nayara talassa damasceno inÁcio

NAYARA TALASSA DAMASCENO INÁCIO

ANÁLISE DE FLEXO-TORÇÃO EM HASTES DE PAREDES

DELGADAS E SEÇÃO ABERTA PELO MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS.

NATAL-RN

2021

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Nayara Talassa Damasceno Inácio

Análise de flexo-torção em hastes de paredes delgadas e seção aberta pelo método dos

elementos finitos.

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do Título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Orientadora: Profª. Drª. Fernanda Rodrigues

Mittelbach

Natal-RN

2021

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Inácio, Nayara Talassa Damasceno.

Análise de flexo-torção em hastes de paredes delgadas e seção

aberta pelo método dos elementos finitos / Nayara Talassa

Damasceno Inácio. - 2021. 78 f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia Civil, Natal,

RN, 2021.

Orientadora: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach.

1. MEF - Monografia. 2. Vlasov - Monografia. 3. Flexo-torção - Monografia. 4. Paredes delgadas - Monografia. 5. Empenamento -

Monografia. I. Mittelbach, Fernanda Rodrigues. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624.046

Elaborado por Ana Cristina Cavalcanti Tinôco - CRB-15/262



elementos finitos.

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Aprovado em 10 de setembro de 2021:

___________________________________________________

Profª. Drª. Fernanda Rodrigues Mittelbach – Orientadora

___________________________________________________

Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Examinador interno

___________________________________________________

Prof. Dr. Rodrigo Barros – Examinador externo

Natal-RN

2021

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, Socorro e Damasceno.

AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente, a Deus que guiou os meus passos até aqui.

Aos meus pais, Socorro e Damasceno, que fizeram seus os sonhos dos seus filhos, dando

todo o suporte necessário por acreditarem no poder transformador da Educação.

Ao meu núcleo familiar, minha Vó Deuzinha, minha irmã Tuanny, meu irmão Damon,

minha Tia Neda, minhas irmãzinhas Lorrany e Loyse e meu pequeno sobrinho Arthur, que são

parte dessa conquista.

A todos os meus familiares e amigos que contribuíram com carinho, afeto e parceria na

minha jornada.

À minha companheira, Fernanda Cabral, por todo o apoio e contribuições durante toda

a minha graduação na UFRN.

Ao corpo docente do departamento de engenharia civil da UFRN, pela dedicação e pelos

ensinamentos.

Aos meus colegas engenheiros e engenheiras que acreditam no poder humanitário da

engenharia.

Por fim, à minha orientadora, Fernanda Rodrigues Mittelbach, por todas as

contribuições técnicas, discursões, suporte e confiança, sendo, para mim, um exemplo de

integridade, dedicação, profissionalismo, generosidade e sensibilidade.


RESUMO


elementos finitos.

Este trabalho trata da análise numérica de hastes de paredes delgadas e seção aberta, tais como

seções ‘I’, ‘U’ e ‘Z’, submetidas à flexo-torção. O método numérico utilizado foi o Método dos

Elementos Finitos (MEF), e o desenvolvimento das formulações se deu por meio da aplicação

do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PVT). Para caracterização do elemento finito, foi utilizada

a teoria de Vlasov, que considera o empenamento não-uniforme da seção transversal e o

surgimento de tensões normais devido a restrições nos apoios ou a aplicações de carregamentos

mais gerais. As expressões analíticas dessa teoria são apresentadas para posterior validação dos

resultados numéricos. O processamento da análise numérica foi feito por meio do

desenvolvimento de um código computacional em linguagem Fortran. Os resultados obtidos

pelo código convergiram com os resultados analíticos, apresentando erros inferiores a 1%.

Dessa forma, o código com a formulação numérica foi validado com boa acurácia.

Palavras-chave: MEF. Vlasov. Flexo-torção. Paredes delgadas. Empenamento.

ABSTRACT

Bending and torsion analysis of thin-walled beams of open cross section by the Finite

Element Method.

This research paper deals with the numerical analysis of thin-walled beams of open cross

section, such as ‘I’, ‘U’ and ‘Z’ sections, submitted to bending and torsion. The numerical

method used was the Finite Element Method (FEM), and the formulations were developed

through the application of the Principle of Virtual Works (PVW). To characterize the finite

element, Vlasov's theory was used, which considers the non-uniform warping of the cross

section and the appearance of normal stresses due to restrictions on the supports or to more

general loading applications. The analytical expressions of this theory are presented for further

validation of the numerical results. The processing of numerical analysis took place through the

development of a computational code in Fortran language. The results obtained by the code

converged with the analytical results, presenting errors of less than 1%. Thus, the code with the

numerical formulation was validated with good accuracy.

Keywords: FEM. Vlasov. Bending and Torsion. Thin walls. Warping.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Barras de seção circular e prismática submetidas a torção. ..................................... 20

Figura 2 - Barra de seção genérica constante submetida a torção. ........................................... 21

Figura 3 - Deslocamentos no plano para o problema de torção. .............................................. 22

Figura 4 - Elemento de superfície infinitesimal. ...................................................................... 24

Figura 5 - Seção de extremidade da barra. ............................................................................... 25

Figura 6 - Seção retangular alongada e o formato da sua função de tensões. .......................... 27

Figura 7 - Seção delgada aberta. ............................................................................................... 28

Figura 8 - Barra de seção aberta delgada submetida a uma força excêntrica. .......................... 30

Figura 9 - Barra de perfil 'I' submetida a torção. ...................................................................... 31

Figura 10 - Seção transversal da haste e referenciais. .............................................................. 31

Figura 11 - Esforços solicitantes na seção transversal, com seus sentidos positivos. .............. 35

Figura 12 - Distribuição de tensões cisalhantes ao longo da espessura da seção transversal... 36

Figura 13 - Rede de elementos finitos. ..................................................................................... 39

Figura 14 - Fluxograma das etapas da modelagem em elementos finitos. ............................... 40

Figura 15 - Elemento finito linear, suas deslocabilidades e sistema local de numeração dos

deslocamentos. .......................................................................................................................... 41

Figura 16 - Discretização e sistema de numeração global das deslocabilidades. ..................... 41

Figura 17 - Deslocabilidades nodais. ........................................................................................ 42

Figura 18 - Matriz de rigidez local. .......................................................................................... 44

Figura 19 - Cargas nodais equivalentes. ................................................................................... 45

Figura 20 - Vetor de cargas nodais equivalentes local. ............................................................ 45

Figura 21 - Matriz de rigidez global. ........................................................................................ 46

Figura 22 - Vetor de cargas global. .......................................................................................... 47

Figura 23 - Sistema de equações. ............................................................................................. 48

Figura 24 - Exemplo de arquivo de entrada. ............................................................................ 49

Figura 25 - Exemplo de arquivo de entrada. ............................................................................ 50

Figura 26 - Arquivo de saída com os resultados. ..................................................................... 51

Figura 27 - Seção transversal ‘U’. ............................................................................................ 53

Figura 28 - Propriedades geométricas da seção ‘U’ obtidas a partir do software FLEXO II. .. 53

Figura 29 - Casos de carregamentos aplicados. ........................................................................ 54

Figura 30 - Barra engastada com momento ‘T’ aplicado na extremidade livre. ...................... 55

Figura 31 - Propriedades geométricas da seção ‘I’ obtidas a partir do software FLEXO II. .... 56

Figura 32 - Diagrama de área setorial principal (Diagramas com unidade em cm²). ............... 56

Figura 33 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros das rotações

‘∅’. ............................................................................................................................................ 58

Figura 34 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros no esforço de

torção ‘T’. ................................................................................................................................. 58

Figura 35 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros no esforço

bimomento ‘B’. ......................................................................................................................... 59

Figura 36 - Barra engastada com forças ‘F’ aplicadas na extremidade livre gerando um

bimomento aplicado. ................................................................................................................ 60

Figura 37 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros das rotações

‘∅’. ............................................................................................................................................ 61

Figura 38 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros no esforço de

torção ‘T’. ................................................................................................................................. 62

Figura 39 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros no esforço

bimomento ‘B’. ......................................................................................................................... 62

Figura 40 - Barra com seção transversal ‘I’ com vínculos de garfo nas extremidades. ........... 63

Figura 41 - Propriedades geométricas da seção ‘I’ obtidas a partir do software FLEXO II. .... 64

Figura 42 - Barra com seção transversal ‘Z’. ........................................................................... 65

Figura 43 - Propriedades geométricas da seção ‘Z’ obtidas a partir do software FLEXO II.... 66

Figura 44 - Diagrama de área setorial principal (Diagramas com unidade em cm²). ............... 66

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Condições de contorno. ........................................................................................... 38

Tabela 2 - Valores adotados para o material. ........................................................................... 53

Tabela 3 - Comparação entre os resultados analíticos e numéricos. ........................................ 54

Tabela 4 - Valores adotados. .................................................................................................... 55

Tabela 5 - Valores analíticos e numéricos da rotação ‘∅’. ....................................................... 57

Tabela 6 - Valores analíticos e numéricos do esforço de torção ‘T’. ....................................... 57

Tabela 7 - Valores analíticos e numéricos do esforço bimomento ‘B’. ................................... 57

Tabela 8 - Valores analíticos e numéricos da rotação ‘∅’. ....................................................... 60

Tabela 9 - Valores analíticos e numéricos do esforço de torção ‘T’. ....................................... 60

Tabela 10 - Valores analíticos e numéricos do esforço bimomento ‘B’. ................................. 61

Tabela 11 - Valores adotados. .................................................................................................. 63

Tabela 12 - Valores analíticos e numéricos da rotação ‘∅’. ..................................................... 64

Tabela 13 - Valores analíticos e numéricos do esforço de torção ‘T’. ..................................... 64


Tabela 15 - Valores adotados. .................................................................................................. 66

Tabela 16 - Valores analíticos e numéricos da rotação ‘∅’. ..................................................... 67

Tabela 17 - Valores analíticos e numéricos do esforço de torção ‘T’. ..................................... 67


LISTA DE SÍMBOLOS

SÍMBOLO SIGNIFICADO

𝜎𝑥; 𝜎𝑦; 𝜎𝑧 Tensões normais em coordenadas retangulares.

𝜏𝑥𝑦; 𝜏𝑥𝑧; 𝜏𝑦𝑧 Tensões cisalhantes em coordenadas retangulares.

𝑋; 𝑌; 𝑍 Forças de massa (por unidade de volume).

𝜌𝑥; 𝜌𝑦; 𝜌𝑧 Vetor de tensão em coordenadas retangulares.

𝑙𝑥; 𝑙𝑦; 𝑙𝑧 Cossenos diretores do vetor normal à seção, em relação às

coordenadas retangulares.

ℓ Comprimento da barra.

𝑇 Momento de torção.

𝜙 Ângulo de torção.

𝛽 Ângulo de torção por unidade de comprimento.

𝜇𝑥; 𝜇𝑦; 𝜇𝑧

Componentes de deslocamentos em coordenadas

retangulares.

𝜓(𝑦, 𝑧) Função de empenamento.

휀𝑥; 휀𝑦; 휀𝑧 Deformações específicas em coordenadas retangulares.

𝛾𝑥𝑦; 𝛾𝑥𝑧; 𝛾𝑦𝑧 Distorções em coordenadas retangulares.

𝐺 Módulo de elasticidade transversal.

∇² Operador diferencial de 2ª ordem (laplaciano).

𝑠, 𝑛 Coordenadas curvilíneas ortogonais.

𝐴 Área da seção transversal.

𝜙(𝑦, 𝑧) Função de tensões.

𝑏 Largura da seção.

𝑡 Espessura da seção.

𝜏𝑚𝑎𝑥 Tensão cisalhante máxima.

𝐽𝑇 Constante de torção.

𝑏𝑖 Largura da seção do trecho ‘i’.

𝑡𝑖 Espessura da seção do trecho ‘i’.

𝑃 Força axial excêntrica aplicada.

𝑁 Esforço normal.

𝑀𝑧 Momento fletor em torno do eixo ‘z’.

𝑀𝑦 Momento fletor em torno do eixo ‘y’.

𝐵 Bimomento.

M0 Momento aplicado à mesa do perfil ‘I’.

𝑥; 𝑦; 𝑧 Eixos centroidais.

Polo principal

𝜉; 휂; 휁 Eixos paralelos aos eixos ‘x’, ‘y’ e ‘z’ que passam pelo polo

principal ‘’.

𝛼 Ângulo que mede a inclinação de um dado trecho da seção

transversal, em relação ao eixo ‘z’.

��; ��; 휂; 휁 Coordenadas de um ponto genérico da linha média.

𝑆 Ponto genérico.

𝑟 Raio vetor que liga o polo principal à um ponto genérico.

𝑟𝑛 ; 𝑟𝑠 Componente do raio vetor nas coordenadas ‘𝑠’ e ‘𝑛’.

𝑆𝑦 ; 𝑆𝑧 Momentos estáticos de área.

𝐼𝑦 ; 𝐼𝑧 Momentos de inércia.

𝐼𝑦𝑧 Produto de inércia.

𝜔 Área setorial.

𝑆𝜔 Momento estático setorial.

𝐼𝜔 Momento setorial de inércia.

𝐼𝜔𝑦 ; 𝐼𝜔𝑧 Produtos setoriais de inércia.

𝑑 Maior dimensão da seção transversal.

𝛾𝑥𝑛; 𝛾𝑥𝑠; 𝛾𝑛𝑠 Distorções em coordenadas curvilíneas.

𝜐 Coeficiente de Poisson.

𝜏𝑥𝑠; 𝜏𝑥𝑛; 𝜏𝑛𝑠 Tensões cisalhantes em coordenadas curvilíneas.

휀𝑥; 휀𝑠; 휀𝑛 Deformações específicas em coordenadas curvilíneas.

𝑃��, ; 𝑃�� ; 𝑃�� Forças de superfície prescritas na área lateral da barra em


𝜌𝑥 ; 𝜌𝑦 ; 𝜌𝑧 Forças de superfície prescritas nas seções extremas em


𝐸 Módulo de elasticidade transversal.

