métodos ii estadisticas

Capıtulo 1

Distribuciones Muestrales

1.1. Introduccion.

Para el estudio de un fenomeno, se requiere contar con informacion relacionada

con el mismo. Esta informacion obtenida bien sea experimentalmente o, mediante

la observacion, esta dada por datos. Estos datos son el resultado de medir en un

conjunto de elementos o individuos, una o varias caracterısticas a ser analizadas en

una investigacion. Ahora bien, el analisis puede llevarse a cabo en base a toda o, a una

parte de la poblacion. Si se hace uso de toda la informacion, se dice que se ha hecho una

investigacion exhaustiva o total. No siempre es posible realizar un censo, por razones

como; costos, tiempo, poco practico, etc. Es necesario entonces, en estos casos, llevar

a cabo una investigacion parcial. La misma consiste en realizar el analisis en base a

la informacion correspondiente a un subconjunto de los elementos o individuos, una

muestra, de forma tal que a un costo y esfuerzo razonable se logren obtener conclusiones

tan validas como las que se obtendrıan realizando una investigacion exhaustiva o total,

un censo. Considere los siguientes ejemplos:

1

2 CAPITULO 1. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

1. Para conocer la nota promedio de los estudiantes de la Universidad de Los Andes

(Nucleo Merida), debemos ir a las oficinas de registros estudiantiles de todas

las facultades y solicitar allı las notas de los estudiantes, dicha tarea no es facil

por distintas razones, entre las cuales podemos mencionar la confidencialidad

de la informacion. Por tal razon, a traves de una encuesta a cierto numero de

estudiantes podemos determinar la nota promedio de dicho grupo, y a partir de

ese resultado dar una conclusion sobre la poblacion.

2. Si se quisiera conocer el sueldo promedio del venezolano, serıa difıcil tener acceso

al sueldo de todos los venezolanos, al igual que en el caso anterior solo se podrıa

obtener dicha informacion de una parte de los venezolanos.

3. Para determinar el nivel de aceptacion o rechazo que tiene un candidato

a gobernador, no es necesario realizar el sondeo de opinion sobre todos los

habitantes del Estado, aun queriendo recoger dicha opinion serıa muy costosa. Es

por ello que las empresas encuestadoras realizan el sondeo sobre una parte de la

poblacion y a partir de ella interpretar como esta el candidato en dicho Estado.

1.2. Conceptos Basicos

Definicion 1.1 (Universo) Es el conjunto de individuos o elementos (Personas,

Fabricas, Familias, etc) que posee caracterısticas en comun que se desean investigar.

Ejemplo 1.1 :

1. Los habitantes de la ciudad de Merida

2. Los estudiantes de la Facultad de Ciencias Economicas y Sociales.

1.2. CONCEPTOS BASICOS 3

3. Trabajadores de una empresa.

4. Los animales en un bosque.

5. Los carros que entran en un estacionamiento al dıa.

Definicion 1.2 (Poblacion) Es el conjunto de todas las posibles mediciones que

pueden hacerse de una o mas caracterısticas en estudio de los elementos del universo.

Por lo tanto, la poblacion esta constituida por valores o datos bien sea numericos o no.

Ejemplo 1.2 :

1. El sexo de los habitantes de la ciudad de Merida

2. La edad de los estudiantes de la Facultad de Ciencias Economicas y Sociales.

3. El sueldo de los trabajadores de una empresa.

4. El color de ojos de los animales en un bosque.

5. La marca de los carros que entran en un estacionamiento al dıa.

Observese que una Poblacion puede ser univariante o multivariante, dependiendo del

numero de caracterısticas considerada. De acuerdo al numero que la constituye, la

poblacion puede ser finita o infinita. En el caso de que la poblacion sea finita, se dice

que esta tiene tamano N.

Definicion 1.3 (Muestra) Es una parte de una poblacion, idealmente representativo

de la misma.

Ejemplo 1.3 :

1. El sexo de 2000 habitantes de la ciudad de Merida mayores a 60 anos.


2. La edad de 150 estudiantes de la Facultad de Ciencias Economicas y Sociales que

tienen un promedio mayor a 15 puntos.

3. El sueldo de 25 trabajadores de una empresa.

4. La marca de los primeros 100 carros tipo sedan que entran en un estacionamiento

un determinado dıa.

Definicion 1.4 (Parametro) Es una funcion de los valores de la poblacion que sirve

para sintetizar alguna caracterıstica relevante de la misma. Es una medida resumen

que se calcula para describir una caracterıstica de toda una poblacion. Ejemplos

de parametros son: La media poblacional, La proporcion poblacional, la varianza

poblacional, entre otros.

Definicion 1.5 (Estadıstico) Se denomina estadıstico a toda funcion medible de los

elementos de una muestra en la que no intervienen parametros.

Supongase que se tiene una variable aleatoria, cuya distribucion es f(x) y suponga, por

simplicidad, que obtenemos una muestra aleatoria simple con tamano n, X1, X2, ...Xn.

Entonces, un estadıstico es cualquier funcion h definida sobre X1, X2, ...Xn y que no

incluye parametro desconocido alguno:

Y = h(X1, X2, ...Xn)

Entre los estadısticos mas usados se pueden mencionar:

La media muestral (X)

La varianza muestral (S2)

1.3. MUESTREO 5

La proporcion muestral (p).

El mınimo, el maximo y el rango.

Formalmente, la caracterıstica de estudio se define como una variable aleatoria X

la cual tiene una funcion de distribucion (FD) F, que define el comportamiento de

dicha caracterıstica. Por ejemplo, para el caso de la nota de los estudiantes la variable

aleatoria X representa la nota de los estudiantes de la ULA la cual se distribuye normal

con media 15 y varianza 4. Existen dos posibilidades sobre la FD de X:

1. X tiene una FD F(θ) con una forma funcional conocida, excepto quizas por el

parametro θ, el cual puede ser un vector. En este caso el trabajo de un estadıstico

es decidir sobre la base de una muestra seleccionada cual es el valor de θ que

representa la FD de X. Por ejemplo, para el caso de la nota promedio se sabe

que X ∼ N(µ, σ2) con σ2 conocida, por lo tanto basandose en una muestra se

puede determinar cual debe ser el valor de µ y de esta manera queda determinada

completamente la distribucion de probabilidad de X.

2. X tiene una FD F de la cual no se sabe nada (excepto quizas que F es, digamos,

absolutamente continua). Este caso es mas difıcil que el anterior y este tipo

de problemas entran en el dominio de la estadıstica no parametrica, la cual no

sera estudiada en este curso.

1.3. Muestreo

En las Ciencias Sociales, las investigaciones consideran, en su mayorıa, muestras y no

poblaciones. Por lo tanto, la seleccion de muestras es un problema crucial en Estadıstica.

Algunas razones que justifican el uso del muestreo son:


1. Naturaleza destructiva del proceso de investigacion

2. Imposibilidad de revisar todos los elementos de la poblacion.

3. Costo. Al obtener los datos de una pequena porcion del total, los gastos son

menores a los que se tendrıan si se llevara a cabo un censo.

4. Tiempo. Al considerar solo una parte del total, su recoleccion y resumen se

haran con mayor rapidez. Razon de peso cuando la informacion es requerida

con urgencia.

5. Precision. Las posibilidades de usar personal mas capacitado y supervisar

cuidadosamente el trabajo de campo y el procesamiento de al informacion, inciden

en la obtencion de resultados mas exactos.

Cuando se selecciona una muestra se deben tomar en cuenta las siguientes considera-

ciones: Elegir el tamano de la muestra, lo cual depende no solamente de la cantidad de

informacion que se quiere conseguir, y el grado de certeza deseada, sino tambien del

costo del muestreo y la seleccion de los elementos que la constituyen. Cualquiera sea

el metodo elegido, el requisito mas importante es que la muestra obtenida proporcio-

ne una imagen tan real como sea posible de aquella poblacion que se ha sometido al

muestreo.

Definicion 1.6 (Muestreo) Proceso de medicion de la informacion en solo una

parte de la poblacion estadıstica. Se define como el proceso de seleccionar un numero

de observaciones (sujetos) de un grupo en particular de la poblacion (metodos para

seleccionar muestras), que se utiliza cuando no es posible contar o medir todos los

elementos de la poblacion objeto de estudio.

1.3. MUESTREO 7

1.3.1. Tipos de Muestreo

Existen dos metodos para seleccionar muestras de poblaciones:

1. Muestreo no aleatorio o de juicio: Es practica comun seleccionar una muestra

en forma intencional, de acuerdo a opiniones o criterios personales, fundamen-

talmente con el objeto de obtener informacion sin mucho costo. A este tipo de

muestreo se le denomina Muestreo no probabilıstico, no aleatorio o de juicio.

Este tipo de muestreo como puede observarse, no involucra ningun elemento

aleatorio en el procedimiento de seleccion. Sin embargo, es importante resaltar

que en condiciones apropiadas estos metodos pueden ofrecer resultados utiles,

por ejemplo, cuando solo se necesitan estimaciones gruesas, las cuales no van a

ser utilizadas para tomar decisiones importantes. Son ejemplos de muestreos no

probabilısticos:

a) La muestra es restringida a la parte de la poblacion que es facilmente

accesible.

b) La muestra consiste de los elementos que esten mas a la mano

c) Se selecciona un grupo de unidades tipo.

d) La muestra esta compuesta por voluntarios.

2. Muestreo aleatorio o probabilıstico: En el cual todos los elementos de la poblacion

tienen la oportunidad de ser escogidos para la muestra. Este procedimiento da a

cada elemento de la poblacion una probabilidad de ser seleccionado. Dentro de

este tipo de muestreo se encuentran:

a) Muestreo aleatorio simple: el cual es un metodo de seleccion de muestras

que permite que cada muestra posible pueda ser elegida con la misma


probabilidad. Por su parte cada elemento de la poblacion tiene la misma

oportunidad igual de ser incluido en la muestra.

b) Muestreo sistematico: metodo en el cual los elementos que se muestrearan

se seleccionan de la poblacion en un intervalo uniforme que se mide con

respecto al tiempo, al orden o al espacio.

c) Muestreo estratificado: metodo en el que la poblacion se divide en grupos

homogeneos, o estratos, y despues se toma una muestra aleatoria simple de

cada estrato. Aquı la variabilidad dentro de cada grupo es pequena y entre

los grupos es grande.

d) Muestreo por conglomerados: metodo en el que la poblacion se divide en

grupos o racimos de elementos, y luego se selecciona una muestra aleatoria

de estos racimos. La variabilidad dentro de cada grupo es grande y entre

los grupos es pequena; es como si cada conglomerado fuese una pequena

representacion de la poblacion en si mima.

1.3.2. Metodos para seleccionar una muestra aleatoria.

Al seleccionar una muestra aleatoria se debe tomar en cuenta si la extraccion se va

realizar con reemplazo o sin reemplazo, en el primer caso, una vez extraıda el elemento

de la poblacion este puede ser devuelto a la misma, en el segundo caso esto no es

posible.

Por otro lado, dada una lista de los miembros de la poblacion numerados del 1 al N,

la extraccion de los elementos que conforman la muestra se puede realizar de varias

maneras entre las cuales podemos mencionar: Metodo del bingo, Tabla de Numeros

aleatorios y generacion de numeros pseudoaletorios.

1.3. MUESTREO 9

1. Metodo del bingo. Consiste en etiquetar N papeles, bolas o cualquier otro objeto

del 1 al N e introducirlas en una urna o bolsa y agitarla hasta que queden bien

mezcladas, luego extraer una a la vez hasta que hayamos seleccionado n artıculos

donde n es el tamano deseado de la muestra. Los miembros de la poblacion que

correspondan a los numeros de los artıculos extraıdos se incluidos en la muestra,

y las caracterısticas de estas unidades se mide u observan. Si la poblacion es

bastante grande, este metodo mecanico de seleccion aleatoria puede ser difıcil o

practicamente imposible de implementar. Esto nos lleva a la consideracion de la

tabla de numeros aleatorios.

2. Tabla de Numeros aleatorios. Las Tablas de Numeros Aleatorios contienen los

dıgitos 0, 1, 2,..., 7, 8, 9. Tales dıgitos se pueden leer individualmente o en grupos

y en cualquier orden, en columnas hacia abajo, columnas hacia arriba, en fila,

diagonalmente, etc., y es posible considerarlos como aleatorios. Las tablas se

caracterizan por dos cosas que las hacen particularmente utiles para el muestreo

al azar. Una caracterıstica es que los dıgitos estan ordenados de tal manera que

la probabilidad de que aparezca cualquiera en un punto dado de una secuencia

es igual a la probabilidad de que ocurra cualquier otro. La otra es que las

combinaciones de dıgitos tienen la misma probabilidad de ocurrir que las otras

combinaciones de un numero igual de dıgitos. Estas dos condiciones satisfacen

los requisitos necesarios para el muestreo aleatorio, establecidos anteriormente.

La primera condicion significa que en una secuencia de numeros, la probabilidad

de que aparezca cualquier dıgito en cualquier punto de la secuencia es 1/10.

La segunda condicion significa que todas las combinaciones de dos dıgitos son

igualmente probables, del mismo modo que todas las combinaciones de tres

dıgitos, y ası sucesivamente.


Para utilizar una Tabla de Numeros Aleatorios:

a) Hacer una lista de los elementos de la poblacion.

b) Numerar consecutivamente los elementos de la lista, empezando con el cero

(0, 00, 000, etc.).

c) Tomar los numeros de una Tabla de Numeros Aleatorios, de manera que la

cantidad de dıgitos de cada uno sea igual a la del ultimo elemento numerado

de su lista. De ese modo, si el ultimo numero fue 18, 56 o 72, se debera tomar

un dıgito de dos numeros.

d) Omitir cualquier dıgito que no corresponda con los numeros de la lista o

que repita cifras seleccionadas anteriormente de la tabla. Continuar hasta

obtener el numero de observaciones deseado.

e) Utilizar dichos numeros aleatorios para identificar los elementos de la lista

que se habran de incluir en la muestra.

La tabla siguiente es un fragmento de una tabla de numeros aleatorios.

1.3. MUESTREO 11

Tabla de Numeros Aleatorios

6017 2438 3828 2161 6601 8762 8166 3756 6483 7405 6595 8695

3268 5788 5965 4427 9227 8468 1298 4343 1346 0861 5400 5286

0632 5878 0726 5624 7813 7905 9611 3839 6226 3452 7352 9818

0372 1222 1781 0216 5798 5805 3719 3155 6336 4710 7311 5553

3132 3375 7801 2782 1500 4249 4702 1799 9587 2788 7421 3631

3213 0670 1158 0562 6208 6641 5057 1747 7559 0548 9614 6265

6075 7161 6505 0599 1398 2947 7797 0038 4414 3904 8021 5093

2009 3799 8336 8189 8441 5748 3587 9128 2088 8840 6838 5810

8964 8261 1914 4651 9081 3202 9692 5605 7902 9525 4932 9719

7080 9448 848 8331 9069 4214 3824 2350 4986 8556 5394 1971

4098 6758 9526 6559 5435 6428 6362 7876 7746 3562 1567 7828

3328 3604 7368 9744 8842 0456 6317 0218 3826 6603 4549 2501

9976 8845 6219 2593 8337 2222 7455 1587 2778 6178 6670 4229

6420 0204 3168 5283 6869 1675 0408 7816 9054 1931 1771 3513

6523 7018 0413 5606 2869 5234 5344 5181 2457 9569 6402 9317

7475 2647 8714 6275 9693 5937 0516 1304 1156 4133 3926 1961

4928 3235 0889 1701 3778 4803 3637 6609 1152 6832 9422 8956

8355 2702 0780 5091 6964 6693 7576 9651 3543 2515 6981 4808

0084 7215 6568 4753 0215 4797 2589 2416 4746 2469 2613 7049

6319 5007 4973 3050 7658 6044 3277 2416 5823 0871 2378 0150

7335 6191 6314 2974 2783 6280 8045 6139 1575 7728 4264 4703

0164 0416 8561 4309 6759 1658 1085 6807 4425 7435 5645 4685

8751 7452 7483 5945 2360 3542 7421 9632 5936 9718 3034 7107

6070 4807 2681 1311 2724 4979 6886 2426 4486 2350 1654 4411

8094 4307 6627 6067 2654 2265 9557 4753 3174 2253 1168 2303

2778 6633 6219 4301 5528 2485 3996 5792 1741 4351 5324 4159

7672 7480 2976 3952 3061 8719 4613 2271 8921 0848 8062 1366

1449 3173 4095 2528 6684 9596 4762 1133 1784 9004 9366 1677

2984 3961 0226 3491 5758 6907 6856 1359 2532 8928 2850 3798


Para ilustrar el uso de la tabla de numeros aleatorios se dara el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.4 suponga que tenemos 40 latas de refrescos, y que deseamos tomar

una muestra de tamano n = 4 para estudiar su condicion. Nuestro primer paso

es numerar las latas de 1 a 40 o apilarlas en algun orden de tal forma que puedan

ser identificadas. En la tabla de numeros aleatorios, los dıgitos deben escogerse de

a dos a la vez porque la poblacion de tamano N =40 es un numero de dos dıgitos.

Luego se selecciona arbitrariamente una fila y una columna de la tabla. Suponga

que la seleccion es fila 6, y la columna 4. Leemos los pares de dıgitos a partir de

la columna 4 y moviendonos hacia la derecha, ignorando los numeros mayores

que 40 y tambien cualquier numero repetido cuando aparezca una segunda vez.

Se continua leyendo pares de dıgitos hasta que cuatro unidades diferentes hayan

sido seleccionadas, es decir lo numeros 05, 20, 08 y 17. Por lo tanto, las latas

con la etiqueta correspondiente a dichos numeros constituyen la muestra.

3. Generacion de numeros pseudoaletorios. Existen metodos mas eficaces para

generar numeros aleatorios, en muchos de los cuales se utilizan calculadoras

o computadoras. La mayorıa de los paquetes estadısticos generan numeros

pseudoaleatorios y en excel usando la funcion aleatorio() se pueden generar dichos

numeros.

