mÓdulo de matemÁtica_10º_i.p.t.v..docx

8/16/2019 MÓDULO DE MATEMÁTICA_10º_I.P.T.V..docx

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REPÚBLICA DE PANAMÁ

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA

DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN DE VERAGUAS

INSTITUTO PROFESIONAL Y TÉCNICO DE VERAGUAS

AÑO LECTIVO 2011

SANTIAGO, VERAGUAS, PANAMÁ

MÓDULO DE MATEMÁTICA

ESTUDIANTE: ____________________

PROFESOR: ALEXIS J MONTALVO G

ASIGNATURA: MATEMÁTICA

NIVEL: X!

GRUPO: CUARTO

SECCIÓN: BAC"ILLERATOS INDUSTRIALES Y GESTIÓN FAMILIAR E

INSTITUCIONAL


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PRÓLOGO

El aprendizae de la! "a#e"$#i%a! e!#$ %&n!iderad& %&"& 'na pr'e(a e)iden#e de la%apa%idad in#ele%#'al * el apr&)e%+a"ien#& de 'n e!#'dian#e, O#r&! !a(ere! & di!%iplina!n& +an al%anzad& el pre!#i-i& a%ad."i%& /'e !e %&n%ede a la! "a#e"$#i%a!Pr&(a(le"en#e n& e! !0l& p&r/'e re/'iere el "ane& de n&%i&ne! a(!#ra%#a!1 !in& p&r/'ee!#$ en la (a!e de r&! aprendizae! * e!pe%ial"en#e en el e!#'di& de la! "a#eria!%ien#23%&4#.%ni%a!, A "en'd& el al'"n& /'e en%'en#ra di3%'l#ade! en e!#a a!i-na#'ra#iende a ren'n%iar: la 5ra!e yo no sirvo para las matemáticas !'ele !er la e6pre!i0n dee!#a ren'n%ia,

Sin e"(ar-&1 la! "a#e"$#i%a! e!#$n #an al al%an%e de l&! e!#'dian#e! %&"& p'edae!#arl& %'al/'ier ra "a#eria, E!#a"&! +a(land& de l&! e!#'dian#e! /'e e!#'dianna#'ral"en#e1 p&r/'e1 pe!e a /'e +a* /'ien de3ende /'e n& +a* /'e e!#'diarla!1p&r/'e (a!#a %&n en#enderla!1 l& %ier#& e! /'e el 5ra%a!& e!%&lar en "a#e"$#i%a! n&pr&)ienen %a!i n'n%a de la 5al#a de %apa%idad 7& p&r l& "en&! n& en "a*&r -rad& /'e enra! "a#eria!81 !in& de la 5al#a de e!#'di& * de 'n ".#&d& de aprendizae ade%'ad&,

#C$%& '()(* (+-'./+( /+ %/(%.3/+4 #C- (+ ( %5&'& %+ /'(3-/'&4La )erdad e! /'e n& +a* 'n !&l& ".#&d&1 %&"& n& +a* #a"p&%& 'n !&l& #ip& dein#eli-en%ia & 'n !&l& #ip& de e!#'dian#e, Cada per!&na de(e en%&n#rar !' ".#&d&1 el"$! ade%'ad& a !' e!#il& de aprendizae1 el /'e le rep&r#a "a*&r e3%a%ia, Per&1 !ea %'al!ea !' ".#&d& de e!#'di&1 de(er$ in#e-rar l&! !i-'ien#e! pa!&! & pr&%e!&!:

• L/ .'(*.63/3.$* '( 7&)(%/ / 8-( '/ (+7-(+/ 3/'/ /7(*'.9/:(P&r/'e #&d& %'an#& el e!#'dian#e de(a aprender %are%er$ de )al&r & !i-ni3%ad&para .l !i n& re!p&nde a 'n pr&(le"a plan#ead& pre)ia"en#e1 a al-& %&n l& /'ep'eda rela%i&nar el aprendizae /'e !e le pr&p&ne, A!21 p&r ee"pl&1 aprender /'.e! * %0"& !e %al%'la la ra2z %'adrada e! "en&! !i-ni3%a#i)& * "i)ad&r /'eaprender %0"& %al%'lar %'$n#&! "e#r&! lineale! de "'r& de(er$n %&n!#r'ir!e para

%errar 'n& de l&! lad&! de 'n #erren& %'adrad& de 9 ";,• E (+/)(3.%.(*& '( (/3.&*(+ $;.3/+ 8-( 7(%./*, 7& .*'-33.$* <'('-33.$*, (;/ / (*-*3./'& '( (;/+ < 7.*3.7.&+, de "&d& /'e ee!#'dian#e a prenda a pa!ar del %a!& par#i%'lar al en'n%iad& -eneral, < de .!#e a lare!&l'%i0n de #&d&! l&! %a!&! de 'na "i!"a %a#e-&r2a, En e!#e pr&%e!& !e +allani"pli%ad&! r&! pr&%e!&! !i-ni3%a#i)&!1 en#re l&! %'ale! la iden#i3%a%i0n de la!)aria(le! rele)an#e! en 'n pr&(le"a,

• L/ .'(*.63/3.$* '( 3&*3(7&+ < ( -+& 7(3.+& '( (*;-/:( %/(%.3&para la de!%rip%i0n de pr&(le"a! * pr&%e!&!1 de "&d& /'e el e!#'dian#e n& !0l&!ea %apaz de '#ilizarl&! en 'n %&n#e6#& de e!#'di& de la "a#eria1 !in& de apli%arl&!a la de!i-na%i0n1 de!%rip%i0n * e6pli%a%i0n de !i#'a%i&ne!1 e6perien%ia! *

5en0"en&! en !' pr&pi& in#ern&,• E /7(*'.9/:( '( &+ '.=(+&+ 7&3('.%.(*&+ '( 33-& < &7(/.=&+,

iden#i3%and& %'$le! !&n la! )aria(le! /'e in#er)ienen1 l&! pr&%e!&! de#ran!5&r"a%i0n & -enera%i0n de da#&! /'e !e pr&d'%en * la in#erpre#a%i0n & le%#'rae6a%#a del re!'l#ad& %&"& n'e)a in5&r"a%i0n1 * re%&n&%iend& %&"& #ale! la!e!#ra#e-ia!1 re%'r!&! * r'#ina! '#ilizad&!1 !in iden#i3%arla! & %&n5'ndirla! %&n elpr&%edi"ien#& en !2 "i!"&, A!21 p&r ee"pl&1 el e!#'dian#e n& !0l& de(e %&n&%er%&n !e-'ridad el al-&ri#"& de la "'l#ipli%a%i0n1 !in& /'e de(e !er !a(er p&r /'. enel al-&ri#"& &pera#i)& de!plaza 'n l'-ar +a%ia la iz/'ierda la e!%ri#'ra de %ada


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n'e)& pr&d'%#& para al 3nal &(#ener1 !'"and& l&! pr&d'%#&! par%iale!1 el re!'l#ad&de la &pera%i0n,

• L/ /7.3/3.$* '( &+ 3&*3(7&+ < 7&3('.%.(*&+ /7(*'.'&+ / /'(6*.3.$* < (+&-3.$* '( 7&)(%/+ de #&d& #ip&1 n& !0l& de 2nd&le pr$%#i%a!in& #a"(i.n de &rden e!pe%'la#i)&1 re%'perand& de e!#e "&d& el )al&r de la!"a#e"$#i%a! %&"& %&n&%i"ien#& in!#r'"en#al en #&da! la! $rea! de%&n&%i"ien#&1 e/'ipara(le al )al&r in!#r'"en#al del len-'ae,

A #&d&! l&! e!#'dian#e! del %'r!& de Re5&rza"ien#& de Ma#e"$#i%a !e diri-e e!#e "0d'l&1/'e +a !id& %&n%e(id& * de!arr&llad& %&n el =ni%& pr&p0!i#& de 5a%ili#ar el aprendizae#e0ri%& * pr$%#i%& de l&! %&n#enid&! "a#e"$#i%&! e!#'diad&! en el ni)el de 'nd.%i"&-rad&,

INTRODUCCIÓN

De!de 'na per!pe%#i)a peda-0-i%a ren&)ada * a%#'al1 la en!e>anza e! 'n pr&%e!& %'*&pr&p0!i#& 5'nda"en#al e! ap&*ar * &rien#ar el aprendizae a #ra).! de la "edia%i0n%&-ni#i)a /'e de(e realizar el d&%en#e,

E!#e "0d'l& de Ma#e"$#i%a +a !id& de!arr&llad& de a%'erd& al pr&-ra"a )i-en#e del

Mini!#eri& de Ed'%a%i0n1 para l&! e!#'dian#e! /'e %'r!an el D.%i"& Grad&, En e!#e "0d'l& e"peza"&! %&n la pr&5'ndiza%i0n de la Pen%ia%i0n1 la Te&r2a de l&!e6p&nen#e! * N="er&! en Na%i0n Cien#23%a, In%l'*e1 ade"$!1 la Radi%a%i0n * !'!&pera%i&ne! ($!i%a!1 * p&r =l#i"& la E%'a%i0n %'adr$#i%a1 !'! ".#&d&! de !&l'%i0n *-r$3%a,

El len-'ae e"plead& en el de!arr&ll& de l&! #e"a! e! !en%ill& * ade%'ad& al ni)el1 %&nde3ni%i&ne! * ee"pl&! en %ada #e"a1 de la %'al e!per& /'e l&! e!#'dian#e! l&-ren 'napr&)e%+a"ien#& e5e%#i)& * d'rader&1 *a /'e #&d&! l&! #e"a! +an !id& de!arr&llad&! de"anera "e#0di%a * &rdenada"en#e,

Al 3nal del de!arr&ll& de l&! #e"a!1 apare%en eer%i%i&! de pr$%#i%a %&rre!p&ndien#e! a%ada 'n&1 /'e %&"ple"en#a * 5a%ili#a el !i!#e"a en!e>anza4aprendizae,

E!per& /'e "i e!5'erz& !ea %&"prendid& p&r l&! al'"n&! * #&d& a/'el /'e en 'na ' ra5&r"a e!#$ rela%i&nad& %&n la a%#i)idad d&%en#e,

Re%&"iend& a #&d&! l&! al'"n&! /'e +a-an #&da! la! pr$%#i%a! en el %'adern&, Re%'erde/'e el d&"ini& de la! "a#e"$#i%a! !0l& p'ede aprender!e pra%#i%and&,

A "i! e!#i"ad&! %&le-a!1 a-rade%i.nd&le /'e "e pr&p&r%i&nen la! re%&"enda%i&ne! *

!'-eren%ia! ne%e!aria! para el "e&ra"ien#& del "0d'l&,Pr&5e!&r

Ale6i! ?, M&n#al)& G


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POTENCIACIÓN

INTRODUCCIÓNEn el de!arr&ll& de e!#a 'nidad )a"&! a %&n#in'ar %&n el e!#'di& de d&! &pera%i&ne! /'e!&n in)er!a! en#re !2: la Pen%ia%i0n * la Radi%a%i0n, A)anzare"&! en la re!&l'%i0n dela! &pera%i&ne! %&n di5eren#e! %la!e! de n="er&! * apli%are"&! !'! pr&piedade! parare!&l)er di!#in#&! pr&(le"a!,

POTENCIACIÓNLa potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base y exponente .

Se escribe , y se lee: « elevado a ».

C'and& el e6p&nen#e e! 'n n="er& na#'ral1 e/'i)ale a "'l#ipli%ar 'n n="er& p&r !"i!"& )aria! )e%e!: el e6p&nen#e de#er"ina la %an#idad de )e%e!,

TEOR@A DE LOS EPONENTES

E>7&*(*( (*(& 7&+..=&El en#er& p&!i#i)& /'e indi%a el n="er& de )e%e! /'e la (a!e !e '#iliza %&"& 5a%#&r1 !ella"a e6p&nen#e en#er& p&!i#i)&, En el e6p&nen#e e! B1 en e! 1 en e!

