NOÇÕES SOBRE FILASGabriela Servidone 141648Gustavo Bratfisch 136015

TÓPICOS• Introdução• Processos de Nascimento e Morte• Teoria de Filas

• Os Sistemas de Filas M/M/1, M/M/m, M/M/m/B, M/M/N/N/K, M/G/1

• Noções de Arena

PROCESSOS DE NASCIMENTO E MORTE

Estado (pessoas na fila)

o São Cadeias de Markov onde as transições de estado sãorestritas a estados vizinhos apenas,

o É possível representar o estado através de um númerointeiro.

o Exemplo:nascimento ou chegada

0

morte ou partida

1 2 n-1 n n+1

TEORIA DE FILASo Ferramenta matemática para tratar de eventos aleatórios,o É o estudo da espera em filas,o Proporciona uma maneira de definir o

ambiente de um sistema de filas matematicamente,

o Permite prever respostas prováveis e tempos de espera.

OBJETIVO Avaliar o comportamento de um sistema de filas e seus

parâmetros, exemplos: Tempo de espera médio, Probabilidade de formação de fila, Porcentagem de clientes rejeitados pelo sistema, Probabilidade de um cliente esperar mais do que um certo

tempo, Número médio de clientes na fila, Probabilidade de que todos os servidores estejam ociosos.

CARACTERÍSTICAS DE UM SISTEMA

DE FILA

(Ex.: Usuários de computadores de uso compartilhado)

CARACTERÍSTICAS DE UM SISTEMA

DE FILA1. Processo de Chegada2. Distribuição de Tempo de Serviço3. Quantidade de Servidores4. Tamanho do Sistema de Fila5. População de Clientes6. Disciplina de Atendimento

1. PROCESSO DE CHEGADA

Se os clientes chegam em instantes t1, t2, ..., tj a variável randômica j = tj - tj-1 é chamada Tempo Interchegadas,

Assume-se que os j formam uma sequencia de variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas (v.a. IID),

O processo de chegada mais comum é o Processo de Poisson. Isto significa que os Tempos Interchegadas são exponencialmente distribuídos,

Outras distribuições podem ser utilizadas, tais como a Hiperexponencial, Erlang e Geral.

2. DISTRIBUIÇÃO DE TEMPO DE SERVIÇO (PROCESSO DE SERVIÇO)

O tempo gasto por cada cliente num computador é chamado Tempo de Serviço,

É aceitável supor que os Tempos de Serviço de cada cliente sejam variáveis aleatórias IID,

A distribuição mais utilizada para o Tempo de Serviço é a Distribuição Exponencial,

Outras distribuições podem ser utilizadas, tais como a Hiperexponencial, Erlang e Geral.

3. QUANTIDADE DE SERVIDORES

o Single Server – atende a apenas um cliente de cada vez,

o Multi-Server – possui m servidores, podendo atender

m clientes simultaneamente.

o Infinite Server – cada cliente que chega encontra

sempre um servidor disponível.

4. TAMANHO DO SISTEMA (CAPACIDADE DO SISTEMA)

o Capacidade do sistema = capacidade da fila de espera + quantidade de servidores (posições de serviço)

o A capacidade máxima de clientes no sistema poderáser limitada por questões de espaço, custo ou para evitar um tempo de espera muito longo

o Na maior parte dos sistemas, a capacidade da fila élimitada (finita)

o Em sistemas com filas de capacidade infinita, todosos clientes serão atendidos

o Em sistemas sem capacidade de espera ou com capacidade limitada, pode ocorrer rejeição de clientes

5. POPULAÇÃO DE CLIENTESo É a quantidade de usuários em potencial que pode, em

algum momento, usar o sistema (ex.: clientes de banco, programa de computador, assinante de linha telefônica),

o Nos sistema reais a população é limitada (finita),

o Quando a população é finita, a taxa de chegada dependerá da população,

o População Infinita – taxa de chegada constante,o População Finita – taxa de chegada variável.

