teorema de transporte de reynolds - mecflu2.usuarios.rdc...
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1
Equações de Conservação
Teorema de Transporte de Reynolds
Equação de Conservação de Massa (continuidade)
Equação de Conservação de Quantidade de Movimento
Linear (2a Lei de Newton)
Equação de Navier-Stokes
Equação de Energia Mecânica
Equação de Conservação de Quantidade de Movimento
Angular
2
Teorema de Transporte de Reynolds
Variação total = taxa de variação + fluxo líquido saindo
com o tempo de da grandeza grandeza específica
de uma grandeza específica no VC através da SC
de um sistema
f = grandeza específica ; r = massa específica ;
d = volume infinitesimal
d m = massa infinitesimal ; d m = r d ;
d F = grandeza no volume infinitesimal ; d F = f d m = f r d
permite transformar as equações para sistema
(massa fixa) para volumes de controle (volume fixo)
dm = r d
sistema dm = r d
SC
VC
V2
V1
3
d m=r dA L= =r dA Vn dt
quantidade da grandeza que cruza a superfície:
f d m = f r dA L= = f r dA Vn dt = f r
fluxo líquido de massa cruzando a SC
dA
dm = r d
SC
VC
V2
V1
taxa de acumulação de uma grandeza específica
rf
f
VCVC
dt
dmt
SC
AdnV
rf
SCVCsistema
AdnVdttd
d rfrf
F
nV
V
V
Vn
Vn
Vn
4
Equação de Conservação de Massa
Sistema:
00
td
mdd
td
d
sistema
r
dm = r d
sistema
Volume de controle:
A B
Variação com o tempo da Fluxo líquido de massa
da massa do volume de controle através da superfície de controle
SCVC
AdnVdt
0
rr
5
Aplicando o teorema de Leibnitz
t
a t
b t
ta t
b t
f x dx f x dx dbdt
f b dadt
f a( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
ao termo A , temos
r rt
V Ct
V C
d d . .
Aplicando o teorema de divergência de Gauss ao termo B, temos
r r V n d A div V d
VCSC
( )
Somando A com B r
r
tdiv V d
VC
( )
0
Queremos que está equação seja válida para qualquer volume, portanto, dividindo por d e
aplicando o limite d tende a zero, obtemos a equação de conservação de massa diferencial,
válida para qualquer ponto
r
r
tdiv V ( )
0 ( I )
Variação da massa Fluxo líquido de massa
com o tempo por por unidade de volume
unidade de volume
A equação acima pode ser rescrita sabendo que ρVVρ)Vρ()Vρ(
div
como r
r r
tV V
0
Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva D A
D t
A
tV A
variação local variação
temporal convectiva
temos
D
D tV
rr
0 ( II )
7
Coordenadas cartesianas:
Coordenadas curvilíneas:
Coordenadas cilíndricas:
0
w
zv
yu
xtrrr
r
0
zr u
zu
rur
rrtrr
r
r
Equação de Conservação de Massa ou
Continuidade
0
)(div V
t
r
r0 )(div V
Dt
D r
rou0
i
i
x
u
t
)(rr
Casos Particulares1. Regime Permanente:
2. Incompressível:
0)(div V
r
0)(div V
i
jij
i
i
i
jij
i
jjijj
ii
x
eeu
x
u
tx
eeu
x
uee
tue
xe
t
)(
)()(
)()( r
rrr
rrr
r0
8
Equação de Conservação de Quantidade
de Movimento Linear (2a Lei de Newton)
tD
VDff
tD
VDdfdamF cSextext
rr
força de corpo: Cf
força volumétrica,ex: força gravitacional gf g
r
força de superfície: fff pS
9
dydzxP )(
dy
dz
dydzdxxP )( ),,( zyx
- força de pressão: força normal compressivapf
dx
k
z
Pj
y
Pi
x
Pf p
Pf p
dFp,x= P dy dz - (P dy dz + P/x dx dy dz) = - P/x d
