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Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori

Notas de aula 02 – 2° Bimestre

1

Movimento Plano Geral

Um movimento plano geral pode ser considerado

como a soma de uma translação e de uma rotação:

Movimento geral = Translação + Rotação

Movimento de um corpo decomposto em uma

translação e uma rotação:

Velocidade absoluta e relativa:

/B A B Av v v

:Bv velocidade absoluta do ponto B.

:Av translação da placa com A.

/ :B Av velocidade relativa associada à rotação da placa

ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com origem em

A e de orientações fixas. Denotando por :

/ :B Ar vetor de posição de B em relação a A:

/B Ar B A

k : velocidade angular em relação aos eixos de

orientações fixas.

/ /ˆ

B A B Av k r

/ˆ

B A B Av v k r

Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A.

Observe que:

//

B AB A B A

vv v tg v l

l

/

/

coscos

A AB A

B A

v vv

v

cos

Av

l

Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como

pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em

uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide figura),

teremos:

Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B.

/A B A Bv v v

Observe que:

/ / / /A B B A A B B Av v v v l

O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de

referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada

a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que

a velocidade angular da barra em sua rotação ao redor de B é

a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os casos

é medida pela derivada temporal do ângulo :

d

dt



2

Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade

angular de um corpo rígido animado de movimento plano

é independente do ponto de referência.

A maior parte dos mecanismos mecânicos constam

não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando

tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los

considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo,

esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter a

mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser

feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em

constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, se

os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento

relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade

relativa das partes em contato.

Análise do movimento

Qr OQ Q O

Pr OP P O

Q Pr QP P Q

OQ QP OP

Q P P QQ P Q Pr r r r r r

Aplicando a derivada em relação ao tempo:

Q PQPdrdrdr

dt dt dt

P Q Q Pv v v

Suponha que o corpo rígido gira em torno de um eixo

que passa perpendicularmente ao ponto Q. Então:

QPQ Pv r

Logo:

P Q QPv v r

Vetor aceleração:

O vetor aceleração pode ser obtido como a derivada

temporal do vetor aceleração: dv

a v adt

PQ QP

dv da a v r

dt dt

Q

QP

dv da r

dt dt

Q QP

QP

dv drda r

dt dt dt

Identificando os termos:

QPP Q

dvdva a

dt dt

ˆ ˆˆ

d ed d d dee

dt dt dt dt dt

Se e for um vetor constante: ˆ

0de

dt . Assim:

d

dt

QP

P Q QP

dra a r

dt

Ou

P Q

da a P Q P Q

dt

Aplicando o Teorema de Poisson:

d

P Q P Qdt

P Qa a P Q P Q

Resumo: Movimento no plano: 1. Todos os pontos do sólido pertencem ao plano do

movimento.

2. O eixo de rotação, quando existir, será sempre ortogonal

ao plano de movimento.

3. todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular,

e esta, tem a direção do eixo de rotação:

ˆ ˆd

e edt

4. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular;

e esta tem a direção do eixo de rotação:

ˆ ˆd

e edt

5. O vetor velocidade instantânea do ponto P do sólido, em

função da velocidade do ponto Q, também do sólido, é dada

por:

P Q QP P Qv v r v v P Q

6. O vetor aceleração instantânea do ponto P do sólido, em

função da aceleração do ponto Q, também do sólido, é dada por:

P Q P QQP QP QPa a r r r P Q r

P Qa a P Q P Q

Centro Instantâneo de Rotação (CIR ou IC)

x

z

y

P Q

O



3

Para calcular a velocidade dos pontos de um sólido, pode-

se utilizar de um método gráfico que se baseia no conceito de

Centro instantâneo de rotação (CIR ou IC).

Considera-se a existência de um eixo de rotação num dado

instante, e a interseção deste, com o plano de movimento é o

ponto denominado CIR – Centro instantâneo de rotação. Todos

os pontos do sólido, no instante considerado, descrevem

trajetórias circulares com centro no CIR.

A propriedade fundamental do CIR é de possuir

velocidade nula:

0ICv

O CIR é um ponto geométrico imaginário que pode ser

associado ao sólido sem alterar ou interferir no movimento do

mesmo.

Utilizando a relação de velocidades:

P Q QP QPv v r r P Q

Se utilizarmos o ponto Q pelo CIR, teremos:

0

P CIRv v P CIR

Pv P CIR

Norma:

A norma da velocidade em P será dada por:

Pv P CIR sen

P CIR d : é a distância entre o ponto P o CIR.

: é ângulo entre o plano do movimento e o eixo de

rotação. Se = 90° → sen90°=1. Logo: Pv d

Direção:

Ortogonal ao plano que contem os vetores do produto

vetorial: Pv (reta que une e )Pv P CIR

Para localizar o IC de um corpo, utilizamos o fato que a

velocidade de um ponto no corpo é sempre perpendicular ao

vetor posição relativa, dirigido de IC ao ponto. Possibilidades:

A velocidade angular e a velocidade do ponto

Av são conhecidas

Nesse caso, o IC do corpo está localizado através de uma

linha perpendicular a Av em A, onde a distância de A para o IC

é dada por:

A

A IC

vr

Note que o IC está a direita de A e vA causa uma

rotação com velocidade angular horária em torno de IC.

As direções de e A Bv v são conhecidas.

Constroem-se duas linhas a partir de A e B,

perpendiculares às direções de e A Bv v , respectivamente. O

cruzamento dessas linhas fornece o IC.

A magnitude e a direção das velocidades de dois

pontos e A Bv v são conhecidas:

Nesse caso, determina-se por semelhan;Ca de

triângulos. Se d é a distância entre os pontos A e B, então:

A

A IC

vr

: distância de A ao IC.

B

B IC

vr

: distância de B ao IC.

Podem ocorrer dois casos:

A IC B ICr r d B IC A IC

d r r

Exemplo: Viga apoiada na parede escorregando.



4

0.8 m

z x

y

B

A

Bv

300

0.8 m

z x

y A

300

B

Av

1200

600

300

600

Exemplos resolvidos:

Livro Unip

1. (3.01– pag. 64) A barra AB, ilustrada abaixo, tem

comprimento 0.8 m, e desloca-se com as extremidades apoiadas

em duas superfícies, conforme ilustrado. O extremo A da barra,

desloca-se para a direita, com velocidade constante vA = 3.5

m/s. No instante ilustrado, quando o ângulo entre a barra e o

plano é de 300, pedem-se:

(a) a velocidade do ponto B.

(b) a aceleração do ponto B.

Método 1 – Uso do conceito do Centro Instantâneo

de rotação: CIR ou IC.

3.54.375

0.8

AA A CIR

A CIR

v radv r

r s

3.5B BB CIR

mv r v

s

Método 2 – Relacionando 2 pontos do corpo rígido:

P Q P QQPv v r v v P Q

B A B AABv v r v v B A

Achando as coordenadas dos pontos:

, e ,A A B BA x y B x y

00.8 cos30 0.692A Ax x m ; 0Ay m

0Bx m ;00.8 30 0.4B By sen y m

0.692;0 e 0;0.4A B

ˆ ˆ0.7 0.4AB

r B A i j

k

B A ABv v r

ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.7 0.4Bv i k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.7 0.4B

j i

v i k i k j

ˆ ˆ3.5 0.4 0.7Bv i j

Decompondo a velocidadeBv :

0 0ˆ ˆcos60 60B B Bv v i v sen j

Comparando as relações:

0

00

cos60 3.5 0.4 0.7

6060 0.7

B

B

B

vv

senv sen

0

0

0.7cos60 3.5 0.4

60sen

0.404 3.5 0.4 0.404 0.4 3.5

3.54.375

0.8

rad

s

0 0

0.7 0.7 4.3753.54

60 60B B B

mv v v

sen sen s

Cálculo da aceleração em B:

P Qa a P Q P Q

B Aa a B A B A

Como a velocidade é constante:

0AA A

dva a

dt

ˆd d

edt dt

ˆ ˆdk k

dt

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.7 0.4 4.38 4.38 0.7 0.4Ba k i j k k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ0.7 0.4

ˆ ˆ ˆˆ ˆ4.38 4.38 0.7 4.38 0.4

B

j i

j i

a k i k j

k k i k j

ˆ ˆ0.7 0.4

ˆ ˆ ˆ4.38 3.066 1.752

Ba j i

k j i

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.4 0.7 4.38 3.066 4.38 1.752B

ji

a i j k j k i

ˆ ˆ ˆ ˆ0.4 0.7 13.43 7.67Ba i j i j

ˆ ˆ13.43 0.4 7.67 0.7Ba i j

Porém, sabemos que:

600

600

CI

R



5

A B

Bv

0.56m

B

Bv

Pv

0.24m d

e2

0 0ˆ ˆcos60 60B B Ba a i a sen j

ˆ ˆ0.5 0.866B B Ba a i a j

Comparando, teremos:

0.5 13.43 0.4

0.866 7.67 0.7

B

B

a

a

Resolvendo o sistema:

0.5 0.7 0.866 0.4 13.43 0.7 7.67 0.4B Ba a

0.35 0.3464 9.401 3.068B Ba a

2

12.4690.6964 12.469 17.9

0.6964B B B

ma a a

s

13.43 0.50.5 13.43 0.4

0.4

BB

aa

8.95

2

13.43 0.5 17.69 4.4811.2

0.4 0.4

rad

s

2. (3.02 –pag. 70) As engrenagens ilustradas, e1 e e2,

tem respectivamente raios R1 = 0.32 m e R2 = 0.24 m. A

engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário, com

velocidade angular constante 1= 16 rad/s. A haste AB gira no

sentido horário com velocidade angular constante AB = 13

rad/s. Pedem-se:

(a) a velocidade angular da engrenagem e2;

(b) a aceleração do ponto de contato entre as

engrenagens do ponto que pertence à engrenagem e2.

Aqui CIR=A, pois este ponto permanece fixo.

A velocidade do ponto B:

1. Possui direção ortogonal à reta que liga os pontos A e B.

2. Possui sentido para baixo, pois a rotação da barra AB é

horária.

3. Possui intensidade dada por: B ABv AB

1 2 0.32 0.24AB R R AB

0.56AB m

13 0.56 7.28B B

mv v

s

Engrenagem e1:

CIRe1=A, pois este ponto pertencem ao eixo fixo de

rotação.

Velocidade do ponto P:

1. tem direção ortogonal à reta que liga os pontos A e P.

2. tem sentido para baixo, pois a rotação de e1 é horária.

3. tem intensidade dada por:

1 1 16 0.32 5.12P e P P

mv R v v

s

Engrenagem e2: Com o engrenamento dos dentes: não há

escorregamento. As velocidades dos pontos de contato das duas

engrenagens são iguais.

Velocidades dos pontos da engrenagem e2:

Seu centro: 7.28B

mv

s .

Do ponto de engrenamento: 5.12P

mv

s

CIR de e2: A determinação do CIRe2 de e2 pode ser feita com oas

velocidades dos ponto B e P , entretanto, é mais trabalhoso

que o usual, pois as linhas ortogonais à essas velocidades são

coincidentes e não definem o CIRe2.

