módulo iv: leis de potência e auto-similaridade paulo r. guimarães jr marcus a. m. de aguiar

Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridadeMódulo IV: Leis de potência e auto-similaridade

Paulo R. Guimarães JrPaulo R. Guimarães Jr

Marcus A. M. de AguiarMarcus A. M. de Aguiar

Instituto de Física “Gleb Wataghin” Instituto de Física “Gleb Wataghin”

UNICAMPUNICAMP

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV

ConteúdoConteúdo

1. Fractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo

Módulo IV


Ao final desta aula, você deve ser capaz de: Ao final desta aula, você deve ser capaz de:

1. Entender a relação entre auto-similaridade e lei de potência

2. Entender as implicações para a diversidade da estrutura fractal da natureza

Módulo IV


ConteúdoConteúdo

1.1. FractaisFractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo

Módulo IV


Cálculo da Dimensão FractalCálculo da Dimensão Fractal

Cobrindo uma reta de comprimento 1 com segmentos menores:

Tamanho Número

1 1

Tamanho Número

1 1

½ 2

Dividindo o lado do segmento por 2, o número de segmentos multiplica por 2. Veja que N() = 1/.

Tamanho Número

1 1

½ 2

¼ 4

Cobrindo um quadrado de lado 1 com quadrados menores:

Tamanho Número

1 1

Tamanho Número

1 1

½ 4=22

Tamanho Número

1 1

½ 4=22

¼ 16=4*4=42

Tamanho Número

1 1

½ 4=22

¼ 16=42

1/2k (2k)2 = (1/)2

Dividindo o lado por 2, o número de quadrados multiplica por 4 = 22. Veja que N() = (1/)2 .

Cobrindo cubo de lado 1 com cubos menores:

Tamanho Número

1 1

Tamanho Número

1 1

½ 8=23

Tamanho Número

1 1

½ 8=23

¼ 64=43

1/2k (2k)3 = (1/)3

Dividindo o lado por 2, o número de cubos multiplica por 8 = 23.

Agora temos que N() = (1/)3 .

Podemos então definir a dimensão de uma figura com base nesse processo:

]/1log[

)](log[

N

d

d

N

1)(

Tomando o logaritmo dos dois lados podemos isolar d:

1

log1

log)](log[ dNd

e

Dimensão da Curva de Koch:

Tamanho Número

1 1

1/3 4

1/9 16=42

1/27 64=43

1/3k 4k

....26185.13log

4log

3log

4log

3log

4log

]/1log[

)](log[

k

kNd

k

k

FractaisFractais

1. Estruturas auto-similares

Módulo IV


Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística

Idéia:Idéia:

A medida de uma característica em uma certa parte do sistema é proporcional ao valor da medida da mesma característica para o sistema inteiro.

Módulo IV



Módulo IV


espacial escala certa uma em medida população

(ha) espacial escala r

população

N(r)

N


Módulo IV


N(r)r)N( ~


Módulo IV


kN(r)r)N(

Como investigar auto-similaridade estatística?Como investigar auto-similaridade estatística?

• A assinatura: leis de potência

Módulo IV


ConteúdoConteúdo

1. Fractais2.2. Leis de PotênciaLeis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo

Módulo IV


Lei de potênciaLei de potência

Módulo IV


ArrN

Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo

Módulo IV


2rrN

Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo

Módulo IV


222 rrrN

Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade

Módulo IV


2rrN

)(222 rNrrN


Módulo IV


)()(2 rkNrNrN


Módulo IV


)log(

)log(

brrN

brrN

Lei de potênciaLei de potência

Módulo IV


ArrN

r

N(r) ArrN

N(r)

r

ArrN

inclinação

Maioria das espécies tem poucas interações

Freqüência baixa de espécies com muitas

interações

ConteúdoConteúdo

1. Fractais2. Leis de Potência3.3. Passeios aleatóriosPasseios aleatórios4. Resumo

Módulo IV


Passeios aleatórios

Idéia:Idéia:

Um processo estocástico no qual uma partícula se move pelo espaço através de saltos aleatórios.

Módulo IV


http://vlab.infotech.monash.edu.au/simulations/swarms/random-walk/

Passeios aleatóriosPasseios aleatórios

D = 2 o passeio aleatório garante a cobertura de planos, mas não de espaços tridimencionais

Reações biológicas ocorrem em superfícies

E a estrutura tridimencional dos ambientes?

Módulo IV
