Mnimos-quadrados e aproximao de superfcie de pontos: novas perspectivas e

aplicaes

Joo Paulo Gois

Mnimos-quadrados e aproximao de superfcie de pontos: novas perspectivas e aplicaes

Joo Paulo Gois

Orientador: Prof. Dr. Antonio Castelo Filho

Tese apresentada ao Instituto de Cincias Matemticas e de

Computao - ICMC-USP, como parte dos requisitos para

obteno do ttulo de Doutor em Cincias - Cincias de

Computao e Matemtica Computacional.

USP So Carlos

Maro de 2008

Esta tese foi financiada pela FAPESP (proc. n 04/10947-6)

SERVIO DE PS-GRADUAO DO ICMC-USP

Data de Depsito:

Assinatura:________________________

______

AosmeuspaiseaminhaavCida

Agradecimentos

FAPESP, ao DAAD, Universidade de Stuttgart e ao ICMC-USP.

Ao professor Castelo, amigo e orientador.

Aos professores Luis Gustavo Nonato, Thomas Ertl e Marcelo Siqueira.

Ao professor Gustavo Buscaglia, pelo imenso apoio no final dessa jornada e pela oportunidade de realizao de um ps-doutorado.

Aos demais professores e aos amigos do LCAD.

Aos amigos e co-autores de trabalhos: Valdecir, Tiago, Anderson e Eduardo.

Aos amigos do Vis-Group, Universidade de Stuttgart-Alemanha.

Aos alunos e professores do IMPA, PUC-Rio e UFRGS, pelas discusses enriquecedoras.

Aos meus pais, irms, sobrinhos e minha av Cida.

minha noiva Aline e famlia dela.

Deus, acima de tudo.

Resumo

Mtodos de representao de superfcies a partir de pontos no-organizados se

mantm como uma das principais vertentes cientficas que aquecem o estado-da-arte

em Computao Grfica e, significativamente, esto sendo reconhecidos como uma

ferramenta interessante para definio de interfaces mveis no contexto de simulaes

numricas de escoamento de fluidos. No difcil encontrar motivos para tais fatos:

pelo lado da computao grfica, por exemplo, a manipulao de conjuntos de pontos

massivos com geometrias complexas e sujeitos a informaes ruidosas ainda abre

margem para novas metodologias. J no mbito da mecnica dos fluidos, onde os

dados no so originados de scanners tridimensionais, mas sim de interfaces entre

fluidos imiscveis, mecanismos de representao de superfcies a partir de pontos no-

organizados podem apresentar caractersticas computacionais e propriedades geom-

tricas que os tornem atrativos para aplicaes em simulao de fenmenos fsicos.

O objetivo principal dessa tese de doutorado foi, portanto, o desenvolvimento

de tcnicas de representao de superfcies a partir de pontos no-organizados, que

sejam capazes de suprir restries de importantes trabalhos prvios. Nesse sentido,

primeiramente focalizamos a elaborao de tcnicas baseadas em formulaes de

mnimos-quadrados-mveis e de uma tcnica robusta de partio da unidade implcita

adaptativa em duas vias.

Alm de mecanismos de representao de superfcies a partir de pontos no-

organizados, tambm propusemos um mtodo promissor para representao de in-

terfaces em simulao numrica de escoamento de fluidos multifsicos. Para isso,

embasamo-nos numa abordagem Lagrangeana (livre-de-malhas), fundamentada no

mtodo dos mnimos-quadrados-mveis algbricos e apresentamos diversos resultados

numricos, estudos de convergncias e comparaes que evidenciam o potencial dessa

metodologia para simulaes numricas de fenmenos fsicos.

Apesar de a contribuio principal deste trabalho ser o desenvolvimento de mtodos

para representao de superfcies a partir de pontos no-organizados, a experincia

que adquirimos no desenvolvimento dessas tcnicas nos conduziu elaborao de

mecanismos para representao de dados volumtricos no-organizados. Por conta

disso, apresentamos dois mecanismos de representao a partir de dados volumtricos

no-organizados com o intuito de serem aplicveis a informaes oriundas de malhas

contendo clulas arbitrrias, isto , propusemos a definio de um mtodo de rendering

unificado.

Abstract

Surface reconstruction from unorganized points has been one of the most promising

scientific research areas in Computer Graphics. In addition, it has been used successfully

for the definition of fluid interface in numerical simulation of fluid flow. There are

several reasons to that fact: for instance, considering Computer Graphics, we have

the handling of out-of-core data from complicated geometries and subject to noisy

information that brings out opportunities for the development of new techniques.

Further, considering Numerical Fluid Mechanics, where the input data does not come

from tridimensional scanners, but from fluid interfaces, schemes that define the surface

from unorganized points can offer geometrical and computational properties useful to

numerical fluid flow simulation.

The main goal of this project was the development of novel techniques for recon-

structing surfaces from unorganized points with the capability to overcome the main

drawbacks of important previous work. To that end, first we focused on the development

of techniques based on moving-least-squares and on a robust twofold partition of unity

Implicits.

Added to the development of surface reconstruction from unorganized points, we

proposed a novel scheme for defining fluid flow interfaces. We approach a meshless

Lagrangian based on algebraic moving-least-squares surfaces. In addition, we presented

several numerical results, convergence tests and comparisons, which state the power of

the method to numerical simulation of physical phenomena.

Although our main contributions were focused on surface reconstruction from

points, we proposed methods to function reconstruction from unorganized volumetric

data. Thus, we present two schemes to represent volumetric data from arbitrary meshes,

i.e., a unified rendering scheme.

CONTEDO

Contedo i

Lista de Figuras iii

Lista de Tabelas xii

1 Introduo 1

1.1 Definio do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivos Alcanados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Organizao da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 O Termo Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Contextualizao 17

2.1 Superfcies por Pontos No-Organizados Classificao . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Mtodos de Esculpimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Mtodos Incrementais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Modelos Deformveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Mtodos de Projeo de Pontos (Point Set Surfaces) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Mtodos Implcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Representao por Pontos No-Organizados: Abordagens Preliminares 45

3.1 Projeo de Pontos Guiada por Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Superfcies iaMLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Partio da Unidade Implcita em Duas Vias 79

4.1 Contribuies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Extrao de Iso-Superfcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4 Reconstruo Adaptativa em Duas Vias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5 Extenses do Mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.6 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

i

ii Contedo

5 Acompanhamento de Fronteira com Superfcie MLS 123

5.1 Contribuies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Representaes de Interfaces Mveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3 Superfcies AMLS Definidas Implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4 Superfcies AMLS Robustas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.5 Acompanhamento de Fronteiras com RAMLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.6 Resultados Numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.7 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6 Representao de Dados Volumtricos No-Organizados 181

6.1 Rendering de Dados Volumtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.2 Aproximao de Funes a partir de Dados Volumtricos . . . . . . . . . . . . . 185

6.3 Aproximao Robusta para Dados Volumtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4 Reconstruo de Dados Volumtricos por iaMLS Anisotrpico . . . . . . . . . . 201

6.5 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7 Concluso 215

7.1 Desafios Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Referncias Bibliogrficas 223

LISTA DE FIGURAS

1.1 Exemplo de objeto com caractersticas afiadas: Unio de um cone com um

blobby. As caractersticas afiadas so determinadas pelo pice e base do cone

e as duas curvas definidas pelas intersees do cone com o blobby. . . . . . . . . . 2

1.2 Exemplo de scanners tridimensionais sendo utilizados na esttua de Davi de

Michelangelo (a)-(b) e de Lucy (c): Projeto Michelangelo Digital da Universidade

de Stanford [133, 132]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Contra-exemplos da condio de reconstruo: exemplos de objetos que no

so homeomorfos (esquerda) e de objetos que no so geometricamente semel-

hantes, apesar de serem topologicamente equivalentes (direita). . . . . . . . . . . 4

1.4 Exemplo de simulao numrica de um escoamento de fluidos multifsicos do

trabalho de Sousa et al. [194]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Exemplo de simulao numrica de escoamento de um fluido com superfcie

livre [49]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Triangulao de Delaunay de um conjunto de pontos da Enterprise (a), e o

esculpimento da triangulao de Delaunay (b) com o intuito de obter a repre-

sentao do objeto original. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Descrio do processo de estimativa das curvaturas da superfcie e da malha,

proposta por Huang e Menq [108]: Em (a) tem-se a malha original; em (b) a curva

d representa a aproximao da curvatura por mnimos-quadrados baseado nos

pontos da vizinhana da aresta e, ao passo que c define a estimativa da curvatura

para a aresta e; em (c) o remalhamento local torna ambas aproximaes das

curvaturas semelhantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Resultado do ps-processamento proposto por Huang e Menq [108] em (b),

aplicado malha inicial em (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Alexa et al. ilustram o resultado esperado pela reamostragem de pontos dada pelo

operador de projeo [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 (a) Situao inicial do esquema de projeo: dado p a ser projetado, devemos

encontrar o plano (aproximadamente) tangente H prximo a p. (b) Interpretao

geomtrica do ponto q = p+ tn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Diferentes valores de1 e2 para a Funo-Peso 2.6: (a)1 = 1 e2 = 2, (b)1 = 1

e 2 = 10, (c) 1 = 5 e 2 = 4 e (d) a funo que utilizamos, com 1 = 1 e 2 = 4. . . 29

iii

iv Lista de Figuras

2.7 (a) Aproximao polinomial local. (b) A altura dos pontos pi em relao a H . . . . 30

2.8 Esquema de gerao de pontos na superfcie MLS, proposto por Amenta e Kil [16]. 32

2.9 Comparao entre a tcnica de Alexa et al. [9] (esquerda) e a tcnica de Fleishman

et al. [80] (direita). A segunda abordagem capaz de modelar caractersticas

afiadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.10 Exemplo apresentado por Lipman et al. [138], que exemplifica a projeo de

pontos na superfcie pelo LOP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.11 Exemplos de densidade variada de pontos com que o trabalho de Tobor et al. [205]

capaz de lidar eficientemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 Resultado gerado pelo algoritmo de traado-de-raios para nuvens de pontos, que

implementamos na GPU [204]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Estimando as curvaturas direcionais sobre o plano tangente aproximado em p. . . 52

3.3 Resultados do mtodo de Huang e Menq [108]: uma pequena perturbao

na posio do ponto pode produzir consideravelmente diferentes curvaturas e

direes (representadas pelas setas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4 Exemplos de grficos da funo do tipo M. Da esquerda para a direita: = 2 e= 1, = 1 e = 1, e = 1 e = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5 Ilustrao do esquema de projeo baseado nas direes e curvaturas principais. 57

3.6 Esquema bidimensional de interseo entre um raio e a superfcie. Os pontos em

azul representam a interseo do grfico com o raio: (a) situao inicial nuvem

de pontos com as esferas cobrindo toda a superfcie e um raio que intersecta a

primeira esfera definindo a primeira estimativa de interseo da superfcie; (b)

calcula-se a aproximao polinomial local e projeta-se o ponto de interseo no

grfico da aproximao local. Em seguida, verifica-se se o erro maior que um .

