Métodos variacionais aplicados ao estudo das fibras ópticas e

técnicas de compensação da dispersão

Nuno Miguel Van-Dunem Nunes dos Santos

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Doutor José Bioucas Dias

Orientador: Prof. Doutor Carlos Manuel dos Reis Paiva

Co-Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa

Vogal: Prof. Doutor Sérgio de Almeida Matos

Setembro de 2011

i

Agradecimentos

Gostaria de agradecer:

ao Prof. Doutor Carlos Paiva pela orientação e todos os conselhos oferecidos ao longo da realização desta

dissertação, mas também pela boa disposição nas muitas reuniões que tivemos;

ao Prof. Doutor António Topa pela disponibilidade e apoio demonstrados;

aos meus colegas do Instituto Superior Técnico, António Gomes, Diogo Cameirinha, Jaime Ribeiro, João

Gonçalves, José Mesquita, Mário Mesquita, Miguel Azevedo, Nicolau Santos, Nuno Neves, Paulo Carvalho e

Pedro Gonçalves por todo o apoio e bons momentos passados;

aos meus amigos David Santos e George Nunes pela amizade e motivação dadas ao longo dos anos;

aos meus pais pela oportunidade que me proporcionaram e por todo o apoio e incentivo dados ao longo deste

percurso, sem o vosso contributo não teria sido possível.

A todos, muito obrigado!

ii

iii

Resumo

Nesta dissertação aborda-se o tema da propagação de impulsos em fibras ópticas a operar nos regimes linear ou

não-linear.

O trabalho inicia-se com o estudo da óptica geométrica com o objectivo de descrever meios com perfil de índice

de refracção variável. Para tal, utilizam-se os métodos variacionais baseados no princípio de Fermat.

Nomeadamente analisa-se a trajectória de raios através das equações de Euler-Lagrange. A principal aplicação é

a lente de Luneberg.

Descreve-se a propagação de raios de luz numa fibra óptica através da teoria dos raios e da teoria modal,

procedendo-se à dedução da equação da propagação dos impulsos no regime linear e no regime não-linear com

o objectivo de estudar a evolução dos impulsos ao longo da fibra, nomeadamente os efeitos da dispersão e da

auto-modulação de fase.

São apresentadas simulações numéricas da propagação de impulsos e estudadas técnicas de compensação de

dispersão, como o uso de fibras compensadoras de dispersão no regime linear e fibras de dispersão decrescente

no regime não-linear.

Palavras chave

Métodos variacionais, reflexão interna total, fibra óptica, propagação, chirp, dispersão da velocidade de grupo,

compensação da dispersão, auto-modulação de fase, solitões

iv

v

Abstract

Pulse propagation in optical fibers, operated in the linear or nonlinear regimes, is adressed.

The work begins with the study of geometric optics aiming to describe media with a variable profile of the index

of refraction. This is done using variational methods based on Fermat’s principle. Namely, the ray trajectory is

analyzed using the Euler-Lagrange equations. The main application is Luneberg lens.

Light propagation in an optical fiber is described both through the ray theory and the modal theory, followed by

the deduction of the pulse propagation equation in the linear and the nonlinear regimes with the objective of

studying pulse evolution along the fiber, namely the effects of dispersion and self-phase modulation.

Numerical simulations of pulses propagating are presented and the use of dispersion compensating techniques

such as dispersion compensating fibers for the linear regime and dispersion decreasing fibers for the nonlinear

regime is studied.

Keywords

Variational methods, total internal reflection, optical fiber, propagation, chirp, group velocity dispersion,

dispersion compensation, self-phase modulation, solitons

vi

vii

Índice

Agradecimentos ....................................................................................................................................................... i

Resumo .................................................................................................................................................................. iii

Abstract................................................................................................................................................................... v

Índice .................................................................................................................................................................... vii

Lista de Figuras ..................................................................................................................................................... ix

Lista de Tabelas ..................................................................................................................................................... xi

Lista de Símbolos ................................................................................................................................................. xiii

Lista de Acrónimos .............................................................................................................................................. xvii

1. Introdução ........................................................................................................................................................... 1

1.1. Enquadramento............................................................................................................................................ 2

1.2. Perspectiva histórica da evolução das fibras ópticas ................................................................................... 3

1.3. Estado da arte .............................................................................................................................................. 5

1.4. Objectivo da dissertação .............................................................................................................................. 6

1.5. Organização e estrutura da dissertação ........................................................................................................ 6

1.6. Contribuições .............................................................................................................................................. 7

2. Métodos variacionais aplicados à óptica geométrica .......................................................................................... 9

2.1. Percurso óptico .......................................................................................................................................... 10

2.2. Princípio de Fermat ................................................................................................................................... 10

2.3. Equação Euler-Lagrange ........................................................................................................................... 13

2.4. Lei de Snell generalizada .......................................................................................................................... 15

2.5. Equação da trajectória ............................................................................................................................... 16

2.6. Lei de Snell generalizada e equação da trajectória em coordenadas polares ............................................. 17

2.7. Óptica em meios GRIN e equação dos raios ............................................................................................. 20

2.8. Lente de Luneberg ..................................................................................................................................... 22

3. Fibras Ópticas: Tratamento analítico ................................................................................................................ 29

3.1. Estrutura de uma fibra óptica .................................................................................................................... 30

3.2. Teoria dos raios ......................................................................................................................................... 30

3.2.1. Raios meridionais ............................................................................................................................... 30

3.2.2. Raios enviesados ................................................................................................................................ 33

3.2.3. Conclusões ......................................................................................................................................... 33

3.3. Propagação de ondas electromagnéticas em fibras ópticas ....................................................................... 33

3.4. Teoria Modal ............................................................................................................................................. 35

3.5. Fibras ópticas: Características da transmissão ........................................................................................... 39

3.5.1. Atenuação .......................................................................................................................................... 39

3.5.2. Dispersão ........................................................................................................................................... 40

viii

3.6. Equação da propagação de impulsos em regime linear ............................................................................. 42

3.7. Débito binário ............................................................................................................................................ 47

3.8. Fibras ópticas: Efeito não-linear de auto-modulação de fase .................................................................... 51

3.9. Equação da propagação de impulsos em regime não-linear ...................................................................... 53

3.9.1. Solitão fundamental ........................................................................................................................... 55

3.9.2. Impulso gaussiano .............................................................................................................................. 55

3.10. Método variacional .................................................................................................................................. 56

3.10.1. Solitão fundamental ......................................................................................................................... 57

3.10.2. Impulso gaussiano ............................................................................................................................ 59

4. Fibras Ópticas: Simulação numérica ................................................................................................................ 61

4.1. Propagação em regime linear dispersivo ................................................................................................... 62

4.1.1. Impulso exponencial .......................................................................................................................... 64

4.1.2. Impulso supergaussiano ..................................................................................................................... 65

4.1.3. Impulso secante hiperbólica ............................................................................................................... 69

4.2. Fibra de compensação de dispersão .......................................................................................................... 71

4.2.1. Impulso exponencial .......................................................................................................................... 71

4.2.2. Impulso supergaussiano ..................................................................................................................... 72

4.2.3. Impulso secante hiperbólica ............................................................................................................... 73

4.3. Propagação em regime não-linear dispersivo ............................................................................................ 74

4.3.1. Solitão fundamental ........................................................................................................................... 77

4.3.2. Solitão de segunda ordem .................................................................................................................. 78

4.3.3. Solitão de terceira ordem ................................................................................................................... 79

4.3.4. Impulso gaussiano .............................................................................................................................. 80

4.4. Fibra de dispersão decrescente .................................................................................................................. 81

5. Conclusão ......................................................................................................................................................... 83

5.1. Conclusões principais ................................................................................................................................ 84

5.2. Perspectiva de trabalho futuro ................................................................................................................... 85

Apêndice A ........................................................................................................................................................... 87

Apêndice B ........................................................................................................................................................... 93

Apêndice C ......................................................................................................................................................... 101

Apêndice D ......................................................................................................................................................... 107

Referências ......................................................................................................................................................... 109

ix

Lista de Figuras

Figura 1.1 - Banda de funcionamento de um sistema de comunicação óptica (de: Sistemas de Comunicação

Óptica). ................................................................................................................................................................... 2

Figura 1.2 - Esquema básico de um sistema de comunicações ópticas................................................................... 2

Figura 1.3 - Primeira demonstração do princípio da reflexão interna total, experiência realizada por Daniel

Colladon. ................................................................................................................................................................ 3

Figura 1.4 - Janelas das diversas gerações das fibras ópticas e evolução da capacidade dos sistemas de

comunicação óptica ao longo dos anos. .................................................................................................................. 5

Figura 2.1 - Propagação de um raio num meio com diferente índice de refracção. .............................................. 10

Figura 2.2 - Reflexão de um raio numa superfície espelhada. .............................................................................. 12

Figura 2.3 - Atmosfera plana com índice de refracção variável em altitude......................................................... 15

Figura 2.4 - Meio com índice de refracção variável em coordenadas polares. ..................................................... 17

Figura 2.5 - Evolução da trajectória e da fase de um raio num meio GRIN. ........................................................ 22

Figura 2.6 - Lente de Luneberg: Propriedade de focagem. ................................................................................... 22

Figura 2.7 - Trajectória de um raio óptico na Lente de Luneberg e correspondente turning point. ...................... 23

Figura 2.8 - Método geométrico para determinar . .......................................................................................... 25

Figura 2.9 - Lente de Luneberg: Raio em função de . ....................................................................................... 27

Figura 2.10 - Lente de Luneberg: Representação das trajectórias dos raios. ........................................................ 27

Figura 3.1 - Estrutura de uma fibra óptica. ........................................................................................................... 30

Figura 3.2 - Propagação de um raio meridional numa fibra de índice de refracção em degrau. ........................... 31

Figura 3.3 - Cone de aceitação. ............................................................................................................................ 32

Figura 3.4 - Modo fundamental: Diagrama b vs v. ............................................................................................... 37

Figura 3.5 - Influência do contraste dieléctrico sobre o modo fundamental. ........................................................ 37

Figura 3.6 - Representação da intensidade dos campos para modos pnLP . .......................................................... 38

Figura 3.7 - Modos pnLP da fibra óptica: Diagrama b vs v. ................................................................................. 38

Figura 3.8 - Variação do contraste dieléctrico para dois valores de para o modo 11LP . ................................. 39

Figura 3.9 - Evolução da largura do impulso ao longo da fibra. ........................................................................... 46

Figura 3.10 - Evolução da largura de impulsos na zona de dispersão anómala para três valores de C com

2 0 . .................................................................................................................................................................. 48

Figura 3.11 - Influência de C no produto 2B L . .................................................................................................. 50

Figura 3.12 - Desvio de frequências num impulso gaussiano. .............................................................................. 52

Figura 3.13 - Evolução da velocidade de grupo em função da frequência. .......................................................... 52

Figura 3.14 - Efeito da AMF no desvio de frequências de um impulso gaussiano. .............................................. 52

Figura 4.1 - Comparação do impulso exponencial à entrada e à saída da fibra óptica. ........................................ 64

Figura 4.2 - Evolução do impulso exponencial ao longo da fibra óptica (duas vistas) ......................................... 64

Figura 4.3 - Evolução das componentes espectrais do impulso exponencial durante a propagação do impulso. . 65

Figura 4.4 - Comparação do impulso supergaussiano à entrada e à saída da fibra óptica. ................................... 66

Figura 4.5 - Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica (duas vistas). ................................... 66

Figura 4.6 - Evolução das componentes espectrais do impulso supergaussiano durante a propagação do

impulso. ................................................................................................................................................................ 66

Figura 4.7 - Comparação do impulso supergaussiano com 2C à entrada e à saída da fibra óptica. ............... 67

Figura 4.8 - Evolução do impulso supergaussiano com 2C ao longo da fibra óptica (duas vistas). .............. 67

x

Figura 4.9 - Evolução das componentes espectrais do impulso supergaussiano com 2C durante a propagação

do impulso. ........................................................................................................................................................... 68

Figura 4.10 - Comparação do impulso supergaussiano com 2C à entrada e à saída da fibra óptica. ............... 68

Figura 4.11 - Evolução do impulso supergaussiano com 2C ao longo da fibra óptica (duas vistas). .............. 68

Figura 4.12 - Evolução das componentes espectrais do impulso supergaussiano com 2C durante a propagação

do impulso. ........................................................................................................................................................... 69

Figura 4.13 - Comparação do impulso secante hiperbólica à entrada e à saída da fibra óptica. ........................... 70

Figura 4.14 - Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra óptica (duas vistas). .......................... 70

Figura 4.15 - Evolução das componentes espectrais do impulso secante hiperbólica durante a propagação do

impulso. ................................................................................................................................................................ 70

Figura 4.16 - Comparação do impulso exponencial à entrada da fibra óptica, à saída da fibra óptica e à saída da

DCF. ..................................................................................................................................................................... 71

Figura 4.17 - Evolução do impulso exponencial ao longo da fibra óptica até à saída da DCF. ............................ 72

Figura 4.18 - Comparação do impulso supergaussiano à entrada da fibra óptica, à saída da fibra óptica e à saída

da DCF.................................................................................................................................................................. 72

Figura 4.19 - Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica até à saída da DCF. ....................... 73

Figura 4.20 - Comparação do impulso secante hiperbólica à entrada da fibra óptica, à saída da fibra óptica e à

saída da DCF. ....................................................................................................................................................... 73

Figura 4.22 - Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra óptica até à saída da DCF. ................ 74

Figura 4.23 - Esquema do SSFM: O troço de fibra está dividido em segmentos h e a não-linearidade é

contabilizada na linha a tracejado. ........................................................................................................................ 75

Figura 4.24 - Comparação do impulso solitão fundamental à entrada e à saída da fibra óptica. .......................... 77

Figura 4.25 - Evolução do impulso solitão fundamental ao longo da fibra óptica................................................ 77

Figura 4.26 - Comparação do impulso solitão de segunda ordem à entrada e à saída da fibra óptica. ................. 78

Figura 4.27 - Evolução do impulso solitão de segunda ordem ao longo da fibra óptica....................................... 78

Figura 4.28 - Comparação do impulso solitão de terceira ordem à entrada e à saída da fibra óptica. .................. 79

Figura 4.29 - Evolução do impulso solitão de terceira ordem ao longo da fibra óptica. ....................................... 79

Figura 4.30 - Comparação do impulso gaussiano à entrada e à saída da fibra ...................................................... 80

Figura 4.31 - Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (duas vistas) .......................................... 80

Figura 4.32 - Aproximação em degrau do perfil de 2 . ...................................................................................... 82

Figura 4.33 - Solitão fundamental a propagar-se numa DDF. .............................................................................. 82

xi

Lista de Tabelas

Tabela 3.1 - Tabela de integrais para resolver o Lagrangeano dado pela equação (3.127). .................................. 58

Tabela 3.2 - Tabela de integrais para resolver o Lagrangeano dado pela equação (3.136). .................................. 59

Tabela 4.1 - Características dos troços 1L e

2L da fibra óptica (impulso exponencial). ...................................... 71

Tabela 4.2 - Características dos troços 1L e 2L da fibra óptica (impulso supergaussiano). ................................. 72

Tabela 4.3 - Características dos troços 1L e

2L da fibra óptica (impulso secante hiperbólica). ........................... 73

xii

xiii

Lista de Símbolos

n Índice de refracção do meio

c Velocidade da luz no vácuo

v Velocidada da luz no meio

t Tempo para percorrer distância d

d Distância

, ,x y z Coordenadas cartesianas do espaço

ds Diferencial de superfície

fv Velocidade de fase

in Índice de refracção do meio i

1, 2 1 - Ângulo de incidência do raio

2 - Ângulo de refracção do raio

I Funcional

Número real Função arbitrária com segunda derivada contínua

r Raio em coordenadas polares e esféricas

Constante da Lei de Snell generalizada para coordenadas polares

r Vector raio g Parâmetro aleatório

,r Coordenadas polares do turning point

r Função auxiliar no cálculo da trajectória do raio

1n Índice de refracção do núcleo

2n Índice de refracção da bainha

0n Índice de refracção do ar

i Ângulo de incidência do raio

r Ângulo de reflexão do raio

c Ângulo de incidência crítico

0 Ângulo máximo de aceitação

Contraste dieléctrico a Raio do núcleo da fibra

E Intensidade de campo eléctrico

B Densidade de fluxo magnético

H Intensidade de campo magnético

J Densidade de corrente eléctrica

D Densidade de fluxo eléctrico Densidade volúmica de cargas livres

0 Permitividade eléctrica no vácuo

P Polarização eléctrica

0 Permeabilidade magnética no vácuo

M Polarização magnética

LP Componente linear do vector polarização eléctrica

NLP Componente não-linear do vector polarização eléctrica

j Susceptibilidade eléctrica de ordem j

xiv

Frequência angular

Coeficiente de atenuação

0k Número de onda no vazio

,A o Função normalizadora

F x Função modal

Constante de propagação longitudinal

mJ Função de Bessel de primeira espécie de ordem m

mK Função de Bessel de segunda espécie de ordem m

u Índice de refracção normalizado do núcleo

w Índice de refracção normalizado da bainha

b Constante de propagação normalizada

n Índice de refracção modal

V Frequência normalizada

Comprimento de onda

inP Potência do sinal na entrada

outP Potência do sinal na saída

L Comprimento da fibra

gv Velocidade de grupo

gn Índice de grupo

2 Dispersão da velocidade de grupo

D Coeficiente de dispersão

MD Coeficiente de dispersão material

WD Coeficiente de dispersão do guia de ondas

2gn Índice de grupo da bainha

B Débito binário

BT Período de um bit

S Declive da dispersão

3 Coeficiente de dispersão de ordem superior

D Comprimento de dispersão para 2 0

Largura espectral da fonte

,F x y Variação transversal do modo 01LP

0,B t Variação longitudinal do modo 01LP

0,A t Amplitude do impulso na entrada da fibra óptica

0 Frequência angular da portadora

,A z t Amplitude do impulso no ponto z da fibra óptica

0 Largura inicial do impulso

DL Comprimento de dispersão

z Largura do impulso para distância z

t Fase variante no tempo

t Chirp

Largura efectiva do impulso

t Momento de primeira ordem

2t Momento de segunda ordem

xv

0 Coeficiente à frequência 0

Largura espectral efectiva da fonte

Largura espectral da fonte para o comprimento de onda

V Largura espectral da fonte normalizada

C Parâmetro chirp

, Variáveis normalizadas

0q Separação entre impulsos vizinhos

2n Coeficiente do índice não-linear

P Potência óptica

effA Área efectiva

w Raio do campo Coeficiente de não-linearidade

NL Fase não-linear

effL Comprimento efectivo

, Parâmetros normalizados

NLL Comprimento não-linear

N Relação entre comprimento de dispersão e comprimento não-linear

Parâmetro não-linear periódico

K Densidade do Lagrangeano

L Densidade média do Lagrangeano q Parâmetros do impulso

Fase

T Atraso Largura

E Energia do impulso

mL Período de um mapa de dispersão

av Coeficiente de dispersão médio

g Atraso de grupo

21 Coeficiente de dispersão na fibra óptica de comprimento 1L

22 Coeficiente de dispersão na fibra óptica de comprimento 2L

D̂ Operador diferencial da dispersão

N̂ Operador diferencial da não-linearidade

h Troço de fibra óptica

xvi

xvii

Lista de Acrónimos

BER Bit-Error Rate

TAT Transatlantic Telecommunication Cable

TPC Trans-Pacific Cable

EDFA Erbium Doped Fiber Amplifiers

WDM Wavelength-division multiplexing

FTTC Fiber To The Curb

FTTH Fiber To The Home

NLS Equação não-linear de Schrödinger

RIT Reflexão Interna Total

DCF Fibras de compensação da dispersão

SSFM Split-Step Fourier Method

DDF Fibras de dispersão decrescente

GRIN Graded-index

NA Abertura Numérica

TE Transversal Eléctrico

TM Transversal Magnético

HE/EH Modos Híbridos

LP Linearmente Polarizados

IIS Interferência Intersimbólica

DVG Dispersão da Velocidade de Grupo

AMF Auto-modulação de Fase

RLND Regime Linear Não-dispersivo

RLD Regime Linear Dispersivo

RNLND Regime Não-linear Não-dispersivo

RNLD Regime Não-linear Dispersivo

IST Método Inverso da Dispersão

SGD Solitões com Sistema de Gestão de Dispersão

FFT Fast Fourier Transform

xviii

1

Capítulo 1

1. Introdução

Neste capítulo é apresentada uma breve descrição do trabalho realizado. Descreve-se a estrutura básica de um

sistema de comunicações ópticas e os marcos tecnológicos na evolução da fibra óptica que permitiram o seu uso

nos sistemas de comunicação. Apresentam-se os objectivos da dissertação e as motivações que levaram ao seu

desenvolvimento. Finalmente são apresentadas a estrutura da dissertação e as principais contribuições do

trabalho realizado.