* en e! ,

L(


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%8 1 %'and&

Ee"pl&!:98

B8

8

8

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8

@ P&(*3./ '( -*/ 7&(*3./

Ee"pl&!:98

B8

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8

P&(*3./ '( -* 7&'-3&

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B8

8

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8

P&(*3./ '( -* 3&3.(*(

Ee"pl&!:


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B8

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8

PRÁCTICA N99, E!%ri(ir la! !i-'ien#e! e6pre!i&ne! en 5&r"a e6p&nen%ial,

a8(8

%8

d8

e8

58

-8B, En%&n#rar el )al&r de la! !i-'ien#e! pen%ia!,a8

(8

%8

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e8

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-8

, En%&n#rar el pr&d'%#&,a8


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(8

%8

d8

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+8

i8

8

, En%&n#rar el %&%ien#e,

a8(8

%8

d8

e8

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-8+8

i8

8

H8

, E6pre!ar %ada 'n& de l&! !i-'ien#e! eer%i%i&! en 5&r"a de pen%ia!,a8

(8

%8

d8

e8

58


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, E6pre!ar l&! !i-'ien#e! pr&d'%#&! %&"& 'na !i"ple pen%ia,a8

(8

%8

d8

e8

58

-8

+8

i8

8

, E6pre!ar %ada %&%ien#e1 %&"& 'na pen%ia,a8

(8

%8

d8

e8

58

-8

+8

i8

E>7&*(*( 0De a%'erd& a la de3ni%i0n de pen%ia1 la pen%ia %are%e de !i-ni3%ad& p'e! n&

e6i!#e pr&d'%#& %'and& n& +a* nin-=n 5a%#&r, Para e!#e %a!& !e p'ede dar 'nade3ni%i0n par#i%'lar1 per& /'e .!#e de a%'erd& %&n la! le*e! de la pen%ia%i0n,


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A!2 !e !a(e /'e 1 * p&r di)i!i0n de pen%ia! de i-'al (a!e

%'and& l&! e6p&nen#e! eran i-'ale! )ale la 'nidad,L'e-&1 #&"are"&! %&"& de3ni%i0n 1 !i n& e! %er&,

T&d& n="er& ele)ad& al e6p&nen#e %er& e! i-'al a la 'nidad,Ee"pl&!:98

B8

8 1 !i

8 1 !i

8

8

E>7&*(*( 1 T&da pen%ia de e6p&nen#e 9 e! i-'al a la (a!e:

Ee"pl&!:98

B8

8

• E>7&*(*( (*(& *(;/.=&El e6p&nen#e ne-a#i)& re!'l#a de di)idir d&! pen%ia! de la "i!"a (a!e %'and& ele6p&nen#e de di)idend& e! "en&r /'e el e6p&n#e del di)i!&r,

e! l& "i!"& /'e:

De d&nde &(!er)a"&! /'e:

En -eneral1 #&da pen%ia %&n e6p&nen#e ne-a#i)& e! i-'al a la 'nidad di)idida p&r la"i!"a pen%ia %&n e6p&nen#e p&!i#i)&, * 1

Ee"pl&!:98

B8


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8

La! le*e! e!#a(le%ida! para la! pen%ia! %&n e6p&nen#e! en#er&! p&!i#i)&! !&n)$lida! para la! pen%ia! %&n e6p&nen#e! ne-a#i)&! * !ie"pre !e de(en %'"plir la!re-la! -enerale! de l&! !i-n&!,

• T/*+&%/3.$* '( (>7&*(*(+ *(;/.=&+ / 7&+..=&+ < =.3(=(+/De a%'erd& %&n la de3ni%i0n del e6p&nen#e ne-a#i)&1 )ea"&! l&! !i-'ien#e! ee"pl&!:A, E6pre!ar %&n e6p&nen#e! p&!i#i)&!,98

B8

8

8

C'al/'ier 5a%#&r de 'n #.r"in& de 'na 5ra%%i0n !e p'ede #ra!ladar al r& #.r"in&1 !i!e %a"(ia el !i-n& del e6p&nen#e del 5a%#&r,C'and& !i"pli3%a"&! 'na e6pre!i0n !i-ni3%a /'e #&da! la! re!p'e!#a! de(ene6pre!ar!e '!and& e6p&nen#e! p&!i#i)&!,

, E6pre!ar %&n e6p&nen#e! ne-a#i)&!,98

B8

8

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8

8

8

PRÁCTICA NB9, Si"pli3%ar,a8


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%8

d8

e8

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-8

+8

i8

8

H8

B, E!%ri(ir la! !i-'ien#e! e6pre!i&ne! '!and& !0l& e6p&nen#e! p&!i#i)&! * !i"pli3%ar,a8

(8

%8

d8

e8

58

-8

+8

i8

8

H8

, E!%ri(ir %ada e6pre!i0n %&n e6p&nen#e ne-a#i)& * !i"pli3%ar,a8

(8


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%8

d8

e8

L(7&*(*(+N& !&n di!#ri('#i)&! %&n re!pe%#& a la adi%i0n * !'!#ra%%i0n:

N& %'"plen la pr&piedad %&n"'#a#i)a1 e6%ep#'and& a/'ell&! %a!&! en /'e (a!e *e6p&nen#e #ienen el "i!"& )al&r & !&n e/'i)alen#e!, En -eneral:

Ta"p&%& %'"plen la pr&piedad a!&%ia#i)a:

P&(*3./ '( )/+( 10

En la! pen%ia! %&n (a!e 9J1 el re!'l#ad& !er$ la 'nidad de!plazada #an#a! p&!i%i&ne!%&"& indi/'e el )al&r a(!&l'#& del e6p&nen#e: +a%ia la iz/'ierda !i el e6p&nen#e e!p&!i#i)&1 & +a%ia la dere%+a !i el e6p&nen#e e! ne-a#i)&,Ee"pl&!:

NKMEROS EN NOTACIÓN CIENT@FICA

"ISTORIA

El pri"er in#en#& de repre!en#ar n="er&! de"a!iad&! -rande! 5'e e"prendida p&r el"a#e"$#i%& * 3l0!&5& -rie-& Ar/'2"ede!1 de!%ri#a en !' &(ra El contador de Areia en e!i-l& III a, C, Ide0 'n !i!#e"a de repre!en#a%i0n n'".ri%a para e!#i"ar %'$n#&! -ran&!de arena e6i!#2an en el 'ni)er!&, El n="er& e!#i"ad& p&r .l era de 9J -ran&!, N0#e!e la%&in%iden%ia del e6p&nen#e %&n el n="er& de %a!iller&! del aedrez !a(iend& /'e para)al&re! p&!i#i)&!1 el e6p&nen#e e! n49 d&nde n e! el n="er& de d2-i#&!1 !iend& la =l#i"a%a!illa la N el e6p&nen#e !er2a 7+a* 'n an#i-'& %'en#& del #a(ler& de aedrez en/'e al =l#i"& %a!iller& le %&rre!p&nde B ele)ad& a la -ran&!8,

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_III_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_III_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_III_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Universohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_III_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Universo


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A #ra).! de la na%i0n %ien#23%a 5'e %&n%e(id& el "&del& de repre!en#a%i0n de l&!n="er&! reale! "edian#e %&"a an#e, E!a idea 5'e pr&p'e!#a p&r Le&nard& T&rre!'e)ed& 79981 Q&nrad '!e 798 * Ge&r-e R&(er# S#i(i#z 798,

NOTACIÓN CIENTFICALa Na%i0n Cien#23%a 7& na%i0n 2ndi%e e!#$ndar8 e! 'na "anera r$pida de repre!en#ar'n n="er& '#ilizand& pen%ia! de (a!e diez, E!#a na%i0n !e '#iliza para p&dere6pre!ar 5$%il"en#e n="er&! "'* -rande! & "'* pe/'e>&!,

L&! n="er&! !e e!%ri(en %&"& 'n pr&d'%#&:

!iend&: 'n n="er& en#er& & de%i"al "a*&r & i-'al /'e 9 * "en&r /'e 9J1 /'e re%i(e el

n&"(re de 3&(63.(*(,'n n="er& en#er&1 /'e re%i(e el n&"(re de (>7&*(*( ' &'(* '( %/;*.-',

La na%i0n %ien#23%a '#iliza 'n !i!#e"a lla"ad& %&"a an#e1 & de p'n#& an#e enpa2!e! de +a(la in-le!a * en al-'n&! +i!pan&+a(lan#e!,

E+3.-/9JJ 99J9 9J9JB 9JJ9J 9 JJJ9J 9J JJJ9J 9JJ JJJ9J 9 JJJ JJJ9J 9J JJJ JJJ9J 9JJ JJJ JJJ9J 9 JJJ JJJ JJJ

9J9J 9J JJJ JJJ JJJ9JBJ 9JJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ9JJ 9 JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ

9J ele)ad& a 'na pen%ia en#era ne-a#i)a e! i-'al a &

e/'i)alen#e"en#e :

9J9 99J J199J 99 JJJ J1JJ99J 99 JJJ JJJ JJJ J1JJJ JJJ JJ9

P&r #an#&1 'n n="er& %&"&:

p'ede !er e!%ri#& %&"&

1

* 'n n="er& pe/'e>& %&"& J1JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ 9J H-7"a!a de 'n ele%#r0n8 p'ede !er e!%ri#& %&"& ,9JW9J9H-,

U+&+

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coma_flotantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Torres_Quevedohttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Torres_Quevedohttp://es.wikipedia.org/wiki/1914http://es.wikipedia.org/wiki/Konrad_Zusehttp://es.wikipedia.org/wiki/1936http://es.wikipedia.org/wiki/George_Robert_Stibitzhttp://es.wikipedia.org/wiki/1939http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Exponenciaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Exponentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_magnitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coma_flotantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coma_flotantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Torres_Quevedohttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Torres_Quevedohttp://es.wikipedia.org/wiki/1914http://es.wikipedia.org/wiki/Konrad_Zusehttp://es.wikipedia.org/wiki/1936http://es.wikipedia.org/wiki/George_Robert_Stibitzhttp://es.wikipedia.org/wiki/1939http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Exponenciaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Exponentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_magnitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coma_flotantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3n


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P&r ee"pl&1 la di!#an%ia a l&! %&n3ne! &(!er)a(le! del 'ni)er!& e! 1W9JB " * la "a!ade 'n prn e! 91W9J4BH-, La "a*&r2a de la! %al%'lad&ra! * "'%+&! pr&-ra"a! de%&"p'#ad&ra pre!en#an re!'l#ad&! "'* -rande! * "'* pe/'e>&! en na%i0n %ien#23%aXla (a!e 9J !e &"i#e -eneral"en#e * !e '#iliza la le#ra E 7"a*=!%'la & "in=!%'la8 paraindi%ar el e6p&nen#eX p&r ee"pl&: 91BEB, N0#e!e /'e e!#& n& e!#$ rela%i&nad& %&nla (a!e del l&-ari#"& na#'ral #a"(i.n denad& %&"=n"en#e %&n la le#ra e,La na%i0n %ien#23%a e! al#a"en#e =#il para anar %an#idade! 52!i%a!1 p'e! p'eden !er"edida! !&la"en#e den#r& de %ier#&! l2"i#e! de err&r * al anar !0l& l&! d2-i#&!

!i-ni3%a#i)&! !e da #&da la in5&r"a%i0n re/'erida de 5&r"a %&n%i!a,Para e6pre!ar 'n n="er& en na%i0n %ien#23%a de(e e6pre!ar!e en 5&r"a #al /'e%&n#en-a 'n d2-i#& 7el "$! !i-ni3%a#i)&8 en el l'-ar de la! 'nidade!1 #&d&! l&! de"$!d2-i#&! ir$n en#&n%e! de!p'.! del !eparad&r de%i"al "'l#ipli%ad& p&r la pen%ia de 9J/'e indi/'e el e6p&nen#e, Ee"pl&!: BBJJJJ B1BE99 * J1JJJ99 199E4,

OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTFICA

S-%/ < (+/Sie"pre /'e la! pen%ia! de 9J !ean la! "i!"a!1 !e de(e !'"ar l&! %&e3%ien#e!1

deand& la pen%ia de 9J %&n el "i!"& -rad& 7en %a!& de /'e n& #en-an el "i!"&e6p&nen#e1 de(e %&n)er#ir!e el %&e3%ien#e1 "'l#ipli%$nd&l& & di)idi.nd&l& p&r 9J #an#a!)e%e! %&"& !ea ne%e!ari& para &(#ener el "i!"& e6p&nen#e8:Ee"pl&!:BW9J Y W9J W9J W9J 4 J,BW9J B,W9J BW9J Y W9J 4 W9J J1B W 9J Y W 9J 4 J1J W9J 19 W9J

M-.7.3/3.$*Para "'l#ipli%ar %an#idade! e!%ri#a! en na%i0n %ien#23%a !e "'l#ipli%an l&! %&e3%ien#e!* !e !'"an l&! e6p&nen#e!,Ee"pl&:7W9J9B8W7BW9J8 W9J9

D.=.+.$*Para di)idir %an#idade! e!%ri#a! en na%i0n %ien#23%a !e di)iden l&! %&e3%ien#e! * !ere!#an l&! e6p&nen#e! 7el del n'"erad&r "en&! el del den&"inad&r8,Ee"pl&!:

P&(*3./3.$*Se ele)a el %&e3%ien#e a la pen%ia * !e "'l#ipli%an l&! e6p&nen#e!,Ee"pl&!:7W9J8B W9J9B

(1.5×10−5 )3=3.4×10−15

R/'.3/3.$*

http://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Universohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Masahttp://es.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramohttp://es.wikipedia.org/wiki/Calculadorahttp://es.wikipedia.org/wiki/Softwarehttp://es.wikipedia.org/wiki/Softwarehttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_ehttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmiteshttp://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADgitos_significativoshttp://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADgitos_significativoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://es.wikipedia.org/wiki/Restahttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Universohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Masahttp://es.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramohttp://es.wikipedia.org/wiki/Calculadorahttp://es.wikipedia.org/wiki/Softwarehttp://es.wikipedia.org/wiki/Softwarehttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_ehttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmiteshttp://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADgitos_significativoshttp://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADgitos_significativoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://es.wikipedia.org/wiki/Restahttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radicaci%C3%B3n


