Análise da Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas

Arleth Manuela Gonçalves

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Dr. José Manuel Bioucas Dias

Orientador: Prof. Dr. António Luís Campos da Silva Topa

Vogal: Profª. Drª. Isabel Maria Ventim Neves

Abril 2012

i

Agradecimentos

Agradeço:

Em primeiro lugar a Deus por permitir que acorde todos os dias com saúde;

À minha família e ao meu noivo Felisberto Camuege, por me apoiarem sempre e serem a minha

maior motivação nos muitos momentos difíceis que passei durante o meu percurso universitário;

Ao Prof. Dr. António Topa pela orientação, conselhos, disponibilidade, apoio e muito boa disposição

demonstrada durante todas as reuniões que tivemos;

Às minhas amigas Ana Zenilda, Edna Lucia e Ariana Chipalavela pela amizade e motivação

oferecidas sempre que precisei ao longo dos anos;

Aos meus colegas do Instituto Superior Técnico por todo apoio e as muitas noites perdidas durante a

realização de projectos e trabalhos em grupo.

A todos, muito obrigada!

ii

iii

Resumo

Neste trabalho faz-se uma análise do comportamento dos impulsos ao propagarem-se numa fibra

óptica operando em regime linear e não-linear.

Inicia-se o trabalho com uma breve introdução as fibras ópticas, passando-se depois à teoria modal

que explica como é possível os impulsos de luz viajarem pela fibra. Procede-se à análise da

propagação de impulsos em regime linear onde se foca o tema da dispersão nas fibras. Deduz-se

ainda a equação que rege a propagação de impulsos nesse regime linear, sendo que a sua resolução

passa pela aplicação de um algoritmo simplificado o qual foi nomeado de Algoritmo RIMF, como é

mencionado ao longo do trabalho.

Uma vez que o fenómeno da dispersão limita a largura de banda do sinal, abordam-se os métodos de

compensação da dispersão: o uso de fibras compensadoras de dispersão e a propagação de solitões.

Em regime não linear estuda-se o efeito não-linear de Kerr, o qual explica o aparecimento da auto-

modulação de fase (AMF), que em conjunto com a dispersão da velocidade de grupo (DVG) permite o

surgimento dos solitões. Partindo-se depois para a Equação não-linear de Shrondinger que rege a

propagação de impulso nesse regime, determinam-se as suas soluções analíticas, fazendo-se uma

pequena abordagem sobre o solitão fundamental, após mencionar-se o método numérico que é

utilizado para a simulação de impulsos em regime não-linear.

Palavras-chave: Fibras ópticas, dispersão, propagação de impulsos, solitões.

iv

v

Abstract

In this thesis, we analyze the performance of pulse propagation through a fibre optic communication

system, operating in the linear and nonlinear regimes.

This work starts with a brief introduction to fibre optics communication systems. Then, the modal

theory is used to study how light pulses travel along the fibre. The pulse propagation in the linear

regime is then addressed to analyze the dispersion of pulses through the fibre. The equation that

governs the pulse propagation along the fibre is derived. Its resolution involves the application of a

simulation algorithm, termed here as RIMF algorithm, as referred along the thesis.

It is concluded that dispersion is the main limiting factor, causing pulse spreading and limiting the

bandwidth of the signal. The methods of dispersion compensation are proposed: The use of

dispersion compensating fibres and the propagation of solitons.

In the non-linear regime, we focus on the non-linear Kerr effect, which explains the appearance of the

self-phase modulation (SPM). In conjunction with the group velocity dispersion (GVD), these two

effects, whenever compensated, allow the appearance of solitons. The non-linear Shrondinger (NLS)

equation, governing pulse propagation in this regime, is derived to find its analytical solutions. A

numerical method is introduced to simulate the pulse propagation in the non–linear regime. Finally, the

fundamental soliton is considered.

Keywords: Fibre optics, dispersion, pulse propagation, solitons.

vi

vii

Índice

Agradecimentos ....................................................................................................................................... i

Resumo .................................................................................................................................................... iii

Abstract .................................................................................................................................................... v

Lista de Figuras ........................................................................................................................................ ix

Lista de Símbolos ..................................................................................................................................... xi

Lista de Acrónimos ................................................................................................................................. xv

Capítulo 1- Introdução ............................................................................................................................ 1

1.1. - Introdução as fibras ópticas .................................................................................................. 1

1.2. - Comunicações ópticas ........................................................................................................... 3

1.2.1. - Luz ................................................................................................................................. 3

1.2.2. - Espectro electromagnético ........................................................................................... 4

1.2.3. - LED vs LASER .................................................................................................................. 6

1.2.4. - Esquemas de modulação e multiplexagem em fibras ópticas ...................................... 6

1.2.5. - Elementos de uma ligação por fibra óptica ................................................................... 7

1.3. - Motivações e objectivos da tese ........................................................................................... 8

1.4. - Estrutura da tese ................................................................................................................... 8

1.5. - Contribuições ...................................................................................................................... 10

Capítulo 2- Teoria Modal ....................................................................................................................... 11

2.1. - Lei de Snell ........................................................................................................................... 11

2.2. - Fibras ópticas operadas em regime linear .......................................................................... 13

2.2.1. - Parâmetros normalizados ........................................................................................... 14

2.3. - Modos de propagação na fibra óptica ................................................................................ 16

Capítulo 3- Propagação de impulsos em regime Linear ........................................................................ 23

3.1. - Dispersão em fibras ópticas ................................................................................................ 23

3.2. - Equação de propagação de impulsos em regime linear ..................................................... 28

3.2.1. - Coeficientes m .......................................................................................................... 33

3.2.2. - Simulação Numérica da Propagação de Impulsos em Regime linear ......................... 34

3.3. - Desvio dinâmico de frequência (Chirp) ............................................................................... 39

3.3.1. - Propagação de impulsos Gaussianos com Chirp em regime linear ............................. 39

3.3.2. - Impulsos Super-Gaussianos ......................................................................................... 48

3.4. - Compensação da dispersão ................................................................................................. 53

3.4.1. - Exemplo de Aplicação das DCF’s ................................................................................. 54

Capítulo 4 - Propagação de impulsos em regime não-linear ................................................................ 57

4.1. - Efeito não-linear de Kerr numa fibra óptica ........................................................................ 57

4.2. - Equação não-linear de Shrodinger ...................................................................................... 62

viii

4.3. - Soluções analíticas da equação NLS .................................................................................... 67

4.3.1. - Soluções analíticas da equação NLS para ondas solitárias .......................................... 70

4.3.2. - Soluções Analíticas da Equação NLS para ondas periódicas ....................................... 73

4.4. - Simulação numérica da equação NLS: Split-Step Fourier Method ...................................... 74

4.5. - Características do solitão fundamental ............................................................................... 77

Capítulo 5 - Conclusões ......................................................................................................................... 81

5.1. - Conclusões principais .......................................................................................................... 81

5.2. - Perspectivas de trabalho futuro .......................................................................................... 83

Bibliografia............................................................................................................................................. 85

Anexo A – Equações de Maxwell ........................................................................................................... 87

Anexo B – Equação modal e corte dos modos híbridos ........................................................................ 91

B.I – Equação modal .......................................................................................................................... 91

B.II – Modos híbridos (EH e HE) e transversais (TM e TE) ................................................................. 97

Anexo C – Interpretação geométrica da propagação guiada na fibra ................................................ 103

ix

Lista de Figuras

Figura 1. 1 - Constituição da fibra [10]. ................................................................................................... 2

Figura 1. 2 - Comparação de dimensões da fibra óptica e cabo usual [8]. ............................................. 3

Figura 1. 3 - Espectro Electromagnético e frequências ópticas [5]. ........................................................ 4

Figura 1. 4 - Janelas de transmissão ao longo dos anos [5]................................................................... 5

Figura 1. 5 - Elementos de uma ligação por fibra óptica [5]. ................................................................... 8

Figura 2. 1 - Confinamento na fibra [6]. ................................................................................................. 11

Figura 2. 2 - Fibras com vários perfis [10]. ............................................................................................ 12

Figura 2. 3 - Fibra óptica de perfil em degrau [3]. ................................................................................. 13

Figura 2. 4 - Solução da equação modal (2.28) para o modo fundamental. ......................................... 20

Figura 2. 5 - Primeiros seis modos LP da fibra óptica: diagramas b(v). ............................................... 21

Figura 2. 6 - Influência do contraste dieléctrico sobre a curva de dispersão b(v) para o modo

fundamental. .......................................................................................................................................... 21

Figura 2. 7 - Variação do contraste dieléctrico com o raio do núcleo, para dois valores diferentes do

comprimento de onda de corte do modo LP11 (o primeiro a propagar-se imediatamente a seguir ao

modo fundamental LP01). Considera-se n1=1.5. ................................................................................... 22

Figura 3. 1 - Dispersão nula [5]. ............................................................................................................ 27

Figura 3. 2 - Dispersão anómala [5]. ..................................................................................................... 27

Figura 3. 3 - Dispersão normal [5]. ........................................................................................................ 28

Figura 3. 4 - Comparação do impulso a entrada e a saída em regime linear. ...................................... 38

Figura 3. 5 - Evolução do impulso. ........................................................................................................ 38

Figura 3. 6 - Impulso inicial Gaussiano com C=0. ................................................................................. 39

Figura 3. 7 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=0. ................................ 42

Figura 3. 8 - Evolução do impulso Gaussiano com C=0. ...................................................................... 42

Figura 3. 9 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=2. ................................ 42

Figura 3. 10 - Evolução do impulso Gaussiano com C=2. .................................................................... 43

Figura 3. 11 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=-2. ............................. 43

Figura 3. 12 - Evolução do impulso Gaussiano com C=-2. ................................................................... 43

Figura 3. 13 - Evolução espacial da largura espectral dos impulsos na zona de dispersão anómala

para diferentes valores do parâmetro C ................................................................................................ 47

Figura 3. 14 - Impulso inicial Super-Gaussiano com C=0. .................................................................... 49

Figura 3. 15 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=0.................... 50

Figura 3. 16 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=0. ......................................................... 50

Figura 3. 17 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=2.................... 50

Figura 3. 18 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=2. ......................................................... 51

Figura 3. 19 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=-2. ................. 51

Figura 3. 20 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=-2. ....................................................... 51

x

Figura 3. 21 - Comparação do impulso a entrada e a saída, na primeira fibra. .................................... 55

Figura 3. 22 - Comparação do impulso a entrada e a saída, na segunda fibra. ................................... 55

Figura 4. 1 - Potência de um impulso Gaussiano [9]. ........................................................................... 61

Figura 4. 2 - Evolução do solitão fundamental. ..................................................................................... 72

Figura 4. 3 - Evolução do solitão de terceira ordem. ............................................................................ 73

xi

Lista de Símbolos

:NA Abertura numérica

:entP Potência óptica a entrada da fibra

:saiP Potência óptica a saída da fibra

:f Frequência óptica

: Comprimento de onda

:c Velocidade da luz no vazio

: Contraste dieléctrico

:1n Índice de refracção do núcleo

:2n Índice de refracção da bainha

:i Ângulo de incidência

:t Ângulo de transmissão

:c Ângulo crítico

:max0 Ângulo de aceitação máximo

:zE Componente longitudinal do campo eléctrico

:0E Amplitude do campo eléctrico

:)(rF Função modal

: Constante de propagação longitudinal

: Frequência angular

:a Raio do núcleo da fibra

:k Constante genérica de propagação

:0k Constante de propagação no vácuo

:q Constante de propagação na bainha

:h Constante de propagação no núcleo

:u Constante de propagação transversal normalizada

:w Constante de propagação na bainha normalizada

: Constante de atenuação

:b Índice de refracção modal normalizado

:v Frequência normalizada da fibra

:n Índice de refracção modal

:cv Frequência de corte normalizada

xii

:c Comprimento de onda de corte

:maxa Raio máximo do núcleo para que o regime seja monomodal

:)(uJm Função de Bessel da 1ª espécie

:)(uKm Função de Bessel da 2ª espécie

:)(' uJm Derivada da função de Bessel da 1ª espécie

:)(' uKm Derivada da função de Bessel da 2ª espécie

:E Campo eléctrico

:H Campo magnético

:n Índice de variação radial

:m Índice de variação azimutal

:D Dispersão no guia

:L Comprimento na fibra

:g Atraso de grupo

:gv Velocidade de grupo

:gn Índice de grupo

:2 Coeficiente da DVG

:),0( tA Envolvente do impulso a entrada da fibra

:),( tzA Envolvente do impulso que se propaga na fibra

:),( yxF Função modal que representa a variação transversal do modo fundamental

:r Coordenada transversal (num sistema de coordenadas cilíndricas)

: Desvio de frequência em relação a portadora

:0 Frequência angular da portadora

:0 Tempo característico de duração do impulso

:DL Comprimento de dispersão

: Comprimento normalizado

: Tempo normalizado

: Frequência normalizada

:C Parâmetro Chirp

:c Factor de Henry

:0A Amplitude do impulso

:),( tz Desvio de frequência provocado pela existência do Chirp

xiii

:)(z Factor de alargamento dos impulsos

:minz Distância mínima para o qual o impulso atinge a sua largura mínima

:min Tempo que o impulso leva a atingir a sua largura mínima

:rt Tempo de duração para o qual a intensidade do impulso aumenta de 10% a 90% do

seu valor de pico

:)(z Largura efectiva do impulso

:qt Momentos

:0 Largura inicial do impulso

: Largura efectiva da fonte

:V Largura espectral da fonte normalizada

:1L Comprimento da fibra a funcionar na zona anómala

:2L Comprimento da fibra de compensação a funcionar na zona normal

:21 Coeficiente da DVG na secção 1

:22 Coeficiente da DVG na secção 2

:),( yxn Índice de refracção da fibra

: Constante dieléctrica relativa

:' Constante dieléctrica relativa perturbada

:' Constante de propagação perturbada

:*E Campo eléctrico fictício

:I Intensidade óptica

:*y Admitância apropriada

:),( tzP Potência transportada

: Área efectiva

:efr Raio efectivo

:inP Potência de entrada do impulso

:NL Fase não-linear

: Comprimento efectivo

:)(t Desvio de frequência instantânea local (em relação a portadora) provocada pela AMF

:0P Potência de pico

:NLL Comprimento não-linear

:N Ordem do solitão

xiv

:0q Centro do impulso em relação a 0

:0 Fase para 0

:0 Período da evolução do solitão

:sE Energia do solitão

:s Largura total a metade do valor máximo

:A Área do solitão fundamental

:)(S Densidade espectral de potência

:N Parâmetro da não-linearidade

:D Parâmetro da dispersão

: Factor de perdas

: Termo de dispersão da 3ª ordem

:)(0 tu Impulso incidente

:h Passo longitudinal

:L Comprimento da fibra normalizado

:inE Energia inicial

:finE Energia final

:c Erro cometido

:J Vector de densidade de corrente

: Vector de densidade de carga

:D Densidade de fluxo eléctrico

:B Densidade de fluxo magnético

:0 Permessividade électrica no vácuo

:0 Permeabilidade magnética do vácuo

:P Polarização induzida électrica

:M Polarização induzida magnética

:),( trPL Polarização induzida da parte linear

:),( trPNL Polarização induzida da parte não-linear

:)1(

Susceptibilidade linear

:)3( Susceptibilidade não-linear

xv

Lista de Acrónimos

LAN: Local Área Network

WAN: Wide Area Network

WDM: Wavelength Division Multiplexing

EDFA: Erbium Doped Fiber Amplifier

AM: Amplitude Modulation

FM: Frequency Modulation

DM: Digital Modulation

LED: Ligth Emition Diode

ILD: Injection Laser Diode

TE: Transversais Eléctricos

TM: Transversais Magnético

TEM: Transversais Electro-Magnéticos

LP: Linearmente Polarizado

IIS: Interferência Inter Simbólica

DVG: Dispersão da Velocidade de Grupo

DCF: Dispersion Compensation Fiber

FFT: Fast Fourier Transform

IFFT: Inverse Fast Fourier Transform

AMF: Auto-Modulação de Fase

RLND: Regime Linear Não-Dispersivo

RLD: Regime Linear Dispersivo

RNLD: Regime Não-Linear Dispersivo

RNLND: Regime Não-Linear Não-Dispersivo

NLS: Não-Linear de dingeroSch

IST: Inverse Scattering Transform

FWHM: Full Wicth at Half Maximum

SSFM: Slip-Step Fourier Method

FWM: Four Wave Mixing

XPM: Cross Phase Modulation

xvi

1

Capítulo 1- Introdução

Neste capítulo fala-se introdutoriamente do aparecimento das fibras ópticas, da sua invenção, por que

razão mudaram drasticamente o paradigma de transmissão de dados, as principais vantagens que

tornam a fibra óptica especial quando comparada com os cabos metálicos, ou seja, uma breve

introdução as fibras ópticas. Descrevem-se também os elementos básicos de uma ligação por fibra

óptica, referindo-se de uma forma breve o espectro electromagnético e as comunicações ópticas,

fazendo-se uma comparação básica entre os emissores ópticos usados pela fibra, sem esquecer de

apresentar os objectivos e motivações da dissertação, uma estrutura resumida do trabalho realizado

e as suas principais contribuições.

