mini-curso de matematica.docx

CENTRO PAULA

SOUZA

Curso Técnico - Indústria

Mini-curso de Matemática

Manual do Aluno

Versão 1.0 – Jan/2013

Autor: Prof. Eng. Ariovaldo Sano


Sumário

Números Inteiros Relativos.............................................................................................................1

Números Opostos ou Simétricos.................................................................................................1

Valor Absoluto............................................................................................................................1

Operações com números Inteiros Relativos................................................................................1

Adição......................................................................................................................................1

Subtração.................................................................................................................................1

Expressões com números Inteiros Relativos...........................................................................1

Multiplicação...........................................................................................................................2

Multiplicação com mais de dois números Relativos...............................................................2

Divisão.....................................................................................................................................2

Múltiplos de um número..............................................................................................................2

Divisores de um número..............................................................................................................3

Mínimo Múltiplo Comum (mmc)................................................................................................3

Números Racionais..........................................................................................................................4

Conceito de fração.......................................................................................................................4

Simplificação de frações..............................................................................................................4

Redução de frações ao mesmo denominador..............................................................................4

Adição e subtração de frações.....................................................................................................5

Multiplicação de Frações.............................................................................................................5

Divisão de Frações Ordinárias.....................................................................................................5

Números Decimais..........................................................................................................................5

Transformação de fração decimal em número decimal...............................................................6

Operações com Números Decimais.............................................................................................6

Adição e Subtração..................................................................................................................6

Multiplicação...........................................................................................................................6

Divisão.....................................................................................................................................7

Razão...............................................................................................................................................7

Proporção.........................................................................................................................................7

Propriedade fundamental das proporções....................................................................................7

Grandezas proporcionais.............................................................................................................8

Grandezas diretamente proporcionais.....................................................................................8

Grandezas inversamente proporcionais...................................................................................8

Regra de Três...................................................................................................................................9

Regra de Três Simples.................................................................................................................9

Porcentagem..................................................................................................................................10


Potenciação....................................................................................................................................11

Casos Particulares......................................................................................................................11

Propriedades das Potências........................................................................................................11

Potências de 10..........................................................................................................................11

Radiciação.....................................................................................................................................12

Equações do 1º grau.......................................................................................................................12

Equações do 1º grau com uma variável.....................................................................................12

Equações do 1º grau com duas variáveis...................................................................................13

Sistema de equação de 1º grau com duas variáveis...................................................................14

Método de substituição..........................................................................................................14

Método da adição...................................................................................................................14

Trigonometria................................................................................................................................15

O triângulo retângulo.................................................................................................................15

Propriedades do triângulo retângulo......................................................................................16

Razões trigonométricas no triângulo retângulo.....................................................................16

Funções trigonométricas inversas..........................................................................................17

Funções trigonométricas na circunferência...............................................................................17

Arcos e ângulos.....................................................................................................................17

A circunferência trigonométrica............................................................................................17

Funções circulares.................................................................................................................18

Referências Bibliográficas.............................................................................................................21


Números Inteiros RelativosOs números negativos, reunidos com zero e com os números inteiros positivos, formam o conjunto dos números inteiros relativos, cujo conjunto é representado por Ζ.

Ζ = {........... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ..........}Obs.: O número zero (0) não é negativo nem positivo

Números Opostos ou SimétricosObserve:O oposto de + 1 é - 1O oposto de + 2 é - 1O oposto de + 3 é - 3 Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distância do zero.Obs: O oposto de zero é o próprio zero.

Valor AbsolutoValor absoluto de um número inteiro relativo é o número natural que o representa, sem o sinal.Exemplos:

Indicação:O valor absoluto de + 5 é 5 |+5| = 5O valor absoluto de - 5 é 5 |−5| = 5O valor absoluto de - 8 é 8 |−8| = 8Obs.: O valor absoluto de zero é zero

Operações com números Inteiros Relativos

Adição1) Adição de números positivos. Observe os exemplos:a) ( +2 ) + ( +5 ) = +7 b) ( +1 ) + ( +4 ) = +5 c) ( +6 ) + ( +3 ) = +9Verificando os resultados anteriores, podemos concluir que: A soma de dois números positivos é um número positivo.2) Adição de números negativos. Observe os exemplos:a) ( -2 ) + ( -3 ) = -5 b) ( -1 ) + ( -1 ) = -2 c) ( -7 ) + ( -2 ) = -9Verificando os resultados acima, podemos concluir que: A soma de dois números negativos é um número negativo.3) Adição de números com sinais diferentes. Observe os exemplos:a) ( +6 ) + ( -1 ) = +5 b) ( +2 ) + ( -5 ) = -3 c) ( -10) + ( +3) = -7Observe que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto.Conclusão: A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto.

SubtraçãoA subtração é uma operação inversa da adição. Exemplos:a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4 b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15 c) (+5) - (-2 ) = (+5) + (+2) = +7Conclusão: Para subtrairmos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o simétrico do segundo.

