o método dos mínimos quadrados utilizando a fatoração lu · podemos concluir que o método dos...
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*Bolsista de Mestrado FAPESP **Bolsista de Mestrado CAPES
O Método dos Mínimos Quadrados Utilizando a Fatoração LU
Patrícia D. B. Silva Camila G. Costa* Carlos A. Cavallini** Fábio H. Oki Livia Matos Garcia**
Reginaldo Merejolli** Vanessa A. B. Pirani Depto de Matemática, Estatística e Computação, FCT, UNESP
19060-900, Presidente Prudente, SP E-mail: [email protected], [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
RESUMO
O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) é uma técnica de otimização matemática que tenta encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e o valor estimado. Este método será utilizado implicitamente para resolver um dado problema, utilizando a matriz de Vandermonde e a Fatoração LU.
Para a aplicação é utilizado o software MATLAB. O Método dos Mínimos Quadrados consiste em estimar variáveis estocásticas e seus parâmetros de distribuição, a partir de amostras observadas com certa precisão. Três espaços estão envolvidos nos problemas de ajustamento: o espaço das observações ou medidas, o espaço do modelo matemático e o espaço dos parâmetros ou incógnitas.
À medida que a complexidade da realidade física que se pretende representar cresce, o número de parâmetros mínimo necessário também aumenta. Num sistema de equações lineares redundantes e inconsistentes, as soluções que obtemos para o conjunto (número mínimo) e parâmetros a partir de diferentes subsistemas (formados com o mínimo de equações necessárias para dar solução única) seriam distintas. Daí a necessidade do Método dos Mínimos Quadrados.
Um método de eliminação pode ser usado economicamente quando precisamos resolver vários sistemas com a mesma matriz dos coeficientes. Mas, em algumas situações práticas, os diversos termos independentes b no sistema Ax=b não estão disponíveis simultaneamente ou podem depender da própria solução do sistema associada a outro b. Através da decomposição LU, podemos decompor a matriz A no produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior. Assim, o sistema Ax=b tem sua solução encontrada através de dois novos sistemas: Ly=b e Ux=y.
Para a implementação do método, considere o conjunto de dados da tabela abaixo em que um fabricante de placas de asfalto está interessado na relação entre as vendas em determinado ano e fatores que influenciam as vendas.
Tabela 1: Relaciona os dados das marcas concorrentes com as vendas (por milhares) e do
potencial com as vendas (por milhares) Segue abaixo as ilustrações do problema. Na Figura 1 estudamos a relação entre as marcas concorrentes e as vendas por milhares, que se encontram nas duas primeiras colunas da Tabela1, e na Figura 2 estudamos a relação entre o potencial e as vendas por milhares, que se encontram nas duas últimas colunas da Tabela1.
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ISSN 1984-8218
Figura 1
Figura 2
Podemos concluir que o Método dos Mínimos Quadrados utilizando a Decomposição LU é eficiente no ajuste de um polinômio de grau m para um conjunto de dados, e a utilização da decomposição facilita a resolução do método, além de possibilitar a resolução do sistema Ax=b para uma matriz A singular. Palavras-chave: Álgebra Linear, Mínimos Quadrados, Fatoração LU. Referências [1] M. C. C. Cunha, Métodos Numéricos. Editora da Unicamp – Campinas-SP, 2000. [2] Q. Dalmolin, Ajustamento por Mínimos Quadrados. Curitiba-PR, 2002. [3] D. Hanselman, B. Littlefield: MATLAB 6: Um curso Completo. P. H., 2003.
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