2

1.1. Enquadramento

Um sistema de comunicação é uma conexão entre dois pontos pela qual se transmite informação, normalmente

através de uma onda portadora. Um sistema de comunicação óptica utiliza como portadora dos sinais ondas

electromagnéticas do espectro óptico, contidas entre a região do infravermelho longínquo ( 100 μm ) e a região

dos ultravioletas ( 0.05μm ), como se pode verificar na Figura 1.1.

Figura 1.1 - Banda de funcionamento de um sistema de comunicação óptica (de: Sistemas de Comunicação Óptica).

Um sistema de comunicação óptica é constituído pelos seguintes elementos base: um transmissor óptico que

converte sinais eléctricos em sinais ópticos enviando-os para a fibra óptica, um cabo de fibra óptica e um

receptor que converte o sinal óptico recebido no correspondente sinal eléctrico [1], Figura 1.2.

Figura 1.2 - Esquema básico de um sistema de comunicações ópticas.

3

Para as transmissões de longa distância utilizam-se amplificadores ópticos, a cada 80 100 km de fibra, para

compensar as perdas da mesma. Estes amplificadores compensam as perdas e amplificam o sinal permitindo que

seja transmitido a grandes distâncias. A avaliação da qualidade do sistema é feita pelo seu bit-error rate (BER)

que define a probabilidade de ocorrência de um bit errado. Para garantir um valor reduzido do BER, ou seja, um

sistema de elevada qualidade, é necessário garantir que a transmissão do sinal óptico sofra o mínimo de

distorção possível.

1.2. Perspectiva histórica da evolução das fibras ópticas

Na década de 1840, os físicos Daniel Colladon e Jacques Babinet foram os primeiros a demonstrar ser possível

direccionar luz através da refracção, princípio fundamental da propagação de luz em fibras ópticas [2]. A

experiência consistia em focar a luz num recipiente com água e verificar que esta se propagava no fluxo de água

que saía por um orifício do recipiente Figura 1.3. No entanto, o reconhecimento por esta experiência foi

atribuído a John Tyndall em 1854.

Figura 1.3 - Primeira demonstração do princípio da reflexão interna total, experiência realizada por Daniel Colladon.

Em 1880, Alexander Graham Bell patenteou um sistema de transmissão de voz, o photophone, que permitia a

transmissão de um sinal de voz através de um feixe de luz até uma distância de cerca de 200 m .

Em 1930, Heinrich Lamm, foi a primeira pessoa a transmitir uma imagem através de um conjunto de fibras

ópticas.

Foi na segunda metade do século XX que a tecnologia das fibras ópticas sofreu grandes progressos. No início da

década de 1950, uma parceria entre Brian O’Brien e Narinder Kapany [2] resultou no desenvolvimento de um

sistema de transmissão de imagens que utilizava, pela primeira vez, fibras de vidro.

Definiu-se então, a fibra óptica, como um meio físico de transmissão de informação que se propaga sob a forma

de impulsos de luz.

Luz escapa

gradualmente

Água a fluir do recipiente

Luz reflectida da

superfície

4

Os primeiros testes efectuados à comunicação por fibras ópticas não tiveram resultados muito favoráveis. As

perdas ópticas associadas à transmissão dos impulsos de luz eram muito elevadas, limitando as distâncias de

transmissão. Os resultados obtidos levaram à adição da bainha que permitia uma maior contenção da luz no

núcleo, reduzindo consideravelmente as perdas.

Por volta de 1960 a comunicação por impulsos ópticos deparou-se com dois grandes problemas. O primeiro era

a disponibilidade de uma fonte capaz de gerar os impulsos ópticos. O segundo era a inexistência de um meio de

transmissão adequado.

No ano de 1957, ocorreu um grande desenvolvimento da tecnologia Laser que teve um grande impacto na

implementação da indústria das fibras ópticas. Gordon Gould descreveu o laser como uma intensa fonte de luz.

Desde então o laser foi fortemente desenvolvido, sendo que os lasers semicondutores são os mais utilizados nos

sistemas de comunicação por fibra óptica.

Devido à capacidade de alta modulação em frequência dos lasers, estes podem transportar até 10000 vezes mais

informação do que as mais elevadas frequências de rádio em utilização. No entanto, não é adequado a

propagação em espaço livre por ser sensível às condições ambientais. Assim, em 1966, Charles Kao e Charles

Hockham propuseram as fibras ópticas como meio ideal de propagação [2], desde que os valores de atenuação

fossem da ordem dos 20db km . Contudo, os valores obtidos para as perdas foram da ordem dos 1000 db km ,

não sendo por isso competitivas em relação aos outros meios de comunicação. Charles Kao viria a receber, em

2009, o prémio Nobel da Física por ―descobertas inovadoras relacionadas com a transmissão da luz em fibras

para comunicação óptica‖.

Os resultados obtidos levaram a concluir que as perdas se deviam a impurezas do vidro. Em 1970, Robert

Maurer, Donald Keck e Peter Schultz conseguiram chegar ao objectivo de produzir fibras ópticas com menos de

20 db km , tornando viável a utilização de fibras ópticas em sistemas de comunicação.

Nas últimas décadas desenvolveram-se diversas gerações de sistemas de comunicação por fibras ópticas, Figura

1.4. A primeira, com início na década de 1980, tratava-se de fibras multimodais a operar na primeira janela

( 800 900 nm ), com débito binário de 45 MB s e espaçamento entre repetidores de cerca de 10 km .

A segunda geração, no ano de 1987, operava na segunda janela (1260 1360 nm ), onde a atenuação é inferior a

1db km e a dispersão é mínima. Esta geração utilizava fibras monomodais, conseguindo débitos binários da

ordem dos 1.7 GB s com os repetidores espaçados em cerca de 50 km entre si. Em 1988, foi instalado o

primeiro cabo submarino com fibra óptica, o sistema TAT-8 (Transatlantic Telecommunication Cable).

Pertencia à segunda geração e utilizava lasers semicondutores multimodais a operar a 1.3μm com repetidores a

cada 70 km , e atingia um débito binário de 0.28 Gb s . Em 1989, foi instalado o TPC-3 (Trans-Pacific Cable),

sistema semelhante ao TAT-8.

A utilização de fibras ópticas com o mínimo de atenuação na terceira janela ( 0.2 db km em 1.55 μm ) é possível

desde o ano 1979, no entanto a dispersão típica desta janela é considerável (cerca de 16 ps km.nm ).

5

Em 1990 surge a terceira geração comercial de sistemas de comunicação por fibra óptica (cabos submarinos

TAT-9, TPC-4 e TAT-10/11) a operar na terceira janela (1500 1600 nm ), com débitos binários até 10 GB s .

O principal problema dos sistemas de terceira geração era o uso de repetidores com espaçamentos entre

60 70 km , conhecidos como repetidores 3R por fazerem regeneração da amplitude (rescaling), regeneração

da forma (reshaping) e regeneração temporal (retiming). O aparecimento dos amplificadores ópticos permitiu

amplificar directamente o sinal sem recurso a electrónica adicional, colocando finalmente os sistemas de

comunicação óptica na era fotónica. Destes amplificadores destacam-se as fibras amplificadoras dopadas,

nomeadamente EDFA’s (erbium doped fiber amplifiers) [1], que garantem maior transparência dos sistemas e

permitem o aumento do espaçamento dos repetidores para 60 100 km .

A quarta geração utiliza amplificação óptica para aumentar o espaçamento entre amplificadores, transparência

do sistema e multiplexagem do comprimento de onda (WDM – wavelenght-division multiplexing) [1], tornando-

se na primeira geração verdadeiramente fotónica. Os primeiros cabos submarinos desta geração (TPC-5 e TAT-

12/13) apareceram em 1996, utilizavam EDFA’s e operavam a 1,55 μm atingindo débitos binários de

5.30 GB s . Em 2000, o TPC-6 atingia débito binário de 100 GB s . Actualmente, os sistemas são ainda de

quarta geração. A utilização de técnicas de WDM permite aos sistemas de comunicação óptica atingir débitos

binários superiores a 1TB s .

Figura 1.4 - Janelas das diversas gerações das fibras ópticas e evolução da capacidade dos sistemas de comunicação óptica

ao longo dos anos.

1.3. Estado da arte

A quinta geração de sistemas de comunicação óptica é aguardada com muita expectativa. O problema das perdas

foi resolvido com a introdução de fibras amplificadoras, tornando-se a dispersão o problema mais importante a

resolver. Várias técnicas têm sido desenvolvidas para solucionar este problema [1]: compensação da dispersão -

sistemas de pré-compensação da dispersão e pós-compensação da dispersão, como forma de melhorar os

Pri

mei

ra

Jan

ela

Seg

un

da

Jan

ela

Ter

ceir

a J

anel

a (B

and

a ―C

‖)

Qu

arta

Ja

nel

a (

Ban

da

―L‖)

Ate

nu

ação

(d

B/k

m)

Comprimento de onda (μm)

Cap

acid

ade

(G

B/s

)

Ano

Um

comprimento

de onda por fibra

WDM: Vários

comprimento

s de onda por fibra

DWDM: Centenas de

comprimentos

de onda por fibra

6

sistemas já existentes; gestão da dispersão - como base para a projecção de novos sistemas; sistemas com

solitões - a revolução dos sistemas de comunicação óptica. Estas soluções têm características comuns: a

utilização de amplificação óptica - uso de EDFA’s na terceira janela; a necessidade de WDM - como forma de

aumentar o débito binário; a gestão da dispersão - em sistemas de WDM, mas também nos sistemas com solitões

[3].

As fibras ópticas vieram revolucionar os sistemas de comunicação, adivinhando-se que, juntamente com a

fotónica, se tornem na base das futuras auto-estradas da comunicação. A crescente necessidade de redes digitais

de banda larga com integração de serviços está a levar ao aumento das redes FTTC (fiber to the curb) e redes

FTTH (fiber to the home).

1.4. Objectivo da dissertação

O trabalho desenvolvido nesta dissertação tem como base o estudo de sistemas de comunicação por fibra óptica.

O primeiro objectivo passa por introduzir conceitos de óptica geométrica e de métodos variacionais [4]. Estas

vão ser as ferramentas que permitem o estudo da propagação de raios em meios de índice de refracção variável

como é o caso das fibras ópticas.

O objectivo seguinte passa por caracterizar a propagação de ondas numa fibra óptica e obter, desta forma, as

equações para a propagação de impulsos em fibras ópticas em regimes linear e não-linear, permitindo conhecer

quais os principais problemas inerentes à propagação de impulsos e, através da utilização dos métodos

variacionais, obter soluções analíticas que descrevem de forma aproximada a evolução, ao longo da fibra, dos

diversos parâmetros que caracterizam um impulso.

Estando identificados os principais problemas da propagação de impulsos em fibras ópticas, em regime linear e

não-linear, e sabendo que as perdas nas fibras ópticas são resolvidas através da utilização de amplificadores

ópticos, centra-se a atenção no estudo da dispersão e das formas de a compensar (para o caso linear) e no estudo

da auto-modulação de fase que não pode ser separado do estudo da dispersão, pois actuam conjuntamente (para

o caso de regime não-linear). Para tal, recorre-se à equação não-linear de Schrödinger (NLS), equação pela qual

se regem os impulsos ópticos na presença de perdas, dispersão e não-linearidade.

1.5. Organização e estrutura da dissertação

Neste primeiro capítulo é feita uma introdução histórica do tema, descrevendo-se o contexto em que se insere e

a motivação do seu estudo. Identificam-se os principais objectivos e apresenta-se a estrutura da dissertação.

O segundo capítulo aborda o tema dos métodos variacionais e as suas aplicações na óptica geométrica,

definindo-se os principais conceitos relacionados com este assunto. Define-se o conceito de percurso óptico, o

princípio de Fermat, bem como a lei de Snell e a lei da reflexão. De seguida é introduzida a equação de Euler-

Lagrange que, posteriormente, se utiliza para deduzir a Lei de Snell generalizada e para determinar as equações

da trajectória de raios em coordenadas cartesianas e coordenadas polares. É ainda efectuado um estudo da

trajectória de raios ópticos no interior de meios de índice de refracção variável apresentando-se, por fim, o

7

problema da lente de Luneberg, no qual se aplicam os conceitos anteriores para se estudar a propagação de raios

no seu interior.

No terceiro capítulo efectua-se um estudo analítico da fibra óptica, com particular incidência nas fibras ópticas

monomodais. Apresentam-se duas teorias que descrevem a propagação de raios numa fibra óptica: a teoria dos

raios - baseada na óptica geométrica e cujo conceito fundamental é a reflexão interna total (RIT); e a teoria

modal - que partindo das equações de Maxwell permite obter a equação de onda que descreve a propagação

electromagnética numa fibra óptica. É feita uma análise breve dos modos de propagação numa fibra óptica, com

particular atenção para as fibras monomodais. Apresentam-se os efeitos lineares que afectam a propagação de

um impulso óptico numa fibra, a atenuação e a dispersão, para, de seguida, se deduzir a equação de propagação

de impulsos numa fibra óptica para as condições anteriormente referidas, sendo analisados os seus efeitos na

evolução do impulso, em particular o efeito da dispersão da velocidade de grupo, bem como a sua influência no

produto 2B L , figura de mérito num sistema de comunicações ópticas. Finalmente são estudados os efeitos não-

lineares, nomeadamente a auto-modulação de fase, deduzindo-se a equação de propagação de um impulso

óptico numa fibra nestas condições. Para esta situação é ainda efectuada uma análise de dois impulsos, o solitão

e o impulso gaussiano, através de métodos variacionais, com o objectivo de se obterem as equações que

caracterizam a evolução de diversos parâmetros ao longo da propagação do impulso.

No quarto capítulo são estudados métodos numéricos utilizados para a resolução da equação de propagação de

um impulso óptico numa fibra. Numa primeira parte é estudado o regime linear dispersivo, para o qual se

apresentam simulações numéricas da propagação de diversos impulsos, realizando-se uma análise das mesmas.

Após a análise dos diversos impulsos, introduzem-se as fibras de compensação de dispersão (DCF) como forma

ideal de compensar a dispersão neste regime. Numa segunda parte estuda-se o regime não-linear dispersivo, com

recurso ao Split-Step Fourier Method (SSFM) e cuja metodologia também se apresenta. Também para esta

situação se analisam diversos impulsos, com particular enfâse nos solitões. Finalmente são introduzidas as fibras

de dispersão decrescente (DDF).

O quinto capítulo é dedicado à apresentação das conclusões e das perspectivas de trabalho futuro.

1.6. Contribuições

As principais contribuições do trabalho desenvolvido são: a utilização dos métodos variacionais e da óptica

geométrica para uma melhor compreensão da propagação de raios de luz em meios de índice de refracção

variável; a caracterização da propagação de impulsos em fibras ópticas em regime linear, analisando o

fenómeno de dispersão temporal, e em regime não-linear, analisando os efeitos de auto-modulação de fase e de

dispersão temporal; a utilização dos métodos variacionais para a obtenção de funções que descrevem a evolução

de diversos parâmetros característicos dos impulsos a propagarem-se em fibras ópticas; a simulação numérica da

propagação de vários impulsos numa fibra óptica, em regime linear e em regime não-linear, e a análise da sua

evolução; e a análise de técnicas de compensação da dispersão para regime linear e regime não-linear.

8

9

Capítulo 2

2. Métodos variacionais aplicados à óptica geométrica

A óptica é o ramo da física que estuda o comportamento e as propriedades da luz. A óptica geométrica é o ramo

da óptica que estuda a propagação da luz, descrevendo-a através de trajectórias de raios de luz. O cálculo

variacional é um método matemático de obtenção de máximos e mínimos em funcionais. Neste capítulo

introduzem-se as leis e as teorias fundamentais para o estudo da óptica a nível macroscópico, aplicando-se

métodos variacionais para o estudo das mesmas e para a determinação de equações de trajectória de raios em

meios de índice de refracção variável.

10

2.1. Percurso óptico

Um meio óptico é caracterizado pelo seu índice de refracção n , sendo 1n . O valor de n é dado por

c

nv

(2.1)

onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a velocidade da luz no meio.

Assim, o tempo t que a luz leva a percorrer a distância d é

,d d

t nv c

(2.2)

o produto do índice de refracção e do comprimento do percurso percorrido pela luz, n d , designa-se por

percurso óptico.

Em meios não homogéneos o índice de refracção, n r , é uma função da posição , ,r x y z . O percurso óptico

num meio não homogéneo entre dois pontos A e B é dado por

B

A

L n r ds (2.3)

em que L se designa por percurso óptico e ds é o elemento diferencial do comprimento ao longo do caminho.

Uma onda electromagnética que percorre determinado percurso óptico, chega ao final com a mesma diferença

de fase como se tivesse efectuado o mesmo percurso ―físico‖ no vácuo. Caso uma onda atravesse meios com

diferentes índices de refracção, é possível somar o percurso óptico de cada um dos meios, obtendo-se o percurso

óptico total [5].

2.2. Princípio de Fermat

O princípio de Fermat determina que um raio de luz que liga dois pontos 1 1,A x y e 2 2,B x y situados em

meios com diferentes índices de refracção, atravessa a interface entre esses meios no ponto P de modo a que o

tempo de propagação seja mínimo [6].

Figura 2.1 - Propagação de um raio num meio com diferente índice de refracção.

11

O tempo de propagação

2

1

1 1t B B

t A Af f

T dt ds dsv v

(2.4)

em que fv é a velocidade de fase.

Atendendo a que,

22 2 2 1

,

ifi

ds dx dy ds dx y

cv

n

(2.5)

com dy

ydx

.

O tempo de propagação do raio de luz é dado por [7],

1 2

2 22 21 1 2 2

1 1.

f f

T x x x y x x yv v

(2.6)

Para minimizar este tempo, deriva-se a equação (2.6) em ordem a x e iguala-se a 0

0.dT

dx (2.7)

Deste modo, pelas equações (2.6) e (2.7), obtém-se

1 2

1 2

2 22 21 1 2 2

.

f f

x x x x

v x x y v x x y

(2.8)

Efectuando a derivada de segunda ordem de T x , verifica-se que o ponto x determinado na equação (2.7)

corresponde efectivamente a um ponto de estacionaridade, nomeadamente um mínimo, pois

1 2

2 221 2

2 3 32 2 2 22 2

1 1 2 2

0.

f f

y yd T

dxv x x y v x x y

(2.9)

Através do princípio de Fermat pode mostrar-se que o ponto P sobre a interface obedece à lei de Snell

1 1 2 2sin sin .n n (2.10)

Por observação da Figura 2.1, tem-se

1 21 2

2 22 21 1 2 2

sin , sin .x x x x

x x y x x y

(2.11)

Obtendo-se das equações (2.8) e (2.11)

1 2

1 2sin sin.

f fv v

(2.12)

12

Atendendo à equação (2.5), resulta

1 1 2 2sin sinn n (2.13)

tal como se pretendia demonstrar.

Analisa-se agora um problema semelhante ao anterior, o problema da lei da reflexão [7]. Trata-se de determinar

qual a relação entre o ângulo incidente e o ângulo reflectido , ou seja, determinar a coordenada x do ponto

,0P x onde ocorre a reflexão.

Figura 2.2 - Reflexão de um raio numa superfície espelhada.

Admite-se que se trata de um meio de índice de refracção n e que são conhecidos os pontos 1 1,A x y e

2 2,B x y , Figura 2.2.

Assim, a velocidade de fase é

c

vn

e

2 22 2

1 1 2 2, .AP x x y BP x x y

O tempo de propagação é dado por

2 22 21 1 2 2

2 22 21 1 2 2

x x y x x yAP BPT

v v v v

cT x x y x x y

n

(2.14)

minimizando,

1 2

2 22 21 1 2 2

0.x x x xc dT

T dx x x y x x y

(2.15)

13

Uma vez que se tem

1 2

2 22 21 1 2 2

sin , sinx x x x

x x y x x y

conclui-se da equação (2.15) que sin sin , ou seja, a lei da reflexão implica

. (2.16)

Novamente verifica-se que se trata de um mínimo, cuja solução pode ser obtida igualando a derivada de segunda

ordem a 0

2

20.

d T

dx

Outra propriedade que é interessante verificar é a estacionaridade do percurso óptico [8].