Expressões com números Inteiros RelativosLembre-se que os sinais de associação são eliminados, obedecendo à seguinte ordem:1º- Parênteses 2º- Colchetes 3º- ChavesExemplos:

1


1) +10 - (-4+6) = +10 - (+2) = +10 - 2 = +82) (+7-1) + (-3+1-5) = (+6) + (-7) = +6 -7 = -13) 10 + [-3+1-(-2+6)] = 10 + [-3+1-(+4)] = 10 + [-3+1-4] = 10 + [-6] = 10 - 6 = +4

MultiplicaçãoConsideremos os seguintes casos:1) Multiplicação de dois números positivos:a) (+5) . (+2) = +10 ( + ) . ( + ) = +b) (+3) . (+7) = +21 c) (+2) . (-8) = -16d) (-4) . (+6) = -24Conclusão: O produto de dois números positivos é um número positivo.2) Multiplicação de dois números negativos:a) (-3) . (-5) = +15 ( - ) . ( - ) = +b) (-8) . (-2) = +16Conclusão: O produto de dois números negativos é um número positivo.3) Multiplicação de dois números de sinais diferentes:a) (+3) . (-2) = -6 ( + ) . ( - ) = -b) (-5) . (+4) = -20 ( - ) . ( + ) = -Conclusão: O produto de dois números inteiros de sinais diferentes é um número negativo.

Multiplicação com mais de dois números RelativosMultiplicamos o primeiro número pelo segundo. O produto obtido pelo terceiro e, assim, sucessivamente, até o último fator.Exemplos:a) (+3) . (-2) . (+5) = (-6) . (+5) = -30b) (-5) . (+4) . (-9) = (-20) . (-9) = +180

DivisãoA divisão é a operação inversa da multiplicação. Observe:a) (+12) : (+4) = (+3) porque (+3) . (+4) = +12b) (-12) : (-4) = (+3) porque (+3) . (-4 ) = -12c) (+12) : (-4) = (-3 ) porque (-3 ) . (-4 ) = +12d) (-12 ) : (+4) = (-3 ) porque (-3) . (+4) = -12Divisão: (+) : (+) = + (-) : (-) = + (+) : (-) = - (-) : (+) = -Observações:1) A divisão nem sempre é possível em Z. Ex.: (+9) : (-2 ) = ( ∉ Z)2) O zero nunca pode ser divisor. Ex.: (+5) : 0 é impossível

Exercícios: Calcule:a) (+5) + (−3) − (+2)+(−1) =b) 10+{5− (−3+1)} =c) 23− {1+[5 − (+3− 2+1)]} =d) (+5 − 3) : (−1 + 3) =e) (−16 : − 8) . (+3 . − 4) =

Múltiplos de um númeroMúltiplo de um número natural é o produto desse número por um outro número natural qualquer.Exemplos: M (2) { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} = múltiplos do 2

M (5) { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} = múltiplos do 5Atenção: Zero é múltiplo de todos os números.

Qualquer número natural é múltiplo de si mesmo.O conjunto de múltiplos de um número é infinito.

2


Exercícios: Determine os seguintes múltiplos:1) M (3) = 2) M (7) =

Divisores de um númeroUm número é divisor de outro quando está contido neste outro certo número de vezes.Um número pode ter mais de um divisor. Por exemplo, os divisores do número 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, e 12.Atenção: Zero não é divisor de nenhum número.

Um é divisor de todos os números.

Mínimo Múltiplo Comum (mmc)Chama-se mmc de dois ou mais números ao menor dos múltiplos comuns a esses números e que seja diferente de zero.Exemplo: Consideremos os números 3, 4 e 6 e escrevamos alguns dos seus múltiplos. Teremos:M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...}M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...}M (6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 64, ...}Observamos que há elementos comuns entre esses três conjuntos. O menor elemento comum entre eles é o mmc. Portanto, o mmc (3, 4, 6) = 12, ou seja, 12 é o menor múltiplo comum entre 3, 4 e 6.Para determinar o mmc entre 2 ou mais números naturais maiores de uma forma mais prática, temos que primeiro rever o que é número primo. Número primo é todo número que possui somente dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo.Exemplos:

O número 5 é primo, porque tem apenas dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo (5). O número 13 é primo, porque tem apenas dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo (13). O número 9 não é primo, porque tem mais de 2 divisores: 1, 3 e 9.

Temos então que os primeiros números primos são: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...Agora temos que rever como efetuar a decomposição um número em números primos, a qual é feita através de divisões sucessivas por divisores primos.Exemplo:

Para decompor um número em seus fatores primos:1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;2º) Dividimos o quociente pelo seu menor divisor primo;3º) E assim sucessivamente, até encontrarmos o quociente 1.Finalmente, para determinar o m.m.c. entre 2 ou mais números, podemos utilizar o processo da decomposição simultânea (fatoração dos números ao mesmo tempo).Exemplo: Calcular o m.m.c. entre os números 14, 45 e 6.Solução: Decompondo os números em fatores primos, teremos:

3


Portanto: mmc (14, 45, 6) = 2 . 3 . 3 . 5 . 7 = 630Atenção: O mmc de números primos entre si é igual ao produto desses números.

Exercícios: Calcule o mmc entre os seguintes números:1) 4, 6, 12 2) 3, 8, 153) 12, 18, 244) 9, 12, 15, 20

Números RacionaisConsideremos a operação 4 / 5 = ? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números porque não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4. A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão, quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criou-se, então, o conjunto dos Números Racionais.

Número racional é todo aquele que é escrito na forma ab

, onde a e b são números inteiros e b é

diferente de zero. A seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais fracionários, também chamados de frações.

Conceito de fraçãoSe dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operação por uma fração.Veja:

A figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes. Representamos, então, assim: 23

e lemos dois terços (lê-se primeiro o número de cima e em seguida o número de baixo). O

número que fica embaixo indica em quantas partes o inteiro foi dividido, e chama-se denominador. O número que fica sobre o traço indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, e chama-se numerador.

Simplificação de fraçõesSimplificar uma fração significa transforma-la numa fração equivalente com os termos respectivamente menores. Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo número natural (diferente de 0 e de 1).Exemplo: Simplificar 8/16

Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que ela é irredutível ou que está na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si.

