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Angela Nieckele – PUC-Rio

1

ESCOAMENTO TURBULENTO

a turbulência em geral surge de uma instabilidade do escoamento em

regime laminar, quando o número de Reynolds torna-se grande. As

instabilidades estão relacionadas com interações entre termos

viscosos e termos de inércia não lineares nas equações de

quantidade de movimento linear.

Os efeitos advectivos altamente não lineares, são efeitos

amplificadores de perturbações é geradores de instabilidades. Por

outro lado os efeitos difusivos são amortecedores ou inibidores da

formação de instabilidades.

O escoamento turbulento é governado pelas equações de

conservação já apresentadas, porém é sempre 3D e transiente


2

Atualmente existem basicamente três métodos para se analisar um escoamento turbulento, os quais serão descritos a seguir.

Custo

Computacional

RANS

LES

DNS

100 %

0 %

baixo alto extremadamente

alto

Grau

de

Modelagem

DNS (Direct Numerical Simulation): cálculo de todas as escalas de comprimento da turbulência.

LES (Large Eddy Simulation): cálculo dos turbilhões de grandes escalas, com uma modelagem dos turbilhões de escala menor.

RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes): modelos da turbulência estatística baseado nas

equações de Navier-Stokes médias no tempo.

Os modelos de turbulência baseados nas equações de Navier-Stokes médias no tempo RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) são baseados na decomposição da velocidade em um valor médio e uma flutuação

Equações Médias de Reynolds

'uuu

• Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente conhecer o comportamento do valor médio. A flutuação u’ (muitas vezes da ordem de 1% a 10% de velocidade média)


3

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear

As equações de Navier-Stokes médias no tempo são obtidas através

da média temporal das equações de conservação:

Equação da continuidade (incompressível)

0x

u

j

j

j

jiij

k

k

i

j

j

i

j

iij

iji

x

uu

x

u

x

u

x

u

x

gx

p

x

uu

t

u

)(

3

2

O termo é denominado tensão de Reynolds, e envolve os

componentes das flutuações da velocidade que não são conhecidas.

''ji uu


4

Modelos de Viscosidade Turbulenta Os modelos de viscosidade turbulenta são baseados no conceito da

viscosidade turbulenta introduzido por Boussinesq em 1877. Boussinesq

propõe para o núcleo turbulento uma analogia entre as tensões

turbulentas e as tensões existentes no regime laminar.

Vimos que a tensão viscosa para um fluido Newtoniano é

IV3

2VV T

div])grad(grad[

ijijk

kt

i

j

j

itji

x

u

x

u

x

uuu

3

2

3

2

ijk

k

i

j

j

iij

x

u

3

2

x

u

x

u

Fazendo uma analogia entre a tensão laminar e turbulento, a tensão

turbulenta é definida como:

2222

i wvu2

1u

2

1 '''' é a energia cinética turbulenta,

definida como


5

ii

j

j

ief

jij

ij

i gx

u

x

u

xx

P

x

uu

t

u

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear

)(x, ttef

3

2

3

2

k

kt

x

upP

viscosidade efetiva ef:

é a viscosidade molecular

t é a viscosidade turbulenta.

VISCOSIDADE TURBULENTA cct LV

Os modelos podem ser classificados em modelos:

modelos algébricos, modelos de zero equações diferenciais

modelos de uma equação diferencial

modelos de duas equações diferenciais

modelos de n equações diferenciais


6

Modelos De Duas Equações

Estes modelos consistem na solução de duas equações

diferenciais para avaliar a viscosidade turbulenta. Na

elaboração de um modelo de duas equações, faz sentido

continuarmos utilizando a equação para a energia cinética

, devido ao pouco empiricismo usado na sua obtenção.

Como podemos utilizar qualquer combinação do tipo para

a segunda variável, várias propostas surgiram ao longo

dos anos:

Freqüência de vórtices f ( f = ½ -1) (Kolmogorov, 1942)

Produto energia versus escala de comprimento (Rodi e Spalding, 1970)

Vorticidade w (w -2 ) (Wilcox, 1988)

Dissipação e (e 3/2 -1 ) da energia cinética turbulenta

(Harlow e Nakayama, 1968 e Launder e Spalding, 1974)


7

Modelo e

O modelo e é sem dúvida o modelo que tem recebido maior atenção

devido, principalmente, aos trabalhos de Jones e Spalding (1972,

1973) e Launder e Spalding (1974). Neste modelo a velocidade

característica continua sendo Vc 1/2 e o comprimento característico

é obtido em função da dissipação (e u 3 / u 3 / e 3 /2 / e .

A viscosidade turbulenta é

e

2c

t

e

j

t

j

jj xx

Puρxt

ρ

ee

e

e

e

ee

e21 cPc

jxjxju

jxt

t

j

i

i

j

j

it

x

u

x

u

x

uP

as constantes empíricas são: c=0,09 ;

c1e =1,44 ; c2e =1,92 ; =1,0 e e =1,3


8

Modelo e

O modelo e padrão utiliza nas fronteiras a lei da parede padrão.

