cálculo de uma rede emalhada pelo método de hardy cross

Licenciatura em Engenharia Civil Disciplina de Hidrulica I

Professora Carla Correia

Trabalho Prtico 11

Clculo de Uma Rede Emalhada pelo Mtodo de Hardy Cross

Hugo Nunes n 16335

13 de Dezembro de 2011

Hidrulica I

ii

ndice

ndice ............................................................................................................................... ii

ndice de Figuras ............................................................................................................ iii

ndice de Tabelas ............................................................................................................iv

1. Introduo ............................................................................................................. 1

2. Distribuio de Caudais ......................................................................................... 1

2.1. Arbtrio do sentido do escoamento e dos caudais iniciais ............................ 1

2.2. Atribuio dos dimetros s condutas .......................................................... 2

2.3. Atribuio dos comprimentos s condutas ................................................... 4

2.4. Mtodo Iterativo de Hardy Cross .................................................................. 5

2.5. Resultados ..................................................................................................... 6

3. Presses nos Ns 4 e 5 .......................................................................................... 8

4. Concluso .............................................................................................................. 9

5. Referncias .......................................................................................................... 10

6. Anexos ................................................................................................................. 11

Hidrulica I

iii

ndice de Figuras

Figura 2.1 - Esquema da rede com os caudais (m3/s) e sentidos de escoamento iniciais .. 2

Figura 2.2 - Rede emalhada com os dimetros internos (mm) atribudos ......................... 4

Figura 2.3 - Rede com os dimetros internos (mm) e comprimentos (m) escolhidos........ 5

Figura 2.4 - Tabelas utilizadas no processo iterativo de clculo ......................................... 5

Figura 2.5 Esquema da rede com os caudais (m3/s) e sentidos de escoamento finais.... 8

Hidrulica I

iv

ndice de Tabelas

Tabela 2.1 - Arbtrio de caudais e sentidos de escoamento ............................................... 2

Tabela 2.2 - Confirmao da equao da continuidade nos ns com os caudais iniciais ... 2

Tabela 2.3 - Velocidades mximas permitidas para cada dimetro ................................... 3

Tabela 2.4 - Valores da velocidade de escoamento, em funo do caudal e do dimetro interno da tubagem ............................................................................................................ 3

Tabela 2.5 - Dimetros internos escolhidos para a rede .................................................... 4

Tabela 2.6 - Comprimentos dos troos ............................................................................... 4

Tabela 2.7 Comparao dos valores iniciais e finais dos caudais .................................... 7

Tabela 2.8 - Comparao das velocidades finais de escoamento com as velocidades mximas permitidas ............................................................................................................ 7

Tabela 2.9 - Confirmao da equao da continuidade nos ns com os caudais finais ..... 8

Hidrulica I

1

1. Introduo

O mtodo de Hardy Cross um processo iterativo para a determinao de caudais em redes emalhadas de condutas, onde so conhecidos os caudais de entrada e sada na rede, mas no os caudais nos troos. Este mtodo foi publicado pela primeira vez em Novembro de 1936 pelo engenheiro estrutural norte-americano do mesmo nome, e veio revolucionar o desenho das redes municipais de abastecimento de gua. Antes da introduo deste processo, a resoluo de sistemas complexos de condutas era extremamente difcil devido relao no linear entre as perdas de carga e os caudais.

2. Distribuio de Caudais

O processo de distribuio dos caudais pelo mtodo de Hardy Cross partiu dos seguintes dados iniciais (consultar enunciado do trabalho prtico nos Anexos):

A gua entra na rede emalhada no n 1, com um caudal de 0,085 m3/s;

Os pontos de sada da gua so os ns 4, 5 e 8, com caudais de 0,020, 0,025 e 0,040 m3/s, respectivamente;

Apenas so consideradas perdas de carga contnuas;

A gua deve percorrer todos os troos da rede.

Designou-se:

Malha I a malha limitada pelos troos 1-2, 1-8, 2-7 e 7-8;

Malha II a malha dos troos 2-3, 2-7, 3-6 e 6-7;

Malha III a malha rectangular dos troos 3-4, 3-6, 4-5 e 5-6.

