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Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas utilizando o

Método dos Momentos

Bruno Miguel Viçoso Gonçalves das Mercês

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Orientador: Prof. Carlos Manuel dos Reis Paiva

Júri

Presidente: Prof. José Eduardo Charters Ribeiro da Cunha Sanguino

Orientador: Prof. Carlos Manuel dos Reis Paiva

Vogal: Prof. Paulo Sérgio de Brito André

Maio 2016

i

Agradecimentos

Ao Professor Carlos Paiva, por toda a disponibilidade e orientação ao longo da elaboração

desta dissertação assim como pelos inúmeros conselhos, sugestões e críticas que foram bastante

valiosos.

Aos meus pais, por todos os sacrifícios que sempre fizeram por mim, pela educação que me

deram e pelo seu apoio incondicional ao longo da elaboração desta tese.

À Inês, pelo seu apoio, disponibilidade, compreensão e incentivo sem o qual não teria sido

possível completar esta dissertação

Ao Mateus, pelos incentivos e conselhos.

À minha família, em particular, ao meu primo José António e tia Bárbara, pelo apoio e boa-

disposição que sempre demonstraram.

E, finalmente, a todos os meus amigos do IST e do BEST Lisboa, que são demasiados para

enumerar, mas que através da sua amizade foram parte integrante do meu caminho até aqui.

iii

Resumo

O âmbito desta dissertação insere-se na área dos sistemas de comunicação óptica,

nomeadamente na área da propagação de impulsos em fibras ópticas utilizando o método semi-

analítico dos momentos.

A dissertação começa com a introdução da propagação de impulsos em regime linear e não

linear, analítica aos casos do impulso gaussiano e do impulso da forma secante hiperbólica,

abordando-se o efeito da Dispersão de Velocidade de Grupo no chirp e na largura dos impulsos. Faz-

se também a introdução ao Método do Momentos e estuda-se o impacto do débito binário em

sistemas de comunicação óptica.

De seguida são estudados os impulsos gaussiano e secante hiperbólica no regime linear,

analisando-se diferentes mapas de dispersão com fibras de dispersão constante e dispersão variável

para ambos os impulsos.

Finalmente, aplica-se o Método dos Momentos no regime não linear para o impulso

gaussiano e secante hiperbólica. É estudado como este método permite uma avaliação qualitativa

dos impulsos, avaliando a evolução de diferentes parâmetros que caracterizam o impulso e de que

maneira essa mesma evolução em diferentes condições de propagação influencia a propagação de

impulsos na fibra. Faz-se, ainda, uma comparação, para os diferentes casos, entre o Método

dos Momentos e o Split-Step Fourier Method, de modo a avaliar a precisão do método semi-analítico

e as vantagens e desvantagens que este comporta.

Palavras-chave: Fibras Ópticas, Método dos Momentos, método semi-analítico, Dispersão de

Velocidade de Grupo (DVG), Auto-Modulação de Fase (AMF), chirp, solitão, Split-Step Fourier

Method (SSFM), regime linear, regime não-linear, impulso gaussiano, impulso secante hiperbólica,

Equação Não-Linear de Schrödinger, Mapas de dispersão.

v

Abstract

The scope of this dissertation is to use a specific semianalytic technique, the Moment Method,

to study the propagation of pulses in optical fibers.

The work begins with an overview of pulse propagation in the linear regime and non-linear

regimes for which it is made an analytical approach to the practical cases of the Gaussian pulse and

the hyperbolic-secant pulse. It is studied the role of Group Velocity Dispersion in pulse broadening and

the development of chirp.

Following that, both the Gaussian and hyperbolic secant pulses are studied in the linear

regime, with an analysis of different dispersion maps, both with fibers of unvariable and variable

dispersion, for both pulse shapes.

Finally, the Moment Method is applied in the non-linear regime. It is considered how this

technique allows for a qualitative assessment of the pulses, evaluating the evolution of different

parameters that characterize the pulse and in which way that evolution, in distinct propagation

conditions, influences the pulse propagation in the fiber. It is also done a comparison, for the

considered situations, between the Moment Method and the Split-Step Fourier Method, so as to

assess the precision of the semianalytic technique as well as the advantages and disadvantages

which it entails.

Keywords: Optical Fibers, Moment Method, semianalytic technique, Group Velocity Dispersion (GVD),

Self-Phase Modulation (SPM), chirp, soliton, Split-Step Fourier Method (SSFM), linear regime, non-

linear regime, Gaussian pulse, hyperbolic-secant pulse, Non-Linear Schrödinger Equation (NLS),

Dispersion maps.

vii

Índice Lista de Figuras ....................................................................................................................................... xi

Lista de Tabelas ..................................................................................................................................... xv

Lista de Acrónimos ............................................................................................................................... xvii

Lista de Símbolos .................................................................................................................................. xix

1 Introdução ........................................................................................................................................ 1

1.1 Enquadramento ....................................................................................................................... 1

1.1.1 Perspectiva histórica ........................................................................................................... 1

1.1.2 Dispersão de Velocidade de Grupo..................................................................................... 3

1.1.3 Efeitos Não-Lineares ........................................................................................................... 4

1.2 Motivação e objectivos ............................................................................................................ 4

1.3 Estrutura .................................................................................................................................. 7

1.4 Contribuições ........................................................................................................................... 8

2 Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas ................................................................................. 11

2.1 Impulsos em Regime Linear .................................................................................................. 11

2.2 Impulsos em Regime Não-Linear .......................................................................................... 11

2.3 Impulso gaussiano ................................................................................................................. 11

2.4 Impulso secante hiperbólica .................................................................................................. 16

2.5 Introdução ao Método dos Momentos ................................................................................... 18

2.5.1 Evolução da Energia ......................................................................................................... 19

2.5.2 Evolução do chirp .............................................................................................................. 19

2.5.3 Evolução da largura efectiva do impulso ........................................................................... 20

2.5.4 Impulso gaussiano ............................................................................................................. 21

2.5.5 Impulso secante hiperbólica .............................................................................................. 22

2.6 Débito Binário ........................................................................................................................ 23

3 Simulações em Regime Linear utilizando o Método dos Momentos ............................................. 27

3.1 Fibras de dispersão constante .............................................................................................. 27



3.2 Fibras de dispersão variável .................................................................................................. 33



viii

4 Regime Não-Linear: Impulso gaussiano ........................................................................................ 43

4.1 𝑵𝟐 = 𝟏 .................................................................................................................................... 46

4.1.1 Método dos Momentos ...................................................................................................... 46

4.1.2 SSFM ................................................................................................................................. 49

4.2 𝑵𝟐 = 𝟎. 𝟓 ................................................................................................................................ 50


4.2.2 SSFM ................................................................................................................................. 51

4.3 𝑵𝟐 = 𝟏. 𝟓 ................................................................................................................................ 52


4.3.2 SSFM ................................................................................................................................. 53

4.4 𝑵𝟐 = 𝟐 .................................................................................................................................... 55


4.4.2 SSFM ................................................................................................................................. 56

4.5 Avaliação Numérica ............................................................................................................... 57

4.6 Mapas de Dispersão – Fibras de dispersão variável ............................................................ 57

4.6.1 2 Troços ............................................................................................................................. 57

5 Regime Não-Linear: Impulso secante hiperbólica ......................................................................... 61

5.1 𝑵𝟐 = 𝟏 .................................................................................................................................... 64


5.2 𝑵𝟐 = 𝟎. 𝟓 ................................................................................................................................ 66


5.2.2 SSFM ................................................................................................................................. 67

5.3 𝑵𝟐 = 𝟏. 𝟓 ................................................................................................................................ 68


5.3.2 SSFM ................................................................................................................................. 70

5.4 𝑵𝟐 = 𝟐 .................................................................................................................................... 72


5.5 Avaliação Numérica ............................................................................................................... 72

5.6 Mapas de Dispersão – Fibras de dispersão variável ............................................................ 73

5.6.1 2 Troços ............................................................................................................................. 73

5.6.2 10 Troços ........................................................................................................................... 75

ix

5.6.3 16 Troços ........................................................................................................................... 76

6 Conclusões e Trabalho Futuro ....................................................................................................... 77

6.1 Conclusões ............................................................................................................................ 77

6.2 Trabalho futuro ...................................................................................................................... 79

Bibliografia ............................................................................................................................................. 80

A. Anexo - Equação da Propagação de Impulsos em Regime Linear .......................................... 81

B. Anexo - Equação da Propagação de Impulsos em Regime Não-Linear .................................. 84

B.1. Efeito Kerr .............................................................................................................................. 84

B.2. Equação da Propagação de Impulsos em Regime Não-Linear ............................................ 85

C. Anexo - Solitões em Fibras Ópticas .......................................................................................... 88

C.1. Simulação numérica da equação NLS: Split-Step Fourier Method ....................................... 89

C.2. Solitão fundamental ............................................................................................................... 90

C.3. Solitão de 2ª ordem ............................................................................................................... 91

D. Código Matlab para a simulação da evolução dos parâmetros dum ansatz, utilizando o Método

dos Momentos ....................................................................................................................................... 93

D.1. Sistema de equações diferenciais ordinárias ........................................................................ 93

D.2. Evolução dos parâmetros ...................................................................................................... 93

E. Código Matlab para a simulação da propagação dum ansatz, utilizando o Método dos

Momentos .............................................................................................................................................. 94

xi

Lista de Figuras

Figura 2.1 Evolução do chirp do impulso gaussiano, no regime linear ................................................. 13

Figura 2.2 Evolução do coeficiente de alargamento do impulso gaussiano, para diferentes valores de

chirp à entrada ....................................................................................................................................... 14

Figura 2.3 Amplitude de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra, sem chirp inicial ............. 15

Figura 2.4 Evolução 3D de um impulso gaussiano sem chirp inicial .................................................... 15

Figura 2.5 Propagação de um impulso secante hiperbólica, em regime linear .................................... 16

Figura 2.6 Espectro do impulso secante hiperbólica em regime linear ................................................ 17

Figura 2.7 Evolução do chirp de um impulso secante hiperbólica com o tempo .................................. 17

Figura 2.8 Evolução de p e 0

com o chirp ....................................................................................... 25

Figura 2.9 Evolução do débito binário com 0C ..................................................................................... 26

Figura 3.1 Evolução do chirp do impulso gaussiano em regime linear ................................................. 27

Figura 3.2 Evolução da largura do impulso gaussiano em regime linear ............................................. 28

Figura 3.3 Evolução do ansatz gaussiano em regime linear ................................................................ 29

Figura 3.4 Evolução 3D do ansatz gaussiano em regime linear ........................................................... 29

Figura 3.5 Evolução do chirp do impulso secante hiperbólica em regime linear .................................. 30

Figura 3.6 Evolução da largura do impulso secante hiperbólica em regime linear............................... 31

Figura 3.7 Evolução do ansatz ‘sech’ em regime linear ........................................................................ 32

Figura 3.8 Evolução 3D do ansatz ‘sech’ em regime linear .................................................................. 32

Figura 3.9 Impulso gaussiano, 2 0 , 2 Troços............................................................................... 33

Figura 3.10 Impulso gaussiano, 2 0 , 3 Troços................................................................................ 34

Figura 3.11 Impulso gaussiano, 2 0 , 4 Troços................................................................................. 35

Figura 3.12 Impulso gaussiano, 2 0 , 2 Troços................................................................................. 36

Figura 3.13 Impulso gaussiano, 2 0 , 2 Troços .................................................................................. 37

Figura 3.14 Impulso ‘sech’, 2 0 , 2 Troços ........................................................................................ 38





Figura 4.1 Evolução do chirp do impulso gaussiano em regime não-linear ......................................... 43

Figura 4.2 Evolução da largura do impulso gaussiano em regime não-linear ...................................... 44

Figura 4.3 Evolução do chirp do impulso gaussiano, em regime não-linear, para 16 ................... 45

Figura 4.4 Evolução da largura do impulso gaussiano em regime não-linear, para 16 ................. 46

Figura 4.5 Evolução do ansatz gaussiano, para 2 1N ....................................................................... 47

Figura 4.6 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para 2 1N .................................................................. 47

xii

Figura 4.7 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para 2 1N .................................................................. 48

Figura 4.8 Propagação do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1N ............................................. 49

Figura 4.9 Evolução 3D do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1N ............................................ 49

Figura 4.10 Evolução 3D do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1N .......................................... 50

Figura 4.11 Evolução do ansatz gaussiano, para 2 0.5N .................................................................. 50

Figura 4.12 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para 2 0.5N ............................................................ 51

Figura 4.13 Propagação do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 0.5N ........................................ 51

Figura 4.14 Evolução 3D do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 0.5N ....................................... 52

Figura 4.15 Evolução do ansatz gaussiano, para 2 1.5N .................................................................. 52

Figura 4.16 Evolução 3D do ansatz gaussiano para 2 1.5N .............................................................. 53

Figura 4.17 Propagação do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1.5N ........................................ 53

Figura 4.18 Evolução 3D do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1.5N ....................................... 54

Figura 4.19 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para N = 2 .................................................................. 55

Figura 4.20 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para N = 2, para 4 .............................................. 55

Figura 4.21 Evolução do impulso gaussiano, com SSFM, para N=2 .................................................... 56

Figura 4.22 Mapa de dispersão do impulso gaussiano, 0 1P mW ....................................................... 58

Figura 4.23 Mapa de dispersão do impulso gaussiano, 0 60P mW .................................................... 59

Figura 4.24 Mapa de dispersão do impulso gaussiano, 0 100P mW ................................................... 59

Figura 4.25 Mapa de dispersão do impulso gaussiano, 0 1P W .......................................................... 60

Figura 5.1 Evolução do chirp do impulso ‘sech’, em regime não-linear ................................................ 61

Figura 5.2 Evolução da largura do impulso ‘sech’ em regime não-linear ............................................. 62

Figura 5.3 Evolução do chirp do impulso ‘sech’ em regime não-linear, para 16 ........................... 63

Figura 5.4 Evolução da largura do impulso ‘sech’, para regime não-linear para 16 ...................... 64

Figura 5.5 Evolução do ansatz ‘sech’, para 2 1N .............................................................................. 65

Figura 5.6 Evolução 3D do ansatz ‘sech’, para 2 1N ......................................................................... 65

Figura 5.7 Evolução do ansatz ‘sech’, para 2 0.5N ........................................................................... 66

Figura 5.8 Evolução 3D do ansatz ‘sech’, para 2 0.5N ...................................................................... 66

Figura 5.9 Propagação de um impulso ‘sech’, com SSFM, para 2 0.5N ........................................... 67

Figura 5.10 Evolução do impulso ‘sech’, com SSFM, para 2 0.5N ................................................... 67

Figura 5.11 Evolução do ansatz ‘sech’ para 2 1.5N .......................................................................... 68

Figura 5.12 Evolução 3D do ansatz ‘sech’ para 2 1.5N ..................................................................... 68

Figura 5.13 Evolução 3D do ansatz ‘sech’ para 2 1.5N , para 16 ................................................ 69

Figura 5.14 Propagação de um impulso ‘sech’, com SSFM, para 2 1.5N ......................................... 70

Figura 5.15 Evolução de um impulso ‘sech’, com SSFM, 2 1.5N ...................................................... 70

Figura 5.16 Evolução de um impulso ‘sech’, com SSFM, para 2 1.5N , para 8 .......................... 71

xiii

Figura 5.17 Evolução 3D do ansatz ‘sech’ para N = 2 .......................................................................... 72

Figura 5.18 Mapa de dispersão do impulso ‘sech’, 0 1P mW .............................................................. 74

Figura 5.19 Mapa de dispersão do impulso ‘sech’, 0 1P W ................................................................. 74

Figura 5.20 Mapa de dispersão do impulso ‘sech’, 10 troços, 0 2P W ................................................ 75

Figura 5.21 Mapa de dispersão do impulso ‘sech’, 16 troços, 0 1P W ................................................ 76

Figura C.1 Solitão Fundamental ............................................................................................................ 91

Figura C.2 Solitão de segunda ordem ................................................................................................... 92

xv

Lista de Tabelas

Tabela 4.1 Comparação entre o Método dos Momentos e o SSFM, no caso gaussiano .................... 57

Tabela 5.1 Comparação entre o Método dos Momentos e o SSFM, no caso ‘sech’ ............................ 72

xvii

Lista de Acrónimos

EDFA Erbium Doped Fiber Amplifier

FLAG Fiber-optic Link Around the Globe

WDM Wavelength Division Multiplexing

DVG Dispersão de Velocidade de Grupo

AMF Auto-Modulação de Fase

NLS Non-Linear Schrödinger equation

SSFM Split-Step Fourier Method

FFT Fast-Fourier Transform

IST Inverse Scattering Theory

xix

Lista de Símbolos

2 Coeficiente da Dispersão de Velocidade de Grupo

D Parâmetro de dispersão da fibra

c Velocidade da luz no vácuo

Comprimento de onda do impulso

BT Bit-slot

0B Débito binário máximo

B Débito binário

L Comprimento da fibra

ΔT Atraso temporal

, U z T Amplitude normalizada

H Operador dos efeitos dispersivos

T Momento de primeira ordem

2T Momento de segunda ordem

, , x y z Coordenadas espaciais

t Tempo

T Coordenada temporal

0T Largura inicial do impulso

p Largura efectiva do impulso

E Intensidade de campo eléctrico

, B z t Variação longitudinal do campo eléctrico

, F x y Variação transversal do modo fundamental

01LP Modo fundamental

xx

Δ Contraste dieléctrico

Frequência angular

Constante de propagação

,A z t Envolvente do impulso

Ω Desvio de frequência

Fase do impulso

gv Velocidade de grupo

1 Inverso da velocidade de grupo

3 Coeficiente da dispersão de ordem superior

Coeficiente de atenuação de potência

0C Chirp inicial

pC Chirp do impulso

Factor de alargamento

Tempo normalizado

DL Comprimento de dispersão

Distância normalizada

pT Largura do impulso

NL Fase não-linear

Coeficiente de não-linearidade

2

0w Spot-size

Comprimento efectivo

inP Potência de entrada

0 Permitividade do vácuo

xxi

0 Permeabilidade do vácuo

D Operador dispersivo

N Operador não-linear

h Passo longitudinal do SSFM

NLL Comprimento não-linear

Erro

pE Energia do impulso

pa Amplitude do ansatz

0 Largura efectiva do impulso à entrada

( , )u z T Amplitude normalizada

Parâmetro de não-linearidade

p Fase do ansatz

0E Energia inicial

0P Potência injectada na fibra

0 Frequência da portadora

w Largura espectral efectiva da fonte

V Largura espectral normalizada da fonte

N Parâmetro de avaliação

1

1 Introdução

1.1 Enquadramento

1.1.1 Perspectiva histórica

Um sistema de comunicação transmite informação de um lugar para o outro, estejam esses

lugares separados por apenas alguns quilómetros ou por distâncias transatlânticas. A informação é

frequentemente transmitida por ondas electromagnéticas que podem variar de alguns megahertz até

centenas de terahertz [1]. Sistemas de comunicação por fibra óptica são sistemas que utilizam fibras

ópticas para a transmissão de informação. Estes sistemas têm sido utilizados numa escala global

desde 1980 e têm revolucionado o campo das telecomunicações [1].

A utilização de luz para comunicação vem desde a antiguidade se interpretarmos

comunicação óptica num conceito mais abrangente. Muitas civilizações utilizaram espelhos, fogo ou

sinais de fumo para transmitir informação.

