UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

MOVIMENTO PARABÓLICO EM UM PLANO

INCLINADO

Turma T5

Antônio Roberto Leão da Cruz

Douglas Bispo dos Santos

Girlaine Araújo dos Santos

Juliano Almeida Perez

Tâmara Matos dos Santos

SÃO CRISTÓVÃO

2012

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Relatório de laboratório apresentado à

Universidade Federal de Sergipe, Centro

de Ciências Exatas e Tecnologia,

Departamento de Física, como um dos pré-

requisitos para a conclusão da disciplina

Laboratório de Física A.

Orientador: Mário Ernesto Giroldo Valerio.

SÃO CRISTÓVÃO

2012

1. INTRODUÇÃO

Em varias situações do nosso cotidiano o movimento parabólico está

presente. Se observarmos um jogador de futebol quando chuta a bola com um

determinado ângulo com a horizontal, a bola descreve no ar uma trajetória

parabólica. Quando a bola está subindo, a sua velocidade inicial vai diminuir até

atingir um valor mínimo no ponto mais alto da trajetória, movimento retardado, e, vai

aumentando quando está descendo até atingir o solo, movimento acelerado.

Para que ocorra variação na velocidade é necessário haver forças atuando;

desprezando a resistência do ar, a força que está atuando em uma bola sobre um

plano inclinado é a força peso. A força peso atua na vertical de cima para baixo,

desta maneira a aceleração que atua no movimento é a aceleração da gravidade,

que é dada por 𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃. O movimento da bola é um movimento bidimensional,

sendo realizado nas direções horizontal (x) e vertical (y). Este movimento é

composto por dois tipos de movimento:

- Movimento Uniforme na horizontal (x);

- Movimento Uniformemente Variado na vertical (y).

Este é o Principio da Independência dos Movimentos de Galileu, astrônomo e

matemático italiano, que entre muitas outras descobertas científicas provou que a

Terra se move em volta do Sol. Galileu usou a parábola para descrever o movimento

dos projéteis.

Dadas essas circunstâncias, a bola se desloca segundo uma parábola. Tais

circunstâncias podem ser observadas num simples lançamento oblíquo, onde,

desprezando o atrito do ar e demais efeitos o objeto se desloca verticalmente

acelerado pela ação da gravidade local, e, horizontalmente se desloca seguindo

velocidade constante. A força resultante será dada pela soma vetorial de duas

forças, a força peso e a força normal: R = P + N. As equações que descrevem

esses movimentos, considerando que a esfera é lançada no instante 𝑡𝑜 = 0 e

velocidade 𝑣𝑜 , são:

𝑥 𝑡 = 𝑋𝑜 + 𝑉𝑜𝑥 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜𝑦 𝑡 −𝑎𝑡2

2

Sendo: 𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑣𝑜𝑥 e 𝑣𝑜𝑦 são as componentes da velocidade inicial nas

direções x e y respectivamente, e valem:

𝑣𝑜𝑥 = 𝑣𝑜𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑣𝑜𝑦 = 𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝜃

Figura 01: Movimento Parabólico no Plano Inclinado.

Figura 02: Diagrama de Corpo Livre e Vista Lateral do Plano Inclinado.

2. OBJETIVOS

Estudar o movimento bidimensional de uma esfera em um plano inclinado;

Determinar as equações que descrevem o movimento;

Determinar o valor da aceleração da gravidade.

3. MATERIAIS E MÉTODOS

Para a realização deste experimento, foram utilizados os seguintes itens:

Uma esfera;

Um plano inclinado;

Uma haste e base de sustentação para o plano inclinado;

Um dispositivo para lançamento da esfera;

Uma câmera digital na opção filmadora com cabo de conexão para

transferência de dados;

Um tripé de fixação para a câmera;

Um paquímetro;

Uma régua;

Um Computador com os Softwares Tracker e SciDAVis instalados.

Segue abaixo a Figura 03 com o esboço do experimento:

Figura 03: Imagem captada durante a realização da experiência.

