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na
MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO – UM ESTUDO SOBRE O NÚMERO DE CONTRIBUINTES E
APOSENTADOS DA PREVIDÊNCIA SOCIAL
Alan Carlos de Oliveira1 Faculdade de Apucarana – FAP
Rodolfo Eduardo Vertuan2 Universidade Estadual de Londrina – UEL
Resumo Tomando a Modelagem Matemática para analisar questões que fazem parte de vida cotidiana, o estudante pode observar a aplicação da Matemática na sociedade e perceber que ela tem um lugar de destaque nessa sociedade, à medida que pode ser um instrumento de análise e reflexão de diferentes situações. Neste texto, num primeiro momento, apresenta-se a Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática, como uma alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Em seguida, aborda-se o assunto “crescente número de aposentados” e “diminuição do número de contribuintes da previdência social”, utilizando, para isso, os conteúdos matemáticos função do primeiro grau, função do segundo grau, método dos mínimos quadrados, sistemas, matrizes, regra de Cramer e escalonamento. Este trabalho conclui que atividades de Modelagem podem contribuir para a aprendizagem de Matemática enquanto os alunos discutem temas de seu interesse e/ou temas importantes na sociedade.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Educação Matemática, Previdência Social. Introdução
Ainda hoje, na maioria das escolas, o ensino de Matemática é mecânico e os
alunos têm que reproduzir aquilo que o professor acredita ser importante. Como
alternativa para este modelo de ensino, para viabilizar a aprendizagem da Matemática,
os educadores matemáticos utilizam alternativas pedagógicas. Dentre elas, temos
interesse especial, neste trabalho, pela Modelagem Matemática.
Diante do modo como a matemática vem sendo ensinada em nossas escolas, a Modelagem Matemática surge como um dos muitos caminhos que podem tornar o ensino desta disciplina mais eficaz. A Modelagem Matemática pode ser vista tanto como método cientifico de pesquisa, quando encarada do ponto de vista da Matemática
1 Aluno graduado pela Faculdade de Apucarana – FAP (PR) no curso de Licenciatura em
Matemática com ênfase em Informática. 2 Doutorando do programa de pós-graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da
Universidade Estadual de Londrina – UEL (PR).
2
Aplicada, quanto como uma alternativa pedagógica para o ensino e aprendizagem de Matemática, se entendida sob a ótica da Educação Matemática.
(BASSANEZI, 2002, p.16).
A Modelagem1 é uma alternativa pedagógica por meio da qual a construção de
conhecimento se dá pela aplicabilidade deste conhecimento no cotidiano do aluno e não
por imposição (MACHADO JR, 2005).
No processo de uma atividade de Modelagem Matemática o aluno é levado a
usar de sua criatividade, característica essa que deve ser valorizada (MACHADO
JUNIOR, 2005, p.19).
Temos como objetivo, nesse trabalho, apresentar uma atividade de Modelagem
Matemática que pode ser utilizada, com as devidas adaptações, por professores de
Matemática em turmas do Ensino Médio, uma vez que no decorrer das mesmas,
utilizamos os conteúdos de Matemática deste nível de ensino como instrumentos que
possibilitam a análise e reflexão da situação que nos propusemos a investigar. É o caso
da “Previdência Social”.
1. Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática
A necessidade do uso de novas alternativas pedagógicas em sala de aula vem
sendo discutida há muito tempo e já existem muitos professores utilizando-as em sala de
aula, na tentativa de motivar os alunos e criar um ambiente onde os mesmos possam
refletir e construir do conhecimento.
Bittencourt (2001, apud NÉRI, 2004) destaca que vivemos num contexto onde
não é mais possível usar os antigos moldes de ensino na educação, pois são
extremamente estáticos, o que inibe, por sua vez, a interação que deve existir entre
professor e aluno e entre aluno e aluno. Faz-se necessário por parte dos envolvidos com
a educação fazer uma conexão da matemática escolar, com a matemática da rua e com
as áreas de trabalho para, assim, abrirem novas campos de reflexão, conduzindo os
alunos ao desenvolvimento de novas capacidades.
Utilizaremos neste trabalho a Modelagem Matemática como forma de
estabelecer relações entre a matemática escolar e a matemática da rua enquanto
1 Utilizaremos, em alguns momentos, o termo Modelagem sem o adjetivo Matemática para nos
referirmos a alternativa pedagógica “Modelagem Matemática”.
3
discutimos assuntos apresentados, inicialmente, não necessariamente no contexto
matemático.