O advento do telégrafo nos anos 30 do século XIX começou a era das comunicações

eléctricas [1]. A invenção do telefone em 1876 trouxe uma grande mudança nas comunicações uma

vez que sinais eléctricos eram transmitidos de forma analógica através duma corrente eléctrica que

variava continuamente [1]. Desta forma, técnicas de comunicação analógica eléctrica dominariam os

sistemas de comunicação durante um século.

O desenvolvimento de redes telefónicas a uma escala global levou a muitos avanços nos

sistemas de comunicação eléctricos. A utilização de cabos coaxiais, utilizados pela primeira vez, em

1940, aumentou, consideravelmente, a capacidade dos sistemas. No entanto, a limitação da largura

de banda deste tipo de sistemas levou ao desenvolvimento de sistemas de comunicação por

microondas, em que uma onda electromagnética é utilizada para transmitir o sinal usando técnicas de

modulação adequadas.

Durante a segunda metade do século XX notou-se que se poderia melhorar os sistemas de

comunicação se se usasse ondas ópticas como as portadoras do sinal. No entanto, não existiam

fontes ópticas nem meios de transmissão adequados durante os anos 50. Ainda assim, com a

invenção do laser, em 1960, resolveu-se o problema da fonte de transmissão óptica [1]. Deste modo,

a atenção foi focada num meio de transmissão adequado de modo a poder-se usar lasers para

comunicações ópticas. Foi assim que surgiram as fibras ópticas, consideradas a melhor opção uma

vez que era eram capazes de guiar luz da mesma maneira que electrões eram guiados num fio de

cobre.

O problema principal das fibras ópticas eram as suas altas perdas. As fibras ópticas

disponíveis durante os anos 60 apresentavam perdas superiores a 1000 dB/km, o que as tornavam

numa solução impraticável quando comparadas com outros meios de transmissão.

Foi avançada, em 1966, por Carles Kao e George Hockman, uma proposta de utilização de

fibras ópticas como meio de transmissão do sinal óptico proveniente de um laser, caso este obtivesse

atenuação inferior a 20 dB/km [2]. Um avanço neste campo ocorreu em 1970, por Robert Maurer,

Donald Keck e Peter Schultz, da Corning Glass Works, que conseguiram reduzir as perdas em fibras

ópticas para menos de 20 dB/km [3].

2

A disponibilidade simultânea de fontes ópticas e fibras ópticas com perdas baixas levou a um

esforço a nível mundial para desenvolver sistemas de comunicação por fibra óptica.

A fase de pesquisa de sistemas de comunicação por fibra óptica começou por volta de 1975

[1]. O enorme progresso realizado no período de 25 anos, desde 1975 até 2000 pode ser agrupado

em várias gerações distintas. Sendo que cada nova geração trouxe uma mudança fundamental que

permitiu melhorar o desempenho dos sistemas.

A primeira geração de sistemas ópticos operava em comprimentos de onda perto de 0,8 𝜇𝑚 e

usava lasers semi-condutores de GaAs [1]. Após vários testes entre 1977 e 1979 estes sistemas

ficaram disponíveis comercialmente, pela primeira vez em 1980 [4]. Operavam a um débito binário de

45 Mb/s e permitiam espaçamento entre repetidores até 10 km. O maior espaçamento entre

repetidores, comparado com o espaçamento de 1 km dos sistemas por cabos coaxiais foi uma

importante motivação para os investigadores de sistemas de comunicação por fibra óptica pois

diminuía os custos de instalação e manutenção associados a cada repetidor [1].

Durante os anos 70 ficou claro que o espaçamento entre repetidores poderia ser aumentado

consideravelmente se os sistemas passassem a operar na região de comprimentos de onda perto de

1,3 𝜇𝑚 onde as perdas da fibra eram inferiores a 1 dB/km, além de que as fibras exibiam um mínimo

de dispersão nesta região de comprimento de onda [1].

A segunda geração de sistemas de comunicação por fibras ópticas ficou disponível no início

dos anos 80 mas o débito binário dos primeiros sistemas desta geração era limitado abaixo de 100

Mb/s devido à dispersão em fibras multimodo [5]. Esta limitação foi ultrapassada através da utilização

de fibras monomodo. Em 1987, sistemas ópticos de segunda geração, operando com débitos binários

até 1,7 Gb/s e com espaçamento entre repetidores de cerca de 50 km estavam disponíveis

comercialmente [1]. O espaçamento entre repetidores, da segunda geração de sistemas ópticos, era

limitado pelas perdas das fibras (tipicamente 0,5 dB/km) no comprimento de onda de 1,3 m . No

entanto, as perdas de fibras de sílica eram mínimas, perto de 1,55 m , sendo que chegou-se a obter

perdas de 0,2 dB/km, nesta região espectral, em 1979 [6].

Ainda assim, a introdução da terceira geração de sistemas de comunicação ópticos, a operar

em 1,55 m foi consideravelmente atrasada devido a uma grande dispersão na fibra perto deste

comprimento de onda [1]. Combinando a utilização de fibras de dispersão modifica com lasers

semicondutores monomodais, surge, em 1990, operando a 2,5 Gb/s, a terceira geração comercial de

sistemas de comunicação óptica [1]. O principal problema dos sistemas de terceira geração deve-se

ao uso de repetidores electrónicos, com espaçamentos típicos de 60-70 km. Estes repetidores são

conhecidos por regeneradores 3R, por fazerem: (i) regeneração da amplitude (rescaling); (ii)

regeneração da forma (reshaping); (iii) regeneração temporal (retiming) [7].

A quarta geração de sistemas de comunicação óptica fazia uso de amplificadores ópticos,

para um aumento do espaçamento entre repetidores, e também multiplexagem no comprimento de

onda ou wavelenght-division multiplexing (WDM) de forma a aumentar o débito binário [2]. O advento

da técnica de WDM, por volta de 1992, começou uma revolução que resultou no facto de que a

capacidade do sistema duplicava a cada 6 meses o que levou aos sistemas de comunicação óptica

operarem a um débito binário de 10 Tb/s, em 2001 [1]. Na maior parte dos sistemas WDM, as perdas

3

na fibra são compensadas periodicamente usando fibras amplificadores dopadas com érbio ou

EDFAs (erbium-doped fiber amplifiers) que operam na terceira janela, exibem uma largura de banda

considerável e utilizam lasers semicondutores para o bombeamento [1]. As EDFA’s, cuja

comercialização se iniciou em 1990, vieram permitir aumentar o espaçamento entre amplificadores

para 60-100 km [1].

Em 1996, não só transmissão a mais de 11300 km a um débito binário de 5 Gb/s tinha sido

demonstrada, usando cabos submarinos, como sistemas comerciais transatlânticos e transpacíficos

ficaram disponíveis [1][8].

Em 1998, uma ligação de fibra óptica mundial de 27000 km, conhecida como FLAG (Fiber-

optic Link Around the Globe) ficou operacional ligando muitos países europeus e asiáticos [9].

Os sistemas de comunicação óptica actuais são, ainda, de quarta geração. Ainda assim é

possível detectar algumas tendências novas. Pode mesmo falar-se no despontar de uma quinta

geração de sistemas de comunicação óptica. Com o problema das perdas superado através das

fibras amplificadoras, resta ainda o problema da dispersão. No entanto, para superar as limitações

impostas pela dispersão, várias técnicas alternativas têm vindo a ser testadas: (i) a compensação da

dispersão, como forma de melhorar sistemas pré-instalados; (ii) a gestão da dispersão, como uma

nova forma de projectar sistemas convencionais (i.e., lineares); (iii) os sistemas com solitões (ou,

mais geralmente, os sistemas RZ não-lineares), como uma forma revolucionária de conceber

sistemas de comunicação óptica; (iv) os sistemas coerentes, como forma de aumentar

consideravelmente a sensibilidade dos receptores ópticos. Em qualquer destes quatro casos existem,

porém, características comuns: (i) a utilização da amplificação óptica (nomeadamente de EDFAs na

terceira janela), em especial nos sistemas de longo alcance; (ii) a necessidade do WDM, para

aumentar o débito binário; (iii) a gestão da dispersão (dispersion management) – em especial nos

sistemas WDM, quer em sistemas convencionais quer em sistemas com solitões [7].

1.1.2 Dispersão de Velocidade de Grupo

Numa fibra monomodal, o tipo de fibra utilizado para comunicações a longas distâncias, a

velocidade de grupo associada com o modo fundamental de propagação é dependente da frequência.

Assim, as diferentes componentes espectrais dum impulso óptico viajam com velocidades de grupo

diferentes. A este fenómeno dá-se o nome de Dispersão de Velocidade de Grupo (DVG). Quando um

um impulso óptico é transmitido através duma fibra monomodal, diferentes componentes espectrais

do impulso dispersam durante a propagação e não chegam simultaneamente ao final da fibra,

causando um alargamento do impulso.

O nível deste alargamento é determinado pelo coeficiente da Dispersão de Velocidade de

Grupo, 2 , que se relaciona com o parâmetro de dispersão da fibra através de

22

2 cD

(1.1)

onde c é a velocidade da luz e 𝜆 é o comprimento de onda do impulso óptico. O atraso temporal Δ𝑇

devido à DVG deve ser menor que o bit slot 0

1BT

B , onde

0B é o débito binário, o que significa que

4

Δ 1B T . Para uma fibra monomodo de comprimento L , o atraso temporal é dado por Δ ΔT LD ,

onde Δ é a variação de comprimentos de onda emitida pela fonte óptica. Assim, Δ 1BL D traduz

a limitação do débito binário na fibra, devido à DVG.

Para se aumentar o débito binário, o alargamento do impulso devido á DVG deve ser mantido

baixo, o que pode ser conseguido quando a dispersão na fibra é próxima de zero.

1.1.3 Efeitos Não-Lineares

O índice de refracção da sílica, o material de que são feitas as fibras ópticas, é dependente

da potência. Este facto torna-se de extrema importância quando se trata de níveis altos de potência

pois, nesse caso, os efeitos não-lineares tornam-se mais significativos.

O efeito desta refracção não-linear é produzir uma mudança de fase não-linear, dependente

da potência introduzida no impulso óptico. A dependência temporal da potência introduzida no

impulso faz com que a mudança de fase varie com o tempo, resultando no aparecimento de chirp, o

que significa que a frequência da portadora do impulso varia com o tempo.

A dependência temporal da frequência da portadora do impulso afecta a forma do impulso

através da DVG. Assim, a dependência da potência existente no índice de refracção das fibras pode

ser um factor limitador em sistemas de comunicação ópticos.

Uma vez que a mudança de fase não-linear responsável por tais efeitos é induzida pelo

próprio campo óptico do impulso, o fenómeno não-linear responsável por esta limitação é

denominado de Auto-Modulação de Fase (AMF).

Uma visão interessante sobre os efeitos não-lineares em fibras ópticas pode ser encontrada

em [19].

1.2 Motivação e objectivos

Os dois principais factores limitadores de transmissão de sinais em fibras ópticas, perdas na

fibra e DVG, podem ser resolvidos utilizando amplificadores ópticos e técnicas de gestão de

dispersão, respectivamente.

No entanto, outro factor que pode limitar um sistema de comunicação óptico são os efeitos

não-lineares que levam à AMF. Os efeitos da AMF não podem ser abordados isoladamente uma vez

que a DVG e a AMF actuam no impulso, simultaneamente. Como tal, de modo a obter-se uma

descrição matemática de ambos os efeitos deve-se considerar a Equação Não-Linear de Schrödinger,

ou Non-Linear Schrödinger Equation (NLS) que governa a propagação de impulsos ópticos ao longo

da fibra na presença de perdas, dispersão e efeitos não-lineares.

A propagação de impulsos em fibras ópticas pode ter três abordagens distintas. Uma

abordagem puramente analítica, uma abordagem puramente numérica ou uma abordagem com

componentes das duas abordagens anteriores, denominada semi-analítica.

A abordagem analítica seria a ideal para a resolução de problemas uma vez que resulta em

soluções precisas e fechadas. No entanto, para a propagação de impulsos em regime linear tal

abordagem é impossível de ser utilizada e mesmo em regime linear existem muitas situações onde

não é possível obter soluções analíticas fechadas.

5

Por outro lado, uma abordagem puramente numérica, normalmente, baseada em métodos de

força bruta, não dá uma percepção física profunda, relativamente ao comportamento do impulso e

dos parâmetros que o caracterizam. Além disso, requer um esforço computacional bastante

significativo.

Deste modo, uma abordagem semi-analítica ganha preponderância no estudo da propagação

de impulsos em fibras ópticas. Dentro dos métodos semi-analíticos podemos ter ainda abordagens

distintas ao mesmo problema. Podemos usar métodos variacionais ou o Método dos Momentos.

Apesar de estas duas abordagens terem uma filosofia distinta a verdade é, que quando se

desprezam as perdas na fibra e efeitos dispersivos de ordem superior, na NLS, se obtêm resultados

coincidentes entre os dois métodos e que concordam de forma coerente com resultados obtidos

através de métodos numéricos.

A abordagem variacional baseia-se na observação que, na ausência de efeitos não-lineares

na fibra um impulso gaussiano com chirp mantém a sua forma durante a propagação apesar da sua

amplitude, largura e chirp poderem variar. Assim, ainda que a abordagem variacional funcione bem

para o regime linear e ausência de efeitos dispersivos de ordem superior, quando estes são um factor

a ter em conta, esta abordagem falha.

Deste modo, é necessário utilizar um método que garanta soluções nas diferentes condições

de propagação. O Método dos Momentos pode ser usado para esta finalidade, ainda que tal não seja

abordado nesta dissertação, uma vez que, no âmbito duma dissertação de mestrado, seria impossível

abordar todas as problemáticas relacionadas com a propagação de impulsos em fibras ópticas,

utilizando o Método dos Momentos.

O Método dos Momentos, sendo um método semi-analítico não consegue, por si só, oferecer

uma solução relativamente à propagação dum impulso. No entanto, consegue oferecer um espaço

paramétrico através do qual é possível fazer inferências relativamente ao comportamento do impulso

em determinadas situações como se poderá ver no exemplo seguinte, para estudar a largura efectiva

dum impulso de forma arbitrária.

Considerando uma amplitude de impulso normalizada , U z T temos, de acordo com [10]

2

2

22

U Ui

z T

(1.2)

Esta equação pode ser escrita em forma de operadores tal que

ˆUi HU

z

(1.3)

onde o operador H inclui os efeitos dispersivos de diferentes ordens.

Usando a definição

2

2

,

,

n

nT U z T dT

TU z T dT

(1.4)

e assumindo que , U z T está normalizado tal que

2

1U dT

(1.5)

6

pode-se definir que os dois primeiros momentos de T evoluem segundo z tal que

* ˆ , , ,d T

i U zT H T U z T dTdz

(1.6)

2

2 * , ,ˆ , ˆd T

i U zT H H T U z T dTdz

(1.7)

onde ˆ ˆ,H T HT TH

representa o comutador.

Integrando analiticamente as equações anteriores obtêm-se as expressões gerais

0 1 ,T a a z (1.8)

2 2

0 1 2T b b z b z (1.9)

onde os coeficientes dependem apenas do campo à entrada e são definidos por [10]

Fisicamente o momento T governa a assimetria da forma do impulso e 2T é a medida do

alargamento do impulso. Para impulsos simétricos à entrada tem-se que 0 0a e se desprezarmos os

efeitos de ordem superior 1 0a . Assim, 0T e o impulso retém a sua natureza simétrica, uma

característica da propagação de impulsos em fibras ópticas.

Como exemplo aplicacional deste método podemos considerar um impulso do tipo secante

hiperbólica, sem chirp e desprezando efeitos de ordem superior. Considerando o impulso à entrada

da fibra como

0

00

1sech

2

TU T

TT

(1.10)

pode-se concluir por [10] que 0 1 0a a enquanto que

2

2

0 012

b T

(1.11)

2

2

2 2

03b

T

(1.12)

Considerando a variância 22 2

p T T podemos ver que neste exemplo temos 2

0 0b e

2 2

0 2p b b z , sendo que o factor de alargamento pode ser traduzido pela expressão

2

2

2

0 0

16

p z

(1.13)

Por este simples exemplo podemos ver um dos grandes méritos do Método dos Momentos,

apesar de não podermos concluir como a forma do impulso evolui podemos concluir como evolui a

sua largura, dando-nos uma percepção física do impulso.

Para além deste exemplo, outro exemplo que demonstra a utilidade do Método dos

Momentos, relacionando o factor de alargamento do impulso gaussiano com o débito binário pode ser

consultado em [7].

7

É objectivo desta dissertação é mostrar como se pode utilizar o Método dos Momentos para

criar um espaço paramétrico e a sua influência na propagação de impulsos em fibras ópticas. Estuda-

se, em particular, os efeitos da DVG e dos efeitos não-lineares no chirp e na largura dum impulso e a

relação destes parâmetros com a propagação do impulso gaussiano e do impulso secante hiperbólica,

mostrando que o Método dos Momentos pode ser aplicado a diferentes formas de impulso.

É também um objectivo desta dissertação mostrar as diferenças da aplicação deste método

entre o regime linear e o regime não-linear, de forma a mostrar que o Método dos Momentos pode ser

aplicado em diferentes condições de propagação.

Finalmente, pretende-se fazer uma comparação entre os resultados obtidos através do

Método dos Momentos e os obtidos utilizando um método numérico, nomeadamente o Split-Step

Fourier Method, mostrando-se assim as vantagens e desvantagens do Método dos Momentos e o seu

potencial de aplicação em diversos problemas como uma solução alternativa versátil.

1.3 Estrutura

Esta dissertação encontra-se dividida em 6 capítulos.

O capítulo 1, Introdução, começa por dar um enquadramento histórico dos sistemas de

comunicação óptica seguido de breves notas sobre dois fenómenos que irão ser de extrema

importância ao longo desta dissertação, a DVG e os efeitos não-lineares. Seguidamente, apresenta-

se a motivação e objectivos do tema que esta dissertação aborda, dando-se um pequeno exemplo

prático relativo à aplicação do Método dos Momentos. De seguida é apresentada a estrutura da

dissertação, finalizando-se o capítulo com as contribuições que irão ser oferecidas nesta dissertação.

O capítulo 2 aborda a propagação de impulsos em fibras ópticas, faz-se a introdução ao

Método dos Momentos e é realizada uma breve análise ao débito binário. Primeiro, é demonstrado

como se obtêm as equações que definem a propagação de impulsos em regime linear e não-linear.

De seguida, são apresentados duas aplicações práticas, o impulso gaussiano e o impulso secante

hiperbólica, no caso linear. Em ambos os casos efectua-se uma abordagem analítica ao estudo dos

impulsos e analisa-se de que forma a DVG afecta a propagação dos impulsos e como os diferentes

parâmetros do impulso evoluem ao longo da fibra, influenciando a propagação do impulso na fibra.

Na próxima secção faz-se a introdução ao Método dos Momentos, explicando em que consiste e

como se deduzem os diferentes momentos e como isso pode ser aplicado ao estudo do impulso

gaussiano e secante hiperbólica. Finalmente, faz-se uma breve análise ao débito binário, mostrando a

sua importância em sistemas de comunicação ópticos e como varia em função do chirp inicial.

No capítulo 3 ilustra-se diferentes resultados práticos da propagação de impulsos em regime

linear. Começa-se por introduzir a evolução dos parâmetros para os impulsos gaussiano e secante

hiperbólica, utilizando o Método dos Momentos. Para o impulso secante hiperbólica, faz-se a análise

dos parâmetros e do impulso no regime linear, mostrando que o Método dos Momentos consegue

preencher as lacunas que uma abordagem puramente analítica não conseguiu resolver. De seguida,

apresentam-se diferentes mapas de dispersão, para ambos os impulsos, para fibras de dispersão

constante e de dispersão variável.

