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Junho de 2017

Nuno João Fernandes Miranda Monteiro

Li en iado em Ciên ias de Engenharia Civil

Apli ação da análise limite ao estudo

tridimensional da estabilidade de

túneis em ma iços terrosos saturados

respondendo em ondições não

drenadas

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre

em Engenharia Civil - Perl Geote nia

Orientador: Prof. Doutor Armando Manuel Sequeira Nunes Antão

Júri:

Presidente: Prof. Doutor António M. P. Ramos

Arguente: Prof. Doutor João P. B. Serra

Vogal: Prof. Doutor Armando Manuel Sequeira Nunes Antão

Apli ação da análise limite ao estudo tridimensional da estabilidade de

túneis em ma iços terrosos saturados respondendo em ondições não dre-

nadas

Copyright© Nuno João Fernandes Miranda Monteiro, Fa uldade de Ciên ias e Te nologia,

Universidade Nova de Lisboa

A Fa uldade de Ciên ias e Te nologia e a Universidade Nova de Lisboa tem o direito, perpé-

tuo e sem limites geográ os, de arquivar e publi ar esta dissertação através de exemplares

impressos reproduzidos em papel ou de forma digital, ou por qualquer outro meio onhe-

ido ou que venha a ser inventado, e de a divulgar através de repositórios ientí os e

de admitir a sua ópia e distribuição om objetivos edu a ionais ou de investigação, não

omer iais, desde que seja dado rédito ao autor e editor.

Agrade imentos

Em primeiro lugar, quero agrade er ao meu orientador Professor Doutor Armando

Manuel Sequeira Nunes Antão, por toda a ajuda fa ultada, por todos os onhe imentos

forne idos ao longo de todo o urso e pela disponibilidade forne ida para a on lusão desta

dissertação.

A todos os professores do Departamento de Engenharia Civil da FCT-UNL, pelo

imenso onhe imento forne ido ao longo do per urso a adémi o e um espe ial agrade i-

mento aos professores do perl Geote nia pela ajuda pela ajuda na es olha do perl. Um

espe ial agrade imento ainda ao olega Nuno Deusdado, pela onstante disponibilidade

para resolver problemas té ni os e por toda a ajuda na realização deste trabalho.

Aos meus pais, por estarem sempre presentes nos bons e maus momentos. Por serem o

pilar prin ipal da minha formação a adémi a e por fazerem de tudo para o meu su esso

pessoal e prossional.

À minha avó Deolinda, por estar sempre presente na minha vida, pelas memórias que

aram de toda a sua onstante alegria e ne essidade de omprar tudo ao neto e nun a

deixar de apoiar em todas as de isões.

À minha avó Orminda, embora não possa estar sempre presente, pergunta onstante-

mente pelo neto e pelo urso. Obrigado pela imensa preo upação e ajuda ao longo de

todos os anos.

Aos meus amigos, Bernardo, David, Dél io, Fran is o, Diogo, PP, Joana, João

Pedro, Jorge, Rita, Vas o, Andreia, Delm, Filipe, Marta e Valter, fazendo parte

ou não da fa uldade, obrigado por todos os laços riados e os momentos passados, muitos

destes a estudar.

À Diana, por ser a melhor amiga, ouvinte, par eira e a pessoa mais pa iente que tive o

prazer de onhe er. Obrigado por todo o apoio ao longo do urso, por fazeres-me ompanhia

nos longos serões de trabalho. Sei que tenho sempre o teu apoio.

i

Resumo

A presente dissertação aborda o estudo da estabilidade de túneis ir ulares es avados em

ma iços terrosos saturados e, onsequentemente do ál ulo das respetivas argas de olapso

obtidas em ondições não drenadas. O trabalho entra-se no estudo da inuên ia de duas

ara terísti as geométri as primordiais deste problema: a profundidade a que se en ontra

o túnel e ainda a distân ia não suportada da frente de es avação.

O estudo é feito re orrendo à implementação numéri a dos Teoremas da Região Superior

e da Região Inferior da análise limite, feita no programa mechpy. Para a análise do

omportamento do túnel foram realizadas várias simulações om diferentes parâmetros

geométri os (re obrimento) de arga ( arga uniforme distribuída à superfí ie e no interior

do túnel) e ainda diferentes ara terísti as do solo, sendo a resistên ia deste modelada

re orrendo ao ritério de Tres a.

Da análise e observação dos resultados são retirados números de estabilidade dos túneis

analisados, bem omo valores para limites superiores e inferiores das argas de olapso

forne idas por ada modelo. Visto ser um estudo tridimensional é possível simular o

omportamento do solo na superfí ie e também no interior do túnel. Este omportamento

varia onsoante a profundidade a que se en ontra o túnel bem omo om a existên ia ou

não de suporte na frente da es avação. Os resultados obtidos são omparados om os

resultados numéri o-teóri o de outros autores en ontrados na bibliograa de referên ia.

Palavras- have: túneis, análise limite, TRS, TRI, omportamento não drenado, elementos

nitos, tridimensional.

iii

Abstra t

The s ope of this dissertation is the study of the stability of ir ular tunnels and onse-

quently the al ulation of the respe tive loads of ollapse obtained in undrained onditions.

The work fo uses on the study of the inuen e of two primordial geometri hara teristi s

of this problem: the depth of the tunnel and the unsupported distan e from the ex avation

front.

The study is made using the numeri al implementation of the Upper and Lower Region

Theorems of the limit analysis, done in the mechpy program. For the analysis of the

behavior of the tunnel, several simulations with dierent geometri parameters (depth) load

parameters (uniform load distributed on the surfa e and inside the tunnel) and dierent

soil hara teristi s were arried out, being the resistan e of this one modeled using the

riterion of Tres a.

In the analysis of the results, stability values of the analyzed tunnels are extra ted, as

well as values for the upper and lower limits of the ollapse loads provided by ea h model.

Sin e it´s a three-dimensional study, it´s possible to simulate the behavior of the soil on

the surfa e and also inside the tunnel. This behavior varies a ording to the depth of the

tunnel as well as the existen e or not of support on front of the ex avation. The results

obtained are ompared with the experimental and numeri al-theoreti al results of other

authors found in the literature.

Keywords: tunnels, limit analysis, TRS, TRI, undrained behaviour, nite elements, tridi-

mensional.

v

Conteúdo

Conteúdo viii

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xi

Lista de Abreviaturas, Siglas e Símbolos xiii

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Fundamentos Teóri os e Metodologia de Resolução 3

2.1 Comportamento me âni o do solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Condições drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 Condições não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Con eitos de Análise Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Noções de plasti idade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Teorema da Região Superior (TRS) ou Cinemáti o . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Teorema da Região Inferior (TRI) ou Estáti o . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Metodologia de Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Des rição do Programa me hpy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.2 Formulação dos Teoremas da Análise Limite . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Denição do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Modelo Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Condições de arregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7 Modelos Tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.8 Exemplo de ál ulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Apresentação e Análise de Resultados 27

3.1 Estudos Ini iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Resultados para P/D = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

vii

3.2.1 Apresentação Grá a dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Análise de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Resultados para P/D 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Resultados adi ionais para P/D 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Apresentação Grá a dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.3 Análise de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Comparação dos Resultados 47

4.1 Análise para P/D = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Análise para P/D 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Con lusões e Desenvolvimentos Futuros 57

Bibliograa 59

Lista de Figuras

2.1 Representação grá a do ritério de Mohr-Coulomb . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Critério de Tres a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Lei de uxo asso iada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Representação esquemáti a do problema estudado . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Representação esquemáti a do modelo 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Modelo 2D malhado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7 Representação das dimensões da malha 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8 Representação das ondições de arregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Representação esquemáti a do primeiro modelo tridimensional . . . . . . . . 15

2.10 Corte transversal do primeiro modelo tridimensional . . . . . . . . . . . . . 16

2.11 Representação ondições limite da malha 3D para P/D = 0 . . . . . . . . . 18

2.12 Corte transversal do segundo modelo tridimensional . . . . . . . . . . . . . 19

2.13 Corte transversal do segundo modelo tridimensional . . . . . . . . . . . . . 19

2.14 Lado transversal do modelo tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.15 Exemplo de valores es olhidos para P/D = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.16 Exemplo de valores es olhidos para P/D 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.17 Valor de olapso dado pelo mechpy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.18 Esquema grá o do andamento dos ál ulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.19 Exemplo grá o no Paraview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Grá os referentes ao Limite Superior e Inferior para P/D = 0 . . . . . . . 31

3.3 Campo de dissipações para C/D = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Campo de dissipações para C/D = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33




3.8 Grá os referentes ao Limite Superior e Inferior para P/D 6= 0 (P/D ≥ 1) . 37

3.9 Grá os referentes ao Limite Superior e Inferior para P/D 6= 0 . . . . . . . 40





ix





4.1 Comparação do número de estabilidade, N, om outros autores . . . . . . . 49

4.2 Comparação do número de estabilidade, N, om outros autores . . . . . . . 50

4.3 Malha utilizada por Mollon no estudo tri-dimensional . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Malha utilizada por Ukrit hon no estudo tri-dimensional . . . . . . . . . . . 51