Redução de frações ao mesmo denominadorReduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o mesmo número para denominador.

4


Exemplo: As frações 1/2, 2/3 e 3/4 são equivalentes a 6/12, 8/12 e 9/12 respectivamente.Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos:1º) Calcula-se o mmc dos denominadores das frações que será o menor denominador comum.2º) Divide-se o mmc encontrado pelos denominadores das frações dadas.3º) Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador.Exemplo: Reduzir ao menor denominador comum as frações 1/2, 3/4, 7/6Solução:1º) mmc (2, 4, 6) = 12 é o denominador.2º) 12 : 2 = 6; 12 : 4 = 3; 12 : 6 = 23º)

Portanto, a resposta é 6/12, 9/12 e 14/12

Adição e subtração de fraçõesA soma ou diferença de duas frações é uma outra fração, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos":1º) As frações tem o mesmo denominador: Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador.Exemplo:

2º) As frações têm denominadores diferentes: Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procede-se como no 1º caso.Exemplo:

Multiplicação de FraçõesA multiplicação de duas ou mais frações é igual a uma outra fração, obtida da seguinte forma:O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetuá-la.Exemplos:

Divisão de Frações OrdináriasO quociente da divisão de duas frações é uma outra fração obtida da seguinte forma: Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda.Exemplo:

Exercícios: Efetue as seguintes operações:1)

2)

3)

Números DecimaisUma fração é decimal quando o seu denominador é o número 10 ou potência de 10.Exemplos: 5/10 (lê-se cinco décimos); 45/1000 (lê-se quarenta e cinco milésimos)

5


As frações decimais podem ser representadas através de uma notação decimal que é mais conhecida por "número decimal".Exemplos: 1/10 = 0,1 (lê-se um décimo); 1/100 = 0,01 (lê-se um centésimo)Essa representação decimal de um número fracionário obedece ao princípio da numeração decimal que diz: “Um algarismo escrito à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro”.

Milhar Centena Dezena Unidade Décimo Centésimo Milésimo1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Em um número decimal: Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a parte inteira. Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte decimal.

Exemplo:Parte inteira → 12,63 ← Parte decimal (lê-se doze inteiros e sessenta e três centésimos)Obs: 1- O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou suprimirmos zeros à

direita do último algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,5002- Todo número natural pode ser escrito na forma de número decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e zero (s) à sua direita. Exemplo: 34 = 34,000

Transformação de fração decimal em número decimalPara escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de "Número Decimal", escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.Exemplos: 25/10 = 2,5 43/1000 = 0,043 135/1000 = 0,135 2343/100 = 23,43

Operações com Números Decimais

Adição e SubtraçãoPara adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vírgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se fossem números naturais.Obs: Costuma-se completar as ordens decimais com zeros à direita do último algarismo.Exemplos:a) 3,97 + 47,502 = 51,472

b) 4,51 - 1,732 = 2,778

MultiplicaçãoPara multiplicar números decimais, procede-se da seguinte forma:1º) Multiplicam-se os números decimais, como se fossem naturais;2º) No produto, coloca-se a vírgula contando-se da direita para a esquerda, um número de ordens decimais igual à soma das ordens decimais dos fatores.Exemplo: 0,012 . 1,2 = 0,0144

Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se a vírgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador.Exemplos: 2,35 . 10 = 23,5 43,1 . 100 = 4310 0,3145 . 1000 = 314,5

6


Para multiplicar três ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante até o último fator.Exemplo: 0,2 . 0,51 . 0,12 = 0,01224

DivisãoPara efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos do seguinte modo:1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros;2) eliminamos as vírgulas;3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos.Atenção: Se a divisão não for exata, para continuá-la coloca-se um zero à direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no quociente.1º Exemplo: 3,927 : 2,31 = 1,7 2º Exemplo: 47,76 : 24 = 1,99

Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor.Exemplos: a) 47,235 : 10 = 4,7235 b) 58,4 : 100 = 0,584Exercícios: Calcule:1) 0,0125 . 100 =2) 235 : 1000 =3) 0,65 . 1000 = 4) 0,42 : 100 =

RazãoNa linguagem do dia a dia, costuma-se usar o termo razão com o mesmo significado da matemática, ou seja, da divisão indicada de dois números. Assim, tem-se, por exemplo:a) A quantidade de litros de álcool adicionado à gasolina está na razão de 1 para 4 ou (1/4). Isso

quer dizer que adiciona-se 1 litro de álcool a cada 4 litros de gasolina.b) Em cada 10 carros de um estacionamento, 6 são de marca X ou 10/6A partir da análise desses 2 tipos de situações, apresentamos a seguinte definição:Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo.Representa-se uma razão entre dois números a e b (b ≠ 0) por a/b ou a : b (lê-se: "a está para b").Exemplos:a) A razão entre os números 3 e 5 é 3/5 ou 3:5 (lê-se: "3 está para 5").b) A razão entre os números 1 e 10 é 1/10 ou 1:10 (lê-se: "1 está para 10").c) A razão entre os números 7 e 100 é 7/100 ou 7:100 (lê-se: "7 está para 100").

ProporçãoChama-se proporção à igualdade entre duas razões.De um modo genérico, representa-se uma proporção por umadas formas:

Lê-se "a está para b, assim como c está para d" (b ≠ 0 e d ≠ 0)

Propriedade fundamental das proporçõesObserve a proporção

e examine o que ocorre com os produtos dos termos do mesmo nome.produto dos meios = 8 . 9 e produto dos extremos = 6 . 12

Com isso, podemos concluir que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos (=72).