8

No capítulo 4 é aplicado o Método dos Momentos ao impulso gaussiano. Começa-se por

introduzir um ansatz adequado, seguido do sistema de equações que traduz a evolução dos impulsos.

De seguida, faz-se o estudo dos parâmetros e do impulso no regime não-linear para diferentes

valores da componente não-linear, analisando como se comporta o impulso à medida que os efeitos

não-lineares vão aumentando, assim como a precisão do Método dos Momentos. Esta análise à

precisão do Método dos Momentos é feita recorrendo à comparação com o SSFM, para os mesmos

casos de propagação de impulsos. Ainda neste capítulo estudam-se diferentes mapas de dispersão

com diferentes valores de potência inicial de modo a simular diferentes casos de não-linearidade.

O capítulo 5 tem muitos pontos em comum com o capítulo 4, no entanto, é aplicado o Método

dos Momentos ao impulso da forma secante hiperbólica. Tal como no capítulo anterior começa-se por

se apresentar um ansatz adequado seguido do sistema de equações que traduzem a evolução dos

parâmetros para esta forma de impulso. De seguida, analisam-se diferentes níveis de não-linearidade

e utilizando o SSFM como uma ferramenta adequada para a avaliação numérica do Método dos

Momentos, à imagem do capítulo 4. De referir, que ao longo do capítulo são sendo feitas

comparações entre o impulso ‘‘sech’’ e o impulso gaussiano, para as mesmas condições de

propagação. Também neste capítulo se abordam diferentes mapas de dispersão com diferentes

valores de potência de entrada de modo a constatar a natureza cumulativa dos efeitos não-lineares.

Finalmente, no capítulo 6 são apresentadas as conclusões que se retiraram ao longo da

dissertação assim como conclusões gerais relativamente à aplicação do Método dos Momentos para

o estudo da propagação de impulsos em fibras ópticas. São também avançadas diversas hipóteses e

sugestões de trabalho futuro, utilizando este método para resolver diversos problemas dos sistemas

de comunicação óptica.

1.4 Contribuições

A nível de contribuições originais este trabalho trata-se, quanto sei, da primeira dissertação,

neste grupo de investigação, a explorar a aplicação do Método dos Momentos no estudo da

propagação de impulsos em fibras ópticas.

Diferentes abordagens à propagação de impulsos em fibras ópticas, nomeadamente,

analíticas, numéricas e variacionais já foram utilizadas e estudadas em várias dissertações. Assim,

aqui, avança-se com uma nova abordagem, procurando estudar as vantagens e desvantagens deste

método em relação a outras soluções.

Para tal, foram realizadas diversas simulações originais, no regime linear e no regime não

linear, e com diferentes graus de influência dos efeitos não-lineares, que mostram a evolução de

diferentes parâmetros dum impulso assim como do próprio impulso em si.

Além do estudo dos parâmetros do impulso e da forma do impulso, fez-se também a

aplicação do Método dos Momentos em duas formas de impulsos diferentes, o impulso gaussiano e o

impulso da forma secante hiperbólica.

Estas simulações foram depois comparadas com soluções numéricas e analíticas conhecidas

e abordadas neste grupo de investigação e na literatura.

9

Foram também realizadas simulações para diferentes variações de mapas de dispersão.

Nomeadamente, simulações para mapas de dispersão com fibras de dispersão constante e dispersão

variável, assim como mapas com três e quatro troços diferentes de fibras ao contrário dos habituais

dois que se encontra na generalidade da literatura.

No entanto, tratando-se dum primeiro trabalho utilizando este método, foram desprezadas as

perdas na fibra assim como efeitos de ordem superior, até porque, no âmbito duma dissertação de

mestrado seria impossível abordar de forma consistente e satisfatória todas as problemáticas

relacionadas com a utilização do Método dos Momentos para estudar a propagação de impulsos em

fibras ópticas. Assim, alguns dos resultados obtidos, dependendo das condições de propagação

consideradas, irão de encontro a resultados obtidos noutros trabalhos que utilizaram diferentes

metodologias.

11

2 Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas

2.1 Impulsos em Regime Linear

Através do processo descrito no Anexo A obtém-se a equação de propagação de impulsos

em regime linear, em baixo, onde A representa a envolvente do impulso na fibra, z representa a

coordenada espacial ao longo da qual o impulso se propaga na fibra, 1 representa o inverso da

velocidade de grupo, t representa o tempo, 2 representa o coeficiente da Dispersão da Velocidade

de Grupo, 3 representa o coeficiente de dispersão de ordem superior e representa o coeficiente

de atenuação de potência.

2 3

1 2 32 3

1 10

2 6 2

A A A Ai A

z dt dt dt

(2.1)

2.2 Impulsos em Regime Não-Linear

Através do processo descrito no Anexo B obtém-se a equação não-linear de Schrödinger,

Non-Linear Schrödinger Equation (NLS), desde que se desprezem as perdas e os efeitos de ordem

superior, em baixo, onde u representa a amplitude normalizada, representa a distância

normalizada e representa o tempo normalizado:

2

2

2 2

1sgn( ) 0

2

u ui u u

(2.2)

2.3 Impulso gaussiano

Considerando a equação 2.1 que descreve a evolução de um impulso numa fibra monomodal,

na ausência de dispersão 2 3 0 e de atenuação, o impulso óptico propaga-se sem alterações

na sua forma tal que 1( , ) (0, )A z t A t z . Introduzindo a nova coordenada 1T t z , o termo

1

pode ser eliminado, obtendo-se a equação

2 3

2 32 3

1 10

2 6

A d A d Ai

z dT dT

(2.3)

Como uma aplicação da equação 2.3 considera-se a propagação de impulsos gaussianos

com chirp, dentro de fibras ópticas, escolhendo o campo inicial como

0

2

0

0

e0, 2

xp1

1T

A T A iCT

(2.4)

onde 0A é a amplitude máxima e

0T representa a largura inicial do impulso. Para efeitos de

simplificação de cálculos, considerar-se-á 0 1A .

O parâmetro 0C traduz o chirp imposto à entrada do impulso. Considera-se que um impulso

tem chirp se a frequência da sua portadora varia no tempo. A mudança de frequência está

relacionada com a derivada da fase e é dada por

0

2

0

Cd T T

T T

(2.5)

12

onde é a fase de (0, )A T . Considerando a transformada de Fourier da equação 2.4 podemos

estimar o valor numérico do chirp ao longo da fibra e ver que o espectro dum impulso com chirp é

mais largo do que o de um impulso sem chirp.

2 2 2

0 0

0 0

20, exp

1 2 1

T TA

iC iC

(2.6)

A meia largura espectral (entre pontos de intensidade 1 e ) desta equação pode ser dada por

2

0

0

1Δ

C

T

(2.7)

Na ausência de chirp 0 0C a largura espectral é constante e satisfaz a relação 0Δ 1T . É

também claro que, na presença de chirp linear, a largura espectral do pulso aumenta em proporção

do factor 2

01 C .

A equação de propagação de impulsos 2.3 pode facilmente ser resolvida no domínio de

Fourier, sendo a sua solução dada por

2 3

2 3

1 1 1, 0, exp

2 2 6A z T A i z z i T d

(2.8)

Desprezando os efeitos de ordem superior, a integração anterior pode ser realizada

analiticamente obtendo-se

2

00

220 2 00 2 0

1, exp

2 11

iC TTA z T

T i z iCT i z iC

(2.9)

Assim, mesmo um impulso gaussiano com chirp mantém a sua forma Gaussiana durante a

propagação.

Considerando pT a largura do impulso após ter viajado uma determinada distância z

podemos relacioná-la com a largura inicial 0T através do factor de alargamento tal que,

2 2

0 2 2

2 2

0 0 0

1pT C z z

zT T T

(2.10)

Quanto ao chirp, este varia do seu valor inicial 0C ao longo da fibra tal que,

2 2

0 0 2

0

1p

zC z C C

T

(2.11)

Introduzindo as variáveis normalizadas

0

T

T (2.12)

D

z

L (2.13)

onde

2

0

2

D

TL

(2.14)

13

traduz o comprimento de dispersão, isto é, o ponto da fibra a partir do qual os efeitos dispersivos

deixam de ser desprezáveis.

Tendo em conta que

2 2 2sgn (2.15)

podemos reescrever as equações que traduzem a evolução do chirp e da largura do impulso na fibra

como

2

0 0 21 sgnpC C C (2.16)

2 2

0 2 21 s sn g g nC (2.17)

Simulando as equações anteriores, utilizando diferentes valores iniciais de chirp, na zona

anómala de propagação (𝛽2 < 0), podemos ver de uma maneira mais precisa a forma como o chirp

influencia o alargamento dos impulsos e como o próprio chirp evolui.

Figura 2.1 Evolução do chirp do impulso gaussiano, no regime linear

14

Um impulso sem chirp inicial 0 0C alarga, devido ao efeito do chirp induzido provocado

pela DVG, segundo um factor 2

21 sgn e desenvolve um chirp linear pC .

Por outro lado, impulsos com um chirp inicial podem alargar ou comprimir dependo do facto

de se 2 e

0C têm sinais idênticos ou contrários. Quando 2 0 0C o impulso alarga a um ritmo

superior aquele observado para o caso em que não existe chirp inicial uma que vez que se soma o

efeito do chirp inicial ao efeito do chirp induzido pela DVG.

Para 2 0 0C vemos que primeiro o impulso comprime até um determinado ponto e depois

alarga. Isto deve-se ao facto de que o chirp inicial contraria o chirp induzido pela DVG até um

determinado ponto. A partir desse momento o impulso alarga.

Podemos determinar o valor mínimo da largura do impulso através da expressão

0

2

01

min

p

TT

C

(2.18)

Por fim, se analisarmos a forma do impulso, à entrada e saída da fibra, assim como, a sua

evolução ao longo da fibra vemos que é concordante com o que se observa e infere através da

análise dos seus parâmetros. Assim, apresentam-se de seguida os resultados relativos à propagação

dum impulso gaussiano sem chirp inicial.

Figura 2.2 Evolução do coeficiente de alargamento do impulso gaussiano, para diferentes valores de chirp à entrada

15

Analisando o gráfico, vemos que existe uma diminuição da amplitude do valor inicial 1 para o

valor final 0,6684. Este resultado é coerente com as análises anteriores pois devido à Lei da

Conservação de Energia, uma vez que o impulso alarga é natural que a sua amplitude diminua de

modo à energia manter-se constante.

Analisando o espectro do impulso a 3 dimensões é possível verificar o alargamento do

mesmo à medida que este se propaga na fibra, assim como a progressiva diminuição da sua

amplitude. Mais uma vez, este resultado vem suportar as conclusões obtidas anteriormente. Não se

apresentam os resultados da propagação de impulsos relativos a outros valores iniciais de chirp uma

Figura 2.4 Evolução 3D de um impulso gaussiano sem chirp inicial

Figura 2.3 Amplitude de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra, sem chirp inicial

16

vez que as conclusões a que levariam já foram obtidas e apresentadas, tornando esses resultados

redundantes.

2.4 Impulso secante hiperbólica

Apesar dos impulsos emitidos a partir de muitos lasers terem uma forma aproximadamente

Gaussiana é importante considerar outras formas de impulso. Assim, é interessante considerar a

forma do impulso secante hiperbólica (‘‘sech’’) que ocorre naturalmente no contexto de solitões

ópticos e de alguns tipos de lasers. Associado a estes impulsos podemos considerar o campo da

forma

2

0

2

0 0

0, sech exp2

iC TTA T

T T

(2.19)

onde 0C traduz o valor do chirp inicial à semelhança do que acontece no caso do impulso gaussiano.

O campo transmitido ( , )A z T pode ser obtido utilizando o mesmo método usado no caso do

Impulso gaussiano. No entanto, não é tão fácil e imediato analisar o integral 2.8 numa forma fechada

para impulsos não gaussianos. Assim, a única maneira de analisarmos o impulso ‘sech’ no caso

linear é através de métodos numéricos ou semi-analíticos uma vez que uma análise puramente

analítica como a realizada na secção anterior é impossível. Desta forma, temos através do método

numérico da Fast Fourier Transform (FFT), os seguintes resultados relativamente à propagação de

um impulso do tipo secante hiperbólica.

Figura 2.5 Propagação de um impulso secante hiperbólica, em regime linear

17

Comparando as figuras 2.5 e 2.6, respeitantes ao impulso ‘‘sech’’, com as figuras 2.3 e 2.4,

respeitantes ao caso gaussiano vemos que, no regime linear, existe um menor alargamento do

impulso, o que resulta numa amplitude mais alta à saída. De facto, para o caso do impulso da forma

secante hiperbólica temos à saída uma amplitude de 0,7175, comparada com os 0,6684 do caso

gaussiano.

Além desta análise do impulso é também interessante ver a evolução do chirp com o tempo

obtida, numericamente, através da derivação da fase do impulso.

Figura 2.6 Espectro do impulso secante hiperbólica em regime linear

Figura 2.7 Evolução do chirp de um impulso secante hiperbólica com o tempo

18

Embora não consigamos ver a evolução do chirp ao longo da fibra como para o caso

gaussiano, uma vez que é impossível encontrar uma expressão analítica para tal podemos concluir

que o chirp não evolui de maneira linear como no caso gaussiano.

2.5 Introdução ao Método dos Momentos

Apesar de, para efeitos de precisão, ser necessária uma solução numérica pode-se conseguir

uma interpretação física considerável se a equação NLS for resolvida, aproximadamente, utilizando

métodos semi-analíticos. Um desses métodos é o Método dos Momentos

Considerando a equação 2.2, podemos reescrever

2

22

20

2

dU d Ui U U

dz dT

(2.20)

Sendo 0

exp[ ( ) ]

z

z dz um parâmetro não-linear que contém os efeitos não-lineares e as perdas

ao longo da fibra.

O método dos momentos foi usado pela primeira vez, no contexto de óptica não linear, em

1971, por Vlasov [16]. Pode ser utilizado para resolver a equação 2.20, de forma aproximada, desde

que se possa assumir que o impulso mantém uma forma específica à medida que se propaga ao

longo duma fibra ainda que a sua amplitude, largura e chirp se possam alterar duma forma contínua.

Verifica-se, de facto, que existem casos onde essa suposição se realiza. Por exemplo, um impulso

gaussiano mantém a sua forma num meio linearmente dispersivo, ainda que a sua amplitude, largura

e chirp se alterem durante a propagação do impulso. Se os efeitos não-lineares forem relativamente

fracos NL DL L uma forma Gaussiana pode manter-se aproximadamente válida. Da mesma forma,

um impulso mantém a sua forma mesmo quando os efeitos não-lineares são fortes desde que os

efeitos dispersivos sejam insignificantes NL DL L . Uma aplicação recente do Método dos

Momentos pode ser encontrada em [21].

O conceito por detrás do Método dos Momentos é tratar um impulso óptico como uma

partícula cuja energia pE , o valor eficaz da largura

p , e o chirp pC relacionam-se com ( , )U z T

através das equações:

2

pE U dT

(2.21)

22 21

p

p

T U dTE

(2.22)

*

*

2p

p

i U UC T U U dT

E T T

(2.23)

À medida que o impulso se propaga dentro da fibra, estes três momentos vão-se alterando. Para se

observar como é que estes parâmetros evoluem segundo z derivamos as equações em ordem a z e

utilizamos a equação 2.3.

19

2.5.1 Evolução da Energia

Primeiro, considera-se a evolução da energia ao longo do impulso. Para tal, deriva-se a

equação 2.4 em ordem a z e obtemos

*

*pE U UU U dT

z z z

(2.24)

fazendo

2

22

22

dU d Ui U U

dz dT

(2.25)

temos

2

2* *2

22

dU d UU i U U U

dz dT

(2.26)

* 2

22

22

dU d UU i U U U

dz dT

(2.27)

pelo que podemos reescrever 2.7 como

*2 2*2

2 22

pE i U UU U dT

z T T

(2.28)

onde

* 2 2*2 2* *

2 2 2 20

U U U U U UU U dT U dT U dT

T TT T T T

(2.29)

Uma vez que o segundo e o quarto termo de 2.12 anulam-se e sendo ( , )U z T o ansatz do

impulso, à medida que T o impulso desvanece o que significa que ( , )U z T e U

T

tendem para

zero.

Substituindo 2.12 em 2.11 pode-se concluir que a evolução da energia do impulso ao longo

da fibra é

0pE

z

(2.30)

Assim, pode-se concluir que a energia do impulso se mantém constante à medida que o

impulso se propaga ao longo da fibra, isto porque as perdas estão incluídas no termo introduzido

em na equação 2.3.

2.5.2 Evolução do chirp

Diferenciando 2.6 em ordem a z obtemos

*

*

2

p

p

C i U UT U U dT

z E z T z T

(2.31)

Após alguma álgebra, que pode ser consultada em [17] obtém-se

20

22 * 32* *2

2 32

UiU U U UU B i U

z T T TT T

(2.32)

2* 2 * 3 *22

2 32

UiU U U UU B i U

z T T TT T

(2.33)

substituindo 2.15 e 2.16 em 2.14 obtém-se

2*2 * 2 3 * 32*2

2 2 3 34

p

p p

C UU U U U U UT U U dT T U

z E T T E TT T T T

(2.34)

resolvendo o integral do primeiro termo tem-se

2*2 * 2 3 * 3*

2 2 3 34

U U U U U U UT U U dT dT

T T TT T T T

(2.35)

resolvendo o integral do segundo termo obtém-se

2

2 41

2

UT U U dT

T

(2.36)

Finalmente, substituindo 2.18 e 2.19 em 2.17 obtém-se

242

2

p

p p

C UdT U dT

z E T E

(2.37)

2.5.3 Evolução da largura efectiva do impulso

Começando por diferenciar a equação 2.5 em ordem a z obtém-se

*

2 *2p

p p

d U UE T U U dT

dz z z

(2.38)

substituindo 2.9 e 2.10 em 2.21 obtém-se

2 * 2

2 *2

2 22

2

p

p p

d i U UE T U U dT

dz T T

(2.39)

resolvendo o integral do lado direito de 2.22 obtém-se

*2 * 2

2 * 2 *

2 22

U U U UT U U dT T U U

T TT TdT

(2.40)

Pela definição do parâmetro chirp em 2.6 podemos concluir

*

2 *2 4 p p

U UT U U

T TdT iC E

(2.41)

substituindo 2.24 em 2.22 conclui-se que

2p p

p

d C

dz

(2.42)

21

2.5.4 Impulso gaussiano

No caso do impulso gaussiano com chirp, o campo ( , )U z T , que também pode ser chamado

de ansatz, ou função de teste, a uma dada distância 𝑧 tem a forma:

2

1, 1 Φ

2exp

TU z T a iC ip p p

Tp

(2.43)

Onde os 4 parâmetros pa ,

pC , pT e

p são funções de z . Apesar de a fase, p , se alterar

com 𝑧 não afecta os outros parâmetros do impulso e pode ser ignorada. A amplitude pa relaciona-se

com a energia através da expressão

2

p p pE a T (2.44)

Uma vez que a energia pE não se altera com 𝑧 podemos substituí-la pelo seu valor inicial

0 0E T .