4.5 Comparação da análise limite om os resultados de Mair para estudos 2D . 52

4.6 Comparação da análise limite om os resultados de Mair para estudos 3D . 52

4.7 Comparação da variação da tensão de olapso om os diferentes P/D . . . . 53

4.8 Dissipação plásti a obtida para resultados de LB na 1º iteração . . . . . . . 53

4.9 Dissipação plásti a obtida, resultados de LB na 2ª iteração . . . . . . . . . . 54

4.10 Comparação om Sloan da variação da tensão de olapso om diferentes P/D 55

Lista de Tabelas

2.1 Modelos de ál ulo para P/D = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Novos modelos de ál ulo para P/D = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Modelos de ál ulo para P/D 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Resultados UB e LB para túneis om P/D = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Resultados UB e LB para túneis om P/D 6= 0 (P/D ≥ 1) . . . . . . . . . . 35

3.3 Resultados UB e LB para túneis om P/D 6= 0 (P/D < 1) . . . . . . . . . . 38

4.1 Resultados para UB e LB utilizando o modelo de Sloan (2013) . . . . . . . . 54

xi

Lista de Abreviaturas, Siglas e

Símbolos

Siglas

DEC Departamento de Engenharia Civil

LB Lower Bound "Limite Inferior"

TRI Teorema da Região Inferior

TRS Teorema da Região Superior

UB Upper Bound "Limite Superior"

UNL Universidade Nova de Lisboa

Símbolos

C Cobertura do túnel

D Diâmetro do túnel

P Distân ia de es avação não suportada

N Número de estabilidade do túnel

cu Resistên ia não drenada do solo

σt Tensão na frente de es avação do túnel

σs Tensão na superfí ie do solo

Γσ Fronteira de Neumann

Γu Fronteira de Diri hlet

γ Peso volúmi o do solo

φ′Ângulo de resistên ia ao orte efetivo

Ω Domínio de um orpo

xiii

Capítulo 1

Introdução

1.1 Motivação

O onstante aumento popula ional nas áreas urbanas e om a o upação do respetivo ter-

reno torna-se essen ial o aproveitamento do espaço subterrâneo. Como tal, a onstrução

de túneis tem tido uma importân ia ada vez maior na utilização de novos espaços, prin-

ipalmente omo ligações subterrâneas entre vários pontos da urbanização. Para que tal

a onteça é ne essário uma análise uidada das ondições de estabilidade dos túneis, visto

que é de máxima importân ia tanto a estabilidade do próprio túnel omo das onsequên ias

desta na estabilidade super ial da zona onde será realizada a onstrução do mesmo. Um

ponto positivo deste tipo de obra, omparado om outras soluções, será o de minimizar

a inuên ia que uma nova obra têm na zona já existente, onseguindo proteger melhor o

património existente bem omo preservar o terreno para possível uso futuro. Outra ques-

tão que me motivou a estudar este problema entra-se no fa to da bibliograa existente

rela ionada om estudo da estabilidade de túneis tridimensionais não apresentar ainda re-

sultados que se possam onsiderar nais. Na realidade os estudos sobre a estabilidade de

túneis em ondições de deformação plana disponibilizam on lusões prati amente "termi-

nadas"no sentido em que a arga limite exata é já onhe ida do ponto de vista práti o. No

aso do estudo tridimensional da estabilidade de túneis regista-se quer a inexistên ia de

soluções quer, no aso em que estas estão disponíveis, uma grande gama de valores para

as mesmas.

Isto pode ser onstatado num aso geométri o parti ular reparando na grande diferença

existente entre o melhor limite superior das soluções onhe idas dado por Mollon et al.

(2012) e o melhor limite inferior onhe ido dado por Davis et al. (1980). Desta forma foi

visto aqui uma oportunidade para melhorar as soluções existentes e apresentar novas.

1

Introdução

1.2 Objetivos

Este trabalho tem omo objetivo a determinação em geometria tridimensional de soluções

numéri as aproximadas das argas de olapso de túneis ir ulares quando soli itados em

ondições não drenadas. É usado o programa de elementos nitos mechpy de modo a

onseguir obter estes valores. As soluções são obtidas a partir da teoria da análise limite

que reúne dois tipos de solução onhe idas omo a do limite superior e a do limite inferior.

Como o próprio nome indi a estas soluções denem um domínio onde estará a solução

exata. Estas duas soluções deverão ser o mais próximo possível uma da outra de modo a

que o resultado nal seja o mais próximo da solução exata.

1.3 Organização do trabalho

A dissertação desenvolve-se ao longo de in o apítulos, sendo o presente o apítulo intro-

dutório. Seguem-se então os apítulos entrais da dissertação ujo onteúdo é espe i ado

de seguida.

Capítulo 2. Denição dos fundamentos teóri os do problema em estudo de modo a en-

quadrar o trabalho. De seguida passa-se à des rição do programa utilizado. Será então

possível per eber o fun ionamento do programa de elementos nitos utilizado no ál ulo

das soluções limite do nosso aso de estudo. Será exposto o aso de estudo analisado de-

nindo todos os parâmetros geométri os es olhidos juntamente om as ondições limite da

malha, arregamento e ara terísti as do solo.

Capítulo 3. Este apítulo têm omo base a apresentação de todos os resultados obtidos.

Complementando os resultados serão mostrados também grá os rela ionando os valores

omo também os respetivos modelos obtidos do programa mechpy.

Capítulo 4. Neste apítulo os resultados nais são então omparados om a literatura

existente, possibilitando a visualização das melhorias onseguidas através de uma análise

detalhada dos resultados obtidos.

Capítulo 5. Por m, são apresentadas as prin ipais on lusões retiradas do trabalho,

juntamente om possíveis desenvolvimentos futuros.

2

Capítulo 2

Fundamentos Teóri os e Metodologia

de Resolução

Neste apítulo são apresentas as noções teóri as que se julgam serem ne essárias ao bom

entendimento do estudo desenvolvido. Começa-se por apresentar as ara terísti as essen-

iais do omportamento me âni o do solo, seguindo-se um breve destaque dos teoremas da

análise limite, bem omo o programa de elementos nitos mechpy, que implementa nume-

ri amente os Teoremas da Região Superior e da Região Inferior. Este programa tem omo

objetivo o ál ulo dos limites de argas de olapso em estruturas geoté ni as e estruturais.

2.1 Comportamento me âni o do solo

O omportamento do solo pode ser lassi ado pela apa idade que este tem em drenar

a água ontida no seu interior aquando de um erto arregamento. Os fatores de que

esta lassi ação depende serão, fundamentalmente, a permeabilidade do solo em ausa e

o tempo de duração da apli ação da arga. Sendo assim, o omportamento do solo será

referen iado omo drenado ou não drenado dependendo da resposta que dá a esta situação.

2.1.1 Condições drenadas

O omportamento do solo é designado omo dando uma resposta drenada quando, para um

erto tempo de arregamento, permite que a água no seu interior possa ser drenada durante

o tempo de apli ação do arregamento. Se esta situação for veri ada é então desprezada

a variação das pressões intersti iais o que leva a que a variação de tensão normal apli ada

3

Fundamentos Teóri os e Metodologia de Resolução

seja absorvida pelas partí ulas sólidas e assim a variação de tensão normal efetiva seja igual

à variação da tensão normal total. Nestas ondições é usual onsiderar-se que a envolvente

de resistên ia ao orte é dada pelo ritério de Mohr-Coulomb uja equação é:

τ = c′ + σ′ tanφ′(2.1)

onde c′ representa a oesão efetiva, σ′a tensão normal efetiva no solo e φ′

o ângulo de

resistên ia ao orte do solo. (Figura 2.1)

PSfrag repla ements

τ

c′

φ′

σ′

Figura 2.1: Representação grá a do ritério de Mohr-Coulomb

2.1.2 Condições não drenadas

O omportamento do solo é designado omo não drenado quando não é apaz de dissi-

par o ex esso de pressão intersti ial ao longo do tempo de arregamento. Esta ondição

é usualmente a eite num material de baixa permeabilidade, não esque endo que não de-

pende ex lusivamente da permeabilidade do material mas sim da relação entre o tempo de

apli ação do arregamento e essa mesma permeabilidade. Este omportamento é obtido

quando esta relação se traduz na onstân ia do volume do solo durante a apli ação do

arregamento.

Para modelar a resistên ia ao orte do solo asso iado a este tipo de omportamento é

normalmente empregue o ritério de Tres a representado na gura 2.2. Trata-se de um

ritério denido em tensões totais em que a envolvente de rotura é independente da tensão

normal apli ada e é dada pela equação:

τ = cu (2.2)

onde cu representa a resistên ia ao orte não drenada do solo.

