sintéticas, uniformes. Um sistema facilmente

compreensível em que os pontos-números se prendem por meio de pinças chamadas coordenadas.

Com absoluta segurança se emprega um esquema de duas dimensões, um instrumento bidimensional que se transforma num sistema de referencia gráfica das relações de dependência pesquisadas quantitativamente. As soluções dos problemas sobre quantidades variáveis interdependentes são dadas por curvas.

Esse método, que implica em usar expressões algébricas para representar retas e curvas de diferentes classes, é um dos mais importantes da geometria plana.

Foi uma revolução na matemática “ a produção matemática se industrializa, se automatiza, se socializa. Não só internamente se dinamiza como também se projeta sobre os mais diferentes campos da ciência. “A geometria cartesiana foi, ao mesmo tempo, o ponto de partida da teoria das funções nas matemáticas, e de um estudo quantitativo do mundo exterior.

Ensina Marcel Boll, citando J. Pelseneer:

“A geometria cartesiana consiste em relacionar uma curva qualquer a um sistema de referencias, constituído por duas perpendiculares, em seguida escrever a equação da curva em relação com os dois eixos. A geometria era reduzida à álgebra, mas, além disso, a álgebra era ilustrada pela geometria. Como Laplace afirmava com razão, as ciências matemáticas mudaram de aspecto e o dia 10 de novembro de 1619 pode ser considerado a data oficial do nascimento das matemáticas modernas. A concepção de Descartes forneceu aos matemáticos os métodos gerais que até então lhe haviam faltado e cuja a falta muitas vezes os tinha tornado estéreis. Era mais do que uma industrialização, era a automatização da produção matemática”.

A partir de Descartes:

1º - Tornou-se possível traçar diagramas planos quando as grandezas dependem de uma só variável; exemplo: Ac = ? r2, equação de segundo grau que se traduz por uma parábola. Podemos traçar uma determinada parábola que representa a superfície de todos os círculos possíveis qualquer que seja o raio que se atribua a um deles. Conforme Paul Karlson “na geometria analítica, submetem-se as figuras geométricas às leis da variação, aquelas figuras que outrora gozavam de perfeição divina e de eterna invariabilidade”.

2º - Tornou-se possível construir modelos no espaço quando as grandezas dependem de duas variáveis independentes; exemplo: volume de um gás é igual à pressão vezes a temperatura. Podemos, para representá-lo, a parabolóide hiperbólico..

3º - Tornou-se possível obter a fórmula que permite calcular o libertado por segundo num fio de cobre, em função do comprimento da seção e da tensão elétrica aplicada (três variáveis independentes). Neste caso, o desenho é impossível. Daí surgiram os espaços figurativos e geometrias hiper-espaciais (Cauley, 1843). Esta é a lição de Marcel Boll.

Eis, pois, a diferença entre a geometria de Euclides e a de Descartes. Aquele obedecia à escala da experiência que, no seu tempo, se tinha a respeito das categorias das coisas. Essa escala estava limitada pelo espaço imediato. As figuras ou eram semelhantes ou não eram semelhantes. O seu sistema geométrico não permitia jogar com uma figura em distintos processos de representação. À base do princípio espacial e do número experimental de dimensões surgira as seguintes geometrias:

f. geometria analítica

g. geometria projetiva (Papus, Desargues, Poncelet) h. geometria descritiva i. geometria métrica (Lazare Carnot) j. topologia (Riemann, Janizewski)

A geometria de Descartes obedece a uma nova escala no poder de abstração quanto às categorias das coisas. A sua escala não é limitada pelo espaço imediato. Ela permite construções abstratas que jogam com uma figura em distintos processos de representação. Abandona-se o princípio espacial de Euclides e o número experimental de dimensões, surgindo, em conseqüência,

Geometrias não euclidianas Geometrias hiper-espaciais

As geometrias não euclidianas desempenham um papel importantíssimo na teoria da relatividade geral. Por elas se pode operar com um “espaço abstrato” que ultrapassa os horizontes da “escala humana”. O espaço deixa de ser um modo necessário de percepção humana, como fala Marcel Boll. Também o movimento, enquadrado na mecânica dos números complexos, pode ser tratado por pontos em um plano, referido a coordenadas cartesianas de geometria plana. O diagrama de Argand refere-se justamente a essa articulação entre os números complexos e a geometria cartesiana. Pelo diagrama de Argand, a soma e a multiplicação, têm um significado puramente geométrico.

Por outro lado, a geometria cartesiana trouxe, consigo, uma revolução na idéia de distância, noção fundamental para a medição e definição de pontos e linhas. A idéia geométrica de distância difere da idéia vulgar que se apresenta no espaço físico.

Assim, a) vulgarmente, no espaço unidimensional, a distância se define como a diferença de dois pontos x – x’ ou x’ – x;

b) geometricamente, mediante representação por pares de números, tem-se:

A distância entre A e B: y – y’ ou y’ – y A distância entre B e C: x – x’ ou x’ – x Qual a distância entre A e C? As abcissas e coordenadas são diferentes. Aplica-se, então, o teorema de Pitágoras, segundo o qual o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. AC é hipotenusa; AB e BC, os catetos.

Obtém-se:

I. na geometria euclidiana, como mera separação: (x – x’)2 + (y – y’)2

0 x ' x

y

y ' A

B C

D?

? ?

?

A = x, y' B = x, y C = x', y D - x', y'

II na geometria cartesiana, a distância racional: 2)'(2)'( yyxx ??? Daí se deriva uma conseqüência em trigonometria: sen2 ? + cos2 ? = 1 Igualmente, daí decorrem as definições de: a. equação da reta b. retas paralelas c. retas perpendiculares d. circunferência.

lP

m0

- lA

B

m'

- mx

l '

y

a) Reta: ax + bx + c = 0 b) Retas perpendiculares:: Primeiro, vejamos PA: PA2 : (m’ – m)2 + (l’- l)2 Segundo, vejamos PB: PB2 : (m’ + m)2 + (l’ + l)2 Desenvolvendo e subtraindo, resulta: 4 l l’+ 4 mm’ = 0 ? l l’+ mm’= 0 c) Retas paralelas: Tomam-se duas equações:

l x + my + n = 0

e l’x + m’y + n’ = 0

Condição necessária e suficiente: l/l’ = m/m’ Portanto: lm’= l’m. d) Circunferência P: x, y

A = m, - l

B = - m, l

P = m’, - l’

C: a, b (centro) K: constante. Donde: (x – a)2 + (y – b)2 = K Como se vê, a geometria veio ampliar extraordinariamente o poder de cálculo. Um dos seus efeitos foi a distinção metódica entre quantidades escalares, aquelas se definem exclusivamente por número, e as quantidades vetoriais que se definem pelas características simultâneas de intensidade e direção.

Outro efeito foi a nova conceituação de ângulos que vinha dos tempos babilônicos, em sistema sexagesimal, baseado em graus, minutos e segundos. Pelo sistema cartesiano os

ângulos se medem tomando-se, como medida circular C = 2 ? ? ? =2c

Assim,

O ângulo reto: 2?

e

O ângulo de ? equilátero: 3?

A unidade é o radiano. O estudo da matéria está compreendido na trigonometria, parte da geometria que, antigamente, versava sobre triângulos apenas, e hoje denota o conjunto das propriedades matemáticas dos ângulos ou o conjunto das propriedades correspondentes aos espaços situados entre duas linhas retas que têm um ponto de interseção (A Fleming). Há duas espécies de trigonometria, segundo a figura de origem das relações de valores dos ângulos:

a trigonometria baseada nas propriedades do círculo;

a trigonometria baseada nas propriedades da hipérbole.

A trigonometria antiga se divide em plana ou esférica, segundo a superfície a que se aplicava.

Aplica-se a trigonometria à topografia e à geodésia, bem como à determinação da distância entre os astros. Em especial, a trigonometria esférica encontra importante aplicação nas transmissões telefônicas por cabo

As relações trigonométricas têm, pois, uma importância fundamental no cálculo moderno. Quais são elas?

Numa circunferência, de raio igual a um, tomado como hipotenusa de um triângulo retângulo e pelo qual passa uma perpendicular, no ponto em que toca a circunferência, formam-se:

Relações trigonométricas primitivas:

externa: a tangente interna: o seno e a secante.

Relações trigonométricas derivadas (de valores diversos e ângulos complementares):

cotangente cosseno

cossecante.

Como se pode observar, as linhas traçadas no círculo, em determinadas condições, observam rigorosa proporcionalidade. O cálculo trigonométrico tira, das proporções observadas, as relações básicas e operatórias para os valores dos ângulos. Estas relações se exprimem por fórmulas algébricas, para medição de distâncias, ângulos e longitudes.

Assim, na trigonometria plana:

sen A/a: sen B/b: sen C/c a = BAb

sensen

? b = a sen B/sen b/: sen C/sen c = a sen C/sen A; cos A = b²+ c² - a² /x 2bc

A metodologia cartesiana afeta-lhes os sinais:

1º quadrante: sen positivo, cos. positivo, tangente positiva 2º quadrante: sen positivo, cos. negativo, tangente negativa 3º quadrante: sen negativo, cos. negativo, tangente positiva 4º quadrante: sen negativo, cos. positivo, tangente negativa. Pela trigonometria se operam os ângulos em soma, subtração, multiplicação e divisão. As fórmulas para soma, por exemplo, são:

Tratando-se de ângulos diferentes:

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B cos (A + B) = cos A cos B - sen A sen B

Tratando-se de ângulos iguais: sen 2 A = 2 sen A cos A cos 2 A – cos A – sen2 A ou = 1 – sen2 A

Os valores do seno, do coseno e da tangente dos ângulos de 30º e 60º se aprendem de memória, a partir de um triângulo equilátero.

20. Até aqui referimo-nos às seguintes modalidades de cálculo: I. cálculo aritmético II. cálculo algébrico III. cálculo geométrico IV. cálculo trigonométrico O ponto de partida, tomado para a sucinta menção que fizemos a esses cálculos foi a classificação, apresentada inicialmente, das quantidades contínuas, que são as que se medem e descontínuas são as que se contam.

Em qualquer caso, verifica-se que as quantidades, podendo aumentar ou diminuir, variam. A variação é um dos conceitos fundamentais da matemática. Pode-se dizer que ela é a própria alma do sistema. A variações assume muitas formas e por isso é calculada por vários processos. A geometria cartesiana contribuiu decisivamente para que o cálculo das variações atingisse o alto grau de perfeição de que hoje nos orgulhamos.

O que chamamos universo é uma estrutura formada por corpos, obedecendo a um sistema em expansão. Vale dizer, o universo varia. Os fenômenos da natureza, a todo o momento, nos mostram a universalidade da “variação”. O movimento, qualquer que seja ele, é uma variação. Toda transformação é variação. A expansão do universo, o movimento dos astros, os aspectos da natureza, a formação dos minerais, o crescimento biológico, o

desenvolvimento mental. Em todos os campos, a evolução é variação. A própria constância é um caso da variação universal.

Como preliminar, pois, no estudo dos diversos tipos de cálculos sobre variações, cumpre distinguir:

a. Grandezas comensuráveis e incomensuráveis. Aquelas que admitem uma unidade, por pequena que seja, a qual cabe exatamente um número inteiro de vezes em cada uma delas. Estas, não admitem tal unidade, isto é, não têm um denominador comum que, em cada uma delas, caiba um número inteiro de vezes.

b. Grandezas constantes e variáveis. As grandezas são constantes quando, comparadas cm uma mesma unidade, têm por medida sempre o mesmo número. As grandezas são variáveis quando são capazes de assumir valores distintos.

c. Entre as grandezas variáveis, que integram um sistema qualquer, verifica-se uma condição de interdependência que é objeto de análise matemática. Por esta condição, há maior ou menor grau de dependência entre as variáveis. È tarefa da análise matemática elaborar as respectivas leis de dependência. Assim é que se distingue as variáveis independentes e as variáveis dependentes.

d. Quando uma quantidade depende de outra, em qualquer momento da variação, diz-se que a quantidade dependente está em função da outra, que se toma como independente. Assim, toda variação ocorre em função de algum fator, que deve ser investigado e calculado. Toda pesquisa científica se baseia neste critério funcional que não só domina toda a matemática moderna mas atinge também todo o moderno esquema de pensar.

e. Podemos indicar, por pontos sucessivos, tanto a variação da quantidade independente como a da quantidade dependente. Assim, se estabelece, entre elas, um “ correspondência” que obedece a um critério de “proporcionalidade”, dentro da “escala” determinada pela natureza do fenômeno.

À base destes pressupostos, podemos arrolar mais as seguintes modalidades de cálculo.

V. cálculo de funções VI. cálculo de probabilidades VII. cálculo infinitesimal VIII. cálculo vetorial IX. cálculo tensorial. 21. Pelo cálculo das funções se estabelece a simultaneidade na variação de dois conjuntos, fazendo-se corresponder a cada valor duma variável x um determinado valor y. Se, nesta simultaneidade, se verifica a dependência de y em relação a x, diz-se que y é função de x e escreve-se y f(x). A sucessão dos valores de x chama-se campo de definição da função. E como x é a dominante, a sucessão dos valores de y chama-se domínio da função. Suponhamos x independente e y dependente em y = x

Sucessão dominante x: 1 2 3 4 5

Sucessão dominada y: =1 =2 =3 =4 =5

Vê-se que, sendo a variação tomada por unidades, a sucessão depende dos valores de y obedece ao mesmo princípio.