Em caso afirmativo, caminha-se para a prxima esfera e repete-se o processo(c);

(d) novamente calcula-se a aproximao polinomial e verifica-se se a distncia

do ponto projetado ao ponto sobre o grfico da funo menor que um e, nesse

caso, a interseo definida pelo ponto em cinza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7 Aproximaes polinomiais obtidas pelas direes e curvaturas (da esquerda para

a direita) sem pesos, com a Gaussiana e com a funo do tipo M. Note que

ambas a no utilizao de pesos e a funo Gaussiana produzem resultados

semelhantes, porm incorretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Lista de Figuras v

3.8 Imagem de uma superfcie aproximada para o conjunto Rocker Arm (40 mil pon-

tos), obtida pelo mtodo de traado-de-raios de Adamson e Alexa [2] (esquerda)

e o mtodo guiado por curvaturas (direita): possvel notar qualitativamente

que ambos resultados so semelhantes, porm nossa abordagem utiliza bases de

polinnios reduzidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.9 Rendering pelo mtodo guiado por curvaturas: Stanford Bunny (30 mil pontos). . 61

3.10 Rendering pelo mtodo guiado por curvaturas: Cavalo (45 mil pontos). . . . . . . 62

3.11 Rendering pelo mtodo guiado por curvaturas: Formiga (660 mil pontos). . . . . . 63

3.12 Rendering pelo mtodo guiado por curvaturas: Stanford Dragon (500 mil pontos)

Proposta de capa dos anais do Sibgrapi-2006 [191]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.13 Exemplo de uma superfcie iaMLS (Drago de Stanford). . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.14 Grficos de valores das funes para um conjunto de pontos regularmente

espaados. Da esquerda para a direita de cima para baixo: iaMLS aps 5 iteraes,

iaMLS aps 20 iteraes, funo de Adamson e Alexa [3] e de Kolluri [119]. As

curvas brancas mostram o nvel zero da funo enquanto o mapa de cores define

os demais valores da funo, variando do vermelho (valores baixos da funo)

para o azul (valores altos da funo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.15 Grficos de valores das funes para um conjunto de pontos irregularmente

espaados. Da esquerda para a direita e de cima para baixo: iaMLS aps 5

iteraes, iaMLS aps 20 iteraes, funo de Adamson e Alexa [3] e de Kolluri

[3]. As curvas brancas mostram o nvel zero da funo, enquanto o mapa de

cores define os demais valores da funo, variando do vermelho (valores baixos

da funo) para o azul (valores altos da funo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.16 Imagens das superfcies, obtidas com o mtodo de Adamson e Alexa (topo),

Kolluri (meio) e iaMLS (base). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.17 Efeito do nmero de iteraes e do parmetro na aproximao. Da esquerda

para a direita: 3,4 e 5 iteraes. De cima para baixo: = 0.4, = 0.8, = 1.22, = 2.0. possvel notar que, quando o nmero de iteraes aumenta, maioresdetalhes do objeto so obtidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1 Reconstruo da esttua de Lucy, de Stanford (16 milhes de pontos), inserida

em um cenrio tridimensional estilo barroco (modelado com o Blender [39]).

Imagem da contracapa dos anais do Sibgrapi-2007 [192]. . . . . . . . . . . . . . . . 80

vi Lista de Figuras

4.2 Adaptatividade em duas vias: A esttua da Lucy de Stanford de 16 milhes

de pontos e com malha de 7 milhes de tringulos. esquerda, a escala

de cores representa o grau mximo do polinmio das aproximaes locais na

superfcie. Em todo o domnio, o nmero de polinmios corresponde a: 946601,

144956, 38236 e 26862 de grau 1 a 4, respectivamente. direita apresentamos a

profundidade da triangulao J a1 , que na superfcie variou de nvel 6 a 10. . . . . . 83

4.3 Ilustrao bidimensional do domnio sendo coberto por um conjunto de

crculos que definem o suporte das funes-peso i . Tambm nessa figura,

apresentamos o comportamento da octree restrita da triangulao J a1 durante a

aproximao da funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4 As curvas em preto, com extremos representados pelos pontos pretos, represen-

tam as aproximaes locais que definem a aproximao global (em amarelo na

Figura 4.3) pela PUI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5 A triangulao J a1 : esquerda, um exemplo bidimensional da triangulao

adaptativa e, direita, exemplos de operaes de pivotamento. . . . . . . . . . . . 88

4.6 Ilustrao do critrio de recobrimento do domnio: aumentar o grau do polin-

mio arbitrariamente pode causar solues locais errneas e, portanto, a funo

global pode ser comprometida: na esquerda, apesar da soluo ser mais precisa

para o conjunto de pontos, a oscilao no polinmio local faz com que sinais no

bloco da J a1 sejam mal calculados. J na direita, a aproximao no to precisa

quanto na esquerda, porm os sinais da funo so adequadamente calculados. . 92

4.7 Exemplo de situao em que a taxa pode alcanar seu valor mximo: a

projeo da esfera no plano gera um crculo inscrito no bounding-box dos pontos

projetados no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.8 Com a utilizao da mdia dos vetores normais em vez de uma aproximao por

mnimos-quadrados, podemos evitar problemas de mal-definio da aproxima-

o local para regies com pouco ou nenhum ponto: em (a), temos uma situao

em que o plano obtido por mnimos-quadrados, cuja superfcie localmente

aproximada de forma equivocada, dividindo-se em duas regies. Tal fato pode

comprometer a funo final. J em (b), temos um plano obtido pela mdia das

normais e com origem no centro de massa dos pontos. Nesse caso, detalhes

podem ser perdidos, mas isso no compromete a aproximao global. . . . . . . . 95

4.9 (a) Determinao de dois ramos da superfcie: (b) o mtodo de Ohtake opta

em aproximar uma qudrica completa, ao passo que (c) nosso mtodo, simples-

mente divide o bloco da triangulao J a1 e realiza uma aproximao em cada bloco. 97

4.10 Pseudo-cdigo do algoritmo de partio da unidade implcita adaptativo em duas

vias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Lista de Figuras vii

4.11 Interface desenvolvida que permite edio da funo: em (a), os blocos ver-

melhos representam os blocos da triangulao J a1 , selecionados para realizar a

edio da funo; em (b), pode-se notar alterao no objeto pela edio da funo. 104

4.12 Ilustrao da deformao do bloco da triangulao J a1 : a tcnica de deslocamento

de vrtice capaz de criar elementos com tamanhos mais uniformes. Os crculos

em cor rosa representam as regies em que o deslocamento dos vrtices

permitido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.13 Edio da Funo: (a)-(b) apresentam o mtodo de Ohtake et al. com seus

parmetros padres e com os sugeridos por ns, respectivamente; (c), a recons-

truo usando nosso mtodo sem o critrio de recobrimento do domnio; (d), a

reconstruo utilizando o critrio de recobrimento do domnio; (e), a seleo de

imperfeies pelo usurio; (f), a funo editada elimina as imperfeies. . . . . . 107

4.14 Comparaes realizadas por Kazhdan et al. [115]. (a) Power Crust [14], (b) Robust

Cocone [62], (c) Fast RBF [44], (d) PUI [158], (e) Mtodo de Hoppe et al. [107], (f)

Volumetric Range Image Processing VRIP [56], (g) FFT [114] e (h) reconstruo

de superfcies pela Equao de Poisson [115]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.15 Melhoramento de um modelo por edio da funo: (a) modelo sem aproxima-

es de alto grau, (b) blocos selecionados para edio da funo e (c) resultado

final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.16 Ilustrao da deteco de caractersticas afiadas de nossa tcnica (modelo do

Fank Disk): em amarelo, faces detectadas como sharp edges; e, em vermelho,

como sharp corners. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.17 Capacidade de modelar caractersticas afiadas (mtodo de Ohtake et al.): parte

frontal do modelo Filigree (514 mil pontos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.18 Capacidade de modelar caractersticas afiadas (nosso mtodo): parte frontal do

modelo Filigree (514 mil pontos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.19 Capacidade de modelar caractersticas afiadas (mtodo de Ohtake et al.): parte

traseira do modelo Filigree (514 mil pontos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.20 Capacidade de modelar caractersticas afiadas (nosso mtodo): parte traseira do

modelo Filigree (514 mil pontos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.21 Comparao da malha original produzida pela triangulao J a1 (esquerda) com a

malha obtida pelo deslocamento de vrtices (direita). . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.22 Comparao da malha produzida pela triangulao J a1 (topo) sem o processo de

deslocamento de vrtices, contra a malha em que se aplica tal procedimento (base).117

4.23 Reconstruo do Drago Chins, esquerda, sem o melhoramento de malha e

direita, com o melhoramento de malha: possvel notar, apesar da melhoria da

malha (Figura 4.22), a geometria dos modelos permanecem semelhantes. . . . . . 118

viii Lista de Figuras

4.24 Comparao da malha produzida pela triangulao J a1 (topo) sem o processo de

deslocamento de vrtices contra a malha em que se aplica tal procedimento (base).119

4.25 Uma operao de diferena entre dois modelos encontrada no artigo de Ohtake

et al. [158]. Destacamos algumas regies onde a superfcie est mal definida. . . . 120