4

2.2 Con eitos de Análise Limite

PSfrag repla ements

τ

σ

τ = cu

Figura 2.2: Critério de Tres a

2.2 Con eitos de Análise Limite

A teoria da análise limite tem omo objetivo a determinação do onjunto de argas supor-

táveis por uma estrutura e é apli ada a materiais om omportamento eláti o ou rígido

plásti o om lei de uxo asso iada. A sua apli ação é feita prin ipalmente om base em

dois teoremas: da Região Superior (TRS) e o da Região Inferior (TRI). Segunda algumas

ondições expli adas posteriormente, é possível estabele er um limite superior (TRS) e um

limite inferior (TRI) da arga de olapso.

2.2.1 Noções de plasti idade

Para deformações muito pequenas o solo omporta-se de modo elásti o, mas para valores

um pou o mais elevados de deformação o solo passa a responder om um omportamento

de deformação plásti a, sofrendo deformações irreversíveis e denitivas.

Para o aso espe í o apresentado neste trabalho, a plasti idade é onsiderada perfeita

sendo ignoradas as ara terísti as de amole imento e endure imento do solo.

A análise limite baseia-se em dois teoremas em que são ignoradas ertas ondições de

equilíbrio (TRI) e de ompatibilidade (TRS). Ao simpli ar a ondição de equilíbrio, será

determinado o limite superior da arga de olapso e simpli ando a ondição de ompa-

tibilidade determinar-se-á o limite inferior da arga de olapso. A solução da arga de

olapso estará entre estes dois limites e aso as soluções obtidas por estes dois teoremas

sejam iguais está assim en ontrada a solução exata.

No aso não drenado a utilização de uma Lei de uxo asso iada, que impli a que a deforma-

ção plásti a seja normal à urvas de nível denidas pelo ritério, impõe que a deformação

5


plásti a tenha apenas omponente distor ional (delta gama p) e assim se pro esse a volume

onstante (delta e vol = 0) omo mostra a gura 2.3.

Figura 2.3: Lei de uxo asso iada (adaptado de Guerra 2012)

2.2.2 Teorema da Região Superior (TRS) ou Cinemáti o

O Teorema da Região Superior arma que, se para um dado me anismo de olapso ompa-

tível, o trabalho das forças exteriores for igual ao trabalho das tensões internas, as forças

exteriores apli adas ausam o olapso da estrutura. Para o ál ulo deste limite superior é

ne essário obter o trabalho realizado pelas forças exteriores e pelas tensões internas num

in remento de deslo amento de um me anismo ompatível.

Assim o trabalho das forças externas será a soma do produto interno das forças de massa

b pelo ampo de deslo amentos virtuais u∗ no domínio Ω om o produto interno das forças

de fronteira t pelo ampo de deslo amentos virtuais u∗ na fronteira estáti a Γ mostrada

na equação:

We =

∫

Ω

b u∗ dΩ+

∫

Γ

t u∗ dΓ (2.3)

O trabalho das tensões internas é o trabalho dissipado pela deformação plásti a do material

nas superfí ies que tornam o me anismo ompatível e é dado pela equação:

WD =

∫

Ω

D dΩ (2.4)

onde D representa a energia dissipada por unidade de volume, sendo D = σ : ǫp

6

2.3 Metodologia de Resolução

2.2.3 Teorema da Região Inferior (TRI) ou Estáti o

O Teorema da Região Inferior diz que, se um onjunto de forças exteriores está em equilí-

brio om as tensões internas que em nenhum ponto violam o ritério de rotura, as forças

exteriores apli adas não ausam o olapso.

Este teorema permite ignorar a ondição de ompatibilidade e possibilita obter minorantes

da arga de olapso. (adaptado de Guerra (2012))


Na presente se ção será abordada a metodologia utilizada para a determinação de soluções

aproximadas da arga de olapso e estudo de estabilidade de túneis em ma iços respon-

dendo em ondições não drenadas. A análise dos resultados previamente existentes na

bibliograa levou a que o aso fosse estudado numa abordagem tridimensional. Para tal

re orreu-se a um programa de ál ulo numéri o que implementa os teoremas da análise li-

mite, denominado me hpy. É então apresentada numa primeira parte uma breve des rição

deste programa assim omo os métodos de implementação utilizados. Seguidamente são

apresentados os modelos de ál ulo usados juntamente om os parâmetros es olhidos.

2.3.1 Des rição do Programa me hpy

O programa de elementos nitos me hpy usado nesta dissertação tem sido desenvolvido por

uma equipa do Departamento de Engenharia Civil da Fa uldade de Ciên ias e Te nologia

da Universidade Nova de Lisboa. Esta ferramenta permite resolver diferentes problemas

me âni os e, em parti ular, implementa numeri amente os teoremas estáti o (TRI) e ine-

máti o (TRS) da análise limite, permitindo obter estimativas de limites superior e inferior

das argas de olapso em problemas de me âni a estrutural.

De maneira a des rever su intamente os prin ípios que estão na base do desenvolvimento

do omportamento ideal deste programa numéri o que será apli ado à estabilidade de

túneis realizados em ma iços terrosos saturados respondendo em ondições não drenadas,

re orreu-se à extração de uma parte de um artigo apresentado no Congresso de Métodos

Numéri os em Engenharia 2015 por do entes do DEC da FCT (Deusdado et al., 2015)

7


2.3.2 Formulação dos Teoremas da Análise Limite

Considere-se um orpo onstituído por um material rígido perfeitamente plásti o, sujeito a

arregamentos de forças de massa (b, b0) que são apli adas no seu domínio Ω e de forças de

superfí ie (t, t0) apli adas na fronteira Γσ (fronteira de Neumann), que reunida à fronteira

Γu (fronteira de Diri hlet) denem a fronteira Γ do orpo.

Estes arregamentos são divididos em dois tipos: num primeiro, em que as forças são

afetadas pelo multipli ador de arregamento α (α ∈ IR+) e no segundo, em que as forças

não são afetadas por qualquer parâmetro, mantendo assim onstante a sua ontribuição

durante o ál ulo (denidas om o índi e "0").

A análise limite permite estimar para o orpo onsiderado, aproximações do multipli ador

α a partir do qual omeça a haver es oamentos plásti os e deformações ilimitadas no

orpo, designado por olapso plásti o. Estas aproximações são resultantes da apli ação

dos teoremas a ima referidos.

A apli ação do teorema inemáti o da análise limite onduz ao seguinte problema mate-

máti o:

Minimizar α(u, ε) =

∫

Ω

D(ε) dΩ−Π0(u)

Sujeito a Π(u) = 1

u = 0 em Γu

ε = Du em Ω

ε ∈ Cc

(2.5)

sendo a taxa de trabalho total das forças obtida da seguinte forma:

Π(u) + Π0(u) =

(∫

Ω

bTu dΩ+

∫

Γσ

tTu dΓσ

)

+

(∫

Ω

b0Tu dΩ+

∫

Γσ

t0TudΓσ

)

(2.6)

8


Para ada ampo inemáti o virtual, os vetores u e u representam os ampos de deslo-

amentos e de velo idade do orpo respetivamente, sendo as omponentes de extensão e

distorção da taxa de deformação plásti a armazenadas no vetor ε. Na equação 2.5, D or-

responde ao operador de ompatibilidade difere ial denido na equação 2.7, D orresponde

à taxa de dissipação plásti a por unidade de volume denida na equação 2.8 e Cc representa

o espaço formado por todos os estados possíveis de deformação plásti a. Estes estados são

ortogonais à superfí ies de edên ia em pelo menos um ponto. A última restrição imposta

na equação 2.5 garante assim a regra da normalidade permitindo a veri ação de todos os

pressupostos do TRS da análise limite.

D =

∂

∂x0 0

0∂

∂y0

0 0∂

∂z∂

∂y

∂

∂x0

0∂

∂z

∂

∂y∂

∂z0

∂

∂x

(2.7)

No aso do ritério de Tres a a taxa de dissipação plásti a é dada por:

D = cu(|εI |+ |εII |+ |εIII |) (2.8)

De forma semelhante, o teorema estáti o da análise limite pode ser denido matemati a-

mente omo:

Maximizar α

Sujeito a DTσ + αb+ b0 = 0 em Ω

Nσ = αt + t0 em Γσ

f(σ) ≤ 0

(2.9)

Para ada ampo estáti o admissível, o vetor om as omponentes normais e de orte das

tensões plásti as é representado por σ enquanto DT orresponde ao operador de equilíbrio

diferen ial. Na equação 2.9, N reúne as omponentes dos vetores das normais exteriores às

fronteiras Γσ e f orresponde à função de edên ia. Esta função é assumida omo onvexa.

O programa mechpy implementa numeri amente os teoremas da análise limite re orrendo

9


a um método iterativo que permite a otimização do ampo de velo idades (TRS) ou o

ampo das tensões (TRI). Esse método iterativo tem re ebido re entemente a designação

de método de direção alternada de multipli adores, tradução livre da designação em inglês

alternating dire tion method of multipliers (ADMM) (Boyd 2010).

