Movimento em duas DimensesHidembergue Ordozgoith da Frota Departamento De Fsica Instituto de cincias Exatas Universidade Federal do Amazonas

MOVIMENTO EM DUAS DIMENSES Vetor Deslocamento

r rf tTrajetria da partcula

ri ti

tf

Vetor Velocidade Mdia

r rf tTrajetria da partcula

ri ti

tfr t

v

Vetor Velocidade InstantneaDireo de v em

r rf t tf

ri ti

v

limt

0

r t

dr dt

Vetor Acelerao Mdiav t vf tf ti vi

a

vf tf

vi ti

v t

Vetor Acelerao Instantneaa limt 0

v t

dv dt

Movimento Bidimensional com Acelerao Constanter=xi+yj v = vx i + vy j a = ax i + ay j vf = vxf i + vyf j r yTrajetria da partcula

Como a constante vf = (vxi + axt) i + (vyi + ayt) j= (vxi i+ vyi j) + (ax i+ ay j) t vf = vi + a t 0 x

y

Trajetria da partcula

xf yf

xi yi

1 v xi t a xt 2 2 1 v yi t a yt 2 2

yf

yi

ri

rf

0 xi

xf

x

rf rf rf

xi xi i ri

v xi t yi j

1 a xt 2 2

i

yi

v yi t

1 a yt 2 2

j

v xi i v yi j t

1 a xi a y j t 2 2

v it

1 2 at 2

vf vf v xf

vi a t v xf i v yf j v xi a xt

Em resumo

v yf

v yi

a yt

vf

v xi

a xt i1 2 at 2

v yi

a yt j

rfrf

ri

v it

xf i xf j

xfrf

xi v xi txi v xi t

1 2 a xt 21 a xt 2 2 i

yfyi

yi v yi tv yi t 1 a yt 2 2

1 a yt 2 2j

MOVIMENTO DE UM PROJTIL

Ambas as bolas tm o mesmo movimento na vertical. Percorrem a mesma distncia no mesmo intervalo de tempo. No vcuo, a velocidade na horizontal constante. A acelerao na vertical igual acelerao da gravidade.

Equao da trajetriaCon d ies d o M ovim en to n o P lan o v x v xi con stan te, ax 0 v y varivel ay gMovimento horizontal

v xi vi cos x v xi t

i

y

Movimento vertical

v yi y

vi sen v yi t

i

1 2 gt 2

x

x

Como y varia em funo de x ?

v xi v yi

vi cos vi s en

i i

t

x vi cosi i

i

x y

v xi t v yi t 1 2 gt 2

y

vi sen vi cos

1 x x g 2 vi cos

2

i

y

tan

i

x

g 2vi 2 cos 2

x2i

x y

vi cos vi sen

i i

t t 1 2 gt 2

Que a equao de uma parbola

Alcance mximox y R 0 vo cos vosen vo cos vosen0 0

t t t t 1 2 gt 2 1 2 gt 2 (1) (2)vox voy vo cos voseno o

0 0

Da segunda equao:

t

0;

t

2vosen g

0

Substituindo o resultado acima na primeira equao, encontramos:

R

2 2vo sen g

0 cos 0

R

2 vo sen2 g

0

ExerccioUm avio de resgate voa a 198km/h (=55m/s) a uma altura constante de 500m na direo de um ponto diretamente sobre uma vtima de um barco acidentado flutuando na superfcie da gua. O piloto deseja soltar a cpsula de salvamento de maneira que ela atinja a gua muito prximo da vtima. a) Qual deve ser o ngulo da linha de visada do piloto quando ele solta a cpsula? b) Qual a velocidade da cpsula quando ela atinge a gua em notao vetorial, bem como o seu mdulo e ngulo ?

x

Resposta Dados:vox 5 5m/ s h 5 0 0m ayo

g 0

9,8m/ s 2

vox 5 5m/ s h 5 0 0m ay0

g 0

9,8m/ s 2

a)x y

tan

1

x h0

vox cos vox sen

t t

x

500 t 10,1sx

1 2 gt 0 2 1 55sen0 t 9,8t 2 2

b) v x vyvy v

vo x vo co s o vo co s 0 5 5m/ s vos en o g t vos en 0 g t gt 55,0m/ s i

55cos 0 10,1

9,8 1 0,1

9 9,0m/ s

x 555,5m

99,0m/ s j

tan

1

555,5m 500m

48,0

v

(55,0) 2 (99,0) 2 113m/ s 99 1 vy t an t an 1 60,9 vx 55

ExerccioUm navio pirata encontra-se a 500m de um forte de defesa da entrada do porto de uma ilha. Um canho de defesa, localizado no nvel do mar, lana balas com velocidade inicialv0 82 m/s.

a) A que ngulo em relao a horizontal deve a bala ser lanada para atingir o navio?

b) A que distncia deve ficar o navio pirata para ficar fora do alcance das balas do canho?

RespostaDados:R 5 6 0m v0 8 2 m/ s .

a) R

2 vo sen 2 g

0

20

0

sen 27

1

gR 2 vo

sen

1

9,8 560 82 2

54,7

b) O alcance mximo quando2 vo R sen 2 g R 68 6m 0

o

452 vo g

2 vo sen 2 45 g

82 2 9, 8

Movimento circular uniforme v v xi v y j

cos sen

xp r yp r

vx v sen ; v y v cos v ( v sen )i (v cos ) j ady p dt a dv dt2 ax

dv dtvy;

v dy p i r dtdx p dt v vy i r

v dx p j r dtvxv2 cos r i v2 s en r j

v vx j r

atan

a2 yay ax

v2 (cos ) 2 (sen ) 2 r(v 2 / r )sen (v 2 / r )cos t an

v2 1 r

v2 r

a = acelerao centrpeta