O parâmetro que descreve o alargamento do impulso, pT , está relacionado com o valor eficaz

da largura do impulso p através de 2p pT .

Utilizando a equação do campo e as derivadas de p e

pC em z , obtidas nas secções 2.3.2

e 2.3.3, chegamos à conclusão que a largura pT e o chirp

pC variam com z através do seguinte

sistema de equações diferenciais acopladas:

2

p p

p

dT C

dz T

(2.45)

2 02

021

2

p

p

p p

dC TC P

dz T T

(2.46)

Este sistema de equações diferenciais acopladas, de primeiro grau, pode ser utilizado para

estudar como os efeitos não lineares afectam o chirp e a largura do impulso.

Através da análise das equações acima, pode-se obter um considerável entendimento físico

sobre o comportamento do impulso, na fibra. Basta olhar para as equações para vermos que o

fenómeno de auto-modulação de fase não afecta a largura do impulso directamente uma vez que o

parâmetro de não linearidade 𝛾 aparece apenas na equação referente ao chirp.

Os dois termos no lado direito da equação que descreve o chirp são originados pelos efeitos

dispersivos e não lineares respectivamente. Para uma DVG 2 0 normal ambos os termos têm o

mesmo sinal. Uma vez que, neste caso, o chirp induzido por auto-modulação de fase adiciona-se ao

chirp induzido pela DVG é esperado que a auto-modulação de fase aumente o ritmo de alargamento

do impulso. Em contraste, na zona anómala 2 0 , os dois termos do lado direito têm sinais

contrários e o alargamento do impulso deve-se reduzir na presença de auto-modulação de fase

devido a menores valores de pC na primeira equação. Na verdade, esta equação pode ser integrada

de modo a obter a seguinte relação entre a largura do impulso e o chirp:

22

2 2

2

0

2

z

p o pT z T z C z dz (2.47)

Esta equação mostra explicitamente que o impulso se comprime quando 2 0pC .

2.5.5 Impulso secante hiperbólica

No caso do impulso ‘sech’, o campo ( , )U z T , ou seja, o ansatz, a uma dada distância z tem a

forma:

sec

2

, h Φexp T T

U z T a iC ip p pT Tp p

(2.48)

Tal como no caso do impulso gaussiano, os 4 parâmetros pa ,

pC , pT e

p são funções de

z . À semelhança do impulso gaussiano, apesar de a fase, p , se alterar com z não afecta os outros

parâmetros do impulso e pode ser ignorada.

Uma vez que a energia pE não se altera com 𝑧 podemos substituí-la pelo seu valor inicial

0 0 02E PT .

O parâmetro que descreve o alargamento do impulso, pT , está relacionado com o valor eficaz

da largura do impulso p através de 2p pT .

Repetindo o processo aplicado na secção 2.5.4, utilizando a equação do campo e as

derivadas de p e

pC em z , obtidas nas secções anteriores, chegamos à conclusão que a largura

pT e o chirp pC variam com z através do seguinte sistema de equações diferenciais acopladas:

2

p p

p

dT C

dz T

(2.49)

2 02

02 2 2

4 4

p

p

p p

dC TC P

dz T T

(2.50)

Á semelhança do Impulso gaussiano, este sistema de equações diferenciais acopladas, de

primeiro grau, pode ser utilizado para estudar como os efeitos não lineares afectam o chirp e a

largura do impulso. Vemos que a equação que descreve a evolução da largura do impulso é igual à

equação 2.45, no caso gaussiano, e, como tal, a largura do impulso não se altera se o chirp se

mantiver nulo ao longo da fibra. Nestas condições irá formar-se um solitão fundamental.

Quanto à equação que descreve o desenvolvimento de chirp na fibra vemos que é bastante

parecida à equação 2.46 mas com coeficientes diferentes. Se se assumir 2 0 , ambos os termos

do lado direito da equação são positivos e o impulso irá desenvolver chirp mesmo que este seja nulo

à entrada da fibra. No entanto, se considerarmos a zona de dispersão anómala 2 0 , onde têm

sido analisados os impulsos ao longo desta dissertação, vemos que à semelhança do que ocorre no

caso gaussiano os dois termos do lado direito acabam por se contra-balançar, chegando a anular-se

23

quando 2

0 0 2PT , concluindo-se que 2

2 0 0

2

D

NL

PTLN

L

, é o equivalente a considerar 1N , ou

seja, o solitão fundamental.

Assim, pela simples observação, das equações 2.49 e 2.50 conclui-se que, em certas

condições, o comportamento do impulso e a evolução dos parâmetros serão semelhantes aos

observados para o Impulso gaussiano. No entanto, em determinadas condições de propagação,

verificar-se-á o aparecimento de fenómenos diferentes dos observados no Impulso gaussiano.

2.6 Débito Binário

O débito binário de um sistema óptico pode ser definido com o número de impulsos que a

ligação transmite por segundo. O débito binário é limitado pela interferência inter simbólica que, por

sua vez, está dependente do alargamento dos impulsos provocado pela dispersão, pelo que é

importante estudar o seu efeito no mesmo [7]. O alargamento dos impulsos está dependente de

diversos factores, de entre os quais se destacam a largura espectral da fonte, a largura inicial dos

impulsos, a DVG e, por vezes, a dispersão de ordem superior.

O número de impulsos depende da largura efectiva do impulso, p . A largura efectiva

calcula-se através de [18]

22 2

p t t

(2.51)

em que os momentos mt são dados por

2

2

,

,

m

m

t A z t dt

t

A z t dt

(2.52)

em que ,A z t corresponde à envolvente do impulso.

Considera-se que o sinal modulado se representa por

0 0 0( , , ) ( ) ( , )exp[ ( )]zE r z t E F r A z t i z t (2.53)

onde 0 é a frequência da portadora e

0 0( ) .

Definindo como a largura espectral efectiva da fonte, então a largura espectral

normalizada da fonte é

02V (2.54)

como

2

2d c

d

(2.55)

então

2

2 c

(2.56)

24

Nestas circunstâncias, e considerando que o parâmetro chirp do impulso à entrada é dado

por 0C e o comprimento da ligação é dado por L demonstra-se que, para o caso dos impulsos

gaussianos, o coeficiente de alargamento de impulsos é dado por

22 22

2 2 2 32 2

02 2 30 0 0 0

1 (1 ) (1 )2 2 4 2

p LLC LV V C

(2.57)

com 02V . Esta expressão descreve o alargamento de impulsos gaussianos de forma

generalizada.

Analisando a equação 2.57 verifica-se que o factor de alargamento aumenta com a distância

𝑧.

Considerando o caso de um laser monomodal com pequena largura espectral ( 1)V , de

2.57 obtém-se

22 22

2 32 2

02 2 30 0 0 0

1 (1 )2 2 4 2

p LLC LC

(2.58)

Desprezando os efeitos de ordem superior é possível reduzir a equação 2.58 a

2 22

0 2 2

2 2

0 0 0

12 2

p LC L

(2.59)

Considerando BT o período atribuído a um bit-slot, então o débito binário é dado por

1

B

BT

.

De modo a evitar-se a Interferência inter-sinal adopta-se a regra

0

1 1

4 4 4

B

p

p

TB B

B

(2.60)

Considerando a equação 2.57, que descreve o coeficiente de alargamento e onde são

desprezados os efeitos de ordem superior ( 3 0 ) e 1V , resolvendo em ordem a 2

2

2 2 2 2

0 0 2 0

0

(1 )2

p

LC L C

(2.61)

Uma vez que

2

2 2 2

0 0

0 0 0

2 2 2(1 )2 2

p

p

d L LC

d

(2.62)

De modo a obter-se o 0 óptimo que minimiza o alargamento do impulso tem-se

22 2

0 0

0

0 12

pd LC

d

(2.63)

substituindo 2.63 em 2.61 obtém-se

2 2

2 2 0sgn( ) 1p L C C

(2.64)

Aplicando o valor obtido na equação 2.64 e considerando a equação 2.60 obtém-se o valor

máximo do débito binário

25

02

2 0 2 0

1

4 sgn( ) 1

B

L C C

(2.65)

No entanto, analisando a equação 2.64 vê-se que a partir de um determinado valor de 0C ,

0p .

Algo que se pode conferir no gráfico seguinte:

Igualando as equações 2.64 e 2.63 conclui-se que o ponto de intersecção entre p e

0

acontece quando 0

1

3C , representado na figura 2.8 pela linha rosa a tracejado. A partir deste valor

0 toma valores superiores a p e como tal altera-se a regra descrita na equação 2.60 para

0

0

1

4B B

(2.66)

É também interessante verificar como o débito binário evolui com diferentes valores de chirp. Assim,

Figura 2.8 Evolução de p e 0

com o chirp

26

Analisando a figura 2.9 é fácil verificar que o máximo do débito binário ocorre para 0

1

3C ,

precisamente o ponto de intersecção entre p e

0 e onde se altera a regra para definição do débito

binário de modo a evitar interferência inter sinal. O débito binário é máximo nesse ponto precisamente

porque é o mínimo de o que vai de acordo com a equação 2.60. A partir daí e, considerando a

equação 2.66, 0 toma valores superiores ao mínimo de

p o que vai fazer o débito binário diminuir.

Figura 2.9 Evolução do débito binário com 0C

27

3 Simulações em Regime Linear utilizando o Método dos Momentos

As simulações apresentadas neste capítulo foram realizadas utilizando a função ode45, em

Matlab, sendo o código apresentado nos anexos D e E.

3.1 Fibras de dispersão constante


Considerando que a propagação de impulsos em regime linear, implica o factor de não-

linearidade 0 . Como tal, o factor 0 , pelo que se podem reduzir as equações 2.45 e 2.46 a

2

p p

p

dT C

dz T

(3.1)

2 2

21

p

p

p

dCC

dz T

(3.2)

Considerando que o impulso se propaga na zona anómala 2 0 e que à entrada da fibra

não existe chirp 0 0C apresentam-se abaixo os resultados para a evolução dos parâmetros pT e

pC .

Avalia-se a evolução de pT através do factor de alargamento introduzido no capítulo 2,

0

pT

T .

Figura 3.1 Evolução do chirp do impulso gaussiano em regime linear

28

Vê-se que o impulso alarga rapidamente e desenvolve um chirp considerável, com uma

evolução linear. Isto acontece porque considerando 0 , visto que estamos no caso linear, apenas o

primeiro termo do lado direito da equação diferencial que traduz a evolução do chirp, equação 2.46, é

contabilizado. Sendo assim, visto que se considera a região anómala, em que os dois termos teriam

sinais contrários, não existe o termo relativo aos efeitos não lineares para contrabalançar a rápida

evolução do chirp para valores negativos.

Isto relaciona-se também com a evolução da largura do impulso. Considerando que o chirp

evolui para valores significativos e, considerando 2 0 , vemos que

2 0pC . Assim, pela

expressão analítica alcançada anteriormente para pT conclui-se, facilmente, que o impulso vai

alargar rapidamente e de forma proporcional ao desenvolvimento do chirp.

Como parte do estudo da propagação de impulsos em fibras ópticas utilizando o Método dos

Momentos é interessante também utilizar o Método dos Momentos para a reconstrução do impulso ao

longo da fibra. Assim, considerando um impulso inicial igual a 2.43, ou seja,

2

1, 1 Φ

2exp

TU z T a iC ip p p

Tp

e considerando a amplitude 1pa , apresentam-se em

baixo a forma do impulso em diferentes pontos da fibra assim como a evolução do seu espectro.

Figura 3.2 Evolução da largura do impulso gaussiano em regime linear

29

Se compararmos a figura 3.3 com os resultados obtidos, no capítulo 2, figura 2.3, para a

propagação de um impulso gaussiano, também em regime linear, vemos que os resultados são

bastante concordantes.

Analisando os gráficos vemos que para 2 o valor da amplitude do impulso é 0.6686, ou

seja, bastante próximo do obtido, numericamente, no capítulo 2, que foi de 0,6684.

Vemos também através do gráfico a 3 dimensões que o impulso segue a mesma evolução

que na figura 2.4, diminuindo, progressivamente, a sua amplitude, à medida que os efeitos

dispersivos se fazem sentir, resultando num alargamento do impulso.

Figura 3.3 Evolução do ansatz gaussiano em regime linear

Figura 3.4 Evolução 3D do ansatz gaussiano em regime linear

30

Através da comparação dos gráficos apresentados anteriormente com as figuras 2.3 e 2.4,

apresentadas no capítulo 2, vemos que, em regime linear, o Método dos Momentos para resolver o

ansatz da equação 2.43 é uma aproximação bastante precisa das soluções analíticas fechadas

utilizadas para descrever a evolução de um Impulso gaussiano assim como dos seus parâmetros.


Mais uma vez, considerando a propagação de impulsos em regime linear, implica 0 , pelo

que se podem reduzir as equações 2.49 e 2.50 a

2

p p

p

dT C

dz T

(3.3)

2 2

2 2

4p

p

p

dCC

dz T

(3.4)

Considerando que o impulso se propaga na zona anómala 2 0 e que à entrada da fibra

não existe chirp 0 0C apresentam-se abaixo os resultados para a evolução dos parâmetros pT e

pC .

Avalia-se a evolução de pT através do factor de alargamento introduzido no capítulo 2,

0

pT

T .

Figura 3.5 Evolução do chirp do impulso secante hiperbólica em regime linear

31

Relativamente à figura 3.5, vemos que o impulso desenvolve um chirp negativo. No entanto, ao

contrário do caso gaussiano, podemos ver que a evolução não é linear, adquirindo valores absolutos

de chirp menos significativos do que quando comparados com a figura 3.1.

Quanto à figura 3.6, vemos que existe um alargamento do impulso, consequência natural do

chirp adquirido pelo impulso. No entanto, tal como o valor de chirp adquirido é menor que no impulso

gaussiano também o alargamento do impulso é menor que o observado na figura 3.2.

É interessante verificar que se substituirmos valores, verificamos que a expressão analítica

para o factor de alargamento do impulso da forma secante hiperbólica obtida na equação 1.13 é

concordante com a figura 3.6.

Se se quiser avaliar a propagação do impulso pode-se considerar as figuras seguintes

Figura 3.6 Evolução da largura do impulso secante hiperbólica em regime linear

32

Tal como foi observado nas figuras 3.3 e 3.4, à medida que o impulso se propaga na fibra

existe um alargamento do mesmo, como consequência da DVG, que resulta numa diminuição de

amplitude, passando duma amplitude de valor 1pa , para um valor de amplitude 0,7855pa , à saída

da fibra. Assim, apesar do comportamento do impulso ser semelhante ao observado para o impulso

gaussiano, a amplitude final tem um valor maior ao obtido, na mesma situação, para o impulso

gaussiano que foi de 0,6686. Isto é explicado por o impulso sofrer um alargamento menor,

consequência dum desenvolvimento menor do chirp. Logo, pela Lei da Conservação de Energia, uma

vez que o impulso alarga menos a sua amplitude também irá diminuir menos acentuadamente.

Figura 3.7 Evolução do ansatz ‘sech’ em regime linear

Figura 3.8 Evolução 3D do ansatz ‘sech’ em regime linear

33

3.2 Fibras de dispersão variável

Nesta secção representa-se a evolução dos parâmetros chirp e do alargamento do impulso

para o impulso gaussiano e impulso ‘‘sech’’ em casos onde existem vários troços de fibra com

diferentes características ao longo da propagação do impulso. É um estudo interessante para mostrar

de que forma o coeficiente de dispersão D influencia a propagação de impulso, relacionando-se com

a DVG através da fórmula

2

22

Dc

(3.5)

Assim, apresentam-se casos em que existe uma total compensação da dispersão 2 0

assim como casos em que a DVG ao longo da fibra tem valores positivos ou negativos. Abordam-se

também situações com diferentes números de troços, cada um com características diferentes.


3.2.1.1 𝜷𝟐 = 𝟎

3.2.1.1.1 2 Troços

De modo a exemplificar a total compensação de dispersão em 2 troços de fibra diferentes

começa-se por utilizar um exemplo típico, representado em [18].

O primeiro troço de fibra tem as características: 1 50L km ;

1 16 ( . )D ps kmnm . O segundo

troço de fibra tem as características 2 10L km ;

2 80 ( . )D ps kmnm . Se utilizarmos o Método dos

Momentos para representar a evolução da largura do impulso e do chirp ao longo da fibra, obtemos:

Figura 3.9 Impulso gaussiano, 2 0 , 2 Troços

34

Com efeito verifica-se a expressão 1 1 2 2 0D L D L , pelo que se pode considerar que existe

uma compensação total da dispersão. Com efeito, após os 60km percorridos pelo impulso o chirp e

anulado e o impulso retoma o seu valor inicial, após ambos terem atingido o seu valor máximo em

50z km . Esta evolução de parâmetros é concordante com a observada na secção 3.1.1 em que

vemos que o impulso alarga mais à medida que este vai adquirindo mais chirp. Vemos também pelo

perfil da evolução dos parâmetros o porquê de estarmos em regime linear, visto que estes evoluem

de forma linear.

3.2.1.1.2 3 Troços




2 32 ( . )D ps kmnm . O terceiro troço de fibra tem as

características 3 15L km ;

3 16 ( . )D ps kmnm . Se utilizarmos o Método dos Momentos para

representar a evolução da largura do impulso e do chirp ao longo da fibra, obtemos:

Desta vez, verifica-se a expressão 1 1 2 2 3 3 0D L D L D L . Com efeito, vemos que se mantém

o comportamento linear dos parâmetros observado no caso anterior. No entanto, nesta situação é

introduzida uma nova situação quando o chirp adopta valores positivos em 30z km , fruto dum

domínio de valores negativos do coeficiente de dispersão, o que resulta numa DVG positiva e como

tal um chirp positivo, segundo a equação 3.2. Ora à medida que o chirp vai tomando valores positivos

maiores tal resulta num alargamento do impulso segundo a equação 3.1 pois o chirp e a DVG tem

sinais iguais. Este comportamento é possível de observar na figura acima em que apesar do valor do

coeficiente de dispersão de manter o mesmo na segunda secção da fibra a meio desta o impulso

deixa de contrair-se e volta a alargar, mercê do facto de 2 0 .


35

3.2.1.1.3 4 Troços




2 16 ( . )D ps kmnm . O terceiro troço de fibra tem as


3 16 ( . )D ps kmnm . O quarto troço de fibra tem as características

4 5L km ; 3 112 ( . )D ps kmnm . Se utilizarmos o Método dos Momentos para representar a evolução

da largura do impulso e do chirp ao longo da fibra, obtemos:

Desta vez, verifica-se a expressão 1 1 2 2 3 3 4 4 0D L D L D L D L . Muito dos

comportamentos dos parâmetros observados acima já foram observados nos casos anteriores.

3.2.1.2 𝜷𝟐 > 𝟎

Nesta situação pretende-se mostrar o que acontece quando não existe uma compensação

total de dispersão do longo da fibra, neste caso, em que a média da DVG ao longo da fibra é maior

que 0. Pela equação 3.5, isto significa que existe um domínio de um coeficiente de dispersão

negativo ao longo da fibra, ou seja, verifica-se a relação 1 1 2 2 0D L D L . Assim, o primeiro troço de

fibra tem as características: 1 50L km ;

1 16 ( . )D ps kmnm . O segundo troço de fibra tem as


2 120 ( . )D ps kmnm . O resultado da evolução dos parâmetros pode ser

encontrado de seguida:


36

Analisando a figura 3.12 vemos que nos primeiros 50km a evolução dos parâmetros é igual à

observada na figura 3.9, consequência das características da fibra nesse primeiro troço serem

idênticas. Observamos também que a partir de 50z km , a evolução é semelhante, No entanto, uma

vez que 2D tem um valor mais negativo que na situação de 3.2.1.1.1. a compensação total de

dispersão acontece antes de 60z km , quando o chirp se anula e o impulso recupera a sua inicial.

