29-10-2010

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Introdução ao movimento no plano

Prof. Luís C. Perna

Movimento de Projécteis

MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS

O disparo de um canhão ou de

uma espingarda, o movimento de

uma bola de golfe, depois de uma

tacada e o lançamento do martelo

ou do disco, nas provas olímpicas,

são apenas alguns exemplos de

situações muito comuns em que se

pode observar o movimento de um

projéctil.

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Mas o que é, de facto, um

projéctil?

É um corpo que se move no ar,

sob acção da força da gravidade,

quando lhe é aplicada uma força

inicial.

O movimento de um projéctil

caracteriza-se pela descrição de

uma trajectória parabólica, que

faz um ângulo com a horizontal.

MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS

O lançamento da figura, não é um lançamento vertical nem um lançamento

horizontal, é considerado lançamento oblíquo. O intervalo de tempo

decorrido entre duas posições sucessivas marcadas por pontos em destaque

sobre a curva da trajectória é sempre igual a 0,5 s. Como se pode observar

o valor do deslocamento efectuado na horizontal é sempre o mesmo.

MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS

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Suponha que o objecto era iluminado na vertical e que a sombra era

projectada no solo na direcção do eixo dos xx?

Como classificaríamos o movimento naquela direcção?

Sendo assim, que força resultante actua segundo aquele eixo?

MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS

Observemos agora o que se passa em relação ao eixo dos yy.

O deslocamento efectuado pelo projéctil, durante cada um dos intervalos de

tempo de 0,5 s é variável.

Como classificaríamos o movimento naquela direcção?

Sendo assim, que força resultante actua segundo aquele eixo?

MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS

Simulação

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Como concluímos, no movimento do

projéctil, a componente da aceleração

segundo o eixo dos xx é nula e a

velocidade naquela direcção é constante.

A componente da aceleração segundo o

eixo dos yy é constante e igual à

aceleração da gravidade, g, e a velocidade

naquela direcção é dada por vy=v0y-gt.

MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS

constante0 vax

gtvv

-ga

oyy

y

constante

Para situações, em que se despreze a resistência do ar, a única força que

actua no projéctil é o seu peso, também designado por força gravítica, que

é praticamente constante em direcção, sentido e módulo.

ou com |g| = 9,8 m/s2

Resumindo o lançamento obliquo de um projéctil pode ser estudado como a

sobreposição de dois movimentos: um movimento rectilíneo e uniforme,

segundo a direcção horizontal e outro rectilíneo e uniformemente variado,

segundo a direcção vertical.

MOVIMENTO DE PROJÉCTEIS

gmP

mgP

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Consideremos um projéctil que é lançado numa direcção que faz um ângulo

com a direcção horizontal – lançamento oblíquo.

Lançamento oblíquo: deve ser feito a decomposição do movimento em doismovimentos, um na vertical e outro na horizontal.

Simulação

ANÁLISE DO VECTOR VELOCIDADE

As equações que descrevem o

lançamento oblíquo são:

yx vvv 000

sin

cos

00

00

vv

vv

y

x

EQUAÇÕES QUE DESCREVEM O LANÇAMENTO OBLÍQUO

2

00

00

2

1gttvyy

tvxx

y

xCoordenadas de posição do projéctil, emfunção do tempo

gtvv

vv

yy

xx

0

0Componentes algébricas da velocidade

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yx vvv 000

sin

cos

00

00

vv

vv

y

x

QUANDO O ÂNGULO DE LANÇAMENTO FOR 0º

(LANÇAMENTO HORIZONTAL)

2

0

00

2

1gtyy

tvxx Coordenadas de posição do projéctil, em função do tempo

gtv

vv

y

x 0Componentes algébricas da velocidade

00 vv x 00 yv

Simulação

As equações que descrevem o lançamento horizontal são:

As equações que descrevem o lançamento vertical são:

yx vvv 000

sin

cos

00

00

vv

vv

y

x

QUANDO O ÂNGULO DE LANÇAMENTO FOR 90º

(LANÇAMENTO VERTICAL)

2

002

1

0

gttvyy

x Coordenadas de posição do projéctil,em função do tempo

gtvv

v

y

x

0

0Componentes algébricas da velocidade

00 xv00 vv y

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Da janela de um quinto andar, a 20,0 m de altura, deixa-se

cair um vaso de 2,50 kg de massa. Considere desprezável

a resistência do ar. Faça g = 9,80 m/s2.

a) Represente e identifique num esquema a força que

actua no vaso, bem como os vectores das suas velocidade

e aceleração, quando este passa num ponto qualquer da

trajectória que descreve durante a queda.

b) Determine o tempo que o vaso demora a atingir o solo.

c) Determine a velocidade com que o vaso atinge o solo.

