modelagem de pequenos sinais dos conversores … · técnica de modelagem do interruptor pwm (pulse...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE

MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

MODELAGEM DE PEQUENOS SINAIS DOS CONVERSORES

CC-CC ĆUK, SEPIC E ZETA NÃO ISOLADOS BASEADOS NA

CÉLULA DE COMUTAÇÃO DE TRÊS ESTADOS OPERANDO

EM MODO DE CONDUÇÃO CONTÍNUA

São João del-Rei, julho de 2017

Aluno: José Augusto da Rocha Carvalho

Orientador: Prof. Dr. Fernando Lessa Tofoli

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE

MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

por

José Augusto da Rocha Carvalho

Dissertação apresentada à Banca Examinadora designada pelo

Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia

Elétrica. Associação Ampla entre a Universidade Federal de São

João del-Rei e o Centro Federal de Educação Tecnológica de

Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção de título

de Mestre em Engenharia Elétrica.

Área de Concentração: Modelagem e Controle de Sistemas

Linha de Pesquisa: Sistemas de Controle

Orientador: Prof. Dr. Fernando Lessa Tofoli

São João del-Rei, julho de 2017

Dedico este trabalho a Deus e a minha família.

II

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço a Deus pelo dom da vida e por todas as graças e bênçãos que

me deste. Agradeço também por Ele ter me dado saúde, força e sabedoria para que eu pudesse

dedicar-me ao mestrado, por ter colocado em minha jornada diversas pessoas que de forma

direta ou indiretamente me ajudaram neste processo.

Aos meus Pais agradeço pelo carinho e apoio durante esta caminhada, desde ao ensinar

a andar até os dias de hoje sempre me mostrando um amor incondicional para comigo e meu

irmão. Ao meu irmão agradeço principalmente pelo apoio e pela amizade, não só durante este

processo, mas pela minha vida inteira. Sem eles, nada seria possível.

Agradeço ao meu orientador, Fernando, pela dedicação, apoio e incentivo para comigo.

Agradeço pelas respostas rápidas nos e-mails, por esta sempre à disposição a ajudar.

Agradeço ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFSJ por me

acolher, e a todos servidores, professores e alunos pela amizade, serviço e carrinho.

Não posso deixar de agradecer a todos os professores e servidores que eu tive durante

minha vida, desde o primário até o mestrado, da faxineira ao professor, sem o carinho e

dedicação deles, chegar aonde cheguei seria impossível.

A todos meus amigos pelo apoio.

Ao Ministério das Universidades Renovadas (MUR) que conheci durante o mestrado,

agradeço por me mostrar onde que deve estar nossa maior prioridade, e agradeço também

pelas amizades sinceras adquiridas.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio

financeiro.

III

J. A. R. Carvalho, “Modelagem de Pequenos Sinais dos Conversores CC-CC Ćuk, SEPIC e

Zeta Não Isolados Baseados Na Célula de Comutação de Três Estados Operando em Modo de

Condução Contínua”, São João del-Rei, UFSJ, 136p., 2017.

A célula de comutação de três estados (three-state switching cell – 3SSC) é composta

por duas células de comutação de dois estados, contendo assim dois interruptores ativos, dois

interruptores passivos e um autotransformador. Dentre suas características promissoras

comparadas aos conversores clássicos, podem-se citar: redução da corrente nos interruptores

pela metade; diminuição das perdas por comutação; amplitude das ondulações da corrente de

saída reduzidas, elementos magnéticos projetados para uma frequência de operação igual ao

dobro da frequência de comutação dos interruptores, reduzindo-se o tamanho, peso e volume.

Nesse contexto, este trabalho visa apresentar a modelagem de pequenos sinais para os

conversores CC-CC Ćuk, SEPIC e Zeta 3SSC em modo de condução contínua utilizando a

técnica de modelagem do interruptor PWM (pulse width modulation – modulação por largura

de pulso). Por se tratarem de topologias distintas dos conversores CC-CC clássicos, a análise

de pequenos sinais justifica-se diante da obtenção de modelos CA e CC para as novas

estruturas baseadas na 3SSC. Assim, o método do interruptor PWM mostra-se uma técnica

simples e direta se comparada com as outras abordagens existentes na literatura, pois é

baseada somente na análise de circuitos elétricos. Utilizando o artifício da varredura em

frequência (AC Sweep), disponível na maioria dos softwares de simulação computacional de

circuitos elétricos, são validadas as funções de transferências para toda a faixa de variação da

razão cíclica (0<D<1). Deve-se ressaltar que essas expressões são importantes para o controle

em malha fechada dos conversores, como é o caso das técnicas de controle em modo tensão e

corrente média.

Palavras-chave: célula de comutação de três estados, conversores CC-CC, modelo do

interruptor PWM, modelagem de pequenos sinais, conversor Ćuk, conversor SEPIC,

conversor Zeta.

IV

J. A. R. Carvalho, “Small-Signal Modeling of DC-DC Ćuk, SEPIC and Zeta Converters

Based on The Three-State Switching Cell in Continuous Conduction Mode”, São João del-

Rei, UFSJ, 136p., 2017.

The three-state switching cell (3SSC) is composed by two two-state switching cells,

employing two active switches, two diodes, and one autotransformer. Among its prominent

characteristics compared with the classical converters, it is possible to mention: the current

stresses are reduced by a half; switching losses are reduced; minimization of current and

voltage ripples; magnetics are designed for twice the switching frequency, with consequent

reduction of size, weight, and volume. Within this context, this work presents the small-signal

modeling of the 3SSC dc-dc Ćuk, SEPIC and Zeta converters in continuous conduction mode

employing the PWM (pulse width modulation) switch mode. Since such structures are not

identical to the classical dc-dc converters, the small-signal modeling is justified by the

possibility to obtain the ac and dc models for novel structures based on the 3SSC. Thus, the

PWM switch model consists in a simple and straightforward approach if compared with other

techniques that exist in literature, as it is based on the analysis of electric circuits. By

employing ac sweep, which is typically available in circuit simulation software, it is possible

to validate the transfer functions for the entire range of the duty cycle (0<D<1). It is worth to

mention that the aforementioned expressions are quite important for the implementation of the

closed-loop control system e.g. when voltage mode control or average current mode control

are used.

Keywords: three-state switching cell, dc-dc converters, PWM switch model, small-signal

modeling, Ćuk converter, SEPIC converter, Zeta converter.

Lista

Lista

Lista

Lista

Capí

1.1

1.2

1.3

Capí

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

a de Figuras

a de Tabelas

a de Abrevia

a de Símbol

tulo 1 Intro

Justifica1 -

Objetivo2 -

Estrutura3 -

tulo 2 Revi

Conside1 -

Convers2 -

Célula d3 -

Técnicas4 -

Modelag5 -

2.5.1 - Prop

2.5.2 - Mod

2.5.3 - Mod

2.5.4 - Efei

Metodol6 -

2.6.1 - Com

2.6.2 - Com

2.6.3 - Com

2.6.4 - Con

2.6.5 - Con

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Tipo 1 ........

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SUMÁR

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V

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2

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4

5

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8

2.7

Capí

em M

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

Capí

4.1

4.2

2.6.5.1 -

2.6.5.2 -

Conside7 -

tulo 3 Anál

MCC ..........

Conside1 -

Modelo 2 -

3.2.1 - Ten

3.2.2 - Ten

Modelo 3 -

3.3.1 - Ten

3.3.2 - Ten

Modelo 4 -

Modelo 5 -

Conside6 -

tulo 4 Mod

Conside1 -

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4.2.1 - Aná

4.2.2 - Aná

4.2.2.1 -

4.2.2.2 -

4.2.2.3 -

4.2.2.4 -

4.2.2.5 -

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.............. 37

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.............. 42

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.............. 47

.............. 48

.............. 50

.............. 52

.............. 52

.............. 53

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.............. 56

.............. 56

.............. 58

.............. 60

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.............. 62

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2

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4

6

6

8

0

2

4.3

4.4

4.5

Capí

5.1

5.2

5.3

5.4

4.2.2.6 -

Validaçã3 -

4.3.1 - Ope

4.3.2 - Ope

Projeto d4 -

4.4.1 - Con

4.4.2 - Con

4.4.2.1 -

4.4.2.1 -

Conside5 -

tulo 5 Mod

Conside1 -

Modelag2 -

5.2.1 - Aná

5.2.2 - Aná

5.2.2.1 -

5.2.2.2 -

5.2.2.3 -

5.2.2.4 -

5.2.2.5 -

5.2.2.6 -

Validaçã3 -

5.3.1 - Ope

5.3.2 - Ope

Projeto d4 -

Determina

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Determina

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Determina

Determina

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ção de vo(s)

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Modo de Nã

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de Controle

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VII

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.............. 66

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.............. 68

.............. 72

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.............. 74

.............. 78

.............. 79

.............. 79

.............. 79

.............. 80

.............. 82

.............. 82

.............. 85

.............. 87

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.............. 90

m MCC 91

.............. 91

.............. 93

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I

4

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2

2

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9

9

9

0

2

2

7

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0

0

3

5.5

Capí

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

5.4.1 - Con

5.4.2 - Con

5.4.2.1 -

5.4.2.1 -

Conside5 -

tulo 6 Mod

Conside1 -

Modelag2 -

6.2.1 - Aná

6.2.2 - Aná

6.2.2.1 -

6.2.2.2 -

6.2.2.3 -

6.2.2.4 -

6.2.2.5 -

6.2.2.6 -

Validaçã3 -

6.3.1 - Ope

6.3.2 - Ope

Projeto d4 -

6.4.1 - Con

6.4.2 - Con

6.4.2.1 -

6.4.2.2 -

Conside5 -

ntrole em M

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Malha de C

Malha de T

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elagem do C

rações Inici

gem de Pequ

álise CC .....

álise CA .....

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ão da Mode

eração em M

eração em M

do Sistema

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Malha de C

Malha de T

rações Fina

Modo Tensão

Modo Corren

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a em MCC

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..................

VIII

.............. 95

.............. 99

.............. 99

............ 102

............ 106

............ 107

............ 107

............ 107

............ 108

............ 109

............ 109

............ 111

............ 114

............ 114

............ 116

............ 116

............ 117

............ 118

............ 120

............ 121

............ 122

............ 125

............ 125

............ 128

............ 131

I

5

9

9

2

6

7

7

7

8

9

9

4

4

6

6

7

8

0

2

5

8

IX

Capítulo 7 Conclusão Geral .................................................................................................... 132

Referências Bibliográficas ...................................................................................................... 134

X

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Etapas de funcionamento de uma fonte chaveada genérica. .................................. 1

Figura 2.1 – Conversor CC-CC buck. ........................................................................................ 6

Figura 2.2 – Conversor CC-CC boost. ....................................................................................... 6

Figura 2.3 – Conversor CC-CC buck-boost. .............................................................................. 7

Figura 2.4 – Conversor CC-CC Ćuk. ......................................................................................... 7

Figura 2.5 – Conversor CC-CC SEPIC. ..................................................................................... 7

Figura 2.6 – Conversor CC-CC Zeta. ......................................................................................... 8

Figura 2.7 – Célula de comutação de dois estados. .................................................................... 8

Figura 2.8 – Estados e modos de operação da célula de dois estados [14]. ............................... 8

Figura 2.9 – Conversor CC-CC Push-Pull isolado [14]. .......................................................... 10

Figura 2.10 – Célula de comutação de três estados [14]. ......................................................... 10

Figura 2.11 – Representação do funcionamento da célula de três estados [14]. ...................... 11

Figura 2.12 – Inversão bilateral da célula de três estados [14]. ................................................ 11

Figura 2.13 – Conversores CC-CC não isolados empregando a célula de comutação de dois

estados [14]. .............................................................................................................................. 12

Figura 2.14 – Conversores CC-CC não isolados utilizando a célula de comutação de três

estados [14]. .............................................................................................................................. 13

Figura 2.15 – Interruptor PWM genérico [3]. .......................................................................... 16

Figura 2.16 – Correntes instantâneas no interruptor PWM genérico [20]................................ 17

Figura 2.17 – Tensões no interruptor PWM genérico desconsiderando a ondulação da corrente

ic(t) [20]. ................................................................................................................................... 18

Figura 2.18 – Tensões no interruptor PWM genérico considerando a ondulação da corrente

ic(t) [20]. ................................................................................................................................... 18

Figura 2.19 – Modelo CC do interruptor PWM [3]. ................................................................. 20

Figura 2.20 – Modelo CA do interruptor PWM [3]. ................................................................ 21

XI

Figura 2.21 – Interruptor PWM com elementos parasitas [3]. ................................................. 22

Figura 2.22 – Modelo genérico do interruptor PWM com inclusão de elementos parasitas [3].

.................................................................................................................................................. 22

Figura 2.23 – Compensador tipo 1. .......................................................................................... 24

Figura 2.24 – Diagrama de Bode do compensador tipo 1 [13]................................................. 25





Figura 2.29 – Diagrama de blocos do sistema de controle de um conversor CC-CC genérico

em modo tensão. ....................................................................................................................... 29

Figura 2.30 – Diagrama de blocos do sistema de controle de um conversor CC-CC em modo

corrente média. ......................................................................................................................... 31

Figura 3.1 – Célula de três estados para análise do interruptor PWM. .................................... 36

Figura 3.2 – Estágios de operação da 3SSC para a análise do interruptor PWM em modo de

não sobreposição. ..................................................................................................................... 37

Figura 3.3 – Tensão vcp e corrente ia nas células que compõem a 3SSC em modo de não

sobreposição. ............................................................................................................................ 38

Figura 3.4 – Tensões e correntes instantâneas nos terminais do interruptor PWM em modo de

não sobreposição. ..................................................................................................................... 39

Figura 3.5 – Tensão e corrente instantâneas e médias nos terminais do interruptor PWM modo

de não sobreposição. ................................................................................................................. 40

Figura 3.6 – Estágios de operação da 3SSC para a análise do interruptor PWM em modo de

sobreposição. ............................................................................................................................ 42

Figura 3.7 – Tensão vcp e corrente ia nas células que compõem a 3SSC em modo de

sobreposição. ............................................................................................................................ 43

XII

Figura 3.8 – Tensão e corrente instantâneas nos terminais do interruptor PWM modo de

sobreposição. ............................................................................................................................ 44

Figura 3.9 – Tensão e corrente instantâneas e médias nos terminais do interruptor PWM modo

de sobreposição. ....................................................................................................................... 45

Figura 3.10 – Modelo CC do interruptor PWM da célula de comutação de três estados......... 48

Figura 3.11 – Modelo CA do interruptor PWM da célula de comutação de três estados com a

razão cíclica constante. ............................................................................................................. 49

Figura 3.12 – Modelo CA do interruptor PWM da célula de comutação de três estados. ....... 49

Figura 3.13 – Modelo CA do interruptor PWM da célula de comutação de três estados. ....... 50

Figura 4.1 – Conversor Ćuk 3SSC com inversão bilateral. ...................................................... 53

Figura 4.2 – Modelo CA do interruptor PWM, sem os elementos parasitas. ........................... 53

Figura 4.3 – Conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM. ................ 54

Figura 4.4 – Conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CC do interruptor PWM. ................ 54

Figura 4.5 – Conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a

obtenção de vo(s)/vi(s). .............................................................................................................. 57

Figura 4.6 – Conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a

obtenção de vo(s)/d(s). .............................................................................................................. 58

Figura 4.7 – Circuito equivalente do conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CA do

interruptor PWM com as fontes de tensão em curto-circuito e fontes de corrente em circuito

aberto para a obtenção de Zo(s). ............................................................................................... 61

Figura 4.8 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor Ćuk 3SSC operando em modo

de não sobreposição. ................................................................................................................. 66

Figura 4.9 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor Ćuk 3SSC operando em modo

de sobreposição. ....................................................................................................................... 67

Figura 4.10 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor Ćuk 3SSC em

MCC para projeto do controlador em modo tensão. ................................................................ 69

Figura 4.11 – Diagramas de Bode de ganho e fase do compensador em modo tensão para o

conversor Ćuk 3SSC em MCC. ................................................................................................ 70

XIII

Figura 4.12 – Diagramas de Bode de ganho e fase da função de transferência de laço aberto

compensada (FTLAccv(s)) em modo tensão para o conversor Ćuk 3SSC em MCC. ................ 70

Figura 4.13 – Comportamento do sistema de controle em modo tensão do conversor Ćuk

3SSC em MCC diante de degraus de carga. ............................................................................. 71

Figura 4.14 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAsci(s) do conversor Ćuk 3SSC em

MCC para projeto do controlador em modo de corrente média. .............................................. 73

Figura 4.15 – Diagramas de Bode de ganho e fase da função de transferência do compensador

de tensão em modo corrente média para o conversor Ćuk 3SSC em MCC. ............................ 74

Figura 4.16 – Diagramas de Bode de ganho e fase da função de transferência de laço aberto da

corrente compensada (FTLAcci(s)) em modo corrente média para o conversor Ćuk 3SSC em

MCC. ........................................................................................................................................ 74

Figura 4.17 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor Ćuk 3SSC em

MCC para projeto do controlador em modo de corrente média. .............................................. 75


de tensão em modo de corrente média para o conversor Ćuk 3SSC em MCC. ....................... 77

Figura 4.19 – Diagramas de Bode de ganho e fase da função de transferência de laço aberto

com compensação (FTLAccv(s)) em modo corrente média para o conversor Ćuk 3SSC em

MCC. ........................................................................................................................................ 77

Figura 4.20 – Comportamento do sistema de controle em modo corrente média do conversor

Ćuk 3SSC em MCC diante de degraus de carga. ..................................................................... 78

Figura 5.1 – Conversor SEPIC 3SSC com inversão bilateral................................................... 80

Figura 5.2 – Conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM............. 80

Figura 5.3 – Conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CC do interruptor PWM. ............ 81

Figura 5.4 – Conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a

obtenção de vo(s)/vi(s). .............................................................................................................. 83

Figura 5.5 – Conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a

obtenção de vo(s)/d(s). .............................................................................................................. 85

XIV

Figura 5.6 – Circuito equivalente do conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CA do


aberto para a obtenção de Zo(s). ............................................................................................... 88

Figura 5.7 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor SEPIC 3SSC operando em

modo de não sobreposição. ....................................................................................................... 93

Figura 5.8 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor SEPIC 3SSC operando em

modo de sobreposição, D>0,5. ................................................................................................. 95

Figura 5.9 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor SEPIC 3SSC em

MCC para projeto do controlador em modo tensão. ................................................................ 96


conversor SEPIC 3SSC em MCC. ............................................................................................ 98


tensão compensada (FTLAccv(s)) em modo tensão para o conversor SEPIC 3SSC em MCC. . 98

Figura 5.12 – Comportamento do sistema de controle em modo tensão do conversor SEPIC

3SSC em MCC diante de degraus de carga. ............................................................................. 99

Figura 5.13 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAsci(s) do conversor SEPIC 3SSC

em MCC para projeto do controlador da malha de corrente média. ....................................... 100


de corrente em modo corrente média para o conversor SEPIC 3SSC em MCC. ................... 102


corrente compensada (FTLAcci(s)) em modo corrente média para o conversor SEPIC 3SSC em

MCC. ...................................................................................................................................... 102

Figura 5.16 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor SEPIC 3SSC

em MCC para projeto do controlador da malha de tensão. .................................................... 104


de tensão em modo corrente média para o conversor SEPIC 3SSC em MCC. ...................... 105

Figura 5.18 – Diagramas de Bode de ganho e fase da malha externa com compensador

(FTLAccv(s)) em modo corrente média para o conversor SEPIC 3SSC em MCC. ................. 105

XV


SEPIC 3SSC em MCC diante de degraus de carga. ............................................................... 106

Figura 6.1 – Conversor Zeta 3SSC com inversão bilateral. ................................................... 107

Figura 6.2 – Conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM. ............. 108

Figura 6.3 – Conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CC do interruptor PWM. ............. 109

Figura 6.4 – Conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a

obtenção de vo(s)/vi(s). ............................................................................................................ 110

Figura 6.5 – Conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a

obtenção de vo(s)/d(s). ............................................................................................................ 112

Figura 6.6 – Circuito equivalente do conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CA do


aberto para a obtenção de Zout(s). ........................................................................................... 115

Figura 6.7 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor Zeta 3SSC operando em modo

de não sobreposição. ............................................................................................................... 119

Figura 6.8 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor Zeta 3SSC em modo de

sobreposição. .......................................................................................................................... 121

Figura 6.9 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor Zeta 3SSC em

MCC para projeto do controlador em modo tensão. .............................................................. 123


conversor Zeta 3SSC em MCC. ............................................................................................. 124


tensão compensada (FTLAccv(s)) em modo tensão para o conversor Zeta 3SSC em MCC. ... 124

Figura 6.12 – Comportamento do sistema de controle em modo tensão do conversor Zeta

3SSC em MCC diante de degraus de carga. ........................................................................... 125

Figura 6.13 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAsci(s) do conversor Zeta 3SSC em

MCC para projeto do controlador em modo de corrente média. ............................................ 126


da malha interna em modo corrente média para o conversor Zeta 3SSC em MCC. .............. 127

XVI


corrente compensada (FTLAcci(s)) em modo corrente média para o conversor Zeta 3SSC em

MCC. ...................................................................................................................................... 127

Figura 6.16 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor Zeta 3SSC em

MCC para projeto do controlador em modo de corrente média. ............................................ 129


da malha externa em modo corrente média para o conversor Zeta 3SSC em MCC. ............. 130


tensão compensada (FTLAccv(s)) em modo corrente média para o conversor Zeta 3SSC em

MCC. ...................................................................................................................................... 130


Zeta 3SSC em MCC diante de degraus de carga. ................................................................... 131

XVII

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Parâmetros do conversor Ćuk 3SSC operando em modo de não sobreposição

(D<0,5). .................................................................................................................................... 65

Tabela 4.2 – Parâmetros do conversor Ćuk 3SSC operando em modo de sobreposição

(D>0,5). .................................................................................................................................... 66

Tabela 4.3 – Parâmetros da malha de controle em modo tensão para o conversor Ćuk 3SSC

em MCC. .................................................................................................................................. 69

Tabela 4.4 – Elementos do circuito do compensador em modo tensão para o conversor Ćuk

3SSC em MCC. ........................................................................................................................ 70

Tabela 4.5 – Parâmetros da malha interna de controle em modo corrente média para o


Tabela 4.6 – Elementos do circuito do compensador da malha interna em modo corrente

média para o conversor Ćuk 3SSC em MCC. .......................................................................... 73



Tabela 4.8 – Elementos do circuito do compensador, malha externa em modo corrente média

para o conversor Ćuk 3SSC em MCC. ..................................................................................... 76

Tabela 5.1 – Parâmetros do conversor SEPIC 3SSC operando em modo de não sobreposição

(D<0,5). .................................................................................................................................... 92

Tabela 5.2 – Parâmetros do conversor SEPIC 3SSC operando em modo de sobreposição

(D>0,5). .................................................................................................................................... 94

Tabela 5.3 – Elementos do circuito do compensador em modo tensão para o conversor SEPIC

3SSC em MCC. ........................................................................................................................ 97


média para o conversor SEPIC 3SSC em MCC. .................................................................... 101


para o conversor SEPIC 3SSC em MCC. ............................................................................... 104

XVIII

Tabela 6.1 – Parâmetros do conversor Zeta 3SSC operando em modo de não sobreposição

(D<0,5). .................................................................................................................................. 118

Tabela 6.2 – Parâmetros do conversor Zeta 3SSC operando em modo de sobreposição

(D>0,5). .................................................................................................................................. 120

Tabela 6.3 – Parâmetros da malha de controle em modo tensão para o conversor Zeta 3SSC

em MCC. ................................................................................................................................ 122

Tabela 6.4 – Elementos do circuito do compensador em modo tensão para o conversor Zeta

3SSC em MCC. ...................................................................................................................... 123




média para o conversor Zeta 3SSC em MCC. ........................................................................ 127




para o conversor Zeta 3SSC em MCC. .................................................................................. 129

XIX

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

2SSC – two-state switching cell (célula de comutação de dois estados);

3SSC – three-state switching cell (célula de comutação de três estados);

CA – corrente alternada;

CC – corrente contínua;

CI – circuito integrado;

LIT – sistema linear invariante no tempo;

MCC – modo de condução contínua;

MCD – modo de condução descontínua;

MCR – modo de condução crítica;

MNC – conversor multinível em corrente;

PI – controlador proporcional-integral;

PID – controlador proporcional-integral-derivativo;

PSIM – software para simulação de circuitos utilizando eletrônica de potência (software for

power electronics simulation – Powersim);

PWM – pulse width modulation (modulação por largura de pulso);

SEPIC – single-ended primary-inductance converter (conversor com uma única indutância

primária);

TBJ – transistor bipolar de junção;

ZCS – zero current switching (comutação sob corrente nula);

ZVS – zero voltage switching (comutação sob tensão nula);

XX

LISTA DE SÍMBOLOS

C1, C2, C3 – capacitores do compensador;

Co, C1 – capacitores do estágio de potência do conversor CC-CC;

Cv(s), Ci(s) – função de transferência do compensador;

D – razão cíclica;

D’ – complemento da razão cíclica;

D1 e D2 – diodos;

Fm(s) – função de transferência no domínio da frequência;

FTLAccv(s) – função de transferência de laço aberto da malha de tensão compensada;

FTLAscv(s) – função de transferência de laço aberto da malha de tensão não compensada;

FTLAcci(s) – função de transferência de laço aberto da malha de corrente em modo corrente

média compensada;

FTLAsci(s) – função de transferência de laço aberto da malha de corrente em modo corrente;

FTMFi(s) – função de transferência de malha fechada de corrente em modo corrente média;

G – Ganho estático;

Gv(s) – função de transferência da planta de tensão;

Gi(s) – função de transferência da planta de corrente;

Hv(s) – função de transferência do elemento de medição da amostra da tensão de saída;

Hi(s) – função de transferência do elemento de medição da amostra da corrente do indutor;

Ic1, Ic2 – correntes médias nos terminais comuns no interruptor PWM 1 e 2, respectivamente;

Ii – corrente média de entrada;

Ime – parâmetro modulado que depende do tipo de acionamento da base de um TBJ;

Io – corrente média de saída;

IT1, IT2 – correntes médias que circulam nos enrolamentos 1 e 2 do autotransformador,

respectivamente;

L, L1, L2 – indutores do estágio de potência do conversor CC-CC;

XXI

M – margem de fase;

P – defasagem provocado pelo sistema;

Po – potência de saída;

R1, R2, R3 – resistores do compensador;

Re – resistência associada ao interruptor PWM, definida em função de RSE e R;

R – resistência de carga;

RCO, RC1 – resistência série equivalente dos capacitores de filtro;

RL1, RL2 – resistência série equivalente dos indutores de filtro;

S1, S2 – interruptores controlados;

T1, T2 – enrolamentos do autotransformador com tap central;

Ts – período de comutação;

V1, V2 – tensões empregadas para auxiliar nas modelagens dos conversores CC-CC;

Vap – tensão média entre os terminais ativo e passivo do interruptor PWM;

Vap1, Vap2 – tensões médias entre os terminais ativo e passivo dos interruptores PWM 1 e 2,

respectivamente;

Vcp – tensão média entre os terminais comum e passivo do interruptor PWM;

Vi – tensão média de entrada;

Vm – amplitude de pico a pico da onda dente de serra ou triangular (portadora);

Vo – tensão média de saída;

Vref – tensão de referência;

VT1, VT2 – tensões médias nos enrolamentos 1 e 2 do autotransformador;

Zi(s) – função de transferência da impedância de entrada do conversor;

Zo(s) – função de transferência da impedância de saída do conversor;

a, p, c – terminais ativo, passivo e comum do interruptor PWM, respectivamente;

d – razão cíclica com perturbação de pequeno sinal;

XXII

d(s) – razão cíclica com perturbação de pequeno sinal no domínio da frequência; – perturbação de pequeno sinal aplicada à razão cíclica;

fc , fci, fcv – frequência de cruzamento;

fp1, fp2, fp3 – frequências dos polos alocados no compensador;

fs – frequência de comutação;

fz, fz1, fz2 – frequências dos zeros alocados no compensador;

ia – corrente no terminal ativo com perturbação de pequeno sinal; – perturbação de pequeno sinal na corrente do terminal ativo;

ic – corrente no terminal comum com perturbação de pequeno sinal;

– perturbação de pequeno sinal na corrente do terminal comum;

ic1(s), ic2(s) – correntes no terminais comuns 1 e 2 com perturbação de pequeno sinal no

domínio da frequência, respectivamente;

iCapC1, iCapCo – correntes nos capacitores Co e C1;

iL1(s) – corrente no indutor com perturbação de pequeno sinal no domínio da frequência;

iL1(s)/d(s) – função de transferência que analisa o comportamento da corrente no indutor

frente a perturbações da razão cíclica;

k – fator utilizado na alocação de polos e zeros dos compensadores que constituem o sistema

de controle de um conversor estático;

rd – resistência de condução do diodo;

rm – resistência modulada;

rt – resistência de condução do transistor;

vap – tensão entre os terminais ativo e passivo com perturbação de pequeno sinal;

vap1(s), vap2(s) – tensões entre os terminais ativo e passivo nos interruptores PWM 1 e 2 com

perturbação de pequeno sinal no domínio da frequência, respectivamente;

vcp – tensão entre os terminais comum e passivo com perturbação de pequeno sinal;

XXIII

vcp1(s), vcp2(s) – tensões entre os terminais comum e passivo nos interruptores PWM 1 e 2 com

perturbação de pequeno sinal no domínio da frequência, respectivamente;

– perturbação de pequeno sinal na tensão entre os terminais ativo e passivo;

– Perturbação de pequeno sinal na tensão entre os terminais comum e passivo;

vg(s), ig(s) – amostras de tensão e corrente com perturbação de pequeno sinal no domínio da

frequência, respectivamente;

v1 e v2 – tensões auxiliares para o equacionamento dos circuitos;

– perturbação de pequeno sinal na tensão de entrada;

vi(s) – tensão de entrada com perturbação de pequeno sinal no domínio da frequência;

vo(s) – tensão de saída com perturbação de pequeno sinal no domínio da frequência;

vo(s)/d(s) – função de transferência que analisa o comportamento da tensão de saída frente a

perturbações da razão cíclica;

vo(s)/iL1(s) – função de transferência que analisa o comportamento da tensão de saída frente a

perturbações da corrente no indutor;

vo(s)/vi(s) – função de transferência que analisa o comportamento da tensão de saída frente a

perturbações da tensão de entrada;

vT1(s), vT2(s) – tensões nos enrolamentos 1 e 2 do autotransformador com perturbação de

pequeno sinal no domínio da frequência, respectivamente;

α – avanço de fase;

α , β , χ , δ , ε , φ e ϕ – Parâmetros para simplificação das expressões das funções de

transferência;

∆IL – ondulação da corrente no indutor;

∆Vo – ondulação da tensão de saída.

