escoamentos internosmecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/grad_eng1707/8-mecanica... · 2017-11-13 · na...

Angela Nieckele – PUC-Rio

1

ESCOAMENTOS INTERNOS

Como já mencionado, o comportamento na região de entrada de uma

tubulação apresenta o mesmo comportamento que o escoamento externo.

Podemos então utilizar a teoria vista de camada limite para prever o

escoamento nesta região.

Observa-se, no entanto, que longe da região de entrada, o escoamento

não apresenta variações na sua própria direção. O escoamento é

considerado como hidrodinâmicamente desenvolvido.

O escoamento na região da entrada de um duto pode ser

esquematizado de acordo com a figura abaixo


2

ESCOAMENTOS INTERNOS HIDRODINÂMICAMENTE

DESENVOLVIDO.

A velocidade característica é a velocidade média um

A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh

dAuA

1

A

Qu

TTm

m

th

P

A4D

hm DuRe

O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é

Re 2300 laminar

Re > 2300 turbulento

O comprimento da região da entrada depende se o escoamento é laminar ou

turbulento. No caso laminar, para um duto circular, pode-se estimar o

comprimento da região da entrada como

Para o no. de Reynolds limite Re= 2300, temos que Le/D 140

Para o regime turbulento, como este está associado a uma maior transferência de

quantidade de movimento, o desenvolvimento do escoamento ocorre para uma

distância menor da entrada, tipicamente, tem-se Le/D 40

Due m06,0D

L


3

a tensão na parede é

nos escoamentos hidrodinâmicamente desenvolvidos em tubos

horizontais, tanto no regime laminar quanto turbulento, a queda de pressão

é somente devido às tensões tangenciais nas paredes da tubulação.

r

rrx

p 10

2

r

x

p

2)(

R

x

pRrs

No entanto, o perfil de velocidade varia substancialmente para cada regime

de escoamento e para cada tipo de geometria.


4

O relação 4

D

x

ps

também poderia ter sido obtida através de um balanço de

forças no seguinte volume de controle

0xF 0

dxmPsTAdx

x

ppTAp

4

hD

x

p

mP

TA

x

ps

Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e

turbulento

p+ dxx

p

R

r

x

p s

dx


definimos como escoamento hidrodinâmicamente desenvolvido, o

escoamento interno que não apresenta variações de velocidade na

direção principal do escoamento.

Uma outra característica dos escoamentos hidrodinâmicamente

desenvolvidos, consiste no fato de que a queda de pressão ao longo

da tubulação, nesta região é constante.

5

A queda de pressão adimensional, nada mais é do que o

fator de atrito

2

2

1m

h

u

Dx

p

f

A vazão adimensional pode ser interpretada para

um determinado fluido e tubulação como o número

de Reynolds.

hm DuRe

2

12m

h

u

Df

x

p

Tensão cisalhante adimensional2

2

1m

s

u

f

ff 4


Perda de Carga A perda de carga de um escoamento em uma tubulação, está

associada com a perda de energia do escoamento, isto é, a conversão

irreversível de energia mecânica em energia térmica. Podemos utilizar

a equação da energia para avaliar a perda de carga

gzV

ie 2

2

SCVCoutroste AdnV

pede

tWWWQ

Hipóteses:

1. Propriedades constantes (cte, =cte)

2. Regime permanente / t = 0

3. não existe outras formas de trabalho

4. o volume de controle é coincidente com

fronteiras sólidas e perpendicular às fronteiras

onde existe fluxo de massa, logo não existe

contribuição do trabalho viscoso:

5. pressão e energia interna uniformes na seção

transversal

0outrosW

0W


Com essas hipóteses a equação da energia se reduz a

Vimos que o perfil de velocidade não é uniforme na seção transversal,

e que a forma do perfil depende do regime de escoamento, se é

laminar ou turbulento. Podemos substituir o perfil de velocidade

adequado e fazer a integral. O resultado pode ser representado por

11

21

22

22

1212

12

1222

dAVV

dAVV

zzgmpp

miimWQ

AA

e

)(

22

2

23

0

Vmdrr

VR

AVmVm

drrVR

;

2

2

3

0


8

12

12

21

22

1212 1

22

Lh

e

dm

Qii

gg

V

g

Vαzz

pp

gm

W

)(

Reescrevendo a equação da energia, temos

Na equação acima é o peso específico, g.