Bassanezi (2002) afirma que:
Modelagem matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de Modelos Matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A Modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual.
(BASSANEZI, 2002, p.24)
A Modelagem Matemática, segundo Chevallard et al (2001)
Consiste na construção de um modelo (matemático) que parte da realidade que nos interessa estudar, esmiuçar tal modelo e fazer a interpretação dos resultados obtidos no trabalho, para responder questões inicialmente apresentadas ou que surgiram no decorrer do estudo.
(CHEVALLARD et al, 2001, p.50)
Para Biembengut & Hein (2000, p.11-12) “um conjunto de símbolos e
relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em
questão ou problema de situação real, denomina-se modelo matemático”.
Segundo Bassanezi (2002), modelo matemático é a representação ou a
interpretação de parte da realidade ou da realidade, quando se seleciona fatores
considerados importantes em determinado fenômeno ou sistema. Quando
realizamos uma atividade de Modelagem estamos trabalhando com aproximações
da realidade, ou seja, estamos elaborando representações desta realidade
(BASSANESI, 2002).
Na tentativa de compreender a realidade que o cerca, o indivíduo se motiva com
relação à busca de meios para atingi-la e transformá-la. Pode-se assumir que a
Modelagem Matemática, nesse sentido, tem um papel na formação do cidadão
(BASSANESI, 2002).
A Modelagem faz com que o aluno tenha certa compreensão do papel sócio-
cultural da Matemática. Isso atua diretamente na sua formação, pois muitas vezes, a
Modelagem possibilita que os alunos passem a atuar ativamente na sociedade, tornando-
se auto-suficientes e capazes de analisar a forma como a Matemática é usada nos
debates sociais. A Matemática, quando usada em debates sociais e/ou até mesmo nos
meios de comunicação, exerce grande influência sobre as pessoas com relação à
veracidade e confiabilidade dos resultados. Isso é o que Skovsmose (2001) chamam de
4
ideologia da certeza, isso acaba trazendo uma grande dificuldade da inserção de pessoas
nos debates sociais.
A Modelagem, segundo Barbosa (2003), pode contribuir para a formação de
cidadãos “desconfiados” e com visão crítica sobre as aplicações da matemática, à
medida que leva os alunos a interpretarem, refletirem e discutirem assuntos presentes
em seu cotidiano.
Se estamos interessados em educar matematicamente os nossos alunos para agir na sociedade e exercer a cidadania – e esse é o objetivo da educação básica-, podemos tomar as atividades de Modelagem como uma forma de desafiar a ideologia da certeza e colocar lentes críticas sobre as aplicações da matemática.
(BARBOSA, 2003, p. 4)
Com tal visão da Modelagem Matemática podemos dizer que ela pode fortificar
a intervenção das pessoas em decisões sociais que envolvam aplicações da Matemática,
e isso de certa forma nos permite dizer que contribuímos para criação de uma sociedade
mais democrática (BARBOSA, 2003).
O ambiente possibilitado pela modelagem está vinculado a problematização e a investigação. Na problematização os alunos criam perguntas e/ ou problemas. Na investigação eles buscam os dados e informações, fazem à seleção dos dados relevantes e organizam de forma clara e manipulam tais informações para a partir daí fazerem uma reflexão mais profunda sobre elas. Essas duas atividades não são separadas, elas atuam no processo de envolvimento do aluno para abordar a atividade proposta.
(BARBOSA, 2003, p.64)
Mudar de um paradigma de repetição para um paradigma de investigação, além
de necessário quando se pensa o aluno como construtor de seu conhecimento, é
importante frente às exigências de uma sociedade em constante mudança e cheia de
escolhas.
2. Previdência Social – desse jeito quebra
O Brasil é um dos países que atingiram um patamar mediano de
desenvolvimento e é normal que aconteça uma queda na taxa de fecundidade e um
envelhecimento populacional, isso vem acontecendo em nosso país com grande rapidez.