1.1 -

com

é fac

situa

possu

trans

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altern

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XIX

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e 1950 com

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etrônicos.

1

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o

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s

s

m

o

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s

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2

Dentre as topologias clássicas não isoladas, têm-se os conversores buck, boost, buck-

boost, Ćuk, SEPIC e Zeta [4]. Entretanto, todas estas topologias quando operam em altas

potências apresentam certas limitações, sendo necessária uma alta robustez dos elementos

semicondutores, encarecendo-os e muitas vezes aumentando a dimensão de seus dissipadores

de calor. Com isto, foram propostos em [5] os conversores CC-CC baseados na célula de

comutação de três estados (3SSC), a qual representa uma alternativa ao exigir menores

esforços de corrente nos elementos semicondutores. Além disso, tem-se a redução das

dimensões dos elementos passivos, que operam em uma frequência correspondente ao dobro

da frequência de comutação do interruptor.

No âmbito dos conversores utilizando a célula de comutação de três estados, foram

desenvolvidos vários trabalhos na literatura. Em [6], foi comparado o conversor buck 3SSC

com a estrutura convencional, o qual apresenta como vantagens o fato da corrente de entrada

não ser descontínua em modo de sobreposição dos interruptores controlados; a ondulação

menor na corrente no indutor; menor esforço dos interruptores; redução do tamanho, peso e

volume dos elementos magnéticos. Já em [7], esse mesmo conversor em modo de condução

contínua (MCC) foi analisado comparando os modos de ausência (D<0,5) e presença de

sobreposição (D>0,5) no funcionamento dos interruptores, demonstrando-se que a análise

matemática para uma mesma topologia é distinta para as duas condições supracitadas.

O conversor Ćuk 3SSC foi analisado em [8] somente na região de não sobreposição

(D<0,5), obtendo-se os esforços dos componentes, a modelagem de pequenos sinais para toda

a faixa operação e implementação de um sistema de controle associado a um conversor CA-

CC com alto fator de potência.

Em [3], são determinados os modelos de pequenos sinais para os conversores buck,

boost e buck-boost utilizando a célula de comutação de três estados, comprovando-se que as

mesmas funções de transferência podem ser utilizadas nos dois modos de operação da 3SSC.

Para a modelagem de conversores CC-CC, usualmente é utilizado o método de espaços

de estados médio, sendo um tópico amplamente conhecido na literatura [9]. Porém, o uso

dessa técnica requer uma quantidade considerável de manipulações matemáticas de forma

simbólica, especialmente para os conversores Ćuk, SEPIC e Zeta, que são sistemas de quarta

ordem. Já a técnica do modelo do interruptor PWM proposta em [10] consiste em uma

abordagem simples e direta que visa à obtenção de suas respectivas funções de transferência a

partir

traba

1.2 -

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•

cond

•

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•

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Descreve-se

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3

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s

m

o

e

e

a

s

s

e

o

á

M

a

s

m

e

4

controle do conversor operando em modo tensão e corrente média. As modelagens dos

conversores Ćuk, SEPIC e Zeta são descritas nos Capítulos 4, 5 e 6, respectivamente.

Finalmente, no Capítulo 7 são discutidos os principais resultados e contribuições

resultantes da realização deste trabalho, apresentando-se inclusive propostas para a

continuidade do mesmo.

2.1 -

conv

junta

três e

conv

as téc

do fa

2.2 -

termi

valor

e com

do flu

deno

são d

boos

básic

Zeta

uma

fonte

[12].

interr

CONSIDE

Este capí

versores CC

amente com

estados.

Apresenta

versores está

cnicas de co

ator k.

CONVER

Os conver

inais de ent

res [4]. Sua

mponentes

uxo de ener

Quando o

ominados is

ditas não is

t e buck-bo

cos se apres

[1].

O convers

tensão méd

es de alimen

É constitu

ruptor contr

ERAÇÕES

ítulo tem p

C-CC, apr

m suas caract

am-se també

áticos, desta

ontrole nos

RSORES CC

rsores CC-C

trada para o

s estruturas

armazenado

rgia entre se

os converso

solados, enq

soladas. Ex

oost, que são

sentam com

sor buck, ch

dia de saíd

ntação chav

uído na Fi

rolado S1; u

REVIS

INICIAIS

por objetiv

esentando

terísticas, b

ém as técni

acando-se a

modos tens

C-CC

CC são disp

outro nível

são gerada

ores de ene

eus terminai

ores CC-CC

quanto as d

xistem três

o sistemas d

mo sistemas

hamado tam

a menor qu

veada e para

gura 2.1 p

um indutor

CAPÍTUL

SÃO BIBLI

S

vo expor u

as princip

bem como q

icas utiliza

a metodolog

são e corren

positivos qu

nos termin

as a partir da

ergia (indut

is.

C possuem

demais estru

estruturas

de segunda

de quarta

mbém de ab

ue a tensão

a controle de

por uma fo

de filtro L;

LO 2

IOGRÁFIC

uma revisã

pais topolo

questões ine

das para m

gia do interr

nte média ut

ue ajustam o

nais de saída

a associação

or e capaci

m em sua to

uturas que

básicas não

ordem; out

ordem, que

baixador, é

de entrada

e velocidad

nte de tens

; um diodo

CA

ão bibliográ

ogias encon

rentes às cé

modelagem d

ruptor PWM

tilizando o c

o nível de t

a, reduzindo

o de interru

tor), permit

opologia um

não empreg

o isoladas

tros três con

e são as top

utilizado q

a [4]. Geral

e de motore

são contínu

de roda liv

áfica relaci

ntradas na

élulas de co

de pequeno

M. Por fim,

critério de e

tensão ou c

o ou elevan

uptores ativo

tindo assim

um transform

gam esse c

de convers

nversores n

pologias Ću

quando se d

lmente, é u

es de corren

ua na entra

vre D; um c

5

ionada aos

literatura,

mutação de

os sinais de

expõem-se

estabilidade

corrente nos

ndo os seus

os, passivos

m o controle

mador, são

componente

sores: buck,

não isolados

k, SEPIC e

deseja obter

tilizado em

nte contínua

ada Vi; um

capacitor de

5

s

,

e

e

e

e

s

s

s

e

o

e

,

s

e

r

m

a

m

e

6

filtro de saída C, e uma carga representada por um resistor R, na qual é aplicada a tensão de

saída . Considerando a operação em MCC, tem-se que o ganho estático G é dado por:

o

i

VD

V= (2.1)

Vi Co R

L

D

S

Figura 2.1 – Conversor CC-CC buck.

Para o conversor boost ou elevador, a tensão de saída Vo é maior que a tensão de entrada

Vi [4], sendo utilizado muitas vezes na correção de fator de potência [12]. Seu circuito

mostrado na Figura 2.2 consiste em um interruptor , um diodo , um indutor , um capacitor

, uma fonte de tensão contínua na entrada Vi, e a resistência de carga R. Sua estrutura

diferencia-se do conversor buck apenas pela mudança na posição dos seus componentes. Na

equação (2.2), encontra-se o seu ganho estático em MCC.

1

1o

i

V

V D=

− (2.2)

Vi Co R

L

D

S

Figura 2.2 – Conversor CC-CC boost.

O conversor buck-boost é conhecido como abaixador-elevador, operando de modo que a

tensão de saída Vo pode ser menor ou maior que a tensão de entrada Vi, o que depende

somente do valor da razão cíclica [4]. Esse conversor é representado pelo circuito de potência

da Figura 2.3, sendo que sua topologia consiste em uma associação dos conversores buck e

boost. Conforme se pode observar na equação do seu ganho estático em (2.3), o conversor

opera em modo abaixador (Vo<Vi) se D<0,5; para D>0,5, o conversor opera em modo

elevador (Vo>Vi).

7

1

o

i

V D

V D=

− (2.3)

Vi Co RL

DS

Figura 2.3 – Conversor CC-CC buck-boost.

O conversor de acumulação capacitiva, conhecido na literatura por conversor Ćuk,

também opera como elevador e abaixador de tensão, sendo representado na Figura 2.4,

diferenciando-se dos conversores anteriores por possuir em sua estrutura mais elementos

passivos, isto é, dois indutores e dois capacitores [1].

Vi Co R

L1 L2C1

DS

Figura 2.4 – Conversor CC-CC Ćuk.

A principal característica do conversor SEPIC é o fato de operar como elevador e

abaixador de tensão, possuindo na entrada uma característica de fonte de corrente e na saída

característica de fonte de tensão, sendo representado pelo circuito elétrico da Figura 2.5.

Vi Co R

L1

L2

C1

D

S

Figura 2.5 – Conversor CC-CC SEPIC.

O conversor Zeta é uma topologia bastante semelhante aos conversores SEPIC e Ćuk

como mostra a Figura 2.6, diferenciando-se apenas na posição relativa dos componentes [1].

8

Ressalta-se também que os conversores Ćuk, SEPIC e Zeta possuem o mesmo ganho estático

que o conversor buck-boost em MCC.

Vi Co RL1

L2C1

D

S

Figura 2.6 – Conversor CC-CC Zeta.

Os conversores CC-CC possuem dois modos de operação, o que depende do

comportamento da corrente do indutor. Caso essa corrente nunca se anule ao longo do período

de comutação, tem-se o modo de condução contínua (MCC). Por outro lado, o modo de

condução descontínua (MCD) ocorre quando a corrente se anula ao longo do período de

comutação [13].

O funcionamento destes conversores é baseado na operação complementar do diodo e

do interruptor interligados em um ponto comum, segundo a representação da Figura 2.7. No

MCC, um semicondutor conduz e o outro permanece bloqueado e vice-versa, conforme é

mostrado na Figura 2.8. Já em MCD, há um estado adicional no qual nenhum dos dois

semicondutores conduz [14]. Esse aspecto justifica o nome dado à célula de comutação como

sendo de dois estados (2SSC) [14].

Dc

a b Figura 2.7 – Célula de comutação de dois estados.

Figura 2.8 – Estados e modos de operação da célula de dois estados [14].

2.3 -

desen

dos e

isto a

volum

reduç

tensã

ZCS

aume

este p

como

multi

assoc

nova

origi

magn

comu

semi

push

diodo

circu

contí

consi

indut

most

CÉLULA

A busca d

nvolviment

elementos r

aumentam-s

me dos diss

ção dos esfo

As estraté

ão nula ou Z

(Zero Cur

ento da freq

problema, h

o de conve

iníveis em

ciação de in

as topologia

Os conve

inalmente e

néticos, pel

utação do i

condutores

-pull mostr

os retificad

uito, é real

ínua, um est

Pode-se s

iderando q

tâncias de

trada na Fig

DE COMU

do aumento

o de divers

reativos bas

se as perda

sipadores de

orços de ten

égias para re

ZVS (Zero

rrent Switch

quência de

há soluções

ersores está

corrente (M

nterruptores

as, conhecid

ersores base

m [5] como

lo fato de

interruptor,

. Essa célu

rado na Fig

dores D1 e

lizada uma

tágio interm

substituir o

que o mesm

magnetizaç

gura 2.10, se

UTAÇÃO D

o da densid

as novas to

eia-se na el

s por comu

e calor. Ass

nsão e corre

edução das

Voltage Sw

hing) [14],

comutação

como assoc

áticos, gera

MNC). Para

e/ou conve

das como co

eados na c

o uma alter

operarem

além de e

ula é conceb

gura 2.9, se

D2; e um

a conversão

mediário de

o transform

mo seja ide

ção. Com

endo definid

DE TRÊS E

dade de po

opologias. U

levação do

utação no se

sim, para qu

ente nos com

perdas são

witching) e

[15]. Essa

o, mas as p

ciação em p

ando outras

a o uso em

ersores em s

onversores m

célula de co

rnativa visa

com uma

exigirem m

bida a part

endo const

transforma

o CC-CA-C

tensão alter

mador com

eal e com

isto, tem-s

da entre os t

ESTADOS

otência dos

Uma solução

valor da fre

emicondutor

ue este méto

mponentes [

conhecidas

técnicas de

s técnicas m

perdas por c

paralelo tant

s topologia

tensões ele

série, a parti

multiníveis e

omutação d

ando à redu

frequência

menores esfo

ir do circui

tituída por:

ador com p

CA-CC, ha

rnada e uma

m tap cent

relação de

se a célula

terminais a-

conversore

o utilizada

equência de

r, sendo nec

odo obtenha

[14].

como técni

e comutação

minimizam

condução p

to de dispos

as conhecid

evadas, utili

ir das quais

em tensão [

de três esta

ução das dim

com o do

orços de co

ito do conv

dois interr

ponto médio

avendo na

a saída com

tral por um

e espiras u

a de comut

-b-c [14] [1

es estáticos

para reduzi

e comutação

cessário o a

a êxito, é im

nicas de com

o sob corren

m as perdas

persistem. P

sitivos semi

das como c

izam-se as

se podem o

[14].

ados foram

mensões de

obro da fre

orrente nos

versor CC-C

ruptores S1

o (tap cent

entrada u

m tensão con

m autotran

unitária, equ

tação de tr

5].

9

resulta no

ir o volume

o, mas com

aumento do

mportante a

mutação sob

nte nula ou

através do

Para mitigar

icondutores

conversores

técnicas de

obter outras

m propostos

e elementos

quência de

s elementos

CC isolado

e S2; dois

tral). Neste

uma tensão

ntínua [14].

nsformador,

uivalente a

rês estados

9

o

e

m

o

a

b

u

o

r

s

s

e

s

s

s

e

s

o

s

e

o

,

a

s

10

Figura 2.9 – Conversor CC-CC Push-Pull isolado [14].

Analisando a Figura 2.10, nota-se que a célula de comutação de três estados é formada

basicamente por duas células de comutação de dois estados e um autotransformador com tap

central. Conforme a Figura 2.11, seu funcionamento baseia-se entre dois modos de operação,

sendo que o primeiro, denominado modo principal de operação, caracteriza-se pela mudança

direta entre os estados; o segundo modo de operação, dito secundário, apresenta uma mudança

indireta entre um estado e outro, transitando pelo estado neutro. O modo principal

corresponde a MCC, enquanto o modo secundário representa o MCD [14]. Ressalta-se, que

para um valor de razão cíclica menor que 0,5 em modo de condução contínua, a célula de três

estados opera somente com os estados 1 e 2, não havendo condução simultânea dos

interruptores. Já com razão cíclica maior que 0,5, os comandos dos interruptores estão

sobrepostos.

Figura 2.10 – Célula de comutação de três estados [14].

Em [5] e [14], chegam-se a várias combinações possíveis da célula de três estados,

resultando nas células A, B, C, D e E. Em [14], é realizada a análise dos ganhos estáticos do

conversor buck 3SSC empregando as diversas configurações, sendo que os conversores

gerados a partir da célula do tipo B possuem característica semelhantes aos conversores

clássicos empregando a célula de comutação de dois estados para toda a faixa de variação da

11

razão cíclica. Dessa forma, ressalta-se que apenas os conversores baseados na célula B são

analisados no decorrer deste trabalho.

Figura 2.11 – Representação do funcionamento da célula de três estados [14].

Como as operações dos interruptores S1-D2 e S2-Di são complementares, tem-se na

célula de três estados a inversão bilateral de polaridade, sem prejuízos à característica da

topologia original [14], conforme é visto na Figura 2.12.

Figura 2.12 – Inversão bilateral da célula de três estados [14].

Ao se substituir a célula de comutação de dois estados nos conversores CC-CC não

isolados mostrados na Figura 2.13 pela 3SSC, obtêm-se os conversores mostrados na Figura

2.14. Nota-se que a Figura 2.13 é uma variação das estruturas apresentadas anteriormente, em

que se destaca a presença da célula de dois estados.

+

-VI

+

-

VI

R

+

-

Vo

Figu

2.4 -

CON

um s

•

plena

[17];

•

utiliz

prove

•

mode

mode

conh

norm

sendo

D

S

a

b

c

a) bu

Co

L2

L1

d) Ću

ura 2.13 – Co

TÉCNICA

NVERSOR

De acordo

sistema gené

modelos t

amente con

;

modelos t

zados para

enientes de

modelos t

elado são

elos previam

Os model

hecimento p

malmente em

o que há vá

L

Co+

uck

D

S

c

a

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uk

onversores CC

AS EMPRE

RES ESTÁT

o com [16],

érico:

tipo caixa b

nhecida, sen

tipo caixa

obtenção

experiment

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parcialmen

mente descr

los tipo ca

prévio de p

mpregados p

ários trabalh

R

+

-

Vo

+

-VI

C1

+

-

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C-CC não iso

EGADAS

TICOS

as seguinte

branca: nes

ndo que tod

preta: a es

do modelo

tos;

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nte conhecid

ritos.

aixa preta s

parâmetros

para relacio

hos publicad

L

D

S

b

c

a

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L1

D

S

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a

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olados empre

NA MODE

es abordage

ste tipo de

dos os parâm

strutura físi

o, utilizando

aqueles em

das. São c

são caracte

do sistema

onar variáve

dos neste âm

Co

+

-

+

st

L2

Co

C1

+

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V

IC

gando a célul

ELAGEM

ens podem s

modelagem

metros são

ica do siste

o assim ap

m que as in

considerado

erizados po

a. No âmbi

eis como a

mbito [18].

R

Vo

R

+

-

VI

+

-

Vo

R

Vo

+

-

VI

C1

la de comuta

DE PEQU

ser emprega

m, a estrutur

condizentes

ema e o fu

penas dado

formações

os como ca

r não nece

ito dos con

tensão de s

L

Co

+

c) buck-boo

S

L1

D

a

b

c

f) Zeta

ação de dois e

UENOS SI

adas na mo

ura física do

s com o sen

uncionamen

os de entra

sobre o sis

aso interme

essitarem d

nversores C

saída e a ra

12

S

D

a

b

c

ost

L2

Co R

+

-

Vo

estados [14].

INAIS DE

delagem de

o sistema é

ntido físico

nto não são

ada e saída

stema a ser

ediário dos

de qualquer

CC-CC, são

azão cíclica,

2

E

e

é

o

o

a

r

s

r

o

,

13

É importante destacar que os modelos tipo caixa branca também são conhecidos como

modelos estruturais/físicos, enquanto os modelos tipo caixa cinza e caixa preta são ditos

comportamentais [18]. Como as estruturas dos conversores CC-CC são conhecidas, neste

trabalho é utilizada a abordagem do tipo caixa branca.

T2

LT1

S1 S2

D2D1 Co

+

-VI

R

+

-

Vo

a

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c

a) buck

T2

T1

L

S2S1

D1 D2

Co

+

-VI

R

+

-

Vo

a

b

c

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T2

L

S1

T1

D1Co

S2

D2R

+

-VI

Vo

c

+

-

a

b

c) buck-boost

L1

L2 T2

S2

T1

S1

D1 D2Co

C1

+

-VI

R

+

-

Vo

a

c

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D1 D2

L1

T2

T1

S2S1+

-V1

Co

L2

Ro

C

+

-

+

Vo

b

a

c

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L1

T2

D1

S2S1

D2

T1

L2

Co

+

-V1

C Ro

+

-

Vo

a

b

c

+

f) Zeta

Figura 2.14 – Conversores CC-CC não isolados utilizando a célula de comutação de três estados [14].

14

Para se adotar uma estratégia de controle adequada, é necessário conhecer as funções de

transferência em malha aberta. Os conversores CC-CC possuem uma característica não linear

variante no tempo [18], o que dificulta a obtenção das equações que representam o sistema.

Na literatura, existem diversas formas de se contornar este problema, sendo que as mais

conhecidas são:

• modelagem por circuito médio equivalente;

• modelagem pela evolução do espaço de estados;

• modelagem pela evolução média de espaço de estado;

• modelagem por circuito canônico equivalente;

• modelagem discreta;

• modelagem por amostra;

• modelagem do interruptor PWM;

• modelagem do interruptor QRC.

É importante ressaltar que todas essas abordagens geralmente resultam em um mesmo

modelo. Por sua vez, as técnicas de modelagem de valores médios (modelo médio do espaço

de estados, circuito médio e do interruptor PWM) tem por objetivo facilitar a obtenção das

expressões das funções de transferência dos conversores, pois não é necessário considerar as

diferentes etapas de operação de comutação dos semicondutores, obtendo-se assim um

circuito equivalente invariante e contínuo no tempo para o conversor [18]. Com isso, os

conversores podem ser linearizados em torno de um ponto de operação.

A primeira técnica adotada para modelagem de conversores envolve a obtenção de um

circuito médio [10], sendo que essa abordagem é bastante satisfatória na modelagem de

conversores. Essa técnica baseia-se no equacionamento e obtenção de expressões relacionadas

com as tensões e correntes médias para o desenvolvimento de um circuito equivalente. Com o

circuito equivalente obtido, realizam-se as análises CC e CA, sendo consideradas as

perturbações inerentes aos circuitos para a análise CA [10].

Como uma das abordagens mais utilizadas [9] [18], a modelagem de espaço de estados

médio permite também o controle em malha fechada. Esta técnica resulta em um modelo

linear para o estágio de potência com filtro de saída, o qual é validado para pequenas

perturbações representando assim uma linearização em torno do ponto de operação [19]. Esta

técni

quan

os co

inver

pode

exem

predo

na se

2.5 -

graça

geram

reduz

[20],

interr

torna

comp

o mé

que p

mais

traba

pertu

corre

ica represen

ntidade cons

onversores Ć

rsão de matr

A modela

e ser empreg

mplo, aos

ominanteme

A técnica

equência.

MODELA

Conforme

as à associa

m uma osci

zir o nível d

sendo repr

A operaç

ruptores at

a-se necessá

portamento

étodo de mo

permite obte

Outra cara

de um int

alho, o que é

Para uma

urbação pelo

espondente.

nta a evol

siderável de

Ćuk, SEPIC

rizes 4×4.

gem por es

gada em sis

conversor

ente oscilat

do interrup

AGEM UTI

e foi apresen

ação de do

ilação inter

de tensão na

resentada na

ão dos con

ivos dos c

ário o conh

dinâmico f

odelagem u

er o modelo

acterística d

erruptor ati

é o caso das

melhor com

o sinal (^),

ução do v

e manipulaç

C e Zeta, qu

paço de est

stemas com

res do tip

ório.

ptor PWM, a

ILIZANDO

ntado anteri

ois interrupt

na permitin

a saída. Esta

a Figura 2.7

nversores s

onversores

hecimento d

frente a peq

utilizando o

o de forma a

dessa técnic

ivo, sendo a

s estruturas

mpreensão d

enquanto u

valor médio

ções matem

ue são sistem

tados médio

uma peque

po ressona

a qual é uti

O O MODE

iormente, os

tores: um c

ndo assim o

a associação

7.

se deve à

CC-CC e,

do modelo

quenas pertu

interruptor

a linearizar

ca é o fato

assim uma

baseadas na

das expressõ

um valor mé

o das variá

máticas, esp

mas de qua

o possui um

ena ondulaç

ante [19],

ilizada neste

ELO DO IN

s conversor

controlado e

o uso dos e

o recebe o n

variação d

para proje

matemático

urbações. O

r PWM, sen

o sistema e

de se pode

característi

a 3SSC [3].

ões subsequ

édio é repre

áveis, mas

ecificament

rta ordem, e

ma limitação

ão, não pod

que exi

e trabalho, é

NTERRUPT

res CC-CC c

e outro não

lementos pa

nome de “in

da razão cí

etar um co

o que retrat

objetivo de

ndo uma téc

m um ponto

er utilizá-la

ica de extre

uentes, repre

esentado po

seu uso r

te quando s

exigindo re

o de aplicaç

dendo ser ap

ibem com

é revisada e

TOR PWM

clássicos sã

o controlad

assivos par

nterruptor P

íclica D ap

ompensador

te adequad

esta seção é

cnica simpl

o de operaç

a em conve

ema import

esenta-se um

or uma letra

15

requer uma

se analisam

ealização de

ção, pois só

plicada, por

mportamento

em detalhes

M

ão possíveis

o, os quais

a elevar ou

PWM” [11],

plicada aos

r adequado,

amente seu

é apresentar

les e direta,

ão.

ersores com

tância neste

ma pequena

a maiúscula

5

a

m

e

ó

r

o

s

s

s

u

,

s

,

u

r

,

m

e

a

a

16

2.5.1 - PROPRIEDADES DO INTERRUPTOR PWM

O interruptor PWM presente nos conversores CC-CC, conforme descrito anteriormente,

é constituído pelos terminais ativo ( ), passivo ( ) e comum ( ) [20], [21], conforme a Figura

2.7. Porém, pode-se representar o interruptor PWM de forma genérica e efetiva de acordo

com a Figura 2.15.

Figura 2.15 – Interruptor PWM genérico [3].

sendo:

D – razão cíclica;

D’=1-D – razão cíclica complementar.

Analisando a operação do interruptor PWM em MCC, destaca-se o fato da corrente no

terminal comum ic ser diferente de zero em qualquer instante de tempo ( 0ci t≠ ∀ ).

Extrapolando a análise para as outras variáveis [20], tem-se:

1. Quando o interruptor ativo estiver conduzindo no intervalo D.TS, independentemente da

estrutura do conversor, tem-se:

( ) ( )a ci t i t= (2.4)

( ) ( )ap cpv t v t= (2.5)

2. Quando o interruptor ativo estiver bloqueado no intervalo D’.TS, independentemente da

estrutura do conversor, tem-se:

( ) 0ai t = (2.6)

( ) 0cpv t = (2.7)

Resumindo, têm-se as expressões (2.8) e (2.9):

17

( ) ( ) ; 0

0;c s

as s

i t t D Ti t

D T t T

≤ ≤ ⋅= ⋅ ≤ ≤

(2.8)

( ) ( ) ; 0

0;ap s

cps s

v t t D Tv t

D T t T

≤ ≤ ⋅= ⋅ ≤ ≤

(2.9)

As grandezas de maior interesse para os conversores CC-CC são os valores médios das

tensões e correntes [10]. Assim, é de extrema importância obter os respectivos valores médios

deles para uma melhor análise do comportamento CC e CA dos conversores frente a pequenas

perturbações. Para a simplificação da análise do comportamento CA, considera-se que as

grandezas envolvidas variam com frequência bastante inferior que à frequência de comutação,

simplificando assim a análise.

Em um conversor PWM em MCC, podem-se expressar as correntes médias Ia e Ic

através da relação corresponde à razão cíclica associada a uma perturbação de pequenos

sinais:

a cI d I= ⋅ (2.10)

sendo:

ˆd D d= + (2.11)

A relação expressa pela equação (2.10) pode ser obtida pela inspeção da Figura 2.16, na

qual se têm as formas de onda das correntes instantâneas nos terminais ativo e comum do

interruptor PWM.

Figura 2.16 – Correntes instantâneas no interruptor PWM genérico [20].

As formas de onda das tensões vap(t) e vcp(t) são mostradas na Figura 2.17 e Figura 2.18,

considerando e desprezando a ondulação da corrente no terminal comum, respectivamente.

18

Figura 2.17 – Tensões no interruptor PWM

genérico desconsiderando a ondulação da corrente

ic(t) [20].

Figura 2.18 – Tensões no interruptor PWM

genérico considerando a ondulação da corrente ic(t)

[20].

A ondulação da tensão vap(t) se deve à resistência série equivalente do capacitor (Rse),

que absorve uma corrente pulsante com amplitude de pico a pico igual ao valor máximo da

amplitude da corrente do terminal comum. Ao se desconsiderar a ondulação de corrente no

terminal comum do interruptor PWM e considerando apenas a corrente média Ic que é

efetivamente absorvida pelo capacitor, obtém-se amplitude da ondulação rv da tensão apv

dada por:

r e cv R I= ⋅ (2.12)

Na expressão (2.12), a resistência Re é uma função da resistência série do capacitor de

filtro (Rse) e da resistência de carga (R) [10]. Para determinar do valor de Re, deve-se analisar

o caminho percorrido pela corrente média Ic no circuito do conversor [3]. Para os conversores

boost e buck-boost, a corrente média Ic é absorvida pela resistência série equivalente do

capacitor de filtro que se encontra em paralelo com a carga R . Nesse último caso, o

parâmetro Re é dado pela expressão (2.13).

/ /e SER R R= (2.13)

Analisando o conversor Ćuk, nota-se que a corrente média é absorvida somente pelo

capacitor, sendo que a resistência Re é igual à resistência série do capacitor de filtro:

e SER R= (2.14)

19

Portanto, para efetivamente definir o valor assumido pela resistência Re, deve-se realizar

uma análise do circuito do conversor a ser modelado.

Observando as formas de onda das tensões na Figura 2.17 em que se desconsidera a

ondulação da corrente ic(t), pode-se definir vcp(t) através das equações (2.15) e (2.16),

respectivamente, considerando ou desprezando a resistência série do capacitor Re .

( ')cp ap c eV d V I R D= ⋅ − ⋅ ⋅ (2.15)

cp apV d V= ⋅ (2.16)

2.5.2 - MODELO CC DO INTERRUPTOR PWM

Admitindo-se uma razão cíclica constante (d=D) e que as correntes e as demais

variáveis sofrem uma pequena perturbação, oriundas de alguma variação da tensão de entrada

ou da carga do conversor, obtém-se a expressão (2.17).

( ) ( )a a c cI î D I î+ = ⋅ + (2.17)

De posse das expressões (2.10) e (2.17) desprezando as demais perturbações (îa e îc),

após algumas manipulações matemáticas obtém-se:

a cI D I= ⋅ (2.18)

De modo análogo para as tensões, supondo que sofram uma perturbação de pequena

amplitude, obtém-se:

'cp ap e cv D v D D R i= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (2.19)

sendo:

ˆap ap apv V v= + (2.20)

ˆcp cp cpv V v= + (2.21)

Por meio das equações (2.18) e (2.19), obtém-se a Figura 2.19, a qual representa o

circuito equivalente do modelo CC do interruptor PWM.

20

Figura 2.19 – Modelo CC do interruptor PWM [3].

2.5.3 - MODELO CA DO INTERRUPTOR PWM

Para o modelo CA, devem-se considerar todas as pequenas perturbações de sinais

necessárias para se conseguir os modelos do interruptor PWM. Com isso, todos os elementos

(d, ia, ic, vap e vcp) devem sofrer influência das pequenas perturbações ( d , îa, îc, apv e cpv ).

