métodos para problemas de valor...

Angela Nieckele – PUC-Rio

REGIME TRANSIENTE Métodos para Problemas de Valor Inicial

I. Métodos de Dois Níveis

i. explícito ou Euler explícito ou Foward Euler

(Euler para frente)

Taylor para frente:

1

ootttf

t

)(;))(,(

t),t(f nn

n1n

ordem.a1.aprox0

4

t

43

t

3

32

t

2

2

t

n1n ....!4

)t(

4t6

)t(

t2

)t(

tt

t


ii. totalmente Implícito ou Euler Implícito ou Backward

Euler (Euler para trás)

Taylor para trás:

2

t),t(f 1n1n

n1n

ordem.a1.aprox0

4

t

43

t

3

32

t

2

2

1n

1nn ....!4

)t(

4t6

)t(

t2

)t(

tt

t

iii. Crank-Nicolson ou Regra do Trapézio

[(i)-(ii)]/2

t),t(f),t(f2

1 n

n1n

1n

n1n

ordem.a2.aprox0

3

1n

3

33

n

3

3

1nn

n1n ....6

)t(

t6

)t(

tt

tt22


3

Obs: Pode-se generalizar a integração de um grande

número de métodos como

tf1ftdtt

t

o

)(

t t + dt

Métodos de 2 Níveis

explícito: f = 0

totalmente implícito: f = 1

Crank-Nicolson: f =0,5


4

iv. Método Leapfrog ou Método da Regra do Ponto

Médio

Neste método, a variação de como o tempo também é

baseada em um perfil em degrau, porém o nível é baseado

no valor de obtido no instante de tempo intermediário.

t),t(f 2

1n

2

1n

n1n

n+1

n

t t+t/2 t+t


5

II. Métodos Preditor Corretor São métodos baseados em dois passos. O primeiro para

prever e o segundo para corrigir.

O método deste tipo mais popular é baseado na

integração explícita de Euler, no passo preditor. Já o passo

corretor é baseado na regra do trapézio.

- passo preditor: * valor aproximado para

t),t(f nn

n*

1n

- passo corretor:

t),t(f),t(f2

1 *

1n1nn

n

n1n

Este método é de segunda ordem, mas possui a mesma

estabilidade que o método explícito de Euler.


6

Os métodos do tipo “preditor-corretor” pertencem

a família de dois níveis, sendo a maior precisão

possível de segunda ordem. Para aumentar a

ordem, pontos adicionais devem ser utilizados.

(i) Os pontos adicionais são pontos onde a

solução já foi calculada.São os métodos de

ponto-médio, ou métodos de Adams.

(ii) Pontos entre tn e tn+1, utilizados somente para

conveniência computacional. Ex: Runge-Kutta


7

Métodos de Adams: São derivados ao ajustar um

polinômio pelas derivadas em um número de

pontos em um tempo.

Ex: Adams-Bashforth.

Ajusta-se um polinômio de Lagrange passando

pelos pontos f(tn-m, n-m), f(tn-m+1, n-m+1),.... f(tn,

n).

O resultado é utilizado para calcular a integral,

resultando em um método explícito de ordem n+1.

Para a solução de equações diferenciais

parciais, somente os métodos de ordem mais

baixa são utilizados.


8

O método de primeira ordem é o Euler explícito.

O de segunda ordem é

O de terceira ordem é

Estes métodos apresentam dificuldade para

iniciar o método, pois necessitam de dois ou mais

passos de tempo.

t),t(f),t(f33

11n1n

nn

n1n

t),t(f nn

n1n

t),t(f5),t(f16),t(f2312

12n2n1n1n

nn

n1n


9

Métodos de Runge-Kutta:

Estes métodos não apresentam a dificuldade

dos métodos de ponto médio, pois utilizam pontos

entre tn e tn+1.

