escoamentos internosmecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/transcal_ii_mec2348/3... · 2015-09-22 ·...

Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio

1

ESCOAMENTOS INTERNOS

Quando estudamos escoamentos internos, em geral

desejamos saber:

Qual é a força de atrito ou queda de pressão

longitudinal na direção do escoamento

Qual é o fluxo de calor ou resistência térmica na

direção normal ao escoamento.


CARACTERÍSTICAS GERAIS DE ESCOAMENTO

EM DUTOS

2

• Em escoamentos em dutos, a direção z do escoamento principal é

normalmente considerada como parabólica, ou uni-direcional.

Logo, a condução de calor e a tensão viscosa devido a gradientes

na direção z podem ser desprezados (2/z2≈ 0)

• A pressão é aproximadamente uniforme na seção transversal, e o

forçamento para a velocidade principal w é considerado como

sendo devido ao gradiente de pressão médio d /dz.

)(),,(*),,( zpzyxpzyxp

zd

pd

zd

pd

z

p

z

p

*


ESCOAMENTO HIDRODINAMICAMENTE

DESENVOLVIDO OU EM DESENVOLVIMENTO

3

Região totalmente desenvolvida: região longe da entrada.

Distribuição de velocidade é invariante com z.

w = w(x,y), u = u(x,y), v = v(x,y); = constante.

Região de desenvolvimento: região de entrada.

Distribuição de velocidade varia com z.

w= w(x,y,z), u = u(x,y,z), v = v(x,y,z).

Podemos utilizar a teoria de camada limite para analisar esta região.


ESCOAMENTO SIMPLES HIDRODINAMICAMENTE

DESENVOLVIDO SIMPLES E COMPLEXOS

4

• Em escoamentos simples hidrodinâmicamente

desenvolvidos, não existe velocidades na seção

transversal. w = w(x,y), u = 0, v = 0. A pressão p é

constante na seção transversal e varia linearmente com z.

Exemplo: escoamento laminar em um duto reto

com seção transversal uniforme e sem

força de corpo.

• Em escoamento complexos hidrodinâmicamente

desenvolvidos, as velocidades na seção transversal estão

presentes (escoamento secundário), mas o escoamento

secundário é invariante com z. Exemplos: escoamento

turbulento em dutos de seção retangular, escoamento em

dutos curvos, escoamentos afetados pelo empuxo.


5

ESCOAMENTOS INTERNOS O desenvolvimento do escoamento térmico somente ocorre se uma

diferença de temperatura for imposta entre parede da tubulação e o fluido


6


O desenvolvimento térmico pode ocorrer simultaneamente ao

desenvolvimento hidrodinâmico, somente após o desenvolvimento

hidrodinâmico ou na presença de um escoamento uniforme.

As seguintes situações de escoamento interno serão consideradas:

Escoamento hidrodinâmico e térmico desenvolvido

Escoamento hidrodinâmico uniforme, escoamento termicamente

desenvolvido

Desenvolvimento térmico na presença de campo uniforme de

velocidades

Desenvolvimento térmico na presença de campo desenvolvido de

velocidades

Desenvolvimento simultâneo hidrodinâmico e térmico

Um escoamento é considerado como termicamente desenvolvido,

quando a forma do perfil de temperatura na varia axialmente

ref

ref

T

TT

0

x


7

ESCOAMENTOS INTERNOS DESENVOLVIDO

Escoamento como hidrodinâmicamente desenvolvido.

/ x = 0

Equilíbrio de forças aceleração zero

Tensão cisalhante constante

Queda de pressão constante

dAuA

1

A

Qu

TTm

m

th

P

AD

4

tms

ttssx

Adxx

pdxP

ApAppAF

)( 210

A velocidade característica é a velocidade média

A dimensão característica é o diâmetro hidráulico,

4

hD

x

p

mP

TA

x

ps

Número de Reynolds

hm DuRe


8

m

th

P

A4D

(At é a área transversal do escoamento e

Pm é o perímetro molhado, o fator 4 é

introduzido por conveniência)

DD

D

Dh

44

2

12

12

21

22

h DD)DD(

4

DD4

D

L/H1

H2

)LH(2

LH4Dh

H2Dh H

L

D2

D1

H

círculo:

espaço anular:

retângulo: placas planas infinitas:

D

A queda de pressão adimensional, nada mais é do que o fator de

atrito (4 f = f)

2

2

1m

h

u

Dx

p

f

2

2

1m

s

u

f

Angela Nieckele – PUC-Rio

9

ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL

Escoamento viscoso pode se classificado em

escoamento laminar ou turbulento. A

diferença entre os dois está associada ao fato

que no primeiro caso, temos transferência de

quantidade de movimento a nível molecular e

no segundo a nível macroscópico.

A diferença no comportamento está

associada com as forças que atuam no

elemento de fluido. Quanto as forças viscosas

dominam em relação as forças de inércia, o

escoamento apresenta comportamento

laminar. Quando as forças de inércia

dominam, o escoamento se comporta como

turbulento.

hm DuRe Re 2300 laminar

Re > 2300 turbulento

O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é


10


O comprimento da região da entrada depende se o escoamento é

laminar ou turbulento. No caso laminar, para um duto circular, pode-

se estimar o comprimento da região da entrada como

Para o no. de Reynolds limite Re= 2300, temos que Le/D 140

Para o regime turbulento, como este está associado a uma maior

transferência de quantidade de movimento, o desenvolvimento do

escoamento ocorre para uma distância menor da entrada,

tipicamente, tem-se Le/D 40

Due m06,0D

L


11

A temperatura característica é a temperatura de mistura Tm

tm

mAu

dATuT

Escoamento Não Isotérmicos

A temperatura de mistura representa a temperatura que seria obtida

se o escoamento ocorresse com uma velocidade uniforme, com a

mesma energia transportada que o escoamento de interesse.

O fluxo de energia através da tubulação é

onde h é a entalpia.

Para gás ideal ou incompressível, podemos escrever

logo a temperatura de mistura

propriedades

uniformes

dAhuE

mpmtmpmp TcmTAucdATucEmm

dATu

u

c

c

AT

mp

p

mtm

m

1


12

ref

ref

T

TT

0

x

Escoamento Termicamente Desenvolvido

A definição de um escoamento termicamente desenvolvido é um

pouco mais geral do que a condição hidrodinâmica.