Utilizando as equações (2.4) e (2.5), pode obter-se

2

1

1 1 1.

t B B B

t A A Af f

T dt ds ds ndsv v c

(2.17)

Substituindo 2

1 'ds dx y na equação (2.17), tem-se

21

1 'B

AT n y y dx

c (2.18)

confirmando-se, assim, a estacionaridade do percurso óptico

, 'B B

A AcI nds f y y dx (2.19)

com

2

, ' 1 ' .f y y n y y (2.20)

Outra forma de deduzir a Lei de Snell é recorrer ao cálculo variacional.

2.3. Equação Euler-Lagrange

Um dos principais conceitos do cálculo variacional é o conceito de funcional. Um funcional faz corresponder

um número real a uma função de modo que se

2

1

, , 'x

xI f x Y Y dx (2.21)

então, a correspondência f I é um funcional.

14

O objectivo do problema consiste em definir, da infinidade de funções teste Y x , qual a função y x que

torna estacionário o integral I .

Para tal, define-se a relação que se segue entre Y x e y x

Y x y x x (2.22)

em que, é um real e x é uma função arbitrária mas contínua e admitindo segunda derivada também

contínua.

De notar que todas as funções Y x são tais que

1 1 1 1

2 2 2 2

0.

0

Y x y x y x

Y x y x y x

(2.23)

Trata-se então de determinar a solução do problema

0

0dI

d

(2.24)

onde

2

1

, , ' ' .x

xI f x y x x y x x dx (2.25)

Da equação (2.25), resulta

2

1

2

1

'

'

' .'

x

x

x

x

dI f Y f Ydx

d Y Y

f fx x dx

Y Y

(2.26)

Realizando uma integração por partes e aplicando (2.23), obtém-se

2

1

.'

x

x

dI f d fx dx

d y dx y

Considerando o caso particular 0 e fazendo a substituição Y y , vem

2

10

.'

x

x

dI f d fx dx

d y dx y

(2.27)

Uma vez que a função x é arbitrária, a única forma de satisfazer a equação (2.27) para todos os pontos do

intervalo 1 2,x x x é impor a equação de Euler-Lagrange

0'

f d f

y dx y

(2.28)

15

ou seja, a função y x que transforma o integral I num valor estacionário, no intervalo 1 2,x x x , é tal que

obedece à equação de Euler-Lagrange.

Também é comum a equação (2.27) aparecer na forma

2

1

' 'x

y yx

I f x f x dx (2.29)

onde

: ' : .'

y y

f ff f

y y

De acordo com esta notação, uma forma equivalente de escrever a equação de Eeuler-Lagrange é

0 ' 0.y y

dI f f

dx (2.30)

2.4. Lei de Snell generalizada

A equação (2.20) define o funcional que descreve a distância entre dois pontos 1 1,A x y e 2 2,B x y de um

plano.

Assim, considere-se uma atmosfera plana na qual o índice de refracção varia unicamente com a altitude,

n n x , como representado na Figura 2.3 [8].

Figura 2.3 - Atmosfera plana com índice de refracção variável em altitude.

Tem-se, por observação da Figura 2.3

22 2 2 2 1 ,

dxds dx dz dz

dz

fazendo 'dx

xdz

, tem-se

21 ' .ds dz x

16

Atendendo à estacionaridade do percurso óptico, tem-se

2

1

, 'z

zI f x x dz (2.31)

em que , ' 1 'f x x n x x .

Por aplicação da equação de Euler-Lagrange, vem

0' ' '

f d f ff D

x dz x x

(2.32)

esta expressão também é conhecida como Identidade de Beltrami.

Tem-se, então

2

'.

' 1 '

f xn x

x x

(2.33)

Substituindo a expressão (2.33) na equação (2.32), tem-se

2

2 2

'1 ' .

' 1 ' 1 '

n xf xf D n x x n x D D

x x x

(2.34)

Da Figura 2.3,

2

1sin

1 '

dz

ds x

(2.35)

substituindo a equação (2.35) na equação (2.34), vem

sin ,n x D (2.36)

aplicando as condições 00x x e 0 0x , tem-se

0 0sinn D (2.37)

com 0 0n n x .

Finalmente vem

0 0sin sinn x x n (2.38)

esta expressão é conhecida como a lei de Snell generalizada.

2.5. Equação da trajectória

A partir da lei de Snell generalizada é possível determinar a equação genérica da trajectória de um raio numa

atmosfera plana [8].

17

Da equação (2.34), tem-se

2

.

1

dxdz

n u

D

(2.39)

Aplicando a expressão do índice de refracção do meio correspondente, obtém-se

0

02

1

x

x

duz z

n u

D

(2.40)

substituindo a equação (2.37) na expressão da trajectória, vem

0

0 00

2 2 20 0

sin.

sin

x

x

nz z du

n u n

(2.41)

2.6. Lei de Snell generalizada e equação da trajectória em coordenadas

polares

Demonstra-se agora que a lei de Snell também é válida para atmosferas cujo índice de refracção é n n r , ou

seja, para coordenadas polares.

Figura 2.4 - Meio com índice de refracção variável em coordenadas polares.

Em coordenadas polares, tem-se

cos

sin

x r

y r

(2.42)

logo,

cos sin

sin cos

dx dr r d

dy dr r d

(2.43)

18

como tal, pode dizer-se que

22 2 2 2 2 2 21 .

dds dx dy dr r d ds dr r

dr

Da Figura 2.4 retira-se

2 22

'sin

1 '1

dr

d rdrrds rd

rdr

(2.44)

com 'd

dr

.

O Princípio de Fermat impõe a estacionaridade de:

2

1

, 'r

rI f r dr (2.45)

onde

2

, ' 1 'f r n r r (2.46)

Aplicando a fórmula de Euler-Lagrange

0' ''

f d f

dr

(2.47)

em que '

f

.

Aplicando o resultado na equação (2.47), obtém-se

2

2 2

' '.

1 ' 1 '

r rn r n r r

r r

(2.48)

Simplificando através da equação (2.44) obtém-se

sin .n r r (2.49)

Chega-se, deste modo, à equação de Snell para atmosferas de índice de refracção n n r .

Através deste resultado é possível deduzir a equação da trajectória para estas atmosferas, aplicando um

raciocínio análogo ao utilizado nas coordenadas cartesianas [8].

Obtém-se, então

0

02 2 2

.r

rdu

u n u u

(2.50)

19

Considere-se o meio dieléctrico cujo índice de refracção é dado por

0 ,a

n r nr

(2.51)

aplicando a equação (2.51), vem

222 2 2 4 2

2

'1 ' ' .

1 '

n r rr n r r

r

(2.52)

Aplicando a equação (2.51) do índice de refracção do meio na expressão (2.52) e resolvendo para ' , fica

2

0

2

20

' .n a

r rn a

(2.53)

Fazendo uma mudança de variável, tal que,

22

20n a

vem

0

02

.

r

r

drr r

(2.54)

Atendendo a que [8]

2

1

2

2cos

d r

dr r r r

e

2

20

,bn a

a expressão (2.54) resulta em

2

1 20 0

2cos cos 2 .

y

rr r r

r

(2.55)

Então,

2 22 .y b x y (2.56)

Resolvendo para y , obtém-se

2

1.2

y x

b b

(2.57)

20

2.7. Óptica em meios GRIN e equação dos raios

Um material de índice de refracção variável é um meio cujo índice de refracção varia com a posição, n r , e

designa-se por material GRIN1. Estes materiais são obtidos através de dopagem, de forma a atingir o índice de

refracção pretendido.

Ao contrário dos outros materiais, nos quais a luz é refractada na superfície, nos materiais GRIN a luz é

deflectida pelo índice de refracção existente no interior do substrato [9].

A ideia de utilizar material de índice de refracção variável em sistemas ópticos não é recente. Em 1964, R.K.

Luneburg publicou um livro no qual descreveu uma lente que convergia todos os raios num ponto da superfície

oposta. Na Secção 2.8, apresenta-se um estudo mais aprofundado desta lente.

Para o estudo da propagação da luz em meios GRIN é essencial conhecer a equação da trajectória dos raios.

Para o cálculo desta, recorre-se ao princpio de Fermat [10]

0.B

An ds r (2.58)

Considerando o percurso óptico, equação (2.3), e introduzindo a variação no percurso do raio óptico,

r s r s , minimiza-se L

B B

A AL nds nds (2.59)

n n r (2.60)

2 2

2 2 22

1 2

1

.

ds d d s d

d d d d d

d d sds ds

ds ds

d dds ds

ds ds

d dds

ds ds

r r

r r r r r

r

r r

r r

(2.61)

A componente n representa as alterações no percurso óptico devido às variações do índice de refracção,

enquanto ds representa as alterações devido a variações da norma Euclideana do percurso do raio.

Resulta, então

.B B

A A

d d d dL n n ds n n ds

ds ds ds ds

r r rr r (2.62)

1 Do inglês: gradient-index

21

Aplicando a condição 0L , chega-se finalmente à equação do raio

.d d

n nds ds

r (2.63)

Existem diferentes soluções possíveis para a equação dos raios[1].

Uma delas, consiste em expressar duas das coordenadas em função de uma terceira, x z e y z , fazendo

2 2

1dx dy

ds dzdz dz

e resolvendo para x z e y z .

Esta solução não é trivial, como tal, muitas vezes utiliza-se uma aproximação paraxial. Neste caso, tem-se

ds dz e as equações dos raios reduzem-se simplesmente a

, , , , ,d dx n d dy n

n x y z n x y zdz dz x dz dz y

(2.64)

podendo resolver-se de modo a obter as trajectórias x z e y z .

Note-se que no caso dos meios homogéneos, o raio propaga-se em linha recta.

Considere-se o caso de uma placa com índice de perfil parabólico, dado pela seguinte expressão [8]

2 2 2 20 1 .n x n g x (2.65)

Considerando 2 2 1g x implica que

2 2 2 2 2 20 0

11 1 .

2n x n g x n x n g x

Resolvendo a equação do raio

2 2

2 2

1,

d n xd dx d dx d x d xn x n x n x

ds ds dz dz n x dxdz dz

assim

2

2

2.

d xg x

dz (2.66)

A solução da equação (2.66) é

00 cos sinx z x gz gz

g

(2.67)

e o ângulo é

0 0sin cos .dx

z x g gz gzdz

(2.68)

22

A evolução pode ser vista na Figura 2.5.

Figura 2.5 - Evolução da trajectória e da fase de um raio num meio GRIN.

Este tipo de placas, constituídas por materiais GRIN, pode ser dimensionado de modo a ter um comportamento

semelhante ao de uma lente.

2.8. Lente de Luneberg

A lente de Luneberg é uma estrutura de simetria esférica, com índice de refracção variável, que tem a

capacidade de formar imagens geométricas perfeitas de duas esferas concêntricas em cada uma delas. De notar

que se uma das referidas esferas tiver um raio infinito, verifica-se uma das seguintes propriedades: a lente foca

um feixe de raios paralelos, provenientes de qualquer direcção, exactamente num ponto da outra esfera ou a

partir de um ponto específico da esfera, forma um feixe de raios paralelos do lado oposto [11], [12].

Para demonstrar a propriedade de focagem da lente (Figura 2.6) vai utilizar-se a solução proposta por R.K.

Luneburg, em 1944, que assume uma forma simples e explícita se for colocado um ponto no infinito e o outro

na superfície oposta da lente [13].

Figura 2.6 - Lente de Luneberg: Propriedade de focagem.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1

-0.5

0

0.5

1

zx

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1

0

1

2

z

23

Inicialmente, apresenta-se um estudo das propriedades da lente de Luneberg e posteriormente efectua-se uma

simulação através da ferramenta MATLAB, de modo a representar as trajectórias de um raio que atravesse a

lente.

Assim, considera-se uma esfera de Luneberg de raio unitário, imersa no ar, cujo índice de refracção é dado pela

expressão [14]:

22 .n r r (2.69)

Como se pode observar pela expressão, o valor do índice de refracção é 1 na fronteira da esfera e aumenta ao

aproximar-se do centro [15].

Admite-se que a esfera ocupa a região 0 1r em coordenadas polares ,r .

Considera-se que o raio inicia o trajecto do ponto 0 0, 1,P r e faz um ângulo com o eixo xx

positivo quando se encontra no ponto de saída da lente, isto é, no ponto 1, (Figura 2.7).

A distância mínima entre o raio e a origem é designada por turning point do raio. Este ponto corresponde à letra

Q da Figura 2.7, cujas coordenadas polares são ,r , por ser único para cada valor de .

Assim, podem deduzir-se as equações da trajectória e os valores das coordenadas do turning point que são as

expressões mais relevantes para a resolução deste problema.

Figura 2.7 - Trajectória de um raio óptico na Lente de Luneberg e correspondente turning point.

A partir da lei de Snell generalizada para coordenadas polares, retira-se a equação da trajectória

0

02 2

r

r

dr

r r

(2.70)

em que r rn r , uma vez que a teoria dos meios radialmente simétricos indica que os índices de refracção

ocorrem frequentemente com combinações de rn r [13]

0 sin sinr (2.71)

pois, 0 1r .

24

Deste modo, é possível determinar as coordenadas do turning point pela aplicação da lei de Snell generalizada

em coordenadas polares, equação (2.70). Assim

sinn r r (2.72)

em que é o ângulo assinalado na Figura 2.4 e tem o valor 2

pois pretende-se determinar o ponto do raio

cuja distância à origem é menor.

Simplificando a expressão e substituindo pelos respectivos valores, vem

2 22 2 22 sin .n r r n r r r r r r

Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtém-se

2 2 2 4 22 1 cos 2 1 cos 0 1 cosr r r r r r

ou

2 sin .2

r

(2.73)

Para a obtenção do valor , correspondente à menor distância entre o raio e a origem, é apenas necessário

aplicar a equação da trajectória, equação (2.70), entre 1 e r .

Sabendo que, no interior da lente, para [14]

2 21

2 2 2 2 2 2

1sgn tan

22 2

r b

b

a

r a

rdr

r r r r r

(2.74)

em que sin .

Tem-se

2 21

2 2 2 2 2 21

1

1 sinsgn sin tan .

22 sin 2 sin

r r

r

r

rdr

r r r r

(2.75)

Analisando a expressão para sin 0 e substituindo 2 sin2

r

, vem

2 21

2 2 2

1

1 sin 1tan ,

2 2sin 2 sin

r r

r

r

r r

(2.76)

resolvendo para , fica

1

.2

(2.77)

25

Também é possível obter o valor através de geometria básica dividindo o raio do modo indicado na Figura

2.8.

Figura 2.8 - Método geométrico para determinar .

Uma vez que percorrer meia circunferência corresponde, em coordenadas polares ,r , a uma variação de ,

tem-se

2

Resolvendo a expressão em ordem a , vem

1,

2 (2.78)

confirmando-se a expressão obtida analiticamente.

Existem agora condições para se determinar as equações da trajectória de raios que incidam na lente de

Luneberg, resolvendo a equação (2.70).

Aplicando as seguintes condições [13] [14]

2 2 2

1

,

r

dr

r n r r

(2.79)

1

2 22 2 2 2, .

r r

r r

dr dr

r n r r r n r r

(2.80)

O primeiro troço da trajectória corresponde à distância percorrida entre ponto o P e o ponto Q da Figura 2.7.

Uma vez que se percorre o troço no interior, resolve-se o integral da equação (2.74) aplicando a condição da

equação (2.79) [13]

2 21

2 2 2

1

1 sinsgn sin tan

2 sin 2 sin

r r

r

r

r r

26

para sin 0 , vem

2 2 2

1 cos cos 2sin

sin 2 sin cos 2r

(2.81)

Apresenta-se no Apêndice A a dedução detalhada da equação da trajectória do raio no primeiro troço.

Analisa-se agora o segundo troço da trajectória, ou seja, o percurso entre os pontos Q e R (Figura 2.7).

Novamente utiliza-se a equação (2.74), aplicando a condição da equação (2.79) uma vez que ainda se trata do

interior da lente.

Assim, e fazendo novamente sin 0 , tem-se

1

2 22 2 2 2

r r

r r

dr dr

r n r r r n r r

2 21

2 2 2

1

1 sintan ,

2 sin 2 sin

r r

r

r

r r

significa que, tal como para o troço anterior, a expressão da trajectória será dada por

2 2 2

1 cos cos 2sin .

sin 2 sin cos 2r

No Apêndice A descreve-se o processo de cálculo da equação da trajectória no segundo troço.

Para o exterior da lente, tem-se [13], sabendo-se que neste caso

2 21

2 2 2sgn tan

2

r bb

a r a

rdr k

r r r

(2.82)

recorrendo às aproximações utilizadas nos raciocínios anteriores

2 sin2

2 2 2 2 2 21 2 sin2

22 2

2

2 2

sin 1sin sin .

cos

r

dr dr

r r r r r r

r

Simplificando a expressão, obtém-se

sin

.cos

r

(2.83)

Esta expressão corresponde a siny em coordenadas cartesianas.

Para cada valor de obtém-se uma recta paralela ao eixo do xx assim que cada raio sai da esfera.

A dedução da equação da trajectória do raio no exterior da lente encontra-se no Apêndice A.

27

Após a realização da análise teórica, procede-se à simulação em MATLAB, com vista a uma melhor

compreensão das propriedades da Lente de Luneberg.

Verifica-se, inicialmente, a relação entre a variação do raio e do ângulo no interior da Lente de Luneberg para

diferentes valores do ângulo .

De notar que para obtemos 1r e que com o aumento do valor de se verifica uma diminuição do raio

até atingir um mínimo, r correspondentes a . Estes pontos correspondem aos turning points e estão

identificados na Figura 2.9. Após atingir os referidos pontos, verifica-se novo aumento nos valores de .

Com o aumento de , verifica-se que todos os raios convergem para o mesmo ponto da lente,

independentemente do valor de .

Figura 2.9 - Lente de Luneberg: Raio em função de .

Finalmente representa-se as trajectórias dos raios, no interior e exterior da lente, em coordenadas cartesianas.

Assim, a Figura 2.10 representa uma Lente de Luneberg de raio unitário e pode observar-se as trajectórias dos

raios para diversos valores de .

Novamente verifica-se a focagem de todos os raios paralelos num mesmo ponto, por este tipo de lentes, tal

como esperado pela análise teórica efectuada anteriormente.

Figura 2.10 - Lente de Luneberg: Representação das trajectórias dos raios.

28

29

Capítulo 3

3. Fibras Ópticas:

Tratamento analítico

Neste capítulo descreve-se a propagação de raios de luz numa fibra óptica, através da teoria dos raios e da teoria

modal. Deduzem-se as equações da propagação de impulsos em fibras ópticas em regime RLD e em regime

RNLD, analisando-se os efeitos da dispersão e da auto-modulação de fase. São apresentados os métodos

variacionais como ferramenta matemática para a obtenção de equações que descrevem os diversos parâmetros

que caracterizam um impulso que se propague numa fibra óptica.

30

3.1. Estrutura de uma fibra óptica

A fibra óptica é um guia de ondas de forma cilíndrica, com uma estrutura fina e flexível, cuja função é transmitir

luz entre dois pontos. É constituída pelo núcleo, de índice de refracção 1n , que é rodeado pela bainha, de índice

de refracção 2n , tal que 1 2n n e pelo revestimento, em geral um material plástico, que confere maior

protecção à fibra (Figura 3.1).

Figura 3.1 - Estrutura de uma fibra óptica.

A propagação de luz ao longo de uma fibra óptica pode ser explicada por duas teorias: a teoria dos raios e a

teoria modal.

3.2. Teoria dos raios

Nesta teoria a luz é descrita como um simples raio. Numa fibra óptica podem propagar-se dois tipos de raios: os

raios meridionais e os raios enviesados. De notar que o método de traçar raios com o intuito de descrever a

propagação de luz nas fibras ópticas (aproximação da óptica geométrica), apenas é válido quando a razão entre o

raio do núcleo e o comprimento de onda é muito elevada, situação comum nas fibras multimodo.