𝑢 ; 𝑣 ; 𝑤 Componentes ‘x’, ‘y’ e ‘z’ de deslocamentos.

∅ Rotação em torno do eixo da barra.

𝐹 Carga axial concentrada aplicada.

𝜏ℓ ; 𝜏𝑓𝑡 Parcelas da tensão cisalhante (𝜏𝑥𝑠) de Saint-Venant e de

Vlasov;

𝑇𝑧 ; 𝑇𝜔 Torção de Saint-Venant e de Vlasov.

𝑑ℓ ; 𝑑ft Braços de alavanca das resultantes da distribuição de tensão

de ‘𝜏ℓ’ e ‘𝜏𝑓𝑡’.

𝑉𝜂 ; 𝑉𝜁 Esforços cortantes.

𝜕𝑊𝑖 ; 𝜕𝑊𝑒𝑥𝑡 Trabalho virtual

𝑞𝑥 ; 𝑞𝜂 ; 𝑞𝜁 ; 𝑚𝜉 Carregamentos distribuídos por unidade de comprimento.

�� ; 𝑉�� ; 𝑉�� ; ��; 𝑀𝑧 ; 𝑀𝑦

; �� Solicitações de carácter concentrado prescritas nas seções de

extremidade.

[𝑘]𝑒 Matriz de rigidez local dos elementos.

𝐾 Matriz de rigidez global da estrutura.

[𝐹] Vetor de cargas nodais global.

[𝑈] Vetor dos deslocamentos nodais.

𝜆 Comprimento do elemento finito.

{𝐶} Vetor de cargas nodais equivalentes local.

𝐹𝑥; 𝐹𝑦; 𝐹𝑧 Forças nodais prescritas.

𝐸𝑟𝑒𝑙 Erro relativo.

𝑥𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 Resultado analítico.

𝑥𝑀𝐸𝐹 Resultado numérico.

𝐸𝑎𝑏𝑠 Erro absoluto.

[𝐻(𝑥)] Matriz das variáveis.

{𝒞} Matriz dos coeficientes desconhecidos.

[𝛿] Matriz dos deslocamentos nodais.

[𝐴] Matriz com os termos conhecidos da geometria do elemento

finito.

[𝑁(𝑥)] Função de forma.

[𝜋] Matriz dos deslocamentos virtuais.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 15

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ..................................................................................................................... 15

1.2 JUSTIFICATIVA ...................................................................................................................................... 15

1.3 OBJETIVOS ............................................................................................................................................ 16

Objetivo geral ................................................................................................................................. 16

Objetivos específicos ....................................................................................................................... 17

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ................................................................................................................... 17

2. METODOLOGIA ........................................................................................................... 18

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................... 19

3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ...................................................................................................................... 19

3.2 TEORIA DE TORÇÃO DE SAINT-VENANT ................................................................................................ 19

Campo de deslocamentos ................................................................................................................ 21

Campo de deformações ................................................................................................................... 23

Tensões ........................................................................................................................................... 23

Condições de contorno ................................................................................................................... 24

Função de tensões de Prandtl ......................................................................................................... 25

Momento torsor nas extremidades .................................................................................................. 27

Analogia da membrana ................................................................................................................... 27

Seção retangular alongada ............................................................................................................. 27

Seção de paredes delgadas abertas ................................................................................................ 28

3.3 TEORIA DE VLASOV – TORÇÃO NÃO-UNIFORME .................................................................................... 29

Introdução ....................................................................................................................................... 29

Referenciais e características geométricas da seção ...................................................................... 31

Hipóteses fundamentais .................................................................................................................. 33

Formulação analítica ...................................................................................................................... 34

Princípio dos trabalhos virtuais ..................................................................................................... 37

Condições de contorno ................................................................................................................... 38

4. FORMULAÇÃO NUMÉRICA ...................................................................................... 39

4.1 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ....................................................................................................... 39

4.2 DISCRETIZAÇÃO .................................................................................................................................... 40

4.3 DESLOCABILIDADES .............................................................................................................................. 41

4.4 FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO ................................................................................................................. 42

4.5 MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL ................................................................................................................... 44

4.6 VETOR DE CARGA NODAIS ..................................................................................................................... 44

Carregamentos distribuídos ............................................................................................................ 44

Cargas concentradas ...................................................................................................................... 46

4.7 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL ................................................................................................................. 46

4.8 VETOR DE CARGAS GLOBAL .................................................................................................................. 47

4.9 SITEMAS DE EQUAÇÕES E CONDIÇÕES DE CONTORNO ............................................................................ 47

4.10 CÓDIGO COMPUTACIONAL ..................................................................................................................... 48

5. EXEMPLOS E RESULTADOS ..................................................................................... 52

5.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 52

5.2 EXEMPLO 1 ............................................................................................................................................ 52

5.3 EXEMPLO 2 ............................................................................................................................................ 55

5.4 EXEMPLO 3 ............................................................................................................................................ 59

5.5 EXEMPLO 4 ............................................................................................................................................ 63

5.6 EXEMPLO 5 ............................................................................................................................................ 65

6. CONCLUSÕES ............................................................................................................... 68

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 69

APÊNDICE A – DEDUÇÃO DAS FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO ............................ 71

APÊNDICE B – DEDUÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL ................................. 75

APÊNDICE C – DEDUÇÃO DO VETOR DE CARGAS NODAIS LOCAL ................... 78

15

1. INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Iniciais

No âmbito da engenharia de estruturas, existe a necessidade de se avaliar os problemas

físicos por meio de modelos matemáticos. A resolução destes modelos pode ser feita de forma

analítica ou numérica. Entretanto, os modelos analíticos tornam-se inviáveis na modelagem de

estruturas complexas e, dessa forma, lança-se mão do cálculo numérico, como o Método dos

Elementos Finitos (MEF), para a sua resolução de forma aproximada. Antes do surgimento do

MEF, muitas vezes era necessário recorrer a séries de Fourier para resolver diretamente os

sistemas de equações de derivadas parciais oriundo de uma análise de um meio contínuo, por

exemplo, porém essas resoluções eram limitadas a meios contínuos homogêneos e de geometria

mais simples (AZEVEDO, 2003).

Bathe (1996) ressalta a importância de entender que, para resolver problemas físicos,

deve-se escolher um modelo matemático adequado, que pode ser resolvido pelo MEF.

Entretanto, o MEF não pode dar informações que não estão contidas nesse modelo matemático,

sendo crucial que a modelagem seja feita de forma correta e realista pelo projetista.

Daí a importância de se tentar implementar os modelos matemáticos existentes. No caso

do problema de torção em hastes de seções delgadas abertas, o empenamento da seção tem

significativa importância nos valores das tensões e das deformações, portanto, ele não pode ser

modelado pelo MEF como um simples elemento de viga. Uma alternativa é modelar esse

elemento estrutural com elementos de cascas (ALVES FILHO, 2005).

O presente trabalho trata-se de uma aplicação do MEF à teoria de flexo-torção de

Vlasov, a qual considera o empenamento não uniforme da seção transversal, para seções

delgadas abertas como perfis ‘I’, ‘U’ e ‘Z’. Além disso, uma vez que o MEF é um método

numérico, será feita uma análise de acurácia mediante a resolução de alguns exemplos a partir

das formulações analíticas disponíveis na literatura para comparação com os resultados obtidos

da formulação numérica.

1.2 Justificativa

Segundo Azevedo (2009), atualmente, os programas de cálculo estrutural apresentam

interface intuitiva com geração de resultados gráficos de fácil compreensão, o que causa a

sensação de segurança para aqueles engenheiros que projetam estruturas sem o conhecimento

16

das técnicas correspondentes a formulação do Método dos Elementos Finitos (MEF), o qual é

a base de funcionamento da maioria desses programas. Diante disso, o discernimento desse

engenheiro fica limitado, com tendência a aceitar resultados inconsistentes oriundos de modelos

estruturais não condizentes com a realidade, eventuais erros na introdução dos dados ou o fato

de serem desprezadas condições importantes para a estrutura. Este fato tem se confirmado pelo

grande número de acidentes em estruturas recém-construídas, bem como a grande quantidade

de reparos necessários em construções novas. Dessa forma, é imprescindível que o engenheiro

calculista tenha o conhecimento e domínio do MEF, além do entendimento de programação

para utilização segura desses softwares de análise de estruturas.

Há ainda outra motivação para o estudo e pesquisa dos modelos em MEF, que é a

necessidade de aperfeiçoamento constante desses softwares, que não deve ficar limitado a um

pequeno número de pesquisadores, sendo fundamental a difusão desse conhecimento para o

progresso científico (AZEVEDO, 2009).

A respeito do estudo de seções delgadas, existe uma tendência em se reduzir o peso dos

elementos estruturais, particularmente na construção de estruturas de aço, já que o

desenvolvimento de aços de alta resistência mecânica e à corrosão possibilita o uso de seções

cada vez mais delgadas, as quais são mais suscetíveis aos fenômenos de instabilidade e de

torção (MORI e MUNAIAR NETO, 2009).

No que diz respeito ao estudo do empenamento das seções devido à torção, em geral, os

estudos desprezam as tensões normais no eixo da peça devido à restrição do empenamento nos

apoios, como nas hipóteses da teoria de Saint-Venant, obtendo bons resultados no caso de

estruturas de concreto armado com seções maciças ou perfis fechados, que apresentam uma boa

rigidez à torção. Entretanto, essas tensões normais têm influência considerável no caso de

seções delgadas abertas, objeto de pesquisa deste trabalho, e teorias mais gerais como a de

flexo-torção de Vlasov devem ser consideradas (LIMA; GUARDA; PINHEIRO, 2007).

1.3 Objetivos

Objetivo geral

Utilizar o Método dos Elementos Finitos (MEF) para analisar o problema de flexo-

torção em hastes de paredes delgadas e seção aberta.

17

Objetivos específicos

• Revisar e apresentar as formulações analíticas dos problemas que envolvam a

teoria de torção de Saint-Venant e a teoria de flexo-torção de Vlasov;

• Desenvolver e apresentar uma formulação numérica baseada no MEF para o

problema da flexo-torção da teoria de Vlasov;

• Elaborar um código computacional em linguagem de programação Fortran

para o processamento da formulação numérica;

• Comparar os resultados analíticos com os valores obtidos pelo algoritmo para

validação do código desenvolvido.

1.4 Estrutura do trabalho

O trabalho está dividido em seis capítulos e três apêndices. O capítulo 2 corresponde a

metodologia do trabalho. O capítulo 3 traz uma revisão bibliográfica a respeito da teoria de

torção de Saint-Venant e da teoria de flexo-torção de Vlasov. O capítulo 4 apresenta a

formulação numérica desenvolvida no trabalho. O capítulo 5 corresponde a validação do

algoritmo por meio da resolução de 5 exemplos. O capítulo 6 apresenta as conclusões e

considerações finais. Em seguida, apresentam-se as referências utilizadas. Por fim, os três

apêndices mostram o desenvolvimento das formulações numéricas.

18

2. METODOLOGIA

A metodologia utilizada no presente trabalho, a fim de alcançar os objetivos propostos,

desenvolveu-se da seguinte maneira:

• Inicialmente, foi feita uma revisão bibliográfica relativa à teoria de torção de Saint-

Venant, à teoria de flexo-torção de Vlasov e ao Método dos Elementos Finitos;

• Em seguida, apresentaram-se as formulações analíticas para o caso de hastes de paredes

delgadas e seção aberta;

• Para o desenvolvimento das formulações numéricas, escolheu-se o tipo de elemento

finito e as deslocabilidades relevantes;

• Posteriormente, foram interpoladas funções para as deslocabilidades, sendo então

aplicadas ao Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV);

• A partir da utilização do PTV, obtiveram-se a matriz local de rigidez e o vetor de cargas

nodais local, formando, pois, um sistema de equações para o elemento;

• Com esse sistema de equações, um código computacional em linguagem FORTRAN

foi desenvolvido para fazer o processo de Assembly (montagem da estrutura global),

introduzir as condições de contorno e resolver o sistema de equações da estrutura global;

• Por fim, a validação do código foi feita por meio da comparação dos resultados

numéricos com os analíticos de exemplos da literatura técnica.

19

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

3.1 Considerações iniciais

A primeira tentativa de solucionar o problema de torção foi em 1784 com Charles

Augustin Coulomb, que deu origem a uma teoria que leva o seu nome. Essa teoria analisa barras

homogêneas de seção circular e submetidas a torção uniforme, considerando, porém, que as

seções permanecem planas após a aplicação do momento sem a ocorrência de empenamento.

Em seguida, Louis Marie Navier, em 1826, aplicou a teoria de Coulomb ao caso de seções

prismáticas não-circulares submetidas a torção, entretanto suas hipóteses o levaram a resultados

equivocados. Em 1855, Barré de Saint-Venant apresentou a sua teoria que soluciona barras de

seções prismáticas submetidas a um conjugado de momento torsor (BERROCAL, 1998;

TIMOSHENKO e GOODIER, 1951).

Apesar da grande contribuição, a teoria de Saint-Venant é restrita a torção livre, pura e

uniforme. O empenamento ocorre livremente e não varia ao longo da barra e o esforço de torção

é constante. Na prática, os vínculos de apoio restrigem o empenamento da seção, ou o momento

de torção aplicado pode ser não-uniforme, gerando, pois, uma tensão normal ao longo do

comprimento da barra de grande relevância para aquelas com paredes delgadas e seção aberta.

Em 1961, Vasilii Zakharovich Vlasov publicou o livro “Thin-walled elastic beams”, que

aborda uma teoria de flexo-torção em barras com paredes delgadas e seção aberta, na qual

apresenta a definição de um novo esforço chamado de Bimomento, também trata do

empenamento da seção transversal de forma não-uniforme (VLASOV, 1961).

A seguir, será apresentada uma revisão literária a respeito das formulações da teoria de

Saint-Venant e da teoria de Vlasov.