O último termo,g

phL

12

é a perda de carga entre as seções (1) e (2) e possui unidade de

comprimento.

2

2

1m

h

uD

Lfp Vimos

g

u

D

Lfh m

hL

2

2

logo


10

Logo, o nosso principal objetivo é relacionar o fator de atrito com o

número de Reynolds

Desejamos também conhecer o perfil de velocidade e de tensão

cisalhante. Para isso precisamos resolver as equações de conservação

de massa e quantidade de movimento.

Vamos introduzir as hipóteses acima nas equações de conservação

para resolvermos alguns casos particulares.

Hipóteses

1. Fluido Newtoniano


3. Regime Permanente (/t=0)

4. Bi-dimensional (w=0, /z=0)

5. Hidrodinamicamente desenvolvido na direção x (/x=0)

VpgtD

VD

2 0V

div

Continuidade Equação de Navier-Stokes


Exemplo 1: Qual a força necessário para deslocar um bloco com comprimento L= 5 cm e largura b = 10 cm, com velocidade U = 2 m/s, sobre uma mesa, sabendo que existe uma película de óleo ( =980 kg/m3; = 0,01 Pa s) de espessura h = 1 mm

U

hy x

L

shyAF

hyhy y

u

LbAs

Hipóteses:




4. 2-D (largura b >> h) / z = 0

5. L >> h esc. desenvolvido / x = 0

6. Escoamento horizontal, gravidade

vertical

7. p = patm = constante

jgg

Diâmetro hidráulico:

b

hb

P

AD

m

th

2

44

hDh 2

Determinando o regime de escoamento

23003922

hUlaminar

hDURe


12

Continuidade:

ctev

z

w

y

v

x

u

0

4050 )()(

00

2

VVt

cte

)(

)(

0vCondição de contorno: y=0 ; v=0

iyuV

)(


13

VpgtD

VD

2

Q. M. L - direção x

Q.M.L. (Navier-Stokes):

)()(

)()()()(

)()()()( 40507060

40005030

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

uxz

u

v

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

21102

2

CyCuCy

u

y

u

Condição de contorno:

1) y=0 ; u=0 C2=0

2) y=h; u=U C1=U/h

h

yUu

h

U

y

u

bLh

UAF shy

F = 0,01 Nu

U

h

y x Escoamento de Couette

tensão constante


14

Exemplo 2: Considere um escoamento laminar entre duas placas paralelas estacionárias, afastadas de 2 a. Determine a perda de carga hL, sabendo que a vazão volumétrica é Q. O fluido possui propriedades constantes e . Sabe-se que Dh = 4 a e que L >> Dh

e b >> Dh

2 ay x

L

Hipóteses:

1. Fluido Newtonianao



4. 2-D (largura b >> Dh) / z = 0

5. L >> Dh esc. desenvolvido / x = 0


vertical

7. p constante

8. Regime laminar

jgg

Já vimos que com essas hipóteses iyuV

)(

g

phL

Precisamos relacionar a queda de pressão com a vazão dAuQ

Perda de carga:


15

VpgtD

VD

2



)()(

)()()(

)()()()( 405060

40005030

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

uxz

u

v

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

x

p

y

u

2

2

Condição de contorno:

1) y=0; u / y (simetria) C1 = 0

2) y=a ; u=0 C2=1/ (- p / x ) a2/2

2

22

12 a

yau

x

p

21

2

12

11CyC

yuCy

x

p

x

p

y

u

x

pau

2

2

max

2 a

yu

x

Velocidade

máxima em

y=0

Tensão

cisalhantey

x

p

y

u


16

Vazão volumétrica:

aa

a

dya

y

x

pabdybudAuQ

02

22

12

2

2

32

02

32

3322

a

aa

x

pab

a

yy

x

pabQ

a

x

pabQ

3

3

2

tm AudAuQ

maxux

paum

3

2

3

1 2

baAt 2

L

p

x

p

Perda de carga:

g

phL

bag

LQ

g

phL 32

3

hmmm

m

m

h

Duauau

au

u

Dx

p

f

9624

2

1

43

2

1 222

Fator de atrito:Re

96f


17

Exercício 1: Um viscosímetro cilíndrico é usado para medir a viscosidade de

fluidos. Supondo que: (1) o cilindro interno gira com velocidade angular

constante w, suficientemente baixa para que o escoamento seja laminar. (b) o

escoamento possui simetria angular e não varia na direção z. (c) a distância entre

os cilindro (b-a) é muito pequena. Determine a expressão para a viscosidade do

fluido em termos do torque T necessário para fazer o cilindro menor girar, da

velocidade angula w e da geometria do cilindro

h

a

b

w

w


18

Exercício 2: Vazamento em volta de um pistão

Um sistema hidráulico opera a uma pressão manométrica de 20 MPa e 55 C. O

fluido hidráulico é óleo SAE 10 W. Uma válvula de controle consiste em um pistão

com 25 mm de diâmetro, montado num cilindro com folga radial média de 0,005

mm. Determine a vazão em volume de vazamento se a pressão manométrica do

lado de baixa pressão do pistão for 1,0 MPa. O pistão tem 15 mm de comprimento.


19

Hipóteses:




4. 2-D (largura b >> h) / z = 0

5. L >> h esc. desenvolvido / x = 0

6. Escoamento inclinado de q com a

horizontal, gravidade vertical

7. p constante

8. laminar

g

U

q

y x

gy

gx

h=2 a

Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE:

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido

entre duas placas paralelas e infinita)

Continuidade:

ctev

z

w

y

v

x

u

0

4050 )()(

00

2

VVt

cte

)(

)(

0vCondição de contorno: y=0 ; v=0

iyuV

)(


VpgtD

VD

2

Q. M. L - direção z


),(

)()(

)()(

yxppz

pw

z

pg

tD

wD

wzero

z

wzero

0

40

2

0

40

Q. M. L - direção y

q

q

cos

)()(cos

)()(

gy

pv

y

pg

tD

vD

decontinuidavzerog

y

decontinuidavzero

0

2

0

)()(cos xfygp q )(xfx

p

logo

então

20



)()(

)()(sin

)()()()( 405040005030

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

g

xz

u

v

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

q

x

p

y

ug

q sin

2

2

Note que a aceleração é nula, logo existe um equilíbrio de forças, a tensão

cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão e gravitacional

Note agora que u só depende de y e que p/x só pode depender de x, então

para que a igualdade anterior seja verdadeira, é necessário, que as duas

parcelas seja iguais a uma constante, logo

Kgx

p

y

u

q sin

2

2

x

p

yg

q sinou y

u pois

21


Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade

entre as duas placas

K

y

u

2

2

Condições de contorno:

1) y=a; u =U U=(K/ ) a2/2 + C1 a + C2

2) y=-a ; u=0 0=(K/ ) a2/2 - C1 a + C2

a

yU

a

yaKu 1

21

2 2

22

21

2

12

CyCyK

uCyK

y

u

As constante C1 e C2 podem ser

facilmente determinadas

(I)+(II) 2

2

22

2 Ca

U

22

2

2aU

C

(I) - (II) aCU 12a

UC

21

Substituindo as constantes C1 e C2 na expressão para a velocidade, determinamos os perfil

de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos

22


23

Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão

cisalhante

Vazão:

TATTm AduAuQ

a

a

ydbuQ

baUa

Q

2

3

2

; baAT 2 ;

U

aum

2

1

3

1 2

O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd

ud

a

Uy

2 onde

x

pseng

q )(

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:

Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão

cisalhante

Vazão:

TATTm AduAuQ

a

a

ydbuQ

baUa

Q

2

3

2

; baAT 2 ;

U

aum

2

1

3

1 2

O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd

ud

a

Uy

2 onde

x

pseng

q )(

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:


24

Caso 1: q U ≠ 0x

p

(1º. exemplo): obs: y’=y+a → u=U y’/h = U y’/(2 a)

a

yUu 1

2;

a

U

2

Caso 2: q U 0

x

p

(2º. exemplo):

