Relatório de Estágio Profissionalizante Em Ciências Geofísicas - Meteorologia

MODELOS INTEGRAIS DE PLUMAS DE DISPERSÃO ATMOSFÉRICA

DE GASES QUENTES

Realizado por

Miguel Ângelo Cortez Teixeira

sob a orientação de

Prof. Pedro M. A. Miranda

F.C.U.L.- Julho de 1995

Índice

Agradecimentos 3 Introdução 4 Capítulo I - O Problema da Dispersão 1 - A Equação de Balanço 5 2 - A Difusão Molecular 6 3 - A Dispersão Turbulenta 7 4 - Aproximação Lagrangeana 10 5 - O Efeito de Corte 12 6 - Algumas Teorias de Plumas 14 6a - Plumas com Impulsão na Presença de um Escoamento Exterior 16 7 - O Modelo Integral de Slawson e Csanady 16 Capítulo II - Os Modelos Integrais de Schatzmann e Davidson 1 - O Modelo de Schatzmann 19 2 - O Sistema de Equações 20 3 - A Equação de Estado 26 4 - A Aproximação de Boussinesq 26 5 - A Velocidade de Entrainment 29 6 - O Modelo de Davidson 30 7 - As Condições Iniciais 34 8 - O Método Numérico 35 Capítulo III - Comentários aos Modelos de Schatzmann e Davidson 1 - Comentários ao Artigo de Davidson 36 2 - Comentários ao Modelo de Schatzmann 37 3 - Consequências das Correcções 40 4 - Uma Equação de Estado Alternativa 43 5 - Análise do Entrainment 46 6 - Os Processos de Entrada de Ar para a Pluma 48 7 - Condições Iniciais - Comentários 50 8 - A Inconsistência Principal 50 9 - Um Comentário de Índole Prática 52 Capítulo IV - Modificações ao Modelo de Schatzmann 1 - Perfil de Vento com Efeito de Corte 53 2 - A Equação de Estado Exacta 56 3 - A Introdução de Radiação 59 3a - O Efeito da Turbulência na Radiação 62 3b - O Cálculo dos Integrais 63 3c - Alguns Testes 63 4 - A Introdução de Água 67 4a - Comentários 73 4b - O Modelo de Schatzmann para Torres de Arrefecimento 74 4c - Alguns Testes 75 5 - Um Fecho de 1ª ordem para a Turbulência 79 Conclusões 83 Apêndice 1 - Testes aos Modelos Desenvolvidos 84 2 - Modelos de Várias Camadas 93 Referências 96

Agradecimentos Desejo exprimir a minha gratidão a todas as pessoas que contribuiram para que este trabalho se realizasse. Ao meu orientador, Prof. Pedro Miranda, agradeço o auxílio precioso facultado em alturas decisivas da elaboração do trabalho, assim como a grande liberdade concedida no desenvolvimento do tema e a bibliografia disponibilizada. Ao Instituto Geofísico do Infante D.Luis, ao seu director e a todos os que nele trabalham, agradeço as facilidades concedidas na utilização do equipamento do Instituto. Ao Rui Salgado, agradeço o auxílio prestado na impressão do texto. Ao meu colega Paulo Tomé, agradeço as interessantes e frutuosas conversas por nós mantidas, que muito me inspiraram. Agradeço, finalmente, aos meus pais, por terem tornado a minha vida tão fácil quanto possível, de forma a que eu pudesse dedicar-me inteiramente ao Estágio. Este trabalho foi realizado parcialmente com o apoio financeiro da Junta Nacional de Investigação Científica e Tecnológica (JNICT), através da concessão de uma Bolsa de Jovem Investigador (BJI).

Introdução O objectivo do presente trabalho é fazer uma abordagem relativamente pormenorizada de alguns aspectos relacionados com as plumas de dispersão de gases quentes. As teorias de dispersão disponíveis encontram aplicações em domínios razoavelmente restritos, como seja a previsão dos efeitos atmosféricos das descargas de efluentes pelas chaminés das fábricas, mas também em campos mais vastos, como a simulação dos processos de formação de nuvens convectivas ou o estudo do comportamento das correntes ascendentes chamadas térmicas. O trabalho está dividido em quatro capítulos. No primeiro, faz-se referência, antes de mais, à teoria clássica da dispersão, que serve de base aos modelos gaussianos. Para o efeito, seguiu-se essencialmente Csanady (1973) e, em menor medida, Dobbins (1979). Seguidamente, enumeram-se algumas outras formas de abordar o problema da dispersão, dando particular relevo aos modelos integrais. O capítulo encerra com uma descrição básica do modelo integral de Slawson e Csanady (1967). No segundo capítulo, é feita uma análise pormenorizada de um dos modelos integrais de maior sofisticação, o de Schatzmann (1978), confrontando-o com um modelo alternativo apresentado por Davidson (1986). No terceiro capítulo, apontam-se e corrigem-se, quando possível, certas incoerências encontradas nos modelos de Schatzmann e Davidson. No quarto capítulo, introduzem-se algumas alterações ao modelo de Schatzmann, nomeadamente considerando um perfil da velocidade ambiente não constante, adicionando o efeito da radiação para o caso de plumas muito quentes, adoptando uma aproximação diferente da do referido autor para plumas com transições de fase e considerando um fecho alternativo para a turbulência. São efectuados alguns testes pertinentes à compreensão dos efeitos que se procuram simular. Finaliza-se com uma breve referência às conclusões decorrentes do trabalho, seguida de um Apêndice constituido por uma série de testes um pouco mais exaustivos aos modelos desenvolvidos.

Capítulo I - O Problema da Dispersão 1. A Equação de Balanço Se, num meio contínuo, se considerar um volume de controlo conceptual fixo V, delimitado por uma superfície S, existem duas formas pelas quais uma propriedade desse meio pode aumentar ou diminuir, ao longo do tempo, no interior de V: devido à existência de fontes ou sumidouros em V ou por via do fluxo através da fronteira S. Se se chamar χ( , , , )x y z t a uma qualquer propriedade escalar por unidade de volume e se fizer, em V, o balanço da sua quantidade total integrada, ou seja, se se calcular a variação temporal do integral de volume de χ , como V pode ser admitido arbitrário, chega-se à conclusão, após utilizar o teorema de Gauss, que em cada ponto do espaço tem que ser

χ∂∂χ

qFt

+⋅−∇=r

(I.1.1)

onde Fr

representa o fluxo da propriedade e q x y z tχ ( , , , ) é uma função fonte (taxa de produção da propriedade por unidade de volume). O fluxo pode resultar de dois processos distintos: o transporte da propriedade pelo campo do movimento do meio que lhe serve de suporte, chamado advecção, ou o transporte efectuado independentemente, que toma o nome de difusão molecular. A parte do fluxo correspondente à advecção pode ser expressa por v

rχ , em que ),,,( tzyxvr

é a velocidade do meio, ao passo que a parte referente à difusão molecular é geralmente aceite como sendo proporcional ao gradiente da densidade da propriedade, isto é, igual a − ∇K χ , onde K>0 é uma difusividade que depende apenas das características físicas do meio. Tendo em conta estes dois processos, o fluxo toma a forma

χχ ∇−= KvFrr

(I.1.2) e admitindo que características do meio como a temperatura, densidade, etc., sofrem variações relativamente pequenas, é lícito tratar K como uma constante, resultando de (I.1.1) a seguinte equação:

χχχ∂∂χ

qKvt

+∇=⋅∇+ 2r (I.1.3)

Esta é uma identidade bastante geral, que se pode aplicar a inúmeras propriedades por unidade de volume. Se se admitir, por exemplo, que χ representa a densidade (χ ρ= ), obtém-se, notando que não há produção ou aniquilação de massa e que a difusão é neste caso negligível, a equação da continuidade. Se, por outro lado, se fizer χ ρ= T , onde T é a temperatura, chega-se a uma equação de balanço da energia térmica. Com efeito ρT é, a menos de uma constante multiplicativa, a entalpia ou a energia interna por unidade de volume. Deve notar-se, no entanto, que quando se consideram movimentos de apreciável extensão vertical, na atmosfera, há que entrar em conta com a expansão ou compressão adiabática, que impõe a inclusão em qχ , para além do aquecimento propriamente dito, de um outro

termo que represente este efeito. Uma alternativa possível é substituir a temperatura absoluta pela potencial. Uma das atribuições mais óbvias que se pode fazer é χ = c , em que c é a concentração de um determinado poluente. Nesse caso a equação passa a chamar-se equação de dispersão, e mais não traduz do que o balanço de massa da espécie poluente em causa. É possível, também, usar uma expressão parecida com (I.1.3) para estabelecer o balanço do momento linear. Basta igualar sucessivamente χ a cada componente do produto do vector velocidade pela densidade, ou seja, a cada componente do momento linear por unidade de volume. As forças que actuam no fluido aparecem no termo fonte e o termo difusivo tem, por sinal, que ser alterado, porque contrariamente à difusão de um escalar, em que o fluxo é apenas proporcional ao gradiente, a natureza vectorial do momento linear faz com que o fluxo difusivo de uma determinada componente dependa não só da própria componente em questão mas também das restantes.

Para movimentos de pequena escala na atmosfera, e em bastante boa aproximação na totalidade do oceano, os fluidos água e ar podem ser tidos como incompressíveis ( 0=⋅∇ v

r), pelo que se obtém

d

dtK q

χ χ χ= ∇ +2 (I.1.4)

que é uma equação de advecção-difusão com termo fonte. 2. A Difusão Molecular Antes de prosseguir, convém que sejam definidas algumas grandezas relevantes para o problema da dispersão, de um modo geral. Assim, Q, a quantidade total da propriedade dispersada é fornecida, num dado instante, por

∫ℜ

=3

dxdydzQ χ (I.2.1)

o seu centro de massa é definido por

∫ℜ

=3

1dxdydzx

Qx ii χ i=1,2,3 (I.2.2)

e a variância, que é uma medida da largura da distribuição, é dada, para cada uma das direcções principais, por

( )∫ℜ

−=3

22 1dxdydzxx

Q iii χσ (I.2.3)

onde xi pode ser x, y, ou z. Todas estas grandezas, sendo integradas no espaço, são apenas funções do tempo. Calculando a derivada temporal de σ i

2 , no caso em que não existem fontes ou sumidouros e em que a velocidade de advecção, a existir, é constante em direcção e módulo, verifica-se, utilizando (I.1.4), que

d

dtKiσ2

2= (I.2.4)

Uma vez que K é constante, conclui-se que a taxa de crescimento da variância é igual segundo todas as direcções, o que traduz a isotropia da difusão molecular. A menos do termo de advecção e do termo fonte, (I.1.4) exprime a equação clássica da difusão:

∂χ∂

χt

K= ∇2 (I.2.5)

que, para a condição inicial χ( , , , ) ( , , )x y z t q x y z= =0 , num domínio infinito, tem solução

( ) zdydxdzzyyxx

zyxq ′′′ ′−+′−+′−−′′′= ∫ℜ3

2

222

3 2

)()()(exp),,(

2

1

σσπχ (I.2.6)

onde se utiliza, um pouco abusivamente, a definição σ = 2Kt . A solução (I.2.6) descreve a difusão a partir de uma fonte instantânea mas não pontual, cuja intensidade por unidade de volume é q. Quando se admite uma distribuição inicial pontual, centrada na origem, χ δ δ δ( , , , ) ( ) ( ) ( )x y z t Q x y z= =0 , a solução anterior simplifica-se, reduzindo-se a uma simples função gaussiana:

( ) ++−=2

222

3 2exp

2),,,(

σσπχ zyxQ

tzyx (I.2.7)

Além da difusão pura, é possível tratar o caso em que também existe advecção, embora o campo da velocidade se tenha que admitir constante para que o problema não se torne não linear, sem solução analítica. Suponha-se, por exemplo, que a velocidade do meio que contém a propriedade χ é segundo a direcção x de um dado referencial, e possui valor absoluto U. Nesse caso, em vez de (I.2.7), tem-se

( ) ++−−=2

222

3 2

)(exp

2),,,(

σσπχ zyUtxQ

tzyx (I.2.8)

É extremamente fácil fazer obedecer uma solução do tipo de (I.2.7) a condições-fronteira simples, como sejam, por exemplo, a reflexão total ou a absorção total num plano z=H. Para isso, basta notar que a reflexão corresponde forçosamente a um fluxo nulo nesse plano

∂χ∂z

x y z H t( , , , )= = 0

e esta condição é satisfeita desde que se acrescente à solução (I.2.7) o campo produzido por uma fonte virtual situada em z=2H:

( ) −−+−⋅ +−=2

2

2

2

2

22

3 2

)2(exp

2exp

2exp

2),,,(

σσσσπχ HzzyxQ

tzyx (I.2.9)

No caso de se querer modelar a absorção total neste mesmo plano, tem que se impor a condição-fronteira χ( , , , )x y z H t= = 0, que é satisfeita por uma solução em tudo semelhante a (I.2.9) excepto no sinal do segundo termo à direita, dentro de parêntesis, que passa a ser negativo. Finalmente, pode-se ainda considerar uma fonte contínua no tempo e no espaço (não instantânea e não pontual), com a imposição de concentração nula em todo o domínio no instante inicial. Esta situação é traduzida pelas condições q q x y z tχ = ≠( , , , ) 0 e χ( , , , )x y z t = =0 0, e a solução de (I.2.5) é então

( ) tdzdydxdttK

zzyyxx

tt

tzyxq

K

t

′′′′ ′−′−+′−+′−

−′−

′′′′= ∫ ∫

ℜ0

222

2323 )(4

)()()(exp

)(

),,,(

8

1

3πχ (I.2.10)

Como é bem patente nestes exemplos, existem fortes razões para se associar, ao problema da difusão, a função de Gauss: por razões óbvias, no caso de uma fonte pontual e instantânea, mas também para configurações mais complexas, em que as soluções deste problema são obtidas pela sobreposição de infinitas gaussianas. 3. A Dispersão Turbulenta A homogeneização dos campos escalares pela turbulência não é, em estrito senso, difusão. De facto, este processo consiste no transporte de propriedades de um fluido pelo movimento desse mesmo fluido, e neste sentido não é mais do que advecção. Contudo, trata-se de uma advecção desordenada e de pequena escala, que escapa à resolução dos modelos numéricos. A natureza aparentemente aleatória da turbulência sugere um tratamento estatístico do seu comportamento. O que geralmente se faz é decompor as variáveis das equações em causa numa componente média φ e numa componente perturbada ′φ . A média que se utiliza é, em termos práticos, a temporal. O intervalo sobre o qual se calcula esta média determina crucialmente a escala temporal (e consequentemente a espacial) dos movimentos que vão ser resolvidos. Se o intervalo considerado for muito pequeno, componentes de menor frequência serão tidas em conta, se for bastante grande, só as componentes de maior escala sobreviverão nos termos médios. Para que a média goze de certas propriedades que serão bastante úteis, é necessário que o intervalo considerado seja consideravelmente superior à escala temporal das oscilações turbulentas, mas bastante inferior à escala temporal das variações da média. Em bastantes aplicações, escolhe-se um intervalo suficientemente grande para que as variáveis médias possam ser tratadas como estacionárias. Quando, nas equações da Dinâmica dos Fluidos, se decompõe cada campo numa componente média e numa perturbação, e se aplica o operador média a todas as expressões, os termos lineares ficam com o mesmo aspecto que tinham, tirando o facto de passarem a conter, em vez das variáveis instantâneas, os seus valores médios. Isto acontece porque, qualquer que seja o campo φ , se têm as

igualdades φ φ= e ′ =φ 0 . Mas o mesmo não se passa com os termos não lineares, ou seja, os termos em que dois (ou mais) campos aparecem multiplicados. Na hipótese mais simples, com apenas dois termos cruzados, há que fazer uso da relação φψ φψ φ ψ= + ′ ′ (I.3.1)

(I.3.1) implica, de imediato, que as equações médias passem a conter termos novos, em que aparecem covariâncias das incógnitas. Estas covariâncias serão variáveis adicionais do sistema que se quer resolver, que não se conhecem por via teórica, e têm que, de forma mais ou menos directa, ser relacionadas com os campos médios para que o sistema não se torne indeterminado. Nisto consiste o chamado problema do fecho da turbulência. Nas equações que interessa considerar, os termos não lineares são sempre termos de advecção, portanto as covariâncias que se encontram são da forma ′ ′viψ , em que vi é uma componente do vector velocidade e ψ é um escalar. O procedimento mais simples para eliminar a indeterminação (fecho de 1ª ordem) consiste em impor

′ ′ = −v Kxi ti

i

ψ ∂ψ∂

(I.3.2)

por analogia com a difusão molecular, o que corresponde a substituir um fluxo advectivo da propriedade ψ por um fluxo de tipo difusivo, em que Kti é uma pseudo-difusividade segundo a direcção xi . Com efeito, verifica-se experimentalmente que os perfis médios das propriedades sujeitas a dispersão turbulenta (temperatura, concentração de um poluente) são muito aproximadamente gaussianos, tal como na difusão molecular. Contudo, as observações mostram que o comportamento da turbulência a nível da "difusividade" é muito diferente. Na atmosfera e no oceano, particularmente na camada limite, a dispersão turbulenta é frequentemente anisotrópica, em particular verifica-se que os vários Kti são diferentes conforme dizem respeito às direcções horizontais ou à vertical. Por esta razão,

quando, no âmbito da camada-limite, se encontra uma covariância da forma ′ ′w vi , onde vi é uma componente da velocidade horizontal e w é a velocidade vertical, é frequente substitui-la de acordo com

′ ′ = −w v Kv

zi tii∂

∂ (I.3.3)

onde Kti é agora uma pseudo-viscosidade turbulenta, pois admite-se que os gradientes de velocidade média e o consequente transporte turbulento são essencialmente segundo a vertical. Além disso, como se terá oportunidade de verificar na alínea seguinte, a dispersão turbulenta de uma parcela de fluido varia de regime ao longo do respectivo tempo lagrangeano, isto é, da sua "idade" contada a partir do momento em que foi libertada. Trata-se de um processo de transporte cujo comportamento depende de factores dinâmicos em vez de depender apenas de factores físicos. A dispersão turbulenta é várias ordens de grandeza mais eficiente do que a difusão molecular, portanto é quase sempre perfeitamente aceitável desprezar o segundo processo desde que se entre em conta com o primeiro. O fluxo médio de uma propriedade χ pode ser expresso, tendo em conta (I.3.1) e (I.3.2), por

F v v v Kxi i i i ti

i

= + ′ ′ = −χ χ χ ∂χ∂

(I.3.4)

para cada uma das suas componentes. Então, em vez de (I.2.5), para a difusão sem fontes nem sumidouros e sem advecção média (

rv = 0) tem-se a equação média

∂χ∂

∂ χ∂

∂ χ∂

∂ χ∂t

Kx

Ky

Kztx ty tz= + +

2

2

2

2

2

2 (I.3.5)

Ao passar as pseudo-difusividades turbulentas para fora dos operadores derivada espacial, fez-se uso da ideia, que será demonstrada em breve, de que elas apenas dependem do tempo de dispersão. O facto de não se admitirem fontes nem sumidouros quer dizer, na prática, que a libertação da propriedade é instantânea, ou seja, que este tempo é o mesmo para qualquer porção de fluido libertado e coincide com o tempo euleriano. Por isso se admite que Ktx , Kty e Ktz só dependem de t. Com estas hipóteses, a

solução de (I.3.5), para uma distribuição inicial pontual situada na origem, é

−−−=2

2

2

2

2

2

23 222exp

)2(),,,(

zyxzyx

zyxQtzyx

σσσσσσπχ (I.3.6)

onde se usam as definições

Kd

dttxx= 1

2

2σ K

d

dttyy= 1

2

2σ K

d

dttzz= 1

2

2σ (I.3.7)

A diferença essencial entre a solução (I.3.6) e a referente à difusão molecular é que nela aparecem discriminadas as variâncias para as diferentes direcções principais, para levar em conta a anisotropia. O facto de as pseudo-difusividades dependerem do tempo não afecta significativamente o tipo de solução. Tudo o que se exige é que a condição (I.3.7) seja verificada. Portanto (I.3.6), embora quase formalmente idêntica à solução para a difusão molecular, é aplicável em condições bem menos restritas Mas a viabilidade do raciocínio anterior está dependente de se admitir a não existência de fontes contínuas no tempo, o que, para o estudo da dispersão, é de pouco interesse. Na maior parte dos casos interessa, sim, descrever a descarga continuada de substâncias poluentes, por exemplo, a partir de uma chaminé de fábrica. Facilmente se compreende que este é um problema intratável na aproximação mais realista, porque uma fonte não pontual, contínua no tempo e não estacionária emite partículas ou parcelas de fluido cujo tempo lagrangeano não é relacionável com nenhuma variável euleriana. De facto, ao haver libertação contínua de poluente, o espaço vai ficando preenchido com partículas que possuem toda uma gama variada de tempos lagrangeanos e, por outro lado, devido à não estacionaridade, e à própria natureza incerta dos movimentos das partículas, não é possível identificar univocamente um determinado tempo lagrangeano com um dado ponto do espaço. É, até, provável que partículas com tempos de dispersão totalmente diferentes se encontrem praticamente sobrepostas. Porém, no caso estacionário, com advecção média apreciável e fonte pontual (ou plana, mas perpendicular ao escoamento), tudo se simplifica. Desde que se despreze a dispersão segundo a direcção em que a advecção se dá (o que parece não ser muito grave desde que esta seja realmente importante), torna-se praticável associar cada ponto do espaço ao tempo lagrangeano da partícula que o ocupa. Se as partículas forem libertadas na origem e a velocidade média do meio for U, constante, segundo x, a equação que rege o sistema passa a ser

Ux

Ky

Kzy z

∂χ∂

∂ χ∂

∂ χ∂

= +2

2

2

2 (I.3.8)

vindo a posição de cada ponto material do fluido libertado dada por x Ut= , em que t é o respectivo tempo lagrangeano Por causa da estacionaridade, tem-se agora um campo da difusividade localmente constante, mas também uma variância, como foi definida anteriormente, não dependente do tempo, pelo que a expressão (I.3.7) deixa de ser válida. Todavia, se se definirem novas variâncias dependentes de x, não para todo o espaço mas para planos perpendiculares a esta direcção

dydzyQ zy

y ∫∫′=

,

22 1 χσ e ∫∫′=

zy

z dydzzQ ,

22 1 χσ (I.3.9)

com ∫∫=′zy

dydzQ,

χ

e se derivarem em ordem a x as expressões contidas em (I.3.9), utilizando a equação de dispersão (I.3.8), depressa se conclui que

Ud

dxKi

i

σ2

2= (I.3.10)

Este resultado mostra que, também agora, qualquer pseudo-difusividade é igual a metade da derivada material da respectiva variância, o que contribui para sublinhar a natureza lagrangeana desta grandeza. Simultaneamente, a solução da equação (I.3.8), para a condição fronteira U x y z q y zχ δ δ( , , ) ( ) ( )= =0 , que corresponde à existência de uma fonte pontual na origem, é

−−=2

2

2

2

22exp

2),,(

zyzy

zy

U

qzyx

σσσπσχ (I.3.11)

Uma vez que se despreza a dispersão segundo x, o perfil gaussiano apenas existe segundo y e z. A solução é, logicamente, estacionária, e as variâncias que contém só dependem da coordenada x. Esta característica permite que sejam levados em conta, ao estabelecer a dependência funcional de σ y

2 e σ z2

em x, factores como a estabilidade e a inhomogeneidade do ambiente, o que constitui um aspecto de extrema importância, pois significa que, nesta teoria, não só pode ser levada em conta a variação das pseudo-difusividades devido a factores intrínsecos à própria turbulência como, devido à grande

liberdade que é dada para a sua definição, também nela se podem fazer repercutir características externas do meio, dependentes da posição. 4. Aproximação Lagrangeana Para compreender por que razão o comportamento da dispersão é, antes de mais, dependente do tempo lagrangeano, é-se remetido para o estudo de um sistema formado por um conjunto de partículas materiais sujeitas a deslocamentos mais ou menos aleatórios. É conveniente considerar que todas as partículas do sistema têm características iguais, isto é, que são uma espécie de átomo da propriedade em consideração e que a sua densidade, essa sim, exprime a variação do campo. Isto é particularmente fácil de identificar com o que realmente se passa no caso da dispersão de um poluente, visto que a concentração não é mais do que um número de partículas por unidade de volume vezes a massa de cada partícula. Na dispersão de calor, ou de uma outra grandeza que varie continuamente, para se poder utilizar o mesmo tipo de raciocínio, tem-se que, conceptualmente, concentrar a propriedade adequada em pontos discretos. Por exemplo, para o calor, cada partícula poderá ser vista como um quantum de entalpia e a densidade de partículas é que será proporcional à temperatura. A posição de cada partícula ou ponto material vem dada, num tempo de dispersão t por

∫ ′′+=t

iii tdtvxtx0

0 )()( (I.4.1)

onde v ti ( ) é a componente i da velocidade (lagrangeana) desse ponto e xi0 é a mesma componente da posição inicial. Numa teoria discreta, impõe-se a introdução de momentos estatísticos também discretos, distintos dos utilizados até agora. Assim, a média definida sobre todas as partículas do sistema, da componente i da velocidade (ou de qualquer outra grandeza genérica com o mesmo nome) é

v tN

v ti ijj

N

( ) ( )==∑1

1

(I.4.2)

com o índice j a referir-se a cada partícula e sendo N a quantidade total de partículas. Não é demasiado restritivo para o essencial do fenómeno da dispersão turbulenta considerar que a turbulência em estudo é estacionária, ou seja, que a média definida por (I.4.2) de qualquer propriedade ou produto de propriedades é constante. Por outro lado, a velocidade média associada ao processo pode, sem problemas, ser considerada nula, v ti ( ) = 0, desde que medida num referencial móvel, animado da velocidade adequada. A autocovariância da componente i da velocidade é, então, definida, para um desfasamento temporal τ , por v t v ti i( ) ( )+ τ O seu significado físico é o de avaliar a semelhança entre as velocidades do conjunto de todas as partículas do sistema no instante t e no instante t+τ . Como é intuitivo e comprovado pela experiência, esta função é decrescente para τ >0, traduzindo que, no campo turbulento, o movimento passado vai sendo progressivamente "esquecido". Paralelamente, atendendo à estacionaridade, sabe-se que a autocovariância não depende de t, e facilmente se mostra que é uma função par de τ . No caso particular τ =0, a autocovariância transforma-se na variância, que, pelo que já se disse, lhe é sempre superior em módulo. É, portanto, possível, fazendo o quociente destas duas funções, obter a função normalizada chamada autocorrelação

Rv t v t

vi i

i

( )( ) ( )

ττ

=+

2 (I.4.3)

que pode tomar valores entre -1 e +1, tendendo para zero quando τ → ±∞ e tendo um máximo igual a 1 em τ = 0 A variância da posição das partículas, definida como a média sobre todas elas da posição de cada partícula menos a posição média, ao quadrado, obedece, para as hipóteses feitas, à relação

( )

( ) tdtvtvdt

dxxx

dt

xtxd t

iii

ii

ii′′=−=

− ∫0

2

)()(22)(

(I.4.4)

onde se fez uso de (I.4.1) e (I.4.2), e notando ainda que esta média pode permutar com os operadores integral e derivada temporal. A variância cuja evolução é descrita por (I.4.4) é o equivalente discreto da que se definiu na teoria Euleriana, pois também é uma medida da largura da distribuição da propriedade. Substituido no integral da identidade (I.4.4) a definição (I.4.3), após se ter efectuado a mudança de variável τ = − ′t t , chega-se finalmente a

( ) ∫=

− t

i

ii

dRvdt

xxd

0

2

2

)(2 ττ (I.4.5)

Então, ainda que não se conheça a forma exacta da função R( )τ , podem ser investigados dois comportamentos assimptóticos do segundo membro de (I.4.5). Para tempos de dispersão relativamente pequenos (t ≈ 0), sabe-se que, devido à inércia, a autocorrelação dentro do integral é praticamente igual a 1, portanto este vale aproximadamente t, e verifica-se:

d x

dtv t

i

i

222= (I.4.6)

Se, pelo contrário, t for suficientemente grande, como a autocorrelação acaba por tender para zero quando τ tende para infinito, o limite superior do integral pode ser substituido sem erro apreciável (desde exista convergência) por um tL constante, que seja um tempo razoável a partir do qual ele já pouco varie. Nesse caso, o integral deixa, evidentemente, de depender de t. Se, ao seu valor calculado usando o novo limite superior, se chamar t0 , a evolução da variância fica descrita por

d x

dtv t

i

i

2

202= (I.4.7)

em que t0 é uma constante com dimensões de tempo. Recordando que a variância discreta é exactamente equivalente à que se definiu para o caso contínuo, a conclusão a tirar, tendo presentes igualdades como (I.3.7) ou (I.3.10), é que a pseudo-difusividade turbulenta é inicialmente proporcional ao tempo lagrangeano da partícula dispersada mas tende, nos "grandes" tempos de dispersão, para um valor constante. Por outras palavras: para pequenos tempos de dispersão, o raio de uma distribuição gaussiana que obedeça à equação (I.3.8) aumenta linearmente, mas a partir de certa altura, passa a crescer proporcionalmente a x . O critério que é usado para avaliar se um tempo próprio é ou não "grande" é a comparação com tL . Este raciocínio também é aplicável à difusão molecular, mas o que acontece nesse processo é que o parâmetro tL é extremamente pequeno, portanto o primeiro regime de difusão não chega a manifestar-se à escala dos movimentos que geralmente interessa estudar em Mecânica dos Fluidos. Não acontece assim na dispersão turbulenta, devido às forças de inércia apreciáveis que entram em jogo, por isso a sua modelação torna-se bastante mais complicada: apenas se conhecem os seus dois comportamentos assimptóticos, porém, o que se passa entre eles não é determinável, a menos que se admita uma forma explícita para R( )τ . 5. O Efeito de Corte É sabido que, na atmosfera turbulenta, entre a camada laminar e a altitude em que a força de Coriolis começa a ser relevante (e se aplica a teoria de Ekman), o perfil de vento, em condições de estabilidade neutra, não é uniforme mas sim logarítmico, obedecendo, na forma diferencial, à relação (Dobbins, 1979):

du

dz

u

z= *

κ (I.5.1)

onde u é a velocidade média do escoamento, κ é a constante de von Kármán e u* é uma velocidade característica chamada velocidade de atrito. Sabe-se, também, que a tensão de corte turbulenta, associada a um tal escoamento, é considerada constante e vem dada por

τ ρzx mKdu

dz= (I.5.2)

onde Km é uma viscosidade cinemática turbulenta. Logo, introduzindo (I.5.1) em (I.5.2), com facilidade se deduz que Km é proporcional à distância à superfície K u zm = κ * para o que se utilizou a definição de velocidade de atrito

u zx* =

τρ

Ora verifica-se experimentalmente que a razão da viscosidade cinemática turbulenta e da difusividade turbulenta do calor (ou de um poluente), toma valores sempre próximos da unidade (Stull, 1988), pelo que, sem erro apreciável se pode assumir, para a pseudo-difusividade na direcção vertical, o constrangimento K zz ∝ (I.5.3) Considere-se, por razões de simplicidade, uma equação de dispersão turbulenta referente ao estado estacionário, mas em que, para além de haver advecção apenas segundo x, a dispersão se dá só segundo z, dependendo tanto a velocidade de advecção média u como a pseudo-difusividade, da coordenada vertical.

