modelo pwm pequenos sinais

5/14/2018 Modelo PWM Pequenos Sinais - slidepdf.com

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIA DE AUTOMAÇÃO E SISTEMAS

Controle Digital de Conversores Estáticos

MODELO DE PEQUENOS SINAIS PARA MODULADORES

PWM

André Pires Nóbrega TahimVinícius Stramosk

Prof. Dr. Samir Ahmad Mussa

Florianópolis, 12 de janeiro de 2012.



Sumário

Lista de Figuras iii

Lista de Abreviaturas e Siglas iv

Lista de Símbolos 1

1 Análise de Pequenos Sinais de Moduladores PWM Uniformemente Amostrados 11.1 Moduladores PWM de Atualização Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Moduladores PWM de Atualização Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Validação dos Modelos de Pequenos Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . 6



Lista de Figuras

1.1 Estrutura de um modulador pulse width modulation (PWM) uniformemente

amostrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Modulação PWM com onda triangular dente de serra. . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Modulação PWM com onda triangular simétrica. . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Modulação PWM assimétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Modulação PWM simétrica com dupla atualização. . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Validação do modelo de pequenos sinais para triangular assimétrica . . . . 71.7 Validação do modelo de pequenos sinais para triangular simétrica . . . . . 7



Lista de Abreviaturas e SiglasPWM pulse width modulation

ZOH zero order hold



Capítulo 1Análise de Pequenos Sinais deModuladores PWM UniformementeAmostrados

Os moduladores por largura de pulso embutidos em processadores digitais de sinais

modernos operam de maneira similar. Se desconsiderarmos os efeitos de quantização, a

estrutura básica de um modulador PWM uniformemente amostrado é ilustrado na Fig. 1.1.

A entrada u(t) do modulador, uma função contínua do tempo, é amostrada a uma frequência

ws gerando uma amostra us que ao passar pelo zero order hold (ZOH) gera um sinal constante

da amostra uH por um período T s. O sinal modulado é gerado a partir da comparação do sinal

uH com o sinal de uma portadora triangular vc. O sinal resultante é periódico contendo um

pulso de amplitude constante, porém a largura do pulso é determinada pelo tempo em que

o sinal uH possui magnitude maior que a portadora triangular vc. Assim, a informação está

contida na largura do pulso e devido a essa característica tal modulação recebe o nome pulsewidth modulation.

Esse tipo de modulação é muito importante para transformar uma informação con-

tínua em uma informação que possa ser implementada em uma chave que possui apenas dois

estados, conduzindo ou interrompida. Dessa forma, uma informação de controle contínua é

a passada a uma chave estática por meio da modulação PWM indicando o tempo necessá-

rio que ela deve manter-se conduzindo ou interrompida. O modulador PWM pode ser visto

como uma interface entre os sinais contínuos de controle e o sinal que a chave consegue

lidar. Uma característica importante do modulador PWM é a capacidade de transferir essa

informação por meio de um sinal periódico, visto que a maioria dos circuitos de eletrônica de

potência possuem indutores que possuem uma indutância específica para uma determinada

frequência de operação.

Fig. 1.1: Estrutura de um modulador PWM uniformemente amostrado.



André P. N. Tahim

Vinícius Stramosk 2

O modulador PWM é uma estrutura completamente não-linear e isso dificulta qual-

quer análise e projeto de controladores lineares em eletrônica de potência. No entanto, se

linearizarmos o modulador PWM em torno de um ponto de operação e considerarmos que

os desvios relacionados a tal ponto são pequenos, pode-se considerar o PWM como uma

estrutura linear e obter uma função de transferência. Isso ajuda no projeto de controladores

lineares e na análise de estabilidade do sistema. Este trabalho visa obter um modelo de pe-

quenos sinais para os moduladores PWM mais conhecidos na literatura e verificar por meio

de simulação os modelos obtidos.

1.1 Moduladores PWM de Atualização Simples

Os moduladores PWM são classificados pelo formato da onda triangular e a quan-

tidade de atualizações do sinal uH em um período da portadora vc. Existem basicamente 4

moduladores de atualização simples, que significa que uH é atualizado apenas uma vez por

período da portadora vc. Estes podem ser classificados quanto ao formato da onda triangu-

lar: o dente de serra on-time, o dente de serra off-time, o simétrico on-time e o simétricooff-time.

Os moduladores PWM que possuem uma portadora com uma onda triangular dente-

de-serra são bem comuns devido a simplicidade na geração de tal onda. No entanto tal por-

tadora permite apenas uma atualização simples, visto que a atualização dupla pode provocar

duplo chaveamento em um período da portadora caso nenhum sistema de proteção de duplo

chaveamento seja implementado. Os moduladores dente de serra podem ser vistos na Fig.

1.2, em que em uma a atualização ocorre no início do período on-time e a outra no fim do

período on-time. Essa diferença é apenas dada pelo formato das ondas, mas as duas possuem

atualização simples com mesmo período.

(a) (b)

Fig. 1.2: Modulação PWM com onda triangular dente de serra com atualização simples. (a) Atualização no

início do on-time. (b) Atualização no fim do on-time.