fp,x = - P/x logo fp,y = - P/y e fp,z = - P/z
10
Força de superfície viscosa resultante na direção x
yxdzz
yxzxdyy
zxzydxx
zyF zxzxzx
yxyxyx
xxxxxxx
,
zyxzyx
F zxyxxxx
,
convençãon
n
zyxf zxyxxx
x
,
dxdz
f
força viscosa: força definida por um
tensor, em cada face possui 3 componentes, dois
tangenciais e um normal
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
xx
yx
yy
y
x
z
yz
zz
xz
xy
zx
zy
11
Procedendo de forma análoga para as outras direções
zyxf zxyxxx
x
,
zyxf
zyyyxyy
,
zyxf zzyzxz
z
,
f
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyxf
zyxzyxzyxf zzyzxzzyyyxyzxyxxx
12
Equação diferencial de quantidade de
movimento na forma vetorial
coordenadas cartesianas
PgρtD
VDρ
z
τ
y
τ
x
τ
z
Pgρwvuρ
z
τ
y
τ
x
τ
y
Pgρwvuρ
z
τ
y
τ
x
τ
x
Pgρwvuρ
zzyzxzzz
w
y
w
x
w
t
w
zyyyxyyz
v
y
v
x
v
t
v
zxyxxxxz
u
y
u
x
u
t
u
13
PgρtD
VDρ grad
Pgρ grad
•Equação de Euler (fluido perfeito, não viscoso)
•Equação da Hidrostática:
Para fluidos viscosos, precisamos de uma informação
adicional: relação entre a tensão cisalhante e a taxa de
deformação do elemento de fluido
Casos Particulares:
14
pode-se demonstrar pelo uso
da equação conservação de
quantidade de movimento
angular que o tensor é
simétrico
zzzyzx
zyyyyx
zxyxxx
Equação Constitutiva para fluidos Newtonianos
IVVVf T
div3
2gradgraddivdivdiv= ])([
y
u
x
vxy
Vx
uxx
3
2
z
u
x
wxz
y
w
z
vyz
Vy
vyy
3
2
Vz
wzz
3
2
15
Equação de Navier-Stokes: Equação de
conservação de quantidade de movimento linear para
fluido Newtonianos (coordenadas cartesianas)
x
w
zx
v
yx
u
xz
u
zy
u
yx
u
x
z
w
y
v
x
u
xxz
u
y
u
x
u
t
u
x
pgwvu
rr
3
2
y
w
zy
v
yy
u
xz
v
zyv
yx
v
x
z
w
y
v
x
u
yyz
v
y
v
x
v
t
v
y
pgwvu
rr
3
2
z
w
zz
v
yz
u
xz
w
zy
w
yx
w
x
z
w
y
v
x
u
zzz
w
y
w
x
w
t
w
z
pgwvu
rr
3
2
16
A equação de Navier-Stokes simplifica bem se a massa
específica e a viscosidade foram constante
A maioria dos líquidos podem ser considerados como fluidos
incompressíveis
A viscosidade da maioria dos gases é aproximadamente constante
0 V
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
wzz
w
y
w
x
w
t
w
z
v
y
v
x
vyz
v
y
v
x
v
t
v
z
u
y
u
x
uxz
u
y
u
x
u
t
u
μz
Pgρwvuρ
μy
Pgρwvuρ
μx
Pgρwvuρ
Navier-Stokes (propriedades constantes) VμPgρtD
VDρ 2
coordenadas cartesianas
Vμf 2
17
Navier-Stokes (propriedades constantes) em coordenadas cilíndricas
2z
2
22z
2
zzzz
2θ
2
22θ
2
θθθθ
2r
2
22r
2
rrrr
z
u
θr
uz
zz
uzθr
uθr
urt
u
r2z
u
θr
u
2θθ
θθr
z
uzθr
uθr
urt
u
θ2z
u
θr
u
2rr
r
2θ
z
uzθr
uθr
urt
u
r
ur
rr
1μ
z
Pgρuuuρ
θ
u
r
2
r
u
r
ur
rr
1μ
θr
Pgρ
r
uuuuuρ
θ
u
r
2
r
u
r
ur
rr
1μ
r
Pgρ
r
uuuuρ
Direção
radial
Direção
angular
Direção
axial
Equação da Vorticidade
18
Tensor vorticidade
TVV )(W
2
1
V
2
1 = ex x+ ey y+ ez z vetor vorticidade
0
0
0
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
xy
xz
yz
y
w
z
v
x
w
z
u
z
v
y
w
x
v
y
u
z
u
x
w
y
u
x
v
W
Equação da Vorticidade
Uma característica essencial do escoamento turbulento é que estes
devem ser rotacionais, isto é a vorticidade é não nula. A vorticidade
é definida pelo rotacional do vetor velocidade
sendo igual a duas vezes a rotação do elemento de fluido.
