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Porto Alegre - RS, 2015/1, Método de Hardy-Cross, Slide 1/32

Máquinas de Fluxo I (ENG03332) - www.ufrgs.br/maqflu

Prof. Alexandre Vagtinski de Paula - [email protected] Federal do

Rio Grande do Sul www.ufrgs.br

Departamento de Engenharia Mecânicawww.ufrgs.br/demec

Material de apoio à disciplina

Máquinas de Fluxo I (ENG03332)

Método de Hardy-Cross

www.ufrgs.br/maqflu

Prof. Alexandre Vagtinski de [email protected]






Cálculo da perda de carga - Na fórmula de Darcy-Weisbach (ou fórmula universal) necessitamosdo valor de f, que nem sempre é transladável de uma situação paraoutra.

2

2VDLfj = Equação de Darcy-Weisbach

- Na verdade podemos apresentar esta equação de diversas formas:

2

2VDLfj =

2

2VDLfj ρ=

gV

DLfj2

2=

[J/kg]

[Pa]

[m] - Representação americana

- Representação alemã2KQj =

2






- Diversos engenheiros e pesquisadores buscaram desenvolverequações empíricas a partir de observações práticas para solucionareste problema.

- De modo geral, podemos escrever a equação de Darcy como:

p

n

DVKj =

- Na verdade, para escoamento turbulento, a perda de carga nãovaria exatamente com o quadrado da velocidade, mas sim com umapotência que varia normalmente entre 1,75 e 2.

- Darcy adotou um expoente 2 por questões de praticidade:

2, == nKQj nRepresentação alemã:

Escoamento n pLaminar 1 2

Turbulento 2 1






- Se realizarmos uma rápida pesquisa observaremos mais de 100fórmulas empíricas para o cálculo da perda de carga.

*Tabela extraída da obra de Azevedo Netto, J. M., 1998, “Manual de Hidráulica”, 8ª edição, Edgard Blücher, São Paulo, pp. 142.

Algumas fórmulas práticasAno Autor País Ano Autor País

1 1775 Chézy França 21 1877 Fanning Estados Unidos2 1779 Dubuat França 22 1877 Hamilton Smith Estados Unidos3 1791 Woltmann Alemanha 23 1878 Colombo França4 1796 Eytekweub Alemanha 24 1878 Darrach Estados Unidos5 1800 Coulomb França 25 1880 Ehrmann Alemanha6 1802 Eisenmann Alemanha 26 1880 Iben Alemanha7 1804 Prony França 27 1881 Franck Alemanha8 1825 D’Aubuisson França 28 1883 Reynolds Inglaterra9 1828 Tadini Itália 29 1884 Thrupp Inglaterra10 1845 Weisbach Alemanha 30 1886 Unwin Estados Unidos11 1851 Saint Venant França 31 1887 Stearbs-Brusch Estados Unidos12 1854 Hagen Alemanha 32 1889 Geslian França13 1855 Dupuit França 33 1889 Tutton Inglaterra14 1855 Leslie Inglaterra 34 1890 Manning Irlanda15 1855 Darcy França 35 1892 Flamant França16 1867 Ganguillet-Kutter Suiça 36 1896 Lang Alemanha17 1867 Levy França 37 1898 Fornié França18 1868 Bresse França 38 1902 Hiran-Mills Estados Unidos19 1868 Gauckler França 39 1903 Christen Estados Unidos20 1873 Lampe Alemanha 40 1903 Hazen-Williams Estados Unidos

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- Estas fórmulas já completaram um século.

- A indústria de materiais e as técnicas de fabricação evoluírambastante desde então.

- Em 1903, Allen Hazen e Gardner S. Williams propuseram umafórmula prática, fruto de cuidadoso estudo estatístico e de amplaaceitação, devido ao uso e às conformações experimentais:

Coeficiente adimensional(Tabelado)

87,485,1

85,1643,10DCQj = Fórmula de Hazen-Williams

no S.I.[m]

[m³/s]

[m/m]

Como são os tubos hoje?