7


Se numa proporção, três termos forem conhecidos e um desconhecido pode-se determina-lo aplicando a propriedade fundamental das proporções.Exemplos: 1) na proporção determinar o valor de a.

tem-se: 6.a = 2.3 6.a = 6 a = 6 : 6 a = 12) Determinar o valor de x na proporção

Tem-se: 2.9 = 3.x 3.x = 2.9 3.x =18 x = 18 : 3 x = 6

Grandezas proporcionaisNa matemática, entende-se por GRANDEZA tudo que é suscetível de aumento ou diminuição. Duas ou mais grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionaisSuponhamos que um parafuso custe R$ 10,00 e observamos que, aumentando-se a quantidade de parafusos, aumentará o custo da quantidade, ou seja:1 parafuso custa R$ 10,00; 2 parafusos custam R$ 20,00; 3 parafusos custam R$ 30,00Diz-se que essas grandezas "quantidade de um produto" e "custo" são diretamente proporcionais porque ao dobro de uma corresponde o dobro da outra, ao triplo de uma, corresponde o triplo da outra e assim sucessivamente.Desse modo afirma-se que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

Grandezas inversamente proporcionaisSuponhamos que a distância entre duas cidades é de 240 Km e que um automóvel faz este percurso em 4 horas, a uma velocidade de 60 Km por hora (60 Km/h). Observemos que, aumentando-se a velocidade, diminuirá o tempo gasto no percurso, ou diminuindo a velocidade, aumentará o tempo.Exemplo: 30 Km/h gastará 8 h; 40 Km/h gastará 6 h; 60 Km/h gastará 4 hPode-se observar que essas grandezas "velocidade" e "tempo de percurso" são inversamente proporcionais porque, quando a velocidade duplica, o tempo se reduz à metade e assim por diante.Desse modo afirma-se que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui na mesma proporção.Para formar a proporção correspondente, deve-se considerar o inverso da razão relativa às grandezas inversamente proporcionais.Exemplo:

Velocidade Tempo Razões Proporção correspondente

a) 30 Km / h60 Km / h

8 h4 h

b) 40 Km / h60 Km / h

6 h4 h

Exercícios: Determine o valor de x nas proporções abaixo:1)

2)

8


3)

4)

Regra de TrêsUma regra de três é uma regra prática que permite resolver problemas através de proporções, envolvendo duas ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Uma regra de três é comumente classificada em simples ou composta. Em nosso curso vamos nos limitar a estudar apenas a Regra de Três Simples.

Regra de Três SimplesUma regra de três é simples quando envolve apenas duas grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.Para resolver uma regra de três simples, segue-se a seguinte orientação:

escrever, numa mesma linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem; escrever, numa mesma coluna, as grandezas de mesma espécie; determinar quais são as grandezas diretamente proporcionais ou inversamente

proporcionais; formar a proporção correspondente; resolver a equação obtida.

Obs: Ao formar a proporção, deve-se considerar o inverso da razão correspondente às grandezasinversamente proporcionais.Exemplos:a) Se três limas custam R$ 144,00, quanto se pagará por 7 limas iguais às primeiras?Para resolver o problema, procede-se assim:1º) Organizam-se as sucessões com elementos da mesma espécie. É comum organizar as sucessões verticalmente para depois calcular:

2º) Valendo-se do seguinte raciocínio: "se três limas custam R$ 144,00, aumentando as limas, aumentarão os cruzeiros, logo, a regra é simples.3º) A proporção correspondente será:

4º) De acordo com a propriedade fundamental das proporções, tem-se: 3⋅ x = 144 ⋅ 75º) Resolvendo a equação formada, tem-se: 3.x = 1008 x = 336Resposta: O preço das limas será R$ 336,00b) Um automóvel, em velocidade constante de 80 Km/h, percorre uma certa distância em 6 horas. Em quantas horas fará o mesmo percurso se diminuir a velocidade para 60 Km/h?Solução: As grandezas são inversamente proporcionais, pois, diminuindo a velocidade, aumentará o tempo de percurso. Daí escreve-se:

Logo, a proporção correspondente será:

Pela propriedade fundamental das proporções, tem-se: 60 . x = 6 . 80 x = 480/60 x = 8Resposta: O automóvel fará o percurso em 8 horas.

9


Vimos que a sucessão que contém ( x ) serve de base para saber se qualquer uma outra é direta ou inversa. Se é direta, recebe as setas no mesmo sentido e se inversa, em sentidos opostos.

Exercícios:1) Um automóvel percorreu em 5 h uma estrada de 325 Km. Na mesma velocidade, quantas

horas precisará para percorrer 520 Km?2) Um volante gira dando 180 rotações em 30 segundos. Em quantos segundos dará 120

rotações?3) 18 máquinas produzem 2.400 peças se trabalharem 8 horas. Quantas horas deverão trabalhar

36 máquinas iguais às primeiras para produzirem 7.200 peças?4) Dispondo de uma engrenagem de 60 mm de diâmetro com 30 dentes, determinar o diâmetro

que deve ter outra engrenagem com 12 dentes, a fim de utiliza-la numa transmissão.5) Uma polia de 20 mm de diâmetro tem de circunferência 62,8 mm. Qual é a circunferência de

outra com 50 mm de diâmetro?6) Uma bomba eleva 180 litros de água em 6 minutos. Quantos litros elevará em 1 hora e 15

minutos?7) Um automóvel gasta 6 litros de gasolina para percorrer 65 Km. Quantos litros gastará num

percurso de 910 Km?8) Nove pedreiros constroem uma casa em 8 dias, trabalhando 5 horas por dia. Em quantos dias

12 pedreiros, trabalhando 6 horas por dia, poderiam construir a mesma casa?