Inicialmente, foi determinado o diâmetro da esfera e sua respectiva incerteza

com o auxílio do paquímetro. Em seguida, utilizou-se a régua para medir a largura

da faixa amarela que se encontrava fixada no plano inclinado conforme a Figura 04.

Esta distância serve de referência para a análise do movimento da esfera sobre o

plano no Software Tracker.

Na sequência, conectamos a câmera ao tripé e posicionamos corretamente

o conjunto diante do plano inclinado, de maneira que a totalidade do plano fosse

captada pela lente da câmera. Posteriormente, posicionamos a esfera no dispositivo

lançador e gravamos vários movimentos da mesma sobre o plano.

Em seguida, importamos o vídeo dos movimentos da esfera para o Software

Tracker e selecionamos um movimento para ser analisado. Com a análise realizada,

obtivemos uma tabela de dados. Tal tabela foi usada para a elaboração de dois

gráficos de espaço x tempo através do Software SciDAVis.

A partir da confecção dos gráficos, foi possível encontrar a aceleração

resultante do movimento (𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃), a aceleração da gravidade (g) e as

componentes da velocidade inicial, (direções x e y) com as suas respectivas

incertezas.

Figura 04: Análises feitas com o auxílio do Software Tracker.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Segue abaixo as Tabelas 01, 02, 03, 04 e 05 que revelam respectivamente:

Os dados obtidos com a realização do experimento e os cálculos das incertezas

envolvidas; O resultado da velocidade inicial e de suas componentes, bem como as

incertezas envolvidas que foram obtidas a partir de cada gráfico; O valor encontrado

para a aceleração resultante e o valor calculado da aceleração da gravidade assim

como das incertezas envolvidas; Tabelas de dados obtidas com o Software Tracker:

Tabela 01

Medida 𝐝𝐞 (m) 𝐅𝐚𝐢𝐱𝐚𝐚𝐦𝐚𝐫𝐞𝐥𝐚 (m) Inclinação (º)

1 0,055 0,082 5

σ 0,00005 0,0005 0,1

Tabela 02

Gráficos Componentes 𝐕𝟎 σ

1 𝐕𝟎𝐱 (m/s) 0,948791252 0,013807652

2 𝐕𝟎𝐲 (m/s) 0,035625781 0,053834749

𝐕𝟎 (m/s) 0,949459865 0,013945007

Tabela 03

Aceleração (m/s²) σ

𝐚𝐱 0 0

𝐚𝐲 0,78016229 0,091824567

g 8,95135836 1,053568749

𝐠𝐭𝐞ó𝐫𝐢𝐜𝐨 (m/s²) 9,78

Tabela 04

Tempo (t) Incerteza (t) Posição (x) Incerteza (x)

