A Modelagem Matemática e o Método dos Mínimos Quadrados

Aluno do Mestrado Rodrigo Fioravanti Pereira

Colaboradores: Prof. Gilberto Orengo - UNIFRA

Profª Alice Kozakevicius – UFSM

Mestrado Profissionalizante em ensino de Física e Matemática

Esta experiência didática apresenta uma

atividade baseada na Modelagem Matemática em

uma abordagem experimental, seguida de tratamento

de dados, proposição e discussão de modelos

obtidos através do Método dos Mínimos Quadrados e

de recursos computacionais.

Descrição da ExperiênciaDescrição da Experiência

O púbico alvo foi uma turma de oito alunos de Cálculo Numérico Computacional do Curso de Física Médica e 2 alunos do Curso de Engenharia Ambiental no Centro Universitário franciscano. UNIFRA.

Contexto da ExperiênciaContexto da Experiência

Foi solicitado aos alunos que medissem a deformação de uma mola cada vez que fossem adicionadas massas de 23g à mola e que anotassem os resultados.

Os dados obtidos pelos alunos foram organizados numa tabela.

Os alunos deveriam construir um gráfico com os resultados , analisá-los e fazer conjecturas.

Atividade desenvolvidaAtividade desenvolvida

Descobrir a função matemática que modela os

pontos do gráfico.

Objetivos da atividadeObjetivos da atividade

Trabalhar a matemática em lápis e papel e comrecursos computacionais.

Familiarizar-se com os softwares VCN 5.1 e Curve Expert

Uma mola foi fixada no

quadro negro pela sua

extremidade superior

enquanto que na outra

extremidade havia um

gancho onde se

colocavam os discos de

23g a cada etapa do

experimento.

ExperiênciaExperiência

O experimento foi adaptado

às condições da sala.

Cada aluno observava a

mola em diferentes ângulos

de visão.

As diferentes medidas

levaram à utilização da

média dos dados.

MASSA (g) DEFORMAÇÃO (mm) Média

23 13 8,5 7 11 11 10,01

46 24 20 20 22 22 21,6

69 39 31 29 33 34 33,2

92 51 43 41 45 45 45

115 62 53,5 50 56 55 55,3

138 67 64,8 62 68 68 65,96

Os dados coletados pelos alunos foram colocados numa tabela :

Construção da tabelaConstrução da tabela

Os dados coletados pelos alunos foram colocados numa tabela :

Construção da tabelaConstrução da tabela

MASSA (g) DEFORMAÇÃO (mm) Média

23 13 8,5 7 11 11 10,01

46 24 20 20 22 22 21,6

69 39 31 29 33 34 33,2

92 51 43 41 45 45 45

115 62 53,5 50 56 55 55,3

138 67 64,8 62 68 68 65,96

Os alunos não mostravam aos demais os dados que estavam apurando, assim a disparidade observada nas colunas 2 e 3 só foi diagnosticada no final das observações

Cada aluno construiu o seu gráfico a partir dos dados

que ele próprio levantou.

O professor construiu um gráfico a partir da média

dos dados dos alunos.

A construção do GráficoA construção do Gráfico

Abaixo temos o gráfico de dispersão a partir da média dos

dados dos alunos construído com o software Curve Expert.

Gráfico de dispersãoGráfico de dispersão

Análise do gráfico de dispersão em busca da função

que ajusta os pontos

s

Como determinar esta reta?

As respostas introduziram o assunto de Interpolação e Ajuste de Curvas

Todos perceberam que se tratava de uma reta.

s

s

s

Questão do professor:

Qual a reta que melhor ajusta os pontos?

Algumas Suposições dos alunos

a reta que liga o primeiro e o último ponto.

a reta que passa pelo maior número de pontos.

a reta que está no meio do conjunto de pontos.0

Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados

s

s

s

s

Consiste num processo que, conhecidos alguns

valores de uma função f(x), determina uma função

g(x) que melhor se aproxima daqueles valores de f(x).

O critério para esta melhor aproximação dá nome ao

método, a idéia é minimizar o quadrado do erro que

se comete a cada ponto tabelado.

A função g(x) pode ser uma combinação de funções

polinomiais, exponenciais, trigonométricas, etc.

MASSA (g)

Média da elongação

(mm)

23 10,01

46 21,6

69 33,2

92 45

115 55,3

138 65,96

Aplicando o Método dos Aplicando o Método dos

Mínimos QuadradosMínimos Quadrados

Considerando a massa e a média das elongações, a tabela fica assim:

Massa(x) Elongação(y) x² x.y

23 10,01 529 230,23

46 21,6 2116 993,6

69 33,2 4761 2290,8

92 45 8464 4140

115 55,3 13225 6359,5

138 65,96 19044 9102,48

Σ483 Σ231,07 Σ48139 Σ23116,61

Desenvolvimento do MétodoDesenvolvimento do Método

Uso de dois aplicativos Uso de dois aplicativos

para a resolução da para a resolução da

atividadeatividade

Resultado obtido através do Resultado obtido através do

Curve ExpertCurve Expert

Resultado obtido através do Resultado obtido através do VCN 5.1VCN 5.1

Análise da Função Obtida

Através da função g(x) = 0,4877639x - 0,75333

obtém-se uma elongação de -0,75333 para uma

massa de zero gramas, o que não condiz com a

realidade pois zero gramas significa que a elongação

também é zero.

Os alunos diagnosticaram o problema e perceberam

que o erro foi causado no levantamento dos dados no

início da atividade.

Como o erro é pequeno, decidiram que o melhor a

fazer seria desconsiderar este coeficiente, ficando a

função na forma g(x) = 0,4877639x

Cálculo da massa e da elongação por meio do modelo Matemático

O modelo matemático que descreve a elongação da mola em função da massa é dado pela equação g(x) = 0,4878x

Pergunta-se:

Qual a elongação que 40g produzirão na mola?

O resultado é obtido calculando-se o valor da função para x = 40, isto é,

g(40) =0,4878(40)=19,51

Portanto a elongação produzida ao colocar-se uma massa de 40g é de 19,51mm.

Quantos gramas são necessários para se obter uma

elongação de 50mm?

Nesse caso tem-se,

50 = 0,4877639x

ou

x = 50 / 0,4877639 = 102,50

Os valores encontrados são condizentes com a tabela o

que indica que o modelo obtido fornece uma boa

aproximação para os dados reais.

Aspectos Positivos da Experiência

Visão geral do conteúdo

Contextualização do conteúdo

Variação na forma de apresentação dos resultados

usando lápis e papel e recursos tecnológicos,

Diversificação do modo de trabalhar o conteúdo

Participação efetiva do aluno na realização das

atividades.

Aspectos Positivos da Experiência

Valorizou a produção dos alunos

Permitiu a análise e superação dos erros pelos

alunos

Desenvoltura no uso de softwares com embasamen

-to matemático consistente.