modelização e linearizaçãofundamentos de controlo deec/istisabel lourtie modelização e...
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Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Modelização e Linearização
Representação matemática de sistemasModelos de entrada/saídaModelo de estado
Representação matemática de SLITsLinearidade, invariância no tempo e causalidadeTransformada de Laplace unilateralFunção de transferência: formas factorizada e das constantes de tempo
Modelo físicoSistemas mecânicos de translaçãoSistemas mecânicos de rotaçãoSistemas electromecânicos
LinearizaçãoÁlgebra de blocos
Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Representação Matemática de Sistemas
sistema tx tyModelos de entrada/saída
Equação diferencial linear ou não linear variante ou invariante no tempo
Função de transferência só para sistemas lineares e invariantes no tempo
Resposta impulsional só para sistemas lineares e invariantes no tempo
linear ou não linear variante ou invariante no tempo
Modelo de estado -- relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema
Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo
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Transformada de Laplace unilateral
Representação Matemática de SLITs Causais
SLIT tx ty
Sistema invariante no tempo
tytxtytx
Sistema linear
tyatyatxatxa
tytx
tytx22112211
22
11
Sistema causal
TttytyTttxtx ,, 2121
Função de transferência
thsH TL
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(expressão algébrica & região de convergência ) sX B XR
Transformada de Laplace
jsdtetxsXtx stB
;Bilateral:
Unilateral: jsdtetxsXtx stU
;0
Caracteriza a evolução temporal do sinal para .0t tx
Quando é causal, i.e., , 00 ttx tx txtx UB TLTL
A transformada de Laplace unilateral de um sinal é completamente caracterizada pela sua expressão algébrica
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Transformada de Laplace Unilateral
Exemplo 1: tuetx t1
2
1
t0
2Re;2
1
s
ssX B
sRe
sIm
2
2
1
ssXU
sXsX BU tx causal
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Transformada de Laplace Unilateral
Exemplo 2: tetx 2
1
t0
tuetueetx ttt1
21
22
2Re2;22
4
sss
sX B
sRe
sIm
2
2
2
1TL 1
2
stuesX t
BU
sXsX BU tx não causal
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Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
P1: Linearidade
então sbXsaXtbxtax 2121 sXtx 11 Se e sXtx 22
P2: Translação no Tempo
sXtx Se causal, e então sXettx st0
0 tx 00 t
P3: Translação no Domínio da Transformada
sXtx Se então 00 ssXtxe ts
P4: Mudança de Escala
sXtx Se e então
a
sX
aatx
10a
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Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
P5: Convolução
sXtx 22 Se e causais, e
então sXsXtxtx 2121 sXtx 11 tx2
tx1
P6: Diferenciação no Domínio do Tempo
sXtx Se então 0xssX
dt
tdx
0
1
1
0
2
2
0
21 0
t
n
n
t
n
n
t
nnnn
n
dt
txd
dt
txds
dt
tdxsxssXs
dt
txd
Generalizando
P7: Diferenciação no Domínio da Transformada
sXtx Se então ds
sdXttx
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Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
P8: Integração no Domínio do Tempo
sXtx Se então
011 dxs
sXs
dxt
sXs
dxt 10
P9: Teorema do Valor Inicial
Se causal e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem , então ssXx
s
lim0 tx tx
0t
P10: Teorema do Valor Final
Se causal e se convergir para um valor constante quando , então ssXtx
st 0limlim
tx tx t
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SLIT Causal Contínuo de Ordem N
txdt
dbty
dt
da
k
kN
k
M
kkk
k
k
0 0
0,,,00
1
1
0
t
N
N
t
tydt
dty
dt
dy
sistema invariante no tempo e causal:
sistema linear: condições iniciais nulas, i.e.,
MN
SLITcausal
tx ty
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Equação Diferencial Função de Transferência
tySLITcausal
tx
M
kk
k
k
N
kk
k
k txdt
dbty
dt
da
00
M
kk
k
k
N
kk
k
k txdt
dbty
dt
da
0U
0U TLTL
condições iniciais nulas
sXsbsYsa kM
kk
N
k
kk
00
sXsbsYsa kM
kk
N
k
kk
00
N
k
kk
kM
kk
sa
sb
sX
sYsH
0
0
M
kk
k
k
N
kk
k
k txdt
dbty
dt
da
0U
0U TLTL
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Função de Transferência 01
11
011
1
asasasa
bsbsbsbsH
NN
NM
MM
MM
Forma factorizada:
N
M
pspsps
zszszsKsH
21
21
zeros:
polos:Mzzz ,,, 21
Nppp ,,, 21
Forma das constantes de tempo:
N
M
sss
sTsTsTKsH
111
111
21
210
zeros:
polos:MTTT 1,,1,1 21
N 1,,1,1 21
Ganho estático: N
M
s ppp
zzzKsHK
21
21
00 lim
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Modelação Matemática
Exemplos:
sistemas mecânicos de translação: amortecedor de um carro, sistema de controlo de velocidade;
sistemas mecânicos de rotação: pêndulo, carro com pêndulo invertido;
sistemas electromecânicos: motor de corrente contínua.