1.1. - Introdução as fibras ópticas

Com base nos estudos efectuados pelo físico inglês Jonh Tyndall em 1870, de que a luz poderia

descrever uma trajectória curva dentro de um material, apenas em 1952 o físico indiano Narinder

Singh Kapany concluiu as suas experiencias levando-o a invenção da fibra óptica, pois só com a

invenção e desenvolvimento dos dispositivos (LASER´s e LED´s) capazes de converter impulsos

electrónicos em impulsos de luz é que era possível transmitir a informação que até ao momento era

eléctrica, mudando desde então o paradigma de transmissão de dados (sinal) [12]. A fibra óptica é

principalmente utilizada em sistemas que exigem alta largura de banda, tais como sistemas

telefónicos, sistemas de vídeo-conferência, redes de computadores locais (LAN’s) e de longas

distancias (WAN’s) em campos universitários, hospitais e empresas, TV’s a cabo (futuramente em

sistemas bidireccionais), controle e automação industrial, aplicações militares, na medicina

(endoscopias por exemplo), entre outros.

As fibras ópticas, não são nada mais que matérias isolantes, cilíndricos (filamentos) constituídos por

uma região central denominada núcleo, por onde passa a luz, e uma região periférica denominada

bainha que envolve o núcleo, como mostra a Figura 1.1. Tal filamento pode apresentar diâmetros

variáveis, dependendo da aplicação, indo desde diâmetros infinitos da ordem dos micrómetros (mais

finos que um fio de cabelo) até vários milímetros [10].

2

Figura 1. 1 - Constituição da fibra [10].

Existem duas vantagens principais que tornam a fibra óptica especial em comparação aos cabos

metálicos:

A fibra óptica é totalmente imune a interferências electromagnéticas, por esta ser constituída

de material dieléctrico (pedaço de vidro ou material polimérico) com capacidade de transmitir

luz, o que significa que os dados não serão corrompidos durante a transmissão.

E o facto das fibras ópticas não conduzirem corrente eléctrica, logo não haverá problemas

com electricidade, como problemas de diferença de potencial eléctrico ou problemas com

descargas electricas.

O principio fundamental que rege o funcionamento das fibras ópticas é o fenómeno físico denominado

reflexão Interna total da luz. Para que haja a reflexão Interna total, a luz deve sair de um meio com

índice de refracção maior para um meio com índice de refracção menor e o ângulo de incidência deve

ser superior ao ângulo crítico, comummente designado por ângulo limite.

Existem duas categorias de fibras ópticas: Multimodais e Monomodais, definindo assim a forma como

a luz se propaga no interior do núcleo.

As fibras multimodais possuem diâmetro do núcleo superior ao das monomodais, de modo a que a

luz tenha vários modos de propagação, ou seja, a luz percorre o interior da fibra óptica por diversos

caminhos. Tais fibras são mais usuais para curtas distâncias, pois são bastante sensíveis ao

fenómeno da dispersão, que mais adiante se explicará.

Enquanto nas monomodais a luz possui apenas um modo de propagação, ou seja, a luz percorre o

interior do núcleo por apenas um caminho, mas em compensação, são as mais adequadas para

aplicações que envolvam grandes distâncias, embora requeiram conectores de maior precisão e

dispositivos de alto custo [7].

3

1.2. - Comunicações ópticas

As comunicações ópticas constituem hoje o suporte da transmissão da rede fixa. Comunicações em

frequências bastante elevada ( ), recorrendo a conversores electro-ópticos (LAZERs) e

Opto - eléctricos (PIN).

Pelo facto da fibra óptica apresentar atenuações bastantes reduzidas ( ), permite

ligações entre várias dezenas de quilómetros. Em ligações longas, é necessário usar repetidores

(amplificadores ou regeneradores) [5].

1.2.1. - Luz

As principais questões que se colocaram foram: como é que a luz, passando por meio da fibra óptica,

consegue transmitir informação? Como isto pode ser tão mais eficiente que as transmissões

tradicionais, por condutores metálicos? A Figura 1.2 mostra uma comparação entre as dimensões

(em termos de capacidade) de um cabo usual e uma fibra óptica.

Figura 1. 2 - Comparação de dimensões da fibra óptica e cabo usual [8].

Para tentar perceber estudaremos como as ondas funcionam, pois a luz é uma gama de

comprimentos de onda a que o olho humano é sensível ou qualquer radiação electromagnética que

se situe entre a radiação infravermelha e radiação ultravioleta. As três grandezas físicas básicas da

luz são: brilho (amplitude), cor (frequência) e polarização (ângulo de vibração), devido a dualidade

onda-particula, a luz exibe simultaneamente propriedades de onda e partícula [8].

A transmissão de luz pela fibra, independentemente do material usado ou da aplicação, é feita

lançando um feixe de luz (o qual transporta a informação) à entrada da fibra sob um cone de

aceitação, em que este determina o ângulo por que o feixe de luz deverá ser injectado, para que este

possa propagar-se ao longo da fibra, pelas suas características. O feixe percorre-a por meio de

reflexões sucessivas, sem esquecer que para iniciar a transmissão faz-se o uso de um conversor que

THz193

kmdB2.0~

4

transforma impulsos de tensão na linha de entrada, num feixe lazer, o qual é direccionado para o

núcleo da fibra. Da entrada segue-se o princípio de funcionamento da fibra, e no final da fibra também

é colocado um outro conversor que reconverte os impulsos de luz em tensão eléctrica [15].

1.2.2. - Espectro electromagnético

O espectro electromagnético é o intervalo que contém todas as radiações electromagnéticas, que vão

desde as ondas de rádio até aos raios gama [5]. O conhecimento sobre as ondas electromagnéticas

tem evoluído desde a época de Maxwell. As ondas electromagnéticas são ondas formadas pela

combinação dos campos eléctrico e magnético que se propagam perpendicularmente um em relação

ao outro.

Figura 1. 3 - Espectro Electromagnético e frequências ópticas [5].

A relação entre frequência óptica, e o comprimento de onda, λ é:

cf

(1)

Onde c é a velocidade da luz no vazio, à qual é uma constante de valor aproximado à 3.108 m/s.

Na Figura 1.4 são ilustradas as regiões de comprimento de onda ao longo das décadas usadas pela

fibra, onde as terceira janela (valores vizinhos ao comprimento de onda central ou nominal) e

segunda janela são as mais atractivas pois oferecem menores valores de atenuação por kilómetro

percorrido.

5

Figura 1. 4 - Janelas de transmissão ao longo dos anos [5].

Apesar de a atenuação ser bastante reduzida em fibras ópticas, não deixa de ser uma característica

importante de transmissão, reflectindo-se esta no facto de que a medida que a luz se propaga pela

fibra perde parte da sua potência pelas imperfeições do material ao ser fabricado (sílica) e absorção

da luz pela casca, reduzindo assim a potência óptica disponível [16], [17].

Em sistemas ópticos é comum apresentar-se o valor de atenuação por unidade de comprimento da

fibra L, por via da comparação da potencia óptica a entrada e a saída da fibra, com α a representar o

coeficiente de atenuação e expresso em .

sai

ent

P

PL 10log10 (1.a)

Como se observa na Figura 1.4, de modo a reduzir a atenuação, a transmissão na fibra não utiliza luz

visível, mas sim luz infravermelha com comprimentos de onda a rondarem entre os 850 à 1550

nanómetros, por isso nunca devemos olhar directamente para uma fibra óptica quando esta estiver

transmitindo, pois corremos sérios riscos de perder a visão [13].

Actualmente em fibras ópticas a atenuação já é bastante reduzida, pelo que, em todas as

demonstrações aqui apresentadas, considera-se a atenuação nula face ao efeito da dispersão na

fibra.

6

1.2.3. - LED vs LASER

A fibra óptica converte o sinal em impulsos de luz através de um emissor óptico, a chamada

conversão electro-óptica. Para sistemas ópticos, encontramos dois tipos de fontes ópticas (fontes de

luz) que são frequentemente utilizadas: LED (Light Emition Diode) e ILD (Injection Laser Diode),

ambos semicondutores modulados directamente pela variação de corrente a entrada. Cada um

destes dois tipos de fontes oferece certas vantagens e desvantagens, e diferenciam-se entre si sob

diversos aspectos:

- Potência luminosa: os lasers oferecem maior potência óptica quando comparados com os LEDs.

- Largura espectral: os lasers têm largura espectral menor que os LEDs, o que proporciona menor

dispersão material.

- Tipos e velocidades de modulação: os lasers têm velocidade maior que os LEDs, mas necessitam

de circuitos complexos para manter uma boa linearidade.

- Acoplamento com a fibra óptica: o feixe de luz emitido pelo laser é mais concentrado que o

emitido pelo LED, permitindo uma eficiência de acoplamento maior.

- Variações com temperatura: os lasers são mais sensíveis à temperatura que os LEDs.

- Vida útil e degradação: os LEDs têm vida útil maior que os lasers (aproximadamente 10 vezes

mais), além de ter degradação bem definida.

- Custos: os lasers são mais caros que os LEDs, face dificuldade de fabricação.

- Ruídos: os lasers apresentam menos ruídos que os LEDs. Ambos podem ser fabricados do mesmo

material, de acordo com o comprimento de onda desejado:

* AlGaAs (arseneto de alumínio e gálio) para 850 nm.

* InGaAsP (fosfato de arseneto de índio e gálio) para 1300 e 1550 nm.

Dadas as características de ambos, os lasers são comummente usados nas fibras monomodo,

enquanto os LED´s são mais usados nas fibras multimodo.

1.2.4. - Esquemas de modulação e multiplexagem em fibras ópticas

A modulação é o processo pelo qual o sinal em vez de ser transmitido em sua forma original é

transmitido com mudança de amplitude, frequência ou dígitos, através de uma portadora ou canal. A

transmissão de informação basicamente realiza-se modulando a intensidade do campo (potência

óptica) que se propaga na fibra óptica [10], [11].

A fibra óptica pode usar 3 esquemas de modulação, os quais aqui se referem:

7

Amplitude Modulation (AM): a modulação é feita na amplitude, como o próprio nome indica, o

que requer sistemas bastante lineares, para compensar a distorção do sinal ao atravessar a

fibra.

Frequency Modulation (FM): a informação é transmitida a partir de uma variação de

frequência da portadora, facto que torna menos vulnerável às variações de amplitude.

Digital Modulation (DM): apesar de requerer a entrada um conversor de sinal A/D, é a

modulação menos afectada pela distância, ruído do emissor de luz ou mesmo distorção, e

consequentemente a modulação com custos mais elevados.

A multiplexagem é a técnica que permite enviar pelo mesmo canal em simultâneo, varias mensagens

distintas [10].

A multiplexagem mais usada em fibras é a chamada multiplexagem por divisão no comprimento de

onda, ou como é comummente conhecida WDM (Wavelength Division Multiplexing). Essa tecnologia

baseia-se no facto das fibras ópticas poderem transportar vários comprimentos de onda em

simultâneo (canais) sem que haja iteração entre eles, permitindo o aumento da largura de banda. Já

o Multiplexer, em conjunto com filtros apropriados, permite combinar os diferentes comprimentos de

onda numa única fibra, no final da transmissão usa-se um Demultiplexer para separar os diferentes

comprimentos de onda.

1.2.5. - Elementos de uma ligação por fibra óptica

A quantidade de informação que pode ser transmitida está directamente relacionada com a

frequência da portadora na qual a informação é impressa, então um aumento da sua frequência

implica, em teoria, um aumento da largura de banda de transmissão e, em consequência, uma maior

capacidade de transmitir informação. Assim, a tendência em sistemas de comunicação é o uso de

frequências cada vez mais elevadas (ou, equivalentemente, de comprimentos de onda mais curtos)

[5].

A Figura 1.5 abaixo apresenta os elementos básicos de uma ligação por fibra óptica. É de realçar que

quanto maior for a ligação por fibra óptica, ao longo desta requer-se o uso de amplificadores de sinal

apropriado, como por exemplo EDFA (Erbium Doped Fiber Amplifier) ou o uso de regeneradores de

sinal (por exemplo a cada 100Km de distância), de modo a minimizarem-se as perdas de transmissão

(atenuação e dispersão) [10].

8

Figura 1. 5 - Elementos de uma ligação por fibra óptica [5].

1.3. - Motivações e objectivos da tese

As principais motivações a escrita desta tese foram tentar perceber que tecnologias envolvidas estão

por detrás da transmissão de dados por fibra óptica, como um condutor com diâmetro inferior a um fio

de cabelo é capaz de transmitir quantidades enormes de informação com perdas bastante

insignificantes, o que acontece a informação ao passar por tal meio e como isto pode ser muito mais

vantajoso que os sistemas de transmissão de dados convencionais.

O objectivo principal passa por tentar esclarecer de modo conciso e abrangente as motivações que

levaram a escrita deste trabalho, incidindo principalmente sobre o que acontece com os impulsos de

luz ao viajarem pela fibra.

1.4. - Estrutura da tese

O trabalho esta estruturado por cinco capítulos, onde o primeiro capítulo descreve introdutoriamente

as fibras ópticas, comunicações ópticas, fala-se um pouco do espectro electromagnético, faz-se uma

breve comparação entre os lasers e LED´s e mostram-se os elementos de uma ligação por fibra

9

óptica. É também no primeiro capitulo onde se descreve as motivações e objectivos da tese, como

está estruturada e quais as principais contribuições.

No segundo capítulo fala-se brevemente da teoria modal, pois é esta teoria que explica por que razão

é possível a transmissão de luz dentro da fibra, as equações que regem a propagação de ondas em

regime linear e quais os modos de propagação na fibra.

No terceiro capítulo apresenta-se uma descrição sobre o que acontece aos impulsos ao propagarem-

se na fibra em regime linear, pois os sistemas ópticos sob o efeito de pequenas perturbações têm um

comportamento muito próximo aos sistemas lineares e por essa razão faz-se o estudo dos impulsos

ao propagarem-se em regime linear. Como não se pode falar de propagação de impulsos sem se

tocar no tema dispersão em fibras, faz-se uma breve descrição sobre por que razão os impulsos

sofrem o efeito da dispersão ao propagarem-se, quais as equações que regem o principio da

dispersão. Demonstra-se a equação que rege a propagação de impulsos em regime linear e no fim

arranja-se um algoritmo simples para a resolução de tal equação o qual foi nomeado de Algoritmo

RIMF. Mais adiante fazem-se algumas simulações numéricas para ilustrar o efeito DVG sobre o

impulso secante-hiperbólica. Ao introduzir-se o parâmetro Chirp o qual quantifica o desvio de

frequência instantânea, fazem-se umas simulações numéricas dos impulsos Gaussianos e Super-

Gaussianos, mostrando-se como o parâmetro Chirp pode influenciar na evolução da largura espectral

de tais impulsos ao propagarem-se na fibra. Por fim arranja-se uma solução admissível ao problema

da dispersão, com o uso da técnica de fibras compensadoras de dispersão a cada duas secções da

fibra, o que revela ser uma técnica bastante eficaz para colmatar o efeito da dispersão na fibra em

regime linear.

No quarto capítulo descreve-se a propagação de impulsos em regime não-linear, pois sabe-se que os

elementos na natureza comportam-se de forma não linear a perturbações exteriores. Mostra-se que a

propagação de impulsos em regime não-linear dispersivo é governada pela auto-modulação de fase

que em conjunto com dispersão de velocidade de grupo permite o aparecimento de solitões, que são

impulsos que não mudam a sua forma ao longo da propagação na fibra, sendo esta a forma de

compensar a dispersão neste regime. Fala-se da equação não-linear de Schrondinger que é a

equação que rege a propagação de impulsos em regime não linear, acham-se as suas soluções

analíticas, que para ondas não periódicas trata-se de uma onda que se propaga sem deformação,

que como já se havia referido, é o solitão. Por isto, mostra-se a evolução do solitão de primeira ordem

e as suas características principais. Para o caso de ondas periódicas, que ao contrário do solitão

fundamental não matêm a sua forma ao longo da propagação, ilustra-se a evolução de um solitão de

terceira ordem. Por fim fala-se da simulação numérica da equação não-linear de Schrondinger, que

baseia-se na aplicação, em termos computacionais do algoritmo RIMF iterativamente para o caso da

resolução das equações não-lineares, onde quanto maior o número de iterações mais eficiente se

mostra o método.

10

É de realçar que consideraram-se as perdas de potência (atenuações) nulas, pois estas são

insignificantes comparadas ao fluxo de informação transmitida pela fibra. O que não quer dizer que

não foram referidas.

O quinto capítulo é reservado as conclusões do trabalho e as perspectivas de trabalhos futuros.

1.5. - Contribuições

A principal contribuição desta dissertação é uma visão integrada da propagação de impulsos em

sistemas de fibras ópticas. Em particular, a caracterização da propagação de impulsos em fibras

ópticas em regime linear, analizando o fenómeno de dispersão temporal, e em regime não-linear,

analizando o efeito conjunto da auto-modulação de fase e da dispersão temporal. A simulação

numérica da propagação de vários tipos de impulsos numa óptica, quer em regime linear e quer em

regime não-linear, bem como a análise de técnicas de compensação da dispersão para regime linear

(fibras compensadoras de dispersão) e em regime não-linear (propagação de solitões), são também

aspectos importantes deste trabalho.