1.3.3. Error de Muestreo.

Es el error que se comete debido al hecho dar conclusiones sobre cierta realidad, a partir

de la observacion de solo una parte de ella, es decir, es la diferencia entre el parametro

de la poblacion y el estadıstico de la muestra utilizado para estimar el parametro.

1.3. MUESTREO 13

Ejemplo 1.5 Se toman muestras de tamano 2 de una poblacion que tiene cinco

elementos, 2, 4, 6, 8 y 10 para simular una poblacion ”grande”de manera que el

muestreo pueda realizarse un gran numero de veces, supondremos que este se hace con

reemplazo, es decir, el numero elegido se reemplaza antes de seleccionar el siguiente,

ademas, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que

se seleccionan las observaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada (2,4)

es distinta de la muestra ordenada (4,2). En la muestra (4,2), se selecciono primero 4

y despues 2.

La media poblacional es igual a µ = 2+4+6+8+105

= 6.

La siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tamano 2 que

es posible seleccionar con reemplazo y tambien contiene las medias muestrales y los

correspondientes errores muestrales.

Muestras X Error Muestras X Error Muestras X Error

(2,2) 2 -4 (6,2) 4 -2 (10,2) 6 0

(2,4) 3 -3 (6,4) 5 -1 (10,4) 7 1

(2,6) 4 -2 (6,6) 6 0 (10,6) 8 2

(2,8) 5 -1 (6,8) 7 1 (10,8) 9 3

(2,10) 6 0 (6,10) 8 2 (10,10) 10 4

(4,2) 3 -3 (8,2) 5 -1

(4,4) 4 -2 (8,4) 6 0

(4,6) 5 -1 (8,6) 7 1

(4,8) 6 0 (8,8) 8 2

(4,10) 7 1 (8,10) 9 3

Se puede observar que la suma de los errores muestrales es cero


1.4. Distribuciones muestrales

Se ha dicho que uno de los objetivos de la estadıstica es saber acerca del comportamiento

de parametros poblacionales tales como: la media (µ), la varianza (σ2) o la proporcion

(π). Para ello, Se extrae una muestra aleatoria de la poblacion y se calcula el valor de un

estadıstico correspondiente, por ejemplo, la media muestral (X), la varianza muestral

(S2) o la proporcion muestral (p).

Un estadıstico es una variable aleatoria, informalmente esto es cierto, ya que su valor

depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada. La veracidad formal de

esta declaracion se da en el siguiente teorema (sin demostracion).

Teorema 1.1 Sean

X1, X2, ..., Xn n variables aleatorias. Definamos Y = f(X1, X2, ..., Xn), entonces Y

es tambien una variable aleatoria.

El teorema anterior establece que una funcion de una o mas variables aleatorias es

tambien una variable aleatoria,, y como un estadıstico es una funcion de la muestra

(las cuales son variables aleatorias), entonces un estadıstico es una variable aleatoria,

y en consecuencia tiene asociada una distribucion de probabilidad la cual es llamada

la Distribucion Muestral del Estadıstico.

Veamos a continuacion el calculo de la distribucion muestral de los estadısticos mas

usados.

1.4.1. Empıricamente

Para hallar empıricamente la distribucion muestral de un estadıstico es necesario

seleccionar todas las muestras de dicha poblacion y a partir de dicha informacion

1.4. DISTRIBUCIONES MUESTRALES 15

construir la distribucion de frecuencia relativa de los valores del estadıstico, la cual

es considerada como su distribucion muestral. Veamos a continuacion el calculo de

la distribucion muestral de dos estadısticos muy importantes, la media muestral y la

proporcion.

Distribucion muestral de la media

Para hallar la distribucion muestral de la media se procede de la siguiente manera:

1. Se seleccionan desde la poblacion todas las muestras posibles de tamano n,

2. En cada muestra se calcula la media muestral.

3. A partir de dicha informacion se construye la distribucion de frecuencias relativas

de las medias muestrales, la cual se define como su distribucion muestral.

Ejemplo 1.6 A partir de la tabla del ejemplo anterior se tiene que X toma los valores

X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} con las siguientes probabilidades:

P (X = 2) = P{(2, 2)} = 125

P (X = 3) = P{(2, 4)o(4, 2)} = 225

P (X = 4) = P{(2, 6)o(4, 4)o(6, 2)} = 325

...

P (X = 10) = P{(10, 10)} = 125

Por lo tanto, la distribucion muestral de la media esta dada en la siguiente tabla:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P (X = x) 125

225

325

425

525

425

325

225

125


Ahora bien, como la poblacion es conocida podemos determinar su media y varianza

las cuales son µ = 6 y σ2 = 4 (comprobar dichos resultados). Y a partir de los datos

muestrales se tiene que:

E(X) = 2 ∗ 125

+ 3 ∗ 225

+ 4 ∗ 325

+ ...+ 10 ∗ 125

= 6

E(X2) = 22 ∗ 125

+ 32 ∗ 225

+ 42 ∗ 325

+ ...+ 102 ∗ 125

= 44

V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = 44− 36 = 8

Por lo tanto, se cumple que

E(X) = µ

V ar(X) = σ2

n

Este resultado siempre se cumple y en el siguiente teorema se enuncia sin demostracion.

Teorema 1.2 Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria extraıda de una poblacion cuya

media es µ y varianza σ2. Entonces

E(X) = µ

V ar(X) = σ2

n

Veamos otro ejemplo:

Ejemplo 1.7 Cierta empresa tiene 7 empleados en el area de produccion (considerados

como la poblacion). El salario por hora de cada trabajador se presenta en la siguiente

tabla


Empleado Salario (BsF)

1 7

2 7

3 8

4 8

5 7

6 8

7 9

Como los datos anteriores son considerados la poblacion, la media y varianza

poblacional son µ = 7,71 y σ2 = 0,49. Ahora, para determinar la distribucion de la

media muestral, se seleccionaron todas las muestras posibles de tamano 2 sin reposicion

en la poblacion, y se calcularon sus medias. Hay 21 posibles muestras de tamano 2

(7

2

).

Las 21 medias de todas las muestras de tamano 2 que pueden tomarse de la poblacion,

se indican en la siguiente tabla:

Muestra Emp Salarios Suma X Muestra Emp Salarios Suma X

1 1,2 7,7 14 7.0 12 3,4 8,8 16 8.0

2 1,3 7,8 15 7.5 13 3,5 8,7 15 7.5

3 1,4 7,8 15 7.5 14 3,6 8,8 16 8.0

4 1,5 7,7 14 7.0 15 3,7 8,9 17 8.5

5 1,6 7,8 15 7.5 16 4,5 8,7 15 7.5

6 1,7 7,9 16 8.0 17 4,6 8,8 16 8.0

7 2,3 7,8 15 7.5 18 4,7 8,9 17 8.5

8 2,4 7,8 15 7.5 19 5,6 7,8 15 7.5

9 2,5 7,7 14 7.0 20 5,7 7,9 16 8.0

10 2,6 7,8 15 7.5 21 6,7 8,9 17 8.5

11 2,7 7,9 16 8.0


De acuerdo con esta tabla la media muestral solo puede tomar los valores 7.0, 7.5, 8.0 y 8.5,

es decir x = {7,0, 7,5, 8,0, 8,5}, cuyas probabilidades son las que se muestran en la siguiente

tabla (realizar los calculos para comparar los resultados):

X 7.0 7.5 8.0 8.5

P (X = x) 0.1429 0.4285 0.2857 0.1429

A partir de los datos muestrales se tiene que:

E(X) = 7,0 ∗ 0,1429 + 7,5 ∗ 0,4285 + 8,0 ∗ 0,2857 + 8,5 ∗ 0,1429 = 7,71

E(X2) = 7,02 ∗ 0,1429 + 7,52 ∗ 0,4285 + 8,02 ∗ 0,2857 + 8,52 ∗ 0,1429 = 59,71

V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = 0,20

Por lo tanto, se cumple que

E(X) = µ

V ar(X) = σ2

n

Distribucion muestral de la proporcion

Existen ocasiones en las cuales no se esta interesado en la media de la muestra, sino que

se quiere investigar la proporcion de artıculos defectuosos o la proporcion de alumnos

aprobados en la muestra. La distribucion muestral de proporciones es la adecuada

para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribucion se genera de igual manera

que la distribucion muestral de medias, a excepcion de que al extraer las muestras de

la poblacion se calcula en vez de la media muestral, el estadıstico proporcion el cual

esta dado por:

P =X

n


donde X es el numero de exitos u observaciones de interes y n el tamano de la muestra.

Ejemplo 1.8 Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artıculos

defectuosos. Se van a seleccionar 5 artıculos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere

la distribucion muestral de proporciones para el numero de piezas defectuosas.

Como se puede observar en este ejercicio la Proporcion de artıculos defectuosos de esta

poblacion es π = 412

= 13. Por lo que se puede decir que el 33% de las piezas de este

lote estan defectuosas.

Si X es el numero de artıculos defectuosos en la muestra, entonces X puede tomar los

valores 0,1,2,3,4, lo cual es equivalente a que P tome los valores 0, 15, 25, 35, 45con las

siguientes probabilidades:

P (x = 0) = P (P = 0) = 812

711

610

5948= 7

99

P (x = 1) = P (P = 0,2) =(51

)812

711

610

5948= 35

99

P (x = 2) = P (P = 0,4) =(52

)812

711

610

4938= 42

99

P (x = 3) = P (P = 0,6) =(53

)812

711

410

3928= 14

99

P (x = 4) = P (P = 0,8) =(54

)812

411

310

2918= 1

99

Por lo tanto, la distribucion muestral de la proporcion esta dada en la siguiente tabla:

P 0 0.2 0.4 0.6 0.8

P (P = p) 799

3599

4299

1499

199

Al igual que para la media se tiene que

E(P ) = 0 ∗ 799

+ 0,2 ∗ 3599

+ 0,4 ∗ 4299

+ 0,6 ∗ 1499

+ 0,8 ∗ 199

= 13= Π


1.4.2. Distribuciones muestrales de poblaciones con distribu-

cion conocida.

Se ha visto que para hallar la distribucion muestral de un estadıstico es necesario

seleccionar todas las muestras de dicha poblacion y a partir de dicha informacion

construir la distribucion de frecuencia relativa de los valores del estadıstico. Otra

manera de hallar la distribucion muestral de un estadıstico es basandose en el hecho

de que como un estadıstico es funcion de variables aleatorias cuya distribucion es

conocida, excepto quizas por sus parametros, entonces podemos hallar su distribucion

de probabilidad.


En esta seccion vamos a determinar la distribucion muestral de la media solo en el

caso en que la poblacion sea normal, y se tomara en consideracion los casos en que la

varianza es conocida y la varianza es desconocida.

1. Distribucion muestral de la media para una poblacion normal con

varianza conocida.

Al estudiar la distribucion normal consideramos algunas propiedades que posee

dicha distribucion, una de ellas era referente a la distribucion de una combinacion

lineal de variables aleatorias normales. Ası pues, sabemos que si X1, ..., Xn,

son variables aleatorias independientes distribuidas segun una N(µi, σ2i ), para

i = 1, ..., n y si a1, ..., an, son numeros reales, entonces la variable aleatoria

Y =n∑

i=1

aiXi = a1X1 + ...+ anXn


sigue una distribucion N

(n∑

i=1

aiµi,

n∑i=1

a2iσ2i

)Este resultado nos sera de bastante utilidad para obtener la distribucion de la

media muestral, como se ve en el Teorema 1.3

Teorema 1.3 Sea x1, x2, ..., xn una muestra aleatoria extraıda de una poblacion

que se distribuye N(µ, σ2). Entonces la media muestral, x, se distribuye normal

con media µx = µ y varianza σ2x = σ2

n, es decir, x ∼ N(µ, σ

2

n)

Ejemplo 1.9 Sea x1, x2, ..., x8 una muestra aleatoria extraıda de una poblacion

que se distribuye N(5, 16), entonces por el teorema (1.3) se tiene que

µx = µ = 5

σ2x = σ2

n= 16

8= 2

Por lo tanto, x ∼ N(5, 2)

Ejemplo 1.10 Considere una muestra aleatoria de tamano 100 extraıda de una

poblacion que se distribuye N(20, 144), entonces por el teorema (1.3) se tiene que

µx = µ = 20

σ2x = σ2

n= 144

100= 1,44

Por lo tanto, x ∼ N(20, 1,44)

El resultado del teorema (1.3), permite hallar probabilidades sobre la media

muestral, lo cual como se vera mas adelante ayudara a medir el error al estimar

un parametro usando un estadıstico.


Como x ∼ N(µ, σ2), entonces se define una nueva variable aleatoria Z, dada por

Z =X − µ

σ/√n

(1.1)

La cual se distribuye Normal Estandar, es decir, Z ∼ N(0, 1).

Ejemplo 1.11 El precio de venta de una casa nueva en Merida se distribuye

Normal con media 450000 BsF y desviacion tıpica de 64000 BsF. Si se toma una

muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad.

a) ¿Cual es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea

menor de 440000 BsF.? Se sabe que:

µx = µ = 450000

σ2x = σ2

n= 640002

100= 40960000

Entonces, x ∼ N(450000, 40960000). Ası,

P (x < 440000) = P

(x− µ

σx

<440000− 450000

6400

)= P (Z < −1,56) = 0,0594

b) ¿Cual es la probabilidad de que la media muestral se encuentre a menos de

12000 BsF de la media poblacional?


Como x ∼ N(450000, 40960000), entonces

P (|x− µ| < 12000) = P (−12000 < x− µ < 12000)

= P

(−12000

6400<

x− µ

σx

−12000

6400

)= P (−1,88 < Z < 1,88)

= P (Z < 1,88)− P (Z < −1,88)

= 0,9700− 0,0300 = 0,9400

2. Distribucion muestral de la media para una poblacion normal con

varianza desconocida.

Hasta ahora estabamos admitiendo que se conoce la varianza de la poblacion de

la que se extrae la muestra, pero esta no sera la situacion general, sino que la

mayorıa de las veces no conocemos la varianza de la poblacion, entonces como

se dispone de una muestra aleatoria de tamano n, podemos, calcular la varianza

muestral S2 y utilizarla en lugar de la varianza poblacional σ2 desconocida, pues

S2 es, como veremos despues, un buen estimador de σ2.

Cuando σ2 es desconocido, la distribucion muestral de Z = X−µσ/

√ndepende del

tamano de la muestra. Veamos los siguientes dos casos:

a) El tamano de la muestra es grande (n ≥ 30).

Cuando el tamano de la muestra es grande, es decir,(n ≥ 30) la distribucion

del estadıstico:

Z =X − µ

S/√n

sigue siendo aproximadamente N(0, 1).


Ejemplo 1.12 El precio de venta de una casa nueva en Merida se

distribuye Normal con media 450000 BsF. De una muestra aleatoria de 100

casas nuevas de esta ciudad se obtuvo que la desviacion estandar era de

60000.¿Cual es la probabilidad de que la media muestral de los precios de

venta sea menor de 460000 BsF.?

Se puede notar que la varianza de la poblacion no es conocida, pero como el

tamano de la muestra es mayor que 30 (n = 100), podemos usar la varianza

muestral en lugar de la varianza poblacional, con lo cual el estadıstico

Z = X−µS/

√nse distribuye N(0, 1). Por lo tanto,

P (x < 460000) = P

(x− µ

S/√n<

460000− 450000

60000/√100

)= P (Z < 1,67) = 0,9525

b) El tamano de la muestra es pequeno (n < 30).

Si el tamano de la muestra es pequeno, n < 30, los valores de la varianza

muestral S2 varıan considerablemente de muestra en muestra, pues S2

disminuye a medida que n aumenta, y la distribucion del estadıstico ya

no sera una distribucion normal.

Este problema fue resuelto en 1908 por el estadıstico Gosset a partir del

siguiente teorema.

Teorema 1.4 Sea x1, x2, ..., xn una muestra aleatoria extraıda de una

poblacion que se distribuye N(µ, σ2) donde σ2 es desconocido. Entonces el

estadıstico

T =X − µ

S/√n


se distribuye t-Student con n− 1 grados de libertad.

La demostracion de este teorema se basa en la definicion de una variable

aleatoria t-Student, la cual como se vera en otro curso, es el cociente entre

una normal estandar y la raız cuadrada de una chi-cuadrado sobre sus grados

de libertad.

Ejemplo 1.13 Consideremos el ejemplo anterior, pero supongamos que

la muestra fue de 20 casas. Entonces, como la varianza poblacional es

desconocida y el tamano de la muestra es menor que 30, el estadıstico

T = X−µS/

√nse distribuye t-Student con 19 grados de libertad. Por lo tanto,

P (x < 460000) = P

(x− µ

S/√n<

460000− 450000

60000/√100

)= P (T < 1,67) ≈ 0,95


La proporcion de la poblacion se define como Π = XN, en donde X es el numero de

elementos que poseen una cierta caracterıstica y N es el numero total de elementos de

la poblacion. De igual manera la proporcion muestral se define como P = xn, en donde

x es el numero de elementos de la muestra que poseen cierta caracterıstica y n es el

tamano de la muestra. Ası, se puede considerar una proporcion como una proporcion

de exitos, lo cual se obtiene dividiendo el numero de exitos entre el tamano muestral

n.

Hemos visto que la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X, numero de

exitos, depende de si la muestra se selecciona con o sin reemplazo, en el caso en que s

hace con reemplazo el numero de exitos x es una variable aleatoria que se distribuye


binomial con parametros n y Π, en cambio si el muestreo se hace sin reemplazo el

numero de exitos se distribuye hipergeometrica. Vemos cada caso por separado.

1. Muestreo con reemplazo Sea x el numero de exitos al seleccionar con

reemplazo n elementos de una poblacion de tamano N , en la que se sabe que el

Π% son exitos. La proporcion muestral se distribuye binomial, cuyas esperanzas

y varianzas son:

E(p) = Π

V ar(p) =Π(1− Π)

n

Ejemplo 1.14 En un salon de clases hay 30 estudiantes de los cuales el 20%

reprobaron un examen. Si se seleccionan aleatoriamente 10 estudiantes con

reemplazo, ¿cual es la probabilidad de que el 30% hayan reprobado el examen?