Para um escoamento termicamente desenvolvido, não existe

variação da forma do perfil de temperatura na direção principal do

escoamento.

Dependendo das condições de contorno, temos comportamento

diferentes da temperatura de mistura

Temperatura da parede constante na periferia e axialmente

Temperatura da parede constante axialmente e fluxo de calor constante

na periferia

Fluxo de calor constante axialmente e na periferia

Perda de calor para o ambiente com temeopratura e coeficiente global

de transferência de calor constante


13

O número de Nusselt é definido comok

Lh ccNu

hc é o coeficiente de transferência de calor

LC é a dimensão característica.

O número de Nusselt nada mais é do que o fluxo de calor

adimensional

kTT

Lq

k

Lh

refs

cscc

Nu

Com frequência, a temperatura de referência é a temperatura de

mistura

O número de Nusselt pode ser determinado em função da

temperatura de mistura, utilizando um balanço global de energia

srefs

c

scc

YkTT

LyTk

k

Lh

Nu


14

Balanço de Energia

outin QQ dxdx

hmdhmdxPqhm aqs

)(

dTcdh pdx

dT

P

cmTThq m

aq

p

mscs

)(

dx

dT

TT

L

Pk

cm

k

Lh m

ms

c

aq

pcc

)(Nu


15

O número de Nusselt médio na seção transversal

k

Lh ccNu

)( refs

s

TT

qh

aqP

saq

s dPqP

q

aq

1

aqP

saq

s dPTP

T

aq

1

coeficiente de transferência de calor

médio

fluxo de calor médio na seção

transversal

temperatura média da parede na

seção transversal


16

Exemplos de escoamento hidrodinamicamente e

termicamente desenvolvido

Note que se as propriedades são constantes, as equações de

conservação de energia e difusão de massa não influenciam nas

equações do escoamento (conservação de quantidade de

movimento e massa). Estas, são não lineares e devem ser

resolvidas primeiro. Com o campo de velocidade e pressão

conhecido, as distribuições de temperatura e fração em massa

podem ser determinadas.

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes: ,, k e cp

constantes

3. Regime permanente: / t = 0

4. Hidrodinâmicamente desenvolvido: / x = 0

5. Bi-dimensional: w = 0, / z = 0

6. Escoamento Laminar

7. Validade da Lei de Fourier

8. Termicamente desenvolvido

γT


17

Hipóteses:

9. Placas planas

10.Escoamento inclinado de com a

horizontal, gravidade vertical

11.p constante

g

U

y x

gy

gx

h=2 a

Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE:

Escoamento laminar hidrodinâmicamente

desenvolvido entre duas placas paralelas e

infinita

Continuidade:

ctev

z

w

y

v

x

u

0

5040 )()(

00

2

VVt

cte

)(

)(

0vCondição de contorno: y=a=h/2 ; v=0 iyuV

)(


VpgtD

VD

2

Q. M. L - direção z

Q.M.L. (Navier-Stokes):

),(

)()(

)()(

yxppz

pw

z

pg

tD

wD

wzero

z

wzero

0

40

2

0

40

Q. M. L - direção y

cos

)()(cos

)()(

gy

pv

y

pg

tD

vD

decontinuidavzerog

y

decontinuidavzero

0

2

0

)()(cos xfygp )(xfx

p

logo

então

18


Q. M. L - direção x

)()(

)()(sin

)()()()( 405040005030

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

g

xz

u

v

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

x

p

y

ug

sin

2

2

Note que a aceleração é nula, logo existe um equilíbrio de forças, a tensão

cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão e gravitacional

Note agora que u só depende de y e que p/x só pode depender de x, então

para que a igualdade anterior seja verdadeira, é necessário, que as duas

parcelas seja iguais a uma constante, logo

Kgx

p

y

u

sin

2

2

x

p

yg

sinou y

u pois

19


Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade

entre as duas placas

K

y

u

2

2

Condições de contorno:

1) y=a; u =U U=(K/ ) a2/2 + C1 a + C2

2) y=-a ; u=0 0=(K/ ) a2/2 - C1 a + C2

a

yU

a

yaKu 1

21

2 2

22

21

2

12

CyCyK

uCyK

y

u

As constante C1 e C2 podem ser

facilmente determinadas

(I)+(II) 2

2

22

2 Ca

U

22

2

2aU

C

(I) - (II) aCU 12a

UC

21

Substituindo as constantes C1 e C2 na expressão para a velocidade, determinamos os perfil

de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos

20


21

Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão

cisalhante

Vazão:

TATTm AduAuQ

a

a

ydbuQ

baUa

Q

2

3

2

; baAT 2 ;

U

aum

2

1

3

1 2

O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd

ud

a

Uy

2 onde

x

pseng

)(

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:

Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão

cisalhante

Vazão:

TATTm AduAuQ

a

a

ydbuQ

baUa

Q

2

3

2

; baAT 2 ;

U

aum

2

1

3

1 2

O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd

ud

a

Uy

2 onde

x

pseng

)(

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:


22

Caso 1: U≠ 0x

p

(1º. exemplo): obs: y’=y+a → u=U y’/h = U y’/(2 a)

a

yUu 1

2;

a

U

2

Caso 2: U0

x

p

(2º. exemplo):

22

12 a

yaKu

2

22

12 a

yau

y

maxmax ;)/(

uuaxp

u m3

2

2

2

2

22

12 a

yaKu

yK

ab

ab

P

AD

u

Ddxpf

m

th

m

h 42

244

21 2

)(;