Por gráfico cartesiano:

Conclusão: desenha-se uma linha reta.

Portanto, se tivermos uma correspondência:

para x: 1 2 3 4 ...

ficando y: 1 2 3 e 4 ...

y = f(x)

é y = x

Outro exemplo: y = 2x

x: 1 2 3 4 ...

teremos y: 2 4 6 8

0 x4 x³ x² x¹

y¹

y²

y³

y4

1

2

3

4

x

y

x6X5x4x³x¹

Y¹

Y²

Y³

Y4

1

2

3

4

0

Y6

Y5

x²

Observação: ainda uma reta. y = 1 é determinado por x = 1 / 2 Portanto, se apenas tivermos a tabela das correspondências, podemos deduzir que cada valor de y é o dobro do valor correspondente de x. Assim, em y = f(x) y = 2x E se tivermos y = - 1x ou y = - 2x ou y = - 3x ? Então estaremos operando com produtos negativos de x. y passa a ser negativo, enquanto damos valores positivos a x. A reta vai se deslocar para um quadrante negativo. Vejamos y = - 3x: x: 1 2 3 4 ... y: - 3 - 6 - 9 - 12

x3x1X

x2

E quando y – f(x) y = 2x + 1 ? Teremos: x: 1 2 3 4 y: 3 5 7 9 Vale dizer: y1 = 2 x 1 + 1 = 3 y2 = 2 x 22 + 1 = 5, etc. Ainda se representará por uma reta. E y = f(x) y = x2 ? Vejamos: x: 1 2 3 4 y: 12 22 32 42 ? y: 1 4 9 16

O

-3

-6

-9

Y

0

5

10

15

20

25

Aparece uma curva. O caso é diferente. Pela inversão do raciocínio, neste caso, que é simples, parte-se da tabela para encontrar a fórmula da função. y = f(x) y = x2 Igualmente, poderíamos ter: y = f (x) y = x2 + 5: x: 1 2 3 4 ... y: 6 9 14 21 ... 6 (1 x 1 + 5) É também, uma curva. De modo geral, o cálculo das funções está fundamentado em que: 1º toda vez que y = f(x), pode-se empregar o método de confecção de uma tabela e de um gráfico cartesiano. 2º toda vez que um fenômeno qualquer puder ser interpretado por uma tabela nestas condições, poder-se-á obter o respectivo gráfico e deduzir-se a sua equação. Há dois métodos aplicáveis par essa dedução da fórmula: o primeiro, de Waring e Lagrange e o segundo de Newton.

Esta formulação se refere, como se pode observar, às funções algébricas, isto é, as que podem ser interpretadas por equações algébricas. Há, porém, outras que não estão neste caso. São as funções não algébricas, entre as quais se destacam:

a. funções logarítmicas: y = log x b. funções goniométricas: y = sen x c. funções ciclométricas: y = arc sen x.

Designam-se por funções transcendentes, por analogia aos números transcendentes, que transcendem a equações algébricas quaisquer, porque nenhuma os satisfaz.

René Taton, no seu resumo da série de extensões do conceito de número inclui os transcendentes, como se segue:

comensuráveis: racionais incomensuráveis: irracionais incomensuráveis: algébricas gerais algébricos incomensuráveis: transcendentes

Vale dizer o conjunto dos números reais compreende os algébricos e os não algébricos ou transcendentes, cujos exemplos são o ? , o ? e suas potências. A sua incomensurabilidade se comprova por dois métodos: 1º, o “corte” de Dedekind; 2º, a definição do limite.

Em virtude do dinamismo do criador e das potencialidades geradoras de que é dotado o conceito de função, Newton chamou-a “genila”, a pequena criadora.

Realmente, as funções que se traduzem por curvas planas englobam a maior parte da mecânica, da ótica, do eletromagnetismo e da química. E aparecem ainda na biologia, na psicologia e na sociologia.

Mesmo assim, o seu alcance é restrito. O gráfico, em si é uma representação aproximada. Para muitas equações ele não oferece a exatidão necessária. Também as fórmulas algébricas são relativas. A evolução da ciência mostra que muitas funções matemáticas foram alteradas em sua estrutura para obter-se maior grau de exatidão. A experiência é que revela a medida em que a fórmula é considerada certa e eficaz. Por esse meio se estabelecem os índices pelos quais determinamos a medida em que se verifica a relação de dependência. Esses índices são “coeficientes de probabilidade”. Vem daí a importância do cálculo de probabilidade.

Por outro lado, o que caracteriza a curva, é a tangente. Determinar a tangente diz, Paul Karlson, significa tornar conhecido o desenvolvimento de uma curva. Por isso, durante 2 séculos o problema da tangente foi o problema principal da matemática. Ele vai reaparecer, em toda a sua significação no cálculo infinitesimal.

22. Passemos pois ao cálculo das probabilidades. Ramo da aritmética, esse cálculo, que foi totalmente ignorado na antifuidade, se destina a estudar a freqüência dos eventos incertos, questão onde intervém o azar e que não parece submeter-se a qualquer teoria abstrata.

Cardan e Galileu pressentiram sua criação. Pascal e Fermat o conceberam para resolver problemas jogos de azar. Posteriormente, outros grandes matemáticos Bernouilli, Moivre, Laplace e Gauss, a ele se dedicaram.

Laplace estabeleceu a relação que existe entre o cálculo e a estatística. No século passado, modernamente, esta relação se ampliou consideravelmente.

A esse respeito assim se exprime Marcel Boll:

“ Assistimos a uma vingança do descontínuo sobre o contínuo e a ciência abandona cada vez mais um determinismo mecânico” rígido, em proveito de um determinismo estatístico, mais maleável, que vai ao fundo das coisas, sem modificar as leis que regem os fenômenos à nossa escala. Não é isto um capricho passageiro: qualquer experimentação, qualquer

previsão científica é agora competência do cálculo das probabilidades, e, do ,mesmo modo, que, as matemáticas, a lógica torna-se uma ciência experimental solidamente estabelecida”.

Seguros, população, fenômenos de mercado, tudo se subordina ao cálculo de probabilidades. Por eles se fundaram a teoria cinemática dos gases, a mecânica estatística geral, etc. . A teoria atômica o emprega em sua fundamentação moderna.

23. O cálculo infinitesimal, tem por objetivo, uma explicação cientifica do mundo, a partir das relações de dependência, tomando por intuição fundamental e de maneira objetiva a idéia do infinito. Também o cálculo infinitesimal, adota, como método básico, a geometria cartesiana à qual deve a sua formulação definitiva. Já o dissemos, inúmeras vezes: esse método constitui uma análise gráfica para formulação algébrica: as relações de dependência se transmutam em sistemas de referencias gráficas, num plano bidimensional, em que os números se representam por pontos e estes se definem por pares de números ( números complexos); as tendências se representam por curvas, com equações próprias classificáveis. Estas curvas se definem por suas tangentes infinitamente pequenas e por outro lado, elas definem uma superfície em relação ao eixo de referência. A tangente é a medida do declive infinitamente pequeno e que corresponde a hipotenusa do triângulo retângulo, por pequeno que seja.

Constata-se que:

I. Há proporcionalidade na variação de quantidades variáveis, quando interdependentes entre si. II. “ A relação declive - superfície é uma das mais importantes do nosso quitamento mental” (Marcel Boll). III. As quantidades, em escala infinitesimal, escapam à medição usual mas se determinam e se analisam em suas relações de dependência. Diz Maurer que:

“O cálculo infinitesimal deve a sua origem a certos problemas práticos de geometria e mecânica – problemas da tangente, máximos e mínimos, velocidade e aceleração, áreas e volumes- problemas cuja essência consiste em medir determinadas grandeza mediante uma operação característica: a passagem ao limite.

“ Esta operação se exprime em números reais. Podemos dizer, portanto, que - à base do cálculo infinitesimal e da análise matemática de um modo geral- se encontram, do ponto de vista prático a noção de grandeza e a operação de medir; do ponto de vista teórico, a noção de número e as leis formais que regem as operações numéricas” .

24. O equipamento mental dos antigos não possibilitava um tratamento objetivo do conceito de infinito. Eles carregavam a sua mente com a carga opressora do número concreto. Para eles o infinito se identificava com o imensamente grande m quantidade de unidades serem recenseadas uma por uma: O número de estrelas, o numero de grãos de areia, o numero de gotas da água do mar...

Até os tempos modernos, a idéia do infinito sofreu influencia perniciosa deste critério de avaliação, desse raciocínio preso a considerações mística. Poucos sábios tentaram perpetrar na análise do conteúdo desta idéia: entre eles os Pitagóricos, que diziam se o infinito “ uma coisa que não tem nenhuma grandeza assinalável”, e ainda, Arquimedes, que pela progressão geométrica decrescente teve a primeira idéia do infinitamente pequeno. Mais

tarde vieram Alberto o grande, Raimundo Lullo, Gerardo Desargues, Bonaventura Cavaliere, John Wallis.

Foi este último autor do livro “ aritmética infinitorum” em que “verteu com audácia para o reino do números, as considerações sobre o infinito até então de natureza quase exclusivamente geométrica”, no dizer de Paul Karlson.

Tistschmarch escreve que:

“Praticamente todos os matemáticos estão conformes em que não existe nenhum limite superior, mais além do qual não se possa seguir contando, isto e´, todos admitem, que os números que começam com um, dois, três, etc., são elementos primordiais das matemáticas e formam um conjunto infinito. Uma declaração como estas que não se pode demonstrar, mas que por necessidade constitui o ponto de partida de lucubrações posteriores, recebe o nome de axioma. O que se refere ao conjunto sem fim dos números se chama axioma do infinito”.

É importante assinalar que os conjuntos infinitos são os único que nos interessa no cálculo infinitesimal

Aplica-se este cálculo em todas as ciências experimentais, sob qualquer das suas modalidades:

I. Cálculo diferencial - declives II. Cálculo integral - quadraturas

Para maior esclarecimento, passo a transcrever a lição de René Taton, em “Histore Du Calcul”, subordinada ao título “A anályse matemática” e referente às pesquisas infinitesimais e ao cálculo infinitesimal.

Trata-se de uma transcrição longa, porém, muito útil.

“Um dos fatos mais marcantes de toda a história da ciência, é no XVII século, a aplicação das doutrinas infinitesimais que, subvertendo os métodos das matemáticas, e estendo de maneira considerável o seu campo de ação, provocaram o nascimento da ciência moderna. O cálculo infinitesimal, se ocupa dos infinitamente pequenos, das suas relações (cálculo diferencial) e de sua soma em número infinito ( cálculo integral). Na origem, ele é oriundo de duas séries de problemas geométricos: o os cálculo de área curvilíneas e de volumes que são à base do cálculo integral e as pesquisas das tangentes de diferentes curvas que implicou a criação do cálculo diferencial. Dois séculos antes, da nossa era, Arquimedes pressentiu o principio dele, mas as suas pesquisas, não tendo sido prosseguidas, não são senão no XVII século que o novo cálculo se desenvolveu e tomou um impulso verdadeiramente extraordinário. As suas explicações se estendem a todos os ramos da ciência, é um instrumento muito poderoso de descoberta e de demonstração. A extensão de campo de ação, provocou, em particular no XIX século, a criação de novas ciências, cujo o conjunto constitui o que chama a análise matemática.

Nós temos, já mostrado, a propósito dos números irracionais, que os gregos não puderam conceber claramente a noção do infinito. Assim, Aristóteles, admite que o número possa crescer além de todo limite, tornar-se infinitamente grande, mas ele não concebe que ele possa tornar-se infinitamente pequeno. Pelo contrário, ele aceita a idéia de uma grandeza infinitamente pequena em potência e rejeita a idéia de uma grandeza infinitamente grande. Na idade Média, os sábios da Universidade de Paris, começaram a precisar estas noções. Eles distinguiram entre o infinito em potência, concebido pela repetição indefinida de uma operação dada, tal como a confecção da série natural dos inteiros, e o infinito atual suposto

realizado efetivamente. Eles estabeleceram igualmente uma correspondência exata entre o infinitamente grande (infinito potencial) e o infinitamente pequeno (inverso de um infinitamente grande). Albert de Saxe chegou, por um esforço abstrato, a definir as noções de limites atingidos e não atingidos. Estas concepções parecem tanto mais notáveis quanto elas foram precisadas com uma bagagem matemática muito reduzida: as progressões geométricas de razão inferior a 1 ( tais como1/2, 1/4, 1/8, 1/16...) No XVII século, Pascal retomou, por seu turno, estas noções para as tornar mais claras. Todavia, no fim do século, Leibnitz dirá ainda: “Não admito grandezas infinitamente pequenas nem infinitamente grandes. Considero umas e outras como maneiras abreviadas de falar no interesse das ficções do espírito que servem ao cálculo, tais como o são as raízes imaginárias em álgebra”. No XIX século, graças ao rigor que se introduz nos raciocínios, estas noções de infinitamente pequenos, de limite, de continuidade, puderam enfim ser despojadas de seu conteúdo intuitivo e definidas de maneira puramente abstrata. Felizmente, os pioneiros do cálculo infinitesimal, pouco formalistas não atenderam esta depuração dos princípios para elaborar a nova ciência: “Ide adiante, tinha dito D’Alembert, a fé vos virá”.