Sea X = {Numero de estudiantes que reprobaron el examen}. Como la seleccion

se hace con reemplazo, entonces X ∼ bin(10; 0,20). Ahora, p = 0,30 es equivalente

a X = 3, por lo tanto,

P (p = 0,30) = P (X = 3) =

(10

3

)(0,2)3(1− 0,2)7 = 0,2013

2. Muestreo sin reemplazo Sea x el numero de exitos al seleccionar sin reemplazo

n elementos de una poblacion en la que se sabe que el Π% son exitos. La

proporcion muestral se distribuye hipergeometrica, cuyas esperanzas y varianzas

son:

E(p) = Π

V ar(p) =Π(1− Π)

n

N − n

N − 1


Ejemplo 1.15 Supongamos el ejemplo anterior, pero la seleccion se hace sin

reemplazo

Sea X = {Numero de estudiantes que reprobaron el examen}. Como la seleccion

se hace sin reemplazo, entonces X ∼ Hiperg(30; 6; 10). Por lo tanto,

P (p = 0,30) = P (X = 3) =

(63

)(247

)(3010

) = 0,2304

Se puede notar que la esperanza en ambos caso es la misma y la varianza es la

misma excepto por el factor que esta a la derecha del segundo caso, el cual se

conoce como factor de correccion por poblacion finita.

Distribucion muestral de la varianza

La distribucion muestral de la varianza, S2 tiene pocas aplicaciones practicas

en estadıstica, sin embargo, una funcion de dicho estadıstico, la cual sigue siendo

un estadıstico, si tiene importancia en estadıstica. Dicha funcion es (n−1)S2

σ2 cuya

distribucion se establece en el siguiente teorema.

Teorema 1.5 Sea (x1, ..., xn) una muestra aleatoria de tamano n, procedente de una

poblacion N(µ, σ2). Entonces se verifica que:

1. Los estadısticos x y S2 son independientes.

2. El estadıstico

(n− 1)S2

σ2=

n∑i=1

(xi − x)2

σ2

sigue una distribucion χ2 con n− 1 grados de libertad.


Ejemplo 1.16 Supongamos que las onzas de lıquido que vierte una maquina embotella-

dora tiene una distribucion normal con σ2 = 1. Si se elige una muestra aleatoria de 10

botellas y se mide la cantidad de lıquido que contiene cada una,

1. ¿cual es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 1.2?

En esta parte debemos hallar P (S2 > 1,2), para ello usamos el hecho de que

(n−1)S2

σ2 ∼ χ2 con n− 1 grados de libertad. Entonces

P (S2 > 1,2) = P

((n− 1)S2

σ2>

(10− 1)1,2

1

)= P

(χ2 > 10,8

)≈ 0,25(0,2897)

2. ¿Entre que valores simetricos de la varianza se encuentran el 90% de las

observaciones?. En esta parte debemos hallar dos valores digamos b1 y b2 tales

que

P (b1 ≤ S2 ≤ b2)

Siguiendo el mismo procedimiento que en el inciso 1. se tiene que

P (b1 ≤ S2 ≤ b2) = P

((10− 1)b1

1<

(n− 1)S2

σ2<

(10− 1)b21

)= P

(9b11

< χ2 <9b21

)= 0,95

lo cual se cumple si,

9b11

= 3,325 y9b21

= 16,919

Por lo tanto, b1 = 0,369 y b2 = 1,88.


Distribucion muestral de la diferencia entre 2 medias

En muchas situaciones surge la necesidad de comparar las medias muestrales de

dos poblaciones. Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en comparar los

tiempos medios de duracion de dos artefactos electricos. La fabricacion de ambos

marcas de artefactos se realiza por companıas distintas y con diferentes procesos

de fabricacion. Por tanto, los artefactos producidos por cada companıa tendran una

distribucion diferente, una de la otra, en los tiempos de duracion.

Designamos por X1 la variable aleatoria que representa el tiempo de duracion

de la primera marca de artefacto y admitimos que sigue una distribucion N(µ1, σ21).

Analogamente la variable aleatoria X2 representa el tiempo de duracion de la segunda

marca de artefacto que sigue una distribucion N(µ1, σ21). Se selecciona una muestra

aleatoria de tamano n1, de la primera marca de artefacto y una muestra aleatoria

de tamano n2, de la segunda marca de artefacto, ambas muestras independientes.

Entonces si designamos por x1 y x2 los estadısticos medias muestrales de ambas

muestras, estamos interesados en conocer la distribucion muestral de la diferencia

∆x = x1 − x2 para las muestras respectivas de tamano n1 y n2 procedentes de dos

poblaciones normales e independientes. Al igual que para el caso de una poblacion

vamos a estudiar por separado cuando las varianzas poblacionales son conocidas y

cuando son desconocidas.

1. Varianzas Poblacionales conocidas.

De manera analoga al Teorema 1.3 que anunciabamos para la distribucion

muestral de la media, podemos enunciar el siguiente teorema para la diferencia

de medias muestrales.


Teorema 1.6 Sean X11, X12, ..., X1n1 una muestra aleatoria extraıda de una

poblacion que se distribuye N(µ1, σ21) y X21, X22, ..., X2n2 una muestra aleatoria

extraıda de una poblacion que se distribuye N(µ2, σ22), independientes, y

supongamos que σ21 y σ2

1 son conocidas. Entonces la diferencias de medias, ∆X,

se distribuye normal con media ∆µ = µ1−µ2 y varianza σ2∆X

=σ21

n1+

σ22

n2, es decir,

∆X ∼ N(∆µ,σ21

n1+

σ22

n2). Por lo tanto, el estadıstico

Z =∆X −∆µ√

σ21

n1+

σ22

n2

∼ N(0, 1)

Aunque no se demostrara el teorema, es facil ver que

E(∆X) = E(x1 − x2) = E(x1)− E(x2) = µ1 − µ2

V ar(∆X) = V ar(x1 − x2) = V ar(x1) + V ar(x2) =σ21

n1+

σ22

n2

Ejemplo 1.17 Sean X11, X12, ..., X18 una muestra aleatoria extraıda de una

poblacion que se distribuye N(5, 16) y X21, X22, ..., X25 una muestra aleatoria

extraıda de una poblacion que se distribuye N(8, 25), entonces por el teorema

(1.6) se tiene que

∆µX = µ1 − µ2 = 5− 8 = −3

σ2∆X

=σ21

n1+

σ22

n2= 16

8+ 25

5= 7

Por lo tanto, ∆X ∼ N(−3, 7)

Al igual que para una muestra, el resultado del teorema (1.6), permite hallar

probabilidades sobre la diferencia de medias muestrales, lo cual como se vera mas

adelante ayudara a medir el error al estimar un parametro usando un estadıstico.


Ejemplo 1.18 El precio de venta de una casa nueva en Merida se distribuye

Normal con media 450000 BsF y desviacion tıpica de 64000 BsF, en cambio en

San Cristobal se distribuye Normal con media 440000 BsF y desviacion tıpica de

36000 BsF. Si se toma una muestra aleatoria de 100 casas nuevas en Merida y

120 en San Cristobal . ¿Cual es la probabilidad de que el precio promedio de venta

sea mayor en Merida que en San Cristobal? Consideremos a Merida la poblacion

1 y a San Cristobal la poblacion 2, entonces

∆µX = µ1 − µ2 = 450000− 440000 = 10000

σ2∆X

=σ21

n1+

σ22

n2= 640002

100+ 360002

120= 51760000

por lo tanto, ∆X = x1 − x2 ∼ N(10000, 51760000).

Ası,

P (x1 > x2) = P (x1 − x2 > 0) = P (∆X > 0)

= P

(∆X −∆µ

σ2∆X

>0− 10000√51760000

)= P (Z > −1,39) = 0,9177

2. Varianzas Poblacionales desconocidas.

En general, las varianzas poblacionales no suelen ser conocidas. Ası pues, ahora

queremos obtener la distribucion de la diferencia de medias muestrales x1 − x2

cuando el muestro se realiza sobre dos poblaciones normales, independientes y

con varianzas desconocidas. En estas situaciones, debemos tomar en cuenta el

tamano de la muestra.


a) Tamano de las muestras son mayores que 30

Si el tamano de cada muestra es mayor que 30, la distribucion muestral

de la diferencia de medias sigue siendo normal pero sustituyendo σ2∆X

por

S2∆X

=S21

n1+

S22

n2. Es decir,

∆X ∼ N(∆µ, σ2∆X)

Ejemplo 1.19 La edad promedio de los estudiantes de la Universidad de

los Andes es 22 anos y la de los estudiantes de la Universidad de Oriente es

24 anos. Dada una muestra aleatoria de 50 estudiantes de la ULA se obtuvo

que la varianza era 25, y para 60 estudiantes de la UDO se obtuvo que la

varianza era de 16. Su suponemos que las poblaciones son normales.

1) ¿Cual es la distribucion muestral de la diferencia de las edades de los

estudiantes de la ULA con respecto a los de la UDO?

Sea X1 = La edad promedio de los estudiantes de la ULA ⇒ X1 = 22

Sea X2 = La edad promedio de los estudiantes de la UDO ⇒ X2 = 24

Como las varianzas poblacionales son desconocidas usamos las varian-

zas muestrales, las cuales son S21 = 25 y S2

2 = 16. Debido a que los

tamanos de muestras seleccionados son mayores que 30 (n1 = 50, n2 =

60), entonces ∆X = X1 − X2 ∼ N(∆µ;S2∆X

), donde

∆µ = µ1 − µ2 = 22− 24 = −2 S2∆X =

S21

n1

+S22

n2

=25

50+

16

60= 0,77

Es decir, ∆X ∼ N(−2; 0,77)


2) ¿Cual es la probabilidad de que dicha diferencia sea mayor que 2?

P (|x1 − x2| > 2) = P (x1 − x2 > 2) + P (x1 − x2 < −2)

= P

(∆X −∆µ

S2∆X

>2− (−2)√

0,77

)+ P

(∆X −∆µ

S2∆X

<−2− (−2)√

0,77

)= P (Z > 4,55) + P (Z < 0) = 0 + 0,50 = 0,50

b) Tamano de al menos una de las muestras es menor que 30

Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas y al menos uno de

los tamanos muestrales es menor que 30, al igual que en el caso de una

poblacion, se tiene que el estadıstico

T =∆X −∆µ

S∆X

se distribuye t-student con v grados de libertad. Donde los valores de S∆X y

v depende de si las varianzas poblacionales se consideran iguales o diferentes.

1) Si la varianzas se suponen iguales, se tiene que

S∆X =

√(n1 − 1)S2

1 + (n2 − 1)S22

n1 + n2 − 2

√1

n1

+1

n2

v = n1 + n2 − 2


2) Si la varianzas se suponen diferentes, se tiene que

S∆X =

√S21

n1

+S22

n2

v =(S21

n1+

S22

n2)2

(S21/n1)2

n1−1+

(S22/n2)2

n2−1

Ejemplo 1.20 Se aplicaron dos metodos para ensenar a leer a dos grupos

de ninos de primaria que se eligieron en forma aleatoria y se realizo una

comparacion con base en una prueba de comparacion de lectura al final del

perıodo de ensenanza. La siguiente tabla resume los valores de las medias

muestrales y las varianzas calculadas con los resultados de la prueba. Si se

supone que las puntuaciones obtenidas por cada metodos son normales con

media 60 y 65 respectivamente y que las varianzas poblacionales son iguales,

calcule la probabilidad de que el segundo metodo de ensenanza asegure en

promedio una mayor puntuacion que el primero.

Metodo 1 Metodo 2

Numero de ninos 11 14

Media 64 69

Varianza 52 71

El segundo metodo de ensenanza asegure en promedio una mayor puntuacion

que el primero, esta representado por el evento x1− x2 < 0. De esta manera

se tiene que

∆µ = µ1 − µ2 = 64− 69 = −5


y

S∆X =

√(n1 − 1)S2

1 + (n2 − 1)S22

n1 + n2 − 2

√1

n1

+1

n2

=

√(11− 1)52 + (14− 1)71

11 + 14− 2

√1

11+

1

14

= 3,19

Por lo tanto,

P (x1 − x2 < 0) = P (∆X < 0)

= P

(∆X −∆µ

S∆X

<0− (−5)

3,19

)= P (T < 1,57) ≈ 0,95

Nota: Hacer el mismo ejemplo suponiendo varianzas diferentes.

Distribucion muestral del cociente de varianzas

Sean dos poblaciones X1 y X2, N(µ1, σ21), N(µ2, σ

22) e independientes, de las cuales

seleccionamos dos muestras aleatorias simples e independientes, de tamanos n1 y

n2, (x11, ..., x1n1 , ) y (x21, ..., x2n2), entonces pueden presentarse fundamentalmente dos

situaciones:

1. µ1 y µ2 son conocidas

2. µ1 y µ2 son desconocidas

1. µ1 y µ2 son conocidas Al ser conocidas las medias poblacionales µ1 y µ2 las

podemos utilizar para el calculo de las varianzas muestrales S∗21 y S∗2

2 ; y como


las muestras son independientes y ademas proceden de distintas poblaciones,

entonces los estadısticos:

S∗21 =

1

n1

n∑i=1

(x1i − µ1)2

S∗22 =

1

n2

n∑i=1

(x2i − µ2)2

son independientes y podemos expresarlos como:

n1S∗21 =

n∑i=1

(x1i − µ1)2 ⇒ n1S

∗21

σ21

=n∑

i=1

(x1i − µ1

σ1

)2 ∼ χ2n1

n2S∗22 =

n∑i=1

(x2i − µ2)2 ⇒ n2S

∗22

σ22

=n∑

i=1

(x2i − µ2

σ2

)2 ∼ χ2n2

pues la suma de n variables aleatorias N(0, 1), independientes y elevadas al

cuadrado siguen una χ2n. Y recordando que la variable aleatoria F de Snedecor

con n1 y n2 grados de libertad, Fn1,n2 , se define como el cociente entre dos

variables aleatorias χ2 independientes divididas cada una de ellas por sus grados

de libertad, tenemos que:

F =

n1S∗21

σ21

/n1

n2S∗22

σ22

/n2

=S∗21

S∗22

σ22

σ21

∼ Fn1,n2

2. µ1 y µ2 son desconocidas


Al ser desconocidas las medias poblacionales, que sera lo que casi siempre ocurra,

y ser las muestras independientes y ademas procedentes de distintas poblaciones,

entonces los estadısticos:

S21 =

1

n1 − 1

n∑i=1

(x1i − x1)2

S22 =

1

n2 − 1

n∑i=1

(x2i − x2)2

son independientes y ademas

(n1 − 1)S21 =

n∑i=1

(x1i − x1)2 ⇒ (n1 − 1)S2

1

σ21

=n∑

i=1

(x1i − x1

σ1

)2 ∼ χ2n1−1

(n2 − 1)S22 =

n∑i=1

(x2i − x2)2 ⇒ (n2 − 1)S2

2

σ22

=n∑

i=1

(x2i − x2

σ2

)2 ∼ χ2n2−1

Analogamente a como ocurrıa en la situacion anterior, llegaremos a una F-

Snedecor con n1 − 1 y n2 − 1 grados de libertad, en efecto:

F =

(n1−1)S21

σ21

/n1 − 1

(n2−1)S22

σ22

/n2 − 1=

S21

S22

σ22

σ21

∼ Fn1−1,n2−1

Ejemplo 1.21 Se aplicaron dos metodos para ensenar a leer a dos grupos

de ninos de primaria que se eligieron en forma aleatoria y se realizo una

comparacion con base en una prueba de comparacion de lectura al final del

perıodo de ensenanza. La siguiente tabla resume los valores de las medias

muestrales y las varianzas calculadas con los resultados de la prueba. Si se


supone que las puntuaciones obtenidas por cada metodo son normales cuyas

varianzas poblacionales son 60 y 75 respectivamente, calcule la probabilidad de

que el segundo metodo presente mayor variabilidad que el primero.

Metodo 1 Metodo 2

Numero de ninos 11 14

Media 64 69

Varianza 52 71

El segundo metodo presente mayor variabilidad que el primero, esta representado

por el evento S21 < S2

2 . Como la medias poblacionales son desconocidas, se tiene

que:

P (S21 < S2

2) = P

(S21

S22

> 1

)= P

(S21

S22

σ22

σ21

> 175

60

)= P (F < 1,57) ≈ 0,95

Distribucion muestral de la Diferencia de Proporciones

Otro problema que se suele presentar es el de comparar las proporciones p1 y p2, de

dos poblaciones binomiales (si el muestreo es con reemplazo) o hipergeometricas (si

el muestreo es sin reemplazo), basandose en muestras aleatorias simples de tamano

n1 y n2, respectivamente, extraıdas de ambas poblaciones. La comparacion de dichas

proporciones se obtienen a traves del estadıstico ∆p = p1 − p2, cuya distribucion no

es conocida, ya que en teorıa no se conoce cual es la distribucion de la resta de dos

binomiales o de dos hipergeometricas. Por lo tanto, la distribucion de este estadıstico

se definira mas adelante.


1.4.3. Distribuciones asintoticas

Existen situaciones en las que la distribucion de la poblacion no es conocida, pero si el

tamano de la muestra es grande comparado con el tamano de la poblacion, podemos

usar la distribucion normal como la distribucion del estadıstico de manera aproximada.

Dicho resultado se basa en lo que se conoce como el Teorema Central del Limite, el

cual se enuncia a continuacion sin demostracion:

Teorema 1.7 Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribucion con media

µ y varianza σ2. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria

Y =n∑

i=1

Xi

tiene aproximadamente una distribucion normal con media nµ y varianza nσ2, lo cual

se denota como

n∑i=1

Xi → N(nµ;nσ2)

Una muestra es suficientemente grande si n ≥ 30.