A velocidade do ponto P pode ser expressa por:

2 2P e ev PCIR

A velocidade do ponto B pode ser dada por:

2 2B e ev BCIR

2 2

5.125.12P e ev d

d

2

7.28 0.24B ev d

1.2288

5.127.28 0.24 7.28 5.12 0.24 5.12d d d

d

2.16

1.22880.569

7.28 5.12d d m

29e

rad

s

2

ˆ9e k

Aceleração do ponto P:

A B

x

y

z

CIR

x

y

z

CIRe

2



6

A aceleração do ponto P será expressa em função da

aceleração de outro ponto da engrenagem e2: o ponto B

(pertence à barra AB). Utilizando:

P Qa a P Q P Q

B A AB AB ABa a B A B A

Como o ponto A é fixo:

0Aa

Vetor velocidade angular da barra AB:

Horário e constante: ˆ13AB k

Vetor aceleração angular da barra AB:

0ABAB AB

d

dt

Vetor B-A:

Módulo: 0.56mDireção: eixo x: i

Sentido: de A para B: ˆ0.56B A i

ˆ ˆ ˆ0 0 13 13 0.56Ba B A k k i

ˆ

ˆ ˆ ˆ13 13 0.56B

j

a k k i

2

ˆ

ˆ ˆ ˆ13 7.28 94.64B B

i

ma k j a i

s

Fazendo o cálculo da aceleração do ponto P da

engrenagem e2:

2 2 2P B e e ea a P B P B

2ˆ94.64B

ma i

s

2

2 2 2

ˆ9 0e

e e e

dk

dt

O vetor P-B:

possui módulo igual à distância de P e B: 0.24m;

direção do eixo x: i

sentido é de B para P: ˆ0.24P B i

2

0

ˆ ˆˆ ˆ94.64 9 9 0.24P ea i P B k k i

ˆ

2.16

ˆ ˆˆ ˆ94.64 9 9 0.24P

j

a i k k i

ˆ

ˆˆ ˆ94.64 9 2.16P

i

a i k j

2ˆ ˆ ˆ94.64 19.44 75.2P P

ma i i a i

s

3. (pag.76) – A barra AB, gira com freqüência

constante f = 954.96 rpm no sentido horário. O cursos C está

vinculado a uma haste horizontal fixa. Para o instante

considerado, pedem-se:

(a) a velocidade angular da barra CB;

(b) a velocidade do cursos C;

(c) a aceleração do cursor C.

Barra AB:

O vetor velocidade angular da barra AB:

Tem intensidade:

954 60

2 100AB AB

radf

s

Direção: Ortogonal ao plano de movimento: com

sentido dado pela regra da mão direita (horário: negativo).

ˆ100AB

radk

s

O ponto A é o CIR:

A velocidade do ponto B é:

ˆ100 0.09 9B AB B B

mv r v v j

s

A aceleração do ponto B é:


0 CIRAa

y

z

x

B

A

0.56m Bv

B P

e2

x

y

z

150 mm

A

300 mm

90 mm

A

90 mm

B

B

y

x z

Bv

CIR

C



7

0 CIR ABAB AB

d

dt

ˆ0.09B A i

0 0

ˆ ˆˆ ˆ0.09 100 100 0.09B A ABa a i k k i

ˆ

ˆ ˆ ˆ100 100 0.09B

j

a k k i

2ˆ ˆ ˆ900 900B B

ma k j a i

s

Barra BC:

2 2 20.15 0.3 0.09 0.0225 0.26BCIR BCIR BCIR m

934.64

0.26B BC BC BC

radv BCIR

s

34.64 0.15 5.2C BC C C

mv CCIR v v

s

ˆ5.2C

mv i

s

Aceleração no ponto C:

C B BC BC BCa a C B C B

Vetor aceleração angular:

ˆBC BC k

Vetor: 0.26;0.15 0;0C B

ˆ ˆ0.26 0.15C B i j

Vetor ˆ34.64BC k

ˆˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15

ˆ ˆ ˆ ˆ34.64 34.64 0.26 0.15

C BCa i k i j

k k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15

ˆ ˆ ˆˆ ˆ34.64 34.64 0.26 34.64 0.15

C BC BC

j i

j i

a i k i k j

k k i k j

ˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15

ˆ ˆ ˆ34.64 9 5.196

C BC BCa i j i

k j i

ˆˆ

ˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15

ˆ ˆˆ ˆ34.64 9 34.64 5.196

C BC BC

ji

a i j i

k j k i

ˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15

ˆ ˆ311.76 180

C BC BCa i j i

i j

ˆ ˆ900 311.76 0.15 180 0.26C BC BCa i j

ˆ ˆ588.24 0.15 180 0.26C BC BCa i j

ˆC Ca a i

2

588.24 0.15 180692.31

180 0.26 0 0.26

C BC

BC BC

BC

a rad

s

588.24 0.15C BCa

2

103.84

588.24 0.15 692.31 484.15C C

ma a

s

4. (pag.76) – Um carro apresenta rodas traseiras com

diâmetro 0.75 m, e tem movimento acelerado com aceleração a

= 6.5 m/s2. No instante ilustrado, a velocidade do auto é v = 140

km/h. Sabendo que não ocorre escorregamento entre as rodas e

o piso, pedem-se:

(a) a velocidade do ponto A;

(b) a velocidade do ponto B;

(c) a aceleração do ponto A;

150 mm

A

300 mm

90 mm B

C

y

x z

Cv

Bv

CIR

Ponto A

Ponto B

x

y

z

y A



8

CIR: a origem do sistema de coordenadas como o

ponto C de contato da roda.

0 OCIR C

vv v OCIR

R

140 3.6 ˆ103.7 103.70.75 2

radk

s

A Cv v OA

ˆˆ ˆ38.89 0.375Av i k j

ˆ

ˆˆ ˆ38.89 0.375A

i

v i k j

ˆ38.89 0.375Av i

ˆ77.78A

mv i

s

B Cv v CB

ˆˆ ˆ38.89 103.7 0.375Bv i k i

ˆ

ˆˆ ˆ38.89 103.7 0.375B

j

v i k i

ˆ ˆ38.89 38.89Bv i j

ˆ ˆ38.89 38.89B

mv i j

s

2238.89 38.89 55 198B B B

m kmv v v

s h

ˆˆ6.5C AC ACa i k

ˆ0.375A C j

C C AC AC ACa a A C A C

ˆˆ ˆ6.5 0.375

ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375

A ACa i k j

k k j

ˆ

ˆ

ˆˆ ˆ6.5 0.375

ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375

A AC

i

i

a i k j

k k j

ˆ ˆ6.5 0.375

ˆ ˆ103.7 38.8875

A ACa i i

k i

ˆ

ˆ6.5 0.375

ˆ ˆ103.7 38.8875

A AC

j

a i

k i

ˆ ˆ6.5 0.375 4032.63

NT

A AC

aa

a i j

Buscando outro ponto para completar a aceleração

do ponto A: (CIR).

Observe que no instante que o ponto da borda toca o

solo, pára instantaneamente e torna-se o CIR. Nessa posição a

trajetória é onde ocorre a inversão da velocidade do ponto da

borda, ou seja, é onde o ponto da borda inverta o seu movimento

e desta forma pode-se garantir que possua apenas aceleração

vertical; no instante que o ponto toca o solo, transforma-se no

CIR, e apresenta aceleração vertical:

ˆCIR CIRa a j

Assim:

CIR Ca a CIR C CIR C

ˆ103.7 k

ˆˆ6.5Ca i k

ˆ0.375CCIR CIR C j

ˆˆ ˆ6.5 0.375

ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375

CIRa i k j

k k j

ˆ

ˆ

ˆˆ ˆ6.5 0.375

ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375

CIR

i

i

a i k j

k k j

ˆ

ˆˆ ˆ ˆ6.5 0.375 103.7 38.8875CIR

j

a i i k i

ˆ ˆ6.5 0.375 4032.6CIRa i j

CIR

Cv

Av

x 0,0

B

Bv

CIRa

y

x z



9

2

6.56.5 0.375 0 17.33

0.375

rad

s

ˆ ˆ6.5 0.325 17.33 4032.63Aa i j

2ˆ ˆ13 4033A

ma i j

s

5. O eixo manivela AB, do motor ilustrado, gira com

velocidade angular constante = 75 rad/s, no sentido horário.

Pela articulação A passa eixo fixo. Para o instante ilustrado,

pedem-se:

(a) a velocidade do pistão;

(b) a aceleração do pistão.

B Av v AB

ˆ ˆ0 75 0.025Bv k j

ˆ

ˆ ˆ ˆ0 75 0.025 1.875B B

i

v k j v i


0 é cteAB AB

ˆ ˆˆ ˆ0 0 0.025 75 75 0.025Ba j k k j

1.875 ˆ

ˆ ˆ ˆ75 75 0.025B

i

a k k j

ˆ ˆ75 1.875Ba k i

ˆ140.625Ba j

C B BCv v BC

0.08;0 0;0.025BC C B

ˆ ˆ0.08 0.025BC i j

ˆˆ ˆ ˆ1.875 0.08 0.025C BCv i k i j

ˆ ˆˆ ˆ ˆ1.875 0.08 0.025C BC BCv i k i k j

ˆ ˆ ˆ1.875 0.08 0.025C BC BCv i j i

ˆ ˆ1.875 0.025 0.08C BC BCv i j

ˆ ˆ0C Cv v i j

ˆ1.875 0.025 1.875

0.08 0 0

C BC C

BC BC

v v i


ˆˆ ˆ ˆ140.625 0.08 0.025 0 0C BCa j k i j C B

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ140.625 0.08 0.025C BC BC

j i

a j k i k j

ˆ ˆ ˆ140.625 0.08 0.025C BC BCa j j i

ˆ ˆ0.025 0.08 140.625C BC BCa i j

ˆ ˆ0C Ca a i j

0.025

0.08 140.625 0

C BC

BC

a

2

2

ˆ0.025 1757.81 43.945

140.6251757.81

0.08

C C

BC BC

ma a i

s

rad

s

6. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si

conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos

fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade

angular AB = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:

(a) a velocidade angular da barra BC;

(b) a velocidade angular da barra CD.