4.26 Uma operao de CSG (diferena) envolvendo o modelo Netuno e um cilindro. . . 121

5.1 Simulao de ondas utilizando a abordagem LS: a topologia e a geometria so

tratadas por esta abordagem de forma natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.2 Exemplos das funes implcitas F por AMLS (azul) e exemplos da superfcie

aproximada S (preto) do conjunto de pontos (quadrados pretos). (a) Pontos

perturbados aleatoriamente em uma reta; (b) pontos perturbados aleatoriamente

em uma quina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3 O conjunto zero gerado por F (laranja) o mesmo gerado por F . . . . . . . . . . 1355.4 Em (a) apresentamos o conjunto de pontos Ph , correspondente a h = 1.5 no

caso da elipse, e a curva AMLS Sh baseada em crculos. Em (b), apresentamos

os grficos de convergncia de d(,Sh) (denotado por erro geomtrico), de

EN (,Sh) (denotado por erro das normais) e EC (,Sh) (denotado por erro de

curvatura). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5 Em (a), apresentamos o conjunto de pontos Ph , correspondente a h = 1.5 no casoda elipse e a curva AMLS Sh baseada em retas. Em (b), apresentamos os grficos

de d(,Sh) (denotado por erro geomtrico) e EN (,Sh) (denotado por erro das

normais). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.6 Em (a), temos o elipside gerado pela superfcie AMLS, baseada em esferas

para um conjunto de 265 pontos a uma distncia mdia de h = 0.75. Em (b),temos os grficos de convergncia de d(,Sh) (denotado por erro geomtrico),

de EN (,Sh) (denotado por erro das normais) e de EC (,Sh) (denotado por erro

de curvatura). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.7 Em (a), temos o elipside gerado pela superfcie AMLS, baseada em planos para

um conjunto de 265 pontos a uma distncia mdia de h = 0.75. Em (b), temosos grficos de convergncia de d(,Sh) (denotado por erro geomtrico) e de

EN (,Sh) (denotado por erro das normais). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.8 Aproximaes do caso 3/4-esfera com a superfcie AMLS baseada em conjuntos

com (a) 1030, (b) 2031 e (c) 4748 pontos, respectivamente. Os artefatos no topo

mostram que a funo implcita falhou no momento de reconstruir, mesmo para

conjuntos de dados refinados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Lista de Figuras ix

5.9 Aproximao da elipse pela curva RAMLS: (a) Conjunto de pontos Ph correspon-

dente a h = 1.5 junto com a curva resultante pelo RAMLS baseado em crculos; (b)Grficos de convergncia de d(,Sh) (denotado por erro geomtrico), EN (,Sh)

(denotado por erro das normais), e EC (,Sh) (denotado por erro de curvatura). . 152

5.10 Aproximao do elipside 3D com a superfcie RAMLS: (a) conjunto de pontos Ph

correspondente a h = 0.75, junto com a superfcie RAMLS baseada em esferas;(b) grficos de convergncia de d(,Sh) (denotado por erro geomtrico), de

EN (,Sh) (denotado por erro das normais), e de EC (,Sh) (denotado por erro

de curvatura). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.11 Exemplo do comportamento da curvatura exata (a) e dada pela aproximao por

esferas (b) para o conjunto de pontos com h = 1/128. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.12 Aproximao do caso 3/4-esfera com a superfcie RAMLS em conjuntos com (a)

1030, (b) 2031 e (c) 4748 pontos, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.13 Reconstruo RAMLS de pontos perturbados a partir de (a), uma reta, e a partir

de (b), uma quina: comparao com a Figura 5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.14 Conjunto de raios (R1h , R2h) que quando intersectados com a superfcie atual-

izada RAMLS Sh(t +t ), definem o novo conjunto de pontos Qh(t +t ). . . . . . 1605.15 Intersees raio-esferas: observemos que trs intersees produzem o mesmo

zero sobre a superfcie. Nesse caso, consideramos apenas a busca pelo zero da

funo na primeira esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.16 Pontos muito prximos: quando pontos (amarelo) so gerados por intersees de

raios (verde) com a superfcie a uma distncia menor 0.5h, consideramos apenas

um deles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.17 Resultados do mtodo PLS [72]: em (a), temos a distribuio de pontos prximos

ao contorno, e em (b), a soluo obtida (em preto) aps uma volta completa. . . . 166

5.18 Rotao do disco de Zalesak: resultados aps uma volta: (a) modelo original, (b)

h=1/64, (c) h = 1/128, (d) h = 1/256, e (e) h = 1/512. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.19 Rotao da esfera de Zalesak com h = 1/256 (19000 pontos em mdia) e nos

passos de tempo t = 0, 79, 157, 236, 314, 393, 471, 550 e 628 unidades de tempo(da esquerda para a direita e de cima para baixo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.20 Soluo exata (preto) e RAMLS (azul), h = 1/256 (esquerda) e h = 1/512 (direita)comt = 0.01, em que (a) e (b) esto em 1, (c) e (d) esto em 3, e (e) e (f) esto em5 unidades de tempo, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.21 Soluo exata (preto) e AMLS utilizando aproximaes por retas (azul): possvel

notarmos que, ao contrrio do mtodo baseado em crculos, o baseado em retas

no capaz de lidar naturalmente com duas regies prximas da curva. Veja que

a cauda da interface foi mal calculada, comprometendo a qualidade da interface.171

x Lista de Figuras

5.22 Grade computacional com espaamento 1/128 e t = 3 unidades de tempo: em(a), temos o mtodo LSL [104], com 1160 partculas no seu estado inicial e, em

(b), [72] temos o PLS com 15040 partculas em seu estado inicial, no qual, em

vermelho, temos a soluo por LS, em verde, a soluo exata, e em azul, a soluo

por PLS. No primeiro caso, o nmero de partculas necessrias em t = 3 foi de55914. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.23 Soluo exata (preto) e as obtidas numericamente a partir de grades computa-

cionais com resolues h = 1/64 (verde), h = 1/128 (laranja), h = 1/256, (azul)h = 1/512 (rosa). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.24 Evoluo do nmero de pontos em Qh(t ) ao longo dos passos no tempo, na

simulao do nico vrtice modulado no tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.25 Simulao do nico vrtice modulado no tempo: nmero de partculas geradas

pelo LSL [104] no tempo para uma grade computacional com espaamento 1/128. 173

5.26 Em (a) e (b), temos os resultados de LSL [104] para grades computacionais

com espaamento de 1/128 e 1/1000 para diversas configuraes do mtodo;

em (c), apresentamos solues por LS [72] para grades computacionais com

espaamento de 1/64 (desapareceu), 1/128 (vermelho) e 1/256 (azul),e a soluo

exata (preto); em (d), apresentamos os resultados para o PLS (as cores para as

solues so as mesmas definidas na Figura 5.22-(b)), em que o nmero de

partculas no estado inicial corresponde a 3376, 15040 e 59072 para as grades

computacionais com espaamentos 1/64 , 1/128 e 1/256, respectivamente. . . . . 174

5.27 Toro tridimensional (h = 1/512) obtida numericamente em diferentes instan-tes: o nmero de pontos em cada um dos conjuntos era (da esquerda para direita,

de cima para baixo): 65000, 69314, 109728, 187571, 277021, 193238, 114898,

72774, 68031. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.28 A interface direita da parte de baixo na Figura 5.27 em outro ponto de vista.

Pode ser visto um pequeno artefato na soluo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.29 Toro 3D do mtodo LSL [104] e PLS [72]: temos, em (a) LSL, grade computa-

cional com espaamento de 1/100 (nmero de partculas mnimo de 14054 e

mximo de 30739); em (b), a soluo pelo LS (espaamento da grade 1/100), e,

em (c), a soluo pelo PLS, tambm com espaamento da grade 1/100. . . . . . . . 177

6.1 Wireframe do Space Shuttle Launch Vehicle definido por uma malha multibloco.

A aproximao dos dados volumtricos armazenados em malhas desse tipo no

trivial para a tarefa de rendering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Lista de Figuras xi

6.2 Fatia 82 do volume de dados Engine (topo-esquerda). Enquanto a aproximao

por mnimos-quadrados-mveis suaviza a soluo (topo-direita), a aproximao

robusta preserva detalhes (base-esquerda). A aproximao de Sheperad (base-

direita) tambm apresentada para fins comparativos. . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.3 Aproximao (polinmio de grau 2) de dados volumtricos para uma fatia da

malha curvilinear do Combustion Chamber: (a) Gauss com pivotamento, (b)

gradientes conjugados, (c) QR, (d) SVD e (e) polinmios ortogonais. O rudo

representa os pontos de avaliao da funo onde ocorreram instabilidades,

acarretarando uma aproximao pobre. Em (f) temos o resultado da interpolao

linear sobre a malha original. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.4 Rendering volumtrico e de iso-superfcies de diferentes volumes de dados: (a)

Bucky Ball, grade cartesiana com 323 voxels; (b) Heat Sink, malha no-estruturada

com 121668 tetraedros; (c) Combustion Chamber (grade curvilinear) 273325. 1996.5 Rendering volumtrico e de iso-superfcies de diferentes volumes de dados: (a)

Pingim, malha com refinamento adaptativo contendo 115378 vrtices e 106348

clulas (no topo apresentamos o wireframe da malha); (b) nibus Espacial

com foguetes, malha por multiblocos com sobreposio de grades curvilinear,

9 malhas com 172139, 130060, 338653, 16951, 21846,15137, 36756, 8700 e 56206

vrtices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.6 Conjunto de dados Oxygen Post: wireframe (topo) e o rendering resultante

utilizando pesos esfricos (meio) e elipsoidais (base). . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.7 Comparao visual do rendering da iso-superfcie (ray-casting) da Funo 6.18,

em (a): em (b), aproximao pela spline cbica de Catmull-Rom; em (c), interpo-

lao linear e; em (d), iaMLS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.8 Conjunto de dados Blunt Fin (403232 clulas): (a) wireframe do modelo; (b)rendering volumtrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.9 Rendering volumtrico dos conjuntos de dados: esquerda, Combustion Cham-

ber (573325 clulas) e, a direita, Oxygen Post (387638 clulas). . . . . . . . 2116.10 Rendering de iso-superfcie do conjunto Bucky Ball (323 clulas). . . . . . . . . . . 211

7.1 Resultado preliminar do agrupamento de pontos baseado no trabalho de Cohen-

Steiner et al. [55]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

LISTA DE TABELAS

3.1 Medida de desempenho (em segundos), utilizando o mtodo de traado-de-

raios, para o mtodo de Adamson e Alexa, Kolluri e o iaMLS. O desempenho

proporcional ao nmero de raios que intersecta a superfcie. . . . . . . . . . . . . . 74

5.1 Erro na rotao de corpo rgido do elipside em torno do eixo x3 uma volta

completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2 Disco de Zalesak: Mtodo RAMLS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.3 Testes numricos do nico vrtice modulado com o tempo pelo RAMLS: T = 8unidades de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.1 Tempo de processamento (em milissegundos) para uma nica avaliao da

aproximao da funo com Polinmios ortogonais (PO), gradientes conjugados

(GC), Gauss com pivotamento (GP), QR e SVD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.2 Erro mdio e mximo para funes-testes em malhas tetraedrais. . . . . . . . . . . 207

6.3 Tempo de rendering da imagem (em segundos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

xii

CA

P

TU

LO

1Apresentamos no presente captulo aspectos fundamentais que caracterizam a im-

portncia do problema de representao de superfcies a partir de pontos no-organizados,

tanto para a computao grfica quanto para outras reas relacionadas matemtica

aplicada. Descrevemos os principais desafios motivadores e tambm a evoluo dos

mtodos ao longo do tempo. Alm disso, realizamos uma discusso a respeito do que

se espera atualmente de um mtodo de representao a partir de nuvens de pontos. Em

seguida, sumarizamos as principais contribuies desta tese de doutorado e finalizamos

apresentando sua organizao, descrevendo o contedo de cada captulo.