11

Capítulo 2- Teoria Modal

A transmissão de luz dentro da fibra só é possível graças a diferença de índice de refracção entre o

núcleo e a bainha, sendo que o núcleo possui sempre maior índice de refracção, tal característica

associada a um certo ângulo de incidência do feixe de luz, possibilita o fenómeno de reflexão interna

total. A teoria modal explica a transmissão da luz dentro da fibra [3], [9].

2.1. - Lei de Snell

A Lei de Snell explica que não pode haver refracção quando o ângulo de incidência é muito grande,

ou seja, existe um valor crítico que permite que a luz caminhe pelo vidro. O fenómeno de reflexão

interna total é o fenómeno que mantém e sustenta a luz confinada dentro da fibra, ou seja, a reflexão

interna deve ser proporcionada com toda energia de modo a que os raios de luz saltem para o interior

da fibra obedecendo a lei de Snell [16].

ti nn sinsin 21 (2.1a)

Figura 2. 1 - Confinamento na fibra [6].

12

Através da trigonometria é possível definir um valor máximo para o ângulo de incidência em relação

ao eixo da fibra e não à normal referida na Figura 2.1, chamado ângulo de aceitação máximo .

Somente os raios que entram na fibra com um ângulo inferior ao ângulo de aceitação máximo se

propagam pela fibra [14].

Nas fibras ópticas, seja o índice de refracção do núcleo e

o índice de refracção da bainha,

existe um parâmetro útil para descrever a capacidade de se colectar luz numa fibra óptica, que se

relaciona com o ângulo de aceitação máximo, o qual é denominado por abertura numérica (NA) e é

dado pela seguinte fórmula:

2sin 1

2

2

2

1max00 nnnnNA (2.1)

Onde n0 é o índice de refracção do meio em que a fibra esta inserida (normalmente o ar e por isso

n0=1).

Mas adiante explica-se o significado do parâmetro .

A fibra óptica pode ser de perfil gradual ou em degrau [15]. A fibra óptica de perfil em degrau

corresponde a fibras cujo índice de refracção entre o núcleo e a bainha varia abruptamente, como

mostra a Figura 2.2. Os diâmetros do núcleo e da bainha dependem do perfil da fibra.

Figura 2. 2 - Fibras com vários perfis [10].

1n 2n

13

2.2. - Fibras ópticas operadas em regime linear

As fibras ópticas operadas em regime linear, comummente chamadas como fibras ópticas em regime

monomodal, são as fibras que permitem o uso de apenas um sinal de luz pela fibra, possuem

dimensões menores e maior banda passante, por possuírem menos dispersão.

Sendo a diferença de índices relativa dada pelo contraste dieléctrico, o qual é definido através do

parâmetro tal que:

(2.2)

Para melhor se estudar a propagação de ondas na fibra óptica, consideremos a sua representação de

perfil em degrau.

Figura 2. 3 - Fibra óptica de perfil em degrau [3].

Ao admitir-se um referencial em que a direcção de propagação de onda é a direcção do eixo z, como

mostra a Figura 2.3, podemos considerar a componente longitudinal do campo eléctrico tem em

coordenadas cilíndricas, a forma

(2.3)

Onde representa a amplitude do campo, a respectiva função modal, o índice de

variação azimutal e a constante de propagação longitudinal.

No Anexo A apresentam-se as equações de Maxwell que ajudam a interpretar melhor as

componentes longitudinais de campos [1], [15], [14].

2

1

2

2

2

1

2n

nn

oE )(rF m

14

Existem fibras ópticas especiais de secção em corte transversal no núcleo de outras formas

(exemplo, elípticas) mas as mais usuais são as de núcleo circular. Consideremos uma fibra com o

raio e bainha (considerada) infinita, com o perfil em degrau como mostra a Figura 2.3, significa

então que:

(2.4)

Sendo a constante genérica de propagação e a constante de propagação no

vácuo, tem-se

(2.5)

Se na bainha e no núcleo, teremos:

(2.6a)

(2.6b)

Por existir uma onda superficial guiada, existe no entanto reflexão total na interface núcleo-bainha,

nestas condições , teremos então:

(2.7)

2.2.1. - Parâmetros normalizados

Há necessidade de se introduzirem parâmetros normalizados, ou seja, parâmetros adimensionais,

tais como , a constante de propagação transversal no núcleo e , a constante de atenuação

transversal na bainha.

(2.8a)

(2.8b)

Das Eqs. (2.7 e 2.6b) tem-se

(2.9a)

(2.9b)

a

arn

arnrn

,

,)(

2

1

k

2

cko

2222 )()( okrnrk

qk hk

222

2

2 oknq

222

1

2 oknh

iq

22

2

22

okn

u w

hau

aw

)( 22

1

222 nkau o

)( 2

2

2222 nkaw o

15

Introduzindo-se a chamada frequência normalizada da fibra , que é dada por

(2.10)

ou seja

(2.11)

Sabendo que , , com auxilio da Eq. (2.11), se define

então a constante de propagação longitudinal em função dos parâmetros , e :

(2.12)

Define-se ainda, o índice de refracção modal normalizado da forma:

(2.13)

O índice de refracção modal dependerá da constante de propagação longitudinal da seguinte

forma:

(2.14)

Teremos então a variar ou , implicando .

Existe uma frequência mínima de funcionamento chamada frequência normalizada de corte , para

a qual começam a propagar-se modos na fibra óptica, ou seja, quando se inicia a reflexão total na

interface núcleo-bainha, em que . Por outro lado, no limite das altas frequências, temos

(2.15)

Pela Eq. (2.11) e podemos dizer que é dada por

(2.16)

v

222 wuv

)2()( 2

1

222

2

2

1

222 naknnakv oo

)( 2

2

22222 nkauv o )21(2

1

2

2 nn

v u

2

2

2

2

2

1u

v

a

b

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2 )(1

nn

nk

v

w

v

ub o

n

okn

n12 nnn oo knkn 12 10 b

cv

okn2

2ok cv

22 1

c

c

anv

16

em que é o comprimento de onda de corte (medido no vácuo), se isolarmos o contraste dieléctrico

teremos:

(2.16a)

é a frequência normalizada de corte, sendo o parâmetro da fibra que indica se a fibra é mono-

modo ou multi-modo, ou seja, indica se na fibra propagam-se um ou mais modos.

Para que as fibras sejam mono-modo deverá ter-se , com , onde se pode

calcular um raio máximo do núcleo, para que o regime seja mono-modal.

(2.17)

Ou seja, para a fibra é multi-modo guiando assim outros modos além do modo fundamental

de propagação.

2.3. - Modos de propagação na fibra óptica

A propagação da luz na fibra trata-se de um fenómeno electromagnético, e como todo o fenómeno

electromagnenico, campos ópticos a ele estão associados. Os campos ópticos de propagação na

fibra são governados pelas leis de Maxwell.

Nos modos (Transversais Eléctricos) não existe nenhuma componente do campo eléctrico na

direcção de propagação (Ez=0), já nos modos (Transversais Magnéticos) não existe nenhuma

componente do campo magnético na direcção de propagação (Hz=0), e nos (Transversais

ElectroMagnéticos) não existe nenhuma componente do campo eléctrico e magnético na direcção de

propagação (Hz=Ez=0) [3], [14].

Os modos híbridos são aqueles onde há componentes do campo eléctrico e magnético na direcção

de propagação, ou seja (Ez≠0 e Hz≠0) [14]. Estes modos classificam-se em e onde

e representam os campos eléctricos e magnéticos respectivamente. Em geral as ondas

superficiais guiadas na fibra ópticas são modos híbridos que satisfazem a seguinte equação modal

(2.18)

c

2

122

1

an

v cc

cv

cvv 4048.2cv

22 1

maxn

vaa c

cvv

TE

TM

TEM

mnHE mnEH E

H

4

2

22 21)()(

u w

v

v

umuSuR mm

17

Em que

(2.19a)

(2.19b)

onde )(' uJ m e )(' uK m são as derivadas das funções de Bessel de 1ª e 2ª espécie

respectivamente, e são dadas por:

)()(2

1)(' 11 uJuJuJ mmm (2.20a)

)()(2

1)( 11

' wKwKwK mmm (2.20b)

Os índices e referem-se as variações radial e azimutal respectivamente.

No Anexo B apresenta-se a dedução da Eq. (2.18), ao substituir-se a Eq. (BI.32) na Eq. (BI.30). A

resolução da Eq. (2.18) é bastante complexa, sendo mesmo necessário se recorrerem até a métodos

numéricos para se determinarem os modos de propagação.

Apenas na condição do índice azimutal ser nulo, é possível propagarem-se os modos transversais

eléctrico nTE 0 e magnético nTM0

, onde obtemos para a Eq. (2.18)

0)(00 uRTEn (2.21a)

0)(00 uSTMn (2.21b)

De acordo com a aproximação de Gloge (aproximação de pequeno contraste) em que as fibras

ópticas são fracamente guiadas, ou seja 1 , que fará com que a Eq. (2.2) degenere em

1

21

n

nn (2.22)

)(

)('

)(

)(')(

wwK

wK

uu J

uJuR

m

m

m

mm

)(

)(')21(

)(

)(')(

wwK

wK

uuJ

uJuS

m

m

m

mm

n m

18

tendo-se )()( uSuR mm , que fará com que a equação modal seja reduzida a

22

2

)(wu

mvuRm (2.23)

onde o sinal (+) corresponde aos modos mnEH e o sinal (-) aos modos mnHE . Obtém-se então para

a equação modal relativa aos modos mnEH

0)(

)(

)(

)( 11

wwK

wK

uuJ

uJ

m

m

m

m (2.24)

Levando em consideração a seguinte relação entre as derivadas e as funções de Bessel:

)()(1

' uJu

muJJ mmm

(2.24a)

)()(1

' wKu

mwKK mmm

(2.24b)

Analogamente, a equação modal relativa aos modos mnHE é dada por

0)(

)(

)(

)( 11

wwK

wK

uuJ

uJ

m

m

m

m (2.25)

Onde se atendeu

)()(1

' uJu

muJJ mmm

(2.25a)

)()(1

' wKu

mwKK mmm

(2.25b)

Levando em consideração que,

)()1()( uJuJ m

m

m (2.26a)

)()( wKwK mm (2.26b)

19

quando o índice azimutal é nulo, as Eqs. (2.24) e (2.25) reduzem-se à mesma equação modal

0)(

)(

)(

)(

0

1

0

1 wwK

wK

uuJ

uJ (2.27)

Que como se mostra no Anexo B, os modos nEH0

são, na realidade, modos nTM0

pela Eq. (BII.19)

– sem se esquecer Δ<<1. Analogamente os modos nHE0 são, os modos nTE 0 pela Eq. (BII.15).

É de realçar que o único modo de propagação na fibra em regime unimodal (o único modo cujo corte

corresponde a 0cv ) é designado por modo fundamental 11HE .

Na aproximação de Gloge ou de pequeno contraste, os modos são quase linearmente polarizados e

designados por pnLP .

Sabendo que os modos degenerados são os modos que têm a mesma frequência de corte, mais com

diferentes configurações de campos

Os modos nHE1 dão origem aos modos nLP0 .

Os modos nTE 0 nTM0e nHE2 são degenerados e dão origem aos modos

nLP1.

Os modos nmHE ,1

e nmEH ,1

, com 2m , também são degeneras dando origem aos

modos mnLP .

Temos então: pnmn LPEH (com 1mp );

pnmn LPHE (com 1mp ).

Nas condições acima, para os modos pnLP teremos então a seguinte equação modal

0)(

)(

)(

)( 11

wK

wKw

uJ

uJu

p

p

p

p

(2.28)

a qual é equivalente à

0)(

)(

)(

)( 11

wK

wKw

uJ

uJu

p

p

p

p

(2.29)

Para o modo fundamental ( 01LP ), as duas equações equivalentes que acima referimos reduzem-se à

Eq. (2.30) tendo em conta as Eqs. (2.26).

)()()()( 1001 wKuwJwKuuJ

(2.30)

20

A Figura 2.4 apresenta um gráfico que mostra a variação do índice de refração modal normalizado b

em função da frequência normalizada v, para o modo fundamental LP01.

Figura 2. 4 - Solução da equação modal (2.28) para o modo fundamental.

Verificando-se um aumento da frequência normalizada a medida que o índice de refração modal

normalizado aumenta.

O corte dos modos pnLP

corresponde a fazer-se 0w nas Eqs. (2.28 ou 2.29). Assim, sendo cv a

frequência normalizada de corte e atendendo à Eq. (2.10), vu quando 0w , temos:

0)(1 cp vJ (2.32)

Na Figura 2.5 estão representados os seis primeiros modos LP da fibra óptica por resolução das

Eqs. (2.28 ou 2.29). Para se dimensionar uma fibra óptica de modo a que esta funcione em regime

monomodal, temos de conhecer o corte do modo 1 1LP : 4048.2cv , Eq. (2.17).

21

Figura 2. 5 - Primeiros seis modos LP da fibra óptica: diagramas b(v).

Pode-se observar pela Figura 2.5, que quanto maior for a frequência normalizada, mais modos

poderão propagar-se na fibra.

É interessante analisar, o quanto o contraste dieléctrico influência sobre a curva de dispersão

do modo fundamental , isto é, sem qualquer aproximação.

Figura 2. 6 - Influência do contraste dieléctrico sobre a curva de dispersão b(v) para o modo fundamental.

Verificando-se que o aumento do contraste dieléctrico implica um aumento da curva de dispersão

)(vb , daí concluir-se que é possível reduzir-se o efeito da dispersão ao se usarem fibras com menor

contraste possível.

)(vb

11HE

22

Na Figura 2.7 esta ilustrada graficamente a Eq. (2.16a), ou seja, como varia o contraste dieléctrico

em função do raio da fibra óptica a para dois valores do comprimento de onda de corte diferentes c

do modo 1 1LP .

Figura 2. 7 - Variação do contraste dieléctrico com o raio do núcleo, para dois valores diferentes do comprimento de

onda de corte do modo LP11 (o primeiro a propagar-se imediatamente a seguir ao modo fundamental LP01). Considera-se n1=1.5.

Na figura acima se pode observar que quanto maior for o raio do núcleo menor é o contraste

dieléctrico, e para o mesmo valor de contraste dieléctrico, quanto maior for o comprimento de onda de

corte, maior terá de ser o raio do núcleo.

23

Capítulo 3- Propagação de impulsos em regime Linear

Não se pode falar de propagação de impulsos em regime linear sem entrar no tema dispersão de

impulsos em fibras ópticas, pois a luz ao propagar-se na fibra óptica sofre o efeito da dispersão

devido as características materiais e estruturais das fibras. Pode definir-se genericamente a

dispersão como sendo a distorção e o alargamento que os impulsos transmitidos sofrem ao

propagarem-se na fibra, que para além de limitarem a largura de banda do sinal transmitido podem

também criar interferência entre os símbolos transmitidos, comummente chamada de interferência

inter-simbólica (IIS).

3.1. - Dispersão em fibras ópticas

A dispersão numa fibra óptica tem origem nas características matérias e estruturas da fibra e resulta

do facto da velocidade de propagação da luz na fibra ser função do comprimento de onda. Quando o

impulso óptico com largura espectral finita é lançado na fibra, cada componente espectral do impulso

viaja ao longo desta com uma velocidade que depende do respectivo comprimento de onda [15]. A

diferença entre as velocidades de propagação das diferentes componentes espectrais é designada

por Dispersão da Velocidade de Grupo (DVG).

Define-se então a dispersão como sendo o efeito em que os modos geradores de uma frente de luz

são separados ao viajarem pela fibra, ocasionando a chegada destes a outra extremidade da fibra

espalhadas em relação ao tempo, concluindo-se então que a interferência inter-simbólica ou

dispersão do impulso é a diferença entre a largura de banda do impulso a entrada e a correspondente

largura de banda do impulso a saída da fibra. A dispersão é a principal responsável pela limitação da

largura de banda do sinal transmitido.

Em fibras ópticas existem dois efeitos principais de dispersão: dispersão intermodal (entre modos) e a

dispersão intramodal (sob o mesmo modo).

A dispersão intermodal, a qual afecta apenas as fibras multimodo, resulta no facto de cada modo

guiado ter um valor diferente da velocidade de grupo para o mesmo comprimento de onda. O impulso

óptico, ao ser injectado neste tipo de fibra, causa a excitação de vários modos de propagação, em

que cada um transporta uma parte da energia do impulso. Como os diferentes modos viajam com

diferentes velocidades de grupo, a largura do impulso à saída da fibra irá depender dos tempos de

transmissão do modo mais rápido (modo fundamental) e do modo mais lento (modo de ordem mais

elevada, dependendo de quantos modos pode propagar respectiva fibra), alargando assim o impulso

a saída da fibra.

24

As fibras multimodo não suportam grandes taxas de transmissão a longa distancia, e os sistemas

actuais de telecomunicações exigem elevadas taxas de transmissão. Para dar resposta às exigências

actuais, as fibras monomodo (com apenas um modo a propagar-se) são as mais usadas, pois

suportam taxas de transmissão mais elevadas e eliminam simultaneamente a dispersão intermodal

que é a principal fonte de dispersão nas fibras ópticas [7].

Em regime monomodal ficamos então com a dispersão intramodal ou comummente chamada de

dispersão cromática que consiste no alargamento temporal de um impulso óptico dentro de um modo

de propagação sendo consequência da dependência que existe entre o índice de refracção com a

frequência ω. Quando uma onda electromagnética interage com os electrões de um dieléctrico, a

resposta do meio depende da frequência ω [15].