15/70

Se de(e e6#raer la ra2z del %&e3%ien#e * !e di)ide el e6p&nen#e p&r el 2ndi%e de la ra2z,Ee"pl&!:

PRÁCTICA N

9, Re!&l)er la! !i-'ien#e! &pera%i&ne! %&n na%i0n %ien#23%a,

a8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

5 ×104+3× 104=¿¿

(8

¿¿

¿¿¿¿¿¿¿¿

6 ×10−5+2 ×10−5=¿¿

%8

¿¿¿¿¿¿

¿¿¿¿

2.5 ×107+5.7 ×107=¿¿

d8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

3.1× 10−3+4.9 ×10−3=¿¿

e8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

9 ×109−2× 109=¿¿


16/70

58

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

5 ×10−6−2×10−6=

¿¿

-8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

6.3×105−4.9×105=¿¿

+8

¿¿¿

¿¿¿¿¿¿¿

6 ×107+2 ×105=¿¿

i8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

3.1× 104+5.4 × 103=¿¿

8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

7 ×105

−7× 103

=¿¿

H8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

4.6 × 106−5.2 ×104=¿¿


17/70

l8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

2× 107+5 ×105−8× 103=

¿¿

"8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

2.8 ×105−1.7 × 104+5.1 ×103=¿¿

n8

¿¿¿

¿¿¿¿¿¿¿

(3 ×105 ) × ( 2× 108 )=¿¿

&8

¿¿

¿¿¿¿

¿

¿¿

¿

(2×10−7 ) × (4×10−5)=¿¿

p8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

(4 ×103) × (5 ×105 )=¿¿

/8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

(5.3×10−4 )× (1.5×10−9 )=¿¿


18/70

r8

¿¿

¿¿¿¿

¿¿¿

¿

(4.5×108 )× (7.4×103 )=¿¿

!8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

8× 109

2× 105=¿¿

#8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

6.5×106

3.3×10−6=¿¿

'8

¿¿

¿¿¿¿¿¿¿¿

7× 10−4

4 ×10−6=¿¿

)8

¿¿¿

¿¿¿¿¿¿¿

5×107

1×1010=¿¿


19/70

Z8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

(5

×10

5

)

4

=¿¿

68

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

(8.3 ×10−2 )6

=¿¿

*8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

√ 4 × 1024=¿¿

z8

¿¿¿¿¿¿

¿¿¿¿

5

√ 32×1095=¿¿M5&'& 7// (7(+(*/ -* *%(& (*(& (* *&/3.$* 3.(*63/C'al/'ier n="er& en#er& & de%i"al1 independien#e"en#e de la %an#idad de %i5ra! /'ep&!ea1 !e p'ede red'%ir e"pleand& la na%i0n %ien#23%a, Vea"&! en la pr$%#i%a al-'n&!ee"pl&!:98

B8

8

8

8


20/70

C&"& !e p&dr$ &(!er)ar1 la na%i0n %ien#23%a !e %&"p&ne !ie"pre de 'n !&l& n="er&en#er& * el re!#& p'eden !er )ari&! de%i"ale!1 !e-=n la "a*&r & "en&r e6a%#i#'d /'ere/'iera 'na repre!en#a%i0n n'".ri%a de#er"inada, La %an#idad de de%i"ale! !e p'edere%&r#ar a 'n& & d&! n="er&! !&la"en#e p&r "edi& de la apr&6i"a%i0n & red&nde& de la%i5ra1 p'e! el &(e#i)& de e"plear la na%i0n %ien#23%a e!1 pre%i!a"en#e1 a%&r#ar la!%i5ra! lar-a!1 *a !ean de n="er&! en#er&! & de%i"ale!,

Para %&n)er#ir en na%i0n %ien#23%a el n="er& B 1 !er$ ne%e!ari& %&n#ar de

dere%+a a iz/'ierda l&! e!pa%i&! /'e e6i!#en en#re el =l#i"& n="er& de la !erie n'".ri%aa par#ir del +a!#a lle-ar al pri"er& 7 en e!#e %a!&8, De!p'.! de %&n#ar )ere"&!/'e +a* &%+& e!pa%i&!1 p&r l& /'e la na%i0n %ien#23%a de e!e n="er& en#er& lap&de"&! e!%ri(ir a!2: 1B 6 9J, 7El !'per2ndi%e repre!en#a l&! e!pa%i&! /'e +e"&!%&n#ad& de!de el +a!#a el 8,

Si /'ere"&! red&ndear e!a %i5ra para /'e la na%i0n !ea a=n "$! !i"pli3%adap&de"&! e!%ri(irla #a"(i.n %&"& 1 6 9J , I-'al"en#e !e p'eden repre!en#ar "$!%i5ra! de%i"ale! e"pleand& l&! pr&pi&! n="er&! /'e 5&r"an el n="er& en#er& %&"&1 p&ree"pl&1 1B 6 9J,

Para %&n)er#ir de n'e)& la %i5ra repre!en#ada en na%i0n %ien#23%a en el n="er& en#er&/'e le di& &ri-en1 realiza"&! la &pera%i0n in)er!a, P&r ee"pl&1 !i el n="er& en#er& B !e red&nde0 &ri-inal"en#e para /'e !' repre!en#a%i0n de%i"al en na%i0n%ien#23%a 5'era 1 6 9J * /'ere"&! re!#a'rar a+&ra el n="er& &ri-inal1 en e!#e %a!&!er$ ne%e!ari& "'l#ipli%ar 7l&! &%+& %er&! !e

%&rre!p&nden %&n el !'per2ndi%e 9J 8, El re!'l#ad& de la &pera%i0n !er$ J JJJ JJJ enl'-ar de B 1 /'e %&"& !e p&dr$ %&"pr&(ar di3ere al-& del n="er& en#er&&ri-inal de(id& a la apr&6i"a%i0n & red&nde& /'e !e realiz0 an#eri&r"en#e,

M5&'& 7// (7(+(*/ -* *%(& '(3.%/ & /33.&*/.& (* *&/3.$*

3.(*63/ El pr&%edi"ien#& para %&n)er#ir 'n n="er& de%i"al en r& n="er& en na%i0n%ien#23%a e! pare%id& al an#eri&r, T&"e"&! p&r ee"pl& el n="er& J1JJJ, Pararealizar la %&n)er!i0n1 !en%illa"en#e %&rre"&! la %&"a +a%ia la dere%+a l&! %'a#r&e!pa%i&! /'e la !eparan del 1 %&n l& /'e &(#endre"&! el !i-'ien#e n="er& de%i"al:1, P&r #an#&1 la na%i0n 3nal /'edar$ de la !i-'ien#e 5&r"a: 1 6 9J 4, Si /'ere"&!a%&r#ar "$! la na%i0n p&de"&! red&ndear * e!%ri(irla #a"(i.n %&"& 1 6 9J 4, En e%a!& de la %&n)er!i0n de de%i"ale! a na%i0n %ien#23%a1 el !'per2ndi%e del 9J lle)ar$el !i-n& "en&! para indi%ar /'e e!#a na%i0n %&rre!p&nde a 'n n="er& 5ra%%i&nari&en l'-ar de 'n& en#er&,

Para %&n)er#ir de n'e)& la na%i0n %ien#23%a de e!#e ee"pl& en de%i"al1 "&)e"&! la%&"a #an#&! l'-are! a la iz/'ierda %&"& n="er& n&! indi/'e el !'per2ndi%e ne-a#i)&1a-re-and& l&! %&rre!p&ndien#e! %er&! para %&"ple#ar la %i5ra,

PRÁCTICA N9, Repre!en#e l&! !i-'ien#e! n="er&! en na%i0n %ien#23%a,


21/70

a8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

2549 632=¿¿

(8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

32587 695 104 017 100 658 321=¿¿

%8

¿¿¿

¿¿¿¿¿¿¿

0.000000598=¿ ¿

d8

¿¿¿¿¿¿¿

¿¿¿

0.000933=¿¿

e8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

0.0012=¿¿

RADICACIÓN

E>7&*(*( /33.&*/.&A+&ra1 /'ere"&! e6#ender la de3ni%i0n de an 1 para pen%ia! de e6p&nen#e5ra%%i&nari&1 la! %'ale! %'"plen la! "i!"a! re-la! de %$l%'l& /'e %&n l&! e6p&nen#e!en#er&! p&!i#i)&!,

Ee"pl&!:3

1

2 14

1

3 15

1

5 110

1

2 12

1

6 132

1

5 127

1

3 ,


22/70

+e"&! )i!#& /'e #&da e6pre!i0n a1

n e! 'na pen%ia %&n e6p&nen#e 5ra%%i&nari&,

La e6pre!i0n a1

n !e de3ne %&"& la ra2z en.!i"a de a ,

a1

n=

n√ a

Una pen%ia de e6p&nen#e 5ra%%i&nari& e! i-'al a 'na ra2z %'*& radi%and& e! la (a!eele)ada al n'"erad&r del e6p&nen#e * %'*& 2ndi%e e! i-'al al den&"inad&r,En -eneral1

amn =

n√ am

• T/*+&%/3.$* '( 7&(*3./+ 3&* (>7&*(*(+ /33.&*/.&+ / /'.3/(+Apli%and& la de3ni%i0n1 p&de"&! e6pre!ar 'na pen%ia %&n e6p&nen#e 5ra%%i&nari&en 5&r"a de radi%ale!,Ee"pl&!: E6pre!ar %&n radi%ale!,

98 a1

5= 5√ a

B85

1

2=√ 5

8 9

2

3

=3

√ 92

8 x3

4=

4

√ x3

82

1

7 a1

7 b1

7=7√ 2 ab

83

2

5 x3

5 y2

5=

5

√ 32 x3 y2

825

1

2=√ 25=5

881

3

4=4

√ 813=4

√ (34 )3

=( 4√ 34 )3

=33=27

88

2

3=3

√ 8 2=( 3√ 23 )2

=22=4

9J8 2713=

3

√ 27=3

√ 33=3

• T/*+&%/3.$* '( /'.3/(+ / 7&(*3./+ 3&* (>7&*(*( /33.&*/.&S'ele !er %&n)enien#e %a"(iar 'n radi%al a !' 5&r"a e/'i)alen#e %&n el e6p&nen#e5ra%%i&nari&,Ee"pl&!: E6pre!ar l&! !i-'ien#e! radi%ale! a !' 5&r"a e6p&nen%ial,

98 √ 5=51

2

B8 3√ 7=71

3

8 4

√ x3

= x

3

4

8 5√ m3=m3

5

85

4

√ m=5m1

4

8 3√ x6= x6

3= x

2

8 4√ 16a b2=(16 )1

4 a1

4 (b2 )1

4=(24 )

1

4 a1

4 b1

2=2a

1

4 b1

2

8 4√ 625 a2 b8=4

√ 54 a2b8=54

4 a2

4 b8

4=5 a1

2 b2

8 10√ x5 y5 z5= x5

10 y5

10 z5

10= x

1

2 y1

2 z1

2


23/70

9J86

√16 x

3 y

4

9 z2 =(16 x

3 y

4

9 z2 )

1

6=

(24)1

6 ( x3 )1

6 ( y4 )1

6

(32 )1

6 ( z2 )1

6

=2

2

3 x

1

2 y

2

3

3

1

3 z

1

3

PRÁCTICA N9, E6pre!ar %ada 'n& de l&! !i-'ien#e! eer%i%i&! %&"& 'n radi%al,

a8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

2

1

2=¿¿

(8

¿¿

¿¿

¿

¿¿¿¿¿

3

3

4=¿¿

%8

¿¿¿¿¿¿¿

¿¿¿

64

5

6=¿¿

d8

¿¿

¿¿¿¿

¿¿¿

¿

3

1

2 p

1

2=¿¿


24/70

e8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

(16

49 )3

2

=¿¿

58

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

(−128 )5

7=¿¿

-8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

(49a2b6 )1

2=¿¿

+8

¿¿¿

¿¿¿¿¿¿¿

(27 m12 n6 )4

3=¿¿

i8

¿¿¿¿

¿¿

¿¿¿

¿

(−8 x3 )1

3=¿¿


25/70

8

¿¿¿¿¿¿

¿¿¿

¿

3

3

5

x

1

5

y

3

5

z

5

5

=¿¿

B, E6pre!ar %&n e6p&nen#e 5ra%%i&nari&,

a8

¿¿

¿¿¿¿

¿¿¿¿

√ 5=¿¿

(8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

5

√ 4 3=¿¿

%8

¿¿¿

¿¿¿¿¿¿¿

4

√ ( 2 xy )3=¿¿

d8

¿¿¿¿¿¿

¿¿¿¿

3

√ (a+b )2=¿¿


26/70

e8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

1

√ x =¿¿

58

¿¿

¿¿¿¿

¿¿¿

¿

√ 16a b4 c8 d=¿¿

-8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

53

√ a=¿¿

+8

¿¿¿¿¿

¿¿¿¿¿

2

3

4

√ x2 y5=¿¿

i8

¿¿

¿¿¿¿

¿¿

¿¿

5m4

√ 25m2n4=¿¿


27/70

8

¿¿¿¿¿¿

¿¿¿

¿n√

x

2n

y

n2+n=

¿¿

H8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

3

√ x3 n ( x+ y )3 n+6=¿¿

l8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

4

√ 24 a4 b4 c8=¿¿

En -eneral1 la ra2z en.!i"a de 'na e6pre!i0n al-e(rai%a 7de 2ndi%e n 8 e! 'n& de !'!n 5a%#&re! 7di)i!&re!8 i-'ale!,

n√ A=a 1 !i an= A

Ee"pl&!:En%&n#rar la ra2z indi%ada,98 √ 25=5 1 52=25

B8 √ 49=23 1 ( 23 )2

=49

8 3√ x6= x2 1 ( x2 )3

= x6

P&7.('/'(+ '( &+ /'.3/(+9, n√ ab= n√ a n√ bLa ra2z %'adrada de 'n pr&d'%#& de d&! & "$! 5a%#&re! e! i-'al al pr&d'%#& de la!