6. DISCIPLINA DE SERVIÇOo De uma fila, é o método de escolha da sequencia de

atendimento dos clientes na fila,o A disciplina mais utilizada é a FCFS ou FIFO (primeiro a

chegar é o primeiro a sair da fila),o Outras disciplinas: LCFS, SIRO, RR,o O atendimento pode ser priorizado em função de:

o Tempo esperado de atendimento, ex.: menos demorado primeiro,

o Tamanho do cliente (pacote de mensagem), ex.: maior primeiro, menor primeiro,

o Maior sensibilidade a atrasos, ex.: mais sensíveis primeiro,o Qualidade de serviço (QoS).

TIPOS DE ATENDIMENTO

Disciplina deServiço Descrição

FCFS/FIFO First Come First to be ServedLIFS/LIFO Last In First to be Served

SIRO Select In Random OrderRD Atendimento baseado em

prioridadeGD Distribuição genérica

CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMA DE FILA

o Um sistema de fila é classificado por suas características,

o Utiliza-se a Notação de Kendall.

A/ S / m / B / K / DSOnde:

A = Distribuição de tempo interchegadaS = Distribuição de tempo de serviçom = Número de canais de serviço simultâneo (servidores)B = Quantidade de Buffers ou capacidade do sistemaK = Tamanho da populaçãoDS = Disciplina de serviço

DISTRIBUIÇÕESo As distribuições utilizadas para o tempo interchegada e

tempo de serviço são simbolizadas por uma letra, conforme a seguir:

M = ExponencialEk = Erlang, com parâmetro KHk = Hiperexponencial, com parâmetro K D = DeterminísticoG = Distribuição Genérica

o A distribuição exponencial é chamada memoryless (M)

o Uma distribuição determinística (D) significa tempo de chegada e tempo de serviço constante, ou sem variância

EXEMPLOM/M/3/20/1500/FCFSo Tempo interchegada exponencialmente distribuído,o Tempo de serviço exponencialmente distribuído,o Existem 3 servidores,o A fila possui um total de 20 posições de buffer. Consistindo em

3 buffers para cada servidor, 17 posições de espera compartilhados entre os três servidores. Se a quantidade de clientes no sistema for 20, os clientes que chegam são perdidos até que a fila diminua,

o Há uma população de 1500 clientes que podem ser atendidos,o A disciplina de serviço é FCFS (primeiro a chegar, primeiro a

ser servido).

OUTROS EXEMPLOS

Prof. Gil Pinheiro

não utilizados

M/M/1 => M/M/1/ / / FCFS

Desprezar os três últimos símbolos quando: disciplina é FCFS, população infinita e tamanho da fila infinito

• M/M/1/B• M/M/m• M/M/m/B• M/M/m/m

• M/M/• M/G/1• M/D/1• M/M/m//k

PROCESSOS DE CHEGADA

Hipóteseso Dois clientes nunca chegam simultaneamente,

– O 1º cliente chega no instante t0, o 2º no instante t1

e assim por diante ( 0 < t0 < t1 ,, ... , < tn )o Os tempos entre chegadas estão distribuídos

exponencialmente,o A taxa de chegada (1/) também terá distribuição

exponencial.

PROCESSO DE POISSONSe a taxa de chegada possui distribuição exponencial, a probabilidade de k clientes chegarem dentro de T segundos pode ser modelada pela distribuição de Poisson:

tc2 tc3 tc4

4

3

2

1

Chegadastc1 temp

o

Núm

ero

de Cheg

adas

T T

k!Pk (T ) e onde: > 0, k =

0,1,2, ...