B

A

C

25 mm

80 mm

ˆ75AB k

B

A

25 mm

z x

y

z x

y Bv

B C

80 mm

ˆBC BC k

Bv

Cv

A

B C

D z x

y

0.18 m

0.20 m

0.12 m 0.12 m



10

Barra AB: Colocando o eixo 0 em A:

B A ABv v AB

0; 0.18 0,0AB B A

ˆ0.18AB j

ˆ ˆ ˆ0 5 0.18 0.9B Bv k j v i

^

Barra BC:

C B BCv v BC

0.24; 0.18 0; 0.18BC C B

ˆ0.24BC i

ˆBC BC k

ˆˆ ˆ0.9 0.24C BCv i k i

ˆ

ˆˆ ˆ0.9 0.24C BC

j

v i k i

ˆ ˆ0.9 0.24C BCv i j

Barra DC:

C D CDv v CD

0.12; 0.38 0.24; 0.18CD D C

ˆ ˆ0.12 0.20CD i j

ˆ ˆ ˆ0 0.12 0.20C CDv k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ0.12 0.2C CD CD

j i

v k i k j

ˆ ˆ0.2 0.12C CD CDv i j

Logo:

0.2 0.9

0.12 0.24

CD

CD BC

0.9

0.2

0.12 0.124.5

0.24 0.24

CD

BC CD BC

ˆ4.5

ˆ2.25

CD

BC

radk

s

radk

s







Barra AB:

B A ABv v AB

ˆ0.35AB B A AB j

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.35 0.35 8 2.8B AB B Bv k j v i v i

Barra BC:

C B BCv v BC

0.12;0.25 0;0.35BC C B

ˆ ˆ0.12 0.1BC i j

ˆˆ ˆ ˆ2.8 0.12 0.1C BCv i k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ2.8 0.12 0.1C BC BC

j i

v i k i k j

ˆ ˆ2.8 0.1 0.12C BC BCv i j

A

B

z x

y

0.18 m

ˆAB AB k

Bv

A

B C

D

z x

y

0.18 m

0.20 m

0.12 m 0.12 m

A

B

C D

z x

y

0.10 m

0.25 m

0.12 m 0.25 m



11

Barra CD:

C D CDv v CD

0.37;0.25 0.12;0.25CD D C

ˆ0.25CD i

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.25 0 0.25C CD C CDv k i v i j

2.8 0.1 0

0.12 0.25

BC

BC CD

2.8 ˆ280.1

0.12 ˆ28 13.440.25

BC BC

CD CD

radk

s

radk

s







Barra AB:

B A ABv v AB

0.25; 0.12 0;0

ˆ ˆ0.25 0.12AB B A AB i j

ˆ ˆ ˆ0 8 0.25 0.12Bv k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ8 0.25 8 0.12B

j i

v k i k j

ˆ ˆ0.96 2Bv i j

Barra BC:

C B BCv v BC

0.25; 0.2 0.25; 0.12BC C B

ˆ ˆ0 0.08BC i j

ˆˆ ˆ ˆ0.96 2 0.08C BCv i j k j

ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0.96 2 0.08C BC

i

v i j k j

ˆ ˆ0.96 0.08 2C BCv i j

Barra CD:

C D CDv v CD

0.45; 0.12 0.25; 0.12CD D C

ˆ0.2CD i


0.96 0.08 0

0.2 2

BC

CD

0.96 ˆ120.08

2 ˆ100.2

BC BC

CD CD

radk

s

radk

s




angular AB = 10 rad/s, no sentido anti-horário. Pedem-se:



Barra AB:

B A ABv v AB

0; 0.35 0;0

ˆ0.35AB B A AB j

ˆ ˆ0 10 0.35Bv k j

ˆ3.5Bv i

Barra BC:

C B BCv v BC

0.12; 0.45 0; 0.35BC C B

ˆ ˆ0.12 0.1BC i j

ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.12 0.1C BCv i k i j

A

B

C D

z x

y

0.08 m

0.25 m

0.12 m

0.20 m

A

B

C D

z x

y

0.35 m

0.25 m

0.10 m

0.12 m



12

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.12 0.1C BC BC

j i

v i k i k j

ˆ ˆ3.5 0.1 0.12C BC BCv i j

Barra CD:

C D CDv v CD

0.37; 0.45 0.12; 0.45CD D C

ˆ0.25CD i


3.5 0.1 0

0.25 0.12

BC

CD BC

3.5 ˆ350.1

0.12 ˆ35 16.80.25

BC BC

CD CD

radk

s

radk

s

10. A barra AB, gira com frequência constante f

=954.96 r.p.m. No sentido horário. Pela articulação, a barra BC

encontra-se articulada à barra AB e ao curso C, que está

vinculado à uma haste horizontal fixa, e desta forma, desloca-

se apenas na horizontal. Para o instante ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade angular da barra CB;

(b) a velocidade do cursor C.

(c) a aceleração do cursor C.

Barra AB:

15.916

954.96954.96

60f rpm Hz

ˆ2 100rad

f ks

B A ABv v AB

0.07; 0.07 0;0

ˆ ˆ0.07 0.07AB B A AB i j

ˆ ˆ ˆ0 100 0.07 0.07Bv k i j

ˆ ˆ7 7Bv i j

Barra BC:

C B BCv v BC

0.25;0.12 0.07; 0.07BC C B

ˆ ˆ0.32 0.19BC i j

ˆˆ ˆ ˆ ˆ7 7 0.32 0.19C BCv i j k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ7 7 0.32 0.19C BC BC

j i

v i j k i k j

ˆ ˆ7 0.19 0.32 7C BC BCv i j

7 0.19

0.32 7 0

C BC

BC

v

7 ˆ21.8750.32

ˆ7 0.19 21.875 2.84

BC BC

C C

radk

s

mv v i

s


0AB f é constante.

ˆ ˆ ˆ ˆ100 100 0.07 0.07Ba k k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ100 7B

j i

a k k i k j

ˆˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ700 700B B

ji

a k j i a k j k i

ˆ ˆ700 700Ba i j


ˆˆ ˆ ˆ ˆ700 700 0.32 0.19C BCa i j k i j

ˆ ˆ ˆ ˆ21.875 21.875 0.32 0.19k k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ700 700 0.32 0.19C BC BC

j i

a i j k i k j

ˆ7 4.15625 ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ21.875 21.875 0.32 21.875 0.19j i

k k i k j

ˆ ˆ ˆ ˆ700 700 0.32 0.19C BC BCa i j j i

ˆ7 4.15625 ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ21.875 21.875 0.32 21.875 0.19j i

k k i k j

A

B

C

450

z x

y

0.25 m

0.07 m

0.32 m

0.12 m



13

ˆ ˆ700 0.19 700 0.32C BC BCa i j

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ153.125 21.875 4.15625ji

k j k i

ˆ ˆ700 0.19 700 0.32C BC BCa i j

ˆ ˆ153.125 90.9179i j

ˆ ˆ700 153.125 0.19 700 90.9179 0.32C BC BCa i j

ˆ ˆ546.875 0.19 609.082 0.32C BC BCa i j

ˆ ˆ0C Ca a i j

609.082 0.32 0

546.875 0.19

BC

C BCa

2

2

361.642

609.082 ˆ1903.380.32

546.875 0.19 1903.38 908.5

BC BC

C C

radk

s

ma a

s

11. Uma polia com raio R = 350 mm, é arrastada

através de seu centro A, por uma haste que desloca-se

horizontalmente a partir do repouso, com aceleração constante

ah = 45 mm/s2. A polia apoia-se em uma esteira e não escorrega

em relação à mesma. A esteira desloca-se com velocidade

constante ve = 100 mm/s. Para o instante em que a haste alcança

a velocidade vh = 250 mm/s, pedem-se:

(a) a velocidade angular da polia.

(b) a aceleração angular da polia,

O ev v

ˆˆ ˆ0.25 0.35h O Ov v Oh i v k j

ˆ ˆ ˆ0.25 0.1 0.35i i i

0.15ˆ ˆ ˆ0.25 0.1 0.350.35

i i i

ˆ0.43 k

e Oa a e O e O

ˆ ˆ ˆˆ ˆ0.35 0.43 0.43 0.35e Oa a k j k k j

ˆˆ ˆ0 0.35 0.43 0.1505Oa i k i

ˆ ˆ0 0.35 0.064715Oa i j

ˆ ˆ0.35 0.064715Oa i j

h Oa a h O h O

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0.045 0 0.35 0.35i k j k k j

2ˆ ˆ ˆ0.045 0.35 0.35 0.35 0.045i i j

2

0.0450.1285

0.35

rad

s

12. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem

respectivamente raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A

engrenagem e1é fixa e permanece parada. A haste AB, gira no

sentido horário com velocidade angular AB = 13 rad/s. Pedem-

se:


(b) a aceleração do ponto P, de contato entre as

engrenagens que pertence à engrenagem e2.

B A ABv v AB

ˆ ˆ0 13 0.56Bv k i

ˆ7.28Bv j

1 2e eP Pv v Ponto de engrenamento.

222eP B ev v BPe

2 22 2

ˆ ˆ ˆ7.28 0.24 7.28 0.24e eP e P ev j k i v j

2 2 2

7.287.28 0.24 0 30.33

0.24e e e

rad

s

B A AB ABa a AB AB

ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0.56 13 13 0.56Ba k i k k i

ˆ ˆ94.64 0.56Ba i j

1 11eP A e ea a AP AP

2 2 2 2 22eP B e e e e ea a BP BP

22

ˆ ˆ ˆˆ ˆ0.24 30.33 30.33 0.24eP B ea a k i k k i

22

ˆ ˆ0.24 220.778eP B ea a j i

22

ˆ ˆ ˆ ˆ94.64 0.56 0.24 220.778eP ea i j j i

22

ˆ ˆ94.64 220.778 0.56 0.24eP ea i j

22

0

ˆ ˆ126.13 0.56 0.24eP ea i j

ev

R

ha

O z x

y

z x

y



14

13. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem

respectivamente raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A

engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário com

velocidade angular e1 constante. A haste AB, gira no sentido

horário com velocidade angular AB = 13 rad/s. A engrenagem

B não gira em torno de si mesma, ou seja, apresenta-se em

translação. Pedem-se:


(b) a aceleração do ponto P, de contato entre as

engrenagens que pertence à engrenagem e2.

B A ABv v AB

ˆ ˆ0 13 0.56Bv k i

ˆ7.28Bv j

111eP A ev v APe

11

ˆ ˆ0 0.32eP ev k i

11

ˆ0.32eP ev j

22 22

ˆ7.28 0e eP B e Pv v BPe v j

2

ˆ7.28ePv j

11 2

ˆ ˆ0.32 7.28e eP P ev v j j

1 1

7.2822.75

0.32e e

rad

s

B A AB ABa a AB AB

ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0.56 13 13 0.56Ba k i k k i

ˆ ˆ94.64 0.56Ba i j

1 1 1 1 11eP A e e e e ea a AP AP

1 10 é constantee e

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ22.75 22.75 0.32 165.62e eP Pa k k i a i

14. A barra AB de comprimento L = 20 m, é

articulada em A por onde passa eixo fixo e apresenta inclinada

de 300 em relação ao horizonte. A barra AB é empurrada pelo

disco de raio R = 4 m, que se move em translação com

velocidade constante v = 5 m/s, para a esquerda. No instante

ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade angular da haste;

(b) a velocidade do ponto B da haste.

Colocando a origem em A:

2.5

cos 90 30 5 0.5v v sen

30

2 15

R Rtg AC

tgAC

0.2679

414.92

15AC AC

tg

CC AC AC

vv AC

AC

2.50.167

14.92AC AC

rad

s

20 0.167B AB Bv L v

3.349B

mv

s

R

B

A

L

v

z x

y

z x

y

R

B

A

L

v /2

z x

y

cos 90v C



15

15. Na figura ilustrada, o disco gira em torno do eixo

fixo, definido pela articulação A, no sentido horário, com

aceleração angular constante = rad/s2. No instante ilustrado,

a velocidade angular do disco é = 2 rad/s, e o ângulo é =

300. Fixado ao disco, um pino P, desliza na ranhura vertical de

um dispositivo, que desloca-se apenas na horizontal, limitado

por uma guia fixa. O movimento deste dispositivo é transmitido

a um pistão. A distância do ponto A ao pino P é, R = 0.2 m.

Para o instante ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade do pistão;

(b) a aceleração do pistão.

2 0.2 1.256P P P

mv R v v

s

20.2 0.6283

P P PT T T

ma R a a

s

22

22 0.2 7.895

P P PN N N

ma R a a

s

cos30 1.256 0.866istão istãoP P Pv v v

1.0877istãoP

mv

s

O ângulo entre as acelerações tangencial e normal é

90°.

P

180 90 90

30 60

Como a aceleração do pistão está na direção x:

co cossistão P PP T Na a a

cos30 7.895 cos0.62 03 68istãoPa

0.544123 3.9475istãoPa

2ˆ3.403

istãoP iam

s

3.16 O rolamento ilustrado, tem sua capa externa

fixa, enquanto que sua capa interna gira solitária a um eixo

também fixo, com freqüência f = 3600 rpm. As esferas do

rolamento são idênticas entre si, apresentam raio R = 0.0025

me, rolam sem escorregar, apoiadas em ambas as pistas. A pista

interna possui raio Ri = 0.0125 m. Pedem-se:

(a) a velocidade linear do centro das esferas;

(b) a velocidade angular das esferas.