3.2 Teoria de torção de Saint-Venant

Quando se trata de uma seção genérica não circular haverá empenamento da seção.

Segundo Beer et al. (2011), no caso de uma seção prismática submetida à torção, por exemplo,

as seções transversais sofrem deslocamentos longitudinais, isto é, ocorre o empenamento como

ilustra a Figura 1(b) em contraste com a uma seção circular ilustrada na Figura 1(a).

Dessa forma, a teoria de torção de Saint-Venant discorre sobre barras de seção genérica,

porém constante, submetidas a torção. A teoria é baseada em algumas hipóteses como traz Sadd

(2009):

20

• A projeção de cada seção transversal no plano original (yz) rotaciona como um

corpo rígido em torno do centro de torção ‘O’ (ponto da seção que não se desloca

quando ocorre a torção);

• A rotação da projeção da seção (ϕ) é uma função linear da coordenada axial;

• A seção transversal não permanece plana após a deformação, sofrendo um

deslocamento longitudinal de empenamento.

Figura 1 - Barras de seção circular e prismática submetidas a torção.

Fonte: BEER et al. (2011).

A análise de Saint-Venant utiliza o método semi-inverso, muito comum na resolução

dos problemas de elasticidade, no qual uma parte da solução é definida a priori com suposições,

sendo o restante determinado satisfazendo-se as equações de equilíbrio da elasticidade da eq.

(3.1) e as condições de contorno da eq. (3.2). Como a solução das equações de equilíbrio da

elasticidade é única (teorema da unicidade), as suposições são confirmadas e a solução é exata

para o problema de torção (GARCIA, 2003; TIMOSHENKO e GOODIER, 1951).

𝜕𝜎𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑧+ 𝑋 = 0

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜎𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑧+ 𝑌 = 0

(3.1)

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜎𝑧

𝜕𝑧+ 𝑍 = 0

Sendo:

• 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 𝑒 𝜎𝑧: As tensões normais em coordenadas retangulares;

• 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧 𝑒 𝜏𝑦𝑧 ∶ As tensões cisalhantes em coordenadas retangulares;

21

• 𝑋, 𝑌 e 𝑍: As forças de massa (força por unidade de volume) em coordenadas

retangulares.

𝜌𝑥 = 𝑙𝑥𝜎𝑥 + 𝑙𝑦𝜏𝑥𝑦 + 𝑙𝑧𝜏𝑥𝑧

𝜌𝑦 = 𝑙𝑥𝜏𝑥𝑦 + 𝑙𝑦𝜎𝑦 + 𝑙𝑧𝜏𝑦𝑧 (3.2)

𝜌𝑧 = 𝑙𝑥𝜏𝑥𝑧 + 𝑙𝑦𝜏𝑦𝑧+𝑙𝑧𝜎𝑧

Sendo:

• 𝑙𝑥, 𝑙𝑦 e 𝑙𝑧: os cossenos diretores do vetor normal à seção, em relação às

coordenadas retangulares;

• 𝜌𝑥, 𝜌𝑦 e 𝜌𝑧: o vetor de tensão em coordenadas retangulares.

Campo de deslocamentos

As deduções das formulações analíticas podem ser consultadas em Timoshenko e

Goodier (1951), Oden e Ripperger (1981), Garcia (2003) e Sadd (2009). A seguir, são

apresentadas as equações que regem o problema de acordo com Garcia (2003).

Considere uma barra de material isotrópico, homogêneo e linearmente elástico,

submetida a momentos de torção ‘T’ nas suas extremidades e comprimento ‘ℓ’. A seção

transversal é genérica, porém constante. O eixo longitudinal intercepta o centro de torção ao

longo de todas as seções transversais como ilustra a Figura 2.

Figura 2 - Barra de seção genérica constante submetida a torção.

Fonte: Adaptado de Garcia (2003).

22

O campo de deslocamento é analisado em função da projeção da seção transversal no

plano original (yz) como ilustra a Figura 3. Para um ponto genérico ‘A’ e sua projeção ‘A*’

após uma rotação ‘𝜙’, as componentes de deslocamento nos eixos ‘x’, ‘y’ e ‘z’ são designadas

por ‘𝜇𝑥’, ‘𝜇𝑦’ e ‘𝜇𝑧’, respectivamente. Admitindo-se que o ângulo de rotação por unidade de

comprimento ‘β’ é constante, uma seção genérica ‘x’ sofre, no plano ‘yz’, uma rotação rígida

de ângulo (𝜙 = 𝛽𝑥) em relação à seção inicial (𝑥 = 0). Dessa forma, chega-se ao campo de

deslocamento dado pela eq. (3.3).

Figura 3 - Deslocamentos no plano para o problema de torção.


𝜇𝑥 = 𝛽𝜓(𝑦, 𝑧)

𝜇𝑦 = −𝛽𝑥𝑧 (3.3)

𝜇𝑧 = 𝛽𝑥𝑦

As componentes de deslocamento relativas aos eixos ‘y’ e ‘z’ (𝜇𝑦 e 𝜇𝑧) correspondem

a uma rotação em torno do centro de torção, de acordo com a hipótese de não haver deformação

no plano ‘yz’. A componente de deslocamento relativa ao eixo ‘x’ (𝜇𝑥) corresponde ao

empenamento da seção, ficando em função de ‘𝜓(𝑦, 𝑧)’ que é denominada de função de

empenamento ou função de torção e é constante ao longo do eixo ‘x’ da barra.

23

Campo de deformações

Em seguida, o campo de deformações dado pela eq. (3.4) é composto por apenas duas

componentes de deformações não nulas. A dedução é feita a partir da derivação do campo de

deslocamentos o que assegura a compatibilidade cinemática.

휀𝑥 = 휀𝑦 = 휀𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 = 0

𝛾𝑥𝑦 = 𝛽 (

𝜕𝜓(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦− 𝑧)

(3.4)

𝛾𝑥𝑧 = 𝛽 (

𝜕𝜓(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧− 𝑦)

Tensões

As tensões são obtidas através da lei de Hooke e são dadas pela eq. (3.5).

𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = 𝜏𝑥𝑦 = 0

𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛽 (

𝜕𝜓(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦− 𝑧)

𝜏𝑥𝑧 = 𝐺𝛽 (𝜕𝜓(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧− 𝑦)

(3.5)

Quando as tensões da eq. (3.5) são substituídas nas equações de equilíbrio da

elasticidade da eq. (3.1), chega-se a uma das equações que regem o problema dada pela eq.

(3.6) a seguir:

𝐺𝛽

𝜕²𝜓(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑥²+ 𝐺𝛽

𝜕²𝜓(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧²= 0

(3.6)

As demais equações de equilíbrio da elasticidade são identicamente nulas, uma vez que

se tem apenas duas componentes de tensões não nulas (𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑥𝑧). A expressão da eq. (3.6)

pode ser escrita na forma da equação de Laplace resultando na eq. (3.7). Dessa forma, sendo a

função de empenamento ‘𝜓(𝑦, 𝑧)’ uma solução não trivial da equação de Laplace, ela é uma

função harmônica.

24

𝛻²𝜓(𝑦, 𝑧) = 0 (3.7)

Condições de contorno

Analisa-se, em seguida, as condições de contorno na superfície lateral de acordo com a

Figura 4, na qual a coordenada ‘s’ varia ao longo do contorno da seção e ‘n’ é o vetor normal à

direção ‘s’, no plano ‘yz’, obtendo-se expressões para os cossenos diretores (𝑙𝑥, 𝑙𝑦 e 𝑙𝑧) dadas

pela eq. (3.8).

𝑙𝑥 = 0

𝑙𝑦 = cos(𝑛. 𝑦) = cos𝛼 =

𝑑𝑧

𝑑𝑠

(3.8)

𝑙𝑧 = cos(𝑛. 𝑧) = sen𝛼 = −

𝑑𝑦

𝑑𝑠

Figura 4 - Elemento de superfície infinitesimal.


Sendo a superfície lateral da barra livre de forças (𝜌𝑥 = 𝜌𝑦 = 𝜌𝑧 = 0), o campo de

tensões dado pela eq. (3.5) e as expressões dos cossenos diretores dados pela eq. (3.8), é possível

chegar na segunda equação que rege o problema dada pela eq. (3.9) por meio da eq. (3.2).

(𝜕𝜓(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦− 𝑧)

𝑑𝑧

𝑑𝑠− (

𝜕𝜓(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧− 𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑠= 0

(3.9)

25

De acordo com Timoshenko e Goodier (1951), os problemas de torção são resolvidos

encontrando-se a função de empenamento (𝜓) que satisfaz tanto a equação de Laplace da

equação (3.7), quanto as condições de contorno da equação (3.9).

Por fim, analisa-se a seção transversal de extremidade da barra, na qual as forças

cisalhantes são distribuídas da mesma maneira que as tensões cisalhantes como ilustra a Figura

5 (GARCIA, 2003).

Figura 5 - Seção de extremidade da barra.

Fonte: Adaptado de (GARCIA, 2003).

O momento de torção resulta, pois, na eq. (3.10) a seguir:

𝑇 = ∫(𝜏𝑥𝑦 . 𝑧 − 𝜏𝑥𝑧

𝐴

. 𝑦)𝑑𝐴

(3.10)

Função de tensões de Prandtl

De acordo com Timoshenko e Goodier (1951), pode-se trabalhar de forma alternativa

nas resoluções desses problemas de torção, criando-se uma função que se relacione com as

tensões não nulas (𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑥𝑧) e satisfaça as equações de equilíbrio da elasticidade da eq. (3.1),

de tal forma que seja necessário satisfazer apenas as condições de contorno. Assim, Ludwig

Prandtl propôs uma função de tensões ‘𝜙(𝑦, 𝑧)’ de acordo com a eq. (3.11) a seguir:

26

𝜏𝑥𝑦 =

𝜕𝜙(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧

𝜏𝑥𝑧 = −

𝜕𝜙(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦

(3.11)

Substituindo o campo de tensões da eq. (3.5) na eq. (3.11), é possível eliminar a função

de empenamento através de derivação de tal forma que se chega a eq. (3.12):

𝜕²𝜙(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧²+

𝜕²𝜙(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦²= −2𝐺𝛽

(3.12)

A equação pode ser rescrita tal como a equação de Poisson dada pela eq. (3.13), na qual

‘2𝐺𝛽’ é uma constante.

∇²𝜙(𝑦, 𝑧) = −2𝐺𝛽 (3.13)

Segundo Garcia (2003), pode-se chegar a essa equação por meio da derivação das

relações de deformações-deslocamentos, de tal forma que a equação de Poisson para a função

de tensões representa uma equação de compatibilidade de deformações.

Já a condição de contorno da superfície lateral dada pela eq. (3.9), em termos da função

de tensões, torna-se a eq. (3.14) a seguir:

𝜕𝜙(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑠− (−

𝜕𝜙(𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑠= 0 ⇒

𝑑𝜙(𝑦, 𝑧)

𝑑𝑠= 0

(3.14)

Uma vez que a derivada da função de tensões de Prandtl ao longo desse contorno é nula,

a função é constante no contorno da seção, sendo que o valor dessa constante não afeta as

tensões e, assim, pode ser tomada igual a zero (GARCIA, 2003).

Por fim, o problema de torção agora é reduzido à resolução da equação de Poisson da

eq. (3.13) para a função de tensões com a condição de ‘𝜙(𝑦, 𝑧) = 0’ no contorno. Já no caso

de seções vazadas, pode-se admitir a função de tensão igual a zero no contorno externo, e no

contorno interno o valor da função é constante, porém não nulo (GARCIA, 2003).

27

Momento torsor nas extremidades

Colocando a eq. (3.10) em termos de função de tensões, é possível usar o Teorema de

Green para chegar na expressão da eq. (3.15) para o momento torsor.

𝑇 = −2∬𝜙(𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐴

(3.15)

Dessa forma, observa-se que o momento torsor resultante é o dobro do volume sobre a

área da superfície ‘𝜙(𝑦, 𝑧)’, o sinal negativo é meramente resultante da conversão de sinais

(GARCIA, 2003).

Analogia da membrana

Segundo Sadd (2009), Prandlt foi o primeiro a notar a semelhanda entre as equações dos

problemas de torção com as equações que regem a deformação de uma membrana elástica.

Pode-se, dessa forma, criar uma analogia para a resolução de alguns problemas de torção de

forma aproximada, particulamente interessantes para seções retangulares alongadas e também

seções delgadas abertas.

Seção retangular alongada

Para uma seção retangular alongada de largura ‘b’ muito maior que a espessura ‘t’, usa-

se a analogia da membrana para chegar a uma função de tensões parabólica como ilustra a

Figura 6.

Figura 6 - Seção retangular alongada e o formato da sua função de tensões.

Fonte: Adaptado de (GARCIA, 2003).

28

Com isso, é possível chegar aos seguintes resultados para a tensão máxima da eq. (3.16)

e momento de torção resultante da eq. (3.17):

𝜏𝑚á𝑥 = 𝐺𝛽𝑡 (3.16)

𝑇 = −𝐺𝛽

𝑏𝑡³

3

(3.17)

A grandeza 𝐺𝐽𝑇 é denominada rigidez torcional da barra. Dessa forma, reordenando a

eq. (3.17), chega-se a eq. (3.18) a seguir:

𝐺𝐽𝑇 = |

𝑇

𝛽| = 𝐺

𝑏𝑡³

3

(3.18)

Assim, a partir da eq. (3.18), pode-se extrair a constante de torção 𝐽𝑇:

𝐽𝑇 =

𝑏𝑡³

3

(3.19)

Seção de paredes delgadas abertas

O presente trabalho tem interesse em analisar o efeito de torção em seções delgadas

abertas tais como as seções ‘I’, ‘U’ e ‘Z’. Diante disso, uma análise pode ser feita através dos

resultados obtidos por meio das expressões apresentadas anteriormente, uma vez que se pode

entender essas seções como constituída por vários trechos de retângulos alongados de largura

‘𝑏𝑖’ e espessura ‘𝑡𝑖’ de acordo com a Figura 7.