A dispersão cromática é consequência de dois efeitos: a disperção material e principalmente do guia

de onda.

A dispersão material resulta no facto do índice de refracção do material constituinte da fibra variar de

uma forma não linear com o comprimento de onda. Como a velocidade de grupo de um modo é

função do índice de refracção, as várias componentes espectrais de um dado modo apresentam um

atraso entre si, após a propagação ao longo da fibra, o que origina o alargamento temporal do

impulso.

A dispersão no guia de onda é consequência da dependência do índice de refracção efectivo de cada

modo de propagação no comprimento de onda. Esta dependência verifica-se mesmo na ausência da

dispersão material e resulta no facto de a distribuição da energia de um dado modo pelo núcleo e

pela bainha da fibra ser função do comprimento de onda. Este tipo de dispersão é bastante comum

em fibras monomodo, visto que nessas fibras apenas 80% da potência óptica que se propaga na fibra

permanece confinada no núcleo, propagando-se pela bainha os restantes 20% da potência, a

velocidade de propagação do modo vária consuante a percentagem de potência que se propaga no

núcleo e na banhia, o que origina o alargamento temporal dos impulsos e é ainda uma fonte de

dispersão importante [7].

Ao desprezar-se a dispersão de ordem superior, o parâmetro da fibra que descreve a sua dispersão é

D , o qual reflecte um atraso temporal relativo entre duas componentes espectrais separadas de

1nm, após 1km de propagação e diz-nos o significado físico da dispersão [7].

25

Considerando-se sempre o caso das fibras ópticas de pequeno contraste, ou seja 1 . Define-se

então, o coeficiente de dispersão D como

g

LD

1 (3.1.1)

sendo L o comprimento da fibra, g o atraso (ou tempo) de grupo, o qual é dado por

g

gv

L (3.1.2)

em que gv representa a velocidade de grupo e é dada por

0

0

11

k

k

vg (3.1.3)

Sabendo que

0kng

(3.1.4)

Levando em consideração Eq. (3.1.4) e levando em consideração a definição de ck 0 , gv vem

dada por

g

gn

cv (3.1.4)

substituindo a Eq. (3.1.2) na Eq. (3.1.1) temos para D

gvD

1

(3.1.5)

Uma forma de caracterizar a dispersão intramodal é através dos coeficientes m calculados na

frequência da portadora do sinal, dos quais se fará uma análise mais detalhada mais adiante, os

quais são definidos por

m

m

m

(3.1.6)

levando em consideração a Eq. (3.1.3) temos para 1

gv

11

(3.1.7)

26

gv

11

2

2

2

(3.1.8)

sabendo

g

ggg

v

vdv

d

v

11 (3.1.9)

tem-se para 2 , o qual é chamado de coeficiente da DVG

g

g

v

v22

1 (3.1.10)

Atendendo a Eq. (3.1.9) e substituindo na Eq. (3.1.5) temos

1D (3.1.11)

sabendo que

d

d

d

d2

11 (3.1.12)

e

c2 (3.1.13)

substituindo-se na Eq. (3.1.11), o parâmetro que descreve a dispersão no guia D , finalmente é dado

por

22

2

cD (3.1.14)

Ou seja, quando 002 D , estamos na presença da chamada zona de dispersão

anómala e quando 002 D , estamos na comummente designada zona de

dispersão normal.

27

Na dispersão nula ( 0D ), os componentes espectrais em diferentes comprimentos de onda,

possuem a mesma velocidade de propagação, ou seja, o atraso de propagação é constante para os

diferentes comprimentos de onda.

Figura 3. 1 - Dispersão nula [5].

Na dispersão positiva ( 0D ), comummente designada por zona de dispersão anómala, os

componentes espectrais nos violetas propagam-se mais rapidamente que nos vermelhos

Figura 3. 2 - Dispersão anómala [5].

28

Na dispersão negativa ( 0D ), comummente designada por zona de dispersão normal, os

componentes espectrais nos vermelhos propagam-se mais rapidamente que nos violetas.

Figura 3. 3 - Dispersão normal [5].

Apenas com uma fonte de luz monocromática (de uma cor apenas) não existirá dispersão cromática,

o que torna essa fonte, mais pura e com menor largura espectral, efectivamente melhor que um LED

convencional. Deste modo os actuais sistemas de comunicação óptica foram desenvolvidos de

maneira a aproveitar a característica da fibra óptica de sílica-padrão, cujo coeficiente de dispersão

médio é nulo para um comprimento de onda próximo a 1.300 nm, que é o único caso onde não ocorre

o alargamento de impulsos [16].

3.2. - Equação de propagação de impulsos em regime linear

Como já referimos, devido a DVG, os impulsos que se propagam na fibra sofrem em regime linear um

alargamento temporal provocando interferência entre símbolos. Agora vai-se deduzir a equação que

regula a propagação de impulsos em regime linear numa fibra monomodo, levando em consideração

as fibras ópticas de pequeno contraste, uma vez que, como estamos em regime linear, a

aproximação dos modos LP é razoável.

Admitindo que ),0( tA é um impulso a entrada da fibra, ou seja, em 0z . Admitindo ainda que o

impulso modula a uma portadora com frequência angular o

e supondo que o campo eléctrico está

polarizado linearmente segundo o eixo dos x , tem-se para a equação do campo eléctrico:

),0(),(ˆ),0,,( 0 tByxFExtyxE

(3.2.1)

)exp(),0(),0( titAtB o (3.2.2)

29

Onde ),( yxF é a função modal que representa a variação transversal do modo fundamental modo

01LP e é dada por:

arua

rK

wK

uJ

arua

rJ

rF

,)(

)(

,

)(

0

0

0

0

(3.2.3)

r é a coordenada transversal (num sistema de coordenadas cilíndricas), 222 yxr .

É de notar que 1)0( F e )()( 0 uJaF , o que fará com que 0E seja a amplitude do campo

eléctrico em 0r .

Agora introduzir-se-á as transformadas de Fourier que serve como ferramenta de ajuda para o cálculo

do campo eléctrico num ponto genérico 0z , e começando por calcular a transformada de Fourier

do campo em 0z .

dttitzAzA )exp(),(),(~

(3.2.4a)

dttitzBzB )exp(),(),(~

(3.2.4b)

Com respectivas transformadas inversas de Fourier

dtizAtzA )exp(),(~

2

1),( (3.2.5a)

dtizBtzB )exp(),(~

2

1),( (3.2.5b)

As Eqs. (3.2.1) e (3.2.2) terão então a seguinte forma

),0(~

),(ˆ),0,,( 0 ByxFExyxE (3.2.6)

em que

),0(

~),0(

~0 AB

(3.2.7)

O campo eléctrico, num ponto genérico 0z será dado por:

),(),(ˆ),,,( 0 tzByxFExtzyxE (3.2.8)

30

Sabendo que a constante de propagação do modo fundamental é dada por )( , temos:

])(exp[),0(~

),(~

ziBzB (3.2.9)

Só é possível escrever a Eq. (3.2.8) porque se admite que a fibra óptica mantém a polarização, e

como a parte mais interessante é a transmissão da intensidade do campo eléctrico e não a sua fase,

por forma a simplificar a notação e com a ajuda da Eq. (3.2.7), ),( tzB é dado por:

dtziAtzB ]})([exp{),0(~

2

1),( 0

(3.2.10)

Introduz-se agora uma nova variável importante, chamada desvio de frequência em relação à

portadora , a qual se define 0 . Fazendo uma mudança de variáveis na Eq. (3.2.10), ter-

se-á:

dtziAtitzB ]})([exp{),0(~

)exp(2

1),( 00

(3.2.11)

Para simplificar-se o cálculo da integral acima, introduz-se o desenvolvimento em série de Taylor para

)( 0 , em que )( 00 ou seja:

)()( 00

(3.2.12)

E

1 !

)(m

mm

m

(3.2.13)

em que ,...2,1m

Com a introdução do desenvolvimento em serie de Taylor, e fazendo

dtziAtzA ]})([exp{),0(~

2

1),(

(3.2.14)

31

A Eq. (3.2.11) pode ser escrita da seguinte forma:

)](exp[),(),( 00 tzitzAtzB

(3.2.15)

É de notar que em geral 0|| (pois os impulsos são de banda estreita), pelo que )exp( ti

oscila com frequência muito menor do que )exp( 0ti , por isso introduziu-se a Eq. (3.2.14), ou seja,

),( tzA é uma função lentamente variável no tempo, enquanto que ),( tzB é uma função

rapidamente variável no tempo.

As Eqs. (3.2.8) e (3.2.15) permitem escrever

)(exp),(ˆ),,,( 000 tziyxFExtzyxE (3.2.16)

Tratando-se agora de calcular ),( tzA a partir de que ),0( tA , e para tal precisa-se calcular a Eq.

(3.2.14).

Tendo em conta as regras de derivação e integração, derivando A em função de z na Eq. (3.2.14),

só precisamos separar a variável que depende de z , que neste caso trata-se da exponencial

])(exp[ zi , resulta

dtiziA

mi

z

A m

m

m )exp()(exp),0(~

!2

1

1

(3.2.17)

Definindo duas variáveis auxiliares,

dtzQAtzA m

m );,(),0(~

2

1),(

(3.2.18)

onde

)exp()(exp);,( tizitzQ (3.2.19)

A Eq. (3.2.17) assume a forma:

),(!1

tzAm

iz

Am

m

m

(3.2.20)

32

Ao se considerar as perdas, representando o coeficiente de atenuação (de potência) por , a Eq.

(3.2.20) pode ser escrita da seguinte forma

),(2

),(!1

tzAtzAm

iz

Am

m

m

(3.2.21)

Existe uma relação directa entre m

m

t

tzA

),(

e ),( tzAm, basta levar em conta que

),(),(

1 tziAt

tzA

(3.2.22a)

),(),(

22

2

tzAt

tzA

(3.2.22b)

),(),(

33

3

tziAt

tzA

(3.2.22c)

),(),(

44

4

tzAt

tzA

(3.2.22d)

Podendo-se usar como fórmula geral,

),(),( 2 tzAi

t

tzAm

m

m

m

(3.2.23)

ou seja

m

mm

mt

tzAitzA

),(),( (3.2.24)

Substituindo a Eq. (3.2.24), na Eq. (3.2.21), acha-se a equação diferencial linear que permite calcular

),( tzA a partir de ),0( tA , a qual é dada por

0),(2

),(

!

),(

1

1

tzAt

tzA

m

i

z

tzA

mm

m

m

m (3.2.25)

33

3.2.1. - Coeficientes m

Os coeficientes de grande importância m em que ,...2,1m , introduzidos no segundo capitulo, os

quais são dados por:

0

m

m

m (3.2.26)

O coeficiente 1 , representa o inverso da velocidade de grupo

gv , ou seja

)(

11

ogv (3.2.27)

pois

1gv (3.2.28)

Ao coeficiente 2 dá-se o nome de coeficiente da DGV e derivando a Eq. (3.27), temos

0

)(

122

g

og

v

v (3.2.29)

Como já foi referido anteriormente, os impulsos são em geral de banda estreita, podendo-se

considerar uma truncatura razoável até 3m , desprezando assim todos os restantes termos de

ordem superior, a Eq. (3.2.25) pode ser escrita

026

1

2

13

3

32

2

21 At

A

t

Ai

t

A

z

A

(3.2.30)

Se se desprezarem as perdas ( 0 ), arranja-se então um algoritmo não muito complexo, o qual foi

apelidado de Algoritmo de Resolução de IMpulsos na Fibra (Algoritmo de RIMF), que mostra os

passos a seguir de modo a calcular ),( tzA partindo de ),0( tA :

34

1º Passo: Começa-se por calcular

dttitAA )exp(),0(),0(~

;

2º Passo: Faz-se ziAzA )(exp),0(~

),(~

;

3º Passo: E por último calcula-se

dtizAtzA )exp(),(~

2

1),(

.

Podendo-se substituir assim na Eq. (3.2.16) que representa o cálculo do campo eléctrico num ponto

genérico 0z .

3.2.2. - Simulação Numérica da Propagação de Impulsos em Regime linear

Para a simulação numérica da propagação de impulsos em fibras ópticas recorre-se à FFT (Fast

Fourier Transform) como se mostra na secção anterior. Indica-se nesta secção como se pode

resolver numericamente a Eq. (3.2.30) que governa a propagação de impulsos numa fibra óptica

monomodal em regime linear.

Ao desprezarem-se os efeitos dispersivos, tem-se 0m para 2m . A Eq. (3.2.30) reduz-se a

t

A

z

A

1

(3.2.31)

no domínio das FFT esta equação escreve-se na forma

),(

~~

1 zAiz

A

(3.2.32)

a solução é dada por

)exp(),0(),(

~1ziAzA

(3.2.33)

ou seja,

),0(),( 1ztAtzA

(3.2.34)

35

A Eq.(3.2.34) diz que na ausência dos efeitos dispersivos o impulso propaga-se sem distorção com

um atraso de grupo g , representado por

)( 0

1

g

gv

zz

(3.2.35)

Como se pode observar na Figura 3.1.

Para a maioria das situações práticas, não é aceitável o desprezo dos coeficientes 2 e 3 , mas

para todos os cálculos, despreza-se a influência da dispersão de ordem superior, ou seja, considera-

se razoável fazer 03 , possibilitando assim a análise, isoladamente, do efeito da DVG (dispersão

da velocidade de grupo) sobre a propagação de impulsos.

Sendo 0 a largura característica da duração do impulso ),0( tA , é costume definir-se o

comprimento de dispersão DL por

|| 2

2

0

DL (3.2.36)

É de notar que os efeitos dispersivos numa ligação de comprimento L são desprezáveis apenas

quando LLD .

Definem-se agora as seguintes variáveis normalizadas, ou seja, adimensionais, para o espaço e o

tempo:

2

0

2 ||

z

L

z

D

(3.2.37)

0

1

zt (3.2.38)

Como z e t são funções de ),( , aplicando a formula das derivadas parciais

zzz

(3.2.38a)

ttt

(3.2.38b)

36

ao passar das variáveis reais ),( tz para as variáveis normalizadas ),( temos

0

11

DLz (3.2.39)

0

1

t (3.2.40)

E assim a equação de propagação de impulsos, dada pela Eq. (3.2.30) para o domínio das novas

variáveis, assume a forma

0)sgn(2

12

2

2

Ai

A (3.2.41)

em que

01

00

01

)sgn(

2

2

2

2

(3.2.42)

Ou seja, )sgn( 222 .

A Eq. (3.2.41) fica então dada por

2

2

2 )sgn(2

AiA (3.2.43)

Para resolver numericamente a Eq. (3.2.43), introduz-se o par de Fourier

diAA )exp(),(),(~

(3.2.44a)

diAA )exp(),(~

2

1),( (3.2.44b)

Em que é uma frequência normalizada, ou seja, também adimensional, tal que

000 )( (3.2.45)

37

No domínio da frequência normalizada , a Eq. (3.2.41) toma a forma

),(~

)sgn(2

1~

2

2

AiA

(3.2.46)

à qual tem como solução

2

2 )sgn(2

1exp),0(

~),(

~iAA

(3.2.47)

Substituindo na Eq. (3.2. 44b), temos

dii

AA

2

2 )sgn(2

exp),0(~

2

1),(

(3.2.47a)

A resolução numérica da Eq. (3.2.41) fica assim resumida, como foi referido anteriormente, na

aplicação do algoritmo RIMF:

1º Passo: Calcula-se )],0([),0(~

AFFTA ;

2º Passo: Calcula-se ;

3º Passo: E por último calcula-se )],(~

[),( AIFFTA .

2

2 )sgn(2

1exp),0(

~),(

~iAA

38

Nas próximas ilustrações, apresenta-se o efeito da DVG sobre um impulso com uma forma inicial

)(sec),0()(0 hAA (3.2.48)

Figura 3. 4 - Comparação do impulso a entrada e a saída em regime linear.

Figura 3. 5 - Evolução do impulso.

Verificando-se pelas Figuras 3.4 e 3.5 um alargamento temporal e uma diminuição da amplitude do impulso a medida que este se propaga ao longo da fibra.

39

3.3. - Desvio dinâmico de frequência (Chirp)

Os sinais ópticos, emitidos pelo laser semicondutor, apresentam o parâmetro Chirp, que quantifica o

desvio de frequência instantânea da portadora devido à modulação directa da corrente de injecção.

Na propagação de impulsos em fibra óptica utiliza-se um parâmetro adimensional C para

caracterizar o Chirp que é simétrico do factor de Henry c , sendo este um parâmetro característico

do laser, o qual é comummente chamado de factor de alargamento da risca espectral do laser.

cC (3.3.1)

3.3.1. - Propagação de impulsos Gaussianos com Chirp em regime linear

Nesta secção considera-se o caso que a Eq. (3.2.14) pode ser calculada analiticamente, a titulo de

exemplo: a propagação de impulsos Gaussianos com Chirp, em regime linear, considerando sempre

o coeficiente 03 .

Considera-se o impulso inicial Gaussiano incidente

2

0

02

1exp),0(

tiCAtA

(3.3.2)

em que 0A é a amplitude do impulso e C é o parâmetro do Chirp.

Figura 3. 6 - Impulso inicial Gaussiano com C=0.

