estimação de variáveis instrumentais e mínimos quadrados

1

Estimação de Variáveis

Instrumentais e Mínimos

Quadrados de Dois

Estágios

Wooldridge, Cápítulo 15

2

Variáveis Instrumentais

(IV)

3


yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei

Considere o seguinte modelo de regressão

linear múltipla

4


Suposições

a) Modelo é linear nos parâmetros e a matriz X é de

posto completo.

b)

c) X’X admite inversa

d)

e)

~~0X

~~

E E ee

~

plim QX'X~~

n

1

~n

~~IXe

2

Var

5

As suposições (a), (b), (c) e (d) são

necessárias para demonstrar a consistência

do vetor de estimadores ~

β̂


6


Hipótese Crucial

~~0X

~~

E E ee

Ou seja, todos os fatores contidos em e devem ser

não correlacionados com as variáveis explicativas e

deve ter sido usada a forma funcional correta.

7


Suposição: E(ei | x1, x2, ..., xk) = E(ei) = 0

Como pode falhar?

yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei

• Omissão de Variáveis

(Ignorar o problema? Usar proxy? Dados em Painel?)

• Erro nas Variáveis

• Endogeneidade

8

Uma variável explicativa, num modelo de regressão

linear, que é correlacionada com o termo de erro é

dita variável explicativa endógena.

Endogeneidade

Problema:

~~~0e'X

n

1plim


yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei

9

Dessa forma, se estimarmos o modelo de regressão

linear por mínimos quadrados teremos estimadores

viesados e inconsistentes para os parâmetros do

modelo.


yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei

10



Exemplo 1

Ih = 0 + 1 educh + 2 filhosh + 3 rendah + ei

Ih – indicador de saúde do h-ésimo domicílio

educh – educação do chefe da família do h-ésimo domicílio

filhosh – número de filhos no h-ésimo domicílio

rendah – renda do h-ésimo domicílio

número de filhos é uma decisão endógena, pode depender de

diversos fatores

11



Exemplo 2

salárioi = 0 + 1 educi + 2 x2i + ... + k xki + ei

01

~~eeduc'plim

n

Quais seriam os motivos desta violação?

Possíveis soluções?

12

Uso de variáveis instrumentais

Solução


yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei

13

Considere o modelo


yi = 0 + 1 x1i + ei (1)

com

Cov(x1, e) 0

14

Mas, suponha que tenha sido observada uma

variável z que satisfaça a duas suposições:


(a) z é não-correlacionada com e, isto é,

Cov(z, e) = 0

(b) z é correlacionada com x1, isto é,

Cov(z, x1) 0

z é exógena em (1)

Como testar tais suposições?

15

Do exposto, chamaremos z de variável

instrumental para x1.


16


Em termos matriciais:

~ZX

~~QX'Z

n

1plim (b.1)

~~~0eZ

'plim (a.1)

n

1

~Z

~X

- Matriz de Instrumentos

- Matriz de Explicação

17



Voltando ao Exemplo 2

salárioi = 0 + 1 educi + 2 x2i + ... + k xki + ei

Devemos procurar uma variável correlacionada com educ e

não-correlacionada com habilidade (que está no termo de erro

e é correlacionada com educ)

Possíveis instrumentos?

18

• O método de estimação com o uso de

variáveis instrumentais (IV) é mais geral do

que OLS;


• OLS é um caso particular de IV, uso as

variáveis explicativas como instrumentos delas

mesmas.

19


Considere o modelo de regressão linear geral

~~~~

eβXy

Pré multiplicando a equação anterior pela transposta

da matriz de instrumentos, temos que:

~~~~~~~e'ZβX'Zy'Z

20


Multiplicando a equação anterior por n-1, vem que:

~~~~~~~e'ZβX'Zy'Z

nnn

111

e tomando o limite de probabilidade em ambos os

lados da igualdade, temos que:

~~~~~~~

~~~~~~~

e'ZβX'Zy'Z

e'ZβX'Zy'Z

nnn

nnn

111

111

plimplimplim

plimplim

21


(cont.)

~IV

~