En muchas situaciones la poblacion de partida de la cual se extrae la muestra no

es normal. En tales casos la distribucion muestral del estadıstico media muestral x,

sera aproximadamente normal. Vease en el siguiente corolario

Corolario 1.8 Sea x1, x2, ..., xn una muestra aleatoria extraıda de una poblacion cuya

distribucion no es normal, pero que se sabe que tiene media µ y varianza σ2, esta ultima

puede ser o no conocida. De acuerdo con el teorema central del lımite


X =

n∑i=1

Xi

n→ N

(µ;

σ2

n

)cuando la varianza es conocida, o

X =

n∑i=1

Xi

n→ N

(µ;

S2

n

)cuando la varianza es desconocida.

Ejemplo 1.22 Cierta fabrica produce alambres de acero que tiene una media de

resistencia a la traccion de 500 libras y una desviacion estandar de 20 libras. Si se

extrae una muestra aleatoria de 100 alambres de la lınea de produccion durante cierta

semana,

1. ¿cual es la probabilidad de que la media muestral difiera de 500 libras en 4 libras?

2. ¿cual es la probabilidad de que la media muestral sea menor de 496 libras?

Se puede notar que no se dice nada sobre la normalidad de la poblacion, pero como

el tamano de la muestra es mayor que 30 (n = 100)

Distribucion muestral de la varianza

Se vio que si la poblacion de donde se extraıa la muestra se distribuıa N(µ;σ2) entonces

(n− 1)S2

σ2=

n∑i=1

(xi − x)2

σ2

sigue una distribucion χ2 con n− 1 grados de libertad.


Ahora, si la distribucion de la poblacion no es conocida, pero el tamano de la muestra

es suficientemente grande, se tiene que

X → N

(µ;

S2

n

)Por lo tanto, se mantiene el resultado anterior.


Sea x el numero de exitos en una muestra de tamano n, extraıda de una poblacion

cuya proporcion de exitos es Π. Por el teorema central del limite, si n ≥ 30, se cumple

que

p → N(µp; σ2p)

donde

µp = E(p) = E(x

n) =

1

nE(x) =

1

n∗ nΠ = Π

σ2p = V ar(p) = V ar(

x

n) =

1

n2V ar(x) =

1

n2nΠ(1− Π) =

Π(1− Π)

n

Distribucion muestral de la diferencia de medias

Si las poblaciones de donde se extraen las muestras no son normales, pero los tamanos

de ambas muestras son grandes, entonces podemos aplicar el siguiente resultado

Corolario 1.9 Sean x11, x12, ..., x1n y x21, x22, ..., x2n muestras aleatorias extraıdas de

poblaciones cuya distribucion no es normal, pero que se sabe que tienen medias µ1 y µ2


y varianza σ21 σ2

2, respectivamente, estas ultimas puede ser o no conocidas. De acuerdo

con el teorema central del limite

∆X → N(∆µ;σ2∆X)

donde

∆µ = µ1 − µ2 σ2∆X =

σ21

n1

+σ22

n2

y

Z =∆X −∆µ

σ∆X

∼ N(0, 1)

cuando las varianzas son conocidas, o

∆X → N(∆µ;σ2∆X)

donde

∆µ = µ1 − µ2

y

Z =∆X −∆µ

S∆X

∼ N(0, 1)

cuando la varianzas son desconocidas.

Distribucion muestral del cociente de varianzas

no hay cambios


Distribucion muestral de la Diferencia de Proporciones

Consideremos dos muestras aleatorias simples e independientes de tamano n1 y

n2, procedentes de poblaciones binomiales con parametros Π1 y Π2, respectivamente,

entonces la distribucion muestral de la diferencia de proporciones muestrales

∆p = p1 − p2

tendra aproximadamente (para n1 y n2 , grandes) una distribucion normal con

media

µ∆p = Π1 − Π2

y varianza

σ2∆p =

Π1(1− Π1)

n1

− Π2(1− Π2)

n2

es decir,

∆p → N(µ∆p;σ2∆p)


1.5. Ejercicios.

1. Una poblacion consiste en los cuatro valores siguientes: 12, 12, 14 y 16.

a) Enumere todas las muestras posibles de tamano 2 y calcule la media de cada

muestra.

b) Determine la distribucion muestral de la media.

c) Determine el valor medio de la distribucion muestral de la media, y la media

de la poblacion. Compare los dos valores.

d) Determine el valor de la varianza de la distribucion muestral de la media, y

la varianza de la poblacion. Compare los dos valores.

2. Una poblacion esta compuesta de los siguientes cinco valores: 2, 2, 4, 4 y 8

a) Enumere todas las muestras posibles de tamano 3 y calcule la media de cada

muestra.

b) Determine la distribucion muestral de la media.

c) Determine el valor medio de la distribucion muestral de la media, y la media


d) Determine el valor de la varianza de la distribucion muestral de la media, y


3. Hay cinco representantes de ventas en la agencia Escalante Motors. A

continuacion se listan los cinco representantes y el numero de autos que vendieron

la semana pasada:

1.5. EJERCICIOS. 45

Empleado Salario (BsF)

Ramon 8

Juan 6

Pedro 4

Luis 10

Victor 6

a) ¿Cuantas muestras de tamano 2 son posibles?.

b) Enumere todas las muestras posibles de tamano 2 y calcule la media de cada

muestra.

c) Determine la distribucion muestral de la media.

d) Determine el valor medio de la distribucion muestral de la media, y la media


e) Determine el valor de la varianza de la distribucion muestral de la media, y


4. Empresas POLAR tiene 20 representantes de ventas que venden su producto en

Merida. A continuacion se listan los numeros de unidades vendidas (en miles)

durante un mes por cada representante. Supongase que tales cifras son una

poblacion de valores:

2 3 2 3 3 4 2 4 3 2 2 7 3 4 5 3 3 3 3 5

a) Elabore un grafico de la distribucion de la poblacion.

b) Calcule la media poblacional


c) Seleccione al azar cinco muestras de 5 elementos cada una, y calcule la media

de cada muestra.

d) Calcule la distribucion de la media muestral.

e) Compare la media de la distribucion de medias muestrales, con la media de

la poblacion. ¿Se esperarıa que fueran iguales?.

f ) Elabore un grafico de las medias muestrales. ¿Observa alguna diferencia

entre la forma de la distribucion de dichas medias y la distribucion de la

poblacion.

5. Una empresa tiene seis representantes de ventas. En la tabla siguiente se indica

la cantidad de cocinas que cada uno vendio el mes pasado.

Vendedor Cocinas

Pedro 54

Maria 50

Jose 52

Luis 48

Victor 50

Ana 52

a) ¿Cuantas muestras de tamano dos se pueden hacer?.

b) Seleccione todas las muestras posibles de dos elementos y calcule la media

de unidades vendidas.

c) Organice la media muestral en una distribucion de frecuencia.

d) ¿Cual es la media de la poblacion?, ¿cual es la media de la media muestral?

e) ¿Cual es la forma de la distribucion de la media muestral?.

1.5. EJERCICIOS. 47

f ) ¿Cual es la forma de la distribucion de la poblacion?.

6. Como parte de su servicio al cliente, una empresa aerea selecciona aleatoriamente

10 pasajeros de uno de sus vuelos nacionales de las 9 de la manana. A cada uno de

los pasajeros seleccionados se le pregunta acerca de los servicios en el aeropuerto,

las comidas, los servicios a bordo, etc. Para tomar la muestra, a cada pasajero se

le dio un numero conforme abordaba el avion. Los numeros empiezan en 001 y

terminan en 250.

a) Seleccione al azar 10 numeros adecuados utilizando la tabla de numeros

aleatorios.

b) Otra manera de seleccionar los individuos serıa a traves de una muestra

sistematica. Seleccione una muestra sistematica usando la tabla de numeros

aleatorios para seleccionar el primer individuo.

c) Para ambas muestras determine la distribucion de probabilidad de la media

muestral, la media y la varianza.

7. De las muestras aleatorias de tamano n de poblaciones con las medias y

varianzas dadas a continuacion. Encuentre la media y la desviacion estandar

de la distribucion muestral de la media en cada caso.

a) n = 36, µ = 10, σ2 = 9.

b) n = 100, µ = 5, σ2 = 4.

c) n = 8, µ = 120, σ2 = 1.

8. Remıtase al ejercicio anterior.


a) Si las poblaciones muestredas son normales, ¿cual es la distribucion muestral

de la media para los incisos a, b, c?

b) Si las poblaciones muestredas no son normales, ¿cual es la distribucion

muestral de la media para los incisos a, b, c?, ¿En que se basa?.

9. Una muestra aleatoria de n observaciones se elige de una poblacion con desviacion

estandar σ = 1. Calcule el error estandar de la media para estos valores de n

a. n = 1 b. n = 2 c. n = 4 d. n = 9 e. n = 16

f. n = 25 g. n = 100

10. Remıtase al ejercicio anterior. Grafique el error estandar de la media contra el

tamano muestral n y una los puntos con una curva uniforme. ¿Cual es el efecto

de aumentar el tamano de la muestra en el error estandar?.

11. Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de n = 25 observaciones de

una poblacion que tiene distribucion normal, con media igual a 106 y desviacion

estandar igual a 12.

a) De la media y la desviacion estandar de la distribucion muestral de la media.

b) Encuentre la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 110.

c) Estime la posibilidad de que la media muestral se desvıe de la media de la

poblacion en no mas de 4.

12. La media de una poblacion normal es 60 y la desviacion estandar es 12. Se toma

una muestra aleatoria de 9. Calcule la probabilidad de que la media muestral

a) sea mayor que 63.

b) menor que 56.

1.5. EJERCICIOS. 49

c) este entre 56 y 63.

13. La vida media de unas baterıas para radio portatil es 35 horas. La distribucion de

los tiempos de vida de estas baterıas sigue una distribucion normal con desviacion

estandar de 5.5 horas. Como parte del programa de pruebas de sus artıculos el

fabricante de radios portatiles prueba una muestra de 25 baterıas.

a) ¿Que se puede decir acerca de la forma de la distribucion de la media

muestral?.

b) ¿Cual es el error estandar de la distribucion de la media muestral?.

c) ¿Que fraccion de todas las muestras tendra una vida util mayor que 36

horas?.

d) ¿Que fraccion de todas las muestras tendra una vida util mayor que 34.5

horas?.

e) ¿Que fraccion de todas las muestras tendra una vida util entre 34.5 y 36

horas?.

14. Segun algunos estudios la estatura de los meridenos se distribuye normal con

media 1.70. De 50 meridenos seleccionados al azar se obtuvo que la desviacion

estandar era de 0.10, ¿cual es la probabilidad de que la estatura media de los 50

meridenos este por encima de 1.75?

15. El precio de las hamburguesas en la ciudad de Merida sigue una distribucion

normal cuyo precio promedio es de 20 BsF. Un viernes en la tarde se realizo

un estudio en varios negocios de hamburguesas de donde se registraron el precio

de 35 hamburguesas, encontrandose que las mismas presentaban una desviacion


estandar de 2 BsF. ¿Cual es la probabilidad de que el precio promedio de las 35

hamburguesas sea menor que 21 BsF?.

16. Segun algunos estudios la edad de los meridenos se distribuye normal con media

35 anos. De 25 meridenos seleccionados al azar se obtuvo que la desviacion

estandar era de 5 anos, ¿cual es la probabilidad de que la edad media de los

25 meridenos este por debajo de 38 anos?

17. El precio de los perros calientes en cierta ciudad sigue una distribucion normal

cuyo precio promedio es de 10 BsF. Una regulacion del gobierno establece que el

precio de los perros calientes no debe ser mayor a 9 BsF. Un estudio realizado

en varios negocios de comida informal se registro el precio de 22 perros calientes

encontrandose que los mismas presentaban una desviacion estandar de 2 BsF.

¿Cual es la probabilidad de que el precio promedio de los 10 perros calientes no

viole la regulacion?.

18. Suponga que el profesor universitario en instituciones con carreras de dos anos

gana un promedio de 65608 BsF. por ano con una desviacion estandar de 4000

BsF. En un esfuerzo por verificar este nivel del sueldo, se elige al azar una

muestra aleatoria de 60 profesores de una base de datos del personal para estas

instituciones en Venezuela.

a) Describa la distribucion muestral de la media.

b) ¿Dentro de que lımites esperarıa usted que se ubicara el promedio muestral

con probabilidad 0.95?

c) Calcule la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 67000 BsF.?

1.5. EJERCICIOS. 51

d) Si su muestra aleatoria produjera en realidad una media muestral de 67000,

¿considerarıa esto poco comun?.

19. De acuerdo con un estudio, un contribuyente necesita 30 minutos para llenar,

copiar y enviar una determinada forma fiscal. Una agencia de investigacion

encuentra en una muestra de 40 contribuyentes una desviacion estandar de 8

minutos.

a) ¿Que se debe suponer acerca de la forma de la distribucion?.

b) En este ejemplo, ¿cual es el error estandar de la media?.

c) ¿Cual es la probabilidad de tener una media muestral superior a 32 minutos?.

d) ¿Cual es la probabilidad de tener una media muestral que este entre 32 y

35 minutos?.

e) ¿Cual es la probabilidad de tener una media muestral mayor que 35

minutos?.

20. En Venezuela la edad promedia en la que los hombres se casan por primera vez

es 24.8 anos. No se conoce ni la forma ni la desviacion estandar de la poblacion.

¿Cual es la probabilidad de encontrar en una muestra de 60 hombres que la edad

promedio a la que se casaron sea 25.1 anos?. Supongase que la desviacion estandar

muestral es 2.5 anos.

21. En un supermercado, la cantidad media de una compra es 23,50 BsF. No se conoce

ni la forma ni la desviacion estandar de la poblacion. Se toma una muestra de 50

clientes,Si la desviacion estandar de la muestra es 5 BsF, entonces:

a) ¿Cual es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 25 BsF?.


b) ¿Cual es la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 22.5 y

menor que 25 BsF?.

c) ¿Entre que limites se encuentra el 90% de las medias muestrales?.

22. La media de una poblacion de forma desconocida es 75. Se toma una muestra de

40. La desviacion estandar de la muestra es 5. Calcule la probabilidad de que la

media muestral

a) sea menor que 74.

b) este entre 74 y 74.

c) este entre 76 y 77.

d) sea mayor que 77.

23. Se eligen muestras aleatorias de tamano n de poblaciones binomiales con los

parametros de poblacion Π dados a continuacion. Encuentre la media y la

desviacion estandar de la distribucion muestral de la proporcion p en cada caso

si el muestreo se hace sin reemplazo.

a) n = 10, p = 0,3

b) n = 15, p = 0,1

c) n = 5, p = 0,7

24. Realice el ejercicio anterior si el muestreo se hace con reemplazo.

25. Determine la distribucion muestral del ejercicio 23

26. Determine la distribucion muestral del ejercicio 24

1.5. EJERCICIOS. 53

27. La mayorıa de los venezolanos alivian el estres comiendo dulces. Segun un

estudio el 46% de los venezolanos comen en exceso comidas dulces cuando estan

estresados. Si se selecciona una muestra aleatoria sin reemplazo de 10 venezolanos

a) Determine la distribucion de la proporcion muestral.

b) ¿Cual es la probabilidad de que la proporcion muestral sea mayor que 0.5?

c) ¿Cual es la probabilidad de que la proporcion muestral este entre 0.3 y 0.4?

28. Resuelva el ejercicio 27 suponiendo que el muestreo se hace con reemplazo.

29. En una asamblea de deportes hay 4 personas que juegan futbol, 3 beisbol y 3

domino. Si se seleccionan 4 personas al azar sin reemplazo

a) ¿Cual es la distribucion muestral de la proporcion de personas que juegan

futbol?

b) ¿Cual es la probabilidad de que dicha proporcion sea menor que 0.5?

30. Resuelva el ejercicio 29 suponiendo que el muestreo se hace con reemplazo.

31. La produccion de leche de la companıa LACTOSA se distribuye normal con una

desviacion estandar de 0.1 litros. De una muestra de 60 litros de leche, ¿cual es

la probabilidad de que la varianza sea mayor a 0.0144 litros2?

32. Si cierto proceso productivo de azucar presenta una variabilidad mayor a 10000

gramos2 es necesario hacer un ajuste en la maquina. Se sabe por estudios

anteriores que la produccion de azucar se distribuye normal con una varianza

de 2500 gramos2. Si se selecciona una muestra de 30 paquetes de azucar, ¿Cual

es la probabilidad de que sea necesario reajustar la maquina?.


33. La duracion (en meses) de dos marcas de baterıas se distribuyen normal con

medias 38 y 35 respectivamente y desviaciones estandar 8 y 6 respectivamente.

Si se selecciona una muestra aleatoria de 36 baterıas de cada marca, ¿cual es la

probabilidad de que la duracion promedio de la marca A sea:

a) Superior a la de la marca B en dos meses o mas?

b) Inferior a la de la marca B en 2 meses o menos?.

34. Una tienda por departamentos tiene dos planes de cuentas de cargo disponibles

para sus clientes con cuenta corriente de credito. Los saldos de cada plan se

distribuyen normal con medias 15000 BsF y 18000 Bs, respectivamente. La tienda

selecciono una muestra aleatoria de 40 cuentas del plan A y 40 cuentas del plan

B, obteniendo que las medias y las desviaciones estandar eran 12750 y 2550 para

el plan A y 18700 y 2404 para el plan B. ¿cual es la probabilidad de que los saldos

promedios del plan A sean menor que los del plan B?.

35. Cierta marca de almohadas tienen un peso medio de 15 gramos y una desviacion

estandar de 0.006 gramos. Se toman dos muestras aleatorias incondicionales en

forma independiente de cierto dıa de produccion, con n1 = 500 y n2=800. ¿Cual es

la probabilidad de que las medias muestrales difieran en mas de 0.0006 gramos?,

¿de que difieran en menos de 0.0003 gramos?.

