1

CAPTULO 7 - INTERVALO DE CONFIANA Estatstica Indutiva - Fornece procedimentos formais para tirar concluses sobre uma populao, a partir de uma amostra. Parmetros - Alguma medida descritiva (mdia, varincia, proporo etc..) dos valores x1, x2, x3,.....,xn associados populao. Estatstica - Alguma medida descritiva (mdia, varincia, proporo etc..) dos valores x1, x2,.....,xn associados amostra. Considere uma amostragem aleatria simples, qualquer medida associada amostra (estatstica) uma varivel aleatria, devido aleatoriedade introduzida na amostragem. 1 - Distribuio amostral da mdia Seja uma amostra aleatria simples {x1, x2,.....,xn} e a estatstica x . A distribuio da mdia amostral apresenta as seguintes propriedades: a) O valor esperado da mdia amostral igual mdia da populao: E ( x ) = . b) A varincia da mdia amostral inferior varincia populacional ( 2 ) e a relao dada por: V( x ) = 2 /n; se a amostragem for com reposio, ou N grande e at infinito. V( x ) = 2 N n ( ) ; se a amostragem for sem reposio e N pequeno ou N < 20n. n N 1

c) Teorema do limite central. Quando amostra for grande, a distribuio da mdia segue a distribuio normal. 2 - Distribuio amostral da proporo O estudo da proporo dos elementos que tem certo atributo A, segue as seguintes propriedades: a) O valor esperado da proporo amostral igual proporo da populao: E ( P ) = p.^

b) A varincia da proporo amostral dada por: p (1 p ) V( P ) = ; se a amostragem for com reposio, ou N grande e at infinito. n^

V( P ) =

^

p(1 p) N n ( ) ; se a amostragem for sem reposio e N pequeno, N 30. Vimos que P ~ N (p; pq/n), logo Z =

p P^ ^

^

. O denominador da

p(1 p) n frmula o desvio padro da distribuio amostral de P, ou seja, o erro padro da proporo. Portanto, o intervalo para um nvel ser:/2

1-

/2

Ento: P Z Z Z = 1 P Z 2 2 2

p P Z = 1 ^ ^ 2 p(1 p) n ^

Para obter o intervalo acima necessrio o valor de p que desconhecido. Como estamos admitindo n > 30 pode-se substituir e encontrar:

^ P p Z 2

^ p (1 p ) P p+ Z n 2

^

^

^ ^ p (1 p ) =1 n

portanto

IC (P, 1-) = [ p z ^

2

p(1 p) ] n

^

^

2. Intervalo de Confiana para mdia populacional (Conhece varincia populacional) Neste caso, no precisa calcular a estimativa da varincia a partir da amostra. Trabalha-se ento com a distribuio z, isto :P [ z x + z ] = 1-

/2

n

1-

/2

P[ x z .2

n

x + z.2

n

] = 1 ;

IC ( , 1-) = [ x z 2

n

]

4

3. Intervalo de Confiana para a Mdia Populacional (No conhece varincia populacional)Neste caso, precisa-se calcular a estimativa da varincia a partir da amostra. Trabalha-se ento com a distribuio t de Student, com (n 1) graus de liberdade, isto : t= x , s n O grfico da funo densidade da varivel t de Student simtrico e tem a forma da normal. Logo, o intervalo de confiana para um nvel de significncia ou erro : com (- < t< + )

/2 t2

1-

/2

-

+

Portanto: P[ x t .2

s n

x + t.2

s n

] = 1

Valor do teste t tabelado:t2

( n 1;

2

)

Resumindo IC ( , 1 ) = [ x t .2

s n

]

ATIVIDADE 7B - Intervalo de confiana

1) Demonstrar o desenvolvimento das frmulas do Intervalo de Confiana para a proporo.2) pg185- Ache os valores crticos para z (Normal padro) nos intervalos de confiana que corresponde ao nvel de confiana 80%, 90%; 95% ; 98%; 99% , 99,5%; 99,8%.