O problema é que esses avanços sociais fazem com que o sistema previdenciário tenha
uma despesa maior com os aposentados: “Se as pessoas vivem mais, elas receberam
aposentadoria durante um período de tempo maior. Por mais nobre que seja uma
5
despesa destinada a assegurar a velhice digna, a questão é: como financiá-la?” (VEJA,
2008, p.101)
O número de aposentados no país cresce a cada ano, em um ritmo que não é
acompanhado pelo número de contribuintes do INSS (o sistema previdenciário oficial
dos trabalhadores da iniciativa privada). Segundo explicou Marcelo Caetano,
economista do instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), com base na taxa de
fecundidade atual do Brasil que é de 1,8 filhos por mulher, já em 2032 o número de
aposentados será maior que o número de contribuintes. Ainda acrescenta que se não
houver uma reforma previdenciária o rombo nas contas da Previdência assumirá
proporções astronômicas (VEJA, 2008). Note a tabela abaixo retirada da revista Veja:
Figura 1 – Número de contribuintes e aposentados brasileiros
Fonte: Revista Veja, 2008
Frente à situação, podemos investigar o seguinte problema:
Considerando as previsões, em que ano o número de contribuintes tende a ser o
mesmo que o número de aposentados?
Podemos considerar como hipótese, a partir da análise do gráfico acima, que o
crescimento do número de aposentados no decorrer do tempo é linear. Consideremos,
então, a Equação Reduzida da Reta bxay += . .
Segundo as informações retiradas do gráfico, podemos escrever a tabela:
Tabela 1 – Número de pessoas aposentadas
Ano (t) Tempo (t) N° de pessoas aposentadas em milhões(A) 2008 8 22,7 2032 32 43,7 2050 50 61,7
6
Utilizando a idéia de que por dois pontos passam uma única reta e tomando os
pontos (8;22,7) e (50;61,7), obtemos 26,15.93,0)( += ttA , que representa a quantidade
de aposentados no Brasil no decorrer dos anos.
Para validar o modelo, apresentamos os cálculos na tabela seguinte:
Tabela 2 – Validação do Modelo Desse Jeito Quebra - sistema
Ano (t) Tempo (t) N° de pessoas aposentadas em milhões(A)
Modelo - Validação
2008 8 22,7 22,7 2032 32 43,7 45,02 2050 50 61,7 61,76
Em vez de utilizarmos dois pontos para obter a equação da reta como acabamos
de fazer, podemos, ainda, utilizar o Método dos Mínimos Quadrados, que serve para
gerar o que se chama em Estatística: Regressão Linear ou Ajuste Linear. Através desse
método encontramos os parâmetros da reta (coeficiente angular e coeficiente linear), ou
seja, procuramos encontrar o melhor ajuste dos pontos tentando minimizar as diferenças
entre a curva ajustada e os dados fornecidos.
Para que possamos calcular os parâmetros a e b na função bxay += . , usamos
∑ ∑
∑ ∑∑
= =
= =−
−×
−××
=n
i
n
i
ii
n
i
n
i
i
n
i
ii
xxn
yxiyxn
a
1
2
1
2
1 11 e n
xay
b
n
i
n
i
ii∑ ∑= =
×−
=1 1 , onde
ix representa o tempo(n) e
iy representa o número de pessoas aposentadas.
Utilizando os dados da tabela obtemos:
1,1592,0)( += ttA
Cuja validação segue abaixo:
Tabela 3 – Validação do Modelo Desse Jeito Quebra - MMQ
Ano (t) Tempo (t) N° de pessoas aposentadas
em milhões(A)
A(t)=0,92t+15,1
2008 8 22,7 22,46 2032 32 43,7 44,54 2050 50 61,7 61,1
Outra situação a ser investigada neste mesmo problema é com relação à
evolução do número de contribuintes brasileiros.
7
Tabela 4 – Número de pessoas contribuintes
Por meio da análise do gráfico, podemos supor que o número de contribuintes
pode ser representado por meio de parte de uma parábola, o que se confirma quando
representamos os pontos (t, C) no plano cartesiano – como segue.
Gráfico 1 – Número de pessoas contribuintes
Por isso, tomando os três pontos, obtemos o sistema
O qual é possível reescrever como a multiplicação de matrizes
=
c
b
a
.
1592500
1321024
1864
9,43
4,43
34
Ano (t) Tempo (t) Número de pessoas contribuintes C
2008 8 34,6
2032 32 43,4
2050
50 43,9
++=
++=
++=
cb.50a.509,43
cb.32a.324,43
cb.8a.86,34
2
2
2
8
Neste caso, para encontrarmos os valores a, b e c, podemos utilizar a Regra de
Cramer ou o Escalonamento.
A regra de Cramer é uma das maneiras de se resolver sistemas de equações
lineares em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Observe um
sistema com duas equações:
=+
=+
222
111
..