36. Dos marcas de tubos de television, A y B, poseen los siguientes parametros:

µA = 1,400 horas, σ2A = 40,000 horas2, µB = 1,200 horas y σ2

B = 10,000

horas2. Se extrae una muestra aleatoria de 125 tubos de cada marca; determine

la probabilidad de que

a) la marca A tendra una media de vida de por lo menos 160 horas mas que B

1.5. EJERCICIOS. 55

b) La marca A tendra una media de vida de por lo menos 250 hora mas que B

37. El sueldo anual de los profesores en cierta ciudad es de 120000 BsF como

promedio, con una desviacion estandar de 10000 BsF. En la misma ciudad, el

salario anual de los medicos es de 150000 BsF como promedio, con una desviacion

estandar de 15000 BsF. Se toma una muestra aleatoria de 100 de cada poblacion;

¿cual es la probabilidad de que las medias muestrales difieran en menos de

50000BsF; de que difieran en mas de 60000 BsF?.

38. El alcalde de la ciudad de Merida compra 100 bombillos de luz de la marca A y

otros 100 de la marca B. Al probar estos bombillos, hallo que xA = 1300 horas,

SA = 90 horas, xB = 1250 horas y SA = 100 horas. ¿Cual es la probabilidad de

que la diferencia entre las dos medias de poblacion correspondientes sea mayor

de 40 horas?.

Capıtulo 2

Inferencia Estadıstica: Estimacion

2.1. Introduccion.

En muchas investigaciones se esta interesado en estudiar una o mas poblaciones, las

cuales pueden ser caracterizadas por algunos parametros, es por ello que en multiples

estudios estadısticos se centre la atencion sobre dichos parametros. Por ejemplo,

supongamos que se desea conocer el ingreso promedio de los habitantes del Municipio

Libertador del Estado Merida, en dicho caso el parametro es la media poblacional µ.

Obtener el valor del parametro en general es difıcil, porque para ello serıa necesario

tener toda la informacion de la poblacion, por ejemplo, el valor de µ puede ser

calculado si contamos con el salario de todos los habitantes de la region en estudio,

pero evidentemente eso no es posible, bien sea porque no disponemos del tiempo o del

dinero necesario para recoger la informacion.

En tales situaciones se recomienda seleccionar una muestra aleatoria de dicha

poblacion y a partir de esos datos calcular el sımil de la muestra en la poblacion,

conocido como estadıstico, el cual es nos da informacion sobre el valor del parametro.

57

58 CAPITULO 2. INFERENCIA ESTADISTICA: ESTIMACION

En nuestro ejemplo, seleccionamos una muestra aleatoria de trabajadores de la region

en estudio, a quienes se les tomarıa el sueldo mensual, y a partir de dichos datos se

calcula la media muestral X, el cual como veremos es el mejor estadıstico para estimar

la media poblacional µ. Este procedimiento se conoce como Inferencia Estadıstica.

Segun Casas(), el objetivo basico de la inferencia estadıstica es hacer inferencias

o sacar conclusiones sobre la poblacion a partir de la informacion contenida en una

muestra aleatoria de la poblacion. Mas especıficamente, podemos decir que la inferencia

estadıstica consiste en el proceso de seleccion y utilizacion de un estadıstico muestral,

mediante el cual, utilizando la informacion que nos proporciona una muestra aleatoria,

nos permite sacar conclusiones sobre caracterısticas poblacionales. Es decir, supongase

que se tiene una poblacion, la cual se representa por su funcion de distribucion

y el parametro poblacional se denota por θ, que toma valores dentro del espacio

parametrico Θ, el parametro puede ser cualquiera, por ejemplo, la media µ, la

varianza σ2 , o la proporcion poblacional π. Seleccionamos una funcion de las variables

aleatorias muestrales X1, X2, ..., Xn, que la denotaremos por θ = g(X1, X2, ..., Xn) y la

utilizaremos para obtener la inferencia sobre el valor del parametro θ.

Las inferencias sobre el valor de un parametro poblacional θ se pueden obtener

basicamente de dos maneras: a partir de estimacion o bien a partir de la prueba de

hipotesis.

En la estimacion, basta seleccionar un estadıstico muestral cuyo valor se

utilizara como estimador del valor del parametro poblacional.

En la prueba de hipotesis, se hace una hipotesis sobre el valor del parametro

θ y se utiliza la informacion proporcionada por la muestra para decidir si la

hipotesis se acepta o no.

2.2. ESTIMACION 59

Ambos metodos de inferencia estadıstica utilizan las mismas relaciones teoricas

entre resultados muestrales y valores poblacionales. Ası pues, una muestra es sacada

de la poblacion y un estadıstico muestral es utilizado para hacer inferencias sobre

el parametro poblacional. En estimacion, la informacion muestral es utilizada para

estimar el valor del parametro θ. En la prueba de hipotesis, primero se formula la

hipotesis sobre el valor de θ y la informacion muestral se utiliza para decidir si la

hipotesis formulada deberıa ser o no rechazada.

En este capıtulo nos ocuparemos de la estimacion estadıstica y dejaremos para el

capıtulo siguiente la prueba de hipotesis.

2.2. Estimacion

La estimacion estadıstica se divide en dos grandes grupos: la estimacion puntual

y la estimacion por intervalos.

La estimacion puntual consiste en obtener un unico numero, calculado a partir

de las observaciones muestrales, que es utilizado como estimacion del valor del

parametro θ. Se le llama estimacion puntual porque a ese numero, que se utiliza

como estimacion del parametro θ, se le puede asignar un punto sobre la recta

real.

En la estimacion por intervalos se obtienen dos puntos (un extremo inferior

y un extremo superior) que definen un intervalo sobre la recta real, el cual

contendra con cierta seguridad el valor del parametro θ.

Por ejemplo, si el parametro poblacional es el salario promedio de los habitantes del

Municipio Libertador del Estado Merida, basandonos en la informacion proporcionada


por una muestra podrıamos obtener una estimacion puntual del parametro µ, que lo

denotaremos por µ;µ = 1250 BsF, sin embargo, el intervalo de estimacion para µ serıa

de la forma (1200, 1300), es decir, de 1200 BsF a 1300 BsF, con un cierto margen de

seguridad.

2.2.1. Estimacion Puntual

Consideremos una poblacion con funcion de distribucion es F (x; θ), donde θ es

el parametro poblacional desconocido que toma valores en el espacio parametrico Θ.

Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria extraıda de dicha poblacion. El estimador

puntual o simplemente estimador del parametro poblacional θ es una funcion

de las variables aleatorias u observaciones muestrales y se representa por θ =

g(X1, X2, ..., Xn).

Para una realizacion particular de la muestra x1, x2, ..., xn se obtiene un valor

especıfico del estimador que recibe el nombre de estimacion del parametro poblacional

θ y lo denotaremos por θ = g(x1, x2, ..., xn)

Vemos pues que existe diferencia entre estimador y estimacion. Utilizaremos el

termino estimador cuando nos referimos a la funcion de las variables aleatorias

muestralesX1, X2, ..., Xn, y los valores que toma la funcion estimador para las diferentes

realizaciones o muestras concretas seran las estimaciones.

El estimador es un estadıstico y, por tanto, una variable aleatoria y el valor de

esta variable aleatoria para una muestra concreta x1, x2, ..., xn sera la estimacion

puntual. Ademas como vimos antes, por ser el estimador un estadıstico este tiene

una distribucion de probabilidad que es la distribucion muestral del estadıstico.

Para clarificar la diferencia entre estimador y estimacion consideremos el siguiente

ejemplo: supongamos que pretendemos estimar la renta media µ de todas las familias de

2.2. ESTIMACION 61

una ciudad, para ello parece logico utilizar como estimador de la media poblacional µ la

media muestral X siendo necesario seleccionar una muestra aleatoria que supondremos

de tamano n = 80, a partir de la cual obtendrıamos la renta media de la muestra, por

ejemplo, x = 1500 BsF. Entonces el estimador de la media poblacional µ sera, µ = X,

es decir, el estadıstico media muestral X y la estimacion puntual sera µ = x = 1500

BsF. Observemos que designamos por X la variable aleatoria media muestral de las

variables aleatorias muestrales X1, X2, , .., Xn, y por x designamos una realizacion para

una muestra especıfica x1, x2, , .., xn, que nos da la correspondiente estimacion puntual

del parametro µ, es decir, µ = x.

Un problema que se consigue un estadıstico es que pueden existir varios estimadores

para un parametro, lo que trae como consecuencia que el estadıstico tenga que

seleccionar entre ellos el mejor. Una manera de hacer esta eleccion es basandose en

las propiedades deseables que un buen estimador deberıa tener. Veamos a continuacion

brevemente algunas propiedades que un buen estimados debe poseer.

Propiedades de un Estimador Puntual

1. Insesgado. El estadıstico θ = g(X1, ..., Xn) es un estimador insesgado del

parametro θ, si la esperanza matematica del estimador θ es igual al parametro θ,

esto es:

E(θ) = θ (2.1)

para todos los valores de θ.

Es facil ver que la media muestral X es un estimador insesgado de µ, pues

E(X) = µ. Se deja como ejercicio probar que la varianza muestral dada como

S∗2 =

n∑i=1

(xi − x)2

nno es insesgados y que la varianza muestral dada como


S2 =

n∑i=1

(xi − x)2

n−1si es insesgado.

2. Eficiente. En algunas situaciones podemos conseguirnos el caso en que dos

estimadores que tenemos a disposicion sean insesgados. En ese caso debemos

recurrir a otra propiedad que permita diferenciar a dichos estimadores. Una

opcion seria medir sus eficiencias. Un estimador θ1 es mas eficiente que otro

estimador θ2 si la varianza del primero es menor que la varianza del segundo.

Este criterio parece ser un concepto intuitivamente claro. Evidentemente cuanto

mas pequena es la varianza de un estimador, mas concentrada esta la distribucion

del estimador alrededor del parametro que se estima y, por lo tanto, es mejor.

La mejor ilustracion de la eficiencia es los estimadores es la estimacion de µ por la

media y la mediana muestrales. Si la poblacion esta distribuida simetricamente,

entonces tanto la media muestral como la mediana muestral son estimadores

insesgados de µ. Sin embargo podemos decir que la media muestral es mejor que

la media muestral como un estimador de µ, ya que V (x) = σ2

ny V (Med) =

1,57076σ2

n, es decir, la media muestral es mas eficiente que la mediana pues

V (x) < V (Med). Ası, concluimos que la media muestral es mejor estimador

que la mediana muestral como un estimador de µ.

3. Consistente. Hasta ahora hemos considerado propiedades de los estimadores

puntuales basados en muestras aleatorias de tamano n, pero parece logico esperar

que un estimador sera tanto mejor cuanto mayor sea el tamano de la muestra.

Ası pues cuando el tamano de la muestra aumenta y por tanto la informacion

que nos proporciona esa muestra es mas completa, resulta que la varianza del

estimador suele ser menor y la distribucion muestral de ese estimador tendera a

2.2. ESTIMACION 63

encontrarse mas concentrada alrededor del parametro que pretendemos estimar.

Por lo tanto diremos que un estimador insesgado es consistente si su varianza

tiende a disminuir a medida que el tamano de la muestra aumenta. Es decir:

V (θ) → 0 cuando n → ∞ (2.2)

Es facil ver que X es un estimador consistente, pues V (X) = σ2

nlo cual tiende a

cero cuando n es muy grande.

4. Suficiente. Una expresion matematica de esta ultima propiedad deseable, es

bastante complicada. Por fortuna, encontramos que este concepto implica un

significado intuitivo preciso. Se dice que un estimador es suficiente si toda la

informacion que contiene la muestra sobre el parametro esta contenida en el

estimador. El significado de la suficiencia reside en el hecho de que si existe

un estimador suficiente, es absolutamente innecesario considerar cualquier otro

estimador. Puede mencionarse ahora que X, p, S2,∆X y ∆p son estimadores

suficientes de los parametros µ, π, σ2,∆µ y ∆π.

Estimadores de Parametros usados en este curso

En la siguiente tabla se muestran los mejores estimadores de los parametros

mas usuales. Dichos estimadores son insesgados, consistentes, eficientes y suficientes.

Ademas se muestra su valor esperado y la varianza.


Parametro (θ) Estimador (θ) E(θ) V (θ)

µ X µ σ2

n

π p π π(1−π)n

σ2 S2 σ2 -

∆µ ∆X ∆µσ21

n1+

σ22

n2

∆π ∆p ∆π π1(1−π1)n1

+ π2(1−π2)n2

2.3. Estimacion por Intervalo

En la seccion anterior, nos hemos ocupado de definir los estimadores puntuales y

als propiedades que estos deben poseer. Veıamos que los estimadores eran funciones

de las observaciones muestrales, y cuando se calcula el valor del estimador θ ;para una

muestra concreta entonces se tiene la estimacion puntual; valor que generalmente difiere

del verdadero valor del parametro θ y, en consecuencia, no nos proporciona suficiente

informacion sobre el parametro, siendo entonces deseable el acompanar a la estimacion

del parametro θ, de alguna medida decl posible error asociado a esta estimacion. Es

decir, asociado a cada estimacion del parametro daremos un intervalo:

[θ1(X1, ..., Xn); θ2(X1, ..., Xn)]

y una medida que nos refleje la confianza que tenemos acerca de que el verdadero

valor del parametro θ se encuentre dentro del intervalo.

Observemos que los extremos del intervalo variaran de manera aleatoria de una

muestra a otra, pues dependen de las observaciones de la muestra, luego tanto los

extremos del intervalo como la longitud del intervalo seran cantidades aleatorias y,

por tanto, no podremos saber con seguridad si el valor del parametro θ se encuentre

dentro del intervalo obtenido cuando se selecciona una sola muestra. El objetivo que

2.3. ESTIMACION POR INTERVALO 65

se pretende con los intervalos de confianza es obtener un intervalo de poca amplitud y

con una alta probabilidad de que el parametro θ se encuentra en su interior. Ası pues,

elegiremos probabilidades cercanas a la unidad, que se representan por 1 − α y cuyos

valores mas frecuentes suelen ser 0,90, 0,95 y 0,99.

Luego si deseamos obtener una estimacion por intervalo del parametro poblacional

θ desconocido, tendremos que obtener dos estadısticos θ1(X1, ..., Xn) y θ2(X1, ..., Xn)

que nos daran los valores extremos del intervalo, tales que

P [θ1(X1, ..., Xn) ≤ θ ≤ θ2(X1, ..., Xn)] = 1− α (2.3)

Al valor 1−α se le conoce como coeficiente de confianza y al valor 100(1−α)% se

le llama nivel de confianza.

Observando el intervalo dado en la expresion 2.3 se pone de manifiesto:

1. Que se trata de un intervalo aleatorio, pues los extremos dependen de la muestra

seleccionada y, por tanto, θ1 y θ2 son variables aleatorias.

2. Que el parametro θ es desconocido.

3. En consecuencia y antes de seleccionar una muestra no podemos decir que la

probabilidad de que el parametro θ tome algun valor en el intervalo (θ1, θ2) es

igual a 1−α, afirmacion que no serıa correcta despues de seleccionar la muestra.

Para una muestra concreta se tendrıan unos valores:

θ1(x,..., xn) = a y θ2(x,..., xn) = b

y no podemos afirmar que

P [a ≤ θ ≤ b] = 1− α


ya que no tiene sentido alguno, pues a, b y θ son tres valores constantes. Sin embargo,

una vez seleccionada la muestra y calculados, los valores de a y b si tiene sentido decir

que

La probabilidad es 1 si θ ∈ [a, b]

La probabilidad es 0 si θ /∈ [a, b]

Luego, no podemos referirnos a la probabilidad del intervalo numerico sino que nos

referiremos al coeficiente de confianza del intervalo, y en consecuencia al nivel de

confianza del intervalo, pues la probabilidad ya hemos indicado que, despues de extraıda

la muestra, sera 1 o cero.

Para precisar mas sobre la interpretacion del intervalo de confianza, consideramos

un numero grande de muestras del mismo tamano y calculamos los lımites inferior y

superior para cada muestra, es decir a y b, entonces se obtendra que aproximadamente

en el 100(1 − α)% de los intervalos resultantes estara en su interior el valor del

parametro θ, y en el 100α% restante no estara en su interes el valor del parametro

θ, y en consecuencia al intervalo (a, b) se le llama intervalo de confianza al nivel de

confianza del 100(1− α)%. Es decir, si tomamos 100 muestras aleatorias de tamano n

de la misma poblacion y calculamos los lımites de confianza 6 y 8 para cada muestra,

entonces esperamos que aproximadamente el 95% de los intervalos contendran en su

interior el verdadero valor del parametro p, y el 5% restante no lo contendran. Pero

como nosotros, en la practica, solo tomamos una muestra aleatoria y, por tanto, solo

tendremos un intervalo de confianza, no conocemos si nuestro intervalo es uno del 95%

o uno del 5%, y por eso hablamos de que tenemos un nivel de confianza del 95%.

La precision de la estimacion por intervalos vendra caracterizada por el coeficiente

de confianza 1 − α y por la amplitud del intervalo. Ası pues, para un coeficiente


de confianza fijo, cuanto mas pequenos sea el intervalo de confianza mas precisa

sera la estimacion, o bien para una misma amplitud del intervalo, cuanto mayor sea el

coeficiente de confianza mayor sera la precision.

2.3.1. Metodos de construccion de intervalos de confianza

Basicamente existen dos metodos para la obtencion de intervalos de confianza de

parametros. El primero, el metodo pivotal o metodo del pivote basado en la posibilidad

de obtener una funcion del parametro desconocido y cuya distribucion muestral no

dependa del parametro. El segundo, el metodo general de Neyman, esta basado en la

distribucion de un estimador puntual del parametro. En este curso solo construiremos

intervalos de confianza con el metodo de la cantidad pivotal.

Metodo de la cantidad pivotal

Antes de ver en que consiste el metodo tenemos que definir cantidad pivotal.

Definicion 2.1 (Cantidad Pivotal) Una cantidad pivotal o pivote, es una funcion

de las observaciones muestrales y del parametro θ, T (X1, ..., Xn; θ), cuya distribucion

muestral no depende del parametro θ.

A continuacion se presentan algunos ejemplos de cantidad pivotal.

