modelos de equilibrio general en excel®: un modelo de

Facultad de Ciencias EconómicasCentro de Investigaciones para el Desarrollo - CIDSede Bogotá

Escuela de Economía

Junio de 2021

Documentos

117FCE - CID

Nº

Modelos de equilibrio general en Excel®: un modelo de intercambio puro

Introducing General Equilibrium Models in Excel®

GUSTAVO HERNÁNDEZ

Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117

Junio 2021

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas

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MODELOS DE EQUILIBRIO GENERAL EN EXCEL®: UN MODELO DE

INTERCAMBIO PURO

Gustavo Hernández∗

Resumen

Al enseñar los modelos de equilibrio general los libros de texto de microeconomía se centran

en las ideas que se pueden extraer del diagrama de Edgeworth para el intercambio. Las

herramientas necesarias para analizar matemáticamente los modelos de equilibrio general

abruman a muchos estudiantes menos a algunos que las han desarrollado a lo largo de su

educación básica. Aquí se ofrece una alternativa que, sin dejar de ser rigurosa, puede ayudar a

que muchos más estudiantes puedan comprender los aspectos conceptuales de esta clase de

modelos. Para esto se desarrolla un modelo de equilibrio general de intercambio puro, el cual

es resuelto explícitamente, para luego ser desarrollado en una hoja de cálculo. De esta manera,

al cambiar los parámetros y variables exógenas del modelo se pueden explicar y profundizar

diferentes aspectos de esta clase de modelos, sin que el estudiante llegue a perderse en

problemáticos desarrollos algebraicos.

Palabras clave: Equilibrio general, modelos económicos, modelos de equilibrio general

computable.

Clasificación JEL: A22, C61, D58.

∗ El autor es profesor de la facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Colombia. Se agradecen los comentarios realizados en el V encuentro nacional virtual de profesores de economía. Los comentarios y errores son responsabilidad del autor y no comprometen a la institución en que trabaja. [email protected]

Gustavo Hernández


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INTRODUCING GENERAL EQUILIBRIUM MODELS IN EXCEL®

Abstract

In teaching general equilibrium models, microeconomics textbooks focus on ideas that can be

drawn from the Edgeworth diagram for the exchange. The tools needed to mathematically

analyze general equilibrium models overwhelm far fewer students than some who have

developed them throughout their basic education. Here is an alternative that, while remaining

rigorous, can help many more students to understand the conceptual aspects of this class of

models. For this, a general equilibrium model of pure exchange is developed, which is explicitly

solved, to later be developed in a spreadsheet. In this way, by changing the parameters and

exogenous variables of the model, different aspects of this class of models can be explained

and deepened, without the student getting lost in problematic algebraic developments.

Key words: General equilibrium, economic models, computable general equilibrium

JEL Classification: A22, C61, D58.

La serie Documentos FCE considera para publicación manuscritos

originales de estudiantes de maestría o doctorado, de docentes y de

investigadores de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad

Nacional de Colombia; resultado del trabajo colectivo o individual y que

hayan sido propuestos, programados, producidos y evaluados en una

asignatura, en un grupo de investigación o en otra instancia académica.

D O C U M E N T O S F C E - C I D E S C U E L A D E E C O N O M Í A

Este documento puede ser reproducido citando la fuente. El contenido y la forma del presente material es responsabilidad exclusiva de sus autores y no compromete de ninguna manera a la Escuela de Economía, ni a la Facultad de Ciencias Económicas, ni a la Universidad Nacional de Colombia.

Director Centro Editorial-FCEÁlvaro Zerda Sarmiento

Equipo Centro Editorial-FCENadeyda Suárez MoralesMarisol Del Rosario VallejoYuly Rocío Orjuela Rozo

Centro Editorial [email protected]

RectoraDolly Montoya Castaño

Vicerector GeneralPablo Enrique Abril Contreras

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

DecanoJorge Armando Rodríguez

Vicedecano Germán Enrique Nova Caldas

ESCUELA DE ECONOMÍA

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Coordinador Área Curricular de Economía y Desarrollo

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CENTRO DE INVESTIGACIONES PARA EL DESARROLLO CID

DirectorFrancesco Bogliacino

SubdirectoraVilma Narváez

La serie Documentos FCE-CID puede ser consultada en el portal virtual:www.http://fce.unal.edu.co/centro-editorial/documentos.html