Logo, as considerações feitas na seção anterior são desprezadas.

Desprezando os termos em que as perturbações se multiplicam, juntamente após

algumas manipulações matemáticas, obtém-se a seguinte relação das correntes nos terminais

ativo e comum:

a c ci D i I d= ⋅ + ⋅ (2.22)

De modo similar, as tensões vap e vcp são dadas por (2.23) e (2.24), respectivamente.

( ') ( ')cp ap c e c e D c ev D v I R d i R D d V I R D= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ (2.23)

' [ ( ') ]cpap c e ap c e

v dv i R D V I D D R

D D= + ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ (2.24)

sendo:

( ')D ap c eV V I R D D= + ⋅ ⋅ − (2.25)

Pela inspeção das equações (2.22) a (2.25), obtém-se o modelo CA do interruptor PWM

da Figura 2.20.

Pode-se notar que simplificando e desconsiderando as perturbações na Figura 2.20,

obtém-se a Figura 2.19. Logo, o modelo CA do interruptor PWM também pode ser utilizado

na análise CC, uma vez que d=D, ic=Ic e a tensão da fonte não apresenta perturbações.

21

Figura 2.20 – Modelo CA do interruptor PWM [3].

2.5.4 - EFEITO DAS PERDAS EM CONDUÇÃO E TEMPO DE ARMAZENAMENTO

Os modelos representados pela Figura 2.15, Figura 2.19 e Figura 2.20 não incluem

aspectos como os efeitos das perdas em condução e o tempo de armazenamento associado aos

transistores bipolares. Porém, devido à flexibilidade do modelo, é permitida a inclusão desses

aspectos reais através de elementos parasitas no circuito elétrico.

Define-se tempo de armazenamento como o intervalo necessário para retirar e/ou

neutralizar os portadores estocados no coletor e na base para um transistor bipolar [22]. Por

sua vez, os MOSFETs apresentam tempo de armazenamento desprezível [20]. Com isto, a

perturbação da razão cíclica pode ser dada pela expressão:

cef

me

id d

I= − (2.26)

sendo que o termo Ime da expressão (2.26) é um parâmetro modulado que depende do tipo de

comando de base do transistor.

Substituindo-se (2.26) em (2.22) e (2.24), têm-se:

ca c c

me

Ii D i I d

I

= − ⋅ + ⋅

(2.27)

'cp m Dap e c

v r Vv R D i d

D D D = + ⋅ + ⋅ − ⋅

(2.28)

sendo que o termo rm é denominado resistência modulada e definido por (2.29) como:

Dm

me

Vr

I= (2.29)

Entretanto, sabe-se que geralmente D>>Ic/Ime [6] e, assim, a expressão (2.27) pode ser

reescrita como:

22

a c ci D i I d= ⋅ + ⋅ (2.30)

Admitindo a presença dos elementos parasitas (resistência de condução do transistor rt,

resistência do diodo de roda livre rd e a resistência série do capacitor de filtro de saída RSE,

obtém-se o modelo do interruptor PWM mostrado na Figura 2.21.

Figura 2.21 – Interruptor PWM com elementos parasitas [3].

Analisando um ponto de operação específico para o interruptor PWM da Figura 2.21,

encontra-se a expressão (2.31).

( )' 'cp ap c e c t c dV D V I D R I r D I r= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ (2.31)

Admitindo-se uma perturbação de pequeno sinal na razão cíclica ( ˆd D d= + ) na

equação (2.31), obtém-se:

cp Dap c c

v Vv i r d

D D

= + ⋅ − ⋅

(2.32)

sendo que a resistência parasita rc e a tensão VD são expressas por (2.33) e (2.34),

respectivamente.

' 'c m t d er r D r D r D D R= + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ (2.33)

( ') ( )D ap e c d t cV V D D R I r r I= + − ⋅ ⋅ + − ⋅ (2.34)

Logo, a partir das expressões (2.31) a (2.34), obtém-se um modelo genérico para o

interruptor PWM incluindo elementos parasitas segundo a Figura 2.22.

Figura 2.22 – Modelo genérico do interruptor PWM com inclusão de elementos parasitas [3].

2.6 -

FAT

lança

pelo

relaç

[24].

no t

contr

saída

ou m

tensã

médi

refer

estra

cance

que a

sistem

polos

realim

cruza

e au

contr

trans

propo

quais

METODO

TOR K

Os sistem

amento de f

pâncreas [2

ção a variaç

Os conver

empo, exig

rolada para

a de um con

modo corrent

No contro

ão de saída

ia emprega

rencial de co

Para o pr

atégia clássi

elamento d

apresente em

ma de prim

s e zeros de

A técnica

mentação p

amento de g

umentando

roladores, d

sferência e,

Em amba

orcional-int

s devem ser

OLOGIA D

mas de cont

foguetes até

23]. O cont

ções que po

rsores estáti

gem do co

um valor d

nversor CC-

te média [2

ole em mod

é realiment

duas malha

orrente para

rojeto e sin

ica de canc

de polos e z

m torno da

meira ordem,

evidamente

por meio d

por meio d

ganho e a m

para alta

diferenciado

principalme

as as metod

tegral (PI)

r devidamen

DE SINTO

trole estão

é o process

trolador tem

odem ocorre

icos, mesmo

ontrolador u

desejada e g

-CC geralme

5].

do tensão, é

tada e comp

as de contro

a a malha in

ntonia dos

elamento d

zeros tem c

frequência

, adicionand

alocados, to

do fator k é

de amplific

margem de f

as frequênc

os pelo nú

ente, a carac

dologias de

e proporcio

nte sintoniza

ONIA DE

presentes e

so de regula

m por finalid

er e alterar

o se compo

uma marge

garantindo s

ente é realiz

é utilizada

parada com

ole em casc

nterna de co

compensad

de polos e z

como objeti

a de cruzam

do um polo

ornando ass

uma ferram

cadores op

fase desejad

cias [26].

úmero de p

cterística de

e controle

onal-integra

ados em tor

CONTRO

em diversa

ação de açú

dade melho

o comporta

ortando com

em de fase

sua estabilid

zado por me

uma única

uma referê

cata, sendo

ntrole da co

dores analó

zeros ou o

ivo o condi

mento um co

o na origem,

sim o conjun

menta matem

peracionais

das, reduzind

Basicamen

polos e zer

e defasagem

supracitada

al-derivativo

rno de uma

OLADORE

s aplicaçõe

úcar no san

orar o desem

amento das

mo sistemas

e positiva,

dade [3]. O

eio de duas

malha de

ncia fixa. O

que a malh

orrente [12]

ógicos, gera

método do

cionamento

omportamen

, juntamente

nto estável [

mática que

para se o

do o ganho

nte, utiliza

ros de sua

m do sistema

as, controla

o (PID) pod

região de op

ES UTILIZ

es cotidiana

ngue human

mpenho do

variáveis d

não lineare

ajustando

O controle d

técnicas: m

controle, se

O controle p

ha externa

.

almente em

fator k. O

o do sistem

nto próximo

te com um c

[12].

sintetiza as

obter a freq

em baixas

am-se três

respectiva

a.

adores cláss

dem ser uti

peração.

23

ZANDO O

as, desde o

no realizado

sistema em

de interesse

es variantes

a variável

da tensão de

modo tensão

endo que a

por corrente

fornece um

mprega-se a

método de

ma de forma

o ao de um

conjunto de

s malhas de

quência de

frequências

s tipos de

função de

sicos como

ilizados, os

3

O

o

o

m

e

s

l

e

o

a

e

m

a

e

a

m

e

e

e

s

e

e

o

s

comp

méto

modo

comp

2.6.1

O

minim

fase r

expre

se a d

Como nes

pensadores

odo do fator

Na sequên

o tensão e

pensadores

1 - COMPE

O compens

mizando o e

Ressalta-s

requerido, r

A função

essas por (2

Analisand

defasagem c

ste trabalho

por cancela

r k é utilizad

ncia, são a

e corrente m

que podem

ENSADOR

sador tipo

erro em reg

se que este c

resultando e

de transfer

2.36) e (2.37

do o diagram

constante e

analisam-s

amento de p

do.

apresentadas

média com

ser utilizad

TIPO 1

1, mostrad

gime perman

Figura

compensado

em um fator

rência deste

7), respectiv

ma de Bode

uma atenua

se converso

polos e zero

s as metod

m base no

dos.

do na Fig

nente.

2.23 – Comp

or é utilizad

r k unitário.

1k =

e compensa

vamente.

1

( )vC sR

=

1

2cf Rπ=

⋅ ⋅

e para o com

ação de -20

ores CC-CC

os torna-se m

dologias de

fator k, ju

gura 2.23,

ensador tipo

do sempre em

1

ador e sua

1

1

C s⋅ ⋅

1 1

1

R C⋅

mpensador d

dB/década

C de quarta

mais comple

projeto do

untamente c

apresenta

1.

m casos em

frequência

do tipo 1 na

no ganho d

ordem, a s

exa, sendo q

os compens

com os trê

um polo

m que não há

de cruzam

a Figura 2.2

do sistema.

24

sintonia dos

que assim o

sadores em

ês tipos de

na origem

á avanço de

(2.35)

mento fc são

(2.36)

(2.37)

24, destaca-

4

s

o

m

e

m

e

)

o

)

)

-

2.6.2

e pos

polo

contr

regim

frequ

O valor do

2 - COMPE

O controla

ssuindo um

e o zero s

rolador ofer

me permane

A função

uências não

Figura 2

o capacitor

ENSADOR

ador tipo 2

m dos polos

são alocado

rece uma m

ente reduzid

o de transf

nulas do ze

2.24 – Diagra

empregado

C

TIPO 2

apresenta u

localizado n

os de acord

melhor respo

do [26].

Figura

ferência de

ero e do pol

( )vC ss

=

ama de Bode

no compen

1

1

2 c

Cfπ

=⋅ ⋅

um zero e d

na origem d

do com a f

osta dinâmic

2.25 – Comp

esse comp

lo são repre

1 1

1

(

s

R C C

+⋅ ⋅ +

do compensa

nsador é dad

1

1

cf G R⋅ ⋅

ois polos, s

devido à pr

frequência d

ca comparad

ensador tipo

ensador é

sentadas po

1 2

2 2 1

s C R

C s R C

⋅ ⋅+ ⋅ ⋅

ador tipo 1 [1

do por:

endo repres

esença de u

de cruzame

do ao contr

2.

dada por

or (2.40) e (2

2)C⋅

13].

sentado na F

um integrad

ento e o fa

rolador tipo

(2.39), en

2.41).

25

(2.38)

Figura 2.25

dor. O outro

ator k. Esse

1 e erro de

nquanto as

(2.39)

5

)

5

o

e

e

s

)

cruza

fator

parâm

se qu

defas

fc.

No compe

amento fc, e

r k acima d

metro k é da

Os valores

Analisand

ue ocorre u

sagem sofre

ensador tipo

enquanto o

da frequênc

ado por:

s dos compo

do o diagram

uma região

e um crescim

Figura 2

pf

o 2, o zero d

polo deve

cia de cruz

onentes do c

2C

ma de Bode

o de ganho

mento de -9

2.26 – Diagra

1

2zf Rπ=

⋅ ⋅

12 2p

C

Rπ+=

⋅ ⋅

deve ser ins

e ser alocad

zamento. Pa

tg2

kα= +

circuito são

2

1

2 cfπ=

⋅ ⋅ ⋅

1 2 (C C k= ⋅

2 2

kR

fπ=

⋅ ⋅

e para o com

o constante

90° e se torn

ama de Bode

2 1

1

R C⋅

2

2 1 2

C

R C C

+⋅ ⋅

serido em um

do em uma

ara obter o

45º+

o dados pela

1

1

G k R⋅ ⋅ ⋅

2 1)k −

1c

k

f C⋅

mpensador d

entre as fr

na próxima

do compensa

m fator k ab

frequência

o avanço de

as equações

do tipo 2 na

frequências

a 0° para fr

ador tipo 2 [1

baixo da fre

a correspond

de fase α re

(2.43) a (2

a Figura 2.2

fz e fp2, se

requências m

13].

26

(2.40)

(2.41)

equência de

dente a um

equerido, o

(2.42)

.45).

(2.43)

(2.44)

(2.45)

26, destaca-

endo que a

maiores que

6

)

)

e

m

o

)

)

)

)

-

a

e

2.6.3

na or

frequ

(2.50

corre

inser

avan

3 - COMPE

O compen

rigem e dois

A função

uências de a

0).

Diferentem

espondente

rido em um

nço de fase α

ENSADOR

nsador tipo

s pares do ti

o de transf

alocação do

( )

( )o

i

v s

v s

mente do c

a um fator

ma frequênci

α nesse caso

TIPO 3

3 (Figura 2

ipo polo-zer

Figura

ferência de

os zeros e d

1 1

(1

(

s

s R C

+ ⋅=⋅ ⋅

2zf

pf

compensado

k abaix

ia k acim

o é dado pel

k

2.27) aprese

ro [26].

2.27 – Comp

esse compe

dos polos nã

1 2

2 2

) (1C R

C s R

⋅ ⋅ ++ + ⋅

1 2zf π=

⋅ ⋅

212 (Rπ

=⋅ ⋅

12 2p

C

Rπ+=

⋅ ⋅

3 2pfπ

=⋅ ⋅

or tipo 2, a

xo da frequ

ma da frequ

la expressão

4k tg

α = +

enta uma aç

ensador tipo

ensador é d

ão nulos co

3 3

2 1 2) (1

C R s

C C

+ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅

2 1

1

R C⋅

3 3

1

)R C+ ⋅

2

2 1 2

C

R C C

+⋅ ⋅

3 3

1

R C⋅

aloca-se um

uência de co

uência de co

o (2.51).

2

45º+

ção integral

3.

dada por (

orrespondem

3 1

3 3

)

1

C R s

R C s

⋅ ⋅+ ⋅ ⋅

m zero dupl

orte. Por su

orte [26]. O

l, pois poss

(2.46), sen

m às equaçõ

)s

lo em uma

ua vez, o po

O fator k em

27

sui um polo

ndo que as

ões (2.47) a

(2.46)

(2.47)

(2.48)

(2.49)

(2.50)

frequência

olo duplo é

m relação ao

(2.51)

7

o

s

a

)

)

)

)

)

a

é

o

)

ganh

perm

dos p

dB/d

2.6.4

sobre

repre

Analisand

ho para baix

manece cons

polos (fp1 e

década.

Os valores

4 - CONTR

A estratég

e a razão cí

esentada na

do o diagram

xas frequên

stante entre

e fp2). Já pa

Figura 2

s dos compo

ROLE EM M

gia de contr

clica. No ca

Figura 2.29

ma de Bode

ncias decre

as frequên

ara altas fr

2.28 – Diagra

onentes emp

C

3C

MODO TE

role por larg

aso do cont

9.

para este c

esce a -20

ncias dos ze

requências,

ama de Bode

pregados no

2 2C

fπ=

⋅ ⋅

(1 2C C k= ⋅

2 2R

π=

⋅ ⋅

3

RR

k=

−

32 cfπ

=⋅ ⋅

ENSÃO

gura de pul

trole em mo

ompensado

dB/década

eros (fz1 e fz

o ganho a

do compensa

o compensa

1

1

cf G R⋅ ⋅

)1k−

1c

k

f C⋅

1

1

R

−

3

1

R k⋅ ⋅

lso se basei

odo tensão,

r na Figura

devido ao

2) e também

ssume nova

ador tipo 3 [1

ador são dad

a na ação d

é utilizada

2.28, desta

polo na or

m entre as

vamente a t

13].

dos:

direta do co

a estrutura

28

aca-se que o

rigem, mas

frequências

taxa de -20

(2.52)

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

ompensador

de controle

8

o

s

s

0

)

)

)

)

)

r

e

29

Cv(s) Fm(s)-

Hv(s)

VOVCVref Gv(s)

dCv(s) Fm(s)-

Hv(s)

VOVCVref Gv(s)

d

Figura 2.29 – Diagrama de blocos do sistema de controle de um conversor CC-CC genérico em modo

tensão.

Para o desenvolvimento do projeto do compensador considerando o fator k, deve-se

adotar o seguinte procedimento [26]:

- Passo 1: Esboçar o diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto sem

compensador (FTLAscv(s)), dada pela expressão (2.57).

( ) ( ) ( ) ( )scv v m vFTLA s G s F s H s= ⋅ ⋅ (2.57)

sendo:

• Gv(s) – função de transferência da tensão de saída em relação com a razão cíclica;

• Fm(s) – função de transferência do modulador PWM, dada por:

1

( )mm

F sV

= (2.58)

• Vm – amplitude de pico a pico da onda dente de serra ou triangular (portadora);

• Hv(s) – função de transferência do sensor de tensão de saída, dada por:

( ) refv

o

VH s

V= (2.59)

• Vref – valor de referência da tensão de saída;

• Vo – tensão média desejada na saída do conversor.

- Passo 2: Determinar a frequência de cruzamento de ganho fc desejada, de modo que esse

parâmetro seja menor ou igual a um quarto da frequência de comutação do conversor (fs),

evitando assim os efeitos da comutação em alta frequência no sinal de controle;

- Passo 3: Estabelecer a margem de fase M desejada entre os valores de 30º a 90º, sendo 60º

considerado adequado;

- Passo 4: Determinar o ganho requerido ao compensador por meio do valor assumido pela

magnitude da função de transferência de laço aberto na frequência de corte escolhida,

30

estabelecendo assim que o controlador leve o sistema a um ganho unitário em malha fechada.

Para a obtenção do ganho, substitui-se o valor da frequência de cruzamento em

FTLAscv(s), obtendo-se o valor correspondente e substituindo-o na seguinte expressão:

2010dBG

G = (2.60)

sendo:

• GdB – valor do ganho em decibéis encontrado a partir do ganho da FTLAscv(s);

• G – valor do ganho absoluto empregado para se encontrar os componentes do

compensador.

- Passo 5: Encontrar o avanço de fase solicitado ao compensador, determinado de acordo com

a expressão (2.61), sendo M a margem de fase desejada e P a defasagem provocada pelo

sistema.

90M Pα = − − (2.61)

- Passo 6: Selecionar o tipo de compensador a ser utilizado, adotando as seguintes condições:

• compensador tipo 1: quando não existir a necessidade de avanço de fase;

• compensador tipo2: se o avanço de fase for menor que 90º;

• compensador tipo 3: quando o avanço de fase se encontrar entre 90º e 180º.

- Passo 7: Calcular o fator k a partir da expressão (2.35), (2.42) ou (2.51) para o compensador

tipo 1, 2 ou 3, respectivamente.

- Passo 8: Alocar os zeros e polos do compensador e, a partir de um valor arbitrário de um dos

componentes, dimensionar os demais elementos do compensador, conforme foi deduzido nas

seções anteriores do seguinte modo:

• Compensador tipo 1: equação (2.38);

• Compensador tipo 2: equações (2.43) a (2.45);

• Compensador tipo 3: equações (2.52) a (2.56).

- Passo 9: Traçar o diagrama de Bode da função de transferência do compensador Cv(s).

- Passo 10: Traçar o diagrama de Bode da função de transferência de malha laço aberto com

compensação FTLAccv(s), utilizando a expressão (2.62).

( ) ( ) ( )ccv scv vFTLA s FTLA s C s= ⋅ (2.62)

31

- Passo 11: Verificar por meio de simulação computacional se os requisitos do projeto foram

atendidos.

2.6.5 - CONTROLE EM MODO CORRENTE MÉDIA

O controle em modo corrente média é uma alternativa interessante, pois apresenta uma

inerente proteção contra sobrecorrente, possibilita o paralelismo de conversores, possui

imunidade a ruídos e proporciona uma frequência de comutação constante. Porém, requer um

sensor adicional se comparado ao controle em modo de tensão [27].

A estratégia de controle se baseia em duas malhas. A primeira malha interna tem por

objetivo controlar a corrente no indutor, enquanto a malha externa controla a tensão de saída,

como mostra a Figura 2.30

Cv(s) 1+Ci(s) Fm(s) Gi(s)

He(s) Hi(s) Ci(s)

Z(s)

Malha de Corrente--

Hv(s)

Malha de Tensão

d IL1 VOVC IrefVref Cv(s) 1+Ci(s) Fm(s) Gi(s)

He(s) Hi(s) Ci(s)

Z(s)

Malha de Corrente--

Hv(s)

Malha de Tensão

d IL1 VOVC IrefVref

Figura 2.30 – Diagrama de blocos do sistema de controle de um conversor CC-CC em modo corrente

média.

em que:

• Gi(s) – função de transferência da corrente do indutor em relação com a razão cíclica;

• Fm(s) – função de transferência do modulador PWM, expressa pela equação (2.58);

• Hi(s) – função de transferência do sensor de corrente, expressa geralmente em forma de

ganho proporcional;

• He(s) – função de transferência para testar a robustez da malha de corrente devido ao

efeito da comutação do interruptor, dada por:

( )2

21e

z z z

s sH s

Qω ω≈ + +

⋅ (2.63)

z sfω π= ⋅ (2.64)

32

2zQ

π= − (2.65)

• Ci(s) – função de transferência do compensador de corrente;

• Cv(s) – função de transferência do compensador de tensão;

• Z(s) – função de transferência da tensão de saída pela corrente do indutor;

• Hv(s) – função de transferência do sensor de tensão, representada pela equação (2.59).

Para desenvolver o projeto do compensador considerando o fator k, deve-se projetar

inicialmente a malha interna de corrente e, na sequência, a malha de controle de tensão,

adotando-se o seguinte roteiro segundo as recomendações de [27].

2.6.5.1 - MALHA INTERNA DE CORRENTE

- Passo 1: Traçar o diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto sem

compensador (FTLAsci(s)), dada por (2.66).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sci i i m eFTLA s G s H s F s H s= ⋅ ⋅ ⋅ (2.66)

- Passo 2: Escolher a frequência de cruzamento de ganho fci desejada de tal forma que seja

menor ou igual a um quarto da frequência de comutação do conversor ( ).

- Passo 3: Estabelecer a margem de fase M desejada entre 20º e 40º, sendo 30º considerado

um valor adequado.

- Passo 4: Determinar o ganho do compensador através do valor assumido pela função de

transferência de laço aberto na frequência de corte.

Para a obtenção do ganho, deve-se proceder de forma análoga à seção 2.6.4,

substituindo o valor da frequência de cruzamento em FTLAsci(s), obtendo-se o valor

correspondente e substituindo-o na expressão (2.67).

2010dBG

G = (2.67)

- Passo 5: Encontrar o avanço de fase requerido para o controlador, determinado de acordo

com a expressão (2.61).

- Passo 6: Selecionar o tipo de compensador a ser utilizado, adotando-se as seguintes

condições:

• compensador tipo 1: quando não existir a necessidade de avanço de fase;

33

• compensador tipo2: se o avanço de fase for menor que 90º;

• compensador tipo 3: quando o avanço de fase se encontrar entre 90º e 180º.

- Passo 7: Calcular o fator k a partir da expressão (2.35), (2.42) ou (2.51) para o compensador

tipo 1, 2 ou 3, respectivamente

- Passo 8: Alocar os zeros e polos do compensador, dimensionando os componentes do

compensador a partir de um valor arbitrário do resistor R1 e das seguintes equações:

• compensador tipo 1: equação (2.38);

• compensador tipo 2: equações (2.43) a (2.45);

• compensador tipo 3: equações (2.52) a (2.56).

- Passo 9: Traçar o diagrama de Bode da função de transferência do compensador Ci(s).

- Passo 10: Traçar o diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto com

compensação FTLAcci(s) utilizando a seguinte expressão (2.68).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cci i i i m eFTLA s C s G s H s F s H s= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2.68)

A partir do diagrama de blocos do sistema de controle da Figura 2.30, tem-se que a

função de transferência em malha fechada da malha interna é dada por (2.69).

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

m ii

i i i m e

F s G sFTMF s

C s G s H s F s H s

⋅=

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2.69)

2.6.5.2 - MALHA EXTERNA DE TENSÃO

- Passo 1: Esboçar o diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto sem

compensador (FTLAscv(s)), dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1scv i v iFTLA s FTMF s Z s H s C s= ⋅ ⋅ ⋅ + (2.70)

- Passo 2: Escolher a frequência de cruzamento de ganho fcv desejada. Para desacoplar as

malhas deve-se garantir uma malha de tensão mais lenta que a malha de corrente. Logo, fcv

deve ser escolhido entre 10 a 30 Hz.

- Passo 3: Estabelecer a margem de fase M desejada entre 45º e 90º, sendo 60º considerado

um valor adequado.

- Passo 4: Determinar o ganho requerido do compensador, procedendo da mesma maneira que

na se

- Pas

- Pas

nece

que 9

180º,

- Pas

tipo

- Pas

comp

comp

adota

- Pas

- Pas

comp

- Pas

atend

2.7 -

desen

conv

estad

de c

vanta

•

•

eção 2.6.4.

sso 5: Encon

sso 6: Sele

ssidade de a

90º; adota-s

, tem-se o c

sso 7: Calcu

1, 2 ou 3, re

sso 8: Alo

pensador p

pensador tip

am-se as ex

sso 9: Traça

sso 10: Traç

pensação FT

sso 11: Veri

didos.

CONSIDE

Neste cap

nvolviment

versores CC

dos presente

Apresento

conversores

agens em re

menores e

redução do

ntrar o avan

ecionar o ti

avanço de f

se o compe

compensado

ular o fator k

espectivame

car os zero

por meio d

po 1; (2.43)

xpressões (2

ar o diagram

çar o diagra

TLAccv(s), u

ccvFTLA

ificar por m

ERAÇÕES

pítulo, foram

o desse tr

C-CC clássic

e em suas es

ou-se també

s resultante

elação à célu

esforços de c

o tamanho,

nço de fase r

po de com

fase, utiliza-

ensador tipo

or tipo 3.

k a partir da

ente.

os e polos

de um val

) a (2.45) p

.52) a (2.56

ma de Bode d

ama de Bod

utilizando a

( ) ( )vs C s=

meio de simu

FINAIS

m abordado

abalho. Ini

cos, destaca

struturas.

ém a origem

es. Dentro

ula de comu

corrente no

peso e volu

requerido, d

mpensador a

-se o compe

o 2; quando

a expressão

do compen

lor arbitrár

para o comp

6).

do compens

de da funçã

seguinte ex

) ( )iFTMF s⋅

ulação com

os alguns a

icialmente,

ando-se tam

m da célula d

das carac

utação de do

s interrupto

ume dos ele

de acordo co

a ser utiliza

ensador tipo

o o avanço

o (2.35), (2.4

nsador, dim

rio do resi

pensador tip

sador Cv(s).

o de transfe

xpressão (2.7

) ( ) vZ s H⋅ ⋅

mputacional,

aspectos rel

são revisi

mbém o uso

de comutaç

cterísticas d

ois estados:

ores;

ementos mag

om a expres

ado, sendo:

o 1; se o ava

de fase se

42) ou (2.51

mensionando

istor R1, s

po 2; para o

.

erência de m

71);

( ) ((1 is C⋅ +

se os requi

levantes pa

itados conc

o da célula

ção de três e

da 3SSC,

gnéticos;

ssão (2.61).

quando nã

anço de fase

e encontrar

1) para o co

o os comp

sendo: (2.3

o compensa

malha laço

( ))s

isitos do pro

ara a comp

ceitos perti

de comutaç

estados e as

ressaltam-s

34

ão existir a

e for menor

entre 90º e

ompensador

ponentes do

38) para o

ador tipo 3,

aberto com

(2.71)

ojeto foram

preensão do

inentes aos

ção de dois

s topologias

se algumas

4

a

r

e

r

o

o

,

m

)

m

o

s

s

s

s

35

• apenas parte da energia é diretamente entregue da fonte para a carga por meio dos

interruptores, sendo que o restante é diretamente transferido por meio de elementos passivos

como o autotransformador e os diodos.

A modelagem de conversores estáticos utilizando o método do interruptor PWM

mostra-se uma abordagem simples e direta, visto que se baseia na substituição do conjunto

transistor-diodo por um modelo equivalente, cuja análise utiliza essencialmente conceitos

básicos de circuitos elétricos. Como resultado, tem-se a linearização do modelo torno em

torno da região de operação, o que exige a comprovação experimental e/ou simulação para

sua devida validação.

Por fim, são descritas as técnicas de controle em modo tensão e corrente média,

baseando-se na metodologia do fator k para sintonia dos compensadores. Essa estratégia

fundamenta-se na alocação de zeros e polos a um fator k de aproximação, garantido um

comportamento em torno da frequência de cruzamento similar ao de um sistema de primeira

ordem.

AN

3.1 -

a qua

aos c

most

depe

é rea

pertu

corre

3.2 -

e 3ª

cond

NÁLISE DO

CONSIDE

Este capítu

al é realizad

conversores

trada na Fig

Através da

ndendo da r

alizada separ

Para uma

urbação pelo

espondente.

MODELO

A 3SSC o

etapas da F

dução simult

O INTERRU

ERAÇÕES

ulo consiste

da de manei

s CC-CC c

gura 3.1, que

Figura 3.1 –

a análise do

região de op

radamente p

melhor com

o sinal (^),

O DO INTE

opera para D

Figura 3.2)

tânea dos se

UPTOR PW

DE TRÊ

INICIAIS

e na análise

ira semelha

clássicos, s

e por sua ve

c

Vcp

ic

– Célula de trê

o circuito, p

peração, mo

para cada re

mpreensão d

enquanto u

ERRUPTOR

D<0,5 com a

e com o blo

emiconduto

CAPÍTUL

WM ASSO

ÊS ESTAD

S

e do interrup

ante ao traba

ão investig

ez é compos

T2

S1

T1

D1

c1

ês estados pa

percebe-se q

odo de sobr

egião de op

das expressõ

um valor mé

R PWM E

a ação comp

oqueio dos

ores ativos.

LO 3

OCIADO À

DOS EM M

ptor PWM a

alho propos

gadas as pr

sta por dois

S2

D2

a

p

ia

c2

1

ara análise do

que o compo

reposição e

eração.

ões subsequ

édio é repre

M MODO

plementar d

dois semic

CÉLULA

CC

associado à

sto em [10].

ropriedades

interruptor

Vap

o interruptor

ortamento d

não sobrepo

uentes, repre

esentado po

DE NÃO S

dos interrup

ondutores S

DE COMU

à célula de tr

. De forma

invariante

res PWM.