=z

zxKzx

zu z ∂χ∂

∂∂

∂χ∂

),()( (I.5.4)

O domínio da variável z é definido de 0 a L, com a densidade genérica χ e todas as suas derivadas

tidas como nulas nos seus limites. Se se definir, para uma grandeza φ , uma média nesta camada { }φ , como

{ } ∫=L

z

dzzxQ 0

),(1 χφφ (I.5.5)

onde

dzQL

z ∫=0

χ

é possível concluir, utilizando (I.5.4), que são respeitadas as seguintes relações

{ }( ) 0=uQdx

dz (I.5.6)

{ } =z

K

dx

zdu z

∂∂~

(I.5.7)

{ } ( ){ }{ } { } ( ) −+= −

zzz

KK

u

zzu

dx

du z

z~22

~ 2

∂∂

(I.5.8)

{ } ( ){ }{ } ( ){ } ( ) { } ( ){ }22

3~3~3~6

~zzu

z

K

uzz

z

KzzK

u

zzu

dx

du zz

z −− −+−= −∂

∂∂

∂ (I.5.9)

onde

{ }{ }u

zuz =~

Usaram-se as condições-fronteira já referidas

χ χ( ) ( )z z L= = = =0 0 e ∂χ∂

∂χ∂z

zz

z L( ) ( )= = = =0 0

e na dedução das três últimas equações utilizou-se a primeira. A equação (I.5.6) exprime a conservação da massa total. A diferença relativamente ao caso sem efeito de corte consiste na possível dependência de { }u em relação a x, que implica que Qz possa depender, também, desta coordenada. Quando não existe efeito de corte, u é constante e pode passar para fora do operador derivada, de modo que o que se conserva, mais simplesmente, é a quantidade de

massa de poluente integrada em z. A equação (I.5.7) descreve, grosso modo, (mas não exactamente, porque { }zz ≠~ ) a evolução da posição média vertical. Se se admitir que a pseudo-difusividade é proporcional à altura K zz = β β > 0 (I.5.10) (I.5.7) toma a forma

{ } β=dx

zdu

~

portanto é de esperar, nestas circunstâncias, que o centro de massa da pluma suba (um fenómeno bem conhecido da dispersão com efeito de corte). (I.5.8) descreve, aproximadamente, a evolução da variância. O primeiro termo no membro da direita é comum ao caso sem efeito de corte, mas o segundo traduz um efeito que é seguramente nulo apenas no caso de Kz ser constante. Utilizando mais uma vez (I.5.10), vem

{ } ( ){ }{ } { } { }( )zzKu

zzu

dx

du z

~22~ 2

−+= − β

Finalmente, a equação (I.5.9) dá a evolução de uma grandeza aparentada com o momento estatístico chamado skewness, que é entendido como uma medida da assimetria duma distribuição relativamente à sua posição média. Para pseudo-difusividades constantes, a sua evolução é nula, ou seja, se não existir assimetria de início, ela nunca surgirá. Todavia, quando a pseudo-difusividade obedece a (I.5.10), tem-se

{ } ( ){ }{ } ( ){ } { } { }

{ } −+−= −u

zuzzz

u

zzu

dx

du

222

3

3~6~

ββ

e o segundo membro desta equação facilmente se pode tornar não nulo, dando origem a uma assimetria na pluma, mesmo que esta não exista inicialmente. Este é talvez o ponto mais importante que o sistema de equações anterior permite concluir: para a presente situação, um perfil gaussiano não pode, em rigor, ser adequado para representar o campo da concentração de poluente. 6. Algumas Teorias de Plumas Devido à grande complexidade dos processos físicos envolvidos, não existe uma teoria completa e unificada que descreva apropriadamente a dispersão turbulenta de poluentes. Existem, de facto, muitas vias diferentes para abordar este assunto, que partem de hipóteses distintas. A eficácia de umas e de outras abordagens depende do respeito que se tem, na sua aplicação, por estas hipóteses, que são quase sempre bastante restritivas. A mancha visível ou de alguma forma detectável formada pelos poluentes emitidos por uma fonte contínua à medida que vão sendo dispersados é chamada, na literatura, pluma. Seguidamente enunciam-se algumas das vias que se podem seguir para modelar o comportamento das plumas de dispersão. A via porventura mais directa, e talvez a mais rigorosa, mas também a que exige maiores meios de cálculo, é aquela em que se resolvem localmente, numa rede apropriada, as equações básicas da Dinâmica dos Fluidos. As equações podem ser resolvidas por meio dos modelos vulgarmente chamados L.E.S. (Large Eddy Simulation models), os quais conseguem simular escoamentos complexos, se bem que exijam, como quaisquer outros, uma parametrização da turbulência. Esta parametrização, implementada usando esquemas de ordem mais ou menos elevada, consiste em admitir certas relações entre os campos médios e perturbados, cuja fundamentação não pode ser dada por via teórica, nem é totalmente segura. A única maneira de evitar este problema básico seria usar uma rede de tal modo fina que os movimentos de menor escala por ela resolvidos caissem no domínio da difusão molecular. Uma outra possibilidade é adoptar um modelo de pluma gaussiana. A teoria gaussiana é essencialmente analítica, mas possui algumas potencialidades, como já se viu, nomeadamente ao permitir a variação das difusividades ao longo do trajecto da pluma, com vista a levar em conta inúmeros factores, assim como a separação dos comportamentos horizontal e vertical da dispersão, admitindo difusividades distintas para as diferentes direcções transversais. Paralelamente, é possível, usando o método das imagens, satisfazer exactamente condições-fronteira que simulem a reflexão ou

absorção no solo, ou até reflexão numa inversão de temperatura (Csanady, 1973). As limitações deste modelo são as indispensáveis para a solução se manter analítica: fecho de primeira ordem para a turbulência, velocidade ambiente constante e ausência de quaisquer factores dinâmicos adicionais, como a impulsão (o poluente é considerado meramente como um traçador passivo). Muitas vezes, recorre-se à teoria da Semelhança Dinâmica para obter relações entre parâmetros relevantes de uma pluma. Esta teoria tem como base a análise dimensional, e permite estabelecer certas dependências entre as variáveis de um dado problema, que podem ser concretizadas com o auxilio de testes experimentais. Da interacção entre estes dois procedimentos podem ser obtidas fórmulas semi-empíricas de grande interesse prático, como as que descrevem a trajectória do centro de uma pluma com impulsão numa atmosfera neutra de vento constante, que fornecem a altura efectiva de uma pluma numa atmosfera estável (isto é, a altura a que ela estabiliza) e que descrevem a evolução das variâncias de uma pluma, na camada limite planetária, em condições turbulentas e para diferentes estabilidades (Venkatram, 1988, Zanetti, 1990). Numa diferente categoria, existem os modelos estocásticos, cujo fundamento consiste em tratar a dispersão de um ponto de vista microscópico e completamente lagrangeano. Neles, admite-se, de forma algo semelhante ao movimento Browniano, que cada partícula de poluente obedece, em primeira aproximação, à equação de Langevin

)()()(

tAtvdt

tvd rrr+−= β (I.6.1)

onde β é um coeficiente de amortecimento e )(tAr

uma aceleração aleatória. A velocidade do processo de difusão, ou dispersão, depende do coeficiente de amortecimento, cujo inverso se pode considerar uma espécie tempo inercial. Como, neste modelo, se tem, em cada momento, completo controlo sobre cada partícula, é relativamente fácil introduzir advecção variável, modificações no regime de difusão, através de um β que dependa tanto do tempo como das coordenadas espaciais, e mesmo impulsão (Boughton et al.,1987), embora esta seja incluida de forma menos natural do que no caso contínuo, por ser uma força ligada à continuidade do meio. A última variedade que se refere é a dos modelos integrais. Uma vez que é principalmente sobre eles que o presente trabalho se debruça, é devida uma análise um pouco mais pormenorizada. Estes modelos têm como base, tal como os L.E.S., as equações fundamentais da Dinâmica dos Fluidos: conservação da massa, conservação do momento linear, conservação da entropia e equação de estado. Contudo, para obter o sistema de equações modificado, que posteriormente se vai resolver, é admitida a hipótese de estacionaridade e procede-se à integração das equações fundamentais na secção recta da pluma. Conseguem-se assim eliminar duas coordenadas espaciais e também a temporal, o que permite transformar um sistema de equações às derivadas parciais num sistema de equações diferenciais ordinárias, cuja variável independente é a coordenada ao longo do eixo da pluma. Duas hipóteses de extrema importância, nesta teoria, para tornar a integração possível, são a circularidade da secção recta da pluma e uma certa simetria axial na distribuição das suas propriedades. Estes aspectos sugerem que a teoria talvez apenas seja aplicável para pequenas distâncias à fonte, pois a anisotropia das pseudo-difusividades turbulentas implica a destruição progressiva desta simetria. Os modelos integrais são concebidos de maneira a levar em conta a impulsão, que, em princípio também só deve ser importante na fase inicial da dispersão, antes de a mistura turbulenta ter erodido a perturbação de temperatura. Soma-se a isto o facto de a maior parte dos modelos integrais considerar apenas o efeito da turbulência interior à pluma, embora algumas tentativas existam no sentido de tratar fases em que a turbulência atmosférica é dominante (Slawson e Csanady, 1971, Netterville, 1990). Portanto, as teorias integrais mais bem estabelecidas aplicam-se essencialmente à fase inicial da vida de uma pluma, apesar de não ser totalmente claro quando acaba esta fase (visto a transição entre o regime inicial e o em que a turbulência ambiente domina ser gradual). Com as simplificações suficientes, o sistema de equações que constitui o modelo integral pode até ter solução analítica (Morton et al.,1956; Slawson e Csanady, 1967) Não é esse, contudo, o caso do modelo de Schatzmann, que será apresentado mais adiante, onde as simplificações foram reduzidas praticamente ao mínimo admissível. Mas mesmo neste modelo, a vantagem de apenas se ter que resolver um sistema de equações diferenciais num domínio unidimensional é um aspecto que poupa bastante tempo de cálculo. Embora nesta breve referência tenham sido separadas as diferentes teorias que se utilizam na modelação das plumas, todas elas estão bastante interligadas entre si na prática. Por exemplo, o resultado da fórmula semi-empírica que dá a altura efectiva de uma pluma pode ser utilizado como dado de entrada no modelo gaussiano, que é aplicável a plumas passivas, ou, alternativamente, pode simular-se a fase inicial da pluma através de um modelo integral, se se quiserem informações mais

pormenorizadas sobre a sua evolução. Por sua vez, as variâncias utilizadas nos modelos gaussianos e as parametrizações da turbulência necessárias aos modelos integrais são frequentemente obtidas por via semi-empírica. O que tudo isto significa é que, num tema tão complexo como o da dispersão turbulenta, à falta de uma teoria autónoma, é-se obrigado a aproveitar contribuições de variadas proveniências e compatibilizá-las, nomeadamente aplicando cada teoria à fase da dispersão para a qual ela parece mais adequada. 6a. Plumas com Impulsão na Presença de um Escoamento Exterior Uma pluma de fluido quente pode gerar, ou pelo menos manter durante algum tempo, devido às forças de impulsão, velocidades verticais relativamente elevadas no seu núcleo. Uma vez que a pluma tem uma determinada limitação espacial e que geralmente o escoamento ambiente se admite horizontal, existe forçosamente, numa tal situação, efeito de corte, e o efeito de corte gera turbulência. Este é o argumento que justifica o facto de, na fase inicial da vida de uma pluma com impulsão, se considerar que a turbulência a que a pluma está sujeita é essencialmente gerada por ela própria. Todavia, devido ao entrainment, isto é, devido à "ingestão" de ar exterior pela pluma à medida que se afasta da fonte, a perturbação térmica que a caracteriza vai-se suavizando, de modo que o efeito de corte diminui de intensidade e com ele a turbulência auto-gerada. Progressivamente, a turbulência ambiente, cuja escala é de esperar que seja bastante maior, vai-se tornando a mais importante, mas a pluma ainda se encontra, de alguma forma, individualizada. Por fim, a velocidade vertical da pluma é praticamente nula, esta perdeu toda a individualidade no que diz respeito ao campo da velocidade e o material que a constitui comporta-se como um traçador passivo. As tentativas mais bem sucedidas de modelar o comportamento deste tipo de plumas aplicam-se precisamente à primeira fase da dispersão. Isto talvez aconteça porque os modelos integrais para plumas na presença de um escoamento ambiente, são, em grande parte, tributários dos modelos com ambiente imóvel (Priestley e Ball, 1955, Morton et al.,1956), em que a turbulência ambiente pura e simplesmente não existe. A hipótese de simetria axial, por exemplo, indispensável aos modelos integrais, é facilmente aceitável no caso de um ambiente imóvel, mas claramente falsa na presença de vento, constituindo um outro empréstimo, não totalmente legítimo, das teorias mais simples para com os modelos mais complexos. De facto, em particular a partir de certa altura, uma pluma com impulsão tende a ter um comportamento assimétrico, por duas razões: uma delas prende-se com a anisotropia da turbulência ambiente, que existe sempre na camada limite planetária; a outra tem a ver com a destruição da simetria dos perfis das propriedades da pluma levada a cabo pela sua própria impulsão. Como o ar leve tende a subir relativamente ao ar mais pesado, o núcleo térmico da pluma deve, em princípio, posicionar-se acima do seu eixo geométrico quando este assume uma orientação que difira pouco da horizontal. 7. O Modelo Integral de Slawson e Csanady Slawson e Csanady (1967) são responsáveis pelo desenvolvimento de uma teoria relativamente simples de pluma com impulsão, na presença de vento ambiente, que é uma generalização do modelo de Morton e Taylor, formulado para um ambiente imóvel. A sua breve análise pode servir de introdução aos modelos integrais. Embora os autores tivessem sido precedidos, no tratamento deste tema, por Priestley (1956), o fecho da turbulência proposto por S. e C., inspirado no de Morton et al., tornou-se bastante mais popular do que o sugerido por Priestley. As hipóteses que os dois investigadores admitem são: - Aproximação de Boussinesq: a densidade é considerada constante (portanto igual à ambiente) em todas as expressões excepto onde apareça relacionada com as forças de impulsão. - Estacionaridade: as variáveis, tanto da pluma como do meio ambiente são tidas como independentes do tempo. - Adiabaticidade: não se consideram quaisquer transferências de calor, a não ser por via da advecção. - O campo da pressão no interior da pluma considera-se igual ao admitido para o ambiente. Este, por sua vez, apenas depende de z e é hidrostático. - Os perfis da velocidade longitudinal (i.e., segundo o eixo da pluma), ou de qualquer outra propriedade (temperatura, concentração) são constantes no seu interior, com uma descontinuidade na periferia.

- O meio ambiente possui uma frequência de Brunt-Väisällä constante. - A velocidade horizontal da pluma é exactamente igual à velocidade do vento ambiente, que é constante e de valor U, segundo x. - A mistura do efluente com o meio exterior efectua-se através de um processo chamado entrainment, que corresponde a uma "ingestão" de ar exterior pela pluma. Ao entrainment está associada uma determinada velocidade radial na fronteira da pluma (apontando para dentro), que se assume não depender da direcção e ter intensidade v we = α . - Toda a difusão molecular, e consequentemente as forças de atrito, são desprezadas. - Devido à escala relativamente pequena do escoamento em questão, despreza-se a força de Coriolis. - No processo de integração, o efeito da curvatura da pluma é desprezado. Com todas estas hipóteses, a integração da equação de conservação da massa 0=⋅∇ v

r, tem como

resultado

Ud

dxR Rw( )2 2= α (I.7.1)

onde R representa o raio da pluma, w é a velocidade vertical a ela associada e α é uma constante de proporcionalidade adimensional. Visto que a pluma tem uma velocidade horizontal idêntica à ambiente, a derivada material pode sempre relacionar-se com a derivada espacial em ordem a x pela relação

d

dtU

x= ∂

∂ (I.7.2)

A equação de balanço do momento linear segundo a vertical que, obedecendo às anteriores aproximações, é

dw

dtga=

−ρ ρρ

transforma-se, uma vez integrada de idêntica forma, em

Ud

dxR w R g( )2 2= ′ (I.7.3)

onde se definiu a gravidade reduzida

′ =−

g g aρ ρρ

e em que ρ é a densidade da pluma, ρa é a densidade ambiente e g é a aceleração da gravidade. Finalmente, a equação da entropia que, basicamente, é a primeira lei da termodinâmica para o caso adiabático,

d

dt

Θ = 0

onde Θ representa a temperatura potencial, modifica-se para

Ud

dxR g N R w( )2 2 2′ = − (I.7.4)

em que N é a frequência de Brunt-Väisällä, definida por

Ng d

dza

a2 =Θ

Θ

e o índice a se refere ao ambiente. O sistema de equações (I.7.1)-(I.7.3)-(I.7.4) é resolúvel analiticamente desde que N e α sejam constantes. É, por isso, fácil, nas hipóteses feitas, obter a evolução das variáveis R, w e ′g para toda uma vasta gama de condições iniciais, no que diz respeito ao raio, fluxo de momento linear vertical e fluxo de calor na fonte, bem como de estabilidade atmosférica (ver Middleton, 1986). Porém, este modelo, para além de estar sujeito a todos os erros inerentes às aproximações que se fizeram, entre elas a aproximação de Boussinesq, não é aplicável posteriormente ao momento em que a velocidade vertical se anula pela primeira vez. A definição v we = α implica que, para velocidades verticais negativas (que

podem verificar-se em atmosferas estáveis), o entrainment se torne negativo, e isto não faz qualquer sentido. Slawson e Csanady chegam a sugerir que, em vez desta hipótese se utilize v we = α , o que, pelo menos, evita tal inconveniente e dota o entrainment de uma simetria que parece perfeitamente lógica, mas os próprios autores não dão grande relevância a esta correcção, porque assumem que a aplicabilidade do modelo a partir do ponto em que a velocidade vertical se anula pela primeira vez é questionável. Não se deve esquecer que este modelo pode ser deduzido sem quaisquer hipóteses sobre o campo da turbulência que não sejam a sua substituição, no processo de mistura, por uma velocidade ve apontando para dentro, e a maneira como esta velocidade é definida é particularmente pouco sofisticada. Por outro lado, é, neste modelo, de pôr em causa, a admissão de uma pluma com perfis de temperatura e velocidade longitudinal axialmente simétricos e com descontinuidades nos seus limites. As descontinuidades, a serem admitidas em rigor, implicariam a existência de tensões viscosas infinitas. O escoamento tem que, de alguma forma, apresentar uma transição gradual entre as condições do ambiente e as associadas à pluma. E uma tal transição implica forçosamente a destruição da simetria axial, pois a influência do escoamento exterior (assimétrico) passa a fazer-se sentir dentro do volume que então se considera como fazendo parte da pluma. Talvez se obtenham algumas vantagens adoptando um modelo integral mais elaborado, particularmente com uma função de entrainment menos simplista, sem a aproximação de Boussinesq e baseado em perfis gaussianos.

Capítulo II - Os Modelos Integrais de Schatzmann e Davidson 1. O Modelo de Schatzmann O modelo integral cuja análise ocupa grande parte deste trabalho foi apresentado pela primeira vez por Schatzmann em 1976 e é explicado pormenorizadamente em Schatzmann (1978, 1979). Era objectivo deste autor desenvolver uma teoria que seguisse o mais rigorosamente possível as leis fundamentais da física e que apenas recorresse a informação empírica onde tal fosse estritamente necessário. Por isso, as simplificações foram reduzidas ao essencial indispensável aos modelos integrais, o que faz com que as equações que constituem o sistema adoptado sejam bastante trabalhosas de deduzir. Por outro lado, o modelo contém inúmeros pormenores, e mesmo contradições, dignas de serem compreendidas e discutidas. Embora, como em qualquer outro modelo integral, se admita uma pluma de simetria circular, leva-se agora em consideração a curvatura do seu eixo nas equações de balanço, o que poucas vezes é feito. Antes de mais, há que referir que o vento ambiente actuando sobre a pluma é admitido constante em direcção e módulo, tal como no modelo de S. e C., pois Schatzmann considera que todo o efeito de corte associado à influência do solo ocorre a um nível inferior àquele em que o sistema se começa a aplicar. Assim, o eixo da pluma só pode ter como trajectória uma curva plana no espaço, que se pode facilmente fazer conter no plano vertical xoz de um referencial cartesiano.