2A i A iv R v f R

376.99

36002 0.0125 4.712

60A A

mv v

s

ˆ4.712Av j

A velocidade do ponto Pi da esfera de rolamento com

a esfera interna é a mesma pois ela rola sem escorregar. Logo:

0iP iv v OP

0ˆ

iPv v k R i

0 0

ˆ

ˆ ˆi iP P

j

v v R k i v v R j

0ˆ ˆ ˆ4.712 4.712

iP Av v j j v R j

Já no ponto externo da esfera de rolamento, que está

em contanto com a esfera fixa, sua velocidade é nula:

0eP ev v OP

0 0

ˆ

ˆ ˆˆ ˆ0eP

j

v v k R i v R k i

0ˆv R j

Substituindo {2} em {1}, teremos:

R

A

P z x

y

R

A

P

z x

y

Pv

PTa PNa

90

cosPTa cos

PNa

x

Ri

R

Ri

R

B

A

z

x y

P

e

Pi

O



16

0ˆ ˆ4.712 j v R j

ˆ ˆ ˆ4.712 j R j R j

ˆ ˆ4.712 2 2 4.712j R j R

4.712 4.712942.4

2 2 0.0025

rad

R s

ˆ942.4rad

ks

0ˆv R j

0ˆ942.4 0.0025v j

0ˆ2.356

mv j

s

17. O disco ilustrado rola sem escorregar, apoiado

em superfície horizontal, e seu centro C, apresenta velocidade

constante 0.04Cv m s . A barra AB, de comprimento L =

0.3 m, é acionada pelo disco, através da articulação B, e mantém

seu extremo A, em contato permanente com a superfície

horizontal. A articulação B, dista 0.1 m, do centro C do disco.

Para o instante ilustrado, quando = 300, pedem-se:

(a) a velocidade angular da barra AB;

(b) a velocidade do ponto A da barra.

B Cv v CB

; cosB CB sen CB

0.1 30 ;0.1 cos30B sen

ˆ ˆ0.05 0.0866CB i j

B Cv v CB

Da figura: 90 90 30

60

60 0.2590.3

BH BHsen sen BH

AB

0.1495

0.259 0.25960

60

BHtg tg OH

tgOH OH

OP OH PH OP OH CB sen

0.1495 0.1 30OP sen

0.0995OP

90 90 30CP R

tg tgOP OP

60 60 0.0995 1.732R

tg R OP tg ROP

0.172R

P Cv v CP

ˆˆ ˆ0 0.04 0.172i k j

ˆ

ˆˆ ˆ0 0.04 0.172

i

i k j

0.040.2325

0.172

rad

s

B Cv v CB

ˆˆ ˆ ˆ0.04 0.2325 0.05 0.0866Bv i k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ0.04 0.2325 0.05 0.2325 0.0866B

j i

v i k i k j

ˆ ˆ ˆ0.04 0.01162 0.020135Bv i j i

ˆ ˆ0.060135 0.01162Bv i j

B

A

0.3 m 0.1 m

C

B

A

0.3 m 0.1 m

C

90°- α

α

H O P



17

; cosx y x y

CB sen

A A A A AB PH A R

; 0.3 cos60 0.1 cos30 ; 0.1645x yA A A

; 0.063; 0.1645x yA A A

0.063; 0.1645 0.05;0.0866BA A B

0.113; 0.2511BA

ˆ ˆ0.113 0.2511BA i j

A B BAv v BA

ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.060135 0.01162 0.113 0.2511A BAv i j k i j

ˆ ˆ ˆ ˆ0.060135 0.01162 0.113 0.2511A BA BAv i j j i

ˆ ˆ0.060135 0.2511 0.01162 0.113A BA BAv i j

ˆ ˆ0A Av v i j

0.060135 0.2511

0.01162 0.113 0

A BA

BA

v

0.060135 0.2511 0.1 0.035

0.011320.100

0.113

A A

BA BA

mv v

s

rad

s

18. Um carretel constituído por cilindros de raios R1

= 90 mm e R2 = 120 mm, é acionado por um fio enrolado ao

mesmo, conforme ilustrado. O fio não escorrega em relação ao

carretel. O carretel não escorrega em relação ao piso. O ponto

D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com

aceleração constante à aD = 450 mm/s2. Para o instante que este

ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se:

(a) a aceleração do ponto A, do carretel;

(b) a aceleração do ponto B, do carretel.

A velocidade no ponto D é a mesma, no instante

considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a

aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D, pois

o fio não escorrega.

A velocidade no ponto C é nula,pois o carretel não

desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A:

B Cv v CB

0;0 0; 0.09 0; 0.12A B C

0; 0.09 0; 0.12CB B C CB

ˆ0.03CB j

ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.09 0 0.03 0.09 0.03i k j i i

0.090.09 0.03 3

0.03

rad

s

TB Da a

1 2

0.450.45 5

0.09

radR

s

T NB B Ba a a

2

1 1ˆ ˆ

Ba R i R j

2ˆ ˆ0.45 0.81B

ma i j

s

0; 0.09 0;0AB B A AB

ˆ0.09AB j

Aplicando a semelhança entre os triângulos:

2

2 1

0.12

0.12 0.09T T

A A

B B

a R a

a R R a

0.124 4 0.45

0.03 T

T

AA B A

B

aa a a

a

ˆ1.8Aa i

D

B

A R2

R1

z x

y

C

Aa

TBa 2R 1R

2 1R R

CIR



18

19. Um carretel constituído por cilindros de raios R1

= 90 mm e R2 = 120 mm, é acionado por um fio enrolado ao

mesmo, conforme ilustrado. O fio não escorrega em relação ao

carretel. O carretel não escorrega em relação ao piso. O ponto

D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com

aceleração constante à aD = 450 mm/s2. Para o instante que este

ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se:

(a) a aceleração do ponto A, do carretel;

(b) a aceleração do ponto B, do carretel.

A velocidade no ponto D é a mesma, no instante

considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a

aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D, pois

o fio não escorrega.

A velocidade no ponto C é nula,pois o carretel não

desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A:

B Cv v CB

0;0 0;0.09 0; 0.12A B C

0;0.09 0; 0.12CB B C CB

ˆ0.21CB j

ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.09 0 0.21 0.09 0.21i k j i i

0.090.09 0.21 0.428

0.21

rad

s

TB Da a

1 2

0.450.45 5

0.09

radR

s

T NB B Ba a a

2

2

1 1

0.428 0.09

ˆ ˆBa R i R j

2ˆ ˆ0.45 0.017B

ma i j

s

Aplicando a semelhança entre os triângulos:

2

2 1

0.12

0.12 0.09T T

A A

B B

a R a

a R R a

0.12 4 40.45

0.21 7 7T

T

AA B A

B

aa a a

a

ˆ0.26Aa i

20. Um pequeno automóvel, tem rodas dianteiras

com diâmetro 0.45 m e traseiras com diâmetro 0.60 m e

desloca-se em translação com aceleração constante a = 4.7 m/s2.

No instante considerado, a velocidade do mesmo é 20 m/s (72

km/h). Considerando-se que não ocorra escorregamento entre

as rodas e o piso, para o instante descrito, pedem-se:

(a) a velocidade angular da roda dianteira;

(b) a velocidade angular da roda traseira;

(c) a velocidade do ponto superior da roda dianteira;

(d) a velocidade do ponto superior da roda traseira;

(e) a aceleração do ponto superior da roda traseira.

2

2ss

v Rv v

v R

D B

A R2

R1

z x

y Aa

TBa

2R

1R

2 1R R CIR

C

ˆ20v i

2R

R

R CIR

sv Ta

a



19

40s

mv

s

22s

s

a Ra a

a R

2

2 4.7 9.4T T

ma a

s

No C.I.R.:

0CIR

vv v R

R

2088.89

0.45 2D D DR R R

D

v rad

R s

2066.67

0.60 2T T TR R R

T

v rad

R s

N Ta a a

2ˆ ˆ9.4 66.7 0,3a i j

ˆ ˆ9.4 1333.3a i j

2 2

29.4 1333.3 1333,4

ma a

s

21. Um tambor de raio R = 0.45 m, é acionado

através de uma corda enrolada no mesmo, com o intuito de fazê-

lo subir um degrau de altura 0.25 m. No instante em que o

tambor perde contato com o plano horizontal, o topo do tambor

tem velocidade vC = 0.15 m/s. Não ocorre escorregamento entre

o tambor e o degrau. Para o instante descrito, pedem-se:

(a) a velocidade angular do tambor;

(b) a velocidade do centro do tambor.

Nesse instante, o centro instantâneo de rotação é o

ponto P: logo:

2 2 0.45 0.25 0.65SC R h SC SC

2 2

CP SC SP

cos cosOS R h

R R

0.45 0.25cos cos 0.444

0.45

arccos0.444 63.61

SPsen SP R sen

R

0.45 63.612SP sen

0.4031SP

2 2

CP SC SP

2 20.65 0.4031CP

0.764CP

0.4010.6169

0.65

SPtg tg tg

SC

0.6169 31.67arctg

C

C CP

CP

vv r

r

0.150.196

0.7648

rad

s

0.196 0.45 0.09m

v R v vs

22. No arranjo ilustrado, os cursores A e B, estão

articulados aos extremos A e B de uma barra, e desta forma fica

garantido que a distância entre os mesmos não se altera. Os

cursores deslizam livremente encaixados em sulcos que

limitam seus movimentos, desta forma, ao cursor A só é

permitido deslocamento vertical e ao cursos B só é permitido

deslocamento na direção inclinada de 45 0 em relação à vertical.

O cursor A, desloca-se na vertical, subindo, com velocidade

constante vA = 2 m/s. Para estas condições, pedem-se: (a) o CIR

– Centro instantâneo de rotação da barra AB;

(b) a velocidade angular da barra AB;

(c) a velocidade do cursor B.

CIR = B

AA AB

AB

vv r

r

20.2

10

rad

s

h

F R

h

F

R S

B

P

C

O

Cv

Av

A B

045 10m

z x

y



20

0Bv

23. A roda ilustrada possui raio R = 0.2 m, gira com

velocidade angular = /2 rad/s no sentido horário e seu centro

se desloca com velocidade vC = 0.2 m/s para a direita. Pedem-

se:

(a) o CIR da roda;

(b) determinar se a roda escorrega ou não;

(c) a velocidade do ponto de contato com o piso.

CC

vv r r

0.2

2r

Para o CIR no ponto de contato, sem derrapar:

0.21

0.2

CC

v radv r

r s

0.1273r

0.2 0.1273 0.073CIR CIRr R r r m

Como 1 < , a roda irá derrapar...

24. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão

engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos

A, B e C. A engrenagem E1 é fixa, ou seja, mantém-se

estacionária. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que

passa pelo ponto A, com velocidade angular = 30 rad/s, no

sentido horário. Para o instante ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade angular da engrenagem E2;

(b) a velocidade angular da engrenagem E3;

(c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que faz

contato com a engrenagem E2;

(d) a aceleração do ponto da engrenagem E3, que faz


30 0.688 20.64B ABC A B B B

mv r r v v

s

1 2 3

ˆ2 30 1.168 35.04C ABC E E E C C

mv r r r v v j

s

2

0 0 0PA A ev v

ˆ30 0.688 20.64B AB AB B B

mv r v v j

s

2 22EP B E Ev v BP

2 2

ˆˆ ˆ ˆ0 20.64 0.288 20.64 0.288E Ej k i j

2 2

20.64 ˆ71.660.288

E E k

2 2 32 3E EP B E E Ev v BP

2 3

ˆˆ ˆ20.64 71.66 0.288E EPv j k i

2 3 2 3

ˆ ˆ ˆ20.64 20.638 41.28E E E EP Pv j j v j

3 2 32 3E EP C E E Ev v CP

3

ˆˆ ˆ ˆ41.28 35.04 0.192C Ej v j k i

3

ˆ ˆ ˆ41.28 35.04 0.192C Ej v j j

z x

y

Cv

R

z x

y

30

B C

A

CIR

0.688

0.4 0.288m

0.480

0.288 0.192m

Bv Cv

2EPv 2 3E EPv



21

3 3

41.28 35.0432.5

0.192E E

3

ˆ32.5E

radk

s

2 22EP B E Ev v BP

C A ABC ABC ABCa a AC AC

ˆ ˆ ˆ0 0 30 30 1.168Ca k k i

ˆ1051.2Ca i

3 2 3 3 3 2 32 3E EP C E E E E E E Ea a CP CP

2 3

ˆ ˆˆ ˆ1051.2 32.5 32.5 0.192E EPa i k k i

2 3

ˆˆ ˆ1051.8 32.5 6.24E EPa i k j

2 3

ˆ ˆ1051.8 202.176E EPa i i

2 3 2ˆ849.624

E EP

ma i

s



A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que passa

pelo ponto A, com velocidade angular = 30 rad/s, no sentido

horário. A engrenagem E3 não gira sobre si mesmo, ou seja,

apresenta movimento de translação. Para o instante ilustrado,

pedem-se:



(c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que faz


(d) a aceleração do ponto da engrenagem E3, que faz


2C ABC AC C ABC A B Cv r v r r r

1.1618

30 0.4 2 0.288 0.192 35.04C Cv v

ˆ35.04C

mv j

s

3 3 3 23 2

0E EE P C E E Ev v P

3 2E EP Cv v

B ABC AB B ABC A Bv r v r r

30 0.4 0.288Bv

ˆ20.64B

mv j

s


22 3

ˆˆ ˆ20.64 0.288E EP Ev j k i

22 3

ˆ35.04 20.64 0.288 35.04E EP Ev j

2 2

20.64 35.04 14.4

0.288 0.288E E

2

ˆ50E

radk

s


2 1

ˆˆ ˆ20.64 50 0.288E EPv j k i

z x

y

30

B C

A

CIR

0.688

0.4 0.288m

0.480

0.288 0.192m

z x

y



22

2 1ˆ

ˆˆ ˆ20.64 50 0.288E EP

j

v j k i

2 1

ˆ ˆ20.64 14.4E EPv j j

2 1

ˆ6.24E EP

mv j

s

2 1 1 2

ˆ6.24E E E EP P

mv j v

s

1 1 21 2E EP A E E Ev v AP

1

ˆˆ ˆ6.24 0 0.4Ej k i

1 1

6.24ˆ ˆ6.24 0.40.4

E Ej j

1

ˆ15.6E

radk

s

0

0

B A ABC ABC ABCa a AB AB

ˆ ˆ ˆ30 30 0.688Ba k k i

ˆ619.2Ba i

2 2 3 2 2 2 32 3E EP B E E E E E E Ea a BP BP

2 3

ˆ ˆˆ ˆ619.2 50 50 0.288E EPa i k k i

2 3ˆ

ˆ ˆˆ ˆ619.2 50 50 0.288E EP

j

a i k k i

2 3

ˆ

ˆˆ ˆ619.2 50 14.4E EP

i

a i k j

2 3 2ˆ1339.2

E EP

ma i

s



A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que passa

pelo ponto A, com velocidade angular = 2 rad/s, no sentido

horário. A engrenagem E1 é fixa e permanece estacionária. Para

o instante ilustrado, pedem-se:



2 0.4 2.5137B ABC A B B B

mv r r v v

s

ˆ2.5137B

mv j

s


22 '1

ˆˆ ˆ0 2.5137 0.1E EP Ev j k i

2

ˆ ˆ0 2.5137 0.1 Ej j

2

2.5137

0.1E

2

ˆ25.1E

radk

s


2C ABC A B Cv r r r

2 0.3 2 0.1 0.1 0.1 3.77C C

mv v

s

ˆ3.77C

mv j

s


2 3

ˆˆ ˆ2.5137 25.1 0.1E EPv j k i

2 3

ˆ ˆ2.5137 2.5E EPv j j

2 3

ˆ5.0137E EP

mv j

s

2 3 3 2E E E EP Pv v


z x

y

2

B C

0.3m 0.1m

A

0.1m 0.1m

1E 2E

3E



23

3

ˆˆ ˆ ˆ5.0137 3.77 0.1Ej j k i

3

ˆ ˆ ˆ5.0137 3.77 0.1 Ej j j

3 3

5.0137 3.7712.34

0.1E E

rad

s

3

ˆ12.34E

radk

s

27. Uma viga de comprimento 4.0 m, é abaixada por

intermédio de dois cabos presos em suas extremidades A e B.

No instante em que se aplicam os freios ocorre um problema, e

cada extremidade é desacelerada de forma diferente, desta

forma, a extremidade A desacelera com aceleração aA = 3.0

m/s2 enquanto a extremidade B desacelera com aB = 5.0 m/s2.

Pedem-se:

(a) a aceleração angular da viga;

(b) a aceleração do ponto médio da barra.

A Ca a CA CA

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2A ca a j k i k k i

2

ˆ3

ˆ ˆ2 2A c

j

a i a j

B Ca a CB CB

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2B ca a j k i k k i

2

ˆ5

ˆ ˆ2 2B C

j

a i a j

2 2

0

2 5 4 0.5

2 3

C c

C

m rada a

s sa

2 2ˆˆ4 0.5c

m rada j k

s s

A

4 m

B

z x

y

v



24

Exercícios – Livros: Kraige, B.J. e Hibbeler

1. Determine as relações entre as grandezas angulares

do movimento de uma roda de raio r que gira sem escorregar

no chão em termos de suas grandezas lineares, velocidade e

aceleração do seu centro, o ponto O indicado na figura.

Observe que o deslocamento linear s do centro O da

roda é igual ao arco de comprimento C A . Adotamos a origem

do sistema de coordenadas como o ponto C de contato da roda

com o chão.

Relações:

x r

0v r

0a r

Da figura, observe que:

r

x s r sen x r sen

cos cosr

y s r y r

Para obter as velocidades, faremos as derivadas com

respeito ao tempo:

cosdx dr d d

x sen rdt dt dt dt

cosx r sen r

00

1 cosv

x r sen r

0 1 cosx v

Analogamente:

0y v sen

Para a aceleração, derivamos as velocidades.

Encontra-se:

2

0 1 cosx a r sen

2

0 cosy a sen r

ˆ ˆCv x i y j

ˆ ˆCa x i y j

No instante de contato (demonstre):

= 0. 2 ˆ0C Cv a r j

2. Os pontos A e B da barra movem-se sobre os guias

mostrados. Se vA = 2 m/s para baixo, determine a velocidade de

B no instante que = 450.

B A ABv v r

0 00.2 45 ,0 0,0.2 cos45AB ABr B A r sen

2 2ˆ ˆ0.2 0.22 2

ABr i j

ˆ ˆ0.1 2 0.1 2ABr i j

ˆB A ABv v k r

ˆˆ ˆ ˆ2 0.1 2 0.1 2Bv j k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 0.1 2 0.1 2B

j i

v j k i k j

ˆ ˆ0.1 2 2 0.1 2Bv i j

Mas: ˆB bv v i

10 2 0.1 2 20.1 2

22 0.1 2 0 10 20.1 2

b b

b

mv v

v s

rad

s



25

2. O cilindro da figura rola sem escorregar sobre a

superfície da esteira que possui velocidade vC = 2 ft/s,

horizontal. Determine a velocidade do ponto A do cilindro. O

cilindro possui uma velocidade angular no sentido horário de

15 rad/s.

A B BAv v r

ˆ2B Cv v i

0.5,0 0, 0.5BA BAr BA A B r

ˆ ˆ0.5 0.5BAr i j

ˆ15 k

ˆˆ ˆ ˆ2 15 0.5 0.5Av i k i j

ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 15 0.5 15 0.5Av i k i k j

ˆ ˆ ˆ2 7.5 7.5Av i j i

ˆ ˆ ˆ2 7.5 7.5Av i j i

ˆ ˆ9.5 7.5A

ftv i j

s

2 29.5 7.5 12.1A A

ftv v

s

7.538.2

9.5

y

x

A

A

varctg arctg

v

012.1 38.2A

ftv

s

Solução: Análise escalar:

0

045

45A B BA BA

BA

r rv r sen r

r sen

015 10.6

45A B A B

r ftv v

sen s

A B BAv v v

02 10.6 cos 45 9.6x x x xA B BA A Ax

v v v v v

00 10.6 45 7.5y y x yA B BA A Ay

v v v v sen v

3. O colar C está se movendo para baixo com uma

velocidade de 2 m/s. Determine a velocidade angular da barra

CB nesse instante.

O movimento de C para baixo causa uma rotação no

sentido anti-horário da barra CB.



26

B C CB CBv v r

0.2,0 0,0.2CBr B C

ˆ ˆ0.2 0.2CBr i j

ˆˆ ˆ ˆ2 0.2 0.2Bv j k i j

ˆˆ ˆ ˆ2 0.2 0.2Bv j k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 0.2 0.2

j i

Bv j k i k j

ˆ ˆ ˆ0.2 0.2 2 2B Bv i j v i

0.2 2 210

0.2 2 0 0.2

rad

s

4. Uma roda de raio 300 mm rola para a direita sem

escorregar, com velocidade de seu centro O dada por: v0 = 3

m/s. Calcule a velocidade do ponto A da roda no instante

representado.

Solução 1: Geométrica-escalar:

A O A Ov v v

A velocidade angular no ponto A é a mesma que no

ponto C da periferia:

0

310

0.3

radv r

s

0 0.2 10 2AO AO AO

mv r v v

s

2 2 2 2 cos60A O OAO AOv v v v v

2 2 2 213 2 2 3 2 19 19

2A A A

mv v v

s

Veja como foi aplicada a lei dos co-senos:

2 2 2 2 cosa b c b c 2 2 2 2 cosb a c a c

2 2 2 2 cosc a b a b

2 2 2 2 cos 180b a c a c

cos cos cos sen sen

1 0

cos 180 cos180 cos 180sen sen

cos 180 cos

2 2 2 2 cosb a c a c

Solução 2: Vetorial:

A O A Ov v v

ˆ3Av i A O

0 0

0.2

cos30 ; 30 0.1732;0.1A r r sen A

ˆ ˆ0;0 0.1732 0.1O A O i j

ˆ10 k

ˆˆ ˆ ˆ3 10 0.1732 0.1Av i k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 10 0.1732 10 0.1A

j i

v i k i k j

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 1.732 1 4 1.732A Av i j i v i j

2 24 1.732 19A A

mv v

s

19 23.4A

mv

s

α

a

b c

a

c

b

180°-



27

5. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre

a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro

A é de 1.2 m/s para a direita. Determinar:

(a) a velocidade angular da engrenagem,

(b) as velocidades da cremalheira superior R e do

ponto D da engrenagem.