PWM.

do converso

osição. Log

esenta-se um

or uma letra

SOBREPO

ptores S1-D2

S1 e S2, não

36

UTAÇÃO

rês estados,

semelhante

s da 3SSC

or é alterado

go, a análise

ma pequena

a maiúscula

OSIÇÃO

e S2-D1 (1ª

o havendo a

6

,

e

C

o

e

a

a

ª

a

37

T2

S1

T1

D1

S2

D2

c

a

p

Vcp

ia

c2

c1

ic

Vap

T2

S1

T1

D1

S2

D2

c

a

p

Vcp

c2

c1

ic

Vap

1ª Etapa 2ª Etapa

3ª Etapa 4ª Etapa

T2

S1

T1

D1

S2

D2

c

a

p

Vap

Vcp

c2

c1

ic

T2

S1

T1

D1

S2

D2

c

a

p

Vap

Vcp

c2

c1

ic

ia

ia ia

Figura 3.2 – Estágios de operação da 3SSC para a análise do interruptor PWM em modo de não

sobreposição.

3.2.1 - TENSÃO VCP E CORRENTE IA

De modo a descrever o comportamento da tensão entre os terminais ativo e comum e a

corrente no terminal ativo, utiliza-se a Figura 3.3. Observa-se que tanto a tensão vcp quanto a

corrente ia possuem comportamentos diferentes daqueles analisados na célula de dois estados,

o que se deve ao fato da 3SSC ser formada por duas células de dois estados. Durante a 1ª e a

3ª etapas, o par S2-D1 conduz enquanto S1-D2 permanece bloqueado, de modo que a corrente ia

é idêntica à corrente ia2 durante este intervalo de tempo. Já durante a 2ª e 4ª etapas, observa-se

o bloqueio dos dois interruptores S1 e S2 e, portanto, o valor da corrente ia é nulo.

Analisando a tensão vcp, nota-se por meio da simples inspeção do circuito durante a 1ª e

3ª etapas que o valor da tensão vcp é a metade do valor da tensão reversa do diodo em

bloqueio. Já para a 2ª e 4ª etapas, os dois diodos estão em condução, sendo que a tensão vcp

assume um valor nulo.

38

Figura 3.3 – Tensão vcp e corrente ia nas células que compõem a 3SSC em modo de não sobreposição.

A corrente ia e a tensão vap são apresentadas matematicamente como:

( )

( )

( ) ( )

( )

2

1

, 0

0,2

2 1,

2 22 1

0,2

a s

ss

a sa s

s s

i t t D T

TD T t

i t DTi t t T

DT t T

< < ⋅ ⋅ < <= ⋅ +

< < ⋅

⋅ + ⋅ < <

(3.1)

( )

( )

( ) ( )

( )

2

1

, 02

0,2

2 1,

2 2 22 1

0,2

cps

ss

cpcp s

s

s s

v tt D T

TD T t

v tv t DT

t T

DT t T

< < ⋅

⋅ < <= ⋅ + < < ⋅ ⋅ + ⋅ < <

(3.2)

Tempo (s)

ia

ia1

ia2

Tempo (s)

vcp

vcp1

vcp2

T/2 TD.TT.(1-2D)/2

0

0

D.T T.(1-2D)/2

39

Como o sinal de comando do interruptor S2 é defasado de 180° em relação ao

interruptor S1, pode-se considerar o comportamento das variáveis com uma frequência igual

ao dobro da frequência de comutação.

3.2.2 - TENSÃO E CORRENTE INSTANTÂNEAS NOS TERMINAIS DO

INTERRUPTOR PWM

Considerando agora as tensões entre os terminais a-p e c-p, bem como as correntes nos

terminais a e c, tem-se a Figura 3.4 para o intervalo de tempo correspondente a 0<t<DTs.

Figura 3.4 – Tensões e correntes instantâneas nos terminais do interruptor PWM em modo de não

sobreposição.

Analisando a Figura 3.3, percebe-se que a corrente ic apresenta valor igual ao dobro da

corrente ia para a 1ª e 3ª etapas, sendo nula na 2ª e 4ª etapas. Já a tensão vcp corresponde à

metade do valor da tensão vap na 1ª e 3ª etapas, sendo nula na 2ª e 4ª etapas.

Descrevendo as relações citadas anteriormente, têm-se as equações (3.3) e (3.4), as

quais apresentam o valor de ia em função de ic e a vcp em relação a vap.

( )( )

, 02

0,2

cs

a

ss

i tt D T

i tT

D T t

< < ⋅=

⋅ < <

(3.3)

Tempo (s)

vap

vcp

Tempo (s)

ic

ia

TD.TD.T T.(1-2D)/2 T.(1-2D)/2

0

0

T/2

40

( )( )

, 02

0,2

ap

cp

v tt D T

v tT

D T t

< < ⋅=

⋅ < <

(3.4)

As grandezas de maior interesse para os conversores CC-CC são os valores médios de

tensões e correntes [10]. Assim, é de extrema importância determiná-los para realizar a

análise do comportamento CC e CA dos conversores frente a pequenas perturbações.

Os valores assumidos pela tensão vap possuem certa peculiaridade, pois esses terminais

são geralmente conectados a uma fonte de tensão ou a um capacitor de filtro, sendo que

ambos possuem uma resistência parasita em série. Considerando esse parâmetro, obtém-se um

comportamento oscilatório na tensão vap devido à resistência série do capacitor absorver uma

corrente pulsante com amplitude de pico a pico igual ao valor máximo da amplitude da

corrente do terminal comum. Desprezando-se a ondulação de corrente no terminal comum do

interruptor PWM e considerando apenas a corrente média Ic que é efetivamente absorvida

pelo capacitor, obtém-se a ondulação vr da tensão vap dada por:

r e cv R I= ⋅ (3.5)

A Figura 3.5 representa as tensões e correntes instantâneas e médias nos terminais do

interruptor PWM.

a) Tensão vap e corrente ia b) Tensão vcp e corrente ic

Figura 3.5 – Tensão e corrente instantâneas e médias nos terminais do interruptor PWM modo de não sobreposição.

Ten

são

v cp(V

)C

orre

nte

i c (A

)

41

Realizando a comparação dos valores médios de ia(t) em função de ic(t) e vcp(t) em

relação a vap(t), tem-se:

( ), 0

2

0,2

cs

as

It D T

i tT

D T t

< < ⋅= ⋅ < <

(3.6)

( )( )1

, 02

0,2

ap rs

cp

ss

V V Dt D T

v tT

D T t

− ⋅ −< < ⋅=

⋅ < <

(3.7)

Aplicando a definição de valor médio para a corrente ia, tem-se:

( )0,5

0

1

0,5

sT

a as

I i t dtT

⋅

= ⋅⋅

( ) 0,5

0

1 10

0, 5 2 0,5

s s

s

D T Tc

as s D T

i tI dt dt

T T

⋅ ⋅

⋅

= ⋅ + ⋅⋅ ⋅

1

0,5 2c

a ss

II D T

T= ⋅ ⋅ ⋅

⋅

a cI D I= ⋅ (3.8)

Determinando o valor médio da tensão Vcp e aplicando a definição de valor médio,

tem-se:

( )0,5

0

1

0,5

sT

cp cps

V v t dtT

⋅

= ⋅⋅

( ) ( ) 0,5

0

11 10

0,5 2 0,5

s s

s

D T Tap r

cps s D T

v t V DV dt dt

T T

⋅ ⋅

⋅

− ⋅ −= ⋅ + ⋅

⋅ ⋅

( )11

0, 5 2ap r

cp ss

V V DV D T

T

− ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅⋅

( )1cp ap rV V V D D = − ⋅ − ⋅ (3.9)

Ressalta-se que essas características são invariantes independentemente da topologia do

conversor CC-CC baseado na célula de três estados operando em modo de não sobreposição.

O único parâmetro que se altera é a tensão Vr, pois depende da resistência re que varia de

circuito para circuito segundo (3.5).

3.3 -

Figur

some

contr

3.3.1

termi

nota-

de trê

cond

corre

etapa

ia ser

MODELO

c

Vcp

ic

c

Vcp

ic

ra 3.6 – Estág

A 3SSC o

ente na 2ª

rolados na 1

1 - TENSÃO

Caracteriz

inal a, tem-

-se que amb

ês estados o

dução simul

entes ia1 e ia

a, há a inver

rá idêntica à

O DO INTE

1ª Et

3ª Et

p

T2

S1

T1

D1

a

c1

ia

T2

S1

T1

D1

a

c1

ia

gios de opera

opera para D

e 4ª etapas

1ª e 3ª etapa

O VAP E CO

zando o co

-se a Figura

bas apresent

operando em

ltânea dos i

a2. Já duran

rsão de tais

à corrente d

ERRUPTOR

tapa

tapa

S2

D2

a

c2

S2

D2

c2

ção da 3SSC

D>0,5 com

s da Figura

as, mas não

ORRENTE

mportamen

a 3.7. Anali

tam formato

m modo de

nterruptore

nte a 2ª etap

estados de

do interrupto

R PWM E

V

c

V

Vap

Vap

para a análi

m a ação co

a 3.6. Há c

ocorre o bl

E IA

nto da tens

isando o co

o diferente

não sobrepo

s S1 e S2. L

pa, o par S2-

comutação

or que cond

M MODO

T2

S1

T1

D1

c

Vcp

ic

T2

S1

T1

D1

c

Vcp

ic

2

4

se do interru

mplementar

condução s

oqueio simu

ão entre o

omportamen

daquele da

osição. Dur

Logo, o valo

-D1 conduz

o, sendo que

uzir.

DE SOBR

S2

D2

a

p

ia

c2

c1

S2

D2

a

p

c2

c1

2ª Etapa

4ª Etapa

ia

ptor PWM e

r dos interr

imultânea d

ultâneo ness

s terminais

nto da tensã

célula de d

rante a 1ª e

or da corren

e o par S1-D

e em ambos

REPOSIÇÃ

Vap

Vap

em modo de s

ruptores S1-

dos dois in

se modo.

s a-c e a c

ão vap e da

dois estados

3ª etapas, o

nte ia será

D2 é bloque

s os estágios

42

O

obreposição.

-D2 e S2-D1

nterruptores

corrente no

corrente ia,

e da célula

observa-se a

a soma das

eado. Na 4ª

s a corrente

2

1

s

o

,

a

a

s

ª

e

43

Figura 3.7 – Tensão vcp e corrente ia nas células que compõem a 3SSC em modo de sobreposição.

Analisando a tensão vcp, nota-se que durante a 1ª e 3ª etapas essa tensão é igual ao valor

da tensão reversa dos dois diodos em bloqueio. Já para a 2ª e 4ª etapas, a tensão vcp será a

metade da tensão reversa no diodo.

A corrente ia e a tensão vap são representadas como:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

1 2

2

1 2

1

2 1, 0

22 1

,2 2

,2

,

sa a

s sa

a

sa a s

a s s

D Ti t i t t

D T Ti t t

i t

Ti t i t t D T

i t D T t T

⋅ − ⋅+ < <

⋅ − ⋅

< <= + < < ⋅ ⋅ < <

(3.10)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2

2

1

1

2 1, 0

22 1

,2 2 2

,2

,2

scp

cp s s

cp

scp s

cps s

D Tv t t

v t D T Tt

v tT

v t t D T

v tD T t T

⋅ − ⋅< <

⋅ − ⋅

< <= < < ⋅ ⋅ < <

(3.11)

Ten

são

(V)

Cor

rent

e (A

)

frequ

não

estad

3.3.2

INTE

a cor

assum

tensã

Figu

quais

Constata

uência igual

sobreposiçã

dos, sendo q

2 - TENSÃO

ERRUPTO

Analisan

rrente ic apr

me um valo

ão vap na 1ª

ura 3.8 – Ten

Descreven

s descrevem

a-se que o

l ao dobro

ão devido à

que o sinal d

O E CO

OR PWM

ndo a Figura

resenta valo

or idêntico à

e 3ª etapas,

nsão e corren

ndo as relaç

m o valor de

comportam

da frequênc

à associação

de comando

ORRENTE

a 3.3, perce

or igual ao d

à ic na 1ª e

assumindo

te instantâne

ções citadas

e ia em funçã

mento das v

cia de comu

o dos dois

o de S2 é def

E INSTA

ebe-se atrav

dobro da co

3ª etapa. Já

o para a 2ª e

eas nos termin

s anteriorm

ão de ic e vc

variáveis in

utação. Tal

interruptor

fasado em 1

ANTÂNEA

vés de uma

orrente ia pa

á a tensão v

4ª etapa um

nais do interr

mente, têm-s

cp em relaçã

stantâneas

fato també

res associad

180° de S1.

S NOS

simples insp

ara o 2º e 4

cp apresenta

m valor idên

ruptor PWM

e as equaçõ

ão a vap.

está associ

ém ocorre n

dos às célu

TERMIN

peção de ci

4º estágios,

a a metade

ntico à tensã

M modo de sob

ões (3.12) e

44

iado a uma

no modo de

ulas de dois

NAIS DO

ircuitos que

enquanto ia

do valor da

ão vap.

breposição.

e (3.13), as

4

a

e

s

O

e

a

a

s

45

( )( ) ( )

( ) ( )

2 1, 0

22 1

,2 2 2

sc

a

c s s

D Ti t t

i ti t D T T

t

⋅ − ⋅< <= ⋅ − ⋅ < <

(3.12)

( )( ) ( )

( ) ( )

2 1, 0

22 1

,2 2 2

sap

cpt

ap s

D Tv t t

v tv t D T T

t

⋅ − ⋅< <= ⋅ − ⋅ < <

(3.13)

Conforme foi mencionado anteriormente, as grandezas de maior interesse para os

conversores CC-CC são os valores médios de tensões e correntes [10]. Devido à resistência

série do capacitor absorver uma corrente pulsante com amplitude de pico a pico igual ao valor

máximo da amplitude da corrente do terminal comum, obtém-se um comportamento

oscilatório da tensão vap. Desprezando a ondulação da corrente no terminal comum do

interruptor PWM e considerando apenas a corrente média Ic que é efetivamente absorvida

pelo capacitor, obtém-se a ondulação vr da tensão vap dada por:

r e cv R I= ⋅ (3.14)

A Figura 3.9 mostra as tensões e correntes instantâneas e médias nos terminais do

interruptor PWM.

a) Tensão vap e corrente ia b) Tensão vcp e corrente ic

Figura 3.9 – Tensão e corrente instantâneas e médias nos terminais do interruptor PWM modo de sobreposição.

Tempo (s)Com ondulaçãoSem ondulaçãoMédia geral

Tempo (s)

0

0

T.(2D-1)/2 T.(1-D) T.(1-D)T

Vap

-VrD'

VrD'

T.(2D-1)/2T/2

Tempo (s)InstantâneaMédia geral

Tempo (s)

0

0

T.(2D-1)/2T.(1-D)

T/2T.(1-D) T

T.(2D-1)/2

46

Comparando o valor médio referente a cada período de tempo da corrente no terminal

a em função de ic, obtém-se:

( )

( )

2 1, 0

22 1

,2 2 2

sc

a

sc s

D TI t

ID TI T

t

⋅ − ⋅< <= ⋅ − ⋅ < <

(3.15)

Aplicando agora essa comparação para Vcp em relação a Vap, tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

2 11 , 0

21 2 1

,2 2 2

sap r

cp

ap r s s

D TV V D t

VV V D D T T

t

⋅ − ⋅− ⋅ − < <= − ⋅ − ⋅ − ⋅ < <

(3.16)

O valor médio da corrente Ia pode ser determinado como:

( )0,5

0

1

0,5

sT

a as

I i t dtT

⋅

= ⋅⋅

( )

( )

2 10,52

2 10

2

1 1

0,5 0,5 2

s

s

s

D TT

ca c

s s D T

II I dt dt

T T

⋅ − ⋅⋅

⋅ − ⋅

= ⋅ + ⋅⋅ ⋅

( ) ( )2 11 1

10,5 2 0,5 2

s ca c s

s s

D T II I D T

T T

⋅ − ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ ⋅

( ) ( )12 1 1a c s

s

I I T D DT

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + −

a CI D I= ⋅ (3.17)

Analogamente, o valor médio Vcp é dado por:

( )0,5

0

1

0,5

sT

cp cps

V v t dtT

⋅

= ⋅⋅

( )( )

( )( )

2 10,52

2 10

2

11 11

0, 5 0, 5 2

s

DT

ap r

cp ap r

Ds s

V V DV V V D dt dt

T T

⋅ −⋅

⋅ −

− ⋅ −= − ⋅ − ⋅ + ⋅

⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )12 11 1

1 10,5 2 0,5 2

ap r

cp ap rs s

V V DDV V V D D T

T T

− ⋅ −⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

tamb

que s

insta

dois

para

são c

da ra

3.4 -

sendo

com

Ic, po

Ressalta-s

bém são inv

se altera é a

De acord

antâneas nos

modos de

as duas reg

capazes de

azão cíclica.

MODELO

Sumarizan

o:

Outra man

um transfor

Comparan

Considera

ode-se obter

cpVT

=

se que essa

variantes in

a tensão vr, p

do com as

s terminais

operação d

giões sendo

representar

.

O CC DO IN

ndo as equa

neira de in

rmador isol

ndo (3.19) c

ando o term

r o circuito

`

1ap r

s

V VT

⋅ −

cpV =

as caracterís

ndependente

pois depend

s análises

do interrup

da 3SSC. Po

o que, porta

o converso

NTERRUP

ações encont

cV

nterpretar a

ador. Assim

com (3.22),

N

N

mo da queda

equivalente

( )1rV D ⋅ − ⋅

(ap rV V= − ⋅

sticas para

emente da t

de da resistê

previament

ptor PWM

orém, os va

anto, os me

or adequada

PTOR PWM

tradas anter

(a

cp ap

I D

V V V

=

= −

' 1D = −

r eV R=

equação (3

m, tem-se a

p p

s s

N V

N V=

obtém-se:

1p

s

N V

N D V= =

de tensão e

e da Figura

(2sT D⋅ ⋅ −

( )1 D D− ⋅

a operação

topologia d

ência re conf

te desenvo

apresentam

alores médi

smos mode

amente ao l

M

riormente, t

)'c

r

I

V D D

⋅

⋅ ⋅

D−

cI⋅

3.19) consi

relação de t

s

p

I

I=

ap c

cp a

V I

V I=

em Vcp refe

3.10.

) ( )1 1 D− + −

o em modo

do converso

forme (3.14

olvidas, as

m caracterís

os dessas v

elos CC e C

longo de to

em-se:

ste em esta

transformaç

rente à resi

)

o de não so

or. O único

4).

tensões e

sticas distin

variáveis sã

CA de pequ

da a faixa d

abelecer um

ção:

istência Re e

47

(3.18)

obreposição

o parâmetro

e correntes

ntas para os

ão idênticos

uenos sinais

de variação

(3.19)

(3.20)

(3.21)

ma analogia

(3.22)

(3.23)

e à corrente

7

)

o

o

s

s

s

s

o

)

)

)

a

)

)

e

mesm

Ress

3.5 -

e vcp

form

envo

se a

equa

(3.27

mode

mane

Figura 3

Nota-se

mas equaçõ

alta-se tamb

MODELO

Para o mo

p) sofrem in

ma a simpl

olvidas varia

Existem

razão cíclic

ações:

Derivando

7).

Através da

elo CA com

eira semelha

3.10 – Modelo

que, aplican

ões represen

bém que ess

O CA DO IN

odelo CA, d

nfluência de

lificar a an

am com um

duas situaç

ca constante

cV

o ambos os

as equações

m razão cíc

ante ao mod

a

Vap

o CC do inter

ndo as leis b

ntadas por

se arranjo é

NTERRUP

deve-se cons

e suas respe

nálise do

ma frequênci

ções para a a

e e as tensõ

I

cpcpV v D+ =

lados das e

ˆcpv

s (3.26) e (3

clica consta

delo CC, res

p

Ia

1:D

rruptor PWM

básicas de c

(3.19), val

é similar ao

PTOR PWM

siderar que

ectivas peq

comportam

ia muito infe

análise CA

ões e corren

(a aI i D+ = ⋅

( apapV v⋅ +

equações (3

ai D= ⋅

( ˆapD v= ⋅ −

3.27), pode-

ante do inte

sultando na

D.D’.R

M da célula d

circuitos elé

idando assi

modelo CC

M

todos os pa

quenas pertu

mento CA,

ferior à frequ

do interrup

nte sofrend

( )c cI i+

) ( )ccI i− +

3.24) e (3.2

ci⋅

)ˆ'e cR D i⋅ ⋅

-se represen

erruptor PW

a Figura 3.1

cIc

Re

Vcp

e comutação

étricos à Fig

im o mode

C da célula d

arâmetros d

urbações ( d

considera-s

uência de co

tor PWM. N

o perturbaç

'eR D ⋅ ⋅

25), obtém-s

ntar um circu

WM da célu

1.

de três estad

gura 3.10, o

elo CC do

de dois estad

do circuito (

d , îa, îc, apv

se que as

omutação.

No primeiro

ções. Assim

se as relaçõ

uito equival

ula de três

48

dos.

obtêm-se as

interruptor.

dos.

(d, ia, ic, vap

ape cpv ). De

grandezas

o caso, tem-

m, têm-se as

(3.24)

(3.25)

ões (3.26) e

(3.26)

(3.27)

lente para o

estados de

8

s

.

p

e

s

-

s

)

)

e

)

)

o

e

49

a c

p

ia

1:D

ic

D.D’.Re

vap

vcp

Figura 3.11 – Modelo CA do interruptor PWM da célula de comutação de três estados com a razão cíclica

constante.

Já para o segundo caso, todos os parâmetros são perturbados, obtendo-se as seguintes

equações:

( ) ( )ˆˆ ˆa a c cI i D d I i+ = + ⋅ + (3.28)

( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆˆˆ ˆ 1cp cp ap ap c c eV v D d V v I i R D d + = + ⋅ + − + ⋅ ⋅ − + (3.29)

Desprezando os termos em que as perturbações se multiplicam, juntamente após

algumas manipulações matemáticas, obtém-se a seguinte relação das correntes nos terminais

ativo e o comum:

a c ci D i I d= ⋅ + ⋅ (3.30)

De modo similar, as tensões vap e vcp são dadas por (3.31) e (3.32), respectivamente.

( ) ˆˆˆ ˆ 1cp ap e c Dv D v D R D i d V= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ (3.31)

sendo:

( ')D ap c eV V I R D D= + ⋅ ⋅ − (3.32)

Interpretando a parcela de Ic em (3.30) como uma fonte de corrente e a tensão VD em

(3.31) como uma fonte de tensão, sendo que ambas sofrem interferência com a perturbação da

razão cíclica e, adaptando-se o modelo CA com razão cíclica constante, tem-se a Figura 3.12.

a c

p

ia

1:D

ic

D.D’.Re

vapvcp

d.Vd

d.Ic

Figura 3.12 – Modelo CA do interruptor PWM da célula de comutação de três estados.

refer

são s

3.6 -

célul

da co

regiã

as va

estad

opera

temp

sobre

quan

um e

perce

tensã

tensã

Outra man

rida ao lado

Figura 3

Ressalta-s

semelhantes

CONSIDE

Neste cap

la de três es

orrente ia,

ão de operaç

ariáveis vcp e

dos. Tal fato

ando assim

po distintos

Comparan

eposição em

nto a tensão

esforço men

Comparan

ebe-se que

ão vcp são nu

ão vcp equiv

neira de rep

primário do

a i

v

3.13 – Modelo

se que ambo

s às respecti

ERAÇÕES

pítulo, foram

stados e tam

comprova-s

ção, isto é, m

e ia possuem

o se deve à

com uma f

para cada e

ndo-se o co

m relação a

têm seu va

nor de corren

ndo agora a

enquanto a

ulas, a 3CC

valente à me

presentar a

o transform

ia

ap

d.Ic

d.Vd__D

d.Vd__D

o CA do inter

os os model

ivas represe

FINAIS

m abordado

mbém para o

se que o co

modo de so

m uma dinâ

célula de tr

frequência c

etapa de ope

omportamen

ao caso da c

alor reduzid

nte no inter

a célula de

a 2SSC apre

CS em modo

etade da corr

Figura 3.12

mador, result

p

1:D

rruptor PWM

los CC e CA

entações da

os alguns a

o processo d

omportamen

obreposição

âmica difere

rês estados s

com o dobro

eração.

nto da ten

célula de d

do pela meta

rruptor e no

dois estad

esenta um i

o de sobrepo

rrente ic e da

2 consiste e

tando na Fig

M da célula d

A de pequen

célula de do

aspectos re

de modelag

nto do conv

e não sobre

ente quando

ser formada

o da frequên

são vcp e d

dois estados

ade no mod

diodo.

dos com o m

intervalo de

osição apre

a tensão vap,

em reposicio

gura 3.13.

ic

D.D’.Re

vcp

e comutação

nos sinais da

ois estados.

levantes pa

em. Com a

versor é alt

eposição. O

comparada

a por duas c

ncia de com

da corrente

, observa-se

do de não so

modo de so

e tempo em

senta um va

, respectivam

onar a font

c

de três estad

a célula de t

ara a comp

análise da t

terado depe

Observa-se ta

as com a cél

células de d

mutação e in

e ia no mo

e que tanto

obreposição

obreposição

m que a cor

alor de corr

amente. Log

50

e de tensão

dos.

três estados

preensão da

tensão vcp e

endendo da

ambém que

lula de dois

ois estados,

ntervalos de

odo de não

o a corrente

o, indicando

o da 3SSC,

rrente ia e a

rente ia e da

go, na 3SSC

0

o

s

a

e

a

e

s

,

e

o

e

o

,

a

a

C

51

tem-se uma redução da corrente do diodo (analisando a corrente ic) e da tensão máxima do

interruptor (analisando a tensão vcp).

Mesmo que a célula de três estados apresente uma dinâmica diferente em relação às

duas regiões de operação, os valores médios da corrente ia e da tensão vcp são similares.

Assim, o modelo do interruptor PWM aplicado à célula de três estados resulta em um arranjo

semelhante àquele da célula de dois estados, conforme mostra a Figura 2.20 e Figura 3.12.

Assim, pode-se realizar a modelagem de pequenos sinais de um conversor CC-CC

baseado na 3SSC através do interruptor PWM proposto em [10] por meio de uma das

seguintes possibilidades:

• considerar que a 3SSC é composta por duas células de dois estados, com a presença de

dois interruptores PWM;

• considerar que a 3SSC é análoga a uma célula de comutação de dois estados operando

com o dobro da frequência de comutação.

4.1 -

repre

o mo

[28],

prete

• g

• v

entra

• v

cíclic

• Z

• Z

• v

no in

• i

razão

teóric

D<0,

consi

PWM

modo

CONSIDE

Este capít

esentar o co

odelo do int

Como a 3

isso possib

ende-se obte

ganho estáti

vo(s)/vi(s) –

ada;

vo(s)/d(s) –

ca;

Zi(s) – funç

Zo(s) – funç

vo(s)/iL(s) –

ndutor;

iL(s)/d(s) –

o cíclica.

Prosseguin

cos com a p

,5 (modo de

Deve-se r

iste em ded

M, validand

Por fim, te

o tensão e e

MODE

ERAÇÕES

tulo consist

onversor Ću

erruptor PW

SSC pode s

bilita a util

er as seguin

ico;

– função de

função de t

ão de transf

ção de trans

– função de

função de

ndo com o

planta por

e não sobrep

essaltar que

duzir as prin

o-as para to

em-se o pro

em modo co

ELAGEM

INICIAIS

te no desen

uk baseado n

WM.

ser concebid

ização do m

ntes relações

transferênc

transferênci

ferência da

ferência da

transferênc

transferênci

processo d

simulação,

posição) e D

e a principa

ncipais funç

odas as regiõ

ojeto dos sis

orrente médi

CAPÍTUL

DO CONV

S

nvolviment

na célula 3S

da a partir d

modelo do

s:

cia da tensão

ia da tensão

impedância

impedância

cia da tensã

ia da corren

da validação

a análise é

D>0,5 (mod

al contribui

ções de tran

ões da razão

stemas de co

ia.

LO 4

VERSOR C

to de um m

SSC do tipo

de duas célu

interruptor

o de saída f

o de saída em

a de entrada

a de saída;

ão de saída

nte no indu

o, que cons

realizada p

do de sobrep

ção em rela

nsferência u

o cíclica.

ontrole do c

CC-CC ĆUK

modelo de

o B operand

ulas de com

PWM prop

frente a pert

m relação a

a;

frente a per

utor em rela

siste na com

para duas co

posição).

ação ao trab

utilizando o

conversor Ć

K

pequenos

do em MCC

mutação de d

posto em [1

turbações d

a perturbaçõ

erturbações

ação a pertu

mparação do

ondições de

balho propo

modelo do

Ćuk 3SSC em

52

sinais para

C utilizando

dois estados

10]. Assim,

da tensão de

ões da razão

da corrente

urbações da

os modelos

e operação:

osto em [8]

interruptor

m MCC em

2

a

o

s

,

e

o

e

a

s

:

]

r

m

4.2 -

vanta

um ú

entra

prese

a pro

elem

elem

estad

MODELA

O conver

agens, pode

único estág

ada e na sa

ença de qua

Na Figura

opriedade da

Considera

mentos paras

Fi

Aplicando

mentos paras

dos [6], obté

AGEM DE

rsor Ćuk c

em-se citar:

io de proce

aída [8]. Co

atro element

a 2.14 é apre

a inversão b

V

Figura

ando també

sitas, tem-se

igura 4.2 – M

o o modelo

sitas às dua

ém-se a Figu

PEQUENO

clássico foi

: redução d

essamento d

omo desvan

tos passivos

esentado o c

bilateral à F

Vi

L1

a 4.1 – Conve

ém o mode

e a Figura 4.

Modelo CA do

o CA do in

s células de

ura 4.3.

OS SINAIS

i originalm

das perdas p

de potência

ntagem, ap

s em sua est

conversor Ć

igura 2.12,

L

ersor Ćuk 3S

elo CA do

.2.

o interruptor

nterruptor P

e comutação

S

mente propo

por conduçã

a com carac

presenta um

trutura [1].

Ćuk 3SSC e

tem-se a Fi

L2

Co

D1 D2

S1 S2

SC com inver

interruptor

PWM, sem o

PWM repre

o de dois e

osto em 19

ão nos inter

cterística de

ma maior co

mpregando

gura 4.1.

