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1. Introdução

O setor da saúde no Brasil, em especial a saúde pública, é um sistema idealizado de forma a

atender as necessidades da população, tal como o Sistema Único de Saúde (SUS), inspirado

na estratégia organizacional de atenção primária a saúde (APS). Segundo Macinko (1998);

Starfield (2002) apud Giovanella (2009), a APS atrelada a uma boa organização “contribui

melhora da atenção com impactos positivos na sa de da população e efici ncia do sistema”.

Entretanto, o observado com os crescentes problemas urbanos, a falta de controle sobre os

vetores de doenças tropicais, ausência de saneamento básico adequado entre outros, é a

demanda pelo serviço em um ritmo de crescimento que os agentes dessa área não conseguem

acompanhar. A geração de filas nesses sistemas tornou-se um problema que tem ganhado

evidência e exigências de melhoria no atendimento das mesmas.

A formação de filas ocorre por que a demanda pelo serviço é maior do que a capacidade do

sistema em atendê-la (ARENALES, 2007). Porém, há casos em que o aumento da capacidade

de atendimento não é viável para um estabelecimento, devido à inviabilidade econômica e

limitação de espaço.

Como resultado, aqueles cujo poder aquisitivo permite a contração de um seguro saúde

migam para o serviço privado enquanto que os demais permanecem sob a espera da prestação

do serviço público gratuito. Dessa migração, surge a preocupação do dimensionamento de um

sistema que possa acomodar seus usuários que investem parte de sua renda para a garantia de

um atendimento eficiente e diferenciado.

Vale ressaltar que as filas estão presentes em diversos locais, vistas como sinônimos de

atrasos e congestionamentos. Todavia, há casos em que uma fila poderá se tornar um

elemento fundamental para venda de um bem ou serviço, podendo ser responsável por perdas

ou ganhos de capital para uma entidade. De forma a medir e avaliar os sistemas de

atendimento é aplicada a Teoria das Filas, proposta por Agner Erlang pela primeira vez

enquanto este trabalhava na Companhia Telefônica de Copenhague resolvendo problemas de

tráfego na telefonia.

Existem duas maneiras de tratar problemas de filas; a primeira é baseada na construção de

modelos analíticos para a verificação comportamento do sistema, tal como o presente artigo.

2

Já a segunda utiliza de técnicas da simulação, onde são formulados modelos computacionais

para representar o sistema a ser implantado ou a ser corrigido.

O desenvolvimento deste artigo faz referência a um estudo da formação de filas na recepção

de um hospital localizado na cidade de Belém-PA, a fim de solucionar o problema da

formação de filas. Para isso, primeiramente, fez-se a analise da coleta dos dados para

estabelecer o melhor modelo para ser utilizado na elaboração de um melhor rendimento no

setor de atendimento do hospital, e desta forma evitar constrangimento e aborrecimentos

daqueles que desejam atendimento.

2. Teoria das Filas

Segundo Melo (2014), a Teoria das Filas “se baseia no comportamento de um conjunto de

elementos que aguarda, por um tempo variável ou não, por um serviço ou ação de benefício”

e um sistema de filas “é composto de elementos que querem ser atendidos em um posto de

serviço e que, eventualmente, devem esperar até que o posto esteja disponível” (ANDRADE,

2000).

Muitos são os fatores que influenciam o sistema de atendimento e, consequentemente, a

formação e funcionamento das filas. De acordo com Andrade (2000) estes elementos são

agrupados em quatro categorias a fim de melhor estudá-los, sendo elas: forma de atendimento,

modo de chegada, disciplina da fila e estrutura do sistema.

2.1. Processo de chegada

A quantidade de clientes entrando no sistema em um determinado intervalo de tempo pode

ocorrer de forma aleatória – com os intervalos de chegadas ocorrendo de forma variável – ou

pode ser determinístico – ocorrem em intervalos de tempo exatamente iguais.

Neste estudo, trataremos de um sistema que obedece a Distribuição de Poisson por satisfazer

as duas condições do modelo: a aleatoriedade das ocorrências e a interdependência entre elas.