1. Z = barX−µσbarX

es una cantidad pivotal ya que depende de la muestra a traves de

barX y del parametro µ, cuya distribucion es la normal estandar, la cual no

depende del valor de µ.

2. W = (n−1)S2

σ2 es una cantidad pivotal ya que depende de la muestra a traves de

S2 y de σ2, cuya distribucion es la chi-cuadrado, la cual no depende del valor de

σ2.


3. T = ∆X−∆µσ∆X

es una cantidad pivotal ya que depende de la muestra a traves de

∆X y del parametro ∆µ, cuya distribucion es la t-student, la cual no depende

del valor de ∆µ.

Ahora que sabemos que es una cantidad pivotal, vemos en que consiste el metodo

de la cantidad pivotal.

1. Definir una cantidad pivotal

2. Como la distribucion de la cantidad pivotal es conocida, dada un nivel de

confianza, se hallan los valores de a y b tales que P (a ≤ T (X1, ..., Xn; θ) ≤

b) = 1− α

3. Como T (X1, ..., Xn; θ) es una funcion del parametro, se despeja de la desigualdad

dicho valor, con lo cual se obtiene el intervalo de confianza del parametro deseado.

2.3.2. Intervalos de confianza en poblaciones normales

En esta seccion consideramos que la poblacion sera normal y obtendremos intervalos

de confianza para los parametros poblaciones en el caso de una muestra y de dos

muestras. Aplicaremos el metodo pivotal, pues en estos casos no existe gran dificultad

para obtener una funcion del parametro desconocido cuya distribucion muestral no

dependa del parametro.

1. Intervalo de confianza para la media de una poblacion normal

Sea x1, x2, ..., xn una muestra aleatoria extraıda de una poblacion N(µ, σ2), con

µ desconocido y σ2 puede ser o no conocida. Estamos interesados en hallar un

intervalo de confianza para µ al nivel de confianza 1 − α. Como σ2 puede ser o

no conocida, veamos cada caso por separado.


a) σ2 es conocida. En principio debemos encontrar un estadıstico (cantidad

pivotal o pivote) que dependa del parametro µ y de su estimador y cuya

distribucion muestral no dependa del parametro µ. En este caso el estadıstico

sera:

Z =X − µ

σ/√n

que se distribuye segun una N(0, 1).

Ahora, utilizando la tabla de la distribucion N(0, l), podemos encontrar dos

valores Zα/2 y Z1−α/2, (la seleccion de estos dos valores garantiza que la

amplitud del intervalo sea mınima) tales que:

P (Zα/2 ≤ Z ≤ Z1−α/2) = 1− α (2.4)

de donde se tiene que

P

(Zα/2 ≤

X − µ

σ/√n

≤ Z1−α/2

)= 1− α

multiplicando por σ/√n

P

(Zα/2

σ√n≤ X − µ ≤ Z1−α/2

σ√n

)= 1− α

restando X

P

(−X + Zα/2

σ√n≤ −µ ≤ −X + Z1−α/2

σ√n

)= 1− α


Multiplicando por -1

P

(X − Zα/2

σ√n≥ µ ≥ X − Z1−α/2

σ√n

)= 1− α

que es equivalente a

P

(X − Z1−α/2

σ√n≤ µ ≤ X − Zα/2

σ√n

)= 1− α

como Zα/2 = −Z1−α/2 se tiene

P

(X − Z1−α/2

σ√n≤ µ ≤ X + Z1−α/2

σ√n

)= 1− α

Por lo tanto, el intervalo de confianza para la media µ de una poblacion

N(µ, σ2) con σ2 conocida es:

[x− Z1−α/2

σ√n; x+ Z1−α/2

σ√n

](2.5)

Ejemplo 2.1 De una poblacion N(µ, 9) se selecciona una muestra aleatoria

cuya media es 25. Obtener un intervalo de confianza para la media

poblacional µ. Cuando el tamano de la muestra es n = 16 y el nivel de

confianza es del 95%. El intervalo de confianza se obtiene al usar la ecuacion

2.5, donde x = 25, n = 16 y 1− α = 0,95, de este ultimo dato se tiene que:

Z1−α/2 = Z0,975 = 1,96


Por lo tanto, el intervalo de confianza es

[25− 1,96

3√16

; 25− 1,963√16

]

[23,53; 26,47]

b) σ2 es desconocida. Cuando la varianza poblaciones es desconocida

debemos tomar en cuenta el tamano de la muestra. Se el tamano de la

muestra es mayor o igual que 30 seguimos usando el intervalo de confianza

de la ecuacion 2.5. Si el tamano de la muestra es menor que 30, usamos el

siguiente estadıstico como cantidad pivotal

T =X − µ

S/√n

que se distribuye segun una t-student con n− 1 grados de libertad.

Ahora, utilizando la tabla de la distribucion t-student, podemos encontrar

dos valores tα/2 y t1−α/2, (la seleccion de estos dos valores garantiza que la

amplitud del intervalo sea mınima) tales que:

P (tα/2 ≤ T ≤ t1−α/2) = 1− α (2.6)

Procediendo de igual manera al caso anterior se tiene que el intervalo de

confianza con un nivel de confianza 1− α para µ con σ2 desconocido es

[x− t1−α/2

S√n; x+ t1−α/2

S√n

](2.7)

Ejemplo 2.2 Un fabricante de una determinada marca de vehıculos de lujo


sabe que el consumo de gasolina de sus vehıculos se distribuye normalmente.

Se selecciona una muestra aleatoria de 6 carros y se observa el consumo

cada 100 km, obteniendo las siguientes observaciones Obtener el intervalo

de confianza para el consumo medio de gasolina de todos los vehıculos de

esa marca, a un nivel de confianza del 90%.

Con los datos de la muestra obtenemos la media y la varianza muestral, los

cuales son x = 19,48 y S2 = 1,12. El intervalo de confianza para la media

poblacional cuando σ2 es desconocida tiene la forma dada por la expresion

2.7, donde x = 19,48, S2 = 1,06, n = 6 y 1− α = 0,90, de este ultimo dato

se tiene que:

T1−α/2 = T0,95 = 2,015


[19,48− 2,015

1,06√6; 19,48 + 2,015

1,06√6

]

[18,61; 20,35]

2. Intervalo de confianza para la varianza de una poblacion normal

Cuando se realizan inferencia sobre la varianza de una poblacion normal se debe

tomar en consideracion si la media poblacional es o no conocida.

a) µ es desconocida Supongamos una poblacionN(µ, σ2), en donde µ y σ2 son

desconocidos y deseamos obtener un intervalo de confianza para la varianza

poblacional σ2 al nivel de confianza del 100(1 − α)%. Para ello tomamos

una muestra aleatoria de tamano n, (X,, ..., X,) y utilizaremos un estadıstico

(cantidad pivotal o pivote) que dependa del parametro σ2 y de su estimador


y cuya distribucion muestral no dependa de los parametros desconocidos.

Ese estadıstico sera:

W =(n− 1)S2

σ2

el cual se distribuye segun una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad,

χ2n−1, siendo S2 la varianza muestral.

Ahora, utilizando la tabla de la distribucion chi-cuadrado, podemos

encontrar dos valores χ2α/2 y χ2

1−α/2, (la seleccion de estos dos valores

garantiza que la amplitud del intervalo sea mınima) tales que:

P (χ2n−1,α/2 ≤ W ≤ χ2

n−1,1−α/2) = 1− α (2.8)


P

(χ2n−1,α/2 ≤

(n− 1)S2

σ2≤ χ2

n−1,1−α/2

)= 1− α

dividiendo por (n− 1)S2

P

(χ2n−1,α/2

(n− 1)S2≤ 1

σ2≤

χ2n−1,1−α/2

(n− 1)S2

)= 1− α

Reordenando esta expresion se tiene

P

((n− 1)S2

χ2n−1,1−α/2

≤ σ2 ≤ (n− 1)S2

χ2n−1,α/2

)= 1− α


y el intervalo de confianza para σ2 al nivel de confianza del (1− α)% serıa:

[(n− 1)S2

χ2n−1,1−α/2

;(n− 1)S2

χ2n−1,α/2

](2.9)

b) µ es conocida En este caso tal estadıstico (cantidad pivotal o pivote) que

dependa del parametro σ2 y cuya distribucion muestral no dependa de σ2

sera:

W∗ =

n∑i=1

(Xi − µ)2

σ2

el cual se distribuye segun una chi-cuadrado con n grados de libertad, χ2n,

pues al ser la media µ conocida no hay que estimarla y el numero de grados

de libertad es n.

Razonando analogamente al caso anterior, en donde µ era desconocida,

llegamos a obtener el intervalo de confianza:

n∑

i=1

(Xi − µ)2

χ2n,1−α/2

;

n∑i=1

(Xi − µ)2

χ2n,α/2

(2.10)

Ejemplo 2.3 El precio de un determinado artıculo perecedero en los

comercios de alimentacion de una ciudad sigue una distribucion normal.

Se toma una muestra aleatoria de 8 comercios y se observa el precio de ese

artıculo, obteniendo las siguientes observaciones:

135, 125, 130, 139, 126, 138, 124, 140


Obtener al nivel de confianza del 95%.

a) Un intervalo de confianza para la media poblacional.

b) Un intervalo de confianza para la varianza poblacional.

A partir de las observaciones muestrales obtenemos que x = 131,75 y

S2 = 43,07

a) El intervalo de confianza para la media poblacional cuando σ2 es

desconocido y 1− α = 0,95 viene dado por:

[131,75− 2,365

6,56√8; 131,75 + 2,365

6,56√8

]

[126,25; 137,23]

b) El intervalo de confianza para la varianza poblacional cuando µ es

desconocido y 1− α = 0,95 viene dado por:

[(n− 1)S2

χ2n−1,1−α/2

;(n− 1)S2

χ2n−1,α/2

]

[(8− 1)43,07

χ27,0,975

;(8− 1)43,07

χ27,0,025

]donde χ2

7,0,975 = 16,015 y χ27,0,025 = 1,690, por lo tanto el intervalo de

confianza es [(7)43,07

16,015;(7)43,07

1,690

][18,83; 178,39]

3. Intervalo de confianza para la diferencia de medias en poblaciones

normales: Muestras independientes


Sean X11, X12, ..., X1n1 y X21, X22, ..., X2n2 dos muestra aleatorias independientes

extraıdas de poblaciones normales, N(µ1, σ21) y N(µ1, σ

21), respectivamente.

Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza del 100(1− α)% para la

diferencia de medias entre las dos poblaciones, ∆µ. Para hallar dicho intervalo de

confianza debemos considerar si las varianzas poblacionales son o no conocidas.

a) Varianzas conocidas En este caso el estadıstico (cantidad pivotal o pivote)

que depende del parametro ∆µ y de su estimador ∆X y cuya distribucion

muestral no depende del parametro es:

Z =∆X −∆µ

σ∆X

que se distribuye segun una N(0, 1), donde σ∆X =√

σ21

n1+

σ22

n2.

Procediendo de manera analoga al caso de una poblacion, se tiene que el

intervalo de confianza es

[∆X − Z1−α/2σ∆X ; ∆X + Z1−α/2σ∆X

](2.11)

b) Varianzas desconocidas Cuando las varianzas son desconocidas debemos

tomar en cuenta los tamanos de las muestras. Si los tamanos de muestras

son mayores que 30, el intervalo de confianza es el de la ecuacion 2.11. Por el

contario si los tamanos de las muestras son menores que 30, debemos estudiar

por separado el supuesto de que las varianzas sean iguales o diferentes.

1) Suponiendo varianzas iguales. Teniendo en cuenta los resultados

obtenidos en el capıtulo de distribuciones muestrales, se tiene que una


cantidad pivotal es

T =∆X −∆µ

S∆X

que se distribuye segun una t-student con v grados de libertad, donde

S∆X =

√(n1 − 1)S2

1 + (n2 − 1)S22

n1 + n2 − 2

√1

n1

+1

n2

v = n1 + n2 − 2


[∆X − tv,1−α/2S∆X ; ∆X + tv,1−α/2S∆X

](2.12)

2) Suponiendo varianzas diferentes. Si las varianzas se suponen

diferentes el estadıstico sigue siendo el mismo, pero en este caso

S∆X =

√S21

n1

+S22

n2

v =(S21

n1+

S22

n2)2

(S21/n1)2

n1−1+

(S22/n2)2

n2−1


[∆X − tv,1−α/2S∆X ; ∆X + tv,1−α/2S∆X

](2.13)

4. Intervalo de confianza para la diferencia de medias en poblaciones

normales: Muestras dependientes

Ahora tratamos construiremos un intervalo de confianza para la diferencia


de dos medias cuando las muestras extraıdas de las poblaciones normales no

son independientes y las varianzas poblacionales no tienen porque ser iguales.

Es decir, supongamos que obtenemos una muestra aleatoria de n pares de

observaciones (X1, Y1)...(Xn, Yn) de poblaciones normales con medias µX y µY , en

donde (X1, ..., Xn) indica la muestra de la poblacion con media µX , y (Y1, ..., Yn)

indica la muestra de la poblacion con media µY .

En este caso podemos reducir la informacion a una sola muestra (D1, ..., Dn) en

donde:

Di = Xi − Yi , i = 1, 2, ..., n

y por las propiedades de la distribucion normal, esta muestra (D1, ..., Dn)

procedera tambien de una poblacion normal de media:

µD = E(D) = E(X − Y ) = E(X)− E(Y ) = µX − µY

y varianza desconocida σ2D.

La varianza poblacional, σ2D, se puede estimar por la varianza muestral S2

d que

serıa la varianza de las diferencias que constituyen la muestra:

S2d =

1

n− 1

n∑i=1

(Di − D)2

siendo

D =1

n

n∑i=1

Di

Un estimador puntual de la media poblacional de las diferencias, µD, viene dado

por D.


Como la varianza poblacional es desconocida y pretendemos obtener un intervalo

de confianza, al nivel de confianza del 100(1 − α)%, para µD procederemos de

manera analoga al cuando se busco el intervalo de confianza para la media de una

poblacion normal cuando σ2 era desconocida. Ası pues, buscaremos un estadıstico

(cantidad pivotal o pivote) que depende del parametro µD y de su estimador

y cuya distribucion muestral no depende de los parametros desconocidos. Ese

estadıstico es:

T =D − µD

SD

que se distribuye segun una t-student con n − 1 grados de libertad, donde

SD = Sd√n.


[D − t(n−1),1−α/2

Sd√n; D + t(n−1),1−α/2

Sd√n

](2.14)

Ejemplo 2.4 La tabla siguiente muestra el consumo de gasolina por 1.000 km

de una muestra aleatoria de 9 carros con dos carburantes X e Y . Si admitimos

que los consumos de gasolina se distribuyen normalmente, obtener un intervalo

de confianza al nivel de confianza del 99% para la diferencia de las medias

poblacionales.

De la tabla ?? obtenemos que d = 2 y S2d = 26,75. Por lo tanto el intervalo de

confianza usando la ecuacion 2.4 es

[2− t8,0,995

5,17√9; 2 + t8,0,005

5,17√9

]


Tabla 2.1: Consumo de gasolina por 1000 km, para los modelos X e Y

Modelo X Modelo Y Diferencias di d2i1 132 124 8 642 139 141 -2 43 126 118 8 644 114 116 -2 45 122 114 8 646 132 132 0 07 142 145 -3 98 119 123 -4 169 126 121 5 25

como t8,0,995 = 3,355 se tiene que el intervalo de confianza es

[−3,781; 7,781]

5. Intervalo de confianza para el cociente de varianzas en poblaciones

normales Sean X11, X12, ..., X1n1 y X21, X22, ..., X2n2 dos muestra aleatorias

independientes extraıdas de poblaciones normales, N(µ1, σ21) y N(µ1, σ

21),

respectivamente, cuyas varianzas son desconocidas y las medias pueden ser

o no conocidas. Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza del

100(1− α)% para el cociente de as varianzas entre las dos poblaciones,σ21

σ22. Para

hallar dicho intervalo de confianza debemos considerar si las medias poblacionales

son o no conocidas.

a) Medias desconocidas Teniendo en cuenta la seccion del capıtulo anterior

, en donde estudiamos la distribucion del cociente de varianzas cuando las

medias poblacionales eran desconocidas, entonces, aquı podemos utilizar

como estadıstico (cantidad pivotal o pivote) que dependa de los parametros


desconocidos

sigma21 y σ22 y de sus estimadores y cuya distribucion muestral no dependa

de los parametros, el estadıstico:

F =

(n1−1)S21

σ21

/n1 − 1

(n2−1)S22

σ22

/n2 − 1=

S21

S22

σ22

σ21

el cual se distribuye F con n1 − 1 y n2 − 1 grados de libertad, Fn1−1,n2−1,

Ahora, utilizando la tabla de la distribucion F , podemos encontrar dos

valores Fα/2;n1−1,n2−1 y F1−α/2;n1−1,n2−1, (la seleccion de estos dos valores

garantiza que la amplitud del intervalo sea mınima) tales que:

P (Fα/2;n1−1,n2−1 ≤ F ≤ F1−α/2;n1−1,n2−1) = 1− α (2.15)


P

(Fα/2;n1−1,n2−1 ≤

S21

S22

σ22

σ21

≤ F1−α/2;n1−1,n2−1

)= 1− α

multiplicando porS22

S21

P

(S22

S21

Fα/2;n1−1,n2−1 ≤σ22

σ21

≤ S22

S21

F1−α/2;n1−1,n2−1

)= 1− α

Invirtiendo cada termino y cambiando el orden de la desigualdad de tiene

P

(S21

S22

1

F1−α/2;n1−1,n2−1

≤ σ21

σ22

≤ S21

S22

1

Fα/2;n1−1,n2−1

)= 1− α


y el intervalo de confianza paraσ21

σ22al nivel de confianza del (1− α)% serıa:

[S21

S22

1

F1−α/2;n1−1,n2−1

;S21

S22

1

Fα/2;n1−1,n2−1

](2.16)

b) Medias conocidas

En este caso usamos como cantidad pivotal el estadıstico

F =

(n1)S∗21

σ21

/n1

(n2)S∗22

σ22

/n2

=S∗21

S∗22

σ22

σ21

el cual se distribuye F con n1 y n2 grados de libertad, Fn1−1,n2−1.

