NEWTON

Precursores

“Se fui capaz de ver mais longe, é porque me apoiei sobre os ombros de gigantes”

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Copérnico: Sistema heliocêntrico (1543: De Revolutionibus). Tycho Brahe: Observações astronômicas precisas. Johannes Kepler: As três leis do movimento planetário (1ª e 2ª, Astronomia Nova, 1609; 3ª, Harmonices Mundi, 1619). Galileu: Observações com o telescópio (1609); lei da inércia (Os Dois Principais Sistemas do Mundo, 1632); queda dos corpos, movimento uniformemente acelerado (Duas Novas Ciências, 1638). Huygens: força centrífuga (1659; publicado em Horologium, 1673). Cavalieri, Pascal, Fermat, Gregory, Wallis: Primórdios do cálculo diferencial e integral. Descartes: A Geometria (1637) e Os Meteoros (1637: arco-íris). Mas: O Mundo (1664): Teoria dos Vórtices para explicar os movimentos dos planetas: seriam arrastados por um “éter de vórtices”, como barcos por uma correnteza. Nos Principia, Newton iria refutá-la. Royal Society: Fundada em 1662, quando Newton tinha 20 anos.

Educação (1642–65).

Newton nasceu em 1642, já órfão de um pai fazendeiro analfabeto. Quando tinha 3 anos, a mãe casou de novo e mandou-o para a casa dos avós, que o criaram. Com a ajuda de um tio, conseguiu ingressar em Cambridge aos 18 anos. Para sustentar seus estudos, serviu como ‘subsizar’, criado para todo serviço (inclusive limpeza) dos colegas mais ricos. Seu afastamento dos pais deve ter influído em sua personalidade: Tornou-se extremamente fechado, solitário, desconfiado, arredio. Teve disputas acirradas com Hooke e com Leibniz sobre prioridades. Um dos raros registros de riso: quando perguntado para que serviria estudar os Elementos de Geometria de Euclides. Nunca se casou. Bacharelou-se em 1665, sem distinção especial. Foi o ano da grande epidemia de peste, que dizimou 10% da população de Londres. Cambridge foi fechada e Newton voltou à fazenda natal de Woolsthorpe, onde ficou por 18 meses – sem acesso a livros nem à Universidade.

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Woolsthorpe e macieira

O que fez durante esse período?

Os anni mirabiles (1665-6)

Descrição de Newton (um ano antes de sua morte):

“No princípio de 1665, encontrei o Método de aproximação de séries e a Regra para reduzir qualquer potência de um Binômio a uma série (binômio de Newton e série binomial). Em maio do mesmo ano, desenvolvi o método das Tangentes de Gregory e Slusius (fórmula de interpolação de Newton), e em novembro o método direto das fluxões (invenção do cálculo diferencial). No ano seguinte, em janeiro, a Teoria das Cores (primeiras experiências com o prisma e espectro da luz solar), e em maio os princípios do método inverso das fluxões (invenção do cálculo integral). No mesmo ano comecei a pensar na gravidade como se estendendo até a órbita da Lua, e ... da lei de Kepler sobre os períodos dos planetas ... deduzi que as forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem ser inversamente proporcionais ao quadrado das distâncias aos centros em torno dos quais as descrevem; tendo então comparado a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície da Terra, e encontrado que concordavam bastante bem entre si. Tudo isto foi nos dois anos da peste, 1665-1666, pois naquela época eu estava na flor da idade para invenções, e me ocupava mais de matemática e filosofia (física) do que em qualquer época posterior.”

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“Concordavam bastante bem” significa que Newton sabia calcular a força gravitacional, ou seja, que já tinha formulado os princípios da dinâmica pelo menos neste caso (órbitas circulares). Parte dos resultados matemáticos obtidos por Newton neste período foram comunicados por ele a Isaac Barrow, seu professor de matemática em Cambridge, em 1669, com o título De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (Análise por séries infinitas). Continham pela primeira vez as expansões em séries de potências de ex, sen x e cos x.

Experimentos de Ótica

Em 1669, Barrow renunciou à sua cátedra de matemática (‘Lucasian Professor’) em favor de Newton. Como ‘Lucasian Professor”, Newton instalou o 1º e único laboratório da época em Cambridge, para experimentos de ótica. Para fabricar lentes, inventou um processo de polimento ótico usado até hoje. A aberração cromática devida à dispersão do vidro prejudica os telescópios de transmissão (e motivou os estudos de Newton sobre as cores). Para evitá-la, inventou e construiu, em 1669, o primeiro telescópio refletor (ainda hoje o mais usado), que não é afetado por ela. O telescópio, com 15 cm de comprimento, aumentava 40 vezes, mais do que um telescópio refrator de 2 m. A pedido da Royal Society, presenteou-a em 1671 com outro, que lá está até hoje. Em consequência, Newton foi eleito, em 1672, membro da Royal Society.