..
cybxa
cybxa
Podemos escrever esse sistema de uma forma matricial
=
2
1
22
11
c
c
y
x
ba
ba
Ou ainda, A . X = C
Onde
22
11
ba
ba= A é a matriz dos coeficientes
y
x= X é matriz das incógnitas
2
1
c
c= C é a matriz dos termos independentes.
Para encontrar o determinante da matriz dos coeficientes (det A), temos:
222122
11det bababa
baA −==
Substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos independentes
encontramos o determinante de x
122122
11bcbc
bc
bcDx −==
E analogamente fazemos para o y
122122
11caca
ca
caDy −==
9
Segundo a Regra de Cramer
A
Dx x
det=
A
Dy
y
det=
Observe que no denominador temos o determinante da matriz dos coeficientes
(det A diferente de 0) e no numerador aparece o determinante da matriz obtida de A,
substituindo a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes. Este método de
resolução de um sistema linear de n equações e n incógnitas, que só pode ser aplicado
quando o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo, é chamado de Regra de
Cramer.
Utilizando a Regra de Cramer para resolver problema:
det 18144−=A
det 4,1461 =A
det 8,125082 −=A
det 6,5370813 −=A
00807.018144
4,146≅
−
=A
689,018144
80,12508≅
−
−=B
6,29
18144
6,537081≅
−
−=C
E por este método, encontramos:
6,29.689,0.00807,0)( 2++−= tttC
O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações
lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações
elementares, a saber:
• Um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de
duas equações quaisquer do sistema.
• Um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os
membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real
não nulo.
10
• um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma
equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro
desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.
Para se resolver um sistema por meio do escalonamento tem-se o objetivo de
escrever o sistema na forma
=
=+
=++
3
2
1
kfz
kezdy
kczbyax
de modo a possibilitar achar o valor de z
facilmente (z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Não existe uma regra
geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, o que tem que ser
seguido são as três transformações citadas acima as utilizando de maneira correta e
oportuna.
Observe o sistema
++=
++=
++=
cb.50a.509,43
cb.32a.324,43
cb.8a.86,34
2
2
2
resolvido passo a passo por meio do
escalonamento:
Passo 1: L1 . (-16) + L2 L2
Passo 2: L1 . 625 e L3 . (-16)
Passo 3: L3+L1 L3
=++
=++
=++
9,43502500
4,43321024
6,34864
cba
cba
cba
=++
−=−−
=++
9,43502500
2,51015960
6,34864
cba
cba
cba
=++
−=−−
=++
9,43502500
2,51015960
6,34864
cba
cba
cba
−=−−−
−=−−
=++
4,7021680040000
2,51015960
21625625500040000
cba
cba
cba
−=−−−
−=−−
=++
4,7021680040000
2,51015960
6,34625500040000
cba
cba
cba
=++
−=−−
=++
6,2092260942000
2,51015960
6,34625500040000
cba
cba
cba
11
Passo 4: L2 . 175 e L3 . 4
Passo 5: L3 + L2 L3
Passo 6: L2 . (-1) e L3 ( -1)
Do sistema acima, tiramos imediatamente que: 60,29189
6,5594≅=c . Como
conhecemos o valor de c, fica fácil achar os valores das outras incógnitas: substituindo o
valor de c na equação 89285262516800 =+ cb , teremos o valor de 689,0≅b .
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de c e b na primeira equação
( 6,34.625.5000.40000 =++ cba ) encontramos o valor de 00807,0≅a .
A partir dos valores encontrados montamos o modelo:
6,29.689,0.00807,0)( 2++−= tttC
Podemos validar a expressão, comparando os valores reais com os valores
modelados:
Tabela 5 – Validação da expressão para o número de pessoas contribuintes
Ano Tempo (t) N° de pessoas
contribuintes
Modelo
Validação
2008 8 34,6 34,6
2032 32 43,4 43,38
2050 50 43,9 43,88
−=−+
−=−−
=++
6,559418900
892852625168000
6,34625500040000
cba
cba
cba
=
=+
=++
6,5594189
89285262516800
6,34625500040000
c
cb
cba
=++
−=−−
=++
4,836902436168000
892852625168000
6,34625500040000
cba
cba
cba
−=−+
−=−−
=++
6,559418900
892852625168000
6,34625500040000
cba
cba
cba
=++
−=−−
=++
6,2092260942000
2,51015960
6,34625500040000
cba
cba
cba
=++
−=−−
=++
4,836902436168000
892852625168000
6,34625500040000
cba
cba
cba
12
De posse dos dois modelos construídos, é possível responder a pergunta inicial:
Considerando as previsões, em que ano o número de contribuintes tende a ser o
mesmo que o número de aposentados?