PorcentagemPara a expressão porcentagem ou "por cento" usamos o símbolo %. "Por cento" quer dizer uma determinada quantidade em cada cem. Por exemplos: 25% (lê-se 25 por cento) significa 25 partes em 100, ou seja, 25/100, que é o mesmo que 0,25. 60% (lê-se 60 por cento) significa 60 partes em 100, ou seja, 60/100, que é o mesmo que 0,60.Agora, como podemos calcular, por exemplo, 35% de 150? Para esse cálculo, você pode fazer com o seguinte método: 35/100 . 150 = 0,35 . 150 = 52,5Outro exemplo: 65% de 500 65/100 . 500 = 0,65 . 500 = 325E se agora quisermos fazer outro tipo de cálculo, como por exemplo o seguinte: O preço de um produto é R$ 250,00 à vista. Qual será o seu preço a prazo, com 15% de juros?Podemos resolver esse problema utilizando a regra de três simples estudada na seção anterior. Montemos o quadro:

Preço...........................PorcentagemR$ 250,00.............................100%

x..........................100%+15%=115%Logo, temos:

100.x = 250.115 100.x = 28750 x = 287,50Resposta: O preço a prazo será R$ 287,50.Outro exemplo: O preço à vista de um produto é R$ 340,00. Calcular o valor a prazo com 20% de juros.Montemos o quadro da regra de três:


x..........................100%+20%=120%Temos então:

100.x = 340.120 100.x = 40800 x = 408,00Resposta: O preço a prazo será R$ 408,00

10


Vejamos agora como calcular o valor no seguinte caso:Um produto custa R$ 450,00 a prazo. Calcular o valor à vista, com 15% de desconto.Montemos então o quadro da regra de três:


x...........................100%-15%=85%Temos então:

100.x = 450.85 100.x = 38250 x = 382,50Resposta: O valor à vista será R$ 382,50

PotenciaçãoSeja 5 x 5 x 5. Essa multiplicação tem todos os fatores iguais. Podemos escrevê-la assim:5 x 5 x 5 = 53 = 125 Lê-se: "cinco à terceira potência ou cinco ao cubo".No exemplo:5 é a base (fator que se repete)3 é o expoente (indica o número de fatores iguais)125 é a potênciaO resultado da potenciação chama-se potência.

Casos Particulares1) Todo número elevado ao expoente 1 é igual ao próprio número.Exemplos: 81 = 8; 151 = 152) Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1.Exemplos: 70 = 1; 200 = 1

Propriedades das Potências1) Multiplicação de potências de mesma baseExemplo: 32 . 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 37

Logo: 32 . 35 = 32+5 = 37. De um modo geral, am . an = am+n

Conclusão: Conservamos a base e somamos os expoentes.2) Divisão de potências de mesma baseExemplo: 65 : 62 = (6 . 6 . 6 . 6 . 6) : (6 . 6) = 6 . 6 . 6 = 63 Logo, 65 : 62 = 65-2 = 63. De um modo geral, am : an = am-n

Conclusão: Conservamos a base e subtraímos os expoentes3ª) Potência de potência( 52 )3 = 52 . 52 . 52 = 52+2+2 = 56

Logo, (52)3 = 52.3 = 56. De um modo geral: ( am )n = am.n

Conclusão: Conservamos a base e multiplicamos os expoentes

Potências de 10Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas:1) Para se elevar 10n (n>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência à direita do

número 1. Exemplos: 104 = 10000; 106 = 1000000; 107 = 100000002) Para se elevar 10-n (n>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência à esquerda

do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu. Exemplos: 10 -4 = 0,0001; 10-6 = 0,000001; 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10. Exemplos para números maiores que 1: 300 = 3.100 = 3.102; 7000 = 7.1000 = 7.103; 10000 = 1.10000 = 1.104. Exemplos para números

11


menores que 1: 0,004 = 4.0,001 = 4.10-3; 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4; 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5

RadiciaçãoRadiciação é a operação inversa da potenciação. Exemplo: √9 = 3 (lê-se raiz quadrada de 9 é 3) pois 32 = 9.Outros exemplos: √25 = 5, pois 52 = 25; 3√27=3(lê-se: raiz cúbica de 27 é 3) pois 33 = 27

Nomenclatura:No exemplo:

Obs.: Não é necessário escrever o índice 2 no radical para a raiz quadrada.

Exercícios:1) Calcule o valor das expressões:a) 5 + 32 . 4 =b) 52 + 43 - 1 =d) 34 - 6 + 23 =e) 43 . 42 + 6 =f) (23)2 = g) 65 : 63 + 2 =h) 104 . 105 : 107 = i) 4.106 . 5.103 . (2.10)-5 =j) 8,2.105 . 4,1.10-2 . (2.10)-7

2) Utilizando uma calculadora, calcule:a) √36 =b) 3√343 = c) 4√6561=d) 5√3125 =

Equações do 1º grauEquações do 1º grau com uma variável Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. Exemplo: 4x = 16.Forma geral: ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais (número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros), com a 0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação. No exemplo anterior, a = 4 e b = 16. Podemos também termos essa forma geral mais expandida, desde que se mantenha apenas uma variável, como por exemplos: 2x - 4 = 7; -3x + 6 = 12 - 8; 5x - 2 = 2x + 1; etc. Obs.: (1) A letra que simboliza a variável pode ser qualquer letra de qualquer alfabeto

(2) Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual. Veja:

12

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_inteiros

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)


Em uma equação do 1º grau com uma variável podemos facilmente determinar o valor da variável para que a equação (ou igualdade) se torne verdadeira. Por exemplo, vamos determinar o valor da variável x na equação 2.x - 3 = 9, seguindo os passos abaixo:1º passo) Temos que isolar 2.x (por exemplo no 1º membro). Para isso, passemos a constante -3 para o 2º membro. Ao passá-la, ela muda de sinal, ou seja, fica positivo. A nova equação fica da seguinte maneira: 2.x = 9 + 3. Podemos somar as constantes do 2º membro, ficando 2.x=12.2º passo) Temos que isolar x para definir o seu valor. Para isso, passemos a constante 2 para o 2º membro. Como essa constante está multiplicando x, ao passa-la para o 2º membro ela fica como denominador do 2º membro, ficando da seguinte maneira: x = 12/2, que é igual a x = 6.Pronto, identificamos o valor da incógnita x, resolvendo a equação. Podemos provar que o resultado está correto, substituindo o valor de x na equação original.

2.6 - 3 = 9 12 - 3 = 9 9 = 9Façamos mais um exemplo. Vamos determinar o valor de y na seguinte equação: 3.y + 5 = y - 1.Vamos seguir os passos descritos anteriormente.1º passo) Observe que a variável y encontra-se nos dois membros. Vamos deixa-la no 1º membro e as constantes no 2º membro, lembrando que para passar um termo de um membro para outro precisamos mudar o seu sinal. Logo, fica: 3.y - y = -1 - 5. Fazendo as operações nos dois membros, a equação fica: 2.y = -6.2º passo) Isolando agora y, temos: y = -6/2, e portanto y = -3Vamos tirar a prova para ver se o resultado está correto:

3.(-3) + 5 = (-3) - 1 -9 + 5 = -3 - 1 -4 = -4Conclusão: a solução encontrada está correta.

Equações do 1º grau com duas variáveisEquações do 1º grau com duas variáveis são equações de 1º grau onde temos duas variáveis (incógnitas) ao mesmo tempo. Exemplos: 2x + y = 5; -3x - 2y = 8. Forma geral: ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.Uma equação do 1º grau com duas variáveis possuem infinitas soluções, como podemos verificar por exemplo com a equação 3x + y = 3. Temos como exemplos de soluções possíveis: x=0 e y=3; x=1 e y=0; x=2 e y=-3; x=3 e y=-6; x=4 e y= -9, etc.Podemos representar o conjunto de soluções de uma equação em um gráfico ou plano cartesiano, que foi criado por René Descartes, que consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas, e o vertical de eixo das ordenadas. A intersecção desses dois eixos é a origem (zero). Em nosso estudo, o eixo das abscissas será representado pela variável x e o eixo das ordenadas pela variável y. Cada ponto do plano cartesiano é chamado de par ordenado (x,y) ou coordenadas.O conjunto de soluções de uma equação de 1º grau com duas variáveis pode ser representada através de uma reta no plano cartesiano, sendo que para desenhar essa reta bastam termos dois pontos, ou seja, apenas dois pares ordenados. Exemplo: vamos construir o gráfico cartesiano da equação x + y = 4. Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação: 1º par: Definindo y = 0, obtemos x = 4. Então o 1º par é (4,0), que chamaremos de ponto A2º par: Definindo x = 0, obtemos y = 4. Então o 2º par é (0,4) que chamaremos de ponto BA seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

13


Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.

Sistema de equação de 1º grau com duas variáveisPara resolver uma equação de 1º grau com 2 variáveis, ou seja, determinar os valores das duas variáveis, precisamos de um sistema composto por duas equações do 1º grau com essas duas variáveis. Resolvendo esse sistema, determinaremos o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema. A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. Podemos encontrar a solução usando os métodos da substituição ou da adição.

Método de substituiçãoSuponha por exemplo o seguinte sistema:

Solução:1º passo: determinamos o valor de x na 1ª equação x = 4 - y2º passo: substituímos esse valor na 2ª equação 2.(4 - y) - 3y = 33º passo: resolvemos a equação formada 8 - 2y - 3y = 3 -2y - 3y = 3 - 8 -5y = -5

y = 14º passo: determinamos x, substituindo o valor encontrado de y em qualquer das equações

x + 1 = 4 x = 4 - 1 x = 3Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (3, 1). Para comprovar se o resultado está correto, substituímos os valores encontrados de x e y na outra equação e verificamos se a igualdade é verdadeira.2x - 3y = 3 2.3 - 3.1 = 3 6 - 3 = 3 3 = 3Conclusão: a solução encontrada está correta.

Método da adiçãoSuponha por exemplo o seguinte sistema: 2x + 8y = 8 (1ª equação) 2x + 4y = 4 (2ª equação)Subtraindo a 1ª equação pela 2ª, o resultado será 4y = 4 y = 4/4 y = 1Substituindo esse valor de y na 1ª equação, determinamos o valor de x: 2x + 8.1 = 8 2x + 8 = 8 2x = 8 - 8 2x = 0 x = 0/2 x = 0Para provar que a solução encontrada está correta, vamos substituir os valores de x e de y na 2ª equação e verificar se a igualdade é verdadeira:2.0 + 4.1 = 4 0 + 4 = 4 4 = 4Portanto, a solução encontrada está correta. O par ordenado (x,y) solução do sistema é (0,1)

14


Exercícios:1. Determinar o valor de x nas seguintes equações:a) 4x + 5 = 21b) -2x - 3 = 8 - 5c) 5x + 12 = x - 4d) x + 2/3 = 4