Nesse mesmo ano, publicou seu primeiro trabalho, em Philosophical Transactions, descrevendo seus experimentos com o prisma. Em particular, o experimentum crucis,

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que o levou a concluir: “A luz (solar) consiste de raios de diferentes refrangibilidades.” Esta idéia era tão revolucionária para a época que mesmo Huygens e Hooke não a compreenderam bem e levantaram objeções sem sentido. Juntamente com outras, irritaram tanto Newton que ele decidiu que nunca publicaria mais nada: “A filosofia (ciência) é uma dama tão litigiosa que ocupar-se dela é o mesmo que envolver-se em processos na justiça.” Entre os anos de 1670 e 1680, dedicou-se à alquimia e teologia. Deu cursos de álgebra (publicados em Arithmetica Universalis, 1707), com resultados básicos : raízes de equações e métodos de aproximá-las.

A publicação dos Principia

Em 1684, após uma discussão com Christopher Wren e Robert Hooke, Edmund Halley visitou Newton em Cambridge para perguntar qual seria a órbita de um planeta atraído pelo Sol inversamente ao quadrado da distância. –“Uma elipse”. –“Como sabe?” – “Já provei faz muito tempo.” Instado a fornecer sua prova, Newton deu duas demonstrações diferentes, num opúsculo, De motu corporum. Halley, entusiasmado, convenceu Newton (com muito trabalho) a escrever um tratado, e assumiu os custos da publicação pela Royal Society.

A redação dos Principia levou 18 meses de concentração tão intensa que Newton com frequência se esquecia de comer ou dormir. A publicação deu-se em 05-07-1687.

Ainda em 1687, Newton foi a Londres defender as universidades de uma intervenção ditatorial do rei Jaime II, que queria tornar todas católicas. Sua coragem levou-o a ser eleito representante da Universidade de Cambridge no Parlamento. Em 1696, foi nomeado para a Casa da Moeda, que passou a dirigir em 1699. Supervisionou, com grande competência, a reforma da moeda, um problema crucial para a economia britânica da época.

Máquina de serrilhar moedas

Em 1703, foi eleito Presidente da Royal Society. A 1ª edição da Ótica foi publicada em 1704; as seguintes, em 1717 e 1721. Newton morreu em 1727, gozando de uma reputação imensa em toda a Europa, e foi enterrado, com honras nacionais, na Abadia de Westminster – única vez em que isso ocorreu com um cientista .

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Conteúdo dos Principia

Definições e Axiomas (Leis do Movimento):

•Movimento absoluto e relativo – para diferenciá-los, refere-se à experiência do balde com água girante, como indicador de rotação ‘absoluta’.

•As 3 Leis de Newton – A 2ª Lei é formulada em termos da taxa de variação do momento, permanecendo válida na Relatividade Restrita.

PRL 98, 150801 (2007) PHYSICAL REVIEW LETTERS week ending 13 APRIL 2007 Laboratory Test of Newton’s Second Law for Small Accelerations

We have tested the proportionality of force and acceleration in Newton’s second law, F = ma, in the limit of small forces and accelerations. Our tests reach well below the acceleration scales relevant to understanding several current astrophysical puzzles such as the flatness of galactic rotation curves, the Pioneer anomaly, and the Hubble acceleration. We find good agreement with Newton’s second law at accelerations as small as 5 10–14

m s-–2.

Livro I – O Movimento dos Corpos

(O primeiro tratado de Mecânica de Partículas) •Problema de 2 corpos – Newton demonstra que uma força atrativa em r–2 leva a órbitas elípticas (mais geralmente, secções cônicas) satisfazendo às leis de Kepler.

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•Teoria das perturbações – É criada por Newton, para tratar da perturbação do Sol sobre o sistema Terra-Lua (problema de 3 corpos!). •Atração gravitacional de uma esfera homogênea – Demonstração de que atua como se toda a massa estivesse concentrada no centro. Este resultado, essencial para comparar a queda da maçã com a órbita da Lua, custou a Newton 20 anos de esforço até obter uma demonstração satisfatória.