0 0,033333333 -2,78E-17 0,0275

0,03333333 0,033333333 0,010036549 0,0275

0,06666667 0,033333333 0,01840034 0,0275

0,1 0,033333333 0,045164471 0,0275

0,13333333 0,033333333 0,07360136 0,0275

0,16666667 0,033333333 0,102038249 0,0275

0,2 0,033333333 0,132147896 0,0275

0,23333333 0,033333333 0,155566511 0,0275

0,26666667 0,033333333 0,187348916 0,0275

0,3 0,033333333 0,212440289 0,0275

0,33333333 0,033333333 0,242549936 0,0275

0,36666667 0,033333333 0,272659584 0,0275

0,4 0,033333333 0,301096473 0,0275

0,43333333 0,033333333 0,332878878 0,0275

0,46666667 0,033333333 0,362988525 0,0275

0,5 0,033333333 0,391425414 0,0275

0,53333333 0,033333333 0,419862303 0,0275

0,56666667 0,033333333 0,456662983 0,0275

0,6 0,033333333 0,488445389 0,0275

0,63333333 0,033333333 0,518555036 0,0275

0,66666667 0,033333333 0,546991925 0,0275

0,7 0,033333333 0,578774331 0,0275

0,73333333 0,033333333 0,615575011 0,0275

0,76666667 0,033333333 0,6440119 0,0275

0,8 0,033333333 0,68081258 0,0275

0,83333333 0,033333333 0,715940502 0,0275

0,86666667 0,033333333 0,752741182 0,0275

0,9 0,033333333 0,787869103 0,0275

0,93333333 0,033333333 0,8280153 0,0275

0,96666667 0,033333333 0,861470463 0,0275

1 0,033333333 0,90161666 0,0275

1,03333333 0,033333333 0,940090098 0,0275

1,06666667 0,033333333 0,978563536 0,0275

1,1 0,033333333 1,023728007 0,0275

1,13333333 0,033333333 1,062201445 0,0275

Tabela 05

Tempo (t) Incerteza (t) Posição (y) Incerteza (y)

0 0,033333333 0 0,0275

0,033333333 0,033333333 -0,003345516 0,0275

0,066666667 0,033333333 -0,003345516 0,0275

0,1 0,033333333 -0,008363791 0,0275

0,133333333 0,033333333 -0,015054824 0,0275

0,166666667 0,033333333 -0,020073098 0,0275

0,2 0,033333333 -0,021745856 0,0275

0,233333333 0,033333333 -0,025091373 0,0275

0,266666667 0,033333333 -0,030109647 0,0275

0,3 0,033333333 -0,03680068 0,0275

0,333333333 0,033333333 -0,045164471 0,0275

0,366666667 0,033333333 -0,05520102 0,0275

0,4 0,033333333 -0,063564811 0,0275

0,433333333 0,033333333 -0,070255844 0,0275

0,466666667 0,033333333 -0,080292393 0,0275

0,5 0,033333333 -0,0920017 0,0275

0,533333333 0,033333333 -0,100365491 0,0275

0,566666667 0,033333333 -0,115420315 0,0275

0,6 0,033333333 -0,132147896 0,0275

0,633333333 0,033333333 -0,143857204 0,0275

0,666666667 0,033333333 -0,162257544 0,0275

0,7 0,033333333 -0,168948576 0,0275

0,733333333 0,033333333 -0,192367191 0,0275

0,766666667 0,033333333 -0,204076498 0,0275

0,8 0,033333333 -0,224149596 0,0275

0,833333333 0,033333333 -0,244222694 0,0275

0,866666667 0,033333333 -0,262623034 0,0275

0,9 0,033333333 -0,282696133 0,0275

0,933333333 0,033333333 -0,309460264 0,0275

0,966666667 0,033333333 -0,346260944 0,0275

1 0,033333333 -0,364661284 0,0275

1,033333333 0,033333333 -0,389752656 0,0275

1,066666667 0,033333333 -0,413171271 0,0275

1,1 0,033333333 -0,449971951 0,0275

1,133333333 0,033333333 -0,483427114 0,0275

Estão listadas abaixo, todas as equações utilizadas nos cálculos que

envolveram o experimento:

MÉDIA

𝑥−

= 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

Geralmente, ao se realizar um experimento, várias medidas de um mesmo

objeto em questão são feitas para garantir um intervalo mais preciso da medição.

Por conseguinte, a média representa a melhor estimativa do valor real desejado.

DESVIO PADRÃO DA MEDIDA

𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝑥

− 2

𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

Faz-se necessário aplicar o conceito estatístico do desvio padrão da medida,

para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor médio.

INCERTEZA DO TIPO A

𝜎𝐴 =𝜎

𝑛

A incerteza do Tipo A utiliza conceito estatístico que se associa ao valor

médio. É estimado pelo desvio padrão da média e ainda, se torna mais exato,

quanto maior for o número de medidas envolvidas.

INCERTEZA DO TIPO B

A incerteza do tipo B ou incerteza instrumental é determinada através da

resolução do equipamento utilizado para as medições. No caso de um equipamento

digital, a incerteza de tipo B equivale à menor medida possível do aparelho; para um

equipamento analógico, deve-se dividir o menor valor da escala por dois para obter

a incerteza em questão.

INCERTEZA COMBINADA

𝜎𝐶 = 𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵 2

A incerteza Combinada representa o valor total das incertezas associadas às

medidas, ou seja, relaciona tanto a incerteza do Tipo A quanto a do Tipo B.

