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Matemática
Regra de Cramer
Resumo
Título
Consideramos o sistema: ax by e
cx dy f
+ =
+ =
Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que esse sistema pode ser escrito pela forma matricial:
a b x e
c d y f
=
Esse sistema é possível determinado quando o determinante a b
Dc d
= for diferente de zero.
As soluções desse sistema através da Regra de Cramer são dadas por:
xDx
D=
yDy
D=
Onde,
x
e bD
f d= , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “x” pela coluna de resultados.
y
a eD
c f= , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “y” pela coluna de resultados.
Exemplo: Resolva o sistema:
1 2 2
1 1 1 8
2 1 3
D
− −
= − = −
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Matemática
1 2 2
2 1 1 8
1 1 3
xD
− − −
= − − = −
1 1 2
1 2 1 16
2 1 3
yD
− −
= − = −
1 2 1
1 1 2 8
2 1 1
zD
− −
= − − =
81
8
162
8
81
8
x
y
z
−= =−
−= =
−
= = −−
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Matemática
Exercícios
1. Pedro e André possuem, juntos, 20 cartões colecionáveis. Em uma disputa entre ambos, em que fizeram
apostas com seus cartões, Pedro quadriplicou seu número de cartões, enquanto André ficou com
apenas 2 / 3 do número de cartões que possuía inicialmente. Dessa forma, o número de cartões que
Pedro ganhou na disputa foi
a) 6.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
2. Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações
lineares:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
3. Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma
velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se
pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
• Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
• Carlos e Andreia pesam 123 kg;
• Andreia e Bidu pesam 66 kg.
O peso de cada uma deles é:
a) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
b) Andreia pesa 50 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
c) Andreia pesa 51 kg, Bidu 12 kg e Carlos 72 kg.
d) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 70 kg.
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Matemática
4. Para que o sistema linear 2 5
2
x y
ax y b
+ =
+ = seja possível e indeterminado, o valor de a + b é:
a) -1
b) 4
c) 9
d) 14
e) 19
5. Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes
numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações
possui a seguinte representação matricial:
O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos coeficientes
numéricos das incógnitas.
Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de Cramer no
cálculo das incógnitas do sistema.
Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações
utilizando a Regra de Cramer.
a) (1, 2, -1)
b) (1, 2, 1)
c) (1, -2, 1)
d) (-1, 2, 1)
e) (-1, 2, -1)
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Matemática
6. Qual o conjunto solução do sistema linear?
Resolva por Regra de Cramer.
a) (0,5,-1)
b) (0,5,1)
c) (0,5,-1)
d) (5,0,-1)
e) (5,0,1)
7. Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre
sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram
ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor,
qual o número de sócios e não sócios que compareceram ao show.
a) 100 sócios e 80 não sócios.
b) 80 sócios e 120 não sócios.
c) 120 sócios e 160 não sócios.
d) 120 sócios e 80 não sócios.
e) 120 sócios e 100 não sócios.
8. Qual o conjunto solução do sistema linear?
Resolva por Regra de Cramer.
a) (1/5, 3/5)
b) (3/5, 1/5)
c) (-3/5, 1/5)
d) (1/5, -3/5)
e) (-3, 1)
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Matemática
9. Qual o conjunto solução do sistema linear?
Resolva por Regra de Cramer.
a) (3/4, 1, -5/2)
b) (-5/2, 3/4, 1)
c) (3/4, 1, 5/2)
d) (5/2, 3/4, 1)
e) (-5/2, 3/4, -1)
10. Qual o conjunto solução do sistema linear?
Resolva por Regra de Cramer.
a) (3,-1)
b) (-1, 3)
c) (3, 1)
d) (1, 3)
e) (-3, -1)
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Matemática
Gabarito
1. A
Equacionando e resolvendo o sistema:
20
24 20
3
p a
p a
+ =
+ =
Por Cramer:
1 12 2 12 10
423 3 3 34
3
D = = − = − = −
20 140 40 60 20
2023 3 3 320
3
2
p
p
D
D
D
= = − = − = −
=
Se Pedro possuía 2 cartões inicialmente e após a disputa quadriplicou seu número de cartões, então este
ficou com 8 cartões ao final (4.2 = 8). Ou seja, Pedro ganhou 6 cartões na disputa.
2. B
No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.
y = Dy / D
y = 62/31
y = 2
O valor da incógnita y no sistema de equações é 2.
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Matemática
3. A
Seja Andreia = A, Bidu = B e Carlos = C. Temos:
87
123
66
b c
a c
a b
+ =
+ = + =
`
Por Cramer, temos:
b = Db / D
b = 30 / 2
b = 15
b + c = 87
15 + c = 87
c = 87 – 15
c = 72
a + b = 66
a = 66 – 15
a = 51
Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
4. D
Devemos ter Dx = Dy = D = 0
2 14 0 4
2
5 110 0 10
2
14
a aa
b bb
a b
= − = =
= − = =
+ =
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Matemática
5. A
No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.
x = Dx / D
x = –8/–8
x = 1
y = Dy/D
y = –16/–8
y = 2
z = Dz/D
z = 8/–8 = –1
Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = –1.
6. A
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Matemática
Dx
Dy
Dz
7. D
x: sócios
y: não sócios
Por Regra de Cramer, temos:
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Matemática
x = Dx / D
x = 600 / 5
x = 120
y = Dy / D
y = 400 / 5
y = 80
Por substituição:
Isolando x na 1ª equação:
x + y = 200
x = 200 – y
Substituindo x na 2ª equação:
5x + 10y = 1400
5 * (200 – y) + 10y = 1400
1000 – 5y + 10y = 1400
–5y + 10y = 1400 – 1000
5y = 400
y = 400/5
y = 80
Substituindo y na 1ª equação:
x + y = 200
x = 200 – y
x = 200 – 80
x = 120
No show estavam presentes 120 sócios e 80 não sócios.
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Matemática
8. C
det(M)=2.4−3.1=5
det(My)=2.5−3.3=1
det(Mx)=3.4−5.3=−3
9. B
det(M)=−16
det(Mx)=40
det(My)=−12
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det(Mz)=−16
10. A
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