)/(

)/(

a

yU

a

yaKu 1

21

2 2

22

a

UyK

2

U

2a

Caso 2: =0 , U=0, p/x

2a

96Ref


23

Caso 4: U 0x

p

; 22

0a

U

x

p

y U u

Caso 3: U 0x

p

a

yU

a

yau 1

21

2 2

22

;

a

Uy

2

umax onde 00 yd

ud

y U

u

a

yU

a

yaKu 1

21

2 2

22

a

UyK

2

)(max 00

y

uondeu


24

Caso 5: U 22 a

U

x

p

Neste caso, a tensão na parede inferior é nula

u

y U

a

yU

a

yaKu 1

21

2 2

22

a

UyK

2

02

2

2

2

entãoa

UKse

a

UKaayem

a

UKy

22 a

U

x

p

u

yU

Caso 6: U

O fluido próximo a parede superior direita escoa para a direita e próximo a

parede inferior escoa para a esquerda. A tensão para parede inferior é negativa,


25

u

U

Considerando agora 0, temos

Caso 7: 0U 0

seng

x

p

seng

x

p

seng

x

p (

x

p

pode ser positivo)

( sensen )

Caso 8: 0U 0

seng

x

p

seng

x

p

seng

x

p

x

p

pode ser zero, K > 0

u

U

U

u U

u


26

Se as propriedades são constantes, para um determinado campo de

velocidade e pressão, existem diversas soluções térmicas

Caso Térmico 1 - Condição de contorno térmica

Temperatura constante na placa superior: T1

Temperatura constante na placa inferior: To

swqT ,; 1

iwo qT ,;

y

x

Hipótese: 12) Sem geração de calor

13) temperatura não varia axialmente, (T/x = 0)

ESCOAMENTOS SEM VARIAÇÂO AXIAL DE TEMPERATURA


27

tD

pDTTkq

tD

TDcp graddiv

p

zero

p cT

c

q

tD

TD

2

12

)(

0

503

)()()( zerovzerozerozero

z

Tw

y

Tv

x

Tu

t

T

tD

TD

Equação da Energia:

Para propriedades constantes, = 0.

Difusão térmica: = k/( cp)

A equação pode ser rescrita

analisando o primeiro termo:

analisando o terceiro termo:

)(5

2

2

2

2

2

22

zerozero

z

T

y

T

x

TT

e finalmente o termo de dissipação viscosa,

decontinuidapelazero

k

k

i

j

j

i

x

u

x

u

x

u22

3

2

2

1


28

dissipação viscosa,

2

50

2

00

2

0

2

0

2

0

2

4

222

)(

)(

zerowzerowzerovzerovzero

wzero

vzerozero

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

22

2

a

Uy

y

uΦ

a

Uy

y

u

2

vimos que

então

2

2

2

2 a

Uy

a

UyΦ


29

substituindo na equação da energia

Φcy

T

c

k

pp

2

2

0

2

2

2

2

2

2 a

Uy

a

Uy

ky

T

temos

integrando

1

2232

223Cy

a

Uy

a

Uy

ky

T

21

22342

22612CyC

y

a

Uy

a

Uy

kT


30

21

22342

122612

CaCa

a

Ua

a

Ua

kT

21

22342

22612CaC

a

a

Ua

a

Ua

kTo

Aplicando as condições de coturno

(2) y = - a T = To(1) y = a T = T1

(I)

(II)

As constantes C1 e C2 podem ser facilmente determinadas

(I)+(II)

2

2242

1 22212

2 Ca

a

Ua

kTT o

22122

22421

2a

a

Ua

k

TTC o


31

aC

a

a

U

kTT o 1

3

1 26

2

62

11

aU

k

K

a

TTC o

4

4

1

22

3

3

1

2

2

2

1

2

1

12

3

12

3

1

18

11

2

1

a

y

TTc

a

k

c

a

y

a

y

TTc

aU

k

c

a

y

TTc

U

k

c

a

y

TT

TT

op

p

op

p

op

p

o

o

)/()]/([

(I) - (II)

substituindo e rearrumando

k

c pPr

op TTc

U

1

2

E

4

4

1

22

3

3

1

2

2

2

1

12

3

12

3

1

18

11

2

1

a

y

TTc

a

a

y

a

y

TTc

aU

a

y

a

y

TT

TT

opop

o

o

)/(Pr

)]/([Pr

EPr

Número de Prandtl: Número de Eckert:


32

2

2

1

18

1

12

1

a

y

a

y

TT

TT

o

o

EPr

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

(T - T o )/(T 1 - To )

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y/a

Pr E

0

1

2

4

8

2

12

1 EPr,

a

TTk

y

Tkq o

ay

sw

Para o Caso 1 (hidrodinâmico), K = 0(perfil linear de velocidades)

Fluxo de calor na placa superior:

Note que para Pr E > 2 o fluxo de calor entra em T1 apesar de T1 > To


33

2

12

1 EPr,

a

TTk

y

Tkq o

ay

iw

a

TTk awo

2

paw

c

UTT

2

2

1Pr

Taw é chamada de temperatura de parede adiabática ou

temperatura de recuperação, porque corresponde ao valor

da temperatura da parede inferior, quando a mesma está

isolada (conforme será demonstrado a seguir)

a

c

UTTk

qp

o

iw2

2

2

1

Pr

,

Fluxo de calor na placa inferior:


34

Caso Térmico 2 - Condição de contorno térmica

Temperatura constante na placa superior: T1

Placa inferior isolada

2q

01 q

y

x

21

22

22CyC

y

a

U

kT

1

2

2Cy

a

U

ky

T

0

y

T

a

U

kC

1

2

2

1

21

22

122

CaCa

a

U

kT

2

3

2

2

12

U

kTC

Aplicando as condições de contorno

(1) y = - a ;

(2) y = a ; T = T1


35

Substituindo C1 e C2

2

22

1 238 a

y

a

yU

kTT

pp

paw

c

UT

c

U

k

cTayTT

22

2

1

2

1 Pr)(

em y = - a

Taw é a temperatura atingida por uma superfície adiabática devido à

dissipação viscosa, variando com geometria e condições de

escoamento.


36

superiorplacanacinéticaenergia

recuperadatérmicaenergiaorecuperaçãdeFator

Pr/

)(

22

1

U

TTcr

awp

a energia cinética da placa superior é parcialmente convertida em

energia térmica.

Se a parede inferior for isolada, ocorrerá um aumento de

temperatura devido a energia convertida.

