aula #16 similaridade entre modelo e protótipo

EM 461 – Prof. Eugênio Rosa

Aula #16

Similaridade entre modelo e protótipo

ProtótipoModelo


Recapitulação aula passada

• IMPORTANTE – EDO adimensional que possui a mesma C.I. e os mesmos K (note que K possui ) tem a mesma solução adimensional!

• Não é necessário resolver novamente a EDO.

• Este princípio é a base da similaridade entre modelos e protótipos.

* .

j* *

*

dU 1 onde gM V m

dt 1 t

1 U Ln K t * 0 t*<1

1 t *

• Na aula passada usamos o foguete com ar comprimido e água para mostrar que os grupos adimensionais surgem das eq. diferenciais que modelam o problema

• EDO adimensional esta abaixo onde: U*=U/Vj; t*=t/ e = M/m:.

A condição inicial é U*(0) = 0 e K é o único grupo adimensional do foguete de brinquedo;

K expressa a razão entre peso inicial do foguete com seu empuxo!


MERCURY

Mercury –

Redstone 1 nozzle


Razão de pesos e empuxo (mVj)

Saturno/Mercury


Existe similaridade entre foguetes reais?

• g é o mesmo para protótipo de modelo;

• Vj , velocidade de descarga do bocal é supersônica e

aproximadamente a mesma entre protótipo de modelo;

• Logo um foguete com peso inicial (M) maior deverá ter

obrigatoriamente uma vazão mássica maior ou seja mais bocais,

é o que acontece com o Apolo que possui 5 bocais!m


Existe similaridade entre foguetes reais?

• O empuxo e o peso nas condições de partida (lift off) dos foguetes

Mercury e Saturno estão mostrados na tabela

. .

j j

P M

V m V m1 Empuxo1

K g M g M Peso

Mercury Apolo

Empuxo kN 350 34178

Peso kN 297 28333

Empuxo/Peso (---) 1.18 1.21

• A diferença entre empuxo/peso entre foguetes é menor que 2,5% mostra que há similaridade entre os foguetes reais.

• Interessante que um parâmetro fundamental para um foguete de água também aplica para o Saturno V.


Aula sobre Semelhança entre

Protótipo de Modelo


SemelhançaA análise dimensional estabelece leis de escala que permitem converter dados experimentais de um Modelo ‘barato e pequeno’ em informação de projeto para um Protótipo ‘caro e grande’.

As leis de escala podem ser aplicadas desde que haja SEMELHANÇA entre o modelo e o protótipo.

Este é o assunto da aula de hoje.

BOEING F-18 BOEING F-18


Semelhança entre modelo e protótipo

• Vimos na aula passada que testes experimentais em um modelo, revela dependência funcional entre os grupos adimensionais pode ser estabelecida: 1 = f(2, 3, …, k)

• Nesta aula vamos levar a curva do modelo para um protótipo, ou vice e versa, usando similaridade.

• Pode-se dizer que os testes no modelo são similares ao protótipo desde que haja similaridade geométrica e todos parâmetros adimensionais possuírem os mesmos valores correspondentes entre o modelo e o protótipo, isto é:

• 1,M= 1,P desde que: 2,M= 2,P, 3,M= 3,P, … k,M= k,P


Exemplo – 1 – No exemplo 3 da aula passada,a tensão viscosa exercida por um escoamentonuma placa plana está relacionada por:w/U2 = f(Ux/).

Para igualar o Re em escoamentos de ar e deágua utilizando modelo/protótipo de mesmotamanho, qual escoamento irá requerer maiorvelocidade? Quanto maior ele deve ser?

Viscosidade água @ 20oC; 1,01.10-6 m2/s(Tab. A.10)Viscosidade ar @ 20oC; 1,50.10-5 m2/s(Tab. A.10)

Resp.: Uar = 15 x Uágua


Exemplo 2 – Trata-se da aplicação da similaridade entre

modelo e protótipo em uma esfera onde o modelo é testado com

ar e o protótipo opera na água. Foi apresentado na aula passada

que a força de arrasto de uma esfera está relacionado com as

propriedades do escoamento através de dois grupos

adimensionais:

Como a relação acima possui apenas um único grupo

adimensional independente, a semelhança entre modelo e

protótipo ocorre se:

VDf

DV

F22

PM

VDVD


2 2 2 2

M PF V D F V D então :

M P

VD VD Se houver a igualdade de Re:

O modelo é testado com ar, vel. VM, diâmetro DM e força FM

O protótipo opera na água, velocidade VP.Determine DP e FP

P M MP MP M

M P P

VVD VD D D

V

2 2

2 2 2 2 P P PP MP M

M M M

V DF V D F V D F F

V D

A força, F, experimentada pelo modelo e protótipo são diferentes, mas (F/V2D2) entre modelo e protótipo são iguais!