Isto consiste em utilizar as solução obtidas para u+ em função de y+

na região da parede

sub-camada laminar 5yparayu

núcleo turbulento 50ypara0,5yln5,2u

A figura abaixo ilustra os perfis acima, juntamente com os dados experimentais. Note que na

região entre 50y5 , correspondente a região amortecedora, os pontos experimentais

não coincidem com nenhuma das duas curvas, pois é uma região de transição, mais difícil de

ser modelada.

Recomenda-se o modelo padrão para altos números de Reynolds,

com y+ > 11,5


9

Modelo w

O modelo w pode ser derivado da equação de e

A viscosidade turbulenta é

w

*t

ww

w

w

w

w

w

e

e

eew

111111

11

2

221

cc

cPcjxjx

jujxt

t )()(

Mesma equação de que o modelo e, reescrevendo o termo de

destruição em função de w

Modelo recomendado para escoamento cisalhantes livres, com y+ < 5

Modelo w SST

Combinação dos modelo e e w . Na região da parede

emprega w e longe da parede e


10

ESCOAMENTO HIDRODINÂMICAMENTE

DESENVOLVIDO TURBULENTO

a tensão na parede é

nos escoamentos hidrodinâmicamente desenvolvidos em tubos

horizontais, tanto no regime laminar quanto turbulento, a queda de pressão

é somente devido às tensões tangenciais nas paredes da tubulação.

r

rrx

p 10

2

r

x

p

2)(

R

x

pRrs

No entanto, o perfil de velocidade varia substancialmente para cada regime

de escoamento pois a relação entre a tensão cisalhante e o gradiente de

velocidade não é a mesma. Como já foi visto, no regime turbulento

tefeftr

u

r

u

;)(


11

Para avaliar o perfil de velocidade, precisamos de um modelo de turbulência

para determinar a viscosidade turbulenta. Por outro lado, podemos utilizar

dados empíricos.

Para um tubo liso, o perfil de velocidade pode ser aproximado pela “lei de

potências” de forma análoga ao regime turbulento na camada limite

n

R

r

u

u/1

max

1

maxuU

O expoente n depende do

número de Reynolds, baseado

na velocidade máxima

e no diâmetro, de acordo com a

figura


12

Conhecido o perfil de velocidade, a velocidade média pode ser facilmente obtida

R

ATTm rdrudAuAuQ

T 0

2 )12()1(

2 2

max

nn

n

u

um

Naturalmente que a relação entre a velocidade média e máxima depende do expoente n.

Quanto maior o número de Reynolds, maior é o expoente n e mais achatado é o perfil de

velocidade, maior é a tensão cisalhante. Note que a relação entre a velocidade média e

máxima para o regime laminar em um tudo

circular é 1/2.

A figura ao lado ilustra uma comparação

entre o perfil de velocidade no regime

laminar e no regime turbulento para

diferentes expoentes.


13

Na prática, com muita freqüência, especifica-se o expoente n =7 independente

do número de Reynolds.

Vale ressaltar que a hipótese de velocidade uniforme na seção transversal é

uma péssima aproximação no caso de regime laminar. Já para o regime

turbulento, é uma aproximação razoável, especialmente para altos Reynolds.

O lei 1/n aproxima bem o perfil de velocidade em quase todo o domínio, com

exceção da região próximo à parede, não sendo possível estimar o atrito a partir

deste perfil.

Utiliza-se então dados empíricos para estimar o fator de atrito, o qual depende

não só do número de Reynolds, mas da rugosidade relativa da tubulação.

O fator de atrito nada mais é do que uma queda de pressão adimensional ou

tensão cisalhante na parede adimensional

22

2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

)/(Re, Dff e


14

A rugosidade relativa

depende do material

da tubulação e do

diâmetro da mesma

O fator de atrito pode ser

avaliado a partir do

diagrama de Moody


15

A representação gráfica é conveniente e facilita a determinação do

fator de atrito, no entanto, quando desejamos utilizar de forma

sistemática em um programa de computador por exemplo, é

desejável, representar a informação do diagrama de Moody por uma

correlação.

A correlação mais utilizada é a fórmula de Colebrook

A correlação de Colebrook é uma equação transcendental, isto é, não

é possível explicitar o valor do fator de atrito. É necessário resolver de

forma iterativa. Miller recomenda como estimativa inicial para o

processo iterativo, a seguinte expressão

Com essa inicialização, obtém-se um resultado dentro de 1% com

apenas uma iteração.