ISSN 2011-6322

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Contenido

1. Introducción ............................................................................................................................ 6

2. Modelo básico de intercambio puro ....................................................................................... 7

2.1. Algoritmo de solución del modelo ................................................................................. 7

2.2. Implementación computacional del modelo ................................................................. 9

3. El modelo de intercambio puro en Excel ® .......................................................................... 11

4. Comentarios finales .............................................................................................................. 17

5. Referencias ............................................................................................................................ 18

6. Anexo. Cálculo de la variación equivalente y compensada ................................................. 19


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1. Introducción

En los cursos de microeconomía intermedia y avanzados uno de los modelos básicos que se

enseñan son los de equilibrio general, los cuales fueron desarrollados por Kenneth Arrow,

Gerard Debreu, Frank Hahn y otros en la década de 1950. Su aplicación empírica se dio a partir

del algoritmo construido por Scarf (1967), que fue luego desarrollado en un modelo de

equilibrio general aplicado por Johansen en 1960, sin embargo, su aplicación a gran escala fue

implementada por Shoven y Whalley (1973, 1974).

Ahora bien, al enseñar este tipo de modelos, de forma abstracta y con las demostraciones que

esto conlleva, puede llevar a que los estudiantes no puedan comprender fácilmente la

estructura de tales modelos, ya que en algunas ocasiones las habilidades analíticas en

matemáticas pueden ser altamente demandantes. Una forma de que los alumnos tengan una

mayor comprensión de esta clase de modelos es mediante la implementación de modelos

sencillos que pueden ser resueltos con lápiz y papel y luego llevarlos a un software de

optimización, para hacer distintas clases de simulaciones con ellos. Para mantener la

simplicidad y no perder el enfoque al utilizar un software especializado, donde GAMS® es el

más utilizado para esta clase de modelos, aquí los modelos construidos se hacen de tal manera

que se pueda utilizar una hoja de cálculo particularmente la de Excel®, dada su popularidad y

amplia difusión1.

El propósito de este documento es proporcionar algunos ejemplos básicos de modelos de

intercambio puro, los cuales pueden resolverse con lápiz y papel, y mostrar cómo se traduce

fácilmente a un modelo de simulación numérica computable. De esta manera, el artículo llega

a ser pedagógico y metodológico. Aquí no se pretende ofrecer ideas o resultados teóricos

originales, sino mostrar cómo herramientas existentes son utilizadas y los resultados

matemáticos se combinan para producir un marco de modelación simple, claro y consistente.

1 El uso de Excel® como herramienta para enseñar economía ha estado creciendo en los últimos años, en el caso de modelos de equilibrio general se han hecho varios trabajos como el de Nicholson y Westhoff (2009), Peng (2009) y Barreto (2020).

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2. Modelo básico de intercambio puro2

Uno de los modelos básicos de equilibrio general es el modelo de intercambio puro. En este

caso, hay m mercancías (m = 1, 2, …, M), donde a cada una de ellas se le puede asociar un

precio positivo 𝑃𝑃𝑚𝑚 ≥ 0. Adicionalmente, cada uno de los consumidores es dueño de 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ , la

cual es una cantidad no-negativa de la mercancía m para el hogar h, estas son conocidas como

las dotaciones iniciales de los agentes. Tenemos que las funciones de demanda por parte de

cada uno de los agentes son 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2,⋯ ,𝑃𝑃𝑀𝑀,𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ ), las cuales son no-negativas, continuas y

homogéneas de grado cero en los precios, donde 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ es el consumo del hogar h de la mercancía

m.

Un aspecto clave delo modelo es que el valor de las demandas de mercado debe ser igual al

valor de las dotaciones de mercancías que hay en la economía, las cuales pueden ser

intercambiadas. A esto se le conoce como la ley de Walras:

𝑃𝑃𝑚𝑚 ∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2,⋯ ,𝑃𝑃𝑀𝑀)𝐻𝐻ℎ=1 = 𝑃𝑃𝑚𝑚 ∑ 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝐻𝐻

ℎ=1 (1)

Luego, el valor de los excesos de demanda de los mercados debe ser igual a cero para todos los

precios

𝑃𝑃𝑚𝑚(∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2,⋯ ,𝑃𝑃𝑀𝑀)𝐻𝐻ℎ=1 − 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ ) = 0 (2)

Esta condición se mantiene para un conjunto de precios, sean o no los de equilibrio. Un

equilibrio general es un conjunto de precios Pm*, tal que:

∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1∗,𝑃𝑃2∗,⋯ ,𝑃𝑃𝑀𝑀∗ )𝐻𝐻ℎ=1 − 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ ≤ 0 (3)

Con la igualdad en (3) y si 𝑃𝑃𝑀𝑀∗ > 0, los precios de equilibrio vacían los mercados.