Logo, a probabilidade de chegadas simultâneas é praticamente zero, o número médio de

ocorrências por unidade de tempo é distribuída uniformemente sobre o intervalo considerado.

Poisson é dada por:

3

onde a variável aleatória x é o número de ocorrências do evento em um intervalo, µ é a média

dos números de ocorrências por intervalo de tempo ou espaço (parâmetro de Poisson) e P(x) é

a probabilidade de x ocorrências em um intervalo de tempo.

2.2. Processo de atendimento

Representa a recepção do cliente/dado após a espera na fila feita pelo servidor para que o

serviço seja prestado. Assim como a chegada, ele pode ser determinístico ou aleatório. Este

processo depende da disponibilidade variando de acordo com o seu intervalo de tempo,

podendo ocorrer sistemas onde o canal está sempre disponível. (LEITE, 2011; MELO, 2014).

Paralelamente ao processo de chegada comportando-se como a distribuição de Poisson, o

atendimento atende a Distribuição Exponencial Negativa, onde “o n mero de ocorr ncias de

um determinado evento e explicado pela distribuição de Poisson com média λ, o intervalo

entre duas ocorr ncias segue a distribuição exponencial negativa com média 1/λ.”

(ANDRADE, 2000). A média λ é calculada por:

e a Distribuição Exponencial é dada por:

“onde μ é o inverso do ritmo de atendimento e x uma variável aleatória contínua, podendo

assumir diversos valores dentro de uma escala contínua.” (MELO, 2014).

2.3. Disciplina da fila

Trata-se da regra que define qual o próximo a ser atendido a partir da chegada. A sequência

chegada-atendimento pode ser do tipo (a) FIFO, onde o atendimento ocorre na mesma ordem

de chegada – disciplina mais utilizada em bancos, consultórios, lotéricas, restaurantes, etc; (b)

4

LIFO, onde o atendimento ocorre na ordem inversa de chegada, tendo sua aplicação evidente

em sistemas de controle de estoque; (c) SIRO, quando o atendimento é feito randomicamente,

como um sorteio e (d) SPT, onde ocorre a priorização dos elementos com menor tempo de

atendimento (mais rápidos no sistema), aplicado em restaurantes no momento de preparação

de um prato.

2.4. Estrutura do Sistema

De acordo com Chase (2004), nas estruturas das filas o fluxo dos itens a serem servidos pode

seguir uma fila única, filas múltiplas ou uma mistura das duas. A escolha do formato depende

parcialmente do volume de clientes atendidos e parcialmente das restrições impostas pela

sequência que define a ordem pela qual o serviço deve ser realizado. Vale ressaltar que

geralmente assumido que os mecanismos de canais paralelos operam independentemente um

do outro.

2.5. Teste de hipótese Qui-Quadrado (2)

Este teste mede a eficiência do ajuste da distribuição, ou seja, quando a frequência observada

está próxima da frequ ncia esperada, daí o nome de ader ncia. “Os testes de ader ncia são

utilizados para avaliar afirmações feitas sobre a distribuição de valores numa população”

(STEVENSON, 1981).

Após ser realizada a distribuição de Poisson, se faz necessário conferir se o processo segue o

modelo de distribuição calculado. O teste é recomendo para 30 ou mais amostras de modo que

seja possível comparar se a frequência observada na amostra está próxima da frequência

esperada para a distribuição escolhida. Primeiramente é feito a formulação das hipóteses nula

(H0) e alternativa (H1), onde:

Em H0, as frequências observadas não diferem das esperadas em relação à

distribuição normal, ou seja, a característica em estudo da população tem distribuição

de Poisson.

Em H1, as frequências observadas diferem das esperadas em relação à distribuição

normal, ou seja, a característica em estudo da população não tem distribuição de

Poisson.

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Para obter um valor da tabela Qui-Quadrado para fins de comparação, deve-se determinar o

grau de liberdade. Conforme Stevenson (1981) “o n mero de grau de liberdade para um teste

de aderência é igual ao número k de categorias menos o número de vínculos nos dados

amostrais”.