R

C1

rsão bilateral

r PWM da

os elementos p

esentado pe

stados prese

977 [29].

rruptores; p

e fonte de

omplexidad

o a célula B.

l.

a Figura 2.

parasitas.

ela Figura 4

entes na cé

53

Entre suas

presença de

corrente na

de devido à

. Aplicando

20 sem os

4.2 sem os

élula de três

3

s

e

a

à

o

s

s

s

54

Vi

L1 L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1IC.d

D 1 IC.d

Vd.d__D

Vd.d__D

Vd.d__D

Vd.d__D

Figura 4.3 – Conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM.

Empregando técnicas associadas às leis de circuitos elétricos para a Figura 4.3, é

possível obter as funções de transferências essenciais para a realização do controle de

operação do conversor em malha fechada. Para isto, deve-se iniciar com a análise CC,

prosseguindo assim para a análise CA.

4.2.1 - ANÁLISE CC

Para análise CC do conversor Ćuk 3SSC deve-se realizar algumas considerações no

estudo do modelo CA do interruptor PWM mostrado na Figura 4.3:

1. A razão cíclica é constante e igual a D, sendo ˆ 0d = ;

2. O capacitor encontra-se em circuito aberto;

3. O indutor é representado apenas por sua respectiva resistência intrínseca;

4. A tensão de entrada é substituída pelo seu valor médio Vi;

Vi

VO+

-

D 1 D 1

VT VT

Ic1 Ic2

Ic2.DIc1.D

R

Vap+

-

+

-+

-

RL2RL1

Figura 4.4 – Conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CC do interruptor PWM.

55

Com isto, obtém-se o circuito da Figura 4.4, representando assim o conversor Ćuk

3SSC associado ao modelo CC do interruptor PWM. Realizando a análise do circuito da

Figura 4.4, chega-se à seguinte expressão:

1 2 1 2 0c c o c cI I I D I D I− − − + ⋅ + ⋅ = (4.1)

Pela relação do transformador (VT), tem-se:

1 2c c cI I I= = (4.2)

A corrente média de saída é dada por:

oo

VI

R= (4.3)

Determina-se a corrente Ic por meio da substituição das equações (4.2) e (4.3) em (4.1),

resultando em:

( )2 1

o

c

V

RID

−=

⋅ − (4.4)

Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões à malha de Vi, Vo e Vap, pode-se escrever:

1 1 2i L L L o o apV R I R I V V= ⋅ − ⋅ − − (4.5)

Isolando Vap em (4.5), obtém-se:

1 22ap L c L o o iV R I D R I V V= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − − (4.6)

Realizando as análises das malhas, encontram-se as expressões (4.7) e (4.8).

12i c L T ap apV I D R V D V V= − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − (4.7)

12i c L T ap apV I D R V D V V= − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − (4.8)

Isolando VT em (4.7), resulta em:

( ) 11 2T i ap L cV V D V R I D= + − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (4.9)

Manipulando as equações (4.7), (4.8) e (4.9) obtém-se a expressão que representa o

ganho estático em (4.10).

( )

( ) ( )2 22 1

1

1o

i L L

R D DV

V R R D R D

⋅ ⋅ −=

+ ⋅ − + ⋅ (4.10)

56

Ressalta-se que, eliminando os componentes parasitas da expressão (4.10), a expressão

do ganho estático torna-se idêntica àquela do conversor CC-CC Ćuk clássico operando em

MCC.

Isolando a tensão de saída na equação (4.10), e substituindo-a em (4.4) e (4.6), obtém-

se:

( ) ( )

( ) ( )2

2 22 1

1

1i L

ap

L L

V R R DV

R R D R D

− ⋅ + ⋅ −=

+ ⋅ − + (4.11)

( ) ( )2 2

2 12 1i

c

L L

V DI

R R D R D

− ⋅= ⋅ + ⋅ − +

(4.12)

4.2.2 - ANÁLISE CA

Considera-se a Figura 4.3 para a análise do comportamento CA do conversor Ćuk

3SSC, a partir da qual são obtidas às funções de transferências vo(s)/vi(s), vo(s)/d(s), Zo(s),

Zi(s), vo(s)/iL1(s) e iL1(s)/d(s) conforme o desenvolvimento matemático apresentado na

sequência.

4.2.2.1 - DETERMINAÇÃO DE vo(s)/vi(s)

Considerando a razão cíclica constante isto é d=0, enquanto a tensão de entrada sofre

pequenas perturbações ( ˆi i iv V v= + ) no circuito da Figura 4.3, pode-se obter assim a função de

transferência da tensão de saída frente a pequenas perturbações na tensão de entrada,

vo(s)/vi(s). Simplificando o circuito da Figura 4.3 com as condições supracitadas, tem-se a

Figura 4.5.

Pela relação de espiras do transformador (vT), obtém-se (4.13).

1 2c c ci i i= = (4.13)

Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes para os seguintes nós, têm-se:

• potencial v1:

1 2

2 2

01

o o

LCo

o

v v v v

R L s RRC s

−− − + =⋅ ++

⋅

(4.14)

• potencial v2:

57

2 2 1

1 1 2 2

2 0ic

L L

v v v vi

L s R L s R

− −+ + ⋅ =⋅ + ⋅ +

(4.15)

• Potencial ( 1 ov v+ ): ( )1

11

2 1 01 1

o o oc

Co Co

v v v vi D

R R RC s C s

++ + − ⋅ ⋅ − =+ +

⋅ ⋅

(4.16)

vi

L1 L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1 D 1

vT

+

-

+

-

+

-

+

-

vT +

-

+

-

vO

ic2ic1

D.ic2 D.ic1

v2 v1

v1 + vo

Figura 4.5 – Conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a obtenção de

vo(s)/vi(s).

Pela relação dos transformadores do modelo do interruptor PWM, têm-se as expressões

(4.17) e (4.18).

( ) ( ) ( )2 1

1T o

o

v v v vv v

D

− − += − + (4.17)

( ) ( ) ( )2 1

1T o

o

v v v vv v

D

+ − += − + (4.18)

Organizando as expressões anteriores e realizando algumas manipulações algébricas,

obtém-se a função de transferência da tensão de saída frente a perturbações na tensão de

entrada como sendo dada por:

( ) ( ) ( )1 1

4 3 20 1 2 3 4

1 1 1( )

( )C O COo

i

D R D C R s C R sv s

v s s s s sα α α α α⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

(4.19)

sendo:

( )0 1 1 2O COC C L L R Rα = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (4.20)

( ) 1 1 1 2 5 1O CO COC L L C R R L R Rα α= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ (4.21)

58

( ) ( )222 1 1 2 1 6 7 8 1L LC L R R R D Dα α α α= ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ − (4.22)

( ) ( )2 23 10 11 1 1 21 L LD D C R R Rα α α= ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + (4.23)

( ) ( )2 24 2 11L LR R D D Rα = + ⋅ − + ⋅ (4.24)

( ) ( )2 25 2 1 1 1 2 11C L L CL R D R L R D Rα = ⋅ ⋅ − + + ⋅ + ⋅ (4.25)

( )6 2 2 2O L CO CO LL C R R R R Rα = + ⋅ ⋅ + ⋅ + (4.26)

( ) ( )7 1 1 1 1 1 1 1O CO C L CC R R L C R R C L Rα = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (4.27)

( )8 1 2 1 2 1 9C O COC L R C L R R Cα α= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ (4.28)

( )9 1 2 2C CO L CO LR R R R R Rα = ⋅ ⋅ + + ⋅ (4.29)

( ) ( )10 1 1 2 2 2 2C L O CO L CO LC R R R C R R R R R Lα = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ + (4.30)

( )11 1 1 1 1L O CO CR C R R C R Lα = ⋅ ⋅ + + ⋅ + (4.31)

4.2.2.2 - DETERMINAÇÃO DE vo(s)/d(s)

Considerando a tensão de entrada constante ( ˆ 0iv = ) e a razão cíclica sofrendo pequenas

perturbações ( ˆd D d= + ) na Figura 4.3, pode-se obter a função de transferência da tensão de

saída em relação à razão cíclica para o conversor Ćuk 3SSC em MCC.

Assim, para a determinação de vo(s)/d(s) pode-se obter o circuito da Figura 4.6 a partir

da Figura 4.3.

L1 L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1IC.d

D 1IC.d

vT

+

-

+

-

+

-

+

-

vT

ic2ic1

D.ic2 D.ic1

v2 v1

v1 + vo

Vd.dD__Vd.dD__ Vd.d

D__Vd.dD__

Figura 4.6 – Conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a obtenção de

vo(s)/d(s).

59

Através da análise da Figura 4.4, pode-se afirmar que:

• as correntes no terminal comum dos dois pares de diodo transistor são iguais, sendo que

a expressão (4.32) é verdadeira;

• a diferença de potencial entre os terminais e nos dois interruptores é a mesma,

validando a expressão (4.33).

1 2c c cI I I= = (4.32)

1 2 1 2implica

ap ap ap D D DV V V V V V= = ⎯⎯⎯→ = = (4.33)

Pela relação de espiras do transformador (vT), pode-se definir:

1 2 cc ci i i= = (4.34)

Aplicando a lei de Kirchhoff dos nós para o potencial v1, obtém-se:

1 2

2 2

01

o o

LCo

o

v v v v

R L s RRC s

−− − + =⋅ ++

⋅

(4.35)

Já para o nó com potencial v2, tem-se:

2 2 1

1 1 2 2

2 0cL L

v v vi

L s R L s R

−+ + ⋅ =⋅ + ⋅ +

(4.36)

Agora, para o potencial ( 1 ov v+ ), chega-se a:

( )1

11

2 1 2 01 1

o o oc c

Co Co

v v v vi D I d

R R RC s C s

++ + + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ =+ +

⋅ ⋅

(4.37)

A relação dos dois transformadores do modelo do interruptor PWM é dada por (4.38) e

(4.39).

( ) ( ) ( )2 1

1T o d

o

v v v v Vd v v

D D

− − += ⋅ − + (4.38)

( ) ( ) ( )2 1

1T o d

o

v v v v Vd v v

D D

+ − += ⋅ − + (4.39)

Para se definir o ponto de operação do conversor associado ao modelo CA do

interruptor PWM deve-se analisar o circuito da Figura 4.4, obtendo as seguintes expressões:

60

( ) ( )

( ) ( )2

2 1

2 2

1

1

i L

D

L L

V R R DV

R R D R D

− ⋅ + ⋅ −=

+ ⋅ − + (4.40)

( ) ( )

2 1

2 22 1i

c

L L

V DI

R R D R D

− ⋅= ⋅ + ⋅ − +

(4.41)



entrada como sendo (4.42).

( ) ( )2

1 1 1 2 3

4 3 20 1 2 3 4

1( )

( )d CO Oo

k s R C C L s sv s

d s s s s s

χ χ χα α α α α

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (4.42)

Sendo que os termos auxiliares do denominador são expressos pelas equações (4.20) a

(4.31), enquanto os do numerador são dados por:

( ) ( )2 2

2 11i

d

L L

R Vk

R R D D R

⋅=+ ⋅ − + ⋅

(4.43)

( ) ( ) 21 2 11L CR R D D Rχ = + ⋅ − − ⋅ (4.44)

( ) ( )222 1 1 1 1 2 1 11C C L LD L C R R R R D Rχ χ = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ (4.45)

( ) ( )2 23 2 11L LR R D R Dχ = + ⋅ − − ⋅ (4.46)

4.2.2.3 - DETERMINAÇÃO DA IMPEDÂNCIA DE ENTRADA Zi(s)

Considerando a razão cíclica constante (d=0) e a tensão de entrada sofrendo pequenas

perturbações ( ˆi i iv V v= + ) na Figura 4.3, pode-se obter a função de transferência que relaciona

a tensão de entrada e a corrente de entrada, ou seja, a impedância de entrada Zi(s).

Simplificando o circuito para se determinar a impedância de entrada, constata-se que a

estrutura é similar àquela da análise vo(s)/vi(s) na Figura 4.5.

Com isso, é possível escrever algebricamente a corrente de entrada do circuito:

2

1 1

ii

L

v vi

L s R

−=⋅ +

(4.47)

Substituindo os resultados encontrados na dedução de vo(s)/vi(s) em (4.47), isso resulta

na impedância de entrada do sistema em (4.48), sendo que os termos auxiliares do numerador

são definidos pelas equações (4.20) a (4.31), enquanto os termos do denominador são

61

definidos na sequência:

( )

4 3 20 1 2 3 4

3 2 21 2 1 2

( )

( )i

i O CO

v s s s s s

i s C C L R R s s s D

α α α α αδ δ

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +=⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

(4.48)

( ) ( ) 21 1 2 2 1O CO L C COC L C R R R D R R Rδ = ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + (4.49)

( ) ( )2 22 1 2 1L C O COC R R D R C D R Rδ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + (4.50)

4.2.2.4 - DETERMINAÇÃO DA IMPEDÂNCIA DE SAÍDA Zo(s)

Para determinar a relação entre a tensão de saída e a corrente de saída, por sua vez

correspondente à impedância de saída Zo(s), deve-se considerar um curto-circuito às fontes de

tensão e um circuito aberto para as fontes de corrente. Simplificando o circuito, tem-se a

Figura 4.7.

L1 L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1 D 1

vT

+

-

+

-

+

-

+

-

vT

ic2ic1

D.ic2 D.ic1

vg

ig

v2 v1

v1 + vg

Figura 4.7 – Circuito equivalente do conversor Ćuk 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM

com as fontes de tensão em curto-circuito e fontes de corrente em circuito aberto para a obtenção de Zo(s).

Pela relação de espiras do transformador (vT), tem-se:

1 2c c ci i i= = (4.51)

Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes para os nós, têm-se:

• potencial v1:

1 2

2 2

01

g gg

LCo

o

v v v vi

R L s RRC s

−− − + + =⋅ ++

⋅

(4.52)

• potencial v2:

62

2 2 1

1 1 2 2

2 0cL L

v v vi

L s R L s R

−+ + ⋅ =⋅ + ⋅ +

(4.53)

• potencial ( 1 gv v+ ):

( )1

11

2 1 01 1

g g gc g

Co Co

v v v vi D i

R R RC s C s

++ + + ⋅ ⋅ − − =

+ +⋅ ⋅

(4.54)

A relação dos dois transformadores do modelo do interruptor PWM é dada em (4.55) e

(4.56).

( ) ( ) ( )2 1

1

T g

g

v v v vv v

D

− − += − + (4.55)

( ) ( ) ( )2 1

1

T g

g

v v v vv v

D

+ − += − + (4.56)


chega-se a:

( ) ( )3 2

1 1 2 1 2 3

4 3 20 1 2 3 4

1( )

( )O COo

o

R C R s C L L s s sv s

i s s s s s

ε ε εα α α α α

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (4.57)

Os termos auxiliares são expressos pelas equações (4.20) a (4.24), bem como por (4.58)

a (4.60).

( ) ( )2 21 1 2 1 1 2 1 2 11C L C LC L R D L R R D L Rε = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ (4.58)

( ) ( ) ( )2 22 22 1 2 1 1 2 1 2 11 1C L L L CD L L D C R R D R R R Dε = ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ (4.59)

( )2 23 2 11L LR D D Rε = ⋅ − + ⋅ (4.60)

4.2.2.5 - DETERMINAÇÃO DE vo(s)/iL(s)

A determinação da função de transferência da tensão de saída em relação à corrente no

indutor ocorre considerando que a corrente do indutor sofre pequenas perturbações

oriundas das perturbações da fonte de tensão da entrada. Logo, o circuito para se determinar

vo(s)/iL1(s) é análogo àquele empregado na análise de vo(s)/vi(s) na Figura 4.5. Escrevendo a

corrente do indutor , tem-se:

21

1 1

iL i

l

v vi i

L s R

−= =⋅ +

(4.61)

63

Substituindo na expressão (4.61) os resultados encontrados na modelagem de vo(s)/vi(s),

juntamente com algumas manipulações algébricas, obtém-se (4.62). Os termos auxiliares são

expressos pelas equações (4.49) a (4.50).

( ) ( ) ( )

( )1 1

3 2 21 1 2 1 2

1 1 1( )

( )C O COO

L O CO

D R D C R s C R sv s

i s C C L R R s s s Dδ δ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

=⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

(4.62)

4.2.2.6 - DETERMINAÇÃO DE iL(s)/d(s)

A função de transferência da corrente no indutor em relação à razão cíclica iL(s)/d(s) é

determinada através da consideração de pequenas perturbações na corrente do indutor e na

razão cíclica. Logo, a estrutura do circuito é similar ao utilizado para determinar o vo(s)/d(s),

Figura 4.6. A corrente do indutor L1 é dada:

21

1 1L

L

vi

L s R= −

⋅ + (4.63)

Substituindo na expressão (4.63) os resultados encontrados na modelagem de vo(s)/d(s)

e com as devidas manipulações algébricas, chega-se a:

( )3 2

1 2 3 414 3 2

0 1 2 3 4

( )

( )idL

k s s si s

d s s s s s

φ φ φ φα α α α α

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (4.64)

Os termos auxiliares são expressos pelas equações (4.20) a (4.31) e (4.65) a (4.73).

( )

( ) ( )2 22 1

1

1i

id

L L

V Dk

R R D R D

⋅ −=

+ ⋅ − + ⋅ (4.65)

( ) ( )1 1 2 2 1O CO L CC C L R R R R R Dφ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ (4.66)

( )2 5 1 2 6LD C R Rφ φ φ= ⋅ + ⋅ + ⋅ (4.67)

( )3 7 2 8LD R Rφ φ φ= ⋅ + + ⋅ (4.68)

( )4 22 LD R Rφ = ⋅ ⋅ + (4.69)

( ) ( ) 5 2 1 1 2 2O CO C O L CO COC L R R C R C R R R R R Lφ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + (4.70)

( ) ( ) 6 2 1 2O CO C L COL C R R D R R R Rφ = + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + (4.71)

( ) 7 2 2 2O CO L CO LL C R R R R Rφ = + ⋅ ⋅ + ⋅ + (4.72)

( ) ( )8 1 2 12L C O COC R R D R C D R Rφ = ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + (4.73)

4.3 -

ĆUK

inten

simu

comp

técni

repre

sendo

ressa

verif

• D

mesm

• D

vo(s)/

modo

há d

sobre

simu

4.3.1

3SSC

4.1.

simu

4.1 s

VALIDAÇ

K 3SSC EM

O objetivo

nção de uso

ulação comp

Neste trab

putacional,

ica, são tra

esentado na

o possível

altar que a

ficado:

D<0,5, em

ma etapa de

D>0,5, em

Assim, es

/vi(s), vo(s)

o de operaç

dois roteiros

eposição na

Ressalta-s

ulações são d

1 - OPERA

Como não

C, o conver

Os diagram

ulado para o

ão apresent

ÇÃO DA M

M MCC

o da valida

o [16]. Sen

putacional o

balho, o pro

isto é, atrav

çados os d

a simulação

comparar

3SSC poss

que os in

e operação;

que os inter

ssa análise

/d(s), vo(s)/

ção da 3SSC

s de projeto

a análise do

se novamen

desenvolvid

ÇÃO EM M

o existe pro

rsor foi sim

mas de Bod

o ponto de o

tados na Fig

MODELAG

ação de um

ndo assim,

ou mesmo ex

ocesso de va

vés do recu

diagramas d

o pelo conv

os resultad

ui duas con

terruptores

rruptores co

tem como

/io(s), vi(s)/

C de maneir

o completam

conversor b

nte que este

das com o s

MODO DE

cedimento

mulado segu

de das funçõ

operação em

gura 4.8 (a)

GEM DE

m modelo é

é importa

xperimenta

alidação ser

urso de varr

de Bode em

versor, e pa

dos obtidos

ndições de

controlado

ontrolados c

objetivo d

/ii(s), vo(s)/

ra idêntica

mente disti

buck 3SSC.

trabalho nã

oftware PSI

E NÃO SOB

de projeto d

undo o pont

ões de trans

m modo de n

a (f).

PEQUENO

é verificar s

nte compar

lmente do s

rá realizado

redura em f

m termos de

ara as expre

s das duas

operação, p

os não cond

conduzem s

demonstrar

/iL(s) e iL(s

a [3], uma

intos para o

ão visa a an

IM®.

BREPOSIÇ

detalhado n

to de opera

sferência pa

não sobrepo

OS SINAIS

se este pod

rar os resu

sistema com

o somente p

frequência (

e módulo e

essões obtid

situações.

para as qua

duzem simu

imultaneam

que as fun

)/d(s) são v

vez que em

os modos d

nalise exper

ÇÃO (D<0,

na literatura

ção arbitrár

ra o modelo

osição (D<0

S DO CON

de ser aceit

ultados forn

m o modelo

por meio de

(AC Sweep)

e fase para

das na anál

Novamen

ais o mode

ultaneamen

mente.

nções de tr

válidas par

m [7] se dem

de não sobr

rimental, se

,5)

a para o con

rio definido

o teórico e o

0,5) definido

64

NVERSOR

o dada sua

necidos por

teórico.

e simulação

). Com esta

o sistema,

lise teórica,

te, deve-se

lo deve ser

nte em uma

ransferência

ra qualquer

monstra que

reposição e

endo que as

nversor Ćuk

o na Tabela

o conversor

o na Tabela

4

R

a

r

o

a

,

,

e

r

a

a

r

e

e

s

k

a

r

a

65

Tabela 4.1 – Parâmetros do conversor Ćuk 3SSC operando em modo de não sobreposição (D<0,5).

Parâmetro Valor

Tensão de entrada Vi=100 V

Tensão de saída Vo=75 V

Potência de saída Po=1000 W

Resistência de saída R=5,625 Ω

Frequência de comutação fs=40 kHz

Razão cíclica D=0,4286

Ondulação da corrente nos indutores ∆IL1=2 A

∆IL2=2 A

Ondulação da tensão dos capacitores ∆VC1=15 V

∆VCo=375 mV

Capacitância de saída, C0 Co=16,67 µF

Capacitância C1 C1=9,52 µF

Indutância L1 L1=536 µH

Indutância L2 L2= 536 µH

Resistências internas dos capacitores RC = 0,01 Ω

Resistências internas dos indutores RL = 0,01 Ω

(a) vo(s)/vi(s) (b) vo(s)/d(s)

(c) vi(s)/ii(s) (d) vo(s)/io(s)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

66

(e) vo(s)/iL(s) (f) iL(s)/d(s) Figura 4.8 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor Ćuk 3SSC operando em modo de não

sobreposição.

Analisando os diagramas obtidos na Figura 4.8, destaca-se que as curvas teóricas

apresentam comportamento praticamente idêntico àquele obtidos por simulação com o

software PSIM®.

4.3.2 - OPERAÇÃO EM MODO DE SOBREPOSIÇÃO (D>0,5)

De maneira análoga ao modo de não sobreposição (D<0,5), o modo de sobreposição

(D>0,5) foi definido segundo o ponto de operação da Tabela 4.2.

Tabela 4.2 – Parâmetros do conversor Ćuk 3SSC operando em modo de sobreposição (D>0,5).

Parâmetro Valor








∆IL2=2 A


∆VCo=1,5 V




Indutância L2 L2= 468 µH



Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

67



(e) vo(s)/iL(s) (f) iL(s)/d(s) Figura 4.9 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor Ćuk 3SSC operando em modo de

sobreposição.

Comparando-se os diagramas de Bode de ganho e fase na Figura 4.9 (a) a (f), constata-

se que todas as funções de transferência teóricas conseguem representar o comportamento do

conversor Ćuk 3SSC em MCC. Portanto, pode-se concluir que o modelo é válido para toda a

faixa de variação da razão cíclica (0≤D≤1).

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

4.4 -

refer

casos

da te

nomi

de co

sinai

4.4.1

estru

Tabe

utiliz

•

com

•

como

•

com

PROJETO

Nesta seç

rentes aos m

s, emprega-

No intuito

ensão de saí

inal e vice-v

ontrole sup

is do conver

1 - CONTR

Utilizando

utura de con

ela 4.1, adot

Para calcu

za-se a expr

função de

os parâmetr

G

função de

o valor da a

valor da te

Na Tabela

outros parâ

O DO SIST

ção, são ap

métodos de

-se o método

o de verifica

ída em rela

versa. Ressa

pracitados, m

rsor.

ROLE EM M

o o roteiro p

ntrole da F

tam-se os se

ular a funç

ressão (2.57

transferênc

ros definido

( ) ( 2VG ss

=

e transferên

amplitude da

ensão de ref

a 4.3, encon

âmetros para

TEMA DE C

resentados

controle em

o do fator k

ar a robuste

ação à varia

alta-se que

mas sim ex

MODO TE

proposto em

Figura 2.29,

eguintes pro

ão de trans

), sendo nec

cia Gv(s), de

os na Tabela

(3259

6432

s

s

⋅ +

+ ⋅ +

cia do mod

a forma de o

ferência Vref

ntram-se os

a o projeto d

CONTROL

dois exem

m modo ten

k para o con

ez do sistem

ação periódi

esta seção n

xemplificar

ENSÃO

m 2.6.4 para

, bem com

ocedimento

sferência de

cessário con

efinida atra

a 4.1:

) (6

7

6 10

5,542 10

s+ ⋅ ⋅

+ ⋅

dulador de

onda portad

f.

parâmetros

do sistema d

LE

mplos de pr

nsão e mod

nversor Ćuk

ma de contro

ica da carga

não tem com

a importân

controle em

o os parâm

do roteiro b

e laço aber

nsiderar:

vés da relaç

) (2

2

5974

4234

s s

s

− ⋅

⋅ +

PWM Fm(s

dora Vm;

essenciais

de controle

rojeto e res

do corrente

3SSC em M

ole, é analis

a de 100%

mo objetivo

ncia da mo

m modo ten

metros do c

baseado na t

rto não com

ção (4.42) e

)81,12 10

4 1, 293s

+ ⋅

⋅ +

s), definida

para obter F

.

sultados de

média. Em

MCC.

sado o com

para 50% d

o comparar

odelagem de

nsão, juntam

conversor d

técnica do f

mpensada (

e representa

)810⋅

por (2.59)

FTLAscv(s),

68

e simulação

m ambos os

mportamento

da potência

os métodos

e pequenos

mente com a

efinidos na

fator k:

FTLAscv(s))

ada a seguir

(4.74)

, utilizando

juntamente

8

o

s

o

a

s

s

a

a

)

r

)

o

e

69

Tabela 4.3 – Parâmetros da malha de controle em modo tensão para o conversor Ćuk 3SSC em MCC.

Parâmetro Especificação

Amplitude da forma de onda portadora Vm=10 V

Tensão de referência Vref =5 V

Frequência de cruzamento em zero fcv=100 Hz

Margem de fase M=85°

Ganho requerido para o controlador G=0,4877

Avanço de fase necessário α=2,317°

Fator k k=1

Substituindo os dados da Tabela 4.3 em (2.57) a (2.59), pode-se obter o diagrama de

Bode para a função transferência de laço aberto FTLAscv(s) representado na Figura 4.10.

Figura 4.10 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor Ćuk 3SSC em MCC para

projeto do controlador em modo tensão.

A frequência de cruzamento em malha aberta fcv determinada na Tabela 4.3 é

geralmente escolhida com uma limitação máxima de um quarto da frequência de comutação.

Como o sistema do conversor apresenta um pequeno pico de ressonância próximo a 1 kHz,

foi escolhida uma frequência que se distância desse pico de forma a evitar a instabilidade.

-100

-50

0

50

100

101 102 103 104 105-180

0

180

360

FTLASCV

Gv

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

70

Ressalta-se também que quando o avanço de fase necessário é próximo de zero, é escolhido o

compensador tipo 1.

Dimensionando-se os elementos para o compensador tipo 1 de forma a manter o fator k

especificado segundo a Tabela 4.3, é utilizada a expressão (2.38), cujos elementos são

definidos na Tabela 4.4.

Tabela 4.4 – Elementos do circuito do compensador em modo tensão para o conversor Ćuk 3SSC em

MCC.

Componente Valor

R1 1 kΩ

C1 3,26 µF

Substituindo-se os valores da Tabela 4.4 na expressão (2.36), obtém-se a função de

transferência do compensador tipo 2 representada por (4.75). De posse dessa função de

transferência, é possível a representação do controlador através do diagrama de Bode

conforme a Figura 4.11.

( ) 3

1

3,26 10vC ss−=

⋅ ⋅ (4.75)

Utilizando a expressão (2.62), podem ser traçados os diagramas de Bode de ganho e

fase da função de transferência de laço aberto compensada FTLAccv(s), como é observado na

Figura 4.12.

Figura 4.11 – Diagramas de Bode de ganho e fase

do compensador em modo tensão para o conversor

Ćuk 3SSC em MCC.


da função de transferência de laço aberto

compensada (FTLAccv(s)) em modo tensão para o

conversor Ćuk 3SSC em MCC.

10

20

30

40

50

60

10-1 100 101-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

-150

-100

-50

0

50

101 102 103 104 105-360

-180

0

180

360

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

71

De acordo com a inspeção do diagrama de Bode, obtém-se os seguintes parâmetros:

100 Hzcvf = (4.76)

82,7ºM = (4.77)

Além disso, a taxa de crescimento em torno da nova frequência de cruzamento de ganho

∆fc foi calculada, sendo:

18,9 dB décadacfΔ = − (4.78)

Averiguando o desempenho do sistema controlado através de simulação utilizando o

software PSIM®, foi obtida a resposta representada pela Figura 6.12 (a), que mostra o

comportamento da tensão de saída frente a degraus periódicos de carga de 5,625 Ω para 11,5

Ω e vice-versa.

(a) Forma de onda da tensão de saída (b) Visualização detalhada da resposta do sistema

Figura 4.13 – Comportamento do sistema de controle em modo tensão do conversor Ćuk 3SSC em MCC

diante de degraus de carga.

A análise detalhada da Figura 4.13 (b) permite constatar que:

• para o degrau de carga positivo, tem-se sobressinal de 36% e tempo de acomodação de

0,9 ms com tolerância de 2%.

• para o degrau de carga negativo, tem-se sub-sinal de 26,6% e tempo de acomodação de


De modo geral, pode-se inferir que o sistema é estável, embora a resposta seja

oscilatória com sobressinal significativo. Isso se justifica em virtude da presença de um zero

no semiplano direito do plano complexo da função vo(s)/d(s), sendo que esses sistemas ao

serem perturbados podem apresentar resposta oscilatória. Assim, todos os conversores CC-CC

Ten

são

(V)

Ten

são

(V)

72

baseados na célula de três estados são sistemas de fase não mínima, à exceção do conversor

buck 3SSC.

4.4.2 - CONTROLE EM MODO DE CORRENTE MÉDIA

Essa estratégia se baseia em duas malhas associadas ao controle da corrente do indutor e

da tensão de saída. Utilizando o roteiro proposto na seção 2.6.5, bem como o diagrama de

blocos da Figura 2.30, podem-se considerar os parâmetros da Tabela 4.2 e adotam-se os

passos descritos na sequência.