2.1. Arbtrio do sentido do escoamento e dos caudais iniciais

No arbtrio dos caudais iniciais nos troos e respectivos sentidos seguiu-se o princpio da continuidade, que impe a condio de ser nula a soma algbrica dos caudais em cada n, tendo que se verificar Qentrada = Qsada . Os caudais e sentidos arbitrados foram os seguintes:

Hidrulica I

2

Tabela 2.1 - Arbtrio de caudais e sentidos de escoamento

Troo Q0 (m3/s) Sentido

1-2 0,025 1 2

1-8 0,060 1 8

2-3 0,035 2 3

2-7 0,010 7 2

3-4 0,025 3 4

3-6 0,010 3 6

4-5 0,005 4 5

5-6 0,020 6 5

6-7 0,010 7 6

7-8 0,020 8 7

Figura 2.1 - Esquema da rede com os caudais (m3/s) e sentidos de escoamento iniciais

A verificao do princpio da continuidade confirmada pela tabela 2.2:

Tabela 2.2 - Confirmao da equao da continuidade nos ns com os caudais iniciais

N Qentrada (m3/s) Qsada (m

3/s)

1 0,085 0,025 + 0,060

2 0,025 + 0,010 0,035

3 0,035 0,025 + 0,010

4 0,025 0,020 + 0,005

5 0,005 + 0,020 0,025

6 0,010 + 0,010 0,020

7 0,020 0,010 + 0,010

8 0,060 0,040 + 0,020

2.2. Atribuio dos dimetros s condutas

Escolheram-se para o clculo da rede emalhada as tubagens de PVC Biomundial PVC-O, da classe de presso PN 12,5bar, da empresa Politejo (consultar folha do catlogo nos Anexos), sendo os dimetros internos disponveis: 105,6, 153,6, 192,2, 240,2, 302,6 e 384,6mm.

Hidrulica I

3

A velocidade limite imposta a cada troo, em funo do seu dimetro, est definida pelo Regulamento Geral dos Sistemas Pblicos e Prediais de Distribuio de gua e de Drenagem de guas Residuais (RGSPPDADAR) na equao v(D) = 0,127 D0,4, sendo v a velocidade mxima, em m/s, e D o dimetro interno da tubagem, em mm. Calcularam-se para os dimetros internos disponveis as velocidades mximas impostas pelo regulamento, com arredondamento s 5 casas decimais:

Tabela 2.3 - Velocidades mximas permitidas para cada dimetro

i (mm) vmx (m/s)

105,6 0,81897

153,6 0,95139

192,2 1,04065

240,2 1,13771

302,6 1,24782

384,6 1,37343

Calcularam-se tambm as velocidades de escoamento, em m/s, com arredondamento s 5 casas decimais, dos caudais arbitrados em 2.1, para os diferentes dimetros internos

disponveis, pela equao

:

Tabela 2.4 - Valores da velocidade de escoamento, em funo do caudal e do dimetro interno da tubagem

i (m)

0,1056 0,1536 0,1922 0,2402 0,3026 0,3846

Q0 (m3/s)

0,005 0,57089 0,26983 0,17233 0,11034 0,06953 0,04313

0,010 1,14178 0,53967 0,34467 0,22068 0,13905 0,08626

0,020 2,28356 1,07934 0,68934 0,44136 0,27810 0,17251

0,025 2,85445 1,34917 0,86167 0,55170 0,34763 0,21564

0,035 3,99623 1,88884 1,20634 0,77238 0,48668 0,30190

0,060 6,85068 3,23802 2,06802 1,32408 0,83430 0,51754

A vermelho marcaram-se as velocidades superiores s velocidades limite estabelecidadas pelo RGSPPDADAR indicadas na tabela 2.3, e a verde as velocidades correspondentes aos dimetros escolhidos para os diferentes caudais. A escolha destas tubagens justifica-se por serem as opes mais econmicas (com menor dimetro) e por simultaneamente garantirem as maiores velocidades permitidas.