1.1. Definio do Problema

O desenvolvimento de abordagens para a representao geomtrica de superfcies com

topologia e geometria arbitrria a partir de pontos no-organizados (ou nuvens de pontos)

intensificou-se em meados da dcada de oitenta a partir do trabalho de Boissonnat [34].

Contudo, ainda hoje se mantm como um atraente foco de pesquisa em computao grfica

e modelagem geomtrica.

Atualmente, a representao e a modelagem de objetos tridimensionais esto presentes

em diversas reas: a inferncia de topografia de stios histricos e arqueolgicos, a indstria

de entretenimento (cinema e jogos), a engenharia reversa e as reas mdicas so exemplos

1

2 Introduo

em que a complexidade dos problemas envolvendo representao tridimensional cres-

cente e conseqentemente exige investimentos.

Nesse sentido, os problemas requerem processamento de entrada de dados com ordem

superior a dezenas de milhes de pontos, contendo rudo e tambm originados de geome-

trias que possuam caractersticas afiadas, que so superfcies de classe C 0 (caractersticas

afiadas tambm so denominadas sharp features - Figura 1.1). No ltimo caso, muitos

mtodos falham ou por no conseguirem definir uma forma para a caracterstica afiada ou

por suavizarem a caracterstica.

Figura 1.1: Exemplo de objeto com caractersticas afiadas: Unio de um cone com umblobby. As caractersticas afiadas so determinadas pelo pice e base do cone e as duascurvas definidas pelas intersees do cone com o blobby.

Um aspecto que enriquece o desenvolvimento de mtodos de representao por nuvens

de pontos o carter interdisciplinar. Isto , para a definio de mtodos de representao

por nuvens de pontos foram propostas abordagens que fazem uso do conhecimento de

diversas reas: estatstica [80], geometria computacional [12, 18, 27, 88, 89, 60], programao

linear [5], mtodos de aproximaes locais (mnimos-quadrados) [117, 9, 107, 158], mtodos

de aproximao global (funes de bases radiais e funes indicadoras) [153, 44, 159, 115],

Introduo 3

equaes diferenciais parciais [36, 222, 223, 115], teoria de Morse discreta (verso de

Forman) [40], entre outras.

(a) (b) (c)

Figura 1.2: Exemplo de scanners tridimensionais sendo utilizados na esttua de Davi deMichelangelo (a)-(b) e de Lucy (c): Projeto Michelangelo Digital da Universidade de Stanford[133, 132].

Ademais, outros dois aspectos significantes justificam os aprimoramentos e as propostas

de novos mtodos de representao por pontos no-organizados. O primeiro o fato de

que a origem dos dados no se restringe aos providos pelos scanners tridimensionais de

pontos (Figura 1.2), que pode ser notado por quase todos os trabalhos na literatura; o

segundo est relacionado ao fato de que tais mtodos sejam capazes de gerar solues

com propriedades matematicamente enriquecidas, que extrapolam a capacidade de um

mtodo em satisfazer a condio de reconstruo:

Definio 1 (Condio de Reconstruo) Dada a superfcie original e a reconstruda S ,

ambas em R3, a condio de reconstruo consiste na existncia de um homeomorfismo f :

S , assegurando que e S sejam topologicamente equivalentes, que satisfaa d(,S ) < para uma mtrica d e para suficientemente pequeno, garantindo que e S tambm sejam

geometricamente semelhantes (Figura 1.3).

Para exemplificar o primeiro argumento referente no-restrio dos dados gerados

pelos scanners, existem aplicaes em que os conjuntos de dados so gerados pela interface

entre dois fluidos por simulaes numricas de escoamento de fluidos multifsicos (Figura

4 Introduo

Figura 1.3: Contra-exemplos da condio de reconstruo: exemplos de objetos que no sohomeomorfos (esquerda) e de objetos que no so geometricamente semelhantes, apesarde serem topologicamente equivalentes (direita).

1.4), ou com superfcies livres (Figura 1.5) [207, 94]. Para esses tipos de dados, a superfcie

inicial definida pelo contato de dois tipos de fluidos (por exemplo, ar e gua) e vai sendo

alterada conforme evolui com o tempo.

Figura 1.4: Exemplo de simulao numrica de um escoamento de fluidos multifsicos dotrabalho de Sousa et al. [194].

O segundo argumento relacionado capacidade de tais mtodos em gerarem solues

com propriedades matematicamente enriquecidas, surge principalmente das necessidades

de aplicaes das tcnicas de representao por nuvens de pontos. As primeiras solues

propostas, em geral, costumavam gerar como sada uma sopa de polgonos [203, 70, 175,

186]. Atualmente, as aplicaes dos modelos gerados ultrapassam a necessidade puramente

geomtrica e topolgica. Elas exigem que os modelos gerados, alm de aproximar fielmente

a geometria e a topologia, tambm aproximem outras informaes da superfcie de forma

Introduo 5

satisfatria. As duas mais comuns so os vetores normais e as curvaturas. Alm dessas,

outras propriedades (por exemplo, alta ordem de convergncia) podem ser requeridas

conforme a aplicao.

Figura 1.5: Exemplo de simulao numrica de escoamento de um fluido com superfcielivre [49].

Quando o mtodo capaz de estimar satisfatoriamente essas propriedades, ele se torna

atraente para ser aplicado em outras reas do conhecimento (por exemplo, na rea mdica

e nas engenharias) alm, obviamente, da computao grfica. O argumento previamente

apresentado retorna novamente discusso do carter interdisciplinar dos mtodos de

representao por nuvens de pontos, mas, nesse momento, voltado s necessidades rela-

cionadas a aplicaes, e no aos mecanismos tericos em que as tcnicas so elaboradas,

como exposto anteriormente.

No entanto, podemos enriquecer essa discusso e argumentar que, no s por questes

6 Introduo

de interdisciplinaridade, as tcnicas de representao fazem jus intensa pesquisa. A pr-

pria computao grfica busca abordagens viveis elaborao de mecanismos de rendering

[213, 3], modelagem CSG [97, 224], armazenamento e compactao [37], implementaes

em modernas placas grficas (Graphics Processing Unit GPU) [204] e capacidade de lidar

com dados massivos maiores que a capacidade atual de memria RAM dos computadores

pessoais (dados out-of-core [36]).

Portanto, dada a ampla quantidade de aplicaes e de possibilidades de solues

propostas para representao por pontos no-organizados, buscamos, neste projeto, pri-

meiramente identificar quais mtodos (ou classes de mtodos) so capazes de suprir a

maioria das seguintes caractersticas:

Custo computacional: consiste na elaborao de tcnicas nas quais a ordem de

complexidade assinttica de tempo e memria sejam aceitveis.

Simplicidade: diz respeito ao desenvolvimento de mtodos que sejam simples de

compreender e codificar. Inevitavelmente, uma tcnica simples propicia melhor

entendimento de suas propriedades, recebe grande ateno da comunidade cientfica

e at mesmo torna mais fcil o seu aprimoramento e otimizao. Alm disso,

tcnicas providas por meio de simples mecanismos abrem a possibilidade de serem

implementadas em arquiteturas mais restritas, entre elas em GPUs.

Habilidade em lidar com diversos tipos de nuvens de pontos: refere-se capacidade

do mtodo em tratar desde dados mal-amostrados e esparsos at dados com ordem

de milhes de pontos de forma eficiente. Dados ruidosos e objetos com geometrias

complexas (contendo bordos, caractersticas afiadas, mltiplas componentes conexas,

auto-interseo) tambm so desafios de um mtodo de representao.

Capacidade de gerar informaes matematicamente enriquecidas: consiste na abor-

dagem que gere no apenas objetos que satisfaam a condio de reconstruo, mas

que tambm aproxime satisfatoriamente outras propriedades matemticas do objeto,

Introduo 7

entre elas os vetores normais e as curvaturas. Tais caractersticas tornam o mtodo

aplicvel a outras reas do conhecimento.

Portanto, torna-se evidente que existem diversos motivos para o desenvolvimento de

tcnicas de representao por nuvens de pontos, tanto para a computao grfica quanto

para reas que tambm carecem de mecanismos de representao de modelos tridimen-

sionais.

Atualmente, diversas abordagens de representao por pontos no-organizados, que

solucionam os problemas previamente descritos, so baseadas em mtodos de mnimos-

quadrados-mveis (moving-least-squares MLS) [9, 8, 17, 16] e partio da unidade implcita

(PUI) [221, 51, 205, 160, 38]. Em ambas, embora haja uma sutil diferena que ser discutida

em momento oportuno, os ingredientes bsicos so aproximaes locais e funes-peso.

Nesse momento, queremos evidenciar que a qualidade global dos resultados gerados tanto

por MLS quanto por PUI depende certamente do poder das aproximaes locais utilizadas

por esses mtodos. Veremos na seo seguinte que partes das contribuies apresentadas

na presente tese esto focadas em questes relacionadas s aproximaes locais.