Livro II – Movimento de Corpos em Meios Resistentes (O primeiro tratado de Mecânica dos Flúidos)

•Movimento num flúido viscoso - Newton discute o movimento com resistência proporcional a v ou a v2. Formula a lei de Newton da viscosidade de flúidos reais. •Cálculo das Variações – Calcula qual deve ser a forma de um corpo de revolução para que minimize a resistência ao deslocar-se dentro de um flúido, comentando que “poderia ser útil na construção de navios”. Este é um problema de Cálculo das Variações! (Um parêntese: Em 1696, Johann Bernoulli e Leibniz formularam um desafio “aos maiores matemáticos do mundo”: resolver o problema da braquistócrona, obtendo a curva que liga 2 pontos quaisquer num plano vertical, ao longo do qual uma partícula cairia, sem atrito, no menor tempo possível. Depois de ficar 6 meses sem solução, foi proposto a Newton, quando regressava de um longo dia na Casa da Moeda. Newton resolveu-o logo depois do jantar e comunicou o resultado à Royal Society, anonimamente. Ao ver a solução, porém, Bernoulli reconheceu o autor, exclamando: “Ex ungue leonem!” O feito repetiu-se 20 anos mais tarde, aos 74 anos, com um novo desafio proposto por Leibniz – também foi resolvido logo depois do jantar!). •Propagação de ondas num flúido – Tratada pela primeira vez! Obtém a velocidade de propagação e aplica o resultado para calcular a velocidade do som no ar. Uma discrepância de 15% com os resultados experimentais mais precisos da época só pôde ser explicada em 1816 por Laplace (propagação adiabática em lugar de isotérmica). •Escoamento com vórtices – Também é tratado. Demonstra que a teoria de Descartes do movimento planetário contradiz as leis de Kepler.

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Livro III – O Sistema do Mundo

(Aplicações à Astronomia)

•Massa inercial e massa gravitacional – Não só distinguiu claramente os dois conceitos, como fez experiências para compará-las, verificando que coincidiam com precisão de uma parte em 103! •Satélites – Mostra que a lei da gravitação explica não só o movimento da Lua em torno da Terra (levando em conta a perturbação do Sol), como também o dos satélites de Júpiter e Saturno.

Newton, precursor da NASA

•Massas do Sol e dos planetas – Calcula-as em termos da massa da Terra, cuja densidade média estima entre 5 e 6 vezes a da água (valor atualmente aceito: ~ 5,5).

•Forma da Terra – Calcula o achatamento nos polos e alargamento no equador devido à rotação da Terra, obtendo uma elipticidade de 1/230 (valor atualmente aceito: ~ 1/297). Confirmado por La Condamine numa expedição geodética após a morte de Newton. Comentário de Voltaire:

Vous avez trouvé par de longs ennuis Ce que Newton trouva sans sortir de chez lui.

•Variação local de g – Calcula a variação da aceleração da gravidade com a posição na superfície da Terra. •Marés – Explica as marés, através das atrações da Lua e do Sol sobre os oceanos e desenvolve a primeira teoria quantitativa. •Cometas – Dá a primeira teoria de seu movimento e aplica-a ao cometa Halley (observado por este em 1682).

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•Precessão dos equinócios – Mesmo para Newton, um tour de force : calcula-a em termos do torque exercido pela Lua e pelo Sol sobre a forma esferoidal daTerra. Obtém o valor de 50"/ano, em excelente acordo com a experiência.

Escólio Geral (Conclusão)

Newton formula finalmente a Lei da Gravitação Universal:

“(A gravidade) ... opera ... proporcionalmente à quantidade de matéria ... e propaga sua virtude para todos os lados a distâncias imensas, decrescendo sempre com o inverso do quadrado da distância. Mas até agora não fui capaz de descobrir a causa dessas propriedades da gravidade a partir de fenômenos, e não formulo hipóteses (ou seja, conjecturas sem base na experiência, como a teoria dos vórtices de Descartes) ... Para nós basta que a gravidade existe e atua conforme as leis que explicamos, e serve plenamente para dar conta de todos os movimentos dos corpos celestes e dos oceanos.”

“Partindo destes princípios, Newton conseguiu explicar os movimentos dos planetas, luas e cometas, até os mínimos detalhes, assim como as marés e o movimento de precessão da Terra - uma realização dedutiva de magnificência única.”

Albert Einstein

“...que um corpo possa atuar sobre outro à distância através do vácuo, sem qualquer agente intermediário para transmitir esta ação de um ao outro, parece-me um absurdo muito grande ...”

Newton, carta a Bentley, 1693 O problema de encaixar a gravidade dentro da física, reconciliando a interação gravitacional com a mecânica quântica, continua sem solução até hoje.