Os dimetros internos atribudos aos troos foram ento os seguintes:

Hidrulica I

4

Tabela 2.5 - Dimetros internos escolhidos para a rede

Troo i (mm)

1-2 192,2

1-8 302,6

2-3 240,2

2-7 153,6

3-4 192,2

3-6 153,6

4-5 105,6

5-6 192,2

6-7 153,6

7-8 192,2

Figura 2.2 - Rede emalhada com os dimetros internos (mm) atribudos

2.3. Atribuio dos comprimentos s condutas

Arbitrou-se uma escala de 1:50000 para o esquema inicial indicado no enunciado do trabalho (consultar Anexos), atribuindo assim os comprimentos aos seguintes troos:

Tabela 2.6 - Comprimentos dos troos

Troo L (m)

1-2 1525

1-8 1175

2-3 825

3-4 1325

3-6 1175

4-5 1175

5-6 1325

6-7 1900

7-8 450

Determinou-se o comprimento do troo 2-7 medindo em Autocad a distncia entre os ns 2 e 7 aps o traado de todos os outros troos, chegando ao valor aproximado de 1592,56083m.

Hidrulica I

5

Figura 2.3 - Rede com os dimetros internos (mm) e comprimentos (m) escolhidos

2.4. Mtodo Iterativo de Hardy Cross

O processo iterativo de clculo foi realizado no Microsoft Office Excel, apresentando-se os resultados na forma de tabela. Para cada iterao foi utilizado um conjunto de trs tabelas:

Malha I

Troo D (m) L (m) Q0 (m3/s) J (m/m) H (m) H/Q0 (s/m

2) Q (m3/s) Q1(m3/s)

1-2 0,19220 1525,00000

1-8 0,30260 1175,00000

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083

7-8 0,19220 450,00000

= Malha II


2) Q (m3/s) Q1(m3/s)

2-3 0,24020 825,00000

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000

6-7 0,15360 1900,00000

= Malha III


2) Q (m3/s) Q1(m3/s)

3-4 0,19220 1325,00000

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000

4-5 0,10560 1175,00000

5-6 0,19220 1325,00000

=

Figura 2.4 - Tabelas utilizadas no processo iterativo de clculo

Todas as clulas foram formatadas para apresentarem os dados com arredondamento quinta casa decimal. As unidades utilizadas no decorrer do mtodo foram as indicadas nas tabelas (Sistema Internacional).

O procedimento foi o seguinte:

1. Arbitrou-se o sentido horrio como o sentido positivo para o escoamento em cada malha, em todas as iteraes.

2. Iniciou-se a 1 iterao preenchendo as colunas dos caudais iniciais (Q0) de acordo com o arbtrio praticado em 1.

3. As colunas correspondentes s perdas de carga unitrias (J) foram calculadas pela frmula de Hazen-Williams, sendo Q o caudal inicial:

Hidrulica I

6

Sendo indicado que C1=140 (valor da constante em tubagens de PVC), tem-se

,

utilizando para os valores negativos de Q0

.

4. Completaram-se as colunas das perdas de carga (H) ao longo dos troos contnuas pela equao , calculando para cada malha o somatrio das perdas de carga .

5. Preencheu-se a coluna seguinte com os resultados das divises H/Q0,

calculando tambm em cada malha o somatrio .

6. Para cada malha, determinou-se

.

Em todos troos no comuns a duas malhas, atribuiu-se este valor como o factor de correco do caudal (Q). Para os troos comuns a duas malhas (considere-se por exemplo um troo - , comum a duas malhas i e ii) determinaram-se os valores do factor atravs de

e de

.

7. Calcularam-se os caudais resultantes da 1 iterao (Q1) atravs da soma de colunas

. 8. Observou-se que no se satisfizeram as duas condies:

Todos os troos apresentarem factores de correco de caudal nulos (QTroo = 0,00000 m

3/s);

Todas as malhas verificarem ( H)Malha = 0,00000 m. Avanou-se para a iterao seguinte num novo conjunto de tabelas, repetindo os passos 3 a 7, mas substituindo os valores do caudal inicial Q0 pelos de Q1. Os caudais resultantes da 2 iterao ficaram designados como Q2. Este processo foi sucessivamente repetido at se verificarem ambas as condies em simultneo, o que se conseguiu ao fim da 16 iterao (as tabelas de todas as iteraes esto disponveis nos Anexos).