Em notação indicial
onde
símbolo de permutação (símbolo Levi-Civita)
19
V
kijk
i
j
jji
i
kk ex
ueue
xe
kijkji eee sendo
contráriocaso0
cíclicosantisão1
cíclicossão1
),,(
),,(
),,(
kjise
kjise
kjise
ijk
A equação para a vorticidade pode ser derivada,
aplicando o rotacional na equação de Navier-Stokes
resultando em
A equação para a evolução de um elemento de linha
material infinitesimal é
Comparando as duas últimas equações, observa-se que para um
escoamento não viscoso, o vetor vorticidade se comporta da
mesma forma que um elemento de linha material infinitesimal
(teorema de Helmholtz)
20
VPtD
VD
21
r
VtD
D
2
Vstd
sd
21
Equação de Energia Mecânica
A energia mecânica de um sistema não se conserva, porém esta
equação é muito útil em diversas situações.
Pode ser obtida através do produto escalar do vetor velocidade com
a equação de conservação de quantidade de movimento linear
τPgVtD
VDV
rr
ii VVVVouVVVV
22
VVV
tVV
t
VV
tD
VDV
22
2
1
2
1rrr
rr
VPVPPV
VVV
:
VVt
VV
tVVV
t
V
tD
VD
decontinuidazero
rr
rr
rr
])([
Obs: (1)
(2)
Então, operando o produto escalar
22
jiijklijjkilklijkjlilklkjiji eeeeeeee :τ:σ
Produto escalar de dois tensores (produto duplo):
VVVVV T
:])([: 3
2
Para fluido Newtoniano
j
iij
k
k
i
j
j
i
x
u
x
u
x
u
x
uV
F
3
2:
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
k
k
j
i
i
j
j
i
j
i
3
2F
F é sempre positivo, é a
função dissipação
22
3
2
2
1
k
k
i
j
j
i
x
u
x
u
x
uF
Para fluidos Não-newtonianos pode ser negativoV
:
23
Equação de Energia Cinética
internaenergia
asívelirreverconversão
detaxa
viscosasforças
adevidotrabalho
detaxa
internaenergiaareversívelconversão
detaxa
pressãoadevido
trabalhodetaxa
cionalgravitaforça
adevidotrabalho
detaxa
cinéticaenergia
delíquidofluxo
cinéticaenergia
deaumentodetaxa
VVVPVPgVVVVt
:)( rrr 22
2
1
2
1
pode ser positivo ou negativo, dependendo se o fluido está
sofrendo expansão ou compressão. As mudanças de temperatura
podem ser grandes em compressores, turbinas ou na presença de
ondas de choque.
é sempre positivo para fluidos Newtonianos. Este termo pode
ser significativo em sistemas com viscosidades e gradientes de
velocidades elevados, como ocorre em lubrificação, extrusão rápida
e vôos de alta velocidade.
VP
V
:
24
Equação de Energia Mecânica
Trabalhando o termo podemos rescrever a equação para
a soma da energia cinética e potencial, gerando a equação de
energia mecânica
Introduzindo a definição de energia potencial potencial por unidade
de massa Y, definida com , temos que
gV
r
tV
tV
VVVgV
)()()(
)()(
YrYr
rYYr
rYYrYrr
Yg
VVVPVPVVVt
:)())( YrrYrr 22
2
1
2
1
25
Equação de Conservação de Quantidade
de Movimento Angular
Esta equação pode ser obtida com o produto vetorial do vetor
posição r com a equação de conservação de quantidade de
movimento linear
τPgrVVt
Vr
rr
r
]:[ε][I][][][
rrr
rPrgrVrV
t
Vr
é o tensor de 3ª. ordem com componentes ijk (símbolo de
permutação)
diferentes
foremíndicesdoisquaisquerse
ijkse
ijkseijk
0
213ou1323211
312ou2311231
,
,
26
kjiijk wve wv
Produto vetorial de dois vetores:
Produto vetorial de um vetor e tensor:
321
321
321
www
vvv
eee
detwv
jkiijlklkjkjii rrr eeeee
Se é simétrico:
não existe conversão de momentum angular macroscópico em
momentum angular interno, i.e, as duas formas de momentum se
conservam separadamente.