40

Há um desvio de frequência tz, , provocado pela existência de Chirp, ou seja

tztz ,, 0

(3.3.3)

ao separar-se os coeficientes da exponencial do impulso inicial, este pode ser escrito

)(exp

2exp),0(

2

0

2

0 tit

AtA

(3.3.4)

em que

2

0

2

2)(

tCt

(3.3.5)

com

),0( t

t

(3.3.6)

Assim

t

Ct

2

0

),0(

(3.3.7)

A transformada de Fourier de tA ,0 é ,0~A

tal que (1º passo do algoritmo RIMF)

dtti

tiCAA )exp(

2

1exp),0(

~2

0

0

(3.3.8)

Levando em consideração que

a

b

adxbxax

4exp)(exp

22

(3.3.9)

com

2

02

1

iCa

(3.3.10a)

e

ib (3.3.10b)

41

A Eq. (3.3.8) tem a seguinte solução

)1(2exp

1

2),0(

~2

0

2

00iCiC

AA

(3.3.11)

A intensidade espectral do impulso é dada por

2

),0(~

A , e como

)1(2exp

)1(2exp

1

12),0(

~22

2

0

2

200C

iC

CC

iCAA

(3.3.12)

Tem-se

)1(exp

1

2),0(

~2

2

0

2

2

2

0

2

0

2

CCAA

(3.3.13)

cuja meia largura , definida para e1 do seu valor máximo, é

0

21

C (3.3.14)

Ou seja, quanto maior o valor de C maior largura espectral o impulso terá. A existência de Chirp

provoca uma maior largura espectral ao impulso.

As Figuras que se seguem ilustram a evolução do impulso Gaussiano, sob a forma inicial dada pela

Eq. (3.3.2), para vários valores do parâmetro Chirp (C= -2, 0 e 2) por forma a verificar-se a influência

deste parâmetro na largura espectral do impulso.

42

Figura 3. 7 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=0.

Figura 3. 8 - Evolução do impulso Gaussiano com C=0.

Figura 3. 9 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=2.

43

Figura 3. 10 - Evolução do impulso Gaussiano com C=2.

Figura 3. 11 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=-2.

Figura 3. 12 - Evolução do impulso Gaussiano com C=-2.

44

Aplicando o 2º passo do algoritmo RIMF, que passa por substituir o valor calculado de ),0(~

A em

),(~

zA e levando em consideração que 2

212

1)( temos:

izzi

iCiCAzA 2

21

2

0

2

002

1

)1(2exp

1

2),(

~

(3.3.15)

Aplica-se agora o 3º passo do algoritmo RIMF, ou seja, calcula-se

dtizAtzA )exp(),(~

2

1),(

, fica

dtiizziiCiC

AzA 2

21

2

0

2

00

2

1

)1(2exp

1

2

2),(

~

(3.3.16)

Organizando de maneira a ter em conta a formula da integral inserida na Eq. (3.3.9) temos:

dbaiC

AtzA )(exp

)1(2),( 200

(3.3.17)

com

)1(2

)( 22

2

0

iC

zizCa

(3.3.18a)

)( 1ztib

(3.3.18b)

tendo em conta o resultado da integral (3.3.9) temos

zizC

ztiC

zizC

AtzA

22

2

0

2

1

22

2

0

00

)(2

))(1(exp

)(),(

(3.3.19)

introduzindo os parâmetros

)()( 0 Czzizzq (3.3.20a)

DD L

Lz )sgn(

)sgn(2

22

2

00

(3.3.20b)

45

A Eq. (3.3.19) fica

)(2

))(1(exp

)(

)0(),(

2

2

10

zq

ztiCi

zq

qAtzA

(3.3.21)

fazendo

2

0

2

0

0

1

2

0

2

0

2

0

2

0

00

00

0

0

1

tanexp1

1

1

1)()(

)0(

z

Cz

z

z

Czz

z

z

Cz

z

z

z

Cz

z

z

z

zi

z

Cz

z

Czi

z

z

i

Czziz

iz

zq

q

(3.3.22)

e definindo os parâmetros )(1 z e )(z

como

)()( 01 zz

(3.3.23)

Czz

zz

0

1tan)(

(3.3.23b)

onde

22

2 )sgn(1)(

DD L

z

L

zCz

(3.3.24)

a Eq. (3.3.22) fica

)(exp)()(

)0(

1

0 zizzq

q

(3.3.25)

substituindo a Eq. (3.325) na Eq. (3.3.21)

)(

2)(2

))(1(exp

)(),(

2

2

1

1

00 z

i

zq

ztiCi

zAtzA

(3.3.26)

fazendo

)(2

112

1))(1(

exp)(

),(

0000

02

00

2

1

1

0

0 zi

z

zCi

z

z

z

zCi

z

zz

z

zCi

z

zztiC

iz

AtzA

(3.3.26a)

46

como

2

2

00

z (3.3.27a)

e

2

0

2

0

2

0

2

1 1)(z

zC

z

zz

(3.3.27b)

tem-se para a Eq. (3.3.26a)

)(),(2

exp)(2

)(exp

)(

)(2)(2

)(

)(2

)(

)(2

1))(1(

exp)(

),(

2

1

2

1

1

0

0

2

1

2

1

2

1

2

12

2

1

00

2

1

1

0

0

ztzi

z

zt

zA

zi

z

zt

z

zti

z

z

zCi

z

zztiC

iz

AtzA

(3.3.28)

onde introduziu-se o parâmetro ),( tz

igual à

)(

)()1(),(

2

1

2

1

0

2

z

zt

z

zCCtz

(3.3.29)

É de notar, que atendendo-se a Eq. (3.3.23) e ),( tz dado pela Eq. (3.2.38)

)(

),(exp

)(),(

2

22

02

z

tz

z

AtzA

(3.3.30)

A Eq. (3.3.30) revela que há alargamento dos impulsos a medida que estes se propagam devido a

DVG: o coeficiente )(z é o factor de alargamento. É de notar, que em vez dos impulsos alargarem,

os mesmos podem estreitar, basta que se tenha 02 C na Eq. (3.3.24).

47

Figura 3. 13 - Evolução espacial da largura espectral dos impulsos na zona de dispersão anómala para diferentes valores do parâmetro C

Quando 02 C , )(z é sempre maior que 1. Para o caso de 02 C , é possível calcular-se a

distância mínima minzz para o qual o impulso atinge a sua largura mínima, ou seja, não pode

estreitar mais que certo limite.

01 z

Corresponderá a minz , pelo que

Da Eq. (3.3.27b)

2

1

22

0

2

0

2

2

0

02

12

0

2

2

0

0

2

12

0

2

0

01 )2(1)( zCCzzzzz

Czzzzz

zC

z

zz

(3.3.31)

Aplicando regras de derivação básicas a Eq. (3.3.31)

2

1

22

0

2

0

22

02

0

01 )2)(222(2

)(

zCCzzzzzCCzzzz

z

(3.3.32)

Igualando a Eq. (3.3.32) à zero e levando em consideração a Eq. (3.3.20b)

DLC

C

C

Czz

1)sgn(

1 222

0min

(3.3.33)

É de realçar que a Eq. (3.3.33) só faz sentido na zona em que 02 C para que 0min z . O

impulso retoma o processo de alargamento para minzz .

48

Podemos calcular o tempo que o impulso demora a atingir a sua largura mínima, para tal basta

substituir a Eq. (3.3.33) na Eq. (3.3.23)

2

0min

1 C

(3.3.34)

Ao considerar as Eqs. (3.3.28 e 3.3.29), ),( tz vem dado por:

)(),(2

),( ztzi

tz (3.3.7a)

onde se consegue calcular o desvio de frequência ),( tz apresentado na Eq. (3.3.3)

)(1

),(),(

2

1

1

2

0

22

z

ztzCC

dt

tzdtz

(3.3.7b)

De notar que 0),( min tz . A Eq. (3.3.7a) reduz-se à Eq. (3.3.7) para z=0.

3.3.2. - Impulsos Super-Gaussianos

A dispersão induzida na ampliação é sensível à inclinação das arestas do impulso, como se pode ver

nos exemplos anteriores, o impulso amplia-se mantendo a sua forma. Ao considerarem-se formas de

impulso com as arestas relativamente íngremes a esquerda e a direita, de modo geral, tal impulso

amplia mais rapidamente a medida que se propaga, pois esse impulso fica com um espectro mais

alargado.

Para modelar os efeitos de impulsos com arestas mais íngremes à esquerda e à direita, podem usar-

se os impulsos Super-Gaussianos, cuja a fórmula do impulso inicial é dada por

m

tiCAtA

2

0

02

1exp),0(

(3.3.35)

A fórmula é idêntica à do impulso Gaussiano, com a introdução apenas do parâmetro 1m , que

controla o grau de inclinação das arestas. Para 1m , estamos em presença do impulso Gaussiano

e para valores superiores de m o impulso adquire um formato mais quadriculado com as arestas

mais afiadas (mais íngremes) à esquerda e à direita.

49

Ao definir-se rt como o tempo de duração para o qual a intensidade do impulso aumenta de 10% à

90% do seu valor de pico, este relaciona-se com o parâmetro m da seguinte forma

mm

tr00

2)9(ln

(3.3.36)

permitindo assim que o parâmetro m possa ser determinado a partir dos medições de 0 e rt .

As arestas dos impulsos tornam-se cada vez mais íngremes à medida que m aumenta, a Eq.

(3.3.36) mostra que o tempo de subida rt é inversamente proporcional a m , o que só confirma que

um impulso com menor tempo de subida amplie mais rapidamente.

A Figura 3.14 ilustra o impulso inicial Super-Gaussino (m=3) de modo a comparar-se com o impulso

inicial Gaussiano ( 1m ), mostrado na Figura 3.6. As diferenças entre as duas figuras reflectem-se

na forma mais quadriculada das arestas a direita e a esquerda do impulso Super-Gaussiano.

Figura 3. 14 - Impulso inicial Super-Gaussiano com C=0.

As Figuras que se seguem ilustram à evolução o impulso Super-Gaussiano, usando 3m , para

valores distintos do parâmetro Chirp (C= -2, 0 e 2).

50

Figura 3. 15 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=0.

Figura 3. 16 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=0.

Figura 3. 17 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=2.

51

Figura 3. 18 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=2.

Figura 3. 19 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=-2.

Figura 3. 20 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=-2.

52

É de notar que o impulso Gaussiano mantém a sua forma inicial durante a propagação, enquanto o

impulso Super-Gaussiano, além de ampliar mais rapidamente o impulso, também distorce a forma

inicial do sinal.

Melhorar a ampliação de um impulso Super-Gaussiano pode ser entender-se começando por se

observar que o seu espectro é mais amplo do que um impulso Gaussiano, devido às arestas mais

íngremes à esquerda e à direita. À medida que o atraso da DVG é introduzido para cada componente

de frequência, este está directamente relacionada com a sua separação a partir da frequência central,

obtendo-se assim um resultado mais amplo do espectro em uma taxa de ampliação mais rápida do

impulso [2].

Para essas formas de impulso mais complexas, a largura efectiva dos impulsos pode ser descrita

pela raiz quadrada (Root-Mean-Square: RMS) a meia largura de banda, dada pelo parâmetro )(z ,

o qual é definido por

22)( ttz (3.3.37)

onde

dttzA

dttzAt

t

q

q

2

2

),(

),(

(3.3.38)

representa os momentos e ),( tzA a envolvente do impulso que se propaga na fibra, como tem-se

referido até aqui.

Define-se 0 como sendo a largura característica inicial dos impulsos, ou seja, )0(0 z , e

a largura efectiva (ou RMS) da fonte, podendo-se dessa forma definir a largura espectral da fonte

normalizada como sendo

02 V (3.3.39)

Como pode ser dado por

2

2 c

d

d (3.3.40)

tem-se

2

2 c (3.3.41)

53

Nestas condições, é possível avaliar analiticamente que o coeficiente de alargamento 0 para o

impulsos Gaussianos e de certo modo em geral, oferece uma estimativa do alargamento dos

impulsos. Quando se despreza o efeito da dispersão da 3ª ordem ( 03 ), como se tem feito até

agora [3].

O coeficiente de alargamento é dado por

2

2

0

2

2

2

0

2

0 221

LLC (3.3.42)

3.4. - Compensação da dispersão

Uma das técnicas para compensar ou minimizar o problema da dispersão em regime linear é com o

uso de fibras compensadoras de dispersão (DCF- Dispersion Compensation Fiber). Essa técnica

combina fibras com características diferentes tais que a DVG média da ligação se torne bastante

baixa. Enquanto a DVG de cada secção da fibra é escolhida sendo grande o suficiente de modo a

tornar os efeitos de onda das secções em conjunto desprezáveis [9].

Na prática é usado um mapa de dispersão periódica, com o período igual ao espaçamento entre os

amplificadores ópticos. Em cada par de amplificadores há apenas dois tipos de fibras, a qual uma de

maior comprimento 1L funcionando na zona anómala e a de menor comprimento 2L funciona na

zona normal, mas com os módulos dos coeficientes DVG de valores bastante diferentes.

A técnica de dispersão compensada leva a uma vantagem de natureza linear ao considerar-se um

pulso óptico propagando-se em duas secções de fibra óptica, cuja equação de propagação dos

impulsos é dada, como mostra a Eq. (3.47) por

diLLi

ALA

)(2

exp),0(~

2

1),( 222121

2

(3.4.1)

onde 21 LLL , 21 e 22 são os coeficientes de dispersão das secções 1 e 2 das fibras.

O comprimento da fibra de compensação de dispersão 2L é escolhida de modo a que

1

22

212222121 0 LLLL

(3.4.2)

54

No uso dessa técnica faz-se 2122 , para que 12 LL , ou seja, nessa técnica é comum 1L

ser na ordem dos 100 à 1000 km enquanto 2L na ordem de 1km.

Como ),0(),( ALA

quando a Eq. (3.4.2) é satisfeita, o impulso recupera a sua forma inicial à

cada período de mapa (duas secções consecutivas), apesar da largura do impulso mudar

significativamente em cada secção.

3.4.1. - Exemplo de Aplicação das DCF’s

Para exemplificar as aplicação das DCF´s, usamos o exemplo de propagação na fibra para o caso em

que o impulso de entrada na primeira fibra (fibra a funcionar na zona de dispersão anómala)

)(sec),0()(0 hAA (3.4.3)

A nível de simulação, usamos a seguinte tabela de valores

Parâmetros kmL1

m

ps 2

21

)(

kmL2

m

ps 2

22

)(

Valores 20 -1 1 20

O impulso da Eq. (3.4.3) é o impulso inicial de entrada na primeira fibra que depois de lhe aplicar o

algoritmo RIMF, passa a ser o impulso de entrada da 2ª fibra (DCF) - que possui um comprimento

menor, à qual se volta a aplicar o algoritmos RIMF e, como veremos nas figuras abaixo, a saída da 2ª

fibra temos o exactamente o impulso inicial da primeira fibra, ou seja, ao longo da 1ª fibra por mais

que o impulso alargue, ao aplicar-se no fim desta uma fibra compensadora de dispersão, o impulso

volta a sua forma inicial. Sendo assim, as fibras compensadoras de dispersão uma óptima maneira de

se compensar a dispersão causada no impulso ao longo de uma fibra de comprimento L.

55

Figura 3. 21 - Comparação do impulso a entrada e a saída, na primeira fibra.

O Impulso de saída na primeira fibra é o impulso de entrada na segunda fibra (DCF).

Figura 3. 22 - Comparação do impulso a entrada e a saída, na segunda fibra.

56

57

Capítulo 4 - Propagação de impulsos em regime não-linear

Não se pode falar de propagação de impulsos em regime não linear sem se referir ao efeito óptico de

Kerr, pois é devido a este efeito que a propagação de impulsos em regime não linear dispersivo

(RNLD) numa fibra óptica é governada pela auto-modulação de fase (AMF) e pela DVG em

simultâneo, além de outros efeitos de ordem superior. Existe um equilíbrio permanente em

determinadas circunstâncias, quando se propagam solitões fundamentais, ou seja, ao desprezarem-

se o efeito das perdas, os impulsos não alteram a sua forma durante a propagação.

4.1. - Efeito não-linear de Kerr numa fibra óptica

No plano transversal ),( yx o índice de refracção da fibra é ),( yxnn tal que

),(),( 2 yxnyx (4.1.1)

onde representa a constante dieléctrica relativa. A equação Helmholtz no regime linear é a

equação que permite relacionar a constante de propagação longitudinal , inserida na Eq. (2.14) e o

índice de refracção ),( yxn da seguinte forma

0),(),( 22

0

22 yxFkyxnFt (4.1.2)

onde ),( yxF é a função modal que representa a variação transversal do modo fundamental 01LP ,

ou função modal inserida na Eq. (3.2.3), e em coordenadas retangulares Ft

2 é dada por

2

2

2

22

y

F

x

FFt

(4.1.3)

Admite-se que 0 yx EH no caso xLP na aproximação de pequeno contraste dieléctrico dos

modos LP, xE pode-se considerar

),(),(),,,( tzByxFtzyxE (4.1.4)

58

em que

)(exp),(),( 00 tzitzAtzB (4.1.5)

onde 0 é a frequência (angular) da portada. De notar que ),( tzB é uma função que varia

rapidamente em z e em t enquanto a amplitude ),( tzA é uma função de variação lenta a qual

designou-se de envolvente do campo. Como ),( yxF é adimensional, ),( tzA tem as dimensões do

campo eléctrico, ou seja, mVA .