ra2%e! %'adrada! de %ada 'n& de ell&! p&r !eparad&,

B,n√ab =

n√ an√ b

La ra2z %'adrada de 'na 5ra%%i0n e! el %&%ien#e de la! ra2%e! %'adrada! del n'"erad&r* den&"inad&r re!pe%#i)a"en#e,

, ( n√ a )m=

n√ am

Para ele)ar 'n radi%al a 'na pen%ia (a!#a ele)ar el radi%and& a di%+a pen%ia,


28/70

, m√ n√ a=

mn√ a

Para +allar la ra2z de 'n radi%al (a!#a +allar la ra2z del "i!"& radi%and& %&n 'n 2ndi%ei-'al al pr&d'%#& de l&! 2ndi%e!,

, ( n√ a )n=a

La pen%ia n de la ra2z n de 'n n="er& e! i-'al al n="er& "i!"&,

•

R/'.3/ / +- %+ +.%7( (>7(+.$*Un radi%al e!#$ en !' "$! !i"ple e6pre!i0n %'and& la %an#idad /'e !e +alla (a& el!i-n& radi%al e! en#era * de "en&r -rad& p&!i(le,

• S.%7.63/3.$* '( /'.3/(+Si"pli3%ar 'n radi%al e! red'%irl& a !' "$! !i"ple e6pre!i0n,Para !i"pli3%ar ' radi%al !e di)iden el e6p&nen#e del radi%and& * del 2ndi%e p&r 'n"i!"& n="er&1 7!i e6i!#e 'n di)i!&r %&"=n8,Si el 2ndi%e * el e6p&nen#e !e di)iden p&r !' "$6i"& %&"=n di)i!&r 7", %, d,8 l&!%&e3%ien#e! !er$n pri"&! en#re !21 * el radi%al !e lla"a irred'%i(le1 /'edand& a!2red'%id& a !' "$! !i"ple e6pre!i0n,

En la !i"pli3%a%i0n de radi%ale! %&n!iderare"&! l&! d&! %a!&! !i-'ien#e!:9, C'and& la %an#idad !'(radi%al %&n#ienen 5a%#&re! %'*&! e6p&nen#e! !&n di)i!i(le!p&r el 2ndi%e,Ee"pl&!:98 Si"pli3%ar √ 40√ 4 0=√ 22∙ 2∙ 5=2√ 10

B8 Si"pli3%ar √ 25 x3

√ 25 x3=√ 52 x2 x=5 x √ x

8 Si"pli3%ar3

√ 2a4

3

√ 2a4=3

√ 2 a3 a=a 3√ 2 a

8 Si"pli3%ar1

4

3

√ 160 x7 y9 z13=1

4

3

√ 23∙ 22∙ 5 x6 x y 9 z12 z=1

4(2 x2 y3 z4 ) 3√ 22 ∙5 xz=1

2 x

2 y

3 z

4 3

√ 20 xz

8 Si"pli3%ar √ (a+b )2

(a−b )

√ (a+b )2

(a−b )=(a+b )√ a−b

8 Si"pli3%ar √ x2−2 xy+ y2

√ x2

−2 xy+ y2

=√ ( x− y )2

= x− y

8 Si"pli3%ar 4√ a4 b4+b4 c44

√ a4 b4+b4 c4=4

√ b4 (a4+c4 )=b 4√ a4+c4

B, Si"pli3%a%i0n %'and& l&! 5a%#&re! de la %an#idad !'(radi%al * el 2ndi%e #ienen 'ndi)i!&r %&"=n,Ee"pl&!:98 Si"pli3%ar 6√ a3 b6 c9


29/70

6

√ a3 b6 c9=√a33 b63 c 93=√ a b2 c3B8 Si"pli3%ar 15√ a10 y5=a

10

15 y5

15=a

2

3 y1

3=

3

√ a2 y

8 Si"pli3%ar 6√ 64 a9 b12

6

√ 64 a9 b12=6

√ 26 a9 b12=26

6 a9

6 b12

6 =22

2 a3

2 b4

2=√ 2 2a3 b4=√ 22 a2 a b4=2 a b2 √ a

L&! ee"pl&! an#eri&re! +an !id& re!'el#&! en 5&r"a "$! %&n)enien#e '#ilizand& l&!e6p&nen#e! 5ra%%i&nari&!1 para di)idir el 2ndi%e * l&! e6p&nen#e! de l&! 5a%#&re! p&r 'ndi)i!&r %&"=n * de e!#a "anera &(#ener r& radi%al e/'i)alen#e al dad&,

PRÁCTICA N9, [allar la ra2z %'adrada e6a%#a,

a8

¿¿

¿¿¿

¿¿¿¿¿

√ 36=¿¿

(8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

√ 22 ∙ 34=¿¿

%8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

1

2 √ 56∙32=¿¿

d8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

√ 49 b8=¿¿


30/70

e8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

√ 192 x

2

y

6

z

8

=¿¿B, Si"pli3%ar,

a8

¿¿

¿¿

¿¿¿¿¿¿

√ 4

9

=¿¿

(8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

√ 1225=¿¿

%8

¿

¿¿¿¿¿

¿¿¿

¿

4

5 √225256=¿¿

d8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

1

5 √ 7516=¿¿


31/70

e8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

√ 4

x

2

y

6

9m4

q2=¿¿

58

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

2 xy√ 1

8 x3

y36=¿¿

-8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

√( a+b )

2

(a−b )2=¿¿

+8

¿

¿¿¿¿¿

¿¿¿

¿

6

√( x+2 y )

2

( y+2 x )6=¿¿

i8

¿¿

¿¿¿¿¿¿¿¿

√ (a+b )

10

243 (a−b )5=¿¿


32/70

8

¿¿

¿¿¿¿

¿¿¿

¿

7

√ 3

7

a

14

m21

n35=¿¿

H8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

3

√ 24=¿¿

l8

¿

¿¿¿¿¿¿¿¿¿

3√ 250 x3=¿¿

"8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

24

√ 81 t 3=¿¿

n8

¿¿¿¿¿¿¿¿

¿¿4

√ 625 x5

y5 ( x− y )4=¿¿


33/70

>8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

5

√ ab (a+b )

5

( x+ y )

5

=¿¿

• I*&'-33.$* '( 3/*.'/'(+ )/:& ( +.;*& /'.3/Para in#r&d'%ir 'n %&e3%ien#e %&"& 5a%#&r del !'(radi%al !e ele)a el %&e3%ien#e a 'ne6p&nen#e i-'al al 2ndi%e de la ra2z * l'e-& !e "'l#ipli%a p&r el !'(radi%al1 !iend& e!epr&d'%#& el n'e)& !'(radi%al,En !2"(&l&!:

an√ n=

n√ anb

Ee"pl&!:In#r&d'%ir el %&e3%ien#e en el radi%al,98 2m√ 3m=√ (2m )

2

∙3m=√ 22∙ m2∙3 ∙ m=√ 12m3

B8 3 x 3√ xy=3

√ (3 x)3 xy= 3√ 27 x

4 y

8 ( x+ y )√ x− y=√ ( x+ y )2

( x− y )

Si el %&e3%ien#e apare%e %&n 'n !i-n& "en&! −¿¿ 1 * el 2ndi%e de la ra2z e! par1 !e

in#r&d'%e el %&e3%ien#e !in el !i-n& "en&! −¿¿ 1 %&n!er)$nd&!e .!#e delan#e deradi%al,8 −2 a√ ab=−√ (2 a )

2

ab=−√ 4 a3 b8 −3√ x=−√ (3 )

2

x=−√ 9 x

PRÁCTICA N

9, In#r&d'%ir el %&e3%ien#e den#r& del !i-n& radi%al,

a8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

5√ 3=¿¿

(8

¿¿

¿¿¿¿

¿¿¿

¿

24

√ 3=¿¿


34/70

%8

¿¿¿¿¿¿

¿¿¿

¿

x3

√ y=¿¿

d8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

3 x√ 2 xy=¿¿

e8

¿¿¿

¿¿¿¿¿¿¿

x4

y2 3√ x y2=¿¿

58

¿¿

¿¿¿¿

¿

¿¿¿

5 x2

y3√ 3 x y2=¿¿

-8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

a−ba+b √

a+ba−b

=¿¿

+8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

(a+b )√ a+b=¿¿


35/70

i8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

2

3 a3

b2 3

√ a2

b=¿¿

8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

5 (a2+b2)√ a=¿¿

H8

¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

1

3 √ 6=¿ ¿

l8

¿¿¿¿

¿¿¿¿¿¿

4 x5 4√ 2 x2=¿¿

• R('-33.$* '( /'.3/(+ / %*.%& 3&%* *'.3(Para red'%ir )ari&! radi%ale! a 2ndi%e %&"=n1 !e en%'en#ra el "2ni"& %&"=n "=l#ipl&7", %, ",8 de l&! 2ndi%e!X .!#e !er$ el 2ndi%e %&"=n1 l'e-& !e di)ide el %&"=n 2ndi%e p&rel 2ndi%e de %ada 'n& de l&! radi%ale!X el re!'l#ad& de e!#a di)i!i0n e! el e6p&nen#e al

/'e !e ele)a el !'(radi%al re!pe%#i)&,Ee"pl&!:98 Red'%ir l&! radi%ale! √ 5 * 3√ 2 a 2ndi%e %&"=n, Tene"&! /'e el ", %, ", de B * 72ndi%e! de l&! radi%ale! dad&!8 e! X l'e-& 6 ÷ 2 * 6 ÷ 3=2 1 p&r l& #an#& l&! radi%ale! dad&! !e #ran!5&r"an en:

√ 5=6

√ 53= 6√ 125 1 3√ 2=6

√ 22=6√ 4l&! %'ale! #ienen el "i!"& 2ndi%e,

B8 Red'%ir 3√ a2 b c4 14

√ a b3 c 16

√ x2 yz 112

√ m3 n2 p5 El ", %, ", de l&! 2ndi%e! e! 9B1 l'e-& 12÷3=4 1 12÷ 4=3 1 12÷6=2 1 12÷12=1


36/70

3

√ a2 b c4=12

√ (a2 b c4 )4

=12

√ a8b4 c16

4

√ a b3 c=12

√ ( a b3 c )3

=12

√ a3b9 c3

6

√ x2 yz=12

√ ( x2 yz )2

=12

√ x4 y2 z212

√ m3 n2 p5=12

√ m3 n2 p5

PRÁCTICA N9, Red'%ir a 2ndi%e %&"=n,a8 √ 3 a *

3

√ 4 a2

(8 3√ 2 x2 y *4

√ 3 x y2

%8 √ x3 y2 z *5

√ 4 xy

d8 √ 3 xy 13

√ 4 x2 y *4

√ 25 x2 y3

e8 2 3√ 25 m 1 34

√ 4 m2 *12

√ m5

583

4a

4

√ 3b 12

3a

6

√ 3b *1

2a

3

√ 3 b

O7(/3.&*(+ A'.3.$* < S-+/33.$*

Para adi%i&nar & !'!#raer radi%ale! de(e #ener!e pre!en#e /'e !ean del "i!"& 2ndi%e ei-'al radi%and&: e! de%ir1 /'e !ean radicales semejantes,Al e5e%#'ar e!#a! &pera%i&ne! !e #&"a %&"& 5a%#&r %&"=n al radi%al de la !'"aal-e(rai%a de l&! %&e3%ien#e!, L&! radi%ale! n& !e"ean#e!1 en prin%ipi&1 !e p'eden!'"ar & re!#ar !ie"pre /'e !ean red'%i(le! a radi%ale! !e"ean#e! "edian#e!i"pli3%a%i&ne! ade%'ada!,Ee"pl&!:Red'%ir l&! !i-'ien#e! radi%ale! !e"ean#e!,a8

