na_04 - lajes 2011- parte 2

UNIP - Universidade PaulistaECA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

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8. CONSIDERAES COMPLEMENTARES SOBRE LAJES DE EDIFCIOS 8.1. Cargas Parcialmente Distribudas em Lajes Armadas e uma Direo a) Distribuio de Cargas Supe-se que as cargas concentradas ou parcialmente distribudas se espraiem a 45o at o plano mdio da laje.

b) Largura til - bw O clculo dos esforos decorrentes calculado como se fosse uma viga de largura bw, adotando-se os valores:

Quando b lx Quando b < lx

bw = b (item a) bw = b + b, sendo b fornecido abaixo:

B1) B2) B3) B4) B5)

Para momentos fletores positivos Para momentos fletores negativos Para foras cortantes Para momentos fletores de lajes em balano Para foras cortantes em balano

b =b =

2a1(lx a1 ) b 1 lx lx a1(2lx a1 ) b 1 lx lx

b b = a11 lx b b = 1,5a11 lx b b = 0,5a11 lx

Fernando de Moraes Mihalik


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Sendo a1 a distncia do centro da carga ao apoio cujo lado est a seo que se estudo e a2 a distncia do centro da carga borda mais prxima.

Caso a carga se estenda por toda a extenso (lx) da laje, as expresses acima ficam resumidas a: b1) Para momentos fletores positivos Para momentos fletores negativos Para foras cortantes Para momentos fletores de lajes em balano Para foras cortantes em balano

B2) B3) B4) B5)

l-b b = 2 3 b = (l - b ) 4

b = b = b =

1 (l - b) 2 3 (l - b) 4 1 (l - b) 4



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EXEMPLOS



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8.2. 8.2.1.

Lados com 2 Tipos de Apoio (Considerao de apoio / engastamento quando houver apoios diferentes no mesmo lado) Para a Determinao da Espessura da Laje a) Quando o comprimento do trecho engastado for igual ou superior a 2/3 do comprimento total, o clculo de d feito como se o lado fosse engastado. b) Quando o comprimento do trecho engastado for inferior a 2/3 do comprimento total, o clculo de d feito como se o lado fosse apoiado.

8.2.2.

Para o Clculo dos Momentos Fletores Positivos a) Quando o comprimento do trecho engastado for inferior a 2/3 do comprimento total, o clculo dos Momentos Positivos feito como se o lado fosse apoiado.

b) Quando o comprimento do trecho engastado for igual ou superior a 2/3 do comprimento total, o clculo dos Momentos Positivos feito como se o lado fosse engastado, a no ser quando o comprimento do trecho apoiado for significativo por exemplo, 2 metros. Em casos como esse, pode ser feita a simplificao ilustrada abaixo:



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8.2.3.

Para o Clculo dos Momentos Fletores Negativos a) Quando o comprimento do trecho engastado for igual ou superior a 1/3 do comprimento total, o clculo dos Momentos Negativos feito como se o lado fosse engastado. O Momento Negativo final no trecho contnuo ser obtido aps a compatibilizao deste momento com o obtido para a laje adjacente. Exemplo:

b) Quando o comprimento do trecho engastado for inferior a 1/3 do comprimento total, consideraremos esse lado como simplesmente apoiado. O Momento Negativo final no trecho contnuo ser ento 80% do momento de borda da laje adjacente. 8.3. Cisalhamento em Lajes Dispensa-se a colocao de armadura transversal para resistir aos esforos de cisalhamento em uma laje quando tivermos Vsd VRd1. A resitncia de projeto ao cisalhamento dada pela expresso abaixo:



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Na grande maioria dos casos essa armadura no necessria, pois o valor de Vsd inferior a VRd1. Quando, porm, Vsd for superior a VRd1, deve-se dispor uma armadura transversal para combater o cisalhamento, podendo esta ser composta por estribos ou barras dobradas. O clculo dessa armadura idntico ao de uma armadura transversal de vigas.



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8.4.

Aberturas em Lajes 8.4.1. Lajes Armadas em 1 Direo



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8.4.2. Lajes Armadas em Cruz



29

8.5.

Critrio para Clculo e Detalhamento de Lajes em L (sem o auxlio de mtodos computacionais) 8.5.1. Clculo das armaduras de flexo

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



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8.5.2. Determinao da espessura da laje

8.5.3. Utilizao da tabelas de lajes com bordo livre



31

8.6.

Armaduras nos Cantos das Lajes com Apoios Simples



32

Esquema Tpico de Armao dos Cantos

8.7.

Cargas Concentradas em Lajes em Balano



33

8.8.

Cantos de Marquises



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35

9.