3.2.1. Raios meridionais

Os raios meridionais são os que se propagam ao longo dos meridianos da fibra óptica e têm como função

caracterizar as propriedades de transmissão básicas numa fibra óptica. Podem ser do tipo guiado, estando

confinados ao núcleo e propagando-se ao longo da fibra, ou do tipo não-guiado, sendo refractados para fora do

núcleo.

Os raios meridionais regem-se pelas leis de reflexão e refracção, sendo que os raios guiados se propagam no

interior da fibra devido ao fenómeno de reflexão interna. Apenas os raios que entram na fibra e intersectam a

interface núcleo-bainha com um ângulo superior ao ângulo crítico c se propagam ao longo da fibra, os

restantes são refractados para fora desta.

31

Considere-se a situação da Figura 3.2 na qual se representa a propagação de um raio numa fibra óptica de índice

de refracção em degrau ideal, ou seja, homogénea, cilíndrica e sem descontinuidades na fronteira do núcleo e da

bainha.

Figura 3.2 - Propagação de um raio meridional numa fibra de índice de refracção em degrau.

O raio com um ângulo de incidência, i propaga-se no interior da fibra pois sofre reflexão interna total (RIT) [1]

na fronteira do núcleo e da bainha, sendo novamente direccionado para o núcleo. O ângulo de refracção do raio,

r , é dado por

0 1sin sini rn n (3.1)

em que 1n e 0n são os índices de reflexão no núcleo da fibra e no ar, respectivamente. Deste modo o raio

propaga-se na fibra por sucessivas reflexões.

No entanto, a refracção só ocorre para determinados valores de um ângulo de incidência crítico, c , tais que

2

1

sin c

n

n (3.2)

em que 2n é o índice de refracção da bainha.

Assim, é possível concluir que apenas os raios que entram no núcleo com um ângulo de incidência inferior a c

se propagam na fibra através do fenómeno de reflexão interna total, enquanto os restantes se perdem pela

bainha. A condição necessária para que a reflexão interna total ocorra é 1 2n n .

Este é o mecanismo básico por detrás da propagação da luz em fibras ópticas.

Para que um raio entre na fibra este deve ser transmitido no interior do cone de aceitação, Figura 3.3.

c

i

2n

1nNúcleo

Baínha

0nRIT

32

Figura 3.3 - Cone de aceitação.

Através da trigonometria pode definir-se o valor máximo de 0 , ou seja, o ângulo de aceitação máximo. Pela

equação (3.2) tem-se

1 2

2 20 0 1 1 2sin sin .cn n n n (3.3)

O termo 0 0sinn designa-se por abertura numérica da fibra NA . Assim,

1 2

2 21 2 .NA n n (3.4)

Definindo, o contraste dieléctrico pelo parâmetro , tal que

2 21 2

212

n n

n

(3.5)

e aproximando a expressão (3.5), 1 21 n n , então

1 2 .NA n (3.6)

Este tipo de fibra é designado por fibra óptica de índice de refracção em degrau2, devido à variação abrupta no

índice de refracção [1].

O ângulo de aceitação relaciona-se com o índice de refracção do núcleo, da bainha e do meio, através da

abertura numérica.

A abertura numérica pode ser vista como uma grandeza adimensional que mede a capacidade de uma fibra

óptica captar luz.

No caso de uma fibra de índice de refracção variável3, o índice varia gradualmente, diminuindo do centro da

fibra, onde o seu valor é máximo, 1n , até atingir um mínimo na interface núcleo-bainha, 2n . Devido à variação

do índice de refracção, a velocidade dos raios ópticos varia ao longo da fibra. O raio propaga-se ao longo do

percurso mais curto, mas desloca-se mais lentamente, pois o índice de refracção é maior neste percurso. Por sua

vez, os raios oblíquos propagar-se-ão num meio com índice de refracção menor e, consequentemente, deslocam-

se mais rapidamente.

Assim, é possível que todos os raios cheguem a determinado ponto da fibra ao mesmo tempo, através de uma

escolha adequada do índice de refracção.

2 Do inglês: step-index fiber 3 Em inglês: Graded Index Fiber

0

c

c

33

3.2.2. Raios enviesados

Os raios enviesados são raios que não estão confinados apenas a um plano, mas apresentam uma propagação

helicoidal.

Em geral, existem em maior número que os raios meridionais, pois apresentam ângulos de aceitação superiores

[1]. A propagação destes raios ocorre maioritariamente junto da fronteira do núcleo e, apesar de ser expectável

pela óptica geométrica que estes raios sofram RIT, tal não acontece pois existem perdas devido à natureza curva

da fronteira da fibra. Como tal, é comum designar estes raios de leaky rays.

3.2.3. Conclusões

A teoria dos raios descreve apenas a direcção que uma onda planar assume quando se encontra no interior de

uma fibra, eliminando propriedades do plano de onda que interferem com a propagação da luz numa fibra

óptica. Na realidade, as ondas que se propagam interferem umas com as outras.

A teoria dos raios perde a sua validade para o caso de fibras ópticas com diâmetro do núcleo muito pequeno,

caso das fibras monomodais (single-mode fibers). Neste caso, é necessário recorrer à teoria modal para se obter

um modelo preciso da propagação da luz numa fibra óptica.

3.3. Propagação de ondas electromagnéticas em fibras ópticas

A teoria dos raios é útil para uma percepção generalizada da propagação da luz numa fibra sob uma perspectiva

de óptica geométrica.

No entanto, para se obter um modelo preciso da propagação da luz numa fibra, deve recorrer-se à teoria

electromagnética, mais concretamente, às equações de Maxwell [16].

Partindo das equações de Maxwell

t

BE (3.7)

t

DH J (3.8)

D (3.9)

0 B (3.10)

em que E representa o campo eléctrico, H o campo magnético, D a densidade de fluxo eléctrico e B a

densidade de fluxo magnético, J a densidade de corrente eléctrica e a densidade volúmica de cargas livres.

Para um meio dieléctrico, isotrópico e linear, sem correntes nem cargas, têm-se as seguintes relações

constitutivas

0

0

1.

D E P

H B M (3.11)

34

As constantes 0 e 0 representam a permitividade eléctrica no vácuo e a permeabilidade magnética no vácuo,

respectivamente, P a polarização eléctrica e M a polarização magnética.

Para se chegar às equações de onda, é necessário aplicar o rotacional em ambos os membros da equação (3.7) e

usar as relações (3.8) e (3.11), obtendo-se

2 2

02 2 2

, ,1,

t P tt

c t t

E r rE r (3.12)

em que 0 01c é a velocidade da luz no vácuo.

Para se resolver a equação (3.12) é necessário conhecer a relação entre a polarização induzida P e o vector do

campo eléctrico E . Para tal recorre-se à mecânica quântica [1], sendo que, considerando apenas os efeitos não-

lineares de terceira ordem, a relação pode ser expressa como

, , ,L NLt P t P t P r r r (3.13)

em que LP corresponde à componente linear e NLP à componente não-linear as quais se relacionam com o

campo eléctrico pelas expressões

10, ,L

it t t t dt

P r E r (3.14)

30 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , .NL t t t t t t t t t t dt dt dt

P r E r E r E r (3.15)

Dada a complexidade das equações, e uma vez que se tratam de fibras de sílica em que os efeitos não-lineares

são relativamente fracos, é comum tratar o termo NLP como uma pequena perturbação. Assim, pode escrever-se

a equação (3.12) no domínio da frequência, como

2

2, , 0

c

E r E r (3.16)

com , , expt i t dt

E r E r .

A constante dieléctrica que depende da frequência é dada por 11 em que

1 é a

transformada de Fourier de 1

t . Como 1

é um número complexo, também é, podendo ser

relacionado com o índice de refracção n e com o coeficiente de atenuação por

2

2 .n i c (3.17)

Estas variáveis por sua vez relacionam-se com 1

pelas equações

111 Re

2n

(3.18)

1Im .

nc

(3.19)

35

Para a resolução da equação (3.16) assumem-se ainda duas simplificações. Primeiro, admite-se que a parte

imaginária de é muito pequena em relação à parte real, devido à baixa atenuação exibida pelas fibras

ópticas na região de comprimento de onda de interesse, pelo que pode ser substituído por 2n . Em

segundo, uma vez que n é praticamente constante, quer no núcleo quer na bainha, pode escrever-se

2 2 . E E E E (3.20)

Atendendo a estas simplificações a equação (3.16) passa a ser dada por

2

2 2

20.n

c

E E (3.21)

3.4. Teoria Modal

De acordo com a teoria electromagnética, a propagação de ondas em fibras ópticas é descrita pela equação

(3.21), sendo que cada solução desta corresponde a um modo. Tal como noutros guias de onda, a fibra óptica

guia ondas com padrões distintos. Para cada fibra, o diâmetro do núcleo e o comprimento de onda da luz

especificam o número de modos possíveis para uma dada frequência , ou seja, as dimensões do guia

determinam as condições de fronteira para os campos eléctrico e magnético que constituem o campo

electromagnético.

Considere-se uma fibra óptica com perfil de índice de refracção em degrau, descrito por

1

2

,

,

n r an r

n r a

(3.22)

em que 1n é o índice de refracção no núcleo, 2n o índice de refracção da bainha e a o raio do núcleo. O

contraste dieléctrico é dado pela equação (3.5).

Dada a estrutura cilíndrica da fibra óptica, define-se um sistema de coordenadas cilíndricas , ,r z com o eixo

dos zz coincidente com o eixo de simetria da fibra, reescrevendo-se a equação (3.21)

2 2 2

2 202 2 2 2

, , , ,1 1, 0

E E E Ek n E

r rr r z

r r r rr (3.23)

em que 0k c é o número de onda no vazio. Na equação (3.23), ,E r pode representar qualquer

componente do campo e esta pode ser escrita para cada componente do campo magnético. Os campos E e H

satisfazem as equações de Maxwell, pelo que apenas duas das seis componentes são independentes. Escolhendo

como campo independente zE e admitindo que tem a forma

, exp expzE A F r im i z r (3.24)

onde A é uma função normalizadora, F r é a respectiva função modal, m é o índice de variação azimutal

e é a constante de propagação longitudinal, obtém-se, aplicando a expressão (3.24) à equação (3.23)

36

2 2

2 2 202 2

10.

d F r dF r mk n F r

r drdr r

(3.25)

A equação (3.25) tem como solução a função de Bessel. O campo associado a um modo guiado deve ser finito

em 0r e anular-se quando r , então

,

,

m

m

rB J u r a

aF r

rC K w r a

a

(3.26)

em que mJ é a função de Bessel de primeira espécie (ordem m ), mK é a função de Bessel de segunda espécie

(ordem m ), B e C são constantes, u e w são dois parâmetros normalizados dados por

2 2 2

0 1u a k n (3.27)

2 2 2

0 2 .w a k n (3.28)

As constantes B e C obtém-se impondo as condições de fronteira na interface núcleo-bainha e conduzem a

uma equação de valores próprios, designada por equação modal. Uma fibra óptica suporta modos híbridos, com

excepção dos casos em que 0m , cuja solução corresponde aos modos transversais eléctricos (TE) quando

0zE ou aos modos transversais magnéticos (TM) quando 0zH . Os modos híbridos caracterizam-se por

terem uma componente do campo eléctrico e do campo magnético na direcção de propagação, sendo

classificados em HE ou EH conforme a contribuição de zH ou de zE seja mais preponderante.

Nos modos guiados, a constante de propagação verifica

0 2 0 1.k n k n (3.29)

É comum definir uma constante de propagação normalizada b , que toma valores entre 0 e 1 para os modos

guiados, dada por

2 2 2 2 20 2 2

2 2 2 21 2 1 2

k n n nb

n n n n

(3.30)

onde 0n k é o índice de refracção modal.

Outro parâmetro importante para caracterizar o comportamento da fibra é a frequência normalizada V , pois

indica o número de modos suportado pela fibra, sendo definida por

1 2

2 20 1 2 1

22V k a n n an

(3.31)

em que é o comprimento de onda em que a fibra está a operar.

Uma fibra monomodal suporta apenas o modo 11HE que se designa por modo fundamental. A Figura 3.4 mostra

a solução da equação modal para o modo fundamental, relacionando a constante de propagação e a frequência

normalizada.

37

Figura 3.4 - Modo fundamental: Diagrama b vs v.

Também é interessante verificar o efeito do contraste dieléctrico, , sobre a curva de dispersão do modo

fundamental, Figura 3.5.

Figura 3.5 - Influência do contraste dieléctrico sobre o modo fundamental.

Verifica-se que o aumento do contraste dieléctrico significa um aumento da dispersão. O objectivo é obter fibras

ópticas com o menor contraste possível de modo a reduzir a dispersão.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

v

b (

v)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

v

b (

v)

= 0

= 0.2

= 0.4

38

As fibras ópticas são, no entanto, caracterizadas por terem um pequeno contraste dieléctrico ( 1 ,

aproximação de Gloge), pelo que os seus modos são quase linearmente polarizados e designam-se por pnLP

[17]. Os índices p e n , representam, respectivamente, o número de variações azimutais ( p ) e radiais ( 1l n

). Para melhor compreensão observe-se a Figura 3.6.

Figura 3.6 - Representação da intensidade dos campos para modos pnLP .

Na Figura 3.7, mostra-se um gráfico com os primeiros seis modos LP de uma fibra óptica, obtido pela

resolução da equação (3.26).

Figura 3.7 - Modos pnLP da fibra óptica: Diagrama b vs v.

A análise da Figura 3.7 permite concluir que quanto maior o valor do parâmetro V maior o número de modos

que uma fibra pode suportar. De notar que o modo 01LP não apresenta frequência da corte, anulando-se apenas

quando o raio do núcleo é zero.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

v

b (

v)

LP

01

LP11

LP21

LP02

LP31

LP12

V = 2.4048

39

Para dimensionar uma fibra óptica que funcione em modo monomodal é necessário determinar o valor do ponto

X assinalado na Figura 3.7. Este valor corresponde à frequência de corte do modo 11LP . Através deste ponto é

também possível determinar o valor máximo do raio do núcleo de uma fibra monomodal

1

22 2.4048.V an

(3.32)

Resolvendo a expressão (3.32) para o raio do núcleo, a

1

1,

2 2a V

n

(3.33)

o valor máximo do raio do núcleo obtém-se resolvendo a equação (3.33) para 2.4048V .

A importância das fibras monomodais reflecte-se no facto de estas apenas sofrerem dispersão intramodal e não

sofrerem dispersão intermodal.

De seguida pode observar-se, na Figura 3.8, a relação entre o contraste dieléctrico e o raio da fibra óptica.

Figura 3.8 - Variação do contraste dieléctrico para dois valores de para o modo 01LP .

3.5. Fibras ópticas: Características da transmissão

Dois dos principais factores que caracterizam o desempenho de um sistema de fibras ópticas são a atenuação e a

dispersão, pois impõem um limite à distância e ao ritmo máximo de transmissão numa fibra óptica.

3.5.1. Atenuação

A atenuação é uma característica muito importante de uma fibra óptica, pois é o factor principal para se

determinar a distância máxima entre o transmissor e o receptor. A atenuação reduz a potência óptica disponível,

aumentando a probabilidade de ocorrência de erros na recepção.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

Contraste dieléctrico ( n1 = 1.5 )

a [m]

c = 1.3 m

c = 1.55 m

40

A atenuação calcula-se comparando a potência da entrada do sinal com a sua potência de saída através da

expressão

10log .in

out

PdB

P

(3.34)

Em sistemas de fibra óptica é usual apresentar-se o valor da atenuação por unidade de comprimento

1010log in

out

PL

P

(3.35)

em que é o coeficiente de atenuação /db km e L é o comprimento da fibra óptica km .

Existem vários fenómenos responsáveis pela existência de atenuação numa fibra óptica, dos quais se destacam:

absorção, scattering, perdas por macro/micro curvatura, perdas por radiação, perdas por acoplamento dos modos

e perdas devido a leaky-rays. Todos estes fenémenos são influenciados pelo material que compõe a fibra, a sua

técnica de fabrico e a estrutura do guia de ondas.

3.5.2. Dispersão

Outra característica importante de uma fibra óptica é a sua largura de banda que é limitada pela dispersão

existente no interior da fibra. Os mecanismos de dispersão são responsáveis por causar o alargamento dos sinais

ópticos à medida que estes se propagam na fibra. Assim, é possível que os sinais que se propaguem por longas

distâncias interfiram com outros sinais, provocando perdas de informação. A este fenómeno dá-se o nome de

Interferência Intersimbólica4 (IIS). A dispersão define o número de bits que se podem enviar num determinado

intervalo de tempo [1].

A dispersão pode ser de dois tipos: intramodal e intermodal. A dispersão intramodal ocorre devido ao

alargamento de um impulso num só modo. Resulta da velocidade de grupo ser função do comprimento de onda,

ou seja, é tanto maior quanto maior for a largura espectral do sinal óptico. A dispersão intermodal resulta de

cada modo de propagação ter um valor diferente da sua velocidade de grupo para a mesma frequência. Como os

diferentes modos que constituem o impulso se propagam com diferentes velocidades de grupo, a largura do sinal

depende do tempo de propagação do modo mais rápido e do modo mais lento.

Assim, trabalhar em regime monomodal elimina a principal causa de dispersão em fibras ópticas, a dispersão

intermodal. Existe, no entanto, outro factor muito importante na dispersão numa fibra, a dispersão da velocidade

de grupo (DVG). Pode ainda existir dispersão de ordem superior.

Considere-se uma fibra monomodal de comprimento L . Determinada componente espectral, à frequência ,

atingiria o final da fibra com um atraso gT L v , em que gv é a velocidade de grupo, definida por

1

.g

dv

d

(3.36)

4 Do inglês: Intersymbol Interference (ISI)

41

Aplicando a expressão do índice de refracção modal na equação (3.36), demonstra-se que

gg

cv

n (3.37)

em que gn é o índice de grupo, dado por

.g

dnn n

d

(3.38)

Como referido anteriormente, a dependência da frequência da velocidade de grupo leva ao alargamento dos

impulsos, o que significa que não chegam ao final da fibra no mesmo instante de tempo. Então, tem-se que

2 2

2 22 2,

g

dT d L d dT L L

d d v d d

(3.39)

em que o parâmetro 2 se designa por dispersão de velocidade de grupo, DVG, e define o quanto se alarga um

impulso.

Fazendo 2 c e 22 c pode reescrever-se a equação (3.39), como

22

1 2,

g g

d L d cT DL D

d v d v

(3.40)

em que D se designa por coeficiente de dispersão cujas unidades são ps/ km-nm . O parâmetro D é a soma

de dois termos

M WD D D (3.41)

em que MD representa a dispersão material e WD a dispersão no guia de ondas, cujas expressões são

2 2

2

2 1g gM

dn dncD

d c d

(3.42)

2 2

2 2

2 22

2 g gW

n dnVd Vb d VbD

n d dVdV

(3.43)

o parâmetro 2gn é o índice de grupo da bainha, enquanto os parâmetros V e b são, respectivamente, a

frequência normalizada e a constante de propagação normalizada.

Sendo o débito binário 1 BB T , em que BT é o período associado a um bit, pode estimar-se o efeito da

dispersão no débito binário através da condição 1B T , a qual, aplicando-se a equação (3.39), fica

1.BL D (3.44)

Quando a portadora se encontra na vizinhança do comprimento de onda de dispersão nula, D , em que se

verifica 2 0D , ou quando o sinal tem uma largura espectral elevada é necessário considerar a dispersão

de ordem superior.

42

A dispersão de ordem superior é definida pelo declive da dispersão, S

,D

S

(3.45)

substituindo na equação (3.45) o coeficiente de dispersão D (equação (3.40)), vem

2

2 33 2

4 2c cS

(3.46)

em que 3 2d d . Logo, para a situação de dispersão nula, vem

2

32

2.

D

cS

(3.47)

O declive da dispersão é um parâmetro muito importante no dimensionamento de sistemas WDM5. É também o

declive da dispersão que limita o débito binário. Note-se que, para uma fonte de largura espectral , o

coeficiente de dispersão é D S , então a equação (3.44), vem

2 1.BL S (3.48)

3.6. Equação da propagação de impulsos em regime linear

Em regime linear, a forma do espectro dos impulsos é invariante ao longo da propagação na fibra. A análise

efectuada nesta secção considera o termo NLP da equação (3.13) desprezável.

Considere-se que à entrada de uma fibra óptica, 0z , se tem um impulso com 0,A t e admita-se que o

mesmo impulso modula uma portadora com frequência angular 0 .