O estudo das questões das quadraturas (cálculos de área) fez nascer na Grécia, no IV século, as primeiras preocupações infinitesimais, supôs-se muito rapidamente que a área de um círculo pode ser considerada como o limite das áreas de polígonos regulares inscritos e circunscritos, cujos números de lados se dobrem indefinidamente. Mas esta noção mesma de limite repousava sobre a noção de infinito, ela própria mal precisava. Eudoxio chegou a vencer esta dificuldade e a evitar todo o recurso ao infinito, imaginando o método da exaustão.

Este método repousa sobre a propriedade assaz intuitiva seguinte: “ en elevant la moitié au moins d’une grandeur et répentant cette opération um nombre suffisant de fois, on peeut arrivé à une quantité plus petite que n’importe quelle grandeur de même espèce donnée à l’avance”. Esta propriedade é, ela mesma, conseqüência do principio dito de Arquimedes que afirma que: “se a é inferior a b pode-se todavia achar um inteiro b tal que seja superior a b.". O método de exaustão, combinando a aplicação deste princípio com o raciocínio por absurdo, repousa de fato sobre a noção rigorosa de limite.

Euclides aplicou este método à demonstração da proporcionalidade de área de um círculo ao quadrado do raio e ao cálculo do volume da pirâmide. Arquimedes o utilizou no cálculo das áreas de um segmento de parábola, de setores de espirais, da esfera, etc., e na determinação de certos volumes. De fato, estes diversos processos se relacionam com alguns dos métodos infinitesimais empregados atualmente. A maior parte das grandezas procuradas são determinadas com o auxilio de séries convergente, isto é, de somas de um número infinitamente grande de termos que decrescem infinitamente tais como 1 + x + x2 /1x2 + x3/1x2x3x + ... Mas os autores empregam, em cada caso particular, novos artifícios sem se dispor a criar métodos gerais. Assim, Arquimedes reconhece que muitas vezes idéias intuitivas o guiaram na sua pesquisa e que tardiamente ele se dispôs a mascarar este aspecto simples, mas pouco rigoroso por demonstrações convincentes, é certo, mas pouco susceptíveis de conduzir a novas invenções. “En enfermant la science dans cadre figé et trop étroit, par un souci premature de riguer et de pureté, Archimède a retardè de près de deux mille ans le trionphe des méthodes infinitésimas se fécondes que son génie créateur avait pourtant pressenti”.

“Na Itália, no começo do XVI século, completou-se a obra arquimediana à luz de novas noções mais precisas sobre o infinito. O estudo das curvas, cada vez mais variadas, multiplicou o número dos problemas e cada um criou artifícios particulares. Em 1629,

Cavalieri imaginou uma teoria que, sob o nome de “Geometria dos indivisíveis”, considera de fato a soma dos infinitamente pequenos que será o método geral do cálculo integral. Os geômetros franceses da época se interessaram nestas questões que eles posaram muito antes nas suas aplicações.

Assim, Roberval encontrou um novo método que o italiano Torricelli aplicou no problema da quadratura da ciclóide. Em 1659, Pascal, em seguida a um desafio que ele tinha lançado ao mundo sábio, publicou um certo número de resultados relativos à ciclóide e outras curvas. Este conjunto de problemas, tratado pelo método dos indivisíveis aperfeiçoado por Pascal, constitui o mais belo resultado atingido pelos processos diretos de soma.

Um segundo problema geométrico importante: a procura das tangentes de uma curva, foi resolvido na mesma época e contribuiu para a descoberta do cálculo diferencial.

Enquanto Descartes propõe considerar a tangente como a posição limite de uma secante, Fermat relaciona a sua pesquisa ao estudo do limite da relação dos incrementos infinitamente pequenos da função e da variável (Nota de rodapé: “Este limite, chamado derivada da função, tem um papel de primeiro plano na teoria moderna do cálculo diferencial. As derivadas permitem em particular um estudo rápido e cômodo das funções elementares). Após uma controvérsia assaz violenta, Descartes reconheceu o valor do método de Fermat que contém em germe o principio do cálculo diferencial. Todos os sábios se interessando nesta questão, Roberval propôs o problema da procura da tangente da ciclóide. Golpe sobre golpe, Fermat, Descartes, Torricelli e o próprio Roberval lhe deram as soluções. Na Inglaterra, Wallis vulgarizou os métodos de Descartes e Cavalieri; graças ao emprego dos indivisíveis, ele determinou o comprimento dos arcos de certas curvas.

Para alguns destes cálculos, ele introduziu, em 1655, pela primeira vez as séries infinitas. Desde 1655, Newton deu o desenvolvimento em série da expressão (1 + x)n (para n fracionário) e de algumas expressões trigonométricas. Outros matemáticos, em particular Mercator, Leibnitz, Hujgens, Jean Bernouille, estudaram, por seu turno, as séries e esta nova noção desempenhou rapidamente um papel essencial em toda a análise matemática.

Em 1675, o grande matemático alemão Leibnitz fez uma descoberta de uma importância capital, que ele publicou em 1684. Do estudo dos diferentes processos utilizados pelos sábios que aplicaram o método dos indivisíveis, da análise dos escritos de Descartes e Pascal, ele tirou os elementos de uma ciência geral cujo simbolismo ele imaginou: a análise infinitesimal (ou cálculo infinitesimal). Substituindo procedimentos muito diversos por um cálculo de regras precisas e gerais, ele criou uma ciência que engendrou novos problemas de ordem mais elevada, necessitando novos métodos e novas generalizações. Ele reconheceu que os algoritmos fundamentais do cálculo integral ( generalização do problema das quadraturas) e do cálculo diferencial correspondem em realidade a dois modos operatórios inversos. A amplitude e a fecundidade das descobertas de Leibnitz foram tais que o XVIII século não fez senão “aperfeiçoar” e completar sua obra.

Por sua parte, o inglês Newton precisou igualmente a doutrina elementar do cálculo infinitesimal, mas de um ponto de vista diferente ligado à noção de velocidade. Enquanto Leibnitz utiliza incrementos infinitamente pequenos (ou diferenciais) da variável e da função, Newton considera grandezas variáveis fluindo com o tempo: variáveis fluentes e estuda-lhes as velocidades ou fluxões. O seu método das fluxões, menos perfeito que o método leibniziano, foi pouco aplicados pelos matemáticos. Newton teve, todavia, o mérito de aplicar muito habilmente à mecânica, para dele tirar resultados muito importantes. Uma confrontação recíproca dos seus métodos teria permitido a Leibnitz e Newton melhor

precisar os seus pontos de vista e o progresso da ciência teria sido mais rápido. Ao contrário, no começo do XVII século, uma controvérsia surge entre os dois sábios: Newton acusou Leibnitz de ter plagiado uma descoberta feita em 1671. Este incidente lamentável foi esclarecido pela publicação, no XIX século, de documentos inéditos que provam que Newton e Leibnitz trabalhando independentemente, descobriram quase simultaneamente os princípios do cálculo infinitesimal”.

Aqui termino a transcrição do longo trecho em que René Taton expõe as origens do cálculo infinitesimal. Ela nos dispensa de muitas considerações marginais, além de mostrar, no belo e simples estilo francês, o entrosamento admirável das teorias matemáticas, donde surgiu o mais extraordinário sistema de cálculo, tão extraordinário que, nas obras anglo-saxônicas, se designa apenas por “o cálculo”, pelo privilégio da sua universal generalização, como chave mestra de todos os demais.

25. Antes de passarmos adiante, cabem duas observações: A relação incremental é aquela que se estabelece entre o incremento de y e o incremento de x. Ela é função do intervalo em que se considera.

O limite apara essa relação incremental pode ser admitido quando, prefixado por um ponto x, os extremos do intervalo tendem simultaneamente para esse ponto tornando-se o intervalo infinitamente pequeno. Wallis foi o primeiro a descrever a passagem ao limite com as palavras modernas: “ a diferença se torna menor do que qualquer valor dado”. A passagem ao limite é a que constitui a operação características do cálculo infinitesimal.

26. Cálculo diferencial. É o ramo do cálculo infinitesimal que estuda as proporções da variação relativa experimentada por certas quantidades, ou, por outras palavras, determina o limite, isto é, a derivada da função.

A determinação do limite, derivada da função ou grau de variação de uma função determinada, chama-se diferenciação.

Para se verificar se e como ocorre a variação da função, estabelece-se o intervalo a que a variação está associada, definindo-se ele por dois pontos distintos. Se se trata de intervalo de tempo, expresso na palavra instante, empregamos, como usualmente, a expressão "variação instantânea”.

Usemos também para exprimir quantidades infinitamente pequenas, ou incrementos menores do que qualquer valor dado, a palavra infinitésimo. A variação instantânea é um infinitésimo de variação num infinitésimo de tempo. Logo, tem-se a razão de uma coisa para outra, como se faz com as quantidades finitas: divide-se um pelo outro, sob a forma de fração:

Infinitésimo da variação ou derivada da função

Infinitésimo do tempo infinitésimo do tempo

Abreviadamente: dx/dt.

É uma divisão; portanto, um quociente. Tem o nome de coeficiente diferencial, por analogia com os coeficientes algébricos.

Por outro lado, numa representação cartesiana de uma curva y = f(x), a secante, em seu limite, passa a ser uma tangente, justamente a tangente que define o declive médio da

curva. Ora, em sentido trigonométrico, a tangente de um ângulo A é igual ao seno desse ângulo A dividido pelo cosseno também de A

tang A = sen/cosA

Portanto, igualmente um quociente que é tomado pela divisão de um segmento da ordenada de y por um segmento da abcissa de x.

tangA = senA/cosA

e dx/dt vão assumir igual expressão, na fórmula geral do quociente ou coeficiente diferencial.

dy/dx que se lê derivada de y com relação a x.

Conforme Titschmarch, o declive é “uma quantidade de elevação por unidade de distância horizontal”. A elevação se marca no eixo dos y e a distância horizontal, no dos x. Por este motivo, ele acrescenta:

“e isto é justamente dy/dx”.

y

x - x,

A

C

B

0

y

x, x

y - y'

y,

Isto posto e aproveitando a mesma figura da tangente, acima apresentada, queremos esclarecer que a variação de x está definida pelo intervalo de 0 a x menos o intervalo de 0 a x que não é o que se considera. Portanto, x – x.

Igualmente, a variação de y: não se considera o intervalo abaixo da curva. Portanto, resta: y – x. O intervalo, assim definido, se designa por h, no eixo dos x. Naturalmente, a diferença de variação é definida pela diferença entre a função de x mais o intervalo (f(x)+h) e a função de x. Daí, a expressão: f(x – h) – f(x). O quociente se obtém dividindo por h.

[f(x + h) – f(x)]

h

A representação cartesiana é a seguinte:

y'

y

x x'

h

declive

dx dx

Então, pelo exposto se resolvem problemas de fundamental importância científica e técnica, do tipo seguinte:

Na curva que encontramos quando fizemos o diagrama da função y = f(x) = x2, qual o incremento infinitesimal absoluto dessa curva em cada intervalo infinitesimal?

Calcula-se assim:

f(x + h) – f (x) = = (x + h)2 – x2 = = x2 + 2xh + h2 – x2 = = 2xh + h2 ? 2xh + h2 = 2xh + h² = 2x + h h h? 0; logo, desaparece e o resultado é 2x. Que significa 2x?

2x é o coeficiente diferencial dy/dx, o infinitésimo de variação da curva.

Um outro exemplo, mais objetivo: no instante t, qual a velocidade com que cai um corpo solto no espaço?

Solução: x = distância percorrida t = instante de queda h = intervalo Partida: x = gt²/2 Final do intervalo: g (t + h)² 2 Velocidade média no intervalo: dx = 2gt + gh = gt + gh/2 2 Consequentemente: g (t + h)² - gt² =

2 2 = g (t² +2th + h²) - gt² =

2 2 = gt² + 2gth + gh² - gt² =

2 = 2gth + gh² =

2 2 = gth + gh² =

2 2 = gth + gh² = (dividindo por h) 2 = gth + gh² = gt + gh (h ? 0) h 2h 2 ? gt + g x 0 = gt. 2 Esta é a velocidade limite, infinitamente pequena, mas proporcional, em cada instante infinitamente pequeno. Como se vê a derivada tem um significado prático indiscutível para o cálculo de velocidade e aceleração. Velocidade é a relação incremental do espaço considerado como função do tempo. A velocidade em um instante é o limite a que tende a velocidade média quando os extremos do intervalo de tempo, em que isso se considere, tendem contemporaneamente àquele instante: v = dc/dt. Conforme Paul Karlson, “ velocidade instantânea constitui o ponto essencial de qualquer movimento, por complexo que seja, pois o movimento, na sua completa universalidade, é um conceito chave de toda a física”. A aceleração por sua parte é a relação incrementada entre a variação da velocidade e o correspondente incremento do tempo, no intervalo de tempo dado: a = dv/dt.

Newton imaginou o seu método justamente em razão dos dois problemas relativos ao movimento: 1º = a longitude do espaço descrito, estando conhecido a cada instante, determinar a velocidade do movimento, em um momento qualquer; 2º - a velocidade do movimento sendo dada, encontrar a longitude do espaço percorrido.

Geralmente, as leis relativas a movimento, em mecânica, são leis diferenciais, e, nas suas equações, o tempo figura como variável independente e existem uma ou mais variáveis dependentes de que depende a posição do corpo (Titschmarch). As equações diferenciais se solucionam por meio do cálculo integral, a que nos referimos como segundo ramo do cálculo infinitesimal.

