métodos variacionais e soluções periódicas minimizantes para os problemas de kepler, 3 e 4...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

MTODOS VARIACIONAIS E SOLUESPERIDICAS MINIMIZANTES PARA OSPROBLEMAS DE KEPLER, 3 e 4 CORPOS

DER MATEUS DE SOUZASob orientao do professor Cludio Vidal Diaz

Recife, 2005.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

MTODOS VARIACIONAIS E SOLUESPERIDICAS MINIMIZANTES PARA OSPROBLEMAS DE KEPLER, 3 e 4 CORPOS

Dissertao apresentada ao Departamento de Matemtica da Universi-dade Federal de Pernambuco, como parte dos requisitos para obtenodo ttulo de Mestre em Matemtica.

DER MATEUS DE SOUZASob orientao do professor Cludio Vidal Diaz

Recife, 2005.

Sumrio

Introduo 10

1 Resultados bsicos do clculo variacional 12

1.1 Variao de Gteaux e derivada de Frchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Resultados importantes de Anlise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Topologia fraca e Topologia fraca* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Espaos reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3 Espaos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 As equaes de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 O funcional ao do problema dos N-Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Princpio de criticalidade simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Existncia de minimizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.1 Princpio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.2 A semicontinuidade inferior fraca de A . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.3 O problema dos n-corpos e a condio (NC) . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Clculo variacional aplicado ao problema de Kepler 32

2.1 O problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

2.1.1 O funcional ao e o problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.2 Ao das rbitas keplerianas colineares e elpticas . . . . . . . . . . . 38

2.2 O teorema de Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Uma propriedade minimizante das rbitas crculares . . . . . . . . . . 43

3 Clculo variacional aplicado ao problema dos trs corpos 48

3.1 Reduo do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.1 Coordenadas de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.2 O problema planar dos trs corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 A rbita da figura-oito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 O problema de minimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2 A ao reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Excluindo Colises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Clculo variacional aplicado ao problema dos quatro corpos 62

4.1 O problema paralelogramo dos quatros corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.1 O espao de configuraes reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.2 Propriadades de U(,) restrito a shape esfera unitria . . . . . . . . . 66

4.2 Um problema de minimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.1 Existncia de minimizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2 A existncia de minimizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Bibliografia 76

7RESUMO

Nesta dissertao, fazemos uma introduo aos mtodos variacionais no intuito de en-

contrar minimizantes de certos funcionais. Em particular, os minimizantes do funcional ao

, so solues para o problema dos N-corpos desde que no possuam colises. Estudamos os

minimizantes do funcional ao para o problema de Kepler, onde constatamos que as rbitas

circulares minimizam tal funcional. Estudamos tambm, a propriedade minimizante das rbitas

para o funcional ao relativo ao problema dos trs corpos planar com massas iguais. Com

certas restries topolgicas e algumas simetrias fizemos um estudo da rbita da "figura oito",

descoberta por A. Chenciner e R. Montgomery [6], mostrando que os corpos se movem aolongo desta rbita e no colidem. Alm disso, fizemos um breve estudo sobre o funcional ao

relacionado ao problema paralelogramo dos quatro corpos e conseguimos solues peridicas

com certas simetrias.

8ABSTRACT

In this dissertation, we make an introduction to the variational methods with intention of

finding minimum of certain functionals. In particular, the minimum of the action function, are

solutions of the N-body problem if they dont collisions. We study the minimum of the action

functional for the Kepler problem, where we have check that on certain spaces the circular

orbits minimize such functional. Also, we study the minimum property of the orbits for the

relative action functional to the three body planar problem with equal masses. With certain

topological restriction and some symmetries we made a study of the orbit "figure eight", found

by A. Chenciner e R. Montgomery [6], showing that the bodies that move on this orbit dontcollide. Moreover, we made a brief study on the action functional related to the parallelogram

planar problem of the four bodies.

9AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeo a Deus por me proporcionar oportunidades de crescer na vida cada

vez mais. Como no poderia deixar de ser, fico muito feliz e grato a meu pai Joo Mateus

(Joca), minha me Zilda Arajo, meus irmos Edianne e Mateus, bem como tambm avs,Laura (Vozinha), Valdomira (Ded) e Renato (Pai), minha tia Eugnia (tia Geu), meus tios, tias,primos, primas... enfim a toda minha Famlia. claro que no posso esquecer de minha noivaquerida Marta (Zuga) que sempre me deu fora mesmo antes de ser minha namorada(ela estavaprevendo).

Agradeo ao professor Cludio Vidal por sua orientao, dedicao, disponibilidade, amizade,

pacincia e tambm por ter aceitado me orientar sem mesmo ter sido meu professor at ento.

Devo gratido ao professor Csar Castilho pela co-orientao e por sua amizade, conselhos,

dicas... . A todos os professores do Dmat que contriburam direta ou indiretamente para minha

formao. No posso esquecer do professor Claudianor Alves que aceitou participar de minha

banca e me ajudou bastante tendo pacicia de me ouvir algumas vezes e por ter dado sugestesque enriqueceram o trabalho.

Agradeo aos meus colegas Almir, Fbio, Naldisson, Adson, Ricardo, Renata, Ktia, Hlio,

Davi, Steve, Luiz, Rodrigo, Cludio Cristino (o homem das figuras) e muitos outros pois se eufosse colocar todos aqui no iria ter quem conseguisse carregar minha dissertao.

Agradeo a Tnia (UFPE), Andiara (UEFS) pelo apoio e competncia nas secretarias e atodos os professores da UEFS que me deram fora e direta ou indiretamente contriburam para

minha formao.

Ao Cnpq pelo apoio financeiro.

Introduo

O objetivo principal desta disssertao encontrar solues peridicas atravs de mtodosvariacionais para o problema dos 3 e 4 corpos, que consiste em estudar o movimento de 3 e 4

partculas submetidas unicamente a ao de suas atraes gravitacionais.

Em 1767, Euler [8] obteve trs solues particulares para o problema dos trs corpos, asquais tm uma configurao colinear a cada instante e em 1772, Lagrange [12] mostra a ex-istncia de mais duas solues particulares, as quais formam um tringulo equiltero a cada

instante. Outra soluo particular para o problema dos trs corpos foi encontrada em 2000 por

A. Chenciner e R. Montgomery [6] onde, considerando os corpos com massas iguais, mostraramatravs de mtodos variacionais, que os corpos se movem em uma rbita com a forma de uma

"figura-8"sem colidir um com o outro. Para mostrar a no coliso entre os corpos, A. Chenciner

e R. Montgomery utilizaram mtodos numricos. Em 2001, Kuo Chang-Chen [5] conseguiuanaliticamente a prova da no coliso entre os corpos.

No captulo 1 comeamos com a definio da variao de Gateaux e de derivada de Frchet.

Em seguida enunciamos alguns resultados de anlise funcional, que sero utilizados no decor-

rer da dissertao . Deduzimos as equaes de Euler-Lagrange e fazemos uma relao entre

os minimizantes do funcional ao para o problema dos N-corpos e suas solues , alm de

caracterizar tal funcional. Utilizamos o princpio de criticalidade simtrica de Palais, princpio

este que ajuda a encontrar minimizantes de funcionais sobre certos espaos. Trabalhamos comuma condio sobre os espaos onde o funcional est definido, chamada de condio (NC),

para obter a coercividade do funcional ao .

No captulo 2 estudamos o problema de Kepler, onde deduzimos as Leis de Kepler e fazemos

uma relao entre o funcional ao com tal problema. Deduzimos o valor da ao das rbitas

11

Keplerianas colineares e elpticas, onde provamos o Teorema de Gordon [9], no qual mostramosa propriedade minimizantes das rbitas elpticas, em particular das rbitas circulares.

O captulo 3 dedicado ao problema planar dos trs corpos. Introduzimos as coordenadas

de Jacobi e o fibrado de Hopf, que so de grande importncia para a reduo do problema. No

caso de massas iguais, mostramos que um minimizante do funcional ao sobre um espao com

certas restries topolgicas uma soluo para o problema planar dos trs corpos. dedicadotambm uma seo para provar a no existncia de coliso entre os corpos que se movimentam

ao longo de tal soluo , a qual tem uma rbita no formato do nmero oito.

No quarto captulo fazemos um breve estudo do problema paralelogramo dos quatros corpos

relacionando-o com o funcional ao . Neste estudo exibimos espaos em que o funcional ao

atinge o mnimo que, desde que nunca se anule, ser soluo para o problema (paralelogramo)dos quatro corpos alm da periocidade da soluo .

Esta dissertao teve como base de estudo vrios artigos de pesquisa, entre eles os devido a

Kuo Chang-Chen ([4], [5]) e a A.Chenciner e R. Montgomery ([6]).

Captulo 1

Resultados bsicos do clculo variacional

Neste captulo, vamos introduzir alguns conceitos bsicos do clculo variacional bem como

alguns resultados importantes de Anlise Funcional. Resultados estes que sero de grande

importncia para a obteno de teoremas que sero demonstrados nesta dissertao . Podemos

olhar o clculo variacional como o clculo diferencial no espao de funes onde tentaremos,

sobre espaos apropriados encontrar curvas que minimizem certos funcionais.

1.1 Variao de Gteaux e derivada de Frchet

SejaX um espao de Banach com a norma (denotaremos este par simplesmente por(X , )) e F :X R{} um funcional. Se F(x) < e existe um funcional linear L emX tal que

lims0

1s{F(x+ sh)F(x)L(sh)}= 0, (1.1)

para todo hX tal que o limite exista, ento xF(h) := L(h) chamada Variao de Gteauxde F emX na direo de h X .

A Variao de Gteaux est bem definida pois se existir L1,L2 que satisfazem (1.1), entoL1(h) = L2(h), para todo h X tal que o limite exista. De fato, sejam L1 e L2 funcionaislineares tais que

lims0

1s{F(x+ sh)F(x)}= L1(h) (1.2)

1. Resultados bsicos do clculo variacional 13

e

lims0

1s{F(x+ sh)F(x)}= L2(h). (1.3)

Assim pela unicidade do limite temos que L1(h) = L2(h), para todo h X tal que o limiteexista.

Fixado x X , o sub conjunto x = {h X / xF(h)} de direes cuja variao deGteaux existe em x chamado espao das variaes admissveis de X . Note que x um

subespao vetorial deX . Com efeito, dados , R e h1,h2 x temos, pela linearidade deL, que:

L(h1)+L(h2) = L(h1 +h2).Ou seja, h1 +h2 x.

A funo xF : x R tal que para cada h associe xF(h) chamada de Variao deGteuax de F em x no espao de variaes admissveis deX . Se x =X , xF chamada dederivada de Gteaux de F em x.

Observao 1.1 Note que, desde que s R (suficientimente pequeno), podemos pensar numafuno real

s F(x+ sh)

e logo, se existe a variao de Gateaux de F em x na direo h, devemos ter

xF(h) =ddsF(x+ sh)|s=0.

Sejam F eX como definidos anteriormente. F dita diferencivel no sentido de Frchet emx X , se F(x)< e se existe um funcional linear limitado L emX , denotado por DF(x), talque

lim||h||0

1||h|| {F(x+h)F(x)L(h)}= 0 (1.4)

Se DF(x) = 0, ento x chamado ponto crtico de F . Se X0 X um subespao ousubvariedade deX e DF(x) = 0 como um funcional linear em TxX0, ento x chamado ponto

crtico de F emX0.

Propriedades:


1. Note que se F diferencivel no sentido de Frchet em x X , ento existe a derivadade Gteaux de F em x. De fato sendo F diferencivel no sentido de Frchet,

lim||h||0

1||h|| {F(x+h)F(x)L(h)}= 0 (1.5)

ou seja,

lim||sh||0

1||sh|| {F(x+ sh)F(x)L(sh)}= lims0

1s{F(x+ sh)F(x)L(sh)} . (1.6)

Assim DF(x) = xF .

2. Se X um espao de Hilbert com produto interno X , ento pelo Teorema da

Representao de Riez existe um nico elemento em X , denotado por F(x), tal queDF(x)(h) =< F(x),h >X para todo h X .F(x) chamado de X -gradiente de Fem x.

Lema 1.1 Sejam F,X ,x como definidos anteriormente. Suponha que F, restrito a um sub-conjunto X0 de X , tem um extremo finito relativo X em X0, e que existe um subconjuntobalanceado1 de x satisfazendo x+X0 ento xF(h) = 0 para h .