2.5. Resultados

Ao comparar o caudal inicial (Q0) com o caudal final (Q16, resultante da 16 iterao) em cada troo, observou-se que todos mantiveram os sinais arbitrados, no havendo necessidade de alterar nenhum sentido de escoamento:

Hidrulica I

7

Tabela 2.7 Comparao dos valores iniciais e finais dos caudais

Malha Troo Q0 (m3/s) Q16 (m

3/s)

I

1-2 0,02500 0,02478

1-8 -0,06000 -0,06022

2-7 -0,01000 -0,00773

7-8 -0,02000 -0,02022

II

2-3 0,03500 0,03251

2-7 0,01000 0,00773

3-6 0,01000 0,00939

6-7 -0,01000 -0,01249

III

3-4 0,02500 0,02312

3-6 -0,01000 -0,00939

4-5 0,00500 0,00312

5-6 -0,02000 -0,02188

Verificou-se tambm que as velocidades finais de escoamento (v16), determinveis pela

equao

, ainda verificavam a condio de serem inferiores s velocidades

mximas impostas pelo RGSPPDADAR:

Tabela 2.8 - Comparao das velocidades finais de escoamento com as velocidades mximas permitidas

Troo Q16 (m3/s) i (m) v16 (m/s) vmx (m/s)

1-2 0,02478 0,19220 0,85409 1,04065

1-8 0,06022 0,30260 0,83736 1,24782

2-3 0,03251 0,24020 0,71743 1,13771

2-7 0,00773 0,15360 0,41716 0,95139

3-4 0,02312 0,19220 0,79688 1,04065

3-6 0,00939 0,15360 0,50675 0,95139

4-5 0,00312 0,10560 0,35624 0,81897

5-6 0,02188 0,19220 0,75414 1,04065

6-7 0,01249 0,15360 0,67405 0,95139

7-8 0,02022 0,19220 0,69692 1,04065

Deste modo, foi possvel proceder ao traado do esquema da rede emalhada com os caudais e sentidos de escoamento finais:

Hidrulica I

8

Figura 2.5 Esquema da rede com os caudais (m3/s) e sentidos de escoamento finais

Constatou-se que, com todos os caudais corrigidos, ainda se verificava o princpio da continuidade nos ns:

Tabela 2.9 - Confirmao da equao da continuidade nos ns com os caudais finais

N Qentrada (m3/s) Qsada (m

3/s)

1 0,08500 0,02478 + 0,06022

2 0,02478 + 0,00773 0,03251

3 0,03251 0,02312 + 0,00939

4 0,02312 0,02000 + 0,00312

5 0,00312 + 0,02188 0,02500

6 0,01249 + 0,00939 0,02188

7 0,02022 0,00773 + 0,01249

8 0,06022 0,04000 + 0,02022

3. Presses nos Ns 4 e 5

O clculo das presses nos ns 4 e 5 (p4 e p5) foi feito a partir do n 1, tendo-se

H1 - H14 = H4 e H1 - H15 = H5 ,

e foi utilizado o Teorema de Bernoulli, desprezando a altura cintica, passando a

e

.

As perdas de carga H14 e H15 foram calculadas segundo dois percursos distintos cada uma. Na primeira utilizaram-se os percursos 1234 e 187654 e na segunda os percursos 12365 e 1872345. Sabendo que as perdas de carga contnuas ocorrem no sentido do escoamento, foi possvel conhecer os sinais das perdas de carga nos troos. Os valores (em mdulo) destas perdas de carga foram obtidos na tabela da ltima iterao realizada:

Hidrulica I

9

H14,a) = H12 + H23 + H34 = 5,64394 + 1,70479 + 4,31259 = 11,66132m

H14,b) = H18 + H78 + H67 + H56 H45 = 2,46854 + 1,14267 + 5,88770 + 3,89411 1,73170 = 11,66132m

H15,a) = H12 + H23 + H36 + H56 = 5,64394 + 1,70479 + 2,15017 + 3,89411 = 13,39301m

H15,b) = H18 + H78 + H27 + H23 + H34 + H45 = 2,46854 + 1,14267 + 2,03273 + 1,70479 + 4,31259 + 1,73170 = 13,39302m

Como em ambos os clculos da perda de carga H14 se chegou ao mesmo resultado, foi esse o valor escolhido para a perda. No caso de H15, tendo obtido dois resultados, o seu valor final foi a mdia de ambos:

H14 = 11,66132m

H15 = 13,393015m

Chegou-se assim a

e

.

Sabendo, pelo enunciado, que z1 = 72m, z4 = 48m, z5 = 40m e p1 = 92000Pa, e como = 9810 N/m3, substituiram-se estes valores nas equaes, obtendo deste modo os valores das presses nos dois ns:

.