A partir de considerações de ordem física, e de um conjunto adequado de hipóteses simplificativas, encontrar um modelo matemático que descreva os aspectos essenciais do comportamento do processo a controlar.
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Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção
Lei de Newton: dt
mvdF
– soma das forças aplicadas ao corpo – massa do corpo – velocidade linear – momento linear
F
mvvm
Para massa constante: m tmadt
txdm
dt
tdvmF
2
2 )(
xa
– deslocamento linear– aceleração linear
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Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção(elementos básicos)
Massa
m tf
x
2
2
dt
txdmtf
Mola
tKxtf s
tf s
x
K
K K – constante elástica da mola
tf s – força de restituição da mola
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Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção(elementos básicos)
Atrito
tfd
x
– coeficiente de atrito
tfd – força de atrito
dt
tdxtfd
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deslocamento linearna mola e no atrito
aceleração do chassis
Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção
Exemplo: amortecedor de um carro
m
K
x
y
dt
txtydtxtyK
dt
tydm
2
2
força derestituiçãoda mola
força deatrito
maF
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Sistema de Controlo de Velocidade
Objectivo: Manter constante a velocidade do veículo
Modelo do sistema físico: Entrada: força gerada pelo motor Saída: velocidade do automóvel
tf
tv
tf tvcontrolador motor
sensor de velocidade
tvref
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força do atrito
Sistema de Controlo de Velocidade
Modelo do sistema físico
tf tv tf
x
m
maF Lei de Newton: dt
tdvmtvtftftf d
Sistema de 1ª ordem: tftv
dt
tdvm
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Sistema de Controlo de Velocidade
Modelo do sistema físico
tf tv
tftvdt
tdvm
função de transferência
mssF
sVsG
ci
1
0
sVref
sCms
1 sV sF
sistema controlado
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Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação
Lei de Newton: dt
JdT
– soma dos binários aplicados – momento de inércia – velocidade angular – momento angular
T
JJ
Para constante: J 2
2 )(
dt
tdJ
dt
tdJT
– deslocamento angular
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Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação(elementos básicos)
tT Inércia
J
t
2
2
dt
tdJtT
tTs
t
Mola rotacional
K – constante da mola
tTs – binário de restituição da mola
tKtTs K
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Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação(elementos básicos)
Atrito rotacional
– coeficiente de atrito
tTd – binário de atrito
dt
tdtTd
tTd
t
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binário que resulta daforça da gravidade
aceleração angular da massa
Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação
JT Exemplo: pêndulo
m
tTc
L
mg
tTc2mLJ
- binário aplicado- momento de inércia em torno do ponto de rotação
cosmg
sinmg
tmgLtTdt
tdJ c
sin2
2
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Carro com Pêndulo Invertido
x
y
M
L
F
mI ,),( GG yx
cos
sin
Ly
Lxx
G
G
centro de gravidade do pêndulo
Lei de Newton aplicada ao movimento segundo x:
dt
tdxF
dt
txdm
dt
txdM G
2
2
2
2
Ftdt
tdLmt
dt
tdLm
dt
tdx
dt
txdmM
sincos
2
2
2
2
2
F
dt
tdx
dt
tLtxdm
dt
txdM
2
2
2
2 sin
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binário devido à aceleração linear do pêndulo
binário resultante daforça da gravidade
Lei de Newton aplicada ao movimento de rotaçãodo pêndulo:
tTtTI ga
Carro com Pêndulo Invertido
2
2
dt
txdm G
tTtdt
txdLm
xaG )(cos
2
2
2
dt
tydm G
tTtdt
tydLm
yaG )(sin
2
tTtTtTyx aaa
mg
sinmg
tLmgtTg sin
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Carro com Pêndulo Invertido tTtTI ga
tLmgtTg sin
)(sin)(cos
2
2
2
2
tdt
tydLmt
dt
txdLmtTtTtT GG
aaa yx
)(sin
cos)(cos
sin2
2
2
2
tdt
tLdLmt
dt
tLtxdLm
2
22
2
2
)(cosdt
tdmLt
dt
txdLm
tLmgtdt
txdLm
dt
tdmLI
sin)(cos2
2
2
22