Demonstrao. Suponha sem perda de generalidade que x seja um ponto de mnimo relativode F |X0 . Ento para |s|< 1 , h , temos que x sh X0 pois balanceado e como xF linear temos que:

xF(h) 1s{F(x+ sh)F(x)xF(sh)} (1.7)

xF(h) 1s{F(x sh)F(x)xF(sh)} . (1.8)

Logo de (1.7) e (1.8) temos que xF(h) 0 e xF(h) 0 . Assim xF(h) = 0.

1.2 Resultados importantes de Anlise Funcional

Nesta seo apresentaremos alguns resultados importantes de Anlise Funcional que sero

utilizados nas demonstraes de alguns resultados (lemas, teoremas e preposies) dessa dis-sertao.

1Um conjunto C dito balanceado se dado x C e R tal que || 1 tem-se x C


Teorema 1.1 (Teorema de Banach-Steinhaus) Seja E um espao de Banach eF uma famliade transformaes lineares limitadas de E em um espao normado F. Suponha que para cadax E, {T xY ;T F} limitada. Ento {T;T F} limitada.

Demonstrao. Veja [17], pgina 81.

1.2.1 Topologia fraca e Topologia fraca*

Sejam E um espao de Banach, E seu dual. Defina para cada f E

f : E R

a aplicao:

f (x) = f (x).

Quando f percorre E obtemos uma famlia { f } fE de aplicaes de E em R.

Definio 1.1 A topologia fraca, denotada por (E,E ), a topologia menos fina (possuimenos abertos), tal que todas as aplicaes { f } fE sejam contnuas, isto , esta topologiatem como subbase todos conjuntos da forma f1(I) onde I um aberto de R (topologia usual)e f um funcional linear de E em R. Isto significa que os abertos dessa topologia so dadospor intersees finitas de conjuntos dessa forma.

Notao: Seja {xn} uma seqncia em E. Denotamos por xn x a convergncia de xn a xna topologia fraca . O elemento x chamado de limite fraco de {xn} e dizemos que xn convergefracamente a x. Caso xn n x, isto , ||xn x|| 0 quando n , dizemos que xn convergefortemente para x.

Lema 1.2 Seja {xn} uma seqncia fracamente convergente no espao normado E. Ento:

(a) O limite fraco x de {xn} nico;

(b) Toda sub-sequncia de {xn} converge fracamente para x;

(c) A sequncia {||xn||} limitada.



Definio 1.2 Seja F um subconjunto de E. Dizemos que F fracamente fechado se dadaxn F, com xn x ento x F.

Lema 1.3 Seja {xn} uma sequncia no espao normado E. Ento:

(a) Se {xn} converge fortemente, ento converge fracamente para o mesmo limite;

(b) Se a dimenso de E for finita, a recproca de (a) verdadeira.


Definio 1.3 Dizemos que um funcional linear F : E R, fracamente semicontnuo infe-rior se dada xn x, F(x) liminf

n F(xn).

Lema 1.4 Seja {xn} uma sequncia em E. Ento as seguintes afirmaes so verdadeiras:

(a) Se xn x em (E,E ) ento||x|| liminf

n ||xn||.

Ou seja, a funo norma fracamente semi-contnua inferior;

(b) Se xn x em (E,E ) e fn f fortemente em E (i.e, || fn f || 0), ento fn(xn) f (x).


Definio 1.4 Sejam E e F espaos de Banach. Um operador T L (E,F) dito compacto separa toda sequncia limitada {xn} E, {T (xn)} possui uma subsequncia convergente em F

Teorema 1.2 Seja T : E E um operador compacto e {xn} uma sequncia fracamente con-vergente a x. Ento {T (xn)} converge fortemente para T (x).


Vamos agora definir uma topologia particular sobre E , a topologia fraca*, denotada por

(E ,E). Para cada x E considere a aplicao x : E R definida por

x( f ) = f (x).

Quando x percorre E, obtemos uma famlia de aplicaes {x}xE de E em R.


Definio 1.5 A topologia fraca*, denotada por (E ,E) a topologia menos fina sobre E ,de tal forma que todas as aplicaes {x}xE sejam contnuas.

Teorema 1.3 (Banach-Alaoglu-Bourbaki) A bola unitria em E i.e, BE = { f E ; || f || 1} compacta na topologia fraca* (E ,E).


1.2.2 Espaos reflexivos

Seja E um espao de Banach e seja a injeo cannica de E em E (E representa o bidual).Dizemos que E reflexivo se (E) = E . Por exemplo, todo espao de Hilbert reflexivo (Veja[11], pgina 242).

Lema 1.5 Seja E um espao de Banach. Ento E reflexivo se, e somente se E reflexivo.

Demonstrao. Veja [2], pg 45.

Teorema 1.4 (Eberlein-Smuliam) Seja E um espao de Banach reflexivo e seja {xn} uma se-quncia limitada em E. Ento existe uma subsequncia {xnk} de {xn} que converge na topolo-gia fraca (E,E ).


1.2.3 Espaos de Sobolev

Seja I = (a,b) um intervalo aberto (limitado ou no) e seja p R com 1 p .

Definio 1.6 O espao de Sobolev W 1,p(I) definido como:

W 1,p(I) ={

u Lp(I) : g Lp(I) tal que

Iu =

Ig C1c (I)

}.


Para cada u W 1,p(I) se denota u = g.

Se representa

H1(I) =W 1,2(I) = {x : x absolutamente contnua e x L2}.

Denotaremos W 1,p(I),H1(I),Lp(I) por W 1,p,H1,Lp respectivamente.

Observao 1.2 Na definio de W 1,p diz-se que uma funo teste. Pode-se utilizar tantoC1c quanto Cc como conjunto de funes teste. Para maires detalhes, veja [2].

Observao 1.3 Note que se u C1 Lp e se u Lp (aqui u denota a derivada no sentidousual), ento u W 1,p. Alm disso a derivada usual de u coincide com a derivada de u nosentido de W 1,p.

Notaes : O espao W 1,p est dotado da norma

uW 1,p = (upLp +upLp)1/p.

O espao H1 um espao de Hilbert dotado do produto interno

u,vH1 = u,vL2 + u,vL2

com a norma associada

uH1 = (uL2 +uL2)12 .

A norma acima equivalente norma do espao de Sobolev W 1,2(ver [2], pgina 121) .

Proposio 1.1 (a) O espao W 1,p um espao de Banach para 1 p ;

(b) O espao W 1,p reflexivo para 1 p ;

(c) O espao H1 um espao de Hilbert separvel.


Teorema 1.5 Seja uW 1,p com 1 p



Teorema 1.6 Existe uma constante C (dependendo apenas da medida de I que ) tal queuL(I) CuW 1,p(I), para todo u W 1,p(I),1 p . De outra forma W 1,p(I) L(I)com injeo contnua para todo 1 p . Alm disso, quando I limitado se verifica:

(a) A injeo W 1,p(I)C0(I) compacta para todo 1 p .

(b) injeo W 1,1(I) Lq(I) compacta para todo 1 q .


1.3 As equaes de Euler-Lagrange

Nesta seo vamos trabalhar com um funcional que possui uma forma determinada. SejaT > 0 e considere o funcional

F(x) = T

0f (x(t), x(t), t)dt, (1.9)

onde x X = H1([0,T ],Rn) e f : Rn Rn R R limitada e C2 num aberto da formaRnR RnRnR. Vamos assumir que :

x H1([0,T ],), e que x f (x(t), x(t), t) C0([0,T ],Rn). (1.10)

Sendo x C1([0,T ],Rn) temos que f (x, x, t) C1 em x, pois estamos assumindo que f C2num aberto da forma RnR RnRnR.

Seja h C1([0,T ],Rn). Para cada s R, |s| suficientemente pequeno x(t)+ sh(t) paratodo t [0,T ] tem-se pelo desenvolvimento em srie de Taylor que

f (x+ sh, x+ sh, t) = f (x, x, t)+[

x f (x, x, t) h+x f (x, x, t)

h]

s+O(s2). (1.11)

Desde que xH1 e que x f (x, x, t) seja contnua, a seguinte funo x(t)= T

0x f (x(), x(),)d

est bem definida. Fazendo integrao por partes em T

0x f (x, x, t) hdt temos:

F(x+ sh)F(x)s

= T

0

[ x f (x, x, t) h+

x f (x, x, t)

h]

dt +O(s)

= x(T ) h(T )+ T

0

[ x f (x, x, t)x(t)

] hdt +O(s).


Note que o integrando da segunda linha contnuo. De acordo com nossas hipteses em (1.10),mostramos que C1([0,T ],Rn) x e que vale a frmula:

xF(h) = x(T ) h(T )+ T

0

[ x f (x, x, t)x(t)

] hdt. (1.12)

Em algumas situaes conveniente considerar as variaes admissveis no conjunto balanceadoda forma:

={

h C1([0,T ],Rn) : h(0) = h(T ) = 0, sup[0,T ]

|h|< }. (1.13)

Se h , ento a frmula da variao de Gteaux de F dada por:

xF(h) = T

0

[ x f (x, x, t)x(t)

] h dt (1.14)

Por uma outra integrao por partes, agora integrando T

0x f (x, x, t) hdt temos:

xF(h) =x f (x, x, t) h|

T0 +

T0

[ x f (x, x, t)

ddt

x f (x, x, t)

]hdt (1.15)

Logo se h ento a frmula da variao de Gteaux tambm dada por:

xF(h) = T

0

[ x f (x, x, t)

ddt

x f (x, x, t)

]hdt (1.16)

Vejamos agora alguns exemplos onde calculamos a variao de Gteaux:

Exemplo 1.1 Seja o funcional

I(x) = T

0

[a(t)|x(t)|2 +b(t)|x(t)|2]dt, a(t),b(t) C1(R).

Vamos calcular a derivada de Gteaux de I sobre

K = {x H1([0,T ],R),x(0) = x(T )}.

Seja x,y K. Ento x+ sy K para todo s R. Temos que

I(x+ sy) = T

0

[a(t)(x(t)+ sy(t))2 +b(t)(x(t)+ sy(t))2

]dt

= T

0

[a(t)(x(t))2 +b(t)(x(t))2

]dt +2s

T0

[a(t)x(t)y(t)+b(t)x(t)y(t)]

+ s2 2

0

[a(t)(y(t))2 +b(t)(y(t))2

]dt.

Pela observao 1.1 temos que

xI(y) =ddsI(x+ sy)|s=0 = 2

T0

[a(t)x(t)y(t)+b(t)x(t)y(t)] .


Por meio de integrao por partes temos que

xI(y) =ddsI(x+ sy)|s=0 =

T0

[2a(t)x(t)2a(t)x(t)+b(t)u(t)]y(t)dt.

Exemplo 1.2 SejaA (x) =

T0

[m

2|x(t)|2 + |x(t)|

]dt

com x H1([0,T ],C). Se h dado em (1.13), ento por (1.16) temos que a variao deGteaux de A dada por

xA (h) = T

0

[mx x|x|3

]hdt.

Lema 1.6 (Du Bois Reymond) Seja como em (1.13) e > 0 arbitrrio. Se H C1([0,T ],Rn)e T

0H(t) h(t)dt = 0 (1.17)

para todo h , ento existe c R, tal que H(t) = c em [0,T ].

Demonstrao. Seja c = 1T

T0

H(t)dt e h(t) = 1K

t0(H() c)d(), onde K > 0 tal que

sup[0,T ]

|h|< . Ento h e portanto

|H(t) c|2 = K[(H(t) c) h], logo T

0|H(t) c|2dt = K

T0

(H(t) c) hdt = 0. (1.18)

Logo H(t) = c.

Teorema 1.7 Seja F, f ,X , definidos como anteriormente. Suponha que F restrito a umsubconjuntoX0 deX tem um extremo relativo em x, e x+ X0 para algum > 0 ento

ddt

x f (x(t), x(t), t) =

x f (x(t), x(t), t) em [0,T ]. (1.19)

Suponha X0 um subespao ou uma sub-variedade de X tal que x um ponto crtico de F e

x+ X0 para algum > 0, ento vale (1.19).