2.6. Parâmetros e medidas de desempenho do sistema

Todo sistema possui um grau de operação e de eficiência e, para isso, se faz necessário pontos

de referência ou parâmetros do sistema. A partir da definição destes, é possível medir o

desempenho do sistema considerando a chegada, tempo de espera e o de atendimento.

Os parâmetros envolvem a taxa de utilização do sistema, a razão entre a taxa de entrada e a de

atendimento e as probabilidades de não haver usuários/elementos no sistema ou de haver n

usuários/elementos no mesmo, pontuando as probabilidades que norteiam a ocupação do

sistema. Já as medidas indicam mais diretamente o número de elementos no sistema e na fila,

além do tempo provável de espera pelo produto ou serviço. O Quadro 1 mostra os parâmetros

(1a, 2

a, 3

a e 4

a fórmulas) e medidas (as demais).

Quadro 1 – Principais indicadores e medidas de desempenho

6

Fonte: Adaptado de Hillier e Lieberman (2010)

As medidas de desempenho ainda podem ser calculadas mais simplificadamente pelas

relações descritas na Tabela 1.

Tabela 1 - medidas complementares

Descrição Equação

Número médio de clientes no sistema (NS)

Número médio de clientes na fila (NF)

Fator de utilização do servidor (); c=1

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Probabilidade de existirem n clientes no

sistema (Pn)

Tempo de atendimento (TA)

Fonte: Adaptado de Hillier e Lieberman (2010)

Vale relembrar que sistemas estáveis são caracterizados por λ < µ, ou seja, ρ < 1. Quanto mais

o valor de “ρ” se aproxima de 1 a fila tende a aumentar infinitamente. Observa-se pela

expressão na sexta fórmula que, se λ = µ, ou seja, ρ = 1, o tamanho da fila é infinito.

3. Metodologia do estudo

Em um estudo realizado na recepção da ala de consultas de um hospital localizado em uma

das principais avenidas de Belém, observou-se uma considerável formação de filas. Nesse

setor, assim que os clientes entram, são informados por um aviso na parede que devem emitir

uma senha por uma máquina localizada próxima à porta e assim aguardar a vez para serem

atendidos pela recepcionista.

A espera na recepção do hospital pode ser descrita como sistema de fila única com disciplina

FIFO e um canal de processamento, no qual a atendente desempenha a função de

preenchimento de dados do paciente, pedido de autorização de realização de algum

procedimento para o convênio médico entre outras atribuições.

A coleta de dados é feita através da observação e cronometragem dos tempos de chegada e de

atendimento no balcão da recepção e posteriormente planilhados sendo agrupados em

intervalos para a análise da aderência e escolha do melhor modelo de distribuição. A fim de

observar a variabilidade desses dados em dias diferentes, a coleta de dados foi feita de

segunda à sexta-feira durante uma semana, no mesmo horário (de 13h às 15h), quando

observava-se um aumento do número de usuários entrando no sistema.

Concluída essa etapa, foi realizado o teste de aderência do Qui-Quadrado a fim de validar os

modelos. Após o cálculo do 2 para cada classe foi feita a soma, o que resultou no

2

calculado do modelo. Se este valor for menor que o valor tabelado torna-se possível aceitar o

modelo de Poisson para descrever o número de chegadas de pacientes. Foram testadas as

8

hipóteses de distribuição de Poisson para o número de chegadas e Exponencial Negativa para

o tempo de atendimento. Finalizado o estudo do procedimento de chegadas é possível realizar

a análise do processo de atendimento.

4. Estudo de caso

4.1. Chegadas

Conforme a Tabela 2, é possível observar o número de clientes que chegavam em cada

cronometragem de um minuto e as frequências com que o respectivo número de chegadas

ocorre.

Tabela 2 - Frequência de chegada dos pacientes

Número de Chegadas Frequência Observada

(Oi)

0 5

1 13

2 8

3 4

λ 1,367

Total 30

Fonte: Autores (2013)

Realizando-se o tratamento dos dados, é possível construir o histograma de chegadas (Figura

1) cujo eixo das abcissas representa o número de chegadas por minuto e o eixo das ordenadas

traz as frequências com que cada número de chegadas ocorre, ou seja, em quantas

cronometragens de um minuto chega determinado número de pessoas ao sistema.