Partindo, então, das equações do campo [14]

0

ˆ, , 0, , 0,

0, 0, exp

x y t F x y B t

B t A t i t

E x (3.49)

em que ,F x y é a variação transversal do modo 01LP e 0,B t é a variação longitudinal do modo 01LP para

0z , a aproximação aos modos 01LP é possível pois considera-se o caso das fibras ópticas de pequeno

contraste dieléctrico.

Por definição, tem-se

, , expA z A z t i t dt

(3.50)

~

, , expB z B z t i t dt

(3.51)

5 Wavelength-division Multiplexing Systems

43

1

, , exp2

A z t A z i t d

(3.52)

1

, , exp .2

B z t B z i t d

(3.53)

Da equação (3.49), obtém-se

0

, , 0, , 0,

0, 0, .

E x y F x y B

B A

(3.54)

Sabendo que é a constante de propagação longitudinal, no domínio da frequência, o campo eléctrico é dado

por

ˆ, , ,F x y B z E r x (3.55)

onde

0, 0, exp 0, exp .B z B i z A i z

Por sua vez, no domínio do tempo, tem-se

0

0

1, 0, exp exp

2

10, exp .

2

B z t A i z i t d

A i z t d

(3.56)

Esta operação corresponde a uma passagem do sinal da banda de base para alta frequência, através de

modulação.

Introduz-se, de seguida, a variável, 0 . Deste modo, a expressão (3.56), fica

0 0

0 0

1, 0, exp

2

1exp 0, exp .

2

B z t A i z y d

i t A i z t d

(3.57)

Simplificando a expressão (3.57) aplicando o desenvolvimento em série de Taylor para 0 , obtém-se

[14]

0 0 (3.58)

em que, 1

! mm

m

m

, com 0

m mm

e 0 0 .

44

Destes coeficientes, destacam-se os casos particulares dados por 1,2,3m

0 0

32

1 2 32 30 0

1 1, ,

g

g g

v d

v v d

com 1

gv

.

O coeficiente 2 corresponde à dispersão da velocidade de grupo (DVG) e 3 corresponde ao coeficiente de

dispersão de ordem superior.

Calcula-se agora a expressão da envolvente, ,A z t . A partir da equação (3.57), vem

0 0

0 0

0 0

1, exp 0, exp

2

1exp exp 0, exp

2

, exp .

B z t i t A i z t d

i t i z A i z t d

A z t i z t

(3.59)

Logo, a expressão da envolvente é dada por

1, 0, exp .

2A z t A z t d

(3.60)

Definindo, 1

, 0, exp exp2

mmA z t A i z i t d

e aplicando na equação (3.60), tem-se

1

1

10, exp exp

2

10, exp exp

! 2

, .!

m

m

m

m

AA i z i t d

t

i A i z i t dm

i A z tm

(3.61)

Caso existam perdas, a expressão (3.61), vem

1

, ,! 2

m

m

Ai A z t A z t

t m

(3.62)

em que corresponde ao coeficiente de atenuação de potência.

Analisando a expressão (3.61), verifica-se que

2 3 4

1 2 3 42 3 4, ; , ; , ; ,

A A A AiA z t A z t iA z t A z t

t t t t

45

então, pode generalizar-se a expressão (3.62), para

2 , , 1, 2,3,m

mmm

Ai A z t m

t

(3.63)

Das expressões (3.61) e (3.63), obtém-se

1

1

0.!

m m

m mm

A i A

z m t

(3.64)

Observando as equações (3.59) e (3.60), verifica-se que dependem, respectivamente, de 0 e , concluindo-

se que ,B z t varia mais rapidamente no tempo que ,A z t , logo, trata-se de impulsos de banda estreita, ou

seja, 0 . Assim, vem

2 31 2 3

1 1

2 6 (3.65)

de onde resulta que a equação da propagação de impulsos numa fibra óptica é dada por

2 3

1 2 32 3

1 10.

2 6 2

A A A Ai A

z t t t

(3.66)

Para uma situação em que a atenuação e a dispersão de ordem superior são desprezáveis, a equação da

envolvente é dada por

22

1, 0, exp .

2 2

iA z t A z i t d

(3.67)

Estude-se o caso da propagação de um impulso gaussiano

2

20

0, exp2

tA t

(3.68)

em que 0 é a largura inicial do impulso.

Aplicando a equação (3.68) na equação (3.67) e integrando atendendo à igualdade

2

2exp exp4

bax bx dx

a a

(3.69)

tem-se que a amplitude ,A z t é dada por

20

1 2 220 20 2

, exp2

tA z t

i zi z

(3.70)

atendendo à expressão do comprimento de dispersão, 2

0 2DL , observa-se que um impulso gaussiano

mantém a sua forma apesar de sofrer alargamento, como se pode verificar na expressão

2

0 1 .D

zz

L

(3.71)

46

Esta expressão mostra como a DVG alarga o impulso. Se não houver propagação a largura do impulso é 0 ,

quando o impulso se propaga a largura é sendo que o seu crescimento é regulado por , que por sua vez é

regulado por 2 , como se pode ver na Figura 3.9.

Figura 3.9 - Evolução da largura do impulso ao longo da fibra.

Quanto maior for a largura inicial do impulso mais este alarga.

Comparando as equações (3.68) e (3.70), verifica-se que o impulso adquire chirp apesar de, inicialmente, não

existir. Esta situação é facilmente observável colocando o impulso na forma

, , exp ,A z t A z t i z t (3.72)

em que

22 1

2 20

sgn 1, tan .

221

D

DD

z L t zz t

Lz L

(3.73)

A dependência temporal de ,z t implica que a frequência instantânea difere da frequência central 0 ao

longo do impulso. A diferença é dada por

2

2 20

sgn

1

D

D

z L tt

t z L

(3.74)

o sinal negativo deve-se à convenção 0exp i t .

A equação (3.74) mostra que o chirp imposto pela propagação na fibra é linear. Tal como a fase, o chirp

depende do sinal de 2 . Para a zona normal é negativo e aumenta linearmente enquanto que na zona anómala é

positivo verificando-se o oposto.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

= z / LD

2

0

tan

47

3.7. Débito binário

O débito binário de um sistema óptico pode ser definido com o número de impulsos que a ligação transmite por

segundo. Tal como se referiu anteriormente, o débito binário é limitado pela IIS que, por sua vez, está

dependente do alargamento dos impulsos provocado pela dispersão, pelo que é importante estudar o seu efeito

no mesmo [17].

O alargamento dos impulsos está dependente de diversos factores, de entre os quais se destacam a largura

espectral da fonte, a largura inicial dos impulsos, a DVG e, por vezes, a dispersão de ordem superior.

O número de impulsos depende da largura efectiva do impulso, . A largura efectiva calcula-se através de [14]

22 2t t

(3.75)

em que os momentos, mt , são dados por

2

2

,

,

m

m

t A z t dt

t

A z t dt

(3.76)

em que ,A z t corresponde à envolvente do impulso.

Considera-se que o sinal modulado se representa por

0 0 0, , , expzE r z t E F r A z t i z t (3.77)

onde 0 é a frequência da portadora e 0 0 .

Definindo como a largura espectral efectiva da fonte, então a largura espectral normalizada da fonte é

02 .V (3.78)

Como

2

2d c

d

(3.79)

então

2

2.

c

(3.80)

Nestas circunstâncias, e considerando que o parâmetro chirp do impulso é dado por C e o comprimento da

ligação é dado por L demonstra-se que, para o caso dos impulsos gaussianos, o coeficiente de alargamento de

impulsos é dado por

2 2 22

22 2 2 32 2

2 2 30 0 0 0

1 1 12 2 4 2

LLC LV V C

(3.81)

48

com 02V . Esta expressão descreve o alargamento de impulsos gaussianos de forma generalizada e a sua

dedução encontra-se no Apêndice B.

Manipulando a expressão (3.81) pode verificar-se que o factor de alargamento aumenta com a distância z .

Considere-se o caso de um laser monomodal com pequena largura espectral ( 1V ). Da equação (3.81),

obtém-se

22 22

22 32 2

2 2 30 0 0 0

1 1 .2 2 4 2

zzC zC

(3.82)

Admitindo Dz L C , 0 0 2 , 2

0 2DL e 3

0 3'DL vem

2

2 2

0

1 1 1 .'

D

D D

L zC C

L L

(3.83)

Também através da equação (3.81) é possível representar a evolução dos impulsos na zona de dispersão

anómala, ou seja, 2 0 . A situação representada na Figura 3.10 despreza a dispersão de ordem superior

( 3 0 ) e considera-se que 1V , reduzindo-se a expressão (3.81) a

2 22

2 22 2

0 0 0

1 .2 2

z zC

(3.84)

Considerando ainda as seguintes mudanças de variável

2

0

eD

z

L

(3.85)

ou seja, a equação (3.84) é dada por

2 2

21 sgn .C (3.86)

Figura 3.10 - Evolução da largura de impulsos na zona de dispersão anómala para três valores de C com 2 0 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

Evolução da largura dos impulsos com a distância: sgn (2) = - 1

= z / LD

C = - 2

C = 0

C = 2

zmin

49

A análise da Figura 3.10 permite observar três situações: no caso de 0C verifica-se que o impulso sofre um

alargamento ao longo da sua propagação, devido ao efeito da dispersão da velocidade de grupo (DVG); para o

caso de 2C verifica-se novamente o fenómeno de alargamento do impulso, no entanto, mais acentuado do

que no caso anterior, uma vez que agora se soma o efeito do parâmetro chirp ao efeito da DVG. No caso de

2C verifica-se a existência de contracção do impulso no início da propagação, pois o efeito do parâmetro

chirp é contrário ao efeito da DVG, até ao ponto

2min 1 Dz C C L

(3.87)

ao qual corresponde um coeficiente de alargamento

1 2

20

1.

1 C

(3.88)

Posteriormente o impulso alarga, uma vez que o efeito da DVG se torna dominante.

Considerando BT o período atribuído a um bit slot, então o débito binário é dado por 1 BB T . Com o intuito

de evitar a IIS é comum fazer-se

0

1 1.

4 4 4

BTB B

B

(3.89)

Como referido anteriormente, desprezando 3 e considerando 1V , o coeficiente de alargamento é dado pela

equação (3.84). Resolvendo para 2 , vem

2 2 2 20 2

0

1 .2

LC L C

(3.90)

Uma vez que 22

0 0 2 0 2 02 2 2 1 2 2d d C L L , tem-se

22 2

00

0 1 .2

LdC

d

(3.91)

Aplicando o valor obtido na expressão (3.90) e atendendo à equação (3.89), obtém-se o valor máximo do débito

binário

0

22 2

1.

4 sgn 1

B

L C C

(3.92)

Considere-se agora um coeficiente de alargamento

0

(3.93)

com um correspondente débito binário dado por

0 0 0 0

1 1

2 2B

q (3.94)

com 0 02q e 0 0 2 , em que 0q representa a separação entre impulsos vizinhos.

50

Resulta, da equação (3.84)

2 2

22 2 2

2 2

sgn 1 11 2sgn 1 0

1

C CC x C x x

C

(3.95)

em que

2 2 20 22

0

2 .2

Lx B L

(3.96)

Resolvendo para 2B L vem

2 22

2 222 2

20 2

sgn 1 1, sgn .

2 1

C CB L

C

(3.97)

Na Figura 3.11 mostra-se o efeito do parâmetro chirp no produto 2B L [17].

Figura 3.11 - Influência de C no produto 2B L .

Pode verificar-se que o produto 2B L atinge valor máximo para um valor do parâmetro chirp próximo de zero.

Este valor é positivo ou negativo dependendo de se estar na região anómala ou não. Num sistema de

comunicações ópticas pretende-se que o valor do produto 2B L seja o maior possível.

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

24 Influência do parâmetro C de «chirp» no produto B02 L

C

B02 L

2 = - 20 ps2/km

2 = 20 ps2/km

51

3.8. Fibras ópticas: Efeito não-linear de auto-modulação de fase

Para além dos efeitos da atenuação e da dispersão, os impulsos que se propagam numa fibra óptica estão ainda

sujeitos aos efeitos não-lineares originados pela interacção entre a luz e o dieléctrico da fibra, quando existem

campos electromagnéticos intensos.

Anteriormente assumiu-se que o índice de refracção não variava com a potência. No entanto, o que se verifica é

que todos os materiais se comportam de forma não-linear para intensidades elevadas do campo

electromagnético, verificando-se um aumento do índice de refracção com o aumento da intensidade. De forma a

incluir os efeitos não-lineares, os índices de refracção do núcleo e da bainha são descritos por [18]

2' , 1,2,j j effn n n P A j (3.98)

em que 2n é o coeficiente do índice não-linear, P a potência óptica e

effA a área efectiva, definida por

2

effA w , com w igual ao raio do campo (spot-size).

Utilizando a equação (3.98), pode verificar-se como a não linearidade afecta os modos da fibra. Os modos não

alteram a sua forma mas a constante de propagação torna-se dependente da potência

0 2' effk n P A P (3.99)

sendo 22 effn A .

Assim, a fase não-linear é dada por

0 0

,L L

NL dz P z t dz (3.100)

em que , expinP z t P t z . A fase não-linear aparece devido ao efeito de Kerr que se encontra descrito

no Apêndice C, de onde se retira a expressão do comprimento efectivo

00

1 1exp exp 1 exp

L L

NL in in inP t z dz P t z P t L

.NL in effP t L (3.101)

Em termos práticos, a dependência da potência faz com que NL varie no tempo.

Uma vez que este fenómeno de variação de fase é auto-induzido, designa-se por Auto-Modulação de Fase6

(AMF).

A AMF leva ao aparecimento de chirp

exp expd

i i t tdt

.NL ineff

d dPt L

dt dt

(3.102)

Caso existam perdas na fibra e estas sejam compensadas através de amplificadores, NL , da equação (3.102),

deve ser multiplicado pelo número de amplificadores pois a AMF acumula-se ao longo destes [1].

6 Em inglês: Self-Phase Modulation (SPM)

52

Da expressão (3.102) retira-se que, quando 0 0indP dt t , ou seja, existe um desvio negativo de

frequência (desvio para vermelho), e o inverso para a situação 0indP dt em que ocorre um desvio para azul

(Figura 3.12).

Figura 3.12 - Desvio de frequências num impulso gaussiano.

Por sua vez, a DVG é dada pela equação 22 1 g gv v logo, como 0gdv d , tem-se

Figura 3.13 - Evolução da velocidade de grupo em função da frequência.

As componentes de frequência à esquerda de 0 viajam a menor velocidade que as componentes à direita

(Figura 3.13), verificando-se um desvio para azul na frente de onda e um desvio para vermelho na cauda (Figura

3.14)

Figura 3.14 - Efeito da AMF no desvio de frequências de um impulso gaussiano.

Verifica-se que, em regime não-linear a dispersão e a AMF têm efeitos contrários. Quando estes se anulam é

possível que um impulso se propague sem que ocorra alargamento. Esse impulso designa-se por solitão.

53

3.9. Equação da propagação de impulsos em regime não-linear

Considere-se agora o termo NLP da equação (3.13) desprezado na Secção 3.6. Este termo dá origem ao factor

2i A A que considera os efeitos não-lineares. Adicionando-o à equação (3.66), obtém-se

2 3

221 32 3

1.

2 6 2

A A A Ai A i A A

z t t t

(3.103)

Esta é a equação diferencial para a propagação de um impulso em regime não-linear, designada por equação

não-linear de Schrödinger (NLS). Esta equação descreve a propagação de um impulso óptico incluindo os

efeitos das perdas ( ), DVG (2 ) e a não-linearidade da fibra ( ). Quando o parâmetro

2 0 trata-se da

zona de dispersão anómala e é possível a propagação de solitões.

Para descrever um solitão matematicamente é necessário que a equação NLS seja satisfeita pelo pulso ,A z t

na presença quer da DVG quer da AMF, sendo ainda necessário considerar que a fibra não tem perdas,

desprezando novamente os efeitos da dispersão de ordem superior.

Fazendo uma mudança de variáveis de , ,z t , tal que

1

0D

t zz

L

e considerando

0, , exp 2A z t U z t P z

o factor exponencial contabiliza o efeito das perdas.

Obtém-se

1

0

1

D

A A A A A

z z z L

0

1A A A

t t

22 2 2

2 2 2 2

0

1.

A A A A A A

t t t t t t t t

Substituindo na equação (3.103), vem

2

22

2

0

, ,DLA Ai i A z t A z t

(3.104)

como 2

0 2DL e 2 2 2sgn , resulta

2

2

2 2sgn , , .

A Ai i A z t A z t

(3.105)

54

Simplificando a equação (3.105), obtém-se

2

22

2 2sgn exp 2 , ,

U Ui iN z U z t U z t

(3.106)

em que 2

0D D NLN L P L L é o quadrado da relação entre o comprimento de dispersão e o comprimento não-

linear. O comprimento não-linear é definido por 01NLL P .

Esta equação pode ser reescrita na forma [18]

2

22

2

sgn exp 2.

2 D NL

zU Ui U U

L L

(3.107)

Apresentando-se a equação em função do comprimento de dispersão DL e do comprimento não-linear NLL ,

pode fazer-se uma avaliação simplista de quando os efeitos dispersivos e os efeitos não-lineares são relevantes

na propagação de impulsos. Dependendo dos valores do comprimento da fibra L , DL e NLL o comportamento

da propagação pode ser classificado em quatro categorias.

Quando se tem L tal que NLL L e DL L , quer os efeitos dispersivos quer os efeitos não-lineares podem

ser desprezados, resultando que o impulso mantém a sua forma durante a propagação , 0,U z t U t , o que

significa que a fibra apenas transporta os impulsos ópticos. Este regime designa-se por regime linear não-

dispersivo (RLND).

Quando L é tal que NLL L e DL L , os impulsos são afectados maioritariamente pela DVG podendo

desprezar-se os efeitos não-lineares. O principal efeito da DVG é o alargamento dos impulsos. Este regime

designa-se por regime linear dispersivo (RLD).

Quando se tem L tal que NLL L e DL L , podem desprezar-se os efeitos dispersivos face aos efeitos não-

lineares. O impulso é afectado principalmente pela AMF que causa alterações no espectro do impulso devido às

variações de fase que provoca. Este regime designa-se por regime não-linear não-dispersivo (RNLND).

Finalmente, o caso em que L é tal que NLL L e DL L , o impulso está sujeito quer aos efeitos não-lineares

quer aos efeitos dispersivos. A interacção simultânea da DVG e da AMF leva a comportamentos diferentes de

quando actuam isoladamente. Na zona anómala, quando os efeitos de ambas se anulam mutuamente permite, a

propagação de solitões e na zona normal a propagação de solitões escuros [18]. Este regime designa-se por

regime não-linear dispersivo (RNLD).

A situação RNLD corresponde à situação mais usual numa fibra óptica, ao passo que a RLND corresponde a

uma situação utópica, raramente observável.

Para o caso em que 2sgn 1 , ou seja, a região anómala ( 2 0 ), tem-se

2

22

2

10.

2

U Ui N U U

(3.108)

55

3.9.1. Solitão fundamental

A equação (3.108) é uma equação não-linear parcial diferencial que apenas tem solução em casos específicos,

nos quais é possível utilizar o método inverso da dispersão (IST – inverse scattering transform) [19]. Da

aplicação deste método conclui-se que um impulso dado por

0, sechU t N t (3.109)

a propagar-se numa fibra óptica a operar na região anómala mantém a sua forma quando 1N apresentando

um padrão periódico de 2 para valores inteiros de 1N . O caso em que 1N designa-se por solitão

fundamental, passando a equação (3.108) a ser dada por

2

2

2

10.

2

U Ui U U

(3.110)

No Apêndice D, apresenta-se o método para a obtenção da equação do solitão fundamental, sem recorrer ao

método inverso da dispersão, dado por

, sech exp .2

U i

(3.111)

Observa-se que o impulso tem um desvio de fase de 2 , mas que mantém a sua amplitude ao longo da

propagação. Isto significa que os efeitos da DVG e da AMF se compensam mutuamente. Esta situação só existe

em regime não linear quando as perdas são desprezáveis.