2.1. Algoritmo de solución del modelo

Para solucionar este modelo de intercambio puro tomemos el sistema de ecuaciones

previamente descrito por (3), que es resuelto por los precios de las mercancías, siguiendo los

siguientes pasos:

2 Se sigue la notación de Shoven y Whalley (1992).


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Se construyen los excesos de demanda de las mercancías:

∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚)𝐻𝐻ℎ=1 − 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ = 0

A partir de los excesos de demanda, sistema de ecuaciones, se encuentran los precios de

equilibrio 𝑃𝑃𝑚𝑚∗ .

Finalmente, se obtienen las cantidades óptimas demandadas por los hogares,

𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1∗,𝑃𝑃2∗,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚∗ ).

Supongamos una economía con dos agentes y dos mercancías, las cuales tienen unas

preferencias descritas por la siguiente función de utilidad para los agentes:

𝑈𝑈ℎ�𝐶𝐶1ℎ,𝐶𝐶2ℎ� = �𝐶𝐶1ℎ𝐶𝐶2ℎ. Adicionalmente, supongamos unas dotaciones iniciales de la

siguiente forma: 𝑤𝑤11 = 6, 𝑤𝑤21 = 2, 𝑤𝑤12 = 4, 𝑤𝑤22 = 83F

3. Siguiendo los pasos descritos

anteriormente por el algoritmo, se puede encontrar los precios de las mercancías y las

cantidades de intercambio de equilibrio que son una solución al modelo.

Recordemos que en el caso de una función de utilidad Cobb-Douglas, la demanda se puede

escribir como:

𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ = 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ ∑ 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1

𝑃𝑃𝑚𝑚∑ 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ2𝑚𝑚=1

(4)

Donde las funciones de demanda para consumidor son

�𝐶𝐶11 = 6𝑃𝑃1+2𝑃𝑃2

2𝑃𝑃1𝐶𝐶21 = 6𝑃𝑃1+2𝑃𝑃2

2𝑃𝑃2

𝐶𝐶12 = 4𝑃𝑃1+8𝑃𝑃22𝑃𝑃1

𝐶𝐶22 = 4𝑃𝑃1+8𝑃𝑃22𝑃𝑃2

Entonces, los excesos de demanda son

�

6𝑃𝑃1+2𝑃𝑃22𝑃𝑃1

+ 4𝑃𝑃1+8𝑃𝑃22𝑃𝑃1

− 10 = 06𝑃𝑃1+2𝑃𝑃22𝑃𝑃2

+ 4𝑃𝑃1+8𝑃𝑃22𝑃𝑃2

− 10 = 0 (5)

3 En estos casos los ingresos de los agentes están dados por: 𝑦𝑦ℎ = ∑ 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀

𝑚𝑚=1

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Para encontrar una solución a este problema se puede resolver solamente una de las dos

ecuaciones4, por lo cual 𝑃𝑃1 = 2 − 𝑃𝑃2. Tomando como numerario P1, lo cual implica que: i)

todos los precios toman como referencia a este precio y ii) su valor es igual a uno. Entonces,

las cantidades demandadas son 𝐶𝐶11 = 4, 𝐶𝐶21 = 4, 𝐶𝐶12 = 6, 𝐶𝐶22 = 6. En otras palabras, el hogar

uno decidió intercambiar dos unidades de la mercancía uno para obtener dos unidades más de

la mercancía dos, mientras que el hogar 2 hizo lo contrario.

2.2. Implementación computacional del modelo

En la anterior sección se mostró como solucionar mediante lápiz y papel, ahora se desarrolla el

mismo algoritmo de forma explícita en Excel®5. Como señala Hernández (2020) para la

construcción de este tipo de modelo se tiene: una estructura analítica, una estructura funcional

y una estructura numérica. Las cuales son desarrolladas a continuación.