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Sistemas Electromecânicos Motor de corrente contínua
tea
aLaR
tvb
campofixo
tTm tm
tia
circuito de armadura
tea tm
sVsEssILsIR baaaaa
sVsEsLR
sI baaa
a
1
tetvdt
tdiLtiR ab
aaaa
circuito de armadura:
sEa sIa
sLR aa 1
sVb
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mK sTm
Sistemas Electromecânicos Motor de corrente contínua
tea
aLaR
tvb
campofixo
tTm tm
tia
circuito de armadura
tea tm
sIKsT amm
tiKtT amm
Binário no veio do motor:
sEa sIa
sLR aa 1
sVb
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Jss 1 sm
Sistemas Electromecânicos Motor de corrente contínua
tea
aLaR
tvb
campofixo
tTm tm
tia
circuito de armadura
tea tm
mK sTm sEa sIa
sLR aa 1
sVb
tTdt
td
dt
tdJ m
mm
2
2
sTsssJs mmm 2
sTJss
s mm
1
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sKb
Sistemas Electromecânicos Motor de corrente contínua
tea
aLaR
tvb
campofixo
tTm tm
tia
circuito de armadura
tea tm
Jss 1 sm
mK sTm sEa sIa
sLR aa 1
sVb
ssKsV mbb
dt
tdKtv m
bb
Força contra-electromotriz:
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Linearização
Exemplo: pêndulo
m
tTc
L
mg
tmgLtTdt
tdmL c
sin2
22
Aproximação linear em torno de pontos de equilíbrio
ponto de equilíbrio:
0,0 cT
Para pequenos: sin
tmgLtTdt
tdmL c
2
22
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Linearização tu tutxf
dt
tdx,
sistema não linear
Pontos de equilíbrio: 0,:,0 0000 uxfux
dt
tdx
00 ,uxSérie de Taylor em torno de :
uu
uxfx
x
uxfuxfuuxxf
uxux
0000 ,,
0000
,,,, termos de ordem
superior
00 ,uxModelo linear em torno de :
uu
uxfx
x
uxf
dt
xd
uxux
0000 ,,
,,
x u
0
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Linearização Exemplo: carro a alta velocidade
tf tv tf
21,
x
m
tvtvtfd2
21 Força de atrito: termo linear + termo quadrático
Sistema de não linear: tvtvtf
dt
tdvm 2
21
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Linearização Exemplo: carro a alta velocidade
tvtvtfdt
tdvm 2
21 tf tv
Pontos de equilíbrio: 2210cte eeee vvf
dt
tdvvtv
Expansão em série de Taylor do termo quadrático:
tvvvtvdv
dvvtv ee
v
e
e
222
22
tfftf
tvvtv
e
e
Estudo do comportamento do sistema em torno de : ee fv ,
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Linearização Exemplo: carro a alta velocidade
tvtvtfdt
tdvm 2
21
tf tv 221 eee vvf
tvvvtvvtffdt
tvvdm eeee
e 22
21
tvvvtv
tfftf
tvvtv
ee
e
e
222
tvvvtvvtffdt
tvdm eeee
22
211 2
tftvvdt
tvdm e
21 2 evmssF
sV
21 2
1
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paralelo
série
Álgebra de Blocos Exemplo
sH 2
sG1 sG2
sG3
sG4
sH1
sX sY
Como simplificar?
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Álgebra de Blocos Exemplo (cont.)
sH 2
sG1 sG2
sG3
sG4
sH1
sX sY
1. Combinar blocos em cascata
sGsG 41
2. Combinar blocos em paralelo
sGsG 32
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realimentação
Álgebra de Blocos Exemplo (cont.)
sH 2
sH1
sX sY sGsG 41 sGsG 32
sH 2
sX sY sHsGsG
sGsG
141
41
1 sGsG 32
3. Eliminar blocos de realimentação
Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo
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Álgebra de Blocos Exemplo (cont.)
sH 2
sX sY sHsGsG
sGsG
141
41
1 sGsG 32
sH 2
sX sY sHsGsG
sGsGsGsG
141
3241
1
forma canónica da realimentação
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Álgebra de Blocos Outras transformações
sG sX
sY
sY
sG
sG sX
sY
sY
sG1
sG sX
sX
sY
sX
sG sX sY
sG sX1 sY
sX 2
sG
sG
sX 2
sY sX1
Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo
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Álgebra de Blocos Outras transformações
sG2
sG1
sX 2
sY sX1
sX 2
sG1
sX1 sY
sGsG 12
sX sY sG
sH1
sH 2
sX sY sG
sHsH 21
Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo
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malha de realimentação
Álgebra de Blocos Exemplo
sG1 sG3 sG2
sX sY
sG1 sG3 sG2
sX sY
sG31
Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Álgebra de Blocos Exemplo (cont.)
sG1
sGsG
sGsG
32
32
1
sX sY
sG31
malha de realimentação
sG1 sG3 sG2
sX sY
sG31
sX sGsG
sGsGsG
32
321
1
sY
sG31