Para essa otimização é onstruído um Langrangeano, in orporando o fa to de, se utilizarem

ampos independentes para aproximar as velo idades globais e as deformações lo ais no

aso do TRS ou as tensões aproximadas lo almente e as tensões aproximadas globalmente

no aso do TRI. Estes onjuntos de aproximações lo ais e globais permitem, por um lado,

que a parte não linear dos problemas em questão seja tratada ao nível de elemento nito

e, por outro, que o algoritmo iterativo seja fa ilmente paralelizável, permitindo assim a

resolução de modelos que re orrem a malhas nas de elementos nitos, mesmo em ondições

tridimensionais.

O programa permite optar por diferentes ritérios de rutura para des rever a resistên ia dos

materiais, nomeadamente os ritérios de Tres a, Tres a Trun ado, Mohr-Coulomb, Von-

Mises, entre outros. Uma ompleta des rição da implementação do TRS pode ser vista em

Vi ente da Silva e Antão (2007) e Vi ente da Silva (2009). No aso do TRI, essa des rição

é feita em Vi ente da Silva (2015). O programa me hpy tem sido atualizado ano após

ano, tanto pelos do entes do departamento omo pelos alunos de mestrado, originando

novas funções para resoluções de problemas tais omo por exemplo a per olação, fratura,

elasti idade e elastoplasti idade.

2.4 Denição do Problema

A denição geométri a do problema em estudo é apresenada na gura 2.5. Trata-se de

um túnel ir ular de diâmetro D, om re obrimento de espessura C, e tal que o suporte

denitivo se en ontra se en ontra à distân ia P da frente de es avação verti al.

Os arregamentos apli ados, também apresentados na gura 2.5 onsistem numa arga

uniformemente distribuída na superfí ie σs, numa pressão apli ada à parte não revestida

do túnel e no peso volúmi o γ.

Do ponto de vista geométri o foram onsiderados dois asos diferentes: P/D = 0 e P/D 6=

0.

A resistên ia do solo é modelada pelo ritério de Tres a e o por onseguinte pela resistên ia

ao orte não drenada, cu.

10

2.4 Denição do Problema

PSfrag repla ements

P

D

C

Suporte denitivo

(a) Perspetiva esquemáti a do problema estudado

PSfrag repla ements

σt

σs

γ

Suporte denitivo

P

D

C

(b) Corte longitudinal do problema estudado

Figura 2.4: Representação esquemáti a do problema estudado

11


2.5 Modelo Bidimensional

O objetivo da presente dissertação é o estudo da estabilidade de túneis ir ulares em ondi-

ções tridimensionais. No entanto, foi feito um estudo prévio em ondições bidimensionais,

que permitiu obter uma ideia in ial das ara terísti as dos modelos a utilizar no programa

de elementos nitos me hpy. Isto levou a que a malha obtida em ondições bidimensionais

tenha sido a base da malha tridimensional utilizada. A gura 2.5 mostra a divisão típi a

em zonas, assim omo as ondições limite apli adas em asos bidimensionais. A fase de

riação ini ial das malhas é realizada no programa Gmsh que possibilita a denição da

geometria bem omo a imposição das ondições limites quem em termos de deslo amentos

quer em termos de arregamento.

Figura 2.5: Representação esquemáti a do modelo 2D

Na fa e inferior e na fa e lateral direita do modelo, estão bloqueados os deslo amentos

verti ais e horizontais. Na fa e lateral esquerda, foi apenas bloqueado o deslo amento

horizontal. A zona superior é livre de restrições estando aqui imposto um arregamento

uniformemente distribuído σs.

12

2.5 Modelo Bidimensional

Figura 2.6: Modelo 2D malhado

Posteriormente à riação da geometria e imposição das ondições limite, o programa Gmsh

ria um modelo apaz de ser lido pelo programa me hpy, baseado numa malha denida

por elementos quadrangulares, omo é possível ver na gura 2.6.

Sabendo que o pro essamento de ál ulo das malhas tridimensionais seria muito mais

demorado, a realização do pro esso de melhoramento da malha bidimensional teve um

ontributo importante para o entendimento do omportamento do programa om um usto

temporal reduzido.

Na gura 2.7 representa-se um orte frontal da zona bidimensional a malhar. O modelo

apresenta uma divisão em variadas zonas feita para garantir a utilização de elementos

quadrangulares uja ne essidade é à frente expli ada. Os parâmetros geométri os prin ipais

são assim de ompostos nos sub parâmetros apresentados. Sendo possível visualizar os

parâmetros es olhidos para a on eção da malha.

13


L1 L2

H1

D

C1

C1

C2

Figura 2.7: Representação das dimensões da malha 2D

As malhas nais utilizadas nos ál ulos são obtidas a partir das malhas omo a apresentada

na Figura 2.6, fazendo-se a divisão de ada quadrilátero em 4 triângulos, denidos pelas

diagonais dos mesmos. Este pro edimento é realizado de forma a evitar problemas de

”locking” nos ál ulos efetuados.

2.6 Condições de arregamento

Como apresentado na gura 2.8 o modelo estudado permite a apli ação de duas tensões

uniformes. Uma verti al, apli ada na superfí ie, σs, e outra à frente de es avação, σt, para

P = 0. Para P 6= 0 além desta tensão, σt, ser apli ada numa normal à frente da es avação

é também apli ada na zona não suportada, P .

No presente trabalho estudou-se o modo de instabilidade em que o solo onverge para

dentro do túnel, não tendo sido onsiderado o aso em que o olapso se dá por extrusão.

A diferença entre σs e σt pode ser vista omo um só parâmetro. Devido à in ompressi-

bilidade do ma iço terroso o trabalho realizado por uma pressão no solo à superfí ie será

o mesmo om sinal ontrário ao realizado por uma igual pressão na frente de es avação.

Sendo assim é usado omo referên ia para o parâmetro analisado a diferença entre as duas

tensões.

Partindo do prin ípio que temos um valor de σs, a estabilidade do túnel será maior quanto

menor o valor de σt, isto é, aquele que pre isar da menor tensão apli ada no seu interior

de modo a veri ar a sua estabilidade.

14

2.7 Modelos Tridimensionais

PSfrag repla ements

P

σs

σt DEs avação

Figura 2.8: Representação das ondições de arregamento


Como foi dito anteriormente, para a realização do ál ulo tridimensional foram riadas

duas malhas distintas para P/D igual e diferente de zero. O primeiro modelo, riado

para P/D = 0, está representado nas guras 2.9 e 2.10 e foi riado tendo omo base

o modelo 2D. É de notar que a malha 2D é laramente visível omo sendo a base do

modelo 3D. Como onsequên ia do aumento da malha o pro esso tridimensional requer

uma arga omputa ional muito maior que o bidimensional. Para onseguir analisar este

tipo de malha num tempo relativamente a eitável foi ne essário re orrer um cluster om 50

nú leos de pro essamento em que ada um deles possui 4 Gb de memória. Na gura 2.10, é

possível observar o padrão de malha utilizada no sentido longitudinal do modelo. No aso

tridimensional ada elemento resultante da utilização do Gmsh é dividido em 24 tetraedros.

De notar que na zona próxima da frente da es avação se promoveu o enrique imento da

malha, visto esta ser uma das zonas om maiores gradientes de movimentos de olapso do

túnel.

Figura 2.9: Representação esquemáti a do primeiro modelo tridimensional

15


Figura 2.10: Corte transversal do primeiro modelo tridimensional

O exemplo mostrado nas guras 2.9 e 2.10 faz parte de um modelo utilizado que utiliza

P/D=0 e C/D=1. Nos próximos apítulos irão ser observados outros modelos utilizados

om diferentes parâmetros geométri os.

16


Restrições da malha 3D

Em relação às ondições limite introduzidas na malha, é possível ver na gura 2.5 as

ondições ini ialmente introduzidos no modelo 2D. De modo a ser per etível no modelo

tridimensional, a gura 2.11 visa mostrar as diferentes ondições apli adas.

De modo a ser per etível ada or utilizada orresponde a uma ondição limite diferente.

Deste modo a or vermelha é utilizada para indi ar todas as se ções que tem os movimentos

totalmente bloqueados. Note-se que no aso de P/D = 0 a superfí ie ilíndri a do túnel

tem os seus deslo amentos todos bloqueados. Para os exemplos de P/D 6= 0 isto já não

a onte e, e é pre iso ter uma distân ia, P , sem suporte provisório.

Dito isto, a frente da es avação terá or azul que ilustra zonas sem qualquer tipo de

bloqueio. Do mesmo modo, a zona super ial do modelo não será bloqueada deixando

assim o livre movimento do solo aquando do "desabamento"deste.

Por m a zona lateral esquerda representada a verde apenas é bloqueada no movimento

perpendi ular ao túnel. Esta es olha deve-se à simetria que o modelo deve ter nesta zona,

de modo a ser um exemplo reduzido da realidade. A nossa malha é dividida a meio e assim

reduz os tempo de ál ulos ne essários à sua realização.