4.4.2.1 - MALHA DE CORRENTE

A função de transferência de laço aberto sem compensador (FTLAsci(s)) é representada

pela equação (2.66), sendo dependente da: função de transferência Gi(s)=iL1(s)/d(s)

representada para o conversor em (4.64); valor da corrente de referência; função de

transferência do sensor de corrente Hi(s); e amplitude da forma de onda portadora Vm. Esses

parâmetros são definidos na Tabela 4.5.

Por fim, a função de transferência para testar a robustez da malha de corrente He(s) é

dada pelas equações (2.63) a (2.65), enquanto a função de transferência do modulador de

PWM Fm(s) é definida em (2.58).

Os parâmetros necessários para a função de transferência de laço aberto sem

compensação FTLAsci(s) são definidos na Tabela 4.5, enquanto o respectivo diagrama de Bode

é representado na Figura 4.14.

Tabela 4.5 – Parâmetros da malha interna de controle em modo corrente média para o conversor Ćuk

3SSC em MCC.



Corrente de referência Iref=5 A

Função transferência do sensor de corrente Hi=0,2381

Frequência de cruzamento em zero fci=6 kHz

Margem de fase Mi=30°


73


Fator k k=4,265

Figura 4.14 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAsci(s) do conversor Ćuk 3SSC em MCC para

projeto do controlador em modo de corrente média.

A frequência de cruzamento de ganho fci é limitada de forma que seja menor ou igual a

um quarto da frequência de comutação do conversor, evitando assim os efeitos da comutação

em alta frequência. Tanto o valor da frequência de cruzamento quanto o valor da margem de

fase requerida ao sistema compensado se encontram definidas na Tabela 4.5. Ressalta-se que

quando o avanço de fase necessário é menor que 90º, é recomendado o uso do compensador

tipo 2 [26].

Os elementos do compensador dados pela Tabela 4.6 são dimensionados de forma que

as frequências do zero e polo não nulo se distanciem em um fator k2 através das expressões

(2.43) a (2.45).

Tabela 4.6 – Elementos do circuito do compensador da malha interna em modo corrente média para o


Componente Valor

R1 1 kΩ

R2 3,69 kΩ

C1 37,9 nF

C2 2,2 nF

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (d

eg)

74

Utilizando a expressão (2.39) e aplicando os valores definidos na Tabela 4.6, obtém-se a

função de transferência do compensador tipo 2 em (4.79). Assim, tem-se a representação na

forma do diagrama de Bode da Figura 4.15.

( ) 10 2 5

0,0001131 1

2,494 10 4,007 10i

sC s

s s− −

⋅ +=⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

(4.79)


da função de transferência do compensador de

tensão em modo corrente média para o conversor

Ćuk 3SSC em MCC.


da função de transferência de laço aberto da

corrente compensada (FTLAcci(s)) em modo

corrente média para o conversor Ćuk 3SSC em

MCC.

Utilizando a expressão (2.68), pode-se representar a função de transferência de malha

aberto compensada, FTLAcci(s), na forma de diagrama de Bode da Figura 4.16. De acordo

com a inspeção do diagrama de Bode, obtém-se os seguintes parâmetros:

6 kHzcif = (4.80)

30ºM = (4.81)

Além disso, a taxa de decrescimento em torno da nova frequência de cruzamento de

ganho ∆fc é calculada como sendo:

22,8 dB décadacfΔ = − (4.82)

4.4.2.1 - MALHA DE TENSÃO

A função de transferência de laço aberto sem compensador (FTLAscv(s)) expressa por

(2.70) depende de:

75

• função de transferência de malha fechada da corrente, dada por (2.69);

• tensão de referência da saída;

• função de transferência da tensão de saída em relação à corrente do indutor L1

(Z(s)=vo(s)/iL1(s)), dada por (4.62).

Estes parâmetros são definidos na Tabela 4.7, enquanto o diagrama de Bode é

representado na Figura 4.17.

Tabela 4.7 – Parâmetros da malha interna de controle em modo corrente média para o conversor Ćuk

3SSC em MCC.

Figura 4.17 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor Ćuk 3SSC em MCC para


Para este estudo, a frequência de cruzamento é escolhida de forma que seja menor ou

igual a um quarto da frequência pulsante da corrente de entrada (120 Hz) [26], isto é, menor

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (d

eg)



Função transferência do sensor de tensão Hv(s)=0,333





Fator k k=1,067

76

que 30 Hz. Os valores da frequência de cruzamento, da margem de fase do sistema e a

margem requerida pelo compensador são definidos na Tabela 4.7. Ressalta-se que quando o

avanço de fase necessário é menor que 90º, é recomendado o uso do compensador tipo 2 [26].

Utilizando a equação (2.42) para calcular o fator k para o compensador tipo 2 e,

dimensionando os componentes do controlador utilizando as equações (2.43) a (2.45), obtém-

se os resultados da Tabela 4.8.

Tabela 4.8 – Elementos do circuito do compensador, malha externa em modo corrente média para o


Componente Valor

R1 1 kΩ

R2 7,86 kΩ

C1 720 nF

C2 5,208 µF

Substituindo os parâmetros da Tabela 4.8 na equação (2.39), obtém a função de

transferência do controlador em (4.83), sendo o diagrama de Bode do compensador ilustrado

na Figura 4.18.

( ) 5 2

0,00566 1

2,948 10 0,005928v

sC s

s s−

⋅ +=⋅ ⋅ + ⋅

(4.83)

Na Figura 4.19, é traçado o diagrama de Bode da função de transferência de malha

aberto compensada FTLAccv(s).

77



tensão em modo de corrente média para o



da função de transferência de laço aberto com

compensação (FTLAccv(s)) em modo corrente média

para o conversor Ćuk 3SSC em MCC.


30 Hzcvf = (4.84)

90ºM = (4.85)


∆fc foi calculada como sendo:

20,39 dB décadacfΔ = − (4.86)

Através de simulações com o software PSIM®, foi analisado o desempenho do sistema

de controle frente a degraus periódicos de carga de 22,5 Ω para 45 Ω e vice-versa.

Analisando de forma mais minuciosa o comportamento da tensão de saída na Figura

6.19 considerando uma tolerância de 2% obtém-se:

• para o degrau de carga positivo, tem-se sobressinal de 40,7% e tempo de acomodação

de 20,8 ms.

• para o degrau de carga negativo, sub-sinal de 28,6% e tempo de acomodação de 28,6

ms.

Sobretudo, nota-se que o sistema é estável e a resposta não é oscilatória, o que é

possível graças à utilização de um sistema de controle composto por duas malhas em cascata.

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (d

eg)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (d

eg)

Figu

4.5 -

na cé

do in

que e

simu

Assim

seja,

malh

a exe

dinâm

comp

sistem

corre

de co

2

(a) Forma d

ura 4.20 – Co

CONSIDE

A modela

élula de com

nterruptor P

exista uma m

As funçõe

ulações real

m, é possív

não sobrep

Posteriorm

ha fechada e

emplificar o

mica satisfa

parada a ou

ma impede

ente média

ontrole ness

0 0.10

100

200

0 0.10

10

20

30

de onda da ten

omportament

ERAÇÕES

agem de peq

mutação de

WM propo

maior comp

es de transfe

lizadas pel

vel represen

posição e sob

mente, são r

em modo te

o uso das fu

atória, sendo

utros conve

uma frequ

fornece um

se caso.

0.2 0.3

Tempo (s)

Tensão de saíd

0.2 0.3

Tempo (s)

Corrente no Indu

nsão de saída

to do sistema

em MCC

FINAIS

quenos sina

e três estado

sto em [10]

plexidade as

erência obti

lo software

ntar os conv

breposição

realizados o

ensão e em m

unções de tra

o que o con

ersores [3],

uência de cr

ma resposta

0.4 0

a

0.4 0

tor

a (b

de controle e

C diante de de

ais desenvol

os em modo

mostra-se

ssociada ao

idas são com

e PSIM®,

versores pa

dos sinais d

o desenvolvi

modo corre

ansferência

ntrole em m

uma vez q

ruzamento m

não oscilat

.5

.5

Ten

são

(V)

Cor

rent

e(A

)

b) Visualizaçã

em modo cor

egraus de car

lvida para o

o de conduç

uma técnica

sistema, qu

mparadas co

resultando

ara os dois m

de comando

imento e o p

ente média p

. Em ambos

modo tensão

que o pico

maior. Por

tória, embor

Cor

rent

e (A

)

ão detalhada

rente média d

rga.

o conversor

ção contínu

a simples, d

ue é de quar

om as curva

em comp

modos de o

o dos interru

projeto do s

para o conv

s os casos, o

o apresenta

de ressonâ

sua vez, o

ra sejam ne

a da resposta

do conversor

r CC-CC Ć

ua utilizando

direta e efet

rta ordem ne

as obtidas p

portamentos

operação da

uptores cont

sistema de c

versor Ćuk,

obtém-se um

resposta m

ância aprese

controle em

ecessárias d

78

do sistema

r Ćuk 3SSC

uk baseado

o o modelo

iva, mesmo

esse caso.

por meio de

s idênticos.

a 3SSC, ou

trolados.

controle em

de maneira

ma resposta

mais lenta se

entado pelo

m modo de

duas malhas

8

o

o

o

e

.

u

m

a

a

e

o

e

s

5.1 -

repre

utiliz

interr

Obtê

de sa

em re

funçã

frent

indut

5.2 -

[30].

eleva

propr

comp

quatr

a sua

Aplic

o mo

célul

resul

CONSIDE

Este capít

esentar o c

zando o mod

O process

ruptor PWM

êm-se assim

aída frente a

elação a per

ão de trans

te a perturb

tor em relaç

MODELA

O convers

Entre sua

ador ou ab

riedades de

plexidade s

ro elemento

a modelagem

O conver

cando-se a p

Considera

odelo CA d

las de comu

lta na Figura

MODELA

ERAÇÕES

tulo consist

conversor S

delo do inte

so de model

M nas duas

m o ganho es

a perturbaçõ

rturbações d

ferência da

bações da c

ção a pertur

AGEM DE

sor SEPIC

as vantagen

baixador; e

e fonte de

e comparad

os passivos

m e, por con

rsor SEPIC

propriedade

ando as resi

do interrupt

utação de d

a 5.2.

AGEM DO

INICIAIS

te no desen

SEPIC base

erruptor PW

lagem é sem

células de c

stático e as

ões da tensã

da razão cíc

a impedânci

corrente no

bações da r

PEQUENO

foi proposto

ns, podem-s

entrada com

e tensão. P

da aos conv

em sua estr

nsequência,

C 3SSC em

e da inversã

stências int

tor PWM s

dois estados

CAPÍTUL

CONVER

S

nvolviment

eado na cé

WM.

melhante àq

comutação d

seguintes e

ão de entrad

clica; funçã

ia de saída;

o indutor, e

razão cíclica

OS SINAIS

o como ele

se citar: si

m caracterí

Porém, esta

versores bu

rutura, isto

, o controle

mpregando

ão bilateral (

ternas dos e

sem os elem

s presentes n

LO 5

RSOR CC-C

to de um m

élula 3SSC

quele do Ca

de dois esta

expressões:

da; função d

ão de transfe

; função de

e a função

a.

S

evador de te

implicidade

ística de f

as vantagen

uck, boost e

é, dois indu

em malha f

a célula

(Figura 2.12

elementos pa

mentos para

na célula d

CC SEPIC

modelo de

do tipo B

apítulo 4, u

ados para rep

função de t

de transferên

erência da im

transferênc

de transfer

ensão para

; capacidad

fonte de c

ns são aco

e buck-boos

utores e doi

fechada [1].

B é mostr

2), tem-se a

assivos do c

asitas na Fi

e três estad

3SSC

pequenos

B operando

utilizando o

presentar a

transferênci

ncia da tens

impedância

cia da tensã

rência da c

altas tensõe

de de traba

corrente e

ompanhadas

st, pois a ut

is capacitore

.

rado na Fi

a Figura 5.1

conversor e

igura 4.2 pa

dos da Figu

79

sinais para

o em MCC

modelo do

3SSC [28].

ia da tensão

são de saída

de entrada;

ão de saída

corrente no

es em 1977

alhar como

saída com

s da maior

tilização de

es, dificulta

igura 2.14.

.

e, aplicando

ara as duas

ura 5.1, isso

9

a

C

o

.

o

a

;

a

o

7

o

m

r

e

a

.

o

s

o

80

Vi

C1

L1 L2

COR

+

-

D1 D2

S1 S2

Figura 5.1 – Conversor SEPIC 3SSC com inversão bilateral.

Empregando técnicas associadas às leis de circuitos elétricos para a Figura 5.2, é

possível obter as funções de transferência essenciais para a realização do controle de operação

do conversor em malha fechada.

Vi

L1 L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1IC.d

D 1 IC.d

Vd.dD__Vd.dD__ Vd.d

D__Vd.dD__

Figura 5.2 – Conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM.

5.2.1 - ANÁLISE CC

Para a análise CC do conversor SEPIC 3SSC, deve-se adotar algumas considerações no

modelo CA do interruptor PWM mostrado na Figura 5.2:



3. O indutor é representado por sua respectiva resistência intrínseca, mas no caso de um

elemento ideal é representado apenas por um curto-circuito;

4. A tensão de entrada é substituída por seu valor médio Vi.

81

Vi

VO+

-

D 1 D 1

VT VT

Ic1 Ic2

Ic2.DIc1.D

R

Vap+

-

+

-+

-

RL2RL1

Figura 5.3 – Conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CC do interruptor PWM.

Por meio das considerações anteriores, obtém-se o circuito da Figura 5.3, representando

assim o conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CC do interruptor PWM. Realizando a

análise do circuito da Figura 5.3, chegam-se às seguintes expressões:

1 2 1 2 0c c o c cI I I D I D I− − − + ⋅ + ⋅ = (5.1)

Pela relação de espiras do transformador (VT), tem-se:

1 2c c cI I I= = (5.2)

A corrente média de saída é dada por:

oo

VI

R= (5.3)

Substituindo as equações (5.2) e (5.3) em (5.1), obtém-se a corrente Ic (5.4).

( )2 1

o

c

V

RID

= −⋅ −

(5.4)

Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões na malha composta por Vi, Vo e Vap, tem-se a

equação (5.5).

1 1 2i L L L o o apV R I R I V V= ⋅ − ⋅ − − (5.5)

Isolando Vap em (5.5), obtém-se:

1 22ap L c L o o iV R I D R I V V= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − − (5.6)

Realizando a análise das malhas, encontram-se as expressões (5.7) e (5.8).

82

12i c L T ap apV I D R V D V V= − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − (5.7)

12i c L T ap apV I D R V D V V= − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − (5.8)

Isolando VT em (5.7) resulta em:

( ) 11 2T i ap L cV V D V R I D= + − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (5.9)

Manipulando as expressões (5.6), (5.8) e (5.9), obtém-se a expressão que representa o

ganho estático em (5.10).

( )

( ) ( )2 22 1

1

1o

i L L

R D DV

V R R D R D

⋅ ⋅ −=

+ ⋅ − + ⋅ (5.10)

Ressalta-se que, eliminando os componentes parasitas da expressão (5.10), a expressão

do ganho estático torna-se idêntica àquela do conversor CC-CC SEPIC clássico operando em

MCC.

Isolando a tensão de saída na equação (5.10) e substituindo-a em (5.4) e (5.6), obtém-se:

( ) ( )

( ) ( )2

2 22 1

1

1i L

ap

L L

V R R DV

R R D R D

− ⋅ + ⋅ −=

+ ⋅ − + (5.11)

( ) ( )2 2

2 12 1i

c

L L

V DI

R R D R D

− ⋅= ⋅ + ⋅ − +

(5.12)

5.2.2 - ANÁLISE CA

Considera-se a Figura 5.2 para a análise do comportamento CA do conversor SEPIC

3SSC, a partir da qual são obtidas às funções de transferências vo(s)/vi(s), vo(s)/d(s), Zo(s),

Zi(s), vo(s)/iL1(s) e iL1(s)/d(s) conforme o desenvolvimento matemático apresentado na

sequência.


Para a análise da função de transferência da tensão de saída frente a pequenas

perturbações na tensão de entrada vo(s)/vi(s), deve-se considerar a razão cíclica constante,

(d=0) e a tensão de entrada sofrendo pequenas perturbações ( ˆi i iv V v= + ). Isso resulta no

circuito representado na Figura 5.4.

83

vi

L1 L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1 D 1

vT

+

-

+

-

+

-

+

-

vT

+

-

+

-

vO

ic2ic1

D.ic2 D.ic1 icapc1

ioicapco

Figura 5.4 – Conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a obtenção de

vo(s)/vi(s).

Realizando a análise das correntes no nó comum à carga R, ao capacitor Co e aos dois

transformadores do modelo do interruptor PWM, tem-se:

( ) ( )1 2 01 0c c o capci i D i i+ ⋅ − + + = (5.13)

Pela relação de espiras do transformador (vt), obtém-se:

1 2c c ci i i= = (5.14)

Além disso, a corrente de saída io é dada por.

oo

vi

R= (5.15)

A corrente do capacitor de saída (icapc0) pode ser representada pela equação (5.16).

0 1o

capc

Coo

vi

RC s

=+

⋅

(5.16)

Por sua vez, a corrente do capacitor C1 (icapc1) é dada por (5.17).

( ) ( )1 1 1 2 2 2

1

11

1i L L L L

capc

C

v i R L s i R L si

RC s

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅=

+⋅

(5.17)

Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes para o nó do indutor L2, da carga (R) e dos

capacitores C1 e Co, tem-se:

2 1 0L o capc capci i i i=− + − (5.18)

84

Analisando o nó comum dos indutores L1 e L2 e do transformador, obtém-se a relação

(5.19).

1 1 2 2L c c Li i i i= + + (5.19)

Definindo a tensão entre os terminais a e p através da análise da malha composta por vi,

vo e vap, tem-se a expressão (5.46).

( ) ( )1 1 1 2 2 2ap L L L L o iv i L s R i L s R v v= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + − − (5.20)

Realizando agora a análise para as malhas contendo vi, vap e vT, encontram-se:

( ) ( )1 1 1 1i L L T apv i L s R v v D= ⋅ ⋅ + + − ⋅ − (5.21)

( ) ( )1 1 1 1i L L T apv i L s R v v D= ⋅ ⋅ + − − ⋅ − (5.22)

Isolando vT em (5.21), tem-se:

( ) ( )1 1 11T ap i L Lv v D v i L s R= ⋅ − + − ⋅ ⋅ + (5.23)



entrada como sendo dada por (5.24).

( ) ( ) ( )2

1 2 1

4 3 20 1 2 3 4

1 1( )

( )CO Oo

i

D R R C s C L s s Dv s

v s s s s s

βα α α α α

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (5.24)

sendo:

( )0 1 1 2O COC C L L R Rα = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (5.25)

( )1 1 1 2 2 5 1 6OC L L C L Lα α α= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ (5.26)

( ) ( ) 222 7 8 1 2 1 2 1 11 L L O L COD D C L R R C R R R Lα α α= ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + (5.27)

( ) ( )223 1 1 1 1 10 1 1 21L O CO C L LR C R R C R L D D C R Rα α= ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ (5.28)

( ) ( )2 24 2 11L LR R D D Rα = + ⋅ − + ⋅ (5.29)

( ) ( ) ( )2

5 1 1 11C CO C CO L COR R R R R D R R Rα = ⋅ + + ⋅ ⋅ − + ⋅ + (5.30)

( ) ( ) ( )2 26 1 21CO C L COR R D D R R R Rα = ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ + (5.31)


85

( ) ( )8 1 1 2 1 2 1 9C O COC R L L R R C R R L Cα α= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ (5.33)

( ) ( )9 1 2 1 2 1C CO L CO L CO L CR R R R R R R R R Rα = ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + (5.34)

( ) ( )10 1 1 1 2 1 2 2 2 2C L L C L O CO L CO LC R R R R R R C R R R R R Lα = ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + (5.35)

( )1 1 2 1L CC R D Rβ = ⋅ + ⋅ (5.36)


A função de transferência da tensão de saída em relação à razão cíclica é determinada

através da análise do conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM

na Figura 5.2, adotando-se as seguintes considerações:

1. A tensão de entrada deve ser constante, ou seja, ˆ 0iv = ;

2. A razão cíclica sofre pequenas perturbações, isto é, ˆd D d= + ,

L1 L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1IC.d

D 1

IC.d

vT

+

-

+

-+

-

+

-

vT

ic2ic1

D.ic2 D.ic1

+

-

+

-

vap

icapc1

ioicapco

+

-

+

-

vO

Vd.dD__Vd.dD__ Vd.d

D__Vd.dD__

Figura 5.5 – Conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a obtenção de

vo(s)/d(s).

Assim, para a determinação de vo(s)/d(s) pode-se obter o circuito da Figura 5.5 a partir

da Figura 5.2.

Através da análise da equação (5.2), a qual define que as correntes no ponto comum dos

dois interruptores são iguais, a expressão (5.37) torna-se verdadeira.

1 2c c cI I I= = (5.37)

Analisando a Figura 5.3, percebe-se que as diferenças de potencial entre os terminais a e

p nos dois interruptores são iguais, sendo que (5.38) torna-se válida.

implica1 2 1 2ap ap ap D D DV V V V V V= = ⎯⎯⎯→ = = (5.38)

86

Analisando o nó da carga e dos dois transformadores, obtém-se a expressão (5.39).

( ) ( ) ( )1 2 0 1 21 0c c o capc c ci i D i i d I I+ ⋅ − + + + ⋅ + = (5.39)

Pela relação de espiras do transformador (vT), pode-se definir:

1 2c c ci i i= = (5.40)

Define-se a corrente de saída através da equação (5.41).

oo

vi

R= (5.41)

A corrente do capacitor de saída (icapc0) é representada pela expressão (5.42).

0 1o

capc

Coo

vi

RC s

=+

⋅

(5.42)

Por sua vez, a corrente no capacitor C1 (icapc1) é dada por (5.43).

( ) ( )1 1 1 2 2 2

1

11

1L L L L

capc

C

i R L s i R L si

RC s

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅=

+⋅

(5.43)

Através da lei de Kirchhoff das correntes para o nó do indutor L2, da carga e dos

capacitores C1 e Co, tem-se a seguinte expressão:

2 1 0L o capc capci i i i=− + − (5.44)

Para os indutores L1 e L2 e o transformador, tem-se:

1 1 2 2L c c Li i i i= + + (5.45)

Define-se a tensão entre os terminais a e p como sendo a soma de VD, vo e vap, obtendo-

se:

( ) ( )1 1 1 2 2 2D

ap L L L L o

Vv i L s R i L s R v d

D= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + − + ⋅ (5.46)

Realizando a análise das malhas associadas a vi, vap e vT, encontram-se as equações

(5.47) e (5.48).

( ) ( )1 1 1 1 0DL L T ap

Vi L s R v v D d

D⋅ ⋅ + + − ⋅ − + ⋅ = (5.47)

87

( ) ( )1 1 1 1 0DL L T ap

Vi L s R v v D d

D⋅ ⋅ + − − ⋅ − + ⋅ = (5.48)

Isolando vT em (5.47), obtém-se a relação (5.49).

( ) ( )1 1 11 DT ap i L L

Vv v D v i L s R d

D= ⋅ − + − ⋅ ⋅ + − ⋅ (5.49)


interruptor PWM deve-se analisar o circuito da Figura 5.3, obtendo as seguintes expressões:

( ) ( )

( ) ( )2

2 1

2 2

1

1

i L

D

L L

V R R DV

R R D R D

− ⋅ + ⋅ −=

+ ⋅ − + (5.50)

( ) ( )

2 1

2 22 1i

c

L L

V DI

R R D R D

− ⋅= ⋅ + ⋅ − +

(5.51)

Organizando as expressões anteriores e após algumas manipulações algébricas, obtém-

se a função de transferência da tensão de saída em relação à razão cíclica em (5.52).

( ) ( )3 2

1 1 2 1 2 3

4 3 20 1 2 3 4

1( )

( )d O COo

k C R s C D L L s s sv s

d s s s s s


− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (5.52)

Além disso, para facilitar a representação matemática, utilizam-se os termos auxiliares

dados pelas equações (5.25) a (5.35), bem como os seguintes termos:

( ) ( )2 2

2 11i

d

L L

V Rk

R R D R D

⋅=+ ⋅ − + ⋅

(5.53)

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 1 2 1 2 1 2 1 2 11 L L C LC D R R L L D L R D R L Rχ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ (5.54)

( ) ( ) ( ) ( )2

2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 21L L C L C L LD D L C R R D R D R R C R R Rχ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ + + (5.55)

( ) ( )2 23 2 11L LR R D R Dχ = + ⋅ − − ⋅ (5.56)

5.2.2.3 - DETERMINAÇÃO DA IMPEDÂNCIA DE ENTRADA ZI(S)

A função de transferência que relaciona a tensão de entrada e a corrente de entrada

corresponde à impedância de entrada Zi(s), sendo determinada através da análise do conversor

SEPIC 3SSC considerando a razão cíclica constante (d=0) na Figura 5.2. Logo, o circuito para

se determinar a impedância de entrada é análogo àquele empregado na análise de vo(s)/vi(s) na

88

Figura 5.4.

Com isto, utilizando os resultados encontrados para a modelagem do vo(s)/vi(s), obtém-

se a impedância de entrada em (5.57), sendo que os termos auxiliares são dados pelas

expressões (5.25) a (5.35) e (5.58) a (5.60).

4 3 2

0 1 2 3 42 3 2

0 1 2

( )

( )i

i

v s s s s s

i s D s s s D

α α α α αδ δ δ

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +=+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

(5.57)

( )0 1 2O COC C L R Rδ = ⋅ ⋅ ⋅ + (5.58)

( ) ( ) ( ) 2 21 1 2 2 11O CO L C COC L C R R D R D R R Rδ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ + (5.59)

( ) ( )2 2 22 1 2 11 L C O COC R D R D R C D R Rδ = ⋅ ⋅ − + + ⋅ + ⋅ ⋅ + (5.60)

5.2.2.4 - DETERMINAÇÃO DA IMPEDÂNCIA DE SAÍDA ZO(s)

Para determinar a relação entre a tensão de saída e a corrente de saída, por sua vez

correspondente à impedância de saída Zo(s), deve-se aplicar um curto-circuito às fontes de

tensão e abrir as fontes de corrente, como mostra a Figura 5.6. Assim, nota-se a inserção dos

potenciais nos três nós v1, v2 e (v1+vg).

L1 L2

RC1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1 D 1

vT

+

-

+

-

+

-

+

-

vT

ic2ic1

D.ic2 D.ic1

vg

ig

v2 v1

v1 + vg

Figura 5.6 – Circuito equivalente do conversor SEPIC 3SSC associado ao modelo CA do interruptor

PWM com as fontes de tensão em curto-circuito e fontes de corrente em circuito aberto para a obtenção

de Zo(s).

Pela relação de espiras do transformador, tem-se:

1 2c c ci i i= = (5.61)

89

Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes ao nó com potencial v1, obtém-se a relação

(5.62).

1 2 1

2 21

1

01 1

g gg

LCo C

o

v v v v vi

R L s RR RC s C s

−− − + + + =⋅ ++ +

⋅ ⋅

(5.62)

Analogamente para potencial v2, tem-se:

2 2 1

1 1 2 2

2 0cL L

v v vi

L s R L s R

−+ + ⋅ =⋅ + ⋅ +

(5.63)

Por fim, pode-se obter a seguinte expressão para o nó com potencial (v1+vg):

( )2 1 01

g gc g

Coo

v vi D i

R RC s

+ − ⋅ ⋅ − − =+

⋅

(5.64)

Pela relação dos dois transformadores do modelo do interruptor PWM, têm-se (5.65) e

(5.66).

( ) ( ) ( )2 1

1

T g

g

v v v vv v

D

− − += − + (5.65)

( ) ( ) ( )2 1

1

T g

g

v v v vv v

D

+ − += − + (5.66)

Realizando as devidas manipulações, chega-se a:

( ) ( ) 1 1 2 1 2 3

4 3 20 1 2 3 4

1( )

( )

O COo

o

R C R s s s C L L sv s

i s s s s s


⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

(5.67)

Ressalta-se que os termos auxiliares são definidos pelas equações (5.25) a (5.35) e

(5.68) a (5.70).

( )2 21 2 1 1 1 2 1 11C L L CL R D R L R L R Dε = ⋅ ⋅ − + + ⋅ + ⋅ ⋅ (5.68)

( ) ( ) ( )222 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 21C L C L L LD C R R L D C R R L C R Rε = ⋅ ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ (5.69)

( )2 23 2 11L LR D D Rε = ⋅ − + ⋅ (5.70)

90


A determinação da função de transferência da tensão de saída em relação à corrente no

indutor ocorre considerando que a corrente do indutor sofre pequenas perturbações

oriundas das perturbações da fonte de tensão da entrada.

Substituindo pelas expressões encontradas na modelagem vo(s)/vi(s) e realizando

algumas manipulações algébricas, tem-se (5.71), sendo que os termos auxiliares são expressos

pelas equações (5.36) e (5.58) a (5.60).

( ) ( ) ( )2

1 2 1

2 3 21 0 1 2

1 1( )

( )CO Oo

L

D R R C s C L s s Dv s

i s D s s s D

βδ δ δ

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +=

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + (5.71)


Para determinar a função de transferência da corrente no indutor em relação à razão

cíclica iL(s)/d(s), deve-se considerar pequenas perturbações na corrente do indutor e na razão

cíclica, logo a estrutura do circuito é similar ao utilizado para determinar o vo(s)/d(s).

Utilizando as expressões encontradas na modelagem de vo(s)/d(s) e realizando as

devidas manipulações, chega-se a relação de corrente do indutor L1 pela razão cíclica:

( )3 2

1 2 3 414 3 2

0 1 2 3 4

( )

( )idL

k s s si s

d s s s s s

φ φ φ φα α α α α

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (5.72)

Novamente, as equações (5.25) a (5.35) são empregadas como termos auxiliares,

juntamente com (5.73) a (5.82).