En el Cuadro 1 se presenta de forma analítica las ecuaciones básicas del modelo de intercambio

puro. Como se puede observar existen dos bloques de ecuaciones: i) el mercado de bienes, que

contiene las demandas y la condición de equilibrio del mercado, y ii) los ingresos de los

hogares. Note que esta última ecuación puede resultar redundante, ya que puede ser omitida

y reemplazada de manera explícita en las funciones de demanda, como una función de las

variables de precios y dotaciones iniciales.

Cuadro 1. Ecuaciones del modelo de intercambio puro

Mercado de Bienes

Demanda 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ = 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ)

Vaciamiento del mercado ∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚) − 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝐻𝐻ℎ=1 = 0

Tomado como base el sistema de ecuaciones descrito en el Cuadro 1, hay 2ℎ + 2𝑚𝑚 número

de ecuaciones con 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ , 𝑦𝑦ℎ, 𝑃𝑃𝑚𝑚, variables endógenas (2ℎ + 2𝑚𝑚), esto es, un sistema de igual

número de ecuaciones que de incógnitas. En este caso, una de las ecuaciones es linealmente

4 Recuerde que si 𝑚𝑚 − 1 mercados están equilibrio entonces el último mercado está en equilibrio. 5 En el siguiente enlace se puede obtener el archivo en Excel® del modelo: Modelo GE .


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dependiente de la otra, entonces se reduce el número de incógnitas al tomar uno de los precios

como numerario, por lo cual se deben de solucionar un sistema de 2ℎ + 2𝑚𝑚 – 1 ecuaciones.

Siguiendo con el anterior ejemplo, podemos obtener la forma funcional de las ecuaciones para

la construcción del modelo de intercambio puro. En este caso, hay dos consumidores (ℎ =

𝐴𝐴,𝐵𝐵) que consumen dos mercancías (𝑚𝑚 = 1, 2), donde para cada consumidor tiene una

dotación inicial de 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ de cada una de las mercancías y unas preferencias de tipo Cobb-Douglas

para ambos consumidores.

Las ecuaciones en forma funcional para el modelo se presentan en el Cuadro 2. Al tener las

ecuaciones de esta manera, estas pueden ser escritas, de acuerdo con el lenguaje de

programación que se quiera utilizar. Adicionalmente, al tener las ecuaciones de esta forma, se

puede resolver el modelo bajo diferentes valores de los parámetros o variables exógenas sin

perder generalidad.

Cuadro 2. Formas funcionales del modelo de intercambio puro

Mercado de Bienes

Demanda

𝐶𝐶1𝐴𝐴 = 𝛼𝛼1𝐴𝐴𝑦𝑦𝐴𝐴

𝑃𝑃1�𝛼𝛼1𝐴𝐴+𝛼𝛼2𝐴𝐴� 𝐶𝐶2𝐴𝐴 = 𝛼𝛼2𝐴𝐴𝑦𝑦𝐴𝐴

𝑃𝑃2�𝛼𝛼1𝐴𝐴+𝛼𝛼2𝐴𝐴�

𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 𝛼𝛼1𝐵𝐵𝑦𝑦𝐵𝐵

𝑃𝑃1�𝛼𝛼1𝐵𝐵+𝛼𝛼2𝐵𝐵� 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 𝛼𝛼2𝐵𝐵𝑦𝑦𝐵𝐵

𝑃𝑃2�𝛼𝛼1𝐵𝐵+𝛼𝛼2𝐵𝐵�

Vaciamiento del mercado 𝐶𝐶1𝐴𝐴 + 𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 𝑤𝑤1𝐴𝐴 + 𝑤𝑤1𝐵𝐵

𝐶𝐶2𝐴𝐴 + 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 𝑤𝑤2𝐴𝐴 + 𝑤𝑤2𝐵𝐵

Finalmente, la forma numérica del modelo se obtiene al reemplazar los parámetros y variables

exógenas con valores explícitos, en este caso los parámetros son las participaciones en el

consumo de cada una de las mercancías para cada hogar, 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ , y las variables exógenas son las

dotaciones iniciales, 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ . Del ejemplo anterior, encontramos que los valores de los parámetros

son: 𝛼𝛼1𝐴𝐴 = 𝛼𝛼2𝐴𝐴 = 𝛼𝛼1𝐵𝐵 = 𝛼𝛼2𝐵𝐵 = 0,5; y las variables exógenas son 𝑤𝑤1𝐴𝐴 = 6, 𝑤𝑤2𝐴𝐴 = 2, 𝑤𝑤1𝐵𝐵 = 4,