- Superfície interna mais homogênea e favorável ao escoamento- São mais longos (menor número de juntas)- Melhor conhecimento dos processos de corrosão

85,1, == nKQj nRepresentação alemã:






- Assim, a fórmula de Hazen-Williams é teoricamente correta, pois asoma dos expoentes “n” e “p”, que é 3,02, apresenta uma diferençadesprezível sobre o valor teórico.- Os expoentes “n” e “p” foram escolhidos de maneira que:

Coeficiente C- Tenha menor variação para tubos de mesmo grau de rugosidade- É praticamente uma função exclusiva da natureza das paredes- Este é um bom parâmetro para se estimar o envelhecimento dos tubos


Expressões propostas e a relação entre os expoentes de “V” e “D”

Autor Fórmula(aspecto geral)

Expoentes de Soma dos expoentes“V” “D”

Darcy j = K1 V2/D 2 1 3Levy-Vallot j = K2 V2/D1,33 2 1,33 3,33Manning j = K3 V2/D1,33 2 1,33 3,33Flamant j = K4 V1,75/D1,25 1,75 1,25 3Biegeleisen-Bukowsky j = K5 V1,9/D1,1 1,9 1,1 3Lawford j = K6 V1,87/D1,127 1,87 1,127 2,997Scobey j = K7 V2/D1,25 2 1,25 3,25Fair, Whipple e Hsiao j = K8 V1,88/D1,12 1,88 1,12 3Hazen-Williams j = K9 V1,85/D1,17 1,85 1,17 3,02

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Valor do coeficiente C sugerido para a fórmula de Hazen-Williams*

Tubos Novos Usados± 10 anos

Usados± 20 anos

Aço corrugado (chapa ondulada) 60 - -Aço galvanizado roscado 125 100 -Aço rebitado, novos 110 90 80Aço soldado, comum (revestimento betuminoso) 125 110 90Aço soldado com revestimento epóxico 140 130 115Chumbo 130 120 120Cimento-amianto 140 130 120Cobre 140 135 130Concreto, bom acabamento 130 - -Concreto, acabamento comum 130 120 110Ferro fundido, revestimento epóxico 140 130 120Ferro fundido, revestimento de argamassa de cimento 130 120 105Grés cerâmico, vidrado (manilhas) 110 110 110Latão 130 130 130Madeira, em aduelas 120 120 110Tijolos, condutos bem executados 100 95 90Vidro 140 140 140Plástico (PVC) 140 135 130






Solução de problemas típicos de escoamentos em tubos - Sistemas de passo único (de uma trajetória) - SIMPLES

- Conhecida a vazão, determinar a perda de carga- Conhecidos o comprimento e o diâmetro, determinar a vazão- Conhecidos o comprimento e a vazão, determinar o diâmetro

- Sistemas de múltiplos passos (de múltiplas trajetórias) - COMPLEXOS

Reservatório

12

34

56

78

9

10

11

Condutos principais(alimentam os secundários)

- são de maior diâmetro

Condutos secundários(abastecem diretamente os

pontos de consumo)- são de menor diâmetro Nó

Reservatório

Anel externo

Malha

- Redes seccionadas ou ramificadas (derivações múltiplas)

- Redes fechadas ou malhadas

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Dimensionamento de redes fechadas segundo o método deHardy-Cross

-É um método de dimensionamento de redes fechadas dedistribuição, aplicado aos condutos principais dispostos em anéis oucircuitos fechados.-Não se destina ao estudo de redes tipicamente ramificadas.-Utiliza um processo iterativo de tentativas diretas.-A convergência dos erros é rápida (geralmente se obtém precisõessatisfatórias nos resultados após apenas 3 iterações).- São comumente aplicadas através de duas modalidades:

- ajuste das vazões (usaremos esta modalidade).- ajuste das perdas de carga.

- Redes fechadas de distribuição têm a vantagem de permitir maisde um caminho de acesso para a maior parte dos pontos deretirada, mas são mais complexas de dimensionar.






1) Definir os nós, anéis ou circuitos fechados e tubos

letras números romanos números arábicos

ETAPAS E CONVENÇÕES:

QL1, D1

L2, D2

QL1, D1

L2, D2

nó A nó BAnel I

tubo 1

tubo 2

2) Assumir uma direção inicial e as vazões iniciais (Qo) do escoamento, de modo que:

Sentido horário = Q positivaSentido anti-horário = Q negativa

QL1, D1

L2, D2

nó A nó BAnel I

tubo 1

tubo 2

+Q1

-Q2

a) Em cada nó, o somatório das vazões deve ser igual a zero:

b) As vazões que CHEGAM em um nó são POSITIVAS,e as que SAEM são NEGATIVAS.c) Os sinais das vazões e das perdas decarga são dados conforme o sentido horário:

0=∑ nóQ

Q = Qchegam ao nó

saem do nó

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3) Calcular as perdas de carga em cada circuito fechado:

Coeficiente adimensional(Tabelado)

87,485,1

85,1643,10DCQj = Eq. de Hazen-Williams

no S.I.