Como tal, a partir de 56z km , o chirp passa a adquirir valores positivos o que resulta num

alargamento do impulso a partir dessa zona da fibra, perdendo-se a forma inicial do sinal.

3.2.1.3 𝜷𝟐 < 𝟎


total de dispersão do longo da fibra, neste caso, em que a média da DVG ao longo da fibra é menor

que 0. Pela equação 3.5, isto significa que existe um domínio de um coeficiente de dispersão

negativo ao longo da fibra, ou seja, verifica-se a relação 1 1 2 2 0D L D L . Assim, o primeiro troço de





encontrado a seguir:


37

Analisando a figura 3.13 vemos que nos primeiros 50 km a evolução dos parâmetros é igual à

observada na figura 3.9, consequência das características da fibra nesse primeiro troço serem

idênticas. No entanto, a partir de 50z km , vemos que existe um desenvolvimento de chirp menos

acentuado, na verdade, cerca de metade do observado na figura 3.7, consequência do valor do

coeficiente de dispersão neste caso ser metade em valor absoluto do que aquele representado na

figura 3.9. Assim, com o menor desenvolvimento de chirp o impulso começa a contrair devido ao facto

de o valor absoluto de chirp começar a diminuir, no entanto, tal não é suficiente para recuperar a

totalidade do impulso à entrada da fibra e como tal existe alargamento do impulso.


Nesta secção pretende-se ver como evoluem os parâmetros do impulso secante hiperbólica

para diferentes mapas de dispersão. Como tal, considerar-se-á mapas iguais aos da secção 3.2.1.

3.2.2.1 𝜷𝟐 = 𝟎

3.2.2.1.1 2 Troços

Nesta situação considera-se um mapa semelhante ao da secção 3.2.1.1.1. O primeiro troço de fibra

tem as características: 1 50L km ;

1 16 ( . )D ps kmnm . O segundo troço de fibra tem as características

2 10L km ; 2 80 ( . )D ps kmnm . Se utilizarmos o Método dos Momentos para representar a evolução

da largura do impulso e do chirp ao longo da fibra, obtemos:


38

Vemos que a evolução dos parâmetros é coerente com o comportamento observado nas

figuras 3.5 e 3.6 com a largura do impulso a aumentar à medida que o valor absoluto do chirp

aumenta. A evolução dos parâmetros é também semelhante à observada na figura 3.7 para o caso

gaussiano, no entanto, existe um menor alargamento do impulso, devido ao facto dos coeficientes na

equação 3.4 que rege o comportamento do chirp no impulso ‘‘sech’’ serem diferentes dos coeficientes

na equação 3.2 que rege o comportamento do chirp no impulso gaussiano.

3.2.2.1.2 3 Troços

Mais uma vez utiliza-se um mapa com as mesmas características que o usado no caso

gaussiano, na secção 3.2.1.1.2. Assim, o primeiro troço de fibra tem as características: 1 15L km ;

1 16 ( . )D ps kmnm . O segundo troço de fibra tem as características 2 30L km ;

2 32 ( . )D ps kmnm .

O terceiro troço de fibra tem as características 3 15L km ;

3 16 ( . )D ps kmnm . Se utilizarmos o

Método dos Momentos para representar a evolução da largura do impulso e do chirp ao longo da fibra,

obtém-se:

Figura 3.14 Impulso ‘sech’, 2 0 , 2 Troços

39

Neste mapa de dispersão a evolução dos parâmetros é bastante semelhante à observada na

figura 3.8. No entanto, tal como na secção anterior para os mesmos valores do coeficiente de

dispersão o impulso ‘‘sech’’ adquire menos chirp que o gaussiano e, como tal, existe um menor

alargamento do impulso.

3.2.2.1.3 4 Troços

Analogamente às duas secções anteriores, esta simulação representa o mesmo mapa que

em 3.2.1.1.3. Assim, primeiro troço de fibra tem as características: 1 20L km ;

1 16 ( . )D ps kmnm . O

segundo troço de fibra tem as características 2 10L km ;

2 16 ( . )D ps kmnm . O terceiro troço de

fibra tem as características 3 35L km ;

3 16 ( . )D ps kmnm . O quarto troço de fibra tem as


3 112 ( . )D ps kmnm . Se utilizarmos o Método dos Momentos para

representar a evolução da largura do impulso e do chirp ao longo da fibra, obtemos:


40

Tal como nas secções anteriores vemos que a largura do impulso acompanha a evolução do

chirp, aumentando quando este adquire valores absolutos mais significativos e diminuindo quando a

influência do chirp também diminui.

3.2.2.2 𝜷𝟐 > 𝟎


total de dispersão do longo da fibra, neste caso, em que a média da DVG ao longo da fibra é maior

que 0. Trata-se de um estudo análogo ao efectuado na secção 3.2.1.2. mas para um impulso da

forma ‘‘sech’’. Utiliza-se o mesmo mapa de dispersão que em 3.2.1.2., pelo que, o primeiro troço de





encontrado a seguir:


41

Mesmo quando não existe compensação total de dispersão verifica-se que, em regime linear,

o impulso ‘‘sech’’ tem um comportamento bastante semelhante ao impulso gaussiano. Comparando a

figura 3.17 com a figura 3.12 facilmente se verifica que o chirp evolui da mesma maneira em ambas

as situações, no entanto, adquirindo valores menos significativos no caso ‘‘sech’’. Como tal, pelo

conjunto de equações 3.3 e 3.4, o impulso ‘‘sech’’ também irá alargar menos que o impulso

gaussiano. Algo que já tinha concluído através da comparação das figuras 3.2 e 3.6.

3.2.2.3 𝜷𝟐 < 𝟎


total de dispersão do longo da fibra, neste caso, em que a média da DVG ao longo da fibra é menor

que 0. Trata-se de um estudo análogo ao efectuado na secção 3.2.1.3. mas para um impulso da

forma ‘‘sech’’. Utiliza-se o mesmo mapa de dispersão que em 3.2.1.3. Assim, o primeiro troço de fibra

tem as características: 1 50L km ;

1 16 ( . )D ps kmnm . O segundo troço de fibra tem as características

2 10L km ; 2 40 ( . )D ps kmnm . O resultado da evolução dos parâmetros pode ser encontrado em

baixo:


42

Analogamente à secção anterior, vê-se que, também neste caso, o impulso ‘‘sech’’ tem um

comportamento semelhante ao impulso gaussiano, para o mesmo mapa de dispersão. Neste caso,

comparando as figuras 3.18 e 3.13 vemos que evoluem de maneira semelhante existindo um menor

alargamento do impulso ‘‘sech’’ em comparação com o impulso gaussiano, assim como uma menor

compressão no segundo troço de fibra. No entanto, apesar de, em termos absolutos, o alargamento e

a compressão serem menores no impulso ‘‘sech’’, em termos relativos são idênticos.


43

4 Regime Não-Linear: Impulso gaussiano

No caso do impulso gaussiano deve-se considerar um campo da forma descrita na equação

2.43: 2

1, 1 Φ

2

TU z T a exp iC ip p p

Tp

. Deve-se também considerar que os parâmetros de

alargamento do impulso e chirp são descritos pelas equações 2.45 e 2.46, respectivamente, que

podem ser relembradas em baixo

2

p p

p

dT C

dz T

2 02

021

2

p

p

p p

dC TC P

dz T T

Considerando o factor 2 D

NL

LN

L , em que

0

1NLL

P , pode-se avaliar a evolução dos

parâmetros pT e

pC através da imposição de diferentes valores de 2N de modo a tornar dominantes

os efeitos dispersivos ou os efeitos não-lineares.

Assim, considerando que o impulso se propaga na zona anómala 2 0 , o chirp à entrada é

nulo 0 0C , e utilizando a função ode45, como demonstrado no anexo D, pode-se observar a

evolução dos parâmetros de alargamento do impulso e chirp, para diferentes valores de 2N nas

figuras seguintes:

Figura 4.1 Evolução do chirp do impulso gaussiano em regime não-linear

44

Pode-se ver que à medida que 2N aumenta, ou seja, os efeitos lineares são cada vez mais

fortes o impulso alarga cada vez menos e cada vez mais lentamente, eventualmente, no caso

2 1.5N , o impulso chega mesmo a comprimir.

Quanto ao chirp, vemos que à medida que os efeitos não-lineares são mais intensos, o

impulso desenvolve cada vez menos chirp, chegando mesmo a adquirir um chirp positivo, quando

2 1.5N . Este comportamento dos parâmetros pode ser explicado olhando para o sistema das

equações 2.45 e 2.46.

Uma vez que se está a considerar o Regime Não-Linear deve-se considerar a presença do

fenómeno de auto-modulação de fase (AMF). Olhando para a segunda equação do sistema vê-se

que os efeitos de auto-modulação de fase (representados pelo segundo termo do lado direito da

equação 2.46) irão contrabalançar os efeitos dispersivos no desenvolvimento do chirp (representados

pelo primeiro termo do lado direito da equação 2.46). Isto significa, que quanto mais significativos

forem os efeitos não-lineares, maior será a auto-modulação de fase e, como tal, menor será o

alargamento do impulso devido a menores valores de chirp.

Tendo em conta que 2 D

NL

LN

L e

0

1NLL

P , se considerarmos o segundo elemento da

equação que traduz a evolução do chirp vemos que está presente o produto 0P , ou seja,

1

NLL . Isto

significa que, à medida que o valor de 2N aumenta o valor de

NLL diminui pelo que o seu inverso

1

NLL

aumenta. Sendo que, na zona anómala, os dois elementos de 2.46 têm sinais contrários,

quando 2N aumenta o segundo elemento vai ficando cada vez maior, existindo um valor de 2N que

chega mesmo a anular o primeiro elemento. Fisicamente, isto traduz-se num desenvolvimento cada

Figura 4.2 Evolução da largura do impulso gaussiano em regime não-linear

45

vez menor do chirp até se aproximar de zero e, eventualmente, tornando-se positivo, como se pode

ver no caso 2 1.5N .

Transportando esta análise para o alargamento do impulso vemos que um desenvolvimento

de chirp cada vez menor vai provocar um alargamento do impulso cada vez menos significativo. Em

determinado momento, para o valor de 2N que anula o desenvolvimento de chirp, o impulso não se

alarga, chegando mesmo a comprimir quando o chirp adquire valores positivos. Pode-se então

concluir que para valores de 2 1N os efeitos dispersivos são dominantes, enquanto que para 2 1N

os efeitos de auto-modulação de fase são dominantes. Para valores 2 1N tanto a AMF como a DVG

têm papéis semelhantes durante a evolução do impulso.

Olhando para os gráficos, outra inferência que pode ser retirada é que para 2 1N , ou seja,

quando D NLL L é expectável que num determinado ponto da fibra as duas contribuições para a

indução de chirp (contribuição positiva para o chirp induzido pela AMF; e contribuição negativa para o

chirp induzido pela dispersão) se anulem. Em teoria, isto acontecerá, no centro do impulso gaussiano.

Nesse sentido aumentou-se a distância de propagação do impulso de 2 para 16 , sendo os

resultados apresentados em seguida:

Figura 4.3 Evolução do chirp do impulso gaussiano, em regime não-linear, para 16

46

Vê-se que para valores de 2 1N tanto o chirp como o alargamento têm comportamentos

periódicos. Para 2 1N , quando 8 existe um cancelamento entre as duas contribuições para o

chirp, tornando-se este nulo, passando depois a ter valores positivos, sendo que se prevê que,

eventualmente, torne a ter valores negativos pelo comportamento da curva que pode ser observado.

Quanto ao alargamento do impulso, vemos que este alarga até 8 , passando depois a existir uma

compressão, adquirindo, praticamente, a sua forma inicial no final da distância de propagação.

Este cenário é coerente com a evolução de um solitão, como foi abordado no anexo C. Existe

um alargamento inicial do impulso gaussiano porque o impulso gaussiano não é a forma

característica associada a um solitão fundamental. Se o impulso escolhido fosse um impulso da forma

secante hiperbólica (‘‘sech’’), tanto a sua forma, espectro e chirp permaneceriam inalterados, como se

verá no próximo capítulo desta dissertação. Quando o impulso de afasta da forma ‘‘sech’’ a

combinação da DVG e da AMF actua sobre o impulso de modo a que este evolua para um impulso da

forma ‘‘sech’’. Isto poderá ser observado de forma mais significativa nas próximas secções onde se

observará a evolução do impulso para diferentes valores de 2N .

4.1 𝑵𝟐 = 𝟏

4.1.1 Método dos Momentos

De seguida, apresenta-se a reconstrução do impulso 2

1, 1 Φ

2expp p p

p

TU z T a iC i

T

através do Método dos Momentos para 2 1N . A aplicação numérica da função ode45 para a

reconstrução do impulso encontra-se explicita no anexo E.

Figura 4.4 Evolução da largura do impulso gaussiano em regime não-linear, para 16

47

Começando por considerar o caso 2 1N , vê-se que existe uma compressão do impulso da

amplitude inicial 1pa para 0.8433pa , no final da fibra. Comparando com o caso linear em que o

valor da amplitude no final da fibra, para uma distância de propagação de 2 , é 0.6687 pode-se

concluir que, em regime não linear, apesar da amplitude diminuir, diminui de forma menos acentuada

que em regime linear. Esta observação é coerente com o facto de existir um menor alargamento do

impulso quando 2 1N por comparação a

2 0N , como se concluiu anteriormente. Isto acontece

Figura 4.5 Evolução do ansatz gaussiano, para 2 1N

Figura 4.6 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para 2 1N

48

porque, à medida que os efeitos não-lineares se tornam mais significativos, a AMF vai ganhando

preponderância sobre a DVG, resultando num menor alargamento do impulso. No entanto, a análise

a este caso não estaria concluída sem uma visão mais clara sobre a tendência do impulso gaussiano

para um impulso ‘‘sech’’. Esta tendência pode ser observada se se aumentar a distância de

propagação. Como foi avançado no anexo C, para valores de 1 , o impulso gaussiano deverá

tender para o solitão fundamental.

Assim, considerando uma distância de propagação de 16 tem-se que

Como se pode ver, apesar do impulso continuar a alargar e a sua amplitude a diminuir,

chegando a valores de 0,6436pa , a uma distância próxima de 8 , a partir desse momento

começa a comprimir e a sua amplitude aumenta, chegando a valores bastante próximos da amplitude

inicial. O comportamento de impulso que se observa na figura 4.7 é coerente com o observado na

figura 4.4, onde perto de 8 o impulso atinge o seu máximo de alargamento, começando depois a

comprimir, fruto da mudança de sinal do chirp observada na figura 4.3, chegando a valores próximos

da unidade para o factor de alargamento no final da distância de propagação. Este comportamento do

impulso é parecido com o do solitão fundamental, uma vez que o impulso evolui de modo a recuperar

a sua forma inicial.

Figura 4.7 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para 2 1N

49

4.1.2 SSFM

Utilizando o SSFM, com passo longitudinal 0,001 e 2000 iterações, para validar o método os

momentos podemos observar que a amplitude à saída tem um valor de 0.8894, um valor próximo

daquele obtido no Método dos Momentos de 0.8433. Além disso, comparando as figuras 4.9 e 4.6

vemos que a propagação do impulso é bastante semelhante nos dois métodos.

Se aumentarmos a distância de propagação para verificarmos se o método numérico valida a

figura 4.7 temos que

Figura 4.8 Propagação do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1N

Figura 4.9 Evolução 3D do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1N

50

Vemos então que o SSFM valida a evolução do impulso obtida através do Método dos

Momentos, existindo uma diminuição inicial da amplitude do impulso para, de seguida, existir uma

evolução no sentido da recuperação da amplitude inicial.

Concluindo, para valores de 2 1N pode concluir que o Método dos Momentos é uma

solução válida.

4.2 𝑵𝟐 = 𝟎. 𝟓


Figura 4.10 Evolução 3D do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1N

Figura 4.11 Evolução do ansatz gaussiano, para 2 0.5N

51

Observando as figuras acima vemos que a amplitude do impulso desce de 1pa , à entrada

da fibra, para 0,7361pa , em 2 . Conclui-se que apesar de o impulso ter um comportamento

bastante semelhante ao caso linear, como os efeitos não-lineares já se começam a fazer sentir o

impulso irá sofrer um menor alargamento, consequência da menor preponderância da DVG.

4.2.2 SSFM

Figura 4.12 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para 2 0.5N

Figura 4.13 Propagação do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 0.5N

52

Olhando para o impulso à entrada e à saída observa-se que existe uma diminuição da

amplitude de 1 para 0.7554, o que é bastante próximo do valor obtido através do Método dos

Momentos de 0.7361. Se considerarmos o gráfico 3D da propagação do impulso vemos que à medida

que o impulso se propaga existe um alargamento do mesmo que se traduz numa diminuição da

amplitude. Também esta observação é concordante com o que foi concluído anteriormente,

nomeadamente na secção da evolução dos parâmetros.

4.3 𝑵𝟐 = 𝟏. 𝟓


Figura 4.15 Evolução do ansatz gaussiano, para 2 1.5N

Figura 4.14 Evolução 3D do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 0.5N

53

Vê-se, nesta situação, que a forma do impulso é bastante parecida à do solitão fundamental

observada na figura (anexo C). Isto vai de encontro ao que foi avançado neste capítulo para o caso

1N . No entanto, uma vez que os efeitos não-lineares já começam a ser mais significativos é

possível observar que no final da fibra a amplitude do impulso ultrapassa a amplitude inicial, tomando

um valor de 1,044pa . Este comportamento deixa antever a possibilidade que quanto mais intensos

forem os efeitos não-lineares maior será a aproximação do impulso gaussiano a um solitão. Mais uma

vez, a propagação do impulso é coerente com a evolução do factor de alargamento observada na

figura 4.1.

4.3.2 SSFM

Figura 4.16 Evolução 3D do ansatz gaussiano para 2 1.5N

Figura 4.17 Propagação do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1.5N

54

Para este valor de 2N já começam a ser visíveis os efeitos mais significativos da auto-

modulação de fase em comparação com os efeitos dispersivos. Vemos que a amplitude à saída da

fibra é mais elevada que a amplitude à entrada, consequência duma compressão do impulso. Vemos

que o valor da amplitude à saída é de 1.091, um valor bastante próximo do obtido através do Método

dos Momentos que foi de 1.044. Olhando, para o gráfico 3D vemos que a evolução do impulso é

bastante próxima da observada na figura 4.16 onde as explicações físicas para o comportamento do

impulso já foram avançadas.