(8%8

d8


37/70

e8

PRÁCTICA N9, Si"pli3%ara8

(8

%8

d8

e8

58

-8

+8

M-.7.3/3.$*Para "'l#ipli%ar radi%ale! de i-'al 2ndi%e !e "'l#ipli%an l&! %&e3%ien#e! en#re !2 * la!%an#idade! !'(radi%ale! en#re !21 %&l&%and& e!#e =l#i"& pr&d'%#& (a& 'n !i-n& radi%al%&"=n para l'e-& !i"pli3%ar1 !i e! p&!i(le,En %a!& de /'e l&! 2ndi%e! !ean di5eren#e!1 de(en red'%ir!e al " ,% ,i, * l'e-& e5e%#'arla &pera%i0n indi%ada,

PRÁCTICA N9JRe!&l)er la! !i-'ien#e! "'l#ipli%a%i&ne! de radi%ale!,a8

(8


38/70

%8

d8

e8

58

-8

+8

i8

8

D.=.+.$*Para di)idir radi%ale! de i-'al 2ndi%e !e di)iden l&! %&e3%ien#e! * la!a %an#idade!!'(radi%ale! en#re !21 %&l&%and& e!#e =l#i"& %&%ien#e (a& 'n !i-n& radi%al %&"=n1 *!i"pli3%and& !i e! p&!i(le,En %a!& de /'e l&! 2ndi%e! !ean di5eren#e!1 de(en red'%ir!e al ", %, i, * l'e-& e5e%#'arla &pera%i0n indi%ada,

PRÁCTICA N99Re!&l)er la! !i-'ien#e! di)i!i&ne! de radi%ale!,

a8

(8

%8


39/70

d8

e8

R/3.&*/.9/3.$*La Ra%i&naliza%i0n e! 'na &pera%i0n /'e #iene p&r &(e#& #ran!5&r"ar la! e6pre!i&ne!%&n den&"inad&re! 7n'"erad&re!8 irra%i&nale!1 en ra! e/'i)alen#e! %'*&den&"inad&r 7n'"erad&r8 !ea ra%i&nal,

PRÁCTICA N9BRa%i&nalizar el n'"erad&r & den&"inad&r1 !e-=n !e indi/'e,a8 1 den&"inad&r

(8 1 n'"erad&r

%8 1 den&"inad&r

d8 1 den&"inad&r

e8 1 n'"erad&r

58 1 n'"erad&r

-8 1 den&"inad&r

+8 1 n'"erad&r

i8 1 den&"inad&r

8 1 den&"inad&r

H8 1 n'"erad&r


40/70

l8 1 den&"inad&r

"8 1 n'"erad&r

n8 1 n'"erad&r

>8 1 den&"inad&r

&8 1 den&"inad&r

• P&(*3./3.$*Para &(#ener la pen%ia de 'n radi%al en#er& !e ele)a el radi%and& a e!a pen%ia1 de

l& %&n#rari&1 !e ele)a #an#& el %&e3%ien#e %&"& el radi%al a di%+a pen%ia, El re!'l#ad&!e !i"pli3%a,

PRÁCTICA N9De!arr&llar l&! !i-'ien#e! eer%i%i&!,a8

(8

%8

d8

e8

58

-8

+8

i8

8


41/70

R/'.3/3.$*Para e6#raer la ra2z a 'na e6pre!i0n de la 5&r"a !e "'l#ipli%an l&! 2ndi%e!

* !e !i"pli3%a el re!'l#ad&X e! de%ir:

Si la e6pre!i0n #iene la 5&r"a * n& #iene ra2z 1

!e in#r&d'%e al radi%al de 2ndi%e * !e pr&%ede l'e-& %&"& en el %a!& an#eri&r,

PRÁCTICA N9Si"pli3%ar l&! !i-'ien#e! eer%i%i&!,a8

(8

%8

d8

e8


42/70

FUNCIÓN CUADRÁTICA A3.=.'/'(+ '( .*&'-33.$*

9, Si en 'n %'adrad& a'"en#a"&! en 'nidade! d&! lad&! paralel&! &(#ene"&! 'nre%#$n-'l&, Cal%'la el $rea del re%#$n-'l& en 5'n%i0n del lad& del %'adrad&,

B, Una "'er #iene 'n e!#an/'e re%#an-'lar de "e#r&!, 'iere +a%er 'n

%a"in& alreded&r del e!#an/'e %&"& "'e!#ra el !i-'ien#e di('&:

La an%+'ra del %a"in& +a de !er %&n!#an#e en #&d& el %&n#&rn&,

Lla"a a la an%+'ra %&n!#an#e del %a"in&, \C'$l !er$ el $rea del %a"in&]Cal%'la l&! )al&re! de A %'and& e! J1 91 B1 * , E!%ri(e l&! )al&re! en 'na #a(la,

Di('a 'n&! ee! * di('a l&! p'n#&! 7 8,

Si el $rea del %a"in& +a de !er de 1 '#iliza la -r$3%a * a)eri-'a el an%+&

del %a"in&,

\Para /'. )al&r de e! ]

D(6*.3.$*Una 5'n%i0n %'adr$#i%a e! #&da 5'n%i0n /'e p'eda e!%ri(ir!e de la 5&r"a

1 d&nde 1 * !&n n="er&! %'ale!/'iera

%&n la %&ndi%i0n de /'e !ea di!#in#& de J,

La! 5'n%i&ne! * /'e !e

%&rre!p&nden %&n la! d&! pri"era! a%#i)idade!1 !&n ee"pl&! de 5'n%i&ne! %'adr$#i%a!,

La repre!en#a%i0n -e&".#ri%a de 'na 5'n%i0n %'adr$#i%a e! 'na %'r)a !i".#ri%a /'e !ella"a Parábola,

C&*3/=.'/'(+Si a>0 1 en#&n%e! la par$(&la a(re +a%ia arri(a * !e di%e /'e la %'r)a e! %0n%a)a +a%iaarri(a,Si a.%&, M*.%& < V5.3(


43/70

C&n!iderand& y=a x2+bx+c , Al apli%ar l&! ".#&d&! de 5a%#&riza%i0n * %&"ple#ar %'adrad&! !e#iene:

x=−b2a

y y=4ac−b2

4 a

La 5'n%i0n #iene !' )al&r M*.%& en y=4 ac−b2

4 a !i a>0 * !' )al&r M>.%& %'and&

a./,

R/3(+ & 3(&+Si !e #iene pre!en#e /'e y=f ( x ) * f ( x )=a x2+bx+c 1 para %al%'lar l&! %er&! de la 5'n%i0n !e+a%e y=0 7in#er!e%%i0n %&n el ee X 8, En#&n%e!1 a x2+bx+c=0 e! 'na e%'a%i0n de!e-'nd& -rad& /'e p'ede re!&l)er!e p&r l&! ".#&d&! e!#'diad&!1 p'diend& &(#ener d&!1 'na &nin-'na ra2z,

D&%.*.& < C&'&%.*.&El D&"ini& de #&da 5'n%i0n %'adr$#i%a e! R * !' C&d&"ini& e! 'n !'(%&n'n#& de Rde#er"inad& a!2:i, Si a>0 1 el %&d&"ini& e! el %&n'n#& de #&d&! l&! ele"en#&! "a*&re! & i-'ale! /'e la

&rdenada del ).r#i%e de la par$(&la,Si"(0li%a"en#e:

Cod (f )={ y∈ R : y ≥ 4 ac−b2

4 a }ii, Si a


44/70

V.r#i%e V ( x=−b2 a , 4 ac−b2

4 a ) V ( x=−b2 a , 4 ac−b2

4 a )

G63/ '( /+ -*3.&*(+ 3-/'.3/+La 5'n%i0n %'adr$#i%a "$! !en%illa e! %'*a -r$3%a e!:

J J, 9 B 9 J,B J J,B 9


45/70

F'n%i&ne! %'adr$#i%a! "$! %&"plea! !e di('an de la "i!"a 5&r"a,Di('ar la -r$3%a de

J 9 B J J

C&(+ 3&* &+ (:(+O(!er)e la! par$(&la!:a8

L&! p'n#&! de %&r#e %&n el ee !&n de la 5&r"a ,

S'!#i#'*end& p&r J en la 50r"'la &(#ene"&! la e%'a%i0n de !e-'nd& -rad&

1 %'*a! !&l'%i&ne! !&n 1 * ,

L&! p'n#&! de %&r#e !&n 7 1J81 71J8,

El p'n#& de %&r#e %&n el ee !e &(#iene +a%iend& en la e%'a%i0n de la

par$(&la, P&r #an#&1 !er$ 7J18,

(8


46/70

P'n#&! de %&r#e %&n el ee :

Re!&l)iend& la e%'a%i0n 1 !e &(#iene %&"& =ni%a !&l'%i0n

1 /'e n&! pr&p&r%i&na 'n !&l& p'n#& de %&r#e %&n el ee :7B1J8,

P'n#& de %&r#e %&n el ee : 7J18,%8

P'n#&! de %&r#e %&n el ee :

Si re!&l)e"&! la e%'a%i0n 1 &(#ene"&! /'e

, N& e6i!#e !&l'%i0n *1 p&r l& #an#&1 n& #iene %&r#e! %&n el ee ,

P'n#& de %&r#e %&n el ee : 7J18

PRÁCTICA N99, De#er"ina l&! %&r#e! %&n l&! ee! de la! par$(&la! !i-'ien#e!:a, ( ,

%,

d, e, 5

B, De#er"ina la e%'a%i0n de 'na par$(&la %'*&! %&r#e! %&n el ee !ean l&! p'n#&!

791J8 * 71J8,

, De#er"ina la e%'a%i0n de la par$(&la %'*&! %&r#e! %&n el ee !ean l&! p'n#&! 7

1J8 * 71J8 * %&n el ee !ea 7J18,

, De#er"ina la e%'a%i0n de 'na par$(&la /'e %&r#e al ee en el p'n#& 7B1J8 * a

ee en 7J18,


47/70

In'en%ia de l&! par$"e#r&! en la -r$3%a de la! 5'n%i&ne! %'adr$#i%a!Par$(&la! del #ip&

La! par$(&la! de e%'a%i0n #ienen p&r ).r#i%e el p'n#& ,

C'an#& "a*&r !ea a 7en )al&r a(!&l'#&81 "$! %errada !er$ la par$(&la,La! ra"a! )an +a%ia arri(a !i & +a%ia a(a& !i ,


48/70

La 5&r"a de 'na par$(&la depende =ni%a * e6%l'!i)a"en#e del %&e3%ien#e a de

e! de%ir1 %'al/'ier par$(&la del #ip& #iene la "i!"a

5&r"a /'e la par$(&la ,

P&r ee"pl&:La par$(&la #iene la "i!"a 5&r"a /'e

X en%aan per5e%#a"en#e 'na en%i"a de la ra %&"& !e p'ede %&"pr&(ar !i !e

di('an la! d&! par$(&la!,

Al !&"e#er la par$(&la a 'na #ra!la%i0n de )e%#&r

7181 /'e !&n la! %&&rdenada! de !' ).r#i%e1 &(#ene"&! la par$(&la ,

Ee"pl& il'!#ra#i)&:[allar la e%'a%i0n de la par$(&la /'e pa!a p&r l&! p'n#&!:

* ,

C&"& e! 'n p'n#& de la par$(&la +a de %'"plir !' e%'a%i0n1 e!

de%ir1

De la "i!"a "anera1 +a de %'"plir:

< :


49/70

Se &(#iene el !i!#e"a de #re! e%'a%i&ne! %&n #re! in%0-ni#a!:

Para re!&l)erl&1 !e p'ede '#ilizar el !i-'ien#e ".#&d& -eneral:Ca"(iand& el !i-n& a al-'na e%'a%i0n 7p&r ee"pl& a la 8 * !'"$nd&la a la! ra!

d&!,

Se &(#iene a!2 'n !i!#e"a : %'*a !&l'%i0n e!

1 ,

S'!#i#'*end& e!#&! )al&re! en %'al/'ier e%'a%i0n del !i!#e"a ini%ial1 &(#ene"&!

,

La par$(&la ('!%ada e! ,

Repre!en#arla -r$3%a"en#e,

PRÁCTICA N99, O(#ener la e%'a%i0n de la par$(&la /'e pa!a p&r l&! p'n#&! dad&!, < repre!en#arla-r$3%a"en#e, 9,9, 1 *

9,B, 1 *

B, Di('ar la -r$3%a de %ada 'na de la! !i-'ien#e! par$(&la! B,9, ,

B,B, ,

B,,

Re!'"iend&:

Dada la par$(&la 1 en#&n%e!:

S' 5&r"a 7+a%ia arri(a1 +a%ia a(a&1 "$! %errada1 "en&! %errada8 depende del%&e3%ien#e a de ,


50/70

Si 1 la 5&r"a e! * !i 1 la 5&r"a e! ,

C'and& "$! -rande !ea 1 "$! %errada e! la par$(&la,

E6i!#e 'n =ni%& %&r#e %&n el ee 1 el p'n#& ,

L&! %&r#e! %&n el ee 1 !e &(#ienen re!&l)iend& la e%'a%i0n

* p'eden !er d&!1 'n& & nin-'n&,La pri"era %&&rdenada del ).r#i%e e!