Como a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior,

seu centro A percorrerá uma distância igualao comprimento da

circunferência exterior, 2r1, para cada rotação completa da

engrenagem. Como 1 ver = 2 rade, quando A rola para a

direita, (xA > 0), a engrenagem gira em sentido horário ( < 0),

escrevemos:

1Ax r

1 1A

A

dx dr v r

dt dt

1

1.28

0.150

Av rad

r s

ˆ ˆ8rad

k ks

O rolamento é decomposto em dois movimentos: um

de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste

centro. Na translação, todos os pontos da engrenagem

deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaça, cada ponto

P da engrenagem se desloca ao redor de A com velocidade:

P APv r APr P A

Aqui PAr é o vetor de posição de P em relação a A.

Assim, a velocidade da cremalheira superior é a

velocidade do ponto B:

R B B A ABv v v v v

B A ABv v r

ˆˆ ˆ1.2 8 0.1Bv i k j

ˆ

ˆˆ ˆ1.2 0.8

i

Bv i k j

ˆ ˆ ˆ1.2 0.8 2.0B B

mv i i v i

s

Velocidade do ponto D:

D A ADv v r

ˆˆ ˆ1.2 8 0.15Dv i k i

ˆ

ˆˆ ˆ1.2 8 0.15

j

Dv i k i

ˆ ˆ1.2 1.2D

mv i j

s

2 21.2 1.2 2.88 1.7D D

mv v

s

tan 1 45

ˆ ˆ1.2 1.2 1.7 45D D

m mv i j v

s s

Resumindo:

08 /

1.2

0.15

AC A

rad s

vv v AC

R

R B Av v v AB

ˆˆ ˆ1.2 8 0.1R Bv v i k j

ˆ ˆ ˆ1.2 0.8 2R B B

mv v i i v i

s

D Av v AD

ˆˆ ˆ ˆ ˆ1.2 8 0.15 1.2 1.2D Dv i k i v i j

(c) Se a aceleração do ponto A vale 3 m/s2 para a direita

e sua velocidade 1.2 m/s para a direita, determine a aceleração

angular da engrenagem e as acelerações dos pontos B, C e D da

engrenagem.



28

Ponto x(m) y(m)

A 0 0

B 0 0.1

C 0 -0.15

D -0.15 0

Vetores

ˆ0.15C A j

ˆ0.1B A j

ˆ0.15D A i

C Aa a C A C A

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 0.15 8 8 0.15Ca i k j k k j

ˆˆ ˆ ˆ3 0.15 8 1.2Ca i i k i

ˆ ˆ3 0.15 9.6Ca i j

33 0.15 0

0.15TCa

2ˆ20 20

radk

s

Cálculo das acelerações nos pontos;

D Aa a D A D A

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 20 0.15 8 8 0.15Da i k i k k i

ˆˆ ˆ ˆ3 3 8 1.2Da i j k j

ˆ ˆ ˆ3 3 9.6Da i j i

ˆ ˆ12.6 3Da i j

2 2

212.6 3 12.95D D

ma a

s

0313.4

12.6

y

x

D

D

aarctg arctg

a

212.95D

ma

s ⦨13.40

B Aa a B A B A

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 20 0.1 8 8 0.1Ba i k j k k j

ˆˆ ˆ ˆ3 2 8 0.8Ba i i k i

ˆ ˆ5 6.4Ba i j

22

25 6.4 8.12B B

ma a

s

06.452

5

y

x

B

B

aarctg arctg

a

28.12B

ma

s ⦫520

C Aa a C A C A

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 20 0.15 8 8 0.15Ca i k j k k j

ˆˆ ˆ ˆ3 3 8 1.2Ca i i k i

ˆ9.6Ca j

29.6C

ma

s

090

29.6C

ma

s 900

6. No sistema esboçado, a manivela AB possui uma

velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no

sentido horário. Determinar para a posição da manivela

indicada na figura:

(a) a velocidade angular da biela BD.

(b) a velocidade do pistão P.

1 1002000 2000

60 3f rpm f Hz f Hz

2002 209.45

3

rad radf

s s

0.0762 209.45AB AB ABv r v

015.95 50AB

mv

s

Movimento da Biela BD:

Aplicando a lei dos senos:



29

40 400.0762

0.0762 0.203 0.203

sen sen sensen

0.241 0.241 13.96sen arcsen

Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela

se une ao pistão, deve ser horizontal. Decompondo o

movimento de BD:

Movimento plano de BD= Translação + rotação

D B DBv v v

Fazendo o diagrama vetorial dessa relação:

53.9 50 76.1

D DB Bv v v

sen sen sen

15.9 15.950

53.9 50 76.1 76.1

D DBDB

v vv sen

sen sen sen sen

12.5DB

mv

s

76.1°

15.953.9 13.2

76.1D D

mv sen v

sen s

Utiizando o CIR:

40B

90D

13.95

53.95B

76.05D

8

76.05 53.95 50

BC CD BD

sen sen sen

10.14 8.44BC CD

628.13 10.14B BD BDv BC

62BD rad s

43.6D BD Dv CD v m s

7. A barra AB de 0.2 m de comprimento está presa a

uma roda de 0.1 m de raio que gira no sentido horário a 30 rad/s

quando = 600. Determine a velocidade angular da barra BC e

da roda nesse instante.

B AB ABv r

0 0ˆ ˆ ˆ30 0.2 cos60 0.2 60Bv k i sen j

0 0ˆ ˆˆ ˆ30 0.2 cos60 30 0.2 60Bv k i sen k j

ˆ ˆ3 5.196Bv j i

ˆ ˆ5.196 3Bv i j

C B BC BCv v r

ˆˆ ˆ ˆ5.196 3 0.2C BCv i j k i

ˆ ˆ5.196 0.2 3C BCv i j



30

15

5.196

ˆ ˆ ˆ5.196 0.2 3

3

0.2

C

C BC

BC

mv

sv i i j

rad

s

Na polia com centro em D:

ˆˆ ˆ5.196 0.1C D C Dv r i k j

ˆ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ5.196 0.1 5.196 0.1

i

D Di k j i i

5.1960.1 5.196 51.96

0.1D D D

rad

s



31

Av 15

ABv

Bv

90

75°

30°

Exercícios 1. Um automóvel se desloca para a direita a uma

velocidade constante de 72.4 km/h. Se o diâmetro da roda é

0.559 m, determine as velocidades dos pontos A, B C D e E à

margem da roda.

72 20A A

km mv v

h s

| | | |C A B A D A E Av v v v r

0.5590.2795

2 2

Dr r r m

|

|

2071.55

0.2795

C A

C A

v radv r

r s

| 20 20 0C A C A C Cv v v v v

|D A D Av v v

ˆ ˆ ˆ20 20 cos30 30Dv i i sen j

ˆ ˆ20 20 cos30 20 30Dv i sen j

ˆ ˆ37.32 10Dv i j

2 2 2 237.32 10 38.63D x y D D

mv v v v v

s

1015

37.32D Darctg

2. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos

ligados a A e a B que deslizam nas ranhuras mostradas.

No instante mostrado, = 40° e o pino

em B se move para cima e para a esquerda, com uma velocidade

constante de 6 polegadas/s.

Determinar

(a) a velocidade angular da haste,

(b) a velocidade do pino A.

R B B A ABv v v v v

90 75 15

B AB Av v v

sen sen sen

90 40 75 15 40

B AB Av v v

sen sen sen

50 75 55

B AB Av v v

sen sen sen

55 556 6.412

50 50A B A A

sen sen inv v v v

sen sen s

75 756 7.57

50 50AB B AB AB

sen sen inv v v v

sen sen s

ABv l

7.57

20

ABv

l

0.378rad

s

cos cossen sen sen

cos cossen sen sen

3. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos

ligados a A e a B (figura anterior) que deslizam nas ranhuras

mostradas. No instante mostrado, = 30 ° e o pino em A se

move para baixo com uma velocidade constante de 9 pol/s.

Determinar:

(a) a velocidade angular da haste, (b) a velocidade do

pino no final B.

4. Pequenas rodas foram colocados nas extremidades da

haste AB e rolam livremente ao longo das superfícies

mostradas.

Sabendo que uma roda se move para

a esquerda, com uma velocidade constante de 1.5 m/s,

determinar:

(a) a velocidade angular da haste;



32

(b) a velocidade da extremidade B da haste.

5. Um colar se move para cima, com uma velocidade

constante de 1,2 m/s no instante mostrado quando =25°.

Determinar:

(a) a velocidade angular da haste AB;

(b) a velocidade de B.

6. O Colar B se move para baixo para a esquerda com

uma velocidade constante de 1.6 m/s. No instante indicado

quando = 40 °, determinar:

(a) a velocidade angular da haste AB;

(b) a velocidade de A. Gola.

6. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo

dispositivo está esquematizado, os raios das engrenagens A, B,

C e D valem 30 mm e o raio da engrenagem externa E vale 90

mm. Sabendo que a engrenagem E tem freqüência 120 rpm no

sentido horário e a engrenagem interna central A possui

freqüência 150 rpm no sentido horário, determine:

(a) a velocidade angular de cada engrenagem.

(b) a velocidade angular da aranha formada pelas

engrenagens B, C e D conectadas entre si.

180

2 2 E E E

rpm

radf

s

240

2 8 A A A

rpm

radf

s

Engrenagem E: (externa)

6 90 540E E E E E

mmv r v v

s

Engrenagem A:

8 30 240H A A H H

mmv r v v

s

Engrenagem B:

H E Bv v BE

ˆˆ ˆ ˆ240 540 60Bi i k j

ˆ

ˆˆ ˆ240 540 60 B

i

i k j

ˆ ˆ300 60 60 300B Bi i

300 ˆ5 60

B B

radk

s

B H Bv v HB

Hv

A

A 30Ar mm

B

Hv

30Br mm

H

H

E

Bv B

30Br mm



33

E

A B

E

A

B

a b 0 1

2

3

2v

ˆˆ ˆ240 5 30Bv i k j

ˆ

ˆˆ ˆ240 150B

i

v i k j

ˆ ˆ240 150Bv i i

ˆ390B

mv i

s

Velocidade angular das engrenagens planetárias:

5 5 5 B C D

rad rad rad

s s s

150 150 150 B C Df rpm f rpm f rpm

Spider:

BB S S S

S

vv r

r

390

60S

ˆ6.5 S

radk

s

195 sf rpm

7. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo

dispositivo está esquematizado na figura do problema anterior,

os raios das engrenagens A, B, C e D são iguais a 3 in (3

polegadas). (1 in = 2.54 cm = 1 feet/33). Sabendo que a

engrenagem A tem uma frequência constante de 150 rpm no

sentido horário e a engrenagem E está estacionária, determine

a aceleração do dente da polia E em contato com:

(a) a engrenagem A;

(b) a engrenagem E.

Engrenagem Velocidade

A 1 Av a

Spider 2 sv a b

B 2 1 Bv v b

3 2 Bv v b

E 3 2 Ev a b

2

2

2

E Aa b av

2

2

E A

B

a b a

b

2

2

E A

S

a b a

a b

10

5E S A

8. A barra AB, ilustrada, gira com velocidade

angular constante = 7 rad/s, no sentido horário. O cursor C

desloca-se sobre barra horizontal fixa, no instante ilustrado:

(a) qual a velocidade do ponto B, em m/s ?