Demonstrao. Note x e que balanceado. Como x um extremo relativo de F |X0 ,temos que xF(h) = 0 . Mas como h obtemos de (1.14):

xF(h) = T

0

[ x f (x, x, t)x(t)

] h dt = 0 (1.20)


Pelo lema 1.6 segue-se que

x f (x, x, t)x(t) = c ou seja,

x f (x, x, t)

t0

x f (x, x,)d = c. (1.21)

Como x e x f (x, x, t) so diferenciveis em relao a t por causa das hipteses, segue-se de(1.21) que

ddt

x f (x(t), x(t), t) =

x f (x(t), x(t), t) (1.22)

Agora seX0 for um subespao ou uma sub-variedade deX e se x ponto crtico de F emX0,

xF(x) = DF(x), logo vale (1.19).

1.4 O funcional ao do problema dos N-Corpos

Um dos principais problemas estudados pela Mecnica Celeste o problema dos N-corpos

que consiste em entender o movimento de N( 2) massas m1,m2,m3 . . . ,mN em R3 de acordocom a lei da gravitao universal de Newton:

mkxk =

xkU(x), k = 1, . . . ,N (1.23)

onde xk R3 a posio de mk, e

U(x) = 16i< j6N

mim jri j

, ri j = |xi x j|

o potencial Newtoniano.

Vamos considerar o problema dos N-corpos em uma abordagem variacional. Seja V = {x (R3)N : m1x1 + . . .+mNxN = 0} o espao de configuraes, isto , o espao das posies cujocentro de massa encontra-se na origem do sistema de coordenadas e

X = H1([0,T ],V ) =W 1,2([0,T ],V ). (1.24)

O Lagrangiano L(x, x) de x X definido por

L(x, x) = K(x)+U(x) =12

N

j=1

mk|x|2 + 16i< j6N

mim jri j

, ri j = |xi x j|. (1.25)

Ele est definido em quase toda parte uma vez que x seja absolutamente contnua. Seja =V \, onde = {x = (x1, . . . ,xN) (R3)N : xi = x j para algum i 6= j} chamado de conjunto


de colises. Se x(t) para qualquer t [0,T ], vamos supor que x satisfaz as condies em(1.10).

O funcional ao A :X R{+} associado a (1.23) no intervalo de tempo [0,T ] definido por:

A (x) = T

0L(x(t), x(t))dt. (1.26)

Observe que como x H1, A est bem definido. Note tambm que (1.23) corresponde asequaes de Euler-Lagrange do funcional ao. Tambm podemos pensar em L(x,y) como

uma funo no fibrado tangente de V e ela diferencivel em (x,y) exceto quando x . Sex(t) V \ para t [0,T ] , ento existe > 0 pequeno tal que, x(t)+ h(t) V \ para todot [0,T ] e h , onde

={

h C1([0,T ],V ) : h(0) = h(T ) = 0, sup[0,T ]

|h|< }. (1.27)

Logo pelo teorema 1.7, temos que:

Corolrio 1.1 Seja A ,X , como anteriormente. Suponha que exista um extremo relativo xde A no subconjunto X0 de X . Se x+ X0 e x(t) V \ para t [0,T ], ento x(t) uma soluo de (1.23).

Suponha queX0 um subespao ou uma subvariedade deX e x um ponto crtico de A

sobreX0. Se x+ X0 , ento x(t) soluo de (1.23) sempre que x(t) V \.

1.5 Princpio de criticalidade simtrica

Suponha que G um grupo agindo sobre X0 por difeomorfismos atravs da representao

linear : G Di f f (X0), isto , a ao definida sobre GX0 emX0 associa ao par (g,x) GX0 o elemento (g)x X0. Dizemos que F : X R -invariante sobre X0, seF((g)x) = F(x) para todo x X0 e para todo g G. Seja

X

0 := {x X0 : (g)x = x g G} (1.28)

a coleo de elementos -invariante em X0. Note que X 0 um subespao desde que uma representao linear (i.e., (g) um automorfismo linear para todo g G). O conjunto depontos crticos da restrio F |

X

0:X

0 R{+} so chamados -pontos crticos de F em


X0. Vamos mostrar no seguinte teorema que sobre certas condies -pontos crticos so defato pontos crticos de F emX0.

Teorema 1.8 Sejam F,X como em ( 1.9). Considere a restrio de F sobre um subespaoX0deX . Seja G um grupo agindo emX0 atravs da representao ortogonal : GGL(X0).GL(X0) denota o grupo dos automorfismo lineares em X0. Suponha que F restrito a X0 invariante sob a representao e Frchet diferencivel em x X0.

(a) Se x X 0 um -ponto crtico de F em X0, ento x tambm um ponto crtico de FemX0.

(b) Seja f , como em ( 1.10) e ( 1.13). SeX0+ =X0 para algum > 0, ento um ponto-crtico de F emX0 soluo da equao de Euler-Lagrange ( 1.19).

Demonstrao. (a) Denotaremos, por simplicidade, a restrio de F emX0 por F .

Pela -invarincia de F e a regra da cadeia, temos que F Frchet diferencivel em (g)xpara todo g G e

DF(x) = D(F (g))(x) = DF(((g)x)(g).

Seja F(x) o H1-gradiente de F em x . Assim, como (g) ortogonal,

F(x),hH1 = DF(x)h= DF((g)x)((g)(h))

= F((g)x),(g)h)H1= (g)1F((g)x),hH1 g G, h X0.

Logo F equivariante com respeito a , ou seja, (g)F(x) = F((g)x) para todo g G ex X0.

Como x -invariante, ento (g)F(x) = F(x) para todo g G e F(x) X 0 . Sex X 0 um ponto -crtico de F emX0, ento F(x) ortogonal aX 0 . Logo F(x) = 0 eassim x um ponto crtico de F emX0.

(b) segue de (a) e do corolrio 1.1 .


Proposio 1.2 Seja H1 um aberto e F : H1 R um funcional linear. Ento os pontoscrticos de F | so os mesmos pontos crticos de F sobre H1.

Demonstrao. Mostraremos que DF(x) = 0. Seja x um ponto crtico de F |. Ento

DF(x) : Tx R

satisfaz DF(x) h = 0, para todo h Tx. Ou seja, F(x),h= 0 para todo h Tx. Como aberto, Tx = H1. Assim F(x),h= 0 para todo hH1, donde conclumos que DF(x) = 0.

Proposio 1.3 Seja H1 um subespao linear de H1 e F : H1 R um funcional linear.Ento os pontos crticos de F | so os pontos crticos de F sobre H1, desde que DF(x) h =0, h .

Demonstrao. Como um subespao linear, o espao tangente de se identifica com .

Assim,

DF(x) : R.

Como H1 Hilbert,

H1 = .

Logo, se x um ponto crtico de F |, dado qualquer h = h1 +h2 H1 com h1 e h2

temos :

F(x),h = F(x),h1 +h2= F(x),h1+ F(x),h2= F(x),h2= 0,

desde que DF(x) h = 0 para todo h .


1.6 Existncia de minimizantes

1.6.1 Princpio variacional

O funcional ao A = T

0 L(x, x)dt (associado ao problema dos N-corpos) restrito a X =H1([0,T ],V ) no atinge o nfimo emX . De fatoA (x)> 0 para x X . Considere a sequnciax(k)(t) = (x(k)1 (t), . . . ,x

(k)N (t)) (R3)N definida por

x(k)i (t) (k cos(

2piik ),k sen(

2piik ),0). (1.29)

Ento x(k) divergente e A (x(k)) 0 se k +. Logo infXA = 0, ou seja, o nfimo no atingido emX .

Por outro lado, o teorema 1 e o corolrio 1 nos permite restringir o problema a um subespao

X0 deX . Para garantir a existncia de minimizadores, o subespao deve ser escolhido de tal

forma que nenhuma seqncia divergente possa ser minimizante . Uma condio deste tipo

chamada coercividade. Um funcional em um espao normado W chamado de coercivo sobre

um suconjunto W0 W se F(x)+ cada vez que ||x|| +, x W0.

Teorema 1.9 Seja W um espao de Banach reflexivo com norma . , e seja W0 W umconjunto fracamente fechado. Suponha que F : W R{+} satisfaz:

(a) F coercivo em W0;;

(b) F fracamente sequencialmente semicontinuo inferior em W0.

Ento F restrito a W0 limitado inferiormente e F atinge o mnimo.

Demonstrao. Se F = segue o resultado. Caso F 6= , seja{

y(k)}

uma sequncia mini-

mizante . Como F coercivo, temos que ||y(k)|| limitada. Pelo teorema 1.3 (Banach-Alaoglu-Bourbaki) e a reflexividade de W , W0 tem fecho compacto na topologia fraca. Mas pelo teorema1.4 (Eberlein-Smulian) W0 sequencialmente compacto na topologia fraca. Vamos considerarsem perda de generalidade que y(k) converge fracamente para y W0. Como F fracamenteseqencialmente semicontnua inferior em W0,

F(y) liminfk+

F(y(k)) = infW0

F (1.30)

Portanto y um minimizador de F em W0.


1.6.2 A semicontinuidade inferior fraca de A

Para aplicar o teorema 1.9 em ( 1.23) precisamos mostrar a fraca semicontinuidade inferiordo funcional ao:

Lema 1.7 SejaA , L associados ao problema dos N-corpos eX =H1 . EntoA fracamentesequencialmente semicontinua inferior emX .

Demonstrao. Seja x(k) = (x(k)1 ,x(k)2 , . . . ,x(k)N ) uma sequncia que converge fracamente parax = (x1, . . . ,xN) . Basta considerar o caso em que liminf

kA (x(k)) = c < . Passando a uma

subseqncia se necessrio, assumiremos sem perda de generalidade que A (x(k)) limitado

por uma constante C e limk

A (x(k)) = c < .

Seja r(k)i j := |x(k)i x(k)j |, ento pela compacidade do mergulhoX C0([0,T ],V )(teorema1.6), r(k)i j converge uniformemente para ri j. ComoA (x(k)) limitada, a seqncia 1

r(k)i j

limitada

em L1[0,T ].

Seja Ei j [0,T ] tal que ri j 6= 0. Note que a medida de Lebesgue de Ei j igual a medidade Lebesgue de [0,T ]. De fato suponha, por absurdo, que med([0,T ]/Ei j) = i j > 0. Sejai j = 1C mim ji j e seja Ni j N tal que ||r(k)i j ri j||C0 < i j quando Ni j. Logo

A (x(k)) =[0,T ]

K(x(k))+U(x(k))dt mim j[0,T ]/Ei j

1r(k)i j

dt >mim ji j

i j=C,

que uma contradico pois A (x(k))


Assim,

A (x) =12

N

j=1

m j||x j||2L2 + 16i< j6N

T 20

mim jri j

dt

612

liminfk

12

N

j=1

m j||x(k)j ||2L2 + liminfk 16i< j6N T 2

0

mim jr(k)i j

dt

6 liminfk

A (x(k)).

Logo A (x) fracamente sequencialmente semicontnuo inferior.

1.6.3 O problema dos n-corpos e a condio (NC)

SejaX = H1([0,T ],V ) =W 1,2([0,T ],V ). Dizemos que um subconjuntoX0 deX satisfaza condio (NC) emX , (0,2], se para todo x X0 existe x (0,T ] tal que

x(0) x(x) (1)|x(0)||x(x)|. (1.31)

Comentrio:

Note que (1.31) verdade se 0 e falsa se > 2 (Cauchy - Schwartz). A exigncia que (0,2] assegura que curvas emX devem se afastar da condico inicial por um certo ngulo.

Teorema 1.10 SejaX ,L,A , definidos em (1.24), (1.25), (1.26), (1.27). Suponha queX0 X fracamente fechado e satisfaz a condio (NC). Ento A coercivo e atinge o mnimoem X0. Se alm disso um minimizador x X0 de A satisfaz x+ X0 para algum > 0,ento x soluo de (1.23) sempre que x(t) V \ para todo t [0,T ].

Demonstrao. Seja x X0, considere a funo

(x) := maxs1,s2[0,T ]|x(s1) x(s2)|.

Desde queX0 satisfaz a condio (NC), escolha x (0,T ] tal que

x(0) x(x) (1)|x(0)||x(x)|.

Vamos considerar inicialmente o caso onde x(0) 6= 0 e x(x) 6= 0. Seja o ngulo entre x(0) ex(x), com [0,pi].


Figura 1.1:

Logo sen|x(0) x(x)| = |x(0)|sen, ou seja, |x(0) x(x)| sen|(x(0)| e a igualdadevale se, e somente se, x(0) x(x) for perpendicular a x(x). Mas por hiptese temos que

x(0) x(x) (1)|x(0)||x(x)|,

ou seja,x(0) x(x)|x(0)||x(x)| 1.