Ao perturbar-se a constante dieléctrica relativa

),( yx (4.1.6)

Independentemente do processo que deu origem a essa perturbação, a nova constante de

propagação longitudinal é dada por

(4.1.7)

com

2

22

0

2 F

Fk

(4.1.8)

e adopção de

dxdyyx ),( (4.1.9)

Ao levar-se em conta a Eq. (4.1.1) temos

),(2 yxnn

(4.1.10a)

ou seja,

nyxn ),(2 (4.1.10b)

Se admitir-se a aproximação nyxn ),( e levar em conta que 0kn , tem-se

2

2

0F

nFk

(4.1.11)

59

Introduzindo-se um campo fictício *E , numa fibra óptica de sílica, o efeito de Kerr estabelece para

valores típicos de Wmn /103 220

2

que

2

*2),( Enyxnn (4.1.12)

em que

IEyE 2

*

2

* (4.1.13)

2mWI representa a intensidade óptica, e *y é uma admitância apropriada. Levando em

consideração as Eqs. (4.1.4 e 4.1.5) vem

22

*

2

* ),(),(),,,( tzAyxFytzyxE (4.1.14)

Se admitir-se

2

*2 Enn (4.1.15)

tendo em conta a Eq. (4.1.14), vem dado por

2

2

4

02* ),( tzAF

Fkny (4.1.16)

se a potência transportada ),( tzP for dada por

22

* ),(),( tzAFytzP (4.1.17a)

e introduzindo uma nova amplitude

),(),( 2

* tzAFytzQ (4.1.17b)

ao inserir-se o parâmetro , tal que

202 2 nkn (4.1.18)

60

onde representa a área efectiva e é dada por

dxdyyxF

dxdyyxF

F

F

),(

),(

4

2

2

4

22

(4.1.19)

Na aproximação gaussiana, que é uma técnica aproximada usada para outros tipos de perfis do

índice de refracção que não sejam em degrau, pois a análise destas é uma tarefa complexa, a função

modal ),( yxF é dada por

0

22

2exp),(

w

yxyxF (4.1.20)

onde o parâmetro 0w tem uma relação com o raio efectivo efr

20 efrw (4.1.21)

e se verifica

2

02 w (4.1.22)

Ao se multiplicar e dividir a Eq. (4.1.16) por 2F e considerar-se as Eqs. (4.1.17, 4.1.18 e 4.19),

esta fica simplesmente dada por

),( tzP (4.1.23a)

2

),( tzQ (4.1.23b)

Por outro lado,

ztPtzP in exp)(),( (4.1.24)

onde )(tPin representa a potência de entrada na fibra e o coeficiente de atenuação, a fase não-

linear gerada pelo efeito Kerr será

dztzPdzdzt

LLL

NL

000

),()( (4.1.25)

e porque o comprimento efectivo vem dado por

L

exp11

(4.1.26)

61

NL fica

)()( tPt inNL (4.1.27)

Vê-se então que a fase não-linear só depende de )(tPin , daí o nome Auto-Modulação de Fase

(AMF). O desvio de frequência instantânea local (em relação a portadora) provocada pela AMF num

impulso é

dt

dP

dt

dt inNL

)( (4.1.28)

Assim levando em consideração a forma do impulso a propagar-se,

Figura 4. 1 - Potência de um impulso Gaussiano [9].

tem-se na cauda do impulso

0dt

dPin 0)( t (4.1.29a)

originando assim, um desvio para o azul (frequências maiores). Analogamente, na frente do impulso,

será

0dt

dPin 0)( t (4.1.29b)

Provocando portando, desvio para o vermelho (frequências menores).

62

Como se viu anteriormente o coeficiente da DVG é dado por

0

)(

1

0

22

g

g

v

v (4.1.30)

Na zona de dispersão anómala em que 02 , implica

0

0

gv (4.1.31)

Como a velocidade de grupo aumenta com a frequência, as frequências mais elevadas deslocam-se

mais rapidamente do que as frequências mais baixas para DVG.

É notável que a AMF tem um efeito contrário a DVG, pois no efeito DVG para a zona anómala, existe

um desvio para o azul na frente do impulso e um desvio para o vermelho na sua cauda, como mostra

a Figura 3.2. Deste modo, os efeitos AMF e DVG têm uma acção antagónica na zona de dispersão

anómala, por esta razão, apenas nesta zona é possível a propagação de solitões (de primeira ordem)

claros, ou simplesmente solitões, ou seja, propagação de impulsos que conservam a sua forma ao

longo da propagação. Na zona de dispersão normal em que 02 , só se podem propagar solitões

escuros ou topológicos.

4.2. - Equação não-linear de Shrodinger

Ao levar-se em consideração a atenuação (de potência) e desprezando-se os termos de ordem

4m , temos para o regime linear, como se descreveu anteriormente

),(),0(~

),(~

zfAzA (4.2.1)

em que

zzizf

2exp

6

1

2

1exp),( 3

3

2

21

(4.2.2)

Admitindo-se que em regime não-linear a perturbação induzida pelo efeito óptico de Kerr não afecta a

função modal ),( yxF , a constante de propagação varia de à , se levar em conta a Eq.

(4.1.17b), deverá escrever-se para a nova amplitude ),( tzQ

);,(),0(~

);,(~

tzgQtzQ (4.2.2)

63

onde

zz

dtQizfdtizftzg0

2

0

),(exp),(),(exp),();,( (4.2.3)

definindo

dtzgQtzQ m

m );,(),0(~

2

1),(

(4.2.4)

e usufruindo da regra de Leibniz, que diz

)()( xgdttgdx

dx

a

(4.2.5)

Tem-se

2

0

2),(),( tzQdtQ

z

z

(4.2.6)

Seguindo a mesma lógica de pensamento usada para se chegar a solução da Eq. (3.2.25), temos

02!

2

1

1

QQiQt

Q

m

i

z

Qm

m

m

m

m

(4.2.7)

Ao eliminar os termos de ordem superior ( 4m ) tem-se

QQitzRz

Q 2),(

(4.2.8)

com

Qt

Q

t

Qi

t

QtzR

26

1),(

3

3

32

2

21

(4.2.9)

Com a excepção do termo 3m e inclusão das perdas na fibra, esta equação continua a

representar a parte linear da equação de propagação de impulsos em fibras ópticas.

Logo, ao utilizarem-se as variáveis normalizadas introduzidas anteriormente no regime linear , ,

relembrando que ao se passarem das variáveis ),( tz para , faz-se

zzz

(4.2.10a)

64

ttt

(4.2.10b)

E

)sgn( 222 (4.2.11a)

DL

z (4.2.11b)

2

2

0

DL (4.2.11c)

0

1

zt (4.2.11d)

onde,

DLz

1

(4.2.12a)

0

1

z (4.2.12b)

0t

(4.2.12c)

1t

(4.2.12d)

ou seja,

0

11

DLz (4.2.13a)

0

1

t (4.2.13b)

2

2

2

0

2

2 1

t (4.2.13c)

3

3

3

0

3

3 1

t (4.2.13d)

infere-se então para a Eq. (4.2.8)

QQQiQQ

iQQQ

LD 2

1

6

111 2

3

3

3

0

32

2

2

0

2

0

1

0

1

(4.2.14)

65

Se multiplicarmos toda equação por DL e levarmos em conta as Eqs. (4.2.11a, 4.2.11b, 4.2.11c,

4.2.11d), temos

QQQLiQQ

iQ

D2

)sgn(2

1 2

3

3

2

2

2

(4.2.15)

onde

02

3

6

(4.2.16a)

DL (4.2.16b)

Se se introduzir uma nova amplitude normalizada (ou seja, adimensional) ),( U , de modo a que

0

),(),(

P

QU

(4.2.17)

em que 0P é a potência de pico do impulso incidente.

E os parâmetros:

- Comprimento não-linear tal que

0

1

PLNL

(4.2.18)

- Coeficiente N , o qual não é necessariamente um número inteiro e é dado por

2

020

2

PnN

(4.2.19)

ao aplicar-se a aproximação gaussiana, fica

2

02

0

0

Pn

wN

(4.2.20a)

0

2 PLL

LN D

NL

D (4.2.20b)

Com a introdução dos novos parâmetros, a Eq. (4.2.15) transforma-se

UiUUNU

iUU

i2

)sgn(2

1 22

3

3

2

2

2

(4.2.21)

66

Introduzindo ainda, uma outra amplitude normalizada ),,(),( NUu a Eq. (4.2.21) se pode

escrever

3

32

2

2

22

)sgn(2

1

uiuiuu

uui

(4.2.22)

As Equações não-lineares de propagação de impulsos em fibras ópticas (regime monomodal) estão

representadas nas Eqs. (4.2.21 e 4.2.22), apesar de não representarem os efeitos de ordem superior

e por esta razão não serem aplicáveis a impulsos ultra-curtos (duração na ordem dos fentosegundos).

Ao desprezarem-se as perdas ( 0 ) e a dispersão de ordem superior ( 0 ), a Eq. (4.2.22)

reduz-se à forma canónica da equação linearnão de dingeroShr (NLS), ou seja,

0)sgn(2

1 2

2

2

2 uuuu

i

(4.2.23)

se a potência de pico do impulso incidente, observar a relação

Ln

P

2

02

(4.2.24)

ou seja, a propagação de impulsos numa fibra óptica de comprimento para L , em termos simplistas,

quando NLLL é governada pelo regime não-linear (RNL) e para NLLL vigora o regime linear

(RL).

Tratando-se de uma classificação simplista e por falta de melhor critério, quando NLLL , considera-

se a equação não-linear de propagação [4]. É possível no entanto, distinguir-se quatro regimes de

propagação numa classificação grosseira, as quais são:

O regime linear não-dispersivo (RLND) quando DLL e NLLL

O regime linear dispersivo (RLD) quando DLL e NLLL

O regime não-linear não-dispersivo (RNLND) quando DLL e NLLL

O regime não-linear dispersivo (RNLD) quando DLL e NLLL

É de notar que, no RLD apenas actua a DVG e no RNLND apenas actua a AMF. Note-se também

que tanto no RNLND como no RLND, é possível desprezar-se a acção da DVG, enquanto que por

outro lado, tanto no RLND quanto no RLD, é possível desprezar-se a acção da AMF. Deste modo,

apenas no RNLD, em que tanto a AMF como a DGV estão presentes, é possível se propagarem

solitões, propagando-se os solitões escuros na zona normal e solitões claros (solitões) na zona

anómala [4].

67

Mas na pratica, a ocorrência do RLND, bem como o RNLND é rara, e no RLND só é possível

desprezar-se a DVG para impulsos cujo

L20 (4.2.25)

4.3. - Soluções analíticas da equação NLS

Averiguar-se-á agora, quais as soluções analíticas que a equação NLS admite. Como os solitões

claros apenas podem ocorrer na zona de dispersão anómala ( 1)sgn( 2 ), vai-se restringir a

análise apenas para esta zona. Deste modo, a equação NLS fica

02

1 2

2

2

uuuu

i

(4.3.1)

Admitindo que a solução desta equação é dada por

),(exp),(),( 0 iZYuu

(4.3.2)

dado que 0,0 Yu e Z é real, ou seja

iZZ

iYY

uu

exp0

(4.3.3)

iZZ

YZ

iYZY

iY

uu

exp2

2

2

2

2

2

02

2

(4.3.4)

)exp(33

0

2iZYuuu (4.3.5)

Ao substituírem-se essas equações na Eq. (4.3.1) e multiplicar-se a expressão final por

]exp[2 0 iZu , tem-se

02222 32

0

2

2

2

2

2

Yu

ZY

ZiY

ZYi

YZY

Yi

(4.3.6)

68

separando a parte real da imaginaria e igualando ambas as partes à zero, a Eq. (4.3.6) subdivide-se

em

022 32

0

2

2

2

Yu

ZY

ZY

Y

(4.3.7a)

e

0222

2

ZY

ZYY

(4.3.7b)

Ao resolverem-se essas equações, admite-se em tudo o que se segue, que se pode escrever

)(),( yY

(4.3.8a)

aZ )(),(

(4.3.8b)

com

(4.3.9)

Apesar de agora parecer estranho a inclusão do termo a , mas adiante ver-se-á porque foi

necessária tal inclusão. A constante real significará mais adiante, a frequência normalizada, por

enquanto não tem nenhum significado em especial.

Segundo as Eqs. (4.3.8a e 4.3.9) tem-se para as derivadas parciais

d

dy

d

dyY

(4.3.10a)

d

dy

d

dyY

(4.3.10b)

ou seja,

d

dYY

(4.3.11)

utilizando a mesma analogia, para a Eq. (4.3.8b) tem-se

ad

da

d

dZ

(4.3.12a)

d

d

d

dZ

(4.3.12b)

69

o que significa,

ad

dZa

d

dZ

(4.3.13)

se substituir-se a Eq. (4.3.11) na Eq. (4.3.7b)

0222

2

ZY

ZYY

(4.3.14)

Integrando a expressão acima, considerando 1C uma constante de integração, tem-se

1

22 CZ

Y

(4.3.17)

ao considerar-se a Eq. (4.3.12b) e 01 C , tem-se

d

dZ (4.3.18)

aplicando uma integral

dd (4.3.19a)

ou seja,

2C (4.3.19b)

onde 2C representa mais uma constante de integração. Das Eqs. (4.3.8b, 4.3.9 e 4.3.19b) e fazendo

02 C , a função ),( Z resulta

0

2

0 )()(),( aaZ (4.3.20)

Para o cálculo da função ),( Y , pode-se partir das derivadas parciais de ),( Z

2

a

Z

(4.3.21a)

Z

(4.3.21b)

70

sem esquecer as definições (4.3.8a e 4.3.10b) e substituindo essas derivadas na Eq. (4.3.7a) tem-se

022 32

0

22

2

2

YuaYYy

(4.3.22a)

ou seja

yayud

yd)2(2 232

02

2

(4.3.23b)

considerando

22

0 22 au

(4.3.24)

e mudando a variável de derivação para x , tal que

02ux (4.3.25a)

ou seja,

22

0

2 2 duxd

(4.3.25b)

deste modo, infere-se para a Eq. (4.3.23b) a então comummente chamada, equação cnoidal

03

2

2

yydx

yd

(4.3.26)

As soluções desta equação são do tipo periódicas e uma solução do tipo onda solitária.

4.3.1. - Soluções analíticas da equação NLS para ondas solitárias

Para a onda solitária, considera-se a solução particular da equação cnoidal, dada por

00 sec)( xxhyxy (4.3.27)

desde que

0y

(4.3.28a)

12 (4.3.28b)

71

onde introduziu-se a constante 0q , tal que

000 2 qux (4.3.28c)

Como 0y deve ser maior que zero, a única solução aceitável para a Eq. (4.3.28b) é a de 1 e

considerando a Eq. (4.3.25a), a Eq. (4.3.27) fica

)(2sec)( 000 quhyy (4.3.29)

e assim fica encontra-se finalmente a solução da equação cnoidal representada na Eq. (4.3.2),

levando em consideração as Eqs. (4.3.20 e 4.3.29), ou seja

0

2

000 exp2sec2),( aiquhuu (4.3.30)

ao introduzir-se um parâmetro novo dado por

02u (4.3.31)

pode-se deste modo, compreender a introdução do parâmetro a na Eq. (4.3.8b), pois levando em

consideração a Eq. (4.3.24) este fica representado por

22

2

1 a (4.3.32)

A Eq. (4.3.30) toma a forma:

0

22

02

expsec),( ii

iqhu (4.3.33)

Se pode observar pela Eq. (4.3.32), que quando 0a , tem-se

22 (4.3.34)

o que discorda totalmente com a Eq. (4.3.31), pois 0u é um número real. Ao fazer-se 0 na Eq

(4.3.33), esta vem

0

2

02

expsec),(

iqhu (4.3.35)

72

como vemos na Eq. (4.3.35), trata-se de uma onda que se propaga sem deformação, revelando-se

claramente tratar-se de uma onda solitária.

Trata-se de uma onda com envolvente localizada, ou seja, ),( u não depende de , além de que

quando tende para mais ou menos infinito o módulo de ),( u tende para zero, como se mostra

abaixo

0sec),( qhu (4.3.36a)

0),(lim

u (4.3.36b)

O desvio normalizado de frequência em relação a portadora 0 , é representado pelo parâmetro ,

o qual é dado por 000 )( . O parâmetro representa simultaneamente, a amplitude

e a largura do impulso, o centro do impulso em relação a 0 é definido pelo parâmetro 0q , e

por último o parâmetro 0 estabelece a fase para 0 .

Dá-se o nome de solitão fundamental, a solução representada nas Eqs. (4.3.33 e 4.3.35), a sua forma

canónica representa-se fazendo 1 , 00 q e 00 na Eq. (4.3.35), de maneira que

2expsec),(

ihu (4.3.37a)

A Eq. (4.3.37a) representa a forma canónica do solitão fundamental.

Figura 4. 2 - Evolução do solitão fundamental.