Figura 7 - Seção delgada aberta.

Fonte: Adaptado de SADD, 2009.

29

Dessa forma, a tensão máxima em cada trecho é dada pela eq. (3.16) e o momento de

torção resultante na seção torna-se um somatório relativo aos trechos dado pela eq. (3.20) a

seguir:

𝑇 = 𝐺𝛽 ∑

𝑏𝑖𝑡𝑖3

3

𝑛

𝑖=1

(3.20)

A constante de torção 𝐽𝑇 neste caso é também um somatório relativo a cada trecho de

seção retangular alongada e é dada pela eq. (3.21).

𝐽𝑇 = ∑

𝑏𝑖𝑡𝑖3

3

𝑛

𝑖=1

(3.21)

3.3 Teoria de Vlasov – Torção não-uniforme

Introdução

Segundo Oden e Ripperger (1981), quando uma barra de paredes delgadas e seção aberta

com restrições ao empenamento nos apoios é submetida a solicitações externas, surge uma

distribuição complexa de tensões normais que não podem ser calculadas pela teoria elementar

de vigas. A restrição ao empenamento gera tensões normais (𝜎𝑥) e é necessário considerar a

Teoria de flexo-torção de Vlasov.

Para entender o conceito do novo esforço denominado de bimomento, que surge devido

a essa distribuição complexa de tensões, considere a aplicação de uma força axial excêntrica

(P) a uma barra, composta por hastes conectadas por paredes delgadas como ilustra a Figura

8(a). Por simplicidade, assume-se que as hastes apresentam apenas tensões normais e as paredes

apenas tensões cisalhantes.

De acordo com a teoria clássica da flexão de Bernoulli-Euler, a força excêntrica resulta

no esforço normal ‘𝑁’, no momento fletor ‘𝑀𝑧’ e no momento fletor ‘𝑀𝑦’ de acordo com a

Figura 8 (b), (c) e (d). Dessa forma, nenhuma tensão adicional é dada pela teoria da flexão, uma

vez que ela se baseia na hipótese de as seções planas permanecerem planas após a deformação,

o que não ocorre nesse caso devido ao empenamento da seção. Portanto, é necessário um

30

sistema de forças adicional dado pela Figura 8(e) para retratar o fenômeno físico (ODEN e

RIPPERGER, 1981).

Figura 8 - Barra de seção aberta delgada submetida a uma força excêntrica.

Fonte: adaptado de Oden e Ripperger (1981).

Esse novo sistema é composto por dois pares de momentos iguais e opostos

desenvolvidos em planos paralelos. Estaticamente, esses pares de conjugados são nulos e auto

equilibrados. Portanto, o bimomento ‘𝐵’ é o esforço resultante dessas tensões normais auto

equilibradas, que produzem um empenamento muito similar ao gerado pela torção. Caso fosse

aplicado um torque na extremidade da barra, a restrição no engaste ao empenamento produziria

um bimomento (ODEN e RIPPERGER, 1981).

A Figura 9 ilustra uma barra engatada e livre de perfil ‘I’ de paredes delgadas submetida

a um torque na extremidade livre. Caso se analisasse a barra sem a existência da alma, as mesas

se deformariam de forma independente com uma distribuição de tensões auto balanceada como

mostra a Figura 9(b), sujeitas à flexão horizontal devido aos dois momentos (+M0 e - M0)

atuantes. Mesmo com a adição da alma, esta oferece uma rigidez pequena a seção e os efeitos

dessa distribuição de tensões propagam-se de forma acentuada ao longo de toda a barra e não

podem ser analisados meramente como um efeito local (O princípio de Saint-Venant não é mais

válido neste caso) (ALVES FILHO, 1988).

31

Figura 9 - Barra de perfil 'I' submetida a torção.

Fonte: (ALVES FILHO, 1988)

Referenciais e características geométricas da seção

A teoria aqui apresentada é desenvolvida em Garcia (2003). Para a formulação é

necessário definir os referenciais, bem como algumas propriedades geométricas da seção

transversal como ilustra a Figura 10.

Figura 10 - Seção transversal da haste e referenciais.


32

A Figura 10 indica os referenciais utilizados, sendo:

• 𝑥, 𝑦, 𝑧: eixos centroidais, com ‘x’ tendo origem numa extremidade da barra e

coincidente com o eixo desta, e ‘y’ e ‘z’ contidos no plano da seção transversal,

formando um sistema direto com ‘x’;

• 𝜉, 휂 𝑒 휁: eixos paralelos a ‘𝑥’, ‘𝑦’, ‘𝑧’, passando pelo polo principal ‘’ da

seção, de coordenadas (𝑦𝑒 , 𝑧𝑒);

• 𝑛, 𝑠: coordenadas curvilíneas ortogonais seguindo as direções normal e

tangente à linha média, com ‘s’ medida a partir de uma extremidade da seção

(ponto 1 na Figura 10).

• 𝛼: ângulo que mede a inclinação de um dado trecho, em relação ao eixo z;

• ��, �� e 휂, 휁: as coordenadas de um ponto genérico 𝑆 da linha média;

• 𝑟: raio vetor que liga o polo principal ‘’ a um ponto genérico ‘S’.

• 𝑟𝑛, 𝑟𝑠: Projeções do raio vetor segundo ‘n’ e ‘s’.

Para seções de paredes delgadas, são válidas as seguintes propriedades geométricas de

acordo com os referenciais apresentados:

𝑆𝑦 = ∫ ��𝑑𝐴𝐴

= 0; 𝑆𝑧 = ∫ ��𝑑𝐴𝐴

= 0 (3.22)

𝐼𝑦 = ∫ ��²𝑑𝐴𝐴

; 𝐼𝑧 = ∫ ��²𝑑𝐴𝐴

; 𝐼𝑦𝑧 = ∫ ��𝑑𝐴𝐴

(3.23)

𝜔= ∫ 𝑟𝑛𝑑𝑠𝑠

𝑠0 (3.24)

𝑆𝜔 = ∫𝜔𝑑𝐴

𝐴

= 0 (3.25)

𝐼𝜔 = ∫𝜔²𝑑𝐴

𝐴

; 𝐼𝜔𝑦 = ∫ ��𝜔𝑑𝐴

𝐴

= 0; 𝐼𝜔𝑧 = ∫ ��𝜔𝑑𝐴

𝐴

= 0 (3.26)

Sendo:

• 𝑆𝑦, 𝑆𝑧: Momentos estáticos da área da seção em relação aos eixos ‘𝑦’e ‘𝑧’

(nulos por serem eixos centroidais);

33

• 𝐼𝑦, 𝐼𝑧 𝑒 𝐼𝑦𝑧: Momentos de inércia e produtos de inércia relativos aos eixos ‘𝑦’

e ‘𝑧’;

• 𝜔: Área setorial associada ao ponto ‘𝑆’, ao polo principal ‘’ e ao ponto

setorial inicial arbitrado ‘𝑆0’.

• 𝑆𝜔 : Momento estático setorial (Nulo por se admitir ‘𝑆0’ como um

centroide setorial);

• 𝐼𝜔 , 𝐼𝜔𝑦 𝑒 𝐼𝜔𝑧: Momento setorial de inércia e produtos setoriais de inercias

em relação a ‘y’ e ‘z’. (Esses últimos resultando nulos, uma vez que a área

setorial é calculada em relação ao polo principal da seção ‘’).

Hipóteses fundamentais

Primeiramente, Vlasov (1961) define as características e hipóteses que classificam uma

seção de paredes delgadas e seção aberta, são elas:

a. A ordem de grandeza das dimensões: espessura (𝑡), maior dimensão da seção

transversal (𝑑) e o comprimento da barra (ℓ) satisfazem as relações da eq. (3.27).

𝑡

𝑑≤ 0,1;

𝑑

ℓ≤ 0,1

(3.27)

b. A seção delgada pode ser representada pela sua linha média conforme indica a

Figura 10.

c. A seção transversal é admitida constante ao longo da coordenada ‘x’.

d. Após a deformação da barra, a geometria da seção transversal projeta-se

indeformada no seu plano original;

e. A superfície média da barra (perpendicular à seção transversal e que passa pela

linha média) não sofre distorções (𝑥𝑠

= 0);

f. O material é homogêneo, elástico e isotrópico. O coeficiente de Poisson

(𝜐) é pequeno e seu quadrado desprezível quando comparado com a unidade;

g. Das componentes de tensões, são relevantes apenas a componente normal (𝜎𝑥) e a

componente cisalhante (𝜏𝑥𝑠);

34

h. Adota-se a hipótese de Kirchhoff da Teoria das Placas, que diz que as linhas retas

normais à superfície média antes da deformação permanecem retas, indeformadas

e normais à superfície média após a deformação (𝑥𝑛

= 𝑛𝑠

= 휀𝑛 = 0)

i. Somente cargas conservativas são consideradas;

j. A flambagem local não é considerada;

k. O princípio de Saint-Venant não se aplica para cargas longitudinais nas seções de

paredes finas.

l. O carregamento, por unidade de comprimento, ao longo da barra (oriundo das

forças de volume e de superfície lateral) é gerado supondo-se nulas as componentes

longitudinais ‘𝑃��’ das forças atuantes na superfície lateral e dependentes apenas de

‘x’ as componentes longitudinais ‘X’ das forças de volume. Já as solicitações de

caráter concentrado nas seções extremas, decorrentes de forças de superfície com

componentes ‘𝜌𝑥 ’, ‘𝜌𝑦 ’ e ‘𝜌𝑧 ’, são geradas supondo ‘𝜌𝑥 ’ uniformemente distribuída

na espessura.

Formulação analítica

O desenvolvimento da teoria não é o foco deste presente trabalho e pode ser consultado

em Vlasov (1961) ou nos trabalhos de Oden e Ripperger (1981), Mori e Munaiar Neto (2009)

e Garcia (2003). A seguir, são apresentadas as formulações analíticas que regem o fenômeno

da flexo-torção de acordo com Garcia (2003).

A tensão normal 𝜎𝑥 é dada pela eq. (3.28):

𝜎𝑥 = 𝐸(𝑢′ − 𝑣′′. �� − 𝑤′′. �� − ∅′′. 𝜔) (3.28)

Sendo:

• 𝑢, 𝑣 𝑒 𝑤: os deslocamentos na direção dos eixos ‘x’, ‘y’ e ‘z’, respectivamente;

• ∅: a rotação em torno do eixo ‘x’.

Considerando a conversão de sinais da Figura 11, os esforços solicitantes podem ser

obtidos por integração de acordo com as equações (3.29), (3.30), (3.31) e (3.32).

𝑁 = ∫𝜎𝑥𝑑𝐴 = 𝐸𝐴𝑢′

𝐴

(3.29)

35

𝑀𝑦 = − ∫𝜎𝑥��𝑑𝐴 = 𝐸𝐼𝑦𝑧𝑣

′′ + 𝐸𝐼𝑦𝑤′′

𝐴

(3.30)

𝑀𝑧 = ∫𝜎𝑥��𝑑𝐴 = −𝐸𝐼𝑧𝑣

′′ − 𝐸𝐼𝑦𝑧𝑤′′

𝐴

(3.31)

𝐵 = ∫𝜎𝑥𝜔𝑑𝐴 = −𝐸𝐼𝜔∅′′

𝐴

(3.32)

Figura 11 - Esforços solicitantes na seção transversal, com seus sentidos positivos.


A equação (3.32) define matematicamente o bimomento ‘𝐵’. Esse novo esforço é

definido por Vlasov (1961) como um sistema de forças auto equilibrado, estaticamente nulo e

tem dimensão ‘𝑘𝑁. 𝑐𝑚²’. Em analogia com a teoria da flexão, o termo ‘𝐸𝐼𝜔’ é denominado

rigidez ao empenamento setorial da barra.

Substituindo na eq. (3.28) as expressões (3.29), (3.30), (3.31) e (3.32), e supondo-se que

os eixos ‘𝑦’ e ‘𝑧’ são eixos principais de inércia, chega-se a eq. (3.33) dada a seguir:

𝜎𝑥 =

𝑁

𝐴+

𝑀𝑧

𝐼𝑧. �� −

𝑀𝑦

𝐼𝑦. �� +

𝐵

𝐼𝜔. 𝜔

(3.33)

36

Os três primeiros termos da eq. (3.33) coincidem com a equação para a tensão normal

‘𝜎𝑥’ da resistência dos materiais, em relação aos eixos principais de inércia, e é baseada na

hipótese das seções planas. O último termo deriva do empenamento da seção.

Oden e Ripperger (1981) enfatizam a independência do bimomento ‘B’ dos esforços

‘𝑁’, ‘𝑀𝑦’ e ‘𝑀𝑧’, uma vez que ele pode surgir com apenas a aplicação de um torque em uma

seção impedida de empenar livremente, como no caso de um engaste.

De acordo com Mori e Munaiar Neto (2009), no caso de se ter uma carga concentrada

axial (F) aplicada à um ponto discreto da barra, resultando num estado de flexo-torção. Haverá

um bimomento nessa seção dado pela eq. (3.34). Para o caso de várias forças concentradas

aplicadas em diferentes pontos da mesma seção, o bimomento resultante na seção é dado pela

eq. (3.35).

𝐵 = 𝐹.𝜔 (3.34)

𝐵 = ∑𝐹𝑖 . 𝜔𝑖

𝑛

𝑖=1

(3.35)

Na análise das tensões cisalhantes (𝜏𝑥𝑠), existem duas parcelas: a originada da teoria da

torção livre de Saint-Vernant (𝜏ℓ) e a originada da teoria de flexo-torção de Vlasov (𝜏ft) como

ilustra a Figura 12. As tensões cisalhantes (𝜏𝑥𝑛) resultam nulas em decorrência da sua

importância secundaria (hipóteses ‘g’ e ‘l’).

Figura 12 - Distribuição de tensões cisalhantes ao longo da espessura da seção transversal.