Figura 4.18 Evolução 3D do impulso gaussiano, com SSFM, para 2 1.5N

55

4.4 𝑵𝟐 = 𝟐


Vemos que o comportamento do impulso é semelhante ao solitão de segunda ordem

observado no anexo C, existindo uma compressão do impulso a determinado ponto da fibra, para, de

seguida, o impulso readquirir a sua forma inicial. No entanto, vê-se que a amplitude na zona onde o

impulso comprime é bastante maior à observada no anexo C e além disso nesta figura não é possível

observar o comportamento periódico de um solitão de segunda ordem. Porém, se aumentarmos a

distância de propagação do impulso tem-se

Figura 4.19 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para N = 2

Figura 4.20 Evolução 3D do ansatz gaussiano, para N = 2, para 4

56

Aqui já é possível verificar o comportamento periódico observado para o solitão de segunda

ordem, no anexo C. Porém, vemos que tanto o período do impulso assim como a amplitude nas

zonas onde o impulso comprime são bastante diferentes das observadas no anexo C, concluindo-se

assim que para este valor de N o SSFM não valida o Método dos Momentos. Por aqui, podemos

concluir que à medida que os efeitos não-lineares são mais expressivos o Método dos Momentos vai

perdendo validade. Isto porque o Método dos Momentos não está preparado para lidar com variações

tão grandes nos impulsos. Como o Método dos Momentos assume uma forma do impulso ao início e

que essa forma se mantém ao longo da fibra, se considerarmos condições que implicam alterações

significativas na forma do impulso como acontece com efeitos não-lineares elevados o Método dos

Momentos começa a perder precisão.

4.4.2 SSFM

Vemos que o comportamento do impulso é parecido ao observado na figura 4.20, no entanto, é

visível que apesar de o primeiro “pico” ocorrer mais ou menos na mesma zona da fibra, o segundo

ocorre antes e, na mesma janela de propagação é ainda possível observar um terceiro “pico” que não

é visível na simulação referente ao Método dos Momentos, ou seja, existe um período diferente. Além

disso, é, também, possível observar que os valores de amplitude dos “picos” são diferentes dos da

figura 4.20. Por outro lado, vemos que esta imagem é mais concordante com a figura do anexo C que

descreve a evolução de um solitão de segunda ordem através do SSFM.

Assim, esta simulação numérica suporta as ilações avançadas aquando da análise da figura

4.20. Quando os efeito não-lineares são elevados o Método dos Momentos perde precisão. Ainda

assim, podemos concluir que utilizando o SSFM o impulso gaussiano é uma boa aproximação do

solitão de segunda ordem. Isto porque, tal como o impulso da forma secante hiperbólica que

descreve o comportamento dum solitão, é uma função em forma de sino.

Figura 4.21 Evolução do impulso gaussiano, com SSFM, para N=2

57

4.5 Avaliação Numérica

Para efeitos de análise e comparação de ambos os métodos apresenta-se a seguinte tabela

com os valores da amplitude do impulso à saída da fibra.

Valor da amplitude do impulso à saída da fibra (𝜁 = 2)

Método dos Momentos SSFM

𝑁 = 0 0,6686 0,6684

𝑁2 = 0.5 0,7361 0,7554

𝑁 = 1 0,8433 0,8894

𝑁2 = 1.5 1,044 1,091

Tabela 4.1 Comparação entre o Método dos Momentos e o SSFM, no caso gaussiano

Através da comparação dos valores obtidos pelos dois métodos vemos que, para estes

valores de 2N o Método dos Momentos é uma aproximação bastante eficaz e precisa. No entanto,

podemos observar que quanto mais elevados começam a ser os efeitos não-lineares menor é a

concordância entre os dois métodos, o que leva a concluir que o Método dos Momentos aplicado ao

impulso gaussiano resulta bem no regime não-linear e em condições realistas de efeitos não-lineares

pouco intensos mas começa a perder validade para efeitos não-lineares muito acentuados. A

explicação para isto já foi avançada anteriormente e prende-se com o facto de o Método dos

Momentos assumir que a forma do impulso não se altera durante a sua propagação. O ansatz

escolhido inicialmente é como se fosse um “colete de forças” imposto no impulso.

As simulações utilizando o Método dos Momentos recorreram à função de Matlab ode45,

como explicitado nos anexos D e E.

As simulações utilizando o SSFM recorreram a um passo longitudinal de 0,001 e utilizaram

2000 iterações.

4.6 Mapas de Dispersão – Fibras de dispersão variável

Tal como para o regime linear é interessante ver o comportamento dos parâmetros dum

impulso em diferentes mapas de dispersão. No entanto, uma vez que nesta situação os efeitos

lineares já não serão nulos é importante estudar o papel da potência injectada na fibra na evolução

dos parâmetros.

4.6.1 2 Troços

Neste primeiro estudo será utilizado um mapa de duas secções com as seguintes

características:

- Impulso à entrada da fibra: 0 10T ps ;

- Coeficiente de não-linearidade no primeiro e segundo troços da fibra: 1

1 1.31W km ,

1

2 5.24W km

58

- Coeficiente de atenuação no primeiro e segundo troço da fibra:1 0.5db km ,

1 0.2db km

- Coeficiente de Dispersão no primeiro e segundo troço da fibra:1 16 ( . )D ps nmkm ,

2 80 ( . )D ps nmkm

4.6.1.1 𝑷𝟎 = 𝟏 𝒎𝑾

Analisando a figura 4.22 vemos que quando a potência de entrada é 1mW os efeitos lineares

são praticamente nulos. Isto acontece porque o NLL é maior que o comprimento da fibra, pelo que os

efeitos não-lineares praticamente não se fazem sentir. Assim, existe linearidade em ambos os troços.

É de esperar, pela definição de 0

1NLL

P que à medida que a potência de entrada aumente o

comprimento de não-linearidade diminua e, como tal, os efeitos não-lineares se façam sentir de modo

mais veemente.

Figura 4.22 Mapa de dispersão do impulso gaussiano, 0 1P mW

59



4.6.1.2 𝑷𝟎 = 𝟔𝟎 𝒎𝑾

A primeira coisa que se observa de diferente neste novo caso, em que se aumentou a

potência de entrada é o comportamento periódico no início da fibra, algo característico do regime

não-linear como se verificou em secções anteriores. No entanto, a partir de certa altura os efeitos

não-lineares deixam de se fazer sentir e o impulso volta a comportar-se como no regime linear.

4.6.1.3 𝑷𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎𝑾

60

Figura 4.25 Mapa de dispersão do impulso gaussiano, 0 1P W

Vemos nesta situação que os efeitos não-lineares são cada vez mais acentuados, ainda

assim, a partir de certa altura é possível verificar a o comportamento linear por parte do impulso uma

vez que 2 1N ainda.

4.6.1.4 𝑷𝟎 = 𝟏 𝑾

Nesta situação, em que a potência é cerca de 1000 vezes superior a 4.6.1.1. é possível

verificar de forma bastante clara o regime não-linear no primeiro troço de fibra. Vemos aqui que neste

caso 2 6,5N pelo que o comprimento de dispersão é bastante superior ao comprimento não linear.

Assim, os efeitos não-lineares são dominantes e dominam a evolução dos parâmetros da fibra.

61

5 Regime Não-Linear: Impulso secante hiperbólica

No caso do impulso gaussiano deve-se considerar um campo da forma descrita na equação

2.48: sec

2

, h Φexp T T


. Deve-se também considerar que os parâmetros

de alargamento do impulso e chirp são descritos pelas equações 2.49 e 2.50, respectivamente, que

podem ser relembradas em baixo

2

p p

p

dT C

dz T

2 02

02 2 2

4 4

p

p

p p

dC TC P

dz T T

Tal como na secção 4, vai-se avaliar a evolução dos parâmetros pT e

pC através do

parâmetro 2N . Assim, considerando que o impulso se propaga na zona anómala 2 0 e o chirp à

entrada é nulo 0 0C pode-se observar a evolução dos parâmetros de alargamento do impulso e

chirp, para diferentes valores de 2N nas figuras seguintes:

Figura 5.1 Evolução do chirp do impulso ‘sech’, em regime não-linear

62

Para o regime não-linear, vemos que os parâmetros apresentam algumas diferenças

relativamente ao observado no impulso gaussiano, nas figuras 4.1 e 4.2. Se para valores de 2 0N e

2 0.5N o comportamento é semelhante ao observado para o impulso gaussiano, verificando-se o

aparecimento dum chirp negativo ao longo da fibra, que resulta num alargamento do impulso, ainda

que menos significativo que no caso gaussiano, as maiores diferenças ocorrem para 2 1N .

Em 2 1N N , vemos que não existe desenvolvimento de chirp, mantendo-se este com o

valor inicial de 0 0C , ao longo da fibra. Uma vez que não existe variação de chirp torna-se claro o

facto de não existir um alargamento do impulso, traduzido pelo factor do factor de alargamento 𝜂 se

manter igual à unidade ao longo da distância de propagação. Este comportamento do impulso é

coerente com o comportamento observado para o solitão fundamental, tratado no anexo C. Esta

relação será abordada com maior profundidade mais à frente quando se observar a forma da

propagação do impulso, nestas condições.

No caso 2 1.5N , vemos que o comportamento do chirp e do factor de alargamento é

semelhante ao observado para o caso gaussiano. Primeiramente, vê-se que o chirp adquire um valor

positivo, o que irá resultar numa compressão do impulso, no entanto, o interessante nesta situação é

o facto de o impulso adquirir um valor de chirp mais elevado que no caso gaussiano o que irá resultar

numa compressão maior do impulso que no caso gaussiano. Este comportamento é relevante pois é

contrário ao que se observa quando se compara os dois impulsos para valores de 2 1N , onde o

desenvolvimento de chirp e alargamento do impulso é menos significativo que no caso gaussiano.

A razão por detrás deste comportamento está na comparação entre as equações 2.46 e 2.50.

Quando se considera os coeficientes de ambas as equações vemos que existe uma maior

discrepância entre as contribuições da AMF e da DVG, no caso gaussiano, do que no caso ‘‘sech’’,

Figura 5.2 Evolução da largura do impulso ‘sech’ em regime não-linear

63

onde as contribuições são idênticas, como se pode ver pelo comportamento do impulso para 2 1N ,

ou seja, quando D NLL L . Considerando o impulso gaussiano vemos que o factor referente à DVG

tem uma contribuição mais significativa que o factor referente à AMF. Isto resulta num maior

alargamento do impulso para valores de 2 1N e uma menor compressão do impulso para 2 1N ,

como se observa pela comparação entre as figuras 4.2 e 5.2.

Assim, para valores de 2 1N , a DVG não irá dominar o impulso de forma tão expressiva

como no caso gaussiano, pelo que se desenvolve um chirp menor e o impulso alarga menos.

Por outro lado, para os casos 2 1N , acontece exactamente o contrário, pela mesma razão.

Como a DVG não se faz sentir de forma tão acentuada, não irá contrariar a maior influência da AMF

devido a componentes não-lineares mais significativas de forma tão eficaz, resultando numa maior

influência desta sobre o impulso, traduzida no desenvolvimento de maiores valores de chirp e uma

maior compressão do impulso.

Fisicamente, este comportamento faz sentido pois à medida que os efeitos não-lineares se

fazem sentir com maior intensidade mais o impulso ‘‘sech’’ se aproxima de solitões de ordem superior

a 1, em que ocorre precisamente o comportamento observado nos gráficos.

Uma vez que se prevê que o impulso ‘‘sech’’ traduza o comportamento observado para os

solitões, no anexo C, desta dissertação, será interessante ver a evolução dos parâmetros para uma

distância maior à considerada, uma vez que os solitões têm um período maior que a distância de

propagação considerada nas figuras anteriores.

Assim, para 16 , tem-se

Figura 5.3 Evolução do chirp do impulso ‘sech’ em regime não-linear, para 16

64

Tal como esperado, verifica-se o comportamento periódico, para 2 1.5N , característico dos

solitões de ordem superior a 1N , traduzido através das sucessivas compressões e alargamentos

do impulso, como se verifica na figura 5.4. Espera-se que este comportamento, assim como o

depreendido para outros valores de 2N , seja corroborado pela observação da forma do impulso, para

diferentes valores de 2N apresentados de seguida.

5.1 𝑵𝟐 = 𝟏


De seguida, apresenta-se a reconstrução do impulso

sec

2

, h Φexp T T


através do Método dos Momentos para 2 1N .

Figura 5.4 Evolução da largura do impulso ‘sech’, para regime não-linear para 16

65

Observando a evolução do ansatz ‘‘sech’’, para 2 1N , através do Método dos Momentos,

verifica-se aquilo que foi avançado aquando da análise dos parâmetros. O impulso mantém a sua

forma, amplitude e largura, ao longo de toda a fibra, comportando-se como um solitão fundamental.

De facto, podemos observar que a figura 5.6 é análoga à figura C.1, onde se utiliza SSFM para a

análise dum impulso do tipo secante hiperbólica que traduz a propagação de um solitão fundamental.

Figura 5.5 Evolução do ansatz ‘sech’, para 2 1N

Figura 5.6 Evolução 3D do ansatz ‘sech’, para 2 1N

66

5.2 𝑵𝟐 = 𝟎. 𝟓


Analisando as figuras acima, vemos que a propagação do impulso, nesta situação, é

extremamente parecida à do caso 0N , representada nas figuras 3.7 e 3.8. No entanto, como já

Figura 5.7 Evolução do ansatz ‘sech’, para 2 0.5N

Figura 5.8 Evolução 3D do ansatz ‘sech’, para 2 0.5N

67

existe uma pequena componente não-linear a actuar verifica-se um menor alargamento do impulso,

traduzido numa maior amplitude à saída, 0,8668pa , por oposição aos 0,7855 obtidos no caso linear.

5.2.2 SSFM

Figura 5.9 Propagação de um impulso ‘sech’, com SSFM, para 2 0.5N

Figura 5.10 Evolução do impulso ‘sech’, com SSFM, para 2 0.5N

68

Pela análise das figuras 5.9 e 5.10 vemos que para valores de 2 0.5N o Método dos

Momentos será uma boa aproximação, uma vez que o SSFM apresenta uma evolução bastante

próxima do Método dos Momentos.

5.3 𝑵𝟐 = 𝟏. 𝟓


Figura 5.11 Evolução do ansatz ‘sech’ para 2 1.5N

Figura 5.12 Evolução 3D do ansatz ‘sech’ para 2 1.5N

69

Olhando para as figuras 5.12 e 5.13 já é possível começar a descortinar o comportamento do

impulso previsto através da análise dos seus parâmetros. Vemos que para este valor de 2N os

efeitos não-lineares já são relevantes o suficiente para a AMF provocar uma compressão do impulso,

que se traduz num aumento da amplitude, do mesmo. De facto, vemos que a amplitude do impulso é

maior à saída do que à entrada do mesmo, passando de um valor de 1pa à entrada, para

1,265pa , à saída. No entanto, para esta distância de propagação não é possível verificar o

comportamento periódico previsto aquando da análise da figura 5.2. Na verdade, fica a sensação que

o impulso continuaria a aumentar a sua amplitude se não se tivesse parado a distância de

propagação em 2 . Deste modo, considere-se uma distância de propagação de 16 para um

melhor entendimento da propagação do impulso nestas condições

De facto, através da observação da figura 5.13 consegue-se observar o comportamento

periódico do impulso previsto pela análise da evolução do seu factor de alargamento. Vemos que os

“mínimos” da figura 5.2, correspondentes a uma compressão do impulso correspondem aos “picos”

da figura 5.13, uma vez que pela Lei da Conservação de Energia a compressão do impulso leva a um

aumento da sua amplitude. É, ainda, interessante verificar que para estes valores de 2N o impulso

começa a ter um comportamento parecido ao solitão de segunda ordem estudado no anexo C.

Figura 5.13 Evolução 3D do ansatz ‘sech’ para 2 1.5N , para 16

70

5.3.2 SSFM

Figura 5.14 Propagação de um impulso ‘sech’, com SSFM, para 2 1.5N

Tal como na situação anterior também aqui o SSFM produz uma aproximação coerente dos

resultados obtidos através do Método dos Momentos. Ainda assim, já se nota algumas discrepâncias,

entre os dois métodos, no valor da amplitude no final da fibra, consequência dos maiores efeitos não-

lineares que se fazem sentir, nesta situação.

Figura 5.15 Evolução de um impulso ‘sech’, com SSFM, 2 1.5N

71

Ao estudar o caso 2 1.5N verificou-se uma situação interessante. Na tentativa de se

demonstrar o comportamento periódico do impulso, verificado na figura 5.13 aumentou-se a distância

de propagação para 16 . No entanto, o tempo de computação do gráfico do impulso através do

SSFM era demasiado grande, o que tornou a simulação dessa situação incomportável. Assim sendo,

optou-se por se apresentar um gráfico com uma distância de propagação de 8 , suficiente para se

observar o comportamento periódico do impulso mas com um tempo de computação inferior à

situação referente a 16 . No entanto, também para 8 , se verificou um tempo de computação

bastante elevado e pouco prático. Tal situação vai de encontro ao avançado no capítulo 2, aquando

da introdução do Método dos Momentos e demonstra de uma maneira prática a vantagem da

utilização dum método semi-analítico em relação a um método numérico.

Na figura 5.16 já se começa a ver o comportamento periódico do impulso para 2 1.5N , no

entanto, vemos que o segundo máximo ficou cortado a meio. Nesta figura já é possível começar a

verificar as discrepâncias entre o SSFM e o Método dos Momentos para valores significativos de

efeitos não-lineares. Comparando esta simulação com a obtida na figura 5.13 vemos que os máximos

do impulso, apesar de ocorrerem em zonas semelhantes da fibra, têm valores de amplitude bastante

distintos, existindo uma compressão claramente maior quando se utiliza o Método dos Momentos.

Figura 5.16 Evolução de um impulso ‘sech’, com SSFM, para 2 1.5N , para 8

72

5.4 𝑵𝟐 = 𝟐


Vemos que o ansatz tem um comportamento análogo a um solitão de segunda ordem, tendo

“picos” de amplitude periódicos. No entanto, vemos que o período é diferente do observado na figura

C.2, referente ao solitão de segunda ordem. Além disso, podemos observar que a própria amplitude

dos “picos” é significativamente diferente da obtida na figura C.2. Assim, tal como foi concluído no

capítulo anterior, também para um ansatz secante hiperbólica o Método dos Momentos vai perdendo

validade à medida que os efeitos não-lineares se tornam mais significativos.

5.5 Avaliação Numérica

Por fim, se fizermos uma comparação entre o Método dos Momentos e o SSFM para um

impulso do tipo ‘‘sech’’ temos que

Valor da amplitude do Impulso à saída da fibra (𝜁 = 2)

Método dos Momentos SSFM

𝑁 = 0 0,7175 0,7855

𝑁2 = 0.5 0,8668 0,8243

𝑁 = 1 1,000 1,000

𝑁2 = 1.5 1,265 1,278

Tabela 5.1 Comparação entre o Método dos Momentos e o SSFM, no caso ‘sech’

Figura 5.17 Evolução 3D do ansatz ‘sech’ para N = 2

73

Analisando a tabela podemos verificar que, no geral, o Método dos Momentos é bastante

concordante com o SSFM. Uma inferência interessante é verificar que quando os efeitos não-lineares

são menos expressivos a concordância entre os dois métodos é menor, aumentando a concordância

entre os dois métodos à medida que os efeitos não-lineares aumentam, até um certo ponto. Ou seja,

em valores próximos de 1N , o Método dos Momentos é uma solução realmente válida, no entanto,

como se viu, se considerarmos 2N , o Método dos Momentos perde a sua precisão uma vez que

os efeitos não-lineares são demasiado intensos.

Comparando com a tabela 4.1, para o impulso gaussiano, vemos que quando os efeitos não-

lineares são menos intensos e estamos mais próximos do regime linear o ansatz gaussiano

proporciona soluções mais precisas. No entanto, ao passarmos para o regime não-linear podemos

verificar que o ansatz referente ao impulso da forma secante hiperbólica torna-se mais exacto que o

gaussiano. Este fenómeno está relacionado com o aparecimento de solitões em fibras ópticas que

são descritos de forma mais adequada pelo impulso secante hiperbólica.

