escoamentos em regime...

1

ESCOAMENTOS EM REGIME TRANSIENTE Regime transiente: são escoamentos que apresentam

variação com o tempo /t 0

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes (r=cte, m=cte)

3. 2-D (largura b >> d) / z = 0

4. L >> d / x = 0

5. Escoamento horizontal, gravidade

vertical

6. p=patm=cte

7. laminar

d

Exemplo: Escoamentos Próximo à uma

Parede Abruptamente Posta em

Movimento

Filmes/FilmesTransiente/MovingPlate.mov

Filmes/FilmesTransiente/MovingPlate.mov

2

Continuidade:

ctev

z

w

y

v

x

u==

0

4050 )()(

00 ===

VcteV

t

rr

r)(

0=vCondição de contorno: y=0 ; v=0

ityuV

),(=

VpgtD

VD

2= mrr

Q. M. L - direção z e y satisfeitas de acordo com as hipótese listadas

Q.M.L. (Navier-Stokes):

Q. M. L - direção x

)()(

)()()()(

)()()( 30406050

300040

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

uxz

u

v

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

m

rr =

=

2

2

y

u

t

u

= Condições de contorno, t >0

1) y=0; u =uo

2) y ∞ ; u=0

Condição inicial

1) t ≤ 0 ; u =0

para y = viscosidade

cinemática; = m/r (m2/s)

Adimensionalizando

a velocidadeou

uU =

2

2

y

u

t

u

=

4

o número 4 é introduzido por conveniência, como será visto no resultado final

tUt

U dd

~2

Podemos estimar a variação da espessura de penetração d com o tempo,

analisando a equação de momentum

t

y

4=

d

y=

Espera-se que a medida que o tempo passa, d cresce, mas a forma do perfil

mantenha-se similar. Então é conveniente adimensionalisar a coordenada

vertical com a espessura de penetração d, tal que U= U(y/d)

2

2

y

U

t

U

=

Mudança de variáveis: U= U(, t) onde = y/(4 t)0.5 e t = t

Para introduzir a mudança de variáveis na equação de conservação, é preciso

utilizar a regra da cadeia

U= U(, t) onde = y/(4 t)0.5 e t = t

mas

t

U

t

U

t

U

t

t

=

tt

y

t

2

12321

4== /

)(

5

y

U

y

U

y

U

t

t

=

yty

==

4

110 ==

ty

t

t;

t

U

yy

U

y

U

y

4

1

2

2

=

=

2

2

42t

t

=

UUUsubstituindo

Condições de contorno

1) =0; U =Uo

2) ∞ e t=0; U=0

t

U

y

U

4

1

=

t

=

U

t

U

t

U

2

Utilizando separação de variáveis: U(, t) = H() T(t)

6


1) t=0 ; T =finito l=0 e T = constante

T=1 e U() = H()

tt

=

UUU24

2

2

2

2

42t

td

Hd

d

Td

d

HdTHT =

22142

2

lt

t==

d

Hd

d

Hd

d

Td

HHT

t

tl d

T

Td

4

2

= CT lnlnln = tl

4

2

4

2l

t

= CT

7

Resultando em02

2

2

=

d

Ud

d

Ud

Condições de contorno e inicial

1) = 0 ; U =1

2) ∞ ; U 0

A condição de contorno (1) corresponde a condição de não deslizamento, enquanto

que a condição (2) engloba a condição inicial e no infinito, pois = y/(4 t)0,5

Para integrar esta equação diferencial ordinária de 2a.

ordem, observa-se que esta equação é de 1a. ordem para

d

Ud=

02 =

d

d

d

d2=

12 Clnln =

22

11

== eC

d

UdeC =

021

2CdeCU '

'

8


1) = 0 ; U =1 C2 = 1

21

0

12

=

=

'

' de

C

=

0

21

2CdeCU '

'

)()(')('

erfcerf1

21

0

2= == deUentão

2) ∞ ; U 0

erf é a função erro e erfc é a função complementar

=

=

)(),(

)(),(

t

yutyu

t

yutyu

o

o

4erfc

4erf1

A espessura de penetração pode ser definida como a distância da placa onde

a velocidade é 1% de uo. Neste caso, 2, logo td 4=

Filmes/FilmesTransiente/movingPlate_solucao.mov

Filmes/FilmesTransiente/movingPlate_solucao.mov

9

Exemplo: Escoamento transiente entre duas placas

paralelas

Hipóteses:


2. Propriedades constantes (r=cte, m=cte)

3. 2-D (largura w >> b) / z = 0

4. L >> b / x = 0


vertical

6. p=patm=cte

7. laminar

Como já vimos, a equação da continuidade incompressível é

o que implica que

0= V

ityuV

),(=

10

Exemplo: Escoamento transiente entre duas placas

paralelas

)()(

)()()()(

)()()( 30406050

300040

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

uxz

u

v

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

m

rr =

=

VpgtD

VD

2= mrr

Q. M. L - direção z e y satisfeitas de acordo com as hipótese listadas

Q.M.L. (Navier-Stokes):


2

2

y

u

t

u

=

11

Vimos que a equação de conservação de quantidade de movimento se

reduz a

2

2

y

u

t

u

=

Condições de contorno, t >0

1) y=0; u =vo

2) y=b, u=0

Condição inicial

1) t ≤ 0 ; u =0

para 0 < y ≤ b

Adimensionalizando

t

2

2 2

21 bt

btref

UU

ref==

o

uU

v=

b

y=

reft

t

t =

2

2

t

UU=

2b

t t =

O tempo característico corresponde aproximadamente ao

tempo para o momentum se difundir em uma distância b


1) t ≤ 0 ; U =0 2)=0; U=1

3) =1; U=0

12

Primeiro vamos encontrar a solução em regime permanente

2102

2

CCUd

Ud==

Condições de contorno,

1) =0; U∞ =1

2) =1, U ∞ =0

= 1)(U


1) =0; U∞=1 C2=1

2) =1; U ∞ =0 C1=-1

Substituindo na equação diferencial obtém-se

02

2

=

d

Ud2

2

t

tt UU=


1) t=0; Ut =U∞ 2) =0, U t =0

3) =1, U t =0

Procura-se solução do tipo: ),()( t tUUU =

U∞ é a solução em regime permanente e Ut é a parte transiente da solução que

desaparece quando t ∞

13

Para resolver

Vamos assumir uma solução do tipo

2

2

t

tt UU=

)()( t gfU t = Separação de

variáveis

Substituindo na equação diferencial e dividindo por f g obtém-se

2

211

t d

fd

d

gd

fg=

Como t e são variáveis independentes, e como o lado direito só depende de

e o esquerdo de t, então ambos os lados devem ser iguais a mesma constante.

Vamos definir esta constante como – c2, o que nos permite escrever

gcd

gd 2=t

022

2

= fcd

fd

t2ceAg =

)(cos)(sin cCcBf =

Problema de

Sturm-Liouville

)cos()sin( t

cCcBeAUc

t = 2

)(sin nBf nn =


1) =0, U t =0 C = 0

2) =1, U t =0 sin (c) = 0 , pois B =0 implica em solução trivial Ut=0

Porém existem infinitos valores c que satisfazem esta condição, i.e.,

são os auto-valores

cn=n , n= 0, 1, 2, 3, .....

Para cada auto-valores, existe uma auto-função correspondente fn e

função gn

n= 0, 1, 2, 3, .....

t 22nnn eAg

=

14

15

Aplicando a condição inicial: t=0, U t = U∞ temos

Para determinar as constantes Dn precisamos explorar a condição de

ortogonalidade.

=

=1

1n

n nD )sin(

Cada produto gn fn satisfaz a equação diferencial, então a solução

completa é a soma do todas as soluções particulares

=

=nnt nnDU )sin()exp( t 22

onde Dn = An Bn.

Como o termo n=0 é nulo e sin ( n )= sin (n ), podemos omitir

o valor nulo e negativos de n.

=

=1

22

nnt nnDU )sin()exp( t

16

ORTOGONALIDADE DE AUTO-FUNÇÕES

Considere a equação:

Esta equação é típica em problemas uni-dimenisonais de transferência de calor e

mecânica dos fluidos.

Considere a equação submetida a condições de contorno homogêneas no

intervalo (a, b).

032

212

2

= yxfxfxd

ydxf

xd

yd)()()( l

022

2

= fcd

fd

A solução deste problema irá gerar autofunções jn (x) correspondentes a

autovalores ln (x).