1.2. Objetivos Alcanados

1.2.1 Partio da Unidade Implcita em Duas Vias

A primeira contribuio refere-se ao desenvolvimento de um mtodo de representao

de superfcies a partir de pontos no-organizados, baseado em partio da unidade implcita

(PUI). Diferente de abordagens anteriores, propusemos, com esse mtodo, um conjunto de

solues capazes de produzir resultados geometricamente satisfatrios sem a necessidade

de criao de uma tcnica que fosse computacionalmente custosa ou matematicamente

sobrecarregada de clculos. Uma das contribuies de nosso estudo est no uso de

polinmios ortogonais segundo o produto interno induzido pelas equaes normais, para

a realizao das aproximaes locais por mnimos-quadrados. Tal conjunto de polinmios

8 Introduo

tem como propriedade computacional interessante o fato de permitir aumentar o grau da

aproximao polinomial a partir da base de polinmios previamente calculados. Para isso,

utilizamos o mtodo de Bartels e Jezioranski que generaliza a recorrncia de trs termos

para polinmios de vrias variveis [23]. Isso significa que, ao contrrio de outros mtodos

de PUI, eficientemente recalculamos as aproximaes locais antes de realizarmos uma

subdiviso do espao. Entretanto, como o uso de aproximaes de alto grau arbitrariamente

no garante confiabilidade, introduzimos o conceito de espao de cobrimento.

Alm da contribuio em relao ao uso dos polinmios ortogonais no contexto de

mnimos-quadrados, nosso mtodo utiliza-se de uma triangulao adaptativa, definida

algebricamente, que se encarrega de duas tarefas importantes: a decomposio espacial

e a poligonalizao, que no caso, ainda tem a propriedade de ser adaptativa. No entanto,

como a subdiviso espacial que utilizamos baseada em tetraedros, a malha gerada pela

poligonalizao pode apresentar tringulos com baixa qualidade. Esse problema pde ser

contornado por um processo de melhoramento de malhas que desloca apropriadamente

vrtices da triangulao algbrico-adaptativa. Nossa tcnica ainda capaz de lidar com

caractersticas afiadas e dados ruidosos. Por fim, exploramos a propriedade de particiona-

mento do domnio a fim de propor um mecanismo intuitivo para edio interativa da funo

implcita, que permite tanto melhorar as aproximaes locais quanto corrigir imperfeies

na superfcie reconstruda.

1.2.2 Acompanhamento de Fronteiras com Superfcies MLS

O segundo mtodo que desenvolvemos uma contribuio, embora concebida para

mecnica dos fluidos computacional, naturalmente de grande valia para a computao

grfica. A partir de mecanismos da computao grfica, desenvolvemos um novo m-

todo Lagrangeano livre-de-malhas (meshless) de acompanhamento de fronteiras (front-

tracking) para o transporte de interfaces no tempo. Contudo, precisamos aprimorar

ferramentas da computao grfica para serem viveis no contexto da mecnica dos fluidos

Introduo 9

computacional. Especificamente, a interface representada implicitamente por mnimos-

quadrados-mveis algbricos (algebraic moving-least-squares AMLS) a partir de pontos

no-organizados [97]. Ao contrrio de tcnicas Lagrangeanas baseadas em malhas, desta-

camos como aspecto importante do nosso mtodo o fato de que apenas um conjunto de

partculas transportado, no havendo, assim, o problema da conectividade de malhas

que agravado em superfcies que se alteram com o tempo. As posies dos pontos da

superfcie podem, portanto, ser atualizadas sem levar em considerao a qualidade da

malha da superfcie. Nossa contribuio tambm se enquadra ao mbito da computao

grfica, pois possui vantagens em relao ao AMLS proposto por Guennebaud e Gross [97]:

aumento na robustez, eficincia computacional e a ausncia de parmetros de penalidade

que tornam o processo semi-automtico e pouco intuitivo. Por isso, denominamos nosso

mtodo de AMLS Robusto (ou Robust AMLS RAMLS). Tambm apresentamos um algoritmo

Lagrangeano para o transporte de partculas, que baseado no princpio dos algoritmos de

iluminao global traadores-de-raios (ray-tracers). Mostramos a eficincia da tcnica por

meio de diversos testes e comparaes que tanto mostram a preciso do RAMLS quanto a

sua capacidade de representar superfcies em movimento.

1.2.3 Mtodos que Buscam a Reduo de Clculos Matriciais

Motivados pelo desenvolvimento de abordagens computacionalmente eficientes, no

sentido de reduzir a ordem das matrizes referentes ao mtodo de mnimos-quadrados sem

comprometer a qualidade das solues, expusemos duas outras tcnicas de representao

de superfcies por nuvens de pontos.

Com o intuito de elaborar um mecanismo de representao por nuvens de pontos capaz

de alcanar resultados precisos, porm sem o uso de clculos matriciais, investigamos uma

teoria recente e, at onde sabemos, no explorada em computao grfica, denominada

mnimos-quadrados-mveis aproximados (Approximate Moving-Least-Squares aMLS)

[74, 76, 77, 144, 145]. Apesar de o nome parecer estranho, os mtodos numricos baseados

10 Introduo

nesses princpios so computacionalmente interessantes, pois possuem a propriedade de

serem livres da soluo de sistemas lineares e poderem alcanar alta ordem na aproximao.

Assim, o custo computacional tende a ser baixo para uma aproximao de alta ordem.

O nome aproximados se deve ao fato de que essas tcnicas permitem que o erro seja

controlado de forma a ser to pequeno que inexista a possibilidade de represent-lo

pelos tipos numricos disponveis em um sistema operacional, para que a qualidade na

aproximao no seja comprometida. Contudo, essa propriedade garantida apenas para

pontos regularmente espaados. Por outro lado, recentemente foi proposta uma extenso

desse mtodo para dados irregularmente espaados que a relaciona com funes de bases

radiais por meio de uma verso iterativa do aMLS, denominada aMLS iterado (iterate aMLS

iaMLS) [77]. Tal resultado tentador para aplicaes em computao grfica. Com isso,

utilizando os princpios dessas teorias, propusemos um mtodo para representao por

nuvens de pontos que promissor pela capacidade de atenuao de caractersticas do objeto

reconstrudo.

Todavia, ao contrrio do mtodo original, que suportado matematicamente por provas,

a nossa abordagem no apresenta resultados tericos a respeito de sua eficincia. De

fato, a falta de resultados tericos no nos desmotivou, pois a qualidade dos resultados

obtidos foi satisfatria. Assim, acreditamos que inauguramos um caminho no estudo desses

mecanismos para representao por nuvens de pontos.

Por fim, ainda no mbito de reduo de clculos matriciais, sugerimos um ltimo

mtodo de representao por nuvens de pontos baseado em aproximaes locais por

curvaturas e direes principais obtidas pelo teorema de Euler, da geometria diferencial.

Nessa abordagem, ao invs de utilizarmos as tradicionais aproximaes locais por mnimos-

quadrados que fazem uso de bases polinomiais cannicas, optamos por um esquema de

mnimos-quadrados com respeito a curvaturas e direes principais que permite definir

uma aproximao local de segundo grau em uma vizinhana da superfcie.

Introduo 11

1.2.4 Reconstruo de Dados Volumtricos No-Organizados

Alm das contribuies anteriores, tambm trabalhamos no desenvolvimento de meca-

nismos de reconstruo de dados volumtricos no-organizados (volumetric scattered data)

para a definio de um mecanismo de rendering unificado: informaes contidas em malhas

de diferentes topologias. No primeiro mtodo de representao de dados volumtricos,

utilizamos novamente bases de polinmios ortogonais segundo o produto interno induzido

pelas equaes normais em conjunto com filtros bilaterais. Apresentamos resultados

baseados em dados originados de diferentes tipos de malhas. Tambm comparamos o

custo computacional e a qualidade dos resultados, quando utilizamos tais polinmios

ortogonais em relao a outras formas de se obter uma soluo pelo mtodo dos mnimos-

quadrados (por exemplo, pelo mtodo QR ou decomposio em valores singulares [30]). A

segunda contribuio que apresentamos novamente faz uso do iaMLS para reconstruo

de dados volumtricos no-organizados. Contudo, ao contrrio do iaMLS original, o nosso

esquema est definido em um domnio anisotrpico para suportar dados originados de

diferentes tipos de malhas. Dessa forma, nossa abordagem tambm no suportada

matematicamente, pois o nosso processo iterativo no possui convergncia garantida para

uma soluo tima (como no trabalho original, em que os autores provaram que a soluo

iterativa converge para uma soluo de funo de base radial). Entretanto, novamente os

resultados foram satisfatrios.

1.2.5 Contribuies por reas

Por fim, a partir do ponto de vista das reas em que trabalhamos, as contribuies foram

as seguintes:

No mbito da computao grfica, desenvolvemos mtodos de partio da unidade

implcita, estudamos e comparamos os mtodos a partir de mnimos-quadrados-

mveis e mnimos-quadrados-mveis algbricos. Tambm evidenciamos, ainda,

um mtodo de mnimos-quadrados-algbricos que utiliza informaes de vetores

12 Introduo

normais, mas livre de parmetros de penalidade. Apresentamos melhoramento

de malhas a partir de extrao de iso-superfcies adaptativas, um esquema de ate-

nuao de caractersticas baseado no princpio iterativo do iaMLS e um mtodo de

representao por nuvens de pontos que faz uso de curvaturas e direes principais.

Tambm expusemos esquemas de modelagem interativa de objetos definidos por

funo implcita.

No mbito da mecnica dos fluidos computacional, especificamente, no da simula-

o numrica de escoamentos multifsicos, introduzimos o conceito de superfcies

MLS para representao de interfaces mveis. Alm disso, apresentamos um mtodo

livre de malhas e computacionalmente eficiente.

No mbito de aplicaes computacionais de metodologias da teoria da aproximao,

fizemos uso do iaMLS, do MLS, de filtros bilaterais, do AMLS e tambm desenvolve-

mos o RAMLS. Realizamos diversas comparaes entre os mtodos e apresentamos

diversos exemplos.

Finalmente, no mbito de rendering de dados volumtricos, trabalhamos no de-

senvolvimento de mecanismos que so independentes do tipo de malha e que tm

aptido para serem eficientemente implementados em placas grficas modernas.