PRÁCTICA N99, De#er"inar el !i-n& de l&! %&e3%ien#e! de la! !i-'ien#e! par$(&la!:

Re!&l'%i0n del %a!& 9:p&r/'e la par$(&la #iene !'! ra"a! +a%ia a(a&,

La pri"era %&&rdenada del ).r#i%e e! ne-a#i)a1 e! de de%ir

l'e-& 1 & l& /'e e! l& "i!"&1 ,

El =ni%& %&r#e %&n el ee e! el p'n#& , O(!er)and& la -r$3%a

,

E!#'diar l&! %a!&! B * ,

B, Un a-ri%'l#&r p&!ee J " de )alla para %er%ar 'na par%ela re%#an-'lar de #erren&ad&!ada a 'n "'r&, \'. $rea "$6i"a p'ede %er%ar de e!#a "anera]


51/70

, Lanza"&! 'n pr&*e%#il, La al#'ra al%anzada 7en Q"8 * l&! Hil0"e#r&! re%&rrid&!

e!#$n rela%i&nad&! p&r la e%'a%i0n , Cal%'la la

"$6i"a al#'ra al%anzada p&r el pr&*e%#il,

I*(+(33.$* '( (3/ < 7/)&/C&"& l&! p'n#&! %&"'ne! 7!i l&! +a*8 de 'na re%#a * 'na par$(&la +an de )eri3%ar lae%'a%i0n de a"(a!1 para &(#enerl&!1 !e #iene /'e re!&l)er el !i!#e"a de e%'a%i&ne!5&r"ad& p&r ella!,

Ee"pl&!:9, E!#'diar la in#er!e%%i0n de la re%#a * la par$(&la

,

Re!&l)iend& el !i!#e"a 5&r"ad& p&r la! d&! e%'a%i&ne!:

I-'aland&1 !e #iene:

L'e-&1

La! !&l'%i&ne! de e!#a e%'a%i0n !&n * ,

Si 1 en#&n%e! ,


52/70

Si 1 en#&n%e! ,

P&r #an#&1 +a* d&! p'n#&! de %&r#e en#re re%#a * par$(&la * #ienen de %&&rdenada! * 1 re!pe%#i)a"en#e,

Se di%e1 en#&n%e!1 /'e la re%#a * la par$(&la !&n !e%an#e!,

B, E!#'diar la in#er!e%%i0n de la par$(&la %&n la re%#a

,

El !i!#e"a #iene a+&ra 'na !&l'%i0n ,

P&r #an#&1 la re%#a * la par$(&la !&n #an-en#e!,

, E!#'diar la in#er!e%%i0n de la par$(&la * la re%#a

,

El !i!#e"a n& #iene !&l'%i0n *1 p&r #an#&1 la re%#a * la par$(&la

n& #ienen nin-=n p'n#& de %&r#e,

En %&n!e%'en%ia1 la! p&!i%i&ne! rela#i)a! de 'na re%#a * 'na par$(&la !&n:


53/70

!e-=n /'e el !i!#e"a /'e 5&r"an !'! e%'a%i&ne! #en-a d&! !&l'%i&ne!1 'na & nin-'na,

A7.3/3.&*(+9, Se lanza 'n pr&*e%#il, La al#'ra al%anzada 7en Q"8 * l&! Hil0"e#r&! re%&rrid&!

e!#$n rela%i&nad&! p&r la e%'a%i0n , A 9 Q" del l'-ar

de lanza"ien#& !e en%'en#ra 'na "&n#a>a %'*a ladera &e!#e !i-'e la re%#a de e%'a%i0n

, [allar el p'n#& de la "&n#a>a d&nde !e pr&d'%ir$ el i"pa%#&,

El p'n#& de i"pa%#& !e &(#iene re!&l)iend& el !i!#e"a 1

/'e #iene d&! !&l'%i&ne!:

1 /'e n& #iene !en#id& para el pr&(le"a real,

Para 1 !e #iene /'e

P&r l& #an#&1 el i"pa%#& !e pr&d'%ir$ en el p'n#& ,

, Un del52n #&"a i"p'l!& * !al#a p&r en%i"a de la !'per3%ie del "ar !i-'iend& lae%'a%i0n d&nde e! la di!#an%ia al 5&nd& de

"ar 7en "e#r&!8 * el #ie"p& e"plead& en !e-'nd&!,

a, Cal%'la %'$nd& !ale a la !'per3%ie * %'$nd& )'el)e a !'"er-ir!e !a(iend& /'e lapr&5'ndidad del l'-ar e! de BJ "e#r&!,(, \A /'. pr&5'ndidad ini%ia el a!%en!&]

Á(/ )/:& '( -*/ 3-=/


54/70

P&de"&! e!#i"ar el $rea en%errada p&r 'na %'r)a, P&r ee"pl&1 e!#a -r$3%a %&rre!p&ndea la par$(&la %&n #&"and& )al&re! de!de J +a!#a ,

A par#ir de l&! p'n#& "ar%ad&!1 * #razand& perpendi%'lare! al ee 1 &(#ene"&!

'na !erie de #rape%i&! * #ri$n-'l&!1 %'*a !'"a de $rea! !e apr&6i"ar$ al $rea (a& la%'r)a,S0l& !e ne%e!i#a re%&rdar:

X

En e!#e %a!&1 1 1 *

1 %'*a !'"a #al pr&p&r%i&na 'n $rea apr&6i"ada de 9J 'nidade! de !'per3%ie,

P&r !'p'e!#& p&dr2a! !0l& %al%'lar el $rea de * * "'l#ipli%and& p&r d&!

&(#ener el $rea #al,Ee"pl&:El #e%+& de 'n +an-ar para a)i&ne! e!#$ di!e>ad& de #al 5&r"a /'e !e %&rre!p&nde %&nla %'r)a %&n #&"and& )al&re! de!de +a!#a BJ,

O(#ene"&! para la 5'n%i0n an#eri&r e!#a #a(la de )al&re!:

/'e n&! pr&p&r%i&na la -r$3%a ad'n#a,


55/70

La !'"a de e!#a! $rea! e! de ,

El )&l'"en del +an-ar !e &(#iene "'l#ipli%and& el $rea del 5r&n#al 7(a!e8 p&r lapr&5'ndidad 7al#'ra8,

PRÁCTICA N99, Di('ar la -r$3%a de para )al&re! de de!de J +a!#a ,

B, E!#e di('& "'e!#ra 'na pieza de 'na "$/'ina de (r&n%e, La par#e %'r)a !i-'e la50r"'la de la 5'n%i0n an#eri&r, E!#i"ar el )&l'"en de (r&n%e /'e !e ne%e!i#a para%&n!#r'ir e!#a pieza,

, Un #=nel de 9JJ " de lar-& +a de !er e6%a)ad&, La (&%a del #=nel e!#$ dada p&r lae%'a%i0n %&n de!de J +a!#a , E!#i"ar el )&l'"en de #ierra *

r&%a /'e +a* /'e e6%a)ar para %&n!#r'ir el #=nel,


56/70

Lad& Ter"inal

Lad& Ini%ialV.r#i%e

Lad& Ter"inal

Lad& Ini%ialV.r#i%e

TRIGONOMETR@A

E#i"&l0-i%a"en#e1 la pala(ra Trigonometría !i-ni3%a "edida de l&! ele"en#&! de 'n#ri$n-'l& * pr&)iene del -rie-& trígonos: #ri$n-'l& * metría: "edida,

La Tri-&n&"e#r2a na%e %&n [IPARCO1 'n -rie-& del !i-l& II a, C,1 p&r 'na ne%e!idad"ani3e!#a de la A!#r&n&"2a de !er 'na %ien%ia "$! e6a%#a, Sin e"(ar-&1 l&! e-ip%i&!#a"(i.n +i%ier&n ap&r#e! a e!#a ra"a de la "a#e"$#i%a1 %&"& 5'e el !e/#

(1seqt =recorrido horizonta en pamas

recorrido !ertica encodos ) /'e l& '#ilizar&n para "edir la in%lina%i0n de la!pir$"ide! * /'e +&* %&rre!p&nde a la 5'n%i0n #ri-&n&".#ri%a %&"& %an-en#e,

P&r ra par#e1 +a* indi%i&! de /'e l&! (a(il&ni&! #en2an %&n&%i"ien#&! del #e&re"a dePITÁGORAS /'e l&! ind'& a de#er"inar el )al&r de 'na raz0n /'e en la a%#'alidad !ella"a !e%an#e,

Se p'ede de%ir /'e la Tri-&n&"e#r2a al%anza !' p'n#& %'l"inan#e a prin%ipi&! del !i-l&I1 %'and& .!#a !e 'ne e!#re%+a"en#e %&n el an$li!i! * de all2 en adelan#e +a !id& 'n)ali&!& a'6iliar de ra! %ien%ia!,

T.;&*&%(/La Tri-&n&"e#r2a e! a/'ella par#e de la Ma#e"$#i%a Ele"en#al /'e e!#'dia la "edida del&! #re! $n-'l&! de 'n #ri$n-'l& en rela%i0n %&n !'! lad&!,

ÁNGULOSi d&! ra*&! #ienen el "i!"& &ri-en & e6#re"&1 per& n& e!#$n en la "i!"a re%#a1en#&n%e! !' re'ni0n e! 'n ángulo, L&! d&! ra*&! !e lla"an lados del $n-'l& * ee6#re"& %&"=n e! el vértice, Si la ra%i0n e! %&n#raria a la! "ane%illa! del rel&1 el$n-'l& e! p&!i#i)& * !i e! en el !en#id& de la! "ane%illa! del rel&1 ne-a#i)&, L&repre!en#are"&! %&n le#ra! del al5a(e#& -rie-& * '#ilizare"&! el -rad& %&"& 'nidad de"edida,L& an#eri&r /'eda il'!#rad& en la! !i-'ien#e! 3-'ra!:

M('.'/ '( Á*;-&+

S.+(%/+ '( %('.3.$* '( *;-&+[a* #re! !i!#e"a! para "edir $n-'l&!: El !i!#e"a Se6a-e!i"al1 el !i!#e"a Mi6#& * el!i!#e"a Cir%'lar,1 E S.+(%/ S(>/;(+.%/ E!#e !i!#e"a 5'e %read& p&r l&! pri"i#i)&! (a(il&ni&!, S''nidad de "edida e! el grado,


57/70

Cada -rad& !e %&n!idera1 a !' )ez1 di)idid& en J par#e! lla"ada! "in'#&! * %ada"in'#& en J par#e! i-'ale! lla"ada! !e-'nd&!, L&! !2"(&l&! para e!#a! 'nidade! !&n:-rad&! (" ) 1 "in'#& (# ) * !e-'nd& (# # ) ,A %&n#in'a%i0n !e pre!en#an e/'i)alen%ia! de e!#e !i!#e"a:1"=60 # 1"=3600# # 1# =60 # #

Ee"pl&: E6pre!ar 15 " 40# 20 # # en -rad&!,

2 E S.+(%/ M.>& E!#e !i!#e"a de "ediada an-'lar !e (a!a en el !i!#e"a!e6a-e!i"al1 *a /'e l&! $n-'l&! !e e6pre!an en -rad&! !e6a-e!i"ale! * en 5ra%%i&ne!de%i"ale! de -rad&! !e6a-e!i"ale!,Ee"pl&: E6pre!ar 28.53 " en -rad&!1 "in'#&! * !e-'nd&!,

PRÁCTICA N9E6pre!ar el $n-'l& en -rad&! %&n apr&6i"a%i0n a %'a#r& de%i"ale!,98 12" 34 # 35 # # B8 273 " 36 # 30 # # 8 57 " 41# 8 94 " 17 # 06 # # 8

283 " 36 # 30 # #

E6pre!ar el $n-'l& en #.r"in&! de -rad&!1 "in'#&! * !e-'nd&!,

98 83.162 " B8 12.2575" 8 −223.4500 " 8 60.45 " 8 26.25 "

@ E S.+(%/ C.3-/ E!#e !i!#e"a '!a %&"& 'nidad de "ediada el radi$n1 %'*aa(re)ia#'ra e! rad ,

R(/3.$* (*( ;/'&+ < /'./*(+ Para %&n)er#ir "edida! de $n-'l&! de -rad&! a radiane! !e "'l#ipli%an l&! -rad&! p&r

$

180 "

Ee"pl&!: E6pre!e %ada $n-'l& %&"& 'n "=l#ipl& & 5ra%%i0n de $ radiane!,a8 40 " (8 8 " 53 % 20 % % %8 5 $n-'l&! re%#&! d8 2 re)&l'%i&ne!