As expressões analíticas dos solitões de ordem superior são de tal forma complicadas que é quase impossível, à

excepção do solitão de segunda ordem, apresentá-las de forma fechada. Para o caso do solitão de segunda ordem

tem-se

4 cosh 3 exp 4 cosh, exp .

cosh 4 4cosh 2 3cos 4 2

iU i

(3.112)

3.9.2. Impulso gaussiano

Os impulsos gaussianos são utilizados para descrever solitões com sistema de gestão de dispersão (SGD) [20]

[21] em mapas de dispersão. Estes mapas permitem baixar a DVG média da ligação e, ao mesmo tempo, manter

a DVG de cada secção suficientemente elevada para que a dispersão de terceira ordem seja desprezada. As

características dos SGD dependem de diversos factores. Se o mapa de dispersão é uma fracção de NLL os efeitos

não-lineares são desprezáveis e o impulso evolui de forma aproximadamente linear na secção do mapa. Para

comprimentos maiores é possível a existência de solitões mas a sua potência de pico, a sua forma e a sua largura

oscilam periodicamente. Nesta situação a equação do impulso é dada por

2

22

20.

2

zU Ui z U U

z t

(3.113)

A equação (3.113) não é de fácil resolução uma vez que tanto 2 como variam com z . A forma do impulso

de um SGD pode ser generalizada por um impulso gaussiano do tipo

56

2 2, exp 1 2 .U z t a i i t T iC t T

(3.114)

Para um estudo mais aprofundado vão aplicar-se métodos variacionais à equação (3.114).

3.10. Método variacional

Tal como se demonstrou anteriormente, a equação que descreve a propagação de um impulso numa fibra

monomodal e num RNLD é a equação NLS, dada por

2

22

22 2

zU Ui z U U i U

z t

(3.115)

em que ,A z t representa a amplitude do impulso, as perdas, 2 o coeficiente de DVG e o parâmetro

não-linear que descreve a AMF. Também se observou que, para a zona de dispersão anómala e quando não

existem perdas, a solução da equação é dada pela equação (3.111). No entanto, as perdas, destroem o equilíbrio

entre a DVG e a AMG, provocando um alargamento do impulso. Para estes casos, torna-se complicado obter a

solução da equação NLS.

Para obter soluções analíticas nesta situação recorre-se aos métodos variacionais. Nesta abordagem, o sistema

óptico é descrito pela densidade média do Lagrangeano. As equações de Euler-Lagrange correspondentes que

descrevem a evolução dos parâmetros do impulso podem ser obtidas através da derivada variacional do

funcional. Deste modo, a utilização de métodos variacionais permite obter soluções analíticas aproximadas da

equação NLS. Este método não é aplicável a sistemas que não respeitem o princípio de conservação de energia.

Assim sendo, é útil eliminar o último termo da equação (3.103) aplicando a transformação que se segue

0

1, , exp

2

z

U z t B z t z dz

(3.116)

passando a equação (3.103) a ser descrita por

2

22

20,

2

B Bi B B

z t

(3.117)

na qual as variações de potência ao longo do mapa de dispersão da fibra são contabilizadas através do parâmetro

não-linear periódico 0

expz

z dz . Assim, a densidade do Lagrangeano é dada por

2*

4*

2

1.

2 2

i B B BK B B B

z z t

(3.118)

Pode representar-se a equação (3.118) utilizando as equações de Euler-Lagrange

0t z

K K K

t q z q q

(3.119)

onde *q B , *

t

Bq

t

e

*

z

Bq

z

.

57

A densidade média do Lagrangeano L define-se por ,L K t q z dt

[1], podendo ser escrita como

0z

d L

dz q q

(3.120)

em que q são os parâmetros do pulso dependentes de z [18]. Para aprofundar os cálculos é necessário

considerar impulsos específicos (solitão fundamental e impulso gaussiano).

3.10.1. Solitão fundamental

A solução da equação NLS, para uma situação sem perdas na zona de dispersão anómala, é o solitão

fundamental. A existência de perdas causa perturbações. Considere-se um solitão fundamental com perturbação

como impulso, tal que

2 2, sech exp 2

t TB z t a i i t T iC t T

(3.121)

em que a é a amplitude do solitão, a fase, é a frequência, T é o atraso, C é o chirp e é a largura do

impulso. Todas estas variáveis são funções de z . Por norma, os solitões não têm chirp pelo que se considera

que o valor de C é suficientemente pequeno para não causar alterações na forma do impulso.

Recorrendo à equação (3.118) pode determinar-se a densidade do Lagrangeano. Para obter o primeiro termo

deriva-se a equação (3.121) em ordem a z

2 2

2 2

2 2 3

sech exp 2

2

sech tanh .

B t Ta i i t T iC t T

z

t T t T t TT T Ci i t T i iC i iC

z z z z z z

a T t T t T

z

(3.122)

De seguida, das equações (3.121) e (3.122), obtém-se

2 2

*

2 2 3

22 2 2

2

sech sech tanh .

t T t T t TB T T CB i i t T i iC i iC

z z z z z z z

t T a T t T t Ta

z

(3.123)

Subtraindo o complexo conjugado da equação (3.123) à equação (3.123), obtém-se o primeiro termo

2**

2 3

2 2

2

sech .

t T t Ti B B T CB B t T C C

z z z z z z z

t Ta

(3.124)

58

Para calcular o segundo termo do Lagrangeano deriva-se a equação (3.121) em ordem a t

2

2

2

sech tanh sech

exp .2

t TB a t T t T t Ta i iC

t

t Ti i t T iC

(3.125)

Assim, o segundo termo é

2

4 2 2 222 22 2

22

1tanh sech

2

sech .2

t TB t T t TB C a

t

a t T

(3.126)

Finalmente, o Lagrangeano é dado por

2 2

2 2 3

22

2 2 2 2222 2

sech2

sech tanh sech .2

t T t T t Tt T T T CK a t T C C

z z z z z z

t Ta t T t T t TC a

(3.127)

Integrando a equação (3.127) entre e , utilizando a Tabela 3.1 de integrais, obtém-se a densidade média

do Lagrangeano

Tabela 3.1 - Tabela de integrais para resolver o Lagrangeano dado pela equação (3.127).

f x 1 x 2x 2tanh x 2sech x

2sechf x x dx

2 0 2 6 2 3 4 3

2 2 2

2 222

1 11

12 2 2 4 63

Ed dT dC C d EL E C

dz dz dz dz

(3.128)

em que a energia do impulso é dada por 2 2 2sech 2

t TE a dt a

.

Aplicando a equação (3.120) na equação (3.128) pode obter-se a evolução dos diferentes parâmetros ao longo da

fibra. Destes, destacam-se a largura do impulso, fazendo q C

2d C

dz

(3.129)

e a evolução do chirp, fazendo q

2 22

22 2 2

4 2.

dC EC

dz

(3.130)

Estas equações permitem uma melhor compreensão da propagação de impulsos, nomeadamente as equações

(3.129) e (3.130), mostram que um solitão sem chirp inicial se mantém sem chirp, bem como mantém a sua

forma.

59

3.10.2. Impulso gaussiano

Considere-se uma situação em que os solitões podem ser representados por impulos gaussianos com a seguinte

forma

2 2, exp 1 2B z t a i i t T iC t T

(3.131)

Pela equação (3.118) pode determinar-se a densidade do Lagrangeano. Derivando a equação (3.131) em ordem a

z , obtém-se

2 2

2 2

2 2 3

exp 1 2

1 1 .2

B Ta i i t T iC t T i i t T i

z z z z

t T t T t TT CiC i iC

z z z

(3.132)

Através das equações (3.131) e (3.132), retira-se

2* 2

2

2 2

2 3

exp 2 1

1 .2

t TB TB a t T i i t T i iC

z z z z

t T t TCi iC

z z

(3.133)

Subtrai-se o produto de B pelo complexo conjugado da equação (3.132) à equação (3.133) e chega-se ao

primeiro termo da densidade do Lagrangeano

2**

2 2

2

22 2

3

2 2

1 exp .

C t T t Ti B B T CB B t T i

z z z z z z

t TiC a t T

z

(3.134)

Calcula-se, agora, o segundo termo da densidade do Lagrangeano derivando a equação (3.131) em ordem a t

2 2 2exp 1 2 1 .

Ba i i t T iC t T i iC t T

t

(3.135)

Finalmente, a densidade do Lagrangeano é dada por

2 2

22 2

2 2 3

22 222 2

2 4 2 2

exp2

exp exp .2

C t T t T C t TT CK a t T t T

z z z z z

t T C t T t Tat T a

(3.136)

Integrando a equação (3.136) em ordem a t de a , utilizando a Tabela 3.2 de integrais, obtém-se a

densidade média do Lagrangeano

Tabela 3.2 - Tabela de integrais para resolver o Lagrangeano dado pela equação (3.136).

f x 1 x 2x 2exp x

2expf x x dx

0 2 2

60

2 222

22

11

4 2 4 2 8

Ed dT dC C d EL E C E

dz dz dz dz

(3.137)

em que a energia do impulso é dada por

2

2 2

2exp

t TE a dt a

.

Aplicando a equação (3.120) em (3.137), pode obter-se a evolução de diversos parâmetros. Dos parâmetros

destacam-se a equação para a largura do impulso, fazendo q C

2Td

dz

(3.138)

e a para a variação do chirp, fazendo q

2 2222

1 .2

dC EC

dz

(3.139)

Considerando que a frequência se mantém constante pode escrever-se

22

21 .

2

dC EC

dz

(3.140)

Na ausência de não-linearidade, o quociente 2 21 C relaciona-se com a largura espectral do impulso que se

mantém constante num meio linear, sendo que as equações (3.138) e (3.140) passam a ser dadas por

2 2

20

0 2z

z z dz (3.141)

2

22 0

1 00 .

0

zCC z C z dz

(3.142)

Integrando em duas secções do mapa de dispersão, obtém-se as seguintes expressões para a largura do impulso e

para o chirp no final da primeira secção

1 2

2 20 1 0mL C d d

(3.143)

20 1 0mC L C C d (3.144)

em que 2 0av md L , sendo av a DVG média.

61

Capítulo 4

4. Fibras Ópticas:

Simulação numérica

Após toda a análise teórica efectuada no capítulo anterior pretende-se, neste capítulo, efectuar simulações

numéricas da propagação de impulsos numa fibra óptica, com o objectivo de confirmar os resultados teóricos, e

apresentar formas de compensação da dispersão quer em RLD, quer em RNLD.

62

4.1. Propagação em regime linear dispersivo

Recorrendo ao MATLAB para efectuar as simulações numéricas, analisa-se o efeito da dispersão na propagação

dos impulsos ao longo de uma fibra óptica monomodal em regime linear e na zona de dispersão anómala,

desprezando o efeito da atenuação e da dispersão de ordem superior.

Considerando uma situação em que um impulso se propaga sem sofrer os efeitos dispersivos, a equação (3.67)

reduz-se a

1

1, 0, exp

2A z t A i t z dt

(4.1)

ou seja

1, 0, .A z t A t z (4.2)

Tal significa que o sinal se propagaria sem qualquer distorção, sofrendo apenas um atraso. No entanto, sabe-se

que não se podem desprezar os efeitos dispersivos.

Definindo o atraso de grupo como

1 ,gg

zz z

v (4.3)

pode reescrever-se a equação (4.2) como

, 0, ,gA z t A t (4.4)

considerando ainda que o impulso 0,A t tem largura inicial 0 , define-se o comprimento de dispersão como

20

2DL

(4.5)

em que 2 é o coeficiente da DVG.

Assim, podem definir-se as seguintes variáveis normalizadas e adimensionais para espaço e tempo,

respectivamente [17]

D

z

L (4.6)

1

0

.t z

(4.7)

A partir das expressões (4.6) e (4.7), passando do domínio das variáveis reais ,z t para o domínio das

variáveis normalizadas , , tem-se

1

0

1

Dz L

(4.8)

0

1.

t

(4.9)

63

Aplicando as equações (4.8) e (4.9), obtém-se

1

0

1

D

A A A

z L

(4.10)

0

1.

A A

t

(4.11)

Substituindo as expressões (4.10) e (4.11) na expressão (3.66), vem finalmente

2 3

2 2 3

1sgn 0

2

A A Ai

(4.12)

com

22 2

0

sgn DL

(4.13)

3

20

1

6

DL

(4.14)

onde é o coeficiente de dispersão de ordem superior.

Definindo a frequência normalizada , tal que

0 0 0

tem-se o seguinte par de equações

, , expA A i d

(4.15)

1

, , exp ,2

A A i d

(4.16)

obtendo-se, a partir da equação (4.12), a equação da propagação dos impulsos

2 32

1sgn , 0

2

Ai A

(4.17)

cuja solução é

2 32

1, 0, exp sgn .

2A A i

(4.18)

Tendo obtido a equação (4.18), aplica-se o seguinte algoritmo para observar a propagação do impulso ao longo

da fibra, ou seja, observar a sua forma no espaço e no tempo

2 32

1

0, 0,

1, 0, exp sgn

2

, ,

i A FFT A

ii A A i

iii A FFT A

64

De seguida, simula-se a propagação de impulsos apresentando-se figuras para cada situação (Secções 4.1.1,

4.1.2 e 4.1.3). A primeira corresponde à representação do impulso à entrada ( 0 ) e à saída da fibra óptica (

L ), em função da unidade de tempo . As restantes figuras são apresentados a três dimensões. A segunda

e terceira figuras correspondem à evolução no tempo da propagação do impulso ao longo da fibra óptica. A

última figura corresponde à evolução em frequência da propagação do impulso ao longo da fibra óptica.

4.1.1. Impulso exponencial

O primeiro impulso considerado define-se por

0 0

2 20, 1 exp 1 exp

2 2

T t T T t TA t H t H t

(4.19)

com 05T e H t correspondendo à função de Heaviside.

Consideram-se ainda os seguintes parâmetros: 1250L km , 0 50 ps , 22 20 /ps km e 3 0 .

O limite da escala é dado por DL L em que 125DL km é dado pela expressão (4.5).

Figura 4.1 - Comparação do impulso exponencial à entrada e à saída da fibra óptica.

Figura 4.2 - Evolução do impulso exponencial ao longo da fibra óptica (duas vistas)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Comparação dos Sinais de Entrada e de Saída

Tempo

Am

plit

ude

Impulso Inicial

Impulso Final

65

Pelo gráfico da Figura 4.1 verifica-se que ocorre uma diminuição significativa da amplitude ao longo da

propagação do impulso que se justifica pela lei da conservação da energia.

Na Figura 4.1 e Figura 4.2 pode observar-se o alargamento do impulso ao longo da fibra óptica devido à DVG.

O facto de existirem diferentes componentes de frequência a deslocarem-se a velocidades diferentes, leva a que

estas interfiram com as componentes adjacentes provocando IIS.

Figura 4.3 - Evolução das componentes espectrais do impulso exponencial durante a propagação do impulso.

A Figura 4.3 mostra que as componentes espectrais mantêm as suas características ao longo da propagação. Isto

deve-se ao facto da atenuação ser desprezada e de não existir geração de frequências em regime linear.

4.1.2. Impulso supergaussiano

Apresenta-se agora o caso dos impulsos supergaussianos. O interesse do estudo destes impulsos deve-se ao facto

de serem uma excelente aproximação de um impulso rectangular, podendo modelar as situações de passagens

abruptas para o estado on/off.

Considere-se o impulso supergaussiano dado por [14]

2

0

10, exp

2

miC t

A tt

(4.20)

com 3m e 0, 2C .

O parâmetro m controla o quão abrupta é a queda. Quanto maior o seu valor mais o impulso se aproxima de um

impulso rectangular. Note-se que, para 1m obtém-se um impulso gaussiano. Utiliza-se 125DL km inferior

a 500L km , de modo a que os efeitos da dispersão não sejam desprezáveis.

Para o impulso dado pela equação (4.20) e para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, 0C , a expressão

(4.20) fica

6

0

10, exp .

2

tA t

t

(4.21)

66

Figura 4.4 - Comparação do impulso supergaussiano à entrada e à saída da fibra óptica.

Figura 4.5 - Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica (duas vistas).

Figura 4.6 - Evolução das componentes espectrais do impulso supergaussiano durante a propagação do impulso.

Comparativamente com o impulso gaussiano analisado na Secção 3.6, pode concluir-se que os impulsos

supergaussianos não só alargam a um ritmo mais elevado como também sofrem distorção da sua forma, ao

contrário do que se verifica no caso do impulso gaussiano (Figura 4.5). O maior ritmo de alargamento deste tipo

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

Impulso inicial

Impulso final

67

de impulsos pode ser explicado devido ao facto de terem maior espectro do que os impulsos gaussianos. Uma

vez que a DVG provoca atrasos em cada componente de frequência relativamente à frequência central 0 , um

maior número de componentes de frequências resulta num alargamento mais rápido.

Veja-se agora o efeito do chirp.

Para o caso em que o parâmetro chirp é 2C a expressão (4.20), fica

6

0

1 20, exp .

2

i tA t

t

(4.22)

Figura 4.7 - Comparação do impulso supergaussiano com 2C à entrada e à saída da fibra óptica.

Figura 4.8 - Evolução do impulso supergaussiano com 2C ao longo da fibra óptica (duas vistas).

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

Impulso inicial

Impulso final

68

Figura 4.9 - Evolução das componentes espectrais do impulso supergaussiano com 2C durante a propagação do

impulso.

Para o caso em que o parâmetro chirp é 2C a equação (4.20), vem

6

0

1 20, exp .

2

i tA t

t

(4.23)

Figura 4.10 - Comparação do impulso supergaussiano com 2C à entrada e à saída da fibra óptica.

Figura 4.11 - Evolução do impulso supergaussiano com 2C ao longo da fibra óptica (duas vistas).

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

Impulso inicial

Impulso final

69

Figura 4.12 - Evolução das componentes espectrais do impulso supergaussiano com 2C durante a propagação do

impulso.

A Figura 4.5 e a Figura 4.8 permitem verificar que a existência de um parâmetro chirp de valor 2C causa

um maior alargamento do impulso ao longo da sua propagação, devido à dispersão da velocidade de grupo em

relação ao caso em que 0C . No caso 2C (Figura 4.11), verifica-se o fenómeno de contracção do impulso

descrito no Capítulo 3.

Da observação da Figura 4.4, Figura 4.7 e Figura 4.10 verifica-se que o máximo de amplitude ocorre para 0t

e, tal como no caso do impulso exponecial, ocorre uma diminuição da amplitude do impulso ao longo da sua

propagação.

4.1.3. Impulso secante hiperbólica

Analisa-se agora, o caso de um impulso com a forma de secante hiperbólica. A opção de analisar este tipo de

impulsos não é de todo aleatória, tendo particular interesse devido ao facto de ser o tipo de impulsos que

ocorrem naturalmente em solitões.

Assim, assume-se que o impulso tem a seguinte forma

2

0 0

0, sech exp2

t iC tA T

(4.24)

em que o parâmetro C define o valor de chirp inicial. A Figura 4.13, Figura 4.14 e Figura 4.15 mostram a

evolução deste tipo de impulsos ao longo da fibra, para uma situação em que o chirp inicial é nulo.

70

Figura 4.13 - Comparação do impulso secante hiperbólica à entrada e à saída da fibra óptica.

Figura 4.14 - Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra óptica (duas vistas).

Figura 4.15 - Evolução das componentes espectrais do impulso secante hiperbólica durante a propagação do impulso.

Comparando com o caso do impulso gaussiano, percebe-se que os efeitos da dispersão no alargamento são em

tudo semelhantes. A principal diferença a assinalar é o facto de o chirp induzido já não ser linear.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada

saída

71

4.2. Fibra de compensação de dispersão

Como se demonstrou anteriormente, a dispersão que ocorre na propagação observada nas figuras da Secção 4.1,

deve-se à DVG. A sua existência pode causar IIS, implicando a utilização de menores débitos binários e,

consequentemente, diminuindo a qualidade de serviço. Uma forma de compensar esta dispersão é através da

utilização de uma fibra de compensação de dispersão7. Este método permite uma compensação total da

dispersão, caso a potência média do sinal óptico seja baixa o suficiente para desprezar os efeitos não-lineares no

interior da fibra [1].

Considere-se um pulso óptico que se propaga em dois segmentos de fibra óptica, cuja equação da envolvente é

dada por

2

21 1 22 2, 0, exp2

iA L t A L L i t d

(4.25)

em que 1 2L L L e

2 j é o coeficiente de dispersão do troço de fibra correspondente jL ( 1,2j ).

A fibra de compensação da dispersão é escolhida de modo a que o factor 2 seja nulo

21 1 22 2 0.L L (4.26)

Apresenta-se, de seguida, a compensação efectuada por uma fibra DCF para os três impulsos anteriores.