Procediendo de manera analoga al caso anterior obtenemos el siguiente

intervalo de confianza:

[S∗21

S∗22

1

F1−α/2;n1,n2

;S∗21

S∗22

1

Fα/2;n1,n2

](2.17)

donde

S∗21 =

1

n1

n∑i=1

(x1i − µ1)2 y S∗2

2 =1

n2

n∑i=1

(x2i − µ2)2

Ejemplo 2.5 Supongamos que la distribucion de las notas en la asignatura

de metodos estadısticos II sigue una distribucion normal en los dos grupos

existentes. Seleccionada una muestra aleatoria de 21 alumnos del primer

grupo y otra de 26 alumnos del segundo grupo, ambas independientes, se

obtiene como varianzas 1250 y 900, respectivamente. Obtener un intervalo de

confianza para el cociente de las varianzas poblacionales al nivel de confianza

del 90%.


Como las medias poblacionales son desconocidas utilizaremos la expresion

2.16 para hallar el intervalo de confianza. Donde n1 = 21, n2 = 26,

S21 = 1250 y S2

2 = 900. Usando la tabla F obtenemos que

F1−α/2;n1−1,n2−1 = F0,95;20,25 =1

F0,05;20,25= falta

Fα/2;n1−1,n2−1 = F0,05;20,25 = falta

Sustituyendo en la expresion del intervalo se tiene

[1250

900

1

F1−α/2;n1−1,n2−1

;1250

900

1

Fα/2;n1−1,n2−1

]

[0,69; 2,89]

2.3.3. Intervalos de Confianza para muestras grandes

En la mayorıa de las situaciones practicas la distribucion de la poblacion resulta

ser desconocida o no es normal, en dicho caso no podrıamos utilizar directamente los

resultados obtenidos en la seccion anterior. Sin embargo, si el tamano de la muestra es

suficientemente grande podemos utilizar el teorema central del limite para poder definir

la cantidad pivotal. Consideremos el caso del intervalo de confianza para la media.

Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria suficientemente grande procedente de

una poblacion con distribucion desconocida y varianza σ2 finita conocida y deseamos

obtener un intervalo de confianza al nivel del 100(1−α)% para la media, desconocida,

µ de la poblacion. Puesto que se cumplen las condiciones del Teorema Central del

Lımite, podemos decir que el estadıstico

Z =X − µ

σ/√n


se distribuye aproximadamente N(0, 1). Por lo tanto, dicho estadıstico sera nuestra

cantidad pivotal, con el cual se tiene que

P

(Zα/2 ≤

X − µ

σ/√n

≤ Z1−α/2

)≃ 1− α

y de manera analoga a como procedıamos anteriormente, llegaremos a que el

intervalo de confianza al nivel del 100(1− α)% sera:

[x− Z1−α/2

σ√n; x+ Z1−α/2

σ√n

](2.18)

La diferencia con los intervalos obtenidos anteriormente es que aquellos eran exactos

y ahora son aproximados y solo son validos para muestras grandes, n > 30.

Cuando σ2 es desconocida se toma como valor aproximado la varianza muestral S2,

y se obtendrıa como intervalo de confianza:

[x− Z1−α/2

S√n; x+ Z1−α/2

S√n

](2.19)

Expresiones analogas a las obtenidas anteriormente, se tendra para el caso de la

diferencia de medias poblacionales.

Ejemplo 2.6 De los examenes realizados a nivel nacional, se extrae una muestra de

75 ejercicios correspondientes a mujeres y otra de 50 ejercicios correspondientes a

hombres, siendo la calificacion media de la muestra de mujeres 82 puntos con una

desviacion tıpica muestra1 de 8, mientras que para los hombres la calificacion media

fue de 78 con una desviacion tıpica de 6. Obtener el intervalo de confianza al nivel

de confianza del 95% para la diferencia de la puntuacion media de las mujeres y la

puntuacion media de los hombres.


Como las muestras son suficientemente grandes, pues son mayores que 30 y las

poblaciones no son normales podemos obtener un intervalo de confianza aproximado

utilizando la expresion 2.11 en donde sustituimos las varianzas poblacionales por las

varianzas muestrales obteniendo el intervalo:

[∆X − Z1−α/2σ§X ; ∆X + Z1−α/2§∆X

]De donde

x1 = 82, S1 = 8 y n1 = 75

x2 = 78, S=6 y n2 = 50

Por lo tanto,

∆x = x1 − x2 = 82− 78 = 4

S∆X =√

S21

n1+

S22

n2=√

6475

+ 3650

= 1,25

Sustituyendo en la expresion del intervalo tenemos:

[4− (1,96)(1,25); 4 + (1,96)(1,25)]

[1,55; 6,45]

2.3.4. Intervalo de Confianza para Proporciones

Intervalo de Confianza para una Proporcion

Sea una poblacion binomial B(1, π) y una muestra aleatoria de tamano n de esa

poblacion, es decir realizamos n repeticiones del experimento de Bernoulli que estamos


considerando, y deseamos obtener un intervalo de confianza al nivel del 100(1 − α)%

para el parametro poblacional π. Solo vamos a considerar el caso en que los tamanos

de muestras son grandes.

Como se vio antes el mejor estimador puntual de la proporcion poblacional, π, es

la proporcion muestral, p. Ademas en el capıtulo anterior se demostro que de acuerdo

con el Teorema Central del Limite

p → N

(π,

π(1− π)

n

)

Lo que nos permite decir que el estadıstico

Z =p− π√

π(1− π)/n(2.20)

se distribuye aproximadamente N(0, 1) cuando n es suficientemente grande.

En consecuencia este estadıstico Z lo podemos utilizar como cantidad pivotal o

pivote, pues depende del parametro y de su estimador y su distribucion es independiente

del parametro π, pues se trata de una N(0, 1). Por tanto, podremos obtener un intervalo

de confianza para el parametro π al nivel del 100(1− α)% a partir de la expresion.

P

(Zα/2 ≤

p− π√π(1− π)/n

≤ Z1−α/2

)= 1− α

Multiplicando cada termino de la desigualdad por√

π(1− π)/n, restado despues p

a cada termino y multiplicando por - 1, se tiene:

P(p− Zα/2

√π(1− π)/n ≤ π ≤ p+ Zα/2

√π(1− π)/n

)= 1− α (2.21)


Pero los lımites de la expresion 2.21 dependen del parametro desconocido π. Como

n es grande una solucion satisfactoria se obtiene sustituyendo π por su estimacion p en

el lımite interior y en el lımite superior, resultando:

P(p− Z1−α/2

√p(1− p)/n ≤ π ≤ p+ Z1−α/2

√p(1− p)/n

)= 1− α (2.22)

Luego el intervalo de confianza al nivel de confianza del 100(1 − α)% para el

parametro π sera:

[p− Z1−α/2

√p(1− p)/n; p+ Z1−α/2

√p(1− p)/n

)] (2.23)

Ejemplo 2.7 Se selecciona una muestra aleatoria de 600 familias, a las cuales se

les pregunta si poseen o no computador personal en casa, resultando que 240 de esas

familias contestaron afirmativamente. Obtener un intervalo de confianza al nivel del

95% para estimar la proporcion real de familias que poseen computador personal en

casa.

El estimador puntual de π sabemos que es p = xny para la muestra concreta de 600

familias la estimacion correspondiente sera p = 240600

= 0,40. Utilizando la Tabla de la

distribucion normal estandar se tiene que Z0,975 = 1,96. Sustituyendo en la expresion

C2.23 tendremos el intervalo de confianza pedido

[0,40− 1,96

√0,40(1− 0,40)/600; 0,40 + 1,96

√0,40(1− 0,40)/600

][0,36; 0,44]


Intervalo de Confianza para la Diferencia de Proporciones

Ahora estamos interesados en estimar la diferencia entre dos parametros poblacio-

nales π1 y π2, es decir queremos obtener un intervalo de confianza para la diferencia

∆π = π1 − π2 de los dos parametros poblacionales. Para ello se seleccionan dos mues-

tras aleatorias independientes de tamano n1 y n2, de cada una de las dos poblaciones

B(l, π1) y B(1, π2), respectivamente. Los estimadores puntuales de los parametros π1 y

π2 son p1 y p2. Pero a nosotros nos interesa el intervalo de confianza para la diferencia

∆π = π1 − π2, para lo cual utilizamos como estimador de esta diferencia, el estadıstico

∆p = p1 − p2, cuya distribucion para muestras grandes (debido al teorea central del

limite) es aproximadamente normal, es decir,

∆p → N

(∆π,

π1(1− π1)

n1

+π2(1− π2)

n2

)Lo que nos permite decir que el estadıstico

Z =∆p−∆π√

π1(1−π1)n1

+ π2(1−π2)n2

(2.24)

se distribuye aproximadamente N(0, 1) cuando n es suficientemente grande.

Por tanto, tambien podemos escribir

P

Zα/2 ≤∆p−∆π√

π1(1−π1)n1

+ π2(1−π2)n2

≤ Z1−α/2

= 1− α

de donde llegaremos a

P(∆p− Z1−α/2σ∆p ≤ ∆π ≤ ∆p+ Z1−α/2σ∆p

)= 1− α (2.25)


donde

σ∆p =

√π1(1− π1)

n1

+π2(1− π2)

n2

Pero los lımites de la expresion 2.25 dependen de los parametros desconocidos π1 y

π2. Como n1 y n2 son grandes una solucion satisfactoria se obtiene sustituyendo cada

π por su estimacion p en el lımite interior y en el lımite superior, resultando:

P(∆p− Z1−α/2S∆p ≤ ∆π ≤ ∆p+ Z1−α/2S∆p

)≃ 1− α

donde

S∆p =

√p1(1− ⟨1)

n1

+p2(1− p2)

n2

Luego el intervalo de confianza al nivel de confianza del 100(1 − α)% para el

parametro π sera:

[∆p− Z1−α/2S∆p; ∆p+ Z1−α/2S∆p

)] (2.26)

Ejemplo 2.8 En una ciudad A se toma una muestra aleatoria de 98 cabezas de familia,

de los cuales 48 han sido poseedores de acciones de CANTV. Mientras que en otra

ciudad B se selecciona otra muestra aleatoria de tamano 127 cabezas de familia, de

los cuales 21 han sido poseedores de acciones de CANTV. Obtener un intervalo de

confianza al nivel del 95% para la diferencia entre las proporciones de cabezas de familia

que han sido poseedores de ese tipo de acciones en ambas ciudades.

De la informacion del enunciado se deduce:

n1 = 98, x1 = 48, p1 =4898

= 0,49


n2 = 127, x2 = 21, p1 =21127

= 0,165

Para el nivel de confianza del 95%, α = 0,05, se tiene Z0,975 = 1,96. Ademas

S∆p =

√0,49(1− 0,49)

98+

0,165(1− 0,165)

127= 0,118

Luego sustituyendo en la expresion 2.26 se tiene

[0,325− 1,96 ∗ 0,06; 0,325 + 1,96 ∗ 0,06)]

[0,21; 0,44)]

Como el 0 esta fuera del rango del intervalo, esto nos indica que es bastante mas

probable que un cabeza de familia de la ciudad A haya tenido acciones de CANTV que

un cabeza de familia de la ciudad B.

2.4. Ejercicios

1. Explique lo que significa margen de error en la estimacion puntual.

2. ¿Cuales son las caracterısticas del mejor estimador puntual para un parametro

poblacional?.

3. Calcule el margen de error al estimar una media poblacional µ para estos valores.

a) n = 30, σ2 = 0,2

b) n = 30, σ2 = 0,9

c) n = 30, σ2 = 1,5

2.4. EJERCICIOS 91

¿Que efecto tiene una varianza poblacional mas grande en el margen de error?.

4. Una muestra aleatoria de 50 observaciones produjo x = 56,4 y s2 = 2,6. De la

mejor estimacion para la media poblacional y calcule el margen de error.

5. Estimaciones de la biomasa terrestre, la cantidad total de vegetacion que tienen

los bosques de la Tierra, son importantes para determinar la cantidad de dioxido

de carbono no absorbido que se espera permanezca en la atmosfera de la tierra.

Suponga que una muestra de 75 parcelas de 1 metro cuadrado, elegidas al azr en

los bosques de Merida, produjo una biomasa media de 4.2 kilogramos por metro

cuadrado, con una desviacion estandar de 1.5 kg/m2. ¿Cual es el mejor estimador

de la biomasa promedio?. Estime la biomasa promedio para los bosques de Merida

y el margen de error para su estimacion.

6. A la mayorıa de los habitantes de un paıs les encanta participar, o por lo menos

ver, un evento deportivo. De una muestra de 1000 personas 780 respondieron que

si les gustaba participar o ver un deporte.

a) Identifique el mejor estimador puntual para la proporcionan de personas que

si les gustaba participar o ver un deporte.

b) Encuentre una estimacion puntual para dicha proporcion y el margen del

error.

c) La encuesta produce un margen de error de mas o menos 3.1%. ¿Esto

concuerda con sus resultados del inciso b? Si no, ¿que valor de p produce el

margen de error dado en la encuesta?.

7. Suponiendo que las poblaciones son normales, encuentre e interprete un intervalo

de confianza del 95% para la media poblacional para estos valores


a) n = 36, x = 13,1, σ2 = 3,42

b) n = 64, x = 2,73, s2 = 0,147

8. Encuentre e interprete un intervalo de confianza del 90% para la media

poblacional para estos valores

a) n = 49, x = 11,5, s2 = 1,64

b) n = 64, x = 15, σ2 = 9

9. Una muestra aleatoria de n = 300 observaciones de una poblacion binomial

produjo x = 263 exitos. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la

proporcion e interprete el resultado.

10. Una maquina de cafe llena los vasos con volumenes distribuidos normalmente con

una desviacion estandar de 0.11 oz. Cuando se toma una muestra de 23 vasos,

se encuentra un volumen promedio de 7.85 oz. Estime el verdadero volumen

promedio, de llenado de los vasos con 95% de confianza.

11. Treinta artıculos seleccionados en la produccion tienen un costo medio de 180

Bs. Se conoce que la desviacion estandar de la poblacion es de 14 Bs. ¿Cual es el

intervalo de confianza al 99% que considere el verdadero costo medio?.

12. De un lote de 680 maquinas, se estudia una muestra de 72 computadoras de

cuarta generacion. Se desea conocer cual puede ser la duracion promedio de

un componente electronico en particular, si su vida promedio en la muestra

resulto ser de 4300 horas con desviacion estandar de 730 horas. Se requiere que

la estimacion proporcione una confianza del 90%.

2.4. EJERCICIOS 93

13. Cuando un envasador nuevo se empezo a utilizar en una muestra de 40 envases,

se encontro que los frascos de 100 ml eran llenados en promedio con 96 ml con

desviacion estandar de 8 ml.

a) Estime entre cuantos mililitros esta la verdadera cantidad media envasada

con un nivel de confianza del 90%.

b) ¿Se podrıa garantizar que ninguno de los frascos contiene menos de 90 ml.?.

14. El departamento de carnes de una cadena de supermercados empaqueta la carne

molida en bandejas de dos tamanos: una esta disenada para contener mas o menos

1 libra de carne, y la otra para casi 3 libras. Una muestra aleatoria de 35 paquetes

de las bandejas mas pequenas produjo mediciones de peso con un promedio de

1.01 libras y una desviacion estandar de 0.18 libras.

a) Elabore un intervalo de confianza de 99% para el peso promedio de los

paquetes que vende esta cadena de supermercados en las bandejas de carne

pequenas.

b) ¿Que significa la frase confianza de 99%¿.

c) Suponga que el departamento de control de calidad de esta cadena de

supermercados piensa que la cantidad de carne molida en las bandejas

pequenas debe ser en promedio 1 libra. ¿Debe preocupar al departamento

de control de calidad el intervalo de confianza del inciso a? Explique.

15. Una muestra aleatoria de 130 temperaturas corporales humanas tuvo una media

de 98.25 grados y una desviacion estandar de 0.73 grados.

a) Construya un intervalo de confianza de 99% para la temperatura corporal

promedio de personas sanas.


b) ¿El intervalo de confianza construido en el inciso a tiene el valor de 98.6

grados, la temperatura promedio usual citada por medicos y otrod? Si no es

ası, ¿que conclusiones obtiene?

16. Las especificaciones para una nueva aleacion de alta resistencia al calor establecen

que la cantidad de cobre en la aleacion debe ser menor del 23.2%. Una muestra

de 10 analisis de un lote del producto presenta una media de contenido de cobre

de 23% y una desviacion estandar de 0.24%. Estime el contenido medio de cobre

en este lote, usando un intervalo de confianza del 90% si se sabe que la cantidad

de cobre se distribuye normal.

17. Un muestreo aleatorio de n = 24 artıculos en un supermercado presenta una

diferencia entre el valor real y el valor marcado en este. La media y la desviacion

estandar de las diferencias entre el precio real y el precio marcado en los 24

artıculos son -37.14 y 6.42 respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza

para la diferencia media entre el valor real y el marcado por artıculo en ese

supermercado, suponiendo que dicha diferencia se distribuye normal. Use 1−α =

0,05

18. La utilidad por cada auto nuevo vendido por vendedor varıa de auto a auto y

se distribuye normal. La utilidad promedio por venta registrada en la semana

pasada fue ( en miles de bolıvares ) 21, 30, 12, 62, 45, 51. Calcule un intervalo de

confianza del 90% para la utilidad promedio por venta.

19. Un investigador, desea estimar la verdadera proporcion de amas de casa que

prefieren la marca de detergente Ariel con un nivel de confianza del 95%. Sabiendo

que de una muestra de 150 amas de casa la proporcion de amas de casa que les

gusta Ariel es 0.47.

2.4. EJERCICIOS 95

20. De entre 2000 piezas se eligen 75 y se encuentra que en 30 hay defectos. Calcule

un intervalo de confianza del 90% para informar a la gerencia.