Fonte: Adaptado de Mori e Munaiar Neto (2009).

A tensão cisalhante (𝜏ℓ) tem uma distribuição linear e é obtida conforme a teoria de

Saint-Venant, resultando num esforço chamado de momento de torção uniforme ou torsor de

37

Saint-Venant (𝑇𝑧) dado pela eq. (3.36). Já a tensão cisalhante (𝜏ft) é constante ao longo da

espessura, resultando num esforço denominado momento de flexo-torção ou torsor de Vlasov

(𝑇𝜔) dado pela eq. (3.37).

𝑇𝑧 = −𝐺𝐽𝑇∅′ (3.36)

𝑇𝜔 = −𝐵′ = 𝐸𝐼𝜔∅′′′ (3.37)

A soma das duas parcelas 𝑇𝑧 e 𝑇𝜔 resulta no esforço total de torção dado pela eq. (3.38).

𝑇 = −𝐺𝐽𝑇∅′ + 𝐸𝐼𝜔∅′′′ (3.38)

É interessante observar os valores das tensões cisalhantes (𝜏ℓ) da torção pura são muito

maiores que os valores das tensões (𝜏ft) da flexo-torção, entretanto o braço de alavanca resulta

bem maior para o caso da flexo-torção (𝑑ft >> 𝑑ℓ na Figura 12), o que faz essas tensões sejam

significativas para o esforço de torção (MORI e MUNAIAR NETO, 2009).

Além disso, de acordo com a hipótese ‘e’ de que a linha média não sofre distorções, as

tensões cisalhantes (𝜏ft) não podem ser associadas pela equação constitutiva (𝜏 = 𝐺𝛾) às

distorções.

Por fim, de acordo com Garcia (2003), os esforços cortantes relativos aos eixos ‘휂’ e ‘휁’

são dados pelas equações (3.39) e (3.40) a seguir:

𝑉𝜂 = −𝐸𝐼𝑧𝑣′′′ − 𝐸𝐼𝑦𝑧𝑤

′′′ (3.39)

𝑉𝜁 = −𝐸𝐼𝑦𝑧𝑣′′′ − 𝐸𝐼𝑦𝑤′′′ (3.40)

Princípio dos trabalhos virtuais

Segundo Garcia (2003), o trabalho virtual das forças internas envolve apenas as

componentes de deformações ‘휀𝑥’ e ‘𝛾𝑥𝑠’ (oriunda da tensão cisalhante ‘𝜏ℓ’ da teoria de Saint-

Venant) e resulta na eq. (3.41). Ressaltando-se que se supõe que os eixos ‘𝑦’ e ‘𝑧’ são eixos

principais de inércia.

𝛿𝑊𝑖 = ∫ [𝐸𝐴𝑢′𝛿𝑢′

ℓ

0

+ 𝐸𝐼𝑍𝑣′′𝛿𝑣′′ + 𝐸𝐼𝑦𝑤′′𝛿𝑤′′

+𝐸𝐼𝑤∅′′𝛿∅′′ + 𝐺𝐽𝑇∅′𝛿∅′]𝑑𝑥

(3.41)

38

Já o trabalho virtual das forças externas é obtido de acordo com a hipótese ‘l’ e é dado

pela eq. (3.42) a seguir:

𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∫ (𝑞𝑥𝛿𝑢

ℓ

0

+ 𝑞𝜂𝛿𝑣 + 𝑞𝜁𝛿𝑤 + 𝑚𝜉𝛿∅)𝑑𝑥

+ [��𝛿𝑢 + 𝑉��𝛿𝑣 + 𝑉��𝛿𝑤 − ��𝛿∅ − 𝑀𝑧 𝛿𝑣′ + 𝑀𝑦

𝛿𝑤′ − ��𝛿∅′ ]0ℓ

(3.42)

Sendo:

• ��, 𝑉�� , 𝑉�� , ��, 𝑀𝑧 , 𝑀𝑦

e ��: Solicitações de carácter concentrado prescritas nas

seções de extremidades.

• 𝑞𝑥, 𝑞𝜂 , 𝑞𝜁 e 𝑚𝜉: Carregamentos por unidade de comprimento relativos aos

eixos 𝑥, 휂, 휁 e 𝜉, respectivamente.

Condições de contorno

A seguir, são apresentadas na Tabela 1 as condições de contornos para diferentes tipos

de apoio. O vínculo de garfo é descrito em Mori e Munaiar Neto (2009) como aquele que

impede a rotação da seção, mas a deixa livre para empenar. Em termos práticos, um perfil ‘I’

ligado apenas por sua alma a um pilar pode ser considerado como um vínculo de garfo.

Tabela 1 - Condições de contorno.

Tipo de apoio/seção Características Restrições matemáticas

Engaste Rotação e empenamento

impedidos no apoio ∅ = 0; ∅′ = 0

Vínculo de garfo Rotação impedida e

empenamento livre no apoio. ∅ = 0

Livre Rotação e empenamento

livres. Nenhuma

Extremidade com tensão

normal (𝜎𝑥) ou carga

axial (𝐹𝑖) aplicada

Bimomento aplicado

localmente.

𝐵 = ∫ 𝜎𝑥𝜔𝑑𝐴 𝐴

ou

𝐵 = ∑𝐹𝑖𝜔𝑖

𝑖


39

4. FORMULAÇÃO NUMÉRICA

4.1 Método dos Elementos Finitos

Para o desenvolvimento da formulação numérica deste trabalho, optou-se pelo Método

dos Elementos Finitos. Segundo Assan (2003), este método analisa um problema contínuo de

forma discretizada por meio dos chamados elementos finitos, ou seja, divide-se o domínio de

integração em subdomínios como ilustra a Figura 13. Dessa forma, gera-se uma malha de

elementos finitos que pode ser tão refinada quanto a análise necessite. Os pontos de intersecção

das linhas são denominados de nós.

Figura 13 - Rede de elementos finitos.

Fonte: Alves Filho (2005).

A análise parte de uma subdivisão que é feita de acordo com os parâmetros nodais de

deslocabilidade em conformidade com o grau de liberdade que o elemento apresenta. Daí, com

esses parâmetros, podem-se interpolar funções para os elementos, as chamadas funções de

forma. Além disso, as equações algébricas podem ser desenvolvidas a partir do princípio de

mínima energia potencial total, ou de outro funcional de energia. Neste trabalho as equações

serão desenvolvidas por meio do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) (ASSAN, 2003).

A Figura 14 mostra as etapas da modelagem pelo MEF desenvolvidas neste trabalho.

Inicialmente, será feita uma análise das deslocabilidades presentes no problema de flexo-torção

em hastes de paredes delgadas e seção aberta para descrever o campo de deslocamentos por

meio de funções de interpolações, optou-se por trabalhar com polinômios, deixando os seus

coeficientes em função dos deslocamentos nodais. Em seguida, aplica-se o PTV para a

definição da matriz de rigidez local e do vetor de cargas nodais local dos elementos. Logo

40

depois, montam-se a matriz de rigidez global e o vetor de cargas nodais global da estrutura por

meio do processo denominado de Assembly. Diante disso, e com as condições de contorno,

pode-se formar um sistema de equações lineares, no qual as incógnitas são os deslocamentos

nos pontos nodais, sendo o método denominado método dos elementos finitos, modelo dos

deslocamentos (ou modelo da rigidez). Com os valores dos deslocamentos nodais, calculam-se,

por fim, os esforços nodais (ASSAN, 2003).

Figura 14 - Fluxograma das etapas da modelagem em elementos finitos.

Fonte: Autora (2021).

4.2 Discretização

O elemento finito utilizado neste trabalho é um elemento unidimensional, ou seja, as

deslocabilidades são dependentes apenas da variável ‘x’ ao longo do eixo da barra. O elemento

possui dois nós e tem comprimento ‘λ’. Cada nó apresenta sete deslocabilidades (𝑢, 𝑣, 𝑣’, 𝑤, 𝑤’,

∅ e ∅′). Na Figura 15, ilustra-se o elemento utilizado. Sendo que na Figura 15(a), o subscrito 1

nas variáveis das deslocabilidades indica que estas são referentes ao nó 1 (nó inicial), o subscrito

2 indica referência ao nó 2 (nó final). Na Figura 15(b), é apresentado o sistema local de

numeração dos deslocamentos nodais.

41

Figura 15 - Elemento finito linear, suas deslocabilidades e sistema local de numeração dos deslocamentos.


A discretização de uma barra em “NN-1” trechos, corresponde ao uso de “NN-1”

elementos finitos totalizando “NN” pontos nodais. O sistema de referência global é ilustrado na

Figura 16. Nota-se que para um elemento “i”, o seu nó inicial “j” superpõe-se ao nó final do

elemento “i-1”.

Figura 16 - Discretização e sistema de numeração global das deslocabilidades.


4.3 Deslocabilidades

As deslocabilidades utilizadas são os 6 graus de liberdade de um ponto no espaço (3

deslocamentos e 3 rotações) mais uma deslocabilidade relativa ao empenamento da seção

transversal, totalizando 7. A Figura 17 mostra as deslocabilidades no sistema de referência.

42

Figura 17 - Deslocabilidades nodais.


Sendo:

• 𝑢: o deslocamento relativo ao eixo ‘x’;

• 𝑣: o deslocamento relativo ao eixo ‘y’;

• 𝑣′: a rotação em torno do eixo ‘z’ (derivada primeira de ‘𝑣’ em relação à ‘x’);

• 𝑤: o deslocamento relativo ao eixo ‘z’;

• 𝑤′: a rotação em torno do eixo ‘y’ (derivada primeira de ‘𝑤’ em relação à ‘x’);

• ∅: a rotação relativa ao eixo ‘x’;

• ∅′: a deslocabilidade relativa ao empenamento (derivada primeira de ‘∅’ em

relação à ‘x’).

4.4 Funções de interpolação

As funções de interpolação escolhidas para cada deslocabilidade levou em consideração

o grau de derivação apresentado na formulação do trabalho virtual interno da eq. (3.41) e nas

formulações dos esforços internos das equações (3.29), (3.30), (3.31), (3.32), (3.38), (3.39) e

(3.40). Para a deslocabilidade ‘𝑢’, considerou-se uma função linear. Para as deslocabilidades

‘𝑣’, ‘𝑤’ e ‘∅’, um polinômio de grau 3. Já as deslocabilidades ‘𝑣′’, ‘𝑤′’ e ‘∅′’ são obtidas por

derivação das funções de ‘𝑣’, ‘𝑤’ e ‘∅’ e, dessa forma, são polinômios de grau 2. O

desenvolvimento das expressões encontra-se no Apêndice A. A seguir, apresentam-se as

funções de interpolação das deslocabilidades em função dos deslocamentos nodais.

43

𝑢(𝑥) = [1 𝑥 ]. [1 0

−1

𝜆

1

𝜆

] . [𝑢1

𝑢2]

(4.1)

∅(𝑥) = [1 𝑥 𝑥2 𝑥3].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

.

[ ∅1

∅2

∅1′

∅2′ ]

(4.2)

∅′(𝑥) = [0 1 2𝑥 3𝑥²].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

.

[ ∅1

∅2

∅1′

∅2′ ]

(4.3)

𝑣(𝑥) = [1 𝑥 𝑥2 𝑥3].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

. [

𝑣1

𝑣2

𝑣1′

𝑣2′

]

(4.4)

𝑣′(𝑥) = [0 1 2𝑥 3𝑥²].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

. [

𝑣1

𝑣2

𝑣1′

𝑣2′

]

(4.5)

𝑤(𝑥) = [1 𝑥 𝑥2 𝑥3].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

. [

𝑤1

𝑤2

𝑤1′

𝑤2′

]

(4.6)

44

𝑤′(𝑥) = [0 1 2𝑥 3𝑥²].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

. [

𝑤1

𝑤2

𝑤1′

𝑤2′

]

(4.7)

4.5 Matriz de rigidez local

Para o cálculo da matriz de rigidez local do elemento finito ‘[𝑘]𝑒’, substituíram-se as

funções das deslocabilidades das equações (4.1), (4.2), (4.3), (4.4), (4.5), (4.6) e (4.7) na eq.

(3.41) do trabalho virtual interno e integrou-se ao longo do comprimento do elemento ‘𝜆’. O

desenvolvimento encontra-se no Apêndice B. A matriz de rigidez local é indicada na Figura 18.

Figura 18 - Matriz de rigidez local.


4.6 Vetor de carga nodais

Carregamentos distribuídos

Para os carregamentos distribuídos ao longo do comprimento do elemento finito, são

calculadas cargas nodais equivalentes, como ilustra a Figura 19 para o caso de um carregamento

uniformemente distribuído ‘𝑞𝑥’.

45

Figura 19 - Cargas nodais equivalentes.


O vetor de cargas nodais equivalentes local é determinado a partir do trabalho virtual

externo dado pela eq. (3.42). Para este trabalho, considerou-se os carregamentos ‘𝑞𝑥’, ‘𝑞𝜂’, ‘𝑞𝜁’

e ‘𝑚𝜉’ uniformemente distribuídos ao longo do eixo ‘𝑥’. A dedução encontra-se no Apêndice

C. A Figura 20 apresenta o vetor de cagas nodais equivalentes local.

Figura 20 - Vetor de cargas nodais equivalentes local.


46

Cargas concentradas

As cargas concentradas são diretamente computadas no vertor de cargas nodais na

posição relativa à sua deslocabilidade correspondente, isto é, essas cargas são aplicadas

diretamente nos nós da estrutura levando em consideração o correto sinal referente a conversão

de sinais adotadas (ASSAN, 2003).

4.7 Matriz de rigidez global

O processo de montagem da matriz de rigidez global da estrutura é denominado de

Assembly e consiste em contabilizar as contribuições de todos os elementos finintos para a

estrutura global. No caso do elemento finito deste trabalho, há superposição do nó final e do nó

inicial dos elementos. Dessa forma, a contribuição do nó final do elemento ‘i’ deve ser somada

a contribuição do nó inicial do elemento ‘i+1’. A seguir, a Figura 21 ilustra o processo de

montagem da matriz de rigidez global.