17


Figura 2.11: Representação ondições limite da malha 3D para P/D = 0

18


As guras 2.12 e 2.13 mostram o modelo tridimensional riado para P/D 6= 0. Em re-

lação ao interior este ontém algumas diferenças no interior do túnel. Com o intuito de

permitir adi ionar elementos de extensão nas fronteiras do modelo foi riada uma "estru-

tura"adi ional simulando o revestimento denitivo. Deste modo a zona ilíndri a não tem

os seus deslo amentos bloqueados em toda a sua extensão omo no modelo para P/D = 0.

A utilização de elementos de extensão permite garantir a admissibilidade plásti a reque-

rida pelo Teorema de Região Inferior a todo o ma iço. Na práti a veri ou-se que quando

as fronteiras estão o su iente afastadas do túnel os resultados om ou sem elementos de

extensão são prati amente indeferen iáveis entre si.

Figura 2.12: Corte transversal do segundo modelo tridimensional

Figura 2.13: Corte transversal do segundo modelo tridimensional

19


As malhas foram tentativamente otimizadas de forma a que a disponibilidade de ál ulo

omputa ional fun ionasse o mais perto do seu esgotamento. Assim, o renamento das

diferentes malhas é adaptado ao problema tratado, sendo que em modelos de dimensões

exteriores mais pequenos é possível obter malhas om elementos de dimensão mais reduzida.

Um exemplo da malha renada lo almente pode ser visto na gura 2.14 om C/D = 0.5

e P/D = 0. Esta malha om menores dimensões exteriores, foi enrique ida nas zonas

ríti as do túnel omo por exemplo para a zona adja ente à frente de es avação. No aso

da gura 2.10 om C/D = 1, a malha requer uma maior apa idade omputa ional dado

o seu tamanho e assim não é possível introduzir elementos de tão diminuto volume omo

no exemplo da gura 2.14. Os túneis usados para P/D 6= 0 foram então modelados om

seis entos mil elementos para os ál ulos do Limite Superior e de quatro entos mil elemen-

tos para os ál ulos do Limite Inferior. Esta diferença deve-se ao fa to de a formulação do

Teorema Estáti o produzir, para um mesmo número de elementos, um maior número de

equações que a formulação do Teorema Cinemáti o.

Figura 2.14: Lado transversal do modelo tridimensional

Parâmetros geométri os utilizados

O estudo foi realizado para túneis om P/D = 0 e P/D 6= 0. Foram es olhidos in o

valores diferentes para C/D: 0, 5, 1, 2, 3 e 4 (tabela 2.1). Existem publi ações om

valores superiores de C/D, Mair (1979), mas não seria omportável devido à limitação

omputa ional, visto que os modelos de C/D = 4 já hegaram bastante perto do limite

20


disponível.

Foi de idido então veri ar a inuên ia do peso volúmi o de solo na resistên ia ao olapso,

e assim veri ar para valores de 1, 2, 3 e 4.

Tabela 2.1: Modelos de ál ulo para P/D = 0

C/D 0.5 1 2 3

γD/cu 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

O problema em estudo depende dos parâmetros adimensionais C/D, P/D, γD/cu eσs − σt

cu.

Para sistematização dos ál ulos, apesar dos parâmetros adimensionais variarem, foram

mantidos onstantes os valores de D e cu.

Ao longo do desenvolvimento da malha veri ou-se que a amplitude dos parâmetros es o-

lhidos não seria su iente para analisar o problema nas gamas de valores anteriormente

estudadas na literatura. Como é possível ver na gura 2.15 retirada de Davis et al. (1980)

este problema é estudado para valores de C/D superiores aos utilizados ini ialmente. Fo-

ram assim, posteriormente, riadas malhas om C/D = 4 numa tentativa de aproximação

dos parâmetros de ál ulo existentes anteriormente.(Tabela 2.2).

Tabela 2.2: Novos modelos de ál ulo para P/D = 0

C/D 4

γD/cu 1 2 3 4

Figura 2.15: Exemplo de valores es olhidos para P/D = 0 (adaptado de Davis et al. 1980)

21


No aso P/D 6= 0, aos ál ulos ini iais para os parâmetros P/D om valor de 1, 2, 3, 4,

foi ne essário a res entar ál ulos om valores de parâmetros que permitissem estudar as

zonas de variação do fenómeno de rotura em parti ular a zona de transição do me anismo

de rotura da frente de es avação para me anismo de rotura de teto. Para o ál ulo de

P/D 6= 0 foi es olhido apenas um γD/cu de 1 por motivos que serão expli ados no próximo

apítulo. Os parâmetros utilizados podem ser visualizados na Tabela 2.3.

Numa tentativa para obter resultados omparáveis om a gura 2.16 os ál ulos referentes

ao C/D = 3 foram ainda realizados onsiderando γD/cu = 3.6.

Tabela 2.3: Modelos de ál ulo para P/D 6= 0

C/D 0.5 1 2 3

γD/cu 1

P/D0.5 0.1 0.25

1 2 3 4

Figura 2.16: Exemplo de valores es olhidos para P/D 6= 0 - adaptado de Sloan (2013)

22

2.8 Exemplo de ál ulo


De forma a ser per etível todo o pro esso de riação das malhas e posterior análise é

apresentado aqui um exemplo simples, om a nalidade de apresentar todos os passos

ne essários para serem determinados os limites da região superior e inferior para o seguinte

aso geométri o:

D = 1 m

C = 1 m

P/D = 0

De seguida apresenta-se um breve des rição dos dados ne essários para a resolução do

problema. O modelo segue o exemplo das onsiderações vistas na gura 2.7.

GEOMETRIA DA MALHA:

C1 = 0.5 m

C2 = 0.5 m

L1 = 1 m

L2 = 2 m

H1 = 1 m

PROPRIEDADES DO MACIÇO:

γ = 1 kN/m3

cu = 1 kPa

Modelação -> Tres a

Dead load

23


CARREGAMENTOS:

σs -> Carga variável

σt -> Carga xa

O ponto seguinte passa por atribuir à estrutura as respetivas restrições que podem ser

visualizadas na gura 2.5. Após o pro esso de introdução de dados estar on luída orre-

se o heiro no programa mechpy. Este retorna o valor de olapso juntamente om o

número de iterações realizadas (Figura 2.17). Este valor embora não seja importante para

as on lusões do trabalho é essen ial para manter uma boa oerên ia ao longo de todas as

malhas.

Figura 2.17: Valor de olapso dado pelo mechpy

Na gura 2.18 é possível ver o resultado nal que programa mechpy apresenta. Permite-nos

também analisar de um modo grá o o andamento dos ál ulos durante todas as iterações e

assim onrmar a qualidade da malha. Um dado importante desta análise será onrmar a

boa onvergên ia do parâmetro Load. De seguida faz-se uma análise grá a dos resultados

prin ipalmente das dissipações e dos me anismos obtidos.

Figura 2.18: Esquema grá o do andamento dos ál ulos

24


o programa Paraview permite a visualização grá a dos resultados obtidos. Na gura

2.19a observa-se um esquema do ampo da taxa de dissipação plásti a numa malha inde-

formada e na gura 2.19b observa-se também at taxa de dissipação plásti a agora numa

malha deformada.

(a) Dissipação paraview

(b) Deslo amentos paraview

Figura 2.19: Exemplo grá o no Paraview

Note-se que para exempli ar de forma simples a metodologia de ál ulo usada é mostrada

uma gura de malha menos na do que as utilizadas nos ál ulos apresentados no apítulo

seguinte.

25


26

Capítulo 3

Apresentação e Análise de

Resultados

O presente apítulo apresenta os resultados obtidos nos ál ulos realizados om a meto-

dologia des rita anteriormente. Os resultados são apresentados ao longo de apítulo na

forma de tabela e grá os omparativos. São apresentadas também imagens dos modelos

pós- ál ulo de modo a ser possível uma melhor per eção do que a onte e na envolvente do

túnel.

São analisados diversos parâmetros da geometria de um túnel e de modo a seguir uma

estrutura oerente, o apítulo é estruturado à semelhança da riação das malhas de modo

a ser per etível o ritério de es olha utilizado.

3.1 Estudos Ini iais

A realização dos ál ulos tridimensionais omeçou pelos modelos P/D = 0. Esta malha é

menos omplexa do que a malha utilizada nos ál ulos de P/D 6= 0, e omo ini ialmente

era ne essário onrmar o bom omportamento das malhas, foi preferível no momento em

que o modelo estivesse de a ordo om os parâmetros desejados, realizar todos ál ulos

referentes a P/D = 0.

27

Apresentação e Análise de Resultados

Vários parâmetros são mantidos onstantes ao longo de todo o trabalho, sendo estes:

cu = 1 kPa

D = 1 m

σs = 0 kPa

σt var. = −1 kPa

σt fixo = 10 kPa

A grande variação nesta primeira fase é no parâmetro de C/D sendo que este toma os

valores de 0.5, 1, 2, 3 e 4. Juntamente a ada valor de C/D são al ulados quatro modelos

om γD/cu a variar entre 1, 2, 3 e 4. Estão assim riadas as ondições ne essárias para o

estudo de túneis om P/D = 0.