Sob algumas restrições, os dados experimentais do modelo podem ser obtidos num túnel de vento e serem aplicados para prever o arrasto da esfera na água.

Exemplo 2 - continuação


Exercício 1 - Uma asa com corda ‘l’ = 5ft e largura ‘s’ = 30 ft é projetada para se mover no ar padrão a 230 ft/s. Considere o escoamento de ar com efeitos de compressibilidade desprezíveis, Ma <0,3. Para um modelo em escala 1:10 testado em um túnel de água determine:

a) A velocidade no túnel água para haver similaridade e

b) A razão entre as forças medidas.

( & ) Protótipo (Ar) 3,74.10-7 lbf.s/ft2 & 0.00238 slug/ft3

( & ) Modelo (Água) 2,37.10-5 lbf.s/ft2 & 1.94 slug/ft3

Resp.: a) 54,5 m/s ou 179 ft/s

b) 4,94


Exemplo 2 - O aumento de pressão, Dp, de um líquido escoando emregime permanente através de uma bomba centrífuga depende dodiâmetro do rotor da bomba D, da velocidade angular do rotor, w, davazão em volume Q e da densidade . Na aula passada foi visto que osgrupos adimensionais estão relacionados por: DP/(w2D2) = f[Q/(wD3)]A tabela fornece dados para protótipo e modelo da bombageometricamente semelhantes. Para as condições de semelhança calculeos valores que faltam na tabela

Variável Protótipo Modelo

Dp ? 29,3 kPa

Q 1,25 m3/mim ?

800 kg/m3 999 kg/m3

w 183 rad/sec 367 rad/sec

D 150 mm 50 mm

Resp.:

DPp = 52,5 kPa

Qm = 0,093 m3/min


Real world is not so simple


Semelhança completa x incompleta

Do ponto de vista matemático, a igualdade das variáveis

adimensionais independentes assegura a semelhança completa.

Isto é fácil fazer matematicamente mas na maioria das vezes é

impraticável no laboratório!

Em engenharia ao invés de se falar em semelhança ou

similaridade completa fala-se de tipos particulares de

semelhança:

– Geométrica

– Dinâmica

– Térmica


Similaridade Geométrica

1. O nariz do modelo tem um raio 1/10 do raio do protótipo.

2. A rugosidade do modelo é 1/10 da rugosidade do protótipo.

3. Todos os comprimentos do modelo são 1/10 do protótipo.

4. O ângulo de ataque do modelo e do protótipo faz 10 graus com a corrente livre.

Similaridade geométrica garante que as condições de contorno do problema no protótipo e do modelo sejam as mesmas!

O modelo e o protótipo são geometricamente similares se todas as dimensões do corpo nas 3 coordenadas possuírem mesma razão linear.

razão 10:1


Similaridade Geométrica

1. As esferas são todas geometricamente similares e podem ser testadas com segurança desde que Re, Fr e outros parâmetros coincidirem.

2. Os elipsóides, apesar de parecerem semelhantes não possuem a mesma escala para as três coordenadas, portanto utilizá-los para comparação é um julgamento grosseiro do ponto de vista de engenharia!

Modelos que ‘parecem’ similar em forma mas que violam os requisitos de similaridade geométrica não devem ser utilizados para testes.

SIMILARES

NÃO

SIMILARES


Similaridade Dinâmica

O primeiro requerimento é a similaridade geométrica, sem ela não há condições para existir similaridade dinâmica.

A similaridade dinâmica existe quando o modelo e protótipo possuem a mesma razão de comprimento, tempo e força.

Ela passa a existir se todos os grupos adimensionais forem idênticos.

1. Para escoamento incompressível (líquido ou gases Ma < 0.3) sem superfície livre: mesmo Re no modelo e protótipo sem cavitação.

2. Para escoamento incompressível com superfície livre: mesmo Re, Fr e se necessário mesmo Weber e número de cavitação no modelo e protótipo.

3. Para escoamento compressível: mesmo Re, Mae razão de calores específicos no modelo e protótipo devem ser iguais.


Testes em água: tanques de onda e

existência de superfície livre

O arrasto D depende das

variáveis:

D = f(,,g,V,L)

n = 6 e r = 3 3s

L

V

Dg

1

22

2

arrasto

3 2

molhada

VLReynolds

VFr

gL

FReynolds

V A


Discrepâncias em testes em água com superfície livre

A perfeita similaridade dinâmica é mais sonho do que realidade. Os requerimentos impostos pela igualdade de Re e de Fr impõem dramáticas mudanças nos fluidos de teste entre modelo e protótipo. Vamos ver porque...

Embarcações possuem superfície livre. A similaridade geométrica;

LM/LP = a e a similaridade requer Re e Fr equivalentes!