73

4.3.2. - Soluções Analíticas da Equação NLS para ondas periódicas

Para as ondas periódicas, há que levar em conta que usando o método inverso da dispersão ou IST

(inverse scattering transform), mostra que qualquer impulso incidente

,0)(0 uu (4.3.38)

Tratando-se porém o IST de um método matemático avançado, não é neste trabalho mais

profundamente analisado. Onde )(0 u tem a forma

)(sec)(0 hNu (4.3.39)

onde N representa um numero inteiro, o qual foi introduzido nas Eqs. (4.2.19 e 4.2.20a) e conduz à

propagação de solitão de ordem N . Os solitões de ordem 2N , ao contrário do solitão

fundamental 1N , não mantêm a sua forma ao longo da propagação, como na Eq. (4.3.36a),

mostrando uma evolução periódica em vez de disso, com período 20 que, em unidades reais

vai corresponder à

2

2

00

22

DLz (4.3.40)

Na Figura 4.3 representa-se o solitão de terceira ordem, ou seja 3N .

Figura 4. 3 - Evolução do solitão de terceira ordem.

74

4.4. - Simulação numérica da equação NLS: Split-Step Fourier Method

Para a resolução das equações não-lineares em propagação de impulsos em fibras ópticas, o método

mais divulgado é o split-step fourier method ou mais comummente conhecido como SSFM. Para este

ponto da tese vai-se desenvolver o SSFM na óptica da resolução numérica.

Ao escrever-se a Eq. (4.2.22) numa forma mais compacta, tem-se

),()(

uND

u (4.4.1)

De modo que as variáveis N a qual representa a não-linearidade e D representando a dispersão,

se encontram definidas em função de , ou seja

2

2uiN

(4.4.2a)

3

3

2

2

2 )sgn(2

iD (4.4.2b)

O que não é inteiramente verdade, pois a variável N também depende do parâmetro , pois

),( u depende de . Podendo dizer-se que a variação u com seja desprezível (o que não

deixa de ser verdade para o solitão fundamental quando desprezam-se as perdas de potência, ou

seja, quando 0 ).

Assim considerando, que )(0 u o impulso incidente, seja do tipo inserido na Eq. (4.3.38), a solução

da Eq. (4.4.1) será

)()(exp),( 0 uNDu (4.4.3)

em que

),()(exp),( uNDhhu (4.4.4)

A Eq. (4.4.4) configura desta forma, um esquema iterativo de passo longitudinal h , que permite ir do

inicio ( 0 ) ao fim da fibra ( DL LL ), tratando-se de dividir o espaço total de propagação

L 0 em pequenos troços elementares de comprimento h .

75

Sabendo que

)exp()exp(exp baba (4.4.5)

temos para a Eq. (4.4.4)

),()exp()exp(),( uhNhDhu (4.4.6)

O SSFM consiste em dois procedimentos consecutivos, de acordo a equação acima referida:

),()exp(),( uhNv (4.4.7a)

),()exp(),( vhDhu (4.4.7b)

Da Eq. (4.4.2a) tem-se para a Eq. (4.4.7a)

),(),(exp2

exp),(2

uuihh

v

(4.4.8)

Ao recorrer-se as transformadas de Fourier, define-se então

divv )exp(),(),(~ (4.4.9)

Nestas condições o operador diferencia D converte-se em operador algébrico D , que de acordo a

Eq. (4.4.2b) tem-se

32

2 )sgn(2

ii

D (4.4.10)

Ao levar-se em consideração a Eq. (4.4.7b)

),(~exp)sgn(2

exp),(~)exp(),(~ 32

2 vihh

ivhDhu

(4.4.11)

Para terminar finalmente cada iteração, faz-se

dihuhu

exp),(~

2

1),( (4.4.12)

é de notar que em termos computacionais, as Eqs (4.4.9 e 4.4.12) recorrem ao algoritmo FFT.

76

Para o caso de se considerarem as perdas ( 0 ), introduz-se

),()( LL uu (4.4.13)

tendo-se

)exp()()(2

0

2

LL uu (4.4.14)

que segundo a Eq. (4.2.16b)

LL (4.4.15)

Assim, usando as definições de energia que se seguem como sendo normalizadas, isto é,

adimensionais, define-se a energia inicial

duEin

2

0 )( (4.4.16)

E a energia final

duE Lfin

2),( (4.4.17)

de acordo as Eqs. (4.4.13, 4.4.14, 4.4.15 e 4.4.16) infere-se

LEE infin exp (4.4.18)

Esta equação permite quantificar o erro cometido no SSFM, dado que para 0 tem-se infin EE ,

o erro cometido define-se como

c (4.4.19)

onde

)exp(1 LE

EE

in

finin

(4.4.20)

e é o valor de

infinin EEE correspondente a aplicação do SSFM.

0 e c , quando se desprezam as perdas.

77

Assim, o SSMF resume-se como a aplicação do Algoritmo RIMF para o caso das equações não

lineares, usando um esquema iterativo de passo longitudinal , pois por tratar-se do regime não-

linear, não se podem fazer as aproximações lineares consideradas anteriormente, requerendo desta

forma a aplicação de métodos mais eficazes que reflectem os efeitos não-lineares. Realça-se que

quanto menor for o tamanho do passo longitudinal h , maior será o número de iterações e ao

aumentar-se o número de iterações mais eficiente se torna o método. Ou seja, para a simulação de

propagação de impulso em regime não-linear usa-se o SSMF (como foi usado ao simularem-se as

Figuras 4.2 e 4.3).

4.5. - Características do solitão fundamental

Nesta secção vai-se agora analisar quais as principais características do solitão fundamental, ou seja,

do solitão de ordem 1N .

Ao introduzirem-se parâmetros como

0qq (4.5.1a)

0

22

2

1 (4.5.1b)

000 q (4.5.1c)

interfere-se para a Eq. (4.3.33)

iqiqhu expsec),( (4.5.2)

Esta equação é equivalente a Eq. (4.3.33) ao fazer-se )(qq e )( de maneira que:

q

dq (4.5.3a)

22

2

1

q

d (4.5.3b)

78

Levando em consideração a equação canónica do solitão fundamental, representada na Eq. (4.3.37a)

é usual definir-se a área do solitão como

duA

),( (4.5.4)

e atendendo que para 0a

a

dtath2

)(sec

(4.5.5)

infere-se para a área do solitão fundamental

2A (4.5.6)

Observando-se assim pela Eq. (4.5.6) que a área do solitão fundamental é independente de qualquer

parâmetro característico.

A forma canónica do solitão fundamental ( 1N ) representada na Eq. (4.3.37a), levando em

consideração a amplitude normalizada ),(),( NUu e as Eqs. (4.2.17, 4.2.11b e 4.2.11d),

corresponde a unidades reais

DL

zi

zthPtzQ

2expsec),(

0

10

(4.5.7)

A energia do solitão fundamental é dada por

dtzt

hPtzQEs

0

12

0

2sec),(

(4.5.8)

Sabendo que para 0a ,

a

dxaxh2

)(sec 2

(4.5.9)

teremos para a energia do solitão

002 PEs (4.5.10)

79

Pela equação acima ainda não se pode inferir que a energia do solitão é proporcional à largura

temporal 0 , pois a potência de pico do solitão fundamental ( 1N ) segundo as Eqs. (4.2.11c e

4.2.20b) é dada por

0

2

0

1

DLP (4.5.11)

A energia do solitão é então dada por

0

22

sE (4.5.12)

interferindo-se assim que esta é inversamente proporcional à largura temporal.

Sendo s a medida mais frequentemente usada para designar a largura temporal do solitão

fundamental, a qual é definida xs t2 em que 2

),( xtzQ é metade do valor máximo de 0P infere-

se que s é a largura total a metade do valor máximo ou full width at half maximum (FWHM).

Levando em consideração que para 1t

)1ln()(cosh 21 ttt (4.5.13)

Como

)2(cosh 1

0

xt (4.5.14)

Assim

00 763.1)12ln( xt (4.5.15)

Se )(sec)( athtf , com 0a , tem-se

a

ha

dttitfF2

sec)exp()()(

(4.5.16)

80

Sabendo que

dttitzQzQ

)exp(),(),(~

(4.5.17)

e levando em consideração a transformada de Fourier do deslocamento, da Eq. (4.5.7) vem para o

espectro do solitão fundamental

z

LihPzQ

D2

1exp)(

2sec),(

~1000

(4.5.18)

Ao designar-se a FWHM de 2

),(~

zQ por s , notando-se que

2

),(~

zQ não depende

de z , s vem dado por

00

122.121ln

4

s (4.5.19)

ou seja,

978.1)21(ln8 2

ss (4.5.20)

Se a densidade espectral de potência for representada por

2

),(~

)( zQS (4.5.21)

atendendo ao teorema de Perseval, o qual define-se

dzQdttzQ22

),(~

2

1),(

~

(4.5.22)

Da Eq. (4.5.8) infere-se uma relação directa entre a densidade espectral de potencia )(S e a

energia do solitão sE

002)(2

1

PdSEs

(4.5.23)

81

Capítulo 5 - Conclusões

Reservou-se esta secção para se apresentarem as principais conclusões tiradas no trabalho e as

perspectivas de trabalhos futuros.

5.1. - Conclusões principais

No primeiro capítulo, onde se faz uma breve introdução as fibras ópticas, conclui-se que estas

desempenham hoje em dia um papel bastante importante no panorama das comunicações fixas com

níveis de atenuação bastante reduzidos.

Depois da breve abordagem sobre as fibras ópticas, entra-se no segundo capítulo, no qual se aborda

a teoria modal por forma a descrever a propagação de raios numa fibra óptica baseando-se na teoria

electromagnética. Aí concluiu-se que as fibras que apresentam menores valores de contraste

dieléctrico são as que dispersam menos os impulsos e onde se mostra também a dependência

inversa do contraste dieléctrico em relação ao raio da fibra, sendo este uma característica importante

a aproveitar-se na construção das fibras, pois as fibras ópticas fracamente guiadas (Δ <<1) os modos

de propagação são quase linearmente polarizados.

No terceiro capítulo, em que se faz o estudo da propagação de impulsos em regime linear, verificou-

se que o efeito da dispersão nos impulsos é a principal responsável pela limitação da largura de

banda do sinal transmitido.

Depois de se calcular a equação de propagação de impulsos em regime linear, onde se arrajou um

algoritmo simples para resolução de impulsos, o qual se denominou de algoritmo RIMF, fez-se uma

simulação numérica demonstrando a evolução de um impulso ao longo da fibra e como estes alargam

ao longo da propagação. Refletiu-se também sobre um parâmetro que provoca maior alargamento ou

estreitamento na largura espectral do impulso, o qual é denominado por parâmetro Chirp, efectuando-

se algumas simulações numéricas para diferentes valores do parâmetro Chirp. Daí concluiu-se que

quanto maior for este parâmetro, maior a largura espectral o impulso terá.

E porque o efeito da dispersão limita grandemente a largura de banda do sinal, é abordada uma das

técnicas usadas para compensar a dispersão no guia, mostrando-se a técnica do uso de fibras

compensadoras de dispersão bastante eficaz na compensação da dispersão para a propagação de

impulsos que operem no regime linear.

82

No quarto capítulo onde se aborda a propagação de impulsos operando em regime não linear, há que

levar em consideração o efeito óptico de Kerr que permite o fenómeno da auto-modulação de fase,

tendo-se concluído que tal fenómeno no regime não-linear dispersivo, em conjunto com a DVG

permite a propagação de impulsos bastante interessantes, pois conservam a sua forma ao longo da

propagação pela fibra, os quais são designados de solitões.

A propagação de impulsos em regime não-linear é regida pela equação não-linear de Shrondinger

(NLS), a qual é obtida na sessão sob o mesmo título, onde se aproveita para classificar de modo

grosseiro os regimes de propagação que podem existir na fibra.

Conclui-se também que a equação NLS admite certas soluções analíticas do tipo periódicas e uma

solução analítica do tipo onda solitária. Para o caso da onda solitária a qual propaga-se sem

deformação, dá-se o nome de solitão fundamental a forma canónica, e para o caso das ondas

periódicas, a solução canónica da equação NLS revelou tratar-se de solitões de ordens superiores a

primeira, que ao contrário do solitão fundamental, não mantém a sua forma ao longo da propagação,

mostrando em vez disso uma evolução periódica.

Descrevendo-se sobre o método que é usado na simulação de impulsos em regime não-linear, pois

este regime requer métodos mais eficientes para simular a propagação dos impulsos, método esse

que é designado por Split-Step Fourier Method.Tal método resume-se no uso de um esquema

iterativo de passo longitudinal , aplicado ao algoritmo RIMF para a simulação das equações no caso

do regime não-linear, concluindo-se que desde que se usem tamanhos dos passos longitudinais

bastante pequenos, a simulação torna-se mais eficiente, pois quanto menor for o tamanho do passo

maior é o número de iterações efectuadas e quanto maior for o número de iterações efectuadas na

simulação numérica mais eficiente torna-se o método.

Abordando-se por fim as características do solitão fundamental, onde se concluiu que a sua área não

depende de qualquer parâmetro característico da fibra, calculando-se também a energia do solitão

fundamental, que mostrou ser inversamente proporcional à largura temporal, ou seja, quanto maior

for a energia do solitão fundamental, menor será a sua largura temporal.

83

5.2. - Perspectivas de trabalho futuro

Como perspectivas de trabalho futuro, inclui-se a análise de impulsos ultra-curtos e os efeitos da

dispersão de ordem superior. Em relação ao estudo da propagação de impulsos em meios não-

lineares, existem efeitos não-lineares que não foram abordadados como é o caso da dispersão de

Raman, da dispersão de Brillouin ou do efeito da modulação de fase cruzada (XPM – cross phase

modulation), que ocorre quando dois ou mais canais são transmitidos em simultâneo na fibra óptica

usando a técnica de multiplexagem por divisão do comprimento de onda (WDM). A própria técnica

(WDM) merece um estudo aprofundado tendo em conta a sua importância crescente. Também não

foi analizado o fenómeno de mistura de quatro ondas (FWM – four wave mixing) que ocorre devido à

susceptibilidade eléctrica de terceira ordem.

84

85

Bibliografia

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USA: Academic Press.

[2] Agrawal, G. P. (2007). Super-Gaussian Pulses. In Non Fiber Optics, 4ª Edição. Burlington, USA:

Academic Press.

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[16] RNP, R. N. (12 de Abril de 2002). rnp.br. Obtido em Janeiro de 2012, de

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http://www.gta.ufrj.br/grad/08_1/wdm1/Fibraspticas-ComceitosComposio.html

[18] Wikipedia. (s.d.). pt.wikipedia.org. Obtido em Novembro de 2011, de

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fibra_óptica

87

Anexo A – Equações de Maxwell

A propagação de campos ópticos em fibras é governada pelas equações de Maxwell, as quais podem

ser escritas sob a forma tradicional:

t

BE

(A. 1)

t

DJH

(A. 2)

D. (A. 3)

0. B (A. 4)

onde J e correspondem os vectores de densidade de corrente e de carga, respectivamente. Na

ausência de cargas livres, como é o caso das fibras ópticas, .0 J

Onde E e H são os campos eléctricos e magnéticos, respectivamente, enquanto que D e B são as

densidades de fluxo eléctrico e magnético, respectivamente.

As densidades de fluxo D e B surgem em resposta aos campos eléctricos e magnéticos E e H de

propagação no interior do meio e estão relacionados com estes através das seguintes relações:

PED 0 (A. 5)

MHB 0 (A. 6)

onde 0 é a permissividade eléctrica no vácuo, 0 é a permeabilidade magnética do vácuo e P e M

são as polarizações induzidas eléctrica e magnética, respectivamente, e que dependem do material.

E porque as fibras ópticas são meios compostos basicamente por sílica, que possui uma natureza

não magnética, o parâmetro M é nulo ( 0M ).

Ao substituírem-se as Eqs. (A. 2, A. 5 e A. 6) e substituindo na Eq. (A. 1) podem eliminar-se as

variáveis B e D a favor de E e P, obtendo-se

2

2

02

2

2

1

t

P

t

E

cE

(A. 7)

onde c é a velocidade da luz no vazio, e define-se como 2

00 1 c .

88

A polarização induzida P expressa a forma como a fibra responde a presença de um campo óptico, e

é dado por

1

)(

0

n

nn EP (A. 8)

Para as baixas intensidades de luz, os efeitos oscilam harmonicamente e os efeitos não lineares

podem ser desprezados, ou seja no regime linear considera-se apenas, o termo 1n da Eq. (A. 8)

),(),( )1(

0 trEtrPL (A. 9)

Num meio com simetria de inversão, as características materiais não se alteram quando se faz uma

inversão em relação ao centro de coordenadas. Assim, ao modificar-se o campo aplicado E para

E , a polarização eléctrica deverá também modificar-se de P para P . Porém, de acordo com a

Eq. (A. 8), todos os termos correspondentes a potências pares não alteram o sinal, ou seja, num meio

de simetria de inversão como a fibra óptica, deverá ter-se

0)2( n (A. 10)

Para maiores intensidades de luz, não se podem desprezar os efeitos não-lineares, e considera-se

uma óptima concatenação desprezarem-se as contribuições de ordem 5n , ou seja, a polarização

eléctrica consiste então em duas partes tais que

),(),(),( trPtrPtrP NLL (A. 11)

onde

),(),( 3)3(

0 trEtrPNL (A. 12)

com ),( trPL e ),( trPNL representam as polarizações induzidas da parte linear e da parte não linear,

respectivamente, e )1( a susceptibilidade linear e

)3( a susceptibilidade não-linear.