Para o ál ulo do número de estabilidade usa-se a equação segundo Broms e Bennermark

(1967):

N =σs − σt + γD ∗ (C

D+ 1

2)

cu(3.1)

A força σt é de omposta em duas omponentes: uma xa no sentido do interior do ma iço,

om valor de 10 kPa e outra variável om sentido do exterior do ma iço om valor de -1

kPa. O valor de σt é assim al ulado através da equação:

σt = σt fixo + (parâmetro_ ollapso ∗ σt var.) (3.2)

3.2 Resultados para P/D = 0

Apresentam-se então na Tabela 3.1 os resultados obtidos do estudo numéri o realizado para

o limite superior e inferior. É possível visualizar na tabela os valores de N para o Limite

Superior (UB) e Limite Inferior (LB) bem omo o respetivo valor de

σs − σtcu

. Estimou-se

também o erro máximo asso iado ao ál ulo realizado utilizando a seguinte formulação:

ǫ =

(

NUB −NLB

NLB

)

∗ 100 (3.3)

28


Tabela 3.1: Resultados UB e LB para túneis om P/D = 0

C/D = 0.5

γD

cuNLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

1 5.55 4.55 6.04 5.04 8.7

2 5.53 3.53 6.02 4.02 8.8

3 5.49 2.49 5.98 2.98 8.9

4 5.43 1.43 5.92 1.92 8.9

C/D = 1

γD

cuNLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

1 7.32 5.82 7.71 6.21 5.3

2 7.31 4.31 7.69 4.69 5.2

3 7.27 2.77 7.65 3.15 5.2

4 7.21 1.21 7.59 1.59 5.2

C/D = 2

γD

cuNLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

1 9.53 7.03 9.86 7.36 3.5

2 9.51 4.511 9.84 4.84 3.4

3 9.47 1.97 9.79 2.29 3.5

4 9.40 -0.61 9.73 -0.27 3.5

C/D = 3

γD

cuNLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

1 10.95 7.45 11.25 7.75 2.7

2 10.93 3.93 11.23 4.23 2.7

3 10.88 0.38 11.18 0.68 2.7

4 10.81 -3.20 11.11 -2.89 2.8

C/D = 4

γD

cuNLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

1 11.97 7.77 12.23 7.73 2.2

2 11.95 2.95 12.15 3.15 1.7

3 11.90 -1.61 12.08 -1.42 1.6

4 11.82 -6.18 - - -

29


3.2.1 Apresentação Grá a dos Resultados

Apresentam-se de seguida os valores da tabela 3.1, em formato grá o, omparando assim o

omportamento do número de estabilidade om diferentes valores de profundidade relativa

e de peso volúmi o normalizado do solo.

Mostra se nas guras 3.1a e 3.1b a junção do limite superior e inferior na mesma análise

de modo a obter um intervalo desejado entre as mesma. No apítulo seguinte irão ser

introduzidos os valores referentes à bibliograa existente de modo a estimar a qualidade

dos resultados do presente trabalho.

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

C/D

UBLB

PSfrag repla ements

σs−

σt

c u

γD/cu = 1γD/cu = 2γD/cu = 3γD/cu = 4

(a) Variação da tensão de olapso

σs − σt

cu om os diferentes C/D

30


4

6

8

10

12

14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

N

C/D

UBLB

PSfrag repla ements

γD/cu = 1γD/cu = 2γD/cu = 3γD/cu = 4

(b) Variação do número de estabilidade N om os diferentes C/D

Figura 3.1: Grá os referentes ao Limite Superior e Inferior para P/D = 0

3.2.2 Análise de Resultados

Da análise dos resultados obtidos é possível on luir que:

Na gura 3.1b é possível visualizar que para o valor do número de estabilidade, N,

não existem variações signi ativas para diferentes valores de γD/cu. A diferença

é aproximadamente 5 % em todos os asos, o que faz om que de ponto de vista

práti o o resultado esteja delimitado. Esta diferença não a onte e para o aso de

C/D = 0.5, embora esta seja inferior a 9 % sendo ainda a eitável do ponto de vista

de engenharia.

Em relação ao valor de

σs − σtcu

, existem diferenças signi ativas para os diferentes

γD/cu. A gura 3.1a revela uma grande zona de asos auto-sustentáveis para valores

de

σs − σtcu

superiores a zero, ao ontrário do exemplo mostrado em Davis et al. (1980)

exempli ado na gura 3.2a.

Das guras 3.3, 3.4, 3.5 e 3.6 é possível ver o ampo de dissipações nos modelos para

P/D = 0. Não é ne essária a visualização total de todos os γD/cu, porque omo

foi possível on luir, a diferença é bastante pequena quando se usa γD/cu om valor

de 1 e 4, podendo-se desprezar as variações que o orrem nos modelos om γD/cu de

valor 2 e 3.

31


É possível ver na tabela 3.1 e nas guras 3.1a, 3.1b que o modelo C/D = 4 om γD/cu

não foi ontabilizado nos ál ulos. O modelo teve um problema de onvergên ia.

Deste modo não entrará na análise dos resultados.

(a) Exemplo

σs − σt

curetirado de Davis et al. (1980)

Campo de dissipação para os modelos P/D = 0

(a) γD/cu = 1 (b) γD/cu = 4

Figura 3.3: Campo de dissipações para C/D = 0.5

32


(a) γD/cu = 1(b) γD/cu = 4

Figura 3.4: Campo de dissipações para C/D = 1

(a) γD/cu = 1 (b) γD/cu = 4


(a) γD/cu = 1(b) γD/cu = 4


33


(a) γD/cu = 1(b) γD/cu = 4


3.3 Resultados para P/D 6= 0

Apresenta-se agora os resultados e respetivos grá os resultantes dos ál ulos para mo-

delos om P/D 6= 0. Os parâmetros são os mesmos usados no modelo anteriormente

al ulado om a diferença de este ter uma distân ia não suportada na frente da es avação

omo exempli ado na gura 2.4b. No nal uma apresentação simultânea dos dois limites

possibilitando uma visualização geral do omportamento do modelo.

34


Tabela 3.2: Resultados UB e LB para túneis om P/D 6= 0 (P/D ≥ 1)

C/D = 0.5

P/D NLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

1 2.82 1.82 3.06 2.06 8.3

2 2.34 1.34 2.48 1.48 6.0

3 2.18 1.18 2.29 1.22 5.1

4 2.11 1.11 2.21 1.21 4.8

C/D = 1

P/D NLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

1 4.48 2.98 4.61 3.11 3.0

2 3.56 2.06 3.65 2.15 2.5

3 3.24 1.74 3.30 1.80 1.9

4 3.08 1.58 3.14 1.64 2.1

C/D = 2

P/D NLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

1 6.54 4.04 6.67 4.17 2.0

2 5.37 2.87 5.44 2.94 1.3

3 4.76 2.26 4.83 2.33 1.4

4 4.44 1.94 4.50 2.00 1.4

C/D = 3

P/D NLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

1 7.90 4.40 8.06 4.57 2.0

2 6.68 3.18 6.78 3.28 1.6

3 5.94 2.45 6.02 2.52 1.3

4 5.50 2.00 5.56 2.06 1.1

35


Apresentação grá a dos Resultados

Apresenta-se de seguida os valores apresentados na tabela 3.2, mas agora em formato

grá o, omparando assim o omportamento do número de estabilidade om diferentes

valores de obertura, peso volúmi o do solo e ainda diferentes valores para a distân ia não

suportada na frente do túnel.

2

3

4

5

6

7

8

0.5 1 1.5 2 2.5 3

N

C/D

UBLBP/D=1P/D=2P/D=3P/D=4

(a) Variação do número de estabilidade N om os diferentes C/D

2

3

4

5

6

7

8

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

N

P/D

UBLB

C/D=1C/D=2C/D=3C/D=4

(b) Variação do número de estabilidade N om os diferentes P/D

36


1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

P/D

UBLBC/D=1C/D=2C/D=3C/D=4

PSfrag repla ements

σs−

σt

c u

( ) Variação da tensão de olapso

σs − σt

cu om os diferentes P/D

Figura 3.8: Grá os referentes ao Limite Superior e Inferior para P/D 6= 0 (P/D ≥ 1)

3.3.1 Resultados adi ionais para P/D 6= 0

Como já foi dito anteriormente após a on lusão dos ál ulos para os asos om P/D 6= 0

foi ne essária a riação de malhas suplementares para uma melhor omparação om a

literatura existente. Na se ção anterior o valor de P/D mais baixo utilizado foi de 1.

Neste aso são riadas malhas om valores de P/D de 0.1, 0.25 e 0.5. Estes modelos são

riados para os quatro valores de C/D anteriormente analisados, sendo estes: 0.5, 1, 2 e 3.

Seguindo o mesmo pro esso utilizado anteriormente na Tabela 3.1 apresenta-se o número

de estabilidade, N , seguido do valor de

σs − σtcu

e o erro asso iado ǫ.