PROCESSO DE POISSONNum sistema com = 0,4 chegadas/s, em T = 8 s, ocorrerão 3,19959

chegadas aproximadamente. Em média: 0,4 x 8 = 3,2 chegadas

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k

0,25Pk Valor

médiok Pk k.Pk0 0,04076 0,000001 0,13044 0,130442 0,20870 0,417403 0,22262 0,667854 0,17809 0,712375 0,11398 0,569906 0,06079 0,364737 0,02779 0,194528 0,01112 0,088939 0,00395 0,03557

10 0,00126 0,0126511 0,00037 0,0040512 0,00010 0,00118

Soma = 0,99997 3,19959

PROPRIEDADES DOS PROCESSOS DE POISSON

1

= i

p1

p2 1 = pi p3

2

3A junção de fluxos de Poisson resulta num fluxo de Poisson

A partição de um fluxo de Poisson resulta em fluxos de Poisson

PROPRIEDADES DOS PROCESSOS DE

POISSON

Partidas de um sistema de fila M/M/m é um fluxo de Poisson

i >

>

Partidas de um sistema de fila M/M/1 é um fluxo de Poisson

1

2

3

NOTAÇÃO DE MODELOS DE FILA

= Tempo interchegada = tempo decorrido entre duas chegadassucessivas

NOTAÇÃO DE MODELOS DE FILAm Quantidade de servidores idênticos.

Taxa média de chegada, de clientes (=1/E[]). Em alguns sistemas, poderá depender do estado do sistema (quantidade de clientes).

Tempo de serviço (de atendimento) de um cliente.Taxa média de serviço por servidor (=1/E[s])). Para m servidores, a taxa

média de serviço é mQuantidade total de clientes no sistema, também chamada tamanho

da fila.Inclui os clientes em espera por um servidor e os que estão sendo

atendidos.Quantidade de clientes aguardando atendimento. É sempre menor que n, pois

não inclui os clientes em serviço.Quantidade de clientes em serviço.Tempo de resposta do sistema. Ou tempo total de residência dos clientes

dentro do sistema de fila (tempo de espera + tempo de atendimento).Tempo de espera para ser atendido. É o tempo decorrido entre a chegada e o

início do atendimento (serviço) do cliente.

s

n

nq

ns

r

w

B

Todas as variáveis, exceto e , são variáveis aleatórias.

Utilização do servidor (= / )Tamanho da fila, quando esta for finita (tamanho do Buffer) Tempo interchegadas (= 1/)

EQUAÇÃO DE LITTLEo Permite calcular a quantidade de clientes (itens) em

qualquer Sistema de Fila. Resume-se a: quantidade média = taxa de chegada x tempo médio de

respostao Esta relação se aplica a um Sistema Inteiro ou parte de

um Sistema de Filao Baseia-se numa visão tipo “Caixa Preta” do

Sistema de Fila

Sistema deFila

(Caixa Preta)

Partidas

Chegadas

Tempo

Quantidade

EQUAÇÃO DE LITTLE - APLICAÇÃOA equação de Little pode ser aplicada a um subsistema

ou todo o sistema de Fila.

EQUAÇÃO DE LITTLE - APLICAÇÃO

Aplicando a equação de Little num subsistema ou em todo o sistema de Fila:

– Na fila de espera:– No servidor:

nq = . wns = . s = / – No sistema inteiro: n = .

r

O SISTEMA DE FILA M/M/1

Sistema de fila com um servidor –Exemplo: clientes na fila do caixa eletrônico

MODELO DO SISTEMA DE FILA M/M/1

Simbologia

Modelo

CARACTERÍSTICAS DO M/M/1

o Processo de chegada tipo Poisson (M)o Tempo de serviço - distribuição exponencial (M)o Quantidade de servidores (= 1)o Infinitas posições na fila de espera (clientes não são

perdidos)o Disciplina de serviço do tipo FIFOo População de clientes é infinita (taxa de chegada é

constante)

SISTEMA DE FILA M/M/1 -DIAGRAMA DE TRANSIÇÃO DE

ESTADOS

Estado = quantidade total de clientes no sistema

Para o sistema M/M/1, temos:n = Cte, n = 0, 1, 2, .... (taxa de chegadas no sistema)n = Cte, n = 1, 2, 3, .... (taxa de partidas do sistema)