As simulações utilizando o Método dos Momentos recorreram à função de Matlab ode45,

como explicitado nos anexos D e E.

As simulações utilizando o SSFM recorreram a um passo longitudinal de 0,001 e utilizaram

2000 iterações.

5.6 Mapas de Dispersão – Fibras de dispersão variável

Nesta secção apresenta-se uma análise análoga à efectuada na secção 4.6, no entanto,

utilizando um impulso secante hiperbólica em vez de um impulso gaussiano.

5.6.1 2 Troços

Neste primeiro estudo será utilizado um mapa de duas secções com as seguintes

características:

- Impulso à entrada da fibra: 0 10T ps ;

- Coeficiente de não-linearidade no primeiro e segundo troços da fibra: 1

1 1.31W km ,

1

2 5.24W km

- Coeficiente de atenuação no primeiro e segundo troço da fibra:1 0.5db km ,

1 0.2db km

- Coeficiente de Dispersão no primeiro e segundo troço da fibra:1 16 ( . )D ps nmkm ,

2 80 ( . )D ps nmkm

74

5.6.1.1 𝑷𝟎 = 𝟏 𝒎𝑾

Tal como na secção 4.6.1.1., para o impulso gaussiano também aqui vemos que quando a

potência à entrada da fibra tem um valor pequeno o impulso tem um comportamento praticamente

linear. No entanto, existe um menor alargamento do impulso relativamente ao caso gaussiano. Esta

observação vai de acordo com o observado na figura 5.2, uma vez que estamos em valores de 2N

próximos de 0.

5.6.1.2 𝑷𝟎 = 𝟏 𝑾

Figura 5.18 Mapa de dispersão do impulso ‘sech’, 0 1P mW

Figura 5.19 Mapa de dispersão do impulso ‘sech’, 0 1P W

75

Observando a figura 5.19 é fácil verificar que mesmo aumentando a potência mil vezes o

impulso secante hiperbólica continua a ter um comportamento linear, existindo mesmo compensação

total de dispersão, pelo que os efeitos não-lineares não são relevantes nesta situação. Ora, sendo

que para 1 W, 2 6,5N , seria de esperar que os efeitos não lineares se fizessem sentir tal como no

caso gaussiano, na secção 4.6.1.4. Além disso, simulações realizadas anteriormente neste capítulo

mostram um comportamento diferente do impulso secante hiperbólica para valores de 2 1N . No

entanto, vários testes realizados ao Método dos Momentos em situações semelhantes (e não

apresentadas no âmbito desta dissertação por falta de espaço e de relevância para o tópico) mostram

que este estaria bem implementado. Assim, seria necessário um estudo desta situação utilizando o

SSFM para avaliar se o Método dos Momentos devolve um resultado correcto ou começa a falhar.

5.6.2 10 Troços

De modo a avaliar se o Método dos Momentos é uma solução válida após as discrepâncias

observadas na figura 5.19 procedeu-se à simulação do impulso secante hiperbólica num mapa de 10

troços em que se replicou os dois troços da secção 5.6.1. 5 vezes, num total de 300 km de fibra. Esta

simulação pretende esclarecer se os efeitos não-lineares não eram observados na figura 5.19 devido

a uma falha do Método dos Momentos ou se simplesmente a amostra de fibra não era suficiente uma

vez que os efeitos não-lineares são cumulativos.

5.6.2.1 𝑷𝟎 = 𝟐 𝑾

Avaliando a figura 5.20 é possível verificar que continua a existir compensação total de

dispersão no final de cada 2 troços, no entanto, já se começam a observar alguns comportamentos

Figura 5.20 Mapa de dispersão do impulso ‘sech’, 10 troços, 0 2P W

76

não-lineares, nomeadamente, o facto de o impulso não alargar sempre na mesma proporção em

troços de características semelhantes. Isto pode ser um indicador da acumulação de efeitos não-

lineares. Para tal, deve-se aumentar ainda mais a distância de propagação, como se verá na secção

seguinte.

5.6.3 16 Troços

De modo a analisar a hipótese avançada na secção anterior aumentou-se o número de troços

para 16, num total de 480km de fibra, em que se replicou os dois troços utilizados em 5.6.1. 8 vezes.

5.6.3.1 𝑷𝟎 = 𝟏 𝑾

Analisando a figura 5.21, pode-se observar a teoria avançada anteriormente. Os efeitos não-

lineares têm uma natureza cumulativa e apesar de não serem perceptíveis na figura 5.19, na figura

5.21 para o mesmo valor de potência fazem-se sentir devido ao acumular da sua influência ao longo

de vários quilómetros de fibra. Isto é visível pelo facto de a partir de certa altura já não existir

recuperação da largura inicial do impulso. Ainda assim, esta análise deixa algumas questões em

aberto e uma analise a estes mapas de dispersão utilizando o método numérico do SSFM seria a

ferramenta ideal para avaliar a precisão do Método dos Momentos nesta situação.

Figura 5.21 Mapa de dispersão do impulso ‘sech’, 16 troços, 0 1P W

77

6 Conclusões e Trabalho Futuro

6.1 Conclusões

O objectivo desta dissertação era estudar a propagação de impulsos em fibras ópticas

utilizando o método semi-analítico dos Momentos. Pretendia-se abordar as vantagens e

desvantagens deste método, assim como compará-lo a soluções analíticas e numéricas, como o

Split-Step Fourier Method.

Assim, a principal conclusão a retirar-se desta dissertação é que a principal vantagem do

Método dos Momentos em relação a um método numérico é que podemos observar que parâmetro

em específico está a influenciar o comportamento do impulso. Como foi abordado ao longo do

trabalho, existem vários parâmetros que caracterizam um impulso, enquanto uns não tem influência

na maneira como este se propaga outros podem ser responsáveis pelo alargamento ou compressão

do impulso assim como a variação da sua amplitude ou ainda da sua periodicidade. Utilizando o

Método dos Momentos podemos apenas manipular alguns desses parâmetros, à vez, e observar que

efeito isso tem no impulso. Fazendo uma analogia, é como se o impulso fosse controlado por um

painel com diferentes “botões” e cada parâmetro fosse um botão. Mexendo nos diferentes “botões”

podemos controlar diferentes aspectos do impulso, levando a uma análise qualitativa bastante

aprofundada do impulso e conseguindo uma melhor percepção física do mesmo.

Por oposição, utilizando um método puramente numérico tem que se estabelecer todos os

parâmetros do impulso à entrada, observando depois o impulso à saída sem termos maneira de

saber que parâmetro influenciou determinado comportamento do impulso. Assim, não existe maneira

de apenas analisar a influência de um parâmetro específico e correlacioná-lo com a influência de

outros parâmetros e com a própria evolução do impulso. Trata-se de um método de força bruta que

não dá uma verdadeira percepção física do que se passa, em diferentes níveis, no impulso.

Além disso, foi possível observar que o método numérico é vastamente mais exigente

computacionalmente, demorando significativamente mais tempo que o Método dos Momentos a

produzir outputs bastante semelhantes. Ou seja, ainda que o SSFM seja mais preciso existem

situações onde não se justifica a sua utilização uma vez que o Método dos Momentos oferece

soluções bastante precisas e mais rápidas.

Por outro lado, se compararmos a abordagem analítica com a abordagem semi-analítica

sobre a qual esta dissertação se debruça vemos que as soluções analíticas são ideais, pois não

existem erros associados, ao contrário do que acontece com métodos semi-analíticos e métodos

numéricos. No entanto, as soluções analíticas são bastante limitadoras, pois existem muitos casos

onde não podem ser utilizadas. A situação mais marcante é o facto da abordagem analítica não poder

ser utilizada no caso do regime não-linear. No entanto, existem também situações, no regime linear,

onde não é possível obter soluções analíticas fechadas, como no caso do chirp para o impulso

secante hiperbólica.

Para além destas conclusões principais existem outras conclusões que podem ser retiradas

das diferentes experiências que foram realizadas ao longo dos capítulos. Nomeadamente, podemos

concluir que a DVG e os efeitos não-lineares têm bastante influência no comportamento dos impulsos.

78

Enquanto no regime linear a influência da DVG é absoluta, não existindo o fenómeno de

Auto-Modulação de Fase, à medida que os efeitos não-lineares são cada vez mais significativos

começa a existir um contra-balanço da AMF em relação à DVG. Assim, enquanto a DVG faz com que

exista um alargamento dos impulsos a AMF contraria este efeito, provocando uma compressão dos

mesmos. Esta dinâmica está intimamente ligada com o aparecimento do chirp nos impulsos e a sua

análise e manutenção é de extrema importância no planeamento de sistemas de comunicação óptica.

Outra conclusão interessante retirada da execução desta dissertação é como as diferentes

formas de impulsos, nomeadamente o impulso gaussiano e o impulso secante hiperbólica, evoluem.

Após extensiva análise destas duas formas de impulso, conclui-se que ambas as formas de impulso

traduzem de forma bastante aproximada a propagação de um impulso numa fibra óptica, ainda que

cada tipo de impulso seja uma representação ideal em condições de propagação diferentes.

Enquanto no caso linear, o impulso gaussiano traduz de forma bastante correcta a

propagação de um impulso numa fibra óptica, existindo mesmo expressões analíticas fechadas para

a evolução dos seus parâmetros, para efeitos não-lineares significativos e para grandes distâncias de

propagação viu-se que o impulso gaussiano tende para a forma do impulso ‘‘sech’’, um

comportamento intimamente relacionado com o aparecimento de solitões nas fibras ópticas, um

mecanismo importante para contrariar os efeitos dispersivos. Deste modo, para situações que os

efeitos não-lineares são mais expressivos um impulso ‘‘sech’’ será mais correcto.

Estas afirmações são suportadas pela comparação entre o Método dos Momentos e o SSFM

uma vez que quando estamos mais próximos do regime linear existe uma maior concordância entre o

Método dos Momentos e o SSFM, para o impulso gaussiano, quando consideramos valores não-

lineares mais elevados vemos que existe uma maior aproximação entre o Método dos Momentos e o

SSFM no caso do impulso ‘‘sech’’.

Concluiu-se ainda que para efeitos não-lineares elevados o Método dos Momentos começa a

perder validade. Quando se aumentou a influência dos efeitos não-lineares nos impulsos foi possível

observar que a concordância entre o Método dos Momentos e o SSFM começava a desaparecer à

medida que os efeitos não-lineares se iam tornando mais significativos. Isto acontece porque

utilizando o Método dos Momentos temos de assumir uma forma para o impulso e que a forma do

impulso não se altera durante a propagação, no entanto, os efeitos não-lineares provocam alterações

na forma do impulso que quando se tornam demasiado significativas fazem com que o Método dos

Momentos perca precisão. Isto significa que o Método dos Momentos é apenas uma boa solução

para quando os efeitos não-lineares não dominam a propagação de um impulso numa fibra óptica.

Porém, isto não é propriamente uma desvantagem, uma vez que em condições reais os efeitos não-

lineares nunca são muito significativos ou não ultrapassam os limites nos quais o Método dos

Momentos é válido, tornando-o uma solução válida e versátil na maior parte das situações com

interesse prático.

Finalmente, foram também analisados diferentes mapas de dispersão. Enquanto na maior

parte da literatura se consideram fibras de dispersão constante, nesta dissertação abordam-se mapas

em que existem troços de fibras com diferentes coeficientes de dispersão. Isto serviu para mostrar de

que modo o coeficiente de dispersão da fibra afecta a zona em que os impulsos se propagam e,

79

como tal, influencia o chirp e a largura do impulso. Mostrou também que para fibras com as mesmas

características impulsos de formas diferentes propagam-se de forma diferente, alargando mais ou

menos em função de se tratar de um impulso gaussiano ou de um impulso secante hiperbólica. Além

disso, esta análise utilizando mapas de dispersão serviu para mostrar de que modo a potência

injectada à entrada da fibra acaba por influenciar o comportamento dos impulsos, sendo que quanto

maior for a potência injectada maior é a probabilidade do aparecimento de efeitos não-lineares.

6.2 Trabalho futuro

Este trabalho serviu meramente como uma introdução ao Método dos Momentos. Pretendeu-

se, aqui, fazer um apanhado do potencial deste método na análise da propagação de impulsos em

fibras ópticas.

No entanto, existem diversos campos de estudo que podem ser ainda explorados na

sequência desta dissertação.

O primeiro seria, sem dúvida, utilizar o Método dos Momentos para o estudo de mais

parâmetros relacionados entre si. Nesta dissertação foram apenas utilizados sistemas de duas

equações diferencias, porém, seria interessante a utilização de sistemas com mais equações

acopladas, na perspectiva de dar uma visão mais aprofundada à relação entre diferentes parâmetros.

Uma aplicação prática deste método seria o estudo do efeito de Raman e de que modo os

diferentes parâmetros do impulso se relacionam entre si para originar este efeito, como avançado em

[20].

Outra proposta seria utilizar o Método dos Momentos considerando os efeitos de ordem

superior que foram desprezados nesta dissertação. Em casos reais estes efeitos estão sempre

presentes e como tal uma análise aos mesmos, utilizando esta abordagem seria de particular

interesse.

Seria também útil a análise de diferentes Mapas de Dispersão apresentados nesta

dissertação utilizando o SSFM de modo a se poder avaliar a precisão do Método dos Momentos

nesses casos, especialmente no caso do impulso secante hiperbólica em regime não-linear, uma vez

que as outras situações apresentam resultados coerentes com outros testes.

O Método dos Momentos poderá também ser utilizado para estudar os efeitos de ruído criado

por amplificadores em sistemas de comunicação óptica.

80

Bibliografia

[1] G. P. Agrawal, Fiber Optic Communication Systems, 4ª Ed , New York: Wiley, 2010, cap. 1, pp. 1-8

[2] K.C. Kao e G. A. Hockham, Proc. IEE, vol. 113, no. 1151, 1966

[3] F.P. Kapron, D. B. Keck, e R. D. Maurer, Appl. Phys. Lett. vol. 17, no. 423, 1970

[4] R. J. Sanferrare, AT&T Tech. J., vol. 66, no. 95, 1987

[5] D. Gloge, A. Albanese, C. A. Burrus, E. L. Chinnock, J. A. Copeland, A. G. Dentai, T. P. Lee, T. Li,

e K. Ogawa, Bell Syst. Tech. J, vol. 59, no. 1365, 1980

[6] T. Miya, Y. Terunuma, T. Hosaka, e T. Miyoshita, Electron. Lett., vol. 17, no. 479, 1981

[7] C. R. Paiva, Fibras Ópticas. IST, 2008

[8] T. Otani, K. Goto, H. Abe, M. Tanaka, H. Yamamoto, e H. Wakabayashi, Electron. Lett,. vol. 31, no.

380, 1995

[9] T. Welsh, R. Smith, H. Azami, e R. Chrisner, IEEE Commun. Mag., vol. 34 (2), no. 30, 1996

[10] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 4ª Ed, Boston: Academic Press, 2007, cap. 3, pp. 53-69

[11] K. R. Nambiar, Lasers: Principles, Types and Applications, 1ª Ed, New Age International (P)

Limited Publishers, 2004, cap.2, pp. 41-44

[12] C. R. Paiva, Solitões em Fibras Ópticas. IST, 2008

[13] V. E. Zakharov and A. B. Shabat, Sov. Phys. JETP, vol. 34, no. 62, 1972

[14] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 4ª Ed, Boston: Academic Press, 2007, cap. 5, pp. 130-132

[15] G. P. Agrawal, Fiber Optic Communication System, 4ª Ed , New York: Wiley, 2010, cap. 9, pp.

416-419

[16] S. N. Vlasov, V. A. Petrishchev, e V. I. Talanov, Radiophys. Quantum Electron. vol. 14, no. 1062,

1971

[17] J. Santhanam, “Applications of the Moment Method to Optical Communications Systems:

Amplifier Noise and Timing Jitter”, Ph. D. dissertation, Dept. Phys and Astron., University of Rochester,

Rochester, NY, 2004

[18] G. P. Agrawal, Fiber Optic Communication Systems, 4ª Ed , New York: Wiley, 2010, cap. 9, pp.

408-413

[19] G.P. Agrawal, “Nonlinear fiber optics: its history and recent progress”, J. Opt. Soc. Am. B, vol. 28,

no. 12, Dez. 2011

[20] J. Santhanam e G. P. Agrawal.(Julho, 2003). Raman-induced spectral shifts in optical fibers:

general theory based on the moment Method. Optics Communication.[Online]. 222. pp. 413-420

[21] S. Lefrancois, C. Husko, A. Blanco-Redondo e B. J. Eggleton, “Nonlinear silicon photonics

analyzed with the moment method”, J. Opt. Soc. Am. B, vol. 32, no. 2, Fev. 2015

81

A. Anexo - Equação da Propagação de Impulsos em Regime Linear

Nesta secção pretende-se fazer o estudo analítico da propagação dos impulsos que se

propagam numa fibra óptica monomodal, em regime linear. Considerando que ( , )A z t é a envolvente

dum impulso que se propaga numa fibra óptica, podemos representar a evolvente do impulso à

entrada da fibra óptica, isto é em 0z (correspondente à entrada na fibra óptica), por 0,A t .

Admitindo que este impulso modula uma portadora de frequência angular 0 , e que está associado

a um campo eléctrico polarizado linearmente segundo 𝑥, sendo a sua equação dada por

ˆ, ,0, , ,0,E x y t xE x y t (A.1)

com,

, ,0, , 0,0

E x y t E F x y B t (A.2)

00, 0, expB t A t i t (A.3)

Sendo o regime monomodal, ( , )F x y representa a variação transversal do modo fundamental

01LP e , B z t a variação longitudinal do campo eléctrico ao longo da fibra óptica [7].

Uma vez que, na análise realizada, se consideram fibras ópticas com um contraste dieléctrico

muito pequeno, ou seja, Δ 1 , a aproximação dos modos 01LP é aceitável.

De modo, para determinar o campo eléctrico num qualquer ponto 0z , recorre-se à transformada de

Fourier do campo em 0z . Introduzindo

, , exp ,A z A z t i t dt

(A.4)

, , exp ,B z B z t i t dt

(A.5)

E as respectivas transformadas inversas:

1

, , exp ,2

A z t A z i t d

(A.6)

1

, , exp ,2

B z t B z i t d

(A.7)

retira-se das equações A.4 e A.5 que

0, , 0, , 0, E x y E F x y B (A.8)

00, 0, B A (A.9)

A componente ,B z é a componente espectral do impulso que se propaga ao longo da

fibra com uma constante de propagação . Sendo a constante de propagação longitudinal

do modo fundamental tem-se

0, , , , , ,E x y z E F x y B z (A.10)

, 0, expB z B i z (A.11)

82

De acordo com a equação A.11 e usando a transformada de Fourier, tem-se

0

1, 0, exp ,

2B z t A i z t d

(A.12)

Introduzindo o desvio de frequência em relação à portadora,

0Ω (A.13)

vem

0 0

1, exp 0, Ω exp Ω Ω Ω,

2B z t i t A i z t d

(A.14)

A introdução de um desenvolvimento em série de Taylor para 0 Ω reduz a

complexidade do cálculo do integral. Assim sendo,

0 0Ω Φ Ω (A.15)

1

Φ Ω Ω!

mm

m m

(A.16)

em que

0 0 (A.17)

É, assim, possível escrever

0 0, , expB z t A z t i z t (A.18)

1

, 0, Ω exp Φ Ω Ω Ω,2

A z t A i z t d

(A.19)

Para resolver a equação A.19 os coeficientes m têm de ser determinados. Os coeficientes

m , em que m corresponde a um número inteiro ( 1, 2, )m , são dados por

0

m

m m

(A.20)

Em particular,

1

0

1

gv

(A.21)

0

2 2

0

1 g

g

v

v

(A.22)

onde,

1

gv

(A.23)

representa a velocidade de grupo. 1 corresponde ao inverso da velocidade de grupo; ao coeficiente

2 dá-se o nome de coeficiente da Dispersão da Velocidade de Grupo (DVG) e a 3 chama-se

coeficiente da dispersão de ordem superior. O estudo destes termos é de particular importância uma

vez que são eles os responsáveis pelo alargamento de impulsos.