�� r

s

rix

riy

riz

ris

rir

riϕ

Figura 1- Os sistemas de coordenadas cartesiano e curvilíneo e os ângulos relevantes

Começa por introduzir-se um sistema de coordenadas curvilíneas toroidais, mais adequado à geometria do problema, tal como foi feito previamente por Hirst (1971). Este sistema é idêntico ao sistema de coordenadas cilíndricas excepto no eixo a partir do qual se medem as distâncias radiais, que em vez de ser recto é curvo, e faz-se coincidir, em cada ponto, com o eixo da pluma de dispersão. O declive deste eixo relativamente ao plano horizontal, é dado pelo ângulo θ , como se mostra na fig. 1. Os versores do novo sistema de coordenadas segundo as três direcções principais (ao longo do eixo, s, radial, r, e tangencial, ϕ , perpendicular às outras duas) são relacionados com os do referencial cartesiano mencionado no parágrafo anterior, da seguinte forma:

θθ sincos zxs iiirrr

+=

ϕθϕϕθ sincoscossinsin zyxr iiiirrrr

+−−= (II.1.1)

ϕθϕϕθϕ coscossincossin zyx iiiirrrr

++−=

onde ϕ é o ângulo medido em torno do eixo da pluma, tal como se indica na mesma figura. No novo sistema de coordenadas, os operadores gradiente e divergência têm uma forma modificada:

∇ =−

+ +

∇ ⋅ =−

+ + −−

−−

ψ ∂ψ∂

∂ψ∂

∂ψ∂ϕ

∂∂

∂∂

∂∂ϕ

∂∂ϕ

ϕ

ϕ ϕ

r r r

r

ik s

ir

ir

vk

v

s r rrv

r

v k

r

v

k r

k v

k

s r

sr

r

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1( )

(II.1.2)

onde k rd

ds= sinϕ θ

Se se fizesse k=0, (II.1.2) traduziria a forma do gradiente do escalar ψ e da divergência do vector v

r

em coordenadas cilíndricas, mas a existência de um k ≠ 0 corresponde à correcção que é necessário introduzir para levar em conta a curvatura. Os elementos de comprimento deste sistema de referência, com cujos produtos se podem construir os elementos de área ou de volume são: Segundo s: dl k dss = −( )1 Segundo r: dl drr = Segundo ϕ : dl rdϕ ϕ= 2. O Sistema de Equações As equações de que Schatzmann parte são as leis fundamentais da Dinâmica dos Fluidos Geofísicos, sem os termos de difusão molecular, uma vez que este processo é desprezável face à dispersão turbulenta, e sem o termo de Coriolis, porque a escala do escoamento, demasiado pequena, não justifica a sua inclusão:

0)( =⋅∇+ vt

rρ∂∂ρ

cons. massa total

gpdt

vd rr+∇−=

ρ1

cons. mom. linear

dT

dt c

dp

dtp

− =10

ρ cons. energia

dq

dtc = 0 cons. massa de poluente

ρ ρ= ( , , )T p qc equação de estado Na equação de balanço do momento linear, p representa a pressão e

rg é o vector aceleração da

gravidade. A equação da energia é, na realidade, uma forma da primeira lei da termodinâmica com

0=Q& (adiabaticidade), visto que nem a radiação nem a difusão molecular são tidas em conta. Exprime

a conservação da entropia. Nesta equação, cp é o calor específico do ar a pressão constante e T é a

temperatura absoluta. Na penúltima equação, qc não representa a concentração de um poluente passivo, mas é, sim, a sua fracção de massa relativamente à massa total. A justificação para a forma que a equação toma é a seguinte: usando a conservação da massa total, facilmente se prova a igualdade

)()( vtdt

d rρψρψ∂∂ψρ ⋅∇+= (II.2.1)

para qualquer escalar ψ . Então, atendendo à equação de balanço, na ausência de difusão

0=⋅∇+ vt

rχ∂∂χ

fazendo a atribuição χ ρψ= , torna-se nulo o segundo membro de (II.2.1), implicando que é também nula a derivada material de ψ . χ é uma propriedade por unidade de volume. Se se admitir que é a massa de um poluente por unidade de volume, isto é, uma concentração, tem-se que χ ρ= qc , em que qc é a fracção de massa desse poluente. Então, vem imediatamente que ψ = qc , resultando nula a derivada material de qc . Como interessa tratar a dispersão, na atmosfera, de poluentes cujas concentrações são sempre bastante baixas comparadas com a densidade do ar, é lícito admitir para equação de estado simplesmente

p R Ta= ρ (II.2.2) em que Ra é a constante dos gases ideais para o ar seco. Considera-se que o campo da pressão consiste de duas componentes: uma hidrostática, ph , e outra dinâmica, pd , de bastante menor magnitude. A componente hidrostática, como o próprio nome indica, corresponde à situação de equilíbrio hidrostático, fora da pluma:

p p z ph d= +( ) dp

dzgh = − ∞ρ (II.2.3)

onde ρ∞ é a densidade do meio ambiente. pd corresponde, como se terá oportunidade de verificar em mais pormenor, ao drag de pressão que o vento ambiente exerce sobre a pluma. Recorrendo à expressão (II.2.3), as equações escalares do momento linear transformam-se em

ρ ∂∂

du

dt

p

xd= − ρ ∂

∂dv

dt

p

yd= − ρ ∂

∂ρ ρdw

dt

p

zgd= − + −∞( ) (II.2.4)

A equação de conservação da energia, que se apresentou anteriormente, corresponde a um escoamento adiabático. Atendendo à definição de temperatura potencial

pa cR

p

pT =Θ 0 (II.2.5)

em que p0=1000mb, esta condição pode ser expressa mais sucintamente por

d

dt

Θ = 0 (II.2.6)

Seguidamente, há que exprimir as equações que se obtiveram no sistema de coordenadas curvilíneas previamente definido, decompor as suas variáveis em componentes médias e perturbadas, e por fim integrá-las na secção recta da pluma. Com este objectivo, podem-se seguir duas vias distintas: ou integrar simplesmente as equações em r e ϕ , sem atender ao significado físico, ou utilizar um volume de controlo infinitesimal, de espessura ds, nele fazendo o balanço das grandezas físicas massa, momento linear e energia térmica (ver fig. 2). Na segunda hipótese, não é necessário efectuar tantos cálculos (não é, por exemplo, preciso utilizar a definição (II.1.2)), pois todos os termos que contenham uma divergência, integrados em volume, se podem fazer equivaler, pelo teorema de Gauss, a fluxos integrados na fronteira desse volume. Apesar de a metodologia do volume de controlo parecer mais intuitiva fisicamente, e ser, como se sublinha, bem menos trabalhosa e sujeita a erros do que a outra, ela vem a revelar-se menos rica do ponto de vista do conhecimento de certas propriedades da pluma dependentes de r, pois o uso extensivo do teorema de Gauss apenas vai exigir o seu conhecimento na fronteira do volume de controlo. A primeira via foi a adoptada por Schatzmann para deduzir o sistema de equações pela primeira vez, ao passo que a segunda foi escolhida por Davidson quando, em 1986, propôs um sistema alternativo, que será mencionado a seu tempo.

ve

ds�R

dR

d�Ua

4

3

Ua2

Ua

2

ve

4

Ua3

z

x

r s

Figura 2 - O volume de controlo infinitesimal usado por Davidson e os fluxos de massa do ambiente

para a pluma e da pluma para o ambiente. As equações do momento linear são as únicas em que aparecem explicitamente componentes de vectores, que têm que ser transformadas para o sistema de coordenadas curvilíneas. Utilizando (II.1.1), obtêm-se a partir de (II.2.4) as condições de balanço do momento linear segundo s, r, e ϕ

ρ ∂∂

ρ ρ θ ϕ ϕ ρ θϕ

dv

dt k

p

sg v v

v

k

d

dss d

rs= −

−+ − + +

−∞1

1 1( ) sin ( sin cos )

ρ ∂∂

ρ ρ θ ϕρ ρ ϕ θϕdv

dt

p

rg

v

r

v

k

d

dsr d s= − + − + −

−∞( ) cos sin sin2 2

1 (II.2.7)

ρ ∂∂ϕ

ρ ρ θ ϕρ ρ ϕ θϕ ϕdv

dt r

pg

v v

r

v

k

d

dsd r s= − + − − −

−∞1

1

2

( ) cos cos cos

Somando a segunda equação multiplicada por sinϕ à terceira multiplicada por cosϕ , encontra-se uma equação de balanço do momento linear segundo uma direcção simultaneamente perpendicular ao eixo da pluma e contida no plano da sua trajectória, apontando para cima:

ρ ϕ ϕ ∂∂

ρ ρ θ ρ θϕ

d

dtv v

p

lg

v

k

d

dsrd

n

s( sin cos ) ( ) cos+ = − + − −−∞

2

1

onde ∂ ∂ln é a derivada espacial segundo essa direcção. Seleccionando esta última equação e a primeira de (II.2.7), fica-se com apenas duas equações escalares de balanço do momento linear para descrever o escoamento, que são suficientes, porque, ao se impor para o eixo da pluma uma trajectória plana, está a excluir-se um dos graus de liberdade que existiriam no caso de a trajectória poder ser, de facto, tridimensional. Fazem-se, ainda, duas hipóteses adicionais: os campos médios são estacionários, e a perturbação na densidade associada à turbulência é desprezável, isto é, admite-se que ρ ρ= , e que,

consequentemente, covariâncias da forma ′ ′ρ vi são nulas. Convém ter bem presente, para as deduções que se seguem, a igualdade (II.2.1), que vai ser usada inúmeras vezes. Uma vez efectuada a decomposição das variáveis em componentes médias e turbulentas, a conservação da massa toma a forma

0)( =⋅∇ vrρ (II.2.8)

Quanto ao momento linear segundo s, deve notar-se previamente que o efeito da pressão dinâmica, associado ao drag, não se repercute na sua evolução, pelo menos na aproximação usada por Schatzmann, pois a pluma é, neste caso, aproximada por um tronco de cilindro, em cuja superfície externa, actua a dita força de pressão. Como se sabe, as forças de pressão actuam perpendicularmente

às superfícies, o que quer dizer, para uma superfície cilíndrica, perpendicularmente ao seu eixo. Verifica-se, pois, a relação

( )[ ] ( ) ( )[ ]ds

d

kvvvvvvvvgvvvv sssrsrss

θρϕϕθρρρ ϕϕ −′′++′′++−=′′+⋅∇ ∞ 1

cossinsin)(rr

(II.2.9)

Para a equação de conservação da energia térmica, ou para a conservação da massa de um poluente (que é igual desde que se substitua Θ por qc ) , obtém-se

( )[ ] 0=′Θ′+Θ⋅∇ vvrrρ (II.2.10)

A equação de balanço do momento linear segundo a direcção perpendicular ao eixo da pluma, que a partir de agora se passa a chamar equação de θ , toma a forma:

( ) ( )[ ]( )ds

dvv

kg

l

pvvvvvvvv ss

n

drr

θρθρρ∂∂ϕϕρ ϕϕ ′+

−−−+−=′′++′′+⋅∇ ∞

22

1cos)(cossin

rrrr(II.2.11)

Para tornar o sistema de equações (II.2.8)-(II.2.11) integrável, tornam-se necessárias mais simplificações. Tem que se saber algo sobre as componentes médias e turbulentas dos perfis das propriedades da pluma, e também informações mais pormenorizadas sobre o ar ambiente. Schatzmann admite que as características médias relevantes do meio exterior (fracção de massa de poluente, densidade, temperatura e, forçosamente, pressão) são apenas funções de z. Isto não é muito irrealista se o meio em causa for razoavelmente homogéneo na horizontal. A pressão a um dado nível, isto é, para um dado z, dentro e fora da pluma, pode ser considerada a mesma, pois a componente dinâmica é, em valor absoluto, perfeitamente desprezável. Assim, a equação de estado média pode-se exprimir como p R Ta= ρ (II.2.12)

ou equivalentemente ρ ρT T= ∞ ∞

ou ainda ρ ρΘ Θ= ∞ ∞ (II.2.13) em que os índices ∞ identificam os valores ambientais, fora da pluma. Sobrepostos aos perfis ambientais, Schatzmann introduz então, transversalmente ao eixo da pluma, perfis gaussianos das mesmas propriedades, axialmente simétricos, com o máximo centrado em r=0. Embora a dependência em z das propriedades ambientais implique, no referencial curvilíneo, uma determinada dependência em r e em ϕ , como a integração vai ser feita numa superfície cuja extensão na vertical é sempre algo limitada, admite-se, por razões de simplicidade, que estas propriedades apenas dependem de s, isto é, que podem ser tratadas como constantes no processo de integração. Os perfis médios prescritos de fracção de massa de poluente, temperatura e densidade são:

( )222 )(exp)()(),( sbrssrs a λ−Θ+Θ=Θ ∗

( )222 )(exp)()(),( sbrssrs a λρρρ −+= ∗ (II.2.14)

( )222* )(exp)()(),( sbrsqsqrsq ccac λ−+= Nestas expressões, o índice a identifica os parâmetros ambientais e o asterisco o excesso de propriedade no centro da pluma relativamente ao valor ambiental. λb é uma grandeza proporcional ao desvio padrão da distribuição gaussiana, portanto proporcional ao raio da pluma visível. Refiram-se agora as hipóteses para o escoamento. Schatzmann assume que o campo médio do vento ambiente é simplesmente constante, não tendo sequer dependência em z. Quanto à perturbação na velocidade introduzida pela existência da pluma, esta manifesta-se de duas maneiras: através de um perfil gaussiano semelhante aos anteriores na componente s e através de uma componente radial axialmente simétrica vd (segundo a direcção ϕ , não se considera qualquer campo adicional à velocidade ambiente). Notando que a velocidade média exterior à pluma é, como já se disse, paralela ao eixo dos x, e atribuindo-lhe um valor Ua , basta utilizar a relação (II.1.1) para se obterem as componentes desta velocidade segundo as três direcções principais do referencial curvilíneo e somá-las às referidas perturbações para chegar ao campo médio completo, que é

( )22 )(exp)(cos),( sbrsuUrsv as −+= ∗θ

v s r U v s rr a d( , , ) sin sin ( , )ϕ θ ϕ= − + (II.2.15)

v s Uaϕ ϕ θ ϕ( , ) sin cos= − Como se vê, o perfil gaussiano da velocidade longitudinal não tem a mesma largura que o utilizado para a temperatura. O desvio padrão da distribuição de temperatura é maior (ou menor) por um factor de λ , devido ao facto, verificado experimentalmente, de as difusividades turbulentas do calor e do momento linear não serem exactamente iguais, embora próximas. Morton (1959) atribui às medições de Rouse et al. o estabelecimento de um valor λ = 1 16. , que Schatzmann utiliza. u∗ é, evidentemente, a perturbação máxima da velocidade longitudinal, no centro da pluma, e vd é uma velocidade que só pode estar relacionada com o processo de entrainment. Agora que já se conhecem as hipóteses feitas sobre as propriedades médias, há que caracterizar as componentes turbulentas. Admite-se que quaisquer covariâncias ou variâncias onde intervenha a velocidade são axialmente simétricas, isto é

∂∂ϕ

∂∂ϕ

∂ ψ∂ϕ

′=

′ ′=

′ ′=

v v v vi i j i2

0 com i j≠ (II.2.16)

onde ψ pode ser a fracção de massa de poluente ou a temperatura. Tem que ser estabelecido um limite para a integração em r, pois, se é evidente que os excessos das propriedades que caracterizam a pluma tendem para zero quando r → ∞ , o mesmo não acontece com as propriedades do ambiente. Para além do mais, o que se pretende é obter as equações do comportamento da pluma, e esta, na realidade, é limitada. Schatzmann escolhe para limite superior de integração em r, ou seja, para "fronteira" da pluma, o valor R b= 2 , em que b é o mesmo parâmetro que aparece nas exponenciais das definições (II.2.14) e (II.2.15). Como se constata, atendendo a (II.2.15), R é o raio para o qual a perturbação da velocidade se reduz a e−2, ou seja, cerca de 14% do seu valor no centro da pluma, mas, de facto, para efeitos de cálculo, vai-se admitir que todas as perturbações e as suas derivadas são exactamente nulas quando r=R. Seguidamente, acrescentam-se as condições fronteira ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ =v v R v q R v Rr s r c r( ) ( ) ( )Θ 0

′ = ′v R vr ra2 2( ) (II.2.17)

querendo significar basicamente que, na "parede" da pluma, o fluxo radial turbulento de momento linear segundo s, de massa de poluente e de calor são nulos, e que a intensidade da turbulência segundo a direcção radial, na dita fronteira, iguala o seu valor no meio ambiente. Isto é perfeitamente concordante com a hipótese de os excessos de propriedades que caracterizam a pluma serem nulos e terem derivada nula nesta superfície. Além disto, admite-se uma hipótese de certa forma semelhante à do modelo gaussiano: os fluxos turbulentos segundo a direcção longitudinal são considerados desprezáveis, face aos fluxos segundo a direcção radial, uma vez que os gradientes longitudinais são sempre bastante menos intensos do que os gradientes radiais, e segundo a direcção longitudinal, em princípio, a advecção domina. Então, todos os termos que contenham variâncias da perturbação turbulenta da velocidade longitudinal ′vs , ou

covariâncias da forma ′ ′vsψ , sendo ψ um escalar, são anulados. Resta agora integrar o sistema de equações (II.2.8)-(II.2.11) na secção recta da pluma. Depois de se multiplicar cada equação por (1-k), para que este factor não apareça nunca no denominador (o que causaria problemas) é necessário, para cada termo t i das equações, efectuar o seguinte cálculo:

drdrtdldltR

ir

A

i ϕπ

ϕ ∫ ∫∫∫ =2

0 0

(II.2.18)

Um dos termos que se tem que integrar é o que contém a pressão dinâmica correspondente ao drag provocado pelo vento. O respectivo integral é

∫ ∫ −−π

ϕ∂∂2

0 0

)1(R

n

d ddrrkl

p (II.2.19)

À falta de informação tratável acerca da expressão integranda, Schatzmann utiliza, para o cálculo deste termo, uma analogia com o drag de um escoamento uniforme sobre um cilindro nele imerso. Nesta situação, a força que o cilindro sofre por unidade de comprimento é proporcional ao seu diâmetro, ao quadrado da componente da velocidade perpendicular ao seu eixo e à densidade do fluido escoado (Tritton, 1977). A constante de proporcionalidade é metade de um coeficiente de drag cd , avaliável

com base em resultados experimentais. Para a presente pluma, a componente da velocidade ambiente perpendicular ao eixo é Ua sinθ , pelo que a força de resistência por unidade de comprimento que solicita a pluma na direcção ln se escreve

( ) θρθρϕ∂∂π

2222

0 0

sin2sin2

1)1( aadaad

R

n

d RUcRUcddrrkl

p−=−=−− ∫ ∫

Finalmente, se se fizer a definição v v Re d= − ( ), chamando a ve velocidade de entrainment, a equação de conservação da massa toma a forma definitiva

Rvds

dUbuUbbu

ds

dea

aaaa ρρθ

λλθλρρ 2cos2

1cos 2

2

2222 =+ +

++ ∗∗∗ (II.2.20)

A equação de balanço do momento linear segundo s, depois de o termo de entrainment ter sido eliminado, utilizando (II.2.20), fica

θρλρλ

λρθρλλρ sin

1cos

122

1 222

22

2

222 gbUubub

ds

daaa

∗∗∗∗∗ −= +++ +

+ (II.2.21)

Aplicando o mesmo procedimento à equação de conservação da energia, esta passa a ler-se

= ++

+Θ+ +Θ ∗∗∗∗∗ ρ

λλρ

λλρλρλθ

212cos

2

2

2

22

222

aaa ubUbds

d

+++ + Θ

−= ∗∗∗ ρλ

λρρλρθ12

cos22

22

22

aaaa ubUb

ds

d (II.2.22)

Uma equação formalmente análoga aplica-se à fracção de massa de poluente, desde que Θ∗ seja substituido por qc

* e Θa por qca . Finalmente, a equação de θ , segundo Schatzmann, torna-se

( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] 222222222

2222

1/cos12/2/1

sinsincos

raaaaa

aadeaa

vRUubub

RUcRvUgb

ds

d

′−+++++

++−=

∗∗∗∗

∗

ρρλλρθρλλρ

θρπθρθρλθ (II.2.23)

3. A Equação de Estado O sistema de equações (II.2.20)-(II.2.23) contém certas grandezas que se podem tratar como parâmetros impostos exteriormente. λ , cd , g e Ua são simplesmente constantes, ρa e Θa , embora possam não o ser, são variáveis prescritas, a segunda delas independentemente e a primeira calculável

através da segunda, utilizando a equação de estado e o equilíbrio hidrostático. ve e ′vra2 , por outro lado,

representam grandezas que se espera, de alguma forma, poder relacionar, para cada passo de integração, com as variáveis principais. As verdadeiras cinco variáveis do sistema, cujo valor se tem que determinar ao longo da coordenada s, são b, θ , ρ∗, Θ∗ e u∗ . Porém, só se dispõe por enquanto de quatro equações (acrescentando a equação para o balanço da massa de poluente, surge qca , um

parâmetro imposto, e qc* , uma nova variável, o que não aumenta nem diminui a indeterminação).

Assim, é preciso usar a equação de estado para relacionar adequadamente ρ∗ e Θ∗. Introduzindo (II.2.14) em (II.2.13), facilmente se verifica que a equação de estado na sua forma exacta obedeceria a

( )222exp bra

a λρρ

−Θ+ΘΘ

−= ∗

∗∗ (II.3.1)

mas isto implicaria que ρ∗ fosse função não só de s, mas também de r, o que é inconsistente com a definição (II.2.14) e absurdo em equações que já foram integradas previamente nesta variável. Efectivamente, este resultado apenas significa que não é possível, em rigor, assumir perfis gaussianos simultaneamente para a temperatura e para a densidade. A expressão (II.3.1) sugere, contudo, possíveis vias para calcular ρ∗ aproximadamente: ou se elimina simplesmente o segundo termo no denominador (a solução mais drástica e que só é viável para

Θ∗ particularmente pequeno), ou se substitui a exponencial nele contida por uma constante, aproximação esta cujo rigor promete ter maior campo de validade, desde que a constante seja bem escolhida. A escolha mais simples, e que parece ter sido feita por Schatzmann (ver Schatzmann e Policastro, 1984), consiste em tomar a equação exacta aplicada ao centro da pluma (r=0), isto é

ρ ρ**

*= −

+aa

ΘΘ Θ

(II.3.2)

mas existem outras alternativas, de que se falará futuramente. 4. A Aproximação de Boussinesq Embora o sistema de Schatzmann seja deduzido sem recurso à aproximação de Boussinesq, o autor aplica-a posteriormente, no intuito de poder comparar o seu sistema com os de outros autores que a admitem à partida (e estabelecer um modelo integral mais simplificado, mas ainda de aplicabilidade bastante vasta). A aproximação de Boussinesq consiste em desprezar quaisquer variações de densidade relativamente a uma densidade de referência, excepto nos termos em que essas variações surgem associadas à força de impulsão. Isto implica, obviamente, que esta aproximação só seja válida para plumas relativamente pouco quentes. No sistema de equações (II.2.20)-(II.2.23), a densidade de referência é ρa , portanto esta aproximação corresponde a impor o seguinte

d

dsaρ

= 0 e ρ∗ = 0 (II.4.1)

excepto nos termos em que aparece g (a aceleração da gravidade), onde se faz

ρρ

∗ ∗

= −a a

ΘΘ

(II.4.2)

Com estas hipóteses, o sistema (II.2.20)-(II.2.23) transforma-se em

( ) eRvubds

d22 =∗ (II.4.3)

θλθ sin2

1cos 222 gbuUub

ds

d

aa Θ

Θ= +

∗∗∗ (II.4.4)

+ Θ−= +

+Θ *2*2

22*2

2

1cos

1cos uUR

ds

duUb

ds

da

aa θ

λλθλ (II.4.5)

d

ds

b g Rv U c RU

b u U u R va e a d a

a ra

θ λ θ θ π θθ

=− −

+ − ′

∗

∗ ∗

2 2 2 2

2 2 21 2

( ) cos sin ( ) sin

cos ( / )

Θ Θ (II.4.6)

As diferenças mais significativas que existem entre o comportamento da pluma com e sem aproximação de Boussinesq são ao nível da altura atingida, pois esta reflecte o efeito integrado das diferenças na impulsão. Seguidamente, reproduzem-se alguns resultados obtidos por Schatzmann e Policastro (1984) que ilustram estas diferenças:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

20

40

60

80

100

120

140

1600 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Ua=1ms-1dΘa/dz=0.015Km-1

Θj*=84.9K

Θj*=28.3K

Θj*=141.5K

Z(m

)

Com Aprox. Bouss. Sem Aprox. Bouss.

X(m)

Figura 3 - Comparação do comportamento de uma pluma numa atmosfera estável com e sem a

aproximação de Boussinesq, para diferentes excessos de temperatura inicial *jΘ . O diâmetro inicial da

pluma é m5.1=jD , a temperatura ambiental é Θa = 283K, o excesso de velocidade inicial é 1* ms5.14 −=ju , o ângulo inicial com a horizontal º90=jθ e a altura inicial é z0 0= .

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 2400

10

20

30

40

50

600 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

0

10

20

30

40

50

60

Ua=5ms-1dΘa/dz=0

Θj*=84.9K

Θj*=28.3K

Θj*=141.5K

Z(m

)

Com Aprox. Bouss. Sem Aprox. Bouss.

X(m)

Figura 4 - O mesmo que a figura anterior, mas para uma atmosfera neutra (e com um vento ambiente

mais forte)

5. A Velocidade de Entrainment A velocidade de entrainment (ve ) já foi definida como sendo igual em valor absoluto e de sinal oposto à velocidade radial axialmente simétrica vd , na fronteira da pluma. Quando ve é positiva, o vector a ela associado aponta para dentro, e traduz portanto uma ingestão de ar exterior, que é o principal processo responsável pelo aumento do raio da pluma (pelo menos na fase inicial). Por isso, a maneira como esta velocidade é definida a partir das outras variáveis conhecidas é decisiva na performance do modelo integral. Uma hipótese de entrainment extremamente usada, devido à sua simplicidade e aos bons resultados com ela obtidos é a formulada por Morton et al. e adoptada por Slawson e Csanady, em que é assumida uma proporcionalidade simples entre a velocidade de entrainment e a velocidade vertical. A expressão sugerida por Keffer e Baines (1963), a atribuida por Fox (1970) a Telford e a atribuida por Davidson (1986) a Hoult et al. parecem ser resultado de raciocínios intuitivos baseados no bom senso e no uso da análise dimensional, mas não de uma dedução rigorosa. Schatzmann, pelo contrário, procura, de uma maneira tão rigorosa quanto possível, relacionar o entrainment com as variáveis principais do sistema fazendo uso das equações fundamentais, tal como Fox e Hirst (1972) haviam tentado, para condições mais simplificadas. Isto apenas é possível, convém ter presente, devido às hipóteses simplificativas admitidas para a turbulência. Em face da complexidade dos cálculos envolvidos, é-se, contudo, forçado a admitir a aproximação de Boussinesq. Schatzmann começa por utilizar a equação média do momento linear segundo s, integrada apenas em ϕ

( ) ( ) ( ) θρ

ρρθθ∂∂θθ

∂∂

∂∂

∂∂

sinsin2sin2

1112 gvds

dU

r

v

ds

drUvvr

rrvrv

rrv

s a

asa

sarssds

−=++′′++ (II.5.1)

que integra indefinidamente, entre 0 e um r genérico, obtendo, ao fim de alguns cálculos, a equação adimensional

∗∗ +++=′′

u

UF

ds

dbFFF

u

svv ars θεηθθηθληεηηη cos)(2sin)(F

sin)()(

),(982

2

762 (II.5.2)

onde η =r

b ε = ∗

Rv

bue 2

2

=∗

∗

u

gb aρ ρ

ε é um coeficiente de entrainment adimensionalizado e é o número de Froude densimétrico. Os diferentes Fi são funções adimensionais. O resultado anterior constitui a primeira das 3 partes da dedução. Na segunda, o autor procura obter uma outra equação que contenha a covariância das velocidades radial e longitudinal, para o que recorre à conservação da energia cinética média. A designação de equação da energia cinética média, que Schatzmann utiliza, é um pouco enganadora, pois, de facto, se se tentar obter, a partir da conservação do momento linear nas três componentes espaciais, uma equação de balanço da grandeza

( )22221 ϕρ vvv rs ++ , se se decompuserem as variáveis, se aplicar o operador média e se integrar de

maneira análoga à usada para as outras equações, não se chega ao resultado pretendido. A "equação da energia cinética média" é obtida, sim, da maneira mais simples, se se multiplicar a equação média do momento linear (II.5.1) por vs e se integrar em r de 0 a ∞. Os cálculos são bastante laboriosos, por isso é requerida novamente a aproximação de Boussinesq para os tornar um pouco mais simples. Resulta, por fim

( )∫∞∗∗∗∗ −′′−

+−= +

0

22222

23

222 exp24

F

sin

1

6cos

2

3drrbrvv

b

ubuUuub

ds

drsa

θλλ

θ (II.5.3)

O terceiro e último passo consiste em introduzir a definição de ′ ′v vs r apresentada em (II.5.1) no integral da equação (II.5.3). O autor do modelo obtém

θ

θθθλλλ

εcos)241(121

2

3sin12

4

1

F

sin12

1

2

31

42

2

22

2

∗

∗

+++

+ −+ −+−

+=

uUII

u

U

ds

db

ds

dbII

ds

db

a

a

(II.5.4)

onde os Ii são constantes adimensionais calculadas pela integração de expressões onde figuram as funções Fi . Estas constantes são determináveis por via teórica, e parece ser isso que Schatzmann faz para I1, assim como para I2, mas não para I3 . Nesta constante, o valor teórico parece ter sido desrespeitado em favor de um outro que se ajustasse melhor aos dados experimentais. Além do mais, considerando que os termos dentro de parênteses rectos têm importância secundária (apenas reflectem, de forma mais ou menos directa, efeitos associados à inclinação da pluma), Schatzmann despreza-os aos dois. Notando que, para o caso simplificado de um jacto de momento linear num ambiente sem vento, as observações de Albertson apontam para que db ds seja constante, o autor generaliza esta aproximação, transformando a equação (II.5.4) em

ε

θ

θ=

+

+ ∗

2 2

2

1 2 2

3

A A

AU

ua

sin

cos (II.5.5)

onde A1, A2 e A3 são constantes. É um facto bem conhecido (Scorer, 1978, Csanady, 1973) que numa pluma libertada num meio animado de uma determinada velocidade lateral se forma um par de vórtices, cuja circulação contribui para aumentar o entrainment. Keffer e Baines (1963) e Moussa et al. (1977) estudaram experimentalmente este fenómeno e concluem que o par de vórtices contribui para um aumento bastante apreciável da mistura turbulenta. Neste modelo, aliás como em qualquer outro modelo integral, essa particularidade complexa do escoamento não é tida em consideração à partida, pelo que Schatzmann, no que talvez seja a hipótese menos fundamentada da sua teoria, introduz, na definição (II.5.5), um factor multiplicativo que pretende simular este efeito.