22

12 a

yaKu

2

22

12 a

yau

y

maxmax ;)/(

uuaxp

u m3

2

2

2

2

22

12 a

yaKu

yK

ab

ab

P

AD

u

Ddxpf

m

th

m

h 42

244

21 2

)(;

)/(

)/(

a

yU

a

yaKu 1

21

2 2

22

a

UyK

2

U

2a

Caso 2: q=0 , U=0, p/x

2a

96Ref


25

Caso 3: q U 0x

p

a

yU

a

yau 1

21

2 2

22

;

a

Uy

2

umax onde 00 yd

ud

y U

u


26

Caso 4: q U 0x

p

; 22

0a

U

x

p

y U u

Caso 5: q U 22 a

U

x

p

Neste caso, a tensão na parede inferior é nula

u

y U

0222 2

entãoa

UKse

a

UKaayem

a

UKy


27

Caso 6: q U 22 a

U

x

p

O fluido próximo a parede superior direita escoa para a direita e próximo a parede inferior

escoa para a esquerda.

A tensão para parede inferior é negativa, 02

a

x

p

a

Us

u

y U


28

u

U

Considerando agora q 0, temos

Caso 7: q 0 U 0 q

seng

x

p

q

seng

x

p

seng

x

p (

x

p

pode ser positivo)

( q sensen )

q

Caso 8: q 0 U 0 q

seng

x

p

q

seng

x

p

seng

x

p

q

x

p

pode ser zero, K > 0 q

u

U

U

u U

u


29

Hipóteses:




4. 2-D (simetria angular) vq / q = 0

5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0


vertical

7. p constante

8. laminar

ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE:

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido

em um duto circular)

Continuidade:

00

2

VVt

cte

)(

)(

0vEntão r v = constante.

Condição de contorno: r=R ; v=0 iruV

)(

qq eveveuV rx

qq q cos; ggsenggr

gq g

D=2 R

r

x

r

q

gr

0

54

)()(zerozero

x

u

r

v

rr

vr

q

q


VpgtD

VD

2

Q. M. L - direção r


q

q

q

q

q

q

q

v

rr

v

r

vr

rr

r

pseng

r

vuvv

r

v

r

v

x

v

r

v

r

v

t

v

22

2

21

2

2

22

2

A aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e vq =0, então a equação

acima se reduz para

),(1 xfsenrgpsengr

pqqq

q

q

q

11cos

1 f

rg

p

rlogo (*)

30


Q. M. L - direção q

Novamente a aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e vq =0,

então a equação acima se reduz para

comparando esta equação com a equação (*)

q

q

q

q

qq

q

q

q

qq

qqqq

v

rr

v

r

vr

rr

r

pg

r

vvuvv

x

v

r

v

x

v

r

v

r

v

t

v

22

212

2

22

2

cos

qq

cos

1g

p

r

concluímos que

)(01

111

xfff

r

q

)(1 xfsenrgp q

31

q

q

q

11cos

1 f

rg

p

r



Novamente, verificamos que a aceleração é nula, e portanto existe um equilíbrio

de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão

constante

Relembrando que a tensão cisalhante é

)()(

)()()()(

54

5403

2

2

22

21

zero

x

u

zero

r

u

zero

x

u

zero

r

u

vzero

r

u

zero

t

u

r

ur

rr

x

puvv

q

q

q

)()( '1

1

xfrg

x

p

r

ur

rr

r

u

r

r

r

)(1

32

q senrgpp ref

A variaçao da pressão é só

hidrostática


Integrando esta equação, podemos determinar o

campo de velocidade e tensão cisalhante

Relembrando que a

tensão cisalhante é r

u

r

r

r

)(1

r

CrC

rr 1

1

2

22

r

Cr

y

u

1

2

2

12

4Cr

Cru ln

33

2) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + C2 C2 =-(K/ ) R2/4


1) r= 0 ; u e finitos (simetria; / r =0) C1 =0

22

14 R

rRKu


34

O perfil de velocidade é

2

22

14 R

rRu

ou

2

22

14 R

rR

x

pu

note que como o perfil é simétrico, a velocidade máxima ocorre na linha de centro

4)0(

2

maxmaxR

x

puruu

2

2

1R

ruu max

u R

r

x

u


35

Vazão:

TATTm AduAuQ

R

rdruQ0

2

2max

2

42

max242

2 Ru

R

RRuQ

2RAT 2

maxuum

328

22 D

x

pR

x

pum

O perfil de tensão cisalhante é : 2

r

x

p

Se 0

x

pentão < 0

n

u

R

r

x

u

Vazão:

TATTm AduAuQ

R

rdruQ0

2

2max

2

42

max242

2 Ru

R

RRuQ

2RAT 2

maxuum

328

22 D

x

pR

x

pum


36

Na parede 2

)(R

x

pRr

tensão na parede 42

)(D

x

pR

x

pRrs

O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu

Du

u

Dx

p

fm

m

m

m

64

2

1

32

2

1 222

onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4

Re

64f ;

DumRe

Note que como 4

D

x

ps

o fator de atrito também pode ser escrito como 22

2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

Na parede 2

)(R

x

pRr


)(D

x

pR

x

pRrs


Du

u

Dx

p

fm

m

m

m

64

2

1

32

2

1 222


Re

64f ;

DumRe

Note que como 4

D

x

ps


2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

Na parede 2

)(R

x

pRr


)(D

x

pR

x

pRrs


Du

u

Dx

p

fm

m

m

m

64

2

1

32

2

1 222


Re

64f ;

DumRe

Note que como 4

D

x

ps


2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f


37

O relação 4

D

x

ps

também poderia ter sido obtida através de um balanço de

forças no seguinte volume de controle

0xF 0

dxmPsTAdx

x

ppTAp

4

hD

x

p

mP

TA

x

ps

Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e

turbulento

p+ dxx

p

R

r

x

p s

dx


38

Exemplo 8.3: Determine o perfil de velocidade para uma película de água

escoando ao longo de uma parede vertical, com espessura constante


39

Exemplo 8.4: Um viscosímetro simples e preciso pode ser feito com

um tubo capilar. determine a viscosidade de um fluido newtoniano,

sabendo que os seguintes dados foram obtidos num viscosímetro

capilar.

•vazão em volume = 880 mm3/s

•queda de pressão = 1,0 MPa

•diâmetro do tubo: 0,50 mm

•distância entre tomadas de pressão: 1m


40

Exemplo: Deseja-se bombear glicerina a 20 C [=1000 Kg/(m3),

=1,4 Kg/(ms)] em um tubo anular horizontal. O diâmetro interno é 1 in e o

externo de 2 in. A tubo possui 2 m de comprimento. Deseja-se uma vazão

de 0,15 m3/s. Qual a potência de bombeamento necessária?

QPuAPuFPot mtm

Rin=k Rex k=0,5

hDumRe

smkR

Q

A

Qu

tm

/,)(

7961 22

)()(

)(kR

kR

kR

P

AD

m

th

12

12

144 22

laminar1790

hDum

Re

Precisamos encontra a relação entre vazão de queda de pressão

Uma vez que as hipótese são as mesmas que no caso de Hagen Pouisselle,

a equação de quantidade de movimento axial simplificada é igual e o perfil

perfil de velocidade é

2

12

4Cr

CrKu ln


41


1) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + (C1 / ) lnR + C2 C2 =-(K/ ) R2/4 - (C1 / ) lnR

R

rC

R

rRKu ln

122

14

2) r=k R ; u=0 0=(-K R2 /4 ) [1- k2] + (C1 / ) ln (k) C1 / =(K R2 /4 ) [1- k2] /ln (k)

R

r

k

k

R

r

L

RPu ln

ln

)(222 1

14

2

12

4Cr

CrKu ln

A vazão volumétrica Q é R

kRtm drruAuQ 2

kWk

kk

R

LQPot 191

2501501

1

025402

2418150

1

11

8

2244

21

224

4

2

)ln(/),(),(),(

,,

)/ln(

)()(

L

P

x

PK

QPuAPuFPot mtm

)/ln(

)()(

k

kk

L

RPQ

1

11

8

224

4

122

4

4 1

11

8

)/ln(

)()(

k

kk

R

LQP

escoamentos internosmecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/grad_eng1707/8-mecanica... · 2017-11-13 · na...

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