Figura 1 - Frequência do número de chegadas

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Observando-se a configuração dos dados, é possível verificar que há uma semelhança com a

distribuição de probabilidades de Poisson. A Tabela 3 possui o número de chegadas, a

frequência observada, a frequência calculada conforme o modelo de Poisson além do teste do

“Qui-Quadrado”.

Tabela 3 - Cálculos de frequência e 2

Número de Chegadas Frequência

Observada(Oi)

Frequência

Calculada(Ei)

(Oi-Ei)/Ei

0 5 7,65 0,92

1 13 10,45 0,62

2 8 7,14 0,10

3 4 3,25 0,17

Total 30 28 1,81


A frequência calculada resultou em P(x=0) ~ 0,2549 e o teste do Qui-Quadrado em 1,3. Neste

caso optou-se por adotar como erro 5. Ademais, sabe-se que nesta situação, há 2 graus de

liberdade, da mesma forma que o cálculo da frequência, aqui também será realizado apenas

para um evento sendo, portanto repetido para os demais, tal como:

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sendo assim possível validar o modelo de Poisson.

4.2. Atendimentos

O tempo de atendimento foi agrupado em classes com intervalo de dois minutos para cada

uma conforme a Tabela 4. De modo a visualizar mais facilmente o processo de atendimento,

gerou-se um histograma (Figura 2) o qual contém a relação entre o intervalo de tempo de

atendimento com as respectivas frequências que agruparam as cronometragens observadas no

hospital.

Tabela 4 - Frequências de tempos de atendimento

Intervalo do tempo de

atendimento

Frequência observada

(FO)

0-2 13

2-4 13

4-6 5

6-8 3

8-10 1

10-12 1

12-14 0

14 - 16 1

16 - 18 1

18 - 20 1

Soma 39


Figura 2 - Tempo de atendimento

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Conforme a visualização do gráfico, é possível perceber que ele se assemelha a uma

distribuição exponencial negativa. A fim de validar ou recusar este modelo como padrão para

o sistema é necessário realizar o teste do 2. Assim como já fora feito anteriormente, deve-se

calcular as frequências teóricas com base na exponencial negativa e observar se assim se o

modelo é ou não adequado para o sistema através do 2.

A frequência calculada através da exponencial negativa está exemplificada na equação

5abaixo apenas para o intervalo de 0 a 2 minutos de atendimento. Abaixo, são dispostos todos

os valores calculados de frequência (FC).

A seguir, para validar o modelo, deve-se testar a hipótese de que o modelo segue uma

distribuição exponencial negativa. Assim como nos casos anteriores, usa-se aqui o teste do

Qui-Quadrado calculado da mesma forma que no número de chegadas. A Tabela 5 dispõe o

teste do para o tempo de atendimento.

Tabela 5 – Teste 2 para tempo de atendimento

Intervalo do tempo de

atendimento

Frequência observada

(FO)

Frequência calculada

(FC)

2

0-2 13 14,42 0,14

2-4 13 9,09 1,68

4-6 5 5,73 0,09

12

6-8 3 3,61 0,10

8-10 1 2,28 0,72

10-12 1 1,43 0,13

12-14 0 0,90 0,90

14 - 16 1 0,57 0,33

16 - 18 1 0,36 1,14

18 - 20 1 0,23 2,64

Soma 39 39 7,88


Considerando-se que a situação do atendimento possui 7 graus de liberdade e adotando-se um

erro de 5%, obtém – se o valor de 14,07 aproximadamente para o . Sabendo-se que o

calculado foi de 7,9 aproximadamente então conclui-se que por ele ser menor que o tabelado

então aceita-se a hipótese de que o processo de atendimento pode ser descrito pela

exponencial negativa.

4.3. Cálculo de parâmetros e medidas de desempenho

Após a coleta dos dados foi possível calcular o tempo médio de atendimento (TA), em

minutos por cliente, de cada paciente através da média ponderada.