Para %&n)er#ir "edida! de $n-'l&! de radiane! a -rad&! !e "'l#ipli%an l&! radiane!

p&r180 "

$

Ee"pl&!: C&n)ier#a a -rad&! l&! $n-'l&! dad&!,

a8$

6 (8

5 $

9 %8

$

36 d8

7 $

24

Á*;-& (* 7&+.3.$* *&%/Si !e #iene 'n !i!#e"a de %&&rdenada! re%#an-'lare!1 'n $n-'l& e!#$ en posiciónnormal %'and& !' ).r#i%e %&in%ide %&n el &ri-en de %&&rdenada! * !' lad& ini%ial %&n e!e"iee p&!i#i)& de la! X , El $n-'l& /'eda l&%alizad& en el %'adran#e d&nde !een%'en#ra !' lad& #er"inal, Si .!#e %&in%ide %&n 'n ee %&&rdenad&1 en#&n%e! el $n-'l&!e lla"a ángulo de cuadrante,

Á*;-& R(/3.&*/'& T&da 5'n%i0n #ri-&n&".#ri%a de 'n $n-'l& "a*&r /'e 90 " p'ede e6pre!ar!e en#.r"in&! de 'na 5'n%i0n #ri-&n&".#ri%a de 'n $n-'l& del pri"er %'adran#e 7$n-'l&p&!i#i)&8 * ell& e! p&!i(le "edian#e el '!& del $n-'l& rela%i&nad&,


58/70

Sea & 'n $n-'l& en p&!i%i0n n&r"al "a*&r /'e 90 " * n& "=l#ipl& de .l, El $n-'l&a-'d& p&!i#i)& 5&r"ad& p&r !' lad& #er"inal * el ee X !e den&"ina ángulorelacionado,

Si & e! 'n $n-'l& p&!i#i)& en !' p&!i%i0n n&r"al * & R el rela%i&nad&1 en#&n%e!p&de"&! de#er"inar el $n-'l& rela%i&nad& en l&! di5eren#e! %'adran#e!,

C'adran#e Án-'l& R'1 & R'

2 & R=1

'3

& R=&'

4 & R=3

Ee"pl&!:De#er"inar el $n-'l& rela%i&nad& para %ada 'n& de l&! $n-'l&! dad&! * %&n!#r'*a la-r$3%a /'e "'e!#re l&! d&! $n-'l&!,

98 &=248" B8 &=43 $

45 8 &=865" 8 &=

$

4 8 &=300 "

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

D(6*.3.$*Si & e! 'n $n-'l& en p&!i%i0n n&r"al * ( ( x , y ) 'n p'n#& %'al/'iera di!#in#& de&ri-en per#ene%ien#e al lad& #er"inal del $n-'l&1 la! !ei! 5'n%i&ne! #ri-&n&".#ri%a! de

& !e de3nen en #.r"in&! de la a(!%i!a1 &rdenada * la di!#an%ia r de ( al &ri-ena!2:

seno &=sen&= y

r

coseno&=cos&= x

r

tan)ente &=tan &= y

x

cotan)ente&=cot &= x

y

secante&=sec&=r

x

cosecante&=csc&=r

y

O)+(=/3.$* [a%iend& '!& del Te&re"a de Pi#$-&ra!1 p&de"&! %al%'lar %'al/'iera del&! #re! n="er&! x 1 y 1 r 1 p&r la 50r"'la r2= x2+ y2 ,

S.;*&+ /;()/.3&+Al #&"ar en %&n!idera%i0n l&! !i-n&! de la! %&&rdenada! de 'n p'n#& %'al/'iera1 !ep'eden de#er"inar l&! !i-n&! /'e #endr$n la! 5'n%i&ne! #ri-&n&".#ri%a! en l&!di5eren#e! %'adran#e!, La di!#an%ia r e! !ie"pre p&!i#i)a,

C'adran#e sen& cos& tan & cot & sec& csc&'

1 H H H H H H

x

y

O

!x,y"

r y

x


59/70

'2 H H

'3 H H

'4 H H

Median#e el '!& la Ge&"e#r2a Plana !e p'eden %al%'lar l&! )al&re! n'".ri%&! de la!5'n%i&ne! #ri-&n&".#ri%a! de 30" 1 45 " * 60 " 1 a!2 %&"& la de l&! "=l#ipl&! en#er&!de e!#&! $n-'l&!,

VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS NOTABLES

V/&(+ *-%5.3&+ '( /+ -*3.&*(+ .;&*&%5.3/+ '( 30 " , 45 " < 60 "

C&n!iderand& pri"er& el $n-'l& de 30 "=$

61 %'*a %&n!#r'%%i0n en !' p&!i%i0n n&r"al

apare%e en la 3-'ra 9, En %&n!e%'en%ia1 de a%'erd& %&n la de3ni%i0n de 5'n%i&ne!#ri-&n&".#ri%a!1 !e #iene:

sen 30 "= y

r

=1

2

cot 30"= x

y

=√ 3

1

=√ 3

cos 30 "= xr=√

3

2 sec30"=

r

x=

2

√ 3

tan 30 "= y

x =

1

√ 3=√

3

3 csc 30"=

r

y=

2

1=2

A+&ra1 %&n!iderand& el $n-'l& de 60"=$

31 %'*a %&n!#r'%%i0n en !' p&!i%i0n n&r"al

apare%e en la 3-'ra B,

En %&n!e%'en%ia1 de a%'erd& %&n la de3ni%i0n de 5'n%i&ne!#ri-&n&".#ri%a!1 !e #iene:

sen 60"= y

r =

√ 3

2 cot 60"=

x

y=

1

√ 3=

√ 33

cos 60 "= x

r =

1

2 sec 60 "=

r

x=

2

1=2

tan 60 "= y x=√

3

1=√ 3 csc 60"=

r

y=

2

√ 3=

2√ 3

3

A+&ra1 %&n!iderand& el $n-'l& de 45 "=$

41 %'*a %&n!#r'%%i0n en !' p&!i%i0n n&r"a

apare%e en la 3-'ra ,En %&n!e%'en%ia1 de a%'erd& %&n la de3ni%i0n de 5'n%i&ne!#ri-&n&".#ri%a!1 !e #iene:

sen 60"= yr =

√ 3

2 cot 60"=

x

y=

1

√ 3=

√ 3

3

X

Y

O

#$

r % &y % '

x % #

X

Y

O

($

r % &y % #

x % '

X

Y

O

)*

r % &y % '

x % '

Fi-'ra

Fi-'ra


60/70

cos 60 "= x

r =

1

2 sec 60 "=

r

x=

2

1=2

tan 60 "= y x=√

3

1=√ 3 csc 60"=

r

y=

2

√ 3=

2√ 3

3

Apli%and& 'n ".#&d& an$l&-& al e"plead&1 !e p'eden %al%'lar la! 5'n%i&ne!#ri-&n&".#ri%a! de %'al/'ier "=l#ipl& de 30 " 1 45 " * 60 " %'*& lad& #er"inal n&%&in%ida %&n 'n& de l&! ee! %&&rdenad&!, P&r ee"pl&1 para %al%'lar el )al&r de la!5'n%i&ne! #ri-&n&".#ri%a! de 240" !e %&n!#r'*e el $n-'l& en !' p&!i%i0n n&r"a7Fi-'ra 8, De e!#a "anera el $n-'l& rela%i&nad& %&n el $n-'l& de 240 " e!:

& R=240 "−180 "=60 "


sen240"= y

r

=−√ 32

=−√ 32

cot 240 "= x

y

= −1

−√ 3

=√ 3

3

cos240 "= x

r=−1

2=−1

2 sec 240 "=

r

x=

2

−1=−2

tan 240 "= y

x =−√ 3−1

=√ 3 csc240"=r

y=

2

−√ 3=−2√ 3

3

F-*3.&*(+ '( *;-&+ '( 3-/'/*(+Al %&n!iderar la! 5'n%i&ne! de l&! $n-'l&! de %'adran#e !e de!#a%a la 5'n%i0n /'ede!e"pe>a el %er& en la di)i!i0n, Si el di)idend& e! %er& * el di)i!&r e! di5eren#e de %er&1el %&%ien#e e! %er&X per& !i el di)i!&r e! %er&1 n& e6i!#e el %&%ien#e %&"& n="er& =ni%&,Median#e el %$l%'l& de la! 5'n%i&ne! #ri-&n&".#ri%a! del $n-'l& de 270" 7Fi-'ra 81 !eil'!#rar$ el pr&%edi"ien#& para &(#ener la! 5'n%i&ne! #ri-&n&".#ri%a! de 'n $n-'l& de%'adran#e,


sen 270 "= y

r =−r

r =−1 cot 270 "=

x

y=

0

−r=0

cos270 "= xr=0

r=0 sec 270"= r

x= r

0 *oexiste

tan 270 "= y

x =−r

0 *o existe csc 270"=

r

y=

r

−r=1

X

Y

O

&)$

y % + #

x % +'

r % &

X

Y

O

&$

y % +r

x % $

Fi-'ra

Fi-'ra

Fi-'ra


61/70

PRÁCTICA NBJC&n!#r'ir en !' p&!i%i0n n&r"al1 l&! $n-'l&! indi%ad&! en l&! eer%i%i&! 9 * B * %al%'larl&! )al&re! de !'! 5'n%i&ne! #ri-&n&".#ri%a!,9, 135 " B, 90 "De"&!#rar la! i-'aldade! de l&! eer%i%i&! 1 * X '#ilizand& l&! )al&re! de la! 5'n%i&ne!#ri-&n&".#ri%a! de l&! $n-'l&! de 30 " 1 45 " 1 * 60 " * !'! "=l#ipl&!,, cot 210 " sen 60 "=1+cos300 "

, csc 60 "−tan30 "=tan 210"

, 60 "=¿√ 1+sen 150 "2sen¿

V/&(+ '( /+ -*3.&*(+ .;&*&%5.3/+ 3-/*'& +( 3&*&3( -*/ '( (/+C&n&%id&! el %'adran#e d&nde !e l&%aliza el $n-'l& * el )al&r de 'na de !'! 5'n%i&ne!#ri-&n&".#ri%a!1 !e p'ede %al%'lar el )al&r del re!#& de ella! +a%iend& '!& de la!de3ni%i&ne!, Si el %'adran#e n& !e indi%a1 en#&n%e! pr&%ede"&! a %&n#e"plar a/'ell&!para l&! %'ale! !e %'"ple el !i-n& de la 5'n%i0n dada,

PRÁCTICA NB99, T&"and& en %&n!idera%i0n l&! !i-n&! de la! 5'n%i&ne! #ri-&n&".#ri%a! en l&!di5eren#e! %'adran#e!1 indi%ar en /'. %'adran#e7!8 /'eda7n8 l&%alizad&! l&! $n-'l&! /'e!a#i!5a%en la! %&ndi%i&ne! indi%ada!,

a8 Se%an#e * #an-en#e ne-a#i)a!,(8 La! de"$! !&n ne-a#i)a!1 e6%ep#& !en& * %&!e%an#e,%8 Sen& * %&!en& %&n el "i!"& !i-n&,d8 Can-en#e * !e%an#e %&n !i-n&! %&n#rari&!,e8 C&!e%an#e * !e%an#e %&n i-'al !i-n&,58 Sen& * #an-en#e ne-a#i)a!,

-8 Can-en#e p&!i#i)a,+8 Tan-en#e * %&!en& de !i-n&! %&n#rari&!,

B, C&n!#r'ir el $n-'l& en p&!i%i0n n&r"al * en%&n#rar l&! )al&re! de la! 5'n%i&ne!#ri-&n&".#ri%a! /'e !e indi%an,

98 sen&=−4

5X & e!#$ en '1 , 7 sec& 1 cot & 8

B8 tan &=2

3X & e!#$ en '3 , 7 sen& 1 cos& 8

8 csc&=√ 2 X & e!#$ en '2 , 7 tan & 1 cos& 8

8 cot &=12

5

X & e!#$ en '1 , 7 csc& 1 sec& 8


62/70

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

O):(.=&+ Analizar1 !in#e#izar * apli%ar la Tri-&n&"e#r2a a la re!&l'%i0n de l&! Tri$n-'l&!Re%#$n-'l&!,

I*&'-33.$*A %&n#in'a%i0n !e %&n&%er$ la apli%a%i0n de la Tri-&n&"e#r2a a la Re!&l'%i0n de l&! Tri$n-'l&! Re%#$n-'l&!1 * !e indi%ar$ %0"& %al%'lar l&! ele"en#&! de!%&n&%id&! de e!#a

%la!e de #ri$n-'l&! %'and& !e %&n&%en 'n& de !'! lad&! * %'al/'ier r& ele"en#&,

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSA l& lar-& del de!arr&ll& de la %la!e !e '!ar$ la na%i0n !i-'ien#e,