Os moduladores PWM simétricos são ondas triangulares isósceles que podem ser

atualizadas tanto no período off-time quanto no on-time, como ilustrado na Fig. 1.3. Esse

formato de portadora possui a vantagem de ser possível a atualização dupla sem o perigo do

duplo chaveamento em um período da portadora.

Para obter um modelo generalizado para cada formato da onda triangular da por-

tadora, partiremos de uma portadora assimétrica como ilustrada na Fig. 1.4, em que existe

uma razão α que determina a inclinação de cada metade do período da portadora vc. Para

o caso em que α é 0, 1 e 12 , temos as portadoras dente de serra, dente de serra invertida e asimétrica respectivamente. Assim, utilizando o fator α pode-se analisar várias portadoras de

maneira unificada.



André P. N. Tahim


(a) (b)

Fig. 1.3: Modulação PWM com onda triangular simétrica com atualização simples. (a) Atualização no off-time.

(b) Atualização no on-time.

Fig. 1.4: Modulação PWM assimétrica.

A entrada do moduladoru(t) é separado em duas partes, uma de regime permanente

U e uma pequena excursão que ocorre sobreposto ao de regime permanente u(t).

u(t) = U + u(t) (1.1)

O sinal de regime permanente U representa o ponto de operação de valor constante indepen-

dente do tempo.

A entrada u(t) é então amostrada (consideramos neste trabalho o amostrador ideal)

a uma taxa T s gerando um sinal amostrado que contém a parte de regime permanente e a

excursão sobreposta. A parcela sobreposta amostrada pode ser obtida da seguinte forma:

u∗(t) = (u− U )∗(t) (1.2)

Esta amostra da pequena excursão (ver Fig. 1.4) pode ser aproximada por uma

função impulso de magnitude u(t) − U . O ZOH segura o valor da amostra por todo o



André P. N. Tahim


tempo T s até a próxima amostra resultando no sinal uH. O sinal uH ao ser comparado com a

portadora triangular gera o sinal de saída do PWM y(t), que também pode ser separado na

parte de regime permanente Y e em uma pequena excursão sobre o regime permanente y(t)

y(t) = Y + y(t) (1.3)

O sinal y(t) pode ser visto na Fig. 1.4 e é apenas a diferença entre o sinal PWM de

saída y(t) e o sinal de regime permanente Y , cuja largura de pulso é constante. Dessa forma,

o sinal y(t) é constituído de pulsos de curta duração, ou seja, quanto menor a amplitude

do sinal u(t) sobre o regime permanente, menores são a largura dos pulsos y(t) na saída.

Considerando que u(t) é de amplitude muito pequena, pode-se aproximar y(t) por impulsos

como ilustrado na Fig. 1.4. Assumindo que a saída y(t) para a entrada ao impulso u(t)pode ser aproximada por impulsos de amplitude igual ao inverso da inclinação da portadora,

tem-se (Fig. 1.4):

y(t) =T sα

V M δ(t−T 0) +

T s(1− α)

V M δ(t−

(T s−T 1)) (1.4)

Os valores de T 0 e T 1 representam os momentos em que o sinal PWM mudaria de

estado caso houvesse apenas o sinal de regime permanente, V M é o valor de pico da portadora

vc.

A saída resultante do modulador para apenas um impulso u∗(t) unitário é dada

por (1.4) e pode ser vista como a resposta ao impulso da parte do modulador PWM após a

amostragem, ou seja, no domínio de Laplace trata-se da função de transferência do ZOH e

do comparador. Esta função pode ser equacionada da seguinte forma:

H (s) =T s

V Mαe−sT

0 + (1−α)e

−s(T s−T

1)

(1.5)

A pequena excursão de entrada amostrada u∗(t) é constituída de um conjunto de

impulsos espaçados por períodos T s e pode ser representada pela equação

u∗(t) =+∞

n=−∞

u(t)δ(t− nT s), (1.6)

que no domínio de Laplace é dada por

U ∗(s) = 1T s

+∞k=−∞

U (s− jkωs). (1.7)

Assim, a saída do PWM no domínio de Laplace pode ser escrito como

Y (s) = H pwm(s)U ∗(s) (1.8)

=T s

V M

αe−sT 0 + (1 − α)e−s(T s−T 1)

U ∗(s) (1.9)

=T s

V M

αe−sT 0 + (1 − α)e−s(T s−T 1)

1

T s

+∞

k=−∞

U (s− jkωs) (1.10)

=1

V M

αe−sT 0 + (1 − α)e−s(T s−T 1)

+∞k=−∞

U (s− jkωs) (1.11)



André P. N. Tahim


Nota-se que o espectro de frequência da resposta são os múltiplos espectros de

frequência da entrada espaçadas de ωs. Se considerarmos apenas o espectro abaixo da

frequência de Nyquist na saída, a (1.11) pode ser aproximada por

Y (s) =1

V Mαe

−sT 0 + (1 − α)e−s(T s−T 1) U (s) (1.12)

Assim, obtém-se uma função de transferência unificada para diversos moduladores

PWM com atualização simples.