- Após assumir as vazões iniciais do escoamento, em cada aneldeve ser verificada a condição Σ j = 0, ou seja, qualquer que seja opercurso a pressão resultante em cada nó deve ser a mesma.

- Porém, dadas as aproximações, isso não se verifica, exigindo umacorreção das vazões nos trechos de cada anel.

Em cada anel, o somatório das perdas de carga deve ser igual a zero

[m/m]






- Escrevendo a perda de carga ao longo de um trecho como

nKQj =, a perda de carga total em cada circuito fechado fica:

0≠=∑∑ nKQj- Para cada trecho, podemos adotar uma correção ∆, de modo que

( ) 00 =Δ+== ∑∑∑ nn QKKQjΔ+= 0QQ

- Utilizando o binômio de Newton para determinar ∆, temos:

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Δ

−+Δ+=Δ+ −− ...

2.11 22

01

000nnnn QnnnQQKQK

7






- Isolando ∆, temos:∑∑

∑∑ −

=−

=Δ −

0

0

0

10

0

QQnK

KQnKQ

KQn

n

n

n

- Como o valor de ∆ é pequeno em relação a Q0, os termos quecontém ∆ elevados a uma potência igual ou superior a 2 sãodesprezados:

( ) 0100 =Δ+∑ −nn nQQK

- Como nKQj 00 = ∑∑−=Δ

0

0

0

Qjn

j






4) Usando a fórmula de Hazen-Williams, onde n=1,85, calcula-se ∆:

∑∑−=Δ

0

0

0

85,1Qj

j

5) Realiza-se um processo iterativo, até que ∆ assuma um valordesejado (próximo de zero).

COMENTÁRIO- As perdas de carga localizadas podem ser desprezadas nastubulações longas cujo comprimento exceda cerca de 4000 vezeso diâmetro (linhas adutoras, redes de distribuição, etc.).- São ainda desprezíveis nas canalizações em que a velocidade ébaixa e o número de peças especiais não é grande.- Tais perdas devem ser consideradas em instalações prediais,encanamentos de recalque e em condutos forçados de usinashidrelétricas.

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Exemplo 1: Qual será a vazão em cada tubo do circuito abaixo,usando o método de Hardy-Cross? O tubo é novo e de PVC.

Q = 100 l/s

L = 100 m, D = 20 cm

L = 85 m, D = 30 cm

Solução:-Antes de qualquer procedimento, transformar TODAS as unidades para o S.I.

Q = 0,1 m³/s

L = 100 m, D = 0,2 m

L = 85 m, D = 0,3 m







Q = 0,1 m³/snó A nó B

Anel I

tubo 1

tubo 2

L1 = 100 mD1 = 0,2 m

L2 = 85 mD2 = 0,3 m


+Q1

-Q2

Q = 0,1 m³/snó A nó BAnel I

tubo 1

tubo 2

L1 = 100 mD1 = 0,2 m

L2 = 85 mD2 = 0,3 m

+Q1 = 0,04 m³/s

-Q2 = 0,06 m³/s

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3) Calcular as perdas de carga em cada circuito fechado:

Coeficiente adimensional: Para um tubo novo de PVC, C = 140.

87,485,1

85,1643,10DCQj = Eq. de Hazen-Williams

no S.I.

4) Usando a fórmula de Hazen-Williams,onde n=1,85, calcula-se ∆: ∑

∑−=Δ

0

0

0

85,1Qj

j

5) Realiza-se um processo iterativo, até que ∆ assuma um valordesejado (próximo de zero).