Portanto, cos 1. Dividiremos em casos:

Caso 1: Se cos > 0 temos que: cos2 (1)2. Logo sen(2) :=C. Mas,|x(0) x(x)| sen|x(0)| C|x(0)|

assim |x(0) x(x)| C|x(0)|.

Caso 2: Se = 2. Neste caso devemos ter que cos() 1, assim = pi, (pois, cos() 1). Isto implica que x(x) e x(0) sao paralelos, logo x(x) =Cx(0), com (C < 0). Desta forma:x(0) x(x) = (1C)x(0), e portanto |x(0) x(x)|= (1C)|x(0)| |x(0)| pois C < 0.

Caso 3: 1. Isto implica que cos 1 0. Da que o ngulo se encontra entre pi/2e pi. Segue-se que x(x) x(0) 0. Assim temos que,|x(0) x(x)|2 = |x(0)|22x(x) x(0)+|x(x)|2 |x(0)|2, donde segue-se que para 1, |x(0) x(x)| |x(0)|= 1|x(0)| C|x(0)|,onde C :=

(2).

Caso 4: 1. Temos que 1 0. Assim se cos < 0, (pi2 ,pi]. Como x continua,escolha um novo x tal que

cos > 0 e cos < 1.

Da segue o caso 1.


Em concluso, teremos que |x(0) x(x)| C|x(0)|. Note que se x(0) = 0 ou x(x) = 0temos que

|x(0) x(x)| |x(0)C|x(0)|.

Entretanto se t [0,T ] temos

|x(t)| |x(0)|+(x) 1C|x(0) x()|+(x)

[1

C+1

](x).

Assim T0|x|2dt

[1

C+1

]22(x)T.

Por outro lado, pela desigualdade de Hlder temos que

2(x) | T

0xdt|2

[ T0|x|dt

]2 T

T0|x|2dt.

Logo o norma em H1 controlada pela ao, pois

||x||2H1 = T

0(|x|2 + |x|2)dt

[(

1C

+1)2

T 2 +1

] T0|x|2dt

0, ento pelo corolrio 1.1 x soluo de (1.23) sempre que x(t) V \.

Corolrio 1.2 Seja X1 o espao das curvas fechadas anti-simtricas, isto , X1 = {x H1 :x(t) = x(t+ T2 )}, emX =H1([0,T ],V ). EntoA atinge o mnimo emX1 e todo minimizantex soluao de (1.23), desde que x(t) V \.

Demonstrao. De fato ,X1 fracamente fechado e satisfaz (1.31) fazendo x = T2 e = 2.


Observao 1.4 Note que na prova do teorema (1.10) a nica propiedade que usamos do po-tencial U(x) foi a semi-continuidade fraca deA . A prova da semicontinuidade fraca vlidapara diferentes tipos de potencial. Por exemplo o potencial tipo-Newtoniano:

U(x) = 16i< j6N

mim jri j

, ri j = |xi x j|, |xi x j| i 6= j

Substituindo U por U, (1.23) tambm chamado de problema tipo- N-corpos. Note que oteorema (1.10) tambm verdadeiro para o problema tipo- N-corpos.

Captulo 2

Clculo variacional aplicado ao problemade Kepler

Neste captulo, estudaremos o problema de Kepler e deduziremos as leis de Kepler. Numa

abordagem variacional relacionaremos o funcional ao e o problema de Kepler, onde exibire-

mos certos espaos, onde garantiremos a existncia de minimizantes que sobre certas condies

sero justamente as rbitas Kepleriana elpticas. Para isso faremos uso de um importante teo-rema devido a Gordon [9]. Em seguida, relataremos propriedades das rbitas circulares mini-mizantes.

2.1 O problema de Kepler

A equao do problema dos dois corpos no plano dada por

mkxk =

xkU, k = 1,2 (2.1)

onde xk C a posio da partcula de massa mk e

U =U(|x1 x2|) = |x2 x1| , = m1m2

a energia potencial (formalmente, menos a energia potencial). Fixando a massa central naorigem e fazendo x = x2 x1 , m = m1m2m1+m2 (massa reduzida), o sistema (2.1) pode ser re-escritocomo

mx = x|x|3 . (2.2)

2. Clculo variacional aplicado ao problema de Kepler 33

Desta forma, o Lagrangiano e o Hamiltoniano so, respectivamente

L(x, x) = K(x)+U(x) =m

2|x|+ |x| (2.3)

e

H(x, x) = K(x)U(x) = m2|x| |x| . (2.4)

Comentrios:

(1) Esta reduo diz que o estudo do problema de 2 corpos equivalente ao estudo do prob-lema de Kepler;

(2) A equao (2.2) justamente a equao de Euler-Lagrange do funcional ao A (x) = T0 L(x, x)dt. As solues de (2.2) so chamadas rbitas Keplerianas.

fcil ver que, em termos de coordenadas polares x = rei , o lagrangiano dado por

L(r,, r, ) = K(r, r, ) = m2(r+ r2 2)+

r(2.5)

e que a equao (2.2) equivalente ao sistema m(r r 2) = r2mr2 = J. (2.6)Comentrio : A constante J chamada de momento angular e 12r2 =

J2m a velocidade

areal, isto , a mudana da taxa da rea percorrida pelo raio do vetor x. Assim, como a veloci-

dade areal constante, temos a segunda lei de Kepler.

Substituindo mr2 = J em m(r r 2) = r2

temos que

mr = r2

+J2

mr3=U e f f (r), Ue f f =U(r)+

J2

2mr2.

A funo Ue f f chamada de potencial efetivo.

Note que J = 0 se, e somente se, o movimento colinear. De fato, J = 0 se e somente se

constante e, assim, x = rei uma reta. No caso em que J 6= 0, tem-se de (2.6) que r e sodistintos de zero, e assim definindo u = 1

rtemos que : drdt = 1u2 dudt = 1u2 dud ddt = J2m dud ,d2r

dt2 = J2m ddt (dud) = J2m du2

d2ddt =( J2m)2u2 d

2ud2 .

(2.7)


Assim, obtemos a equao de Clairaut:

d2ud2 +u =

m

J2, (2.8)

cujas solues so da forma:

u() = mJ2

+Bcos(0), B 0, 0 [0,2pi).

Desde que r = 1u

segue-se que

r() = p1+ ecos(0) , p =

J2

m. (2.9)

A equao (2.9) nos diz que as rbitas keplerianas com momento angular no nulo so cnicascom um foco no centro de atrao. Esta justamente a primeira lei de Kepler. A constante2p = 2J2

m > 0 chamada de latus rectum e e =BJ2m > 0 chamado de excentricidade .

Assim, usando as equaes (2.5), (2.6), (2.9), podemos escrever o hamiltoniano em funoda excentricidade da seguinte maneira:

H =m

2

(r+

J2

m22

)

r

=J2

2m

[(d

d1r

)2+

1r2

]

=J2

2m[(u())2 +(u())2]u()

=J2

2m

[B2 sen2(0)+ m

22

J4+B2 cos2(0)+ 2mBJ2 cos(0)

] m

2

J2Bcos(0)

=J2

2m

[B2 +

m22

J4+

2mBJ2

cos(0)] m

2

J2Bcos(0)

=J2B2

2m+

m2

2J2 m

2

J2

=m2

2J2

[B2J2

m221

],

ou seja,H =

m2

2J2(e21). (2.10)

Ento de (2.9), temos que uma rbita kepleriana com momento angular no nulo peridica se,e somente se, uma das seguintes condies forem verdadeiras: 0 e < 1 H < 0 (elipse)e = 0 H = m2

mJ2 (crculo).


Figura 2.1:

Suponha que x uma rbita kepleriana com perodo T . Sem perda de generalidade va-

mos supor que 0 = 0 e (0) = 0 (basta fazer uma mudana de coordenadas adequadas e umatranslao na varivel tempo). Ento da segunda equao em (2.6) temos que :

JT2m

= T

2

0r2 dt =

pi0

r2d = pi

0

p2

(1+ ecos)2 d =p2pi

(1 e2) 32.

Seja a o semi-eixo maior da rbita elptica. Assim por (2.9) e (2.10) temos

a =r(0)+ r(pi)

2=

p1e +

p1+e

2=

p1 e2 =

J2

m2(1 e2) =

2H.

Ento temos que :J2T 2

4m2=

p4pi2

(1 e2) T2 =

4m2pi2 pa3

J2,

ou seja,T 2

a3=

4mpi2

. (2.11)

Assim mostramos a terceira lei de Kepler que diz o seguinte: o quadrado do perodo da rbita

proporcional ao cubo do semi-eixo maior.

Uma outra maneira de deduzir a terceira lei de Kepler usando uma varivel auxiliar E,

chamada de anomalia excntrica(ver [3]), definida por

r = a(1 ecosE). (2.12)


Assim, de (2.10) e de (2.12) temos que :

|r|=

2m(H +

r J

2

2mr2) =

1r

2m

1

2ar2 + r a(1 e

2)

2=

ma

(esenE

1 ecosE).

Logo1|r|dr =

m

a

32 (1 ecosE)dE. (2.13)

Seja rmin, rmax o mnimo e o mximo de r. EntoT2= rmax

rmin

1r

dr =

m

a

32

pi0(1 ecosE)dE = pi

m

a

32 ,

donde segue-se (2.11).

2.1.1 O funcional ao e o problema de Kepler

SejaX = H1([0,T ],C), ento o funcional ao associado a (2.2) dado por

A (x) = T

0

[m

2|x(t)|+ m1m2|x(t)|

]dt, x X .

Proposio 2.1 SejaX0 = {x X : x(0), ix(T ) R}. EntoA atinge o mnimo emX e todominimizante x soluao de (2.1) sempre que x(t) 6= 0 para todo t [0,T ].

Demonstrao. Pelo teorema 1.6 o mergulho X C0([0,T ],V ) compacto, logo pelo teo-rema 1.2X0 fracamente fechado e tambm fechado na topologia forte.

Para todo x X0 considere a funo

(x) := maxs1,s2[0,T ]

|x(s1) x(s2)|.

Desde que x(0) x(T ) = 0, temos que:

(x) |x(0) x(T )|=|x(0)+ x(T )| |x(0)|,

|x(t)| |x(0)|+(x) 2(x),

para todo t [0,T ]. Assim T0|x|2dt 4(x)2T.

Mas, pela desigualdade de Hlder, temos: T0|x|2dt 1

T

( T0|x|dt

)2 (x)

2

T.


Alm disso temos que a norma de Sobolev controlada pela ao uma vez que:

||x||2H1 = T

0(|x|2 + |x|2)dt 4(x)2T +

T0|x|2dt

(4T 2 +1) T

0|x|2dt < 2

m(4T 2 +1)A (x).

Logo se ||x||H1 + ento A +, ou seja, A|X0 coercivo. Portanto pelo teorema 1.9 epelo lema 1.7 o funcional ao AX0 atinge o mnimo. Como X0, segue do corolrio 1.1,que todo minimizante x soluo de 2.2 desde que x nunca anule-se.

Proposio 2.2 SejaX1 := {x X : x(t) =x(t + T2 ),0 t T2 }. EntoA atinge o mnimosobreX1 e todo minimizante x soluo de 2.2 desde que x no nulo.

Demonstrao. Inicialmente note que X1 X fechado na topologia forte, pois se xn xemX1, ento

x(t) = limn xn(t) = limnxn(t +

T2) =x(t + T

2).

Logo X1 fechado na topologia fraca. Para todo x X1, x(0) = x(T ) e ento tais caminhospodem ser estendidos a uma funo peridica em R com a propriedade x(t) = x(t + T2 ) paratodo t R. Assim :

|x(t)|2 = 14|x(t + T

2) x(t)|2 1

4

( t+ T2t

x()d)2

T8 t+ T2

t|x()|2d = T8

T2

0|x()|2d = T

16

T0|x()|2d.

Portanto : T0|x|2dt T

2

16

T0|x()|2d

e assim,

||x||2H1 = T

0(|x|2 + |x|2)dt

(T 2

16 +1) T

0|x|2dt < 2

m

(T 2

16 +1)A (x).

Logo A|X1 atinge o mnimo pelo mesmo argumento da proposio anterior.