Nature 421, 922-925 (27 February 2003) The experiment by Long et al. is the latest search for deviations from the inverse-square law. Their results

set the best constraints so far on any departure from that law between 10 and 100 microns, and have ruled out much — although not all — of the remaining parameter space for new forces. So far, Newton is

holding his ground.

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Conteúdo da Ótica

Área favorita de Newton. Livro em inglês: leitura fácil e agradável.

“Meu objetivo é formular e provar as propriedades da luz pela

Razão e por Experimentos”.

Livro I •Teoria das Cores – Deduz, a partir dos experimentos com prismas, que “a luz solar é composta de raios de diferente refrangibilidade” – decomposição espectral. Forma elongada (não circular) do espectro.

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•Aberração cromática – Discute-a e mostra que limita a construção de telescópios de transmissão. •Arco-íris – Explica as cores e calcula a largura angular dos arcos primário e secundário, (levando em conta o diâmetro aparente do Sol), em boa concordância com suas próprias observações, muito precisas.

•Telescópio refletor – Descreve sua construção e os métodos que desenvolveu para polimento ótico. Observa que “Sempre haverá certas limitações ao uso de telescópios. A atmosfera .. está em perpétua vibração, como pode ser observado ... pela cintilação das estrelas fixas ... O único remédio consiste em observar através de uma atmosfera tranquila, tal como pode encontrar-se às vezes no cume das mais altas montanhas...”

Livro II

•Cores aditivas e subtrativas – Discute os diferentes tipos de cores dos objetos, associadas a absorção seletiva e transmissão, de forma

essencialmente correta. Propõe a primeira teoria da visão das cores.

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•Cores de lâminas delgadas – Observações sobre cores de lâminas delgadas transparentes, como bolhas de sabão. •Anéis de Newton – Newton, também extraordinário como experimentador, mediu os seus raios procurando atingir, a olho nu, uma precisão do centésimo de polegada (1/4 mm!) O caráter periódico sugeria um fenômeno ondulatório.

Natureza da luz: Teoria corpuscular ou teoria ondulatória?

Dificuldade para a teoria corpuscular da luz:

Como explicar a reflexão e transmissão parciais na interface entre

dois meios?

Uma possibilidade seria uma “porosidade” do meio onde a luz penetra: as suas partículas sólidas refletiriam e os poros transmitiriam. Como Newton eliminou essa possibilidade? Richard Feynman (em “QED”): “Newton era um grande homem. Escreveu: “Sei pelo polimento do vidro”. Ele sabia que, ao polir, estava arranhando a superfície com pós cada vez mais finos. Quanto mais finos os arranhões, mais transparente o vidro ficava. Logo, os arranhões mais finos e irregularidades muito pequenas não afetavam a luz”. Newton concluiu que a reflexão é uma propriedade da interface como um todo, e não de partes dela. Neste ponto Newton conjecturou que a matéria é muito mais

porosa do que se imagina: mesmo numa substância como o ouro,

suas“partículas sólidas ”ocupariam apenas uma pequena fração do espaço

– a matéria seria principalmente espaço vazio!

Como então explicar o que leva um corpúsculo de luz a refletir-se

ou a transmitir-se?

A hipótese dos ‘acessos’ (ondas piloto?) de Newton

“... assim como uma pedra que cai na água produz nela um movimento ondulatório,... analogamente todos os raios de luz, ao colidirem com qualquer superfície refratora ou refletora,... provocam no meio... vibrações... que se propagam... como se propagam no ar as ondas sonoras devidas às vibrações dos corpos, e se deslocam mais rapidamente que os raios e... quando um raio se encontra na parte da vibração que ajuda seu movimento, quebra-se facilmente numa superfície refratora, mas, quando se encontra na parte contrária, ... é facilmente refletido” (‘acessos de fácil transmissão ou fácil reflexão’). O “meio”pode ser um éter, cuja densidade varia com a natureza do material e desempenha um papel análogo ao da constante dielétrica. O intervalo entre dois acessos corresponde ao comprimento de onda, e Newton foi o primeiro a associá-lo à cor, observando que os intervalos maiores corresponderiam ao vermelho e os menores ao violeta. Das medidas dos anéis, concluiu que o semi-período espacial, para a cor limite entre amarelo e alaranjado, é de 1/89.000 de polegada, o que corresponde a um comprimento de onda de 570 nm, concordando dentro

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de 5% com o valor atualmente aceito. Young, analisando as medidas de Newton, encontrou: vermelho 670 nm, : violeta 440 nm.

A analogia ótico-mecânica

Principia, Livro I: “Devido à analogia entre a propagação dos

raios de luz e o movimento das partículas, formulei as seguintes

Proposições, sem considerar a natureza dos raios luminosos, se são

ou não corpúsculos, mas apenas comparando as trajetórias de raios

com aquelas de partículas”.