1.3. Organizao da Tese

No Captulo 2, contextualizamos o tema central desta pesquisa, representao de

superfcies por nuvens de pontos, por meio de um levantamento bibliogrfico, partindo

das primeiras tcnicas de representao de superfcie por nuvens de pontos at o estado-

da-arte. Aproveitamos para destacar as principais caractersticas de cada mtodo e alguns

conceitos e definies que sero posteriormente utilizados. Optamos por apresentar tcni-

cas que esto intrinsecamente relacionadas s nossas propostas, conforme a necessidade

de discusso no decorrer do texto. Alm disso, levantamentos bibliogrficos especficos a

cada tema foram elaborados nos demais captulos: aproximaes de curvaturas, no Captulo

Introduo 13

3; mtodos de extrao de iso-superfcies, no Captulo 4; representao de interfaces e

esquemas numricos para simulao numrica de fluidos multifsicos, no Captulo 5; e

aproximao de dados volumtricos no-organizados no Captulo 6.

As duas primeiras contribuies da tese se encontram no Captulo 3. Elas envolvem o

problema da representao por nuvens de pontos baseando-se nas tcnicas de mnimos-

quadrados-mveis. O principal objetivo dessas tcnicas foi oferecer representaes de

superfcie por meio das quais fosse aliviado o custo computacional sem comprometer

a qualidade dos modelos reconstrudos. Dessa forma, as abordagens foram baseadas,

primeiro na minimizao de curvaturas e direes principais; e segundo em iaMLS. Opta-

mos por deixar tais contribuies em um mesmo captulo, pois foram motivadas a partir

do mesmo objetivo. Apresentamos as diversas questes em aberto que, apesar de no

termos investigado at o presente momento, geraram grande potencial para continuarmos

a desenvolver extenses. Alm disso, apesar de no formarem as principais contribuies,

os resultados que obtivemos foram satisfatrios e as tcnicas investigadas foram de grande

valia para adquirir experincia para o desenvolvimento das nossas principais contribuies

(Captulos 4 e 5).

Reservamos ao Captulo 4, a descrio do mtodo baseado em partio da unidade

implcita. Primeiramente, apresentamos a estrutura de dados algbrica que utilizamos

para a decomposio e poligonalizao da superfcie e para a representao. Em seguida,

mostramos diversos exemplos e comparaes tericas e prticas com trabalhos anteriores.

Tambm apresentamos um conjunto de extenses da tcnica que exploram as propriedades

da partio da unidade implcita e da estrutura algbrica que utilizamos.

Dedicamos o Captulo 5 ao nosso mtodo Lagrangeano de representao de interfaces

de fluidos mveis para a simulao numrica de escoamentos multifsicos. Apresentamos a

definio do RAMLS e o comparamos com as tcnicas de AMLS, propostas por Guennebaud

e Gross [97]. Alm disso, propusemos o nosso algoritmo de acompanhamento de fronteira

que livre de malhas e baseado no transporte e na re-gerao dos pontos. Finalizamos esse

captulo com diversos exemplos e comparaes envolvendo tcnicas do estado-da-arte em

14 Introduo

representao de interfaces de superfcies livres. Certamente, os resultados alcanados e

os trabalhos futuros definiram um mtodo promissor para a representao de interfaces

mveis que abrir margem para trabalhos futuros.

O Captulo 6 abordou mtodos de representao de dados volumtricos no-organi-

zados. Nele, dois procedimentos foram apresentados. O primeiro foi baseado em iaMLS,

definido em um espao anisotrpico e se mostrou adequado para implementaes em pla-

cas grficas modernas (GPU). O segundo foi baseado em aproximaes robustas definidas

com filtros bilaterais e bases de polinmios ortogonais de trs variveis para mnimos-

quadrados-mveis. Apresentamos diversos detalhes das tcnicas e tambm a construo

de base de polinmios ortogonais em trs variveis, acompanhada dos principais resultados

que asseguraram eficincia no custo computacional. No Captulo 4, utilizamos a mesma

construo de polinmios, s que em duas variveis. Portanto, essa explicao tambm

pertinente para o nosso mtodo de partio da unidade implcita.

Finalizamos esta tese no Captulo 7, apresentando as concluses gerais a respeito

dos mtodos de representao por nuvens de pontos que desenvolvemos. Descrevemos

tambm possveis direes para a continuidade dos nossos trabalhos, bem como as relaes

a serem exploradas entre eles.

1.4. O Termo Robustez

Cabe evidenciarmos que utilizamos o termorobustez em vrias ocasies no decorrer

desta tese, mas contendo significados distintos.

Em nosso mtodo de acompanhamento de fronteira com superfcies MLS, propusemos

o Robust AMLS RAMLS, no sentido de que o mtodo capaz de definir a superfcie sem

ser susceptvel aos problemas de orientao, que previne a propagao de erros. Isto ,

robusta, nesse aspecto, a abordagem capaz de representar a superfcie sem estar facilmente

exposta a casos particulares que levam a falhas. Tal fato importante no contexto de

simulao numrica de escoamento de fluidos, pois um erro devido falta de robustez

pode ser propagado e amplificado durante o processo de simulao numrica, podendo

Introduo 15

comprometer toda a simulao. Dessa forma, prefervel que a abordagem seja mais

robusta ao custo da perda de preciso.

O termo robusto tambm usado no mbito da representao de superfcies a partir de

pontos no-organizados, em dois contextos: primeiro para referenciar os mtodos que so

capazes de lidar com dados ruidosos e representar caractersticas afiadas dos modelos [80];

segundo para definir o nosso mtodo de PUI, em que propusemos um conjunto de solues

que permitem gerar resultados menos susceptveis a falhas de aproximaes locais.

J para a representao de dados volumtricos, utilizamos o termo robusto no sentido

de que o esquema capaz de capturar detalhes dos dados volumtricos.

16 Introduo

.

CA

P

TU

LO

2O objetivo desse captulo contextualizar o leitor sobre as metodologias computacionais

e matemticas que inspiraram o desenvolvimento dos mtodos de representao de su-

perfcies a partir de pontos no-organizados, da presente tese. Para isso, iniciamos com

um levantamento bibliogrfico dos mtodos de representao por nuvens de pontos, por

meio do qual apresentaremos maiores detalhes referentes s classes de mtodos nas quais

nossas abordagens se enquadram. Alm do levantamento bibliogrfico, a contextualizao

acompanhada de definies e caractersticas pertinentes das tcnicas de representao por

nuvens de pontos.

2.1. Superfcies por Pontos No-Organizados Classificao

possvel classificar de diversas maneiras os mtodos de representao por nuvens de

pontos [88, 89, 107, 115, 108, 222]. Entretanto, propusemos a seguinte diviso, como uma

verso mais completa de todas as anteriores:

Mtodos baseados em esculpimento: tais tcnicas partem, em geral, da triangulao

de Delaunay do conjunto de pontos e a partir dessa, com base em heursticas definidas

por propriedades da triangulao de Delaunay, selecionam um subconjunto de sim-

plexos para definir uma representao da superfcie. Por muito tempo, reinaram como

as tcnicas mais populares de reconstruo de superfcies a partir de pontos no-

17

18 Contextualizao

organizados. Atualmente essas abordagens vm perdendo espao devido a uma srie

de deficincias, entre elas a dependncia da triangulao de Delaunay, problemas de

instabilidade numrica e ineficincia em lidar com dados ruidosos.

Mtodos baseados em algoritmos incrementais: so os mtodos que criam elemento

a elemento por caminharem pela superfcie. So abordagens, em geral, extremamente

algortmicas e susceptveis a falhas na gerao dos modelos, pois necessitam de

heursticas e tabelas de casos para definir os mecanismos de criao dos tringulos.

Mtodos baseados em modelos deformveis: essas tcnicas definem um modelo

(malha) inicial que, por meio de deformaes, busca se adequar ao modelo final. As

duas abordagens mais eficientes desses mecanismos so aquelas baseadas em funes

de conjunto de nvel (mtodos de level-set), em que o conjunto de nvel zero da funo

transportado forma final do objeto, e as baseadas em deformaes de campos de

foras e remalhamento das malhas superficiais.

Mtodos baseados em operadores de projeo de pontos (point set surfaces PSS):

essas abordagens, originalmente propostas para serem livre de malhas, permitem

definir no apenas algum tipo de representao celular ou simplicial, mas tambm

uma representao matemtica da superfcie a partir de operadores de projeo de

pontos sobre a superfcie. Essa classe de tcnica vem recebendo significativa ateno

nos ltimos anos devido simplicidade de sua definio e eficincia. Uma de nossas

contribuies faz uso desse tipo de abordagem.

Mtodos baseados em abordagens implcitas: Como os mtodos de projeo de

pontos, as tcnicas baseadas em funes implcitas tambm definem a superfcie

por meio de uma representao matemtica que permite realizar diversas aplicaes

comuns em computao grfica, de forma eficiente. Entre elas, operaes CSG e

iluminao pelo mtodo de traado-de-raios (ray-tracing). Dedicaremos uma maior

ateno na descrio e nos comentrios sobre esses mtodos, no presente captulo.

Contextualizao 19

Nas seguintes sees, apresentaremos uma breve descrio das tcnicas de esculpi-

mento, incrementais e das tcnicas baseadas em modelos deformveis. Quanto aos mtodos

baseados em projeo de pontos e funes implcitas, ofereceremos maiores detalhes devido

aos mtodos que sugerimos pertencerem a essas classes.

2.2. Mtodos de Esculpimento

O princpio bsico das abordagens de esculpimento consiste em obter primeiramente a

triangulao de Delaunay do conjunto de pontos e, em seguida, por meio de heursticas

(denominadas de esculpimento), remover um conjunto de simplexos, de forma que o

subconjunto restante represente o objeto original. Esses trabalhos foram bem difundidos

e produziram diversas coletneas que apresentam discusses na literatura [66, 88, 89]. A

Figura 2.1 ilustra um exemplo de execuo da tcnica de esculpimento: dada a triangulao

de Delaunay de um conjunto de pontos (a), selecionam-se aqueles simplexos que melhor

representam o objeto original por meio de alguma heurstica baseada em propriedades da

triangulao de Delaunay (b).