Observe que para mostrar que o minimizante x soluo de (2.2) no podemos usar oCorolrio 1.1 , pois X1 no contm , pois sendo h(t) = 2 temos que h e h /X1. Masse ns trabalharmos sobre o espao de funes

X0 = {x X : x(0) = x(T )},


temos que X0 + =X0 para todo > 0 e ento o corolrio 1.1 pode ser aplicado. Note que

X1 um subespao deX0, o qual invariante sobre a representao ortogonal :Z2 GL(X )definida por

(1)(x(t)) :=x(t + T2),

ou seja,X1 =X 0 . ComoA|X0 -invariante, temos pelo teorema 1.8 que todo minimizante xemX

0 soluo de (2.2) desde que x no-nulo.

Observao 2.1 Note que as proposies 2.1 e 2.2 pode ser facilmente provadas usando oTeorema 1.10. De fato, na proposio 2.1 basta fazer x = T e = 1. J a proposio 2.2, justamente o corolrio 1.2.

2.1.2 Ao das rbitas keplerianas colineares e elpticas

Seja x(t) = r(t)ei(t) uma rbita kepleriana elptica com perodo T . Vamos supor que (0) =0 e 0(ngulo de fase) tambm zero em ( 2.9).

Proposio 2.3 Seja x uma rbita kepleriana elptica de 2.9 cujo perodo T . Ento a aode x dada por:

A (x) = 3(

m2pi2

2

) 13

T13 (2.14)

Demonstrao. De fato, seja x(t) = r(t)ei(t). Integrando a energia potencial ao longo destacurva temos que: T

0U(x)dt = 2

T2

0

1r

dt = 2 rmax

rmin

1rr

dr = 2

m

a

32

pi0

a(1 ecosE)(1 ecosE) dE = 2

mapi.

Assim o valor da ao em x :

A (x) = T

0[K(x(t))+U(x(t))]dt =

T0

[H +2U(x(t))]dt = HT +4

mapi.

Usando (2.11) e como H = 2a temos que :

A (x) = 3

m

api = 3(

m2pi2

2

) 13

T13 .


Comentrio: Seja x uma rbita peridica com perodo mnimo T e seja y uma rbita per-idica cujo perodo Tk (k um nmero natural). Ento a rbita T -peridica obtida por repetir yn-vezes (x(t) = y(t/k)) tem sua ao funcional kA (y) e como conseqncia da proposio 2.14temos que:

kA (y) = 3k(

m2pi2

2

) 13(

Tk

) 13= k

23 3(

m2pi2

2

) 13

T13 = k

23A (x).

Isto nos diz que uma bita kepleriana T -peridica tem uma ao menor quando T o perido

mnimo.

Vamos agora levar em considerao as rbitas keplerianas colineares (i.e, J = 0). Umasoluo estendida (ou continuada) x(t) de (2.2), t [0,T ], uma curva contnua cuja trajetria a unio de rbitas keplerianas e a origem. Seja Ex [0,T ], Ex = {t [0,T ]/x(t) = 0}. Temospor continuidade que x(t) comea ou termina em uma componente de [0,T ]\Ex. Ento o seg-mento correspondente de x linear desde que as rbitas keplerianas obtidas sejam colineares.Por simplicidade comearemos com uma bita kepleriana colinear x, a qual comea com ve-

locidade zero e move-se da origem para a frente e que a coliso ocorre em t = T2 . A partcula

ento inverte o percurso do movimento at alcanar o ponto de partida, onde ter velocidade

zero. Este um caso especial de extenses de solues T -peridicas, as quais podem ser con-

sideradas uma bita elptica degenerada com e = 1. O momento angular zero e a = |x(0)|.Note que, usando (2.12) e (2.13) obtemos (2.11). Note ainda que a ao pode ser calculadacomo na demonstrao da proposio 2.3. Assim temos o seguinte lema:

Lema 2.1 (a) Seja x uma extenso da rbita colinear kepleriana de (2.2) com perido Tsatisfazendo

x(T2) = 0, x(t) = x(tT ) t [0, T

2], x(0) = x(T ) = 0. (2.15)

Ento a ao de x dada por ( 2.14).

(b) Se x(0) = 0 e x se move em direo a origem com a coliso ocorrendo em x() = 0 ento 0 L(x, x)dt = 32(m

2pi2)13

13.

Demonstrao. A letra (a) j foi demonstrada anteriormente e a letra (b) segue de (a) e docomentrio anterior.


Observao 2.2 Note que g(s) := s 13 uma funo cncava. Seja x uma soluo peridicaestendida de ( 2.2) e seja {ti} os comprimentos das componentes de Ex. Se x tem ao finita,ento

iti = T e

A (x) =32(m2pi2)

13

it

13i =

32(m2pi2)

13 T

13

i

( tiT

) 13 3

(m2pi2

2

) 13

T13 .

Para obter a ltima desigualdade, usamos a concavidade da funo g(s) e a igualdade vlidase, e somente se, t1 = t2 = T2 , ou seja, entre as solues peridicas estendidas de (2.2) oscaminhos da forma (2.15) tem menor ao .

2.2 O teorema de Gordon

Considere o espao das curvas fechadasXT = H1([0,T ]/{0,T},C) emX = H1([0,T ],C)que circundam a origem:

X2 := {x XT : x(t) 6= 0 e grau(x;0) 6= 0}

X

2 :=X2{x XT :A (x)< ,x(t) = 0, para algum t [0,T ]}

Comentrio: Denotaremos grau(x;a) (ou ndice) como sendo o nmero de voltas que a curvax d em torno de a C.

Ao contrrio de X0 e de X1 estudados na seo (2.1.1), X2 no fracamente fechado emX ou emXT (demonstraremos isto na prxima proposio ).

Os lemas e o corolrio a seguir tero um papel importante na demonstao da prxima

proposio , a qual ser usada na prova do teorema de Gordon.

Observao 2.3 Sejam X e Y dois espaos.Duas aplicaes f ,g : X Y so chamadas dehomotpicas ( f ' g) se existe uma funo contnua H : X [0,1] tal que H(x,0) =g(x) e H(x,1) = f (x)

Lema 2.2 Sejam f ,g :X , duas aplicaes contnuas, ondeX um compacto e umaberto de um espao vetorial normado. Ento existe > 0 tal que se d( f ,g)< (aqui d indicaa distncia de f g) temos que f ' g.


Demonstrao. Seja = 12d( f (x),c), e defina H :X [0,1], por

H(x, t) = t f (x)+(1 t)g(x).

Note que (t f (x)+(1 t)g(x)) e que H(x,0) = g(x) e H(x,1) = f (x). Portanto, f ' g.

Lema 2.3 Seja n 1. Duas aplicaes de Sn sobre Sn so homotpicas se, e somente se, elastem o mesmo grau.

Demonstrao. ver [7], pgina 352

Corolrio 2.1 Sejam f ,g : R2{0} R2{0}. Ento f ' g se, e somente se, f e g tm omesmo grau.

Lema 2.4 Seja A c, c R, o conjunto de nvel A 1((,c])XT de A . Ento:

(a) A|X 2 coercivo;

(b) X2 aberto emXT

(c) A cX 2 fracamente fechado emXT para c R

Demonstrao.

(a) De fato, seja xX 2 , ento existe x (0,T ] onde x(0) e x(x) so tais que: x(0) x(x) =|x(0)||x(x)|. Logo A|X 2 satisfaz a condio (NC) e portanto A|X 2 coercivo.

(b) Como o mergulho H1 C0 compacto temos que para qualquer x X2, x := xC0 positivo e

x yC0 x yH1 < x

para algum C > 0 independente de x e para todo y tal que xyH1 < . Ento pelo lema2.2 e pelo corolrio 2.1 temos que se y pertence a uma pequena H1- vizinhana, ento

y X2, ou seja,X2 aberto.

(c) O caso em que A c X 2 = /0 trivial. Suponhamos ento que A c X 2 6= /0. Seja{xk}uma seqncia em A cX 2 . Temos que {xk} limitada pois ,mostramos no item


(a) que A |X 2 coercivo. Assim pelo teorema de Banach- Alaoglu-Bourbaki (teorema1.3) ele tem um limite fraco x XT . Passando a uma subseqncia se necessrio, seja xkuma seqncia que converge fracamente para x. Segue-se que x X 2 pois o mergulhoH1 C0 compacto. Pelo lema 1.7, temos que

A (x) liminfk

A (x(k)) c.

Logo x A cX 2 e, assim, conclumos que A cX 2 fracamente fechado.

Temos agora todas as "ferramentas"para demonstrar o principal teorema desta seo: O

teorema de Gordon.

Teorema 2.1 A |X2 atinge o valor mnimo nas rbitas keplerianas elpticas de (2.2) para oqual T o perodo mnimo.

Demonstrao. Escolha c tal que A c X 2 6= /0. De fato existe tal valor c, e isto segue doproposio 2.3. Assim dos lemas 2.4 e 1.7 e pelo teorema 1.9, o funcional A atinge o mnimo

em A cX 2 . Se o minimizante x X2 temos o resultado. Suponha ento que x X 2 \X2 um minimizante de A |X 2 . Note que pela observao 2.2 x tem que ser uma soluo estendidacom exatamente uma coliso em ST , e alm do mais tem que ter a forma (2.15),a menos de umatranslao da varivel tempo. Pelo lema 2.1, x tem a mesma ao de qualquer rbita Kepleriana

com perodo mnimo T . Portanto A |X 2 ( e ento A |X2) atinge o mnimo em X2 e pelaproposico 2.3, estes minimizantes so rbitas keplerianas elpticas de (2.2) para as quais T operodo mnimo. Portanto o teorema est provado.

Comentrio: Note que o teorema no exclui que rbitas com colises sejam minimizantes,mas garante a existncia de rbitas minimizantes sem colises.


2.2.1 Uma propriedade minimizante das rbitas crculares

Nesta seo vamos estudar o mesmo problema de minimizao da proposio 2.1. Vamos

considerar a aco funcional restrita aX0 X = H1([0,T ],C) tal que

X0 := {x X : x(0), ix(T ) R.}

Lema 2.5 Seja x(t) = r(t)ei(t) um minimizante deA emX0. Ento x soluo de (2.2) desdeque nunca se anule. Alm disso, se r(0)> 0 ento r(0) = 0, e se r(T )> 0 ento r(0) = 0

Demonstrao. Inicialmente note que a existncia de minimizantes garantida pela proposio

2.1. A afirmao de que x soluo de (2.2) segue do seguinte fato: (2.2) a equao de Euler-Lagrange de A e tal equao s possui singularidades quando x = 0, o que no acontece (porhiptese).

SejaL(r, r,, ) = m

2(r2 + r2 2)+

r

o lagrangiano em coordenadas polares. Suponha que r(0) > 0, ento x soluo de (2.2) emuma vizinhana de 0. Escolha uma variao admissvel h, a qual diferencivel e suportada em

uma pequena vizinhana da origem com h(0) 6= 0. Temos que a variao de Gteuax de A emx = rei na direo h dada por

xA (h) =dLdr h(T )

dLdr h(0)+

T0

(dLdr

ddt

dLdr

)hdt. (2.16)

Como x um minimizante, x soluo da equao de Euler -Lagrange e a primeira variao de

A zero. Ento

0 = dLdr h(T )dLdr h(0).

Como h tem suporte em uma vizinhana de zero ento h(T ) = 0, e assim, dLdr h(0) = 0. Em t = 0

temos que dLdr = mr(0)r(0). Como r(0)> 0 e h(0)> 0. temos que r(0) = 0. De maneira similar

mostra-se que r(T ) = 0.

SejaX0,C o conjunto dos caminhos com colises emX0, ou seja

X0,C = {x X0 : x(t) = 0 para algum t [0,T ]}.

Nosso prximo objetivo excluir caminhos com colises entre os minimizantes de A emX0.


Lema 2.6 Para qualquer x X0,C com ao finita existe x X0,C com somente uma colisoem [0,T ] tal que x tem momento angular nulo em quase toda parte e A (x) A (x), onde aigualdade verdadeira somente se x tem momento angular nulo e satisfaz qualquer uma dasseguintes condies:

(i) x(0) = 0 e |x| no-decrescente em [0,T ];(ii) x(T ) = 0, e |x| no-crescente em [0,T ];(iii) x() = 0 para algum (0,T ), |x| montona em [0,) e (,T ]

Demonstrao. Seja x X0,C. Escrevendo x na forma polar, x(t) = r(t)ei(t), temos que omomento angular mr2 de x definido em quase toda parte. Note que se x tem ao finita, o

momento angular zero se e somente se = 0 em quase toda parte.