4. Concluso

Apesar de j ter sido substitudo por processos de clculo mais avanados (algoritmos utilizados em computador), o mtodo de Hardy Cross ainda extremamente til por depender de operaes matemticas simples, evitando a necessidade de resolver complexos sistemas de equaes. Para alm disso, um mtodo que se auto-corrige, permitindo determinar os caudais correctos mesmo que tenham sido cometidos pequenos erros matemticos no processo, sendo at possvel desprezar casas decimais nas primeiras iteraes de modo a acelerar todo o processo de clculo.

Procurou realizar-se este trabalho de modo detalhado e cuidado para que possa vir a ser til em futuras consultas.

Hidrulica I

10

5. Referncias

Massey, B. S. (2002), Mecnica dos Fluidos. Fundao Calouste Gulbenkian. Lisboa.

Porto, R. M. (2006), Hidrulica Bsica. 4 Edio, revisada, EESC USP-Projeto REENGE. So Paulo.

Quintela, A. C. (2009), Hidrulica. 11 Edio, Fundao Calouste Gulbenkian. Lisboa.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy_Cross

http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy_Cross_method

Hidrulica I

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6. Anexos

1 Iterao

Malha I

Troo D (m) L (m) Q (m/s) J (m/m) H (m) H/Q (s/m) Q (m/s) Q (m/s)

1-2 0,19220 1525,00000 0,02500 0,00376 5,73679 229,47146 0,00092 0,02592

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06000 -0,00209 -2,45192 40,86530 0,00092 -0,05908

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,01000 -0,00205 -3,27159 327,15891 0,00291 -0,00709

7-8 0,19220 450,00000 -0,02000 -0,00249 -1,11982 55,99102 0,00092 -0,01908

= -1,10654 653,48668

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03500 0,00237 1,95395 55,82707 -0,00199 0,03301

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,01000 0,00205 3,27159 327,15891 -0,00291 0,00709

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,01000 0,00205 2,41380 241,37961 -0,00070 0,00930

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01000 -0,00205 -3,90316 390,31597 -0,00199 -0,01199

= 3,73617 1014,68155

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02500 0,00376 4,98442 199,37684 -0,00129 0,02371

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,01000 -0,00205 -2,41380 241,37961 0,00070 -0,00930

4-5 0,10560 1175,00000 0,00500 0,00353 4,14744 829,48748 -0,00129 0,00371

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02000 -0,00249 -3,29725 164,86245 -0,00129 -0,02129

= 3,42081 1435,10638

2 Iterao

Malha IMalha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02592 0,00402 6,13179 236,60900 -0,00093 0,02499

1-8 0,30260 1175,00000 -0,05908 -0,00203 -2,38310 40,33365 -0,00093 -0,06001

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00709 -0,00109 -1,73250 244,20797 -0,00086 -0,00795

7-8 0,19220 450,00000 -0,01908 -0,00228 -1,02677 53,80070 -0,00093 -0,02001

= 0,98941 574,95132

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03301 0,00213 1,75318 53,11105 -0,00007 0,03294

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00709 0,00109 1,73250 244,20797 0,00086 0,00795

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00930 0,00180 2,10948 226,87078 0,00041 0,00971

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01199 -0,00288 -5,46261 455,58438 -0,00007 -0,01206

= 0,13255 979,77417

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02371 0,00341 4,51917 190,58944 -0,00048 0,02323

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00930 -0,00180 -2,10948 226,87078 -0,00041 -0,00971

4-5 0,10560 1175,00000 0,00371 0,00203 2,38847 643,52573 -0,00048 0,00323

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02129 -0,00279 -3,70138 173,86782 -0,00048 -0,02177

= 1,09678 1234,85377

3 Iterao

Malha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02499 0,00376 5,73045 229,35489 -0,00001 0,02497

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06001 -0,00209 -2,45305 40,87395 -0,00001 -0,06003

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00795 -0,00134 -2,13993 269,12479 0,00033 -0,00762

7-8 0,19220 450,00000 -0,02001 -0,00249 -1,12137 56,02657 -0,00001 -0,02003

= 0,01611 595,38020

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03294 0,00212 1,74599 53,01080 -0,00034 0,03259

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00795 0,00134 2,13993 269,12479 -0,00033 0,00762

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00971 0,00194 2,28364 235,30268 -0,00032 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01206 -0,00291 -5,52446 457,95022 -0,00034 -0,01241