(a) (b)

Figura 2.1: Triangulao de Delaunay de um conjunto de pontos da Enterprise (a), e oesculpimento da triangulao de Delaunay (b) com o intuito de obter a representao doobjeto original.

Diversas heursticas de remoo de simplexos foram propostas [34, 175, 70, 68, 18, 40, 19,

20 Contextualizao

5, 86]. Algumas heursticas dependem de parmetros, que devem ser definidos pelo usurio,

que podem, por um lado dar liberdade na escolha do resultado final, mas por outro, tornar

a tcnica semi-automtica.

Uma das tcnicas de esculpimento mais conhecidas o -shapes [70], cuja heurstica

consiste basicamente na remoo de todos os tetraedros da triangulao de Delaunay que

possuem um circunraio menor que . A Figura 2.1 foi obtida segundo essa tcnica, no qual,

em (a), atribudo com o valor do maior circunraio da triangulao, e, em (b), com um

40% menor que o maior circunraio, definindo a aproximao tima para a nuvem de pontos

(fato que possvel verificar empiricamente).

Amenta et al. definiram uma segunda gerao de mtodos de esculpimento [11, 13, 15,

146]. Nessa gerao, os mecanismos de deciso para um simplexo pertencer superfcie so

baseados em relaes na triangulao de Delaunay com seu dual diagrama de Voronoi,

e o eixo medial. Para essas abordagens, Amenta et al. provaram, a partir de determinadas

condies de amostragens, que alguns de seus mtodos so capazes de gerar reconstrues

homeomorfas e geometricamente prximas aos objetos originais. O primeiro mtodo

proposto foi batizado de Crust [12, 11]. Amenta et al. tambm elaboraram outro mtodo,

que utiliza relaes entre a triangulao de Delaunay e o power diagrama [67], denominado

Power Crust [15, 14]. Nesse, o esculpimento definido no power diagrama construdo em

um subconjunto de vrtices do diagrama de Voronoi da nuvem de pontos. Por um lado, o

custo computacional do Power Crust superior ao do Crust. Por outro, os resultados gerados

so melhores.

A principal desvantagem dessas abordagens em relao s outras tcnicas de esculpi-

mento definitivamente o custo computacional em relao memria e ao tempo de

processamento, pois necessitam do processamento de duas triangulaes de Delaunay e

o clculo dos duais dos tetraedros da triangulao.

Com o intuito de aliviar a carga computacional, Amenta et al. propuseram um mtodo

denominado Cocone [13], uma verso do Crust que utiliza apenas uma triangulao de

Delaunay. Alm disso, as demonstraes das garantias tericas foram simplificadas para

Contextualizao 21

esta verso.

Outras variantes dessas abordagens foram propostas [61, 62, 120]. O livro de Dey [60]

contm uma descrio dessa famlia de algoritmos que satisfaz a Garantia de Reconstruo

(Definio 1, pgina 3). Extenses destas abordagens com o intuito de lidar com dados

ruidosos tambm foram propostas [146, 62].

No entanto, a principal deficincia computacional de todas as abordagens baseadas em

esculpimento o clculo da triangulao de Delaunay. Primeiro pelo custo computacional e

segundo pela instabilidade numrica tradicionais dessa triangulao para pontos definidos

em superfcies [52].

2.3. Mtodos Incrementais

O princpio dos mtodos incrementais : dada uma aresta inicial (ou um conjunto

de arestas iniciais), a que denominamos fronteira de avano, construda pela conexo de

dois pontos da nuvem, definem-se tringulos (como se estivessem caminhando pela

superfcie do objeto) de maneira iterativa at que a superfcie toda seja gerada. Os mtodos

incrementais tambm so conhecidos como mtodos de avano de fronteira.

Bernardini et al. [29] apresentaram um mtodo incremental denominado Ball-Pivotting

Algorithm (BPA). Este mtodo conceitualmente simples. Consideremos uma nuvem de

pontos suficientemente densa e uma bola de raio que no seja capaz de atravessar a

superfcie sem tocar nos pontos da nuvem.

O processo se inicia colocando essa bola em contato com trs pontos da nuvem,

definindo um tringulo inicial. Mantendo-se a bola em contato com dois desses pontos,

rota-se a bola (pivoting) at tocar outro ponto. O pivotamento se d ao redor de cada

aresta da fronteira atual, e, a cada tripla de pontos tocados pelo processo de pivotamento da

bola, um novo tringulo definido.

A sada desse algoritmo um subconjunto do -shape [70]. Conseqentemente, uma

de suas principais vantagens gerar uma sada que um subconjunto da triangulao

de Delaunay, obtida sem a necessidade do clculo da triangulao. Uma extenso deste

22 Contextualizao

trabalho foi proposta por Mederos et al. [149], que utilizaram o BPA em uma tcnica de

multirresoluo para nuvens de pontos baseada em mnimos-quadrados-mveis.

Outro mtodo incremental foi apresentado por Huang e Menq [108]. Os autores pro-

puseram um mtodo cuja sada no necessariamente uma malha que seja um subconjunto

da triangulao de Delaunay. Diversos critrios geomtricos so utilizados na etapa de

gerao da superfcie reconstruda. No entanto, esses critrios no so suficientes para

a gerao de uma superfcie razoavelmente satisfatria, e os autores apresentam uma

interessante etapa de ps-processamento para suavizar as malhas obtidas.

Os autores relacionam conceitos de Geometria Diferencial para estimar a curvatura da

superfcie, tanto por meio das arestas quanto dos vrtices da malha superficial. A Figura 2.2

ilustra a estimativa da curvatura direcional da superfcie [108] para um ponto (obtida por

mnimos-quadrados) em uma direo e a curvatura para uma aresta (obtida pelo ngulo

definido entre as duas faces triangulares que compartilham a aresta). Em 2.2-a) est a

configurao original da malha. Em 2.2-b), tm-se as estimativas da curvatura da aresta e,

dada no ponto de mnimo local da curva c, e da superfcie, dada pelo ponto de mximo local

da curva d . Em 2.2-c), a malha reestruturada localmente para que as curvaturas fiquem

prximas. A Figura 2.3 apresenta o resultado final do remalhamento da superfcie, utilizando

tal critrio de ps-processamento.

Utilizamos este esquema de clculo de curvaturas e direes principais por meio de

mnimos-quadrados para definirmos o nosso primeiro mtodo, que baseado em projeo

de pontos. Portanto, voltaremos a discutir este processo no Captulo 3.

2.4. Modelos Deformveis

Sharf et al. [185] propuseram uma abordagem interessante de modelos deformveis.

Ela se baseia em colocar uma malha superficial triangular em uma esfera no interior da

nuvem de pontos do objeto para, ento, realizar o transporte dos vrtices da malha na

direo normal da superfcie e aplicar remalhamentos medida que os elementos da malha

perdem qualidade. A definio do mtodo, apesar de simples, requer diversos detalhes de

Contextualizao 23

Figura 2.2: Descrio do processo de estimativa das curvaturas da superfcie e da malha,proposta por Huang e Menq [108]: Em (a) tem-se a malha original; em (b) a curva drepresenta a aproximao da curvatura por mnimos-quadrados baseado nos pontos davizinhana da aresta e, ao passo que c define a estimativa da curvatura para a aresta e; em(c) o remalhamento local torna ambas aproximaes das curvaturas semelhantes.

(a) (b)

Figura 2.3: Resultado do ps-processamento proposto por Huang e Menq [108] em (b),aplicado malha inicial em (a).

24 Contextualizao

implementao com o intuito de produzir uma abordagem robusta. Portanto, os autores

sugerem mecanismos para que o mtodo seja capaz de lidar com regies mal-amostradas,

para que a sada do mtodo seja uma superfcie topologicamente equivalente superfcie do

objeto original, bem como para que a malha resultante apresente elementos de qualidade.

Uma limitao dessa abordagem a necessidade de uma grade computacional (grid) para

representar a funo distncia, utilizada para guiar o movimento dos vrtices da malha na

direo normal, podendo gerar um custo computacional elevado. Alm disso, caso ambas

(a grade computacional e a malha) sejam finas, os autores argumentam que o mtodo est

sujeito a instabilidades numricas [185].

Outros mtodos deformveis so aqueles baseados em funes de conjunto de nvel

(mtodos de level-set) [222, 223], comuns em representao de interfaces em simulao

numrica de escoamentos de fluidos [183, 161, 72, 42]. Uma das principais vantagens na

utilizao de tcnicas baseadas em conjuntos de nvel a capacidade de lidar com dados

incompletos e com alteraes topolgicas de forma eficiente. O mtodo de Zhao et al.

baseado em princpios de geometria diferencial e em equaes diferenciais parciais. A idia

geral semelhante quelas utilizadas em mecnica dos fluidos: dada uma superfcie im-

plcita inicial, esta deformada por meio da soluo numrica de uma equao diferencial

parcial convectiva, seguindo a direo gradiente.

Segundo os autores, o mtodo capaz de lidar com dados ruidosos e no-uniformes. No

entanto, o custo computacional para resolver numericamente as equaes diferenciais en-

volvidas nessas abordagens diretamente proporcional resoluo da grade computacional

em que a equao diferencial discretizada. Nesse mtodo, mesmo para grades grosseiras,

o custo computacional alto.

2.5. Mtodos de Projeo de Pontos (Point Set Surfaces)

At o momento, as tcnicas que descrevemos so formuladas a partir mecanismos que

visam representar o modelo geomtrico final por meio de uma malha poligonal. Nesta

seo, apresentamos esquemas de representao de superfcies que foram inicialmente

Contextualizao 25

propostos com o intuito de serem representaes livres-de-malhas (meshless). Tais tcnicas

so popularmente conhecidas como Point Set Surfaces (PSS) e point-based surfaces.

A definio matemtica da superfcie por esses mtodos baseada em aplicaes

locais em sistemas de coordenadas locais, inspirada pela geometria diferencial [43]. O

sistema de coordenadas e as aplicaes so obtidos por mtodos de minimizao local [173,

117, 177], dentre os quais, o mais popular o mtodo de mnimos-quadrados [30, 110].