O cálculo diferencial, experimental e analiticamente, demonstra que a diferenciação das potências da variável independente permite a seguinte regra de algarítmos:

derivada de x1 = x1 – 1 = x0 = 1 derivada de x2 = 2x2 – 1 = 2x1 = 2x = nxn - 1

derivada de x3 = 3x3 – 1 = 3x2 derivada de x4 = 4x3

É oportuno mencionar, a esta altura, duas regras elementares: A derivada de uma constante é igual a zero; porque x0 = xn / nn = a /a = 0 – x0 – 1 = 0 A derivada de y = x é igual à unidade.

27. Cálculo integral Uma curva, entre os pontos a e b.

B.

A.

projetada, em perpendiculares, sobre o eixo de x,

A

B

D C

define uma área que é uma soma de faixas cujas áreas, infinitamente pequenas, são, em cada ponto de x, produtos do comprimento y pela largura do intervalo h:

0

Y

h x

S

Em cada faixa, verifica-se um comprimento y = f(x) menor do que o comprimento y = f(x + h) que lhe é paralelo.

A área de cada faixa, em função de x, se exprime por F e é uma diferença d FF contíguas:

F (x + h) – F (x) e como, no intervalo h, entre os pontos determinados pelos comprimentos laterais, existe um ponto médio que é a derivada de h, define-se a área da faixa como sendo exatamente igual a

h. f(x + dh), a qual, é igual a diferença dos valores de F.

Assim:

F (x = h) – F (x) = h. f (x + dh). ? F (x = h) – F (x) = f (x + dh). Como h tende para zero, x + dh tende para x.

Ao mesmo tempo o limite do 1º termo, quando h tende para zero, é a F’ (x), isto é, o quociente diferencial de F(x). Donde,

F’ (x) = f(x).

Vale dizer, a primeira derivada da função-área F(x) é igual à função primitiva no mesmo ponto.

Tratando-se de uma soma S de faixas, definidas pelo produto y ? x, isto é, f(x) ? h – “ h é o mesmo que dx” – compôs Leibnitz a expressão operatória f para F(x):

F(x) = ? f(x)dx.

Ambos os termos têm as suas respectivas expressões de coeficiente diferencial com relação a x, como se segue:

d [F(x)] dx

d [ ? f(x)dx]

dx equivalentes a uma terceira, a primitiva f(x). Portanto, a soma das faixas tem como derivada a f(x) que é y.

Já vimos que, para y = f(x) = xn

dy/dx = nxn-1

Se temos este coeficiente diferencial, encontramos a respectiva f(x) donde proveio pela fórmula:

1 x n + 1 n + 1

Depois de representada a função primitiva y = xn, calcula-se a área formada pela projeção da curva operando a diferença de F(b) – F(a).

Porque

? F’(x)dx = F(h) – F(a).

e para determinar cada área em particular temos de escrever os valores limites a e b assim:

?ab

que se lê “integral de a até b”. Pela mesma razão tem-se a expressão geral

?ab

xn = 1 xn + 1 + c

em que c é uma constante que sempre se pressupõe existir e que à primeira vista, não aparece, porque a derivada de uma constante é zero.

28. CÁLCULO VETORIAL Vivemos em uma civilização em que predomina a técnica. A técnica é produto da física e da experiência, em que prevalece, por sua vez, o fenômeno universal do movimento. Movimento subentende direção e intensidade. A sua representação cartesiana, por outro lado, se faz por meio de um sistema de retas orientadas que conferem aos valores um sentido positivo ou um sentido negativo.

Desta maneira, as distancias definidas pelo método cartesiano são medidas e calculadas tomando-se em consideração também o movimento e a direção. A geometria analítica veio, assim, integrar e simplificar o cálculo vetorial no campo da matemática; e atualmente o método e o cálculo estão intimamente vinculados um ao outro.

Referindo-se a movimento e direção, o cálculo vetorial se opera por meio de números complexos em que a “raiz de menos um” define uma rotação de um quarto em torno de um eixo e tem os valores algébricos de 1 e –1.

Aplicando os princípios de regras dos números complexos, segundo o sistema cartesiano de geometria analítica e sob forma trigonométrica, os valores cujo cálculo é chamado

n + 1

vetorial se destinam a resolver problemas em que surgem diversos setores da ciência, como sejam os relativos a:

1. definir uma força, tendo em conta a sua intensidade e também a direção em que atua. Esta é uma questão que diz respeito mais a eletrotécnica, radioeletrecidade e microfísica. 2. definir, em mecânica, a velocidade de um corpo que percorre uma linha curva, a qual pode ser numericamente constante, mas como, a todo instante, tem a direção da tangente a trajetória muda sempre. 3. definir, em mineralogia, a condutibilidade térmica de alguns cristais, a qual é diferente em diferentes direções. 4. definir o fluxo magnético, etc. As grandezas que acabamos de enumerar se denominam grandezas vetoriais. As medições a elas referentes não eram possíveis pelo uso apenas dos números reais, eis que estes se referem unicamente a grandezas escalares, como sejam o peso, a temperatura, o volume, a densidade, o tempo, o trabalho de uma força, o número de habitantes de uma cidade, etc. Estas grandezas não variam com a direção.

29. Que é vetor? Para responder a esta pergunta, cumpre esclarecer, preliminarmente, o seguinte:

I. Na representação cartesiana, a reta orientada é uma reta na qual escolhemos, arbitrariamente, um sentido de percurso para um ponto móvel que nela se desloque. Este sentido é chamado sentido positivo, e o sentido contrário é sentido negativo. “O eixo é uma reta orientada na qual consideramos, arbitrariamente, uma origem e uma unidade de comprimento para os segmentos nela localizados” (Roberto Peixoto).

II. Todo ponto do plano dos números complexo se considera extremo de um segmento, cuja origem é dada pelo ponto zero. Ora, está claro que, assim, os pontos situados no plano podem ser colocados a distancias diferentes dos eixos com os quais os segmentos em que se encontram formam ângulos diferentes. Assim, tais segmentos se caracterizam não só pelo seu comprimento, como também pela sua direção.

III. comprimento do segmento se define por um “número aritmético” que é o resultado da comparação (razão) da grandeza do segmento com a unidade (segmento unitário ou estado padrão da grandeza). (Roberto Peixoto).

IV. Conjugando-se a representação cartesiana com a álgebra dos números complexos, o eixo dos y é o eixo dos i, recebendo, por isso, o nome de eixo imaginário, e o eixo dos x é o eixo dos números reais, com o nome de eixo real. (diagrama de Argand).

Isto posto, vamos encontrar e definir, nesta representação, os seguintes conceitos: vetor, módulo, direção, sentido, intensidade, argumento e significação trigonométrica das linhas e valores.

eixo

imag

inár

io

R

a - ca

i ( b + d )

HP

id

xc0

Q

eixo real

Obs.: Note-se o paralelogramo OPRQ pelo qual se obtém o resultado OR, de duas forças concorrentes.

No gráfico, as grandezas OP, OR e OQ representam vetores, isto é, a cada grandeza vetorial associamos um vetor, imagem dessa grandeza. Chama-se, pois, um vetor, um segmento de reta orientado que se determina primeiro por sua origem (no caso, 0) e, depois, por sua extremidade.

Deve-se observar, com Bento de Jesus Caraça, que “a unidade vetor é mais ampla que a unidade segmento de reta que lhe serve de suporte pois, enquanto este tem um comprimento e uma direção, aquele tem ainda outro atributo, o sentido. A idéia de vetor está ligada à de movimento, o que, de resto, está indicando no próprio nome (vehere = transportar) Por isso, o segmento orientado tem um caráter geométrico, enquanto o vetor tem caráter físico”.(citado por Roberto Peixoto)

A representação gráfica das quantidades vetoriais é dada por uma seta, colocada sobre o valor numérico do segmento de retas:

a = vetor de a

b = vetor de b

O vetor é, pois, um conjunto de pontos com características determinadas e que são as seguintes: a. módulo ou grandeza: é o número aritmético que mede o segmento de reta; b. direção: é a direção da reta que contém o vetor. A reta é denominada suporte ou linha de ação do vetor; c. sentido: é o sentido do movimento de um ponto móvel que se desloque da origem do vetor à sua extremidade; d. argumento: é o ângulo que se forma entre o eixo real e a linha que suporta o vetor. e. intensidade: é o valor absoluto do vetor, segundo a sua medida por meio de uma unidade escolhida de comprimento. Com base nestas características, o vetor pode ser definido e medido algebricamente por meio de um número algébrico, sendo que a representação gráfica deste valor algébrico se faz, não com a seta, mas com uma reta simples: AB , CD . Assim, temos, para o vetor AB , o valor algébrico AB e o módulo (AB). Emprega-se, no cálculo vetorial, a forma trigonométrica, a partir dos seguintes elementos:

?

?

?

b

aba

?

?

??

?

?

sen

cos

22

Conforme ensina G. Vitali, os números reais correspondem a vetores que têm por argumento k? , expressão em que k é um número inteiro qualquer e os números complexos têm por argumento k ? + ? /2:

Se se multiplica e se divide um número complexo pelo seu módulo, tem-se:

a + ib = c ( a + i b )PG 61 ax

Com estes elementos ficam assentadas as bases para a soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação em cálculo vetorial.

SINAL

SINAL DE VALOR

5. A matemática é um sistema de escrever sobre quantidades, que hoje assume uma feição de ideologia internacional. Embora haja casos particulares de interpretações gráficas diferentes para algumas expressões de cálculo, os símbolos matemáticos são extensamente divulgados, entendidos e utilizados em todo o mundo. O sistema numérico digital alcançou uma larga difusão entre os povos primitivos e isso contribuiu para os fundamentos lingüisticos, lógicos e de cálculo apresentem evidentes analogias entre culturas muito distantes entre si no espaço e no tempo. Por outro lado, o sentido ideográfico dos algarismos acompanhou a evolução da escrita vulgar, não só na sua fase pictórica, mas principalmente na fase em que as letras já constituíam um conjunto de símbolos mais ou menos estável.

O emprego das notações matemáticas, significativas de valor ou de operação, tem por fim abreviar a escrita dos valores e quantidades bem como das expressões peculiares ao raciocínio desenvolvido no cálculo. Por esta razão, muitos autores chamam a atenção dos leitores para o caráter estenográfico da escrita matemática. Entre eles, podemos enumerar Paul Karlson, Lancelot Hodgben, W. W. Sawyer. Um dos princípios básicos da estenografia é o chamado “princípio posicional” que determina diferentes interpretações

ib

0

P

a

a

??

para um mesmo sinal, segundo a posição em que se estiver em relação ao seu antecedente e ou conseqüente. Esta é também a base do sistema de numeração, em que, com apenas dez algarismos se escrevem todos os números de que haja necessidade. Encontra-se uma aplicação do mesmo sistema na representação de frações, na indicação de potências, na definição dos elementos de uma sucessão por meio de índices, na determinação dos pontos numéricos que marcam os limites para o cálculo de uma integração definida.

Assim, temos: 23 e 32

2/3 e 2,3 23 e32 A1, A2, A3 ...

?23

32 Não foi apenas um sistema de composição de algarismos que se originou do emprego das mãos e dos dedos para fins de cálculo. Assim como se elaborou, para surdos- mudos, uma linguagem pelos movimentos das mãos e dos dedos, elaborou-se também uma linguagem numérica digital, no Oriente, e a ela se referem: Rodiger em seu livro Ueber die im Orient gebráuchliche Fingersprachc (sobre a habitual linguagem dos dedos do Oriente), publicada em 1845, Berlim DMG; o Venerável Bode (675 a 735 A. D.), sobre o seu uso na Palestina, na Babilônia e em quase todo o Oriente; Nicolaus Rhabda, de Smirna (século VIII) e Causinus, na sua obra “De elequentia sacra et humana”, (Paris, 1636). Esse sistema numérico consistia de representação gráfica dos números 1 a 9, pelos dedos médio, anular e mínimo, estendidos, meio dobrados ou inteiramente voltados sobre a palma da mão, mediante símbolos pictóricos em três tamanhos cada um. As dezenas, de 10 a 100, eram representadas graficamente por desenhos dos dedos polegar e indicador, em diversas posições. Pela sua impropriedade para o uso constante, tal sistema caiu no esquecimento.

Em sistema mais evoluídos, observa-se uma notável constância no emprego dos algarismos adotados para os diferentes casos possíveis dentro do sistema de numeração usual.

Assim, destacamos:

1º - Sistema fenício: algarismos-traços verticais, até 9; sinal especial para 10, que se repete para 20; outro, usado também para 20 que se usa com o de 10 para formar 30 e se repete para 40. Desta forma, se verificam ou repetições do de 20 ou a representação com acréscimo do sinal de 10. As centenas revelam já um perfeito espirito do sistema. 2º - Sistema egípcio: sinais próprios para unidades, para dezenas, para centenas, para milhares, etc., com repetição regular até o múltiplo de 9. Esse sistema era hieroglífico. O hierático não apresentava a mesma constância. 3º - Sistema siríaco: símbolos diferentes para 1, 2, 5, 10, 20 e 100. Os demais números se escreviam por combinações desses algarismos. 4º - Sistema babilônico: determinado sinal cuneiforme atribuído a 1, é repetido para 2 e 3, outro sinal para 4, repetido para 5 e 6; e combinações dos mesmos para indicar 7, 8 e 9. Com outros sinais, pelo mesmo processo, se representavam as dezenas, as centenas, milhares, etc. 5º - Sistema palmírico: determinado traço vertical atribuído a 1, repetido para 2, 3 e 4; outro sinal para 5; e combinações dos mesmos para 6, 7, 8 e 9; o sinal para 10 diferente do de 20; repetição deles até 4 vezes, na indicações das demais dezenas; um sinal próprio determinativo de centena, sendo os múltiplos desta indicados pelos anteriores.