A equação do exemplo transiente nas placas é um caso particular desta

equação, com y = f, f1=f2=0 e f3=1. l=c é o auto-valor

17

A equação anterior pode ser reescrita como:

) ) ) 02 =

yxxq

dx

dyxp

d

d

xl

) )

) ) )

) ) ) )

==

=

=

dxxf

dxxf

exffxpx

xfxpxq

exp

1

1

33

2com

No exemplo do escoamento transiente entre placas:

p(x) =1 ; q(x)=0 ; (x) =1

18

Funções ortogonais: Sejam jn (x) e jm (x) duas auto-funções

correspondentes a auto-valores ln e lm distintos. Estas funções

são ortogonais num intervalo (a, b) com respeito a função peso

(x) pois:

)(;)()()( nmdxxxxb

amn = 0jj

Voltando ao exemplo: Para determinar as constantes

Dn vamos utilizar a condição de ortogonalidade.

então

nmquando1/2nmquando0

1

01

1

1

0

1

===

==

dmnDdmn

n

m

)sin()sin()sin()(

)/(

,...,, 3212

== nn

Dn

)sin()( =

=

nn

nD1

1

)sin()sin()sin()( =

=

mnmn

nD1

1

19

A solução final é

Observações:

Exceto para os primeiros instantes de tempo, a série infinita converge

rapidamente, isto é, somente os primeiros termos contribuem de forma

apreciável.

No limite dos instantes de tempo inicias, essa solução é equivalente a

solução de uma única parede colocada em movimento abruptamente.

Pois para os primeiros instantes de tempo, o movimento do fluido só

ocorre próximo a placa inferior, como se o fluido “não sentisse” a

presença da parede em y=b.

=

=1

2221

n

nnn

U )sin()exp()(),( t

t

20

Exemplo: Escoamento próximo ao uma placa

oscilante com descolamento X(t)= Xo sin t

(Problema de Stokes)Hipóteses:


2. Propriedades constantes

(r=cte, m=cte)

3. 2-D (largura b >> d)

/ z = 0

4. L >> d / x = 0

5. Escoamento horizontal,

gravidade vertical

6. p=patm=cte

7. laminar

Como já vimos ityuV

),(=2

2

y

u

t

u

=

)cos(),( tXtu

ov

otddX

==0

21


1) y=0 ; u =vo cos ( t)

2) y ∞, u 0

Deseja-se a solução periódica permanente, isto é, após o

desaparecimento do transiente inicial logo, a condição inicial não é

necessária.

As partículas de fluido estarão sujeitas a oscilações com freqüência ,

porém com ângulo de fase e amplitude que são função somente da

posição.

Para a obtenção desta solução “permanente periódica” é

conveniente utilizar uma técnica baseada em números complexos. A

solução desejada é a solução assintótica para t ∞.

22

Números Complexos: definições básicas

Um número é complexo quando possui uma parte imaginária, i.e., uma

parte proporcional a . Este número pode ser representado

no plano como mostrado na figura.

1=i

Observações:

Representação cartesiana: a + b i

Representação polar: r (cos q + i sin q) = r eiq

(a + b i ) = a é a parte real de a + b i

{a + b i} = b é a parte imaginária

23

(a + b i )2 = a 2 - b2 + 2 a b i

(a + b i ) (a - b i ) = a 2 + b2

(a + b i )-1 = (a - b i ) /[(a + b i ) (a - b i ) ]= (a - b i ) / (a 2 + b2)