Estimativainicial 1ª iteração

Tubo D [m] L [m] C Q0 [m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆1 0,2 100 140 0,04 0,0075 0,7 18,7

-0,0142 0,3 85 140 -0,06 -0,0022 -0,2 3,1

0,1 0,6 21,8Σ|Q0| Σ j Σ j/Q

[m/m]

Q [m³/s]

0,026170-0,073830

0,1Σ|Q0|







Q0 [m³/s] Q1 [m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆0,04 0,026170 0,0034 0,3 13,1

-0,00215-0,06 -0,073830 -0,0032 -0,3 3,70,1 0,1 0,067 16,8Σ|Q0| Σ|Q0| Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,024022-0,075978

0,1Σ|Q0|

3ª iteraçãoQ2 [m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆0,024022 0,0029 0,3 12,1

-0,000067-0,075978 -0,0034 -0,3 3,8

0,1 0,002 16,0Σ|Q0| Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,023954-0,076046

0,1Σ|Q0|

10






DICA:O sinal da vazão deve ir junto a tabela de cálculo, para indicar o sentido do

escoamento. Porém, na hora do cálculo, cuidar o sinal da vazão:

No Excel: j = SINAL(Q)*((10,643*ABS(Q)1,85)/(C1,85*D4,87))

Utilização de planilhas eletrônicas nas soluções

Estimativainicial 1ª iteração 2ª iteração Final

Tubo D [m] L [m] C Q0 [m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆ Q1 [m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆ Q [m³/s]

1 0,2 100 140 0,04 0,0075 0,7 18,7-0,014

0,02617 0,0034 0,3 13,1-0,002

0,0240222 0,3 85 140 -0,06 -0,0022 -0,2 3,1 -0,07383 -0,0032 -0,3 3,7 -0,075978

0,1 0,6 21,8 0,1 0,067 0,1Σ|Q0| Σ j Σ j/Q Σ|Q0| Σ j Σ j/Q Σ|Q0|

Q = 0,1 m³/s

L = 100 m, D = 0,2 m

L = 85 m, D = 0,3 m

- Qual será a vazão em cada tubo docircuito abaixo, usando o método deHardy-Cross? O tubo é novo e de PVC.






Exemplo 2: Qual será a vazão em cada tubo do circuito abaixo,usando o método de Hardy-Cross? Considerar C = 120.

Q = 15 ft³/s 5 ft³/s

5 ft³/s5 ft³/s

D = 18 in, L = 1500 ft

D = 15 in, L = 1500 ft

D = 12 in, L = 1500 ft

D = 12 inL = 500 ft

D = 15 inL = 500 ft

D = 10 inL = 500 ft

D = 12 inL = 500 ft

11






Q = 15 ft³/s 5 ft³/s

5 ft³/s5 ft³/s

D = 18 in, L = 1500 ft

D = 15 in, L = 1500 ft

D = 12 in, L = 1500 ft

D = 12 inL = 500 ft

D = 15 inL = 500 ft

D = 10 inL = 500 ft

D = 12 inL = 500 ft

nó A nó B

nó D nó C

nó F nó E

Anel I

Anel II

tubo 1tubo 2tubo 3

tubo 4

tubo 5tubo 6

tubo 7







Q = 15 ft³/s 5 ft³/s

5 ft³/s5 ft³/s

D = 18 in, L = 1500 ft

D = 15 inL = 1500 ft

D = 12 in, L = 1500 ft

D = 12 inL = 500 ft

D = 15 inL = 500 ft

D = 10 inL = 500 ft

D = 12 inL = 500 ft

nó A nó B

nó D nó C

nó F nó E

Anel I

Anel II

tubo 1

tubo 2tubo 3

tubo 4

tubo 5tubo 6

tubo 7


-3 ft³/s

2 ft³/s

7 ft³/s

-4 ft³/s

8 ft³/s

-7 ft³/s 3 ft³/s

4 ft³/s

Começar por uma

extremidade a jusante

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3) Calcular as perdas de carga em cada circuito fechado, até que as aproximações ∆ assumam um valor desejado (próximo de zero):

Estimativainicial


Anel Tubo D [in] L [ft] D [m] L [m] C Q0 [ft³/s] Q0 [m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆Q

I

1 18 1500 0,4572 457,2 120 8 0,22653 0,0044 2,0 8,9 -0,00252 12 500 0,3048 152,4 120 3 0,08495 0,0052 0,8 9,3 -0,00253 15 500 0,3810 152,4 120 -7 -0,19822 -0,0083 -1,3 6,4 -0,00254 15 1500 0,3810 457,2 120 -4 -0,11327 -0,0030 -1,4 12,0 0,0471

0,0 0,2 36,5Σ|Q0| Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,2240360,082452-0,200717-0,066198