Seja t1 = infx, onde x = {t [0,T ]/x(t) = 0}. Observe que x(t1) = 0, pois caso contrrioexistiria > 0 tal que x(t) 6= 0 para todo t (t1, t1 +), que t1 pode ser 0 ou T no caso emque x comea ou termina em coliso . Assim defina x(t) = r(t)ei(t) onde :

r(t) =

sup

s[t,t1]r(s), quando t [0, t1],

sups[t1,t]

r(s), quando t (t1,T ],

(t) =

0, se t [0, t1]pi2 x, se t (t1,T ].

Note que como = 0 em [0, t1], x permanece no eixo real neste intervalo e tem somente uma

coliso que acontece em t = t1 e que no intervalo (t1,T ] o caminho x permanece sobre o eixo

imaginrio. Como x tem ao finita, temos que r 6= 0 em quase toda parte e assim r > 0 em[0, t1) (t1,T ]. Observe tambm que :

(1) r r. De fato, isto segue do fato que sup r(t) r(t);

(2) |r| |r|. De fato, r ou coincide com r em um intervalo ou um segmento de reta, ou seja,r = 0 ou |r|= |r| em quase toda parte;

(3) = 0. Esta propriedade segue imediatamente pelo fato de ser constante em [0, t1] e em(t1,T ].


Portanto x X0,C e alm disso

A (x) = T

0

(m2

r2 +

r

)dt

T0

(m2

r2 +

r

)dt

T0

[m2(r2 + r2 2)+

r

]dt =A (x)

Note que a igualdade se verifica se e somente se r r e = 0 e portanto pela construo de risto acontece somente se uma das trs condies para x citadas no teorema for verdadeira.

Lema 2.7 Para todo x X0,C com ao finita , existe um x X0,C do tipo (i) ou (ii) do lema2.6 com momento angular nulo em quase toda parte tal que A (x)A (x).

Demonstrao. Pelo lema 2.6 suficiente considerar x do tipo (iii) e que tem momento angular

nulo em quase toda parte. Ento seja o nico zero de x em [0,T ]. Suponha que rT = |x(T )| |x(0)| e seja t0 = inf{s [0,) : |x(s)|= rT}. Sendo x(t) = r(t)ei(t), defina x(t) = r(t)ei(t) onde

r(t) =

r(t), quando t [0, t0],

rT , quando t (t0,],r(+T t), quando t (,T ].

Note que x(T ) = 0. Mas alm disso, |x| montona em [0,) e em (,T ]. Como |x(T )| |x(0)|,|x| no crescente no intervalo [0,T ]. Logo x do tipo (ii) do lema 2.6. Observe tambm que :

t00 L(r,, r, )dt = t00 L(r,, r, )dt t0 L(r,, r, )dt t0 L(r,, r, )dt T L(r,, r, )dt = T L(r,, r, )dt.

Portanto A (x)A (x).

Suponha que r0 = |x(T )| |x(0)| e seja t1 = inf{s [0,) : |x(s)| = r0}. Sendo x(t) =r(t)ei(t), defina x(t) = r(t)ei(t) onde

r(t) =

r( t), quando t [0,],

r0, quando t (, t1],r(t), quando t (t1,T ].

Note que x(0) = 0. Mas alm disso, |x| montona em [0,) e em (,T ]. Como |x(T )| |x(0)|,|x| no decrescente no intervalo [0,T ]. Logo x do tipo (i) do lema 2.6. Observe tambm que:


0 L(r,, r, )dt = 0 L(r,, r, )dt t1 L(r,, r, )dt t0 L(r,, r, )dt Tt1 L(r,, r, )dt = Tt1 L(r,, r, )dt.

Portanto A (x)A (x). E assim conclumos a demonstrao do lema.

Lema 2.8

infxX0

A (x) infxX0,C

A (x)

Demonstrao. Suponha por absurdo que infxX0

A (x) infxX0,C

A (x). Ento pelo lema 2.7

existiria algum x X0,C do tipo (i) ou (ii) que minimizaria A sobreX0, onde x tem momentoangular nulo em quase toda parte. Note que todo caminho do tipo (i) pode ser obtido por

uma rotao de 900 de um caminha do tipo (ii). Como a ao invariante por rotaes vamos

assumir ,sem perda de generalidade que x do tipo (ii). Pelo lema 2.5 tal caminho soluo do

problema de Kepler (2.2) em [0,T ) com coliso em t = T , e alm disso x diferencivel commomento angular nulo permanecendo sobre a reta real para todo tempo. Logo pelo lema 2.5 ele

comea com velocidade inicial zero. Assim pelo lema 2.1(b),

A (x) =32(m2pi2T )

13 .

Seja o caminhoy(t) =

(4T 2

mpi2

) 13

epiti2T X0.

Como o perodo do caminho y 4T , pelo comentrio da proposio 2.3 temos que A (y) =

3 2 23 (m2pi2T ) 13 e assim A (y)A (x), que uma contradio . logo

infxX0

A (x) infxX0,C

A (x)

Teorema 2.2 A ao funcional A tem exatamente quatro minimizantes, onde cada um deles um quarto de uma rbita peridica circular para 2.2 com perodo 4T .


Demonstrao. Pelos lemas 2.5 e 2.8 um minimizante x = rei de A sobre X0 uma rbita

kepleriana com momento angular no nulo e r(0) = r(T ) = 0. Temos por (2.9) que

r() = p1+ ecos(0)

ou sejapr= 1+ ecos(0) (2.17)

para algum p> 0, e> 0 e 0 [0,2pi). Derivando ambos os lados em relao ao tempo em 2.17e aplicando em t = 0 e t = T temos:

0 = pr(0) r(0) =esen(0)

(0) = esen(0) (0)

0 = pr(T )

r(0) =esen(pi20) (T ) =ecos(0) (0).

Note que (0) e (T ) so no nulos pois o momento angular no nulo. Como cos() e sen()

no se anulam simultneamente , a excentricidade e tem que ser zero, caso em que a rbita

circular. Por simples clculos temos que os minimizantes so R 13 e piti2T , onde R =(

4T 2mpi2

)

Captulo 3

Clculo variacional aplicado ao problemados trs corpos

Neste captulo mostraremos, com auxlio de mtodos variacionais, uma nova soluo para o

problema dos trs corpos. At ento era conhecidas as solues dadas por Euler, onde os corpos

ficam sempre em uma configurao colinear, e por Lagrange, onde os corpos (com massasiguais) formam um tringulo equiltero. A. Chenciner e R. Montgmery descobriram uma novasoluo , onde os corpos com massas iguais se moviam ao longo de uma figura "oito".

Na primeira seo introduziremos as coordenadas de Jacobi para o problema dos trs cor-

pos afim de reduzir a dimenso do espao de configuraes e tentaremos dar uma descrio

geomtrica dos corpos atravs do fibrado de Hopf. A segunda seo destina-se a descrio da

rbita dada em [6] por A. Chenciner e R. Montgomery. Na terceira seo daremos uma provaanaltica, Devido a Kuo-Chen Chang, da excluso de coliso entre os corpos na nova soluo

3.1 Reduo do problema

3.1.1 Coordenadas de Jacobi

As equaes de movimento para o problema dos trs corpos dada por:

mkxk =

xkU(x), k = 1,2,3, (3.1)

3. Clculo variacional aplicado ao problema dos trs corpos 49

onde xk R3 a posio do corpo de massa mk e

U(x) =U(x1,x2,x3) =m1m2

r12+

m2m3r23

+m1m3

r13, ri j = |xi x j|,

a energia potencial. O Hamiltoniano define um sistema dinmico emR18 no problema espacial

dos trs corpos, ou em R12 no caso planar. interessante, quando temos um alto grau deliberdade, reduzir a dimenso com uma mudana de coordenadas adequada. Em nossso estudo

usaremos as coordenadas de Jacobi (Veja [14]).

No captulo anterior reduzimos o problema de Kepler a um problema uni-dimensional por

meio das coordenadas polares, onde assumimos o centro de massa na origem e ento, obtemos

a formulao do problema em termos do vetor posio de uma massa para outra (x = x2 x1).Nas coordenadas de Jacobi, a primeira coordenada o centro de massa, a segunda proveniente

do vetor posio de m1 para m2, a terceira proveniente do vetor posio centro de massa de

m1,m2 para m3.

As coordenadas de Jacobi para o problema dos trs corpos so definidas por: 1 = x2 x12 = x3 ( m1m1+m2 x1 + m1m1+m2 x2). (3.2)A energia cintica K(x) pode ser escrita como

K(x) = K( 1, 2) = 12(M1|1|2 +M2| 2|2),

onde M1 = m1m2m1+m2 , M2 =(m1+m2)m3m1+m2+m3

. O potencial U(x) tambm pode ser escrito em termos de

1 e 2,U(x) =U(1,2) = m1m2|1| +

m1m2|2 m1m1+m2 1|

+m1m2

|2 + m1m1+m2 1|.

As coordenadas de Jacobi podem ser normalizadas fazendo

(z1,z2) :=(

M11,M22) (3.3)e ento K(x) e U(x) podem ser escrito na forma:

K(z1, z2) =12(|z1|2 + |z2|2)

U(z1,z2) =m1m2

M1

|z1| +m2m3

M2

|z2

M1M2m2

z1|+

m1m2

M2|z2 +

M1M2m1

z1|.

Note que o sistema foi reduzido de R12 para R8.


3.1.2 O problema planar dos trs corpos

Aps a introduo das coordenadas de Jacobi, o espao das configuraes V parametrizado

por (z1,z2). No caso planar, V pode ser identificado com C2. As configuraes reduzidas so

3-dimensionais, e os tringulos formado pelos corpos pode ser visto como pontos em R3. Esta

forma facilita fazer uma anlise visual.

O espao das configuraes reduzidas V obtido quocientando V com as simetrias rota-

cionais sobre o momento angular. Dizemos, ento, que (z1,z2),(z3,z4) C2 so equivalentesse (z3,z4) = e2ipi(z1,z2) para algum R/Z. Note que V invariante sobre a S1-ao (aodiagonal) (,(z1,z2)) (eiz1,eiz2). A identificao de V/SO(2) = C2/S1 com V = R3 realizada pelo Fibrado de Hopf (ver [13]):

(u1,u2,u3) = (|z1|2|z2|2,2Re(z1z2),2Im(z1z2)). (3.4)

s vezes conviniente usar coordenadas polares da forma

(u1,u2,u3) = (r2 coscos,r2 cossen,r2 sen). (3.5)

Esferas da forma r = c > 0 so chamadas em ingls de shape sphere, mas aqui chamaremos

de shape esfera. Todo ponto da shape esfera representa uma classe de tringulos a menos de

rotao . A shape esfera unitria a esfera com r = 1.

Figura 3.1:


A figura acima devido a R.Moeckel [15]. Na figura, M j representa tringulos isscelesonde as distncias da j-sima massa para as outras duas so iguais. Vejamos a seguir algumasobservaes geomtricas sobre os pontos da shape esfera:

1. 12u3 a rea com sinal do paralelogramo gerado por z1 e z2, pois12u3 = z1 z2- a rea

positiva se e somente se z1 z2 um mltiplo positivo de e1 e2. Note que por (3.2) e(3.3) a rea com sinal determinada por 12

m1+m2+m3

m1m2m3u3 e que u3 = 0 se, e somente se a

configurao colinear.

2. No hemisfrio superior, ou seja u3 > 0, os tringulos de vrtices {x1,x2,x3} so positi-vamente orientados ou equivalentimente (x2 x1) (x3 x1) um mltiplo positivo dee1 e2; no hemisfrio inferior os tringulos so negativamente orientados.

3. No plo norte ( = 0) temos a configurao de um tringulo equiltero positivamenteorientado; no plo sul( =pi2 ) a orientao invertida.

3.2 A rbita da figura-oito

3.2.1 O problema de minimizao

No caso de massas iguais m1 = m2 = m3 = 1, o sistema (3.1) se transforma em :

xk =

xkU(x), k = 1,2,3 (3.6)

com

U(x) =U(x1,x2,x3) =1

r12+

1r23

+1

r13.

O funcional ao do problema planar dos trs-corpos com massas iguais dado por:

A (x) =

T

0

(12|x|2 + 1

r12+

1r23

+1

r13

)dt (3.7)

Seja V :={x = (x1,x2,x3) R3 : x1 + x2 + x3 = 0} o espao de configuraes eX =H1(S T ,V )o espao onde vamos trabalhar, onde T = 12T e S

T = [0, T ]/{0, T}. Vamos considerar cam-inhos em X definidos em toda reta real que podem ser estendidos periodicamente, ou seja,x(t) = x(t +T ) para qualquer t e para um T fixo.