𝑤𝑤2𝐵𝐵 = 8, con lo cual tenemos que las ecuaciones del modelo

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Cuadro 3. Ecuaciones numéricas del modelo de intercambio puro

Mercado de Bienes

Demanda

𝐶𝐶1𝐴𝐴 = 𝑦𝑦𝐴𝐴

2𝑃𝑃1 𝐶𝐶2𝐴𝐴 = 𝑦𝑦𝐴𝐴

2𝑃𝑃2

𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 𝑦𝑦𝐵𝐵

2𝑃𝑃1 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 𝑦𝑦𝐵𝐵

2𝑃𝑃2

Vaciamiento del mercado 𝐶𝐶1𝐵𝐵 + 𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 8

𝐶𝐶2𝐵𝐵 + 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 12

Estas ecuaciones pueden ser introducidas a una hoja de cálculo en Excel® y ser solucionado el

sistema de ecuaciones bajo la opción de buscar objetivo, encontrando otra vez que los valores

de los precios son 𝑃𝑃1 = 𝑃𝑃2 = 1 y las cantidades óptimas iguales a 𝐶𝐶11 = 4, 𝐶𝐶21 = 4, 𝐶𝐶12 = 6 y

𝐶𝐶22 = 6.

3. El modelo de intercambio puro en Excel ®

En la anterior sección se tienen las ecuaciones del modelo de intercambio puro (Cuadro 3) en

esta sección se procede a mostrar la implementación de estas ecuaciones en Excel®. Para

realizar esto se procede a colocar los parámetros relevantes en una hoja del libro de Excel®,

los cuales equivalen a los valores de las participaciones en el en consumo, 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ , y las dotaciones

iniciales, 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ (Cuadro 4).

Cuadro 4. Parámetros del modelo de intercambio puro

Luego se procede a escribir las ecuaciones del modelo de manera que refleje en primer lugar

las decisiones de consumo de cada uno de los individuos, para luego mostrar las dotaciones de

αA 0,5βA 0,5αB 0,5βB 0,5

w1A 6,0

w2A 2,0

w1B 4,0

w2B 8,0


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la economía, y finalmente enfatizar en la ley de walras (Cuadro 5). Observe que la escritura de

las ecuaciones se hace de tal manera que no se hace referencia a celdas, sino que estas son

nombradas de tal manera que son muy parecidas a las que se observan en el Cuadro 26.

Cuadro 5. Ecuaciones del modelo de intercambio puro

Observe que, los precios no tienen una ecuación explicita, ya que estos son dados

exógenamente. Lo que se hace inicialmente es colocar un valor cualquiera para los precios,

luego al principio no se vacía el mercado, como se aprecia en el Cuadro 6. Se colocaron unos

precios de 𝑃𝑃1 = 2 y 𝑃𝑃2 = 3, lo cual implica que los consumos son 𝐶𝐶1𝐴𝐴 = 4,5, 𝐶𝐶2𝐴𝐴 = 3, 𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 8

y 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 5,3, lo cual implica que los excesos de demanda son diferentes a cero.

6 Se podrían colocar las ecuaciones de acuerdo con las ecuaciones que aparecen en el Cuadro 3. No se hace de esta manera porque estas ecuaciones se refieren a unos parámetros particulares al ejercicio que se ha desarrollado. La idea detrás de colocar las ecuaciones de la forma que aparecen en el Cuadro 2 es construir el modelo de la forma más general posible, para poder luego hacer cambios en los parámetros o variables exógenas del modelo y observar cómo cambian los resultados.

