modelização e linearizaçãofundamentos de controlo deec/istisabel lourtie modelização e...

Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo

DEEC/ISTIsabel Lourtie

Modelização e Linearização

Representação matemática de sistemasModelos de entrada/saídaModelo de estado

Representação matemática de SLITsLinearidade, invariância no tempo e causalidadeTransformada de Laplace unilateralFunção de transferência: formas factorizada e das constantes de tempo

Modelo físicoSistemas mecânicos de translaçãoSistemas mecânicos de rotaçãoSistemas electromecânicos

LinearizaçãoÁlgebra de blocos



Representação Matemática de Sistemas

sistema tx tyModelos de entrada/saída

Equação diferencial linear ou não linear variante ou invariante no tempo

Função de transferência só para sistemas lineares e invariantes no tempo

Resposta impulsional só para sistemas lineares e invariantes no tempo

linear ou não linear variante ou invariante no tempo

Modelo de estado − relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema



Transformada de Laplace unilateral

Representação Matemática de SLITs Causais

SLIT tx ty

Sistema invariante no tempo

tytxtytx

Sistema linear

tyatyatxatxa

tytxtytx

2211221122

11

Sistema causal

TttytyTttxtx ,, 2121

Função de transferência

thsH TL



(expressão algébrica & região de convergência ) sX B XR

Transformada de Laplace

jsdtetxsXtx stB

;Bilateral:

Unilateral: jsdtetxsXtx stU

;0

Caracteriza a evolução temporal do sinal para .0t tx

Quando é causal, i.e., , 00 ttx tx txtx UB TLTL

A transformada de Laplace unilateral de um sinal é completamente caracterizada pela sua expressão algébrica

tutxtx 1BU TLTL



Transformada de Laplace Unilateral

Exemplo 1: tuetx t1

2

1

t0

2Re;2

1

s

ssX B

sRe

sIm

2

2

1

s

sXU

sXsX BU tx causal



Transformada de Laplace Unilateral

Exemplo 2: tetx 2

1

t0

tuetueetx ttt1

21

22

2Re2;22

4

sss

sX B

sRe

sIm

2

2

2

1TL 12

stuesX t

BU

sXsX BU tx não causal



txetx sUU TL1TL

Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral

P1: Linearidadeentão sbXsaXtbxtax 2121 sXtx 11 Se e sXtx 22

P2: Translação no Tempo

sXtx Se causal, e então sXettx st00

tx 00 t

Porque é que x(t) tem de ser causal?

1tx

t20 4

1 tx

t11 3

1

x(t)

não

caus

al

ses

tx 3U 11TL se

stx 4

U 111TL




Porque é que sendo x(t) causal, tem de ser t0>0?

P2: Translação no Tempo

sXtx Se causal, e então sXettx st00

tx 00 t

1tx

t31 5

1t0>0:

ss ees

tx 5U

11TL

txetx sUU TL1TL

ses

tx 4U 11TL

tx

t20 4

1

x(t)

caus

al

ses

tx 3U 111TL

t0<0: 1tx

t11 3

1

txetx sUU TL1TL




P3: Translação no Domínio da Transformada

sXtx Se então 00 ssXtxe ts

P4: Mudança de Escala

sXtx Se e então

asX

aatx 1

0a

Porque é que tem de ser a>0?

ses

411sX tx

t20 4

1 0sY

a<0: txty 2

t02

1

22

1 sXsY

ses

211sY a>0: txty 2

t0 2

1

221 sXsY



Inversão temporal

dtxxtxtx

2121ty


P5: Convolução

sXtx 22 Se e causais, e

então sXsXtxtx 2121 sXtx 11 tx2 tx1

txtxty 1U1UU TLTLTL

Porque é que x(t) tem de ser causal?