Modêlo de Newton para a reflexão total (antecipa o deslocamento

Goos-Hänchen!):

Livro III

Contém as observações experimentais de Newton sobre a inflexão (difração) da luz, observada anteriormente por Grimaldi. Newton mediu com grande precisão franjas de difração produzidas por objetos tais como fios de cabelo, gumes de facas e fendas estreitas.

Termina dizendo: “...Embora desejasse prosseguir nestas experiências ... fui interrompido e não poderei levá-las a cabo. Por isto, concluirei propondo algumas questões para que outros possam ir mais adiante.”

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As Questões de Newton (Uma amostragem)

Qu. 1: “Não será verdade que os corpos atuam à distância sobre a luz, encurvando seus raios; e não será esta ação (caeteris paribus) tanto mais forte quanto menor a distância?” Esta explicação da difração era considerada falsa, dizendo-se que a explicação correta foi dada pela teoria ondulatória de Fresnel. Mas Newton tinha razão (HMN & WJW 1987): a difração a grandes ângulos por uma superfície curva é um efeito de tunelamento, interpretável como uma interação efetiva à distância. Ainda mais: o tunelamento da radiação solar nas núvens, agindo à distância sobre gotículas de água, é responsável por mais de 20% da absorção total da radiação pelas gotículas nas núvens (HMN 2003). Qu. 5: “Não será verdade que os corpos e a luz interagem mutuamente, os corpos sobre a luz, emitindo-a, refletindo-a, refratando-a e difratando-a, e a luz sobre os corpos, aquecendo-os e colocando suas partículas em vibração, que é no que consiste o calor?” Qu. 18: ... “Não será o calor transportado através do vácuo pelas vibrações de um meio muito mais sutil do que o ar?” Qu. 26: “Não terão os raios de luz lados diversos, dotados de propriedades diferentes?” (Polarização da luz, inferida dos fenômenos de dupla refração em cristais de calcita).

Qu. 28: “O que existe em lugares quase vazios de Matéria, e por que o Sol e os Planetas gravitam uns para os outros, sem que haja matéria densa entre eles? Por que a Natureza nada faz em vão, e de onde vem toda a Ordem e a Beleza que vemos no Mundo? Como foram produzidos, com tanta Arte, os corpos dos Animais? Como os Movimentos do Corpo são produzidos pela Vontade, e qual a origem do Instinto dos Animais?”

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Qu. 29: ...“Juntemos dois prismas de vidro, ou duas objetivas de telescópios, uma plana e a outra convexa, comprimindo-as de forma que não estejam totalmente encostadas, mas muito próximas uma da outra.

Luz que atravessa a primeira lente, onde o intervalo entre as duas é menor que um milionésimo de polegada, atravessará este interstício de ar ou vácuo e penetrará na segunda lente, conforme mostrei nas Observações 1ª, 4ª e 8ª do Livro II, Parte 1.” Newton descreve aqui como observou, com luz visível, reflexão total frustrada: foi ele o descobridor do tunelamento! Qu. 30: “Não serão os corpos e a luz conversíveis um no outro? ... A transmutação dos corpos em luz, e da luz em corpos, está bem conforme aos processos da Natureza, que parece gostar de transmutações.” Qu. 31: “Não terão as pequenas partículas dos corpos certas forças mediante as quais atuam ... não só sobre os raios de luz ... mas tambémumas sobre as outras, para produzir grande parte dos fenômenos da Natureza? ... As atrações da gravidade, do magnetismo e da eletricidade se exercem até distâncias consideráveis, e por isso foram observadas facilmente, mas pode haver outras que, por se exercerem somente a distâncias muito curtas, tenham até agora escapado à observação; talvez a atração elétrica atue a distâncias muito pequenas, mesmo não sendo excitadas por Atrito.” Em 1704, ainda não se conhecia a distinção entre condutores e isolantes, nem a existência de dois tipos diferentes de eletricidade! Nesta, a última questão, Newton descreve várias reações químicas e especula sobre seu mecanismo. Descreve a cristalização de uma solução salina e postula uma estrutura cristalina regular, que seria responsavel pela dupla refração na calcita. Infere dos efeitos de coesão que “... as partículas dos corpos se atraem umas às outras mediante alguma força que, quando estão em contato, é extremamente intensa, e que, a pequena distância, é responsável pelas reações químicas, mas não tem efeitos apreciáveis a grande distância das partículas”.

Tunelamento de luz e a Auréola

Tunelamento: barreira centrífuga

Antonio de Ulloa 1738