Para isso, calculamos quando A (t) = C (t):
034,14.241,0.00807,0
6,29.689,0.00807,026,15.93,02
2
=+−−
++−=+
tt
ttt
3078,29
serve) não( 65,59
≅≅
−≅
t
t
Gráfico 2 – Número de pessoas contribuintes (quadrática) e número de aposentados (linear)
Segundo os modelos matemáticos obtidos, aproximadamente em 2030, o número
de aposentados será igual ao número de contribuintes.
A reportagem da revista dizia que “no atual ritmo, em 2032 haverá mais gente
recebendo benefícios do que Trabalhadores financiando a Previdência’. (VEJA, 2008,
p.101). Note que a data prevista pelo modelo sugerido é que em 2030 o número de
aposentados será igual ao número de contribuintes.
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Considerações Finais
Neste trabalho tinha como objetivo apresentar uma atividade de Modelagem
Matemática como uma alternativa pedagógica para os atuais moldes de ensino de
Matemática que freqüentemente vem sendo utilizados nas escolas. Favorecendo, assim,
a obtenção, em sala de aula, de resultados mais satisfatórios com respeito à
aprendizagem e ao interesse dos alunos.
Despertar o interesse dos alunos para aprender matemática é um desafio para
maioria dos professores de Matemática, pois muitos não vêem o porquê do seu ensino.
Na atividade proposta nesse trabalho os alunos poderão trabalhar com conteúdos
matemáticos e observar a aplicação de tais conteúdos na vida real.
Na situação “Previdência Social – Desse Jeito Quebra”, ao analisar o gráfico, os
alunos poderão utilizar um processo comum em atividades de Modelagem – o
estabelecimento de hipóteses – e entender que o crescimento do número de aposentados
no decorrer do tempo é linear, utilizando, então, a Equação Reduzida da Reta
bxay += . . Considerando a idéia de que por dois pontos passa uma única reta, montou-
se uma equação e chegou a um modelo possível da situação.
Ao aplicar essa situação em uma sala de aula os alunos poderão encontrar os
parâmetros da função, por meio, inclusive, de um software computacional, o qual dará
os valores dos parâmetros da função linear usando o Método dos Mínimos Quadrados –
também abordado na situação.
Na segunda parte dessa mesma situação os alunos, ao analisarem o gráfico,
poderão supor que o número de contribuintes pode ser representado por meio de parte
de uma parábola. Ao tomarem três pontos obtivemos um sistema de três equações e três
incógnitas, que foi resolvido por meio da Regra de Cramer e do escalonamento. Para
responder ao problema inicial, igualamos os dois modelos encontrados.
Na atividade de Modelagem discutida não ficamos presos a uma só forma de
resolver. Isso favorece a aprendizagem do aluno, por que ao analisar a maneira diferente
que outro colega de sala resolveu, ele relaciona as estratégias e, de repente, aprende
outra matéria sem ficar preso às fórmulas.
Acreditamos que as atividades de Modelagem Matemática levam os alunos a
verem a Matemática como uma ferramenta para analisar, investigar e interpretar a
realidade. Ao desenvolverem uma atividade deste tipo, utilizam vários conceitos
matemáticos em problemas reais e se obrigam, inclusive, a conhecerem melhor outras
áreas do conhecimento. Logo, a Modelagem não só é uma alternativa para o ensino e a
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aprendizagem de conteúdos matemáticos, como também é uma alternativa para a
formação critica dos alunos, os quais vivem numa sociedade em constante mudança.
Referências Bibliográficas
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim (RS), v.27, n.98, p.65-74, junho/2003
BASSANEZI, R. C.. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. A modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2000.
Cadê os Bebês. Revista Veja. São Paulo, Edição 2072, 6 de agosto de 2008. p.94-103,
2008.
CHEVALLARD, Yves, BOSH Marianna GASCÓN Josep. Estudar Matemáticas o Elo
entre o Ensino e a Aprendizagem. Arimed. Porto Alegre, 2001.
MACHADO JÚNIOR, Arthur Gonçalves. Modelagem matemática no ensino-
aprendizagem e resultados. Belém: [L.n], 2005.
NERI, C. Z. Competências em avaliação na aprendizagem. Disponível em: http://www.unisa.br . Acessado em: 23 de junho 2008.
SKOVSMOSE, Ole. Educação Matemática Crítica. Campinas: Papirus, 2001.