Voltando para o caso com

temperatura To na placa inferior,

o fluxo de calor através da placa

superior é

a

TTkq awo

sw2

,

Para gases Pr < 1 r < 1 ; Para líquidos Pr > 1 r > 1

escoamento de Couette sem gradiente de pressão e com U 0, é

semelhante ao escoamento da camada limite, logo acredita-se

comportamento análogo do escoamento.

paw

c

UTT

2

2

1Pr


37

Para o Caso 2 (hidrodinâmico), K ≠ 0, U=0

(perfil parabólico de velocidades)

2

2

maxa

u

4

4

1

2max

11

3

11

2

1

a

y

TTc

u

a

y

TT

TT

opo

o Pr

op TTc

u

1

2maxE

4

4

1

13

11

2

1

a

y

a

y

TT

TT

o

o EPr

número de Eckert:

maxm3

2uu


38

Para o Caso 2 (hidrodinâmico),

K ≠ 0, U=0

(perfil parabólico de velocidades)

Fluxo de calor na placa superior:

Note que para Pr E > 3/8 o fluxo de

calor entra em T1 apesar de T1 > To

4

4

1

13

1

12

1

a

y

a

y

TT

TT

o

o

EPr

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

(T - T o )/(T 1 - To )

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y/a

Pr E

0

3/8

1

2

4

8

EPr,3

81

2

1

a

TTk

y

Tkq o

ay

sw

a

c

uTTk

a

TTk

y

Tkq

p

o

o

ay

iw2

3

8

3

81

2

2

max1

1

Pr

EPr,

Fluxo de calor na placa inferior:


39

paw

c

uTT

2max

13

8 Pr

p

maw

c

uTT

2

1 6Pr

Neste caso, a temperatura de

parede adiabática é

Para um escoamento governado pelo gradiente de pressão

existem diversas possíveis velocidades de referência, i.e.,

velocidade máxima, umax, ou velocidade média, um.

O fluxo de calor pode então ser

avaliado como

Em dutos, em geral a velocidade média é

conhecida, sendo mais conveniente determinar

a temperatura adiabática de parede baseada na

mesma

a

TTkq awo

w2

Pr/

)(12

22

1

U

TTcr

awp O fator de recuperação neste caso é

A forma é a mesma que a do escoamento de Couette, mas

o coeficiente é outro.


40

ESCOAMENTOS TERMICAMENTE DESENVOLVIDO

No escoamento hidrodinâmicamente desenvolvido a velocidade não varia

na direção principal do escoamento.

No entanto, a condição de temperatura constante na direção do

escoamento (T/x = 0) é uma situação de aplicação muito limitada.

Na ausência de dissipação viscosa é necessário que o calor transferido

seja igual nas duas paredes (e o perfil de temperatura resultante é linear).

2q

1q

TT

y

x

Uma classificação mais geral e de maior utilidade consiste em considerar

como escoamento térmicamente desenvolvido aquele que a forma do perfil

de temperatura não varia com a direção principal do escoamento, isto é, a

temperatura adimensional não varia.


41

ref

s

T

TT

0

x

02

ref

s

ref

refs

ref

s

T

TTx

TT

x

T

x

T

T

TT

xx

)(

x

T

x

T

x

T refs

Definindo a temperatura adimensional como

então para escoamento térmicamente

desenvolvido tem-se

então

Note que se para um escoamento térmicamente desenvolvido a temperatura

adimensional não varia com x, então o número de Nusselt é constante, pois

como vimos corresponde a derivada do perfil adimensional na parede,

sc

c

Lyk

Lh

)/(Nu

aq

sP caq

c PdLyPk

Lh

aq

)/(Nu

1


42

Balanço de Energia

p

aqsm

cm

Pq

dx

dT

"

Também vimos que realizando um balanço de energia em um

volume de controle infinitesimal, podemos relacionar a variação

da temperatura de mistura com o fluxo de calor transferido pelas

paredes da tubulação.

Para avaliar como a temperatura de mistura varia ao longo da tubulação é

preciso saber como o fluxo de calor varia ao longo da tubulação.

Podemos considerar diversas possibilidades:


43

I. Fluxo de calor constante

Como Nu é constante, então o coeficiente de transferência de calor médio na

seção transversal, também é.h

cteTThq mss )(

cteTTh

qms

s )(

0

x

xd

Td

x

T s

xcm

PqTT

p

aqs

mm i

Neste caso, 0

x

Tcte

k

DqT

refhsref

Entao

xd

Td

xd

Td ms

p

aqsms

cm

Pq

xd

Td

xd

Td

x

T


44

II. Temperatura da parede constante axialmente e na

periferia, neste caso o fluxo de calor varia ao longo da

periferia da parede

cteTs

0

x

Neste caso,xd

Td

x

TT

x

TTTT mmsref

msref

)()(

Para

xd

Td

x

T m

Mas

p

aqms

p

aqsm

cm

PTTh

cm

Pq

xd

Td

)(

cte

cAu

Ph

cm

Ph

xd

TTd

TT ptm

aq

p

aqms

ms)(

1

xdTT

TTd

ms

ms

)(

)(

) xTT

TT

ims

ms

(exp


45

hm

aq

m

aq

t

m

pcm

c

ptm

aq

DP

P

P

P

A

P

c

k

Luk

Lh

cAu

Ph 14

PrRe

Nu

hm

aq

ms

ms

D

xd

P

P

TT

TTd 4

PrRe

Nu

)(

)(

) X

TT

TT

ims

ms Nu(exp

Lembrando que o número de Peclet é Pe = Re Pr e

número de Graetz é Gz = Pe Dh/x

Podemos definir uma distância axial dimensional como

X = (4 Paq/Pm) (x/Dh)/Pe = (4 Paq/Pm) /Gz


46

ims

oms

L TT

TT

X

lnNu

1

totalaq

Lx

x

msaqmmp TLPhdxTTPhTTcmQio

0

)()(

totaltotal

p

aq

mm TLTLcm

PhTT

io

)(

o

oi

ms

ims

msms

total

TT

TT

TTTTT

ln

)()(

LMTDhqs

O número de Nusselt médio pode ser expresso em função da

temperatura de mistura da entrada e saída da tubulação como

O calor total transferido ao longo do duto pode ser obtido em função

das temperaturas de mistura da entrada e saída

= LMTD

(log mean temperature difference)

