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NONOÇÇÕES DEÕES DE PROBABILIDADEPROBABILIDADE
Aula 05Aula 05
Exemplos:1. Resultado no lançamento de um dado;
2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;
3. Condições climáticas do próximo domingo;
4. Taxa de inflação do próximo mês;
5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.
Experimento AleatórioExperimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes
Espaço Amostral (Espaço Amostral ()): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
4. Tempo de duração de uma lâmpada. = {t: t 0}
1. Lançamento de um dado. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) . = {A, B, AB, O}
3. Hábito de fumar. = {Fumante, Não fumante}
Exemplos:
Notação: A, B, C ...
(conjunto vazio): evento impossível
: evento certo
Alguns eventos:
A: sair face par A = {2, 4, 6}
B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1}
EventosEventos: subconjuntos do espaço amostral
Exemplo: Lançamento de um dado.
Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Operações com eventosOperações com eventos
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.
A B: união dos eventos A e B.Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B.
Ac: Complemento de A. Qualquer evento que não seja A.
O complementar de A é representado por Ac.
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é,
A B =
• A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,
A B = e A B =
•sair uma face par ou face 1A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}
• sair uma face par e face 1 A C = {2, 4, 6} {1} =
• sair uma face par e maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}
• sair uma face par ou maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}
Exemplo: Lançamento de um dado
• não sair face parAC = {1, 3, 5}
ProbabilidadeProbabilidade
• Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório• Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento
Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral?
Duas abordagens possíveis:1. Freqüências de ocorrências2. Suposições teóricas.
Exemplo: Lançamento de um dado
Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado
P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.
ProbabilidadeProbabilidade
Atribuição da probabilidade:
1. Através das freqüências de ocorrências.• O experimento aleatório é repetido n vezes• Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado ocorre.
Para um número grande de realizações, a freqüência relativa aproxima-se da probabilidade.
2. Através de suposições teóricas.
•A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que:
.
1ii21
i
1 )P(w ...}) , w,({w P )( P
e 1 )P(w 0
No caso discretocaso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabilísticomodelo probabilístico especificado quando estabelecemos:
•O espaço amostral = {w1,w2, ... }
Ainda no caso discreto,
• Se A é um evento, então
Aw
j
j
)(w P (A) P
Ω de elementos de nº.
Ade elementos de nº. (A) P
• Se } w..., , w,{w Ω N21 e
N
1 )(w P i (pontos equiprováveis), então
Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.
Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos.
SexoAlfabetizado
TotalSim Não
Masc. 39.577 8.672 48.249
Fem. 46.304 7.297 56.601
Total 85.881 15.969 101.850Fonte: IBGE- Censo 1991
: conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos.
Definimos os eventos
M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino;S : jovem sorteado é alfabetizado;N : jovem sorteado não é alfabetizado.
Temos ir para a tabela
0,157 101.850
15.969 P(N)0,843
101.850
85.881 P(S)
0,526 101.850
56.601 P(F)0,474
101.850
48.249 P(M)
•M S : jovem é alfabetizado e do sexo masculino
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado ou ser do sexo masculino?
M S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado e ser do sexo masculino?
0,928 101850
39577 - 48249 85881
em elementos de nº.
LM em elementos de nº. L)P(M
S)
S
389,0101850
39577
em elementos de nº.
LM em elementos de nº. L)P(M
S)
S
Sejam A e B eventos de . Então,
• Para qualquer evento A de , P(A) = 1 - P(Ac).
Regra da adição de probabilidadesRegra da adição de probabilidades
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Conseqüências:
• Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A B) = P(A) + P(B).
Probabilidade condicional:Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A | B) e definida por
. 0 P(B) ,P(B)
B)P(A B)|P(A
PROBABILIDADE CONDICIONAL E PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIAINDEPENDÊNCIA
Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades
B).|P(A P(B) B)P(A
Analogamente, se P(A) >0,
. A)|P(B P(A) B)P(A
0,82.
101.85048.249
101.85039.577
39.577 / 48.249 = 0,82.
Diretamente da tabelaDiretamente da tabela
temos P(S | M) =
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino?