3) pg 186 Na avaliao de dois sistemas computacionais, A e B, foram selecionadas 400 cargas de trabalho supostamente uma amostra aleatria da infinidade de cargas de trabalho que poderiam ser submetidas a esses sistemas. O sistema A foi melhor que o B em 60% dos casos. Construir o IC para proporo (proporo que o sistema A foi melhor que o B) usando nvel de significncia de 95% e 99%. Discuta o que ocorre com I.C. quando aumenta o alfa. Por que? 4) pg191 Uma empresa fabricante de pastilhas de freios efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Selecionou-se uma amostra de 600 pastilhas, das quais 18 apresentaram nveis de desgaste acima do tolerado. Construir o IC para proporo de pastilhas com desgaste acima do tolerado, do atual processo industrial, com nvel de significncia de 5%. Refazer os clculos para nvel de confiana de 90%.

5

5) Numa empresa que enche cartuchos, observaram que numa amostra de 85 cartuchos, 10 apresentaram quantidade menor de tinta/ml (fora do padro de qualidade). Construir o Intervalo de Confiana para verdadeira proporo de cartuchos fora do padro, com nvel de significncia de 5%. Refaa para proporo de chips no adequados. 6) Demonstrar o desenvolvimento das frmulas do Intervalo de Confiana para: a) mdia (quando conhece a varincia); b) mdia ( quando desconhece a varincia). 7) Triola 274 -Um estudo sobre o tempo que os alunos gastam para conclurem o curso de Cincia da Computao, 80 alunos foram selecionados aleatoriamente, e verificou-se que tinham mdia 4,8 anos at a concluso do curso. Supondo conhecer o desvio padro populacional (2,2 anos), construa o Intervalo de Confiana para a mdia populacional. Use alfa 5% 8) pg188 - Em uma indstria de cerveja, a quantidade de cerveja inserida em latas tem se comportado como uma varivel aleatria com mdia de 350 ml e desvio padro 3 ml. Detectado problemas na linha de produo, suspeita-se que houve alterao na mdia. Retirou-se uma amostra de 20 latas e obteve mdia 346 ml. Construa um I.C. para o novo valor da quantidade mdia de cerveja inserida em latas, com nvel de confiana de 95%, supondo no alterao no desvio padro do processo. 9) Ache na tabela t de Student, o valor crtico utilizado no intervalo de confiana. 99%; n=20 98%; n= 19 95 %; n= 25 90 %; n= 18 99%; n=42 98%; n= 39 95% ; n= 40 90 %; n= 46 10) pg 196 - Um analista de sistemas est avaliando o desempenho de um novo programa de anlise numrica. Forneceu como entrada do programa 14 operaes similares e obteve os seguintes tempos de processamento ( em milissegundos): [ 12; 13,5; 16; 15,7; 15,8; 16,5; 15; 13,1; 15,2; 18,1; 18,5; 12,3; 17,5; 17 ]. a- calcule mdia e o desvio padro da amostra do tempo de processamento, b- construir o I.C. para o tempo mdio de processamento, com alfa 5% e discutir o que ocorre quando alfa for 10%.. 11) pg195 - Sob condies normais, realizaram-se dez observaes sobre o tempo de resposta de uma consulta a certo banco de dados. Os resultados foram os seguintes: 28, 35, 43, 23, 62, 38, 34, 27, 32, 37. Construir IC para o tempo mdio de uma consulta sob condies normais. Use alfa 1%.CAPTULO 8 - TESTES DE HIPTESES E DECISO ESTATSTICA

Decises Estatsticas Na prtica somos chamados com muita freqncia a tomar decises acerca de populaes, baseados nas informaes das amostras. Essas decises so denominadas decises estatsticas. Pode-se desejar decidir, com base em dados amostrais, se um novo soro realmente eficaz na cura de uma doena, se um processo educacional melhor do que outro, se certa moeda viciada e outras. Hiptese Estatstica - A Hiptese Estatstica uma suposio ou afirmao relativa a uma ou mais populaes, que pode ser verdadeira ou falsa. Testes de Hiptese - Consiste em decidir se a hiptese verdadeira ou falsa. Assim, atravs de uma amostra testaremos hiptese formulada e concluiremos se ela deve ser rejeitada ou aceita.