Para encontrar (i)0,5 na forma a+bi, proceder como segue

120

2

22

222

==

===

baeba

ibabaibaibiai )(

então )( ii = 12

1

))( ii

i

i

i=== 1

2

11

2

26


1) y=0 ; u =vo cos ( t)= vo { ei t}

2) y ∞, u 0

Voltando ao Escoamento próximo a

uma placa oscilante com descolamento

X(t)= Xo sin t

2

2

y

u

t

u

= THU = 2

2

21l

==

y

H

t

T

HT

02 =l= Tdt

dT)exp( tAT 2l=

Hy

H

l

2

2

2=

l2iraizes =

-

= yiDyiCH

l

l 22expexp

ADDACC ';' ==)exp(expexp tyiDyiCU 222

l

l

l

=

))exp()()][exp()cos(; tDCtiVtVUy oo20 l =

l i= 2oVDC =

27

)( ii = 12

1)()( 1

2

11

2

11 =

== iiiii

)()( iiiii =

= 1

2

11

2

1 )( iy

iiyi =

=

1

2

2

l

) )exp()(exp)(exp tiyiDyiDVU o

= 1

21

2

00 = DVUy o; )exp()(exp tiyiVU o

= 1

2

}{}{),( /(//)( tyiyo

tiiyo eeeetyu == 2221 vv

)/cos(),(/

2v2

ytetxuy

o =

28

Finalmente a solução é

Observações:

O perfil de velocidade possui a forma de uma oscilação harmônica

amortecida, cuja amplitude é , na qual uma camada de fluido

a uma distância y possui um atraso com respeito ao movimento

da parede.

A influência do movimento da placa no fluido encontra-se restrita a

Duas camadas de fluidos, separadas uma distância igual a ,

oscilam em fase.

)/cos(),(/

2v2

ytetxuy

o =

2v

/yo e

2/y

25 /y

22 //

29

Exemplo: Inicialização de Escoamento

em Duto Circular

Hipóteses:


2. Propriedades constantes

(r=cte, m=cte)

3. 2-D (axi-simétrico) / q = 0

4. L >> R / x = 0

Como já vimos, a equação da continuidade incompressível é

o que implica que

0= V

itruV

),(=

qq eveveuV rx

=

qq q cos; ggsenggr ==

gq g

D=2 R

r

x

r

q

gr


vertical

6. Laminar

7. Fluido em repouso

8. t 0, gradiente de pressão imposto

30


=

= )()()()()( 54

540

2

2

22

21

zero

x

u

zero

r

u

zero

x

u

zero

r

u

vzero

r

u

t

u

r

ur

rrx

puvv

q

q

q

m

r

Condições de contorno : 1) r=0 U=finito 2) r=1 U=0

Condição inicial: 1) t=0 U=0

=

r

ur

rrx

p

t

u

m

r

1

=

t

UU 11

2Rxp

uU

m

/=Adimensionalizando

R

r=

2R

t t =

Condições de contorno : 1) =0 U=finito 2) =1 U=0

Condição inicial: 1) t=0 U=0

31

),()( t tUUU =

011

=

U

=

t

tt UU 1

Condições de contorno :

1) =0 U∞=finito C1=0

2) =1 U ∞ =0 C2=1/4

21

2

4CCU =

ln

Condições de contorno : 1) =0 U∞=finito 2) =1 U ∞ =0

1) =0 Ut=finito 2) =1 U t =0

e inicial 3) t =0 Ut = - U∞

)(21

4

1=U

011

=

U

32

)()(),( tt TU t =

=

t

tt UU 1

=

t d

d

d

d

d

Td

T

111

Td

Td 2lt

=

l

21=

d

d

d

d

2l=

Funções de Bessel

)exp( tl2= oCT

33

Funções de Bessel ) ) ) 02 =

yxxq

dx

dyxp

xd

dl

=

=

=

2

1

2

2

202

ps

p

psDefinindospx

dx

dx

dx

d sp

m

qq

=

m mq

1

2

1

xxGeralSolução

p

:

(soluções particulares)

Real

Fracioário

Zero ou Inteiro

Funções de Bessel

de 1a e 2a espécie

Imaginário Fracioário

Zero ou Inteiro

Funções de Bessel

Modificadas de

1a e 2a espécie

)n=

)

nn JJ

YouJJ

)n=

)

nn I

ou

= 2sp rx=q

Obs. Se trate-se de equações equidimensional, cuja solução geral é do tipo

34

) ) )

)

) ) ) )

)

sen

mxJmxJmxY

kk

mxxmJ

k

k

k

=

=

=

cos

!

/

1Γ

21

2

0

) )

) ) )

=

==

sen

nnnn

1ΓΓ

Γ1Γ !onde função Gama:

Funções de Bessel

)

)

=

==

2121Γ

01Γ

//

!

35

Funções de Bessel

Modificada )

) )

) ) )

)

sen

mxmxmx

kk

mx

mxk

k

=

=

=

2

1Γ

2

0

2

!