P(M)
M)P(S M)|P(S
definiçãodefinição, Pela
SexoAlfabetizada
TotalSim Não
Masc. 39.577 8.672 48.249
Fem. 46.304 7.297 56.601
Total 85.881 15.969 101.850
A: 2ª bola sorteada é brancaC: 1ª bola sorteada é brancaP(A) = ???
Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.
Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição.
53
52 B
V
42
42
V
B
43
41
V
B
1Total
V V
VB
BV
BB
ProbabilidadesResultados
20
2
4
1
5
2
20
6
4
3
5
2
20
6
4
2
5
3
20
6
4
2
5
3
e 5
2
20
6
20
2)A(P
Temos
. 4
1)C|A(P
1Total
V V
VB
BV
BB
ProbabilidadeResultados
25
4
5
2
5
2
25
6
5
3
5
2
25
6
5
2
5
3
25
9
5
3
5
3
Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é reposta na urna antes da 2a extração. Nesta situação, temos
53
52 B
V
53
52
V
B
V
B
53
52
ou seja, o resultado na 2a extração independe do que ocorre na 1a extração.
e 5
2
25
6
25
4P(A) = P(branca na 2ª) =
Neste caso,
P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = )A(P5
2
)A(P5
2P(A | Cc) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =
Independência de eventosIndependência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é,
P(B). P(A) B)P(A
Temos a seguinte forma equivalente:
P(A), B)|P(A 0. P(B)
Exemplo: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados?
A: Jonas é aprovado
B: Madalena é aprovada
P(A B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9
Qual foi a suposição feita?
O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X).
VARIÁVEL ALEATÓRIAVARIÁVEL ALEATÓRIA
FUNÇÃO DE DENSIDADE FUNÇÃO DE DENSIDADE PROBABILIDADEPROBABILIDADE
A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável aleatória (X) à sua probabilidade de ocorrência P(X).
TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIASTIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Variável aleatória discretaOs resultados possíveis são finitos e
podem ser enumerados (jogadas de moedas, dados, etc.)
Variável aleatória contínuaOs resultados possíveis são infinitos e
não podem ser enumerados (ex.: peso, altura, rendimento, saldo, duração de percurso, etc.)
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEDISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
E se quisermos saber as probabilidades de X compras dos 10 primeiros clientes? Ou dos 100 primeiros?
P(x) = Cn, x px q(n-x)
Onde Cn,x = n! / (x!(n-x)!)
p = probabilidade de sucesso
q = (1 – p) = probabilidade de insucesso
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEDISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - PARÂMETROS
Para uma variável com probabilidade de sucesso p, em n tentativas:
Média = np
Desvio-padrão = (npq)1/2
Variância 2 = (npq)
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEDISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Distribuição Normal
Pro
ba
bil
ida
de
média=moda=mediana
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEDISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
DISTRIBUIÇÃO NORMAL – Expressão Formal
2
2 2
1exp
2
1)(
xxp
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - PROPRIEDADES
• Área total sob a curva é 1;
• Cálculos de probabilidades dentro de intervalos (Distribuição Contínua);
• P(a X b) é a área sob a curva entre a e b
• Distribuição simétrica:
– P(X a) = P(X -a)
– P(X<μ) = 0,50 = 50%
• P(a X b) = P(X b) - P(X a);
• Maior concentração de freqüências no centro da distribuição.
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEDISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEDISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Distribuição Normal
0.00
0.05
0.10
0.15
0.200.25
0.30
0.35
0.40
0.45
-3d
p
-2d
p
-1d
p
mé
dia
+1d
p
+2d
p
+3d
p
Pro
ba
bil
ida
de
68%
95%
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - PROPRIEDADES
TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES
• P(A | B) a probabilidade de que a hipótese A seja verdadeira dada a evidência B;
• P(B | A) a probabilidade que a evidência B será observada se a hipótese A for verdadeira;
• P(A) a probabilidade “a priori” que a hipótese A é verdadeira na ausência de qualquer evidência específica;
• k o número de hipóteses possíveis.