A representao final dos modelos est fundamentada na definio de mecanismos de

reamostragem (local) de pontos sobre os grficos de tais aplicaes locais, de forma a cobrir

completamente a superfcie no espao da imagem. A Figura 2.4 [8] apresenta um modelo no

qual a reamostragem varia na direo vertical com o intuito justamente de ilustrar a idia de

reamostragem de pontos na superfcie.

A idia de gerar uma representao puramente baseada em pontos no recente [134].

No entanto, essas representaes esto sendo desenvolvidas no apenas para visualizao,

mas tambm para suportarem diversas tarefas, como, por exemplo, o rendering [65, 213, 2, 3,

8], a reamostragem de pontos [8, 9, 166], as funes de morphing, modelos elsticos [154], as

operaes booleanas [167] e as representao por multiescala [168]. Alm dessas aplicaes,

tambm tm sido propostos mtodos para eliminao de rudos de nuvens de pontos, que

fazem uso das idias de projeo de pontos [150, 179] e tambm mtodos para a gerao de

malhas triangulares superficiais a partir de PSS [180, 149].

Alexa et al. [8, 9] propuseram o primeiro mtodo computacional de projeo de pontos

baseado em mnimos-quadrados-mveis (moving-least-squares MLS) [125, 130], no qual

os autores denominam os resultados por superfcies MLS. Levin [131] argumenta tambm

que o acrnimo pode ser oriundo de Moving-Local-System ou de MeshLess-Surface.

Observao 1 importante enfatizar a simplicidade na definio de uma superfcie MLS:

Cada ponto a ser projetado na superfcie possui um sistema de coordenadas locais prprio,

isto , no so necessrias parametrizaes em regies homeomorfas a um disco aberto sobre

a superfcie. Dessa forma, problemas comuns de parametrizaes por partes so evitados;

26 Contextualizao

Figura 2.4: Alexa et al. ilustram o resultado esperado pela reamostragem de pontos dadapelo operador de projeo [8].

entre eles, dependncia de parametrizao, distores nas parametrizaes e, principalmente,

problemas de continuidade ao longo dos bordos das parametrizaes.

A seguir, detalhamos o esquema de definio da superfcie MLS, proposto por Alexa et

al. [8, 9]. Tambm apresentamos as caractersticas computacionais do mtodo.

Consideremos uma superfcie S em R3 e P = {pi R3}iI(N, um conjunto finito depontos sobre ou em uma vizinhana prxima de S e um ponto p que queremos projetar

sobre a superfcie. A primeira etapa do mecanismo de projeo a definio de um plano H

que aproxime o plano tangente de S prximo a p. A Figura 2.5-(a) apresenta um exemplo

bidimensional em que as linhas tracejadas definem a interpretao de possveis projees

de p em possveis aproximaes H , dadas em linhas pontilhadas. As linhas contnuas

Contextualizao 27

determinam o plano H timo e a direo da projeo de p em H .

(a) (b)

Figura 2.5: (a) Situao inicial do esquema de projeo: dado p a ser projetado,devemos encontrar o plano (aproximadamente) tangente H prximo a p. (b) Interpretaogeomtrica do ponto q = p+ tn.

Consideremos o plano H = {x R3 :< x,n >D = 0}, em que n o vetor ortonormal a H ,D o deslocamento do plano H da origem e , o produto interno cannico em R3. Dessaforma, podemos reescrever a equao do plano por:

H = {x R3 :< x,n >< q,n >= 0}, (2.1)

em que q a projeo de p em H . Em seguida, reescrevemos o ponto q em funo do vetor

normal n e a distncia t de p ao plano H , isto q = p+ tn (Figura 2.5-(b)).Com isso, para determinarmos o plano H , dado o conjunto de pontos vizinhos e o ponto

p, precisamos calcular o vetor normal n e o ponto do plano q = p+ tn pela minimizaono sentido de mnimos-quadrados, isto , encontrar os parmetros n e q que minimizem a

equao:

G(n,q) = piP

(< n(p),pi >< n(p),q >)2i (q), (2.2)

em que i (q) so pesos definidos em funo de q dados por uma funo-peso:

Definio 2 (Funo-peso) Dado um parmetro de suavidade e um ponto pi P , afuno-peso i :R3 R+ definida como:

28 Contextualizao

i (q) = (pi q

), (2.3)

em que : R+ R+ uma funo de localizao contnua monoticamente decrescente, queatinge seu valor mximo em (0) e satisfaz (t ) = 0.

Observao 2 A funo-peso dita uma importante regra na minimizao: quanto mais

prximo um ponto pi estiver de q, mais influente pi ser na minimizao. O parmetro

define o fator de suavidade na soluo. Isto significa que quanto maior for o valor de, pontos

mais distantes sero mais influentes na soluo. Em geral, o parmetro definido como um

mltiplo do espaamento mdio h entre os pontos pi .

Alguns exemplos de funo de localizao so a funo inversa da distncia

(t ) = 1(t 2 +) , com > 0, (2.4)

a funo gaussiana

(t ) = et 2 , (2.5)

e a funo com suporte compacto

(t ) =

(1 t21 )2 para t < 1;

0 caso contrrio, (2.6)

em que diferentes valores de 1,2 N produzem diferentes funes (Figura 2.6). Emnossos mtodos, presentes nos Captulos 4 e 5, utilizamos a Funo 2.6, definindo 1 = 1e 2 = 4.

Retornando ao mtodo de minimizao de Alexa et al. [9], notemos que a minimizao

da Equao 2.2 depende da posio em que o ponto p est definido, no qual os pesos

dependem da posio de q. Dessa forma, voltando Equao 2.2 e substituindo o valor

de q, temos:

Contextualizao 29

(a) (b) (c) (d)

Figura 2.6: Diferentes valores de1 e2 para a Funo-Peso 2.6: (a)1 = 1 e2 = 2, (b)1 = 1e 2 = 10, (c) 1 = 5 e 2 = 4 e (d) a funo que utilizamos, com 1 = 1 e 2 = 4.

G(n, t ) = piP

< n,pi p tn >2 (pi p tn

). (2.7)

Minimizar 2.7 um problema de mnimos-quadrados-mveis, pois, conforme move-

mos o ponto p livremente obtemos uma nova minimizao. Isto , a minimizao depende

da posio de p. Mais detalhes de superfcies MLS podem ser encontradas no Captulo 5,

quando descrevemos o nosso mtodo de captura de fronteira com mnimos-quadrados-

mveis.

Notemos que a minimizao (2.7) no-linear, devido ao produto interno funo

depender das incgnitas n e t . Como observado por Alexa e colaboradores, a Equao 2.7,

em geral, possui mais que um mnimo local. Por esse fato, os autores assumem a escolha do

mnimo local de G utilizando um processo iterativo, que apresentaremos aps a definio

da superfcie MLS (Definio 3, Pgina 30).

Depois de realizada a minimizao, definimos o operador (p) = q = p+ tn, que define aprojeo de p sobre o plano H onde (n, t ) so os argumentos mnimos locais de G (2.7).

Tendo definido a projeo do ponto sobre o plano, executamos a segunda etapa do

operador de projeo, que consiste na definio de um sistema de coordenadas locais

construdo a partir do vetor n e do ponto q, origem do sistema de coordenadas. Essa etapa,

portanto, corresponde ao clculo da aplicao local (polinmio de duas variveis) p que

aproximar a superfcie localmente. A Figura 2.7-(a) apresenta um exemplo bidimensional.

Consideremos os pontos pi pertencentes nuvem de pontos e qi projeo de pi em H

(Figura 2.7-(b)). Para a aproximao polinomial, definimos a funo altura f dos pontos pi

a H , que dada pela expresso:

30 Contextualizao

(a) (b)

Figura 2.7: (a) Aproximao polinomial local. (b) A altura dos pontos pi em relao a H .

fi = f (pi ) = n (pi q). (2.8)

A partir da funo altura, os coeficientes (q) = (1(q), ,m(q)) do polinmio sodeterminados pela minimizao de

K ((q)) = piP

(p(xi , yi ) fi )2(||pi q||). (2.9)

Os pontos (xi , yi ) so as representaes das projees dos pontos pi no sistema de

coordenadas locais definido pelo plano H . Notemos que os pesos, nesse caso, j so

conhecidos, pois encontramos o ponto q na etapa anterior. Dessa forma, a minimizao

obtida por mnimos-quadrados-ponderados (weighted-least-squares) [30].

A projeo P de p sobre uma superfcie localmente aproximada S (p) definida por:

P (p) = q+p(0,0)n = q+ (t +p(0,0))n. (2.10)

O ponto q est no sistema de coordenadas cannicas em R3 e (0,0) a origem do

sistema de coordenadas locais. Portanto, aps a definio da Projeo 2.10, a superfcie MLS,

segundo Alexa et al. [9], definida por:

Definio 3 (Superfcie MLS [9]) A superfcie MLS definida pelo conjunto de pontos V ={p : P (p) = p}.

Contextualizao 31

Para minimizar a Equao 2.7, Alexa et al. propuseram um mtodo iterativo. O processo

se inicia escolhendo t = 0 para, primeiramente, aproximar o vetor normal n de H . Dessaforma, os valores que a funo-peso assume so fixos, isto ,

(pi p tn

)=

(pi p0n

)=

(pi p

).

Portanto, a Equao 2.7 se torna:

J (n(p)) = piP

< n,pi p >2 (pi p

). (2.11)

No entanto, para no obtermos a soluo trivial (vetor normal igual ao vetor nulo),

impusemos a restrio n = 1, por meio da qual a minimizao de J se torna [2]:

minn=1

nt Bn, (2.12)

em que n determinado, aplicando os multiplicadores de Lagrange, pelo problema de

autovalor:

Bn =n, (2.13)

em que o problema de minimizao 2.11 se resume, ento, em definir o autovetor (satis-

fazendo a normalizao n = 1) associado ao menor autovalor da matriz de co-varinciaponderada B33, onde cada entrada da matriz definida por:

B j k =

piP(pi j p j )(pi k pk )i (pi ), (2.14)

em que as coordenadas dos pontos so dadas pelo segundo ndice de pi .

Agora, os dois seguintes procedimentos so iterados alternadamente at que os parme-

tros no se alterem segundo um erro previamente definido:

1. Minimize t no intervalo [/2,/2] (problema de minimizao no-linear em umadimenso [172]);

32 Contextualizao

2. Minimize q sobre o atual plano H(n,