Seja Ei a configurao de Euler com a i-sima massa no meio, ou seja, uma configuraocolinear com a i-sima massa entre as outras duas, e M j a configurao triangular com a j-sima massa equidistante das outras duas. Consideremos o problema de minimizao de A no

subespaoX0 deX , onde

X0 = {x X : x(0) E3,x(T ) M3} . (3.8)

O grupo diedral D6 de ordem 12 gerado pelos simbolos , com as seguintes relaes:

6 = 1,2 = 1, = 6.

Considere a representao : D6 GL(X0) definida por:

()(x1(t),x2(t),x3(t)) = (A(x3(t +2T )),A(x1(t +2T )),A(x2(t +2T ))) (3.9)()(x1(t),x2(t),x3(t)) = (x1(t),x2(t),x3(t)), (3.10)

onde A =

1 00 1

. Note que a norma de Sobolev e consequentemente a ao A sopreservados por essa ao. De fato, basta notar que z ez tem mesmo mdulo e que |(x1,x2,x3)|=|(xi,x j,xk)| , i, j,k = 1,2,3 onde i, j,k so distintos. Portanto, tal representao ortogonal. De-finamos agora o espao de elementos invarianteX 0 deX0 como:

X

0 := {x X0 : (g)x = x g D6} . (3.11)

Assim, temos que, pela invariancia da ao (2) , para todo x = (x1,x2,x3) X 0 ,

(x1(t),x2(t),x3(t)) = (x2(t +4T ),x3(t +4T ),x1(t +4T ))

para todo t R.

Proposio 3.1 A atinge o mnimo emX 0 . Alm disso, todo minimizador xX 0 um pontocrtico de A emX0 e x soluo de (3.6) sempre que x V \.

Demonstrao. Observe que se x X 0 ento

A (x) =

T

0

[12|x|2 +U(x)

]dt = 12

T0

[12|x|2 +U(x)

]dt.


De fato, como (2)x = x e a norma de Sobolev preservada por essa, fazendo s = t 4Ttemos: 12T

0

[12|x|2 +U(x)

]dt =

4T0

[12|x|2 +U(x)

]dt +

8T4T

[12|x|2 +U(x)

]dt +

12T8T

[12|x|2 +U(x)

]dt

= 3 4T

0

[12|x|2 +U(x)

]dt.

Como ()x = x, fazendo s = t2T temos:

3 4T

0

[12|x|2 +U(x)

]dt = 3

( 2T0

[12|x|2 +U(x)

]dt +

4T2T

[12|x|2 +U(x)

]dt)

= 6 2T

0

[12|x|2 +U(x)

]dt.

Usando o fato que ()x = x, fazendo s =t +2T temos:

6 2T

0

[12|x|2 +U(x)

]dt = 6

( T0

[12|x|2 +U(x)

]dt +

2TT

[12|x|2 +U(x)

]dt)

= 12 T

0

[12|x|2 +U(x)

]dt.

Logo

A (x) =

T

0

[12|x|2 +U(x)

]dt = 12

T0

[12|x|2 +U(x)

]dt.

Assim o problema de minimizar A em X 0 se transforma em um problema de minimizar em

X0 sobre o intervalo [0,T ]. Se x um minimizador de A emX 0 , em particular, tambm um

ponto crtico e assim pelo Teorema 1.8 , x um ponto crtico de A emX0. Note queX0 um

subespao deX que satisfazX0 + =X0 para todo > 0 onde

={

h C1([0,T ],Rn) : h(0) = h(T ) = 0, sup[0,T ]

|h|< }.

Assim do corolrio 1.1 , x(t) soluo de (3.6) desde que x(t) V \. Falta mostrar apenasque existe um minimizador de A

X

0. De fato, note queX 0 fracamante fechado emX0. Isto

segue da compacidade do mergulho H1 C0, pois se xn x ento xn x. Logo

x(t) = limn xn(t) = limn (g)xn(t) = (g) limn xn(t) = (g)x(t).

Observe tambm, que a invarincia de x X 0 por (2), implica que

E3 3 (x1(0),x2(0),x3(0)) = (x2(4T ),x3(4T ),x1(4T )).

Sendo um elemento de E3, x3(0) = x1(4T ) = 0. Assim

x(0) x(4T ) = (x1(0),x2(0),x3(0)) (x2(4T ),x3(4T ),x1(4T ) = x2(0) x2(4T ).


Alm disso,

|x(0)|2 = |x1(0)|2 + |x2(0)|2 = |x2(4T )|2 + |x2(0)|2

e

|x(4T )|2 = |x2(4T )|2 + |x3(0)|2 = |x2(4T )|2 + |x2(0)|2.

Ento

x(0) x(4T ) = x2(0) x2(4T ) 1

2(|x2(0)|2 + |x2(4T )|2)

=12|x(0)||x(4T )|.

Desse modo o espao X 0 satisfaz a condio (NC) 12 em X . Logo pelo Teorema 1.10, A

atinge o mnimo emX 0

3.2.2 A ao reduzida

O movimento x(t)X0 dos corpos pode ser visualizado pela projeo sobre a forma esfera,onde usando as coordenadas de Jacobi definidas em (3.2) e (3.3) temos:

(z1,z2) :=

(12(x3 x2),

23(x1

12(x2 + x3))

) C2

e quocientando as rotaes pelo fibrado de Hopf (3.4) temos:

(z1,z2) 7 (|z1|2|z2|2,2z1z2) := (u1,u2 + iu3) RC.

O conjunto de nvelI 1(c),c> 0, do momento de inrciaI (x) = x x a 3-esfera e mapeadasobre a 2-esfera u21 +u22 +u23 = c2. Assim usando coordenadas esfricas definidas em (3.5) e olema de W-Y.Hsiang (ver [6]), a energia potencial restrita aI = 1 tem a seguinte representao:

U(,) = 11+ coscos +

11+ cos(+ 2pi3 )cos

+1

1+ cos(+ 4pi3 )cos.

Usando esta representao, o caminho equipotencial emI = 1 ligando E3 (i.e = = 0) e M1(i.e, = 4pi3 oupi3 ) implicitamente definido por U(,) = 52 . Uma estimativa numrica dadapor C. Sim [19] indica que a ao de um caminho equipotencial em uma dada forma esferaI = I0 o qual move-se de E3 para M1 com velocidade constante muito prxima do atual

mnimo de A emX0.


Teorema 3.1 Minimizadores de A em X0 so livres de colises. Todo minimizador tem mo-

mento angular nulo e tem a forma

x(t) = (q(t),q(t +4T ),q(t +8T ))

onde q(t) uma curva em "forma de 8"

A.Chenciner e R.Montgomery em [6] provaram o teorema 3.1 e a prova consiste em trspartes. Primeiramente eles reduziram o problema de minimizao de A para minimizao do

funcional ao reduzido Ared , onde

Ared(x) =

T

0Kred(x)+U(x)dt,

e Kred = 12 |x|2 ||2

2I (onde o momento angular) proveniente decomposio da energiacintica de Saari (ver [6]). A energia cintica pode ser expressada como a soma de dois termosno negativos: K =Kred +Krot (Esta decomposio de Saari da velocidade ). Kred correspondea mtrica Riemanniana do espao quociente V/SO(2) induzida pela mtrica K em V . Krot = ||

2

I

com momento angular(ver [6]). Um minimizador de A em X0 tem momento angular nulo,e consequentemente tambm um minimizador de Ared emX0.

Lema 3.1 Em coordenadas esfricas, a mtrica quociente correspondente a energia cinticareduzida Kred ocorrendo na ao reduzida dada por

ds2 = dr2 + r2

4(cosd2 +d2).

Em particular a forma esfera I = r2 = 1 isomtrico a uma esfera padro de raio 12 e o espaoR

3 um cone sobre esta esfera e a prpria esfera consiste de todos os pontos de distncia 1 dacoliso tripla.

Demonstrao. Ver [6], pgina 891.

A segunda parte dessa prova, onde foi usado uma integrao numrica, provar a seguinte

desigualdade:

infxX0

A (x)< infxX0,C

A (x). (3.12)


AquiX0,C a coleo de rbitas emX0, isto ,X0,C := {xX0 : xi()= x j() para algum i 6=j, [0,T ]}. Ou seja, a desigualdade (3.12) nos diz que o nfimo deA atingido por caminhosque no colidem.

A limitao superior do lado esquerdo dada aproximadamente por 2.5260T 13 , e o lado

direito a limitao inferior dada pela constante 3(pi4 )2/3T 1/3 2.5538T 1/3. A diferena entre

essas duas de aproximadamente um por cento. Tal prova numrica de (3.12) provm domtodo usado em [6]. Na prxima seo daremos uma prova analtica para (3.12).

A ltima parte dessa prova descreve a forma da rbita, inclusive mostrando que cada parte

da figura oito star-shaped. Para maiores detalhes ver [6].

3.3 Excluindo Colises

Para provar que a rbita minimizante da ao da seo anterior no tem qualquer coliso,

A. Chenciner e R. Montgomery comparam a ao da rbita com a ao para o problema de

dois corpos. Eles usaram o Teorema de Gordon (Teorema 2.1) para obter uma limitao in-ferior sobre todos os caminhos em X0 com colises e eles escolheram um caminho particular

equipotencial que tem menor ao que todos os caminhos emX0,C. Essas duas estimativas so

encontradas por integrao numrica de forma desgastantes como afirma Kuo-Chang Chen em

[4].

Daremos agora uma prova analtica para (3.12). Para isso provaremos a seguir dois lemas eum corolrio.

Lema 3.2 Assuma T = 1. Ento 112A (x)> 2.87 para algum x X0,C.

Demonstrao. Fixe qualquer x X0,C e defina

= x := maxs1,s2[0,T ]

|x(s1) x(s2)|.

Caso: 1 2.22.Primeiro observe:

+

2(2 +2) para todo , R. (3.13)


Sendo x X0,C, seja d a distncia inicial entre m1 e m3 (ou a distncia inicial entre m2 e m3) e2d a distncia inicial entre m1 e m2. Seja [0,1] tal que a massa mi colide com m j. Mas como

|x() x(0)|,

temos que2 |x() x(0)|2

|x1() x1(0)|2 + |x2() x2(0)|2 + |x3() x3(0)|2

|xi() xi(0)|2 + |x j() x j(0)|2.(3.14)

Note que se a coliso ocorrer entre mk e m3, k {1,2}, pela desigualdade triangular e por (3.13)temos:

d = |xk(0) x3(0)| = |xk(0) x3(0) xk()+ x3()| |xk() xk(0)|+ |x3(0) x3(0)|

2(|xk() xk(0)|2 + |x3() x3(0)|2)

Mas se a coliso ocorre entre m1 e m2 obtemos:

2d = |x1(0) x2(0)| = |x1(0) x2(0) x1()+ x2()| |x1() x1(0)|+ |x2(0) x2(0)|

2(|x1() x1(0)|2 + |x2() x2(0)|2.

Ou seja |xi() xi(0)|2 + |x j() x j(0)|2 d2/2 para todo i, j {1,2,3} com i 6= j. Portanto2 d22 .

A primeira desigualdade em (3.14) continua verdadeira se trocarmos por qualquer t [0,1]. Desta forma usando a desigualdade triangular, (3.13), e que a distncia inicial entre m1 em3 d temos

r13(t) = |x1(t) x3(t)|= |x1(t) x3(t)+ x1(0) x3(0)+ x3(0) x1(0)| |x1(t) x1(0)|+ |x1(0) x3(0)|+ |x3(0) x3(t)|

2(|x1(t) x1(0)|2 + |x3(t) x3(0)|2)+d

2

2.

Note que de maneira similar


2(|x2(t) x2(0)|2 + |x3(t) x3(0)|2)+d

2

2,


e que


2(|x1(t) x1(0)|2 + |x2(t) x2(0)|2)+2d

3

2.

Ento pela desigualdade de Hlder e pelas consideraes anteriores conclumos que

112A (x) =

12

10|x|2dt +

10

(1

r12+

1r13

+1

r32

)dt

12

( 10|x|dt

)2+

13

2+

12

2+

12

2

2

2+

2

23 ,

pois 10 |x|dt. Sendo f () = 22 + 223 , temos que f () = 332232 . Ou seja f estritanentecrescente para

2

33 e portanto f atinge o mmimo no intervalo [2.22,+) em = 2.22, ondef (2.22) 2.88888 que maior que 2.87

Caso 2: 0 < 2.22.