0]:[ε
27
CONDIÇÕES EM INTERFACES
Balanço de massa
Fluxo de massa na interface, devido a mudança de fase
Para obter o componente normal, vamos considerar que a interface pode ser
definida por S(x, t)=0
Em t=t+dt, ainda temos S(x + vi dt, t+dt)=0
Logo, usando uma expansão em série de Taylor 00
SemS
t
Siv
S
S
nO unitário normal de fluido 1 S< 0 fluido 2 S > 0
t
S
Sini
1nvv
nvunvu )()( i22i11 ρρm
m
n1=-n2
vi= vti + vniVelocidade da interface
vti = vsi Componente tangencial = componente
tangencial da superfície
28
CONDIÇÕES EM INTERFACES
Para superfície sólida, impermeável = 0m ivnun
00
SemS
t
Su
Condição de contorno cinemática
Superfícies sólidas para escoamento viscoso: condição de não deslizamento
00 Semi )v(un
Esta expressão não se aplica, quando existe movimento da linha de contato, porém,
ainda não existem modelos bem definidos para essas situações
0 SemivuParedes impermeáveis
Para a interface entre dois fluidos 021 )u(un
021 SemuuNa ausência de mudança de fase
29
CONDIÇÕES EM INTERFACES
Balanço de quantidade de movimento
(I – n n) é a projeção do plano tangente à interface
Tangencial:
nnIuun)σ(σ )( 1212 m
n1=-n2k é a curvatura nk é a tensão superficial
Decompondo nas partes normais e tangencias
k )( 121212 uun)τ(τn mpp
Ip
Normal:
nnIn)τ(τn 12
nnnI k
30
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Interface fluido-sólido: a velocidade do líquido é igual a
velocidade do sólido
condição de não deslizamento: velocidades tangenciais iguais
condição de impenetrabilidade: velocidades normais iguais
Interface plana líquido-líquido: as velocidades e tensões são
contínuas através da interface
Interface plana líquido-gás: a tensão cisalhante é nula na
interface, uma vez que os gradientes do lado do gás são pequenos.
Esta é uma boa aproximação porque gases << liquidos.
Quando as interfaces líquido-liquido ou líquido-gás são
curvas, a tensão normal não é mais contínua através da
interface, e a tensão superficial torna-se importante
31
ESCOAMENTOS EXTERNOS: em geral desejamos
determinar as forças que atuam no corpo, isto é, força de arraste e
sustentação.
Região afetada pela
presença do corpo
CAMADA LIMITE
Fora da camada limite, o
escoamento não é afetado
pela presença do corpo
forças viscosas não são
importantes
Quando o escoamento na camada limite é
desacelerado devido a uma diferença de
pressão, pode ocorrer uma reversão do
escoamento e a camada limite separa-se da
superfície do corpo, formando a esteira
ESCOAMENTOS EXTERNOS
A velocidade característica é a velocidade de
aproximação do corpo U
A dimensão característica é o comprimento do corpo
na direção do escoamento, L
32
r LURe O número de Reynolds que caracteriza a
transição neste caso é
Re 5 x 105 laminar
Re > 5 x 105 turbulento
33
ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos
buscar a relação entre vazão e queda de pressão.
• Em um escoamento interno, longe da região de entrada, observa-se que o
escoamento não apresenta variações na sua própria direção, e a pressão varia
linearmente ao longo do escoamento. O escoamento é considerado como hidro
dinâmicamente desenvolvido.
• O comportamento na região de entrada de uma tubulação apresenta o mesmo
comportamento que o escoamento externo. Portanto, estudaremos escoamentos
externos e depois aplicaremos os resultados obtidos para analisar a região de
entrada de uma tubulação.
34
ESCOAMENTOS INTERNOS
Considerando que o escoamento como hidrodinâmicamente
desenvolvido.
A velocidade característica é a velocidade média um
A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh
dAuA
1
A
Qu
TTm
m
th
P
A4D
At é a área transversal do
escoamento e Pm é o perímetro
molhado, o fator 4 é introduzido por
conveniência.
r hm DuRe
O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é
Re 2300 laminar
Re > 2300 turbulento