Figura 21 - Matriz de rigidez global.

Fonte: Mittelbach (2007).

47

4.8 Vetor de cargas global

Assim como na montagem da matriz de rigidez global, o vetor de cargas global é

calculado levando-se em consideração as superposições dos elementos finitos como ilustra a

Figura 22.

Figura 22 - Vetor de cargas global.

Fonte: Adaptado de Mittelbach (2007).

4.9 Sitemas de equações e condições de contorno

Com a matriz de rigidez global e o vetor de cargas nodais global definidos, tem-se um

sistema de equações, nas quais as incógnitas são os deslocamentos nodais. A Figura 23 ilustra

esse sistema de equações.

Esse sistema é, entretanto, impossível de ser resolvido sem a adição das condições de

contorno da estrutura (os vínculos), os quais foram introduzidos neste trabalho pela técnica dos

“zeros e uns”.

Essa técnica baseia-se em introduzir as condições de contorno por meio da modificação

da matriz de rigidez global e do vetor de cargas global. Para um nó ‘i’, sendo a deslocabilidade

48

‘𝑈𝑖’ conhecida e igual a ‘∆𝑖’, a modificação da matriz de rigidez consiste em igualar a um o

coeficiente ‘𝑘𝑖𝑖’ e zerar os coeficientes ‘𝑘𝑖𝑗’ e ‘𝑘𝑗𝑖’ (demais termos da linha e da coluna de

‘𝑘𝑖𝑖’). Já a modificação do vetor de cargas é feita igualando o termo ‘𝐹𝑖’ a ‘∆𝑖’ e os demais

termos ‘𝐹𝑗’ são subtraídos de ‘𝑘𝑖𝑗 . ∆𝑖’.

Após esse procedimento, o sistema de equações é resolvido pelo método de Gauss,

obtendo-se os valores dos deslocamentos nodais.

Figura 23 - Sistema de equações.

Fonte: Adaptado de Mittelbach (2007).

4.10 Código computacional

A formulação numérica foi implementada por meio de um algorítimo em liguagem de

programação FORTRAN 95, liguagem comum na resolução de problemas de engenharia,

especialmente aqueles que envolvem o Método dos Elementos Finitos. O compilador utilizado

foi o software PLATO. A seguir, as Figuras 24 e 25 mostram exemplos de arquivos de entrada,

nos quais se define os dados necessários para o processamento tais como o número de elementos

finitos, as características dos materiais, as características geométricas da seção transversal, as

restrições nos apoios e os carregamentos aplicados.

49

Figura 24 - Exemplo de arquivo de entrada.


Cada linha contém informações sequenciadas descritas a seguir:

1) Dados gerais: número de nós, número de nós com prescrição de deslocamento,

número de elementos, número de materiais diferentes, número de seções

transversais diferentes, número de elementos com carga, número de nós com carga,

número de nós com apoio elástico;

2) Coordenadas nodais: Número do nó, coordenada ‘x’ e coordenada ‘y’;

3) Restrição de apoio: Número do nó, ‘0’ ou ‘1’ (sendo ‘0’ deslocabilidade livre e ‘1’

deslocabilidade prescrita) e valor prescrito da deslocabilidade;

4) Características do material: Número do material, módulo de elasticidade (E) e

coeficiente de Poisson (υ);

5) Características da seção transversal: Número da seção transversal, área (A),

momento de inércia em relação ao eixo ‘y’ (𝐼𝑦), momento de inércia em relação ao

eixo ‘z’ (𝐼𝑧), momento setorial de inércia (𝐼𝜔) e constante de torção (𝐽𝑡);

6) Características dos elementos: Número do elemento, número do nó inicial, número

do nó final, número do material e número da seção transversal;

7) Carregamento aplicado no elemento: número do elemento, valor do carregamento

‘𝑞𝑥’, valor do carregamento ‘𝑞𝜂’, valor do carregamento ‘𝑞𝜁’ e valor do

carregamento ‘𝑚𝜉’.

50

Caso haja cargas concentradas na modelagem, haverá uma linha referente a essas

informações (ilustrada na Figura 25), que são: número do nó, valor da força relativa ao eixo ‘x’

(𝐹𝑥), valor da força relativa ao eixo ‘𝑦’ (𝐹𝑦), valor do momento fletor relativo ao eixo ‘𝑦’ (𝑀𝑧),

valor da força relativa ao eixo ‘𝑧’ (𝐹𝑧), valor do momento fletor relativo ao eixo ‘𝑧’ (𝑀𝑦), valor

do torçor relativo ao eixo ‘𝑥’ (T) e valor do bimomento (B).

Figura 25 - Exemplo de arquivo de entrada.


Após o processamento, os resultados são gravados em um arquivo de saída, no qual

constam os valores dos deslocamentos nodais, das reações de apoio e dos esforços internos

como é ilustrado na Figura 26.

51

Figura 26 - Arquivo de saída com os resultados.


52

5. EXEMPLOS E RESULTADOS

5.1 Introdução

Neste capítulo, o algoritmo desenvolvido será validado, verificando-se a sua acurácia

por meio de exemplos solucionados de forma analítica, de acordo com a teoria de flexo-torção

apresentada no capítulo 3, e de forma numérica pelo código computacional baseado no MEF.

Serão apresentados 5 exemplos. As seções transversais do tipo ‘U’, ‘I’ e ‘Z’ e vínculos

de engaste e de garfo foram utilizados. O primeiro exemplo, com seção transversal ‘U’, teve

como objetivo avaliar a precisão dos deslocamentos de uma barra engastada e livre quando

submetida a diversos tipos de carregamentos unitários. Em seguida, avaliam-se nos exemplos

2 e 3, a precisão dos deslocamentos e dos esforços, bem como o efeito do refinamento da malha

na acurácia dos resultados numéricos. Nos exemplos 4 e 5, avaliam-se a acurácia dos

deslocamentos e esforços paras seções I e Z com vínculos de garfos.

Para medir a acurácia dos resultados, considerou-se a expressão do erro relativo dado

pela eq. (5.1):

𝐸𝑟𝑒𝑙(%) =

|𝑥𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 − 𝑥𝑀𝐸𝐹|

|𝑥𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜|

(5.1)

Para os casos nos quais o valor analítico é zero, optou-se por usar a expressão do erro

absoluto dado pela eq. (5.2) para avaliar o “zero numérico”.

𝐸𝑎𝑏𝑠 = |𝑥𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 − 𝑥𝑀𝐸𝐹| (5.2)

A malha de elementos finitos será discretizada de forma que os erros fiquem dentro de

uma margem de 2%.

5.2 Exemplo 1

O primeiro exemplo consta em Garcia (2003). Trata-se de uma barra engastada em uma

extremidade e livre na outra, com comprimento (ℓ) de 200 cm. Para caracterizar o material, os

valores adotados para o módulo de elasticidade (𝐸) e o coeficiente de Poisson (𝜐) são dados

pela Tabela 2 a seguir:

53

Tabela 2 - Valores adotados para o material.

𝐸 21000 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

𝜐 0,30


A seção transversal é do tipo ‘U’ como ilustra a Figura 27. As propriedades geométricas

da seção transversal foram calculadas por meio do software FLEXO II, desenvolvido por

Antunes (1999), e são apresentadas na Figura 28. Convém salientar que se deve fazer uma

compatibilidade dos eixos convencionados no problema e no software, isto é, ‘Ix’ no programa

corresponde a ‘Iz’ no exemplo.

Figura 27 - Seção transversal ‘U’.


Figura 28 - Propriedades geométricas da seção ‘U’ obtidas a partir do software FLEXO II.

Fonte: Antunes (1999).

54

A cerca das solicitações externas, foram aplicados 11 tipos de carregamento unitários

diferentes de acordo com a Figura 29, e foram calculados os deslocamentos na extremidade

livre da barra.

Figura 29 - Casos de carregamentos aplicados.


A seguir, a Tabela 3 apresenta a comparação dos resultados analíticos de Garcia

(2003) e os obtidos pelo algoritmo com uma subdivisão na malha de 4 elementos finitos.

Tabela 3 - Comparação entre os resultados analíticos e numéricos.

Caso Deslocamento

(cm ou rad)

Analítico

(GARCIA, 2003)

Elementos finitos

(4 elementos) Erro (%)

1 u(ℓ) 6.613757E-04 6.613757E-04 0.000%

2 v(ℓ) 3.149408E-01 3.148408E-01 0.032%

3 w(ℓ) 5.511464E-01 5.509933E-01 0.028%

4 w(ℓ) 4.133598E-03 4.132450E-03 0.028%

5 -v(ℓ) 2.362056E-03 2.361306E-03 0.032%

6 -∅(ℓ) 1.196891E-02 1.196880E-02 0.001%

7 -∅(ℓ) 8.706610E-05 8.706532E-05 0.001%

8 u(ℓ) 6.613757E-02 6.613757E-02 0.000%

9 v(ℓ) 2.362056E+01 2.361306E+01 0.032%

10 w(ℓ) 4.133598E+01 4.132450E+01 0.028%

11 ∅(ℓ) 9.158804E-01 9.158343E-01 0.005% Fonte: (AUTORA, 2021; GARCIA, 2003).

55

5.3 Exemplo 2

Este exemplo consta em Mori e Munaiar Neto (2009). Trata-se de uma barra engastada

e livre com seção transversal ‘I’ e um torque aplicado na extremidade livre como ilustra a Figura

30.

Figura 30 - Barra engastada com momento ‘T’ aplicado na extremidade livre.

Fonte: Mori e Munaiar Neto (2009).

Os valores adotados constam na Tabela 4 a seguir:

Tabela 4 - Valores adotados.

𝑇 50 𝑘𝑁. 𝑐𝑚

𝐸 21000 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

𝐺 8000 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

ℓ 200 𝑐𝑚

𝑡 0,8 𝑐𝑚

ℎ 12 𝑐𝑚

𝑏 10 𝑐𝑚


As propriedades geométricas da seção transversal (Figura 31) foram calculados pelo

software FLEXO II.

56

Figura 31 - Propriedades geométricas da seção ‘I’ obtidas a partir do software FLEXO II.


O diagrama de área setorial principal foi calculado pelo software FLEXO II (Figura 32a)

e a Figura 32b mostra o mesmo diagrama calculado por Mori e Munaiar Neto (2009).

Figura 32 - Diagrama de área setorial principal (Diagramas com unidade em cm²).

Fonte: (ANTUNES, 1999; MORI e MUNAIAR NETO, 2009).

57

Os valores das rotações ‘∅’, do esforço de torção ‘T’ e do bimomento ‘B’ foram

calculados de duas formas: analiticamente e numericamente com uma subdivisão da malha de

4 elementos finitos. A seguir, são apresentados os valores nas Tabelas 5, 6 e 7.

Tabela 5 - Valores analíticos e numéricos da rotação ‘∅’.

Coordenada

da seção x

(cm)

∅(rad)

Analítico Elementos

finitos ERRO (%)

200 0.00000E+00 0.000000E+00 0.000%

150 -2.16462E-02 -2.163736E-02 0.041%

100 -6.62445E-02 -6.622097E-02 0.036%

50 -1.18837E-01 -1.188036E-01 0.028%

0 -1.73940E-01 -1.738994E-01 0.023% Fonte: Autora (2021).

Tabela 6 - Valores analíticos e numéricos do esforço de torção ‘T’.

Coordenada

da seção x

(cm)

T (kN.cm)

Analítico Elementos finitos ERRO (%)

200 5.00E+01 5.00E+01 0.000%

150 5.00E+01 5.00E+01 0.000%

100 5.00E+01 5.00E+01 0.000%

50 5.00E+01 5.00E+01 0.000%

0 5.00E+01 5.00E+01 0.000% Fonte: Autora (2021).

Tabela 7 - Valores analíticos e numéricos do esforço bimomento ‘B’.

Coordenada

da seção x

(cm)

B (kN.cm²)

Analítico Elementos

finitos ERRO (%)

200 -2.4005E+03 -2.4022E+03 0.073%

150 -8.4620E+02 -8.4758E+02 0.162%

100 -2.9473E+02 -2.9546E+02 0.247%

50 -9.2537E+01 -9.2830E+01 0.317%

0 0.0000E+00 -2.3270E-13 ≈0.0001 Fonte: Autora (2021).

Para analisar o efeito do refinamento da malha, analisou-se o problema também com

subdivisões de 8 e 16 elementos finitos. A seguir, as Figuras 33, 34 e 35 apresentam para malhas

1 Erro absoluto

58

de 4, 8 e 16 elementos finitos, os valores dos erros para as rotações (∅), para o esforço de torção

(T) e para o bimomento (B).

Figura 33 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros das rotações ‘∅’.


Figura 34 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros no esforço de torção ‘T’.


200 150 100 50 0

4 elementos finitos 0.000% 0.041% 0.036% 0.028% 0.023%



0.000%

0.005%

0.010%

0.015%

0.020%

0.025%

0.030%

0.035%

0.040%

0.045%

ER

RO

(%

)

Coordenada da seção (x)

Refinamento da malha (erro para ∅)

200 150 100 50 0




0.000%

10.000%

20.000%

30.000%

40.000%

50.000%

60.000%

70.000%

80.000%

90.000%

100.000%

ER

RO

(%

)


Refinamento da malha (erro para T)

59

Figura 35 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros no esforço bimomento ‘B’.


Nota-se que o refinamento da malha resultou em um aumento de acurácia nos

resultados, o que já era esperado, uma vez que a análise é baseada no MEF (o refinamento da

malha gera mais informações nodais, que tornam as funções de interpolações mais precisas).