II

4 15 1500 0,3810 457,2 120 4 0,11327 0,0030 1,4 12,0 -0,04715 10 500 0,2540 152,4 120 7 0,19822 0,0601 9,2 46,2 -0,04966 12 500 0,3048 152,4 120 2 0,05663 0,0024 0,4 6,6 -0,04967 12 1500 0,3048 457,2 120 -3 -0,08495 -0,0052 -2,4 27,8 -0,0496

10 0,31149 8,5 92,5Σ|Q0| Σ|Q0| Σ j Σ j/Q

0,0661980,1486500,007066-0,134518

Recebe a correção dos dois anéis

Mesmo tubo: sinais trocados






2ª iteraçãoQ1 [m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆Q

0,224036 0,0043 2,0 8,8 -0,015350,082452 0,0049 0,7 9,0 -0,01535-0,200717 -0,0085 -1,3 6,5 -0,01535-0,066198 -0,0011 -0,5 7,6 0,01304

0,9 31,9Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,2086870,067102-0,216066-0,053154

0,066198 0,0011 0,5 7,6 -0,013040,148650 0,0353 5,4 36,2 -0,002300,007066 0,0001 0,0 1,1 -0,00230-0,134518 -0,0121 -5,5 41,0 -0,00230

0,368 85,9Σ j Σ j/Q

0,0531540,1463450,004761-0,136823


13






3ª iteraçãoQ2 [m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆Q

0,208687 0,0038 1,7 8,3 -0,007580,067102 0,0033 0,5 7,6 -0,00758-0,216066 -0,0098 -1,5 6,9 -0,00758-0,053154 -0,0007 -0,3 6,3 0,00842

0,4090 29,0Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,2011100,059526-0,223642-0,044733

0,053154 0,0007 0,3 6,3 -0,008420,146345 0,0343 5,2 35,7 0,000840,004761 0,0000 0,0 0,8 0,00084-0,136823 -0,0125 -5,7 41,6 0,00084

-0,1326 84,4Σ j Σ j/Q

0,0447330,1471900,005606-0,135978







Outros exemplos

*Figura extraída da obra de Evett, J. B. e Liu, C., 1989, “2500 Solved Problems in Fluid Mechanics and Hydraulics”, Schaum’s Solved Problems Series”,Revised First Edition, McGraw-Hill, pp. 320.

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Outros exemplos







Outros exemplos


15






Outros exemplos







Outros exemplos


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- Referências

- Na preparação deste material foram utilizadas as seguintes referências:

OBS.: Algumas das figuras que acompanham os slides deste capítulopossuem um link para acesso e podem conter direitos autorais.

- Netto, J. M. A., 1998, “Manual de Hidráulica”, 8ª edição, EdgardBlücher, São Paulo, 669 p.

- Giles, R. V., 1967, “Mecânica dos Fluidos e Hidráulica”, Ao LivrosTécnicos S. A., Rio de Janeiro, 401 p.

- Evett, J. B. and Liu, C., 1989, “2500 Solved Problems in FluidMechanics and Hydraulics”, Schaum’s Solved Problems Series”,Revised First Edition, McGraw-Hill, 797 p.






- As imagens da capa (primeiro slide) deste material foram retiradas dosseguintes endereços eletrônicos em fevereiro de 2015, e podem conterdireitos autorais:

www.grs-ltd.co.uk/grsltd/wp-content/uploads/2013/06/5266171_print.jpg

www.directindustry.com/prod/soler-palau/axial-fans-circular-ducts-14160-584670.html

www.tecnocino.it/wp-galleryo/hovercraft-militare/hovercraft.jpg

s.hswstatic.com/gif/artificial-heart-abiocor-hand.jpg

www.sulzer.com/en/-/media/Media/Images/ProductsAndServices/PumpsAndSystems/Single_Stage_Pumps/BA/BA_end_suction_single_stage_centrifugal_pump.jpg?mw=690

2.bp.blogspot.com/-4hrKgSCITIU/UI0fsJLiX_I/AAAAAAAAAWg/1UuIf6ckGn0/s320/turbina.jpg

www.rockridgewindmills.com/faq/FAQ4.jpg

img.directindustry.com/images_di/photo-mg/centrifugal-fan-low-pressure-14160-6463601.jpg

www.adsadvance.co.uk/media/images/RR%20Trent%20XWB_tcm239-17683%5B1%5D.jpg

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