(b) qual a aceleração do ponto B, em m/s² ?

(c) qual a velocidade do ponto C, em m/s ?

(d) qual a aceleração do ponto C, em m/s² ?

9. As barras ilustradas, AB, BC e CD, são

articuladas entre si. A barra AB gira no sentido horário com

velocidade angular AB = 15 rad/s.

Qual a velocidade angular da barra CD, em rad/s ?

10. No instante ilustrado, a barra AB gira com

velocidade angular, AB = 7 rad/s, no sentido horário, e

aceleração angular nula. O cursor C tem seus movimentos

limitados por haste fixa. Para o instante ilustrado, encontre:

(a) a velocidade do ponto B, em m/s;

(b) a aceleração do ponto B, em m/s²;

(c) a velocidade angular da barra BC;

(d) a aceleração do ponto CB, em m/s²;

Bv S

60Sr mm



34

11. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre si

conforme ilustrado. A barra AB gira com velocidade angular

constante AB = 6 rad/s, no sentido horário. Para o instante

ilustrado:

(a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?

(b) qual a aceleração do ponto B, em m/s² ?

12. A barra AB, gira com freqüência constante f =

954,96 r.p.m. no sentido horário. O cursor C está vinculado a

uma haste horizontal fixa, para o instante configurado:

(a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?

(b) qual a velocidade do cursor C, em m/s ?

12. No arranjo ilustrado, o disco AB gira com

velocidade angular constante, AB = 9 rad/s, no sentido horário.

O cursor C tem seus movimentos limitados por haste fixa.

(a) Qual a velocidade do cursor C, em m/s ?

(b) Qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?

13. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre si,

conforme ilustrado. A barra CD, tem velocidade angular

constante = 5 rad/s, no sentido horário. Para o instante

ilustrado, encontre:

(a) a velocidade angular da barra AB, em rad/s;

(b) a velocidade angular da barra BC, em rad/s.

14. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre si,

conforme ilustrado. A barra AB, tem velocidade angular

constante = 3 rad/s, no sentido horário. Para o instante

ilustrado, encontre:

(a) a velocidade angular da barra BC, em rad/s;

(b) a velocidade angular da barra CD, em rad/s.

15. A engrenagem A gira com uma 120 rpm

no sentido horário. Sabendo-se que a velocidade angular do

braço AB é 90 rpm no sentido horário, determinar a velocidade

angular correspondente da engrenagem B.

16. O braço AB do sistema anterior gira com 42 rpm

no sentido horário. Determinar a velocidade angular necessária

de engrenagem A para os quais

(a) a velocidade angular da engrenagem B é de 20 rpm horário,

(b) o movimento da engrenagem B é uma translação curvilínea.

17. O Braço AB gira com = 20 rad/ s no sentido

horário. Sabendo-se que a engrenagem exterior C é

estacionário, determinar:

(a) a velocidade angular da engrenagem B,



35

(b) a velocidade do dente de engrenagem localizado

no ponto D.

18. O Braço ACB gira sobre o ponto C com uma

angular velocidade de 40 rad / s para a esquerda. Dois discos de

fricção A e B estão presos em seus centros de ACB braço, como

mostrado. Sabendo que os discos rolam sem escorregar em

superfícies de contato, determinar, para cada caso, a velocidade

angular de (a) do disco A, (b) do disco B.

Caso 1:

Caso 2:

19. Sabendo que a manivela AB gira com frequência

de 160 rpm, no sentido anti-horário, determinar a velocidade

angular da haste e o BD e a velocidade de gola D quando: (a)

= 0°, (b) = 90 °.

20. No sistema de motor mostrado, l = 160 mm e b =

60 mm. Sabendo que a manivela AB gira com uma frequência

constante de 1000 rpm no sentido horário, determinar a

velocidade do pistão P e a velocidade angular da haste de

ligação quando (a) = 0°, (b) = 90°.

21. Uma cremalheira reta repousa sobre uma

engrenagem de raio r e está ligada a um bloco

B, tal como mostrado. Denotando por D velocidade angular

da engrenagem D e por o ângulo formado pela cremalheira e

a horizontal, determine expressões para a velocidade do bloco

B e para a a velocidade angular da cremalheira em termos de r,

, e D.

22. Um automóvel viaja para a direita a uma

velocidade constante de 48 km /h. Se o diâmetro de uma roda é

de 22 cm, determinar as velocidades dos pontos B, C, D e E do

aro da roda.



36

22. A roda de 80 mm de raio mostrado rola para a

esquerda com uma velocidade de 900 mm /s. Sabendo-se que a

distância AD é de 50 mm, determinar a velocidade da gola e a

velocidade angular da haste AB quando

(a) = 0°, (b) = 90 °.

23. Para a engrenagem mostrada, derivar uma

expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e

mostrar que C é independente do raio da engrenagem B.

Suponha que o ponto A é fixo e denotam as velocidades

angulares da haste ABC e da haste A por ABC e A,

respectivamente.

24. Num dado instante, um cilindro de raio r possui

velocidade angular e aceleração angular , ambas no sentido

horário, como mostra a figura:

Mostre que a aceleração e a velocidade no ponto G

são dadas por ( o cilindro não escorrega):

Ga ˆGa r i

ˆ

Gv r i

25. O rolete A move-se com velocidade contante vA

= 3 m/s; determine a velocidade angular da barra AB e a

velocidade do rolete B, vB.

Para a engrenagem mostrada, derivar uma expressão

para a velocidade angular C de engrenagem C e

26. A roda rola sem escorregar com uma velocidade

angular de = 10 rad/s. Determine a velocidade do ponto B no

instante mostrado.

27. Determine a velocidade angular do carretel. O

cabo está preso no núcleo interior e o carretel não escorrega na

plataforma P.

28. Se a manivela OA gira com velocidade angular

de =12 rad/s,determine a velocidade do pistão B e a

velocidade angular da barra AB no instante mostrado.

29. Se a barra AB desliza ao longo da ranhura

horizontal com velocidade de 60 ft/s, determine a velocidade

angular da barra BC no instante mostrado.



37

30. O ponto A tem uma valocidade de vA = 3 m/s.

Determine a velocidade da cavilha em B nesse instante. A

cavilha move-se ao longo da fenda.

31. A engrenagem A rola sobre uma cremalheira fixa

B com uma velocidade angular = 4 rad/s. Determine a

velocidade da cremalheira C.

32. Suponha, no problema anterior, que a

engrenagem A rola sobre as cremalheiras B e C. A cremalheira

B se move para a direita com velocidade 8 ft/s e a cremalheira

C move-se para a esquerda com velocidade 4 ft/s. Determine a

velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu centro.

33. Uma engrenagem repousa numa cremalheira

horizontal. Uma corda é amarrada no núcleo da engrenagem e

num dado ponto A, tangente ao núcleo, ela é puxada para a

direita com velocidade constante de 2 ft/s. Determine a

velocidade do centro da engrenagem C.

34. Determine a velocidade angular da engrenagem

e a velocidade de seu centro no instante mostrado.

35. Determine a velocidade do ponto A mostrado no

instante considerado.

36. No sistema de engrenagens mostrado, utilizado

num sistema de transmissão automática de um automóvel,

considere o caso que a engrenagem R é fixa, com R = 0, e a

engrenagem S está girando com velocidade angular S = 5

rad/s. Determine a velocidade angular de cada engrenagem P e

do eixo A.

37. O pistão P move-se para cima com velocidade de

300 in/s. Determine a velocidade angular do virabrequim AB no

instante considerado. Encontre a velocidade do centro de

gravidade G.

Bv

Cv



38

38. Uma bicicleta possui velocidade 4 ft/s e no

mesmo instante a roda traseira possui velocidade angular de 3

rad/s, o que causa escorregamento do ponto A da roda traseira

da bicicleta com o solo. Determine a velocidade do ponto A.

39. Se a barra AB possui velocidade angular AB = 4

rad/s, determine a velocidade do bloco deslizante C no instante

considerado.

40. A engrenagem D gira no sentido anti-horário

com velocidade angular D = 5 rad/s, enquando a barra AB gira

com velocidade angular no sentido horário de AB = 10 rad/s;

determine a velocidade angular da engrenagem C.

41. Um sistema de transmissão automática consiste

de 3 engrenagens A, B e C, montados num portador D,

conectados com a engrenagem interna E e a engrenagem

externa F (Sol). Pelo controle ao qual o sistema gira e quais

engrenagens recebem a potência, a transmissão automática

pode alterar a velocidade do carro e a direção. Se o portador

está girando no sentido anti-horário, com velocidade angular

D = 20 rad/s enquando a engrenagem F gira no sentido horário

com velocidade angular F = 10 rad/s, determine a velocidade

angular das engrenagens e da engrenagem externa (Sol). O raio

das engrenagens planetas (A, B e C) são 45 mm e da

engrenagem Sol 75 mm.

42. A grande bola de rolamento gira para a

esquerda com velocidade no seu centro de 0.9 m/s. No

mesmo instante, a esfera interna central gira no sentido

anti-horário com frequência de 240 rev/min. Determine a

velocidade angular de cada uma das esferas.

= 10.78 rad/s ⤸

0s ev v S O

0I iv v I O

P x(m) y(m)

O 0 0

I 0 0.1/2 =0.05

s 0 0.2/2=0.1

C 0 -0,25/2=-0.125

2402 2

60I If

S

I

C



39

8 25.13I

rad

s

25.13I

radk

s

0C ev v C O

0.9 0.125C ev i k j

0.9 0.125C ev i i

0.125 0.9 0 0.125 0.9C e ev i i

0.90.125 0.9

0.125e e

7.2e

radk

s

0.9 7.2 0.1

0.9 25.13 0.05

s

I

v i k j

v i k j

0.9 0.72 1.62

0.9 1.2565 2.1565

s s

I I

v i i v i

v i i v i

s Iv v S I

1.62 2.1565 0.05i i k j

1.62 2.1565 0.05i i i

0.5365 0.05i i

0.05 0.5365 0.5365

10.730.05

rad

s

10.73

radk

s

↻

43. (Cap. 16 Hibbeler) O trem de engrenagens

epicicloidal é accionado por a ligação rotativa DE, que

tem uma velocidade angular:

DE = 5 rad/s.

Se a engrenagem de anel F está fixa, determinar

as velocidades angulares de engrenagens A, B e C.

Ponto x(m) y(m)

D (Centro fixo)

0

0

b (Centro da engrenagem B)

0

0.09

E (Centro da engrenagem C)

0

0.16

PCF contato entre engrenagens

C e F

0

0.19

PCB contato entre engrenagens

C e B

0

0.13

PBA contato entre engrenagens

B e A

0

0.05

Barra ED:

E D DEv v E D

0 5 0.16Ev i k j

0.8E

mv i

s

b D DEv v b D

0 5 0.09bv i k j

0.45b

mv i

s

Engrenagem C:

CFP E C CFv v P E

0 0.8 0.19 0.16Ci i k j

0 0.8 0.03 Ci i



40

0.80.8 0.03 0

0.03C C

26.67C

radk

s

↺

CBP E C CBv v P E

0.8

0.8 26.67 0.13 0.16CBP

î

v i k j

1.6CBP

mv i

s

Engrenagem B:

CbP b B Cbv v P b

0.04

0.45 0.13 0.09CbP B

i

v i k j

0.45 0.04CbP Bv i

1.6 0.45 0.04 0.45 0.04 1.6B Bi i

1.150.04 1.6 0.45

0.04B B

28.75B

radk

s

BAP b B BAv v P b

1.15

0.45 28.75 0.05 0.09BAP

i

v i k j

0.7BAP

mv i

s

Engrenagem A:

BAP D A BAv v P D

0.05

0 0.05 0BA

A

P A

i

v i k j

0.05 0.7BAP Av i i

0.05 0.7A

0.7

0.05A

14A

radk

s

↺

44. Os colares A e B estão pino-conectados com a

barra ABD e podem deslizar-se ao longo de suas extensões. No

instante mostrado, a velocidade de A é 0.9 m/s para a direita.