Seja x X0,C. Vamos assumir que existe coliso entre as massas m2 e m3. Os outros casospodem ser feitos de maneira anloga.

Seja =( 1

0 |x1|2dt)1/2

, ento para todo s [0,1],

|x1(s) x1(0)|=| s

0xdt |

s0|x|dt

10|x|dt ,

onde para obter a ltima desigualdade nos usamos a desigualdade de Hlder. Como x1 + x2 +

x3 = 0 e vale (3.13) temos

2 |x(s) x(0)|2

= |x1(s) x1(0)|2 + |x2(s) x2(0)|2 + |x3(s) x3(0)|2

12(|x1(s) x1(0)|+ |x2(s) x2(0)|)2 + |x3(s) x3(0)|2

|x1(s) x1(0)+ x2(s) x2(0)|2 + |x3(s) x3(0)|2

=32|x3(s) x3(0)|2


Da mesma maneira

2 |x(s) x(0)|2

= |x1(s) x1(0)|2 + |x2(s) x2(0)|2 + |x3(s) x3(0)|2

12(|x1(s) x1(0)|+ |x3(s) x3(0)|)2 + |x2(s) x2(0)|2

|x1(s) x1(0)+ x3(s) x3(0)|2 + |x2(s) x2(0)|2

=32|x2(s) x2(0)|2

e

2 |x(s) x(0)|2

= |x1(s) x1(0)|2 + |x2(s) x2(0)|2 + |x3(s) x3(0)|2

12(|x3(s) x3(0)|+ |x2(s) x2(0)|)2 + |x1(s) x1(0)|2

|x3(s) x3(0)+ x2(s) x2(0)|2 + |x1(s) x1(0)|2

=32|x1(s) x1(0)|2.

Daremos agora novas estimativas para r12 e r13 afim de conseguir uma melhor limitao para o

funcional ao :

r13(t) = |x1(t) x3(t)|= |x1(t) x3(t)+ x1(0) x3(0) x1(0)+ x3(0)| |x1(t) x1(0)|+ |x1(0) x3(0)|+ |x3(0) x3(t)|

+d +

23

+

2(

1+13

),

e de maneira anloga,

r12(t) +2d +

23 +

2(

2+13

).

Ento 10

(12|x|+ 1

r12+

1r13

)dt

2

2+

1

+

2(

2+ 13)

+

1

+

2(

1+ 13)

>2

2+

1

+

2(

2+ 13)

2.22+

1

+

2(

1+ 13)

2.22


A funo f ()= 22 + 1+2(2+ 13)2.22 +1

+

2(

1+ 13)

2.22atinge o mnimo em 0.05495356,

se 0, e f () 0.3297448 > 0.3297.

Seja A2 a ao de uma rbita kepleriana colinear com velocidade inicial nula e que colideno tempo t = 1. Ento pelo lema 2.1, A2 = 32(

pi2

2 )1/3

. Logo do teorema 2.1,

112A (x) =

10

(12|x2|2 + 12 |x3|

2 +1

r23

)dt +

10

(12|x1|2 + 1

r12+

1r13

)dt

A2 + 1

0

(12|x1|2 + 1

r12+

1r13

)dt

> 2.55376+0.32397 = 2.87773.

Assim para qualquer x X0,C.1

12A (x)> 2.87

Corolrio 3.1 Para qualquer T > 0, 112A (x) = T

0 L(x, x)dt > 2.87T 1/3 para qualquer x X0,C.

Demonstrao. De fato, seja y H1([0,T ],V ). Assim temos que y(tT ) H1([0,1],V ). Por-tanto, sendo T2/3y(tT ) = y(t) temos que:

T13

T0

L(y, y)dt = 1

0L(y, y)dt > 2.87

Com efeito, sendo ri j = 1|yiy j| temos:

10

(|y(t)|2 +

16i< j63

1ri j(t)

)dt = T 2/3

10

(|y(tT )|2 +

16i< j63

1ri j(tT )

)dt

= T1/3 T

0

(|y(t)|2 +

16i< j63

1ri j(t)

)dt

onde ri j(t) = 1|yi(t)y j(t)| .

Lema 3.3 Existe um caminho x X0 com 112A (x)< 2.64T 1/3.

Demonstrao. Considere a coleo de caminhos permancendo na shape esfera I = I0os quais se movem de E3 para M1 com velocidade constante ao longo do grande crculo { =


arctan(2sen)}. Em particular emI = 1 a energia potencial no grande crculo {= arctan(2sen)} dada por:

U() = 11+ cos

1+4sen2

+1

1+ cos(+2pi3 )

1+4sen2

+1

1+ cos(+4pi3 )

1+4sen2

pois cos = 11+4sen2 . A funo U() atinge um valor mximo ( 3.535734) < 3.536 em

[0, pi3 ]. Seja x(I0) X0 um caminho em I =I0 que move-se de E3( = = 0) para M1( = = pi/3) com velocidade constante. Seja o comprimento do caminho x(1) (como um caminhona esfera padro de raio 12 com a mtrica padro). fcil ver que

= 12

arccos14( 0.65905804)< 0.66.

A ao de x(I0) sastisfaz a seguinte desigualdade:

112A (x) =

T0

[12

(I0

T

)2+

1I0

U((t))]

dt < 12

(2I0

T

)+

TI0

.

Se g(I0) = 12(

2I0T

)+ T

I0temos que g atinge um mnimo se sobre o intervalo (0,+) e tal

mnimo dado por I0 =(

T 22)2/3

. Desta forma, para este I0 obtemos:

112A (x) 0, do momento de inrciaI (x) = x x uma 3-esfera (S3) e mapeada sobre uma 2-esfera (S2)por meio da fibrao de Hopf. O movimento pode ser mais facilmente visualizado fazendo uso

de coordenadas esfricas

(u1,u2,u3) = (r2 coscos,r2 cossen,r2 sen), (4.8)

projetando sobre a shape esfera unitria r = 1. O espao de configurao tridimensional V/SO(2) o espao de configurao reduzido. A projeo do caminho xH1([0, T ],V ) em H1([0, T ],V/SO(2))por meio de (4.6)-(4.8) chamado de caminho reduzido de x.

As seguintes observaes descreve as relaes entre os pontos da shape esfera unitria e as

configuraes dos quatro corpos:

u1 = 0 ( = pi2 ou 3pi2 ) se, e somente se, a configurao um losngulo. De fato, noteque z1 = x2 x1 = x3 x4 e z2 = x4 x1 = x3 x2. Se u1 = 0 ento |z1|= |z2|, ou seja oquadriltero formado possui os quatro lados iguais. Portanto representa um losngo.

4. Clculo variacional aplicado ao problema dos quatro corpos 65

u2 = 0 ( = 0 ou pi) se e somente se a configurao retangular. Com efeito, u2 = 0ento Re(z1z2) = 0. Mas Re(z1z2) = z1,z2= 0 ou seja z1 z2. Portanto a configurao retangular.

u3 = 0 ( = 0) se e somente se a configurao colinear. De fato, u3 = Im(z1z2) =z1 z2 = 0, ou seja z1 = az2. Assim x1,x2,x3,x4 esto em uma mesma reta. Logo aconfigurao colinear.

No plo norte ou no plo sul ( = pi2 ) a configurao um quadrado. Com efeito, se =pi2 , u1 = u2 = 0. Ou seja |z1|= |z2| e z1 z2, logo a configurao um quadrado.

(u1,u2,u3)= (1,0,0) corresponde a coliso entre m1,m4 e m2,m3; (u1,u2,u3)= (1,0,0)corresponde a coliso entre m1,m2 e m3,m4

(u1,u2,u3) = (0,1,0) corresponde a coliso entre m2,m4;(u1,u2,u3) = (0,1,0) corre-sponde a coliso entre m1,m3;

Vejamos agora algumas notaes que sero usadas no decorrer deste captulo.

Notaes :

L := {x = (x1,x2,x3,x4) V : configurao de x colinear}

D := {x = (x1,x2,x3,x4) V : configurao de x losango}

R := {x = (x1,x2,x3,x4) V : configurao de x retangular}

Q :=D R, C2 :=D L , C22 :=R L

Para relembrar mais facilmente as notaes ,L se relaciona com linha,D diamante (que lembraa configurao do tipo losango),Q quadrado, C2 coliso dupla, C22 coliso simultnea dupla.

A energia cintica pode ser expressada como a soma de dois termos no negativos: K =

Kred +Krot (Esta decomposio de Saari da velocidade ). Kred corresponde a mtrica Rieman-niana do espao quociente V/SO(2) induzida pela mtrica K em V . Krot = ||

2

Icom momento

angular (ver [6]).


O problema variacional de encontrar minimizantes de (4.5) pode ser reduzido a encontrarminimizantes do funcional ao reduzido

Ared(x) =

T

0[Kred(x)+U(x)]dt, (4.9)

onde Kred(x) = 12 |x|2 ||2

2I . De fato, seja uma curva em SO(2), ento a x ainda pertencea X = H1([0,T ],V ) . A curva pode ser escolhida de forma que o novo caminho x tenhamomento angular nulo.

4.1.2 Propriadades de U(,) restrito a shape esfera unitria

Mostraremos algumas propiedades bsicas do potncial U restritro a shape esfera .

Lema 4.2 A energia potncial U =U(,) restrito a I = 1 dada por

U(,) = 2

21+ coscos +

2

21 coscos +

11+ cossen +

11+ cossen . (4.10)

Demonstrao. Inicialmente, observe que:

I (x) = |x1|2 + |x2|2 + |x3|2 + |x4|2

= |z1|2 + |z2|2

= |z1|2 + |z2|2 +4|z1|2|z2|24|z1|2|z2|2

=

u21 +u22 +u

23.

Assim, por (4.8)

r212 = |x1 x22|= |z1|2 =12(

u21 +u22 +u

23 +u1) =

r2

2(1+ coscos),

r214 = |x1 + x2|2 = |z2|2 =12(

u21 +u22 +u

23u1) =

r2

2(1 coscos).

Note que z1,z2= 12u2, portanto

r213 = 2|x1|2 = |z1 + z2|2 = |z1|2 + |z2|2 +u2 =r2

2(1+ coscos),

r223 = 2|x2|2 = |z1 z2|2 = |z1|2 + |z2|2u2 =r2

2(1 coscos).

Logo substituindo r12,r13,r14,r23 em (4.4) encontramos (4.10)


Lema 4.3 A funo U(,) satisfaz as seguintes condies :

(a) U(0,)U(pi2 ,) para todo [pi2 , pi2 ]. A igualdade verdadeira apenas para =pi2( onde U = 42+2) e = 0 (U =+).

(b) Para qualquer [0,2pi] fixado, U(,) estritamente decrescente se (0, pi2 ), e estri-tamente crescente se (0,pi2 ).

(c) Existe M > 0 suficientemente grande tal que, para alguma curva de nvel U1(c) com c>M em {, (0, pi2 )}, a funo = () implicitamente definida por (4.10) satisfazendodd > 0.

Demonstrao. (a) Vamos calcular U(0,) e U(pi2 ,):

U(0,) = 2

21+ cos +

2

21 cos +2; (4.11)

U(pi

2,) = 1

1+ cos +1

1 cos +4

2. (4.12)

e claro que (4.11) (4.12) qualquer que seja [pi2 , pi2 ]

(b) Fixando temos quedUd =

2sencos

(1+ coscos)3/2

2sencos(1 coscos)3/2 +

12

sensen(1+ cossen)3/2

12

sensen(1 cossen)3/2 .

Note que para qualquer [0,2pi] fixado e para qualquer (0, pi2 ) temos:2sencos

(1+ coscos)3/2

12

sensen(1 cossen)3/2 .

Ou seja dUd > 0 para todo (pi2 ,0). Portanto U(,) crescente fixando e para todo (0, pi2 ).


4.2 Um problema de minimizao

4.2.1 Existncia de minimizantes

Seja X = H1(ST ,V ), S T = [0, T ]/{0, T} e T = 8T . Os caminhos em X so definidos

sobre R por extenses peridicas. Seja X0 os caminhos em X , os quais comeam com umaconfigurao quadrada e tem configurao colinear em t = T , e sejaXD a coleo de caminhosemX que tem uma configurao losango para

métodos variacionais e soluções periódicas minimizantes para os problemas de kepler, 3 e 4...

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