Estado: 0 1 2

1 2 3

0 1 2

n–1

n

n

n+1

n

n+1

n+2

n+1

n-1

n-2 n-1

ESTADOS DO SISTEMA M/M/1

o Um sistema de fila M/M/1 será estudado aseguir visando determinar seu equilíbrio, ou seja, quando atinge a condição de regime permanente

o Nessas condições, o sistema pode ser identificado através de suas propriedades estatísticas (tempo de espera, tempo de residência, tamanho da fila, tempo de espera na fila, etc)

o Esse estudo poderá ser estendido paraoutros sistemas de fila (M/M/N, M/M/N/N, etc)

SISTEMA DE FILA M/M/1 - CÁLCULO DO ESTADO DO SISTEMA

= Taxa de chegada (por unidade de tempo) = Taxa de serviço (por unidade de tempo)

2. Utilização do servidor (=intensidade de tráfego): / 3. Condição de Estabilidade: 4. Probabilidade de zero clientes no sistema: p0 = 1 – 5. Probabilidade de n clientes no sistema:

pn = P[N = n] = (1 – n , n = 0, 1, 2, ....6. Probabilidade de haver mais que n clientes no sistema:

pn+ = P[R > n] = n

1. Parâmetros:

7. Quantidade média de clientes no sistema: n = /(1– )8. Quantidade média de clientes na fila: nq = /(1– )9. Tempo de residência (tempo de resposta) médio: r = 1 / [ (1 – )]

10. Probabilidade acumulada do tempo de residência:P[ r t ]= 1 – e–t

SISTEMA DE FILA M/M/1 -CÁLCULO DO ESTADO DO SISTEMA

P(r < t) é a probabilidade do tempo de residência ser menor do que t

Do gráfico, para t = 1.2 rmédio , então P(t) = 0.7, é a probabilidade de um cliente ter seu tempo de residência menor que 1.2 rmédio

Sendo rmédio o tempo médio de residência = 1/(1–)

11. Percentil do tempo de residência: m(q) = r ln [ 100 / (100 – q) ]m(q): é o tempo máximo de residência para q (%) de clientes12. Tempo médio de espera na fila: w = nq / = ( / (1 - )

SISTEMA DE FILA M/M/1 - EXEMPLO 1

Um servidor de rede esta associado a 100 computadores através de uma rede (LAN). O servidor mantêm um banco de dados para consultas dos computadores. O tempo médio de resposta de uma consulta no servidor é de 0,6 segundos e o desvio do tempo é igual a média. No horário de pico, a taxa de consultas atinge a taxa de 20 consultas/minuto. Responda as seguintes questões:(1) Qual o tempo de resposta médio?(2) Se o tempo de resposta máximo aceitável for 1,5 s (para 90%

das consultas), qual o percentual de aumento de tráfego?(3) Com um acréscimo de 20% de tráfego, qual o aumento no

tempo deresposta?

SISTEMA DE FILA M/M/1 - EXEMPLO 1

Assumindo um modelo M/M/1 para o sistema servidor, rede e micros. Osatrasos na rede (tempo de propagação) e as colisões) são ignorados.(1) Tempo de Resposta Médio:• Taxa de chegada: = 20 / 60 = 1/3 clientes/segundo• Taxa de atendimento: = 1 / 0,6 = 10 / 6 clientes/segundo• Intensidade de tráfego (=utilização do servidor): / = 1/3 x

6/10= 0,2

• Tempo de Resposta do Sistema: r = 1 / [1 – 0,6 / (1 – 0,2) =0,75 s (=0,6 s no atendimento + 0,15 s na fila de espera do servidor)