EXERCCIO

Dada a planta de formas de um pavimento tipo, detalhar as armaduras das lajes. Dados: Concreto fck = 20MPa Ao CA-50A Cobrimento das armaduras- para lajes = 1 cm*; para vigas = 1,5 cm Carga acidental = 2 kN/m2 Revestimento de piso = 1 kN/m2 Paredes de 18 cm de espessura e 2,60 m de altura sobre todas as vigas, com peso especfico = 13kN/m3. Gradil de 1 m de altura e peso de 120 kgf/m na extremidade do balano

* O VALOR DO COBRIMENTO NO EST RESPEITANDO O MNIMO RECOMENDADO PELA NBR-6118/2003, mas vale toda a seqncia de clculo e dimensionamento.Fernando de Moraes Mihalik


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L1 lx = 284

h = 8

ly =

664

ly = 6,64 = 2,34 > 2 laje armada em 1 dire 2,84 lx g laje = 0,08 x 25 = 2,00 kN/m g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,00 + 1,00 + 2,00 p= x lx = 14,2 Mbx = p x lx = 8 L2 Mx = p 5,00

=

5,00 kN/m = = 2,84 kNm/m 5,04 kNm/m

x 8,07 14,2 5,00 x 8,07 8

h = 9 tabela 6 lx = 340

ly = 4,24 = 1,25 laje armada em cruz 3,40 lx g laje = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,25 + 1,00 + 2,00 p= Mx = x x My = p x y Mbx = p x x Mby = p x y p lx = lx = lx = lx = x 24,9 5,25 x 34,4 5,25 x 11,1 5,25 x 12,9 5,25

=

5,25 kN/m = = = = 2,44 kNm/m 1,76 kNm/m 5,47 kNm/m 4,70 kNm/m

11,6 11,6 11,6 11,6


ly = 424


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L3 ly = 424

h = 9 tabela 6 lx = 324

ly = 4,24 = 1,31 laje armada em cruz 3,24 lx g laje = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,25 + 1,00 + 2,00 = 5,25 kN/m p= Mx = p x x My = p x y Mbx = p x x Mby = p x y L4 lx = 167

x 23,8 lx = 5,25 x 35 lx = 5,25 x 10,7 lx = 5,25 x 12,8

lx = 5,25

10,5 = 2,32 kNm/m 10,5 = 1,57 kNm/m 10,5 = 5,15 kNm/m 10,5 = 4,31 kNm/m

h = 8

laje em balano laje armada em 1 direo g laje = 0,08 x 25 = 2,00 kN/m

g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,00 + 1,00 + 2,00 = 5,00 kN/m p=



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carga vertical (V) na extremidade do balano: carga acidental vertical = 2,00 kN/m g gradil = 120,00 kgf/m = 1,20 kN/m 2,00 + 1,20 = 3,20 kN/m V= carga horizontal (H) na extremidade do balano: 0,80 kN/m carga acidental horizontal = 0,80 kN/m H= Mbx = p x lx + V x lx + H x h = 2 Mbx = 5,00 x 2,79 + 3,20 x 1,67 + 0,80 2 13,12 kNm/m Mbx =

x

1,00 =

Compatibilizao dos momentos negativos: 5,04 + 4,70 = 4,87 kNm/m M1-2 = maior 2 0,8 x 5,04 = 4,03 kNm/m 5,04 + 4,31 = 4,67 kNm/m 2 0,8 x 5,04 = 4,03 kNm/m 5,47 + 5,15 = 5,31 kNm/m 2 0,8 x 5,47 = 4,37 kNm/m

M1-3 = maior

M2-3 = maior

M3-4 = no h equilbrio = Mbalano =

13,12

kNm/m

NUNCA SE FAZ EQUILBRIO QUANDO SE TRATA DE LAJE EM BALANO: O MOMENTO A SER CONSIDERADO O DO BALANO



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Esquema - Momentos finais nas lajes (kNm/m)

Clculo das Armaduras de Flexo Concreto: fck = 20MPa = 200 kgf/cm2 = 0,20 tf/cm2 = 2,0 kN/cm2 fc= 0,85 fcd = 0,85 x 2,0 / 1,4 = 1,21 kN/cm2

Momentos Positivos Laje L1 h = 8 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 2,84 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 15,32 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,15 x h =

6 cm 284 kNcm/m 100 x 36 x 284 k3 = 0,338 0,338 x 10 0,15 x 8 = Adotamos =

1,21 =

15,39

284 = 1,60 cm/m 6 1,20 cm/m 5,0 C/ 12



40

Laje L 2 h = 9 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 2,44 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk na tabela = 22,60 Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =


1,21 =

24,41

244 = 1,16 cm/m 7 0,90 cm/m 5,0 C/ 17

My = 1,76 kNm/m = 176 kNcm/m k6 = b x d x fc = 100 x 49 x 1,21 = 33,73 Mk 176 29,88 k3 = 0,330 na tabela = Asnec = 0,330 x 176 = 0,83 cm/m k3 x Mk = 10 10 7 d Asmin = 0,10 x h = 0,10 x 9 = 0,90 cm/m Adotamos 5,0 C/ 20 Laje L 3 h = 9 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 2,32 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 22,60 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =

7 cm 232 kNcm/m 100 x 49 x 232 k3 = 0,333 =

1,21 =

25,69

0,333 x 232 = 1,10 cm/m 10 7 0,10 x 9 = 0,90 cm/m Adotamos 5,0 C/ 18 My = 1,57 kNm/m = 157 kNcm/m k6 = b x d x fc = 100 x 49 x 1,21 = 37,79 Mk 157 29,88 k3 = 0,330 na tabela = Asnec = 0,330 x k3 x Mk = 10 10 d 0,10 x h = 0,10 x 9 = Adotamos 157 = 0,74 cm/m 7 0,90 cm/m 5,0 C/ 20

Asmin =



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Momentos Negativos Lajes 1 e 2 h = 8 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 4,87 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 8,72 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =


1,21 =

8,97

487 = 2,87 cm/m 6 0,80 cm/m 8,0 C/ 17

Lajes 1 e 3 h = 8 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 4,67 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 8,72 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =


1,21 =

9,35

467 = 2,75 cm/m 6 0,80 cm/m 8,0 C/ 17

Lajes 2 e 3 h = 9 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 5,31 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 10,48 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =


1,21 =

11,21

531 = 2,63 cm/m 7 0,90 cm/m 8,0 C/ 19



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Lajes 24 e 3 (balano) h = 8 cm adotando d = h - 2 cm = 6 cm Mx = 13,12 kNm/m = 1312 kNcm/m k6 = b x d x fc = 100 x 36 x 1,21 = Mk 1312 k6 = muito baixo; vamos aumentar 1 cm a altura da L4; alterando para 9 cm, teremos: h = 9 cm adotando d = h - 2 cm = 7 cm k6 = b x d x fc = 100 x 49 x Mk 1312 4,51 0,399 na tabela = k3 = Asnec =

3,33

(k6 limite para ao CA-50A: pela tabela, para yd = 2,07 por mil, k6=3,75)

1,21 =

4,54

k3 x Mk 0,399 x 1312 = 7,48 cm/m = 10 10 7 d Asmin = 0,15 x h = 0,15 x 9 = 1,35 cm/m 6 Adotamos 8,0 C/ (embora no esteja dentro do espaamento recomendvel, vamos adot-lo) Observao: Caso refizssemos o clculo do momento fletor, vejam no que daria: g laje = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,25 + 1,00 + 2,00 p=

=

5,25 kN/m

carga vertical (V) na extremidade do balano: carga acidental vertical = 2,00 kN/m g gradil = 120,00 kgf/m = 1,20 kN/m 2,00 + 1,20 = 3,20 kN/m V= carga horizontal (H) na extremidade do balano: 0,80 kN/m carga acidental horizontal = 0,80 kN/m H= Mbx = p x lx + V x lx + H x h = 2 Mbx = 5,25 x 2,79 + 3,20 x 1,67 + 2 Mbx = 13,46 kNm/m Armadura de distribuio: Laje L1

0,80

x

1,00

=

1/5 Asprinc = 1/5 x 1,60 = + 0,32 cm/cm Asdistr = 0,9 cm/cm Adotamos 5,0 C/ 30



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DESENHOS DE ARMAO



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L1 / L2: a = 340 = 85 cm L1 / L3: a = 324 = 81 cm = adotaremos por igualdade 85 cm L2 / L3: a = 340 = 85 cm L4 / L3: a = 324 = 81 cm apenas para o lado da L3; do lado da L4 deve ser estendido at a extremidade do balano. As distrib L3: 1/5 7,48 = 1,5 cm2/m : adotado 6,3 c/21 Armadura de borda: Adotada 5 c/25; comprimentos: considerados a = 1/5 284 60 cm para a L1, e a= 1/5 340 70 cm para as demais. Fernando de Moraes Mihalik


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TABELAS DE FERROS E RESUMOS DAS ARMAESARMADURA POSITIVATABELA DE FERROS POSIO QUANT DIAM 1 2 3 4 5 6 9 55 25 17 23 16 5 5 5 5 5 5 COMPRIMENTO (m) UNIT. TOTAL 6,87 61,83 3,01 165,55 3,58 89,5 4,42 75,14 3,42 78,66 4,35 69,6 RESUMO DIAMETRO PESO LINEAR COMPRIMENTO (mm) (kg/m) (m) 5 0,16 540,28 6,3 0,25 8 0,40 10 0,63 12,5 1,00 TOTAL (SEM PERDAS) PESO (kg) 86,4

86,4

ARMADURA NEGATIVATABELA DE FERROS POSIO QUANT DIAM 1 2 3 4 5 6 37 22 55 8 48 39 8 8 8 6,3 5 5 COMPRIMENTO (m) UNIT. TOTAL 1,83 67,71 1,84 40,48 2,91 160,05 3,36 26,88 0,96 46,08 1,07 41,73 RESUMO DIAMETRO PESO LINEAR COMPRIMENTO (mm) (kg/m) (m) 5 0,16 87,81 6,3 0,25 26,88 8 0,40 268,24 10 0,63 12,5 1,00 TOTAL (SEM PERDAS) PESO (kg) 14,0 6,7 107,3

128,1


na_04 - lajes 2011- parte 2

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