L&! $n-'l&! de 'n #ri$n-'l& re%#$n-'l& 7Fi-'ra 98 !e repre!en#ar$np&r la! le#ra! "a*=!%'la! A1 B1 * C1 !iend& C el ).r#i%e del $n-'l&re%#&, < !e '!ar$n la! le#ra! "in=!%'la! a 1 b * c para repre!en#arl&! lad&! &p'e!#&! a l&! $n-'l&! A1 B * C1 re!pe%#i)a"en#e, P&r%&!#'"(re1 C repre!en#a !ie"pre el $n-'l& re%#&1 * c la+ipen'!a, P'e!#& /'e el )al&r de C e! !ie"pre 3& e i-'al a

90 " 1 /'edan %in%& ele"en#&! del #ri$n-'l&1 A1 B1 a 1 b * c1 /'e

!&n !'!%ep#i(le! de )aria%i0n, Para re!&l)er l&! #ri$n-'l&!re%#$n-'l&! !e '!ar$n %in%& 50r"'la! ele"en#ale!:

sen A=a

c

cos A=b

c

tan A=a

b

a2+b2=c2

A+++C =180"

Ee"pl& 9: En 'n #ri$n-'l& re%#$n-'l&1 A=36 " 40 # * a=12.63 1 re!&l)er el #ri$n-'l&,S&l'%i0n:

La 3-'ra B e! 'n e!/'e"a a e!%ala apr&6i"ada del #ri$n-'l&de#er"inad& p&r l&! da#&!,L&! ele"en#&! n& %&n&%id&! de e!#e #ri$n-'l& !&n: el $n-'l& B1 e%a#e#& b * la +ipen'!a c,

A=36" 40 # 1¿¿¿

+=¿¿1 C =90"

a=12.63 1¿¿¿

b=¿¿

1¿¿¿

c=¿¿

El $n-'l& B !e %al%'la '!and& la 50r"'la A+++C =180 " 1 de d&nde !e &(#iene:+=180 "− A−C

-

/

ca

b

-

/

#( )$

c % 0a % '&.(#

b % 0

Fi-'ra 9

Fi-'ra


63/70

+=180 "−36 " 40 # −90 "+=53 "20 "

El lad& c !e %al%'la %&"& !i-'e, P'e!#& /'e l&! ele"en#&! %&n&%id&! !&n A * a 1 *

p'e!#& /'e sen A=a

c1 e!#a rela%i0n e! =#il para de#er"inar c, En e5e%#& !e #iene /'e:

sen 36 " 40 # =12.63

c

c sen36" 40 # =12.63

c= 12.63

sen 36 " 40 # c=21.15

Para de#er"inar el )al&r de b !e +a%e '!& de tan A 1 &(#eni.nd&!e

36 " 40 # =¿ 12.63

b

tan ¿b tan36 " 40 # =12.63 b=

12.63

tan 36" 40# b=16.96

Ee"pl& B: Dad&! a=271 * c=428 1 re!&l)er el #ri$n-'l&,

S&l'%i0n:La 3-'ra e! 'n e!/'e"a a e!%ala apr&6i"ada del #ri$n-'l&de#er"inad& p&r l&! da#&!,L&! ele"en#&! n& %&n&%id&! de e!#e #ri$n-'l& !&n: l&! $n-'l&! A *B * el %a#e#& b,

¿¿¿

A=¿¿1

¿¿

¿

+=¿¿

1 C =90 "

a=271 1¿¿

¿

b=¿¿

1 c=428

El $n-'l& A !e %al%'la '!and& la 50r"'la sen A=a

c1 de d&nde !e &(#iene:

sen A=271

428 sen A=0.63 A=sin−1 (0.63 ) A=39 " 20 #

El $n-'l& B !e %al%'la '!and& la 50r"'la A+++C =180 " 1 de d&nde !e &(#iene:+=180 "−39 "20 # −90 "+=50 " 40 #

Para %al%'lar el )al&r de b1 !e '#iliza el Te&re"a de Pi#$-&ra! a2+b2=c2 1 de d&nde !e#iene:

b=√ c2−a2

b=√ (428)2

−(271)2

b=331

PRÁCTICA NBBRe!&l)er l&! !i-'ien#e! #ri$n-'l&! re%#$n-'l&!:98 a=16 1 A=45 "

/-

c % )&1a % &'

b % 0

Fi-'ra


64/70

B8 b=28√ 3 1 c=568 c=48 1 +=60 "8 a=7.26 1 A=56 " 20 # 8 a=0.46 1 b=0.55


65/70

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN < DEPRESIÓN

O):(.=&+ De!%ri(ir * re!&l)er pr&(le"a! de apli%a%i0n en l&! /'e in#er)ienen el $n-'l&de ele)a%i0n & el $n-'l& de depre!i0n, In#erpre#ar el %&n%ep#& de dire%%i0n & r'"(& de'na re%#a /'e pa!a p&r 'n p'n#& dad&, Repre!en#ar -r$3%a"en#e )e%#&re!,

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓNSi 'n &(!er)ad&r en el p'n#& A 7Fi-'ra 98 "ira +a%ia 'n &(e#& !i#'ad& en el p'n#& B1 e

ra*& AB !e den&"ina línea visual, Sea C 'n p'n#& %'al/'iera !i#'ad& en el ra*&+&riz&n#al /'e pa!a p&r A * en el "i!"& plan& )er#i%al /'e A,

En#&n%e!1 el $n-'l& CAB 5&r"ad& p&r la l2nea )i!'al * la +&riz&n#al1 !e den&"ina ángulode elevación o ángulo de depresión de B1 !e-=n /'e B /'ede arri(a & de(a& de A, En la3-'ra 9 !e il'!#ran e!#a! de3ni%i&ne!,

C&"& apli%a%i0n1 )ea"&! 'n pr&(le"a en el /'e in#er)iene el $n-'l& de ele)a%i0n,

Ee"pl&: De!de 'n p'n#& !i#'ad& en 'na l2nea +&riz&n#al a B " de la (a!e de 'nedi3%i&1 !e en%'en#ra /'e el $n-'l& de ele)a%i0n a la par#e "$! al#a e! de 32" 10 # Cal%'lar la al#'ra del edi3%i&,S&l'%i0n: Se %&n!#r'*e pri"er& la 3-'ra B para #ener 'n e!/'e"a del pr&(le"a,

Para re!&l)erl& !e +a%e '!& de la #an-en#e de A en )ir#'d de /'ee!#a 5'n%i0n %&n#iene l&! da#&! * el lad& /'e !e ('!%a,

P&r de3ni%i0n1 tan 32 " 10 # = a

452X

P&r #an#&132"10 #

tan¿a=(452) ¿

a=(452)(0.63)a=284.26

La al#'ra del edi3%i& e!1 apr&6i"ada"en#e1 B,B "

D.(33.$* '( -*/ (3/En T&p&-ra52a * en Na)e-a%i0n Mar2#i"a1 la dire%%i0n & rumbo de 'na re%#a /'e pa!a p&r'n p'n#& dad& !e e6pre!a indi%and& el $n-'l& a-'d& /'e 5&r"a la re%#a1 al e!#e & al&e!#e1 %&n la l2nea n&r#e4!'r /'e pa!a p&r el &ri-en,

/

-

/-

/

#&2'$3-

a % 0

b % )*&

Fi-'ra 9

Fi-'ra B


66/70Fi-'ra

NN

9B

C

AJ H"

BJ

P&r ee"pl&1 en la 3-'ra 1 el r'"(& de OB e! 50 " al e!#e del n&r#e * !e repre!en#a N50 " E,

De "anera an$l&-a l&! r'"(&! de la! l2nea! OC1 OD * OF !&n1 re!pe%#i)a"en#e1 N 30"O1 S 40 " O1 * S 20 " E,

Ee"pl& 9: Un #erren& e!#$ li"i#ad& %&"& !i-'e: Se par#e de 'n %ipr.! /'e !ir)e %&"&

"ar%a ini%ial1 !e re%&rren JB " en dire%%i0n !'r1 l'e-& " en N 30 " 10 # E1 * de a+!i-'iend& e6a%#a"en#e r'"(& al p&nien#e +a!#a lle-ar al p'n#& ini%ial, En la 3-'ra !e"'e!#ra en 'n e!/'e"a del #erren&, Cal%'lar el $rea en "e#r&! %'adrad&! * la l&n-i#'ddel #er%er lad&,S&l'%i0n:

Para %al%'lar el lad& a !e +a%e '!& del !en& de A1 el %'al i"pli%a ala! d&! par#e! %&n&%ida! * a la in%0-ni#a,

sen 30 " 10 # = a

464

P&r #an#&130 " 10 #

sen¿a=(464 )¿

a=(464 )(0.50) a=233

P'e!#& /'e !e #ra#a de 'n #ri$n-'l&1 el $rea e! A=1

2bh X p&r #an#&1

A=1

2( 402) (233)

A=46800 ";

Ee"pl& B: Un aer&plan& par#e de!de 'n aer&p'er#&1 A1 * )iaa d'ran#e +&ra! a raz0nde 9J H" p&r +&ra en la dire%%i0n 125 " * a#erriza en el aer&p'er#& B, De!p'.! dea(a!#e%er!e de %&"('!#i(le1 !i-'e 'n r'"(& de 270" para a#errizar en C1 !i#'ad&e6a%#a"en#e al !'r de A, Cal%'lar la di!#an%ia de C a B,S&l'%i0n: En la 3-'ra 1 la! re%#a! AB * BC !&n la! d&! r'#a! del a)i0n,

El $n-'l& CA+=180 "−125 "=55 " , P'e!#& /'e la dire%%i0n 270 " e!+a%ia el p&nien#e1 el $n-'l& C e! de 90 " , En %&n!e%'en%ia1 epr&(le"a !e p'ede re!&l)er de la !i-'ien#e "anera:

sen55 "= C+

540

E

N

O

/

-

a % 0

b % )$& c % )()

C

FDFi-'ra

Fi-'ra


67/70

P&r #an#&1C+=(540 ) (sen55 " )C+=(540) ( 0.82 )=442 H"


68/70

Fi-'ra

VECTORESLa )el&%idad de 'n aer&plan& en el aire en %al"a e!#$ de#er"inada p&r el )al&r a(!&l'#&de la )el&%idad #ran!"i#ida p&r l&! "&re!1 * p&r la dire%%i0n dada p&r el #i"0n, El )al&ra(!&l'#& de la )el&%idad !e e6pre!a1 -eneral"en#e1 en Hil0"e#r&! p&r +&ra1 * la dire%%i0n"edian#e el $n-'l& /'e la l2nea de )'el& 5&r"a %&n ra 3a de an#e"an&1 & (ien"edian#e al-'na de la! %&n)en%i&ne! %&n /'e !e e!%ri(e 'na dire%%i0n #ale! %&"&r'"(& E!#e & r'"(& N&re!#e, Se p'ede &(!er)ar1 p'e!1 /'e la )el&%idad deaer&plan& #iene d&! %ara%#er2!#i%a! 'na "a-ni#'d * 'na dire%%i0n41 * /'e n& /'eda

de#er"inada !in& %'and& !e e!pe%i3%an la! d&!, La! %an#idade! /'e p&!een "a-ni#'d *dire%%i0n !e %&n&%en %&"& vectores, O#r&! ee"pl&! de %an#idade! )e%#&riale! !&n la!fueras1 la! aceleraciones * l&! desplaamientos, Tale! %an#idade! !e p'eden repre!en#ar-r$3%a"en#e "edian#e 'n !e-"en#& re%#il2ne& /'e #iene 'na l&n-i#'d * 'na dire%%i0ndada!,

Ee"pl&: Si de!de 'n a'#&"0)il /'e )a a 'na )el&%idad de BJ "e#r&! p&r !e-'nd& endire%%i0n N&r#e1 !e arr&a 'na pela en dire%%i0n al E!#e %&n )el&%idad de 9 "e#r&! p&r!e-'nd&1 de#er"inar la )el&%idad de la pela * la dire%%i0n en !' #ra*e%#&ria,

S&l'%i0n: El )e%#&r /'e repre!en#a 9 "e#r&! p&r !e-'nd& e!15

20=

3

4 del )e%#&r /'e

repre!en#a BJ "e#r&! p&r !e-'nd&, El !e-"en#& OB de la 3-'ra repre!en#a la)el&%idad /'e #endr2a la pela !i la per!&na /'e la +a arr&ad& n& e!#')iera en"&)i"ien#&X el !e-"en#& OC repre!en#a la )el&%idad del a'#&"0)il1 * el !e-"en#& ODrepre!en#a la )el&%idad real de la pela, La l&n-i#'d * la dire%%i0n de OD !e p'edende#er"inar p&r l&! ".#&d&! de la Tri-&n&"e#r2a p'e!#& /'e OCD e! 'n #ri$n-'l&re%#$n-'l& del %'al !e %&n&%en d&! ele"en#&!1 !iend& 'n& de ell&! 'n lad&, En e5e%#&:

tan =C-

.C

tan =15

20=0.75

De d&nde1 =tan−1 (0.75 )=37 "

P&r ra par#e

cos =.C

.-1 &am

mÓdulo de matemÁtica_10º_i.p.t.v..docx

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