SISTEMA DE FILA M/M/1 - EXEMPLO 1

(2) Aumento de tráfego:• Acréscimo no Tráfego quando r = 1,5 s para 90 %

das requisições: 1,5 = r x ln[100/(100 - 90)]então: r = 0,65

• Como r = (1/ 1 – 1 – 5• Logo: • Assim, a intensidade de tráfego () deve cair de 0,2 para 0,077

paraque o tempo de residência (r) caia de 0,75 para 0,65

(3) Acréscimo no tempo de resposta:• A intensidade de tráfego (utilização) foi aumentada em 20%,

então: = 0,2 + 0,2 = 0,4

• Logo: r = (1/ 1 – (1/1,667) / (1 – 0,4) = 1,00 s

SISTEMA DE FILA M/M/M

o Sistema com m servidores iguaiso Cada servidor possui uma taxa de serviço igual a o Sistema sem perdas - se todos os servidores estiverem

ocupados, novos clientes aguardam na fila de espera

SISTEMA DE FILA M/M/M - DIAGRAMA DE TRANSIÇÃO DE

ESTADOS

Estado: 0 1 m–1 m m+1

m. m. m.

n. , n = 1, 2, 3, ..., m-1m., n = m, m+1, m+2, m+3, ...,

n =

.m.

Para o sistema M/M/m:n = , n = 0, 1, 2, ...,

SISTEMA DE FILA M/M/M - CÁLCULO DO ESTADO DO SISTEMA

(1 )q.P

5. Tempo de residência médio:6. Quantidade média de clientes no sistema:

1. Parâmetros: = Taxa de chegada = Taxa de serviçom = Quantidade de servidores

2. Utilização (intensidade de tráfego) média de um servidor: m) /

3. Condição de Estabilidade:

4. Intensidade de tráfego do sistema (dos m servidores): ’ / 1

m(1 )

n m.

Pr 1 q

P

w r s s 1 q

sm(1 )

7. Tempo de espera médio, sendo:

sP sPq qm(1 ) m A

Logo: w

Pq = probabilidade de todos os servidores estarem ocupados (ocorreformação de fila). Onde:

.mm

P0m! Pq =

m! P0 =

n = 0

m - 1 .mn

.mm n!+

P0 = probabilidade do sistema estar vazio (sem clientes). Dada por:

1

A equação anterior é conhecida como equação de Erlang-C. Tendo sido tabulada e é bastante utilizada em sistemas de telefonia.

SISTEMA DE FILA M/M/

o Sistema com quantidade infinita de servidores,o Todo o cliente que chega ao sistema encontra um

servidor livre e é imediatamente atendido,o Taxas de chegada e de serviço possuem distribuição

exponencial,o Não existe fila de espera, o comprimento da fila e o

tempo de espera são nulos,o É um sistema que introduz apenas um atraso

equivalente ao tempo de serviço,o Utiliza as equações do sistema M/M/m na situação

limite, quando m = .

SISTEMA DE FILA M/M/

o Probabilidade de sistema vazio:

o Probabilidade de n clientes no sistema:

o Quantidade de clientes no sistema:

o Tempo médio de residência:

p e

0

n

n

e

n!p Para n > 0

n

r 1

SISTEMA DE FILA M/M/M/B

o Distribuição do tempo entre chegadas: Exponencialo Distribuição do tempo de serviço: Exponencialo Quantidade de Servidor(es): mo Capacidade do Sistema: Bo Trata-se de um sistema com m servidores e B buffers, onde

B m (cada servidor possui uma posição de buffer)o Se as B posições estiverem ocupadas, os clientes

subseqüentes são perdidos

SISTEMA DE FILA M/M/M/B - DIAGRAMA DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS

Estado = quantidade de clientes no sistemaPara o sistema M/M/m/B , onde B mn = , n = 0, 1, 2, ..., B-1 e

n = n. , n = 1, 2, 3, ..., m

n = 0, para n B

e n = m., para n B

Estado: 0 1

1 2

0 1

m–1

m

m

m+1

m

m+1

m-1

m-2 m-1

m+2

b

m+1 k-1

B

SISTEMA DE FILA M/M/M/B - DIAGRAMA DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS

Estado = quantidade de clientes no sistemaSistema M/M/m/B , onde: B(buffers) m(servers)

Estado: 0 1 m–1 m m+1

. m. m. m. m.

m.