2. Faça o gráfico da solução de cada uma das equações abaixo no plano cartesiano:a) 2x - 4y = 8b) 3x + 6y = 12

3. Determine a solução dos seguintes sistemas:a) x + y = 2 3x - y = 6

b) 2x - 3y = 6 x - y = 4

c) x = 3y 2x - 4y = 6

d) 4x = 6 - 2y 3x - 2y = 0

TrigonometriaA palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos triângulo. Assim, através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).A trigonometria é um estudo encontrado dentro da matemática, mas com aplicações interdisciplinares como na Física, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia, entre outros. Na trigonometria iremos estudar as relações existentes entre lado e os ângulos de um triângulo retângulo.Nosso estudo da trigonometria é basicamente dividido em duas partes:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Circunferências trigonométricas

O triângulo retânguloO triângulo é uma figura que possui três ângulos internos e dependendo dos valores desses ângulos ele receberá um nome específico:

Triângulo obtusângulo: um ângulo obtuso e dois agudos. Triângulo retângulo: um ângulo reto. Triângulo acutângulo: os três ângulos são agudos

Obs: Ângulo agudo é o ângulo menor que 90°; ângulo obtuso é o ângulo maior que 90° e ângulo reto é o ângulo igual a 90°.

Em nosso estudo iremos dar ênfase ao triângulo retângulo, pois com ele podemos fazer relações trigonométricas com seus lados, que recebem nomes diferentes. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

15


Letra Lado Triângulo Medida

a hipotenusa A = 90°

b cateto adjacente em relação a C B < 90°

c cateto oposto em relação a C C > 90°

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.Propriedades do triângulo retângulo1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos

complementares.2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e

outros dois lados que são os catetos. 3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento

que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver figura ao lado) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Consideremos um ângulo agudo qualquer de medida α. Temos infinitos triângulos retângulos que possuem o ângulo de medida α, como mostra a figura abaixo. Os triângulos OAB, OCD,

OEF e OGH são todos semelhantes. Logo:

Respectivamente, as razões (trigonométricas) r1 e r2 são denominadas de: r1: seno do ângulo α (sen α) e r2: cosseno do ângulo α (cos α)

Assim, temos as seguintes relações: Seno do ângulo agudo α (sen α) é a razão entre a medida do cateto oposto a α e a medida

da hipotenusa.

Cosseno do ângulo agudo α (cos α) é a razão entre a medida do cateto adjacente a α e a medida da hipotenusa.

16


As funções trigonométricas nos apresentam um valor numérico para cada ângulo (arco). Desta maneira, temos na tabela abaixo os valores do seno e do cosseno para os ângulos de 30°, 45° e 60°, que são chamado de ângulos notáveis:

30° 45° 60°sen

1/2 √2 / 2 √3 / 2

cos √3 / 2 √2 / 2 1/2

Funções trigonométricas inversasSe raciocinarmos de forma inversa, isto é, para um valor numérico qual é o seu ângulo correspondente, estaremos diante das funções trigonométricas inversas. Assim teremos:Função arco-seno: Se sen α = x, então α = arcsen x ou α = sen-1 xFunção arco-cosseno: Se cos α = x, então α = arccos x ou α = cos-1 x

Funções trigonométricas na circunferência

Arcos e ângulosSeja uma circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos A e B. O ângulo α descreve na circunferência o arco formado pelos pontos A e B., como mostra a figura ao lado.As unidades dos ângulos e dos arcos são dadas em graus (°) ou radianos (rad), sendo que a relação entre eles é π rad = 180°, que equivalem a um

arco ou ângulo formado por meia circunferência.Como π rad é igual a 180°, temos que 0 rad é igual a 0°, π/2 rad é igual a 90°, 3π/2 rad (que é π + π/2) é igual a 270° e 2π rad é igual a 360°.Para fazermos a conversão entre essas unidades para outros valores, basta usar a regra de três simples que já apresentamos. Por exemplo, quanto é 60° em radianos? Montemos então a regra de três:

radianos..........................grausπ................................180°x..................................60°

Resolvendo, fica 180.x = 60.π x = 60π / 180 x = π/3 radOutro exemplo: quanto é π/4 rad em graus? Montemos então a regra de três:

radianos.....................grausπ............................180°

π/4.............................xResolvendo, temos π.x = 180 . π/4 x = (180.π/4) / π x = 180/4 x = 45°

A circunferência trigonométricaPara estudar as funções trigonométricas do seno e do co-seno em uma circunferência, precisamos saber o que é uma circunferência trigonométrica. Uma circunferência trigonométrica é simplesmente uma cirunferência de raio igual a 1, com dois eixos perpendiculares entre si cruzando-se no centro da circunferência, orientados da seguinte maneira: o eixo vertical tem sentido para cima e o eixo horizontal tem sentido para a direita. Dessa forma, esses dois eixos divide a circunferência em 4 quadrantes, conforme mostra a figura ao lado.

17


O ângulo positivo é marcado na circunferência a partir do ponto de origem A e no sentido anti-horário.Para definirmos, por exemplo, um arco de 60° na circunferência trigonométrica, medimos a partir do ponto A em sentido anti-horário até chegarmos no ponto P, como mostra a figura ao lado.Outros exemplos: arcos de 120°, de 300° e de -120° (no caso de arcos negativos, o arco origina-se no ponto A e caminha em sentido horário (figuras abaixo).