Demanda de la persona A

UA =+(c_1_a^alpha_a)*(c_2_a^beta_a)C1

A =(alpha_a*y_a)/((alpha_a+beta_a)*p_1)

C2A =(beta_a*y_a)/((alpha_a+beta_a)*p_2)

yA =+p_1*w_1_a+p_2*w_2_a

Demanda de la persona B

UB =+(c_1_b^alpha_b)*(c_2_b^beta_b)C1

B =(alpha_b*y_b)/((alpha_b+beta_b)*p_1)

C2B =(beta_b*y_b)/((alpha_b+beta_b)*p_2)

yB =+p_1*w_1_b+p_2*w_2_b

Dotaciones iniciales de la economía

w1 =+w_1_a+w_1_bw2 =+w_2_a+w_2_b

Ley de Walras

Exceso de demanda del Bien 1 =+p_1*((c_1_a-w_1_a)+(c_1_b-w_1_b))Exceso de demanda del Bien 2 =+p_2*((c_2_a-w_2_a)+(c_2_b-w_2_b))

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Cuadro 6. Resultados iniciales del modelo

Para lograr encontrar el equilibrio para este modelo de intercambio puro, se va a utilizar la

herramienta de Solver de Excel®, el cual para buscar un valor óptimo en una celda (celda

objetivo), cambia otras celdas que estén relacionadas directa e indirectamente con la celda

objetivo. Para utilizar esta herramienta se traduce lo que se mencionó del algoritmo de

intercambio puro, descrito anteriormente, en las diferentes opciones que presenta esta

herramienta de Excel®.

Variables exógenas del modelo

P1 2,0P2 3,0

Ecuaciones del Modelo


UA 3,7C1

A 4,5

C2A 3,0

yA 18,0


UB 6,5C1

B 8,0

C2B 5,3

yB 32,0


w1 10,0w2 10,0

Ley de Walras

Exceso de demanda del Bien 1 5,0Exceso de demanda del Bien 2 -5,0


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Como se aprecia en la figura 1 el Solver de Excel® tiene diferentes opciones7. Para resolver el

problema se tiene que resolver una de las dos ecuaciones que van a limpiar los mercados (si

𝑚𝑚 − 1 mercados están equilibrio entonces el último mercado está en equilibrio), luego en la

opción “establecer objetivo” se coloca la celda de alguna de las dos ecuaciones que se hacen

referencia a la ley de walras8. Aquí se colocó la ecuación que hace referencia al vaciamiento del

mercado del bien 1 (z_1)9. Luego, en la opción “Para” no se quiere maximizar (“Máx”) o

minimizar (“Mín”), sino que la ecuación sea igual a cero, entonces en “Valor de” se coloca el

valor de cero.

Figura 1. Solver para el modelo de intercambio puro

7 Para más detalles consulte la ayuda de Excel® para Solver. 8 Se ha nombrado la celda que hace referencia al vaciamiento del mercado del bien 1 como z_1 y para el vaciamiento del mercado del bien 2 como z_2. 9 También se podría haber colocado el vaciamiento del mercado del bien 2. Cualquiera de los dos da como resultado la misma solución, como cuando se escoge que ecuación en el sistema de ecuaciones descrito por (5).

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Al resolver el modelo se encuentra que todas las variables quedan en términos de los precios,

luego los precios son resueltos para encontrar los valores que vacían los mercados. En el

modelo computacional, en la opción “Cambiando las celdas de las variables” se colocan las

celdas donde están los valores de los precios10 para que estas varíen hasta encontrar los precios

que hacen que las celdas asociadas a las ecuaciones de vaciamiento del mercado son iguales a

cero, lo cual es equivalente a los precios encontrados al resolver el sistema de ecuaciones

descrito por (5).

De otra parte, hay que recordar que para resolver el sistema de ecuaciones descrito por (5), se

escogió un numerario. En la opción “Sujeto a las restricciones” entonces se puede colocar

algunos de los precios como el numerario, en este caso se colocó que el precio de bien 2 (p_2)

fuera el numerario. Adicionalmente, es esta opción se podría restringir a que los precios y

cantidades fueran no negativos, en este caso como ejemplo se colocó que el precio del bien 1

como no negativo o se podría marcar la opción “convertir variables sin restricciones en no

negativas”. Después de tener en cuenta todas las especificaciones del Solver, se procede a

resolver el sistema al dar clic en “Resolver” y aceptar la solución que salga de este.