1 4+ ∗AU

ua sinθ (II.5.6)

onde A4 é uma nova constante. Intuitivamente, vê-se que esta expressão faz algum sentido, pois o par de vórtices deverá ser tanto mais intenso quanto maior for a velocidade ambiente, e também quanto maior for o ângulo da pluma relativamente à horizontal. Não se pode deixar de reconhecer, na expressão (II.5.6), a hipótese de entrainment de Hoult et al., o que demonstra que Schatzmann está a tentar ser o mais geral possível. Finalmente, a expressão adimensional do entrainment fica pronta a ser usada:

++

+= ∗

∗

θθ

θ

ε sin1cos2

F

sin22

4

3

221

u

UA

u

UA

AAa

a

(II.5.7)

com A1 0 057= . , A2 0 67= − . , A3 10= e A4 2= . 6. O Modelo de Davidson Em 1986, Davidson, publicou um artigo em que é analisado o modelo de Schatzmann e proposto um sistema de equações alternativo. Este sistema, deduzido para o caso de o meio ambiente não ser turbulento e com recurso à metodologia do volume de controlo, não coincide com o de Schatzmann, contendo alguns termos adicionais. O autor procura avançar explicações para o facto, mas estas não parecem particularmente claras. Na realidade, a única diferença entre um e outro modelo é o tipo de escoamento admitido. Schatzmann considera que o campo da velocidade é, em todo o espaço, a sobreposição do vento ambiente e de um campo adicional axialmente simétrico, correspondente à pluma (consulte-se a expressão (II.2.15)), ao passo que Davidson admite dois regimes de escoamento distintos: um fora da pluma, isto é, para r>R, e outro dentro da pluma (r<R). Fora da pluma, considera um campo da velocidade ambiente idêntico ao de Schatzmann: v Us a= cosθ v Ur a= − sin sinθ ϕ (II.6.1) v Uaϕ θ ϕ= − sin cos

mas dentro da pluma, prescreve uma distribuição de velocidades simplesmente axialmente simétrica, sem os termos em ϕ :

( )22 )(exp)(cos)( sbrsusUv as −+= ∗θ

v v s rr d= ( , ) (II.6.2) vϕ = 0 As equações que obtém, partindo das mesmas leis fundamentais, são as seguintes:

Rvds

dUbuUbbu

ds

dea

aaaa ρρθ

λλθλρρ 2cos2

1cos 2

2

2222 =+ +

++ ∗∗∗ (II.6.3)

−−= +++ +

+ ∗∗∗∗∗ θρλρλ

λρθρλλρ sin

1cos

122

1 222

22

2

222 gbUubub

ds

daaa

( )θρλ

λρρλρθ cos12

cos22

22

22

aaaa Uds

dubUb +

++ +− ∗∗∗ (II.6.4)

= ++

+Θ+ +Θ ∗∗∗∗∗ ρ

λλρ

λλρλρλθ

212cos

2

2

2

22

222

aaa ubUbds

d

+++ + Θ

−= ∗∗∗ ρλ

λρρλρθ12

cos22

22

22

aaaa ubUb

ds

d (II.6.5)

( )[ ] +++ +

++−+

+++−=

∗∗∗∗∗

∗

ρλλρρ

λλρθθρρλρθ

θρπ

θρλθρθθρθ

122

1

1cos2sin22cos

sincossin2cossin2

2

222

2

2222222

22222

aaaaaa

aad

aeaaa

bubUubU

RUc

gbURvds

dRRU

ds

d

(II.6.6) respectivamente, o balanço da massa, do momento linear segundo s e da energia, e a equação de θ . Davidson compara os resultados do seu modelo com os do de Schatzmann, da forma que a seguir se reproduz:

0 40 80 120 160 200 2400

20

40

60

80

1000 40 80 120 160 200 240

0

20

40

60

80

100Z(

m)

Schatzmann Davidson

X(m)

Figura 5 - A trajectória da pluma calculada utilizando os modelos de Schatzmann e Davidson, com a aproximação de Boussinesq. As condições são as seguintes: Ua = −1 1ms , Θa = 283K,

d dzaΘ = −0 015 1. Km , m5.1=jD , º90=jθ , K3.28* =Θ j , 1* ms5.14 −=ju e z0 10= m. O excesso inicial

de fracção de massa de poluente é ppm100* =cjq .

0 40 80 120 160 200 2400

4

8

12

16

20

24

28

32

0 40 80 120 160 200 240

0

4

8

12

16

20

24

28

32

R(m

)

Figura 6 - Evolução do raio da pluma, para as mesmas condições

0 40 80 120 160 200 240

0

2

4

6

8

10

120 40 80 120 160 200 240

0

2

4

6

8

10

12Θ* (K

)

Schatzmann Davidson

X(m)

Figura 7 - Evolução do excesso de temperatura, para as mesmas condições

0 40 80 120 160 200 2400

4

8

12

16

20

24

0 40 80 120 160 200 240

0

4

8

12

16

20

24

q c* (ppm

)

Schatzmann Davidson

Figura 8 - Evolução da fracção de massa de poluente, para as mesmas condições

0 40 80 120 160 200 2400

2

4

6

8

10

12

14

0 40 80 120 160 200 240

0

2

4

6

8

10

12

14u* (m

/s)

Schatzmann Davidson

X(m)

Figura 9 - Evolução do excesso de velocidade longitudinal, para as mesmas condições

7. As Condições Iniciais Encontra-se, no artigo de Davidson, um conjunto de condições iniciais aplicáveis ao presente modelo, atribuidas pelo autor a Schatzmann. Estas condições são obtidas relacionando o raio da pluma, o seu declive, e os seus excessos de velocidade e temperatura no ponto em que o sistema de equações principal se começa a aplicar e num ponto imediatamente à saída da chaminé ou conduta através da qual o efluente é libertado. É a este último ponto que se referem as condições iniciais denotadas com o índice j, indicadas nas figuras dos capítulos II, III e IV e Apêndice. Considera-se que, inicialmente o perfil das propriedades é constante, com uma descontinuidade para a distância ao eixo correspondente ao raio e que progressivamente se vai tornando gaussiano, forma que é atingida finalmente a uma distância à fonte s0, medida segundo s, para a qual o sistema principal começa a ser válido. s0 é dado pela fórmula empírica

−=*0 202.6j

aj

u

UDs (II.7.1)

onde Dj é o diâmetro da chaminé e u j

* é o excesso de velocidade longitudinal à saída da fonte. Os ângulos θ , num e noutro ponto, são relacionados por

−=*0 22.11j

aj

u

Uθθ (II.7.2)

onde, mais uma vez, os índices j se referem aos valores na fonte e o índice 0 diz respeito ao ponto de início da integração do sistema principal. A fórmula (II.7.2) parece ser também empírica. É evidente que (II.7.1) e (II.7.2) não podem ser válidas para U ua j

* .> 0 31, porque, acima desse valor, s0 tornar-

se-ia negativo e para valores ainda mais altos θ0 acabaria também por mudar de sinal, sendo qualquer um destes resultados absurdo. Assume-se, adicionalmente, que a perturbação na velocidade é diminuida apenas na periferia da pluma (pois o perfil passa de constante a gaussiano) mas que o seu máximo se mantém inalterado, ou seja,

u u j0* *= (II.7.3)

e ainda que não existe, nesta fase, qualquer entrainment. Então, integrando algumas das equações fundamentais (conservação da massa e conservação da energia) no volume de controlo constituido pelo tronco de toro entre s = 0 e s s= 0 (com raio R0), Schatzmann obtém as seguintes relações entre o raio da pluma e o seu excesso de temperatura num ponto e noutro:

( )21

0*

0*

0cos22

cos ++

=θ

θ

aj

ajj

Uu

UuDb (II.7.4)

Θ Θ0

2

2

0

20

1

2

2

1* *

*

*

cos

( ) cos= + +

+ +jj a

j a

u U

u U

λλ

θλ θ

(II.7.5)

A razão por que não se pode utilizar, na dedução destas relações, a equação de balanço do momento linear, que evitaria uma série de simplificações (como seja desprezar a perturbação na densidade) é que, quando se integra esta equação no volume de controlo , há termos que têm que ser, de facto, integrados em volume (porque não são divergências), mas não se sabe a forma como a transição entre os perfis constantes e gaussianos se processa, portanto não se dispõe dos campos necessários ao cálculo dos integrais no interior deste volume (que é um volume finito e não infinitesimal, convém não esquecer). 8. O Método Numérico Os sistemas de Schatzmann e Davidson são, como já se viu, constituidos por equações diferenciais ordinárias. Tal como Schatzmann (1979) e Davidson (1986) fizeram, optou-se pela utilização do método de Runge-Kutta para a resolução numérica destes sistemas. Em todos os testes apresentados neste trabalho, é utilizado o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, com adaptação automática do passo de integração, seguindo uma subrotina para esse efeito contida em Press et al. (1992). Nesta subrotina, a cada variável dependente que se pretende determinar é atribuido um valor típico, em relação ao qual se define um certo erro relativo. A forma como o critério de erro é satisfeito é através da duplicação do passo de integração, ou seja, para cada intervalo considerado, integrando o sistema por meio de um só passo, ou através de dois com metade do comprimento, e comparando os resultados obtidos por uma e outra via. Nos testes efectuados, o erro relativo foi fixado em 10 6− .

Capítulo III - Comentários aos Modelos de Schatzmann e Davidson 1. Comentários ao Artigo de Davidson Verificar-se-á mais adiante que o modelo de Schatzmann não é, de forma nenhuma, totalmente consistente. Contudo, começa-se por apontar algumas incoerências na formulação alternativa de Davidson. Quando se têm dois meios em que determinadas propriedades variam continuamente, separados por uma interface, onde as propriedades têm uma descontinuidade, sabe-se que a equação de balanço, tal como foi apresentada no capítulo I, se aplica no interior tanto de um meio como do outro. Todavia, deve haver também, para a própria interface, uma condição equivalente, que permita relacionar as descontinuidades das propriedades, constituindo uma espécie de equação de balanço degenerada. Essa condição, para uma interface que separe os meios 1 e 2, tenha normal n

r (que aponta para 1) e esteja

animada da velocidade rc , aplicada a uma propriedade por unidade de volume χ , é traduzida pela

equação

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0212121 =⋅−+−−− nFFcvv mm

rrrrrr χχχχ (III.1.1) onde os índices 1 e 2 significam que se trata de valores em que se considera o limite para a interface

respectivamente a partir do meio 1 e a partir do meio 2. Os termos miFr

são fluxos devidos à difusão molecular. Aplique-se a equação (III.1.1), nas condições do modelo de Davidson, à fronteira da pluma, tal como ela é definida. Antes de mais, a difusão molecular não é considerada, portanto os dois últimos termos da condição (III.1.1) valem zero. Por outro lado, como o regime é estacionário, a velocidade da interface é nula, e portanto os dois termos anteriores também não interessam. A fórmula (III.1.1) reduz-se então a ( ) ( )χ χv vn n1 2= (III.1.2) onde vn é a componente da velocidade normal à superfície que separa os dois meios. Para obter a conservação da massa, basta igualar χ a ρ . Se se fizer isto, e se notar, como qualquer dos autores admite e é perfeitamente lógico, que praticamente não existe descontinuidade na densidade na fronteira da pluma, é-se forçado a concluir que, nesta superfície, a velocidade a ela perpendicular tem que ser idêntica dentro e fora da pluma. É isto que se verifica no modelo de Schatzmann para as componentes médias da velocidade, mas que não é respeitado no modelo de Davidson. De facto, basta saber que, dentro da pluma, a velocidade radial é axialmente simétrica, e que fora dela não o é para se concluir existir forçosamente uma descontinuidade na velocidade radial, e portanto também na velocidade normal à parede fictícia da pluma, que dela difere pouco. Nos modelos integrais mais simples, como por exemplo o de S. e C. é aceitável assumir simetria axial no escoamento, uma vez que mesmo para propriedades da pluma como a temperatura ou a concentração, é admitido um perfil constante, com descontinuidades na periferia. Não quer dizer que a condição fronteira definida por (III.1.2) seja, nesse caso, respeitada: não o é. Mas modelos deste tipo são baseados em simplificações fortíssimas. O que parece menos consistente é, num modelo que se pretende particularmente rigoroso, por um lado, admitir um decaimento suave para propriedades como a temperatura, densidade, concentração e velocidade longitudinal, dando a ideia de que a pluma vai desaparecendo progressivamente à medida que aumenta a distância ao seu eixo e depois considerar, para as restantes componentes da velocidade, dois regimes distintos, um dentro e outro fora da pluma, como se existisse uma parede material a separá-la do meio externo. Um outro problema encontrado no artigo de Davidson decorre de o autor utilizar os sistemas de equações de Schatzmann e o seu próprio para além dos respectivos domínios de validade. Com efeito, nos gráficos da figs. 5 e 6, pode ver-se que as plumas desaparecem (isto é, atingem raio infinito) demasiado perto da fonte. Segundo Davidson refere, esses gráficos são resultado da integração numérica dos dois sistemas de equações até ao ponto em que a perturbação na velocidade u∗ se torna praticamente nula. O facto de, numa atmosfera extremamente estável, a velocidade, ou a concentração, ou a velocidade longitudinal de uma pluma decairem para zero tão depressa e o seu raio tender para infinito tão cedo (como é descrito nas figs. 5 e seguintes) não parece normal. Sabe-se que, nestas condições, as plumas têm tendência a executar uma série de oscilações (Slawson e Csanady, 1971) e, embora os modelos integrais não simulem bem esta fase da dispersão, em que a anisotropia começa a

ser importante, não haveria razões para que aquelas oscilações não pudessem ser representadas por qualquer um dos presentes modelos. A explicação para este facto é que o termo de drag contido na equação de θ de ambos os autores só é válido para θ > 0. Este termo actua sempre de forma a diminuir o valor de θ , quando, na realidade, o efeito é contrário se θ for menor que zero. Sem corrigir este erro, a pluma de Schatzmann tem tendência a desacelerar rapidamente, devido aos efeitos conjugados da impulsão positiva e de uma força de resistência que tende a fazê-la descer cada vez mais. Daí os fenómenos estranhos traduzidos nos gráficos de Davidson. O crescimento indefinido do raio e a diminuição rápida da velocidade da pluma não seriam absurdos numa atmosfera estratificada e imóvel (Morton, 1959, Fox, 1970), pois nessa situação, quando a pluma estabiliza, o fluido libertado tende a perder toda a velocidade longitudinal e a espalhar-se lateralmente. Mas, na presença de vento ambiente, este efeito não se verifica, pois a pluma continua a viajar na horizontal transportada pelo vento, mesmo depois de estabilizar na altura efectiva, não havendo razão para alargar demasiadamente. O argumento anterior não se aplica à pluma de Davidson, visto que o raio desta "explode" mesmo antes de o drag se tornar irrealista. Este comportamento tem a ver com um outro erro, agora simplesmente de cálculo. Ao deduzir a equação de θ , Davidson obtém um factor de 2 no termo de entrainment no numerador, como se pode constatar em (II.6.6), mas verifica, quando faz as modificações necessárias nas suas hipóteses, com vista a obter o sistema de Schatzmann, que na nova equação de θ não aparece o termo de entrainment. A razão para isto acontecer é que o factor em (II.6.6) é 3 e não 2. Se as contas forem bem feitas, vem em vez disso

( )[ ] +++ +

++−+

+++−=

∗∗∗∗∗

∗

ρλλρρ

λλρθθρρλρθ

θρπ

θρλθρθθρθ

122

1

1cos2sin22cos

sincossin3cossin2

2

222

2

2222222

22222

aaaaaa

aad

aeaaa

bubUubU

RUc

gbURvds

dRRU

ds

d

e obter-se-á, com as modificações pertinentes, a equação de Schatzmann completa. 2. Comentários ao Modelo de Schatzmann Como se referiu na alínea anterior, o termo de drag introduzido por Schatzmann, que surge na equação de θ , está mal formulado para o caso de θ ser negativo. Embora a aplicabilidade do modelo a partir do momento em que a altura máxima da pluma é atingida seja discutível, sobretudo devido à influência crescente da turbulência exterior, parece de toda a utilidade substituir este termo por

c

RUda aπ

ρ θ θ2 sin sin (III.2.1)

com o que, pelo menos, se evitam os comportamentos absurdos observados por Davidson. Há outro pormenor nas equações de Schatzmann (e Davidson) que se prende com um efeito semelhante. É quando se admite para factor multiplicativo na velocidade de entrainment, devido ao par de vórtices que se forma, a expressão (II.5.6). É evidente que o efeito destes vórtices é sempre de aumentar o entrainment, portanto o factor multiplicativo deve ser maior ou igual a 1, em particular, deve ter um comportamento simétrico quer a pluma esteja a descer, quer esteja a subir. Mas não é isso que (II.5.6) traduz, pois esta expressão torna-se menor do que 1 para θ < 0. Então, mais uma vez, propõe-se simplesmente, substituir (II.5.6) por

1 4+ ∗AU

ua sinθ (III.2.2)

cujo comportamento já é aceitável. Um erro, aparentemente de cálculo, que se pode encontrar no modelo de Schatzmann é a não inclusão, no denominador da fracção que consta na equação de θ , de um termo relacionado com o entrainment. Os cálculos do autor do presente trabalho produzem o resultado

( ) ( )[ ] ( )[ ] ′+−+++++

++−=

∗∗∗∗

∗

2222222222

222

1/cos12/2/1

sinsin)(sincos

raeaaaa

aadeaa

vvRUubub

RUcRvUgb

ds

d

ρρλλρθρλλρ

θθρπθρθρλθ (III.2.3)

em vez da equação (II.2.23). Existe algum fundamento para admitir a existência de tal termo, porque já Hirst (1972) o incluiu numa equação análoga. Uma explicação alternativa para esta discrepância é

Schatzmann ter desprezado esse termo face ao outro que o acompanha dentro de parênteses, por se saber que a velocidade de entrainment tem quase sempre fraca intensidade. De qualquer forma, no artigo de 1979 de Schatzmann, os testes ao modelo são sempre feitos com turbulência ambiente nula, o mesmo se passando no artigo de Davidson. Nessas circunstâncias, visto que nenhuma outra aproximação semelhante é feita, parece estranho que este termo não seja tido em conta. Uma vez implementadas as correcções que se acabaram de referir, os modelos de Davidson e Schatzmann passam a comportar-se de maneira bastante diferente.

0 200 400 600 800 10000

20

40

60

80

1000 200 400 600 800 1000

0

20

40

60

80

100

Z(m

)

Schatzmann Davidson

X(m)

Figura 10 - Substitui o gráfico da figura 5 depois de implementadas as correcções

0 200 400 600 800 10000

20

40

60

80

100

120

140

1600 200 400 600 800 1000

0

20

40

60

80

100

120

140

160

R(m

)

Schatzmann Davidson

X(m)

Figura 11 - Substitui o gráfico da figura 6 depois de implementadas as correcções

0 100 200 300 400 500

0

1

2

3

4

50 100 200 300 400 500

0

1

2

3

4

5Θ* (K

)

Schatzmann Davidson

X(m)

Figura 12 - Substitui o gráfico da figura 7 depois de implementadas as correcções

0 100 200 300 400 5000

4

8

12

16

200 100 200 300 400 500

0

4

8

12

16

20

q c* (p

pm)

Schatzmann Davidson

Figura 13 - Substitui o gráfico da figura 8 depois de implementadas as correcções

0 200 400 600 800 10000

2

4

6

80 200 400 600 800 1000

0

2

4

6

8u* (m

/s)

Schatzmann Davidson

X(m)

Figura 14 - Substitui o gráfico da figura 9 depois de implementadas as correcções

3. Consequências das Correcções A principal consequência que estas modificações têm a nível do comportamento das plumas é a supressão do crescimento indefinido do raio, que surgia associado ao decaimento prematuro e brusco da temperatura, concentração e velocidade longitudinal. Agora, tanto no modelo de Schatzmann como no de Davidson, a pluma executa uma série de oscilações amortecidas (acabando por estabilizar na altura em que o excesso de temperatura é nulo) e as suas propriedades decaem de maneira bastante mais suave. A característica que, nos gráficos das figs. 10 a 14, mais sobressai é a implausibilidade do comportamento do raio da pluma prevista no modelo de Davidson. Como os modelos de Schatzmann e Davidson só diferem pela forma do escoamento admitido dentro da pluma, e todas as equações excepto a do momento linear podem ser deduzidas raciocinando apenas em termos de fluxos na sua fronteira, é na equação do momento linear que se devem procurar as explicações. As equações escalares segundo o eixo da pluma e segundo a direcção perpendicular, mas contida no plano da sua trajectória são:

dv

dtg

v v

k

d

dss a n s=

−+

−ρ ρ

ρθ θ

sin1

(III.3.1)

dv

dtF g

v

k

d

dsn

na s= +

−−

−ρ ρ

ρθ θ

cos2

1 (III.3.2)

onde o índice n identifica as componentes transversais e Fn representa o drag. A velocidade

longitudinal dentro da pluma tem a mesma forma para ambos os autores (v vsS

sD= ). Só as velocidades

transversais diferem, tendo-se que v v UnS

nD

a= − sinθ . Fazendo uso desta relação e das equações (III.3.1) e (III.3.2), facilmente se conclui que

( )θcos1 ds

d

k

Uv

dt

dv

dt

dv asDs

Ss

−+= (III.3.3)

( )θθθsin

11

22

dt

dU

ds

d

k

v

ds

d

k

va

D

s

S

s +−=−

(III.3.4)

Recorrendo à fig. 15, onde estão representados esquematicamente os 4 troços básicos de uma pluma na fase oscilante, pode afirmar-se que

dv

dt

dv

dtsS

sD

< nos troços 2 e 4 (III.3.5)

dv

dt

dv

dtsS

sD

> nos troços 1 e 3 (III.3.6)

DS

ds

d

ds

d < θθ nos troços 1 e 2 (III.3.7)

DS

ds

d

ds

d > θθ nos troços 3 e 4 (III.3.8)

As duas primeiras condições implicam que a pluma de Davidson tenda a desacelerar mais nos pontos extremos das oscilações e a acelerar mais nos pontos intermédios do que a pluma de Schatzmann. Notando que, a uma aceleração está associada uma diminuição do raio e a uma desaceleração um aumento do mesmo (como se observa nas figs. 11 e 14), estão explicadas as oscilações excessivas do raio no modelo de Davidson. Este autor, ao manter a componente longitudinal da velocidade ambiente dentro da pluma, mas ao excluir a componente transversal, está a impedir uma transferência de momento linear entre uma e outra componente, provocada pela curvatura, forçando, em vez disso, que seja o excesso de velocidade a variar para manter o balanço de momento linear total.

1 2

3 4

Figura 15 - Esquema dos troços básicos da trajectória de uma pluma na fase oscilante

Outra particularidade interessante é a de as frequências de oscilação das duas plumas serem distintas, apresentando a pluma de Schatzmann uma oscilação apreciavelmente mais rápida do que a de Davidson. A explicação está agora nas relações (III.3.7) e (III.3.8), que traduzem o facto de a curvatura ter sempre maior valor absoluto no modelo de Schatzmann. Uma maior curvatura na fase oscilante implica, evidentemente, uma frequência de oscilação maior. A frequência de Brunt-Väisällä é definida referindo-se ao tempo lagrangeano de uma parcela individualizada de fluido. No caso de se terem perfis gaussianos de velocidade longitudinal, os tempos lagrangeanos de parcelas de fluido a diferentes distâncias do eixo da pluma diferem, mas as oscilações são efectuadas pela pluma como um todo. Então, a frequência de oscilação é dependente da distância ao eixo, portanto não pode depender apenas das características do meio externo. A dependência em relação à posição radial pode, contudo, ser eliminada, se se definir um tempo lagrangeano médio para a pluma como resultado da integração da equação svdsdt ˆ1= , onde sv̂ é a velocidade longitudinal média na secção da pluma. No artigo de Slawson e Csanady (1967), em que se leva em conta o vento ambiente, e em que os perfis admitidos para a densidade e para a velocidade são constantes dentro da pluma, esta possui uma frequência de oscilação natural que é a frequência de Brunt-Väisällä. No artigo de Morton et al. (1956), em que é abordado o problema das plumas verticais, é possível considerar perfis gaussianos para as duas propriedades mencionadas. Embora para uma pluma vertical não faça sentido falar de oscilações, por o sistema deixar de todo de ser válido quando a velocidade vertical se anula, o factor que surge no sistema claramente como uma frequência é igual, também neste caso, à frequência Brunt-Väisällä, desde que se utilize a definição de tempo lagrangeano acima exposta. Nestes modelos relativamente simples, a frequência de oscilação é totalmente independente da velocidade de entrainment. Nos modelos mais complexos que estão a ser estudados neste trabalho, é de supor que não só a forma dos perfis da velocidade mas também o entrainment e a força de drag possam contribuir para modificar a frequência de oscilação.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100020

40

60

80

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

20

40

60

80

500

600

700

ε

0.01ε

Z(m

)

Schatzmann Davidson

t(s)

Figura 16 - As frequências de oscilação das plumas de Schatzmann e Davidson, nas mesmas condições da figura 10, mas com z0 0= , para um entrainment normal e para o caso em que foi reduzido a 1%. A

variável no eixo dos xx é o tempo lagrangeano médio da pluma. Na fig. 16 pode ver-se que, quando o entrainment é pouco importante, tanto a pluma de Schatzmann como a de Davidson têm frequências de oscilação que são próximas da de Brunt-Väisällä. Isto acontece, porque, nestas circunstâncias, a componente transversal da velocidade é quase desprezável relativamente à longitudinal, e portanto as duas plumas comportam-se de forma relativamente semelhante, tendendo para a sua frequência natural. Quando o entrainment aumenta, a velocidade longitudinal do jacto torna-se mais fraca, como consequência do aumento do raio, por isso a componente transversal, no sistema de Schatzmann assume uma importância apreciável. Então, devido às razões anteriormente expostas, a frequência da respectiva pluma aumenta. Seria interessante verificar se isto ocorre na realidade. 4. Uma Equação de Estado Alternativa Quando não se utiliza a aproximação de Boussinesq, é necessário relacionar ρ∗ com Θ∗ duma maneira que garanta condições de aplicabilidade mais alargadas para o sistema de Schatzmann. Uma possível forma de o conseguir é comparando o excesso médio de massa integrado, correspondente à pluma utilizando a equação de estado na forma exacta, e usando o perfil gaussiano para a densidade. A equação de estado exacta implica que

( ) ( )( )222

222

exp

exp1

br

br

a

aaaa λλρρρρ

−Θ+Θ−Θ

−=−ΘΘ=− ∗

∗

(III.4.1)

portanto o excesso de massa por unidade de comprimento, devido à existência da pluma é

( )∫ ∫ Θ+ΘΘ

=−−∗

π

ρπλϕρρ2

0

22

0

log)1(a

aa

R

a bddrrk (III.4.2)

Mas, no caso do perfil gaussiano para a densidade, admitido anteriormente, vem, em vez disto

( )∫ ∫ ∗=−−π

ρπλϕρρ2

0

22

0

)1( bddrrkR

a (III.4.3)

Igualando as duas expressões obtém-se

Θ+ΘΘ

= ∗∗

a

aa logρρ (III.4.4)

O mesmo procedimento pode ser levado a cabo para o excesso de entalpia. Utilizando a equação de estado, este excesso pode exprimir-se (a menos de uma constante multiplicativa) por

( ) 0)1(2

0 0

=−Θ−Θ∫ ∫π

ϕρρ ddrrkR

aa (III.4.5)

ao passo que, recorrendo aos perfis gaussianos para ρ e Θ , vem

( ) ( )∗∗∗∗ Θ+Θ+Θ=−Θ−Θ∫ ∫ ρρρπλϕρρπ

21)1( 222

0 0

aa

R

aa bddrrk (III.4.6)

e isto implica, se se admitir a igualdade entre as duas expressões, que se tenha

ρ ρ∗∗

∗= −+a

a

ΘΘ Θ1 2

(III.4.7)