37


Tabela 3.3: Resultados UB e LB para túneis om P/D 6= 0 (P/D < 1)

C/D = 0.5

P/D NLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

0.1 5.07 4.07 5.48 4.48 8.2

0.25 4.56 3.56 4.85 3.85 6.4

0.5 3.76 2.76 4.00 3.00 6.5

C/D = 1

P/D NLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

0.1 6.74 5.25 7.03 5.53 4.2

0.25 6.16 4.66 6.40 4.90 3.9

0.5 5.46 3.96 5.64 4.14 3.2

C/D = 2

P/D NLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

0.1 8.91 6.41 9.19 6.69 3.1

0.25 8.32 5.82 8.52 6.02 2.4

0.5 7.53 5.03 7.75 5.25 3.0

C/D = 3

P/D NLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

0.1 10.28 6.78 10.65 7.15 3.6

0.25 9.68 6.18 9.95 6.45 2.8

0.5 8.92 5.42 9.18 5.68 3.0

38


3.3.2 Apresentação Grá a dos Resultados

Os grá os apresentados na gura 3.9 apresentam os novos valores al ulados adi ionados

aos valores já existentes, riando assim uma ontinuidade e possibilitando uma melhor

visualização do omportamento da es avação om diferentes distân ias não suportadas.

2

4

6

8

10

12

14

0.5 1 1.5 2 2.5 3

N

C/D

UBLBP/D=0.1P/D=0.25P/D=0.5P/D=1P/D=2P/D=3P/D=4

(a) Variação do número de estabilidade N om os diferentes C/D

2

4

6

8

10

12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

N

P/D

UBLB

C/D=0.5C/D=1C/D=2C/D=3

(b) Variação do número de estabilidade N om os diferentes P/D

39


1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

P/D

UBLBC/D=1C/D=2C/D=3C/D=4

PSfrag repla ements

σs−

σt

c u

( ) Variação da tensão de olapso

σs − σt

cu om os diferentes P/D

Figura 3.9: Grá os referentes ao Limite Superior e Inferior para P/D 6= 0

3.3.3 Análise de Resultados

Na gura 3.15b é possível visualizar que o me anismo orresponde prati amente ao

olapso do teto. Comparativamente para o mesmo valor de P/D mas om valor

superior de C/D, na gura 3.17b o me anismo ainda não orresponde totalmente

ao olapso do teto hegando-se à on lusão que quanto maior o valor de C/D mais

tarde se dá o me anismo de olapso total do teto.

Ao analisar a Figura 3.9 todos os valores de

σs − σtcu

são positivos e hega-se à on-

lusão que nesta situação todos os modelos estudados são auto sustentáveis. Compa-

rativamente om os resultados obtidos anteriormente em P/D = 0, foram atingidos

melhores resultados nesta gama de modelos.

Na gura 3.9b é possível visualizar a aproximação dos valores do Limite Superior

e do Limite Inferior para ada exemplo de C/D, on luindo a proximidade destes

resultados à solução exata.

40


Campo de dissipações para os modelos P/D 6= 0 (P/D < 1)

As Figuras 3.10, 3.11, 3.12 e 3.13 referentes aos modelos om P/D < 1 ilustram os diferentes

me anismos que o orrem om o aumento da zona não suportada P/D. Todos os modelos

aqui apresentados ilustram o aso do TRS.

(a) P/D = 0.1

(b) P/D = 0.25

( ) P/D = 0.5


(a) P/D = 0.1(b) P/D = 0.25

( ) P/D = 0.5


(a) P/D = 0.1

(b) P/D = 0.25

( ) P/D = 0.5


41


(a) P/D = 0.1

(b) P/D = 0.25

( ) P/D = 0.5


Campo de dissipações para os modelos P/D 6= 0 (P/D ≥ 1)

As Figuras 3.14, 3.15, 3.16 e 3.17 referentes aos modelos om P/D ≥ 1 ilustram os diferentes

me anismos que o orrem om o aumento da zona não suportada P/D. Todos os modelos

aqui apresentados ilustram o aso do TRS.

(a) P/D = 1

(b) P/D = 2

( ) P/D = 3

(d) P/D = 4


42


(a) P/D = 1

(b) P/D = 2

( ) P/D = 3 (d) P/D = 4


43


(a) P/D = 1

(b) P/D = 2

( ) P/D = 3

(d) P/D = 4


44


(a) P/D = 1

(b) P/D = 2

( ) P/D = 3

(d) P/D = 4


45


46

Capítulo 4

Comparação dos Resultados

No desenvolvimento do presente trabalho foi efetuado um estudo bibliográ o de modo

que fosse possível a omparação entre valores obtidos neste estudo om os trabalhos já

existentes. No entanto é importante notar que grande parte da bibliograa en ontrada é

fo ada no estudo bi-dimensional. E para o aso de P/D 6= 0 são pou os os trabalhos que

se enquadram neste tema.

Deste modo, os resultados obtidos são neste apítulo analisados omparando diretamente

om os valores já existentes nos seguintes trabalhos:

Stability of lay at verti al openings, Broms e Bennermark (1967)

The stability of shallow tunnels and underground openings in ohesive material, Davis

et al. (1980)

The assessment of tunnel satability in lay by model tests, Casarin e Mair (1981)

Fa e Stability Analysis of Cir ular Tunnels Driven by a Pressurized Shield, Mollon

et al. (2010)

Continuous velo ity elds for ollapse and blowout of a pressurized tunnel fa e in

purely ohesive soil, Mollon (2013)

Geote hni al stability analysis, Sloan (2013)

Three-dimensional undrained tunnel fa e stability in lay with a linearly in reasing

shear strength with depth, Ukrit hon et al. (2017)

47


4.1 Análise para P/D = 0

Na omparação om outros autores dos valores obtidos nos ál ulos de P/D = 0, de idiu-

se utilizar apenas um valor de γD/cu de modo a fa ilitar a visualização grá a. Como é

possível ver na gura 3.1b, os valores do número de estabilidade prati amente não variam

om o aumento do parâmetro de γD/cu. Dito isto, nas análises grá as seguintes os

resultados apresentados mostram apenas um parâmetro dos valores obtidos.

Optou-se por dividir a análise em dois grá os distintos, fa ilitando assim a visualização

dos mesmos de forma a permitir a omparação dos diferentes resultados en ontrados na

literatura. De notar que em ambos os grá os se es olheu manter os valores de Davis et

al. (1980) de modo a ser possível enquadrar os limites superior e inferior.

A primeira análise fo a-se nos resultados mais antigos omo Casarin e Mair (1981) e Broms

e Bennermark (1967). Analisando a Figura 4.1 podem observar-se os seguintes pontos:

Analisando primeiramente o limite superior, para túneis om C/D = 0.5, o valor

de estabilidade ao olapso mantém-se prati amente igual. Signi a isto, que valores

obtidos por Davis et al. (1980) são ainda muito próximos dos melhores existentes.

Com o aumento da altura de re obrimento o orre uma diferen iação signi ativa

do número de estabilidade. Como exemplo mais extremo o túnel om C/D = 4

tinha segundo Davis et al. (1980) valor aproximado de 18.90. No presente trabalho

onseguiu-se atingir o numero de estabilidade de 12,23 para o limite superior. A

diferença entre os valores de Davis et al. (1980) e os en ontrados neste trabalho, são

mais signi ativas em C/D maiores.

No aso do limite inferior, a melhoria é também signi ativa omo foi visto no aso

anterior. A linha do limite inferior onseguida neste trabalho segue aproximadamente

uma paralela relativa aos valores de Davis et al. (1980). Isto quer dizer que mesmo

em túneis om C/D maiores, nun a houve uma variação tão grande omo a o orrida

no limite superior.

48

4.1 Análise para P/D = 0

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

N

C/D

UBLBPresente trabalhoDavis et al.(1980)Casarin e Mair (1981)Broms e Bennermark (1967)

Figura 4.1: Comparação do número de estabilidade, N, om outros autores

A segunda gura analisa alguns dos trabalhos mais re entes realizados por Mollon et al.

(2010), Mollon et al. (2012) e ainda Ukrit hon (2017). Neste aso de idiu-se deixar os

valores de Davis et al. (1980) presentes na gura, por já se ter visto anteriormente, serem

valores extremos em termos de resultados de análise limite. Assim, apresenta-se os pontos

importantes que se podem retirar da Figura 4.2:

Mollon et al. (2010) analisa a estabilidade tri-dimensional para o limite superior da

análise limite re orrendo a me anismos denidos por blo os rígidos (Figura 4.3). Com

estes me anismos os resultados de Davis et al. (1980) são ligeiramente melhorados.

Mollon et al. (2012) onseguiram uma melhoria signi ativa de aproximação do limite

superior re orrendo a me anismos de deformação ontínua. Em termos de Teorema

de Região Superior os valores do presente trabalho são os melhores existentes. Na

realidade os me anismos obtidos, omo se viu no apítulo anterior, não são formados

ex lusivamente por blo os rígidos nem por zonas ex lusivas de deformação ontínua,

mas sim pela ombinação de ambas, o que só um método numéri o de otimização

pare e permitir obter.