= 0,64510 1015,38849

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02323 0,00328 4,35118 187,29720 -0,00003 0,02320

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00971 -0,00194 -2,28364 235,30268 0,00032 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00323 0,00157 1,84806 571,89991 -0,00003 0,00320

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02177 -0,00291 -3,85744 177,20247 -0,00003 -0,02180

= 0,05816 1171,70225

4 Iterao

Malha IMalha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02497 0,00375 5,72424 229,24052 -0,00016 0,02482

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06003 -0,00209 -2,45415 40,88243 -0,00016 -0,06018

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00762 -0,00124 -1,97896 259,61561 -0,00014 -0,00777

7-8 0,19220 450,00000 -0,02003 -0,00250 -1,12288 56,06144 -0,00016 -0,02018

= 0,16825 585,80000

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03259 0,00208 1,71243 52,53960 -0,00001 0,03258

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00762 0,00124 1,97896 259,61561 0,00014 0,00777

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,14761 228,74806 0,00006 0,00945

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01241 -0,00306 -5,81923 469,03241 -0,00001 -0,01242

= 0,01977 1009,93568

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02320 0,00328 4,34188 187,11293 -0,00007 0,02314

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,14761 228,74806 -0,00006 -0,00945

4-5 0,10560 1175,00000 0,00320 0,00155 1,81974 567,85266 -0,00007 0,00314

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02180 -0,00292 -3,86625 177,38849 -0,00007 -0,02186

= 0,14777 1161,10215

5 Iterao

Malha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02482 0,00371 5,65851 228,02588 0,00000 0,02481

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06018 -0,00210 -2,46592 40,97248 0,00000 -0,06019

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00777 -0,00129 -2,04907 263,80689 0,00005 -0,00772

7-8 0,19220 450,00000 -0,02018 -0,00253 -1,13905 56,43138 0,00000 -0,02019

= 0,00447 589,23663

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03258 0,00207 1,71140 52,52507 -0,00006 0,03253

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00777 0,00129 2,04907 263,80689 -0,00005 0,00772

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00945 0,00185 2,17233 229,95566 -0,00005 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01242 -0,00307 -5,82842 469,37313 -0,00006 -0,01247

= 0,10438 1015,66075

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02314 0,00326 4,31807 186,64030 0,00000 0,02313

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00945 -0,00185 -2,17233 229,95566 0,00005 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00314 0,00149 1,74807 557,45224 0,00000 0,00313

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02186 -0,00294 -3,88888 177,86531 0,00000 -0,02187

= 0,00493 1151,91351

6 Iterao

Malha IMalha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02481 0,00371 5,65678 227,99381 -0,00002 0,02479

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06019 -0,00210 -2,46623 40,97485 -0,00002 -0,06021

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00772 -0,00127 -2,02401 262,31742 -0,00002 -0,00774

7-8 0,19220 450,00000 -0,02019 -0,00253 -1,13948 56,44113 -0,00002 -0,02021

= 0,02706 587,72722

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03253 0,00207 1,70600 52,44877 0,00000 0,03253

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00772 0,00127 2,02401 262,31742 0,00002 0,00774

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,14971 228,85124 0,00001 0,00940

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01247 -0,00309 -5,87680 471,16130 0,00000 -0,01247

= 0,00292 1014,77873

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02313 0,00326 4,31728 186,62440 -0,00001 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,14971 228,85124 -0,00001 -0,00940

4-5 0,10560 1175,00000 0,00313 0,00149 1,74568 557,10183 -0,00001 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02187 -0,00294 -3,88964 177,88135 -0,00001 -0,02188

= 0,02360 1150,45881

7 Iterao

Malha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02479 0,00370 5,64628 227,79896 0,00000 0,02479

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06021 -0,00210 -2,46812 40,98929 0,00000 -0,06021

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00774 -0,00128 -2,03536 262,99309 0,00001 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02021 -0,00254 -1,14209 56,50041 0,00000 -0,02021

= 0,00072 588,28174

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03253 0,00207 1,70585 52,44664 -0,00001 0,03252

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00774 0,00128 2,03536 262,99309 -0,00001 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00940 0,00183 2,15375 229,04905 -0,00001 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01247 -0,00309 -5,87816 471,21134 -0,00001 -0,01248