VELOCIDADE INICIAL RESULTANTE

𝑉0 = 𝑉0𝑥 2 + 𝑉0𝑦 2

FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO (DIREÇÃO X)

x = 𝑣𝑜𝑥 𝑡

x ≅ 0,95𝑡

FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO (DIREÇÃO Y)

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜𝑦 𝑡 −1

2𝑎𝑡²

𝑦 ≅ 0,036𝑡 −0,78

2𝑡²

ACELERAÇÃO RESULTANTE

𝑎 = 𝑔𝑆𝑒𝑛𝜃 Onde: g = Aceleração da gravidade;

θ = Ângulo de inclinação do plano.

ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

𝑔 =𝑎

𝑆𝑒𝑛𝜃

PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA A ACELERAÇÃO DA

GRAVIDADE

𝜎𝑔 = 𝜕𝑔

𝜕𝑎. 𝜎𝑎

2

=𝜕𝑔

𝜕𝑎. 𝜎𝑎

O vídeo foi importado para o Software Tracker e em seguida analisado.

Obtivemos duas tabelas de dados. Para a Tabela 04, obteve-se uma coluna para a

posição da esfera na direção do eixo x e outra para o tempo associado em cada

posição. Para a Tabela 05, obteve-se a posição da esfera no sentido do eixo y e o

tempo correspondente para cada posição.

A incerteza adotada para o tempo foi de 1/30 segundos, porque corresponde

ao tempo necessário para a maioria das câmeras registrarem um frame ou quadro.

A incerteza da posição adotada tanto para x quanto para y, foi o raio da esfera, uma

vez que analisamos a trajetória da esfera levando em conta a posição do centro da

mesma para a coleta de dados obtidos com o software Tracker.

Da teoria envolvida no experimento, espera-se que o comportamento do

gráfico espaço (x) x tempo seja uma reta. Uma vez que o movimento da esfera na

direção x é retilíneo uniforme. A previsão teórica para o gráfico espaço (y) x tempo

determina que o mesmo tenha um comportamento parabólico. Uma vez que o

movimento da esfera na direção y é um movimento uniformemente variável (queda

livre).

O valor calculado para a aceleração da gravidade (g) foi de:

𝟖, 𝟗𝟓𝟏𝟑𝟓𝟖𝟑𝟓𝟕 ± 𝟏, 𝟎𝟓𝟑𝟓𝟔𝟖𝟕𝟒𝟗 𝒎/𝒔²

O valor teórico é de 9,78 m/s². Podemos afirmar que este se encontra no intervalo

para o valor calculado de g; e conseqüentemente, podem ser considerados

numericamente iguais dentro da precisão mencionada.

5. CONCLUSÕES

Diante do exposto, fica evidente o sucesso do experimento, porque os

valores obtidos e calculados são compatíveis com a previsão teórica. Foi constatado

através do vídeo e dos gráficos que uma esfera lançada sobre a superfície de um

plano inclinado descreve um movimento parabólico. Nossos cálculos também

provam que dentro da precisão obtida com a realização do experimento, a

aceleração da gravidade atuante no movimento da esfera é compatível com o valor

teórico.

6. BIBLIOGRAFIA

YOUNG H. D.,FREEDMAN R. A., SEARS F. W., ZEMANSKY M. W., Física,

vol. 1, ed. São Paulo, 2005.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl, Fundamentos de

Física 1 - Mecânica, 8ª Edição, Rio de Janeiro: Editora LTC, 2008.

Faculdade de Ciências - Universidade de Lisboa, Breve História da

Matemática, disponível em:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/brevehistoria.htm, acessado em

26/04/2012.

Paty ctba, Movimento Parabólico, disponível em:

http://www.e-familynet.com/artigos/articles.php?article=2238, acessado em

27/04/2012.

Wikipédia, A Enciclopédia Livre, Movimento Parabólico, disponível em:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Movimento_parab%C3%B3lico, acessado em

27/04/2012.