finalmente, temos que

totalLtotal

hm

aqTXT

D

L

P

P Nu

PrRe

Nu 4


p

aqsm

cm

Pq

xd

Td

47

III. Tubulação imersa em meio com temperara T constante e com

coeficiente de troca de calor por convecção externo he constante

0

x

Neste caso,

xd

Td

xd

TTd

xd

Tdmmref

)(

Para xd

Td

x

T m

onde As=Paq dx e U é o

coeficiente global de troca de

calor é

p

aqm

p

aqsm

cm

PTTU

cm

Pq

xd

Td

)(

)(;)(

mrefref

m

TTTTTTT

TT

s

k

ee

s

AhR

Ah

AU11

1


48

s

k

ee

s

AhR

Ah

AU11

1

onde As = Paq dx é a área da parede interna da tubulação e Ae é a área da

parede externa. Rk é a resistência térmica a condução na parede.

Para superfícies planas, com espessura t, área A e condutividade térmica

da parede ks , Rk é

para tubos circulares

Ak

tR

sk

Lk

rrR

s

iek

)/ln(


49

ptm

aq

p

aqm

m cAu

PU

cm

PU

x

TT

TT

)(

1

dXD

xd

P

P

TT

TTd

hm

aq

m

m NuPrRe

Nu

)(

)(

4

XdTT

TTd

m

m Nu)(

)(

) X

TT

TT

im

m Nu(exp

x

T

Tm

temos então que

k

DU hNu


50

Para determinar o perfil de temperatura ao longo da seção

transversal, o balanço integral não é suficiente, é preciso

utilizar o enfoque diferencial.

Neste caso, é necessário é preciso conhecer o campo de

velocidade

Como mencionado, se as propriedades são constantes, o

campo de velocidade independe do campo de temperatura e

pode ser resolvido primeiramente

Já obtivemos o campo de velocidade para o caso de

escoamento entre placas paralelas (Escoamento de Couette).

Vamos agora determinar o campo de velocidade em um duto

circular (Escoamento de Hagen-Pousseuille)


51

Hipóteses:


2. Propriedades constantes (cte, =cte)

3. Regime permanente / t = 0

4. 2-D (simetria angular) v / = 0

5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0

6. Escoamento horizontal, gravidade

vertical

7. p constante

8. laminar

ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE:

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido

em um duto circular)

Continuidade:

00

2

VVt

cte

)(

)(

0vEntão r v = constante.

Condição de contorno: r=R ; v=0 iruV

)(

eveveuV rx

cos; ggsenggr

g g

D=2 R

r

x

r

gr

0

54

)()(zerozero

x

u

r

v

rr

vr


VpgtD

VD

2

Q. M. L - direção r

Q.M.L. (Navier-Stokes):

v

rr

v

r

vr

rr

r

pseng

r

vuvv

r

v

r

v

x

v

r

v

r

v

t

v

22

2

21

2

2

22

2

A aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v =0, então a equação

acima se reduz para

),(1 xfsenrgpsengr

p

11cos

1 f

rg

p

rlogo (*)

52


Q. M. L - direção

Novamente a aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v =0,

então a equação acima se reduz para

comparando esta equação com a equação (*)

v

rr

v

r

vr

rr

r

pg

r

vvuvv

x

v

r

v

x

v

r

v

r

v

t

v

22

212

2

22

2

cos

cos

1g

p

r

concluímos que

)(01

111

xfff

r

)(1 xfsenrgp

53

11cos

1 f

rg

p

r



Novamente, verificamos que a aceleração é nula, e portanto existe um equilíbrio

de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão

constante

Relembrando que a tensão cisalhante é

)()(

)()()()(

54

5403

2

2

22

21

zero

x

u

zero

r

u

zero

x

u

zero

r

u

vzero

r

u

zero

t

u

r

ur

rr

x

puvv

)()( '1

1

xfrg

x

p

r

ur

rr

r

u

r

r

r

)(1

54

senrgpp ref

A variaçao da pressão é só

hidrostática


Integrando esta equação, podemos determinar o

campo de velocidade e tensão cisalhante

Relembrando que a

tensão cisalhante é r

u

r

r

r

)(1

r

CrC

rr 1

1

2

22

r

Cr

r

u

1

2

21

2

4Cr

Cru ln

55

2) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + C2 C2 =-(K/ ) R2/4


1) r= 0 ; u e finitos (simetria; / r =0) C1 =0

22

14 R

rRKu


56

O perfil de velocidade é

2

22

14 R

rRu

ou

2

22

14 R

rR

x

pu

note que como o perfil é simétrico, a velocidade máxima ocorre na linha de centro

4)0(

2

maxmaxR

x

puruu

2

2

1R

ruu max

u R

r

x

u


57

Vazão:

TATTm AduAuQ

R

rdruQ0

2

2max

2

42

max242

2 Ru

R

RRuQ

2RAT 2

maxuum

328

22 D

x

pR

x

pum

O perfil de tensão cisalhante é : 2

r

x

p

Se 0

x

pentão < 0

n

u

R

r

x

u


58

Na parede 2

)(R

x

pRr

tensão na parede 42

)(D

x

pR

x

pRrs

O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu

Du

u

Dx

p

fm

m

m

m

64

2

1

32

2

1 222

onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4

Re

64f ;

DumRe

Note que como 4

D

x

ps

o fator de atrito também pode ser escrito como 22

2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

Na parede 2

)(R

x

pRr


)(D

x

pR

x

pRrs


Du

u

Dx

p

fm

m

m

m

64

2

1

32

2

1 222


Re

64f ;

DumRe

Note que como 4

D

x

ps


2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

Na parede 2

)(R

x

pRr


)(D

x

pR

x

pRrs


Du

u

Dx

p

fm

m

m

m

64

2

1

32

2

1 222


Re

64f ;