5.4 Exemplo 3

Este exemplo encontra-se em Mori e Munaiar Neto (2009) e é análogo ao exemplo 2

para as características do material, seção transversal e comprimento da barra. Entretanto, a

solicitação passa a ser um bimomento ‘B’ aplicado na extremidade livre por meio de forças ‘F’

de 50 kN aplicadas nos 4 pontos extremos (1, 2, 3 e 4) das mesas da seção transversal como

ilustra a Figura 36.

Para calcular o bimomento aplicado, usa-se a eq. (3.35) e o diagrama de área setorial

apresentado no exemplo 2, resultando na eq. (5.3) dada a seguir:

𝐵 = (−50). (−30) + (50). (30) + (50). (30) + (−50). (−30) = 6000 𝑘𝑁. 𝑐𝑚² (5.3)

200 150 100 50 0

4 elementos finitos 0.073% 0.162% 0.247% 0.317% 0.000



0.000%

0.050%

0.100%

0.150%

0.200%

0.250%

0.300%

0.350%

ER

RO

(%

)


Refinamento da malha (erro para B)

60

Figura 36 - Barra engastada com forças ‘F’ aplicadas na extremidade livre gerando um bimomento aplicado.


Em seguida, os valores analíticos e numéricos para uma malha de 4 elementos finitos

foram calculados. Os resultados são apresentados nas Tabelas 8, 9 e 10.


Coordenada

da seção x

(cm)

∅ (rad)


0 0.00000E+00 0.000000E+00 0.000%

50 -2.52966E-03 -2.533986E-03 0.171%

100 -1.31164E-02 -1.313321E-02 0.128%

150 -4.43061E-02 -4.433473E-02 0.065%

200 -1.33060E-01 -1.330446E-01 0.011% Fonte: Autora (2021).


Coordenada

da seção x

(cm)

T (kN.cm)

Analítico Elementos finitos ERRO

0 0.00E+00 5.54331E-14 ≈0.0002

50 0.00E+00 5.09176E-14 ≈0.0002

100 0.00E+00 5.90916E-14 ≈0.0002

150 0.00E+00 5.07372E-14 ≈0.0002

200 0.00E+00 5.07372E-14 ≈0.0002 Fonte: Autora (2021).

2 Erro absoluto.

61


Coordenada

da seção x

(cm)

B (kN.cm²)


0 1.8653E+02 1.8720E+02 0.359%

50 2.9705E+02 2.9791E+02 0.289%

100 7.5959E+02 7.6100E+02 0.185%

150 2.1223E+03 2.1242E+03 0.091%

200 6.0000E+03 6.0000E+03 0.000% Fonte: Autora (2021).

Analogamente ao exemplo 2, analisou-se o efeito do refinamento da malha

subdividindo-a em 8 e 16 elementos finitos. A seguir, as Figuras 37, 38 e 39 apresentam, para

malhas de 4, 8 e 16 elementos finitos, os valores dos erros para as rotações (∅), para o esforço

de torção (T) e para o bimomento (B).

Figura 37 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros das rotações ‘∅’.


0 50 100 150 200




0.000%

0.020%

0.040%

0.060%

0.080%

0.100%

0.120%

0.140%

0.160%

0.180%

ER

RO

(%

)


Refinamento da malha (erro para ∅)

62

Figura 38 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros no esforço de torção ‘T’.


Figura 39 - Gráfico sobre o efeito do refinamento da malha nos valores dos erros no esforço bimomento ‘B’.


Neste caso, como no exemplo 2, o refinamento da malha acarretou em resultados mais

acurados, exceto naqueles apresentados na Figura 38 para o esforço de torção, no qual o

refinamento não surtiu efeito por se tratarem de “zeros numéricos”, os quais não apresentam

um padrão de convergencia e são números muito pequenos (aproximadamente zero).

0 50 100 150 200

4 elementos finitos 5.54E-14 5.09E-14 5.91E-14 5.07E-14 5.07E-14



1.00E-14

1.00E-12

1.00E-10

1.00E-08

1.00E-06

1.00E-04

1.00E-02

1.00E+00

ER

RO


Refinamento da malha (erro para T)

0 50 100 150 200




0.000%

0.050%

0.100%

0.150%

0.200%

0.250%

0.300%

0.350%

0.400%

ER

RO

(%

)


Refinamento da malha (erro para B)

63

5.5 Exemplo 4

Este exemplo consta em Mori e Munaiar Neto (2009). Trata-se de uma barra com

vínculos de garfos em ambas as extremidades e um momento torsor uniformemente distribuído

ao longo do comprimento. O vínculo de garfo impede a rotação, mas deixa a seção livre para

empenar. A Figura 40 ilustra o exemplo e apresenta os valores do momento torsor

uniformemente distribuído (mt), do comprimento da barra (ℓ) e das dimensões da seção

transversal.

Figura 40 - Barra com seção transversal ‘I’ com vínculos de garfo nas extremidades.


Para a caracterização do material, adotam-se os valores apresentados na Tabela 11 para

o módulo de elasticidade longitudinal (𝐸) e transversal (G).


𝐸 21000 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

𝐺 8000 𝑘𝑁/𝑐𝑚²


As propriedades geométricas da seção transversal foram calculas pelo software FLEXO

II e são apresentadas na Figura 41.

64

Figura 41 - Propriedades geométricas da seção ‘I’ obtidas a partir do software FLEXO II.


Foram calculados os valores analíticos e numéricos para uma malha de 4 elementos

finitos apresentados a seguir, nas Tabelas 12, 13 e 14.


Coordenada

da seção x

(cm)

∅ (rad)


0 0.00000E+00 0.0000E+00 0.000%

100 -1.71217E-01 -1.7125E-01 0.021%

200 -2.39408E-01 -2.3945E-01 0.019%

300 -1.71217E-01 -1.7125E-01 0.021%

400 0.00000E+00 0.0000E+00 0.000% Fonte: Autora (2021).


Coordenada

da seção x

(cm)

T (kN.cm)


0 -1.00E+02 -1.00E+02 0.000%

100 -5.00E+01 -5.00E+01 0.000%

200 0.00E+00 -1.172E-13 ≈0.0003

300 5.00E+01 5.00E+01 0.000%

400 1.00E+02 1.00E+02 0.000% Fonte: Autora (2021).

3 Erro absoluto

65


Coordenada

da seção x

(cm)

B (kN.cm²)


0 0.000000E+00 1.534772E-12 ≈0.0004

100 4.760532E+03 4.759951E+03 0.012%

200 6.169465E+03 6.168743E+03 0.012%

300 4.760532E+03 4.759951E+03 0.012%

400 0.000000E+00 2.785328E-12 ≈0.0004 Fonte: Autora (2021).

5.6 Exemplo 5

Este exemplo consta em Mori e Munaiar Neto (2009). Trata-se de uma seção ‘Z’ com

vínculos de garfos nas extremidades submetido à uma força axial de tração de 200 kN aplicada

no centro de torção da seção (D). A seguir, a Figura 42 ilustra o exemplo.

Figura 42 - Barra com seção transversal ‘Z’.


Para caracterizar o material, adotam-se os valores para o módulo de elasticidade

longitudinal (𝐸) e transversal (G) dados pela Tabela 15.

As propriedades geométricas da seção transversal foram calculadas pelo software

FLEXO II (Figuras 43).

4 Erro absoluto.

66


𝐸 21000 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

𝐺 8000 𝑘𝑁/𝑐𝑚²


Figura 43 - Propriedades geométricas da seção ‘Z’ obtidas a partir do software FLEXO II.


O diagrama de área setorial principal foi calculado pelo software FLEXO II (Figura 44a)

e a Figura 44b mostra o mesmo diagrama calculado por Mori e Munaiar Neto (2009).

Figura 44 - Diagrama de área setorial principal (Diagramas com unidade em cm²).

Fonte: (ANTUNES, 1999; MORI e MUNAIAR NETO, 2009).

A carga axial de tração (F= 200 kN) é aplicada num ponto no qual o valor da área setorial

é diferente de zero ( = -25 cm2), resultando num bimomento aplicado nas extremidades dado

pela eq. (3.34). Assim, o valor do bimomento aplicado é:

67

𝐵 = −25.200 = −5000 𝑘𝑁. 𝑐𝑚² (5.4)

Assim, os valores analíticos e numéricos para uma malha de 4 elementos finitos foram

calculados e são apresentados a seguir, nas Tabelas 16, 17 e 18:


Coordenada

da seção x

(cm)

∅ (rad)


225 0.00000E+00 0.000000E+00 0.000%

112.5 3.23114E-02 3.227492E-02 0.113%

0 3.91113E-02 3.907727E-02 0.087%

-112.5 3.23114E-02 3.227492E-02 0.113%

-225 0.00000E+00 0.000000E+00 0.000% Fonte: Autora (2021).


Coordenada

da seção x

(cm)

T (kN.cm)


225 0.00E+00 2.11E-14 ≈0.0005

112.5 0.00E+00 7.59E-14 ≈0.0005

0 0.00E+00 2.11E-14 ≈0.0005

-112.5 0.00E+00 3.46E-14 ≈0.0005

-225 0.00E+00 3.46E-14 ≈0.0005 Fonte: Autora (2021).


Coordenada

da seção x

(cm)

B (kN.cm²)


225 -5.0000E+03 -5.0000E+03 0.000%

112.5 -1.5535E+03 -1.5574E+03 0.250%

0 -8.2814E+02 -8.3177E+02 0.439%

-112.5 -1.5535E+03 -1.5574E+03 0.250%

-225 -5.0000E+03 -5.0000E+03 0.000% Fonte: Autora (2021).

5 Erro absoluto.

68

6. CONCLUSÕES

Os objetivos deste trabalho foram alcançados de forma satisfatória. No capítulo 3, fez-

se uma revisão bibliográfica das teorias de torção livre de Saint-Venant e de flexo-torção de

Vlasov com a apresentação das suas respectivas formulações analíticas. Em seguida, no capítulo

4, apresentou-se a formulação numérica desenvolvida com base na teoria de Vlasov e no

Método dos Elementos Finitos. O código computacional foi desenvolvido e sua validação foi

feita no capítulo 5, os erros relativos aos resultados analíticos e numéricos foram menores que

1% em todos os exemplos, e sem a necessidade de uma malha muito refinada, dessa forma,

pode-se concluir que o código foi validado com boa acurácia.

O Método dos Elementos Finitos mostrou-se uma ferramenta fundamental na solução

de problemas com resolução analítica onerosa. Salientando que a modelagem do elemento finito

deve ser embasada numa teoria de acordo com o elemento estrutural utilizado. No caso deste

trabalho, os resultados seriam totalmente equivocados se fosse utilizado um elemento de viga,

ou mesmo se o elemento fosse embasado apenas na teoria da torção livre de Saint-Venant,

ignorando as tensões que surgem devido às restrições ao empenamento nos apoios, por

exemplo.

A análise foi feita com um elemento finito unidimensional e, dessa forma, as

propriedades geométricas da seção transversal são dados de entrada para o processamento do

código.

Dessa forma, como sugestão para continuidade do trabalho, tem-se:

• Implementar no código o cálculo das propriedades geométricas da seção

transversal;

• Implementar o cálculo das tensões normais e cisalhantes;

• Implementar uma interface para a entrada dos dados, bem como a geração de

gráficos dos esforços internos e das tensões normais e cisalhantes;

• Analisar o problema utilizando um elemento finito de superfície.

69

REFERÊNCIAS

ALVES FILHO, Avelino. Elemenos Finitos: a base da tecnologia CAE. 3. ed. São Paulo: Érica,

2005.

ALVES FILHO, Avelino. Teoria de Flexo-Torção para Perfis Abertos de Paredes Delgadas

(Teoria de Vlasov). Revista Brasileira de Engenharia - Caderno de Engenharia Naval

(SOBENA - Sociedade Brasileira de Engenharia Naval), Rio de Janeiro, v. 6, n. 1, p. 7-65,

1988.

ANTUNES, Maurício C. FLEXO II: Programa para cálculo de propriedades de seções

delgadas. Versão 9 jun 1999. [S. l.], 1999. Disponível em: https://set.eesc.usp.br/?page_id=237.

Acesso em: 14 jul. 2021.

ASSAN, A. E. Método dos Elementos Finitos: primeiros passos. 2. ed. Campinas: Unicamp,

2003.

AZEVEDO, Á. F. M. Método dos Elementos Finitos. 1. ed. Porto: Faculdade de Engenharia

da Universidade do Porto, 2003.

BATHE, K. J. Finite Element Procedures. 1. ed. New Jersey: Prentice Hall, 1996.

BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos

Materiais. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

BERROCAL, L. O. Elasticidad. 3. ed. Madrid: McGrawHill, 1998.

GARCIA, L. F. T. Apostila de Estruturas de Hastes de paredes delgadas. Rio de Janeiro:

COPPE/UFRJ, 2003.

LIMA, J. S.; GUARDA, M. C. C. D.; PINHEIRO, L. M. Torção. In: PINHEIRO, L. M.

Fundamentos do concreto e projeto de edifícios. São Carlos: USP/EESC, 2007. Disponivel

em: http://web.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/18%20Torcao. Acesso em: 6 Dez.

2020.

MITTELBACH, F. R. Método das diferenças finitas energéticas na análise dinâmica de

problemas axissimétricos de placas delgadas e espessas. Rio de Janeiro: COPPE/UFRN,

2007.

MORI, D. D.; MUNAIAR NETO, J. FLEXO-TORÇÃO: Barras com seção aberta e paredes

delgadas. 1. ed. São Carlos: EESC/USP, 2009.

ODEN, J. T.; RIPPERGER, E. A. Mechanics of Elastic Structures. 2. ed. [S.l.]: Hemisphere

Publishing Corporation, 1981.

SADD, M. H. Elasticity: Theory, Applications and Numerics. 2. ed. [S.l.]: Elsevier, 2009.

TIMOSHENKO, S.; GOODIER, J. N. Theory of Elasticity. 2. ed. New York: McGrawHill,

1951.

70

VLASOV, V. Z. Thin-Walled Elastic Beams. 2. ed. Jerusalem: Israel Program for Scientific

Translations, 1961.