tx2

t1

1

x 2(t) n

ão c

ausa

l tx1

t1

1

x 1(t) c

ausa

l ty

t1

1

ses

tx 11TL 1U s

ty 1TLU 0TL 2U tx



0x txUTL


P6: Diferenciação no Domínio do Tempo

sXtx Se então 0xssXdt

tdx

Ex. tx

t11 3

1

x(t)

não

caus

al

ses

tx 3U 11TL

dttdx

t11

31

1

sedt

tdx 3UTL

111 3 se

ss

0

1

1

02

2

0

21 0

t

n

n

tn

n

t

nnnn

n

dttxd

dttxds

dttdxsxssXs

dttxd

Generalizando




P7: Diferenciação no Domínio da Transformada

sXtx Se então ds

sdXttx

P8: Integração no Domínio do Tempo

sXtx Se então

011 dxs

sXs

dxt

sXs

dxt 10

dxdxdxtt

0

0

Para :0t

constante

dxs

dx

00

U1TL




P9: Teorema do Valor Inicial

Se causal e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem , então ssXx

s

lim0 tx tx

0t

P10: Teorema do Valor Final

Se causal e se convergir para um valor constante quando , então ssXtx

st 0limlim

tx tx t

sRe

sIm

2 1

j

j

Ex. SLIT causal

sH sX sXsHsY

5lim1 tytutx

t

222

112

2

sssK

jsjssKsH

5limlimlim100

KsHssYtys

sXsst

22

25 2

ss

ssH



SLIT Causal Contínuo de Ordem N

txdtdbty

dtda k

kN

k

M

kkk

k

k

0 0

0,,,00

1

1

0

tN

N

t

tydtdty

dtdy

sistema invariante no tempo e causal: sistema linear: condições iniciais nulas, i.e.,

MN

SLITcausal

tx ty



Equação Diferencial Função de Transferência

tySLITcausal

tx

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

00

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

0U

0U TLTL

condições iniciais nulas

sXsbsYsa kM

kk

N

k

kk

00

sXsbsYsa kM

kk

N

k

kk

00

N

k

kk

kM

kk

sa

sb

sXsYsH

0

0

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

0U

0U TLTL



23

12

0000

sssX

sY

yy

sXsYss 232 txtytydtdty

dtd

232

2


Exemplo ?ty tx23

12 ss

.00,10,1 yytutx

1º passo: determinar a equação diferencial

2º passo: determinar a TLU da equação diferencial com as condições iniciais dadas

e resolver em ordem a Y(s)…

sXsYyssYysysYs 203002



regime transitório(polos da função de transferência)

regime estacionário(polos do sinal de entrada)


Exemplo (cont.) ?ty tx

231

2 ss

.00,10,1 yytutx

sXsYyssYysysYs 203002

23

030023

122

ssyysysX

sssY

tueetuty tt1

21 2

121

2

121

111

21

)23(13

2

2

ssssss

sssYs1

0 11



Função de Transferência 01

11

011

1

asasasabsbsbsbsH N

NN

N

MM

MM

Forma factorizada:

N

M

pspspszszszsKsH

21

21

zeros:polos:

Mzzz ,,, 21

Nppp ,,, 21

Forma das constantes de tempo:

N

M

ssssTsTsTKsH

111111

21

210

zeros:polos:

MTTT 1,,1,1 21

N 1,,1,1 21

Ganho estático: N

M

s pppzzzKsHK

21

21

00 lim



Modelação Matemática

Exemplos:

sistemas mecânicos de translação: amortecedor de um carro, sistema de controlo de velocidade;

sistemas mecânicos de rotação: pêndulo, carro com pêndulo invertido;

sistemas electromecânicos: motor de corrente contínua.

A partir de considerações de ordem física, e de um conjunto adequado de hipóteses simplificativas, encontrar um modelo matemático que descreva os aspectos essenciais do comportamento do processo a controlar.



Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção

Lei de Newton: dtmvdF

– soma das forças aplicadas ao corpo – massa do corpo – velocidade linear – momento linear

F

mvvm

Para massa constante: m tmadt

txdmdt

tdvmF 2

2 )(

xa

– deslocamento linear– aceleração linear



Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção(elementos básicos)

Massa

m tf

x

2

2

dttxdmtf

Mola

tKxtf s

tf s

x

K

K K – constante elástica da mola

tf s – força de restituição da mola



Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção(elementos básicos)