O regime de repetição do sinal de 1 a 2, 1 a 3, 1 a 4, caso especial, para o 5, para as dezenas, etc. demonstra claramente as fases sucessivas pelas quais passou o conceito do número natural. 32. O uso das letras do alfabeto como algarismos e números foi adotado pelos gregos, romanos e árabes. Os gregos e árabes distribuíam as 9 primeiras letras para os 9 primeiros números naturais, as 9 seguintes para as dezenas e as 9 restantes para as centenas. No alfabeto árabe ainda resta uma letra indicativa de 1000. Os algarismos romanos, nossos conhecidos, conservam reminiscências dos sistema numérico mais remoto, pela repetição do mesmo sinal até três vezes, um sinal próprio para 5 (estilização da mão); para 10 (duas mãos) e as letras próprias para 50, 100, 500 e 1.000. Desta maneira, os algarismos romanos são os seguintes: I, V, X, L, C, D, M. 33. Aníbal de Souza, em estudo sobre a “História dos Números”, escreve: “O que está fora de quaisquer dúvidas é que o nosso atual sistema de decimal, bem como o zero sejam de origem indu, introduzidos na Europa através da Arábia, pelos trabalhos celebre d Abu Jafar Mohamed ben Mussa al-quarisme, matemático nascida na cidade de Quarasm no século IX, quando explicou minuciosamente os sistema indu.

No ano de 773 um embaixador indu levou a Bagdad uma série de tábuas astronômicas, todas feitas e calculadas no sistema decimal e com os caracteres individuais para os dígitos. Foi este trabalho que Abu Jafar Mohamed ben Mussa traduziu e adaptou, conservando os caracteres indus escritos, porém, à moda sanscrita da esquerda para a direita, e até hoje os árabes respeitam esta representação gráfica, embora contrária à sua maneira de escrever as palavras.

Esparsos pela Arábia, África Setentrional e Europa do Sul (Sicília, Espanha) os Árabes escreveram os caracteres indus diferentemente uns dos outros e deste modo a escrita não era uniforme; a sua difusão pela Europa foi muito lenta e o sistema arábico-indu, firmado pelos caracteres para os dígitos e do zero, tomou o nome de “algoritmus”, algoritmia e algarismica, nome este que se estendeu à matemática quando baseada neste sistema e não sobre o romano que era o clássico habitual de então. Este nome, um tanto bárbaro, foi dado pelo arabófilo francês Reinaud, como tradução de al-Quarism, gentílico do grande Mohamed ben Mussa; em a nossa língua vernácula "algarismo" é o caráter individual que representa os dígitos que são o zero e os números de 1 a9; em inglês estes caracteres são ditos "numerals" e em francês "chiffres". A palavra francesa vem do árabe "sifr", da qual tiramos "cifra" e "cifrão", e que Leonardo de Pisa transformou em "zéfiro", do qual fez zero.

Sir E. C. Bayley, em 1882, achou em Nana Ga, na Índia, muitas inscrições rupestres, na quais faltam o 5, o 8 e o zero; entretanto, em 1874, Binnell publicou a "South Indian Paleography" e aí se encontra a reprodução das inscrições da "Caverna" que devem datar do século III a C., quando as de Nana Ghat talvez sejam anteriores, mas há quem discuta estas datas e ponha-as todas em princípios da nossa era cristã. Ambas as inscrições não têm o zero mas, por volta do 10º século da nossa era, já língua de Nagar (Nagari), a numeração era escrita com o zero e os seus caracteres individuais para todos os dígitos, que assim se escrevia desde os tempos imemoriais, talvez desde os primeiros séculos da era cristã

Estes caracteres individuais eram mais ou menos conhecidos na Europa, e principalmente no Oriente (Grécia, Bisâncio) e, deste modo, quando Boetius, o grande Ministro do

Imperador Teodósio traduziu em latim a "Geometria" de Euclides no ano de 500 - e que foi a primeira tradução latina do famoso geômetra de Megara - empregou-se, em sua obra, os caracteres individuais que diferem muito dos atualmente usados.

Na Arábia Oriental, isto é, na Arábia propriamente dita, no décimo século de nossa era cristã, um manuscrito encontrado em Chirás, na Pérsia, por Woepke, apresenta os caracteres individuais com o zero, muito semelhantes aos atuais. Woepke, em sua magnífica obra "Mémoire sur lapropagation des chiffres indiens", Paris, em 1863, nos dá a reprodução dos caracteres usados nas tábuas cobertas de areia em que os calculistas faziam suas contas; adota para estes caracteres o nome de Ghobar, palavra arábica que traduz pó, melhor que areia, em português e, como se vêem, são praticamente atuais.

A posição dos caracteres individuais indicava o seu valor e isto já era conhecido desde os tempos dos gregos, mas está bem sistematizado nas tábuas que o embaixador indu levou para Bagdad e que conhecemos pelo trabalho de Abu Jafar, al-Quarism.

Os caracteres individuais para os dígitos com o zero tomaram em nossa língua - e creio que somente português - o nome de algarismos, em homenagem a Ben Mussa - justa homenagem a um propagador insigne".

34. Um fato de considerável importância para mostrar a uniformidade na elaboração dos sinais gráficos, sejam letras, sejam algarismos, é a origem acrofônica dos símbolos de que tratamos. Em meu livro "A escrita e seus fundamentos" mostrei como as letras vulgares correspondem ao "som da ponta" dos nomes das coisas cuja representação pictórica primitiva evolui para a representação estilizada que veio a ser a letra propriamente dita. Max Muller, o renomado orientalista e pesquisador do sânscrito e da escrita devanagari era de opinião que os algarismos indus foram a corrupção das primeiras letras das palavras do sânscrito, redigidas em devanagari, que serviam para designar os números dígitos e o zero.

Pelo principio da adulteração através dos tempos, essas letras iniciais, (os sons da ponta), foram perdendo os traços menos significativos e conservando os mais essenciais e característicos, a começar pelo "filete", traço de ligação entre as letras da palavra, que no devanagari é uma linha reta que as liga pela parte superior e da qual parece penderem os outros traços.

Há quem sustente a prioridade dos espanhóis no uso e popularização dos algarismos, pois, assegura-se que o Rei Sábio os empregou nas suas Tábuas Afonsinas, entre 1240 e 1252. O arabista castelhano Cordera afirma que os algarismos árabes se encontram em manuscritos espanhóis do século VII, o que nos dá idéia da lenta gestação dos sinais atuais, que pugnaram desde aquele século até os tempos de Afonso X, meados do século XIII, por abandonar os traços orientais, que ainda conservavam.

De Espanha, o seu uso passaria à Itália, onde os empregou João de Sacro Bosco e daí à Grécia, onde Planúdio os adaptou em 1270. O grande valor que a Europa dava, então, aos livros espanhóis de matemática, explica a rápida difusão do sistema arábico, em prejuízo dos antigos traços latinos.

No período que vai do século X ao século XII, estava em uso, na Europa Ocidental, um tipo de ábaco em que as peças móveis era identificadas por símbolos chamados "ápices", em números ora de nove, ora de dez, que levavam nomes de origens desconhecidas: Igin, Andras, Ormis, Arbas, Quinus, Caltis, Zenis, Tememias, Celentis e Sipos. Não havia nenhum equivalente a zero. Uma geometria da Idade Média, atribuída a Boetrius (5º séc.), mas certamente posterior ao 10º século pretende que tais símbolos são de invenção pitagórica, origem não confirmada pelas conclusões da crítica moderna. São símbolos semelhantes aos algarismos gobar, em uso no século 9º e, assim, provenientes também dos remotos algarismos indus. Autêntica ou não a geometria de Boetius (cf. Enc. Britânica), interpolada ou não a passagem em que nela se faz referencia aos algarismos. (Dic. Larousse), a verdade é que ela não teve, na época, a divulgação bastante para, firmar o uso de seus símbolos. Os algarismos arábico só se encontram seguramente empregados pelos

1 – EKA

2 – DWI

3 – TRI

4 – TCHATUR

5 – PANTCHAN

6- CHACH

7 – SÁPTAN

8 – ASTHAN

9 – NAVAN

10 - ÇÛNIAN

europeus a partir do 10º século, achando-se já vulgarizados no século 11º. A forma dos algarismos só se fixou definitivamente em conseqüência da invenção da imprensa.

"A queda do Império Romano conseqüente à invasão dos teutônicos, seguida pelos Hunos, Tártaros, Ugro-fínicos, fez cessar o fluxo de relações entre a Europa Centro-Ocidental e a Índia, que se mantiveram mais ou menos constantes, se bem que pouco freqüentes, durante o domínio romano.

Também o período de movimentações, guerras, migrações e lutas pelas conquistas econômicas não permitiam muito lazer para os estudos de ordem puramente intelectual. Entretanto, no recesso tranqüilo dos conventos, nas igrejas e nos concílios religiosos, estas questões foram continuamente discutidas, debatidas, estudadas e não raro resolvidas, conforme a mentalidade e as circunstância da época o permitiram".

35. Novos problema eram suscitados pelas novas condições de vida. Os métodos antigos de cálculo era deficientes, O ábaco era um instrumento rudimentar. Uma matemática sem o zero era uma matemática sem perspectiva. Nas colunas do ábaco compunham-se números deixando "vazio" os lugares em que o zero deveria exercer futuramente o seu papel insubstituível. Inventado pelo indu desconhecido, o sinal chamado çanyan vai aparecer, no 4º ou 5º século no trabalho indu. Surya Siddanta, cujo autor também é desconhecido.

Introduzido o zero na Europa, iniciou-se um período de admirável desenvolvimento do cálculo, cujo progresso, durante cerca de 5000 anos, fora mínimo. As operações se tornaram mais simples o conceito de número pode desvincular-se da sua significação concreta, para estender-se às formas abstratas como sejam os números racionais, reais, complexos, algébricos, transcendentes, incomensuráveis, bem como estabelecerem-se as noções de limite, conjunto, módulo, etc.

Tobias Dantzig, em seu livro "Le Nombre", rende o seu preito de admiração ante a significação e os efeitos históricos e científicos do zero, com as seguintes palavras:

"Em definitivo, o sunya da Índia, imaginado muito provavelmente para representar uma coluna vazia da prancha de contar, estava destinado a tornar-se o ponto decisivo de uma evolução sem a qual não se poderia conceber o progresso da ciência, da indústria, do comércio moderno. E notemos bem a influencia desta grande descoberta não ficou limitada à Aritmética; abrindo o caminho à idéia generalizada de número, ela desempenhou um papel igualmente fundamental em todos os ramos das matemáticas; na história da civilização, a descoberta do zero ficará sempre como uma das obras individuais mais consideráveis da espécie humana".

O zero é um número cardinal que designa os conjuntos chamados conjuntos vazios ou conjuntos nulos.

Conforme já dizia Bhaskara, matemático indu, no século 12, a ele se aplicam as propriedades dos números naturais.

Couturat buscou encontrar uma definição para o zero e assim a formulou:

"zero é o número de objetos que satisfazem a uma condição que jamais é satisfeita".

Nesta definição "jamais" significa em nenhum caso, e, por essa petição de principio, H. Poincaré a rejeita no seu famoso livro "Ciência e Método".

Por sua vez Burali-Forti alimentou a mesma pretensão de definir o zero, da seguinte forma:

"Zero é uma grandeza x, tal que existe e que, para qualquer operação h aplicável a uma classe de grandezas homogêneas n, a operação aplicada a x fornece os elementos 0 n' h".

A respeito do zero, ensina G. Vitali:

"Existe um número dito zero (indicado com o algarismo 0), pelo qual, se n é um número natural, se tem:

0 + n = n.

Diz-se, então, que o zero é o módulo da soma.

Desde que, somando um a um número, se obtém o sucessivo desse número e desde que, por postulado, se tem:

0 + 1 = 1

Pode-se dizer que o zero precede o um na sucessão dos números naturais, e, portanto, que o zero é menor do que qualquer número natural.

Diz-se que o zero é um número, porém ocorre ter presente que para poder dizer isto, temos estendido o conceito de número e que com o zero não se pode contar. Este novo número não indica grupo algum de objetos, mas permite conservar o conceito de grupo ainda quando se estejam assentados os elementos que formarão o grupo. Neste sentido se fala de grupo zero de objetos".

Do ponto de vista da algoritmia, o zero é um operador, pois cada zero, junto á direita de qualquer número, permite decuplicá-lo instantaneamente, no sistema de numeração decimal.

Na reta dos números, o zero aparece como um ponto em que se dá o corte separativo dos números positivos que ficam à sua direita e os negativos que ficam à sua esquerda. Nesta condição, o zero é a pedra fundamental do sistema de geometria cartesiano Assim entendido, o zero tem um valor absoluto: não é positivo nem negativo.

36. Os sinais de valor que vão se juntar aos algarismos no processo evolutivo ulterior da matemática são as letras, que, definindo classes de números, vão aparecer exuberantemente no campo da álgebra, donde passaram para a geometria, principalmente após os trabalhos de René Descartes. Além de servirem para exprimir números, as letras se usam também para indicar as operações que devem empreender. Desta forma fica simplificada e abreviada a exposição literal dos raciocínios e das fórmulas. Em termos de grafonomia ( ciência dos processos de escrever, a álgebra é um modelo de braquigrafia, isto é, um sistema de escrita abreviada mediante emprego das letras vulgares. Aqui também tem lugar a aplicação de principio acrofônico como processo abreviativo por excelência.