DumRe

Note que como 4

D

x

ps


2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

22

2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

4

2

1 2

f

u

f

m

s

fator de atrito

Esta relação independe do regime de

escoamento


59

Problema térmico

)(

))((

)(

graddiv

10

2

11 zero

ctezero

zero

ptD

pDTTkq

tD

TDc

T

tD

TD 2

)()()()( 4

22

2

2

2

403

1

zerozerouzero

rx

zero

r

T

r

Tr

rrx

T

r

Tu

r

Tu

x

Tu

t

T

r

Hipóteses adicionais:

9. Validade da Lei de Fourier

10.Dissipação viscosa desprezível

11.Sem geração de calor

12.Térmicamente desenvolvido: / x = 0

Equação de conservação de energiapc

k

2

2

2

2

max 121R

ru

R

ruu mx

Vimos que

r

Tr

rrx

T

x

Tux

12

2


60

I. Fluxo de calor constante axialmente

No caso de duto circular, devido a simetria angular, se o fluxo de calor é

constante ao longo da periferia, a temperatura da parede também é.

cteTThq mss )(

Neste caso, vimos que 0

x

cte

cm

Pq

xd

Td

xd

Td

x

T

p

aqsms

logo 02

2

x

T

substituindo

r

Tr

rrcAu

Pq

R

ru

ptm

aqs

m

112

2

2

adimensionalisando

sm

s

TT

TT

R

r

112

22

Rc

kTT

Ac

Pq

psm

tp

ms )(

Neste caso, o perímetro aquecido e molhada são iguais, Paq = Pm.


61

RDP

AD

m

th 2

4 )( mss TThq

k

DhNu

Nu2121

d

d

d

d Nu32

1

42

422 C

Nu

13

2

C

Nu

21

42

82CC

lnNu

lembrando que

temos

dividindo por

e integrando novamente

integrando


62

0

Nu

828

3 42

sm

s

TT

TT

d

u

u

R

drr

u

u

Au

dAu

m

x

m

x

tm

xm 2

2

2

1m

48

11

1

0

422

828

31221

dNu 36411

48,Nu


(i) 0 é finito e devido a simetria

A temperatura de mistura adimensional é

(ii) 1 = 0 C2 = 3/8 Nu

, logo C1=0

e


63

II. Temperatura constante axialmente, Ts=cte

Neste caso vimos que

0xd

Td s

x

T

x

T m

sm

s

TT

TT

)(PrRe

Nu)(ms

hm

aq

ptm

aqms

p

aqsm TTDP

P

cAu

PTTh

cm

Pq

x

T

14

)(PrRe

Nums

hm

aqTT

DP

P

x

T

14

então


64

2

2

x

T

x

T

xx

T

xx

T

x

mm

zero

m

x)4

2

2

2 4hm

aq

DP

P

imshm

aqm eTTDP

P

dx

Td Pe

Nu(

)(Pe

Nu

Avaliando agora a difusão axial, temos

no entanto vimos que x)

4

hm

aq

i

DP

P

mssm eTTTTPe

Nu(

02

2

dx

Td m0

2

2

x

T

r

Tr

rrcAu

PTTh

R

ru

ptm

mmsm

112

2

2

)(

Para altos valores de Peclet, pode-se desprezar o termo

acima, isto é

Podemos agora, rescrever a equação da energia, usando o fato de que

neste caso Pm=Paq


65

sm

s

TT

TT

R

r

RDP

AD

m

th 2

4

k

DhNu

d

d

d

d

Rc

kTT

cAu

PTThu

psm

ptm

aqmsm

112

22 )(

)(

2121

Nu

d

d

d

d

0

d

d 0

adimensionalisando com

e lembrando que

As condições de contorno são:

(i) (ii) 1

Angela Nieckele – PUC-Rio 66

Nu

2121

Nu

d

d

d

d

1mNu

1m

ddu

u

Au

dAu

m

x

tm

xm )( 2142

m

1Nu

Para resolver este problema é necessário utilizar um procedimento

iterativo. Um simples artifício de mudanças de variáveis resulta num

método com rápida convergência.

Considere uma nova variável

mas

Aparentemente está equação é igual a equação anterior, no entanto,

note que como

logo o número de Nusselt pode ser calculado por

Esta equação é não linear, é um problema de autovalor (problema de

Sturm-Liouville) , onde o número de Nusselt é o autovalor,


67

O procedimento consiste portanto em assumir um campo de temperatura,

que pode ser a solução do caso com fluxo de calor constante. Com este

campo, calcula-se a temperatura de mistura e o Nusselt. Com esta estimativa

de Nusselt é possível integrar a equação da energia e repetir o procedimento

até que o número de Nusselt não varie mais.

O valor convergido é

6583,Nu

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Duto circular

eta

theta

fluxo constante

Temperatura cosntante


68

III. Tubulação imersa em meio com temperatura constante e

coeficiente de troca de calor externo constante, T= cte; he = cte

)( sefs TThq ;

s

e

e

eef

k

RrR

h

rRh

)/ln(/

1

Número de Biot: s

ef

k

RhBi Nusselt:

k

D

TT

q

k

Dh

s

sefef

)(Nu

s

ef

k

k

2

NuBi

TTsBilim já que 0 efsef hqh /

cteqs 0Bilim

Definição:k

D

TT

q

k

Dh

m

s

)(

ˆuN̂

;k

D

TT

q

k

Dh

ms

s

)(Nu

;

k

D

TT

q

k

Dh

s

sefef

)(Nu

Usando resistência em série hhh ef

111

ˆ

NuNu

uN̂11

1

ef

A equação da energia

r

Trk

rruc

x

Txp

1


TT

TT

m e

R

r

2121

uN̂

d

d

d

d

NuBi

uN̂12

1

sk

k


69

Definição:k

D

TT

q

k

Dh

m

s

)(

ˆuN̂

;k

D

TT

q

k

Dh

ms

s

)(Nu

;

k

D

TT

q

k

Dh

s

sefef

)(Nu

Usando resistência em série hhh ef

111

ˆ

NuNu

uN̂11

1

ef

A equação da energia

r

Trk

rruc

x

Txp

1


TT

TT

m e

R

r

2121

uN̂

d

d

d

d

)()(ˆ)(

TThTThq

r

Tk sefmw

Rr

2

p

aqm

p

aqsm

cm

PTTU

cm

Pq

xd

Td

)(

xd

Td

x

T m

finitoou

010

)(As condições de contorno são:

1

122

2

efNuuN)(


70

Distribuição de temperaturas

Casos limites: hef>>k/R (Bi → ∞) hef<<k/R (Bi → 0)

Tw ≈T∞=cte qw =heΔT (cte)

1

1

s

cewef

s

wes

s

ce

k

LhBizerocteqqdouNNu

TT

qhTT

k

LhBi

ˆ

)(


71


72

Hipóteses:


2. Propriedades constantes (cte, =cte)

3. Regime permanente / t = 0

4. não existe escoamento na seção

transversal, u = v = 0

5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0

6. Escoamento horizontal, gravidade

vertical

7. p constante

8. laminar

ESCOAMENTO EM UM DUTO DE SEÇÃO QUADRADA

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente

desenvolvido, simples )

kyxwV

),(

VpgtD

VD

2 Q.M.L. (Navier-Stokes):



),(

)(

)(

zyppx

pu

x

pg

tD

uD

uzero

x

uzero

0

0

2

0

0

Q. M. L - direção y

gy

pv

y

pg

tD

vD

vzerog

y

vzero

)(

)(

0

2

0

)(zfygp )(zfz

p

logo

então

73


74

equação de quantidade de movimento linear

na direção z

z

p )

z

w

y

w

x

wμ (g

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

2

2

2

2

2

2

z

0

dz

pd

y

w

x

w μ

2

2

2

2

Já que u = v = 0 e w/z = 0, os termos de convecção da

equação de quantidade de movimento linear na direção z

são nulos. Então


75

Seja D uma dimensão típica da seção transversal. Definido

as seguintes variáveis adimensionais: X = x/D, Y = y/D,

W=w /[D2 (-dp/dz)], a equação de quantidade de

movimento linear na direção z fica igual a

A solução da equação não requer o conhecimento do gradiente de

pressão ou do número de Reynolds. O perfil de velocidade

parabólico em um duto circular ou canal é um exemplo familiar da

solução da equação de quantidade de movimento linear na

direção z.

0 1 Y

W

X

W

2

2

2

2


76

O fator de atrito f velocidade média na

seção transversal é

/2wρ

D/dz)pd(f

2h

tAt

AdwA

w1

Vemos que o produto fRe é

Definindo-se o número de Reynolds como /Re hDw

22

Ref

D

D

W

h

Portanto, o produto fRe é constante

para um escoamento laminar

hidrodinâmicamente desenvolvido.

Para um duto de seção circular este

valor é 64 e para um canal formado por

placas paralelas é 96, e para duto de

seção quadrada é 56,4.


77

Para geometrias não circulares existem duas situações possíveis para

constante axialmente:

1. constante na periferia. Neste caso Ts varia ao longo da periferia. Por

exemplo, existe um fio enrolado na superfície da tubulação, gerando

calor uniformemente.

sq

Em ambos os casos, o número de Nusselt varia ao longo da periferia,

sendo o número de Nusselt média função da temperatura média da

parede e do fluxo de calor médio na parede.

sq

sq 2. Ts constante na periferia, com variando. Nas quinas, o fluxo de calor

cai, pois consiste de regiões de baixa velocidade, induzindo a uma

menor contribuição convectiva. Este caso pode ocorrer quando o

material da tubulação possui alta condutividade térmica, levando a uma

distribuição uniforme de temperatura da parede na seção transversal


78

y

Tk

y

x

Tk

x

z

Tw ρ c p

hm

aqms

ms DP

P

xd

TTd

TT

141

PrRe

Nu)(

)(

z T/w ρ c p

0 )W(W/ Y

X 2

2

2

2

Equação da energia

Vimos que para temperatura de parede constante axialmente

em função de

com = 0 nas paredes.


79

As soluções de transferência de calor são independentes do

número de Reynolds e do número de Prandtl, e fornecem

números de Nusselt constante.

Este problema pode ser resolvido facilmente com algum método

numérico

• O fator de atrito é f Re = 56,4 e o número de Nusselt é Nu =

2,98 para temperatura constante nas paredes axialmente e na

periferia.

• Para fluxo de calor constante axialmente, duas situações podem

ocorrer.

• Fluxo de calor constante na constante na periferia,

resultando em Nu = 3,09

• Temperatura constante na periferia, tem-se Nu=3,61.


80

Campo de velocidade hidrodinamicamente

desenvolvido

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Velocidade Axial

x

y


81

Campo de temperatura termicamente

desenvolvido, na presença do campo

hidrodinamicamente desenvolvido

Temperatura constante axialmente e na periferia

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Temperatura

x

y


82




Fluxo de calor constante axialmente e

temperatura constante na periferia

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Temperatura

x

y


83




Fluxo de calor constante axialmente e na

periferia

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Temperatura

x

y


84

Variação do fluxo de calor ao longo das quatro paredes, norte, sul,

leste e oeste, para os três casos: Temperatura constante

axialmente e na periferia, e calor constante axialmente com

temperatura constante na periferia e fluxo de calor constante

axialmente e na periferia.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Grá fico de qw e qe versus y ; qn e qs versus x

y e x

fluxo d

e c

alo

r

qwqeqsqn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-6

-4

-2

0

2

4

6Gráfico de qw e qe versus y ; qn e qs versus x

y e x

fluxo d

e c

alo

r

qwqeqsqn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Gráfico de qw e qe versus y ; qn e qs versus x

y e x

fluxo d

e c

alo

r

qwqeqsqn


85

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y/H

0

1

2

3

4

5

6

qw

* D

h /[k

* (

Tw

- T

b)]

Duto QuadradoEscoamento Desenvolvido

Tw = cte (axial e periferia)

qw = cte (axial e periferia)

qw = cte (axial) Tw = cte (periferia)


86

Escoamentos Complexos Totalmente Desenvolvidos

O campo de velocidades e o campo de uma temperatura adimensional

apropriada são independentes de z, mas existe um escoamento

transversal.

O problema computacional não é mais um problema de condução de calor.