Esta expressão é bastante mais sugestiva do que (III.4.4), porque, tal como (II.3.1) e (II.3.2), difere da equação de estado correspondente à aproximação de Boussinesq apenas pelo termo correctivo no denominador. Pode verificar-se que, por exemplo, para Θa K= 283 e Θ∗ = 1415. K , ou seja, para uma pluma que pode ser considerada bastante quente, as densidades dadas por (III.4.4) e (III.4.7) diferem apenas de cerca de 1%, ao passo que ambas diferem da definição (II.4.2), usada na aproximação de Boussinesq, de cerca de 20% e da definição (II.3.2), aplicada no modelo de Schatzmann sem aproximação de Boussinesq, de aproximadamente 17%. A explicação é simples: o desenvolvimento de Taylor, em torno de Θ Θ∗

a =0 das equações (III.4.4) e (III.4.7) é

ΘΘ+

ΘΘ−

ΘΘ−=

∗∗∗∗

2

O2

11

aaaaρρ (III.4.8)

havendo concordância entre as duas expressões até à segunda ordem. É evidente que não se pode esperar concordância no caso de Θ∗ ser muito grande, mas se Θ Θ∗

a for apreciavelmente inferior à unidade, é de admitir que tanto (III.4.4) como (III.4.7) substituam razoavelmente bem a equação de estado exacta. Contudo, a equação (III.4.7) tem a legitimidade acrescida de poder ser vista como a definição de ρ∗ que faz com que, em média, na secção da pluma, as equações de estado exacta e aproximada sejam iguais. Para temperaturas muito altas, em que Θ Θ* > a , tanto a aproximação traduzida por (III.4.7) como

(II.4.2) dão resultados bastante maus, pois em (II.4.2), ρ* → −∞ quando Θ* → ∞ e em (III.4.7),

ρ ρ* → −2 a nas mesmas condições, indicando que a densidade calculada usando estas relações se pode tornar negativa. Nesse caso, a melhor equação de estado aproximada é, sem dúvida (II.3.2), pois nela, ρ ρ* → − a quando Θ* → ∞ e este é um resultado correcto.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

20

40

60

80

100

120

140

Z(m

)

Eq. estado (III.4.7) Eq. estado (II.4.2) Eq. estado (II.3.2)

X(m)

Figura 17 - Comparação das trajectórias da pluma, para as mesmas condições da figura 10, mas com o

sistema sem aproximação de Boussinesq e com z0 0= , no caso K5.141* =Θ j , utilizando as equações de

estado (II.4.2), (II.3.2) e (III.4.7) Era de prever que a curva da pluma correspondente à equação (III.4.7) ocupasse uma posição intermédia relativamente às referentes às equações (II.4.2) e (II.3.2), visto que estas últimas traduzem aproximações extremas no que respeita à impulsão. (II.4.2) corresponde a uma impulsão máxima e (II.3.2) a uma impulsão mínima, situando-se (III.4.7) a meio caminho. No entanto, a curva de (II.4.2) caracteriza uma pluma cuja subida é inferior a todas as outras e (II.3.2), pelo contrário, corresponde à pluma que sobe mais alto. A explicação pode radicar no facto de, neste modelo, a definição de ρ* influenciar mais as forças de inércia do que as de impulsão. Uma densidade menor, por um lado aumenta a impulsão, o que tende a fazer subir a pluma, mas por outro diminui a inércia, o que, uma vez iniciado o movimento ascendente, facilita a desaceleração. Assim, acontece que a pluma referente à equação (II.3.2), apesar de possuir impulsão menor do que de a associada a (III.4.7), tem maior inércia, precisamente por ter maior densidade, passando-se o contrário com a pluma correspondente a (II.4.2). Isto é justificado plenamente pela figura seguinte, onde se apresenta a evolução do número de Froude densimétrico ao quadrado. Sendo este um número adimensional que compara a relevância das forças de inércia e de impulsão (Tritton, 1977), verifica-se que ele é sempre consideravelmente superior a 1 em módulo, traduzindo que a inércia prevalece, neste caso, sobre a impulsão.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Fr2

X(m)

Figura 18 - A evolução do número de Froude densimétrico para as condições da figura anterior, para a pluma que utiliza a equação de estado (III.4.7). A assímptota vertical corresponde ao ponto em que a

impulsão se anula pela primeira vez. No caso da aproximação de Boussinesq, há dois factores que se conjugam para aumentar a altura máxima atingida pela pluma: a impulsão acrescida, como decorre da equação de estado (II.4.2), e a inércia também acrescida, pois a densidade que é usada nos termos não ligados à impulsão é a ambiente (mais alta do que a de uma pluma de temperatura elevada). Contudo, pelo que se viu anteriormente, tudo leva a crer que o factor mais importante a contribuir para este aumento é a inércia. 5. Análise do Entrainment Ao contrário de Schatzmann, o autor deste trabalho obteve para a equação de balanço do momento linear segundo s, integrada indefinidamente em r, uma expressão com alguns termos adicionais (aqueles em que aparece F3 e F6)

∗∗ +++++=′′

u

U

ds

dbFF

ds

dbF

ds

dbFFF

u

svv ars θηθεηθθηηθληεηηη cos)(cos)(2sin)()(F

sin)()(

),(65432

2

212

(III.5.1) onde

( )21 exp η−=F ( )22

2 exp21 λη−=F ( )23 2exp21 η−−=F

F F4 11 2= − F F5 11 2= F F62

1= η Utilizando (III.5.1) para substituir o integrando da equação (II.5.3), facilmente se chega a uma expressão para o entrainment análoga a (II.5.4):

( ) ( )

( ) θ

θθθθλλ

εcos486246

cos243sin242

3

F

sin24

1

6244

51

642

2

223

∗

∗

+++

−+ −+ ++

−−=

uUII

u

U

ds

dbI

ds

dbII

ds

dbI

a

a

(III.5.2) onde

( ) ηηηη dFI ii ∫∞ −=0

2exp)(

Os integrais adimensionais são facilmente calculados e, substituindo o seu valor em (III.5.2), obtém-se

( ) θ

θθθλ

εcos22

sin4

3

F

sin2

2

∗

∗

+

+−=

uUu

U

ds

db

ds

db

a

a

(III.5.3)

É curioso notar como, no resultado anterior, o termo em db ds e U ua

* não chega sequer a aparecer, por ser nulo o coeficiente pelo qual é multiplicado. Desprezando o termo relativo à curvatura, pode-se verificar que a expressão do entrainment adimensional é coincidente com a de Schatzmann excepto num ponto: a constante A3, em vez de ser 10, vale 2. Schatzmann dá a entender no seu artigo que pretere o valor teórico desta constante em favor de um valor obtido por medições experimentais. Se assim é, e se de facto, a diferença entre o valor teórico e o valor experimental é de tal modo grande, seria interessante investigar porque falha a previsão teórica. Pode mostrar-se que, se se utilizar A3 2= em vez de A3 10= , o entrainment se torna nitidamente excessivo (ver fig.19).

0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

1200 10 20 30 40 50

0

20

40

60

80

100

120

Z(m

)

A3=10 A3=2

X(m)

Figura 19 - Gráfico dos contornos da parte inicial da pluma, para as condições da figura 10, utilizando

A3 10= e A3 2= Uma forma possível de avaliar a relevância do entrainment no presente modelo é, por exemplo, comparando as alturas máximas de subida de parcelas de ar isoladas do meio exterior, numa atmosfera estável, com as previstas recorrendo ao sistema de Schatzmann. Admitindo uma atmosfera de gradiente de temperatura constante, em que a temperatura potencial é dada por

Θ ΘΘ

a aad

dzz= +0 (III.5.4)

e um escoamento adiabático, em que simplesmente se verifica

d

dt

Θ Θ Θ= ⇒ =0 0 (III.5.5)

fazendo uso da equação de balanço do momento linear vertical

dw

dtga

a

=−Θ ΘΘ

(III.5.6)

após alguns cálculos, chega-se à seguinte condição

01log2

1

0

02 = ΘΘ

+Θ

Θ−+ z

dzd

dzd

ggzw

dt

d

a

a

a

(III.5.7)

A quantidade conservativa dentro de parênteses rectos é, claramente, uma energia, constituida por um termo de energia cinética e outro que não é absurdo identificar com a CAPE (convective available potential energy) mencionada em Holton (1992). A equação (III.5.7) pode ser aplicada, no caso estável, a dois níveis: um (denotado pelo índice 1) em que se admite que z=0 e outro (a que corresponde o índice 2) em que w se anula. Vem então:

ΘΘ

+Θ

Θ−= 2

0

02

21 1log

2

1z

dzd

dzd

ggzw

a

a

a

(III.5.8)

Apesar de (III.5.8) não ter solução analítica para z2 , é possível calcular numericamente o resultado. Para as condições de teste mais usadas, no artigo de Davidson, as perturbações gaussianas têm que ser substituidas pelo seu valor médio na pluma, que é cerca de metade do valor máximo. Com w1 7 25= . ms-1, Θ Θ0 0 14 15− =a . K , Θa0 283= K , d dzaΘ = 0 015. Km-1, obtém-se uma subida máxima z2 1973= m. Só para notar como a velocidade inicial é quase irrelevante, refira-se que, se apenas se fizesse a modificação w1 0= , obter-se-ia z2 1918= m. De qualquer forma, o que se nota é que a existência de entrainment diminui a subida da pluma por um factor de cerca de 20, o que ilustra bem a importância crucial deste processo. 6. Os Processos de Entrada de Ar para a Pluma Existem basicamente dois processos que permitem o incorporamento de ar exterior na pluma. Um deles, ligado à mistura turbulenta, corresponde à velocidade radial de entrainment, que já foi discutida na alínea anterior. O outro é mais simples e tem meramente a ver com o fluxo forçado pela componente do vento ambiente perpendicular à parede da pluma. Este fluxo, em termos físicos, corresponde a apenas um processo, mas pode ser decomposto em duas partes, uma delas pela qual é responsável o aumento do raio (marcado como fluxo 2 na fig. 2) e outra que apenas existe se houver curvatura da trajectória (o fluxo 3 da mesma figura). O fluxo de massa para dentro da pluma referente ao entrainment é expresso por ρ πa ev R2 (III.6.1) o fluxo provocado pelo aumento do raio da pluma é

ρ θ πa aU RdR

dscos 2 (III.6.2)

e o fluxo provocado pela curvatura do seu eixo escreve-se

−ρ θπ θa aU R

d

dssin 2 (III.6.3)

sendo todos estes fluxos expressos em kg m-1 s−1. O que se propõe seguidamente é traçar gráficos da evolução destas quantidades, com vista a avaliar a importância relativa de cada uma delas.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

4

8

12

16

200 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

4

8

12

16

20F(

kg/m

/s)

(III.6.1) (III.6.2) (III.6.3)

X(m)

Figura 20 - Os três fluxos de ar para dentro da pluma, no modelo de Schatzmann, para as condições

Θa = 283K, Ua = 1ms-1, d dzaΘ = 0 015. Km-1 , m5.1=jD , º90=jθ , K3.28* =Θ j , -1* ms5.14=ju .

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

4

8

12

16

200 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

4

8

12

16

20

F(kg

/m/s

)

(III.6.1) (III.6.2) (III.6.3)

Figura 21 - O mesmo que a figura anterior, apenas com a modificação de a atmosfera ter estratificação

neutra. Nas figs. 20 e 21, é bastante evidente que o fluxo de massa provocado pelo entrainment só e predominante nas primeiras dezenas de metros. No caso da atmosfera neutra, visto que o excesso de temperatura e velocidade longitudinal da pluma decaem muito mais lentamente do que numa atmosfera estável, o fluxo de massa associado ao entrainment também decai com grande lentidão. Para ambas as

estratificações, o fluxo de massa associado à curvatura é o de menor relevância. O processo que se revela realmente decisivo na entrada de ar para a pluma a grandes distâncias da fonte é o que surge associado ao próprio aumento do raio. Este processo constitui um mecanismo de realimentação positiva, uma vez que, quanto mais aumenta o raio, maior é a entrada de massa para a pluma, e esta entrada, por sua vez, vai implicar um novo aumento do raio. No modelo de Slawson e Csanady, tendo sido admitida a hipótese de que a velocidade dentro da pluma segundo x é a mesma que a ambiente, o único processo de entrada de ar exterior para a pluma é o entrainment, não sendo levados em conta os outros dois processos. A evolução do raio, neste modelo mais simples, é dada apenas por

dR

dtve=

7. Condições Iniciais - Comentários No tratamento efectuado por Schatzmann, considera-se não só que o entrainment é nulo, na fase anterior ao estabelecimento dos perfis gaussianos, como também que a velocidade dentro da pluma é totalmente axialmente simétrica, sendo aparente que o escoamento ambiente transversal, foi desprezado. Se isto é justificado na fase inicial, a que se refere o índice j, já não parece tão lógico quando os perfis se tornam gaussianos. Fazendo um tratamento um pouco mais rigoroso, isto é, aplicando o mesmo tipo de análise que é usada na dedução do sistema principal, em que a curvatura e o vento ambiente são tidos em conta, surge, em vez de (II.7.4), a relação mais simples, resultante da conservação da massa R R j0

2 22= (III.7.1) onde R0 e Rj são, respectivamente o raio inicial do sistema principal e o raio na fonte. A conservação da energia térmica, com as mesmas aproximações, permite chegar à expressão

*2

*

2

2

*0

cos)1(

cos1

jja

jja

j uU

uU

++++=

ΘΘ∗

θλθ

λλ

(III.7.2)

que substitui (II.7.5). Esta equação, estranhamente, implica que, no caso de não existir vento exterior, o excesso de temperatura da pluma aumente, o que parece absurdo. Conclui-se assim que a transição simultânea dos perfis da velocidade e temperatura de constantes para gaussianos não é compatível com a conservação da massa e da energia, quando se admite a não existência de entrainment e a hipótese de a velocidade longitudinal no centro da pluma se manter inalterada. Verificou-se aliás, refazendo as contas que levam a (II.7.4) e (II.7.5), que estas duas equações não são totalmente compatíveis uma com a outra, tendo sido necessária a introdução de factores correctivos para que não se originasse um absurdo semelhante o traduzido por (III.7.2). Como o efeito destas equações é apenas de modificar ligeiramente as condições iniciais, e Schatzmann as utiliza no artigo em que analisa os efeitos da aproximação de Boussinesq, elas foram utilizadas nos resultados numéricos apresentados até agora, e continuarão a sê-lo para que continue a ser possível comparar os resultados originais deste trabalho com os de Schatzmann. Devem, no entanto, ser aceites sob reserva. 8. A Inconsistência Principal O modelo integral de Schatzmann baseia-se numa teoria cuidadosamente construida, mas que não está isenta de erros. Contudo, estes erros são aparentemente inevitáveis, porque inerentes aos modelos integrais. Não tendo sido encontrada maneira de provar que é impossível construir um modelo integral que respeite inteiramente as equações fundamentais, o que a seguir se referirá permite, pelo menos, desconfiar que assim seja. Repare-se, por exemplo na equação de conservação da massa de um poluente no caso estacionário: ( ) 0=⋅∇ vqc

rρ Usando a conservação da massa total, ela pode tomar a forma alternativa

0=∇⋅ cqvr

(III.8.1) Admita-se, por uma questão de simplicidade, que a fracção média de massa de poluente fora da pluma

é constante ( teca cq = ) e que a aproximação de Boussinesq é válida. Então, fazendo uso das definições

para o campo da velocidade e da fracção de massa de poluente (II.2.14) e (II.2.15), e da definição de gradiente no sistema de coordenadas curvilíneas, vem

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0exp2

sinsinexp1

expcos 222*22

222*22

=′′⋅∇+−−−−−

−+ ∗

vqbrqb

rUvbrq

ds

d

k

bruUccadc

a rλλ

ϕθλθ

(III.8.2)

Schatzmann admite que a covariância vqc ′′r não é função de ϕ . Notando que, a não ser k (que é um termo ligado à curvatura e também se pode anular sem grande perda de generalidade) todas as outras expressões contidas em (III.8.2) exceptuando (v Ud a− sin sinθ ϕ) apenas dependem de r e s, não é difícil concluir que vd nunca pode, em rigor, depender também apenas de r e s, ou seja, ser axialmente simétrico. O mesmo raciocínio se poderia aplicar à conservação da energia térmica. Isto significa que o escoamento, tal como é prescrito por Schatzmann, viola localmente as equações de conservação da massa de poluente e da energia térmica. Em termos de fluxos, todas as leis são respeitadas, pois estes resultam de uma integração em ϕ e r que oculta as violações que se acabaram de referir, desde que se assuma a hipótese (falsa) v v s rd d= ( , ). Contudo, mesmo intuitivamente, compreende-se que um escoamento não simétrico relativamente ao eixo da pluma, como é o prescrito por Schatzmann, deve destruir a simetria da distribuição de um traçador (temperatura potencial ou fracção de massa de poluente). O modelo de Davidson, embora viole à partida a conservação da massa, não padece deste problema. Nele, a expressão ( sin sin )v Ud a− θ ϕ de (III.8.2) é substituida apenas por v s rd ( , ), o que, a menos do efeito da curvatura, é consistente com as leis de conservação. A contradição provocada pelo factor (1-k) é bastante mais subtil, porque inerente à admissão de perfis gaussianos para uma pluma que é assimétrica por natureza, devido à curvatura do seu eixo. Não é demais sublinhar que a própria conservação da massa não é respeitada por qualquer dos modelos em estudo, se bem que de forma menos grave do que (III.8.2), devido ao efeito da curvatura associado a uma perturbação gaussiana que o não leva em conta. No eixo da pluma (r=0), (III.8.2) particulariza-se da seguinte forma:

( ) 0)0(cos*

==′′⋅∇++ ∗ rvqds

dquU c

ca

rθ (III.8.3)

Como se sabe que q sc

* ( ) é decrescente, (III.8.3) mostra que, se não houvesse divergência do fluxo turbulento, não haveria maneira fisicamente aceitável de fazer diminuir o excesso de poluente na zona central da pluma. Por outras palavras, no interior da pluma a existência de turbulência é algo de imprescindível, e que está estreitamente relacionado com o processo de mistura, a que nunca se faz referência explicitamente, mas que é a única via, neste modelo, de diminuir os excessos de temperatura e concentração. Para tentar resolver a violação das equações fundamentais, a solução que parece mais evidente é tentar encontrar um campo da velocidade que se possa considerar quase perfeitamente axialmente simétrico na zona da pluma, mas que tenda para a velocidade ambiente (não simétrica) a grandes distâncias do eixo. Com efeito, a existência de uma velocidade de entrainment nos modelos integrais, e a convergência horizontal que se verifica haver, na prática, para as térmicas são factores que mostram que o campo da velocidade é perturbado bastante para além dos limites das perturbações na temperatura e na concentração que possam existir numa pluma. Tanto a velocidade ambiente média (uniforme) como a velocidade adicional introduzida pela pluma, tirando o pequeno efeito devido à curvatura, obedecem à conservação da massa. Mantendo o escoamento adicional correspondente à pluma, que é axialmente simétrico, propõe-se, portanto, modificar o vento ambiente, por forma a que este tenha componente radial e axial praticamente nula dentro da pluma. ( )),,(1cos ϕθ rsfUv as +=

( )),,(1sinsin ϕϕθ rsgUv ar −−= (III.8.4)

( )),,(1cossin ϕϕθϕ rshUv a −−=

com as condições apropriadas

f s r( , )→ ∞ = 0 g r h r( ) ( )→ = → =0 0 1 g r h r( ) ( )→ ∞ = → ∞ = 0 Mas não é fácil encontrar funções que obedeçam a estas condições e satisfaçam, simultaneamente a conservação da massa. Torna-se, assim, claro que se está na presença de um problema muito complexo, em que dificilmente se consegue prescrever um escoamento que não viole as equações fundamentais. O rigor do modelo que se resolveu adoptar é, nesta medida, apenas aparente. Todavia, não é de desprezar a qualidade da sua prestação prática. 9. Um Comentário de Índole Prática Quando se corre o modelo de Schatzmann com as modificações propostas, fazendo uso da fórmula (III.2.3), mesmo não considerando qualquer turbulência ambiente, podem surgir problemas relacionados com a parcela ρa eR v2 2 no denominador desta equação. Quando se admitem condições semelhantes às usadas por Davidson (1986) e Schatzmann e Policastro (1984), esta parcela tem uma importância praticamente nula no comportamento da pluma, pensa-se que por ser muito mais pequena em valor absoluto do que a soma do resto dos termos (todos positivos). Contudo, quando se admitem para a pluma excessos iniciais de velocidade particularmente baixos ou raios iniciais grandes, é frequente a resolução numérica do sistema recorrer a passos de integração cada vez mais pequenos, até chegar ao limite de precisão do computador. Após a análise do comportamento das diferentes variáveis, concluiu-se que este problema era provocado pelo facto de o denominador da equação de θ ter atingido valores muito próximos de zero. Isto leva a concluir que o termo de entrainment no denominador, sendo verdadeiro nas hipóteses que se fizeram, por decorrer de puras manipulações algébricas, não pode, aparentemente, valer tanto como a função de entrainment de Schatzmann implica. Este termo tem a ver com o fluxo de momento linear transversal à pluma, associado ao entrainment em conjugação com a curvatura. Devido ao facto de a face da pluma exposta ao vento ambiente ter maior área, o fluxo integrado de momento linear correspondente à velocidade de entrainment (que é axialmente simétrica) não é nulo. A única maneira de a pluma contrabalançar uma tal modificação imposta no seu momento linear transversal é através da curvatura. Mas a situação em que o denominador da equação de θ se anula corresponde ao caso em que é impossível conservar o momento linear total, por não existir uma curvatura suficientemente grande que permita que se verifique o seu balanço. Como este problema deriva de uma separação algo artificial entre escoamento ambiente e entrainment, e da hipótese de simetria axial assumida para o entrainment, não é talvez muito grave desprezar este fluxo. Foi o que, tal como Schatzmann, se fez no presente trabalho. Mas convém notar que se trata de uma escolha ditada por motivos práticos, que está em contradição com a filosofia do modelo.

Capítulo IV - Modificações ao Modelo de Schatzmann Neste capítulo, vão tentar introduzir-se algumas alterações no modelo de Schatzmann, na intenção de avaliar as consequências físicas da consideração de certos factores que o autor não incluiu na versão original. Visto que Schatzmann não fornece quaisquer informações sobre os parâmetros a utilizar no caso de o meio ambiente ser turbulento, tem que se admitir que toda a turbulência é gerada pela pluma. Isto limita o domínio de aplicabilidade do modelo, mas, de qualquer forma, a hipótese de simetria circular já o reduzia consideravelmente. Com a hipótese de turbulência ambiente nula, a única expressão no sistema de Schatzmann que explicitamente a representa (o último termo no denominador da equação de θ ) desaparece. É sobre o sistema com esta ligeira simplificação que vai ser construido tudo aquilo que se apresenta nas alíneas seguintes. 1. Perfil de Vento com Efeito de Corte Uma das modificações possíveis consiste em considerar um vento ambiente que varie de intensidade com a altitude. Já se viu que tais condições implicam a destruição dos perfis gaussianos, pois a dispersão deixa de ser linear. Contudo, o caso que se vai tratar é aquele em que a escala de variação significativa de Ua é consideravelmente superior ao raio da pluma, pelo que talvez não seja uma aproximação demasiado restritiva admitir que, na secção da pluma, esta velocidade é constante. Ua vai, portanto, no tratamento que se segue, ser tratado como o foi anteriormente Θa ou qca : uma função apenas de s. O efeito mais importante da variação vertical de Ua , que é a criação de turbulência ambiente, não pode ser tido em conta. Ainda assim, vale a pena estudar a influência de um escoamento laminar com efeito de corte sobre a dispersão. Na situação real, é evidente que as variações de Ua são bastante maiores do que as de Θa , em termos relativos, visto que facilmente atingem valores da ordem do próprio valor absoluto da variável. Contudo, sabe-se que, na camada-limite, é na zona próxima do solo que a variação mais brusca do vento se dá e, para uma pluma com impulsão apreciável, a este nível, o raio é ainda pequeno. Com um pouco de sorte nos casos considerados, fica minimizado o efeito das aproximações feitas: por um lado, não se torna tão grave considerar que o vento é constante na secção da pluma e por outro, como as tensões de corte mais intensas no escoamento ambiente ocorrem quando o efeito de corte é mais intenso também na pluma, há uma legitimidade acrescida para desprezar a turbulência exterior. A dedução do sistema de equações modificado (sem contar com a equação de estado, que não é afectada) é bastante simples, pois as alterações a introduzir são de pormenor. A conservação da massa fica

( )

Rvds

UdbuUbbu

ds

dea

aaaa ρρθ

λλθλρρ 2cos2

1cos 2

2

2222 =+ +

++ ∗∗∗ (IV.1.1)

O balanço do momento linear segundo s é:

−−= +++ +

+ ∗∗∗∗∗ θρλρλ

λρθρλλρ sin

1cos

122

1 222

22

2

222 gbUubub

ds

daaa

ds

dUubUb a

aaa θρλ

λρρλρθ cos12

cos22

22

22 +

++ +− ∗∗∗ (IV.1.2)

A conservação da energia lê-se:

= ++

+Θ+ +Θ ∗∗∗∗∗ ρ

λλρ

λλρλρλθ

212cos

2

2

2

22

222

aaa ubUbds

d

+++ + Θ

−= ∗∗∗ ρλ

λρρλρθ12

cos22

22

22

aaaa ubUb

ds

d (IV.1.3)

Por último, a equação de θ , é:

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ] 222222222

*22222

1/cos12/2/1

sin1coscos2

eaaaa

aaaa

vRUububds

dUuUbuUb

ds

d

ρρλλρθρλλρ

θλλθλρθρθ−+++++

−++++= ∗∗∗∗

∗∗

− − −∗λ ρ θ ρ θ

πρ θ θ2 2 2b g U v R

cRUa a e

da acos sin sin sin

(IV.1.4)

As alterações na equação da massa são ligeiras e na equação da energia térmica nem sequer existem. É nas equações do momento linear segundo s e de θ que se revelam mais substanciais. Por exemplo, na primeira destas equações (IV.1.2), surge um termo cujo efeito é diminuir a perturbação da velocidade quando a velocidade ambiente, na direcção em que a pluma se está a dirigir é crescente e aumentá-la quando, contrariamente, a pluma se dirige para uma zona de velocidade ambiente maior. Este comportamento é necessário para que o momento linear total se conserve, uma vez o escoamento interior à pluma contém, ele próprio a velocidade ambiente (isto é.: v Us a= +cosθ perfil gaussiano) O termo adicional na equação de θ prende-se com um efeito semelhante. Este termo faz com que, quando a velocidade ambiente aumenta com a altitude, a pluma encurve para cima, acontecendo o contrário quando a velocidade ambiente diminui à medida que se sobe. Mais uma vez, a explicação está na conservação do momento linear total. Quando a velocidade ambiente aumenta com a altitude, a componente do momento linear perpendicular à pluma (e contrária sua concavidade) torna-se mais negativa à medida que se sobe. Então, a pluma tem que responder criando momento linear segundo essa direcção, o que se traduz num encurvamento no sentido anti-horário. A seguir apresentam-se algumas figuras que procuram ilustrar as modificações que se verificam.