= 0,01680 1015,70012

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00326 4,31344 186,54820 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00940 -0,00183 -2,15375 229,04905 0,00001 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00148 1,73426 555,42219 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89330 177,95818 0,00000 -0,02188

= 0,00065 1148,97762

8 Iterao

Malha IMalha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02479 0,00370 5,64600 227,79380 0,00000 0,02478

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06021 -0,00210 -2,46817 40,98967 0,00000 -0,06022

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00773 -0,00128 -2,03132 262,75326 0,00000 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02021 -0,00254 -1,14215 56,50197 0,00000 -0,02022

= 0,00435 588,03871

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03252 0,00207 1,70498 52,43435 0,00000 0,03252

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00773 0,00128 2,03132 262,75326 0,00000 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,15009 228,86983 0,00000 0,00940

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01248 -0,00310 -5,88596 471,49908 0,00000 -0,01248

= 0,00043 1015,55653

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00326 4,31334 186,54610 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,15009 228,86983 0,00000 -0,00940

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00148 1,73394 555,37579 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89340 177,96030 0,00000 -0,02188

= 0,00379 1148,75202

9 Iterao

Malha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02478 0,00370 5,64431 227,76248 0,00000 0,02478

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06022 -0,00210 -2,46847 40,99199 0,00000 -0,06022

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00773 -0,00128 -2,03316 262,86240 0,00000 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02022 -0,00254 -1,14257 56,51150 0,00000 -0,02022

= 0,00011 588,12837

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03252 0,00207 1,70496 52,43404 0,00000 0,03251

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00773 0,00128 2,03316 262,86240 0,00000 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00940 0,00183 2,15075 228,90205 0,00000 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01248 -0,00310 -5,88616 471,50652 0,00000 -0,01249

= 0,00270 1015,70501

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00325 4,31272 186,53384 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00940 -0,00183 -2,15075 228,90205 0,00000 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00147 1,73211 555,10546 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89398 177,97266 0,00000 -0,02188

= 0,00009 1148,51401

10 Iterao

Malha IMalha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02478 0,00370 5,64427 227,76170 0,00000 0,02478

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06022 -0,00210 -2,46848 40,99205 0,00000 -0,06022

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00773 -0,00128 -2,03251 262,82363 0,00000 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02022 -0,00254 -1,14258 56,51174 0,00000 -0,02022

= 0,00070 588,08911

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03251 0,00207 1,70482 52,43206 0,00000 0,03251

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00773 0,00128 2,03251 262,82363 0,00000 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,15016 228,87313 0,00000 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01249 -0,00310 -5,88742 471,55280 0,00000 -0,01249

= 0,00006 1015,68162

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00325 4,31271 186,53353 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,15016 228,87313 0,00000 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00147 1,73206 555,09871 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89400 177,97297 0,00000 -0,02188

= 0,00061 1148,47833

11 Iterao

Malha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02478 0,00370 5,64400 227,75666 0,00000 0,02478

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06022 -0,00210 -2,46853 40,99242 0,00000 -0,06022

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00773 -0,00128 -2,03280 262,84126 0,00000 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02022 -0,00254 -1,14265 56,51327 0,00000 -0,02022

= 0,00002 588,10362

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03251 0,00207 1,70482 52,43201 0,00000 0,03251

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00773 0,00128 2,03280 262,84126 0,00000 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,15027 228,87837 0,00000 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01249 -0,00310 -5,88745 471,55391 0,00000 -0,01249

= 0,00043 1015,70555

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00325 4,31261 186,53156 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,15027 228,87837 0,00000 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00147 1,73177 555,05523 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89409 177,97496 0,00000 -0,02188

= 0,00001 1148,44011

12 Iterao

Malha IMalha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02478 0,00370 5,64399 227,75655 0,00000 0,02478

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06022 -0,00210 -2,46853 40,99243 0,00000 -0,06022

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00773 -0,00128 -2,03270 262,83499 0,00000 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02022 -0,00254 -1,14265 56,51330 0,00000 -0,02022

= 0,00011 588,09727

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03251 0,00207 1,70479 52,43170 0,00000 0,03251

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00773 0,00128 2,03270 262,83499 0,00000 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,15017 228,87370 0,00000 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01249 -0,00310 -5,88765 471,56135 0,00000 -0,01249