Os casos mais constante sãos seguintes: n, de número f, de função d, de derivada i, de imaginário (número). Na fórmula geral de cálculo de juros, temos: j, de juros c, de capital t, de tempo

i para taxa. Se fossemos escrever as palavras que usamos habitualmente seria uma expressão longa, exigindo um esforço físico e mental toda vez que ela se tivesse de repetir. Pela álgebra escrevemos apenas:

J = c? i? t 100 A letra n, para número, por exemplo, é de enorme aplicação. Citaremos alguns casos: 1º = achar soma de números consecutivos. S = n x (n + 1) 2 Seja o caso de todos os números até 100. Vamos somá-lo um a um? Vamos fazer tentativas ao azar? Não. A fórmula se obtém de diversas maneiras. A mais conhecida é dos pontos; por exemplo, até 3: 1 . . . . . 2 . . . . . 3 . . . . . Se assim é para 3, se-lo-á para qualquer número. Experimente um maior. A experiência enriquece a ciência e desenvolve o seu raciocínio.

Então, resulta: o número vezes o número mais um, dividindo-se o produto por dois. Nesta frase escrevemos 52 letras. A fórmula, com a mesma indicação é aquela que vimos:

n x (n + 1) 2 Para n = 100: 100 ? 101 = 10100 = 5.050 2 2 2º - Achar a diferença de números quadrados consecutivos. Análise do caso: 1º número: n; daí n 2 2º número: (n + 1), daí (n + 1)2 O maior menos o menor: (n + 1)2 - n2 O que vale ( n + 1)2 ? Apuremos: n + 1 n + 1 n2 + n n + 1 n2 + 2n + 1 Agora, menos o menor n2 + 2n + 1 - n²

3 + 1

3 x 4 = 12 12 : 2 = 6 Confira-se.

resto + 2n + 1 Resultado: em qualquer caso, a diferença entre quadrados consecutivos é igual a duas vezes o número menor mais 1: 2n + 1. 3º - Podemos encontrar expressões de sucessão como as seguintes: 1/n, 1/2n, 1/3n ... ou esta: Se ,??n 1/n? 0, que se traduz por: "Se n tende para o infinito 1/n tende para o zero". É só experimentar. Ou então: Se n ?? , n / n+1 1? Por convenção, se utilizam as primeira letras do alfabeto quando se trata de quantidades reputadas conhecidas e as últimas letras - e mais comumente x, y, z, - no caso contrário.

Do nosso alfabeto, se usam as letras e e i para o caso especial de indicarem, respectivamente, os números 2, 7182818... (fracionários, irracional, transcendente, base de cálculo logarítmico), e 1? (raiz de menos um, número imaginário, lateral na reta dos números).

Assim, com o que está dito, podemos formular a expressão:

x = (1 + 1/n)n e verificar que, por maior que n se torne, x permanecerá sempre inferior a um certo número limite. Esse número-limite é justamente o número c a que nos referimos.

37. Em muitos números e fórmulas especiais se empregam letras do alfabeto grego. O caso mais famoso é o do número ? , cujo valor é de 3,1415 ...(número irracional, incomensurável, transcendente, relação entre circunferência e seu diâmetro). ? = C/D = 3,1415...

38. "Se vários números são representados pela mesma letra, marca-se este letra por sinais particulares chamados "índices". Assim, as expressões: a', a", a"', aIV, aV, aVI ..

a1, a2,a3, a4, a5, a6 exprimem distintos números. As primeiras lêem-se a linha, a duas linhas, etc. e as segundas, a índice um, a índice dois, etc.

Sobre simbolismo da álgebra, e suas origens, ensina René Taton:

"A álgebra se nos apresenta, diz P. Boutroux, como uma técnica tendo por objeto o cálculo e que se desvanece de nos proporcionar várias vantagens preciosas. Graças à rapidez e à constância dos seus processos, ela pretende com efeito operar rapidamente, seguramente, mecanicamente, pertinentemente".

A característica mais aparente da álgebra é o emprego sistemático de diversos símbolos, símbolos operatórios e outros particulares da álgebra (os da aritmética) e os símbolos literais representando números desconhecidos e conhecidos. Este simbolismo se constituiu lentamente e cada um de seus progressos acarretou progressos correspondentes da álgebra: simplificação na técnica e extensão nova. Ele atinge hoje notável perfeição e permite abreviar e sistematizar os raciocínios. Assim, a representação das diversas grandezas por letras permite operar unicamente sobre números abstratos: as leis do cálculo numérico se estendem, então, às operações sobre as grandezas, mesmo se estas são desconhecidas. "Este método, diz Leibnitz, poupa o espirito e a imaginação cujo uso é preciso economizar. Ele nos permite obter mais com menos raciocínio, ao usar caracteres em lugar das coisas

para desembaraçar a imaginação" Este simbolismo permite, por outro lado, resolver em um só cálculo toda uma categoria de problemas.

Um exemplo fará compreender facilmente este fato. Seja resolver a equação:

2x2 + 3x + 1 = 0. Isto é, achar um número x, que satisfaça a igualdade proposta. Substituamos, respectivamente, os números dados 2, 3 e 1, que intervêm na equação pelas letras a, b, c consideradas como conhecidas (parâmetros). Esta fórmula nos permitirá certamente calcular com facilidade as soluções da equação inicial (substituindo a, b, c por 2, 3, 1) mas ela nos dará da mesma maneira, sem novos cálculos, as soluções de toda equação do mesmo tipo, tal como 5x2 + 2x - 2 = 0 ( substituindo a, b, c por 5, 2 e -2 na fórmula final)".

"As características essenciais da álgebra nos aparecem agora: sistematização dos cálculos, emprego generalizado do simbolismo".

39. Esse duplo sentido da álgebra só veio se fixar organicamente nos tempos modernos. Entre os antigos, apenas Diofante introduziu abreviaturas para designar a unidade, a incógnita, as cinco primeiras potências e os seus inversos e "criou, assim, a álgebra sincopada, espécie de estenografia intermediária entre a linguagem ordinária e o simbolismo algébrico moderno". A álgebra indu teve um adiantamento semelhante à de Diofante, com a peculiaridade, muito oriental, de usar iniciais de nomes de cores para a representação das incógnitas. Entre os gregos, como já se sabe, as letras significavam algarismos e ordens determinadas no sistema de numeração. Isso foi um obstáculo para o progresso da álgebra, na antigüidade clássica. Somente no século 12, Jordanus Nemorianus, pela primeira vez, designou quantidades arbitrárias por meio de letras. O simbolismo literal somente no século 16 começou a tomar a sua forma e organicidade que conhecemos, graças aos trabalhos de Vieté que, na "sua obra "In Artem Analyticam Isagoge" (1591) usou consoantes para representar as quantidades conhecidas e vogais, para as desconhecidas. A sua concepção do simbolismo literal e das fórmulas algébricas foi desenvolvida, melhorada e sistematizada por Descartes, a quem se devem as convenções hoje adotadas e já expostas neste trabalho.

40. No desenvolvimento do esquema a que obedecemos para feitura deste trabalho, pareceu-nos que as figuras geométricas devem ser mencionadas na parte relativa aos sinais de valor ou significativos porque a elas se ligam conceitos específicos sobre forma, extensão e posição. Pelas figuras geométricas, a que estão afetas determinadas propriedades, se estipulam as medidas dos corpos e se fazem pesquisas acerca da noção do espaço.

Figura geométrica é toda representação de pontos, linhas, superfícies e volumes, que são entes ou conceitos matemáticos, adquiridos e interpretados a partir de uma experiência rudimentar e desenvolvidos até um elevadíssimo grau de abstração, como o comprova a ciência atual. Por esta razão, as figuras geométricas constituem representações gráficas bastantes grosseiras e que só valem para uma determinada escala de utilização. Por meio delas se materializam os conceitos geométricos fundamentais, segundo uma técnica determinada, de modo que mesmo nos desenhos geométricos primitivos, encontrados no Egito, na Índia, em Babilônia, na China, se assinalam as tentativas de dar solução gráfica a questões matemáticas da mais alta importância, como na medida da diagonal do quadrado e do comprimento da circunferência.

A geometria se define pelo seu elemento figurativo, mas, na realidade ela só vale pelo seu conteúdo de abstração.

41. Assim, o ponto é o sinal gráfico mais simples. Grafado, porém, ele toma dimensões que seu conceito geométrico não comporta. O ponto não tem extensão (portanto, não constitui objeto da geometria quando definida como "ciência da extensão"), como também não tem forma. O ponto só tem posição. Ele é apenas um lugar concebido sem extensão no espaço. O deslocamento do ponto dá origem à linha, mas a intersecção de duas linhas, o limite entre duas linhas, é o ponto. Na linha existe uma infinidade de pontos e, em certas condições, cada ponto é um número, para cada medida da linha. A geometria cartesiana se fundamenta nestes pressupostos:

a) interseção de duas linhas retas, como ponto - zero; b) posição do ponto, como critério de medida e distância; c) deslocamento do ponto, para definição do movimento, estudo da variação e

determinação de limite; d) infinidade de pontos na linha apara análise do conceito de infinito. 42. Analogamente, a linha é um ente geométrico, concebido por abstração, eis que, só possuindo uma dimensão, o seu "comprimento", nela não se compreende a "grossura" maior ou menor, resultante da condição material de seu traçado gráfico. Gerada pelo deslocamento do ponto ou pela própria interseção de duas superfícies, das quais é o limite, o seu próprio deslocamento, conceitualmente, dá origem à superfície. Na superfície há uma infinidade de linhas. O cálculo integral se fundamenta nestes pressupostos para medir superfícies limitadas por uma curva.

43. Do mesmo modo, a superfície é um ente geométrico concebido por abstração: só possui duas dimensões ("comprimento e largura"). Gerada pelo deslocamento da linha, o seu próprio deslocamento gera o volume, de que é o limite. Todavia, a figura geométrica da superfície a apresenta como desvinculada do corpo, sem o qual não se pode existir. 44. Corpo é tudo o ocupa uma porção limitada do espaço. O corpo nos confere a idéia de extensão, segundo uma determinada escala de experiência, a partir da porção do espaço que nos rodeia. Dentro de determinados critérios geométricos, todo corpo tem forma, extensão e posição. A figura geométrica do corpo, no entanto, o apresenta graficamente, no mesmo plano sugerindo a sua projeção a idéia do volume, isto é, da extensão em três dimensões (comprimento, largura e espessura), concebidas por abstração. Gerado pelo deslocamento da superfície, o volume contém uma infinidade de superfícies "superpostas", e esta foi a base do raciocínio dos geômetros antigos, quando conceberam o "método de exaustão", para medição do volume. O corpo como objeto da geometria se designa por corpo geométrico, para efeito do estudo matemático das suas propriedades. Às três dimensões clássicas, a moderna teoria da relatividade acrescenta mais uma: o tempo. Trata-se de uma novidade revolucionária na história da matemática e as suas conseqüências no campo da física foram profundas. O conceito espaço-tempo deu causa, por exemplo às atuais teorias atômicas e por ele se demonstrou que o espaço, meio em que se movem os astros, é curvo, afirmação que afetou consideravelmente as teorias sobre a natureza e propagação da luz.

O instante, um ponto no tempo, se determina por 4 números: x, y, z e t, vale dizer aos 3 números que significam um acontecimento num lugar do espaço se acrescenta mais uma coordenada dimensional, em que t, representa o tempo. Isso veio significar a relatividade geral nas condições de existência dos corpos em vista da influência que o movimento exerce sobre a sua forma, extensão e posição.

São palavras de Minkowski, o criador da nova concepção espaço-tempo:

"Os objetos da nossa percepção estão sempre em conexão com o lugar e o tempo. Ninguém jamais observou um lugar senão em um tempo dado, nem um tempo sem um lugar dado. O espaço em si e o tempo em si não têm sentido e devem ser absorvidos em um contínuo único, o espaço tempo de quatro dimensões".

"Os conceitos de espaço e tempo ... fundam-se na física experimental. São de tendência revolucionária. De agora em diante, os conceitos de espaço (só) e de tempo (só) passarão para o rol das coisas olvidadas e uma só espécie de união entre ambos (espaço-tempo) conservará sua existência independente".

- (Cf. Mello e Souza, citando trechos de Amoroso Costa, Minkowski e Eddington; "As grandes fantasias da matemática, pág. 101).

Outro trecho esclarecedor de Amoroso Costa, também transcrito por Mello e Souza, é o seguinte:

"Uma concepção extremamente sedutora, proposta em 1908 por Minkowski, permitiu a Einstein dar às suas idéias um desenvolvimento imprevisto, Minkowski substituiu o tempo e o espaço por um contínuo único de quatro dimensões, o espaço-tempo. O espaço-tempo da nossa concepção é heterogêneo, não-euclidiano, mas uma simples mudança da variável tempo, considerada como dimensão imaginária, permite representá-lo formalmente por um contínuo euclidiano no qual as equações dos fenômenos físicos tomam uma forma simétrica em relação a 4 variáveis, o que é evidente vantagem para o tratamento analítico dos problemas. As proposições da nova mecânica se exprimem então de um modo simples e elegante".

Por tudo isso, fica bem claro o caráter formalistico e convencional que domina toda figura geométrica, a nossa escala.