As Eqs. (A. 7, A. 9, A. 11 e A. 12) fornecem um formalismo geral para estudar os efeitos de terceira

ordem não-lineares em fibras ópticas. Devido a sua complexidade, torna-se necessário fazer-se

aproximações simplificativas, e uma aproximação importante é tratar ),( trPNL como uma pequena

perturbação em comparação a polarização total induzida. Isso é justificável porque os efeitos não-

lineares são relativamente fracos em fibras de sílica.

89

O primeiro passo consiste então em resolver a Eq. (A. 7) considerando 0),( trPNL

0

2

2

2

2

t

E

c

nE

(A. 13)

sendo n o índice de refracção definido como )1(2 1 n , na ausência de absorção. Neste caso,

alterações no campo óptico ao longo da fibra são causadas por dispersão devido a dependência do

índice de refracção com o comprimento de onda.

Utilizando as transformadas de Fourier como ferramenta de ajuda para resolver a Eq. (A. 13), o

campo eléctrico pode ser escrito em termos da transformada inversa de Fourier, da seguinte forma:

dtirEtrE )exp(),(2

1),( (A. 14)

e assim podemos escrever a Eq. (A. 13) como sendo

0),(),( 22

0

22 rEknrE (A. 15)

com 20 ck , e é o comprimento de onda do campo óptico oscilando na frequência .

90

91

Anexo B – Equação modal e corte dos modos híbridos

B.I – Equação modal

Começa-se por considerar um sistema de coordenadas cilíndricas ),,( zr para analisar a fibra

óptica da Fig. 8. Em tudo o que se segue apenas se considera o caso do perfil em degrau dado pela

Eq. (2.3) com um contraste dieléctrico qualquer (i e , não se restringe a análise ao caso das fibras de

pequeno contraste dieléctrico). O contraste dieléctrico encontra-se definido na Eq. (2.2).

Para o sistema de coordenadas considerado, tem-se para o campo eléctrico e para o campo

magnético

zEErEE zrˆˆˆ (BI.1a)

zHHrHH zrˆˆˆ (BI.1b)

Representemos por A quer o campo eléctrico quer o campo magnético. Admitiremos ainda que

)(exp)exp()(),,,( 0 tziimrAtzrA (BI.2)

de modo que

im

(BI.3a)

i

z

(BI.3b)

Assim, pode-se escrever

zr ArAAzr

zrr

rA

ˆˆˆ

1 (BI.4)

onde se infere

zimArArrr

AAirAA

r

miA r

zrz

ˆ1

ˆˆ

(BI.5)

92

Das Equações de Maxwell

HiE 0 (BI.6a)

HrniH )(2

0 (BI.6b)

obt m-se então

rz HiEEr

mi 0

(BI.7a)

Hi

r

EEi z

r 0

(BI.7b)

zr HiimErErr

0

1

(BI.7c)

e ainda

rz ErniHH

r

mi )(2

0

(BI.8a)

Erni

r

HHi z

r )(2

0 (BI.8b)

zr ErniimHrHrr

)(1 2

0

(BI.8c)

levando em considerações as definições ck 0 , 00 cZ e 00 cY , das Eqs. (BI.7b) e (BI.8b),

vem

H

Zk

r

EiE z

r001

(BI.9a)

E

rnYk

r

HiH oz

r

)(12

0 (BI.9b)

respectivamente.

93

Depois de se substituir as Eqs. (BI.9a) e (BI.9b) nas Eqs. (BI.7a) e (BI.8a) e levar-se em consideração

00

2 1 c , obtém-se

)(2 rk

fE

(BI.10a)

)(2 rk

gH

(BI.10b)

onde, de acordo com a notação introdu ida na q. (2.5),

22

0

22 )( krnrk (BI.11)

e

r

HZikE

rmf z

z

00 (BI.12a)

r

ErnYikH

rmg z

z

)(2

00 (BI.12b)

Substituindo as Eqs. (BI.10) nas qs ( ), tira-se então

grk

Zk

r

EiE oz

r)(

12

0

(BI.13a)

frk

rnYk

r

HiH oz

r)(

)(12

2

0

(BI.13b)

ara obter as equaç es de onda para as duas componentes longitudinais do campo electromagnético

zz HE , basta substituir as Eqs. (BI.10) e (BI.13) nas Eqs. (BI.7c) e (BI.8c). Obtém-se, assim, a

equação de Helmholtz

0)( 2

0

22 krn (BI.14)

Em coordenadas cilíndricas

2

2

2

2

2

2 11

zrrr

rr

(BI.15)

ou, de acordo com as Eqs. (BI.3a) e (BI.3b),

2

2

2

2

22 1

r

m

dr

d

rdr

d (BI.16)

94

Donde se tira da Eq. (BI.14), levando em consideração a definição de )(2 rk

0)(1

2

22

2

2

r

mrk

dr

d

rdr

d (BI.17)

pelo que

,01

2

22

2

2

r

mh

dr

d

rdr

d

ar (BI.18a)

,01

2

22

2

2

r

m

dr

d

rdr

d

ar (BI.18b)

em que a q ( 1 a) a equação diferencial de essel enquanto que a q ( 1 b) a equação

diferencial de Bessel modificada.

Se se fizer

)(exp)exp()(),,,( tziimrFtzrEz (BI.19a)

)(exp)exp()(),,,( tziimrGtzrH z (BI.19b)

então, como soluções das Eqs. (BI.18), vem

),()(

),()()(

'

'

rBKrIB

hrYAhrAJrF

mm

mm

ar

ar

(BI.20a)

),()(

),()()(

'

'

rDKrID

hrYChrCJrG

mm

mm

ar

ar

(BI.20b)

onde a o raio do núcleo e em que, de acordo com a notação introduzida nas Eqs. (2.6) e (2.7),

22

0

2

1

2 knh (BI.21a)

2

0

2

2

22 kn (BI.21b)

95

Note-se que )(hrJm )(., hrYresp m a função de Bessel de primeira espécie (resp., de segunda

espécie) e ordem m ; por sua vez )( rIm )(., rKresp m a função de Bessel modificada de

primeira espécie (resp., modificada de segunda espécie) e ordem m. Como )(hrYm quando

0r , tem de ser 0'' CA ; como )( rIm quando r , tem de ser 0'' DB . Pelo

que as Eqs. (BI.20) se reduzem a

),(

),()(

rBK

hrAJrF

m

m

ar

ar

(BI.22a)

),(

),()(

rDK

hrCJrG

m

m

ar

ar

(BI.22b)

Das Eqs. (BI.10) e (BI.12)

r

Hr

rrk

ZkiE

rrkmE z

z

)()( 2

00

2 (BI.23a)

r

Er

rrk

rnYkiH

rrkmH z

z

)(

)(

)( 2

2

00

2 (BI.23a)

A equação modal obtém-se impondo as condições na fronteira ar , i.e., a continuidade das

componentes tangenciais de E e H sobre a interface n cleo-bainha. Ou seja

arEarE zz

(BI.24a)

arHarH zz (BI.24b)

arEarE (BI.24c)

arHarH (BI.24d)

A imposição das qs. (BI.24a) e (BI.24b) conduz imediatamente a que

)()( 0 rFYyrG L 0YyB

D

A

CL

(BI.25)

96

tendo-se

AQB )(

)(

wK

uJQ

m

m (BI.26)

onde se introdu iram ainda, de acordo com as qs ( ), as vari veis normali adas

hau (BI.27a)

aw (BI.27b)

Deste modo, a aplicação das Eqs. (BI.24c) e (BI.24d) conduz a

0

01

112

2

22

2

1

2211A

yQbaQbnani

QbaiQba

L

(BI.28)

com

21

)(

u

uJama m (BI.29a)

u

uJaka m )('

02 (BI.29b)

21

)(

w

wKamb m (BI.29c)

w

wKakb m )('

02 (BI.29d)

A equação modal resulta do anulamento do determinante na matriz da Eq. (BI.28) – i.e., para que se

possam obter soluções não triviais (com A 0) er então

02

2

22

2

122

2

11 QbnanQbaQba (BI.30)

ou seja

22)()( muSuR mm (BI.31)

com

2

2

2

21

uw

v

v

u (BI.32)

97

uma vez que

212

1

2

2

n

n

(BI.33a)

2

2

2

0

2

1

2

21v

u

akn

a

(BI.33b)

e onde, de acordo com as Eqs. (2.19),

)(

)(

)(

)()(

''

wwK

wK

uuJ

uJuR

m

m

m

mm (BI.34a)

)(

)()21(

)(

)()(

''

wwK

wK

uuJ

uJuS

m

m

m

mm (BI.34a)

B.II – Modos híbridos (EH e HE) e transversais (TM e TE)

As soluções da q ( 1) são, no caso geral, modos híbridos. Com efeito, estes modos têm as duas

componentes longitudinais zz HE , diferentes de zero. Só quando se considera o caso de não

haver variação azimutal (i.e., 0m ) que podem propagar-se modos TE (com 0zE ) e modos

TM (com 0zH ).

De acordo com as Eqs. (BI.19), (BI.22) e (BI.25), tem-se

0

00

)(

)(

LL

z

z yYyrF

rG

E

H (BII.1)

or outro lado, se se atender q ( ),

Qba

QbaiyL

22

11

(BII.2)

98

ou seja, de acordo com as Eqs. (BI.26) e (BI.29),

)(1

uRimny

m

L

(BII.3)

onde se atendeu, ainda, s qs. (BI.32, BI.33b e BI.34a). A Eq. (BII.3) mostra, com efeito, que

quando 0m 0Ly (i.e., tem-se 0zH e, portanto, modos TM).

Analogamente, tamb m da q. (BI.28) se tira que

Qba

QbnaniyL

11

2

2

22

2

1

(BII.4)

ou seja, de acordo com as Eqs. (BI.26) e (BI.29),

)(1 uS

m

niy m

L

(BII.5)

onde se atendeu, ainda, às Eqs. (BI.32, BI.33 e BI.34b). Assim, outra solução possível quando 0m

, pela Eq. (BII.5), Ly (i.e., tem-se 0zE e, portanto, modos TE).

Note-se que, quer através da Eq. (BII.3) quer através da Eq. (BII.5), se infere que as componentes

longitudinais zE e zH de um modo híbrido estão em quadratura. Naturalmente que, igualando as

Eqs. (BII.3 e BII.5) se obtém a equação modal – i.e., a Eq. (BI.31).

Introduzamos, agora, as seguintes definições

2

1

'

)(2

)(

)(

)()(

u

m

uuJ

uJ

uuJ

uJu

m

m

m

mm (BII.6a)

2

1

'

)(2

)(

)(

)()(

w

m

wwK

wK

wuK

wKw

m

m

m

mm

(BII.6b)

99

sabendo que

)()()( 1

' uJu

muJuJ mmm (BII.6c)

)()()( 1

' wKw

mwKwK mmm (BII.6d)

)()()( 1

' uJu

muJuJ mmm (BII.6e)

)()()( 1

' wKw

mwKwK mmm (BII.6f)

Nestas condições, têm-se

)()()( wuuR mmm (BII.7a)

)()()( wuuS mmm (BII.7a)

em que

2

1

2

221n

n (BII.8)

Logo, da Eq. (BI.31), vem

)()(1)( uwu mmm (BII.9)

em que

2222)( mu mm (BII.10)

A Eq. (BII.9) revela a existência de duas classes distintas de modos híbridos:

(i) Quando se escolhe o sinal (–) antes da raiz quadrada diz-se que os modos híbridos são

HE;

(ii) Quando se escolhe o sinal (+) antes da raiz quadrada diz-se que os modos híbridos são

EH.

100

Assim, escolhendo o sinal (–) e fazendo uso da Eq. (BII.6c), obtém-se da Eq. (BII.9) a equação modal

para os modos mnHE (o índice m refere-se, de acordo com a q ( a), variação azimutal ou

com ; o índice n refere-se variação radial ou com r ):

)()()1()(2

)(2

1 uwu

m

uuJ

uJmm

m

m (BII.11)

Atendendo, então, a que

2

1

)(

)()(

w

m

wwK

wKw

m

mm

(BII.12)

de acordo com as Eqs. (BII.6b e BII.6d), a equação modal para os modos mnHE ainda se pode

escrever na forma

22

2

2

121

22

22

1

)(

)(

)(

)()1(

)(

)(

m

v

m

wwJ

wK

wwK

wK

wu

uvm

uuJ

uJ

m

m

m

m

m

m (BII.13)

onde foi definido na Eq. (BI.32). Quando se faz m 0 , vem

)(

)()()(

0

100

wwK

wKww (BII.14)

atendendo a que )()( 1

'

0 wKwK .Da Eq. (BII.11) vem então, para 0m ,

0)(

)(

)(

)(

0

1

0

1 wwK

wK

uuJ

uJ (BII.15)

que a equação modal para os modos nTE0 .

Escolhendo o sinal (+) e fazendo uso da Eq. (BII.6e), obtém-se da Eq. (BII.9) a equação modal para

os modos mnEH :

)()()1()(

)(2

1 uwu

m

uuJ

uJmm

m

m

(BII.16)

101

Atendendo, então, a que

2

1

)(

)()(

w

m

wwK

wKw

m

mm

(BII.17)

de acordo com as Eqs. (BII.6b e BII.6f), a equação modal para os modos mnEH ainda se pode

escrever na forma

22

2

2

121

22

22

1

)(

)(

)(

)()1(

)(

)(

m

v

m

wwJ

wK

wwK

wK

wu

uvm

uuJ

uJ

m

m

m

m

m

m

(BII.18)

analogamente, da Eq. (BII.16) resulta, para ,0m

0)(

)()21(

)(

)(

0

1

0

1 wwK

wK

uuJ

uJ (BII.19)

que a equação modal para os modos nTM0 e onde se atendeu, ainda, q. (BII.14).

102

103

Anexo C – Interpretação geométrica da propagação guiada na fibra

As Eqs. (2.6a, 2.6 b e 2.7) têm uma interpretação geométrica simples em termos de raios. No interior

do núcleo )( ar a constante de propagação 011 knk (considerando o núcleo como um meio

ilimitado). Analogamente, na bainha )( ar a constante de propagação 022 knk . Assim, como a

constante de propagação longitudinal tem de ser a mesma nos dois meios (para a verificação das

condiç es na fronteira n cleo-bainha), podemos definir duas constantes de propagação transversal

(isto é, ao longo da coordenada r ):

(i) uma constante h no núcleo;

(ii) uma constante q na bainha.

Fig. C.1 - Interface núcleo-bainha em termos de raios

De acordo com a Fig. A, tem-se

202101 sinsin knkn (C. 1)

sta equacão conhecida na literatura por lei de nell. Analogamente

101 cosknh (C. 2a)

202 cosknq (C. 2b)

104

Assim das Eqs. (C. 1 e C.2) vem

2

0

2

1

22 knh (C. 3a)

2

0

2

2

22 knq (C. 3b)

e que podem ser consideradas, do ponto de vista geométrico, como simples aplicações do teorema

de Pitágoras. Das Eqs. (C. 3) tiram-se as Eqs. (2.6).

O corte corresponde ao início da reflexão total na interface n cleo-bainha, isto é, quando se tem

exactamente 22 . Logo, de acordo com as Eqs. (C. 1) e (C .2b), tem-se 02kn e 0q no

corte. Existirá um modo guiado no núcleo desde que se verifique uma reflexão total na interface

ar , isto é, desde que o campo se atenue ao longo de r na bainha. Isto significa que, para que

haja uma onda superficial guiada, tem de verificar-se (com 0 ).

iq (C. 4)

De acordo com a Eq. (C. 2b), implica para Eq. (C. 4) que (com 0 )

i

22 (C. 5)

e como

xx sin2

cos

(C.6a)

xx cos2

sin

(C.6b)

xiix sinh)sin( (C. 6c)

xix cosh)cos( (C. 6d)

infere-se das Eqs. (C. 1 e C. 2b) que

cosh02kn (C. 7a)

sinh02kinq (C. 7b)

105

Em particular, das Eqs. (C. 4) e (C. 7b), vem então

sinh02kn (C. 8)

sabendo que

22 sinhcosh (C. 9)

Logo, das Eqs. (C. 7a) e (C. 8) tira-se que

2

0

2

2

22 kn (C. 10)

o que confirma a Eq. (2.7).

A propagação guiada de uma onda superficial corresponde, portanto, reflexão total elo que se

dever ter

1

21

1 sinn

nc

(C. 11)

de acordo com a q ( 1) No corte 0201 sin knkn c - tal como se viu anteriormente.

Quando c 1 existe refracção, ou seja, o raio atravessa a interface ar e a energia radiada para

a bainha. Nesta situação, em vez de um modo superficial guiado, tem-se um modo de radiação.

Enquanto que os modos superficiais guiados formam um espectro discreto, os modos de radiação

constituem o chamado espectro contínuo de radiação.

Note-se, por m, que o espectro contínuo cont m os modos evanescentes stes modos são tais que

(com 0z )

zi (C. 12)

Assim, ainda de acordo com a q ( 1), dever ter-se (com 0j para 2,1j )

jj i (C. 13)

106

pelo que

202101 sinhsinh kinkin (C. 14a)

202101 sinhsinh knknz (C. 14b)

101 coshknh (C. 14c)

202 coshknq (C. 14 d)