Determine: (a) a velocidade angular da haste ABD; (b) a

velocidade do ponto D.

Ponto x(m) y(m)

A 0 0

B

0.3 sen600

0.26

0.3.cos600

0.15

D

0.6 sen600

0.519

0.6 cos600

0.3

B A ABDv v B A

0.9 0.26 0.15Bv i k i j

0.9 0.26 0.15Bv i j i

0.9 0.15 0.26Bv i j

0 0cos60 60B B Bv v i v sen j

0

0

0.9 0.15 cos60

0.26 60

B

B

v

v sen

0

0 0

0.9 0.15 0.9 0.150.26 60

cos60 cos60Bv sen

00.26 0.9 0.15 60tg

0

0

0.9 60

0.26 0.15 60

tg

tg

3rad

ks

↺

0

0.9 0.15 3

cos60Bv

0.9B

mv

s



41

D A ABDv v D A

0.9 3 0.519 0.3Dv i k i j

0.9 1.52 0.9Dv i j i

1.56D

mv j

s

⭡

45. No esboço simplificado de um rolamento de

esferas ilustrado, o diâmetro da pista interna A é de 60 mm

e o diâmetro de cada bola é de 12 mm. A pista externa B

é estacionária enquanto a pista interna tem uma

velocidade angular de 3600 rpm. Determine (a) a

velocidade do centro de cada bola, (b) a velocidade

angular de cada bola, (c) o número de vezes por minuto

cada bola descreve um círculo completo.

AP iv P C

36002

60i k

376.99i

radk

s

↺

376.99 0.03APv k i

11.31AP

mv j

s

B ee

P O e Bv v P O

B ii

P O e Bv v P O

Ponto x(m) y(m)

C 0 0

BeP

0.03+0.012

0.042

0

BiP

0.03 0

O 0.03+0.006

0.036

0

0.042 0.036 0.006B Be e

P O e P O ev v k i v v j

0 0.006 0.006O e O ev j v j

0.03 0.036 0.006B Bi i

P O e P O ev v k i v v j

11.31A Bi

P Pv j v

11.31 0.006O ej v j

11.31 0.006 0.006e ej j j

11.31 0.012 ej j

11.31

0.012e

942.5e

radk

s

150 90002

ee ef f Hz rpm

0.006 942.5Ov j

5.65O

mv j

s

46. Sabendo que a manivela AB gira sobre o

ponto A com uma velocidade angular constante de 900

rpm no sentido horário, determine a aceleração do pistão

P quando θ = 60 °.

148.3 m/s2w.

Ponto x(m) y(m)

A 0 0

B

005.sen600

0.0433

005.cos600

0.025

D

0 0.05.cos600+0.15.cos

0.1686

50 60 150sen sen

05060 0.2887

150sen sen sen

00.2887 16.78arcsen

9002 94.248

60AB AB



42

A

D

Pv

S

94.248AB

radk

s

B A ABv v B A

94.248 0.0433 0.025Bv k i j

2.3562 4.081Bv i j


94.248 94.248 0.0433 0.025Ba k k i j

94.248 2.3562 4.08Ba k i j

384.53 222.07Ba i j

2444.04B

fta

s

⦫300

Haste BD:

D B BDv v D B

0.433 0.1436D B BDv v k i j

0.1436 0.433D B BD BDv v i j

2.3562 0.1436 0.433 4.081D BD BDv i j

2.35622.3562 0.1436 0

0.1436BD BD

16.41BD

radk

s

↺

D B BD BD BDa a D B D B

0.0433 0.1436D B BDa a k i j

16.41 16.41 0.0433 0.1436k k i j

0.1436 0.0433D B BD BDa a i j

16.41 2.3565 0.71k i j

0.1436 0.0433D B BD BDa a i j

11.6527 38.67i j

384.53 11.6527 0.1436 222.07 38.652 0.0433D BD BDa i j

372.975 0.1436 260.717 0.433D BD BDa i j

372.975 0.1436 0BD

372.975

0.1436BD

2597.31BD

radk

s

260.717 0.0433 2597.31Da j

2148.3D

ma j

s

47. No sistema de engrenagens planetárias

mostrado, o raio das engrenagens A, B, C e D é 3 pol e o

raio da engrenagem exterior E é 9 polegadas. Sabendo que

a engrenagem A tem uma velocidade angular constante de

150 rpm no sentido horário e que A engrenagem externa

E é estacionária, determine a magnitude da aceleração do

dente da engrenagem D que está em contato com:

(a) Engrenagem A, (b) Engrenagem E.

1502 2

60 60

AA A

f

15.708A

radk

s

A

P

S

D

PE

Engrenagem A:

15.708 3P A Pv R v



43

D

Pv

S

D

Pv

Da

47.124P

inv

s

Engrenagem D:

P

D

PE

0 2E D D P Dv v R v R

Logo:

22

AP D A Dv R R

7.854D

radk

s

↺

Spider:

S

Sa

2DC S Dv R R

2 2

D AS S

3.927S

radk

s

Aceleração: 2 2 22 3.927 2 3s s s sa AD a R

292.528

CS D

ina a

s

Engrenagem D:

Dente T em contato com a engrenagem A:

Movimento plano: Translação com D + Rotação sobre D

A

T

D

PE

T D Tra a a

292.528T D Ca D T

292.528 7.854 3 92.528 185.056Ta

292.528T

ina

s

Dente da engrenagem D em contato com a

engrenagem E:

Movimento plano: Translação com D + Rotação sobre D

E ED D D ra a a

292.528ED D Ca D E

292.528 7.854 3 92.528 185.056EDa

2277.6

ED

ina

s

48. O braço AB tem uma velocidade angular

constante de 16 rad/s no sentido anti-horário.

No instante em que θ = 90 °, determine a aceleração (a)

do rebordo D, (b) do ponto médio G da barra BD.



44

15.124 (a) 242 in/s2 z. (b) 403 in/s2 d 72.58.

15.125 694 in/s2 z.

49. No sistema de engrenagens planetárias

mostrado, o raio das engrenagens A, B, C e D é 3 pol e o

raio da engrenagem exterior E é 9 polegadas. Sabendo que

a engrenagem A tem uma velocidade angular constante de

240 rpm no sentido horário e que A engrenagem externa

E tem frequência de 180 rpm no sentido horário,

determine a velocidade angular:

(a) das engrenagens B, C e D,

(b) da Spider.

50. refaça 48 para o instante em que θ = 60°.

51. Sabendo que a manivela AB gira sobre o

ponto A com uma velocidade angular constante de 900

rpm no sentido horário, determine a aceleração do pistão

P quando θ = 90 °.

Ponto x(m) y(m)

A

B

D



45

52. No sistema de engrenagens mostrado, utilizado

num sistema de transmissão automática de um automóvel,

considere o caso que a engrenagem R é fixa, com R = 0, e a

engrenagem S está girando com velocidade angular S = 5

rad/s. Determine a velocidade angular de cada engrenagem P e

do eixo A.

Ponto x(m) y(m)

S,A 0 0

sS

0 0.08

iS

0 -0.08

P 0 0.12

sP 0 0.16

iP 0 0.08

Engrenagem S:

5S

radk

s

sS S S Sv v S S

0 5 0.08sSv k j

0.4sSv i

Braço A:

A A k

P A Av v P A

0 0.12P Av k j

0.12P Av i

Engrenagem Menor centrada em P:

P P k

sP P P Sv v P P

0.12 0.04sP A Pv i k j

0.12 0.04sP A Pv i

iP P P iv v P P

0.12 0.04iP A Pv i k j

0.12 0.04iP A Pv i

Engrenagem R:

0R k

0sPv

0.12 0.04 0A P

0.04 1

0.12 3A P A P

Como:

i sP Sv v

0.12 0.04 0.4A P i i

0.12 0.04 0.4A P

Logo:

0.12 0.04 0.4

1

3

A P

A P

10.12 0.04 0.4

3P P

0.04 0.04 0.4P P

0.40.08 0.4

0.08P P

5P

radk

s

1 1

53 3

A P A

5

3A ;

1.67

5

3A

radk

s

↺

53. O rolete da figura possui velocidade vA = 6 ft/s

para a direita. Determine a velocidade angular da barra e a

velocidade do canto C mostrado.

P x(ft) y(ft)

A tg600 = 4/xA

xA=4/tg600=2.31

0

B

0 4

C

-(6 cos600- 4/tg600) = -0.69 6 sen600 = 5.2



46

C Av v C A

6 3 5.2Cv i k i j

6 5.2 3Cv i j

B Av v B A

6 2.31 4Bv i k i j

6 2.31 4Bv i j i

6 4 2.31Bv i j

V B⦪600

0 0cos60 60B B Bv v i v sen j 0

0

cos60 6 4

60 2.31

B

B

v

v sen

0.5 6 4

0.866 2.31

B

B

v

v

12 8Bv

0.866 12 8 2.31 10.392 6.928 2.31

10.39210.392 9.268 1.12

9.268

rad

s

1.12rad

ks

↺

6 5.2 3Cv i j

6 5.2 1.12 3 1.12Cv i j

0.176 3.36Cv i j

2 20.176 3.36 3.4ft

C C sv v

V C⦪0

03.3687

0.176arctg

54. Num dado instante, o topo A da barra tem a

velocidade e a aceleração mostradas. Determine a aceleração

angular da barra e a aceleração do ponto B da barra.

55. Num dado instante, o ponto A da barra tem

aceleração aA = 4 ft/s e velocidade vA = 6 ft/s, ambas para a

esquerda.

Determine a aceleração angular da barra e a

aceleração do ponto B topo da barra.

21.47

radk

s

↺

224.9B

fta j

s

56. Sensores de velocidade são colocados nos pontos

A, B e C de um satélite no instante mostrado, situados no plano

xy. Sabe-se que, nesse instante, os sensores mediram:

2xA

ftv

s ; 0.333

xB

ftv

s ; 2

yC

ftv

s

Mostre que a velocidade angular do satélite vale

0.583rad

ks

↻ e a velocidade do ponto B vale:

1.53B

ftv

s

e ⦩77.480

B Av v B A



47

57. Se a engrenagem anel D gira no sentido anti-

horário com velocidade angular:

5D

radk

s

↺

e o braço AB gira no sentido horário com velocidade angular:

10AB

radk

s

Determine a velocidade angular da engrenagem C.

P

P x(ft) y(ft)

A 0 0

B

0.375 0

P

0.5 0

B A ABv v B A

0 10 0.375Bv k i

3.75Bv j

Engrenagem anel D:

P A Dv v D A

0 5 0.5Pv k i

2.5Pv j

Engrenagem C:

P B Cv v P B

3.75 0.5 0.375P Cv j k i

3.75 0.125P Cv j

3.75 0.125 2.5C

0.125 2.5 3.75C

6.250.125 6.25

0.125C C

50C

radk

s

↺

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