45. Vimos, pois, que os pontos, linhas, superfícies e corpos geométricos são entes geométricos que se representam por meio de figuras geométricas. Qualquer conjunto desses entes geométricos se representa também por meio de figuras geométricas. Nestas condições, os entes geométricos podem também se distinguir em simples e complexos. Simples, aqueles aos quais nos temos referido. E complexos os que resultam das combinações dos simples.

Formam-se, assim, outras figuras geométricas tais como as diferentes espécies de linhas, superfícies e corpos geométricos, como a reta, a semi-reta, o segmento, o ângulo, a linha curva, a linha quebrada, triângulo, retângulo, polígonos em geral, circunferência, elipse, parábola, hipérbole, esfera, prisma, pirâmide, os poliedros em geral, bem como as construções resultantes da análise como as seções crônicas e o parabolóide hiperbólico...

46. Um dos recursos fundamentais para resolução de problemas geométricos é a substituição de uma figura geométrica por outra, segundo as leis determinadas, a fim de tornar mais evidente certas propriedades e mais simples as demonstrações. A este processo se denomina transformação geométrica. Há diversas modalidades de transformações de

figuras geométricas. Entre as mais importantes se destacam as transformações pontuais que compreendem: a) deslocamento b) simetria c) homotetia d) semelhança e) inversão. Nestas transformações, a cada ponto a, de uma figura corresponde um ponto a; da outra. Os pontos a e a' se chamam homólogos.

O estudo dos princípios relativos à transformação das figuras geométricas é fundamental para a compreensão e execução dos cálculos de variação, vetores, etc.

47. As figuras geométricas se classificam por famílias. Assim, por exemplo, as curvas. O grande matemático Monge classificou as superfícies também desta forma. Assim é que se consideram como pertencendo a uma mesma família geométrica todas as superfícies que têm a mesma geratriz, e para as quais a lei de geração é a mesma, podendo variar, dentro da mesma família a forma da diretriz.

Assim, cada família compreende uma infinidade de superfícies, visto que a natureza da diretriz pode variar ao infinito; mas todas essas superfícies estão ligadas por um laço comum - a identidade da geratriz e da lei do seu movimento.

Se considerarmos todas as famílias que têm uma mesma geratriz nas leis de geração diferentes, teremos diversas categorias de famílias. Tais como:

a) a das famílias de superfície reguadas ou retilíneas que têm como geratriz uma reta; b) a das famílias de superfície circulares, que são geradas por um círculo, e de que fazem

parte as superfícies de revolução. c) A das superfícies parabólicas, cuja geratriz é uma parábola, etc". (Curso de

matemática, M. Souza).

SINAL OPERATÓRIO

48. Esta é a segunda seção do nosso estudo dos sinais em matemática: nela nos referimos aos sinais utilizados nos algarítmos e nas fórmulas, e destinados a indicar as operações que se pretendem fazer, substituindo, assim, expressões da linguagem comum. Os sinais operatórios têm a função precípua de simplificar os juízos matemáticos, no curso dos cálculos. Na realidade são estenogramas típicos e de grafia muito fácil, além de serem unívocos, isto é, sempre conservam um único sentido.

O número deles não chega a 50. A sua aplicação é uniforme, com raras exceções, e universal. Trata-se de um conjunto de símbolos ideográficos que não deixam margem a qualquer dúvida com os quais os estudantes se familiarizam rapidamente.

Uma boa quantidade deles nos vem do século 15, 16 e 17. Já têm, pois uma longa tradição. Um único sinal nos foi legado pelos árabes, que o trouxeram da Índia: o traço da fração ordinária que separa numerador e denominador. Os sinais de soma e subtração eram, originalmente, simples abreviações contábeis.

Naturalmente, cada ramo da matemática, utiliza sinais que lhes são peculiares, mas os seu emprego se estende a todo o campo da ciência da quantidade e da medida, principalmente em graus não elementares, pela razão da unidade dos seus princípios teóricos. Assim é que a álgebra utiliza os sinais próprios das relações aritméticas e lhes junta alguns outros que decorrem de expressões peculiares da linguagem própria do cálculo algébrico. Ao conjunto de símbolos assim constituídos os cálculos mais avançados, como o de variações, o de probabilidades, o diferencial e o integral, vão acrescentado outros sinais que lhes são próprios. Mais adiante, a análise trará novos símbolos ao acervo comum, ficando assim constituído todo o conjunto de notações operatórias.

49. Vamos, pois, arrolar os seguintes sinais operatórios: 1) na soma de a e b: a + b (a mais b) 2) na subtração entre a e b: a - b (a menos b) 3) na multiplicação de a por b: a x b (a vezes b) 4) na divisão de a por b: a : b (a dividido por b) 5) na potenciação de a: an (a elevado a n) 6) na radiciação de a: an (raiz enésima de a) 7) na igualdade entre a e b: a = b (a igual a b) 8) na desigualdade entre a e b: ba ? (a diferente de b) 9) a ? b (a maior que b) 10) a? b (a menor que b) 11) na identidade ou congruência: a ? b = c ? d 12) em número decima l: 5,6 (cinco inteiros e seis décimos) 13) 5'6 (idem, inglês) 14) 5.6 (idem, norte-americano) 15) em variações para limite: 0? (tende para o zero) 16) em razões e proporções: a: b:: c: d: (a está para b como c está para d) 17) em divisibilidade: x (múltiplo de ...) 18) em cálculo diferencial: dx (derivada de x) 19) em cálculo integral: ??e (integral de ...) 20) em cálculo vetorial: a (vetor a) 21) em expressões numérico-algébricas: (a + b) [c (a + b)] d 22) em geometria: ~ (equivalente a ou semelhante a ) 23) ? (perpendicular) 24) ? (ângulo) 25) ä (arco a ) 26) ? (proporcional a) 27) ? (portanto) 28) ? (projetivo) 29) (valor absoluto de a)

30) ? (infinito) 31) ! (fatorial): ???? 321 50. Sobre a origem de alguns desses sinais, Sílvio Todeschi nos presta as seguintes informações: "Os sinais + e - aparecem pela primeira vez em um livro de Aritmética muito célebre, de João Widmar de Eger (Boêmia), como símbolo de excesso ou deficiência de mercadorias,

depositadas em um armazém". Esse livro é de 1489. Ambos estes símbolos se encontram também na obra de Michael Stifel.

"Estes sinais, porém, só forma empregados como sinais de operação na primeira metade do século 17.

"O sinal x foi introduzido no século 17 pelo sábio inglês Guilherme Ougtred, em 1631, no seu livro "Clavis Mathematicae". Atribui-se ele também a Robert Recorde.

"O sinal : foi introduzido no século 17 pelo analista inglês João Pell. Segundo Rouse Ball, provém da combinação dos sinais : e -".

- Outra fonte diz que os autores desse sinal foram Ougtred e Rochn, em 1657, e que ele se encontra na obra de Ougtred "Canones Sinum". De Ougtred sabe-se que é o sinal ? , para exprimir a razão de dois números.

O sinal = foi introduzido por Robert Recorde, 1557. Os sinais ? e ?devem-se a Harriott (1631), autor de "Artis Analyticae Praxis".

O sinal é de Rudolf (1526) e se encontra também na obra de Stifel. O sistema posicional para as potências é de Descartes. O símbolo do infinito é atribuído a Wallis. O uso do parêntese foi introduzido por Niccolo Fontana, veneziano que adotou o apelido famoso, de "Tartaglia". O ponto decimal data de 1492 e é devido a Pelazzi. Os sinais ?? e foram introduzidos por Bourger. Esclarece Sílvio Todeschi que os sinais + , - , x e são símbolos de operação pois indicam as transformações que se devem efetuar com os números, ao passo que os sinais ? , ::, ? , ( ), ? , ? , =, ? , são símbolos de relação porque mostram a conexão que há entre os números. 51. O uso dos sinais + e - obedece a determinadas regras, nas operações: Soma ( + 4 ) + ( + 6 ) = 10 ( - 4 ) + ( - 6 ) = - 10 ( + 6 ) + ( - 4 ) = + 2 ( 6? 4 ) ( - 6 ) + ( + 4 ) = - 2 ( 6? 4 ) Subtração: ( + 4 ) - ( + 6 ) = 4 - 6 = - 2

( - 4 ) - ( - 6 ) = - 4 + 6 = + 2 ( + 6 ) - ( - 4 ) = 6 - 4 = + 2 ( - 6 ) - ( + 4 ) = - 6 - 4 = - 10 Multiplicação: ( + a ) ? (+ b ) = ab

( - a ) ? ( - b ) = + ab ( + a ) ? ( - b ) = - ab ( - a ) x ( + b ) = - ab

Divisão: ( + a ) : (+ b ) = + c ( - a ) : ( - b ) = + c a ? b ? c ( + a ) : ( - b ) = - c ( - a ) : ( - b ) = - c

O sentido relativo dos número é determinado convencionalmente numa reta ilimitada, com origem no ponto zero: para a direita, positivos; para a esquerda, negativos, recebendo respectivamente, os sinais + e -.

0- - ...- + + 3 ...+

- +

Analogamente, na reta vertical:

+2+1

0- 1- 2

.

.

. Também na reta inclinada:

+2

0+1

- 1- 2

- 3

+3

Donde, o sistema das coordenadas cartesianas contém as seguintes qualificações para os números nas ordenadas e abscissas:

.

.

.

0

+2

+1

- 1

- 2C D

B A

- 1- 2- 3 + 2 + 3+ 1

Os pontos A, B, C e D ficam determinados da seguinte forma: A : ( + x, + y) ? ( + 1, + 2) B : ( - x, + y) ? ( - 2, + 2) C : ( - x, - y) ? ( - 1, - 2 ) D : ( + x, - y) ? ( + 2, - 2 ) Uma circunferência que tenha por centro o ponto zero poderá ser percorrida nos dois sentidos a partir da abscissa positiva (eixo dos x): desta forma, ficou convencionado serem positivos os arcos que seguem na direção de + x para + y e negativos os arcos que vão de + x para - y. Convencionou-se também que cada ângulo formado pelas coordenadas determinam um "quadrante" indicado ordenadamente, na direção dos arcos positivos: 1º quadrante, 2º, 3º, 4º.

Em cada um dos quadrantes, as relações trigonométricas recebem especial qualificação positiva ou negativa:

Quadrantes sen Cos tang cotang sec. Cossec.

1º + + + + + +

2º + - - - - +

3º - - + + - -

4º - + - - + -

52. Na reta dos números se destaca o zero, o número neutro, " o mais civilizado dos cardinais", na expressão de Edna Kramer. Voltemos a falar, pois, do zero, agora como símbolo operatório.

0

y

x .A

O zero é o módulo da soma e da subtração:

4 + 0 = 4 ? n + 0 = n 4 - 0 = 4 ? n - 0 = n E se tivermos uma fração em que o zero seja numerador ou denominador?

Ora, sabemos que zero é o limite de um valor que decresce indefinidamente. Assim,

a0 = 0 , pois não haverá quociente, por pequeno que seja, que possa dar zero ao

multiplicar-se pelo divisor.

Em 0a , o resultado é ? .

Ora, infinito é apenas símbolo operatório. Não é número. Logo a expressão 0a carece de

valor numérico, pois, sendo ? o recíproco do zero, isto é, o limite de um valor que cresce indefinidamente, por muito grande que imaginemos o quociente, ao multiplicá-lo pelo

divisor, 0, ele se anula e, portanto, nunca dá o valor de a. Se supomos na e damos a n

valores muito pequenos, temos:

501,05 ? ;

000.500001,05 ?

Quanto mais diminuirmos n maior será o quociente; logo se n for igual a zero, a fração

adquire valores infinitamente grandes. Daí 0a igualar-se-á ao ? ou será um símbolo de

impossibilidade. Em 0

0 , não podemos ter valor algum determinado. O quociente pode ser qualquer

número, pois este, quando multiplicado por zero dá zero. Está visto, pois que 0 / a = 0 a / 0 = ? 0 / 0 = indeterminação. Se substituirmos a por ? , isto é, se lhe dermos valores infinitamente grandes, obteremos os mesmos resultados: 0 / ? = 0 ? / 0 = ? pelas mesmas razões. E assim como 0

0 é um símbolo de indeterminação, também

?? = indeterminação.

Analogamente, já com relação ao próprio símbolo do infinito, podemos encontrar:

a? = ?

?a = 0

Ai temos, pois, oito forma s fracionárias que constituíram também objeto de preocupação para Bhaskara em 1.152 a. C. A elas se dá o nome de formas simbólicas.

OPERAÇÃO

53. Toda a nossa vida e os nossos interesses envolvem problemas, uns já resolvidos e outros por resolver. Por trás de toda questão, existe o número, entidade que, como dizia Pitágoras, governa o mundo. Procuramos descobrir os números desconhecidos estudando as condições dos problemas, isto é, estabelecendo as relações que existem entre os números que nos são dados e aqueles que procuramos. Resolver um problema de matemática é, pois, encontrar os números desconhecidos que satisfazem às condições do mesmo problema.

A série de raciocínios pelos quais se estabelecem as relações entre números conhecidos e desconhecidos tem o nome de solução. A solução é, pois um trabalho mental que se expressa por meio de cálculos e operações.

Já vimos que o cálculo é um idéia complexa pela qual se aplica e se disciplina a idéia de quantidade para obter-se novas descobertas técnicas. A operação, por sua vez, é o conjunto de sinais gráficos que representam ordenadamente os números e suas relações, no curso do raciocínio e segundo as indicações do cálculo.