B

SISTEMA DE FILA M/M/M/B

o Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidor ocupado:

n1

n!

p0 1

m!1

1 Bm1 m m m1

m n 1

p0n!m n

pn

p0m!

m n

n m

o Probabilidade de haverem n clientes no sistema:

Para n < m:

Para m ≤ n ≤ B: p

o Quantidade de clientes na fila:

o Tempo de espera na fila:

B

nq (n m) pn

nm1

'

nq

w

CASOS PARTICULARES DO SISTEMA M/M/M/B

o O sistema M/M/m/B pode originar dois tipos de sistemas de fila:o Sistema M/M/m/m, onde m=B, que é aplicável a

sistemas de capacidade m e quantidade de servidores m, sem espaço de espera. Cada um dos m servidores comporta um cliente

o Sistema M/M/1/B, onde m=1, que é aplicável a sistemas de capacidade B e 1 servidor. Ou seja, B- 1 posições de espera

SISTEMA DE FILA M/M/N/N/Ko Sistema representado esquematicamente conforme a

figura:

2

K

1

2

N

1

n.

o Sistema com N servidores, população K finita (onde: K N). Sem espaço de espera

o A taxa de serviço possui distribuição exponencialo Em dado instante, existirão n clientes (onde: 0 ≤ n ≤ N)

e cada um será atendido por um único servidoro Se n > N, pode haver rejeição de clientes (bloqueio)

SISTEMA DE FILA M/M/N/N/K

Pode ser utilizado para modelar:– Uma central telefônica com K assinantes entradas e

N troncos de saída– Uma ERB com K usuários e N frequências de RF

(canais)

SISTEMA DE FILA M/G/1

o Sistema de fila onde a taxa de serviço atende a distribuição Geral

o Pode ser utilizado, por exemplo, para modelar o tráfego em:o Sistemas com prioridade não preemptivoso Sistemas onde o tempo de serviço está dividido

em classes conhecidas

SISTEMA DE FILA M/G/1

o Quantidade de clientes no sistema:

o Tempo de residência no sistema:

o Tempo de espera na fila:

o Um caso particular do sistema M/G/1 é o M/D/1(sistema determinístico), onde: =0

2 2

1 1 1 2

n 1

r

1 1 2 2

1 2

n

w r s

PRATICANDO Porque analisar diferentes modelos?

OBTENÇÃO DE DADOS Dados:

É preciso estimar valores para a o tempo médio entre duas chegadas de automóveis no sistema e para o tempo médio de uma lavação.

Tais informações podem ser obtidas de duas possíveis fontes: das estimativas do proprietário; amostragem realizada no sistema.

Possível ser feito uma analise “grosseira” a partir de estimativas. Normalmente é usado a distribuição exponencial

para o processo de chegadas.

EXEMPLO CARWASH Ideia:

Carros em fila para lavagem. Objetivo:

Analisar se um posto de atendimento é suficiente,

Testar outros modelos, Encontrar n ótimo.

EXEMPLO SUPERMARKET Ideia:

Primeiro é necessário passar as compras e depois pagar em outro local.

Objetivo: Analisar se um posto de atendimento é suficiente, Testar outros modelos, Encontrar n ótimo.

EXEMPLO FABRICA DE PIPAS Exemplo Paulo Freitas Objetivo:

Analisar o comportamento de uma fábrica.

DADOS

DADOS

DADOS

BIBLIOGRAFIA http://www.lee.eng.uerj.br/~gil/filas/Filas.pdf Introdução a Simulação de Sistemas – Clovis

Filho Introdução à Modelagem e Simulação de

Sistemas – Paulo Freitas http://www.deinf.ufma.br/~mario/grad/filas/filas.

pdf http://

digituma.uma.pt/bitstream/10400.13/48/1/MestradoCl%C3%A1udiaPereira.pdf

http://www.uff.br/anibalvilcapoma/aulas/03-Simulacao/APOSTILA_ARENA_11.pdf