Os termos de convecção encontram-se presentes, e os mesmos devem ser

obtidos através da solução do campo de escoamento bidimensional na

seção transversal.

Os conceitos de região termicamente desenvolvida continuam a ser

aplicáveis.

Os resultados do campo de escoamento dependem de um parâmetro de

força de corpo ou do número de Reynolds. Os resultados de transferência

de calor dependem adicionalmente do número de Prandtl.


87

Exemplo: Escoamento em um duto de seção quadrada, fazendo curva com alto raio de

curvatura

L, Tw

Tw

L

Tw

Tw

R>>L

Hipóteses:

1. Regime permanente: 0 t/

2. Propriedades constantes (k, cp, ,

3. Escoamento hidrodinamicamente desenvolvido: 0 / ;

),,(*)(),,( xrppxrp ; cterp )/( ; )/(*)/( rprdpd

4. Pressão modificada: P=p*(r,,x)-gx

5. Termicamente desenvolvido com Temperatura de parede constante;

wm

w

TT

TT

0

r

rd

dT

r

T m


88

cterp )/(

01

x

u

r

ur

rxr

Solução acoplada da continuidade com a equação de quantidade

de movimento linear para determinar, P, ux ; uq e ur,

Com o campo de velocidade conhecido, pode-se determinar o

campo de temperatura.

Continuidade:

2

2

2

21

x

u

r

u

r

ur

rrr

P

r

u

x

uu

r

uu rrrr

xr

r

2

21

x

u

r

ur

rrx

P

x

uu

r

uu xxx

xx

r

2

2

2

1

x

u

r

u

r

ur

rrr

p

r

uu

x

uu

r

uu r

xr

Quantidade de movimento linear


89

L

uu

L

uu x

xr

r//

**

Neste caso, o campo de velocidade vai depender do raio de

curvatura e número de Reynolds

Adimensionalisando

2

2

2

22 1

X

uuuPU

X

uu

uu rrrr

xr

r

*****

**

* Re

2

21

X

uu

rX

P

X

uu

uu xxx

xx

r

*****

**

L

xX

L

r

01

X

uu xr

**

2)/(

*

L

PP

mV

uU

2

mV

pP

*

wm

w

TT

TT


90

2

2

2

1

X

UUUPUu

X

Uu

Uu r

xr

**

** Re

Direção angular (principal do escoamento)

Energia:

2

21

x

T

r

Tr

rrk

rd

dTuc

x

Tu

r

Tuc m

pxrp

2

2114

XU

Xuu xr

PrPr

Nu**

LLc

k

LVk

hL

AVc

Ph

dR

TTd

TT pmtmp

aq

c

ms

ms

441

PrRe

Nu)(

)(

Escoamento depende de: Re, Pr e raio de curvatura


91

Campo de velocidade axial , hidrodinâmicaemente

desenvolvido. Raio de curvatura: R/L=100


92

Campo de temperatura, com d/d=0

T=600 (em cima e em baixo) T=400 (dentro e fora)

fluxo de calor (dentro e fora)


93

H1- fluxo de calor axial constante e temperatura na periferia constante

H2- fluxo de calor axial constante e na periferia constante


94


95

Exemplos de escoamento termicamente

desenvolvido, com perfil de velocidade uniforme

Le,t Le,h

r

Tr

rrx

Tu

x

Tx

1

2

2

TT

TT

m

R

r1

mu

u


96

ptm

aqs

cAu

PTTh

x

T

)(

uN̂

d

d

d

d1

Uma revisão de Problemas de Valor Característico, na qual tipo de

equação pertence será apresentado a seguir

Esta equação chama-se equação

de Bessel.

)()(ˆ

)(

TThTThq

r

Tk

ambienteparacalordeperda

sefmw

Rr

2

finitoou

0Simetria10

)(

As condições de contorno são:

1

122

efNuuN


97

02

sp xdx

dx

dx

d

uN̂2

2 sp 12

2

ps 0

2

1

ps

p

1

2

1

xx

p

2102

2101

// uN̂uN̂ YCJC

Equação de Bessel

temos p=1 , s=1

Solução é

comparando com

uN̂

d

d

d

d1

onde Jo e Yo são as funções de Bessel do primeiro e

segundo tipo de ordem zero.

Para satisfazer a condição de contorno (1) de que a

temperatura deve ser finita no centro da tubulação,

concluímos que C2 = 0, então


98

21

01

/uN̂JC

1

0

22

2

du

u

Ru

drru

Au

dAu

mmtm

m

1

12

efNuaplicando a condição de contorno (2)

21

1

21

1

21

1

/// uN̂uN̂uN̂ JCJd

dC

d

d

21

0

21

1

21

2

/// uN̂Nu

uN̂uN̂ JJef

são autovaloresuN̂

Para encontrar a constante C1, impor que m=1

O número de Nusselt pode ser obtido a partir da equação acima


99

21

21

11

1

0

21

01 221/

//

uN̂

uN̂uN̂

JCdJCm

21

021

1

21

2

/

/

/

uN̂uN̂

uN̂J

J

Este resultado também poderia ser obtido, utilizando

a condição de contorno (2) 21

uN

2

uNuN̂uN̂ //

21

1

21

1

1

JCd

d

21

1

21

1 /

/

uN̂2

uN̂

JC

21

1

21

1 /

/

uN̂2

uN̂

JC

uN̂Nu efsVimos que uN̂uN̂

uN̂

uN̂Nu /

/

/

21

021

1

21

2J

Jef

21

1

2121

02

/// uN̂uN̂uN̂Nu

JJef

Equação para obter o

número de Nusselt


100

Bi 0.1 2 4 10 100

0.19508 2.5582 3.6408 4.7502 5.6687

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Duto circular

eta

theta

Bi=0.01

Bi=2

Bi=4

Bi=10

Bi=100

uN̂

Há um aumento na troca de calor devido ao perfil de velocidade

não desenvolvido. O fluido não adere à parede, logo não isola a

parede.

BiuN̂limBi 20 cteqs

7835,uN̂limBi cteTs

(Para k=ks Bi=Nuef /2)

escoamentos internosmecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/transcal_ii_mec2348/3... · 2015-09-22 ·...

Documents