4.2.1. Impulso exponencial

Tabela 4.1 - Características dos troços 1L e 2L da fibra óptica (impulso exponencial).

Parâmetros 0 ps 1 kmL 2

21 ps km 2 kmL 2

22 ps km

Valores 50 1250 -20 10 2500

Figura 4.16 - Comparação do impulso exponencial à entrada da fibra óptica, à saída da fibra óptica e à saída da DCF.

7 Do inglês: DCF – Dispersion Compensating Fiber

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plitu

de

Impulso à entrada da fibra óptica

Impulso à saída da fibra óptica

Impulso à saída da DCF

72

Figura 4.17 - Evolução do impulso exponencial ao longo da fibra óptica até à saída da DCF.

4.2.2. Impulso supergaussiano

Tabela 4.2 - Características dos troços 1L e 2L da fibra óptica (impulso supergaussiano).

Parâmetros 0 ps 1 kmL 2

21 ps km 2 kmL 2

22 ps km

Valores 50 1250 -20 10 500

Figura 4.18 - Comparação do impulso supergaussiano à entrada da fibra óptica, à saída da fibra óptica e à saída da DCF.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plitu

de

Impulso à entrada da fibra óptica

Impulso à saída da fibra óptica

Impulso à saída da DCF

73

Figura 4.19 - Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica até à saída da DCF.

4.2.3. Impulso secante hiperbólica

Tabela 4.3 - Características dos troços 1L e 2L da fibra óptica (impulso secante hiperbólica).

Parâmetros 0 ps 1 kmL 2

21 ps km 2 kmL 2

22 ps km

Valores 50 1250 -20 10 500

Figura 4.20 - Comparação do impulso secante hiperbólica à entrada da fibra óptica, à saída da fibra óptica e à saída da DCF.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plitu

de

Impulso à entrada da fibra óptica

Impulso à saída da fibra óptica

Impulso à saída da DCF

74

Figura 4.21 - Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra óptica até à saída da DCF.

Para os três casos, Figura 4.16 a Figura 4.21, observa-se que os impulsos recuperam completamente a sua forma

inicial, confirmando-se que a DCF garante uma compensação total da dispersão, para uma situação em que tanto

as perdas como a dispersão de ordem superior são desprezáveis.

4.3. Propagação em regime não-linear dispersivo

A equação NLS é uma equação diferencial parcial que apresenta soluções analíticas para casos muito

específicos, nos quais pode ser implementado o método inverso da dispersão (IST – inverse scattering

transform). Para a compreensão dos efeitos não-lineares numa fibra óptica é necessário utilizar métodos

numéricos, mais especificamente, recorre-se ao split-step Fourier Method (SSFM) [18] [22] que se descreve de

seguida.

Reescreve-se a equação (3.113) na forma

ˆ ˆAD N A

z

(4.27)

em que D̂ é um operador diferencial que contabiliza a dispersão e as perdas num meio linear e N̂ é um

operador não-linear que contabiliza os efeitos não-lineares numa situação de propagação de impulsos. As

seguintes expressões descrevem os operadores

2 3

322 3

ˆ2 6

iD

t t

(4.28)

2ˆ .N i A (4.29)

75

A dispersão e a não-linearidade actuam conjuntamente ao longo da fibra. O SSFM permite obter uma solução

aproximada ao assumir que, na propagação ao longo de um troço h , os efeitos dispersivos e os efeitos não-

lineares são independentes um do outro, Figura 4.22.

Figura 4.22 - Esquema do SSFM: O troço de fibra está dividido em segmentos h e a não-linearidade é contabilizada na linha

a tracejado.

Mais especificamente, a propagação efectuada de 1z n z até z n z realiza-se em duas etapas. Na

primeira etapa considera-se o efeito da não-linearidade isoladamente, ou seja, na equação (4.27) o parâmetro D̂

é nulo. Na segunda etapa, é a dispersão que actua isoladamente sendo ˆ 0N na equação (4.27), Figura 4.22.

Matematicamente

ˆ ˆ, exp exp , .A z h T hD hN A z T (4.30)

Para analisar a eficiência de SSFM consideremos a solução exacta da equação (4.27)

ˆ ˆ, exp , ,A z h T h D N A z T (4.31)

assumindo que N̂ é independente de z .

Considerem-se agora dois operadores A e B . Define-se o comutador destes como

, ,A B AB BA (4.32)

sendo estabelecido pela fórmula de Baker-Hausdorff que, em geral [22]

exp exp expA B A B (4.33)

em que

1 1

, , , .2 12

A B A B A B (4.34)

Quando os operadores comutam, tem-se 0 e, consequentemente

exp exp exp .A B A B (4.35)

76

Fazendo ˆA hD e ˆB hN , vem das equações (4.31) e (4.35)

ˆ ˆ, exp exp , .A z h T hD hN A z T (4.36)

Acontece que os operadores D̂ e N̂ não comutam e observando as equações (4.31) e (4.36) verifica-se que a

SSFM ignora este facto. Ao considerar ˆA hD e ˆB hN , resulta que o erro dominante é

21 ˆ ˆ, .

2h D N

(4.37)

Conclui-se que o erro associado à utilização da SSFM será tanto menor quanto menor o valor de h .

A SSFM utilizada é, portanto, um método iterativo que divide o espaço de propagação 0 L em troços

elementares de comprimento h .

Em termos de variáveis normalizadas e , tem-se então

2

2

2 2

1sgn

2 2

u ui u u i u

(4.38)

em que representa as perdas normalizadas.

Para 2sgn 1 (zona de dispersão anómala) e 0 (sem perdas) a equação reduz-se à equação NLS. Para

este caso, os efeitos de ordem superior são desprezados.

As equações dos operadores diferenciais, D̂ e N̂ , são

,u

D N u

(4.39)

22

1sgn

2D (4.40)

2

.2

N i u

(4.41)

O método do SSFM utilizado permite ir do impulso 0 0,u u até ao impulso ,Lu , com L DL L

através de um processo iterativo de passo h

, , ,

, exp ,

, FFT ,

, exp ,

, IFFT , .

u u h w

v hN u

V v

W hD V

w W

Aplicando o método SSFM descrito anteriormente, realizaram-se simulações para analisar a propagação de

solitões em fibras ópticas a operar em RNLD.

77

Os impulsos que se apresentam de seguida, foram simulados para o intervalo, 0 2 .

4.3.1. Solitão fundamental

Colocando à entrada da fibra um solitão fundamental, obtido através da equação (3.109) fazendo 1N

0 sechu (4.42)

obtém-se os seguintes resultados

Figura 4.23 - Comparação do impulso solitão fundamental à entrada e à saída da fibra óptica.

Figura 4.24 - Evolução do impulso solitão fundamental ao longo da fibra óptica.

Este impulso corresponde ao solitão fundamental. Como esperado da análise teórica, observa-se que um impulso

deste tipo mantém a sua forma durante a propagação, não se verificando qualquer alteração da amplitude e da

largura do impulso. O solitão fundamental também se mantém livre de chirp ao longo da sua propagação.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Tempo

Am

plitu

de

Impulso inicial

Impulso final

78

4.3.2. Solitão de segunda ordem

Colocando à entrada da fibra um solitão de segunda ordem, obtido através da equação (3.109) fazendo 2N

0 2sechu (4.43)

obtém-se os seguintes resultados

Figura 4.25 - Comparação do impulso solitão de segunda ordem à entrada e à saída da fibra óptica.

Figura 4.26 - Evolução do impulso solitão de segunda ordem ao longo da fibra óptica.

Este impulso corresponde ao solitão de segunda ordem dado pela expressão (3.112) . Neste caso o solitão

apresenta variações na sua forma e amplitude ao longo da sua propagação na fibra. Isto deve-se ao facto do

efeito da AMF e da DVG variar conforme o troço. Observa-se também o princípio de conservação de energia ao

verificar-se o aparecimento de um pico quando o impulso estreita. No final da distância analisada o solitão volta

às suas condições iniciais confirmando que a distância analisada corresponde a um período de um solitão de

segunda ordem.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tempo

Am

plitu

de

Impulso inicial

Impulso final

79

4.3.3. Solitão de terceira ordem

Colocando à entrada da fibra um solitão de terceira ordem, obtido através da equação (3.109) fazendo 3N

0 3sechu (4.44)

obtém-se os seguintes resultados

Figura 4.27 - Comparação do impulso solitão de terceira ordem à entrada e à saída da fibra óptica.

Figura 4.28 - Evolução do impulso solitão de terceira ordem ao longo da fibra óptica.

O solitão de terceira ordem apresenta características diferentes dos solitões anteriormente analisados. Verifica-se

novamente que, quando ocorre uma contracção do impulso, este apresenta picos devido à conservação de

energia.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo

Am

plitu

de

Impulso inicial

Impulso final

80

Da evolução do solitão de terceira ordem ao longo da fibra infere-se que os efeitos da AMF e da DVG não se

compensam. Como tal, existe um alargamento inicial do espectro verificando-se um desvio para azul na cauda e

para o vermelho na frente de onda.

A existência de AMF origina frequências elevadas na cauda do impulso. Por sua vez, a DVG faz com que essas

frequências se desloquem mais rapidamente que a frente do impulso, originando o primeiro pico. Devido à

existência simultânea da AMF e da DVG, verifica-se uma divisão em duas partes idênticas e paralelas no centro

do impulso. De seguida, observa-se um novo pico e no final da distância de propagação o impulso adquire a sua

forma inicial.

4.3.4. Impulso gaussiano

Nesta situação, colocou-se um impulso gaussiano a propagar-se ao longo da fibra

2

0 exp .2

u

(4.45)

Para esta simulação a distância normalizada foi alterada para 0 2 .

Figura 4.29 - Comparação do impulso gaussiano à entrada e à saída da fibra

Figura 4.30 - Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (duas vistas)

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Tempo

Am

plitu

de

Amplitude dos sinais u0() = exp(

2/2)

Impulso inicial

Impulso final

= 0.74235

81

Observa-se uma diminuição da amplitude e, consequentemente, um alargamento temporal quando ,

novamente devido ao princípio de conservação de energia.

Esta simulação visa confirmar a robustez do solitão, pois o que se observa é a passagem do impulso gaussiano

para um impulso do tipo

2, sech exp 2 .u i (4.46)

Pode verificar-se que o valor de quando o impulso estabiliza é 0.74235. Para descobrir o valor de quando o

impulso estabiliza, foi necessário aumentar a distância normalizada nesta análise em relação às análises

anteriores.

O solitão fundamental corresponde à situação ideal para implementar no sistema de fibras ópticas, numa

situação de ausência de perdas, uma vez que mantém as suas características iniciais ao longo da sua propagação

numa fibra.

O solitão de terceira ordem é, aparentemente, o que apresenta piores resultados, nomeadamente devido à divisão

que ocorre a meio do período. No entanto, é a técnica ideal para a compressão de impulsos, ao invés de um

impulso gaussiano com chirp positivo na zona de dispersão.

Atesta-se ainda a robustez dos solitões pois, como se observou, impulsos que não sejam do tipo descrito pela

equação (4.46) eliminam a energia em excesso até adquirirem a forma de um solitão.

4.4. Fibra de dispersão decrescente

A existência de solitões depende do equilíbrio que existe numa fibra óptica, entre a DVG e a AMF. Este

equilíbrio é destruído pela existência de perdas que atenuam o impulso e diminuem o efeito da AMF. Para

resolver este problema, implementa-se uma solução com fibras de dispersão decrescente (DDF) [18].

Sabe-se que a relação entre DL e NLL é dada por

2 D

NL

LN

L (4.47)

para o caso do solitão fundamental, tem-se 1N e, atendendo a que 20 2DL e 1NLL P , resolvendo

para 2 , vem

22 0 .P (4.48)

Assume-se que o perfil de potência é dado por 0 expP P z . Logo, pode concluir-se que

2 2 exp z (4.49)

com 2

2 0 0P e representando as perdas ao longo da fibra.

Este perfil de 2 corresponde à solução ideal para a resolução destes problemas. No entanto, em termos

práticos, a sua implementação não é fácil pelo que é comum a adopção de uma solução que aproxima a curva da

expressão (4.49) por uma função em degrau, como se representa na Figura 4.31.

82

Figura 4.31 - Aproximação em degrau do perfil de 2 .

Apresenta-se, na Figura 4.32, a evolução de um solitão ao longo de uma DDF.

Figura 4.32 - Solitão fundamental a propagar-se numa DDF.

Nota-se a compensação da dispersão nos quatro troços definidos na aproximação em degrau do perfil de 2 ,

ilustrado na Figura 4.31. A compensação é mais eficiente caso o número de degraus utilizados seja maior. No

entanto, o aumento do número de degraus implica maior capacidade de processamento.

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

2

DDF ideal

DDF aproximação em degrau

83

Capítulo 5

5. Conclusão

Neste capítulo apresentam-se as conclusões e as perspectivas de trabalho futuro.

84

5.1. Conclusões principais

No segundo capítulo, foram analisados conceitos de óptica geométrica e utilizado o cálculo variacional para a

obtenção de equações que descrevam a trajectória de raios de luz em meios de índice de refracção variável.

Inicialmente estudou-se um caso simples, em que o raio se propaga num meio semelhante ao da atmosfera

terrestre, seguindo-se o estudo da propagação de raios em materiais de índice de refracção variável,

apresentando-se, por fim, o caso da lente de Luneberg.

Foi possível caracterizar a lente de Luneberg verificando-se a propriedade de focagem e demonstrar a utilização

de métodos variacionais na resolução de problemas de óptica geométrica.

No terceiro capítulo foi descrita a propagação de raios numa fibra óptica de acordo com duas teorias distintas: a

teoria dos raios (baseada na óptica geométrica) e a teoria modal (baseada no electromagnetismo). Concluiu-se

que a teoria dos raios apenas é válida para situações em que a razão entre o raio do núcleo da fibra óptica e o

comprimento de onda é muito elevada. Como tal, foi imprescindível estudar a propagação de raios numa fibra

óptica através da teoria modal. Deste estudo, verificou-se que as fibras podem ser classificadas em monomodais

ou multimodais, consoante o número de modos que se podem propagar, estando este número dependente do raio

da fibra. Para o caso das fibras ópticas de baixo contraste dieléctrico, os modos que se propagam são quase

linearmente polarizados e designam-se por pnLP . Estas fibras são monomodais quando a frequência

normalizada é inferior a 2.4048.

Deduziu-se, de seguida, a equação da propagação de impulsos ópticos numa fibra óptica em regime linear,

permitindo verificar a existência de um alargamento do impulso devido à dispersão temporal, o que implica uma

redução no débito binário para evitar problemas de IIS. Observou-se que o alargamento do impulso se deve ao

aparecimento de chirp, o que pode causar alargamento ou contracção do impulso, caso seja negativo ou positivo,

quando se analisa a zona de dispersão anómala.

Para a propagação de impulsos numa fibra óptica em regime não-linear, verificou-se que esta se rege pela

equação não-linear de Schrödinger. No regime não-linear, verificou-se que ocorre geração de novas frequências

devido ao efeito óptico não-linear de Kerr, fenómeno designado por Auto-Modelação de Fase. Concluiu-se que

a DVG e a AMF têm efeitos opostos, anulando-se e permitindo a propagação de impulsos sem que estes

alarguem, designados por solitões.

Da análise do regime não-linear concluiu-se, ainda, que é possível fazer uma classificação simplista do regime

em que o impulso se propaga de acordo com a relação entre o comprimento da fibra L , os comprimentos de

dispersão DL e o comprimento não-linear

NLL .

Verificou-se que os impulsos gaussianos podem ser utilizados para descrever solitões em mapas de dispersão,

sendo possível utilizar uma abordagem variacional para obter equações aproximadas que descrevam a evolução

de diferentes parâmetros do impulso que se propaga. A abordagem variacional, no entanto, só é válida para

sistemas conservativos.

No quarto capítulo estudou-se a propagação de diversos impulsos, em regime linear e não-linear, e formas de

compensar os efeitos da dispersão para ambos os casos.

85

Numa primeira fase analisou-se a propagação de impulsos em regime linear dispersivo. Para este estudo,

utilizou-se o algoritmo FFT (Fast Fourier Transform). Simulou-se a propagação de diversos impulsos, entre os

quais um impulso com a forma exponencial, onde foi possível verificar o alargamento do impulso devido à

dispersão temporal, bem como a diminuição da amplitude inerente ao referido alargamento devido à necessidade

de respeitar a lei da conservação da energia. Simulou-se também a propagação de um impulso supergaussiano, o

qual permitiu analisar os efeitos provocados pelo chirp, e confirmou-se os resultados obtidos no capítulo de

tratamento analítico, ou seja, um acentuamento do alargamento provocado pela DVG e ainda, no caso de chirp

positivo, uma contracção inicial do impulso. Verificou-se ainda que estes impulsos alargam a um ritmo mais

elevado do que o impulso gaussiano e o impulso exponencial, o que se justifica pelo facto de terem maior

espectro e a DVG provocar atrasos na propagação de cada componente de frequência. Finalmente simulou-se a

propagação de um impulso do tipo secante hiperbólica dado que é este tipo de impulsos que ocorre naturalmente

em solitões. Observou-se que os efeitos da dispersão são em tudo semelhantes ao caso do impulso gaussiano,

com a diferença do chirp induzido ter uma variação não-linear.

Procurou-se, então, encontrar uma forma de compensar os efeitos da DVG para os impulsos exponencial,

supergaussiano e secante hiperbólica. Para este efeito utilizou-se uma fibra de compensação de dispersão (DCF).

Este método revelou-se muito eficaz, verificando-se uma compensação total dos efeitos dispersivos, sendo que a

forma inicial de todos os impulsos foi recuperada.

Numa segunda fase observou-se a propagação de impulsos em regime não-linear dispersivo, com recurso ao

método SSFM (Split-Step Fourier Method). Simularam-se quatro impulsos. Inicialmente observou-se a

propagação de um solitão fundamental, confirmando-se o resultado teórico que previa a manutenção da sua

forma (amplitude e largura). De seguida, simulou-se a propagação de um solitão de segunda ordem e de outro de

terceira ordem. Para ambos verificou-se que a forma se mantém constante mas com período de 2 e se

respeita o princípio de conservação de energia. Finalmente simulou-se a propagação de um impulso do tipo

gaussiano que permitiu verificar a robustez dos solitões, uma vez que se observou que o impulso perdeu energia

até adquirir a forma de um solitão.

O estudo realizado permitiu concluir que a existência de solitões está dependente do equilíbrio existente entre a

AMF e a DVG. Observou-se também, que este equilíbrio é destruído pela existência de perdas. Como forma de

compensar este efeito, recorre-se às fibras de dispersão decrescente (DDF). Verificou-se que o perfil da

dispersão é uma exponencial negativa, cuja realização a nível prático é extremamente complicada. Como tal

recorreu-se a uma aproximação em degrau da curva. Verificou-se que este método compensa de forma eficaz os

efeitos anteriormente referidos, sendo tanto mais eficiente quanto maior o número de degraus utilizados para

aproximar a curva do perfil da dispersão.

5.2. Perspectiva de trabalho futuro

Tendo abordado alguns aspectos importantes da propagação de impulsos num sistema de comunicação óptica,

existem ainda muitos aspectos que podem ser analisados como, por exemplo, os impulsos ultra-curtos e os

efeitos da dispersão de ordem superior que aparecem quando D .

86

Em relação ao estudo da propagação de impulsos em meios não-lineares, existem efeitos não-lineares que não

foram abordados como é o caso da dispersão de Raman, da dispersão de Brillouin ou do efeito da modulação de

fase cruzada (XPM – cross phase modulation), que ocorre quando dois ou mais canais são transmitidos em

simultâneo na fibra óptica usando a técnica de multiplexagem por divisão do comprimento de onda (WDM). A

própria técnica (WDM) merece um estudo aprofundado tendo em conta a sua importância crescente. Também

não foi analisado o fenómeno de mistura de quatro ondas (FWM - four wave mixing) que ocorre devido à

susceptibilidade eléctrica de terceira ordem.

A abordagem variacional, apesar de ser um meio eficiente para obter equações aproximadas que descrevem a

evolução de diferentes parâmetros da propagação de impulsos em fibras ópticas, só é válida em situações em

que o sistema é conservativo. Como tal, outro tema a analisar é o método dos momentos que trata o impulso

óptico como uma partícula, sendo válido para sistemas conservativos e não conservativos.