En el Cuadro 7 se presenta la solución del modelo, que como se puede apreciar es la misma

que se encontró cuando se resolvió el modelo con lápiz y papel. Además de encontrar los

valores de equilibrio, también se puede empezar a construir distinto tipos de indicadores. Aquí

se presenta el cálculo de la variación equivalente y compensada, que son las medidas de

bienestar más usadas.

En el Anexo se presenta la definición y cálculo, tanto de la variación equivalente como de la

variación compensada. A continuación, se presenta el computo de estos indicadores de

bienestar en el caso de que hay unos precios dados pero que no son de equilibrio con respecto

al caso en que se encuentran los precios que vacían los mercados.

10 Las cuales han sido nombradas: p_1, para el precio del bien 1 y p_2, para el precio del bien 2.


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Cuadro 7. Equilibrio de intercambio puro para el modelo

Se considera que la situación inicial es cuando no hay intercambio la cual se presenta en el

Cuadro 6. Esto es, los precios son 𝑃𝑃1 = 2 y 𝑃𝑃2 = 3, y las cantidades demandas con distintas

(𝐶𝐶1 = 12,5 y 𝐶𝐶2 = 8,3) a las dotaciones iniciales (𝑤𝑤1 = 10 y 𝑤𝑤2 = 10). Luego, existen

incentivos para intercambiar, en el mercado del bien 1 hay un exceso de demanda, luego alguno

de los consumidores no podrá satisfacer óptimamente su demanda, y en el mercado del bien 2

hay un exceso de oferta, entonces hay un desperdicio de recursos.

Variables exógenas del modelo

P1 1,0P2 1,0

Ecuaciones del Modelo


UA 4,0C1

A 4,0

C2A 4,0

yA 8,0


UB 6,0C1

B 6,0

C2B 6,0

yB 12,0


w1 10,0w2 10,0

Ley de Walras

Exceso de demanda del Bien 1 0,0Exceso de demanda del Bien 2 0,0

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De otra parte, hay una situación final, en la cual se llega a un equilibrio, esto es, los mercados

se vacían. La cual se muestra en el Cuadro 7, donde los precios son 𝑃𝑃1 = 1 y 𝑃𝑃2 = 1, y las

cantidades demandas son 𝐶𝐶1 = 10 y 𝐶𝐶2 = 10, iguales a sus dotaciones iniciales. Con toda esta

información es posible encontrar cuales son los “ganadores” y “perdedores” del intercambio,

al calcular la variación equivalente o compensada.

A partir de A.6, se tiene que las variaciones equivalentes para los consumidores son:

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴 = 8 �21�12 �3

1�12 − 18 ≈ 1,60

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐵𝐵 = 12 �21�12 �3

1�12 − 32 ≈ −2,61

A partir de A.8, se tiene que las variaciones compensadas para los consumidores son:

𝐶𝐶𝐸𝐸𝐴𝐴 = 8 − 18 �12�12 �1

3�12 ≈ 0,65

𝐶𝐶𝐸𝐸𝐵𝐵 = 12 − 32 �12�12 �1

3�12 ≈ −1,06

Esto implica que para el consumidor A hay ganancias al intercambiar ya que debe sacrificar

menos de consumo del bien 1 (pasa de 4,5 a 4 su consumo) para obtener más del bien 2 (pasa

de 3 a 4) que para el consumidor B, ya que este debe sacrificar más consumo del bien 1 (pasa

de 8 a 6) para obtener más del bien 2 (pasa de 5,33 a 6).

4. Comentarios finales

Muchas veces se considera que los modelos de equilibrio general son “cajas negras”, dada las

matemáticas detrás de esto modelos, así sean muy sencillos. Por esta razón, la enseñanza de

estos modelos es muy compleja y muchas veces se gasta mucho tiempo en solucionar los

problemas matemáticos de los modelos que en la economía que hay en ellos.

En este documento se presenta como se pueden encontrar los precios de equilibrio de un

modelo de intercambio puro, con lápiz y papel, y como luego este puede trasladarse a un

modelo de equilibrio general computable, el cual se presenta en la hoja de calculo Excel ®. Al


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tener este modelo en el programa de Excel® se pueden realizar de manera rápida y eficaz

diferentes clases de ejercicios al variar los parámetros y las variables exógenas del modelo. De

esta manera, se puede reforzar y hacer más comprensibles diferentes aspectos conceptuales

de esta clase de modelos, así como empezar a introducir elementos de lo que se conoce como

modelo de equilibrio general computable.