( )

( ) ( )2 22 1

1

1i

id

L L

V Dk

R R D R D

⋅ −=

+ ⋅ − + ⋅ (5.73)

( ) 1 1 2 5 1 1O C CO C COC C L D R R R R Rφ φ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ (5.74)

( ) ( ) ( )2 1 2 1 6 2 7 2C O CO LC L R R C L R R D R Rφ φ φ= ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + (5.75)

( ) ( )3 2 8 9 2LL D R Rφ φ φ= + ⋅ + ⋅ + (5.76)

( )4 22 LD R Rφ = ⋅ ⋅ + (5.77)

5.3 -

SEPI

comp

verif

vo(s)/

•

mesm

•

etapa

softw

traça

mode

5.3.1

potên

arbitr

simu

5.1 s

8φ =

VALIDAÇ

IC 3SSC E

Neste trab

putacional,

ficar a eficá

/iL(s) e iL(s)

D<0,5, em

ma etapa de

D>0,5, em

a de operaçã

Ressalta-s

ware PSIM®

ados os dia

elado.

1 - OPERA

Como não

ncia do con

rário definid

Os diagram

ulado para o

ão apresent

6 OCφ = ⋅

7φ

(1C R R= ⋅ ⋅

φ

ÇÃO DA M

EM MCC

balho o pro

isto é, atrav

ácia das fu

)/d(s) deduz

m que os in

e operação;

m que os int

ão.

se ainda que

® através d

agramas de

ÇÃO EM M

o existe um

nversor SEP

do na Tabel

mas de Bod

o ponto de o

tados na Fig

5φ =

( 1CR R R⋅ ⋅

1 2C L= ⋅ +

)1 2C LR R+ +

(9 1 2LC Rφ = ⋅

MODELAG

cesso de va

vés do recur

unções de t

zidas na seçã

nterruptores

terruptores c

e este trabal

do recurso

Bode em

MODO DE

procedime

PIC 3SSC, o

la 5.1.

de das funçõ

operação em

gura 5.7 (a)

( )COR R= +

)2CO LR R+ +

( 2O LC R+ ⋅ +

1 2C LR R⋅ +

)2 1CD R+ ⋅ +

GEM DE

alidação ser

rso de varre

transferênci

ão anterior,

s controlado

controlados

lho não à vi

de varredu

termos de

E NÃO SOB

ento de proj

o conversor

ões de trans

m modo de n

a (f).

( )2LR R⋅ +

2CO LR R+ ⋅ +

) (1CD R R⋅ ⋅

(O CC R R⋅ ⋅

(OC D R+ ⋅ ⋅

PEQUENO

rá realizado

edura em fre

a vo(s)/vi(s)

em virtude

os não con

s conduzem

isa analise e

ura em freq

módulo e

BREPOSIÇ

jeto detalha

r foi simula

sferência pa

não sobrepo

1C COR R R+ ⋅ ⋅

)COR R+

)2CO LR R+ +

)COR R+

OS SINAIS

o somente p

equência (A

), vo(s)/d(s)

e das duas co

duzem simu

simultanea

experimenta

quência (AC

fase para

ÇÃO (D<0,

ado na litera

ado segundo

ra o modelo

osição (D<0

2LR

2CO LR R⋅

S DO CON

por meio de

AC Sweep).

), vo(s)/io(s)

ondições de

multaneamen

amente em u

al, sendo em

C Sweep).

o sistema

,5)

atura para o

o o ponto d

o teórico e o

0,5) definido

91

(5.78)

(5.79)

(5.80)

(5.81)

(5.82)

NVERSOR

e simulação

De forma a

), vi(s)/ii(s),

e operação:

nte em uma

uma mesma

mpregado o

Assim, são

simulado e

o estágio de

de operação

o conversor

o na Tabela

1

)

)

)

)

)

R

o

a

,

a

a

o

o

e

e

o

r

a

92

Tabela 5.1 – Parâmetros do conversor SEPIC 3SSC operando em modo de não sobreposição (D<0,5).

Parâmetro Valor







Ondulação da corrente nos indutores ∆IL=2 A

∆IL=2 A

Ondulação da tensão nos capacitores ∆VC1=750 mV

∆Vo=500 mV Capacitância de saída, C0 Co=533 µF

Capacitância C1 C1=355 µF



Resistências internas dos capacitores RC=0,01 Ω

Resistências internas dos indutores RL=0,01 Ω

Analisando os diagramas obtidos na Figura 5.7, destaca-se que a curvas teóricas

apresentam comportamento praticamente idêntico àquele obtido por simulação com o

software PSIM®. Ressalta-se ainda a complexidade do conversor como sendo um sistema de

quarta ordem, validando propriamente o modelo de pequenos sinais do conversor SEPIC

3SSC para esse modo de operação.


Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

93


(e) vo(s)/iL1(s) (f) iL1(s)/d(s)

Figura 5.7 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor SEPIC 3SSC operando em modo de não

sobreposição.


De maneira análoga ao modo de não sobreposição (D<0,5), é considerado o ponto de

operação da Tabela 5.2.

Verificando os diagramas de Bode da Figura 5.8 (a) a (f), nota-se que novamente as

funções de transferência obtidas pela modelagem teórica conseguem representar de maneira

satisfatória o conversor SEPIC 3SSC simulado. Com isto, é validado o modelo em modo de

sobreposição segundo o ponto de operação da Tabela 5.2. Portanto, pode-se concluir que o

modelo teórico obtido para conversor SEPIC 3SSC em MCC é válido para toda a faixa de

variação da razão cíclica (0≤D≤1).

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

94

Tabela 5.2 – Parâmetros do conversor SEPIC 3SSC operando em modo de sobreposição (D>0,5).

Parâmetro Valor







Ondulação da corrente nos indutores ∆IL=2 A

∆IL=2 A

Ondulação da tensão nos capacitores ∆VC1=15 V

∆Vo=7,5 V



Indutância L1 L1=1 mH

Indutância L2 L2=1 mH





Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

F

5.4 -

refer

casos

da te

nomi

5.4.1

contr

os se

- Pas

(FTL

depe

• f

conv

• f

• f

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Figura 5.8 – D

PROJETO

Nesta seç

rentes aos m

s, emprega-

No intuito

ensão de saí

inal e vice-v

1 - CONTR

Utilizando

role em mo

eguintes pas

sso 1: Diag

LAscv(s)).

A função

ndente de:

função de t

versor vo(s)/d

função de tr

função de tr

(e) vo(s)/iL(sDiagramas de

O DO SIST

ção, são ap

métodos de

-se o método

o de verifica

ída em rela

versa.

ROLE EM M

o os parâm

odo tensão, j

ssos do rotei

grama de B

de transfe

transferênci

d(s);

ransferência

ransferência

s) e Bode de gan

s

TEMA DE C

resentados

controle em

o do fator k

ar a robuste

ação à varia

MODO TE

metros defin

juntamente

iro baseado

Bode da fun

erência de

ia Gv(s), qu

a do modula

a do sensor

nho e fase do

sobreposição

CONTROL

dois exem

m modo ten

k para o con

ez do sistem

ação periódi

ENSÃO

nidos na Ta

com a estr

o na técnica

nção de tra

laço abert

ue relaciona

ador PWM

da tensão d

conversor SE

o, D>0,5.

LE

mplos de pr

nsão e mod

nversor SEP

ma de contro

ica da carga

abela 5.1, o

rutura do co

do fator k:

ansferência

o é dada p

a a tensão

dada por Fm

de saída Hv(s

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

(f) iL(sEPIC 3SSC o

rojeto e res

do corrente

IC 3SSC em

ole, é analis

a de 100%

o roteiro pr

ontrole da F

de laço ab

pela expres

de saída co

m(s);

s).

s)/d(s) operando em

sultados de

média. Em

m MCC.

sado o com

para 50% d

roposto em

Figura 2.29,

berto não c

ssão (2.57)

om a razão

95

modo de

e simulação

m ambos os

mportamento

da potência

2.6.4 para

, adotam-se

compensada

), a qual é

o cíclica do

5

o

s

o

a

a

e

a

é

o

96

A função de transferência Gv(s) é representada para o conversor SEPIC 3SSC em MCC

por (5.52) e definida conforme os parâmetros da Tabela 5.1 em (5.84). A função de

transferência do modulador PWM é dada por (2.58), dependendo exclusivamente da

amplitude da forma de onda portadora Vm, sendo:

Vm=10 V (5.83)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

5 4 2 6

2 6 2 6

0, 484 1,87 10 1,24 10 242 4,14 10

2140 5,04 10 931 6,03 10V

s s s sG s

s s s s

− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅=

+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ (5.84)

Já a função de transferência do sensor de tensão Hv(s) é definida pela expressão (2.59), a

qual depende da tensão de referência Vref , sendo:

Vref =5 V (5.85)

Com isto, pode-se obter o diagrama de Bode para a função transferência de laço aberto

FTLAscv(s), representado pela Figura 5.9.

- Passo 2: A frequência de cruzamento em malha aberta fcv geralmente é escolhida como

sendo no máximo um quarto da frequência de comutação. Porém, como este conversor

apresenta um pico de ressonância em 200 Hz, se for escolhida uma frequência próxima deste

ponto pode-se levar o sistema à instabilidade. Assim, é desejável escolher a frequência de

cruzamento abaixo da frequência de ressonância, resultando em:

fcv=40 Hz (5.86)

Figura 5.9 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor SEPIC 3SSC em MCC para


- Passo 3: Adota-se uma margem de fase M=90º.

-50

0

50

101 102 103 104 105 10690

180

270

360FTLASCV

Gv

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

97

- Passo 4: Analisando o diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto

FTLAscv(s) representado na Figura 5.9, obtém-se o ganho do sistema para a frequência de

corte fcv = 40 Hz. Utilizando a expressão (2.60), encontra-se o ganho requerido para o

controlador:

G=0,3253 (5.87)

- Passo 5: Para calcular o avanço de fase necessário, emprega-se a expressão (2.61), a qual

requer a defasagem natural provocada pelo sistema na frequência de corte. Esse valor é obtido

através da análise da curva de fase do diagrama de Bode da FTLAscv(s) na Figura 5.9, sendo

que no caso P = - 6,893°. Obtém-se assim o valor do avanço de fase requisitado para o

controlador:

α = M – P – 90° = 8,64° (5.88)

- Passo 6: Como o avanço de fase necessário é menor 90º, é recomendado o uso do

compensador tipo 2 [26].

- Passo 7: O fator k para o compensador tipo 2 é calculado por (2.42), resultando em:

8,64

45 1,1642

k tg° = + ° =

(5.89)

- Passo 8: Os elementos do compensador tipo 2 são obtidos pelas expressões (2.43) a (2.45),

cujos valores são mostrados na Tabela 5.3.

Tabela 5.3 – Elementos do circuito do compensador em modo tensão para o conversor SEPIC 3SSC em

MCC.

Componente Valor

R1 1 kΩ

R2 1,24 kΩ

C1 3,7 µF

C2 10,5 µF

- Passo 9: Substituindo-se os valores da Tabela 5.3 na expressão (2.39), obtém-se a função de

transferência do compensador tipo 2, sendo representada por (5.90). De posse dessa função de

transferência, é possível a representação do controlador através do diagrama de Bode

conforme a Figura 5.10.

( ) 5 2

0,00463 1

4,967 10 0,01423v

sC s

s s−

⋅ +=⋅ ⋅ + ⋅

(5.90)

98


do compensador em modo tensão para o conversor

SEPIC 3SSC em MCC.


da função de transferência de laço aberto da tensão

compensada (FTLAccv(s)) em modo tensão para o

conversor SEPIC 3SSC em MCC.

Na Figura 5.10, nota-se que o controlador possui características bem próximas de um

compensador do tipo 1, uma vez que o valor de k é próximo da unidade e o avanço requerido

pelo controlador é pequeno.

- Passo 10: Utilizando a expressão (2.62), podem ser traçados os diagramas de Bode de ganho

e fase da função de transferência de laço aberto compensada FTLAccv(s), como é observado na

Figura 5.11.


40 Hzcf = (5.91)

90ºM = (5.92)



17,8 dB décadacfΔ = − (5.93)

- Passo 11: Utilizando o software PSIM®, com o intuito de realizar simulações averiguando o

desempenho do projeto do sistema de controle em modo tensão para o conversor SEPIC 3SSC

em MCC, foi obtida a resposta representado na Figura 5.12 (a), que mostra o comportamento

da tensão de saída frente a degraus periódicos de carga, de 20 Ω para 40 Ω e vice-versa. Nota-

se que o sistema é estável, embora a resposta aos degraus de carga seja oscilatória, visto que

este é um sistema de fase não mínima.

-40

-20

0

20

40

100 101 102 103-90

-85

-80

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

-150

-100

-50

0

50

101 102 103 104 105 1060

90

180

270

360

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

99


Figura 5.12 – Comportamento do sistema de controle em modo tensão do conversor SEPIC 3SSC em

MCC diante de degraus de carga.

Além disso, realizando uma análise minuciosa da Figura 5.12 (b), obtém-se os seguintes

resultados:

• para o degrau de carga positivo, tem-se sobressinal de 38% e tempo de acomodação de 10

ms com tolerância de 2%.

• para o degrau de carga negativo, tem-se sobressinal de 28% e tempo de acomodação de 5



Essa estratégia se baseia em duas malhas associadas ao controle da corrente do indutor e

da tensão de saída. Utilizando o roteiro proposto na seção 2.6.5, bem como o diagrama de

blocos da Figura 2.30, podem-se considerar os parâmetros da Tabela 5.2 e adotar os passos

seguintes:


- Passo 1: Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto sem compensador

(FTLAsci(s)).

A função de transferência de laço aberto é representada pela equação (2.66), sendo

dependente de:

Ten

são

(V)

100

• função de transferência Gi(s), que relaciona a corrente do indutor com a razão cíclica do

conversor iL1(s)/d(s), dado pela equação (5.72);

• corrente de referência, dada pela expressão (5.94);

• função de transferência do sensor de corrente Hi(s) segundo (5.95);

• função de transferência do modulador PWM dada por Fm(s) em (2.58), sendo que a

amplitude da forma de onda portadora Vm é dada em (5.96).

• função de transferência para testar a robustez da malha de corrente He(s), definida por

(2.63) a (2.65).

5ArefI = (5.94)

0, 4545iH = (5.95)

10VmV = (5.96)

Assim, é possível obter o diagrama de Bode para a função transferência de laço aberto

não compensada FTLAscv(s) na Figura 5.13.

Figura 5.13 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAsci(s) do conversor SEPIC 3SSC em MCC para

projeto do controlador da malha de corrente média.

- Passo 2: Para eliminar os efeitos da comutação em alta frequência no sinal de controle, deve-

se escolher a frequência de cruzamento de ganho fci desejada de forma que seja menor ou

igual a um quarto da frequência de comutação do conversor, com isto, é escolhido o valor

referente a um sexto da frequência de comutação.

5kHzcif = (5.97)

-50

0

50

100

101 102 103 104 105 106-360

-180

0

180

360

540FTLASCi

Gi

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

101

- Passo 3: A margem de fase M requerida ao sistema compensado é dada por:

30M = ° (5.98)

- Passo 4: Para se obter o ganho do compensador, deve-se substituir o valor da frequência de

cruzamento em FTLAsci(s) e aplicar o resultado na expressão (2.60), obtendo-se assim (5.99).

2,6178G = (5.99)

- Passo 5: Encontrar o avanço de fase requerido para o controlador, o qual é determinado de

acordo com a expressão (2.61), sendo que P é a defasagem provocada pelo sistema definida

na análise do diagrama de fase da Figura 5.13 no ponto da frequência de corte. Assim, a

equação (5.100) fornece o avanço requerido.

90 68,75M Pα = − − ° = ° (5.100)

- Passo 6: Como o avanço de fase necessário é menor 90º, é recomendado o uso do

compensador tipo 2 [26].

- Passo 7: O fator kpara o compensador tipo 2 é calculado por (2.42). Assim, tem-se:

68,75

45 5,33182

k tg° = + ° =

(5.101)

- Passo 8: Os elementos do compensador tipo 2 são obtidos pelas expressões (2.43) a (2.45),

cujos valores são mostrados na Tabela 5.4.



Componente Valor

R1 1 kΩ

R2 2,71 kΩ

C1 62,55 nF

C2 2,28 nF

- Passo 9: Para traçar o diagrama de Bode do compensador, deve-se substituir os valores da

Tabela 5.4 na expressão (2.39), obtendo-se a função de transferência do compensador tipo 2

representada por (5.102) na Figura 5.14.

( ) 10 2 5

0,0001697 1

3,87 10 6,483 10i

sC s

s s− −

⋅ +=⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

(5.102)

102



corrente em modo corrente média para o





corrente média para o conversor SEPIC 3SSC em

MCC.

- Passo 10: Para traçar o diagrama de Bode da função de transferência de malha laço aberto

com compensação FTLAcci(s), deve-se utilizar a expressão (2.68), resultando na Figura 5.15.


5 kHzcif = (5.103)

30ºM = (5.104)



19,05 dB décadacfΔ = − (5.105)


- Passo 1: Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto sem compensador

(FTLAscv(s)), dada por (2.70), sendo dependendo: da função de transferência de malha fechada

da corrente, representado pela equação (2.69); do ganho do sensor da tensão de saída Hv(s); e

da função de transferência da tensão de saída em relação à corrente do indutor L1

Z(s)=vo(s)/iL1(s).

A tensão de referência Vref é atribuída em (5.106) e o ganho do sensor de tensão na saída

é dado em (5.107).

-50

0

50

100

101 102 103 104 105 106-90

-45

0

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

-50

0

50

100

101 102 103 104 105 1060

90

180

270

360

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

103

5 VrefV = (5.106)

5 100vH = (5.107)

Substituindo os valores da Tabela 5.2 e da Tabela 5.4 em (5.71) e em (2.69), obtém-se

então o diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto sem compensação

(FTLAscv(s)) na Figura 5.16.

- Passo 2: Para eliminar distorções na entrada e garantir uma malha de tensão mais lenta que a

malha de corrente, a frequência de cruzamento de ganho fcv pode ser escoliada como sendo

menor ou igual a 30 Hz. Logo, a frequência fcv é escolhida de acordo com (5.108).

25 Hzcvf = (5.108)

- Passo 3: A margem de fase M desejada é escolhida através da expressão (5.109).

90vM = ° (5.109)

- Passo 4: O valor do ganho do compensador deve ser obtido através do valor assumido pelo

ganho da função de transferência de laço aberto do conversor na frequência de cruzamento

escolhida, utilizando a equação (2.60), obtendo assim o valor do ganho (5.110).

0,9115vG = (5.110)

- Passo 5: O avanço de fase requerido para o controlador, é determinado de acordo com a

expressão (5.111).

90 4,393M Pα = − − ° = ° (5.111)

- Passo 6: Como o avanço de fase é menor que 90º, escolhe-se então o compensador tipo 2

[26].

- Passo 7: Utiliza-se a equação (2.42) para calcular o fator k para o compensador tipo 2. A

equação (5.112) apresenta o fator k a ser utilizado para este controlador.

4,393

tg 45 1,072

k° = + ° =

(5.112)

- Passo 8: Alocar os zeros e polos do compensador, dimensionando os componentes do

compensador, utilizando as equações (2.43) a (2.45), obtendo os resultados da Tabela 5.5.

104

Figura 5.16 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor SEPIC 3SSC em MCC para

projeto do controlador da malha de tensão.



Componente Valor

R1 1 kΩ

R2 6,4 kΩ

C1 1,07 µF

C2 6,48 µF

- Passo 9: Para obter o diagrama de Bode do compensador Cv(s), deve-se substituir os valores

da Tabela 5.5 na equação (2.39), sendo neste caso melhor representado por (5.113). Com isto,

representa-se o diagrama de Bode na Figura 5.17.

( ) 5 2

0,006874 1

4,446 10 0,007541v

sC s

s s−

⋅ +=⋅ ⋅ + ⋅

(5.113)

Nota-se que o controlador possui características bem próximas de um compensador do

tipo 1, uma vez que o valor de k é próximo da unidade e o avanço requerido pelo controlador

é pequeno.

- Passo 10: Finalmente, de posse todos os requisitos necessários para traçar o diagrama de

Bode da função de transferência de malha laço aberto com compensação FTLAccv(s), utiliza-se

a expressão (2.71) para obter a Figura 5.18.

-100

-50

0

50

102 104 106 108-270

-180

-90

0

FTLASCV

Gv

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

105



tensão em modo corrente média para o conversor

SEPIC 3SSC em MCC.


da malha externa com compensador (FTLAccv(s))

em modo corrente média para o conversor SEPIC

3SSC em MCC.


25 Hzcvf = (5.114)

90ºM = (5.115)



20,26 dB décadacfΔ = − (5.116)

- Passo 11: Realizando simulações com o software PSIM®, é possível verificar o desempenho

do projeto do sistema de controle em modo corrente para o conversor SEPIC 3SSC em MCC,

Assim, a resposta do sistema é representada na Figura 5.19 (a), que mostra o comportamento

da tensão de saída frente a degraus periódicos de carga, de 20 Ω para 40 Ω e vice-versa.

Por meio da análise minuciosa da Figura 5.19-(b), obtém-se os seguintes resultados para o

controle da tensão de saída:


28 ms com tolerância de 2%.

• para o degrau de carga negativo, tem sub-sinal de 26,7% e tempo de acomodação de 32


-40

-20

0

20

40

100 101 102 103-90

-89

-88

-87

-86

-85

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

-200

-150

-100

-50

0

50

102 104 106 108-360

-270

-180

-90

0

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

Figur

basea

mode

mesm

nesse

as ex

simu

pratic

os do

coma

proje

SEPI

mant

degra

estab

Ten

são

(V)

Cor

rent

e (A

)

(a) Forma

ra 5.19 – Com

CON5.5 -

A modela

ados na célu

elo do inter

mo que exi

e caso.

Ignorando

xpressões t

ulações real

camente so

ois modos d

ando dos int

De forma

eto do sistem

IC 3SSC. N

tendo a ten

aus de car

bilidade rela

de onda da te

mportamento

NSIDERAÇ

agem de p

ula de comu

rruptor PWM

ista uma m

o os elemen

teóricas são

lizadas com

obrepostos. A

de operação

terruptores

a semelhant

ma de contr

Nas duas situ

nsão de saí

rga. Porém,

ativa da ten

ensão de saíd

o do sistema d

em MCC

ÇÕES FINA

pequenos si

utação de tr

M proposto

maior compl

ntos parasita

o deduzidas

m o softwa

Assim, é po

o da 3SSC,

controlados

te ao capítu

role em mo

uações de c

ída constan

, no modo

nsão de saíd

da

de controle em

C diante de de

AIS

inais desen

rês estados

em [10] mo

lexidade as

as dos semi

s e compa

are PSIM®

ossível repr

ou seja, nã

s.

ulo anterior

odo tensão e

controle o s

nte diante d

o de tensão

da, devido

(b) Visualiza

m modo corre

egraus de car

nvolvida pa

em modo d

ostra-se um

sociada ao

condutores

radas com

®, sendo q

resentar o c

ão sobrepos

r, foram re

e em modo

istema foi c

da aplicaçã

o diminui-s

ao fato do

Ten

são

(V)

Cor

rent

e (A

)

ção detalhad

ente média do

rga.

ara o conv

de condução

a técnica sim

sistema, qu

para as fun

as curvas

que os diag

omportame

ição e sobre

ealizados o

corrente m

capaz de atu

ão de pertu

se a veloci

sistema ser

da da resposta

do conversor S

versor CC-C

o contínua u

mples, diret

ue é de qu

nções de tra

obtidas po

agramas de

ento do con

reposição do

desenvolvi

média para o

uar de form

urbações po

idade para

r de fase n

106

a do sistema

SEPIC 3SSC

CC SEPIC

utilizando o

ta e efetiva,

uarta ordem

ansferência,

or meio de

Bode são

nversor para

os sinais de

imento e o

o conversor

ma desejada,

or meio de

garantir a

ão mínima.

6

C

o

,

m

,

e

o

a

e

o

r

,

e

a

.

6.1 -

conv

mode

realiz

varre

realiz

médi

6.2 -

tamb

estru

modo

mais

utiliz

empr

CONSIDE

O desenvo

versor Zeta

elagem de

zados de fo

edura em fre

De forma

zado o proj

ia, verifican

MODELA

O convers

bém como u

utura pode tr

o similar ao

complexid

zação de qu

Aplicando

regando a c

MODE

ERAÇÕES

olvimento d

baseado na

pequenos

forma idênt

equência.

a ressaltar

eto do siste

ndo assim os

AGEM DE

sor Zeta clá

uma estrutur

rabalhar co

o conversor

dade se co

atro elemen

o a propried

élula B repr

Figura

ELAGEM D

S INICIAIS

deste capítu

a célula 3SS

sinais qua

ica ao proc

r a importân

ema de cont

s modelos e

PEQUENO

ssico pode-

ra dual do c

mo abaixad

SEPIC, o c

omparado a

ntos passivo

dade da inv

resentado n

Vi

L1

a 6.1 – Conve

CAPÍTUL

DO CONV

S

ulo é simila

SC do tipo

anto a val

cedimento

ncia das fu

trole do con

encontrados

OS SINAIS

-se ser visto

conversor SE

dora (D<0,5

conversor Z

aos convers

os em sua es

versão bilat

na Figura 2.1

C1

ersor Zeta 3S

LO 6

VERSOR C

ar aos capí

B operando

idação das

anterior uti

nções de tr

nversor em

s com a plan

S

o como um

EPIC [31]. D

5) ou como

eta é um sis

sores buck

strutura [1].

teral (Figur

14, tem-se a

L2

CO

D1 D2

S1

SC com inver

C-CC ZET

tulos 4 e 5

o em MCC

s funções d

ilizando o

ransferência

modo tensã

nta simulada

conversor b

Dependend

elevadora d

stema de qu

, boost e

a 2.12) no

a Figura 6.1

R+

-

S2

rsão bilateral

TA

5, abrangen

C. Tanto o p

de transfer

interruptor

as e exemp

ão e em mo

a.

buck-boost-

do da razão c

de tensão (D

uarta ordem

buck-boost

conversor

.

al.

107

ndo agora o

processo de

rências são

PWM e a

lificá-las, é

do corrente

buck [1] ou

cíclica, esta

D>0,5). De

m, possuindo

t, devido à

Zeta 3SSC

7

o

e

o

a

é

e

u

a

e

o

à

C

108

Considerando as resistências série dos elementos passivos do conversor, e aplicando o

modelo CA do interruptor PWM sem os elementos parasitas da Figura 4.2 para as duas

células de comutação de dois estados presentes na célula de três estados [6] na Figura 6.1,

tem-se a Figura 6.2.

Vi

L1L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1IC.d

D 1IC.d

Vd.dD__Vd.dD__ Vd.d

D__Vd.dD__

Figura 6.2 – Conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM.

Adotando como base o modelo da Figura 6.2, é possível obter as funções de

transferência de pequenos sinais empregando técnicas associadas às leis de circuitos elétricos.

Inicia-se com a análise CC, prosseguindo assim para análise CA.

6.2.1 - ANÁLISE CC

A análise CC do conversor Zeta 3SSC é realizada de maneira similar ao conversor

SEPIC, devendo-se adotar algumas considerações ao modelo CA do interruptor PWM

mostrado na Figura 6.2:



3. O indutor é representado apenas por sua respectiva resistência intrínseca;

4. A tensão de entrada é substituída pelo seu valor médio Vi;

Com isto, obtém-se o circuito da Figura 6.3, representando assim o conversor Zeta

3SSC associado ao modelo CC do interruptor PWM. Comparando-o com a Figura 4.4 e

Figura 5.3, que representam o modelo CC para o conversor SEPIC e Ćuk 3SSC

respectivamente, nota-se que os circuitos são idênticos, não havendo necessidade de refazer

os cálculos.

109

Vi

VO+

-

D 1 D 1

VT VT

Ic1 Ic2

Ic2.DIc1.D

R

Vap+

-

+

-+

-

RL2RL1

Figura 6.3 – Conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CC do interruptor PWM.

Logo, tem-se a corrente Ic, a tensão Vap e o ganho estático nas equações (6.1) a (6.3),

respectivamente.

( ) ( )( )2 2

2 12 1i

c

L L

V DI

R R D R D

− ⋅=⋅ + ⋅ − +

(6.1)

( ) ( )

( ) ( )2

2 22 1

1

1i L

ap

L L

V R R DV

R R D R D

− ⋅ + ⋅ −=

+ ⋅ − + (6.2)

( )

( ) ( )2 22 1

1

1o

i L L

R D DV

V R R D R D

⋅ ⋅ −=

+ ⋅ − + ⋅ (6.3)

6.2.2 - ANÁLISE CA

As funções de transferência vo(s)/vi(s), vo(s)/d(s), Zo(s), Zi(s), vo(s)/iL1(s) e iL1(s)/d(s) são

determinadas através da análise do comportamento CA do conversor Zeta 3SSC em relação à

Figura 6.2. O desenvolvimento matemático necessário é apresentado na sequência.


Para análise da função de transferência da tensão de saída frente a pequenas

perturbações na tensão de entrada (vo(s)/vi(s)), deve-se considerar:

• Razão cíclica constante, d=0, e;

• Tensão de entrada sofrendo pequenas perturbações ( )ˆi i iv V v= + .

110

Aplicando as condições representadas acima na Figura 6.2, obtém-se o circuito

representado na Figura 6.4.

vT

+

-

+

-

+

-

+

-

vT

+

-

+

-

vO

ic2ic1

D.ic2 D.ic1

v2 v1

v1 + vo

L1L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1 D 1

vi

Figura 6.4 – Conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a obtenção de

vo(s)/vi(s).


1 2c c ci i i= = (6.4)

Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes no nó com potencial v1, obtém-se:

1 2

2 2

01

o o

LCo

o

v v v v

R L s RRC s

−− − + =⋅ ++

⋅

(6.5)

De forma semelhante para o nó com potencial v2, tem-se:

2 2 1

1 1 2 2

2 0ic

L L

v v v vi

L s R L s R

− −+ + ⋅ =⋅ + ⋅ +

(6.6)

Finalmente para o nó (v1+vo), chega-se a:

( )1

11

2 1 01 1

o o o ic

Co Co

v v v v vi D

R R RC s C s

+ −+ + − ⋅ ⋅ − =+ +

⋅ ⋅

(6.7)

Para a relação de espiras dos dois transformadores do modelo do interruptor, tem-se

(6.8) e (6.9).

( ) ( ) ( )2 1

1T o

o

v v v vv v

D

− − += − + (6.8)

( ) ( ) ( )2 1

1T o

o

v v v vv v

D

+ − += − + (6.9)

111



entrada como sendo dada por (6.10).

