Modelo de mínimos quadrados para a audição humana

Ícaro Caldeira

Kassiano Holeva

Matheus Souza

Mauricio Bittencourt

IntroduçãoO objetivo desse trabalho é mostrar uma aplicação da Álgebra Linear à audição humana.

Para melhor compreensão do artigo, iremos mostrar que a percepção humana tende a combinar informações sonoras de acordo com o contexto sonoro.Por exemplo, se duas notas musicais são similares e tocadas muito próximas, o cérebro apenas percebe uma delas. Essa percepção do que é ou não captado pelo ouvido humano ainda pode variar de pessoa para pessoa. O estudo desse fenômeno é chamado psicoacústica, que utiliza modelos matemáticos para representar padrões da audição humana.

O ouvido consiste em 3 partes básicas - o ouvido externo, o ouvido médio, e o ouvido interno. Cada parte serve para uma função específica para interpretar o som. O ouvido externo serve para coletar o som e o levar por um canal ao ouvido médio. O ouvido médio serve para transformar a energia de uma onda sonora em vibrações internas da estrutura óssea do ouvido médio e finalmente transformar estas vibrações em uma onda de compressão ao ouvido interno. O ouvido interno serve para transformar a energia da onda de compressão dentro de um fluido em impulsos nervosos que podem ser transmitidos ao cérebro. As três partes do ouvido podem ser vistas na figura.

ESPAÇO VETORIALSeja K um corpo e V um conjunto não vazio com operações de adição e multiplicação por

escalar que determinam para qualquer u e v V uma soma u + v V e para qualquer u V e k K um produto kv V. Então V é chamado de espaço vetorial sobre K (e os elementos de V são chamados vetores) se os seguintes axiomas são verdadeiros: 1) u + v = v + u 2) Para quaisquer u, v, w V, (u+v)+w = u+(v+w) 3) Existe um vetor em V, denotado 0 e chamado elemento neutro, tal que u+0 = 0+u = u para cada u V . 4) Para cada u em V, existe um vetor –u, chamado simétrico de u, tal que u+(-u) = (-u)+u = 0. 5) Para qualquer escalar k K e quaisquer vetores u,v V, k(u+v) = ku+kv. 6) Para quaisquer a,b K e u V (a+b)u = au + bu e (ab)u = a(bu). 7) 1.u = u

APROXIMAÇÃO POR MÍNIMOS QUADRADOSImaginemos a seguinte situação problema: Encontre a “melhor aproximação possível” de uma função f, contínua em [a,b], dentre todas as funções de um subespaço W específico de C[a,b].

Para resolvermos esse problema precisaremos de uma maneira de medir o erro que resulta quando uma função contínua é aproximada por outra sobre [a,b]. Se nossa preocupação fosse aproximar f(x) somente num único ponto x0, então o erro causado por uma aproximação g(x) seria simplesmente

¿ f (x0 )−g (x0 )∨¿

que pode ser chamado de desvio entre f e g em x0.

Mas, nesse momento, surge uma dúvida: será que a função g é a melhor aproximação da função f em todos os pontos do intervalo? E se não for, como escolher, ou encontrar, a melhor aproximação?

Vamos observar o gráfico das duas funções

A diferença entre f e g pode ser vista como a área entre os gráfico de f(x) e g(x). Ou melhor

erro=∫a

b

¿ f ( x )−g ( x ) dx∨¿¿

Matemáticos e cientistas costumam favorecer uma medida alternativa do erro total, chamado erro quadrático médio (e.q.m)

e .q .m=∫a

b

[ f ( x )−g ( x )] ²dx

O erro quadrático médio é mais vantajoso, entre outras coisas, por nos permitir utilizar a teoria dos espaços vetoriais com produto interno. Vejamos como.

Suponha que f seja uma função contínua em [a,b] e queremos aproximá-la por uma função g em algum subespaço W de C[a,b] que tem o produto interno sendo

¿ f , g>¿∫a

b

f (x ) g ( x )dx

Teremos então erro quadrático médio igual a

∫a

b

[ f ( x )−g ( x )] ² dx

Mas

∥ f−g∥ ²=¿ f−g , f−g≥∫a

b

[ f ( x )−g (x)] ²dx

Logo minimizar o erro quadrático médio será o mesmo que minimizar ∥ f−g∥ ².Portanto a função g, que responde a pergunta feita no início deste capítulo, será a função em W que minimiza ∥ f−g∥ ².

Mas vimos no capítulo 2 que a melhor aproximação de f em W será a sua projeção ortogonal, então:

g=projw f