Delimitados o tempo médio de atendimento de clientes (TA) bem como o número médio de

clientes no sistema por minuto (NS), deve-se encontrar relevantes parâmetros para o sistema

de filas relativos à quantidade de clientes. De posse da TA, é possível encontrar o parâmetro μ

(média da quantidade de clientes atendidos por minuto) e por conseguinte a taxa de ocupação

do sistema (ρ) (ver Tabela 6).

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Tabela 6 – Parâmetros calculados

Descrição Valor Unidade

Ritmo de chegada (λ) 1,37 pessoas/minuto

Taxa média de atendimento (μ) 0,23 minutos/pessoa

Número médio de clientes no sistema (NS) -1,20 pessoas

Número médio de clientes na fila (NF) -7,15 pessoas

Fator de utilização do servidor (p); c=1 5,94 %

Probabilidade de existirem n clientes no

sistema (Pn)

-9,48 -

Tempo de atendimento (TA) -4,35 minutos


Nota-se que a taxa de utilização do sistema está extremamente acima de um, demonstrando

assim, que o sistema está instável, ou seja, a fila tende o infinito. Diante do valor da taxa de

utilização percebe-se que o número de pessoas que entram no sistema é cinco vezes maior que

o número de pessoas que são atendidas por ele.

4.3. Melhoramento do sistema

Diante da grande ineficiência da recepção, percebe-se a necessidade de aumentar o número de

servidores do sistema. Considerando-se que todos os novos atendentes teriam o mesmo ritmo

de atendimento de clientes e que esses últimos continuariam com o mesmo ritmo de chegada

ao sistema, montou-se a tabela 6para demonstrar como ficaria o sistema com vários

servidores.

Tabela 7 - Situação do sistema variando o número de canais

Número de

servidores

Taxa de utilização Status do sistema

1 5,92 Sistema instável





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6 0,99 Sistema estável

7 0,85 Sistema estável


Segundo a tabela 6, é possível observar que apenas a partir de6 servidores o sistema pode

tornar-se adequado e, portanto, capaz de atender os clientes. Contudo, nota-se que o sistema

com seis canais ainda está muito próximo da instabilidade sendo coerente, portanto,

dimensionar o sistema com sete canais de atendimento. Dimensionando o sistema para sete

atendentes, são estabelecidos na tabela 8a nova taxa de utilização do sistema, os parâmetros

relativos ao número médio de clientes na fila, tempo médio de espera na fila, número médio

de clientes no sistema, tempo médio gasto no sistema, probabilidade de estar vazio e de todos

os servidores estarem ocupados.

Tabela 8 -Variáveis do sistema idealizado com 7 servidores

Variável de interesse Valor da variável

Taxa de utilização 0,85

Probabilidade de o sistema estar vazio 0,00

Probabilidade de os canais estarem

completamente ocupados

1,00

Número médio de clientes na fila 3,88

Tempo médio de espera na fila 2,84

Número médio de clientes no sistema 9,82

Tempo médio de gasto no sistema 7,18


5. Conclusão

A Tabela 8 demonstra que o sistema dimensionado com 7 atendentes apresenta-se estável e

portanto mais agradável ao cliente. Além de melhorar a satisfação do cliente também

corrobora para melhorar o ambiente laboral da atendente a qual está com um excesso de

trabalho na recepção do hospital.

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Aumentando-se o número de atendentes, nota-se que o tempo de espera dos clientes na fila

passa de duas horas e trinta minutos, como foi observado na recepção do hospital, para

aproximadamente três minutos. Ademais, o sistema passa a ter apenas dez clientes em média

e, a cada um desses clientes, é gasto um tempo total de sete minutos no sistema, ou seja, entre

a espera na fila e o atendimento por um dos sete canais.

A partir da coleta dos dados, da metodologia estudada e da conclusão das hipóteses abordadas

no desenvolvimento deste artigo, observou-se a incapacidade do sistema, até então utilizado.

Definiu-se um novo modelo de sistema, porém este atenderia as características detectadas no

mesmo, além de reduzir as reclamações do cliente. O novo modelo deverá conter um aumento

do número de atendentes, como estabelecido na metodologia, logo haveria necessidade de

reorganizar o layout.

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