0 80 160 240 320 4000

20

40

60

80

100

1200 80 160 240 320 400

0

20

40

60

80

100

120

Z(m

)

dUa/dz=0 dUa/dz=0.008s-1

dUa/dz=-0.008s-1

X(m)

Figura 22 - Trajectória do eixo da pluma nas condições Ua = −1 1ms , Θa = 283K (à superfície),

d dzaΘ = 0 015. Km-1 , K3.28* =Θ j , -1* ms5.14=ju , m5.1=jD , º90=jθ e z0 0= , para diferentes

gradientes da velocidade ambiente.

0 80 160 240 320 4000

10

20

30

40

50

600 80 160 240 320 400

0

10

20

30

40

50

60R

(m)

dUa/dz=0 dUa/dz=0.008s-1

dUa/dz=-0.008s-1

X(m)

Figura 23 - Evolução do raio, para as mesmas condições da fig. 22

0 80 160 240 320 4000

1

2

3

4

50 80 160 240 320 400

0

1

2

3

4

5

u* (m/s

)

dUa/dz=0 dUa/dz=0.008s-1

dUa/dz=-0.008s-1

Figura 24 - Evolução do excesso de velocidade, para as mesmas condições.

Ao observar as figuras 22, 23 e 24, nota-se o seguinte: o efeito dominante na forma da trajectória das plumas, assim como na evolução do seu raio é o drag de pressão. Não estando directamente ligada ao efeito de corte, a força de resistência empurra a pluma na direcção para onde flui o vento. Como a velocidade do vento é, em todos os casos, a mesma à superfície, quanto mais positivo é o gradiente dU dza , maior é a velocidade média na camada ocupada pela pluma, daí resultando as diferentes inclinações das curvas contidas na fig. 22. O drag associado ao efeito de corte positivo tende, também,

a amortecer as oscilações, como se pode constatar. A consequência de uma desaceleração mais forte na direcção para onde flui o vento, como decorre de uma força de resistência mais fraca, é um aumento mais rápido do raio da pluma. É isto que acontece no caso em que dU dza é negativo. Quanto ao excesso de velocidade no centro da pluma, a sua tendência é para se tornar tanto mais pequeno quando mais positiva é a quantidade dU dza . Isto é apenas uma consequência da conservação do momento linear total, tendo sido explicada nos parágrafos anteriores. 2. A Equação de Estado Exacta Em vez de se admitir um perfil gaussiano para a densidade da pluma, como se tem vindo a fazer, é possível utilizar uma equação de estado exacta. Já se viu que, a não ser para plumas relativamente pouco quentes, é impossível, ao aceitar uma distribuição gaussiana simultaneamente para a temperatura e para a densidade, satisfazer com algum rigor a equação de estado. Então, para plumas realmente muito quentes, em que Θ* iguala ou mesmo ultrapassa Θa , convém admitir

( )( )

( )222

222

222 exp

exp

exp br

br

br a

aa

a

aaaa λ

λρρλ

ρρρρ−Θ+Θ

−Θ−=

−Θ+ΘΘ

=⇒Θ=Θ ∗

∗

∗ (IV.2.1)

Como se vê, neste caso, o termo que corresponde à perturbação introduzida pela pluma tem um aspecto um pouco mais complexo, particularmente não é separável num factor dependente apenas de s e noutro com dependência em r. O denominador da fracção contida em (IV.2.1) vai causar problemas aquando do processo de integração, pois torna o integral de, por exemplo, ρvs , não calculável analiticamente, a não ser no caso particular λ = 1. Nos modelos integrais, interessa resolver equações diferenciais ordinárias que resultam da integração das equações fundamentais na secção circular da pluma, por isso não convém encontrar integrais não analíticos. Portanto, embora isto constitua uma ligeira deturpação do modelo de Schatzmann, é-se obrigado a admitir λ = 1. Esta aproximação não é, apesar de tudo, muito grave, visto que o valor prescrito por Schatzmann é próximo de 1 (λ = 1 16. ), e existem vários autores (Morton et al.,1956, Shestopal e Grubits,1993) que igualam este parâmetro exactamente à unidade. Uma vez que a definição da densidade média (IV.2.1) contém em si a equação de estado, esta não vai pertencer ao novo sistema de equações e, nesse sistema, vai deixar de aparecer a variável ρ∗. A equação de conservação da massa toma então a forma

Rvds

dURuUb

ds

dea

aa

a

aaaa ρρθθρ 2coslogcos 22 =+ Θ+Θ

Θ ΘΘ

− ∗∗

∗ (IV.2.2)

A equação do balanço do momento linear segundo s passa a ser

∗∗∗

∗∗

∗∗

∗ Θ+ΘΘ

−= Θ+ΘΘ Θ

Θ−

ΘΘ

−ΘΘ

a

aa

a

aaa

aa

aa gbuUubub

ds

dlogsinlogcos 2222 θρθρρ (IV.2.3)

A equação de conservação da massa de poluente (ou da energia, desde que se substitua qca por Θa e qc

* por Θ∗) torna-se

= Θ+ΘΘ Θ

Θ−

ΘΘ

−ΘΘ

∗∗

∗∗∗

∗a

aaac

aac

aa uUqbuqb

ds

dlogcos*2*2 θρρ

Θ+ΘΘ Θ

Θ−+−= ∗

∗∗

a

aaaaaa

ca uUbURds

dqlogcoscos 22 θρθρ (IV.2.4)

e por fim, a equação de θ é

22222

22

logcos

sinsinsinlogcos

e

a

aaa

aa

ad

ae

a

a

vRuUubub

RUc

URvgb

ds

d

−Θ+Θ

Θ ΘΘ

−ΘΘ

−ΘΘ

++Θ+Θ

Θ

−=

∗∗

∗∗

∗∗

∗

∗

θ

θθπ

θθθ

(IV.2.5)

O sistema de equações de Schatzmann, para λ = 1, e usando a equação de estado não corrigida

ρ ρ**

= − aa

ΘΘ

pode ser facilmente obtido como um caso particular do sistema (IV.2.2)-(IV.2.5). Basta introduzir neste sistema o desenvolvimento de Taylor, em torno de Θ Θ*

a = 0 de

4*3*2**

*O

3

1

2

11loglog Θ

Θ+ ΘΘ− Θ

Θ+ΘΘ−= Θ

Θ+−=Θ+Θ

Θ ∗

aaaaaa

a (IV.2.6)

e, nas equações, desprezar os termos de ordem superior a 1. Assim se verifica que o sistema de Schatzmann, embora pretenda ser aplicável a situações para as quais a aproximação de Boussinesq não o é, constitui ainda uma aproximação para temperaturas relativamente baixas. É claro que o preço a pagar por uma modelação mais rigorosa da distribuição da densidade é ser-se forçado a admitir uma largura igual para as gaussianas da velocidade longitudinal e da temperatura. Por outro lado, nada garante que a perturbação na pressão média não se torne, a temperaturas altas, não desprezável.

0 50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

0 50 100 150 200 250 300

0

50

100

150

200

Θj*=707.5K

Θj*=141.5K

Θj*=28.3K

Z(m

)

Eq. estado (II.3.2) Eq. estado (IV.2.1) e λ=1 Eq. estado (II.3.2) e λ=1

X(m)

Figura 25 - Trajectória de uma pluma nas condições Θa = 283K, Ua = 1ms-1 , d dzaΘ = 0 015. Km-1,

Dj = 1 5. m, θ j = 90º , u j* .= 14 5ms-1, z0 0= , para diferentes excessos de temperatura iniciais.

Pode verificar-se que a admissão de um λ igual à unidade se torna uma aproximação tanto mais forte quanto mais quente for a pluma. Esta aproximação contribui sempre para diminuir a altura prevista, porque, quanto menor for λ , maior será a difusividade do momento linear relativamente ao calor, resultando daí uma dispersão mais rápida do momento linear, que se traduz num decaimento também mais rápido do excesso de velocidade. A comparação das curvas referentes à teoria de Schatzmann com λ = 1 16. e λ = 1 ilustram bem este aspecto. Para comparar as performances da equação de estado usada no modelo de Schatzmann e da equação exacta (IV.2.1), só faz sentido comparar o comportamento das curvas a tracejado e a tracejado-ponteado, pois em ambas é admitido λ = 1. As diferenças entre estas curvas são quase insignificantes para Θ j

* .= 28 3K ou Θ j* .= 141 5K, mas já

apreciáveis para o excesso de temperatura elevado Θ j* .= 707 5K . Relativamente à equação de estado

exacta, a equação aproximada tende a prever, para esta temperatura, uma altura máxima maior. Isto é explicável da seguinte forma: a equação exacta (IV.2.1) pode ser expressa como

ρ ρ ρ− = −+a a

a r b

1

1 2 2Θ Θ* exp( )

ao passo que a equação aproximada é

ρ ρ ρ− = −+a a

a r b

1

1 2 2( ) exp( )*Θ Θ

Torna-se evidente que a densidade dada pela primeira equação difere mais da densidade ambiental do que a que se obtém usando a segunda, daí se concluindo que a pluma sobe mais usando a equação aproximada por possuir inércia acrescida. De notar, também, é o aspecto de a função de entrainment se poder revelar, para estas temperaturas, pouco adequada. Já foi dito que, ao deduzir esta função, se teve que admitir a aproximação de Boussinesq. Ora se, para temperaturas da ordem de 141.5K, ainda faz algum sentido utilizar uma tal aproximação, para uma temperatura de 707.5K a definição do entrainment tal como foi estabelecida fica provavelmente sujeita a um erro demasiadamente grande. 3. A Introdução de Radiação Ao tentar introduzir o efeito da radiação no sistema de equações de Schatzmann vai-se, em certa medida, prosseguir o caminho começado na alínea anterior. Com efeito, devido à forma da lei de Stefan-Boltzmann, em que o fluxo radiativo surge como proporcional à quarta potência da temperatura, não é difícil compreender que, se o arrefecimento radiativo de uma pluma é insignificante a baixas temperaturas, ele poderá ser relevante para temperaturas muito altas. Assim, o que se vai fazer é, utilizando o sistema de equações anterior, introduzir um termo adicional que leve em conta a radiação. Seguir-se-á, para este efeito, as sugestões expostas no artigo de Shestopal e Grubits (1993), cujo modelo integral se aplica às plumas geradas por pequenos fogos, situações, portanto, em que as temperaturas da parte inicial da coluna de fumo podem atingir valores superiores ou próximos de 1000°C. É bom ter presente que estes autores tratam o caso de uma pluma num ambiente sem vento, pelo que a simetria axial que consideram é, até certo ponto, mais justificável. Eles admitem que a pluma emite radiação essencialmente na direcção radial, e da mesma maneira independentemente da direcção. Sendo K(s,r) um coeficiente de emissão ou absorção, proporcional à densidade de poluente e E(s,r) a energia transportada radialmente por unidade de tempo e por unidade de comprimento da pluma (em W/m), admitem os autores que uma fatia em forma de anel de espessura dr obedece à seguinte equação: dE EKdr T rKdr= − + σ π4 2 (IV.3.1) Isto quer dizer que a variação, com r, da energia radiada para fora da pluma é devida por um lado, à contribuição positiva dada pela radiação da própria camada e, por outro, à contribuição negativa constituida pela absorção, pela camada, da energia radiada do interior. Na equação (IV.3.1), σ é a constante de Stefan-Boltzmann. Pode ver-se facilmente que o coeficiente de absorção K tem dimensões de inverso de comprimento. Contrariamente a Shestopal e Grubits, que admitem a proporcionalidade deste coeficiente apenas relativamente à concentração de poluente, considera-se aqui que ele é também proporcional à densidade do ar atmosférico K k q kc= +1 2ρ ρ onde k1 e k2 são constantes de proporcionalidade. O coeficiente de absorção obedece muito aproximadamente a uma distribuição gaussiana, de largura igual às restantes, mas o ambiente pode não ser totalmente transparente à radiação, seja devido ao efeito do ar atmosférico exterior (que existe sempre) ou a uma eventual concentração de poluente não nula no ambiente. Este é outro aspecto que não é contemplado no modelo de S. e G.

( )22* exp)()(),( brsKsKrsK a −+= (IV.3.2)

A temperatura que aparece em (IV.3.1) é a absoluta, mas ela pode ser relacionada com a potencial, utilizada no modelo de Schatzmann, da forma que se indicou no capítulo II:

( )[ ]22

00

exp brp

p

p

pT a

c

R

c

R

p

a

p

a

−Θ+Θ=Θ= ∗ (IV.3.3)

Depois de introduzidas as definições (IV.3.2) e (IV.3.3) em (IV.3.1), obtém-se, ao fim de alguns cálculos, a equação adimensional

( )[ ] ( )[ ]( ) ηηηψηξ dEbK

dE ∗∗

−−+−+=422

*exp1exp (IV.3.4)

onde

η =r

b ψ =

∗ΘΘa

ξ =K

Ka* E

E

b p pa

R ca p

∗ =2 4

0

4π σΘ ( )

Esta equação diferencial pode ser resolvida prontamente para o caso homogéneo, e depois, pelo método de variação das constantes, para o caso geral. A solução geral, em que é necessária a condição fronteira E∗ = =( )η 0 0, é a seguinte:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ⋅−+ ′′−+−+= ∫ ∫∗ xdxxxdxbKxbKbKEx

42

0 0

2*2** exp1expexpexp),,( ψξξηη

( )[ ] −+−⋅ ∫η

ξ0

2* expexp dxxbK (IV.3.5)

Mas, uma vez que se quer considerar a energia radiada por toda a pluma, o que interessa calcular é a expressão anterior para o caso η = =R b 2 , que corresponde à fronteira da pluma.

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ⋅−+ ′′−+−+= ∫ ∫ xdxxxdxbKxbKbKEx

r

422

0 0

2*2*** exp1expexpexp),( ψξξ

( )[ ] = −+−⋅ ∫20

2* expexp dxxbK ξ

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] dxxxdxbKxxbKx

422

0

22*2* exp1expexpexp −+ ′′−+−−+= ∫ ∫ ψξξ (IV.3.6)

A radiação que se acabou de mencionar não é a única que entra em jogo, pois o ambiente também radia para a pluma. Para simular este efeito, Shestopal e Grubits admitem a existência de um corpo negro de temperatura Ta em r =∞. Na presente situação, isto não pode ser assim, pois a existência de um coeficiente de absorção não nulo no ambiente implicaria que a radiação proveniente de infinito se anulasse. Então, o "corpo negro" posiciona-se, em vez disso, à distância do centro da pluma correspondente ao seu raio R. Designe-se o fluxo radiativo proveniente do ambiente por Fext . No sistema de coordenadas que se tem vindo a utilizar, este fluxo obedece a dF F Kdrext ext= (IV.3.7) ou seja, à medida que se penetra no interior da pluma (i.e. à medida que r diminui) o fluxo diminui também de intensidade, por a energia ir sendo absorvida pelo material que a constitui. Após se ter introduzido a condição fronteira F r R Text a( )= = σ 4 , que já foi acima justificada, a

equação (IV.3.7) pode ser integrada entre r e 2b, resultando

( )[ ] −+−Θ= ∫2 2*

4

0

4 expexp)(η

ξση dxxbKp

pF

p

a

c

R

aext (IV.3.8)

Para calcular a energia exterior absorvida em toda a pluma por unidade de comprimento, tem ainda que se integrar este fluxo para todas as direcções, multiplicá-lo pelo coeficiente de absorção e finalmente integrar em r desde 0 até R, o que dá, depois de se introduzir a definição de K,

∫ Θ==R

a

c

R

aexta bKEp

pbdrrKFE

p

a

0

**

4

0

4 ),(22 σππ (IV.3.9)

onde

( )[ ] ( )[ ] dxxdxbKxxbKbKEx

a ∫ ∫ ′′−+−−+=2

0

22*2*** expexpexp),( ξξ

A energia total que se escapa da pluma é, então, em W/m

),(2 *

4

0

4 bKEp

pbE t

c

R

at

p

a

∗Θ= σπ (IV.3.10)

onde

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )dxxxdxbKxxbKEEEx

art 1exp1expexpexp42

2

0

22*2** −−+ ′′−+−−+=−= ∫ ∫∗∗ ψξξ

(IV.3.11) A única expressão no integral acima indicado que pode tomar valores negativos é a que se encontra dentro de parêntesis, à direita. Quando ψ > 0, o que corresponde a uma pluma mais quente do que o meio ambiente, a energia perdida adimensional, dada por (IV.3.11), torna-se positiva. Quando, pelo contrário, ψ < 0, a pluma correspondente é fria relativamente ao ambiente e Et

* torna-se negativo, traduzindo absorção de energia exterior. Este comportamento é perfeitamente lógico. Quando se passa a considerar a possibilidade de existência de radiação, a única equação que sofre alterações formais é a de balanço da energia que, ao invés de ter que simular apenas a advecção e o arrefecimento adiabático, tem também que conter um termo adicional representando este efeito:

Rcdt

d

p

r⋅∇−=Θ 1ρ (IV.3.12)

Na nova equação de balanço (IV.3.12),

rR representa o fluxo radiativo. O membro da esquerda desta

equação já foi integrado anteriormente para o caso sem radiação, por isso só falta integrar o da direita.

S. e G. consideram que o fluxo radiativo é axialmente simétrico ( ),( rsRRrr

= ) e tem componente apenas segundo r. Então, se se multiplicar por (1-k) a divergência do fluxo radiativo e se integrar na secção da pluma obtém-se

t

R

r

R

rr

R

EdrrRr

ddrkRrRr

kddrrkR ∫∫ ∫∫ ∫ == −−=−⋅∇0

2

0 0

2

0 0

)(2)()1()1(∂∂πϕ

∂∂ϕ

ππ r (IV.3.13)

Portanto, o termo adicional a introduzir no membro da direita da equação da energia térmica é

( ) tp Ecπ1− , tomando esta a forma final

= Θ+ΘΘ Θ

Θ−Θ−Θ ∗

∗∗

∗

a

aaaaaaa uUbub

ds

dlogcos22 θρρ

∗∗

∗∗ Θ

− Θ+ΘΘ Θ

Θ−+ Θ

−= t

c

R

p

a

a

aaaaaa

a Ep

p

c

buUbUR

ds

d p

a4

0

422 2

logcoscosσθρθρ (IV.3.14)

3a. O Efeito da Turbulência na Radiação Deve salientar-se que, na dedução da alínea anterior, tendo sido seguido um raciocínio análogo ao de S. e G., não houve a preocupação de decompor os fluxos radiativos em médias e perturbações, embora o efeito da turbulência deva ser relevante, devido à extrema não linearidade da lei de Stefan. A maneira como os fluxos são obtidos por integração em r inviabiliza, contudo, qualquer consideração de perturbações ao estado médio em T ou K, uma vez que a resolução de (IV.3.4) ou (IV.3.7) implicaria o conhecimento da forma destas perturbações no interior da pluma. Como não se dispõe destes dados, resta notar que, para temperaturas suficientemente altas, o fluxo radiativo adicional induzido pela turbulência poderia facilmente tornar-se comparável ou superior ao fluxo provocado pelos campos médios. Por exemplo: para um corpo negro com as características T =900ºC e ′ =T 300ºC, o fluxo

radiativo correspondente ao estado médio é ( )=TR 37.2kW, mas ( )=′+ TTR 117.6kW e

( )=′− TTR 7.3kW, sendo óbvio que a contribuição dada pela temperatura mais elevada é dominante. Para concretizar um pouco melhor, admita-se, por exemplo, um caso em que a perturbação turbulenta da temperatura obedece a uma função densidade de probabilidade também ela de tipo gaussiano:

′−=′

2

2

2exp

2

1)(

TT

TTf

σσπ (IV.3a.1)

A média de qualquer campo A T( )′ passará a definir-se por

TdT

TAATT

′ ′−′= ∫+∞

∞−2

2

2exp)(

2

1

σσπ (IV.3a.2)

onde σT é o desvio padrão para o campo da temperatura. Notando que a intensidade do fluxo radiativo é dada, para um corpo negro, por R T= σ 4, o seu valor médio surge com a seguinte forma:

( ) ′+′+′+′+=′+= 4322344464 TTTTTTTTTTR σσ (IV.3a.3)

que, utilizando a definição (IV.3a.2) e efectuando alguns cálculos, se pode exprimir como ( )4224 36 TTTTR σσσ ++= (IV.3a.4)

Mas, o que de facto se tem vindo a utilizar é simplesmente 4~TR σ= . Para verificar qual o erro em que

se incorre ao desprezar os dois últimos termos de (IV.3a.4), para o tipo de turbulência prescrita, pode-se calcular o erro relativo ε :

4

4

2

2

36~

~

TTR

RR TT σσε +=−= (IV.3a.5)

Para um caso relativamente semelhante ao de há pouco, com T =900K e σT =300K, a fórmula (IV.3a.5) permite concluir que ε ≈ 70%, indicando que a radiação adicional devida à existência de perturbações em torno do estado médio é comparável, em grandeza, à radiação apenas devida ao campo médio. Este é um raciocínio bastante simplificado, mas faz compreender a importância de um problema que raras vezes é mencionado, talvez por se considerar a teoria do entrainment algo de tão adquirido que a existência de turbulência dentro da pluma acaba por ser esquecida.

3b. O Cálculo dos Integrais Os integrais que aparecem na definição (IV.3.11) da energia radiada adimensional não são analíticos. Consequentemente, como, para cada passo de integração é necessário avaliar esta energia, impõe-se o uso de métodos numéricos. Em (IV.3.11), o integral interior pode exprimir-se como uma soma de duas funções de erro (erf) multiplicada por π 2 . Existem algoritmos próprios para avaliar estas funções, por isso, neste cálculo utilizou-se um deles, fornecido sob a forma de uma subrotina em FORTRAN contida em Press et al. (1992) O integral externo é mais complexo e por isso exige um método mais geral. Utilizou-se para a sua determinação uma subrotina da mesma proveniência, que implementa o método de integração de Gauss-Legendre. Neste método, o integral pode ser calculado aproximadamente (ou mesmo exactamente, em certos casos) através da sua substituição por um somatório em que cada parcela é a função integranda avaliada num ponto, a multiplicar por um coeficiente apropriado. Os pontos em que a função integranda é avaliada e o valor dos coeficientes são determinados de forma a minimizar o erro. O integral exterior de (IV.3.11) está definido entre zero e 2 , tendo limites finitos, portanto encontra-se numa forma apropriada para a subrotina que implementa o método numérico. Os dados de entrada desta subrotina são, para além dos limites de integração, o número de pontos a considerar. No cálculo em questão, consideraram-se 100 pontos, o que pareceu garantir um erro inferior a uma parte por milhão, mas, apesar disso, não tornou demasiado lenta a execução do programa principal. 3c. Alguns Testes Para as condições mais vulgarmente admitidas até agora, o efeito da radiação parece ser quase negligível, conforme se mostra na fig. 26. Contudo, o facto de S. e G. o incluirem no seu modelo sugere que este processo deve ser, pelo menos por vezes, relevante.

0 40 80 120 160 2000

40

80

120

1600 40 80 120 160 200

0

40

80

120

160

Z(m

)

Com radiação Sem radiação

X(m)

Figura 26 - Subida de uma pluma, nas mesmas condições da fig. 25, com e sem radiação, para o

excesso de temperatura inicial K5.707=Θ j . O coeficiente de absorção do ambiente foi admitido

Ka = 0 3. m-1 e o excesso inicial no centro da pluma -1* m3=jK

Na medida em que os cálculos envolvidos na dedução do sistema com radiação são algo complicados, é de toda a utilidade expor um raciocínio mais simples, que permita avaliar, em primeira aproximação, aquilo que é de esperar do arrefecimento radiativo. Considere-se um volume material que corresponde a uma fatia de uma dada pluma, contendo uma massa m de ar. Admitindo que a entalpia dentro desse volume só é modificada pela entrada de ar e sem entrar em conta com variações da temperatura ambiente ou da pressão, tem-se

( )dt

dmTmT

dt

da=

onde o segundo membro traduz a entrada de entalpia a partir do ambiente, pelo processo de entrainment. Esta equação comanda o decréscimo da temperatura da pluma apenas devido à mistura e pode ser expressa da forma alternativa

( )

dt

dm

m

TT

dt

dT a

ent

−−= (IV.3c.1)

Por outro lado, se se admitir que a pluma emite como um corpo negro, a perda de energia devida à radiação pode exprimir-se como

c mdT

dtT Rlp = −σ π4 2

em que R é o raio da pluma e l é a espessura da fatia em questão, ou alternativamente

mc

RlT

dt

dT

prad

πσ 24

−= (IV.3c.2)

Fazendo o quociente das duas expressões (IV.3c.2) e (IV.3c.1), obtém-se uma estimativa grosseira da razão das importâncias dos decréscimos de temperatura na pluma provocados por um e outro processo:

( )( ) ( ) dtdmTTc

RlT

dtdT

dtdT

apent

rad

−=

πσ 2=RSM

4

(IV.3c.3)

Esta fórmula é utilizável no modelo com radiação que se desenvolveu, bastando substituir T pela temperatura média da pluma, utilizar o valor de R usual e substituir a expressão ( )1 l dm dt pelo fluxo de massa por unidade de comprimento a que já se fez referência aquando do estudo do entrainment, e que consiste na soma das expressões (III.6.1), (III.6.2) e (III.6.3). Nas condições da fig. 26, a partir do momento em que T iguala pela primeira vez Ta , o excesso de temperatura não volta nunca a exceder um grau e é alternadamente positivo e negativo, pelo que já não tem interesse comparar a importância da radiação e da mistura a partir desse momento. Interessa sim, estudar o comportamento da expressão (IV.3c.3) desde a fonte até ao ponto em que o referido excesso se anula (no presente caso aproximadamente x=76.5m). O seguinte gráfico ilustra precisamente isto.

0 10 20 30 40 50 60 700.01

0.1

1

10

100

10000 10 20 30 40 50 60 70

RSM

RSM

X(m)

0.01

0.1

1

10

100

1000

T(K)

T-Ta

Figura 27 - A evolução da razão entre o arrefecimento radiativo e o "arrefecimento" por mistura, e do excesso de temperatura da pluma, até ao ponto em que este último se anula pela primeira vez, para as

condições da fig. 26. Olhando para a fig.27, é evidente que quando o excesso de temperatura da pluma é superior a 100K, o arrefecimento radiativo, segundo (IV.3c.3), é sempre da ordem de 1% do "arrefecimento" por mistura. Quando o excesso de temperatura atinge 10K, esta percentagem já é aproximadamente 10%, mas convém lembrar que o arrefecimento nesta fase é muito mais lento. Quando a razão entre os dois tipos de arrefecimento iguala 1, o excesso de temperatura da pluma atinge valores inferiores a 2K. Quando o arrefecimento radiativo é responsável por um decréscimo da temperatura 10 vezes superior ao correspondente à mistura, o excesso de temperatura reduziu-se já a cerca de 0.2K, o que torna a radiação, apesar disso, muito pouco relevante. Vê-se assim, por um raciocínio bastante simplificado, que no modelo de Schatzmann, o entrainment tende a ser esmagadoramente predominante sobre a radiação, pelo menos para as condições admitidas. De facto, é ainda mais prevalecente do que a fig. 27 indica, pois na dedução da fórmula (IV.3c.3) considerou-se que a pluma emite como um corpo negro, e esta hipótese sobrestima a radiação. Embora o próprio ar ambiente possa ter uma emissividade não desprezável, o factor predominante na emissão radiativa de uma pluma é o próprio poluente que a constitui, e como esse poluente se dilui com relativa rapidez, o exagero que se comete ao admitir que a pluma é um corpo negro é tanto maior quanto maior for a distância à fonte. A equação (IV.3c.3) sugere caminhos para fazer sobressair mais a radiação do que no exemplo da fig.26. O mais evidente é simplesmente aumentar a temperatura da pluma. Mas aumentando o raio ou diminuindo-lhe a entrada de ar exterior, deve conseguir-se um efeito análogo. Para diminuir a entrada de ar exterior, pelo menos na fase inicial, pode-se optar por impor um excesso de velocidade inicial mais pequeno, pois o entrainment é proporcional a este excesso.