6

As Hipteses A hiptese lanada para ser rejeitada ou aceita chamada de hiptese nula, denotada por Ho. A rejeio de Ho leva a aceitao de uma hiptese alternativa, representada por H1. Erros do Tipo I e II - Se uma hiptese for rejeitada quando deveriam ser aceita, diz-se que foi cometido um erro do Tipo I. Se, por outro lado, for aceita uma hiptese que deveria ser rejeitada, diz-se que foi cometido um erro Tipo II. Em ambos os casos ocorreram uma deciso errada ou um erro de julgamento. Nvel de Significncia - Ao testar uma hiptese estabelecida, a probabilidade mxima com a qual estaremos dispostos a correr o risco de um erro Tipo I denominada nvel de significncia do teste. Essa probabilidade, representada freqentemente por , geralmente especificada antes da extrao de quaisquer amostras, de modo que os resultados obtidos no influenciem a escolha. Se, por exemplo, escolhido um nvel de significncia 5%, no planejamento de um teste de hiptese, h ento cerca de 5 chances em 100, de a hiptese ser rejeitada, quando deveria ser aceita, isto , h uma confiana de cerca de 95% de que se tome uma deciso acertada. Tipos de Testes de Hipteses 8A) Teste para a proporo 1a) Formulao das hiptesesHo: p = p0 vs H1 :

p p0 (a) p > p0 (b) p < p0 (c)

2a) Nvel de significncia Normalmente adota-se um valor de ( entre 1% a 10%).

3a) Estabelecer os valores crticos

/2 1-

/2 1-

1-

4a )

-Z/2 Z cal =

y'np 0

Z/2

n.p 0 .(1 p 0 )

(a)

y = num. elementos c/ atributos Z c/ atributo y < np y=y-0,5 se y-Znp y= y+0,5 se >

(b)

0 e

0

(c)

po = valor de Ho n = tamanho da amostra

5a) Concluso: Abordagem clssicaa) Se Z < Z cal < Z Aceita-se Ho2 2

b) Se Z cal > Z Rejeita-se Ho c) Se Z cal < Z Rejeita-se Ho. Abordagem do p valor: Se p > ; Se p ; Aceita-se Ho Rejeita-se Ho

7

8B) Teste para a Mdia ( conhece 2 ) 1 ) Formulao das hipteses Ho: = 0 vsa

0

(a) (b) (c)

H1 :

> t Rejeita-se Ho c) Se t cal < t Rejeita-se Ho.

8

8D) Teste para Varincia - Quando h interesse em verificar possveis alteraes na variabilidade. a 2 2 2 1 ) Ho: = o vs H1: 2 02a) Nvel de significncia 3a) Valores crticos: tabela qui-quadrado 2 2 2 2 Bilateral: sup (n 1; /2); inf (n 1; 1 - /2) e Unilateral : sup (n 1; ) ; inf (n 1;1 ) 4a) q2 =a

( n 1) s 2

0

5 ) Concluso: Aceitao ou rejeio de Ho.

ATIVIDADE 8 - Testes de hipteses Tabela Normal Padro 1) pg 215 - Para um teste bilateral, encontre o valor crtico da normal padro: Considere alfa = 0,20; 0,10; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005 Para um teste unilateral, encontre o valor crtico da normal padro: Considere alfa = 0,10; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,00252) Escreva as hipteses abaixo em termos de parmetros populacionais a) a mdia dos tempos de resposta do equipamento com o processador A diferente da mdia dos tempos de resposta do equipamento com o processador B; b) a mdia dos valores da resistncia do concreto com a dosagem d2 de cimento maior que a ) a mdia dos valores da resistncia do concreto com a dosagem d1. c) a mdia das vendas depois da campanha publicitria maior que as ) a mdia das vendas antes da campanha publicitria; d) a proporo de reclamaes aps a realizao do programa de melhoria de qualidade menor do que antes da realizao do programa; e) Suspeita-se da moeda no honesta quanto ao nmero de caras em n lanamentos. f) No Brasil, a mdia de salrios dos Analistas de Sistemas superior a 1800 dlares. 3) pg215 - Uma empresa retira periodicamente amostras aleatrias de 500 peas da linha de produo para anlise de qualidade para verificar se tem ou no defeito. O processo produtivo no aceita evidncia de mais de 1,5% de peas defeituosas. Na ltima amostra apareceram 9 peas com defeitos. a- Testar a hiptese dos defeitos serem superiores a 1,5% . Use alfa 1% e refaa com5% . b- Testar a hiptese dos defeitos serem diferentes de 1.5%. Use alfa 1% e refaa com5% . c- Realize a abordagem do p valor para os itens a e b 4) pg217 - Um fabricante garante que 90% de seus itens esto dentro das especificaes. Um comprador examinou uma amostra de 50 itens e verificou que apenas 84% estavam dentro das especificaes. H evidncia que o nvel de qualidade menor do que o alegado pelo fabricante? Adote alfa 1%. 5) Encontre o p-valor para o teste de hiptese: a- Unicaudal esquerda com estatstica de teste z = -2,23. b- Unicaudal esquerda com estatstica de teste z = -1,62. c- Bicaudal com estatstica de teste z = 2,14. d- Bicaudal com estatstica de teste z = 2,31. e- Unicaudal direita com estatstica de teste z = 2,16. f- Unicaudal direita com estatstica de teste z = 1,48. 6) Os sistemas de escapamentos de uma aeronave funcionam devido a um propolente slido. A taxa de queima desse propolente uma carcterstica importante do produto. As especificaes requerem que a taxa mdia de queima seja de 50 cm/s. Sabe-se que o desvio padro da taxa de queima de 2cm/s. Adote