EXERCÍCIO 1

b) t = 2,02 s c) v = - 19,8 m/s

Durante um jogo de ténis, um jogador faz um serviço em

que a bola é lançada, horizontalmente, com uma velocidade

de 25,0 m.s-1 (90 km.h-1). A rede tem uma altura de 0,90 m e

está situada a 12,0 m do local de serviço. A resistência do ar

pode ser desprezada.

a) Escreva as equações que permitem identificar as

posições (em x e em y) da bola com o tempo.

b) Determine a altura mínima (h) a que deve ser batida a

bola para que não toque na rede.

c) Calcule a distância (d) entre o ponto em que a bola bate

no solo e a rede.

EXERCÍCIO 2

b) h = 2,1 m c) d = 4,2 m a) x = 25 t y = h – 5 t2e

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Num movimento curvilíneo, a resultante das forças está sempre dirigida para

o interior da curva.

A força pode ser decomposta nas suas componentes:

Uma que é perpendicular à trajectória no ponto considerado, a componente

normal, Fn.

Outra que actua na direcção da velocidade, a componente tangencial, Ft.

AS COMPONENTES DA FORÇA

Os lançamentos oblíquos e os lançamentos horizontais de projécteis são

exemplos de movimentos em que a direcção da resultante das forças que

actuam num corpo é diferente da direcção da velocidade desse corpo.

Se a força fizer um certo ângulo não nulo com a velocidade, a trajectória

será obrigatoriamente curvilínea.

TRAJECTÓRIA CONSOANTE AS ORIENTAÇÕES DA FORÇA E DA

VELOCIDADE INICIAL

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TRAJECTÓRIA CONSOANTE AS ORIENTAÇÕES DA FORÇA E DA

VELOCIDADE INICIAL

Nota: Quando a força resultante é, em cada instante, perpendicular à direcção da

velocidade o que implica Ft = 0, a variação da velocidade, apenas varia a sua

direcção o movimento é circular e uniforme.

«Qualquer corpo abandonado em repouso e

sujeito à atracção gravítica terrestre cairá

verticalmente para a Terra. No entanto, se for

lançado com uma certa velocidade numa

direcção não vertical, irá atingir a superfície

terrestre a uma distância tanto maior do ponto

de lançamento, quanto maior for a velocidade

que lhe for inicialmente comunicada.»“Experiência” de Newton

Isaac Newton idealizou um canhão situado no cume de uma montanha. As balas eram

projectadas praticamente paralelas à superfície da terra, a velocidades crescentes.

Cada uma das balas caía na superfície da Terra, atraídas pela força gravítica, a

distâncias cada vez maiores em relação ao canhão. Pensou: “Se a velocidade de

lançamento da bala for suficientemente elevada, talvez a bala descreva uma trajectória

circular, acompanhando a curvatura da Terra...”

COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA?

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Tal como Newton pensou, para que um

satélite artificial seja colocado em órbita

circular em torno da Terra, é necessário

elevá-lo até uma certa altura (em relação

à superfície terrestre) e imprimir-lhe uma

velocidade bem determinada. Essa

velocidade de lançamento terá de ser

suficientemente grande para “vencer” a

força gravítica.

COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA?

Tal como no caso de um satélite artificial, a Lua descreve uma órbita praticamente circular em torno da Terra, sendo a força gravítica sempre perpendicular à velocidade.

A velocidade só varia em direcção, e

não o seu módulo, porque a força

gravítica é sempre perpendicular à

velocidade.

A velocidade tem um valor tal que permite o seu movimento em órbita.

A força gravítica é radial,

centrípeta e constante em

intensidade.

COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA?

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Os satélites não caem para a Terra

porque no momento em que ficam

sujeitos exclusivamente à acção

gravítica terrestre possuem uma

velocidade bem definida em módulo,

direcção e sentido.

COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA?

A única força que actua sobre um satélite geostacionário é a força

gravitacional, o que provoca uma mudança constante da direcção do vector

velocidade, embora não altere o seu valor (intensidade).

De acordo com estas condições, descreve-se o movimento de um satélite

como sendo um movimento circular uniforme (m.c.u.).

MOVIMENTO DE UM SATÉLITE EM TORNO DA TERRA

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MOVIMENTO DE SATÉLITES