36

) )

)

) ) ) )

) )

) ) ) )

) ) )

=

==

=

==

=

==

paramxmxm

YJparamxmxmmx

xd

d

paramxmxm

YJparamxmxmmx

xd

d

paramxm

YJparamxmmx

xd

d

x

x

x

x

1

1

1

1

1

1

,,

,,

,,

) )

)

) )

)

=

==

=

==

paramxmx

KYJparamxmxmxx

d

d

paramxmx

IYJparamxmxmxx

d

d

x

x

1

1

1

1

,,

,,

Derivadas das Funções de Bessel:

Caso

especial,

para

0=

37

p = 1; s = 1; m = 1; v = 0; = l real

função peso w) =

Voltando ao problema

)()( ll oo YCJC 21 =

02 =

l

d

d

d

d

=

=

=

2

1

2

2

202

ps

p

psDefinindospx

dx

dx

dx

d sp

m

qq

Condições de contorno :

1) =0 = finito C2=0

2) =1 = 0 Jo(ln)=0

ltl=

=t

1

2

nnonn JAU )()exp()()exp( ltlt nonn JAU 2=

t TU =

38

Condição inicial : t =0 Ut = U∞

=

=1

214

1

nnon JA )()( l

=1

0

2

1

0

214

1

l

l

dJ

dJ

A

no

no

n

)(

)()(

21

31

50 )]([,

/)(

n

nnn

J

JA

l

ll=

)( nnn

JA

ll 13

2=

=

=1

2

13

2 21

4

1

nnon

nn

JJ

U )()exp()(

)( ltlll

)21

2

22

50

2

)]([)]([,

)/()(

nno

nnn

JJ

JA

ll

ll

=

0

22 231

22

=

=

)(

)()()(

no

n

no

n

n

n

n

J

JJJ

l

l

l

l

l

l

lmas

39

As primeras raizes da função de Bessel encontram-se na tabela

abaixo para valores positivo de n inteiro. Podem ser encontradas em

Mathematica usando o comando BesselJZero[n, k].

n Jo(ln) J1(ln)J2(ln) J3(ln) J4(ln) J5(ln)

1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.7715

2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.0647 12.3386

3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725 15.7002

4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6160 18.9801

5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178

http://www.wolfram.com/products/mathematica/

http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/BesselJZero.html

40

=

=1

2

13

2 21

4

1

nnon

nn

JJ

U )()exp()(

)( ltlll

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Velocidade U_{adim)

eta

=r/

R

Grafico de V x t

tau=0.0

tau=0.1

tau=0.2

tau=0.3

tau=0.4

reg perm

41

clc;

clear;

nn=1;

lambda_old(nn)=1;

for nn=1:1:12;

dif=1;

for iter=1:1:100

lambda(nn)=lambda_old(nn)+besselj(0,lambda_old(nn))/besselj(1,lambda_old(nn));

dif=abs(lambda(nn)-lambda_old(nn));

lambda_old(nn)=lambda(nn);

end

lambda_old(nn+1)=lambda_old(nn)+2.5;

end

lambda

42

for i=1:1:5

tau(i)=0.1*(i-1);

for j=1:1:11

eta(j)=0.1*(j-1);

vel_infty(j)=0.25*(1-eta(j)*eta(j));

velocidade_t(j)=0;

for n=1:1:12

dn=-2/(lambda(n)^3*besselj(1,lambda(n)));

velocidade_t(j)=velocidade_t(j)+

dn*exp(-lambda(n)^2*tau(i))*besselj(0,lambda(n)*eta(j));

end

vel(I,j)=vel_infty(j)+velocidade_t(j);

end

for j=1:1:11

vel_1(j)=vel(1,j);

vel_2(j)=vel(2,j);

vel_3(j)=vel(3,j);

vel_4(j)=vel(4,j);

vel_5(j)=vel(5,j);

end

figure(1)

plot(vel_1 ,eta,vel_2,eta,vel_3,eta,vel_4,eta,vel_5,eta,vel_infty,eta);

legend('tau=0.0','tau=0.1','tau=0.2','tau=0.3','tau=0.4','reg perm') ;

title('Grafico de V x t');

ylabel('eta=r/R');

xlabel('Velocidade U_{adim)');

escoamentos em regime...

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