= 0,00001 1015,70174

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00325 4,31261 186,53151 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,15017 228,87370 0,00000 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00147 1,73176 555,05423 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89410 177,97500 0,00000 -0,02188

= 0,00010 1148,43445

13 Iterao

Malha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02478 0,00370 5,64395 227,75574 0,00000 0,02478

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06022 -0,00210 -2,46854 40,99249 0,00000 -0,06022

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00773 -0,00128 -2,03275 262,83784 0,00000 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02022 -0,00254 -1,14266 56,51355 0,00000 -0,02022

= 0,00000 588,09962

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03251 0,00207 1,70479 52,43169 0,00000 0,03251

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00773 0,00128 2,03275 262,83784 0,00000 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,15019 228,87456 0,00000 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01249 -0,00310 -5,88766 471,56151 0,00000 -0,01249

= 0,00007 1015,70560

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00325 4,31259 186,53120 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,15019 228,87456 0,00000 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00147 1,73171 555,04724 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89411 177,97532 0,00000 -0,02188

= 0,00000 1148,42831

14 Iterao

Malha IMalha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02478 0,00370 5,64395 227,75572 0,00000 0,02478

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06022 -0,00210 -2,46854 40,99249 0,00000 -0,06022

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00773 -0,00128 -2,03273 262,83683 0,00000 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02022 -0,00254 -1,14266 56,51356 0,00000 -0,02022

= 0,00002 588,09859

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03251 0,00207 1,70479 52,43164 0,00000 0,03251

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00773 0,00128 2,03273 262,83683 0,00000 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,15017 228,87380 0,00000 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01249 -0,00310 -5,88769 471,56271 0,00000 -0,01249

= 0,00000 1015,70498

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00325 4,31259 186,53119 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,15017 228,87380 0,00000 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00147 1,73171 555,04709 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89411 177,97533 0,00000 -0,02188

= 0,00002 1148,42742

15 Iterao

Malha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02478 0,00370 5,64394 227,75559 0,00000 0,02478

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06022 -0,00210 -2,46854 40,99250 0,00000 -0,06022

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00773 -0,00128 -2,03274 262,83729 0,00000 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02022 -0,00254 -1,14267 56,51360 0,00000 -0,02022

= 0,00000 588,09897

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03251 0,00207 1,70479 52,43164 0,00000 0,03251

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00773 0,00128 2,03274 262,83729 0,00000 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,15018 228,87394 0,00000 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01249 -0,00310 -5,88769 471,56273 0,00000 -0,01249

= 0,00001 1015,70560

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00325 4,31259 186,53114 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,15018 228,87394 0,00000 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00147 1,73170 555,04597 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89411 177,97538 0,00000 -0,02188

= 0,00000 1148,42643

16 Iterao

Malha IMalha I


1-2 0,19220 1525,00000 0,02478 0,00370 5,64394 227,75559 0,00000 0,02478

1-8 0,30260 1175,00000 -0,06022 -0,00210 -2,46854 40,99250 0,00000 -0,06022

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 -0,00773 -0,00128 -2,03273 262,83712 0,00000 -0,00773

7-8 0,19220 450,00000 -0,02022 -0,00254 -1,14267 56,51360 0,00000 -0,02022

= 0,00000 588,09881

Malha II


2-3 0,24020 825,00000 0,03251 0,00207 1,70479 52,43163 0,00000 0,03251

2-7 (comum) 0,15360 1592,56083 0,00773 0,00128 2,03273 262,83712 0,00000 0,00773

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 0,00939 0,00183 2,15017 228,87382 0,00000 0,00939

6-7 0,15360 1900,00000 -0,01249 -0,00310 -5,88770 471,56293 0,00000 -0,01249

= 0,00000 1015,70550

Malha III


3-4 0,19220 1325,00000 0,02312 0,00325 4,31259 186,53114 0,00000 0,02312

3-6 (comum) 0,15360 1175,00000 -0,00939 -0,00183 -2,15017 228,87382 0,00000 -0,00939

4-5 0,10560 1175,00000 0,00312 0,00147 1,73170 555,04595 0,00000 0,00312

5-6 0,19220 1325,00000 -0,02188 -0,00294 -3,89411 177,97538 0,00000 -0,02188

= 0,00000 1148,42629

cálculo de uma rede emalhada pelo método de hardy cross

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