87

Apêndice A

Dedução das expressões da trajectória de um raio

no interior e no exterior da lente de Luneberg

Neste apêndice apresentam-se todos os cálculos efectuados para a obtenção das equações da trajectória no

interior e no exterior da lente de Luneberg.

88

A.1 Equação geral para obtenção de cada troço

Partindo da lei de Snell generalizada para coordenadas polares

0

02 2

r

r

dr

r r

(A.1)

e atendendo a que no interior da lente se tem pode resolver-se

2 21

2 2 2 2 2 2

1sgn tan

22 2

r b

b

a

r a

rdr

r r r r r

(A.2)

2 21

2 2 2 2 2 2

1sgn tan

22 2

r b

b

a

r a

rdr k

r r r r r

(A.3)

em que sin .

Pode determinar-se a expressão geral da trajectória de raios incidentes numa lente de Luneberg resolvendo a

equação (A.1) e aplicando as seguintes condições

2 2 2

1

,

r

dr

r n r r

(A.4)

1

2 22 2 2 2, .

r r

r r

dr dr

r n r r r n r r

(A.5)

A.2 Equação da trajectória para o primeiro troço

O primeiro troço corresponde à distância percorrida entre o ponto P e o ponto Q da Figura 2.7. Uma vez que

se trata do interior da lente, utiliza-se a condição da equação (A.4)

2 21

2 2 2

1

1 sinsgn sin tan .

2 sin 2 sin

r r

r

r

r r

Considerando sin positivo pode simplificar-se

2 21

2 2 2

1

2 2 21 1

22 2 2

1 sintan

2 sin 2 sin

1 sin 1 sintan tan

2 sin 1 sinsin 2 sin

r r

r

r

r r

r

r r

89

2 2 21 1

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

sin cos2 2 tan tan

sin cossin 2 sin

sintan 2 2 cot

sin 2 sin

sintan 2 tan

2sin 2 sin

sintan 2 tan

2 sin 2 sin

r

r r

r

r r

r

r r

r

r r

2,

aplicando a igualdade tan tan

tan1 tan tan

x yx y

x y

no lado esquerdo da expressão e resolvendo a equação

biquadrática, obtém-se

1

2 22 2 2 2, .

r r

r r

dr dr

r n r r r n r r

(A.6)

A equação (A.6) corresponde à trajectória do raio entre os pontos P e Q .

A.3 Equação da trajectória para o segundo troço

Calcula-se agora a trajectória do raio no troço correspondente à distância entre os pontos Q e R (Figura 2.7).

Desta vez, resolve-se a equação (A.2) aplicando novamente a condição da equação (A.4) pois ainda se trata do

interior da lente.

Assim, vem

1

1

2 22 2 2 2

2 sin2

2 22 sin2 2 2 22

2 sin2

2 21

2 2 2

1

2 21

1 sinsgn sin tan

2 sin 2 sin

1 sinsgn sin tan

2

r r

r r

r

r

r

r

dr dr

r n r r r n r r

dr dr

r n r r r n r r

r

r r

r

2 2 2

2 sin2

sin 2 sin

r r

r

r r

90

considerando novamente sin positivo, tem-se

2 sin2

2 21

2 2 2

1

2 21

2 2 2

2 sin2

1 sintan

2 sin 2 sin

1 sintan .

2 sin 2 sin

r

r

r r

r

r

r r

r

r r

Desenvolvendo a expressão, obtém-se

2 2 2 21 1

2 2 2 2 2 2

` 2 sin ` 12

2 2 2 21 1

2 2 2 2 2 2

` ` 2 si

1 sin 1 sintan tan

2 2sin 2 sin sin 2 sin

1 sin 1 sintan tan

2 2sin 2 sin sin 2 sin

r r

r r r

r r

r r r r

r r

r r r r

n2

2 2 2 21 1

2 2 2 2 2 2

` 1 `

2 21

2 2 2

1

1 sin 1 sintan tan

2 2sin 2 sin sin 2 sin

1 sintan .

2 sin 2 sin

r r r

r r

r

r r

r r r r

r

r r

Ou seja, a equação da trajectória no segundo troço é dada por

2 2 2

1 cos cos 2sin .

sin 2 sin cos 2r

(A.7)

A.4 Equação da trajectória para região exterior da lente de Luneberg

Para se obter a equação da trajectória da região exterior, , utiliza-se

2 21

2 2 2sgn tan ,

2

r bb

a r a

rdr k

r r r

(A.8)

aplicando as aproximações consideradas nos cálculos dos restantes troços

2 sin2

2 2 2 2 2 21 2 sin2

2 2 21 1

2 2

1 sin sintan tan

sin sin

r

dr dr

r r r r r r

r

91

2 21 1

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

22 2

2

sincostan tan

sin sin

sincostan

sin sin

tan sin cos sin

tan sin cos sin

sin tan sin cos

sin 1sin sin .

cos

r

r

r

r

r

r

Simplificando a expressão, obtém-se

sin

.cos

r

(A.9)

Esta expressão corresponde, em coordenadas cartesianas, a siny .

Isto significa que qualquer raio que saia do interior da lente de Luneberg é paralelo ao eixo xx .

92

93

Apêndice B

Dedução da equação

do coeficiente de alargamento de impulsos

A análise, efectuada no Capítulo 3, do coeficiente de alargamento de impulsos assume que os impulsos do tipo

gaussiano sofrem efeitos dispersivos provocados pela DVG e pela dispersão de ordem superior. Neste apêndice

deriva-se a expressão mais geral do coeficiente de alargamento de impulsos. A ideia base do raciocínio consiste

em observar que a largura espectral do impulso não se altera num meio linear dispersivo independentemente do

que se passa com a sua forma.

94

Calculam-se as variações na largura do impulso no domínio espectral.

Uma medida adequada para a largura do impulso é a largura espectral

22 2t t

(B.1)

em que os momentos mt são dados por

2

2

,

.

,

m

m

t A z t dt

t

A z t dt

(B.2)

Pretende demonstrar-se que

*1, ,

2t i A z A z d

(B.3)

*1, , .

2t i A z A z d

(B.4)

Considerando que

2 1

, , 12

A z t dt A z d

(B.5)

então a equação (B.2), vem

2

,t t A z t dt

(B.6)

22 2 , .t t A z t dt

(B.7)

Define-se a transformada de Fourier e a transformada inversa de Fourier, por

, , , expA z A z t A z t i t dt

(B.8)

1 1, , , exp .

2A z t A z A z i t d

(B.9)

Calcula-se então o momento t , a partir da equação (B.6)

2 *, , , ,t t A z t dt t A z t A z t dt

(B.10)

95

substituindo a equação (B.9) na equação (B.10), vem

*

*

1, , exp

2

1, , exp .

2

t t A z t A z i t d dt

t A z t A z i t d dt

(B.11)

Trocando a ordem dos integrais, a equação (B.11) fica

1

* , , exp ,2

t A z tA z t i t dt d

(B.12)

aplicando a segunda Relação de Parseval à expressão (B.12)

* *

2

i dFt f t g t dt G d

d

vem

*1, , .

2t i A z A z d

(B.13)

Para determinar o momento 2t aplica-se um raciocínio semelhante.

Atendendo à terceira Relação de Parseval

*

2 * 1

2

dF dFt f t g t dt d

d d

vem, da equação (B.7), que

22 1

,2

t A z t dt

(B.14)

Conclui-se, devido aos resultados das equações (B.13) e (B.14), que os índices indicam uma derivação

parcial em relação à frequência.

Pode então definir-se

0, 0, expA z A i z (B.15)

0, expA S i (B.16)

onde introduz o efeito do chirp inicial do impulso. Considerando o atraso de grupo obtém-se

0

,.

L

g

zdz

(B.17)

96

Considerando que não varia ao longo da propagação, o atraso de grupo é dado por

1gg

d LL L

d v

(B.18)

Derivando as expressões (B.13) e (B.14) em ordem a , obtém-se

*0 0

2 2*0

2 2*

2 2

exp exp2

2

1 1

2 2 2

1 1

2 2g

it S S i iz i z S i z d

iS S S i S i z d

iS S d S d S z d

S d S d

e

22

2

0

2

2

2

22 22

1,

2

10, 0, exp

2

10, 0,

2

1exp exp exp

2

1

2

1

2

t A z d

A A iz i z d

A A iz d

S i S i i iz S i d

S i z S d

S S z d

2 2 2

2 2 22 2

1 1

2 2

1 1 1 12 .

2 2 2 2g g

S d S z d

S d S d S d S d

Sendo

21

2f f d

(B.19)

vem

t (B.20)

97

e

22 2 21

2 .2

g gt S d

(B.21)

Substituindo as equações (B.20) e (B.21) em (B.1), tem-se

2222 2 2

222 2 2

12 2

2

12 2 .

2

g g g g

g g g g

S d

S d

Fazendo 222 2

0

1

2S d

tem-se que a largura efectiva do impulso é dada por [14]

22 2 2

0 2 .g g g g

(B.22)

Considere-se agora, a propagação de um impulso gaussiano, com chirp, em regime linear. O impulso é dado por

2

0 20

10, exp

4

iC tA t A

(B.23)

cuja Transformada de Fourier é

2

20 02 2

0 0

1 10, exp exp exp .

4 4

iC t iCA A i t d A t i t d

(B.24)

Atendendo ao integral

2

2exp exp4 4

bat bt dt

a

(B.25)

e aplicando a expressão (B.25) na expressão (B.24), vem

2 2202 0

20

2 2 2 2 20 0 0

2 1

2 2 2 2 210 0 0

2 22

441exp exp

1 4 14

4exp

1 11 exp tan

4 tanexp exp exp

2 1 11

iCiCt i d

iC iC

i C

iC iCC i C

i Ci C

C CC

2 2 2 2 2 10 0 0

2 22

4 tanexp exp .

21 11

C Ci

C CC

98

A expressão de 0,A fica

2 2 2 2 2 1

0 0 00 2 22

4 tan0, exp exp .

21 11

C CA A i

C CC

(B.26)

Para obter o valor de 0A aplica-se a condição

22

2

0 20

22 2 2

0 0 0 0200

10, 1 exp 1

4

1exp 2 1 .

2

iC tA t dt A dt

tA dt A A

(B.27)

Substituindo a expressão (B.27) na equação (B.26) fica

2 2 2 2 2 1

0 0 02 2 2

8 tan0, exp exp .

21 1 1

C CA i

C C C

(B.28)

Logo, conclui-se que

2 2 2

0 02 2

8exp

1 1S

C C

(B.29)

2 2 1

02

tan.

21

C C

C

(B.30)

Pode, portanto, escrever-se

0, expA S i (B.31)

sendo o atraso de grupo dado por

21 2 3

1.

2g L

(B.32)

Fazendo

222 2 2

1 2 3

22 2 2 2 2 2 41 1 2 2 1 2 3 3

2 2 22 2 2 21 1 2 2 1 3

2 22 3 2 42 3 3

12

2

1 12 2

2 4

2

1,

4

g L S d

L S d

L S d S d S d

L S d S d

(B.33)

99

admitindo que a expressão pode ser considerada como uma função gaussiana de média nula

22 2 2 2 2

2 0 0 02 2 2 2

20

8 8exp exp ,

1 1 1 12

4

SC C C C

(B.34)

e tendo em conta as propriedades dos integrais das expressões (B.33) e (B.34), tem-se

22

2 0,S d A d

(B.35)

2

0S d

(B.36)

2 2 2

22 02 2 2

0 0

8 1 12

1 4 4

C CS d

C

(B.37)

23 0S d

(B.38)

2

224

20

13 2 .

4

CS d

(B.39)

Atendendo às equações (B.35), (B.36), (B.37), (B.38) e (B.39), tem-se

2

2 22 2 2 2 2

1 2 1 3 32 20 0

1 3 12 2 2 2

44 4g

C CL

(B.40)

2

2 22 2 21 2 32

2

2 2 22 21 2 3

22

21 3 2

0

22 2

2 2 22 2 21 3 1 32 2

0 0

1 12 2

22

1

2

1 12 2

2 4

1 1 12 2 2

4 4 4

g L S

L S d S d S d

CL

C CL

.

(B.41)

Simplificando obtém-se

2

02

21

C

C

ou seja

2

202

210

2 1

CS d

C

(B.42)

100

vem

2

22 01 2 3 2

21 12 2

2 2 1g

CL S d

C

22 2 22 30

1 2 32

2 20 2

22 20

2 1

21

2 12 2 .

21 4

LCS d S d S d

C

LC CCL

C

(B.43)

Pode reescrever-se a equação de 2

0 , como

22 2 20

22 2

2 2 2 2 20 1 2 1 3 32 2

0 0

22 2

2 2 21 3 1 3 22 2

0 0

22 2

2 2 2 20 2 3 22 2

0 0

20 2

2

1 3 1

44 4

1 1 1

4 4 4

1 1 1

24 4

g g g

C CL

C CL LC

C CL L LC

LC

22

2 2 22 32 2

2 2 20 0 0

1 .4 2 4 2

LL LCC

(B.44)

Finalmente, obtém-se o coeficiente de alargamento do impulso 2

0 , dado por

2 2 22

22 32 2

2 2 30 0 0 0

1 12 2 4 2

LLC LC

(B.45)

onde L é o comprimento da fibra.

A análise efectuada anteriormente pressupõe que a fonte óptica produz impulsos aproximadamente

monocromáticos tal que a sua largura espectral satisfaça 0L em que 1 2

20 01 C . Esta

condição nem sempre é satisfeita. Para ter em conta a largura espectral da fonte é necessário tratar o campo

óptico como um processo estocástico e considerar as propriedades de coerência da fonte [1]. Quando o espectro

da fonte é gaussiano de largura espectral eficaz , o coeficiente de alargamento é dado por

2 2 22

22 2 2 32 2

2 2 30 0 0 0

1 1 12 2 4 2

LLC LV V C

(B.46)

com 02V . Esta expressão descreve o alargamento de impulsos gaussianos de forma generalizada.

101

Apêndice C

Efeito óptico de Kerr

O efeito de Kerr é a variação do índice de refracção do material, devido à aplicação de um campo eléctrico. O

efeito óptico de Kerr é aquele que ocorre quando o campo eléctrico aplicado se deve à interacção da luz com o

material. A variação do índice de refracção provocada é responsável pelo fenómeno não-linear da auto-

modulação de fase. Neste apêndice demonstra-se que o efeito de Kerr é, de facto, responsável pelo fenómeno de

auto-modulação de fase bem como pelo aparecimento de novas frequências.

102

Sendo a constante de propagação linear e n o correspondente índice de refracção modal, tem-se

0nk (C.1)

em que 0k c é a constante de propagação no vácuo e c é a velocidade da luz no vácuo.

No plano transversal tem-se a seguinte relação entre a constante dieléctrica relativa e o índice de refracção da

fibra

2, , .x y n x y (C.2)

Em regime linear, a equação de Helmholtz permite escrever

2 2 2 2

0, , 0t F n x y k F x y (C.3)

e, para coordenadas rectangulares

2 2

2

2 2.t

F FF

x y

(C.4)

No caso da aproximação dos modos LP para fibras ópticas de pequeno contraste dieléctrico, admite-se que

ˆ, , , , , ,x y z t E x y z tE x (C.5)

então

, , , , ,E x y z t F x y B z t (C.6)

com

0 0, , expB z t A z t i z t (C.7)

em que 0 é a frequência da portadora, 0 0 e ,F x y a função modal. A função ,B z t é de variação

rápida e a envolvente ,A z t é de variação lenta.

Suponha-se que se perturba a constante eléctrica relativa, tal que

,x y (C.8)

e, consequentemente, a nova constante de propagação longitudinal é

(C.9)

em que

22

0

2.

2

Fk

F

(C.10)

Adoptando-se a seguinte notação

,x y dx dy

(C.11)

e atendendo à equação (C.2), tem-se

2 , .n x y n (C.12)

103

Atendendo às equações (C.1) e (C.12) e admitindo a aproximação ,n x y n , pode escrever-se a equação

(C.10) na forma

2

0 2.

nFk

F

(C.13)

Numa fibra óptica de sílica, o efeito não-linear de Kerr estabelece que

2

2 *,n n x y n E (C.14)

em que *E é um campo fictício tal que

2 2

* *E y E I (C.15)

onde I representa a intensidade óptica e *y é uma admitância apropriada.

Assim, pelas equações (C.6) e (C.7), tem-se

22 2

* *, , , , , .E x y z t y F x y A z t (C.16)

Admitindo

2

2 *n n E (C.17)

conclui-se, da equação (C.13), que

4

2

* 2 0 2, .

Fy n k A z t

F (C.18)

Define-se, agora, uma nova amplitude

2

*, , ,Q z t y F A z t (C.19)

então, pode escrever-se a equação (C.18) como

2

,Q z t (C.20)

sendo

2 0 22n k n

(C.21)

em que representa a área efectiva dada pela seguinte expressão

2

2

4

24

,

.

,

F x y dxdyF

FF x y dxdy

(C.22)

Para a aproximação gaussiana

104

2 2

2

0

, exp2

x yF x y

w

(C.23)

2

02 w , pelo que

2

2

0

.n

w

(C.24)

As normalizações utilizadas implicam que 2

,Q z t represente a potência transportada ,P z t , tal que

, .P z t (C.25)

Por sua vez, como se tem

, expP z t P t z (C.26)

em que é o coeficiente de atenuação, a fase não-linear gerada pelo efeito de Kerr será

0 0 0

,L L L

NL t dz dz P z t dz (C.27)

daí a designação de auto-modulação de fase. Assim tem-se

NL t P t (C.28)

em que 1 1 exp L é o comprimento efectivo.

Para comprovar que o efeito não-linear de Kerr dá origem a novas frequências considere-se um meio isotrópico

com efeito óptico de Kerr cuja componente longitudinal de propagação eléctrica é dada por uma relação da

forma

, , , , , , , , ,L NL

z z zP x y z t P x y z t P x y z t (C.29)

em que

1

0

3 3

0

, , , , , ,.

, , , , , ,

L

z z

NL

z z

P x y z t E x y z t

P x y z t E x y z t

(C.30)

Admita-se, também, que a componente longitudinal do campo eléctrico é dada por

0 0, , , , , expzE x y z t F x y A z t i z t (C.31)

sendo

2 2

2

0

, exp2

x yF x y

r

(C.32)

e considere-se, ainda, a igualdade

23 31 3.

4 4z z z z (C.33)

105

Assim, analisando a componente NL

zP da equação (C.30) e substituindo a equação (C.31), vem

3 3

0 0 0, , expNL

zP F x y A z t i z t (C.34)

Aplicando a equação (C.32) à equação (C.34) e considerando a igualdade (C.33), obtém-se

2 223

0 0 02

0

2 233

0 0 02

0

3 3exp , , exp

4 2

1 3exp , exp 3

4 2

NL

z

x yP A z t A z t i z t

r

x yA z t i z t

r

(C.35)

Como se pode verificar pelo segundo termo da equação (C.35) há aparecimento de novas frequências.

106

107

Apêndice D

Dedução da equação do solitão fundamental

Neste apêndice deduz-se a expressão do solitão fundamental sem recorrer ao método inverso da dispersão.

108

A solução da equação NLS que corresponde ao solitão fundamental pode ser obtida pela resolução da equação

2

2

2

10.

2

U Ui U U

(D.1)

A ideia consiste em assumir que existe uma solução do tipo [18]

, expU V i (D.2)

para a equação (D.1) onde V é independente de para representar o solitão fundamental cuja forma se

mantém inalterada durante a propagação. Por sua vez, a fase depende de mas é independente do tempo.

Aplicando a equação (D.2) em (D.1), vem

2

3

2

1 1

2

d VV K

d V t

(D.3)

onde K é uma constante. Da equação (D.3) pode escrever-se que a fase K . Verifica-se, então que a

função V satisfaz a equação diferencial não-linear

2

2

22 ,

d VV K V

d (D.4)

multiplicando (D.4) por 2 dV d e integrando em

2 2 42dV d KV V C (D.5)

onde C é uma constante.

Aplicando as condições de fronteira em que V e dV d são iguais a 0 quando , 0C .

Considerando a condição de que o pico do solitão ocorre em 0 , 1V e 0dV d , 1 2K .

Tendo obtido os valores de C e de K , aplicando-os na equação (D.5) e integrando, obtém-se sechV ,

substituindo na equação (D.2), vem

, sech exp .2

U i

(D.6)

109

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