9

nvel de significncia de 5%, teste a hiptese bilateral sabendo que uma amostra de 25 obteve-se mdia de 51,3 cm/s. Realize o teste unilateral a direita. Construir o Intervalo de Confiana para a taxa mdia de queima. 7) pg221 - Em certo banco de dados, o tempo para a realizao de buscas aproximadamente normal com mdia 53s e desvio padro de 14s. Depois de modificaes no sistema, em 30 consultas, o tempo mdio caiu para 45s. H evidncia de melhora? Use nvel de confiana de 99%.

8) Calcule o valor crtico da tabela t de Student para um teste: Bilateral n=2 e alfa= 10%; 5%; 1%. Unilateral n=18 e alfa = 10%; 5%; 1%9) Encontre o p-valor para o teste de hiptese: a- Unicaudal esquerda com estatstica de teste t = -2,63 e n=10. b- Unicaudal esquerda com estatstica de teste t = -1,72 e n=12. c- Bicaudal com estatstica de teste t = 3,14 e n=20. d- Bicaudal com estatstica de teste t = 1.18 e n= 30. e- Unicaudal direita com estatstica de teste t = 2,62 e n= 60. f- Unicaudal direita com estatstica de teste t = 1,48 e n= 150. 10) pg220 - O tempo para transmitir 10 MB em determinada rede de computadores varia segundo um modelo normal, com mdia de 7,4s. Depois de algumas mudanas na rede, acredita-se numa reduo no tempo de transmisso de dados, alm da alterao na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de 10 MB e foram anotados os tempos de transmisso, em segundo { 6,8 7,1 5,9 7,5 6,3 6,9 7,2 7,6 6,6 6,3 }. H evidncia de que o tempo mdio de transmisso foi reduzido? Nvel de significncia de 5%. 11) pg221 - Certo tipo de pneu, dura em mdia, 50.000 km. O fabricante investiu em uma nova composio de borracha para pneus. Vinte pneus com a nova composio, duraram em mdia, 55.000 km, com desvio padro de 4.000 km. Supondo que a durabilidade segue a distribuio normal, verificar se os dados provam que os pneus novos so mais durveis, com nvel de confiana de 95%.

12) Calcule os valores crticos do teste qui-quadrado: a- Teste unicaudal direita, alfa =5% , n = 27 b- Teste unicaudal direita, alfa =10% , n = 10 c- Teste unicaudal esquerda, alfa =1% , n = 7 d- Teste unicaudal esquerda, alfa =5% , n = 24 e- Teste bicaudal, alfa =10% , n = 16 f- Teste bicaudal, alfa =1% , n = 29.13) pg223- Usurios de uma rede de transmisso de energia eltrica tem reclamado da alta variao na tenso (desvio padro de 12 V). A empresa encarregada da transmisso de energia eltrica na regio instalou novos transformadores. O desvio padro calculado sob 30 observaes independentes foi de 8 V e a distribuio de frequncias dos valores da amostra sugere uma distribuio normal. H evidncia da reduo na variao da tenso? Use alfa 5%. 14) pg223 (Continuao do exerccio 7) - Suponha que, nas 30 observaes, o desvio padro do tempo para a realizao das buscas no banco de dados foi de 12 s. H evidncia de alterao na varincia ? Alfa 1%.