0 40 80 120 160 2000

60

120

180

240

300

360

4200 40 80 120 160 200

0

60

120

180

240

300

360

420Z(

m)

Com radiação Sem radiação

X(m)

Figura 28 - Subida da pluma com e sem radiação para as condições de diâmetro inicial m10=jD , para

o excesso de velocidade inicial -1* ms3=ju , K1000* =Θ j , Ka = 0 2. m-1 e -1* m5.0=jK . As restantes

condições são idênticas às da fig.26. A figura 28 mostra que a radiação, com um razoável aumento do raio da pluma, diminuição do excesso de velocidade, e aumento do excesso de temperatura se torna mais importante, mas para obter este gráfico foi necessário utilizar coeficientes de absorção que maximizassem as perdas radiativas, para não falar no excesso de temperatura, que é muito elevado. As perdas radiativas não deixam, portanto, de ter uma importância relativamente pequena excepto em casos bem escolhidos. Isto acontece em parte porque, uma pluma muito quente, mesmo tendo uma pequena velocidade inicial, rapidamente ganha velocidade, devido à impulsão, e essa velocidade elevada favorece o entrainment. Por outro lado, sendo o raio consideravelmente grande, devido a esta aceleração inicial, ele torna-se mais pequeno (ver fig.29), portanto cai-se, de certa forma, no caso anterior (a diminuição do raio é um fenómeno também previsto pelo modelo de S. e G.).

0.0 0.5 1.0 1.5 2.02

3

4

5

6

7

8

90.0 0.5 1.0 1.5 2.0

2

3

4

5

6

7

8

9Z(

m)

Com radiação Sem radiação

X(m)

Figura 29 - A evolução do raio das plumas na fase inicial, para as condições da fig.28

Tal como foi aflorado na alínea anterior, a causa da pouca relevância do arrefecimento radiativo pode estar numa má formulação da velocidade de entrainment, visto que esta foi deduzida para a aproximação de Boussinesq. Tudo leva a crer que o entrainment surja como excessivo, em certas circunstâncias. A anulação do denominador da equação de θ é um argumento em favor desta ideia e a função de entrainment de Shestopal e Grubits, que se reproduz a seguir, é outro

( ) 21ae wCv ρρ= (IV.3c.4)

pois nesta definição, ve torna-se mais pequeno quando a temperatura da pluma é muito alta. 4. A Introdução de Água Pode ter interesse, para a modelação de emissões de gases de temperatura e humidade elevada, entrar em conta com os efeitos que a água, nas fases líquida e gasosa, provoca no comportamento duma pluma com impulsão. Esses efeitos, é sabido, são de dois tipos: por um lado, o vapor de água, sendo mais leve do que o ar seco, aumenta a impulsão do ar húmido, ao passo que a água líquida tende a diminui-la, por ser bastante mais pesada do que o ar seco. Por outro lado, as transições de fase podem ser vistas como constituindo fontes ou sumidouros de calor. A condensação liberta calor, que aquece a zona onde se dá, ao passo que a evaporação tem consequências opostas, porque é um processo que absorve calor. Schatzmann (1984) tratou previamente este tema, através de uma generalização do seu sistema para plumas de dispersão libertadas por torres de arrefecimento. Admitiu, no seu tratamento, a aproximação de Boussinesq, o que parece ser perfeitamente razoável, visto que o excesso de temperatura associado a uma pluma de torre de arrefecimento dificilmente ultrapassará os 30ºC. Embora a existência de humidade faça com que a correspondente temperatura virtual seja ligeiramente superior, a perturbação na densidade nunca deixa de ser suficientemente pequena para ser válida esta aproximação. Schatzmann incluiu também, no novo modelo, um efeito chamado downwash, seguindo as sugestões de Carhart et al. (1982). Este efeito é provocado pela existência, a jusante de torres cuja dimensão é considerável (como é o caso das torres de arrefecimento), de uma zona turbulenta em que existe um deficit de pressão. Este deficit, por um lado, modera, em certa medida, a subida da pluma, e

por outro, está associado a turbulência que aumenta o entrainment. A forma como o autor simula o deficit de pressão, a jusante da pluma, é aumentando o coeficiente de drag cd , juntando-lhe um cdw apropriadamente definido. O aumento de entrainment é levado a cabo multiplicando a expressão respectiva sem downwash por um factor ( .1 1 2+ cdw ). Para descrever a quantidade de água que existe nos estados líquido e gasoso, precisa-se de duas variáveis adicionais, por exemplo, a fracção de massa de água total e a humidade específica. Estas duas variáveis vão entrar na nova equação de estado que é preciso estabelecer, pois têm, como se disse, efeitos na densidade. Mas são necessárias igualmente duas novas equações para caracterizar a sua evolução. A água total é tratada frequentemente como um traçador (Schatzmann, 1984, Carhart e Policastro, 1991), isto é, uma substância cuja massa, tal como a de um poluente, segue o movimento. A equação a que a fracção de massa de água total qt obedece é, então, formalmente idêntica à da conservação da massa de poluente ou da energia.

dq

dtt = 0 (IV.4.1)

Seguidamente põe-se a hipótese de que, se num dado ponto existir alguma água líquida, o ar nesse ponto esteja saturado, isto é: quando a tensão de vapor for inferior à tensão de saturação, a fracção de massa de água total será igual à humidade específica e a fracção de massa de água líquida, nula, e quando a fracção de massa de água total for superior à humidade específica de saturação, a humidade específica será igual à humidade específica de saturação e a fracção de massa de água líquida igualará a fracção de massa de água total menos a humidade específica. Matematicamente, isto toma a forma: q qv t= e qw = 0 se q qt s< q qv s= e q q qw t v= − se q qt s> onde qv é a humidade específica, qt a fracção de massa de água total, qw a fracção de massa de água líquida e qs a humidade específica de saturação. Como qv é relacionado umas vezes com qt e outras com qs , o que faz falta é apenas uma equação que dê a evolução de qs . Não se dispõe de tal directamente, mas como qs é uma função da pressão e da temperatura e se sabe como evoluem estas duas variáveis, é possível fechar o sistema de equações adequadamente. A equação que permite relacionar qs com p e T é a equação de Clapeyron-Clausius integrada, que assume a forma de uma nova equação de estado. A equação dos gases ideais toma, no presente caso, a forma modificada (Stull,1988) ( )wva qqTRp −+= 61.01ρ (IV.4.2)

onde se leva em consideração, não só o vapor, mas também a água líquida. A equação de Clapeyron-Clausius tem o aspecto

de

dT

L e

R Ts v s

v

=2 (IV.4.3)

onde es é a tensão de saturação do vapor de água, Lv é o calor latente de vaporização da água e Rv é a constante dos gases ideais para o vapor de água. qs pode ser relacionado rigorosamente com es da seguinte maneira

( ) peRR

pe

R

Rq

sva

s

v

as −−

=11

(IV.4.4)

É na equação de balanço da energia térmica que se vai reflectir a possibilidade de transições de fase. Esta passa a escrever-se (Holton, 1992)

cT d

dtL

dq

dtp vv

ΘΘ

= − (IV.4.5)

e pode ser expressa numa outra forma, se se admitir que o calor específico e o calor latente do ar são constantes, e que a razão entre temperaturas absoluta e potencial é muito próxima da unidade (o que não se afasta muito da verdade, para os movimentos de pequena escala que se têm em vista)

( ) 0=+Θ vvp qLcdt

d (IV.4.6)

(IV.4.6) exprime o facto de a propriedade dentro de parêntesis ser conservativa. Quando não há saturação, o mesmo é dizer, não há água líquida, a equação da energia toma a forma usual, em que a temperatura potencial é conservativa, pois o vapor, sendo toda a água que existe, conserva-se, e o membro da direita de (IV.4.5) é nulo. Quando, pelo contrário, há saturação, a equação passa a ler-se

cd

dtL

dq

dtp vsΘ

= − (IV.4.7)

Há que integrar (IV.4.6) na secção da pluma. Esta equação pode ser expressa como

( )[ ] ( )[ ] 0=+Θ⋅∇++Θ vqLcqLct

vvpvvp

rρρ∂∂

(IV.4.8)

Decompondo Θ , qv e v

r em componentes médias e turbulentas, atendendo à estacionaridade,

adoptando o perfil da velocidade média prescrito por Schatzmann e integrando em ϕ , obtém-se

( )[ ] ( ) + ++Θ++Θds

drUvqLcr

rrvqLc

sadvvpsvvp

θθρ∂∂ρ

∂∂

sin2

11

( )[ ] ( )[ ] 01

=′′+′Θ′+′′+′Θ′ rvvrpsvvsp vqLvcrrr

vqLvcs

ρ∂∂ρ

∂∂

(IV.4.9)

Mas os fluxos turbulentos longitudinais são desprezados, portanto o penúltimo termo desaparece. Ao integrar em r o primeiro termo, põem-se problemas, devido à definição de qv . qv é, como já se referiu, igual a qt nas zonas subsaturadas e igual a qs nas zonas saturadas. Ora é evidente por (IV.4.4) e pela forma integrada de (IV.4.3), que qs é uma função relativamente complexa de T, (logo, também de Θ ), tornando-se, para uma distribuição gaussiana de temperatura, uma função complicada de r. O integral do primeiro termo de (IV.4.9) torna-se por isso, em rigor, não analítico. A maneira como Schatzmann resolve este problema não é claramente explicada no artigo de 1984, mas sabe-se qs é desenvolvido em série de Taylor em torno de Θ Θ= a . A dependência de tipo exponencial que qs tem em T sugere que, mesmo para plumas pouco quentes, deve ser necessário ir para além da 1ª ordem neste desenvolvimento para se obter uma estimativa razoável. No entanto, se se fizer um desenvolvimento por exemplo até à segunda ordem,

( ) ( )2

2

2

),(2

1),(),(),( aa

saa

sass p

qp

qpqpq Θ−Θ⋅Θ

Θ+Θ−Θ⋅Θ

Θ+Θ≈Θ

∂∂

∂∂

(IV.4.10)

ao calcular o valor médio de qs , aparece o termo

( ) ( )( ) ( ) 2222222222 2expexp Θ′+−Θ=Θ′+−Θ=Θ−Θ ∗∗ brbra λλ (IV.4.11) que contém uma variância da temperatura. Como não se conhece a expressão analítica desta variância, devido a ser desconhecida a forma da turbulência dentro da pluma, a única possibilidade que resta é desprezá-la, ou então limitar-se o desenvolvimento à 1ª ordem. Nessa aproximação, qs é, a menos de uma constante aditiva, proporcional a ( )Θ Θ− a e pode ser expresso, em média, como

( )222exp brqqq ssas λ−+= ∗ (IV.4.12)

onde q q psa s a= ( , )Θ é a humidade específica de saturação no ambiente e qs

* é o excesso correspondente no centro da pluma. Mas o desenvolvimento de Taylor, seja até que ordem for considerado, só dá o valor exacto da função qs num único ponto: Θ Θ= a . Isto causa, seguramente, uma grande discrepância entre a fórmula exacta e a aproximada para valores de Θ no centro da pluma, onde a diferença relativamente a Θa é máxima. Este é um problema de que o modelo de Schatzmann padece, mas que é possível superar, mesmo adoptando para qs uma dependência em Θ apenas linear. Continuando a considerar válida a definição (IV.4.12), pode, todavia, fazer-se uso do facto de uma recta poder ajustar até um máximo de 2 pontos para determinar uma forma de qs

* que obrigue (IV.4.12) a coincidir com a expressão exacta

tanto em Θ Θ= a como em Θ Θ Θ= + ∗a . Esta aproximação permite que o pico da função qs seja

avaliado de forma exacta, limitando o erro da definição à largura da respectiva curva. A forma adequada de qs

* para que se tenha este ajuste é

q q p qs s a sa* ( , )= + −∗Θ Θ (IV.4.13)

Visto que se decidiu tratar a água total como um traçador, é natural admitir para a sua distribuição espacial, um perfil semelhante ao de qualquer outro poluente:

( )222* exp brqqq ttat λ−+= (IV.4.14)

onde qta é a fracção de massa de água total no ambiente e qt

* é o correspondente excesso no centro da pluma.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.20.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

__

Rw/b

q/(q

ta+q

t* )

qt

qs

r/b

Figura 30 - Os perfis médios da água total e da humidade específica de saturação numa pluma com

água líquida É óbvio que, no ambiente, a ar vai estar sempre não saturado, pelo que se terá q qta sa< . Contudo, no interior da pluma, nomeadamente na sua zona central, o ar pode estar saturado ou não saturado. Devido à forma admitida para a distribuição de água total, (IV.4.14), e para a distribuição da humidade específica de saturação, (IV.4.12), só se poderá ter q qt s= para um único r, ou então para nenhum. Quer dizer: para uma distância ao centro que seja maior do que um determinado raio Rw , onde q qt s= , o ar não estará saturado e não existirá água líquida; dentro de um círculo com esse mesmo raio, o ar estará saturado e a água líquida terá que existir, por se verificar aí que q qt s> (ver fig.30). O raio da pluma húmida pode ser muito simplesmente determinado, usando (IV.4.12) e (IV.4.14).

R bq q

q qwt s

sa ta

=−−

λ log* *

(IV.4.15)

Sabe-se agora que quaisquer integrais em r contendo qv , têm que ser decompostos em duas partes: uma

com r entre 0 e Rw , em que qv é substituido por qs e outra, entre Rw e R ou ∞, onde, em vez de qv figura qt . A equação da energia a integrar era, relembre-se:

( )[ ] ( ) ( )[ ] 01

sin2

11=′′+′Θ′+ ++Θ++Θ rvvrpadvvpsvvp vqLvcr

rrds

drUvqLcr

rrvqLc

sρ

∂∂θθρ

∂∂ρ

∂∂

(IV.4.16) Mas consideram-se nulos os fluxos radiais turbulentos na fronteira da pluma, isto é ′ ′ =v RrΘ ( ) 0 e ′ ′ = ′ ′ =v q R v q Rr t r v( ) ( ) 0

Assim, o último termo de (IV.4.16), quando integrado em r, também se anula, ficando a equação apenas dependente das variáveis médias, aliás como já acontecia no caso seco. A integração do 2º termo é trivial, mas a do primeiro é bastante mais complexa. Depois de feitas as contas e utilizada a equação de conservação da massa, obtém-se

( ) + −−

−+ ++Θ

∗∗∗

tasa

sttasaavap

qq

qqqqUbLuUbc

ds

d *22

2

222 logcos

1cos θλ

λλθλ

( ) ( ) −−

−−+ −−

−−+

2

***2

****22 11cos

λ

θλst

tasatasa

st

tasatsa

qq

qqqqub

qq

qqqqUb

( ) + Θ−= −

−−−

++ ∗

+

uURds

dc

qq

qqqqub a

ap

st

tasats 2

1cos1

12

1

*****2

2

22

θλ

λλ

(IV.4.17)

Na dedução desta equação utilizou-se a aproximação de Boussinesq e substituiu-se Rw pela sua definição, dada por (IV.4.15). Relativamente ao caso seco, aparecem em (IV.4.17) as novas incógnitas qta , qt

* , qsa e qs* . A

primeira delas é um parâmetro imposto exteriormente, a segunda é uma variável cuja evolução é assegurada por uma outra equação (a da água total). A terceira é um parâmetro imposto exteriormente, mas que não é independente dos outros parâmetros, mais precisamente depende de Θa e p. A última é uma variável, que pode ser relacionada com Θ* , Θa e p, por forma a fechar o sistema.

Uma vez que q q T ps s= ( , ) e T T p= ( , )Θ , segue-se que q q ps s= ( , )Θ . As definições de qsa e qs* .,

podem-se modificar muito simplesmente, para que se possam utilizar temperaturas potenciais em vez de absolutas. Contudo, a simplificação de (IV.4.17) com vista a torná-la numa equação resolúvel numericamente implica também o conhecimento de dq dssa e dq dss

* , cuja definição será apresentada de seguida. Como a humidade específica de saturação é função apenas de Θ e p, tem-se que

s

p

p

q

s

q

s

q s

p

ss

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Θ+Θ Θ

= (IV.4.18)

Se se utilizar a equação de C.C. (IV.4.3), a definição (IV.4.4), e a definição de temperatura potencial, facilmente se conclui que

−+Θ= Θ s

a

v

k

v

sv

p

s qR

R

p

p

R

qLq110

2∂∂

(IV.4.19)

−+ −Θ= Θ

sa

v

k

v

vss qR

R

p

p

R

kL

p

q

p

q1110

∂∂

(IV.4.20)

onde k R ca p= . Então, decorre de (IV.4.18)

s

pq

R

R

p

p

R

kL

p

q

sq

R

R

p

p

R

qL

s

qs

a

v

k

v

vss

a

v

k

v

svs

∂∂

∂∂

∂∂ −+ −Θ

+Θ −+Θ

= 11111 002

(IV.4.21)

Atendendo ao facto de, para as hipóteses feitas, se ter

dp

dsga= −ρ θsin

substituindo as variáveis pelos seus valores ambientais, vem

−+ −Θ−

Θ −+Θ= sa

a

v

k

av

vsaa

asa

a

v

k

av

savsa qR

R

p

p

R

kL

p

qg

ds

dq

R

R

p

p

R

qL

ds

dq111sin11 00

2θρ

(IV.4.22) Por outro lado, a definição (IV.4.13) implica que

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) − + −+Θ+Θ

++

Θ + −+Θ+Θ

+= *0

2*

***0

2*

**

1111 ssaa

v

k

av

ssavssa

a

v

k

av

ssavs qqR

R

p

p

R

qqL

ds

dqq

R

R

p

p

R

qqL

ds

dq

( ) ⋅ −Θ+Θ+

−Θ −+Θ

− 1sin11 0*

*0

2

k

av

vssaa

asa

a

v

k

av

sav

p

p

R

kL

p

qqg

ds

dq

R

R

p

p

R

qL θρ

( ) −+ −Θ− + −+⋅ sa

a

v

k

av

vsassa

a

v qR

R

p

p

R

kL

p

qqq

R

R11111 0* (IV.4.23)

Basta adicionar a equação de estado ao sistema de Boussinesq tendo como equação da energia (IV.4.17) para que o sistema apropriado às plumas húmidas fique completo. A equação de estado (IV.4.2) pode ser expressa, para uma atmosfera cuja pressão só dependa de z, da seguinte maneira ( ) ( )∞∞∞∞ −+Θ=−+Θ wvwv qqqq 61.0161.01 ρρ (IV.4.24) Decompondo cada variável do membro da esquerda no seu valor ambiental x∞ mais um excesso ∆x , vem, rigorosamente

( )( ) ( )

∆Θ+Θ∆+−∆++

∆−∆Θ+∆Θ

−=∆∞

∞∞

∞

∞wwvv

wv

qqqq

qq

61.01

61.0

ρρ (IV.4.25)

∆Θ é relativamente pequeno, portanto pode ser desprezado no denominador. Por outro lado, admitindo que as fracções de massa de água líquida e de vapor são apreciavelmente inferiores à unidade, pode-se eliminá-las também, onde aparecem em denominador. A expressão aproximada de que se fará uso é

∆−∆+Θ∆Θ−=∆

∞∞ wv qq61.0ρρ (IV.4.26)

Aplicando a equação (IV.4.26) ao centro da pluma, como Schatzmann fez para o caso seco, ρ* surge como função dos excessos de temperatura, humidade e fracção de água líquida, de uma forma linear. A equação média utilizável é então

−+ΘΘ−= **

** 61.0 wv

aa qqρρ (IV.4.27)

4a. Comentários O uso de perfis gaussianos para as propriedades da pluma, embora não pareça ter grandes vantagens no caso seco, revela-se um aspecto importante quando é introduzida humidade. Hanna (1976) refere que um dos problemas de que padecem os modelos integrais mais simples é subestimarem o comprimento das plumas saturadas. Por outro lado, Carhart et al. (1982), na análise que apresentam de diversos modelos integrais, notam que os modelos em que se considera que as transições de fase ocorrem em toda a secção da pluma sobrestimam substancialmente os seus efeitos. Na realidade, numa atmosfera moderadamente húmida, a pluma de água líquida está limitada à zona central da pluma de temperatura, resultando a sua evolução da interacção extremamente sensível entre os máximos de temperatura e água total. Para uma mesma quantidade de água total, um modelo gaussiano prevê, facilmente, uma pluma de comprimento bastante maior do que um modelo com perfis constantes, porque o máximo da gaussiana pode ultrapassar a humidade específica de saturação, quando, utilizando os valores médios, a saturação pode ser atingida por muito menos tempo, ou nem o ser. No presente modelo, por exemplo

*)0,( ttat qqrsq +== *)0,( ssas qqrsq +==

mas *2 2)(ˆ ttat qqsq λ+= *2 2)(ˆ ssas qqsq λ+=

donde se deduz **)0()0( stsatast qqqqrqrq −+−==−=

( )**2 2ˆˆ stsatast qqqqqq −+−=− λ

em que o acento circunflexo denota a média na secção da pluma. Daqui decorre que, quando q qt s

* *> (condição necessária para que exista água líquida) se tenha

stst qqrqrq ˆˆ)0()0( −>=−= , o que implica uma maior probabilidade de existência de água líquida no caso do perfil gaussiano. Se, contrariamente, se utilizar uma quantidade tal de humidade que assegure uma previsão do comprimento correcta, é de esperar que os efeitos das transições de fase sejam sobrestimados, por se considerar que essas transições ocorrem em zonas onde, de facto, não ocorrem. As soluções adoptadas para solucionar estes problemas são de 2 tipos: ou o excesso de vapor de água no centro da pluma é aumentado, através de uma constante empírica chamada peak factor (Hanna, 1976, Davidson, 1989) ou a largura da distribuição de vapor de água é adequadamente diminuida, de forma a limitar a condensação à zona central da pluma. Orville et al. (1980) e Carhart e Policastro (1991), por exemplo adoptam o valor de 0.5 para a razão entre os raios da pluma húmida e da pluma térmica. Estes estratagemas são, todavia, extremamente artificiais, por isso, parece justificar-se o uso de perfis gaussianos. Um aspecto que pode levantar algumas dúvidas é o de não se ter considerado haver transições de fase excepto quando existe água líquida. De facto, quando há condensação numa zona previamente não saturada, é a própria condensação que produz a água líquida, não existindo esta antes de a transição de fase se dar. É, por exemplo, o que acontece quando uma pluma húmida se forma só um pouco depois de o efluente ser libertado, ou quando cresce a uma taxa superior àquela correspondente à sua própria dispersão turbulenta. O processo de condensação que se está a referir ocorre numa situação marginal que delimita os estados de existência e de inexistência de água líquida, portanto situa-se na fronteira da pluma húmida. O limite desta pluma é uma zona bidimensional, de medida nula, comparada com a pluma propriamente dita, tridimensional. Não admira, por isso, que o que se passa nessa zona seja irrelevante, como nota Hanna (1976) que, tendo usado um termo sugerido por Weinstein para levar em conta este efeito, o abandona depois, por considerá-lo insignificante. Existem 3 tipos de comportamento que uma pluma com humidade pode ter ao longo da sua dispersão: ou a humidade que contém não é suficiente para que se verifique condensação e a pluma nunca se chega a tornar visível, ou inicialmente não há água líquida, mas por arrefecimento e mistura dá-se a condensação e ela surge, evaporando-se posteriormente, ou então a água líquida existe inicialmente, mas acaba por evaporar-se, como de resto sempre acontece. A condensação, ao aquecer o ar da pluma, fá-la subir mais do que no caso seco, podendo dar-se a situação de, numa atmosfera cuja estratificação é ligeiramente estável, a pluma se comportar como numa atmosfera instável. Esta situação traduz o fenómeno da estabilidade condicional (Carhart et al., 1982). A evaporação, pelo contrário, ao arrefecer a pluma, força-a a descer, como é ilustrado em Scorer (1978), e isto pode ter consequências importantes, se para além da água, ela também contiver poluentes. 4b. O Modelo de Schatzmann para Torres de Arrefecimento Como se referiu no início da alínea 4, Schatzmann adopta, no seu modelo de dispersão húmida, algumas correcções, que levam em conta o efeito provocado pelas torres de arrefecimento no escoamento ambiente, chamado downwash. O autor define um novo coeficiente de drag da seguinte forma:

++×=

D

*

11

41lnconst

F

uUc ja

dw (IV.4b.1)

com const= 1 se Re∞ < ×2 105

const= 1 3 se Re∞ ≥ ×2 105 onde u j

* é o excesso de velocidade inicial da pluma, FD é o número de Froude densimétrico inicial,

definido por ( ) jajj gDuF ρρ **D = e Re∞ é um número de Reynolds, dado por Re∞ = U Da j ν .

Nestas definições, ρ j* é a perturbação inicial da densidade, Dj é o diâmetro à saída da fonte e ν é a

viscosidade molecular do ar.

Para levar em conta o drag adicional causado pela torre, Schatzmann, substitui, na equação de θ , cd por ( )dwd cc 5.6+ e, para considerar os efeitos no entrainment, multiplica a expressão do

entrainment adimensional ε pelo factor ( )dwc2.11+ .

Todas as novas constantes que aparecem no que se acabou de expor dão uma liberdade acrescida para ajustar a teoria aos resultados experimentais, por isso afastam o modelo de Schatzmann da sua filosofia inicial, que era recorrer a um mínimo de hipóteses ad hoc e empirismos. Embora as correcções sejam feitas num sentido que é, intuitivamente, o correcto, a escolha criteriosa das constantes possibilita que se leve o modelo na direcção que se queira. Mas isto não é tudo. Os próprios coeficientes na função de entrainment sofreram modificações entre o artigo de 1979 e o de 1984. Relembrando a definição de ε

++

+= ∗

∗

θθ

θ

ε sin1cos2

F

sin22

4

3

221

u

UA

u

UA

AAa

a

(IV.4b.2)

verifica-se que, relativamente ao caso seco, se mantém A1 0 057= . e A3 10= , mas A4 passa a valer 9 em vez de 2 e A2 muda mesmo sinal, passando de -0.67 a 0.011. A mudança de A4 não é particularmente grave, uma vez que tem a ver com o entrainment induzido pelo par de vórtices existentes na pluma, e a sua derivação não pode ser rigorosa. Já A2 é uma constante que se pode obter por via totalmente teórica, e o seu valor teórico é o que corresponde ao caso seco. Sendo esta constante negativa, isso tende a tornar o entrainment tanto maior quanto mais quente for a pluma relativamente ao ambiente. A adopção de um valor positivo, embora pequeno, indica, pelo contrário, que a entrada de ar exterior para a pluma é favorecida quando esta tem impulsão negativa. Além do mais, apoiando-se nos resultados experimentais de George et al., Schatzmann deixa de considerar λ maior do que 1 e admite, em vez disso λ = 0 92. . Modificações deste tipo não fazem mais do que ajustar o modelo aos resultados experimentais para plumas de torres de arrefecimento, não podendo, contudo, contribuir para a sua generalidade, pois é evidente que, excluindo embora as correcções no drag e no entrainment directamente relacionadas com o downwash, não se pode, com este novo modelo, voltar a encontrar os resultados obtidos para o caso particular sem humidade. O sistema que se construiu neste trabalho, baseado no de Schatzmann para uma atmosfera seca, têm a vantagem de, antes de mais, ser um sistema completamente analítico, o que se duvida que aconteça com o modelo de Schatzmann para torres de arrefecimento, dado o desenvolvimento em série de Taylor assumido para a humidade específica de saturação. Assim, no presente caso, apenas a resolução do sistema tem que ser numérica, poupando, sem dúvida, tempo de cálculo. Por outro lado, apesar de a expressão proposta para a humidade específica de saturação ser linear em T, ela é exacta tanto no centro da pluma como na zona periférica. Por isso, desde que o modelo esteja bem calibrado, a previsão do comprimento da pluma húmida é mais rigorosa, pois o ponto em que esta pluma desaparece corresponde ao desaparecimento da água líquida no seu centro. O erro a que a fórmula usada neste trabalho conduz é apenas na largura da curva de qs , só afectando negativamente a previsão do raio da pluma húmida. 4c. Alguns testes Apresentam-se de seguida alguns exemplos que ilustram as potencialidades do modelo desenvolvido. Na fig. 31 estão confrontadas as trajectórias dos eixos de uma pluma com água e de outra sem água, sendo também apresentados os contornos da pluma de água líquida.