5. Referencias

Barreto, H. (2020). Intermediate microeconomics with Microsoft Excel®. 2nd Edition.

Nicholson, W. & Westhoff, F. (2009). General Equilibrium Models: Improving the

Microeconomics Classroom. The Journal of Economic Education, 40(3), 297 – 314.

Peng, A. (2009). Introducing CGE models to the classroom using EXCEL (Working Paper No 13).

Ryerson University, Department of Economics.

Scarf, H. (1967). Approximation of Fixed Points of a Continuous Mapping. SIAM Journal of

Applied Mathematics, 15(5), 1328 – 1343.

Shoven, J. & Whalley, J. (1973). General Equilibrium with Taxes: Computational Procedure and

an Existence Proof. Review of Economic Studies, 40(4), 475 – 489.

Shoven, J. & Whalley, J. (1974). Computation of Competitive Equilibrium on International

Markets with Tariffs. Journal of International Economics, 4(4), 341 – 354.

Shoven, J. & Whalley, J. (1992). Applying general equilibrium. Cambridge University Press.

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6. Anexo. Cálculo de la variación equivalente y compensada

Se parte de que la función de utilidad Cobb- Douglas es:

𝑈𝑈ℎ�𝐶𝐶1ℎ,𝐶𝐶2ℎ,⋯ ,𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ � = ∏ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀

𝑚𝑚=1 (A.1)

Donde la ∑ 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ = 1𝑀𝑀𝑚𝑚=1 . Dadas estas especificaciones las funciones de demanda al maximizar

la utilidad son:

𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ = 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ

𝑃𝑃𝑚𝑚∑ 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1

= 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ

𝑃𝑃𝑚𝑚 (A.2)

Donde 𝑦𝑦ℎ = ∑ 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1

La función de utilidad indirecta 𝐸𝐸ℎ(𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ) se obtiene por reemplazar

𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2 ⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ) en la función de utilidad (A.1)

𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ � = ∏ �𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ

𝑃𝑃𝑚𝑚�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ

𝑀𝑀𝑚𝑚=1 (A.3)

Resolviendo (A.3) para 𝑦𝑦ℎ obtenemos la función de utilidad indirecta en términos métricos

monetarios �𝑒𝑒ℎ(∙)�.

𝑒𝑒ℎ�𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝐸𝐸ℎ(𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚, 𝑦𝑦ℎ)� =

𝐸𝐸ℎ(𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ)∏ �𝑃𝑃𝑚𝑚𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀

𝑚𝑚=1 (A.4)

Las variaciones compensadas y equivalentes son medidas de bienestar basadas en la función

de utilidad indirecta en términos métricos monetarios. Vamos a considerar que hay unos

precios y un ingreso iniciales, que se nota con el superíndice 𝑖𝑖, y unos precios y un ingreso

finales, los cuales se notan con el superíndice 𝑓𝑓. La variación equivalente se puede definir como

𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = 𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2

𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓�� −

𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 , 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖��


Junio 2021


Pági

na 2

0

𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = 𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2

𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓�� − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖 (A.5)

Para el caso de la función Cobb- Douglas, entonces

𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = 𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2

𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓�∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚

𝑖𝑖

𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ

𝑀𝑀𝑚𝑚=1 − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖

𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = ∏ �𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓

𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 �

𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1 ∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚

𝑖𝑖


𝑀𝑀𝑚𝑚=1 − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖

𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 ∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚𝑖𝑖

𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 �

𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1 − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖 (A.6)

La variación compensada se puede definir como

𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2

𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1

𝑓𝑓,𝑃𝑃2𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚

𝑓𝑓,𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓�� −

𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2

𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 , 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖��

𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 − 𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2

𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖�� (A.7)

Para el caso de la función Cobb- Douglas, entonces

𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 − 𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖�∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓


𝑀𝑀𝑚𝑚=1

𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 − ∏ �𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖

𝑝𝑝𝑚𝑚𝑖𝑖�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ

𝑀𝑀𝑚𝑚=1 ∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚

𝑓𝑓


𝑀𝑀𝑚𝑚=1

𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖 ∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓

𝑝𝑝𝑚𝑚𝑖𝑖�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ

𝑀𝑀𝑚𝑚=1 (A.8)

modelos de equilibrio general en excel®: un modelo de

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