10

CAPTULO 9 - COMPARAO ENTRE TRATAMENTOS

I) Comparao de 2 mdias Caso com 2 amostras. Ia) Teste t para duas amostras pareadas O teste t apropriado para comparar 2 conjuntos de dados quantitativos, em termos de seus valores mdios. 1a) Hipteses : H0: 1 = 2 vs H1: 1 2 ; H1: 1 f 2 ou H1: 1 p 2 1 - valor esperado da resposta do tratamento 1 2 - valor esperado da resposta do tratamento 2 a 2 ) Nvel de significncia 3a) Valores crticos: bilateral t(n-1; 4a) Varivel teste t =d n

2

) e unilateral t(n-1; )

onde n: tamanho da amostra; d : mdia das diferenas sd observadas (d = x2 x1 ) e sd:desvio padro das diferenas.

5a) Concluso: regra habitual da distribuio t de Student. Ib) Teste t para duas amostras independentesA formao de pares de elementos similares nem sempre vivel. Uma alternativa considerar duas amostras independentes.

Grupos com nmero de elementos iguais n 1= n2Suposio bsica: As observaes so independentes Os dois grupos provm de distribuies normais Os dois grupos possuem a mesma varincia.

1a) Hipteses : H0: 1 = 2 vs 2a) Nvel de significncia

H1: 1 2 ; H1: 1 f 2 ou H1: 1 p 2

3a) valores crticos: bilateral t(n1+n2-2; 4a) Varivel teste t = ( x 1 x 2 )n: tamanho da amostra; x1 : mdia do grupo1;

2

) e unilateral t (n1+n2-2 ; )2 S1 +S 2 2 2

n 2 2 Sa

onde a varincia agregada: Sa2 =

x 2 : mdia do grupo 2; Sa2: varincia comum (agregada) dos dois grupos. a 5 ) Concluso: regra habitual da distribuio t de Student.

11

Grupos com nmero de elementos diferentes n1 n2 Idem procedimento acima, altera o item 4;4a) Varivel teste t =

x1 x 2 Sa 1 1 + n1 n 2

2 onde a varincia comum S a =

2 ( n 1 1)S1 + ( n 2 1)S 2 2 n1 + n 2 2

II - Comparao de 2 varincias - Teste F para duas varinciasSuponha que queremos comparar duas populaes, supostamente com distribuies normais, tm a mesma varincia. Formulam-se as hipteses:2 2 2 2 i) Ho: 1 = 2 vs H1: 1 2 (teste bilateral) ou 1 > 2 ; 1 < 2 (teste unilateral) 2 2 2 2

onde

12 : var incia da populao1 2 : var incia da populao 2 . 2

ii) Nvel de significncia iii) Regio crtica: Bilateral: Fsup ( gl1= n1 -1; gl2= n2 -1; Finf =

2

) e Finf ( gl1= n1 -1; gl2 = n2 -1; 1-

2

) =

F

(

2

)

1 ( gl 2 ; gl 1 )(gl1; gl2)]

Unilateral: F inf [(1- ) (gl1; gl2)] ou Fsup [ iv) Estatstica teste: f =

2 s1 onde si2 so as varincias das amostras 1 e 2. 2 s2 Condio da amostra 1 ser maior que amostra 2, ou seja a maior varincia deve ser posicionada no numerador. v) Concluso: Rejeita-se Ho: Para teste unilateral, fcalc < F(1- ) (gl1 gl2) ou fcalc > F (gl1; gl2)

Para teste bilateral, fcalc < F(1- ) (gl1; gl2) e fcalc > F 2

(gl1; gl2)

2

Obs: F(1-alfa/2) (gl1; gl2) =

1 F( alfa / 2 ) ( gl 2; gl1)

ATIVIDADE 9 A - Teste t para amostras pareadas ou independentes

1) pg235 - Seja o problema de verificar se um novo algoritmo de busca em um banco de dados mais rpido que o algoritmo atualmente usado. Para fazer a comparao dos dois algoritmos, planeja-se realizar uma amostra aleatria de dez buscas experimentais (ensaios). Em cada ensaio, uma dada busca realizada pelos dois algoritmos e o tempo de resposta de cada algoritmo anotado. Testar se o tempo do algoritmo novo superou do algoritmo antigo?a) Adote alfa 1%. b) Faa a discusso com alfa 5%. c) Abordagem do p-valor.