Como, nesse processo, os números se transformam, se combinam e sofrem modificações, são muito variadas as maneiras pelas quais os autores definem "operação".

Assim é que encontramos:

Em F. I. C. - " operações são certas modificações que se fazem aos números".

Em F. T. D. - "operações são mudanças que experimentam os números para se obter um resultado desejado.

Em A.Trajano - " operações são diferentes combinações que podemos fazer com os números".

Numa operação encontramos cinco elementos principais:

1º - a definição - que faz conhecer o fim da operação; 2º - a regra - que dá o processo para chegar a esse fim; 3º - o resultado - que é o número obtido; 4º - a prova - que é a segunda operação, a qual se destina a verificar a exatidão da primeira; 5º - a demonstração - que é o emprego de axiomas e teoremas e outros princípios deles derivados. Para estabelecer a conformidade entre a regra, a definição e o resultado. As combinações e transformações que operamos com os números, podem, fundamentalmente, reduzir-se a quatro, que definem, respectivamente, as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.

a) dados dois ou mais números, achar a sua soma; b) dados dois números, achar a sua diferença; c) dados dois ou mais números, achar o seu produto; d) dados dois números, achar quantas vezes um está contido no outro. Estes são os objetivos das quatro operações fundamentais. A rigor, porém, em virtude do sistema de axiomas e teoremas, com as suas conseqüências e aplicações, pode-se dizer que todas as operações se reduzem à de adição, que é a operação realmente fundamental e que se baseia no seguinte axioma:

"o todo é igual à soma das parcelas"..

As quatro operações elementares dão origem às seguintes que delas são derivadas:

e) achar a potência - potenciação; f) achar a raiz - radiciação; g) achar o expoente - exponenciação. Ao todo, pois, são sete operações: três delas são diretas, isto é, são operações de composição: adição, multiplicação e potenciação; e quatro, inversas, isto é, são operações de decomposição: subtração, divisão, radiciação e exponenciação.

OPERAÇÕES DIRETAS

ADIÇÃO

BA ?

MULTIPLICAÇÃO

BA?

POTENCIAÇÃO

nA

... de somas ? ? ? ?

? ? dcbadcba

dcba

????????

????

? ? ? ?

? ? ? ?badbacdcbdca

bdbcadacdcba

????????

????????

)()(

? ?22

2

2 baba

ba

??

??

... de produtos ? ? ? ?cdab

dcba

??

???? ? ? ? ?

? ? ? ?abcd

cdabcdabdcba

????????

? ? ? ?

22

22

ba

abba ???

... de potências 22 ba ? ? ?22222 abbaba ?? ? ? 42222 aaa ?? ?

... de diferenças (a - b) + (c - d) =

= a -b + c -d =

= a + c - (b + d)

(a - b) ? (c - d) =

= ac -ad + bc -bd =

= a (c - d) - b (c - d)=

= c (a - b) - d (a - b)

(a - b)² =

= a² - 2ab + b²

... de quocientes ? ? ? ?

bdbc

bdad

dc

ba

dcba

??

???

????

? ? ? ?

bdac

dc

ba

dcba

???

????

? ? ? ?2

2

22

ba

baba

?

???

... de radicais ba ? abba ?? ? ? aa ?2

OPERAÇÕES INVERSAS

SUBTRAÇÃO

A - B

DIVISÃO

A : B

RADICIAÇÃO

a

... de somas (a + b) - (c + d) =

a + b - c - d

(a + b) : (c + d) =

= a + b/c + d ba ?

... de produtos (a ? b) - (c ? d) =

= ab - cd

(a ? b) : (c ? d) =

= ab : cd =

= ab/cd = a/c ? b/d

axb =

ab = a x b

... de potências a² - b² a² : b² =

= a²/b² = (a : b)² a ² = a

... de diferenças (a - b) - (c - d) =

= a - b - c + d =

= a + d - (b + c)

(a - b) : (c - d) =

= a - b/c - d ba ?

... de quocientes (a : b) - (c : d) =

= a/b - c/d =

= ad/bd - bc/bd

(a : b) : (c : d) =

= bcad

dcba

dcba

??

??

bab

bba

ba

baba

?

???

???

... de radicais a - b

bab

bba

ba

ba

ba

???

???

mn

nmm n

a

aa

?

?? ?

54. As observações que nos ocorrem, à vista dos quadros que acabamos de compor, são as seguintes: I. As operações estão indicadas sobre a forma de expressões algébricas que nos permitem a sua generalização. Se dermos valores numéricos aos seus termos - por exemplo, a = 4; b =9; c =10; d =5, elas se transformarão em expressões aritméticas.

Assim,

(a + b) + (c + d) ou (4 + 9)+(10+5) = a + b + c + d ou 4 + 9 + 10 + 5 = a + (b + c) + d ou 4 + (9 + 10) + 5= 28

Constitui um bom exercício para o leitor distrair-se com a substituição das letras por valores arbitrários, a fim de achar o valor numérico destas 36 expressões algébricas.

II. Se compusermos expressões algébricas com uma soma e uma diferença, poderemos, desde logo, encontrar os seguintes exemplos:

1º) de adição: ? ? ? ?baba ??? ,

ou seja,

? ?? ?

aaba

ba

202 ????

?

2º) de multiplicação: (a + b) ? (a - b) ? ? ? ?baba ??? , ou seja,

2bab ?? a2 + 0 – b2

3º) de subtração: ? ? ? ?

bbabababa

2??????????

4º) de divisão: ? ? ? ?baba ??? =

= baba

??

III. No caso da potenciação, o leitor, certamente, já percebeu que se podem compor facilmente, as seguintes combinações:

1º base positiva com expoente positivo: an 2º base positiva com expoente negativo: a-n = 1 / an 3º base negativa com expoente positivo: (- a)n Aqui se verificam duas hipóteses:

a) expoente par: (- a)2n = +A (resultado positivo)

Exemplos: ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8133333

9334 ???????????

?????

b) expoente ímpar: (- a)n = - a (resultado negativo) Exemplos: (-2) ? (-2) ? (-2) = -8 (-5)5 =- 3125 4º base negativa com expoente negativo:

? ?? ? nnn

n

aaaa

11

111 ??

????

??

?? ?

5º base simples com expoente em expressões algébricas:

nmnm aaa ???

n

mnmn

aa

aaam ????

? ?nmnm aa ??

n mnm

nm aaa ???

= a2 –b2

? ? ? ?? ?nn mm aa ? m ba

6º base simples com expoente zero: a0 = 1 7º base simples, com expoente 1: a1 = a IV. Analogicamente, no caso de radiciação: 1º radicando positivo, com índice positivo n a 2º radicando positivo, com índice negativo:

nn

nnn

aa

aaa11

1

11

?????

??

3º radicando negativo, com índice positivo:

? ?nn aa

1???

4º radicando negativo, com índice negativo:

? ? ? ?? ? n

n

nnn

aaaaa

111

11

??

???????

??

5º radicando simples, com índice em expressão algébrica:

nmnm aa ?? ?1

nmnm aa ?? ?1

mnmxn aa1

?

mn

nmnm aaa ???1

mm nmnn aaa

111

?? 6º radicando simples com índice zero:

???? ?aaa 01

0 7º radicando simples com índice 1:

aa ?1 As expressões que contém raízes quadradas de quantidades negativas são quantidades imaginárias do segundo grau. As expressões da forma a? são símbolos algébricos que não têm significação numérica: conservam-se, porém, nos cálculos com o fim de generalizar, e convencionou-se aplicar a estas expressões as regras do cálculo das quantidades reais.

O cálculo das expressões imaginárias do segundo grau funda-se nos seguintes princípios:

1º - Toda a expressão imaginária se pode decompor em dois fatores, representados por dois radicais do segundo grau, afetando um a mesma quantidade tornada positiva e o outro, a unidade negativa.

a? = )1(?? a = a 1?

Portanto, o único símbolo dos imaginários, que entra nos cálculos, é o fator 1? , que se encontra representado pela letra i.

Reunindo, pois, num só grupo, todos os termos reais, e noutro os que têm por fator o símbolo 1? , qualquer quantidade imaginária se pode representar pela forma geral.

a + b 1? , ou a + bi, em que a e b são quantidades reais.

2º - As potências de 1? reproduzem-se periodicamente, reduzindo-se às quatro primeiras, a partir da potência zero.

Temos:

? ?? ?? ?? ?? ? 11

11

11

11

11

4

3

2

1

0

???

????

???

????

???

Donde, as fórmulas gerais:

? ?? ?? ?? ? i

i

n

n

n

n

???

???

???

???

?

?

?

34

24

14

4

1

11

1

11

Deste princípio conclui-se que, para formar uma potência qualquer de 1? divide-se o grau da potência por 4 e eleva-se 1? à potência designada pelo resto da divisão. Exemplo:

? ? ? ? 111332

???????

Portanto,

? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?

? ? 2713

1313

13133

3

226

66

666

?????

???????

???????

Chama-se módulo de uma expressão imaginária a + b 1? o valor numérico de 22 ba ? Assim, o

módulo de 137 ?? é 22 37 ? .

Duas expressões imaginárias chamam-se conjugadas, quando diferem somente pelo sinal do coeficiente de

1? . Tais são as expressões 134 ?? e 134 ?? . Dois imaginários conjugados têm o mesmo módulo. Ademais, 1º - a soma de dois imaginários conjugados é real

aba

ba

21

1...

???

??

2º - o produto de dois imaginários conjugados é real e igual ao quadrado do seu módulo:

? ?? ?? ?

22

22

22

22

2

...........................

1............

11.......

1...

1.

1....

ba

ba

ba

bab

aba

ba

ba

??

??

????

????

??

???

??

Donde: a soma de duas quantidades (a² + b²) é igual a uma produto tal em que os fatores são expressões binômias, conjugadas, e cujo segundo termo multiplicado por 1? , sendo ditos raízes dos termos da expressão dada. Assim,

1122 ??????? bababa 3º - Se combinarmos expressões da forma a + b 1? por meio de soma, subtração, multiplicação ou divisão, os resultados são imaginários da mesma forma:

? ?? ?? ?????1

'1'2

1'......'.....

1...

?

????

???

??

BA

bbaa

ba

ba

? ?? ? ? ?

1..............

1''

1''.....

1.........

??

????

???

??

BA

bbaa

ba

ba

? ?? ? ? ?

1..............

1''

1''.....

1.........

??

????

???

??

BA

bbaa

ba

ba

? ? ? ?? ?

? ?? ?? ?

1............................

1''''

''''

1''1'1'1"'

1''1''

1''1

1''1

2222

22

??

???

???

?

????

????????

?????

?????

?????

?????? ??BA

baabba

babbaa

babbabbaaa

baba

baba

baba

V. Outra observação que nos ocorre em face do quadro das expressões diretas e inversas se refere aos casos de divisão e operações com quocientes: como se observou as expressões são todas fracionárias, do tipo A/B.

As operações fracionárias, pelas quais se executam os cálculos sobre pedaços de coisas, constitui uma conseqüência importante da extensão do conceito de número. A estrutura de uma expressão fracionária compreende o denominador que indica o número de partes iguais em que se considera dividida a unidade e que se coloca sob a barra da fração e o numerador que indica o número de partes tomadas ou existentes e que se coloca sobre a mesma barra. Esta é um sinal operatório característico das chamadas frações ordinárias.

O emprego das frações ordinárias subentende que a unidade pode ser dividida em tantas partes iguais quantas se queira. Inclusive em 10 ou 100 ou 1000 ( enfim, potências de 10) partes iguais.

Todavia, a prática das operações com frações apenas ordinárias demonstrou que, em muitos casos, como nas frações contínuas, números incomensuráveis, dízimas periódicas e medidas, o emprego de tal método de representação poderia, com vantagem, ser substituído pelo de frações cujo denominador fosse sempre potência de 10. Surgiu assim o método de operar-se com frações decimais e, além disso, para elas foi concebido uma representação gráfica peculiar, segundo a qual a parte inteira se distingue da parte fracionária por meio de uma vírgula (entre nós) ou um ponto (entre os anglo-saxônicos).

Pela sua condição de permitir o denominador a divisão em qualquer número de partes iguais, por maior que seja, o processo ordinário se estendeu da aritmética, à álgebra e, assim, todas as propriedades das frações aritméticas convém também às frações algébricas.

Por outro lado, um quociente qualquer estabelece uma relação entre o dividendo ou numerador e o divisor ou denominador. Trata-se de uma relação por comparação, em que o próprio quociente expressa o resultado desta comparação. A este quociente de relação comparativa se dá o nome de razão geométrica, ou simplesmente, razão.

Além disso, essa função comparativa exercida por meio de quocientes se aplica igualmente na teoria e na técnica das medidas pelas quais se procura saber quantas vezes em uma dada quantidade está contida outra tomada como valor-padrão de medida.

Nestas condições, as operações sobre quocientes vão aparecer necessariamente nos casos de:

a) teoria das operações fracionárias; b) teoria das razões e proporções; c) teoria das medições. A fração em que o numerador é menor que o denominador se diz fração própria. Quando o numerador é maior, a fração chama-se imprópria. Neste caso, o numerador pode ou não conter o denominador um número exato de vezes. Para o estudo das divisões ou quocientes representados por frações impróprias, em que convém sempre saber se a operação deixará resto ou não, se elaborou um quarto caso, que é importantíssimo na teoria dos números inteiros.

d) teoria da divisibilidade.