Funções circularesSeja α um ângulo agudo, de tal forma que o arco correspondente a ele possua extremidade P. Unindo o centro O a P, obtemos o raio unitário OP. Construindo dois triângulos retângulos, ambos com ângulo agudo α e hipotenusa OP, obtemos sobre os eixos perpendiculares os pontos P1 e P2, como mostra a figura ao lado. O ponto p1 é a projeção de P sobre o eixo vertical, e P2 é a projeção de P sobre o eixo horizontal. O quadrilátero OP2PP1 é um retângulo, pois possui os quatro ângulos retos. Assim, temos OP1 = PP2 e OP2 = PP1.

Função senoObservando a figura anterior, podemos escrever senα = PP2 / OP. Como PP2 = OP1 e OP=1, temos que senα = OP1.Assim, para encontrarmos o seno de um ângulo, basta projetar sua extremidade sobre o eixo vertical - daqui por diante denominado eixo dos senos - e medir a distância entre essa projeção e o centro O da circunferência, sempre levando em conta a orientação do eixo (para cima), como mostra a figura ao lado.

Para o caso de ângulos fora do 1º quadrante, o procedimento é análogo. Na figura ao lado, x, y e z os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente. Projetando suas extremidades, obtemos, respectivamente, os pontos X, Y e Z. Temos então: sen x = OX (positivo), sen y = OY (negativo) e sen z = OZ (negativo). Dessa forma, podemos definir que o seno dos arcos do 1º e do 2º quadrantes (ou seja, de 0° a 180°) são positivos e o seno dos arcos do 3º e do 4º quadrantes (ou seja, de 180° a 360°) são negativos.

A tabela abaixo mostra os valores do seno para os ângulos notáveis:valor de x em graus 0 30 45 60 90 180 270 360

valor de x em radianos0

π/6

π/4 π/3 π/2 π3π/2

2π

sen x 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0 -1 0

Vamos agora estudar a função seno como sendo y = sen x, sendo 0 ≤ x ≤ 2π; isto é, suponhamos que M = A na figura abaixo começa a se movimentar sobre a circunferência no

18


sentido anti-horário, até completar uma volta. Analisando o que ocorre com OM1, podemos montar a tabela e o gráfico abaixo:

19


x y = sen x

0 0

π/2 1

π 0

3π/2 -1

2π 0

Observe que y assume valores positivos (entre 0 e 1) quando x assumir valores entre 0 e π (180°), atingindo o seu valor máximo (igual a 1) quando x for igual a π/2 (90°), e y assume valores negativos (entre 0 e -1) quando x assumir valores entre π (180°) e 2π (360°), atingindo seu valor mínimo (igual a -1) quando x for igual a 3π/2 (270°). Caso continuemos o gráfico mais um ciclo, ou seja, para 2π ≤ x ≤ 4π, teremos uma repetição do primeiro ciclo. O gráfico resultante da função y = sen x chama-se senóide.

Função cossenoNa figura ao lado, utilizando o triângulo retângulo OPP2, podemos escrever cos α = OP2 / OP. Como OP =1, temos que cos α = OP2.Dessa forma, para encontrarmos o cosseno de um ângulo, basta projetar a extremidade do arco correspondente sobre o eixo horizontal - daqui por diante denominado eixo dos cossenos - e medir a distância entre essa projeção e o centro O da circunferência, sempre levando em consideração a orientação do eixo (para a direita).

Para o caso dos ângulos fora do 1º quadrante, o procedimento é análogo. Na figura ao lado, sejam x, y e z os ânulos do 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente. Projetando suas extremidades sobre o eixo dos co-senos, obtemos, respectivamente, os pontos X, Y e Z. Temos então: cos x = OX (negativo), cos y = OY (negativo) e cos z = OZ (positivo).Dessa forma, podemos definir que o cosseno dos arcos do 1º (de 0° a 90°) e do 4º quadrantes (de 270° a 360°) são positivos e o

cosseno dos arcos do 2º (de 90° a 180°) e do 3º quadrantes (ou seja, de 180° a 270°) são negativos.A tabela abaixo mostra os valores do cosseno para os ângulos notáveis:

valor de x em graus 0 30 45 60 90 180 270 360valor de x em

radianos0 π/6 π/4 π/3 π/2 π

3π/2

2π

20


cos x 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 1

Vamos agora estudar a função cosseno como sendo y = cos x, sendo 0 ≤ x ≤ 2π; isto é, suponhamos que M = A na figura abaixo começa a se movimentar sobre a circunferência no sentido anti-horário, até completar uma volta. Analisando o que ocorre com OM1, podemos montar a tabela e o gráfico abaixo:

x y = cos x

0 1

π/2 0

π -1

3π/2 -0

2π 1

Observe que y assume valores positivos (entre 0 e 1) quando x assumir valores nos 1º e 4º quadrantes, atingindo o seu valor máximo (igual a 1) quando x for igual a 0 e 2π (360°), e y assume valores negativos (entre 0 e -1) quando x assumir valores nos 2º e 3º quadrantes, atingindo seu valor mínimo (igual a -1) quando x for igual a π (180°). Caso continuemos o gráfico mais um ciclo, ou seja, para 2π ≤ x ≤ 4π, teremos uma repetição do primeiro ciclo. O gráfico resultante da função y = cos x chama-se cossenóide.

21


Referências BibliográficasSENAI Departamento Regional do Espírito Santohttp://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos009.asp acesso em 21/01/2013http://www.mundovestibular.com.br/articles/57/1/equacoes-do-primeiro-grau/Paacutegina1.html acesso em 21/01/2013http://www.brasilescola.com/matemática acesso em 21/01/2013http://www.pontodosconcursos.com.br acesso em 21/01/2013

22

mini-curso de matematica.docx

Documents