A velocidade e o comprimento estão restritos pelo Fr, portanto para

satisfazer Re é necessário que a razão de viscosidades seja:

2 22

M P M P

VL VL V VRe = e Fr =

gL gL

M M M M M

P

3

P P P P

2L V L L

L V L L

a


Para um modelo em escala 1:10, a = 0,1, a razão entre as viscosidades

do modelo e protótipo será:

Como a viscosidade do protótipo é, obviamente, a água ( = 1cSt), a similaridade requer que o fluido de teste do modelo tenha um líquido com viscosidade 32 vezes menor que a da água ou ( = 0,032 cSt), !

Não existe este líquido na natureza com 0,032 cSt. Veja tabela de viscosidades de líquidos no link2.

Aproximação: Froude é o parâmetro dominante para superfície livre então a similaridade com Fr é mantida, mas a similaridade com Renão é respeitada.

Os testes no modelo e no protótipo são realizados com água garantindo o mesmo Froude mas não Reynolds!

3M 2

P

1 0,032

32 a

Discrepâncias em testes em água com superfície livre - continuação

http://www.engineeringtoolbox.com/kinematic-viscosity-d_397.html


• Reynolds do modelo são pequenos, tipicamente de 10 a 1000 vezes menor que protótipo.

• Aproximação: a influência do Re é obtida por ‘extrapolação’ para faixa de operação do protótipo. Há, obviamente, considerável incerteza na extrapolação!

Discrepâncias em testes em água com superfície livre - continuação


Discrepâncias em testes com água

– efeito da tensão superficial

Não se consegue similaridade em água em modelos de escoamentos naturais como rios, estuários, portos

Estes escoamentos possuem grandes dimensões horizontais mas pequena dimensão vertical (profundidade).

Se você construir um modelo em escala 1:1000, ele terá uma profundidade de alguns milímetros!

O escoamento será dominado pela tensão superficial (Bond gh2/s e Weber V2L/s) e não pela gravidade. Portanto não é possível escalar a profundidade do canal no modelo.


Ondas capilares e dominadas pela gravidade

A capillary wave is dominated by theeffects of surface tension.The wavelength of capillary waves onwater is typically less than a fewcentimeters, with a speed in excess of0.2–0.3 meter/second.

Wave is dominated by the gravity inshallow water. The wavelength of istypically range from few meters to 100m, with a speed 1 to 15 meter/second.


The cavitation

phenomenon is

characterized by the

formation and quick

growth of vapor bubbles in

the presence of a

depression, followed by a

violent implosion. Such an

implosion, often

supersonic, can generate a

spherical shock wave in

the liquid developing

pressures higher than the

solid material yield stress.

Discrepâncias em testes com água – efeito da cavitação

cavitação numa hélice

cavitação num cilindro


Cavitação fixa num Venturi

incandescent light, strobe light, exposure time 1/30 sec exposure time 5s

Cavitação num Venturi. Água, 15 m/s, diâmetro da garganta 10 mm, Re = 1,4 x 105


Erosão causada pela cavitação móvel no rotor de uma bomba centrífuga


Propeler CavitationLink:

using strobo light technique

min vap

212

P PCa

U

Ca é um valor determinado experimentalmente usualmente fornecido pelo fabricante.

Erosão causada pela cavitação móvel numa hélice

Propeller_Cavitation.wmv


Exercício 3 – Um automóvel deve trafegar no ar padrão a 100 km/h (27,8m/s). Para determinar a distribuição de pressão, um modelo em escala 1/5 deve ser testado num túnel de água.

i. Quais fatores devem ser considerados a fim de assegurar semelhança nos testes?

ii. Qual a razão entre forças de arrasto para os escoamentos sobre o protótipo e sobre o modelo?

iii.O menor Cp é -1.4. Ele ocorre no ponto de pressão estática mínima sobre a superfície. Estime a pressão mínima no túnel necessária para evitar cavitação se esse fenômeno se desencadeia quando Ca = 0.5.

v túnela P2 21 1

L L2 2

Considere as definições:

P P P PC e C

V V

Ford AU Falcon V8

Resp.:

Umodelo = 9,51 m/s

Razão de forças: 0,262

Ptúnel: 88,1 KPa


Testes em Túneis de Vento


Túneis de Vento (wind tunnels)

ONERA - FRANÇA NASA- AMES - CA


Discrepâncias em testes com arEm escoamentos compressíveis o efeito da força de campo não influi.

Os requerimentos para a igualdade de Re e de Ma impõem grandes

mudanças nos fluidos de testes entre modelo e protótipo.

Eliminando-se VM/VP da relação, obtêm-se a razão das viscosidades de

forma a satisfazer a igualdade ReM = ReP:

M P M P

VL VL V V e onde c = kRT

c c

M M P

P P M

L c

L c

• Modelo e protótipo que opera no ar com uma razão LM/LP = 1/50 .