Seguidamente devemos calcular , A z t a partir de 0, A t . Para isso há que calcular a

equação , A z t .

83

Definindo, com ( 1, 2, )m ,

1

, Ω 0, Ω , ; Ω Ω2

m

mA z t A Q z t d

(A.24)

em que,

, ; Ω exp Φ Ω exp ΩQ z t i z i t (A.25)

Temos então

1

, !

m

m

m

Ai A z t

z m

(A.26)

Considerando perdas na fibra a equação anterior deve ser reescrita, sendo apresentada na

equação seguinte, onde 𝛼 representa o coeficiente de atenuação de potência.

1

, , ! 2

m

m

m

Ai A z t A z t

z m

(A.27)

Uma vez que ( , )mA z t deve ser determinado devemos derivar a equação correspondente em

ordem a t . Assim, obtém-se

1 , A

iA z tt

(A.28)

2

22,

AA z t

t

(A.29)

3

33,

AiA z t

t

(A.30)

4

44,

AA z t

t

(A.31)

Generalizando, tem-se

2 ,m

m

mm

Ai A z t

t

(A.32)

Obtém-se assim

1

1

0! 2

m m

m mm

A i AA

z m t

(A.33)

Esta equação diferencial linear permite calcular , A z t a partir de 0, A t

De uma maneira geral, os impulsos são de banda estreita 2 o , logo é possível

considerar a truncatura dada pela equação seguinte, desprezando todos os restantes termos de

ordem superior

2 3

1 2 3

1 1Φ Ω Ω Ω Ω

2 6 (A.34)

Assim, a equação A.34 reduz-se a

2 3

1 2 32 3

1 10

2 6 2

A A A Ai A

z dt dt dt

(A.35)

84

B. Anexo - Equação da Propagação de Impulsos em Regime Não-Linear

B.1. Efeito Kerr

Apesar de o processo para determinar a equação de propagação de impulsos em Regime

Não-Linear ser semelhante ao que foi feito para o Regime Linear existem algumas diferenças. A

dificuldade no Regime Não-Linear surge no facto de aparecerem novas frequências pelo que a

mesma metodologia não pode ser utilizada. Deste modo, é extremamente importante compreender o

Efeito de Kerr. O Efeito de Kerr foi descoberto em 1875 por John Kerr e representa a mudança do

índice de refracção de um material em resposta a um campo eléctrico que lhe é aplicado [11]. Este

efeito é um dos mais importantes para obter solitões e é representado como as não-linearidade na

Auto-Modulação de Fase (AMF).

O Efeito de Kerr origina uma fase não-linear representada por

NL int P t (B.1)

onde é o parâmetro de não-linearidade dado por

'

2

2

0

n

w

(B.2)

onde é o comprimento de onda, 2

0w é o spot-size na forma Gaussiana e '

2n é dado por [12]

' 0

2 2

0

n n

(B.3)

é o comprimento efectivo e é definido por

1

1 exp L

(B.4)

e inP é a potência de entrada e relaciona-se com a potência P ao longo da fibra através de

, expinP z t P t z (B.5)

de referir que representa o coeficiente de atenuação e o comprimento da fibra.

Num impulso o desvio da frequência instantânea local da sua portadora provocado pela AMF

é dado por

inNL

dP tdd t

dt dt

(B.6)

Na frente do impulso temos

0 0indPd t

dt (B.7)

e assim é possível concluir que leva a um desvio para o vermelho. De maneira análoga, na cauda do

impulso temos

0 0indPd t

dt (B.8)

pelo que a cauda do impulso sofre um desvio para a zona azul.

Considerando a explicação dada no capítulo anterior sobre a contracção de impulsos, quando

temos 2 0C é possível obter

85

0

2 2

0

1 g

g

v

v

(B.9)

Considerando a zona anómala onde 2 0 temos

0

0gv

(B.10)

Assim, as frequências mais altas irão viajar mais rápido que as frequências mais baixas.

Verifica-se assim que, devido à DVG, existe um desvio para o azul na frente do impulso e um desvio

para o vermelho na sua cauda – precisamente o contrário do efeito provocado pela AMF. Deste modo,

na zona de dispersão anómala, os efeitos da DVG e da AMF têm uma acção antagónica. É por esta

razão que, quando 2 0 , é possível (como se verá adiante) a propagação de solitões (de primeira

ordem) – isto é, de impulsos que conservam a sua forma ao longo da propagação. Na zona de

dispersão normal, em que 2 0 , só se podem propagar solitões escuros ou topológicos. Aos

solitões que ocorrem na zona de dispersão anómala chamam-se também, por oposição, solitões

claros – embora seja mais frequente designá-los simplesmente por solitões.

Na prática, a AMF é uma espécie de chirp, mas este chirp aumenta de magnitude com a

distância percorrida, ou seja, novas componentes de frequência são geradas continuamente à

medida que o impulso se propaga ao longo da fibra. A magnitude do chirp induzido pela AMF

depende da forma do impulso.

O aumento do número de componentes de frequência leva a um alargamento espectral do

pulso, uma consequência indesejável porque não só aumenta a largura de banda do sinal mas

também distorce a forma do impulso quando efeitos dispersivos não estão incluídos.

B.2. Equação da Propagação de Impulsos em Regime Não-Linear

No Regime Linear como se viu anteriormente tem-se

, Ω 0, Ω , ΩA z A f z (B.11)

em que

, Ω exp Φ Ω exp2

f z i z

(B.12)

1

Φ Ω Ω!

mm

m m

(B.13)

e onde é a constante de atenuação (de potência). Na prática desprezam-se sempre os termos de

ordem 4m e escreve-se

2 3

1 2 3

1 1, Ω exp Ω Ω Ω exp

2 6 2f z i z z

(B.14)

De acordo com [12] deve-se introduzir uma nova amplitude , Q z t que se escreve como

, ; Ω 0, Ω , ; ΩQ z t Q g z t (B.15)

Com

86

0

, ; Ω , Ω exp ,

z

g z t f z i t d

(B.16)

De acordo com [12]

2

0

, ; Ω , Ω exp ,

z

g z t f z i Q t d

(B.17)

tendo-se, pela regra de Leibniz,

2 2

0

, ,

zd

Q t d Q z tdz

(B.18)

Apesar de a envolvente , Q z t variar com o tempo, essa variação, é, contudo, lenta, pelo que

se pode desprezar, tendo-se assim

2

, dQ

R z t i Q Qdz

(B.19)

onde,

2 3

1 2 32 3

1 1,

2 6 2

Q Q QR z t i Q

t t t

(B.20)

representa a parte linear da equação.

Utilizando as variáveis normalizadas – introduzidas no capítulo anterior, aquando da

propagação em Regime Linear – tais que,

D

z

L (B.21)

1

0

t z

T

(B.22)

podemos concluir,

2 3

2

2 2 3

1 Γ( )

2 2D

Q Q Qi sgn k i L Q Q Q

t

(B.23)

em que,

3

2 06k

(B.24)

Γ DL (B.25)

Introduzindo, uma nova amplitude normalizada, ou seja, adimensional, , U tal que

0

, ,

QU

P

(B.26)

onde 0P é a potência de pico incidente, deste modo, é possível reescrever a equação na forma

2 3

22

2 2 3

1 Γ( )

2 2

U U Usgn ik N U U i U

(B.27)

em que

2

0

D

D

NL

LN L P

L (B.28)

87

onde se introduziu o comprimento não-linear, tal que

0

1NLL

P (B.29)

De notar ainda que o coeficiente N é dado pela expressão

'

2 0

0

2

2 n PN T

A

(B.30)

ou, pela aproximação gaussiana,

'

0 2 0

0 2

T n PN

w (B.31)

Por vezes, é também útil introduzir a amplitude normalizada , u tal que,

, , u NU (B.32)

Com esta nova amplitude a equação escreve-se na forma

2 3

2

2 2 3

1 Γ( )

2 2

u u usgn u u i u ik

(B.33)

As equações B.27 e B.33 são as equações de propagação de impulsos em regime não-linear,

em fibras ópticas (regime monomodal). Deve-se, no entanto, fazer a ressalva que estas equações

não contemplam efeitos não-lineares de ordem superior, tais como o efeito de Raman ou self-

steepening. Assim, estas equações não são aplicáveis a impulsos ultra-curtos (com durações na

ordem dos femtosegundos).

Podemos reduzir a equação B.33 à forma canónica da equação não-linear de Schrödinger, ou

Non-Linear Schrödinger Equation (NLS), desde que se desprezem as perdas, Γ 0 , e a dispersão de

ordem superior, 0k . Assim, obtém-se

2

2

2 2

1sgn( ) 0

2

u ui u u

(B.34)

88

C. Anexo - Solitões em Fibras Ópticas

Considerando a propagação de impulsos na região anómala, onde podem ocorrer solitões

claros, ou seja, 2 0 , podemos considerar

2sgn( ) 1 , ficando a equação não-linear de

Schrödinger na forma

2

2

2

10

2

u ui u u

(C.1)

O método analítico mais geral para estudar as soluções desta equação é o Método Inverso da

Dispersão ou IST(Inverse Scattering Theory) introduzido em 1972 por Zakharov e Shabat [13]. Este

método encontra-se descrito e aplicado em detalhe em [14]. No entanto, não será considerado no

âmbito desta dissertação, utilizando-se um outro método mais usual, o Split-Step Fourier

Method(SSFM).

A solução consiste em assumir que existe uma solução do tipo

, exp , u V i (C.2)

Para a equação C.1 onde V é independente de para representar um solitão fundamental

cuja forma se mantém inalterada durante a propagação. Por sua vez, a fase pode depender de

e de . Aplicando a equação C.2 na equação C.1, obtém-se duas equações para V e . A equação

da fase mostra que pode ser da forma

, K (C.3)

onde K e são constantes. Considerando que não existe mudança de frequência e, como tal, 0 ,

Da C.3 pode-se escrever que a fase K . Assim, pode-se verificar que a função V satisfaz a

equação diferencial não-linear

2

2

22

VV K V

(C.4)

Esta equação não-linear pode ser resolvida multiplicando a equação C.3 por 2dV

d

e

integrando em .

2

2 42dV

KV V Cd

(C.5)

Onde C é uma constante de integração.

Aplicando as condições de fronteira em que V e dV

d são iguais a 0 quando chega-se

a 0C .

Considerando a condição de que o pico do solitão ocorre em 0 , 1V e 0dV

d obtém-se

1

2K e, por consequência,

2

.

Tendo obtido os valores de C e de K , aplicando-os em C.5 e integrando, obtém-se

sechV , substituindo em C.2 vem

89

, sech exp2

u i

(C.6)

C.1. Simulação numérica da equação NLS: Split-Step Fourier Method

O Split-Step Fourier Method (SSFM) é o método mais utilizado na literatura para a resolução

das equações não linear de propagação de impulsos em fibras ópticas. Nesta secção vai-se

desenvolver em que consiste o método no contexto da resolução numérica da equação (NLS).

Começando por escrever a NLS na forma compacta

, u

D N u

(C.7)

em que os operadores D ,representando a dispersão e N , representando os efeitos não-lineares

estão definidos no domínio da variável , sendo dados por

2 3

2 2 3sgn( ) ,

2

iD k

(C.8)

2Γ

2N i u (C.9)

Admitindo que o operador N não depende da variável , o que não é totalmente verdade

uma vez que , u u , pode-se, no entanto, dizer que a variação de u com é desprezável, algo

inteiramente válido para o solitão fundamental quando Γ 0 . Assim, sendo 0u o impulso incidente

na fibra a solução da equação NLS será

0, expu D N u (C.10)

de onde se infere que

, exp , u h h D N u (C.11)

A equação anterior configura, assim, um esquema iterativo de passo longitudinal ℎ que

permite ir do inicio da fibra em 0 até ao fim em L

D

L

L . O número de iterações será tanto

maior quanto menor for o tamanho do passo.

Considere-se, agora, dois operadores A e B . Define-se o comutador destes operadores

com

, A B AB BA (C.12)

Recorrendo à fórmula de Baker-Hausdorff estabelece-se que, em geral, se tem

exp exp expA B A B (C.13)

em que

1 1

, , , 2 2

A B A B A B (C.14)

Quando os operadores comutam tem-se 0 e, como tal,

exp exp expA B A B (C.15)

90

Fazendo, A hD e B hN , resulta

, exp exp , u h hD hN u (C.16)

No entanto, os operadores D e N não comutam, pelo que, considerando a equação C.16

tem-se um erro dominante

2

, 2

hD N (C.17)

o que significa que se se utilizar um ℎ suficientemente pequeno é possível manter o erro cometido

dentro de limites aceitáveis. Assim, o SSFM trata-te dum método iterativo que divide o espaço total de

propagação 0 L em pequenos troços elementares de comprimento h .

Deste modo, o SSFM consiste em dois procedimentos consecutivos

, exp , v hN u (C.18)

, exp , u h hD v (C.19)

Embora a equação C.18 seja trivial, o mesmo não se aplica à equação C.19. Com efeito, vem

2

, exp Γ exp , , 2

hv ih u u

(C.20)

No entanto, o mesmo tipo de solução não é directamente aplicável à equação C.19. Define-se então

a transformada de Fourier

, , expv v i d

(C.21)

Nestas condições o operador diferencial D converte-se num operador algébrico D dado que de

acordo com C.8 e C.9

2 3

2sgn( ) ,2

iD ik (C.22)

Assim, em conformidade com a equação C.19, tem-se

, exp , u h hD v (C.23)

ou seja,

2 3

2, exp ( ) exp , 2

hu h i sgn ihk v

(C.24)

Finalmente, para cada iteração, ter-se-á

1

, , exp2

u h u h i d

(C.25)

Note-se que, em termos computacionais, as equações C.21 e C.25 recorrem ao algoritmo

FFT.

C.2. Solitão fundamental

Considerando a equação C.6 como a equação que traduz a evolução de um solitão ao longo

da fibra podemos considerar que à entrada da fibra os impulsos terão a forma

0, sechu N (C.26)

91

onde N é a ordem do impulso. Quando se considera o solitão fundamental, considerar-se-á 1N ,

passando o impulso à entrada da fibra a ter a forma

0 sechu (C.27)

De seguida, apresenta-se a evolução da propagação do impulso ao longo da fibra.

A figura C.1 mostra que o solitão não sofre dispersão e a sua amplitude é a mesma ao longo

da fibra. A forma do impulso não se altera uma vez que os efeitos não-lineares compensam

totalmente os efeitos da DVG. Na verdade, mesmo quando N não é exactamente 1 mas quando está

entre os valores 0.5 1.5N o impulso irá tender para o solitão fundamental para distâncias 1 .

Isto deve-se ao facto de uma das propriedades mais características dos solitões ser a sua

estabilidade contra perturbações [15].

C.3. Solitão de 2ª ordem

A forma do impulso de um solitão de 2ª ordem é tal que

0 2sechu (C.28)

Em baixo, apresenta-se a evolução do impulso de um solitão de segunda ordem.

Figura C.1 Solitão Fundamental

92

A figura C.2 mostra que o solitão de segunda ordem não tende para o solitão fundamental

nem para valores mais elevados de . Este solitão altera as suas características de forma e

amplitude ao longo da fibra, apresentando um comportamento periódico onde a sua forma inicial é

recuperada ao longo da fibra com um período específico. Esse período 0z é igual a

02

Dz L

(C.29)

Isto significa que quando 2

m com 1, 2, m a forma do impulso é igual à forma inicial.

Pode-se dizer que os efeitos da DVG e da AMF são variáveis ao longo do tempo, existindo

troços onde a influência da DVG é dominante e outros onde domina a AMF.

Figura C.2 Solitão de segunda ordem

93

D. Código Matlab para a simulação da evolução dos parâmetros dum ansatz,

utilizando o Método dos Momentos

D.1. Sistema de equações diferenciais ordinárias

function dy=derv_Gauss(z,y,N2)

dy=zeros(size(y));

dy(1)=-y(2)/y(1); dy(2)=-(1+y(2)^2)/y(1)^2+N2/(sqrt(2)*y(1));

D.2. Evolução dos parâmetros

clear all close all

N2=0; rhs1=@(z,y) derv_Gauss(z,y,N2); [Z1,Y1]=ode45(rhs1,[0 16],[1 0]);

N2=0.5; rhs2=@(z,y) derv_Gauss(z,y,N2); [Z2,Y2]=ode45(rhs2,[0 16],[1 0]);

N2=1; rhs3=@(z,y) derv_Gauss(z,y,N2); [Z3,Y3]=ode45(rhs3,[0 16],[1 0]);

N2=1.5; rhs4=@(z,y) derv_Gauss(z,y,N2); [Z4,Y4]=ode45(rhs4,[0 16],[1 0]);

plot(Z1,Y1(:,1), Z2,Y2(:,1), Z3,Y3(:,1), Z4,Y4(:,1));

title('Evolução da largura do impulso com a distância: sgn ({\beta}_2) = -

1'); xlabel('\zeta = z / L_D'); ylabel('\eta'); legend('N^2 = 0','N^2 = 0.5','N^2 = 1', 'N^2 = 1.5'); axis ([0 16 -0.5 4]);

figure

plot(Z1,Y1(:,2), Z2,Y2(:,2), Z3,Y3(:,2), Z4,Y4(:,2));

title('Evolução do Chirp com a distância: sgn ({\beta}_2) = - 1'); xlabel('\zeta = z / L_D'); ylabel('Cp'); legend('N^2 = 0','N^2 = 0.5','N^2 = 1', 'N^2 = 1.5'); axis ([0 16 -2 0.5]);

94

E. Código Matlab para a simulação da propagação dum ansatz, utilizando o

Método dos Momentos

clear all close all

t0=5; % Limite da janela temporal Nt=101; % Número de amostras temporais t=linspace(-t0,t0,Nt); % Vector temporal com 'Nt' pontos (Janela temporal)

N2=2; rhs1=@(z,y) derv_sech(z,y,N2); [Z1,Y1]=ode45(rhs1,[0:0.04:4],[1 0]);

for j= 1:1:101;

for i= 1:Nt; U(j, i)= sqrt(Y1(1,1)/Y1(j,1))*sech(t(i)/Y1(j,1))*exp((-

1i*Y1(j,2))*((t(i)/Y1(j,1))^2)); end

end Z1_1=Z1'; [X, Y]= meshgrid(t, Z1_1); mesh(X, Y, abs(U)); title('Propagação do Ansatz Secante Hiperbólico (N = 0) (\zeta = 2)'); axis tight; xlabel('\tau'); ylabel('\zeta'); zlabel('Amplitude do Impulso');

propagação de impulsos em fibras Ópticas utilizando o método … · abordando-se o efeito da...

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