~~~~~~~~~

~~~~~

~~~~~~~

ββ

y'ZX'Zy'ZX'Zβ

y'ZX'Zβ

e'ZβX'Zy'Z

ˆplim

plimplim

plimplim

plimplim plim

11

1

11

11

111

nn

nn

nnn

22


Assim,

~~~~~

IV y'ZX'Zβ1

ˆ

Que é um estimador consistente!

23


Observações

(i) Admitindo a validade das suposições (a.1) e (b.1), o vetor

de estimadores gerado com o uso de variáveis

instrumentais é consistente.

(ii) Para estimar o vetor de parâmetros, precisamos garantir

que a matriz Z’X admite inversa. Logo, se Z for uma matriz

de dimensão n x L e X for uma matriz de dimensão n x (k +

1), precisaremos que L = k + 1. (neste caso, obtenho os

estimadores diretamente)

24


Observações (cont.)

iii. Faremos, ainda, uma suposição adicional de que a

variável instrumental z seja fortemente correlacionada

com a variável endógena x. (suposição ligada ao fato do

uso de instrumentos fracos)

iv. De (iii) conseguimos garantir que o método de estimação

proposto apresenta bom desempenho com amostras

finitas.

Leitura: Wooldridge (2003, p. 493-94)

25


'ˆˆEˆVar

~~IV

~~IV

~IV βββββ

~~~~~~

IV

~~~~~~IV

~~~~~~~~~~IV

~~~~~~~~~~~IV

e'ZX'Zββ

e'ZX'Zββ

e'ZX'ZβX'ZX'Zβ

eβX'ZX'Zy'ZX'Zβ

1

1

11

11

ˆ

ˆ

ˆ

ˆMas,

26


'ˆˆEˆVar

~~IV

~~IV

~IV βββββ

11

11

~~~~~~~~~IV

~~~~~~~~~IV

~~IV

~~IV

~IV

ZXZee'ZX'Zβ

ZXZee'ZX'Zβ

βββββ

''EˆVar

''EˆVar

'ˆˆEˆVarLogo,

27


'ˆˆEˆVar

~~IV

~~IV

~IV βββββ

112

~~~~~~~IV ZXZ'ZX'Zβ 'ˆVar

Se a suposição de homocedasticidade for válida, então,

e

112

~~~~~~~IV ZXZ'ZX'Zβ 'ˆˆVar

~IV

~~~IV

~~~~βXyβXye'e ˆ'ˆˆˆˆ

nn

112

com

28


'ˆˆEˆVar

~~IV

~~IV

~IV βββββ

Caso contrário,

112

~~~~~~~~IV ZXZΩ'ZX'Zβ 'ˆVar

29


É possível provar que

~

1XZ

~ZZ

~

1ZX

~~~IV QQQ0ββ

2 , ~ˆa

Nn

30


Exemplo

~~~~

eβXy

em que

~k

~3

~2

~1

~ ... xxxxi

~X

Considere o modelo de regressão linear geral

Desconfia-se que as variáveis x1 e x2 sejam

endógenas.

31

Perguntas:

(a) Poderíamos propor o mesmo instrumento para ambas as

variáveis? Discuta as implicações no método de estimação.

(b) Haveria algum problema no caso em que fossem propostos

exatamente um instrumento diferente para cada variável?

(c) Poderíamos propor mais de um instrumento para cada variável

endógena?

(d) De acordo com o enunciado de (c), como ficariam as dimensões

das matrizes Z e X?

(e) Admitindo a validade de (c), seria possível gerar diretamente o

vetor de estimadores?


Exemplo (cont.)

32

Solução para o que foi discutido em (c), (d) e (e):

2SLS

(mínimos quadrados em dois estágios)


Exemplo (cont.)

33

Inicialmente devemos construir a matriz de instrumentos

Z. As variáveis que são exógenas serão consideradas

instrumentos delas mesmas. Isso feito,

1o. Estágio: Regredir cada variável explicativa do modelo

original em função dos instrumentos (estimação das

formas reduzidas) e gerar uma matriz de valores

ajustados em cada um das regressões;

2o. Estágio: Estimar o modelo para a variável resposta

em função dos valores estimados para as variáveis

explicativas.

