Lista de Exercícios: Mudança de Base

Professor: Data:

Aluno:

1. Para cada um dos seguintes itens, encon-

tre a matriz de transição correspondente à

mudança de base de {~u1, ~u2} para a base

canônica {(1 0)t, (0 1)t}:

(a) {(1 1)t, (−1 1)t}

R. :

1 −1

1 1

(b) {R. : (1 2)t, (2 5)t}

R. :

1 2

2 5

(c) {R. : (0 1)t, (1 0)t}

R. :

0 1

1 0

2. Para cada uma das bases ordenadas {~u1, ~u2}

do exercício anterior, encontre uma matriz

de mudança da base canônica para a base

{~u1, ~u2}.

(a) R.: 1/2 1/2

−1/2 1/2

(b) R.: 5 −2

−2 1

(c) R.: 0 1

1 0

3. Seja ~v1 = (3 2)t e ~v2 = (4 3)t. Para cada base

ordenada {~u1, ~u2}, ache a matriz de transição

de {~v1, ~v2} para {~u1, ~u2}.

(a) R.: 5/2 7/2

−1/2 −1/2

(b) R.: 11 14

−4 −5

(c) R.: 2 3

3 4

4. Seja β = {(5 3)t, (3 2)t

} e sejam ~x = (1 1)t,

~y = (1 − 1)t e ~z = (10 7)t. Determine

os valores de [~x]β, [~y]β e [~z]β. R.: [~x]β =

(−1 2)t, [~y]β = (5 − 8)t, [~z]β = (−1 5)t

5. Sejam ~u1 = (1 1 1)t, ~u2 = (1 2 2)t e ~u3 =

(2 3 4)t.

(a) Encontre a matriz de mudança da base

canônica de R3 para a base {~u1, ~u2, ~u3};

R.:

2 0 −1

−1 2 −1

0 −1 1

(b) Encontre as coordenadas dos seguintes

vetores com relação a {~u1, ~u2, ~u3}:

i. (3 2 5)t; R.: (1 − 4 3)t

ii. (1 1 2)t; R.: (0 − 1 1)t

iii. (2 3 2)t; R.: (2 2 − 1)t

6. Sejam ~v1 = (4 6 7)t, ~v2 = (0 1 1)t e ~v3 =

(0 1 2)t e os vetores ~u1, ~u2, ~u3 do problema

anterior.

(a) Encontre a matriz de mudança da base

{~v1, ~v2, ~v3} para a base {~u1, ~u2, ~u3}; R.:1 −1 −2

1 1 0

1 0 1

(b) Se ~x = 2~v1 + 3~v2 − 4~v3, determine as co-

ordenadas de ~x em relação à {~u1, ~u2, ~u3}.

R.: (7 5 − 2)t

7. Dados

~v1 = (1 2)t, ~v2 = (2 3)t, S =

3 5

1 −2

.Encontre vetores ~w1 e ~w2 tal que S seja a ma-

triz de mudança de base de {~w1, ~w2} para

{~v1, ~v2}. R.: ~w1 = (5 9), ~w2 = (1 4)t

8. Dados

~v1 = (2 6)t, ~v2 = (1 4)t, S =

4 1

2 1

.

Encontre vetores ~w1 e ~w2 tal que S seja a

matriz de mudança de base de {~v1, ~v2} para

{~w1, ~w2}. R.: ~w1 = (0 − 1, ~w2 = (1 5)t

9. Sejam [x, 1] e [2x−1, 2x+1] bases ordenadas

para P2.

(a) Encontre a matriz de mudança da base

[2x − 1, 2x + 1] para [x, 1]. R.:

2 22

−1 1

(b) Encontre a matriz de mudança da

base [x, 1] para [2x − 1, 2x + 1]. R.:1/4 −1/2

1/4 1/2

10. Encontre a matriz de mudança da base

[1, x, x2] para a base [1, 1 + x, 1 + x + x2]. R.:1 −1 0

0 1 −1

0 0 1