12

Ensaio1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Novo X1 22 21 28 30 33 33 26 24 31 22

Tempo de respostas (segundos) Antigo X2 Diferena X2 X1 25 3 28 7 26 -2 36 6 32 -1 39 6 28 2 33 9 30 -1 27 5

2) pg245 - Num planejamento tipo antes e depois, observou a venda mensal de determinado produto em 12 lojas sem oferecer brinde. Depois, passou-se a oferecer um brinde e voltou-se avaliar a venda mensal deste produto nas 12 lojas. O valor da diferena Di foram: { 7, 10, 5, -2, 9, 0, 3, -4, 8, 9, 1, 3}. Os dados mostram evidncia suficiente para se afirmar que a oferta do brinde aumenta as vendas? Use nvel de significncia de 5%. Abordagem p-valor. 3) pg245 - Para avaliar o efeito de um brinde nas vendas de determinado produto, planeja-se comparar as vendas em lojas que vendem o produto com brinde, com lojas que vendem sem brinde. As lojas foram agrupadas em pares, de tal forma que os pares so o mais similares possveis. Em cada par de lojas, uma passou a oferecer brinde e a outra no. Os dados da tabela, mostram evidncia suficiente para se afirmar que a oferta do brinde aumenta as vendas? Alfa 5%. Par de loja 1 2 3 4 5 6 Vendas sem brinde 33 43 26 19 37 27 Vendas com brinde 43 39 33 32 43 46

4) pg244 - Uma empresa de cerveja estuda a possibilidade de alterar o rtulo de sua marca com cores mais vivas. Enlatou a cerveja com rtulo novo e tradicional. A pesquisa foi feita em 8 estabelecimentos comerciais. Por sorteio em 4 adotou-se o rtulo tradicional e nos outros 4 o rtulo novo. Avaliou-se a quantidade vendida em milhares de unidades. R trad: {6,5,2,2 } e R novo: { 4,9,5,6}. Verifique se a mdia de vendas maior com rtulo novo; use alfa 5%. 5) pg246 - Para comparar dois algoritmos de otimizao, foi realizado um experimento com seis ensaios. Em cada ensaio, foram usados separadamente os dois algoritmos em estudo, mas sob as mesmas condies (dados pareados). Os tempos de resposta ao usurio foram:Ensaio 1 2 3 4 5 Algor I 8,1 8,9 9,3 9,6 8,1 Algor II 9,2 9,8 9,9 10,3 8,9 Os tempos de resposta dos dois algoritmos so, em mdia, diferentes? Alfa 5%. 6 11,2 13,1

13

6) Dois fornecedores fabricam uma engrenagem de plstico usada em uma impressora a laser. A resistncia de impacto (ft-lbf) dessas engrenagens uma caracterstica importante. Uma amostra aleatria de 10 engrenagens do fornecedor 1, resulta em mdia f1 igual a 321 e desvio padro de 22, enquanto numa amostra de 16 engrenagens a mdia do f2 igual a 290 e desvio padro 12. H evidncia confirmando a afirmao que o fornecedor 1 fornece engrenagens com maiores resistncias mdias de impacto? Adote alfa 5%. 7) pg238 - Testar a hiptese se nos dez ensaios com cada catalizador verificou que os catalizadores A e B tm efeitos diferentes no rendimento de certa reao qumica. Confirme com alfa 5%, faa a abordagem do p-valor.Rendimento ( % ) de uma reao qumica em funo do catalizador utilizado. Cat A 45 51 50 62 43 42 53 50 Cat B 45 35 43 59 48 45 41 43