Mínimos Quadrados em Dois Estágios

34

2o. Estágio:

1o. Estágio:


~~~πZX ˆˆ

~~~~

eβXy ˆ

~~~~υ πZX

Obter

~~~~~XZZZπ ''ˆ

1Onde

35


~~

Z~~~~~~~~

XHXZZZZπZX

''ˆˆ 1

Temos que no primeiro estágio que:

~~~~~XZZZπ ''ˆ

1

Assim,

36

Logo,


~~

Z~~~~~~~~

XHXZZZZπZX

''ˆˆ 1

Sabemos, do 2o. estágio, que:

~~

1

~~y'XX'Xβ

2SLS ˆˆˆˆ~

Mas,

~~

Z~

1

~~Z

~~~Z

~

1

~~Z

~Z

~~~

1

~~y'H'XXH'Xy'H'XXH'H'Xy'XX'Xβ

2SLS

ˆˆˆˆ

~

37

Logo,


~~Z

~

1

~~Z

~~~~~~Z

~

1

~~Z

~e'H'XXH'XβeβX'H'XXH'Xβ

2SLS

ˆ

~

Do exposto,

~~Z

~

1

~~Z

~e'H'XXH'Xββ

2SLS

~~

ˆ

Mas,

~~Z

~

1

~~Z

~y'H'XXH'Xβ

2SLS

~

ˆ

38


1

~~Z

~~~Z

~~~Z

~

1

~~Z

~XH'XXHeeH'XXH'Xβ

2SLS

'ˆ

~

EVar

Assim,

Pode ser expressa como,

'ˆˆˆ

~~~~~

βββββ2SLS2SLS2SLS

EVar

39


1

22

~~Z

~XH'Xβ

SLS

~

ˆVar

Se a suposição de homocedasticidade for válida, então,

e

1

22

~~Z

~XH'Xβ ̂ˆVar

~

SLS

2SLS

~~~

2SLS

~~~~~βX yβX ye'e ˆ'ˆˆˆˆ

nn

112

com

40


11

2

~~Z

~~~Z

~~Z

~~~Z

~XH'XXHΩH'XXH'Xβ

SLS

~

ˆVar

Caso contrário,

41


É possível provar que

SLSSLSVarN

22

~

a

~

ˆ , ~ˆ βββ~

42

1) IV pode ser bem mais ineficiente que OLS;

2) A distribuição de probabilidades do estimador

usando IV, no caso de amostras finitas, pode ser

bem diferente da distribuição de probabilidades

assintótica.


Problemas

Mesmo quando Corr(z,e) = 0, onde IV é consistente,

ainda podemos ter problemas:

43

Teste de Endogeneidade


O estimador de 2SLS é menos eficiente que o de

OLS quando as variáveis explicativas são exógenas.

Assim sendo, se torna útil fazer um teste de

endogeneidade de uma variável explicativa que

mostre se a utilização de 2SLS é necessária.

44

Considere o modelo


y1 = 0 + 1y2 + 2z1 + 3z2 + e1 (1)

em que

y2 – variável endógena

z1 e z2 – variáveis exógenas


45

Fatos

1. Se y2 for não correlacionada com e1, então,

devemos estimar os parâmetros do modelo por

OLS (mais eficiente).

2. OLS e 2SLS fornecem estimadores consistentes

se a condição de exogeneidade estiver satisfeita.



46



HAUSMAN (1978), sugeriu fazer uma comparação

direta das estimativas de OLS e 2SLS e determinar

se as diferenças são estatisticamente significantes.

Se as estimativas geradas por OLS e 2SLS

diferirem de forma significante, concluímos que y2

deve ser endógena (supondo z1 e z2 exógenas).

47



1) Estime a forma reduzida de y2, regredindo y2

sobre todas as variáveis exógenas (inclusive

aquelas da equação estrutural e as IVs adicionais).

2) Obtenha os resíduos.

3) Estime a equação estrutural, por OLS, utilizando

os resíduos, obtidos em (2), como variável

explicativa. Se o parâmetro associado ao resíduo

for estatisticamente significante, concluiremos que

y2 é endógena.

48

Teste de Restrições Sobreidentificadoras


Suponha que em nosso modelo apareça somente uma

variável explicativa endógena:

Se tivermos somente uma única IV, não teremos

restrições sobreidentificadoras. Neste caso, não haverá

nada que possa ser testado

Se tivermos somente duas IVs, teremos uma restrição

sobreidentificadora. Se tivermos três IVs, teremos duas

restrições sobreidentificadoras, e assim por diante.

49



1) Estime a equação estrutural por 2SLS

2) Obtenha os resíduos.

3) Regrida os resíduos em função de todas as

variáveis exógenas.

4) Obtenha o R2 (coeficiente de explicação).

5) Sob a hipótese nula de que todas as IVs são não

correlacionadas com o erro,

nR2 ~2q

q – número de variáveis endógenas.

50



Rejeitar a hipótese nula significa que

pelo menos uma das IVs não é exógena.

estimação de variáveis instrumentais e mínimos quadrados

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