É possível visualizar que os valores obtidos por Ukrit hon (2017) se en ontram pró-

ximos dos obtidos neste trabalho. Neste aso foi usado o programa de elementos

nitos PLAXIS om omportamento elásti o perfeitamente plásti o. Estes valores

são apenas indi ativos por não ser possível em geral lo alizar os resultados em relação

à solução exata. (gura 4.4)

49


0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

N

C/D

UBLBPresente trabalhoDavis et al.(1980)Mollon et al.(2010)(UB)Mollon et al.(2012)(UB)Ukritchon et al.(2017)(UB)

Figura 4.2: Comparação do número de estabilidade, N, om outros autores

PSfrag repla ements

Túnel

Interseção om a superfí ie

Figura 4.3: Malha utilizada por Mollon no estudo tri-dimensional (adaptado Mollon (2010))

50

4.2 Análise para P/D 6= 0

Figura 4.4: Malha utilizada por Ukrit hon no estudo tri-dimensional (adaptado Ukrit hon

(2017))


Começa-se por analisar os resultados obtidos para o ál ulo da análise limite re orrendo

aos elementos nitos para a arga de estabilidade dos limites superior e inferior. Sloan

(2013) omeçou por analisar este tema para estudos 2D. A gura 4.5 apresenta a variação

de σt/cu para vários valores de C/D. É possível veri ar a on ordân ia de resultados

para os limites de estabilidade entre os apresentados no seu trabalho e os resultantes de

ensaios em entrifugadora de Mair (1979). Sloan (2013) apresenta resultados de ál ulos

3D UB e LB, para um aso geométri o de C/D = 3 e e de arregamento γD/cu = 3.6.

Constata-se na gura 4.6 que ao ontrário do aso 2D há um afastamento laro entre as

aproximações do TRI e do TRS no aso tridimensional e ainda quando omparado om os

valores experimentais obtidos em entrifugadora também por Mair (1979), note-se que os

resultados experimentais se lo alizam todos sistemati amente na zona que a teoria prevê

omo a de estabilidade. A diferença entre a solução de LB apresentada e os resultados

experimentais é onstante para os diferentes valores de P/D, podendo também indi ar um

problema de interpretação dos resultados experimentais.

51


Figura 4.5: Comparação da análise limite om os resultados de Mair(1979) para estudos

2D (adaptado Sloan (2013))

Figura 4.6: Comparação da análise limite om os resultados de Mair(1979) para estudos

3D (adaptado Sloan (2013))

Com o propósito de melhorar estes resultados foi riado um modelo idênti o ao utilizado

por Sloan. Um túnel om as seguintes ara terísti as: C/D = 3 e γD/cu = 3.6. Os

parâmetros analisados serão os mesmos: variação de σt/cu om o aumento da distân ia

não suportada, P/D, tomando os valores de 0, 1, 2, 3 e 4.

52


O primeiro modelo al ulado apesar de resultar em bons valores em termos de arga (gura

4.7) a visualização grá a do modelo levou à on lusão do mau fun ionamento deste, o que

ne essitou de uma segunda iteração. Na gura 4.8 é possível visualizar a dissipação obtida.

realçando que as zonas importantes das ondições limite estão muito próximas do túnel.

É ne essário assim aumentar as dimensões dos limites exteriores do modelo (2ª iteração).

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

P/D

UBLBSloanPSfrag repla ements

−

(

σs−

σt

c u

)

1ª iteração

Figura 4.7: 1º iteração da omparação om Sloan 2013 da variação da tensão de olapso

σs − σtcu

om os diferentes P/D

Figura 4.8: Dissipação plásti a obtida para resultados de LB na 1º iteração (C/D = 3 e

γD/cu=3.6)

53


Com o posterior aumento dos limites do modelo (2ª Iteração), obtém-se uma nova gama

de valores que podem ser vistos na tabela 4.1. Estes resultados permitem uma análise

oerente do aso em estudo. Como é possível veri ar na imagem 4.9, o modelo da 2ª

iteração já não apresenta qualquer erro, e as dissipações já o orrem omo esperado.

Tabela 4.1: Resultados para UB e LB utilizando o modelo de Sloan (2013)

P/D NLB

(

σs − σtcu

)LB

NUB

(

σs − σtcu

)UB

ǫ (%)

0 10.84 1.762 11.14 1.464 2.8

1 8.04 4.560 8.25 4.353 2.6

2 6.85 5.743 7.01 5.594 2.2

3 6.13 6.465 6.24 6.355 1.8

4 5.69 6.913 5.78 6.821 1.6

Figura 4.9: Dissipação plásti a obtida, resultados de LB na 2ª iteração (C/D = 3 e

γD/cu=3.6)

A gura 4.10 ompara os resultados obtidos om os apresentados por Sloan (2013). Constata-

se que os resultados obtidos promovem uma signi ativa melhoria em relação aos resultados

anteriores de Sloan (2013). Essa melhoria onduz a resultados que permitem estabele er

que a arga limite está, do ponto vista práti o, en ontrado.

É também evidente a melhoria dos resultados LB garantido pelo afastamento das zonas

limite das malhas das túneis do segundo modelo. Isto é devido ao fun ionamento dos

elementos de extensão que para se poderem propagar para o innito numa solução plas-

ti amente admissível, ne essitam de uma malha de maiores dimensões de modo que a

54


dissipação não ultrapasse os limites impostos na malha.

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

P/D

UBLBSloan

PSfrag repla ements

−

(

σs−

σt

c u

)

1ª iteração

2ª iteração

Figura 4.10: Comparação om Sloan 2013 da variação da tensão de olapso

σs − σtcu

om

os diferentes P/D

55


56

Capítulo 5

Con lusões e Desenvolvimentos

Futuros

Nesta dissertação foi desenvolvido um estudo de análise de argas de olapso de túneis

ir ulares. Foi utilizado o programa de elementos nitos me hpy que permite analisar

este aso pelo Teorema da Região Superior e da Região Inferior da análise limite. Foram

analisados dois tipos de túneis de maneira a determinar o número de estabilidade e solução

exata para o problema da análise limite. Numa primeira fase analisou-se túneis om valores

de P/D = 0. Numa segunda fase foram analisados os restantes túneis om valores de

P/D 6= 0. Por m, foi feita uma omparação dos resultados retirados deste trabalho om

os presentes na literatura existente.

Em ambas as situações para P/D = 0 e P/D 6= 0, os modelos analisados no presente

trabalho promovem uma melhoria substan ial quando omparados om os resultados exis-

tentes na literatura. Analisados os resultados dos ál ulos do número de estabilidade, N,

on lui-se que através da análise foi possível atingir prati amente o valor exato da solução.

Os resultados do Teorema da Região Superior e Teorema da Região Inferior levou-nos a

valores quase exatos, e mesmo não tendo hegado à qualidade dos valores bi-dimensionais,

são do ponto de vista práti o bastante a eitáveis.

Da análise dos resultados obtidos neste trabalho para os modelos P/D = 0 pode-se on luir

que o valor de peso volúmi o do solo, γ, não inuen ia a estabilidade do túnel, não fazendo

variar signi ativamente o número de estabilidade N embora esta situação não a onteça

do ponto de vista práti o, visto que σs − σt varia om diferentes valores de γ do solo.

57

Con lusões e Desenvolvimentos Futuros

Ainda para os asos de P/D = 0, veri ou-se que a vasta maioria dos modelos analisados

no presente trabalho apresentam ara terísti as auto-portantes, ex eto alguns modelos om

C/D de maior valor. No mesmo tema, todos os P/D 6= 0 veri aram ser auto-portantes

melhorando signi ativamente alguns dos resultados existentes na literatura.

Para um estudo futuro rela ionado om argas de olapso de túneis, seria interessante abor-

dar diferentes parâmetros não estudados neste trabalho. Entre eles, diferentes abordagens

à envolvente do túnel, omo as ara terísti as do solo. Neste trabalho foi utilizado solo

om ara terísti as homogéneas e seria interessante aprofundar este tema om um solo de

ara terísti as heterogéneas, podendo este ser tratado de duas formas distintas, Sendo a

primeira a modelação do solo om variação de cu linear om o aumento da profundidade.

O segundo aso de estudo entrar-se-ia no estudo da variabilidade de cu ao longo de todo

o terreno, sendo esta última a que mais se enquadra num exemplo real.

Com uma maior apa idade omputa ional seria possível desenvolver malhas om valo-

res de P/D maiores aos estudados neste trabalho, para se retirar on lusões da eventual

aproximação dos modelos tridimensionais aos resultados bidimensionais já existentes.

Desenvolver modelos de túneis om geometrias diferentes das utilizadas neste trabalho,

possibilitando assim um aumento da informação disponível para uma maior gama de dife-

rentes tipos de túneis.

58

Bibliograa

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