• A viscosidade modelo é ~ 50 vezes menor que a viscosidade do ar.

• Existe gás com viscosidade 50 vezes menor que a viscosidade do ar

P P P

M M M

k R Tporque 1

k R T P P PM M

P PM M M

k R TL L=

L Lk R T


Para uma razão LM/LP = 1:50, M = ar/50.

Existe gás capaz de satisfazer a similaridade

p p pM M

P P M M M

k R TL = 0.02

L k R T


Discrepâncias em testes com ar

Como o protótipo opera com ar (sem dúvida!) então o fluido do túnel de vento tem que ter baixa viscosidade para uma razão LM/LP <1.

É muito caro substituir o ar por outro fluido no túnel de vento, portanto a similaridade com Re não é satisfeita para permitir similaridade com Ma.

A dependência com Re é extrapolada dos testes do modelo para faixa de operação do protótipo.

A distância entre o Re do protótipo e modelo é mostrada na figura. Ela aumenta com o aumento de velocidade dos veículos e com o aumento de suas dimensões.

Super-Sonic flight

condensation waves

due air expansion

x

jet1.mpeg


Retorno ao exemplo 2

Trata-se da aplicação da similaridade entre modelo e protótipo em

uma esfera onde o modelo é testado com ar e o protótipo opera na

água.

Quais recomendações no teste do modelo em ar você faria

Resp.: Assegurar que o n. Mach < 0,3 para garantir que não há

efeitos de compressibilidade na esfera.

Quais recomendações na operação do protótipo em água você faria

Resp.: Assegurar que não ocorra cavitação, não previsto nos testes

com o modelo.


Exercícios recomendados(1)

(2)

(4) O aumento de pressão detectado pela onda gerada numaexplosão é, aproximadamente, igual a quantidade deenergia liberada, E, da massa específica do ar, , davelocidade do som no ar, c, e da distância a partir docentro da explosão, d. (i) construa a forma adimensionaldesta relação (ii) considere duas explosões: a explosãodo protótipo com liberação de energia E e a modeloonde a liberação de energia é Em = 0,001E. Determine adistância do centro de explosão do modelo onde ocorreum aumento de pressão igual aquele detectado a 1,6 kmdo centro de explosão do protótipo.

(3)

(5) An airplane, of overall length 55 ft, is designed to fly at

680 m/s at 8000-m standard altitude. A one-thirtieth-scale

model is to be tested in a pressurized helium wind tunnel

at 20°C. What is the appropriate tunnel pressure in atm?

Even at this (high) pressure, exact dynamic similarity is

not achieved. Why?


Exercícios recomendados (Aula 16)

(1) Resp: 𝑅𝑒𝑀 = 𝑅𝑒𝑃; 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷;𝑈𝑀

𝑈𝑃=

𝐷𝑝

𝐷𝑀= 𝑓;

𝐹𝑀

𝐹𝑃=

𝑈𝑀2 𝐷𝑀

2

𝑈𝑃2𝐷𝑃

2 = 1

(2) Resp: 𝐶𝐷=𝑃𝑎+𝜌𝑔𝑧−𝑃𝑣

𝜌𝑉2; Para V=8, 𝐶𝐷 = 0,396; 𝑖) 27,17

𝑚

𝑠𝑖𝑖) 𝑧 = 26,5 𝑚

(3) Resp: 𝐹𝑟𝑀 = 𝐹𝑟𝑃; 𝐶𝐷= 𝐶𝐷; 𝑉𝑀 = 𝑉𝑃𝐿𝑀

𝐿𝑃;𝐹𝑃

𝐹𝑀=

𝐿𝑃

𝐿𝑀

3

4) Resp: Π1 =ΔP

𝜌𝐶2; Π2=

E

𝜌𝐶2𝑑3,

5) Resp: Mach =𝑉

𝐶; 𝑀𝑎𝑐ℎ𝑀 = 𝑀𝑎𝑐ℎ𝑃; 𝑅𝑒𝑀 = 𝑅𝑒𝑃; 𝜌𝑀 =

𝜌𝑉𝐿

𝜇 𝑀⋅

𝜇

𝑉𝐿 𝑃

𝑖) 𝑉𝑀 =𝑉𝑃 𝐶𝑀

𝐶𝑃;

ii)𝑀

𝜌𝐶2 𝑑3; Logo, 𝑀𝑀 = 𝑀𝑃; 𝑑𝑀

3 =𝐸𝑀

𝐸𝑃𝑑𝑃3; Δ𝑃𝑀 = Δ𝑃𝑃


FIM

aula #16 similaridade entre modelo e protótipo

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