H pwm(s) =1

V M

αe−sT 0 + (1 − α)e−s(T s−T 1)

(1.13)

Podemos agora escolher adequadamente os valores de α, T 0 e T 1 para obter a função

de transferência de cada modulador.

1. Dente de serra - atualização no início do on-time (ver Fig. 1.2)

Para esse modulador α = 0, T 0 = 0 e T 1 = T s(1−D), dessa forma obtém-se a seguinte

função de transferência:

H pwm(s) =1

V Me−sDT s (1.14)

2. Dente de serra - atualização no fim do on-time (ver Fig. 1.2(b))

Para esse modulador α = 1, T 0 = T s(1−D) e T 1 = 0, dessa forma obtém-se a seguinte


H pwm(s) =1

V Me−sT s(1−D) (1.15)

3. Simétrico - atualização on-time (ver Fig. 1.3(b))Para esse modulador α = 1

2, T 0 = T 1 = T s(1−D)

2, dessa forma obtém-se a seguinte


H pwm(s) =1

2V M

e−s

T s(1−D)2 + e−s(

T s(1+D)2

)

(1.16)

4. Simétrico - atualização off-time (ver Fig. 1.3(a))

Esse modulador pode ser deduzido de maneira similar, porém com algumas modifi-

cações nas considerações iniciais do equacionamento, visto que considerou-se aqui a

atualização de uma onda assimétrica no momento on-time.

H pwm(s) =1

2V M

e−s

DT s2 + e−s

(2−D)T s2

(1.17)

1.2 Moduladores PWM de Atualização Dupla

Para o modulador com dupla atualização, como ilustrado na Fig. 1.5, a análise é

similar, no entanto o sinal de entrada u∗(t) é constituído de dois impulsos u∗(t) = u∗1(t) +u∗2(t).

u∗

1(t) =

+∞

n=−∞

u(t)δ(t−nT c) (1.18)

u∗2(t) =+∞

n=−∞

u(t)δ(t− nT c − T s) (1.19)



André P. N. Tahim


Fig. 1.5: Modulação PWM simétrica com dupla atualização.

Em que T c é o período da portadora (= 2T s).

Para cada impulso unitário de uma das entradas (u∗1(t) e u∗1(t)) uma saída corres-

pondente é gerada

y1(t) =T s

V Mδ(t− (1−D)T s) (1.20)

y2(t) =T s

V M(t)δ(t−DT s) (1.21)

Aplicando a transformada de laplace para a soma das saídas ao impulso unitário das

entradas, obtém-se a função de transferência do ZOH+comparador:

H (s) = Y 1 + Y 2 =T s

V M

e−s(1−D)T sU ∗1 (s) + e−sDT sU ∗2 (s)

(1.22)

Substituindo a transformada de Laplace de U ∗1 (s) e U ∗2 (s) em (1.22) obtém-se a fun-

ção de transferência do modulador PWM com dupla atualização, que pode ser aproximado

por

H pwm(s) =1

2V M

e−sDT s + e−s(1−D)T s

(1.23)

1.3 Validação dos Modelos de Pequenos SinaisPara validar a correspondência entre o modelo de pequenos sinais descrito nas se-

ções anteriores utilizou-se a ferramenta PSIM para verificação dos atrasos e variação de

magnitude imposta por cada modulador PWM (simétrico e assimétrico). Para realizar tal

verificação um onda senoidal de pequena amplitude alimenta a entrada do modulador PWM

e tanto a entrada como a saída da modulação são filtradas por um filtro passa-baixas de

primeira ordem. Desta forma pode-se medir a variação da magnitude e fase imposta pelo

modulador PWM observando a senóide de entrada filtrada e a saída filtrada do PWM.

Nota-se que para pequenas amplitudes (pequenos sinais), o modelo é válido para

a utilização e previsão do atraso de fase imposta pelo modulador. Cabe ressaltar que omodulador assimétrico não provoca variação de magnitude e a escolha entre o begin-of-on-

time e end-of-on-time está relacionado com a razão cíclica nominal. Para razões cíclicas

menores que 0,5 o pwm assimétrico end-of-on-time produz menores atrasos, enquanto o

begin-of-on-time deve ser utilizado para razões cíclicas maiores que 0,5, como pode ser visto



André P. N. Tahim


(a) (b)

Fig. 1.6: Validação do modelo de pequenos sinais para triangular assimétrica com atualização simples. (a)

end-of-on-time. (b) begin-of-on-time.

(a) (b)

Fig. 1.7: Validação do modelo de pequenos sinais para triangular simétrica com atualização simples. (a)

Simétrica off-time. (b) Simétrica on-time.

na Fig. 1.6. Para os moduladores simétricos de atualização simples a magnitude também

depende do valor da razão cíclica, o simétrica on-time possui baixa variação de magnitude

para baixos valores de razão cíclica, enquanto o simétrica off-time para altos valores, como

pode ser visto na Fig. 1.7.

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