( ) ( )2

1 1 1

4 3 20 1 2 3 4

1 1( )

( )O COo

i

D R C R s C L s s Dv s

v s s s s s

βα α α α α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + −=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (6.10)

sendo:

( )0 1 1 2O COC C L L R Rα = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (6.11)

( ) 1 1 1 2 5 1O CO COC L L C R R L R Rα α= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ (6.12)

( ) ( )222 1 1 2 1 6 7 8 1L LC L R R R D Dα α α α= ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ − (6.13)

( ) ( )2 23 10 11 1 1 21 L LD D C R R Rα α α= ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + (6.14)

( ) ( )2 24 2 11L LR R D D Rα = + ⋅ − + ⋅ (6.15)

( ) ( )2 25 2 1 1 1 2 11C L L CL R D R L R D Rα = ⋅ ⋅ − + + ⋅ + ⋅ (6.16)

( )6 2 2 2O L CO CO LL C R R R R Rα = + ⋅ ⋅ + ⋅ + (6.17)


( )8 1 2 1 2 1 9C O COC L R C L R R Cα α= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ (6.19)

( )9 1 2 2C CO L CO LR R R R R Rα = ⋅ ⋅ + + ⋅ (6.20)

( ) ( )10 1 1 2 2 2 2C L O CO L CO LC R R R C R R R R R Lα = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ + (6.21)

( )11 1 1 1 1L O CO CR C R R C R Lα = ⋅ ⋅ + + ⋅ + (6.22)

( )1 1 1 1 1L CC R R Dβ = ⋅ + ⋅ − (6.23)


A função de transferência da tensão de saída em relação à razão cíclica é determinada

através da análise do conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM na

Figura 6.2, assumindo que a tensão de entrada deve ser constante ( )ˆ 0iv = e a razão cíclica

sofre pequenas perturbações ( )ˆd D d= + .

Utilizando a Figura 6.2 e as condições supracitadas, obtém-se a Figura 6.5 para a

112

determinação de vo(s)/d(s).

L1 L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1IC.d

Vd.dD__Vd.dD__

D 1IC.d

vT

+

-

+

-

+

-

+

-

vT

+

-

+

-

vO

ic2ic1

D.ic2 D.ic1

v2 v1

v1 + vo

Vd.dD__Vd.dD__

Figura 6.5 – Conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM para a obtenção de

vo(s)/d(s).

Através da análise da análise CC do conversor, nota-se que as correntes no ponto

comum dos dois interruptores são iguais. Logo, a expressão (6.24) torna-se verdadeira.

1 2c c cI I I= = (6.24)

Estendendo esta análise para a diferença de potencial entre os terminais a e p dos dois

interruptores, a expressão (6.25) também torna-se verdadeira.

implica1 2 1 2ap ap ap D D DV V V V V V= = ⎯⎯⎯→ = = (6.25)


1 1c c ci i i= = (6.26)

Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes para:

• nó com potencial v1:

1 2

2 2

01

o o

LCo

o

v v v v

R L s RRC s

−− − + =⋅ ++

⋅

(6.27)

• nó com potencial v2:

2 2 1

1 1 2 2

2 0cL L

v v vi

L s R L s R

−+ + ⋅ =⋅ + ⋅ +

(6.28)

• nó com potencial (v1+vo):

113

( )1

11

2 1 2 01 1

o o oc c

Co Co

v v v vi D I d

R R RC s C s

++ + + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ =+ +

⋅ ⋅

(6.29)

Pela relação de espiras dos dois transformadores do modelo do interruptor, tem-se

(6.30) e (6.31).

( ) ( ) ( )2 1

1T o D

o

v v v v Vd v v

D D

− − += ⋅ − + (6.30)

( ) ( ) ( )2 1

1T o D

o

v v v v Vd v v

D D

+ − += ⋅ − + (6.31)


interruptor PWM, deve-se analisar o circuito da Figura 6.3, obtendo as seguintes expressões:

( ) ( )

( ) ( )2

2 1

2 2

1

1

i L

D

L L

V R R DV

R R D R D

− ⋅ + ⋅ −=

+ ⋅ − + (6.32)

( ) ( )

2 1

2 22 1i

c

L L

V DI

R R D R D

− ⋅= ⋅ + ⋅ − +

(6.33)

Organizando as expressões anteriores e após algumas manipulações algébricas, obtém-

se a função de transferência da tensão de saída em relação à razão cíclica em (6.34).

( ) ( )2

1 1 1 2 3

4 3 20 1 2 3 4

1( )

( )d CO Oo

k s R C C L s sv s

d s s s s s


⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (6.34)

Os termos auxiliares do denominador são dados pelas equações (6.11) a (6.22),

enquanto os termos do numerador são dados por:

( ) ( )2 2

2 11i

d

L L

R Vk

R R D D R

⋅=+ ⋅ − + ⋅

(6.35)

( ) ( ) 21 2 11L CR R D D Rχ = + ⋅ − − ⋅ (6.36)

( ) ( )222 1 1 1 1 2 1 11C C L LD L C R R R R D Rχ χ = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ (6.37)

( ) ( )2 23 2 11L LR R D R Dχ = + ⋅ − − ⋅ (6.38)

114

6.2.2.3 - DETERMINAÇÃO DA IMPEDÂNCIA DE ENTRADA Zi(s)

A função de transferência da impedância de entrada Zi(s), a qual relaciona a tensão de

entrada e a corrente de entrada, é determinada através da análise do conversor Zeta 3SSC

considerando:

• Razão cíclica constante (d=0), e;

• Tensão de entrada sofrendo pequenas perturbações ( )ˆi i iv V v= + .

Logo, utiliza-se o mesmo circuito da análise vo(s)/vi(s) da Figura 6.4.

Para a corrente de entrada do circuito, tem-se:

2i ci D i= ⋅ ⋅ (6.39)

Substituindo em (6.39) as expressões encontradas na modelagem de vo(s)/vi(s) e

organizando o resultado, tem-se em (6.40) a impedância de entrada do sistema. Os parâmetros

do numerador são definidos pelas equações (6.11) a (6.22), enquanto os termos do numerador

são definidos por (6.40) a (6.43).

4 3 2

0 1 2 3 43 2 2

0 1 3

( )

( )i

i

v s s s s s

i s s s s D

α α α α αδ δ δ

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +=⋅ + ⋅ + ⋅ +

(6.40)

( ) ( ) 20 1 1 2O COC C L L R R Dδ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ (6.41)

( ) ( ) 21 1 1 2 1 1 2O CO C L L COC D L L C R R R R R R Rδ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + (6.42)

( ) ( )22 1 1 2 1L L C O COD C R R R R C R Rδ = ⋅ ⋅ + + + + ⋅ + (6.43)

6.2.2.4 - DETERMINAÇÃO DA IMPEDÂNCIA DE SAÍDA Zo(s)

Para determinar a impedância de saída Zo(s) como a relação entre a tensão e a corrente

de saída, considera-se um curto-circuito nas fontes de tensão e as fontes de corrente como

sendo um circuito aberto, como mostra a Figura 6.6.

115

vg

ig

L1 L2

R

C1

Co

RCO

RC1

RL2RL1

D 1 D 1

vT

+

-

+

-

+

-

+

-

vT

ic2ic1

D.ic2 D.ic1

v2 v1

v1 + vg

Figura 6.6 – Circuito equivalente do conversor Zeta 3SSC associado ao modelo CA do interruptor PWM

com as fontes de tensão em curto-circuito e fontes de corrente em circuito aberto para a obtenção de Zo(s).

Analisando o funcionamento do transformador vT, tem-se a expressão (6.44).

1 2c c ci i i= = (6.44)

Aplicando a lei de Kirchhoff dos nós para o ponto com potencial v1, obtém-se:

1 2

2 2

01

g gg

LCo

o

v v v vi

R L s RRC s

−− − + + =⋅ ++

⋅

(6.45)

Para o nó com potencial v2, tem-se:

2 2 1

1 1 2 2

2 0cL L

v v vi

L s R L s R

−+ + ⋅ =⋅ + ⋅ +

(6.46)

Agora, para o nó com potencial (v1+vo), chega-se a:

( )1

11

2 1 01 1

g g gc g

Co Co

v v v vi D i

R R RC s C s

++ + − ⋅ ⋅ − − =

+ +⋅ ⋅

(6.47)

As relações de espiras dos dois transformadores do interruptor PWM são dadas em

(6.48) e (6.49).

( ) ( ) ( )2 1

1

T g

g

v v v vv v

D

− − += − + (6.48)

( ) ( ) ( )2 1

1

T g

g

v v v vv v

D

+ − += − + (6.49)

Realizando as devidas manipulações, chega-se a:

116

( ) ( )3 2

1 1 2 1 2 3

4 3 20 1 2 3 4

1( )

( )O COo

o

R C R s C L L s s sv s

i s s s s s


⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (6.50)

Ressalta-se que os termos auxiliares do denominador estão definidos em (6.11) a (6.22),

enquanto os termos do numerador são dados por (6.51) a (6.53).

( ) ( )2 21 1 2 1 1 2 1 2 11C L C LC L R D L R R D L Rε = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ (6.51)

( ) ( ) ( )2 22 22 1 2 1 1 2 1 2 11 1C L L L CD L L D C R R D R R R Dε = ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ (6.52)

( )2 23 2 11L LR D D Rε = ⋅ − + ⋅ (6.53)


Para determinar a função de transferência da tensão de saída em relação à corrente no

indutor L1, deve-se considerar que a corrente do indutor sofre pequenas perturbações oriundas

somente das perturbações da fonte de tensão da entrada. Logo, a estrutura de circuito

resultante é similar àquela utilizada para determinar vo(s)/vi(s) na Figura 6.4. Determinando a

corrente do indutor L1, tem-se a equação (6.54).

21

1 1

iL

L

v vi

L s R

−=⋅ +

(6.54)

Substituindo em (6.54) as expressões encontradas na modelagem vo(s)/vi(s) e com as

devidas manipulações algébricas, tem-se (6.55).

( ) ( )2

1 1 1

3 21 0 1 2

1 1( )

( )O COO

L

R C R s C L s s Dv s

i s s s s D

βϕ ϕ ϕ

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + −=

⋅ + ⋅ + ⋅ + (6.55)

sendo:

( )0 1 2O COC C L R Rϕ = ⋅ ⋅ ⋅ + (6.56)

( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1O CO L C L C COC L C R R R D R R D R Rϕ = ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ (6.57)

( ) ( )2 1 2 1L C O COC R R D R C D R Rϕ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + (6.58)


Para determinar a função de transferência da corrente no indutor em relação à razão

cíclic

cíclic

Figur

realiz

dada

(6.69

6.3 -

ZET

mane

funçõ

dedu

ca (iL(s)/d(s

ca. Logo, o

ra 6.5. Dete

Substituin

zando as de

a em (6.60).

As variáve

9).

5φ =

VALIDAÇ

TA EM MC

Realiza-se

eira idêntic

ões de tran

uzidas na seç

s)), deve-se

circuito é a

erminando a

ndo as exp

evidas man

Li

d

eis auxiliare

1φ

(2OC L R= ⋅ ⋅

6φ =

φ

8φ =

ÇÃO DA M

CC

e a varredu

ca ao reali

nsferência

ção anterior

considerar p

análogo aqu

a corrente d

pressões en

ipulações, a

1

0

( )

( )idL

ks

d s sα=

⋅

es se encont

(idkR

=

1 OC C L= ⋅ ⋅

2 Dφ =

3φ =

φ

)COR R C+ +

2 OL C R+ ⋅

7 2 OL Cφ = +

(1 LC R R= ⋅ +

MODELAG

ura em freq

zado nos c

vo(s)/vi(s),

r.

pequenas p

uele ao util

do indutor L

11

L

vi

L s

−=⋅

ncontradas

a relação da

( 31

4 31

d s

s s

φ φα

⋅ ⋅ ++ ⋅ +

ntram expres

() (2

1

1i

L

V

R R

⋅

+ ⋅ −

( )2 COL R R⋅ +

(5 1D Cφ⋅ + ⋅

(7D Rφ= ⋅ +

(4 2 D Rφ = ⋅ ⋅

1 1C OC R C⋅ ⋅

(COR R D⋅ + ⋅

2O CO LR R⋅ ⋅

2 2L CD R+ ⋅ ⋅

GEM DE

quência par

capítulos a

vo(s)/d(s),

erturbações

izado para

L1, tem-se a

2

1L

v

R+

na modela

a corrente d

22 3

22 3

s s

s

φ φα α⋅ + ⋅

+ ⋅ +

ssas pelas e

))2

1

1

L

D

D R

−

− + ⋅

) ( 2LR R⋅ + +

( )2 6LR R φ+ ⋅

)2 8LR R φ+ ⋅

)2LR R+

(2L COR R⋅ ⋅

)1 2C LR R⋅ + ⋅

(2 COR R+ ⋅ +

)1C OC D+ ⋅

PEQUENO

ra o proce

anteriores, v

vo(s)/io(s),

s na corrente

determinar

equação (6.

agem de vo

do indutor L

)4

4s

φα

+⋅ +

quações (6.

2D

)1CR D+ ⋅

6φ

)R R R+ + ⋅

( )COR R+

)2LR+

( )COR R⋅ +

OS SINAIS

sso de vali

verificando

vi(s)/ii(s),

e do indutor

o vo(s)/d(s)

.59).

o(s)/d(s) em

L1 pela razã

.11) a (6.22

2COR L+

S DO CON

idação do

o a represe

vo(s)/iL(s)

117

r e na razão

) segundo a

(6.59)

m (6.59) e

ão cíclica é

(6.60)

2) e (6.61) a

(6.61)

(6.62)

(6.63)

(6.64)

(6.65)

(6.66)

(6.67)

(6.68)

(6.69)

NVERSOR

modelo de

entação das

e iL(s)/d(s)

7

o

a

)

e

é

)

a

)

)

)

)

)

)

)

)

)

R

e

s

)

118

A validação analisar também o comportamento nas duas regiões de operação:

sobreposição e sobreposição. É importante destacar que este trabalho é dedicado à validação

através do software PSIM®, mas não experimentalmente.

6.3.1 - OPERAÇÃO EM MODO DE NÃO SOBREPOSIÇÃO (D<0,5)

Como não existe procedimento de projeto na literatura para o conversor Zeta 3SSC, o

conversor é simulado segundo o ponto de operação arbitrário definido na Tabela 6.1.

Tabela 6.1 – Parâmetros do conversor Zeta 3SSC operando em modo de não sobreposição (D<0,5).

Parâmetro Valor








∆IL2=2 A


∆VCo=0,5 V

Capacitância de saída, C0 Co=25 µF






Os diagramas de Bode das funções de transferência para o modelo teórico e o conversor

simulado para o ponto de operação em modo de não sobreposição (D<0,5) definido na Tabela

6.1 são apresentados na Figura 6.7 (a) a (f). Destaca-se que a curvas teóricas apresentam

comportamento praticamente idêntico àquele obtido por simulação com o software PSIM®.

119



(e) vo(s)/iL(s) (f) iL(s)/d(s) Figura 6.7 – Diagramas de Bode de ganho e fase do conversor Zeta 3SSC operando em modo de não

sobreposição.

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

120


De maneira semelhante ao modo de não sobreposição (D<0,5), o modo de sobreposição

(D>0,5) utiliza a Tabela 6.2, a qual estabelece o ponto de operação arbitrário para o

conversor.

Tabela 6.2 – Parâmetros do conversor Zeta 3SSC operando em modo de sobreposição (D>0,5).

Parâmetro Valor








∆IL2=2 A


∆VCo=1,5 V



Indutância L1 L1=1,3 mH

Indutância L2 L2=1,3 mH



Analisando os diagramas de Bode da Figura 6.8 (a) a (f), novamente pode-se concluir

que o modelo de pequenos sinais teórico fornece uma representação fiel do conversor em

modo de sobreposição conforme o ponto de operação da Tabela 6.2, sendo as curvas teóricas

aproximadamente iguais às obtidas por simulação. Portanto, pode-se inferir que o modelo

teórico obtido para conversor Zeta 3SSC em MCC é válido para toda a faixa de variação da

razão cíclica (0≤D≤1).

Fi

6.4 -

com

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)A

mpl

itude

(dB

)F

ase

(°)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

igura 6.8 – Di

PROJETO

Nesta seçã

controle em

(a) vo(s)/vi(

(c) vi(s)/ii(s

(e) vo(s)/iL(siagramas de

O DO SIST

ão, é projet

m modo tens

(s)

s)

s) Bode de ganh

TEMA DE C

tado para o

são e modo

ho e fase do c

CONTROL

conversor

corrente m

conversor Zet

LE

Zeta 3SSC

média utilizan

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)A

mpl

itude

(dB

)F

ase

(°)

Am

plitu

de (

dB)

Fas

e (°

)

(b) vo(s

(d) vo(s

(f) iL(sta 3SSC em m

em modo

ndo o métod

s)/d(s)

s)/io(s)

s)/d(s) modo de sobr

de conduçã

do do fator

121

reposição.

ão contínua

k.

1

a

122

No intuito de verificar a robustez do sistema de controle, é analisado o comportamento

da tensão de saída em relação a variação periódica da carga de 100% para 50% da potência

nominal e vice-versa.

6.4.1 - CONTROLE EM MODO TENSÃO

Utilizando a estratégia de controle da Figura 2.29 juntamente o roteiro relatado em 2.6.4

e os parâmetros do conversor dadas pela Tabela 6.1 para o controle em modo tensão, tem-se

os passos descritos a seguir.

A função de transferência Gv(s) é definida para o conversor Zeta 3SSC em MCC através

de (6.34) e representada com os parâmetros definidos na Tabela 6.1 em (6.70), sendo esta

equação de extrema importância para a função transferência de laço aberto FTLAscv(s). Os

outros parâmetros essenciais para FTLAscv(s) encontram-se na Tabela 6.3.

( ) ( ) ( )( ) ( )

6 2 8

2 4 8 2 8

7166 4 10 3923 1,92 10

1,3 10 1,52 10 3003 1,62 10V

s s sG s

s s s s

⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅=

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ (6.70)

Tabela 6.3 – Parâmetros da malha de controle em modo tensão para o conversor Zeta 3SSC em MCC.



Tensão de referência Vref=5 V





Fator k k=1,1

Substituindo as equações os dados da Tabela 6.3 em (2.57) a (2.59) pode-se obter o

diagrama de Bode para a função transferência de laço aberto sem compensação FTLAscv(s),

representado pela Figura 6.9.

Conforme visto na Tabela 6.3, a frequência de cruzamento em malha aberta fcv é

geralmente escolhida com uma limitação máxima de um quarto da frequência de comutação.

Como o sistema do conversor apresenta um pequeno pico de ressonância próximo a 2 kHz,

123

escolhe-se uma frequência que se distância deste ponto, caso contrário isso pode levar o

sistema a instabilidade. Ressalta-se também que quando o avanço de fase necessário é

próximo de 0º, é utilizado o compensador tipo 1 [26].

Figura 6.9 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor Zeta 3SSC em MCC para


De forma a garantir as especificações na Tabela 6.3, são dimensionados os elementos do

compensador tipo 1 através da expressão (2.38), cujos componentes são especificados na

Tabela 6.4.

Tabela 6.4 – Elementos do circuito do compensador em modo tensão para o conversor Zeta 3SSC em

MCC.

Componente Valor

R1 1 kΩ

C1 7,12 µF

Substituindo os valores da Tabela 6.4 na expressão (2.36), obtém-se a função de

transferência do compensador tipo 1 em (6.71). A Figura 6.10 representa o diagrama de Bode

do controlador.

( ) 3

1

7,122 10vC ss−=

⋅ (6.71)

Utilizando a expressão (2.59), é possível traçar o diagrama de Bode de ganho e fase da

função de transferência de laço aberto compensada FTLAccv(s) na Figura 6.11.

-150

-100

-50

0

50

102 104 106-180

0

180

360FTLASCV

Gv

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

124


do compensador em modo tensão para o

conversor Zeta 3SSC em MCC.



tensão compensada (FTLAccv(s)) em modo tensão

para o conversor Zeta 3SSC em MCC.


50 Hzcf = (6.72)

87,8ºM = (6.73)



19,8 dB décadacfΔ = − (6.74)

Averiguando o desempenho do sistema controlado, o qual é realizado utilizando o

software PSIM®, tem-se a resposta representada pela Figura 6.12 (a), que mostra o

comportamento da tensão de saída frente a degraus periódicos de carga, de 20 Ω para 40 Ω e

vice-versa.

Analisando detalhadamente a Figura 6.12-(b), obtém-se os seguintes resultados:

• Para o degrau de carga positivo, tem-se sobressinal de 40% e tempo de acomodação de


• Para o degrau de carga negativo, tem-se sub-sinal de 28% e tempo de acomodação de


10

20

30

40

10-1 100-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

-300

-200

-100

0

100

102 104 106-360

0

360

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

125


Figura 6.12 – Comportamento do sistema de controle em modo tensão do conversor Zeta 3SSC em MCC

diante de degraus de carga.


Utilizando o roteiro proposto na seção 2.6.5 juntamente com o diagrama da Figura 2.30,

é realizado o projeto do sistema em duas etapas: a malha interna tem por objetivo controlar a

corrente do indutor, enquanto a malha externa controla a tensão de saída. Assumindo os

parâmetros do conversor na Tabela 6.2, adotam-se os passos seguintes.


A função de transferência de laço aberto sem compensador (FTLAsci(s)) é representada

pela equação (2.66), sendo dependente de:

• Função de transferência Gi(s), que relaciona a corrente do indutor com a razão cíclica do

conversor iL1(s)/d(s) segundo a equação (6.60);

• Função de transferência do sensor de corrente Hi(s);

• Função de transferência do modulador de PWM Fm(s), segundo (2.58); e

• Função de transferência para testar a robustez da malha de corrente He(s), dada pelas

equações (2.63) a (2.65).

Os parâmetros necessários para obter a função de transferência de laço aberto sem

compensador (FTLAsci(s)) são definidos na Tabela 6.5, sendo que seu diagrama de Bode é

representado pela Figura 6.13.

Ten

são

(V)

Ten

são

(V)

126

O valor da frequência de cruzamento definido na Tabela 6.5 é escolhido de forma que

seja menor ou igual a um quarto da frequência de comutação do conversor evitando assim os

efeitos da comutação em alta frequência. Os valores da margem de fase M do sistema e

requerido pelo compensador também são definidos na Tabela 6.5. Ressalta-se que quando o

avanço de fase necessário é menor que 90º, é recomendado o uso do compensador tipo 2 [26].

Tabela 6.5 – Parâmetros da malha interna de controle em modo corrente média para o conversor Zeta

3SSC em MCC.


Amplitude da forma de onda portadora Vm=10 V Corrente de referência Iref =5 A Função transferência do sensor de corrente Hi=0,3614 Frequência de cruzamento em zero fci= ,667 kHz Margem de fase Mi=30° Ganho requerido para o controlador G=4,1988 Avanço de fase necessário α=68,74° Fator k k=5,3289

Figura 6.13 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAsci(s) do conversor Zeta 3SSC em MCC para


Dimensionando os elementos do compensador de forma que as frequências do zero e

polo não nulo se distanciem em um fator k2 através das expressões (2.43) a (2.45), obtêm-se

os valores mostrados na Tabela 6.6.

-50

0

50

101 102 103 104 105 106-180

0

180

360FTLASCi

Gi

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

127



Componente Valor

R1 1 kΩ

R2 4,35 kΩ

C1 1,067 nF

C2 29,23 nF

Utilizando a expressão (2.39) e aplicando os valores definidos na Tabela 6.6, obtém-se a

função de transferência do compensador tipo 2 em (6.75), que possibilita a sua representação

na forma de diagrama do Bode na Figura 6.14.

( ) 10 2 5

0,0001272 1

1,357 10 3,03 10i

sC s

s s− −

⋅ +=⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

(6.75)

Por fim, utilizando a expressão (2.68), pode-se representar a função de transferência de

malha aberto com compensação FTLAcci(s) na forma do diagrama do Bode da Figura 6.15.

Nota-se que os parâmetros de frequência de cruzamento por zero e a margem de fase do

sistema são alcançados com êxito.


da função de transferência do compensador da

malha interna em modo corrente média para o





corrente média para o conversor Zeta 3SSC em

MCC.


6,667 kHzcif = (6.76)

30ºM = (6.77)

-20

0

20

40

60

Am

plit

ud

e (

dB

)

101 102 103 104 105 106-90

-45

0

Fa

se (

de

g)

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

128

Além disso, a taxa de crescimento em torno nova frequência de cruzamento de ganho


19,8 dB décadacfΔ = − (6.78)


A função de transferência de laço aberto sem compensador (FTLAscv(s)) expressa pela

equação (2.70) depende da tensão de referência e da função de transferência da tensão de

saída em relação à corrente do indutor Li (Z(s)=vo(s)/iL1(s)), dada por (6.55).

Os parâmetros restantes são definidos na Tabela 6.7, enquanto o respectivo diagrama de

Bode é representado pela Figura 6.16.

O valor da frequência de cruzamento definido na Tabela 6.7 é escolhido de forma que

seja menor ou igual a 30 Hz. Os valores da margem de fase M do sistema e requerido pelo

compensador também são definidas na Tabela 6.7. Ressalta-se que, quando o avanço é

próximo de 0º, é recomendado o uso do compensador tipo 1 [26].

Tabela 6.7 – Parâmetros da malha interna de controle em modo corrente média para o conversor Zeta

3SSC em MCC.



Função transferência do sensor de tensão Hv(s)=0,5





Fator k k=1,0

Utilizando a equação (2.42) para calcular o fator k para o compensador tipo 1 e

dimensionando os componentes do controlador, utilizando a equação (2.38), obtém-se os

resultados presentes na Tabela 6.8.

129

Figura 6.16 – Diagramas de Bode de ganho e fase de FTLAscv(s) do conversor Zeta 3SSC em MCC para




Componente Valor

R1 1 kΩ

C1 5,5 µF

O processo para obter o diagrama de Bode do compensador Cv(s) se inicia com a

substituição dos valores da Tabela 6.8 na equação (2.36), obtendo-se assim (6.79) e a Figura

6.17.

( ) 3

1

5,5 10vC sx s−=

⋅ (6.79)

Traçando agora o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberto com

compensação FTLAccv(s) por meio da expressão (2.71), obtém-se a Figura 6.18. De acordo

com a inspeção do diagrama de Bode, obtêm-se os seguintes parâmetros:

30 Hzcvf = (6.80)

88,1ºM = (6.81)

-100

-50

0

50

Am

plitu

de (

dB)

102 104 106 108-90

0

90

180

Fas

e (d

eg)

FTLASCV

Gv

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

130



20,34 dB décadacfΔ = − (6.82)


da função de transferência do compensador da

malha externa em modo corrente média para o




tensão compensada (FTLAccv(s)) em modo

corrente média para o conversor Zeta 3SSC em

MCC.

Através de simulações com o software PSIM®, é analisado o desempenho do

controlador, sendo que a Figura 6.19 (a) mostra a tensão de saída e a corrente no indutor L1

frente a degraus periódicos de carga, de 22,5 Ω para 45 Ω e vice-versa.

Analisando de forma mais minuciosa o comportamento da tensão de saída, Figura 6.19-

(b), obtém-se:


17 ms com tolerância de 2%.

• para o degrau de carga negativo, tem sub-sinal de 28% e tempo de acomodação de 24,7


10

20

30

40

50

10-1 100 101-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

-100

-50

0

50

101 102 103 104 105-180

-90

0

90

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

Figu

6.5 -

neste

teóric

pelo

dois

e pro

uma

mode

para

Ten

são

(V)

Cor

rent

e (A

)

(a) Forma

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CONSIDE

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131

a do sistema

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ntradas na

m validadas

1

o

s

s

s

o

o

a

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132

CAPÍTULO 7

CONCLUSÃO GERAL

Este trabalho apresentou a modelagem de pequenos sinais dos conversores CC-CC Ćuk,

SEPIC e Zeta não isolados baseados na célula de comutação de três estados (three-state

switching cell – 3SSC) operando no modo de condução contínua. Esta célula é composta

basicamente por: dois interruptores ativos, dois interruptores passivos e um

autotransformador, podendo ser entendida como a associação de duas células de comutação

de dois estados. Dentre suas principais características, tem-se a redução da corrente dos

interruptores pela metade; e a frequência nos elementos passivos é o dobro da frequência de

comutação dos interruptores, reduzindo as dimensões dos componentes magnéticos.

Partindo da premissa que a célula de três estados é composta por duas células de dois

estados, realizou-se a modelagem de pequenos sinais por meio do interruptor PWM [10],

substituindo cada célula pelo respectivo modelo do interruptor PWM. Constata-se que esta

metodologia é uma ferramenta simples, direta e eficaz para encontrar as funções de

transferências pertinentes a cada conversor, se comparada a outras técnicas utilizadas na

literatura, pois utilizado estritamente uma análise de circuitos elétricos. Verifica-se também

que as funções de transferência para os conversores 3SSC são idênticas aqueles dos

conversores CC-CC clássicos não isolados.

Verificando os resultados no processo de validação, pode-se afirmar que a técnica

proposta por Vorpérian na década de 1990 [10] é adequada para representar os conversores

baseados na célula de três estados. Isso se justifica uma vez que todas as funções de

transferências deduzidas são capazes de representar o comportamento de seus conversores

para os dois modos de operação da 3SSC: não sobreposição (0<D<0,5) e sobreposição

(0,5<D<1). Assim, as curvas dos diagramas de Bode obtidos por simulação são idênticas

àquelas fornecidas pelas expressões teóricas.

O projeto do sistema de controle em modo tensão para os três conversores somente é

possível estabelecendo uma frequência de cruzamento reduzida. Tal fato se deve à presença

de um zero no semiplano direito da função de transferência, caracterizando assim um sistema

de fase não mínima, o qual ao ser incitado com uma perturbação pode ocasionar uma resposta

oscilatória [32].

Os resultados obtidos para o projeto do sistema de controle em modo corrente média

para os três conversores mostram a atuação adequada dos controladores, com uma resposta

133

satisfatória da corrente do indutor e da tensão de saída, frente a perturbações por meio de

degraus de carga de forma rápida e não oscilatória.

Para possíveis continuações do trabalho, têm-se as seguintes sugestões:

• análises quantitativa e qualitativa dos conversores CC-CC Ćuk, SEPIC e Zeta 3SSC em

modo de condução contínua e descontínua;

• validação experimental dos modelos de pequenos sinais dos conversores 3SSC;

• utilização dos conversores supracitados como pré-reguladores de fator de potência;

• desenvolvimento da modelagem de pequenos sinais para todos os conversores CC-CC

não isolados baseados na 3SSC operando em MCD.

134

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