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

120

140

160

0 100 200 300 400 500

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Z(m

)

Sem água Com água

X(m)

Figura 31 - O comportamento de uma pluma seca e de uma pluma com humidade nas condições

Θa = 283K, Ua = 1ms-1 , qta = 0 0075. , d dzaΘ = 0 007. Km-1 , m5.1=jD , º90=jθ , z0 0= , K3.28* =Θ j , -1* ms5.14=ju , 03.0* =tjq

Salta à vista que se está num caso em que a condensação aumenta a subida da pluma húmida, embora a evaporação diminua ligeiramente a altura final em que ela se fixa. No nível em que a pluma estabiliza, a atmosfera está quase saturada, razão pela qual basta uma ligeira subida para haver condensação e uma ligeira descida para haver evaporação. É assim que, depois de a pluma atingir o primeiro mínimo, volta a formar a pequena nuvem que se encontra entre os 400 e os 500m de distância horizontal. Isto acontece porque o gradiente da temperatura absoluta ambiente é negativo, e portanto uma subida implica humidade relativa maior. A água total dispersa-se como um qualquer outro traçador, portanto a curva da sua evolução tem uma forma bastante semelhante à da fracção de massa de poluente. Mais interessantes são os gráficos da repartição da água pelas duas fases possíveis neste modelo: líquida e gasosa.

0 100 200 300 400 500 6000.0000

0.0005

0.0010

0.00150 100 200 300 400 500 600

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015q

qw*

qv*

X(m)

Figura 32 - Evolução dos excessos, no centro da pluma, de fracção de massa de vapor de água *

vq

(humidade específica) e de fracção de massa de água líquida *wq , para as condições admitidas na fig.31.

Como era de esperar, os máximos de água líquida são compensados por mínimos de vapor de água e vice-versa. Inicialmente, o conteúdo da pluma em vapor de água é muito superior ao correspondente conteúdo em água líquida, e a pluma acaba por conter só vapor ao fim de algum tempo (como decorre de a atmosfera não estar saturada), mas existe uma zona intermédia em que a água líquida chega a superar o excesso de vapor. A fracção de massa de água nunca chega, de qualquer forma, a ser muito superior a 1g por kg de ar, o que é um valor plausível. O raio da pluma, convém repeti-lo, é definido para a distância em que a fracção de água líquida se anula, pelo que qualquer ponto que contenha água no estado líquido, por muito pouca que seja, se considera como fazendo parte da pluma visível. Isto pode sobrestimar a extensão dessa pluma, pois quando a densidade de uma nuvem é muito baixa ela pode não se ver. Basta mudar ligeiramente as condições para se obter algo de completamente diferente

0 80 160 240 320 4000

20

40

60

80

100

1200 80 160 240 320 400

0

20

40

60

80

100

120Z(

m)

Sem água Com água

X(m)

Figura 33 - Subida das plumas húmida e seca para condições semelhantes às da fig. 31, mas com

007.0=taq e 05.0* =tjq

Agora, a pluma húmida sobe menos do que a seca, devido à extrema importância da evaporação. Por um lado, o ar ambiente tem uma humidade específica mais distante da de saturação, e o entrainment provoca, consequentemente, mais evaporação mas, mais importante do que isso, a pluma tem um excesso de água total bastante acima da saturação mesmo inicialmente, o que faz com que uma grande quantidade de água tenha que ser evaporada. O presente modelo pode aplicar-se a plumas de maior dimensão e com excessos de temperatura, velocidade e humidade menores, como se ilustra na fig. 34

0 100 200 300 400 5000

100

200

300

400

500

6000 100 200 300 400 500

0

100

200

300

400

500

600Z(

m)

X(m)

Figura 34 - Subida de uma pluma húmida nas condições Θa = 283K, Ua = 0 6. ms-1 , qta = 0 0065. ,

d dzaΘ = 0 001. Km-1, dq dzta = − × −2 5 10 6. m-1 , m30=jD , º90=jθ , K4* =Θ j , 002.0* =tjq , -1* ms2=ju

Neste caso, está-se nas condições propícias para a formação de uma nuvem convectiva: não se tem saturação inicialmente, mas a subida em altitude provoca uma descida de temperatura absoluta, que favorece um aumento da humidade relativa. A velocidade inicial no jacto é relativamente pequena, e a sua impulsão também, mas o seu raio é bastante apreciável, como acontece efectivamente com uma térmica. A circunstância mais irrealista no gráfico da fig. 34 é, talvez, a admissão de que o perfil da temperatura potencial é constante e estável. Seria mais natural admitir uma camada neutra até certa altitude, e depois uma camada estável. Na camada neutra, a nuvem poderia crescer livremente, só sendo limitada pelo aparecimento da camada estável. Contudo, isto implicaria um modelo de duas camadas, que não é utilizado nos exemplos deste capítulo. No Apêndice, introduzir-se-á um modelo deste tipo e serão dados alguns exemplos das suas potencialidades. 5. Um Fecho de 1ª ordem para a Turbulência É possível obter uma expressão para o entrainment de forma bastante mais simples do que a sugerida por Schatzmann. Se no sistema de equações com a aproximação de Boussinesq se utilizarem as equações do momento linear segundo s e da conservação da massa, facilmente se chega à seguinte igualdade

( ) θ

θθθλ

εcos22

sinF

sin2

2

∗

∗

+

+−=

uUu

U

ds

db

ds

db

a

a

(IV.5.1)

que entra em contradição com (III.5.3). Para que (III.5.3) e (IV.5.1) pudessem ser simultaneamente válidas, d dsθ teria que ser nulo, o que se sabe não acontecer. Esta contradição talvez tenha a ver com alguma hipótese admitida que não seja consistente com a existência de curvatura, por exemplo, a assunção de simetria axial para ′ ′v vs r . Na sua derivação da velocidade de entrainment, Schatzmann considera, de qualquer modo, que o termo em d dsθ é desprezável, pelo que a referida contradição não tem, neste sentido, relevância.

A menos da discrepância mencionada, as equações (III.5.3) e (IV.5.1) são idênticas, o que não diz muito em abono da maneira como se tem vindo a calcular a função de entrainment, por meio da equação da energia cinética. É aparente que as duas equações não são independentes, portanto o sistema que é constituido pelas restantes equações de Schatzmann e a definição de entrainment não permite determinar univocamente ε . Aliás, seria de estranhar que assim fosse, pois, na dedução do entrainment apenas se joga com equações já conhecidas, não se entrando em conta com nenhum princípio físico novo. Por causa desta indeterminação, o que Schatzmann faz é, de uma maneira muito pouco realista, impor valores para as derivadas que aparecem em (III.5.3) e que não podem ser eliminadas recorrendo às restantes equações. Uma forma de obter uma equação rigorosa para o entrainment pode ser simplesmente admitir um fecho local de 1ª ordem do tipo

′ ′ = −v v K sv

rs rs( )

∂∂

(IV.5.2)

em que K é uma difusividade turbulenta. Nas hipóteses de escoamento feitas por Schatzmann, isto quer dizer

( )222

*

exp2

brb

rKuvv rs −=′′ (IV.5.3)

Então, usando (IV.5.3), a equação da energia cinética (II.5.3) toma a forma

2*2

23*

2*2*2 6

F

sin

1

6cos

2

3KubuUuub

ds

da −

+−= + θλ

λθ (IV.5.4)

e esta equação pode, de facto, combinar-se com as restantes que compõem o sistema de Schatzmann, para a aproximação de Boussinesq (II.4.3)-(II.4.6), permitindo eliminar quaisquer derivadas, após o que surge a definição rigorosa

θθθθθ

θλθθθλθθλλ

ε2

2*

2

****

2

2

**2

2

**2

2

sincos2

3

4

5cos

2

1cos31cos1

F

cossincos

2

3

4

5

F

sincos

2

1cos

2

3

1

12

u

U

u

U

u

U

u

U

u

U

u

U

u

U

u

U

u

U

aaaaa

aaaa ++ + + +

+ ++ + ++−

−=

+−+ θθθπ

cos2

13sinsin2

**2*

2

u

U

bu

K

u

Uc aad

(IV.5.5)

Como se mostra em (IV.5.2), K pode depender da coordenada s, portanto, existe muita liberdade para a sua definição. Podem-se, por exemplo, simular os comportamentos distintos da dispersão para tempos lagrangeanos pequenos ou grandes, ou mesmo fazer intervir outros factores. Contudo, nos exemplos que a seguir se apresentam, adoptou-se, por uma questão de simplicidade, um K constante e com o valor 0.5. Independentemente deste valor particular, já se sabe, pelo capítulo I, que uma difusividade turbulenta constante só deve ser razoável para tempos de dispersão relativamente grandes.

0 200 400 600 800 10000

20

40

60

80

1000 200 400 600 800 1000

0

20

40

60

80

100

Elevações

Raios

R(m

)Z(m

)

Schatzmann Fecho de 1ª ordem

X(m)

Figura 35 - As trajectórias de plumas usando o entrainment de Schatzmann e o fecho de 1ª ordem

proposto. Θa = 283K, Ua = 1ms-1 , d dzaΘ = 0 015. Km-1 , m5.1=jD , º90=jθ , K3.28* =Θ j , -1* ms5.14=ju , z0 0=

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

200

250

3000 100 200 300 400 500

0

50

100

150

200

250

300

Raios

Elevações

Z(m

)

Schatzmann Fecho de 1ª ordem

X(m)

Figura 36 - Gráfico semelhante ao anterior, mas para uma atmosfera neutra.

O valor da difusividade turbulenta foi escolhido de forma a garantir, no caso estável, uma subida máxima relativamente próxima da prevista recorrendo ao entrainment de Schatzmann.

Os comportamentos das plumas em termos da trajectória, tirando uma ligeira diferença de altura que provavelmente seria corrigível com uma escolha mais cuidadosa de K, não diferem apreciavelmente um do outro. Já no caso do raio, existe uma diferença essencial, que se teria tornado ainda mais clara se se apresentassem gráficos abarcando uma distância horizontal maior. No fecho de 1ª ordem, o raio tem um crescimento mais ou menos parabólico, decorrente da assunção de K constante, ao passo que na formulação de Schatzmann, tende, para grandes distâncias, a ser linear, talvez reflectindo aquela hipótese forçada em que este autor admitiu db ds = const. Apesar de já se ter visto que o principal processo responsável pelo crescimento do raio é, para grandes distâncias, o fluxo de massa paralelo ao eixo da pluma, não se pode esquecer que este processo apenas amplifica o efeito do entrainment, sendo que a forma da curva de crescimento do raio é, em última análise, determinada pela hipótese de entrainment. Neste sentido, a função K(s) oferece potencialidades aparentemente superiores às do fecho de Schatzmann, pois permite variar o regime de difusão ao longo do trajecto, algo que não está ao alcance daquele fecho, com as suas várias constantes.

Conclusões Neste trabalho tentou analisar-se, em algum pormenor, o modelo integral de Schatzmann. Dessa análise resultou a evidência de que este modelo partilha de diversas limitações com outros modelos integrais. Apesar de a sua derivação ser matematicamente rigorosa, fisicamente o modelo de Schatzmann não parece ser muito superior por exemplo, ao de Slawson e Csanady, pois os escoamentos impostos violam localmente as equações de conservação, ao entrarem em conflito com a simetria axial assumida para as distribuições de traçadores. Viu-se, todavia, que não é fácil (é talvez mesmo impossível) encontrar hipóteses para as distribuições das propriedades na pluma que satisfaçam as equações de conservação e simultaneamente mantenham os integrais na sua secção analíticos. Verificou-se, pois, que tanto o modelo de S. e C. como o de Schatzmann contêm inconsistências decorrentes da extrema complexidade do escoamento associado ao problema em estudo. Nestas circunstâncias, seria de toda a lógica favorecer o modelo de S. e C., pois entre duas teorias com erros, mas que funcionam na prática, o bom senso dita que se escolha a mais simples das duas. Contudo, para plumas húmidas, a hipótese de perfis gaussianos utilizada por Schatzmann revela-se bastante mais adequada do que a de perfis constantes, utilizada por S. e C. Uma falha no rigor matemático que se pensa ter descoberto no modelo de Schatzmann, é a não consideração de um termo de entrainment no denominador da equação de θ . No caso de a velocidade de entrainment ter sido tratada por Schatzmann como mais uma variável do seu sistema de equações, este termo introduziria complicações, pois a definição de ve passaria a ser imposta por uma equação não linear. Todavia, nem é necessário ir tão longe, porque se chegou à conclusão de que a definição de entrainment, introduzida no sistema, produz uma indeterminação. O que Schatzmann faz (e que aparentemente também foi feito por Hirst e Fox) é substituir, nesta definição, as derivadas que não se conhecem por constantes experimentais, referentes a casos particulares. Esta estratégia parece ir contra todo o rigor usado anteriormente na derivação das equações de conservação e é de meditar se não seria mais natural simplesmente admitir um vulgar fecho de 1ª ordem para a turbulência, que evitaria toda uma série de artifícios, ao apenas exigir a introdução de uma constante (ou função de s): a difusividade turbulenta. Apesar destes problemas, os modelos de Schatzmann comportam-se bastante bem na prática. No caso do modelo para torres de arrefecimento, existem boas razões para que assim seja, pois algumas constantes da função de entrainment sofreram alterações e mais constantes foram introduzidas com vista a simular o downwash. Um bom ajuste destas constantes pode, como é sabido, optimizar os resultados. Contudo, o problema básico mantém-se: o modelo de Schatzmann procura tratar com demasiado rigor matemático uma realidade bastante complexa, que não pode ser tratada com um rigor físico do mesmo tipo. As integrações podem ser feitas com grande rigor e os termos geométricos podem ser todos tidos em conta, mas se os padrões de escoamento e distribuições das propriedades não tiverem muito a ver com a realidade (como parece acontecer), o rigor matemático é inútil. Aparentemente, a única maneira de tratar a dispersão de uma forma mais realista é através de modelos numéricos tridimensionais (não integrados), como os L.E.S. ou os modelos estocásticos. Nesses modelos, não é necessário assumir hipóteses simplificativas tão fortes como a estacionaridade ou a simetria axial, que constituem as mais graves limitações dos modelos integrais. Utilizar modelos em que as equações são resolvidas localmente parece ser, portanto, a via mais adequada a seguir para um tratamento mais rigoroso de um problema tão complicado como o da dispersão turbulenta.

Apêndice 1. Testes aos Modelos Desenvolvidos Este apêndice é reservado à apresentação, acompanhada de poucos comentários, de alguns testes de sensibilidade ao modelo de Schatzmann. Utiliza-se sempre como base o modelo seco, com as modificações que foram sendo descritas ao longo do trabalho, quer dizer, nunca é feito uso do modelo contido no artigo de 1984, para torres de arrefecimento. Os parâmetros que se podem variar são: ρa , Θa , Ua , qca , qta , Ka ,d dzaρ , d dzaΘ , dU dza , dq dzca , dq dzta e, numa outra categoria, λ e cd . As variáveis cujos valores iniciais podem ser

impostos são b, θ , ρ* , Θ* , u* , qc* , qt

* e K * . Os parâmetrosρa e Θa podem relacionar-se através da pressão p (e no caso húmido, também através de qta ,), mas não é de grande interesse variar a pressão, que na realidade sofre sempre pequenas oscilações. Assim, adopta-se agora, como anteriormente, um valor de p=1000mb para o nível da superfície, e nestas condições a densidade ambiente passa a não ser independente da temperatura, podendo a sua derivada vertical ser determinada exactamente fazendo uso da equação de estado e do equilíbrio hidrostático. Paralelamente, a perturbação na densidade ρ* passa também a ser dependente de Θ* , não fazendo sentido tratar estas duas variáveis separadamente. Ka e K * , o coeficiente de absorção do ambiente e respectivo excesso, são, como já foi dito,

funções das fracções de massa de poluente qca e qc* e das densidades do próprio ar ρa e ρ* . Contudo, a

proporcionalidade que existe não é clara. Decidiu-se, por isso, como se fez até agora, impor os valores iniciais de Ka e K * e determinar as constantes de proporcionalidade resolvendo o sistema de equações que relaciona estes valores iniciais com os valores iniciais da densidade de poluente e densidade total (também impostos). Os testes aos modelos serão feitos variando cada um dos parâmetros Θa , Ua , qca , qta , Ka ,d dzaΘ ,

dU dza , dq dzca , dq dzta , λ e cd , ou o valor inicial de cada uma das variáveis b, θ , Θ* , u* , qc* qt

* e K * para cada gráfico traçado, utilizando um estado de referência adequado para os restantes parâmetros ou variáveis.

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

80

0 50 100 150 200 250

0

20

40

60

80

Z(m

)

Θa=233K

Θa=273K

Θa=313K

X(m)

Figura 37 - Trajectória do centro da pluma para 3 temperaturas ambientais, nas condições Ua = 1ms-1 ,

d dzaΘ = 0 015. Km-1 , m5.1=jD , º90=jθ , z0 0= , K3.28* =Θ j , -1* ms5.14=ju .

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

0 100 200 300 400 500

0

20

40

60

80

Z(m

)

Ua=1m/s Ua=2m/s Ua=3m/s Ua=4m/s

X(m)

Figura 38 - Para as mesmas condições da figura anterior, mas com Θa = 283K, a trajectória de plumas

com diferentes velocidades ambientais. O comportamento das plumas não depende, de nenhuma forma, da fracção de massa de poluente no ambiente pois o parâmetro qca não aparece nem nas equações principais do sistema de Schatzmann nem na equação de estado. Por isso, não é apresentado qualquer teste de sensibilidade para este parâmetro.

100 120 140 160 180 200360

370

380

390

400

410

420100 120 140 160 180 200

360

370

380

390

400

410

420Z(

m)

Ka=0 Ka=0.2 Ka=0.4 Ka=0.8

X(m)

Figura 39 - Trajectória de uma pluma com radiação nas proximidades do primeiro máximo, quando

K283=Θa , m10=jD , K1000* =Θ j , -1* ms3=ju , 0* =jK , para diferentes coeficientes de absorção do

ambiente, sendo os restantes parâmetros iguais aos da fig. 37.

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

50

60

70

80

900 10 20 30 40 50 60

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Z(m

)

qta=0.0025 qta=0.005 qta=0.0065 qta=0.0075

X(m)

Figura 40 - A pluma visível obtida recorrendo ao modelo com transições de fase, para diferentes

humidades específicas ambientais. As condições são iguais às da fig. 37, verificando-se a condição inicial adicional qtj

* .= 0 035

0 100 200 300 400 5000

100

200

300

400

5000 100 200 300 400 500

0

100

200

300

400

500Z(

m)

dΘa/dz=0.015K/m

dΘa/dz=0.0075K/m

dΘa/dz=0

dΘa/dz=-0.0075K/m

dΘa/dz=-0.015K/m

X(m)

Figura 41 - Trajectórias de plumas para diferentes estabilidades atmosféricas, com as restantes

condições Θa = 283K, Ua = 1ms-1 , m5.1=jD , º90=jθ , z0 0= , K3.28* =Θ j , -1* ms5.14=ju

O comportamento da pluma para um dU dza positivo, nulo e negativo já foi analisado em certo pormenor no capítulo IV, por isso é dispensável a repetição de uma análise semelhante aqui.

0 200 400 600 800 1000-10

0

10

20

300 200 400 600 800 1000

-10

0

10

20

30

q c* (p

pm)

dqc a/dz=0.2ppm/m dqc a/dz=0.1ppm/m dqc a/dz=0 dqc a/dz=-0.1ppm/m dqc a/dz=-0.2ppm/m

Figura 42 - Evolução do excesso de fracção de massa de poluente para distintos gradientes verticais da fracção de massa de poluente no meio externo. As condições são idênticas às da figura anterior, para

d dzaΘ = 0 015. Km-1 , mas tendo-se também qcj* = 100ppm

0 50 100 150 200 250 3000

20

40

60

80

100

120

0 50 100 150 200 250 300

0

20

40

60

80

100

120

Z(m

)

dqta/dz=-5x10-6m-1

dqta/dz=0 dqta/dz=2.5x10-6m-1

dqta/dz=5x10-6m-1

X(m)

Figura 43 - Contornos de plumas húmidas para diferentes gradientes verticais da humidade específica

na atmosfera. As condições são iguais às da fig. 41, com d dzaΘ = 0 015. Km-1 , mas tendo-se adicionalmente qta = 0 007. , qtj

* .= 0 035

0 100 200 300 400 5000

60

120

180

240

300

0 100 200 300 400 500

0

60

120

180

240

300

Z(m

)

Dj=1.5m Dj=3m Dj=6m Dj=12m

X(m)

Figura 44 - Trajectórias de plumas com diferentes diâmetros iniciais, para o caso d dzaΘ = 0 015. Km-1 ,

sendo as restantes condições idênticas às usadas na fig. 41

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

80

1000 50 100 150 200 250

0

20

40

60

80

100Z(

m)

θj=90o

θj=60o

θj=30o

θj=0o

X(m)

Figura 45 - Trajectórias de plumas para diferentes ângulos iniciais. As restantes condições são iguais às

da fig. 41, no caso d dzaΘ = 0 015. Km-1

0 100 200 300 400 500

-150

-100

-50

0

50

100

1500 100 200 300 400 500

-150

-100

-50

0

50

100

150

Z(m

)

Θ*j=141.5K

Θ*j=28.3K

Θ*j=0

Θ*j=-28.3K

Θ*j=-141.5K

X(m)

Figura 46 - Trajectórias de plumas para diferentes excessos de temperatura, numa atmosfera estável

(d dzaΘ = 0 015. Km-1 ). Os outros parâmetros são idênticos aos usados na fig. 41.

0 50 100 150 200 250 3000

20

40

60

80

0 50 100 150 200 250 300

0

20

40

60

80

Z(m

)

u*j=14.5m/s

u*j=10.9m/s

u*j=7.2m/s

u*j=3.6m/s

X(m)

Figura 47 - Trajectórias de plumas para diferentes excessos iniciais de velocidade, numa atmosfera de

estabilidade d dzaΘ = 0 01. 5Km-1 . As restantes propriedades são idênticas às da fig. 41

0 50 100 150 2000

5

10

15

200 50 100 150 200

0

5

10

15

20

q c* (ppm

)

q*c j=100ppm

q*c j=75ppm

q*c j=50ppm

q*c j=25ppm

Figura 48 - Evolução do excesso de fracção de massa de poluente para diferentes condições iniciais

aplicadas a esta propriedade. A atmosfera é estável (d dzaΘ = 0 015. Km-1 ), e as restantes propriedades são iguais às do gráfico da fig.41

100 120 140 160 180 200

360

380

400

420100 120 140 160 180 200

360

380

400

420Z(

m)

K*j=0.5

K*j=0.25

K*j=0.1

K*j=0

X(m)

Figura 49 - Trajectórias de plumas com diferentes excessos de coeficiente de absorção nas vizinhanças

do primeiro máximo. As condições são semelhantes às da figura 39, mas Ka = 0

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

20

40

60

80

100

120

1400 50 100 150 200 250 300 350 400

0

20

40

60

80

100

120

140

Z(m

)

qtj*=0.025

qtj*=0.03

qtj*=0.035

qtj*=0.04

X(m)

Figura 50 - Contornos de plumas visíveis para diferentes excessos iniciais de fracção de massa de água

total. As condições admitidas são: Θa = 283K, Ua = 1ms-1 , qta = 0 007. , d dzaΘ = 0 015. Km-1,

dq dzta = × −5 10 6m-1 , m5.1=jD , º90=jθ , z0 0= , K3.28* =Θ j , -1* ms5.14=ju .

0 40 80 120 160 200 2400

20

40

60

80

1000 40 80 120 160 200 240

0

20

40

60

80

100Z(

m)

λ=0.68 λ=0.92 λ=1.16 λ=1.4 λ=1.64

X(m)

Figura 51 - Trajectórias de plumas secas para diferentes razões da difusividade do momento linear e do

calor. As condições são idênticas às da fig. 50.

0 40 80 120 160 200 2400

20

40

60

80

100

0 40 80 120 160 200 240

0

20

40

60

80

100

Z(m

)

cd=0.5 cd=1.5 cd=2.5 cd=3.5 cd=4.5

X(m)

Figura 52 - Trajectórias de plumas secas para diferentes coeficientes de drag. As outras condições são

idênticas às da fig. 50. 2. Modelos de Várias Camadas É particularmente fácil, no modelo de Schatzmann, considerar uma estrutura vertical relativamente complexa para a atmosfera. Basta dividir o domínio de integração do sistema de equações em camadas

horizontais, atribuindo a cada uma delas gradientes d dzaΘ , dU dza , dq dzca e dq dzta diferentes. Convém que as camadas tenham uma espessura apreciavelmente superior ao diâmetro da pluma, porque os gradientes que correspondam à camada em que o seu centro geométrico se encontrar são aplicados à pluma na sua totalidade. Particularmente quando o raio é grande e a pluma se encontra "deitada", isto pode ser pouco realista, mas é a única escolha possível, dada a simetria axial admitida, e apesar de tudo permite a obtenção de resultados interessantes. Observe-se, por exemplo, a subida de uma pluma seca em que a parte inferior da atmosfera é ligeiramente instável, mas existe uma inversão elevada, e os contornos e trajectória de uma pluma com água numa atmosfera de 3 camadas.

0 200 400 600 800 10000

50

100

150

200

250

300

3500 200 400 600 800 1000

0

50

100

150

200

250

300

350

Z(m

)

X(m)

Figura 53 - Subida de uma pluma seca numa atmosfera de duas camadas. As condições são: Θa = 283K

à superfície, Ua = 1ms-1 , m5.1=jD , º90=jθ , z0 0= , K3.28* =Θ j , -1* ms5.14=ju . Abaixo dos 300m,

tem-se d dzaΘ = −0 001. Km-1 e acima desta altitude d dzaΘ = 0 01. Km-1 .

0 400 800 1200 1600 20000

200

400

600

800

1000

12000 400 800 1200 1600 2000

0

200

400

600

800

1000

1200

Z(m

)

X(m)

Figura 54 - Trajectória e contornos de uma pluma húmida numa atmosfera de 3 camadas. As condições

são idênticas às da figura anterior, excepto nos seguintes aspectos: -1* ms4=ju ; abaixo dos 500m tem-se

d dzaΘ = 0, dq dzta = − × −4 10 6m-1 ; entre os 500m e os 1000m, é d dzaΘ = 0 e dq dzta = − × −8 10 6m-1 ; acima dos 1000m, d dzaΘ = 0 01. Km-1 e dq dzta = 0 .

É evidente olhando para a fig. 54 que o comportamento da pluma, numa atmosfera neutra se torna particularmente instável quando há condensação, o que não é mais do que uma manifestação do fenómeno da instabilidade condicional, verificando-se, pelo contrário, uma tendência estabilizante quando há evaporação.

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