Atrito

tfd

x

– coeficiente de atrito

tfd – força de atrito

dt

tdxtfd



deslocamento linearna mola e no atrito

aceleração do chassis

Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção

Exemplo: amortecedor de um carro

m

K

x

y

dt

txtydtxtyKdt

tydm 2

2

força derestituiçãoda mola

força deatrito

maF



Sistema de Controlo de Velocidade

Objectivo: Manter constante a velocidade do veículo

Modelo do sistema físico: Entrada: força gerada pelo motor Saída: velocidade do automóvel

tf tv

tf tvcontrolador motor

sensor de velocidade

tvref



força do atrito


Modelo do sistema físico

tf tv tf

x

m

maF Lei de Newton: dt

tdvmtvtftftf d

Sistema de 1ª ordem: tftv

dttdvm




Modelo do sistema físico

tf tv

tftvdt

tdvm

função de transferência

mssFsVsG

ci

1

0

sVref

sCms

1 sV sF

sistema controlado



Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação

Lei de Newton: dtJdT

– soma dos binários aplicados – momento de inércia – velocidade angular – momento angular

T

JJ

Para constante: J 2

2 )(dt

tdJdt

tdJT

– deslocamento angular



Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação(elementos básicos)

tT Inércia

J

t

2

2

dttdJtT

tTs

t

Mola rotacional

K – constante da mola

tTs – binário de restituição da mola

tKtTs K



Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação(elementos básicos)

Atrito rotacional

– coeficiente de atrito

tTd – binário de atrito

dt

tdtTd

tTd

t



binário que resulta daforça da gravidade

aceleração angular da massa

Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação

JT Exemplo: pêndulo

m

tTc

L

mg

tTc2mLJ

- binário aplicado- momento de inércia em torno do ponto de rotação

cosmg

sinmg

tmgLtTdt

tdJ c sin2

2



Força horizontal exercida pelo movimento do carro sobre o pêndulo

H

G Fdt

txdm 2

2

1. Lei de Newton aplicada ao movimento segundo x do centro de gravidade do pêndulo:

Carro com Pêndulo Invertido

cos

sinLy

Lxx

G

G

centro de gravidade do pêndulo

x

y

M

L

F

mI ,

),( GG yx

VF

HF HF

dttLtxdm

2

2 sin

HFtdt

tdLmtdt

tdLmdt

txdm

sincos

2

2

2

2

2



Força vertical exercida pelo movimento do carro sobre o pêndulo


cossin

LyLxx

G

G

centro de gravidade do pêndulo

2. Lei de Newton aplicada ao movimento segundo y do centro de gravidade do pêndulo:

mgFdt

tydm VG 2

2

x

y

M

L

F

mI ,

),( GG yx

VF

HF mgF

dttLdm V 2

2 cos

VFmgtdt

tdLmtdt

tdLm

cossin

2

2

2

mg



Força horizontal exercida pelo pêndulo sobre o carro

Força de atrito

binário resultante das forças exercidas segundo a direcção perpendicular ao pêndulo

3. Lei de Newton aplicada ao movimento de rotação no centróide do pêndulo:

tTI


HF

tTtLF HH )(cos

VF

tTtLF VV )(sin

tTtTI VH

sincos VH LFLFI

x

y

M

L

F

mI ,

),( GG yx

HFVF

HF

VF

4. Lei de Newton aplicada ao movimento segundo x do carro:

dt

tdxFFdt

txdM H 2

2




x

y

M

L

F

mI ,),( GG yx

HFtdt

tdLmtdt

tdLmdt

txdm

sincos

2

2

2

2

2

VFmgtdt

tdLmtdt

tdLm

cossin

2

2

2

sincos VH LFLFI

dt

tdxFFdt

txdM H 2

2

Ftdt

tdLmtdt

tdLmdt

tdxdt

txdmM

sincos

2

2

2

2

2

tLmgtdt

txdLmdt

tdmLI sin)(cos2

2

2

22



Sistemas Electromecânicos Motor de corrente contínua

tea

aLaR

tvb

campofixo

tTm tm

tia

circuito de armadura

tea tm

sVsEssILsIR baaaaa

sVsEsLR

sI baaa

a

1

tetvdt

tdiLtiR aba

aaa

circuito de armadura:

sEa sIa

sLR aa 1

sVb



mK sTm


tea

aLaR

tvb

campofixo

tTm tm

tia


tea tm

sIKsT amm

tiKtT amm

Binário no veio do motor:

sEa sIa

sLR aa 1

sVb



Jss 1 sm


tea

aLaR

tvb

campofixo

tTm tm

tia


tea tm

mK sTm sEa sIa

sLR aa 1

sVb

tTdt

tddt

tdJ mmm

2

2

sTsssJs mmm 2

sTJss

s mm

1



sKb


tea

aLaR

tvb

campofixo

tTm tm

tia


tea tm

Jss 1 sm

mK sTm sEa sIa

sLR aa 1

sVb

ssKsV mbb

dt

tdKtv mbb

Força contra-electromotriz:



Linearização

Exemplo: pêndulo

m

tTc

L

mg

tmgLtTdt

tdmL c sin2

22

Aproximação linear em torno de pontos de equilíbrio

ponto de equilíbrio:

0,0 cT

Para pequenos: sin

tmgLtTdt

tdmL c 2

22

Modelo linear que descreve o sistema mas só para valores pequenos de e . cT



Linearização tx txtyf

dttyd

n

n

,sistema

não linear

Pontos de equilíbrio: 0,:,0 0000 xyfxydt

tdydt

tydn

n

00 , xySérie de Taylor em torno de :

xx

xyfyy

xyfxyfxxyyfxyxy

0000 ,,

0000,,,, termos de ordem

superior

00 , xyModelo linear em torno de :

xx

xyfyy

xyfdt

yd

xyxyn

n

0000 ,,

,,

y x

0



Linearização

Exemplo: pêndulo

m

tTc

L

tmgLtTdt

tdmL c sin2

22

Aproximação linear em torno de pontos de equilíbrio

tmgLtTdt

tdmL c 02

22 cos

Pontos de equilíbrio: 0,0cT

02

2

sin00

mgLTdt

tdc

Linearização em torno de : 0,0cT

tt

tTTtT ccc

0

0

000 cossinsinsinsin0

t

tmgLmgLtTTdt

tdmL cc 002

02

2 cossin0



Linearização Exemplo: carro a alta velocidade

tf tv tf

21,

x

m

tvtvtfd2

21 Força de atrito: termo linear + termo quadrático

Sistema de não linear: tvtvtf

dttdvm 2

21




tvtvtfdt

tdvm 221 tf tv

Pontos de equilíbrio: 2210cte eeee vvf

dttdvvtv

Expansão em série de Taylor do termo quadrático:

tvvvtvdvdvvtv ee

ve

e

222

22

tfftftvvtv

e

e

Estudo do comportamento do sistema em torno de : ee fv ,




tvtvtfdt

tdvm 221

tf tv 221 eee vvf

tvvvtvvtffdt

tvvdm eeeee 22

21

tvvvtv

tfftftvvtv

ee

e

e

222

tvvvtvvtffdt

tvdm eeee 2

2211 2

tftvvdt

tvdm e 21 2

evmssFsV

21 21



paralelo

série

Álgebra de Blocos Exemplo

sH 2

sG1 sG2

sG3

sG4

sH1

sX sY

Como simplificar?



Álgebra de Blocos Exemplo (cont.)

sH2

sG1 sG2

sG3

sG4

sH1

sX sY

1. Combinar blocos em cascata

sGsG 41

2. Combinar blocos em paralelo

sGsG 32



realimentação


sH 2

sH1

sX sY sGsG 41 sGsG 32

sH 2

sX sY sHsGsG

sGsG

141

41

1 sGsG 32

3. Eliminar blocos de realimentação




sH 2

sX sY sHsGsG

sGsG

141

41

1 sGsG 32

sH 2

sX sY sHsGsG

sGsGsGsG

141

3241

1

forma canónica da realimentação



Álgebra de Blocos Outras transformações

sG sX

sY

sY

sG

sG sX

sY

sY

sG1

sG sX

sX

sY

sX

sG sX sY

sG sX1 sY

sX 2

sG

sG

sX 2

sY sX1



Álgebra de Blocos Outras transformações

sG2

sG1

sX 2

sY sX1

sX 2

sG1

sX1 sY

sGsG 12

sX sY sG

sH1

sH 2

sX sY sG

sHsH 21



malha de realimentação

Álgebra de Blocos Exemplo

sG1 sG3 sG2

sX sY

sG1 sG3 sG2

sX sY

sG31




sG1

sGsG

sGsG

32

32

1

sX sY

sG31

malha de realimentação

sG1 sG3 sG2

sX sY

sG31

sX sGsG

sGsGsG

32

321

1

sY

sG31

modelização e linearizaçãofundamentos de controlo deec/istisabel lourtie modelização e...

Documents