48 49

55 39

8) pg246 - Na comparao de duas topologias de rede de computadores, C1 e C2, avaliou-se o tempo de transmisso de pacotes de dados entre duas mquinas. Foram realizados 32 ensaios em C1 e 24 ensaios em C2, como mostra os dados abaixo: Topologia Tempo (em dcimos de segundo) Mdia Varincia C1 9, 12, 10, 12, 11, 9, 8, 12, 13, 9, 13, 8, 17, 9, 9, 8, 9, 8, 14, 8, 10,625 6,371 8, 8, 8, 13, 10, 10, 15, 13, 13, 12, 14, 8 C2 14, 15, 8, 13, 16, 12, 14, 17, 14, 10, 13, 12, 13, 14, 10, 15, 12, 13,458 4,781 17, 16, 12, 15, 13, 14, 14 Existe diferena significativa entre o tempo mdio de transmisso nas 2 topologias? 9) pg248 - Verificamos que no h evidncias de que os catalisadores A e B tenham efeitos mdios diferentes no rendimento de certa reao qumica. Vamos verificar, agora, se eles produzem efeitos diferentes nas varincias. Use alfa 10%. Delimitar a regio crtica para os 2 casos do teste unilateral. 10) Conforme descrito no exerccio 6, Verifique se as engrenagem do fornecedor 1 realmente maior que do fornecedor 2, com nvel de significncia de 5%.

II - Comparao de vrias mdiasGeralmente este delineamento usado quando classificado segundo um nico critrio, chamado tratamento. Este delineamento utilizado quando as unidades experimentais (parcelas) so similares. Os tratamentos so diferentes???? Assim usa-se um processo aritmtico para decompor as variaes, que chamado de Anlise de Varincia (ANOVA). Todo delineamento experimental possui um modelo matemtico necessrio para podermos efetuar a anlise de varincia do experimento. E, para a validade da anlise de varincia deve-se considerar o seu modelo matemtico alm de algumas pr-suposies bsicas para se fazer a anlise dos dados. Para o delineamento inteiramente casualizado o modelo matemtico : com i = 1,2,............ g; j = 1,2,................. n; onde: yij = m + ti + eij

14

yij = valor observado na parcela que recebeu o tratamento i na repetio j; ti = efeito do tratamento aplicado na parcela; m = mdia geral do experimento; eij = efeito dos fatores no controlados, ou seja, o efeito do erro experimental; Algumas suposies bsicas que se deve admitir para a validade da anlise de varincia: i) deve-se considerar independncia entre tratamentos e entre parcelas do mesmo tratamento; ii) As j observaes por tratamento so normais de mdia mi e mesma varincia 2, ou seja, X i j ~ N ( mi , 2 ). iii) As varincias populacionais devem ser iguais nos g grupos.

4- Quadro de DadosReplicao 1 2 ... n Total Trat. Mdias T1 Y11 Y12 ... Y1J T1 y 1 Tratamentos T2 Y21 Y22 ... Y2J T2 y2 Tg Yg1 Yg2 ... Ygn Tg yg

Anlise de varincia ANOVA i) Para testar as hipteses H0: As mdias dos tratamentos so iguais H1: Pelo menos uma das mdias difere das demais. ii) Nvel de significncia iii) Estatstica do teste: F de SnedecorConstruiremos o seguinte quadro de anlise de varincia:Fonte de Variao Graus de Liberdade Somas de Quadrados Quadrados Mdios

Fcal

Ftab [(g 1), (N-g)]

Tratamento Resduo (R) Total (To)

g1 Ng N1

SQT SQR SQTo

QMT QMR

QMT/QMR

Soma de Quadradosg

y i2 y 2 .. y .. 2 2 SQTo = y ij ; SQT = i =1 ; N n N gn Quadrados Mdios SQR SQT ; QMR = QMT = ( N g) g 1 QMT Estatstica F - Fcalc = ; QMRiv) Valor tabelado - Ftab [(gl trat; gl res)]

SQR = SQTo SQT

1-

v) Concluso: Assim se Fcal > Ftab Rejeita-se Ho, isto , pelo menos umas das mdias das populaes diferem entre si.

15

As mdias aritmticas de cada grupo servem como uma estimativa pontual da resposta esperada de cada tratamento. Para detectar qual mdia difere das demais, existem diversos testes ( Tukey, Schefe, Duncan..), mas uma opo rpida construir o intervalo de confiana para verificar se realmente h diferena entre as mdias. IC ( i ,1 ) = y i t

QMerro n

onde o valor tabela: t (N-g; ) 2

AMOSTRAS EM BLOCOSConsidere que as unidades experimentais so agrupadas em blocos, de tal forma que todos os g tratamentos sejam realizados em cada bloco. Cada observao Yij influenciada pelo efeito do tratamento, efeito do bloco e o efeito aleatrio. Assim: Yij = m + ti + Bj + eij Os clculos de uma ANOVA num projeto em blocos, considerando em cada bloco uma observao de cada tratamento (blocos completos no replicados), donde o nmero total de observaes dado por N = gh.