71

APÊNDICE A – DEDUÇÃO DAS FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO

De acordo com Alves Filho (2005), o procedimento para a definição das funções de

interpolação será descrito a seguir e aplicado a função 𝑢(𝑥):

I. Define-se a função de interpolação na configuração da eq. (8.1):

𝑢(𝑥) = [𝐻(𝑥)]. {𝒞} (8.1)

Sendo:

𝑢(𝑥): A função dos deslocamentos dentro do elemento finito;

[𝐻(𝑥)]: A matriz que contém as variáveis;

{𝒞}: A matriz que contém os coeficientes desconhecidos, que devem ser

determinados.

No caso da função 𝑢, tem-se:

𝑢(𝑥) = [1 𝑥 ]. [

𝐶1

𝐶2]

(8.2)

II. Substituem-se os valores de deslocamentos nodais conhecidos nas funções de

interpolação.

{𝛿} = [𝐴]. {𝒞} (8.3)

Sendo:

{𝛿}: A matriz que contém os deslocamentos nodais conhecidos;

[𝐴]: A matriz que contém os termos conhecidos que definem a geometria do

elemento;

𝜆: O comprimento do elemento finito.


[𝑢1

𝑢2] = [

1 01 𝜆

] . [𝐶1

𝐶2]

(8.4)

72

III. Multiplica-se a eq. (8.3) pela a matriz inversa de [𝐴] para se isolar a matriz

dos coeficientes desconhecidos {𝒞}.

{𝒞}=[𝐴−1]. {𝛿} (8.5)

Sendo:

[𝐴]−1: A inversa da matriz [A].


[𝐶1

𝐶2] = [

1 0

−1

𝜆

1

𝜆

] . [𝑢1

𝑢2]

(8.6)

IV. Por fim, substitui-se a eq. (8.1) na eq. (8.5) para definir a função de

interpolação.

𝑢(𝑥) = [𝐻(𝑥)]. [𝐴−1]. {𝛿} (8.7)


∴ 𝑢(𝑥) = [1 𝑥 ]. [

1 0

−1

𝜆

1

𝜆

] . [𝑢1

𝑢2]

(8.8)

A função de forma é definida como [𝑁(𝑥)] e permite calcular os deslocamentos dentro

do elemento finito (𝑢(𝑥)) a partir dos deslocamentos nodais ({𝛿}). A eq. (8.9) define a função

de forma de forma geral.

[𝑁(𝑥)] = [𝐻(𝑥)]. [𝐴−1] (8.9)

Para as deslocabilidades ‘𝑣’, ‘𝑤’ e ‘∅’, que possuem função de forma semelhantes, será

feita a dedução apenas de ‘∅(𝑥)’. Ressaltando que as derivadas dessas funções são também

deslocabilidades referente a rotações (𝑣’ e 𝑤′) e ao empenamento (∅’) da seção. Assim,

seguindo o roteiro apresentado, tem-se:

73

I.

∅(𝑥) = [1 𝑥 𝑥2 𝑥3]. [

𝐶1

𝐶2

𝐶3

𝐶4

]

(8.10)

∅′(𝑥) = [0 1 2𝑥 3𝑥²]. [

𝐶1

𝐶2

𝐶3

𝐶4

]

(8.11)

II.

[ ∅1

∅2

∅1′

∅2′ ] = [

1 0 0 01 𝜆 𝜆² 𝜆³0 1 0 00 1 2𝜆 3𝜆²

] . [

𝐶1

𝐶2

𝐶3

𝐶4

]

(8.12)

III.

[

𝐶1

𝐶2

𝐶3

𝐶4

] =

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

.

[ ∅1

∅2

∅1′

∅2′ ]

(8.13)

IV. Dessa forma, definem-se as funções ‘∅’ e ‘∅′’ em função dos deslocamentos

nodais:

∴ ∅(𝑥) = [1 𝑥 𝑥2 𝑥3].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

.

[ ∅1

∅2

∅1′

∅2′ ]

(8.14)

∴ ∅′(𝑥) = [0 1 2𝑥 3𝑥²].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

.

[ ∅1

∅2

∅1′

∅2′ ]

(8.15)

74

Analogamente, as demais funções (𝑣(𝑥), 𝑣’(𝑥), 𝑤(𝑥) e 𝑤’(𝑥)) são dadas por:

∴ 𝑣(𝑥) = [1 𝑥 𝑥2 𝑥3].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

. [

𝑣1

𝑣2

𝑣1′

𝑣2′

]

(8.16)

∴ 𝑣′(𝑥) = [0 1 2𝑥 3𝑥²].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

. [

𝑣1

𝑣2

𝑣1′

𝑣2′

]

(8.17)

∴ 𝑤(𝑥) = [1 𝑥 𝑥2 𝑥3].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

. [

𝑤1

𝑤2

𝑤1′

𝑤2′

]

(8.18)

∴ 𝑤′(𝑥) = [0 1 2𝑥 3𝑥²].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

. [

𝑤1

𝑤2

𝑤1′

𝑤2′

]

(8.19)

75

APÊNDICE B – DEDUÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL

Para a dedução da matriz de rigidez local, calcula-se o trabalho virtual referente a cada

parcela de esforço da eq. (3.41), integrando-a ao longo do elemento finito.

Para a primeira parcela, referente ao esforço normal, tem-se:

𝛿𝑊𝑖(1)

= ∫ [𝐸𝐴𝑢′𝛿𝑢′𝜆

0]𝑑𝑥 (8.20)

𝛿𝑊𝑖(1)

= ∫ 𝐸𝐴[0 1 ]. [1 0

−1

𝜆

1

𝜆

] . [𝑢1

𝑢2]

𝜆

0

. [0 1 ]. [1 0

−1

𝜆

1

𝜆

] . [𝛿𝑢1

𝛿𝑢2] 𝑑𝑥

(8.21)

∴ 𝛿𝑊𝑖(1)

= 𝐸𝐴 [

1

𝜆−

1

𝜆

−1

𝜆

1

𝜆

] . [𝛿𝑢1

𝛿𝑢2]

(8.22)

Para a segunda parcela, referente ao momento fletor (𝑀𝑧), tem-se:

𝛿𝑊𝑖(2)

= ∫ [𝐸𝐼𝑍𝑣′′𝛿𝑣′′𝜆

0

]𝑑𝑥 (8.23)

𝛿𝑊𝑖(2)

= ∫ 𝐸𝐼𝑧

𝜆

0

[0 0 2 6𝑥].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆2

3

𝜆2−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆3−

2

𝜆3

1

𝜆2

1

𝜆2 ]

. [

𝑣1

𝑣2

𝑣1′

𝑣2′

].

[0 0 2 6𝑥].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

[

𝛿𝑣1

𝛿𝑣2

𝛿𝑣1′

𝛿𝑣2′

] 𝑑𝑥

(8.24)

∴ 𝛿𝑊𝑖(2)

= 𝐸𝐼𝑧

[

6

5𝜆−

6

5𝜆

1

10

1

10

−6

5𝜆

6

5𝜆−

1

10−

1

101

10−

1

10

2𝜆

15−

𝜆

301

10−

1

10−

𝜆

30

2𝜆

15 ]

. [

𝛿𝑣1

𝛿𝑣2

𝛿𝑣1′

𝛿𝑣2′

]

(8.25)

76

Para a terceira parcela, referente ao momento fletor (𝑀𝑦), tem-se:

𝛿𝑊𝑖(3)

= ∫ [𝐸𝐼𝑦𝑤′′𝛿𝑤′′𝜆

0

]𝑑𝑥 (8.26)

𝛿𝑊𝑖(3)

= ∫ 𝐸𝐼𝑦

𝜆

0

[0 0 2 6𝑥].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆2

3

𝜆2−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆3−

2

𝜆3

1

𝜆2

1

𝜆2 ]

. [

𝑤1

𝑤2

𝑤1′

𝑤2′

].

[0 0 2 6𝑥].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

[

𝛿𝑤1

𝛿𝑤2

𝛿𝑤1′

𝛿𝑤2′

] 𝑑𝑥

(8.27)

∴ 𝛿𝑊𝑖(3)

= 𝐸𝐼𝑦

[

6

5𝜆−

6

5𝜆

1

10

1

10

−6

5𝜆

6

5𝜆−

1

10−

1

101

10−

1

10

2𝜆

15−

𝜆

301

10−

1

10−

𝜆

30

2𝜆

15 ]

. [

𝛿𝑤1

𝛿w𝛿𝑤1

′

𝛿𝑤2′

]

(8.28)

Para a quarta parcela, referente ao Bimomeno (𝐵), tem-se:

𝛿𝑊𝑖(4)

= ∫ [𝐸𝐼𝑤∅′′𝛿∅′′𝜆

0

]𝑑𝑥 (8.29)

𝛿𝑊𝑖(4)

= ∫ 𝐸𝐼𝑤

𝜆

0

[0 0 2 6𝑥].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆2

3

𝜆2−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆3−

2

𝜆3

1

𝜆2

1

𝜆2 ]

.

[ ∅1

∅2

∅1′

∅2′ ] .

[0 0 2 6𝑥].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

[ 𝛿∅1

𝛿∅2

𝛿∅1′

𝛿∅2′ ] 𝑑𝑥

(8.30)

77

∴ 𝛿𝑊𝑖(4)

= 𝐸𝐼𝑤

[

6

5𝜆−

6

5𝜆

1

10

1

10

−6

5𝜆

6

5𝜆−

1

10−

1

101

10−

1

10

2𝜆

15−

𝜆

301

10−

1

10−

𝜆

30

2𝜆

15 ]

.

[ 𝛿∅1

𝛿∅2

𝛿∅1′

𝛿∅2′ ]

(8.31)

Para a quinta e última parcela, referente à torção livre (𝑇𝑧), tem-se:

𝛿𝑊𝑖(5)

= ∫ [𝐺𝐽𝑇∅′𝛿∅′𝜆

0]𝑑𝑥 (8.32)

𝛿𝑊𝑖(5)

= ∫ 𝐺𝐽𝑇

𝜆

0

[0 1 2𝑥 3𝑥2].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆2

3

𝜆2−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆3−

2

𝜆3

1

𝜆2

1

𝜆2 ]

.

[ ∅1

∅2

∅1′

∅2′ ] .

[0 1 2𝑥 3𝑥2].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

[ 𝛿∅1

𝛿∅2

𝛿∅1′

𝛿∅2′ ]

(8.33)

∴ 𝛿𝑊𝑖(5)

= 𝐺𝐽𝑇

[

6

5𝜆−

6

5𝜆

1

10

1

10

−6

5𝜆

6

5𝜆−

1

10−

1

101

10−

1

10

2𝜆

15−

𝜆

301

10−

1

10−

𝜆

30

2𝜆

15 ]

.

[ 𝛿∅1

𝛿∅2

𝛿∅1′

𝛿∅2′ ]

(8.34)

Por fim, somando-se todas as parcelas e organizando a matriz, chega-se uma equação

na forma eq. (8.35). Sendo [𝜋] a matriz dos deslocamentos virtuais.

𝛿𝑊𝑖 = [𝑘]𝑒[𝜋] (8.35)

Assim, pode-se extrair a matriz de rigidez local [𝑘]𝑒 apresentada no capítulo 4 na Figura

18.

78

APÊNDICE C – DEDUÇÃO DO VETOR DE CARGAS NODAIS LOCAL

Para a dedução do vetor de cargas nodais equivalentes local, calcula-se o trabalho virtual

externo referente a cada parcela da eq. (3.42), integrando-a ao longo do elemento finito, sendo

os carregamentos ‘𝑞𝑥’, ‘𝑞𝜂’, ‘𝑞𝜁’ e ‘𝑚𝜉’ uniformes.

Dessa forma, para a parcela referente ao ‘𝑞𝑥’, tem-se:

𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡(1)

= ∫ (𝑞𝑥𝛿𝑢ℓ

0

)𝑑𝑥 (8.36)


= 𝑞𝑥∫ [1 𝑥 ]. [

1 0

−1

𝜆

1

𝜆

] . [𝛿𝑢1

𝛿𝑢2]

𝜆

0

𝑑𝑥 (8.37)

∴ 𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡(1)

= 𝑞𝑥[𝜆

2𝛿𝑢1 +

𝜆

2𝛿𝑢2]

(8.38)

Para a parcela referente ao ‘𝑞𝜂’, tem-se:

𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡

(2)= ∫ (𝑞𝜂𝛿𝑣

𝜆

0

)𝑑𝑥 (8.39)


= ∫ 𝑞𝜂[1 𝑥 𝑥2 𝑥3].

[

1 0 0 00 0 1 0

−3

𝜆²

3

𝜆²−

2

𝜆−

1

𝜆2

𝜆³−

2

𝜆³

1

𝜆²

1

𝜆² ]

. [

𝛿𝑣1

𝛿𝑣2

𝛿𝑣1′

𝛿𝑣2′

]𝜆

0

𝑑𝑥

(8.40)

∴ 𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡

(2)= 𝑞𝜂 [

𝜆

2𝛿𝑣1 +

𝜆

2𝛿𝑣2 +

𝜆²

12δ𝑣1

′ −𝜆²

12δ𝑣2

′ ] (8.41)

Analogamente a eq. (8.41), para as parcelas referentes ao ‘𝑞𝜁’ e ao ‘𝑚𝜉’, tem-se:


= 𝑞𝜁 [𝜆

2𝛿𝑤1 +

𝜆

2𝛿𝑤2 +

𝜆²

12δ𝑤1

′ −𝜆²

12δ𝑤2

′ ] (8.42)


= 𝑚𝜉 [𝜆

2𝛿∅1 +

𝜆

2𝛿∅2 +

𝜆²

12δ∅1

′ −𝜆²

12δ∅2

′ ] (8.43)

Por fim, somando-se todas as parcelas e organizando o vetor, chega-se ao vetor de

cargas nodais equivalente local apresentado no capítulo 4 na Figura 20.

nayara talassa damasceno inÁcio

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