2

9,0Re

74,5

7,3

/log25,0

Dfo

e

5,05,0 Re

51,2

7,3

/log0,2

1

f

D

f

e


22

Exercício 1: Deseja-se bombear água a 20 C [ = 1000 kg/m3; = 0,001 Pa s]

em um tubo circular liso. O diâmetro interno é D = 3 cm. A tubo possui L = 20

m de comprimento. Deseja-se uma vazão de = 0,4 kg/s. Qual a potência de

bombeamento necessária?m

PVAPVFPot2

1

2

1

2

2

m

m

hV

Df

L

P

dx

dp

V

Ddx

dp

f

230010614 4 ,Re

D

m

A

DmDV

t

hm

02501061 4 ,,Re f

smDA

Vt

m /,56604

2

s

mm 34104

WV

D

LfPPot m 0671

2

2

,


23

Exercício 2: Determine o nível h do reservatório para manter a vazão

indicada:

Tubulação lisa: e=0

Q= 0,03 m3/s

D = 75 mm

Entrada do tubo: k = 0,5

Saída: patm

Viscosidade: = 10-3 kg/(ms)

Massa específica: = 103 kg/m3

L=100m

Q

h

z D= 75 mm

,2

W

m g

p

g

V

gz

p

g

V

gz h

eL

2 2

2

21 1

2

1 12 2

1

2

entradatubo LLL

atme

hhh

hzz

PppW

21

12

12

0

0

,

;

t

V C SC

d V n d A .

0

)(, D

Lfk

g

Vh

g

Vh L 1

22

22

22

21

g

V

D

Lfh m

Ltubo 2

2

s

m

A

QV

A

AVVAVAVQcte

t79600

22

1

2212211 ,;;;;

230010095 5 ,Re

hmDV

e

5,0fRe

51,2

7,3

D/log0,2

f

1 h

5,0

g

Vkh m

LAC 2

2


24

mD

Lfk

g

Vh

g

Vh L 644

0750

100013110501

8192

7961

22

222

22

21,)

,,,(

,

,)(

,

50509000

51202

1

50 ,

,log,

,ff

•estimativa inicial de Miller 2

9,0

ho

Re

74,5

7,3

D/log25,0f

e

010095 5 e

;,Re hmDV

013050509000

745250

2

90,

,log,

,

of

e

5,0fRe

51,2

7,3

D/log0,2

f

1 h

5,0

01312050013050509000

51202

1

50,

,,

,log,

,

f

f

•segunda iteração:

•terceira iteração: convergiuff

01311050013120509000

51202

1

50,

,,

,log,

,


25

Exercício 3: Água com = 1000 kg/m3 e n/ = 1 x 10-6 m2/s é bombea-

da entre dois reservatórios com a vazão Q = 5,6 x 10-3 m3/s através de

uma tubulação de L=120 m e D= 50 mm de diâmetro. A rugosidade

relativa do tubo é e / D=0,001. Calcule a potência necessária da bomba.

Dados de coeficiente de perda de carga:

•Entrada canto vivo: k=0,5

•Saída canto vivo: k=1,0

•Válvula globo aberta: k=1,0

•Joelho a 90o: k=0,9

•Válvula de gaveta ½ aberta: k=0,1


26

,2

W

m g

p

g

V

gz

p

g

V

gz h

eL

2 2

2

21 1

2

1 12 2

g

Vk

g

V

D

Lfhhh

mHzzmzmzPpp

tac

tLLL

atm

ACtubo 22

30366

22

122112

21,

;;;

t

V C SC

d V n d A .

0 0852

40 2122211 VV

s

m

D

QVAVAVAVQcte tttt

;,;;;

g

Vk

D

LfHgQhHgQW t

acLe2

2

21

,

Qm

0010

10411 5

./

,Re

D

DVt

e

0210, f

HPWWW eb 8706542

85210902010150

0750

12001030106510

2

33 ,,

,,,,,,

,,

Bomba: trabalho é fornecido: <0


27

Exercício 4: Considere a instalação da figura ao lado. O tubo possui uma rugosidade relativa de e/D = 0,001 e possui um diâmetro D= 100 mm. Determinar a vazão máxima da instalação. Considerar as perdas localizadas somente na válvula de gaveta.

H=2,4m

L=180m

D=100mm

Q

t

V C SC

d V n d A .

0 00

1

2212211

A

AVVAVAVQcte

t;;;

,2

W

m g

p

g

V

gz

p

g

V

gz h

eL

2 2

2

21 1

2

1 12 2 LvalvulaLL

atme

hhh

Hzz

PppW

tubo

21

12

12

0

0

,

;

g

V

D

Lfh m

Ltubo 2

2

)(D

LLf

HgV

eq

1

22)(

, D

LLf

g

Vh

g

VH

eqL

1

22

22

22

21

g

V

D

Lfh meq

LAC 2

2

e

5,0fRe

51,2

7,3

D/log0,2

f

1 h

5,0

Não conhece a vazão, não tem como calcular o Reynolds, para determinar f

hmDV

Re


28

)(D

LLf

HgV

eq

1

22

Estimativa inicial: fluido ideal sem

perda ou um valor de f típico

(0,02):

18081

08847

810

1801

08847

1

22

ff

D

LLf

HgV

eq

,

),

(

,

)(

smVf /,, 261020 2 mhm V

DV 510

Re

510261 ,Re

2ª estimativa inicial: 510261 ,Re smVf /,, 07510220 2 5100751 ,Re

3ª estimativa inicial: 5100751 ,Re smVf /,, 05210230 2 convergiu

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