Anlise de varincia - ANOVA a) Para testar as hipteses H0: As mdias dos tratamentos so iguais Ho: As mdias dos blocos so iguais. b) Estatstica do teste: F de SnedecorConstruiremos o seguinte quadro de anlise de varincia:Fonte de Variao Graus de Liberdade Somas de Quadrados Quadrados Mdios

Fcal

Ftab [(gl trat; glE)] [(gl trat; glE)]

Tratamento Bloco Resduo (Erro) Total (To)

g1 h1 (g-1)(h-1) N1

SQT SQB SQE SQTo

SQT/g-1 SQB / h-1 SQE / (g-1)(h-1)

QMT/QME QMB/QME

y 2 .. SQtot = y ; N2 ij

y 2 y 2 .. SQtrat = i ; N i =1 hg

h

SQblocos =

j=1

y.2 j g

y 2 .. N

ATIVIDADE 9B - Teste para k mdias1) pg252 - Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2, C3, em termos do tempo mdio de transmisso de pacotes de dados entre duas mquinas. Realizou-se um experimento com oito replicaes com cada tipo de rede, aleatorizando a ordem de 24 ensaios e mantendo fixo fatores controlveis.a- Testar a hiptese do tempo mdio de transmisso ser iguais para os trs tipos de redes. Alfa 5%. b- Apresentar graficamente os intervalos de confiana.

replicaes

REDE C1

Tipo de rede REDE C2

REDE C3

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1 2 3 4 5 6 7 8 Soma Mdia

7,2 9,3 8,7 8,9 7,6 7,2 8,8 8,0 65,7 8,21

7,8 8,2 7,1 8,6 8,7 8,2 7,1 7,8 63,5 7,94

6,3 6,0 5,3 5,1 6,2 5,2 7,2 6,8 48,1 6,01

2) pg265 - Com o objetivo de comparar 3 tipos de cimento em termos da resistncia compresso do concreto, foi realizado um experimento completamente aleatorizado, com 5 corpos de prova de cada tipo de cimento. Os resultados foram os seguintes: Tipo de cimento replicaes C1 C2 C3 1 9 20 10 2 12 21 9 3 10 23 12 4 8 17 20 5 15 30 11 a- Testar a hiptese da resistncia media ser iguais para os trs tipos de cimento. Alfa 5%. b- Apresentar graficamente os intervalos de confiana. 3) pg257 - Seja o problema comparar 3 algoritmos de busca em um banco de dados. No experimento com 6 buscas experimentais, sendo que em cada uma sorteado um n. aleatrio que indica o registro do banco de dados a ser localizado. Em cada um dos seis processos de busca, so usados 3 algoritmos em estudo, mas sob mesmas condies. So anotados os tempos de resposta ao usurio. a- Testar se os 3 algoritmos so igualmente rpidos. Adote alfa 5%.b- Construir os interv. de confiana. Algoritmo de busca A2 8,1 8,9 9,3 9,6 8,1 11,2 55,2 9,2

Blocos 1 2 3 4 5 6 Soma Mdia

A1 8,3 9,4 9,1 9,9 8,2 10,9 55,8 9,43

A3 9,2 9,8 9,9 10,3 8,9 13,1 61,2 10,2

4) pg267 - Para comparar a absoro de gua de 4 tipos de massa cermica, analisaram-se corpos de prova de 3 fornadas. Em cada fornada (bloco) era analisado um corpo de prova de cada tipo de massa cermica. Os resultados (porcentagem de absoro de gua) foram: Fornada Massa Cermica C1 C2 C3 C4 1,2 1,5 1,1 2,1 1 2,1 2,1 1,3 2,7 2 1,5 1,9 1,3 2,4 3Os dados mostram evidncia suficiente para garantir diferena na porcentagem esperada de absoro de gua nos 4 tipos de massa cermica? Use nvel de confiana de 95%.