O método de Runge Kutta de 2ª. ordem consiste

de dois passos. O primeiro pode ser considerado

como um meio passo preditor baseado no método

de Euler Explícito, seguido da regra corretora do

ponto médio:

),t(f2

tn

n

n*

2

1n

),t(ft *

2

1n

2

1n

n1n


10

O método de Runge-Kutta de ordem mais elevado mais

popular é o método de Runge-Kutta de 4ª. ordem. Os

primeiros dois passos utilizam o método de Euler

explícito para prever e o método implícito de Euler para

corrigir em tn+1/2. Isto seguido de um preditor baseado

na regra do ponto médio para um passo completo e a

regra de Simpson para a correção final.

),t(f2

tn

n

n*

2

1n

),t(f2

t *

2

1n

2

1n

n**

2

1n

),t(ft **

2

1n

2

1n

n*

1n

),t(f),t(f2),t(f2),t(f6

t *

1n1n

**

2

1n

2

1n

*

2

1n

2

1n

n

n

n1n

;


11


12


13


Regime Transiente – Explícito

14

substituindo as expressões para os fluxos e fonte e dividindo por t

rearrumando


15

Note que pode ser negativo


Regime Transiente – Implícito

16


rearrumando


17


Regime Transiente – Crank-Nicolson

18



19

rearrumando


20


21


Difusão Multi-dimensional

Regime Transiente

22

S z

J

y

J

x

J

t

zyx

z- J

y- J

x- J zyx

Equação Diferencial em coordenadas cartesianas:

onde


23

dtdzdydxS

dtdydxdz z

J dtdzdxdy

y

J

dtdzdydx x

Jdzdydx dt

t

t z y x

t y x z

z

t z x y

y

t z y x

x

z y x t

Método de Volumes Finitos: Integrar sobre o volume de controle, e

implicitamente no tempo. Alternando-se a ordem de integração de cada

termo, dependendo da conveniência, tem-se.


24

dtdzdyJxJxdtdzdydx x

J

t z ywe

t z y x

x

dtzyJxJx

twe

)(

tzyJxJx we )(

Assumindo os fluxos constantes ao longo das faces dos volumes de controle.

Integrando implicitamente no tempo


25

zy Sy x (J - (J

zx (J - (Jzy (J -

zy

bztz

syyxx

x

J

xt

nwe

oPp

))

))))(

)(

PPC S S S

e usado o perfil linear para avaliar os fluxos através de cada face, obtém-se

Procedendo da mesma forma para os outros termos e dividindo por t

têm-se

Linearizando a fonte como


26

0 zy x S S

y - z)(

- - ( z)(

z - ( y)(

- ( y)(

zy - ( x)(

- ( x)(

zy

PPC

BPb

bPT

t

t

SPs

sPN

n

n

WPw

wPE

e

e

)(

)()

))

))

)(

x

x

xt

oPp


27

Equação de Discretização:

baaaa a a a BBTTSSNNWWEEPP

oP

oPC

PopBTSNWEP

poP

b

bB

t

tT

s

sS

n

nN

w

wW

e

eE

azy x S b

zy x S -a a a a aa a a

zy x t

a

yx z)(

a y x z)(

a

zx y)

a zx y)(

a

zy x)(

a zy x)(

a

Note que, quando t →∞, recupera-se

a formulação para

regime

permanente.


28

S z

J

r

J

rr

Jr

t

zr

z- J

r- J

r- J zr

Equação Diferencial em coordenadas cilíndricas:

onde

Método de Volumes Finitos: Integrando sobre o volume de controler d dr dz,

e implicitamente no tempo. Dividindo por t têm-se

zrrp


29

S r (J - (J

J(r - J(r (J - J

t

rpbztz

zsrnrzrwe

oPp

))

))))(

)(

PPC S S S Linearizando a fonte como

e usado o perfil linear para avaliar os fluxos através de cada face, obtém-se

baaaa a a a BBTTSSNNWWEEPP


30

oP

oPpC

pPopBTSNWEP

ppo

P

pb

bBp

t

tT

ss

sSn

n

nN

wp

wW

ep

eE

az rr S b

z rr S -a a a a aa a a

z rrt

a

r r z)(

a r r z)(

a

z r r)

a z r )r(

a

zr )(r

a zr )(r

a

métodos para problemas de valor...

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