21. Se tomo una muestra aleatoria de 300 adultos, y 192 de ellos dijeron que siempre

votaban en las elecciones presidenciales.

a) Construya un intervalo de confianza de 95% para la proporcion de

venezolanos que afirman votar siempre en las elecciones presidenciales.

b) Una famosa encuestadora afirma que este porcentaje es de 67%. Con base

en el intervalo construido en el inciso a, ¿estarıa en desacuerdo con este

porcentaje? Explique.

c) ¿Se puede usar la estimacion del intervalo del inciso a para estimar la

proporcion real de venezolanos adultos que votan en la eleccion presidencial

de 2012? ¿Por que sı o por que no?.

Capıtulo 3

Analisis de Varianza

3.1. Introduccion.

Hasta el momento hemos realizado inferencias con respecto a un parametro

poblacional y a la comparacion de un parametro entre 2 poblaciones. Para ello

hemos usado la distribucion normal, t - student, Chi cuadrado y F. Por lo general,

existen situaciones en las que deseamos comparar un parametro entre tres o mas

poblaciones, como por ejemplo el salario promedio de los trabajadores en 5 estados

de Venezuela. En principio el investigador podrıa pensar en resolver este problema

haciendo comparaciones dos a dos y usar para ello la distribucion normal o la t - student,

segun sea el caso. Dicho procedimiento es inadecuado por las siguientes razones:

1. El procedimiento es muy largo, ya que hay que realizar tantas pruebas como

parejas de tratamientos existan. Por ejemplo, si se desea probar la igualdad

de 5 medias poblacionales, usando comparaciones dos a dos, existen(52

)= 10

combinaciones posibles, es decir se tendrıan que realizar 10 pruebas de hipotesis,

usando en cada uno de los casos la distribucion normal o la t - student.

97

98 CAPITULO 3. ANALISIS DE VARIANZA

2. No se puede generalizar para todas las medias poblacionales, la conclusion se

obtiene por parejas de medias poblacionales.

3. Existe una alta probabilidad de cometer error tipo I, debido a que cuando se

compara una media poblacional con cada una de las otras medias poblacionales

y se realiza una prueba para cada par de medias, es muy probable que se llegue

a concluir que existen diferencias significativas para algunos pares cuando en

realidad no existe diferencia entre ellas. Por ejemplo, si la probabilidad de no

rechazar H0 en cada prueba es 1−α = 0,95, entonces la probabilidad de aceptar

H0 en las 10 pruebas es (0,95)10 = 0,6 si las pruebas son independientes, y la

probabilidad de Rechazar H0 en las 10 pruebas ES 1− (0,95)10 = 0,4, el cual es

el error tipo I.

Por estas razones es necesario considerar un metodo que tome en consideracion

todas las medias al mismo tiempo. Una de las aplicaciones del analisis de varianza es

precisamente resolver este problema.

3.2. ¿Que es el Analisis de Varianza?

Definicion 3.1 (Analisis de Varianza) Es una tecnica estadıstica que divide y

analiza la variabilidad total observada de una variable en porciones atribuibles a

distintos factores de interes para el investigador.

Para entender mejor la definicion veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.1 Se desea estudiar el efecto que puedan tener 5 tipos de dietas en los

tiempo de coagulacion de la sangre extraıda de 24 animales. El analisis de varianza

3.2. ¿QUE ES EL ANALISIS DE VARIANZA? 99

supone que cualquier variacion que existe entre los promedios del tiempo de coagulacion

de la sangre se atribuye a:

1. Variacion de los tiempos de coagulacion dentro de las dietas.

2. Variacion debido a las dietas, esto es, debido a la composicion de cada dieta.

La variacion dentro de cada dieta se debe, por supuesto, a diversas causas, tal

vez al tipo de sangre, a la presion, o cualquier otro elemento no tomado en cuenta.

De cualquier manera dicha variacion es considerada como una variacion al azar o

aleatoria. En cambio, la variacion debido a la dieta, es una variacion que no depende

de variables asociadas con el animal sino de la composicion de la dieta. En este caso, el

analisis de varianza busca identificar cuanto de la variacion del tiempo de coagulacion

de la sangre se debe a la dieta y cuanto a otros elementos no tomados en cuenta .

3.2.1. El Analisis de Varianza en el Diseno de Experimentos.

Cuando se esta realizando una investigacion el investigador puede bien sea observar

las caracterısticas de los datos ya existentes (sin tener participacion en su generacion) o

imponer deliberadamente una o mas condiciones experimentales sobre los elementos en

estudio. En el segundo caso caso, se dice que el experimento fue disenado. El principal

proposito del diseno de un experimento es reducir la variabilidad de las respuestas,

pues previamente se establecen las variables que se piensan inciden sobre el fenomeno

en estudio, ası como sus posibles valores.

Algunos conceptos relacionados con el diseno de experimentos.

Definicion 3.2 (Variable dependiente o respuesta) Es la variable que nos in-

teresa medir o respuesta que se va estudiar, para determinar el efecto que tiene sobre

ella la o las variables independientes.


Definicion 3.3 (Variables independientes o factores) Son las variables que pue-

den influenciar en la variabilidad de la variable respuesta. Estas son controladas com-

pletamente por el experimentador.

Definicion 3.4 (Nivel del Factor) Es un valos de la variable independiente o

factor.

Definicion 3.5 (Tratamiento) Es un nivel o una combinacion de dos o mas niveles

de un factor o factores.

Definicion 3.6 (Unidad Experimental) Son los objetos sobre los cuales se aplican

los tratamientos para obtener una respuesta.

Definicion 3.7 (Error Experimental) Es la variacion que no se puede atribuir a un

cambio de tratamiento, es decir, a la que se produce por los factores extranos que pueden

influir en la respuesta y que deben ser controlados o eliminados por el investigador.

Definicion 3.8 (Aleatorizacion) Consiste en asignar en forma aleatoria los trata-

mientos a las unidades experimentales con el proposito de eliminar los sesgos que pro-

duce dicha asignacion.

Por lo general el diseno de un experimento comprende:

1. La seleccion de los factores que deben incluirse en el experimento y la

especificacion del o los parametros de interes.

2. Decidir cuanta informacion se debe utilizar para estimar los parametros.

3. Seleccionar los tratamientos que deben utilizarse en el experimento y el numero

de unidades experimentales que deben asignarse a cada uno.

3.2. ¿QUE ES EL ANALISIS DE VARIANZA? 101

4. Decidir como deben asignarse los tratamientos a las unidades experimentales.

Por lo tanto, dependiendo del numero de factores, seleccion de los tratamientos y

asignacion de los tratamientos a las unidades experimentales existen distintos tipos de

disenos de experimentos los cuales estudiaremos algunos de ellos mas adelante.

Una vez disenado y el experimento y recolectados los datos, interesa ver que factores

de los que tomaron en cuenta influyen sobre la variable respuesta. Para ello se realiza el

analisis de varianza, el cual como se vio antes consiste en separar la variacion total en

cada uno de sus tratamientos y ası determinar cual de ellos afecta significativamente

la respuesta.

3.2.2. Supuestos del Analisis de Varianza

Independientemente del diseno experimental usado para generar los datos, para que

el analisis de varianza tenga validez, se deben cumplir los siguientes supuestos:

1. Cada tratamiento representa una poblacion.

2. Normalidad: Las poblaciones de las que se extraen las muestras se distribuyen

normal.

3. Homocedasticidad: Las varianzas poblacionales son iguales.

4. Los errores aleatorios son independientes y se distribuyen normal con media cero

y varianza constante.

Cuando los tamanos de muestras son grandes e iguales, el analisis de varianza

tiene la propiedad de ser robusta, es decir, la violacion de los supuestos no afecta

significativamente los resultados. Segun Mendenhall, violar el supuesto de una varianza


constante es mas grave, en particular cuando los tamanos de las muestras no son casi

iguales.

3.3. Diseno Completamente Aleatorizado (DCA)

3.3.1. Introduccion

Denominado tambien diseno de una forma o vıa de clasificacion. Es un diseno util

para describir un experimento en el que se desean comparar k tratamientos (niveles de

un factor), donde las unidades experimentales son homogeneas y los tratamientos son

asignados en forma completamente aleatoria a estas unidades experimentales.

Supongase que tenemos N unidades experimentales homogeneas y k tratamientos.

Sean las N unidades experimentales particionadas aleatoriamente (con igual proba-

bilidad) en k conjuntos de tamano nj . Sean los k tratamientos asignados a los k

conjuntos de forma tal que el j-esimo tratamiento es aplicado a cada una de las uni-

dades experimentales en el j-esimo conjunto. Este procedimiento define un diseno

completamente aleatorizado.

Dentro de las ventajas del diseno completamente aleatorizado se encuentran:

1. Es completamente flexible. Puede usarse con cualquier numero de tratamientos y

de replicas. El numero de replicaciones puede variar de tratamiento a tratamiento,

aunque esto no se debe hacer sin una buena razon, ya que si el diseno es

balanceado (el mismo numero de replicas por tratamiento), la prueba estadıstica

es relativamente insensible a pequenas violaciones del supuesto de igualdad de

varianzas y por otro lado, la potencia del test esta maximizado si las muestras

son de igual tamano.

3.3. DISENO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO (DCA) 103

2. El analisis estadıstico es facil de llevar a cabo aun si el diseno no es balanceado,

si el error difiere de tratamiento a tratamiento y si los diversos tratamientos

poseen varianzas distintas, lo cual se conoce como falta de homogeneidad

(heterogeneidad) del error experimental. Bajo estas condiciones, las pruebas de

hipotesis y la construccion del intervalo de confianza deben conducirse con un

cuidado especial cuando hay heterogeneidad de la varianza.

3. La sencillez del analisis no se pierde si algunas unidades experimentales o

tratamientos enteros faltan o se descartan. En este tipo de diseno, la informacion

que se pierde debido a observaciones faltantes es mınima con relacion a la

sufrida por otros disenos. El numero de grados de libertad para estimar el

error experimental es maximo, lo que incide en un aumento en la precision

del experimento. Esto resulta significativamente importante en experimentos

pequenos, es decir, en aquellos en los que se cuenta con pocos grados de libertad

para el error experimental.

Como la aleatorizacion no tiene restricciones, el error experimental incluye toda

la variacion entre las unidades experimentales excepto, la debida a los tratamientos.

Esto representa la principal desventaja del diseno completamente aleatorizado, lo cual

se traduce en ineficiencia. En muchas situaciones es posible agrupar las unidades

experimentales de modo que la variacion entre las unidades de un mismo grupo sea

menor que la variacion entre las unidades de diferentes grupos. Ciertos disenos sacan

ventaja de tal agrupamiento, ya que excluyen la variacion del error experimental entre

grupos y aumentan la precision del experimento.

A pesar de lo expuesto anteriormente, la aleatorizacion completa resulta ser

el procedimiento obvio en muchos tipos de experimentos de laboratorio, en los


que una cantidad de material esta completamente mezclada y luego se divide en

porciones pequenas para formar las unidades experimentales a los cuales se asignan

los tratamientos en forma aleatoria o, en experimentos con animales y plantas con

condiciones ambientales muy parecidas.

Ejemplo 3.1 Supongamos que deseamos analizar el tiempo de coagulacion para

muestras de sangre tomadas de animales sometidos a cuatro diferentes drogas A, B, C

y D. Las drogas fueron aplicadas aleatoriamente a los animales. Queremos entonces,

medir el efecto de las drogas sobre el tiempo de coagulacion.

3.3.2. El Modelo

La respuesta observada para cada tratamiento, Yij es una variable aleatoria que

puede ser expresada como la suma de dos componentes, a saber:

Un componente que mide la media de tratamientos

Un componente que representa al error aleatorio (termino de error aleatorio)

La media de los tratamientos muestra la influencia de los tratamientos sonre la

variable respuesta y el error es una cantidad aleatoria que no puede predecirse con

anticipacion, pero cuyo valor esperado es igual a cero.

El modelo matematico apropiado para describir las observaciones, esta dada por:

Yij = µj + εiji = 1, 2, · · · , nj

j = 1, 2, · · · , k(3.1)

donde:

Yij es la i-esima observacion del j-esimo tratamiento.


µj es la media del j-esimo tratamiento

εij es el error aleatorio, los cuales se suponen N(0, σ2) e independientes

El modelo estadıstico propuesto en 3.1, describe dos situaciones diferentes con

respecto al efecto de los tratamientos.

Los k tratamientos pueden ser escogidos a criterio o conveniencia del investigador.

En esta situacion, se desea probar hipotesis sobre las medias de los tratamientos,

y las conclusiones solamente pueden ser aplicadas a los niveles del factor

(tratamientos) considerados en el analisis. Este modelo es llamado modelo de

efectos fijos.

Si los k tratamientos constituyen una muestra aleatoria de la poblacion de

tratamientos, las conclusiones pueden extenderse a la poblacion de tratamientos.

Aquı los µj son considerados variables aleatorias. En este caso, las hipotesis seran

acerca de la variabilidad de los µj. Este modelo es llamado modelo de efectos

aleatorios o modelo de componentes de varianza

En este curso solo vamos a desarrollar el modelo de efectos aleatorios. Ahora bien,

los datos observados de un diseno completamente aleatorizado pueden presentase como

en la tabla 3.1

La hipotesis a probar en este tipo de disenos es que la media de los tratamientos

sean iguales, es decir,

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk

H1 : µi = µj para algun i = j (3.2)


Tabla 3.1: Datos Muestrales de un DCATratamiento

1 2 · · · kY11 Y12 · · · Y1k

Y21 Y22 · · · Y2k...

.... . .

...Yn11 Yn22 · · · Ynkk

Total Y,1 Y,2 · · · Y.k

nj n1 n2 · · · nk

Media Y,1 Y,2 · · · Y.K

Otra manera de plantear el modelo de un diseno completamente aleatorizado,

ecuacion ??, se tiene al expresar la media del j-esimo tratamiento, µj como

µj = µ+ τj

donde

µ es la media general.

τj es el efecto del j-esimo tratamiento

de esta manera, el modelo de un DCA se puede escribir como

Yij = µ+ τj + εiji = 1, 2, · · · , nj

j = 1, 2, · · · , k(3.3)

En este caso, la hipotesis a probar se puede plantear como

H0 : τ1 = τ2 = · · · = τk = 0

H1 : τi = 0 para algun i (3.4)


Para probar dicha hipotesis se realiza un analisis de varianza, cuyo desarrollo se

vera a continuacion.

3.3.3. Analisis de Varianza para el DCA

En el desarrollo analıtico del Analisis de varianza (ANDEVA) se necesita calcular:

El gran total: Y.. =k∑

j=1

Y.j =k∑

j=1

nj∑i=1

Yij.

El total para el tratamiento j: Y.j =

nj∑i=1

Yij. Y.j =Y.j

nj

El numero de observaciones: N =k∑

j=1

nj.

La gran media: Y.. =Y..

N.

La media del tratamiento j: Y.j =Y.j

nj.

Como se dijo antes el analisis de varianza busca separar la variabilidad total en

porciones significativas de variabilidad, en este caso, que solo hay un factor de interes

ademas del error aleatorio, se busca separar la variabilidad de las observaciones con

respecto a la media en 2 fuentes de variabilidad, una debida a los tratamientos y otra

al error aleatorio.

Una medida de la desviacion de las observaciones con respecto a la media esta dada

pork∑

j=1

n∑i=1

(Yij−Y..)2, la cual restandole y sumandole los promedios de los tratamientos


y ordenandolo convenientemente se tiene que

k∑j=1

nj∑i=1

(Yij − Y..)2 =k∑

j=1

nj∑i=1

(Yij − barY.j + Y.j − Y..)2 (3.5)

=k∑

j=1

nj∑i=1

[(Y.j − Y..) + (Yij − barY.j)]2 (3.6)

Al desarrollar el segundo miembro de la ecuacion 3.5, se obtiene

k∑j=1

nj∑i=1

(Yij − Y..)2 =k∑

j=1

nj∑i=1

[(Y.j − Y..)2 + 2(Y.j − Y..)(Yij − Y.j) + (Yij − Y.j)2]

=k∑

j=1

nj∑i=1

(Y.j − Y..)2 +k∑

j=1

nj∑i=1

2(Y.j − Y..)(Yij − Y.j) +k∑

j=1

nj∑i=1

(Yij − Y.j)2

=k∑

j=1

nj∑i=1

(Y.j − Y..)2 +k∑

j=1

nj∑i=1

(Yij − Y.j)2

Como las sumatorias que contienen productos cruzados son iguales a cero, se tiene que

k∑j=1

nj∑i=1

(Yij − Y..)2 =k∑

j=1

nj∑i=1

(Y.j − Y..)2 +k∑

j=1

nj∑i=1

(Yij − Y.j)2 (3.7)

La ecuacion 3.7 representa la descomposicion de la suma de cuadrados total. La cual

se puede expresar de la siguiente manera

SCT = SCTr + SCE (3.8)

Esta ultima ecuacion es la ecuacion fundamental del Analisis de Varianza.


Para efecto de calculos, las formulas anteriores usualmente se desarrollan y se

reescriben de la forma siguiente

SCT =k∑

j=1

nj∑i=1

Y 2ij −

Y 2..

N

SCTr =k∑

j=1

Y 2.j

nj

− Y 2..

N

SCE = SCT − SCTr

En base a estos estadısticos, se obtienen dos estadısticos adicionales, usualmente

llamados Medias Cuadraticas o Cuadrados Medios y resultan de dividir cada suma de

cuadrados por su correspondiente grados de libertad.

Cuadrado medio de tratamientos

CMTr =SCTr

k − 1

y,

Cuadrado medio del error

CME =SCE

N − k

Cuyos valores esperados estan dados por:

E(CME) = σ2

E(CMTr) = σ2 +k∑

j=1

nj∑i=1

τ 2jk − 1

Observemos que si H0 : τj = 0∀j, es verdadera, E(CMTr) = σ2. Esto es, en este

caso se tienen dos estimadores insesgados e independientes de σ2, el CMTr y el CME.


Ahora bien, sabemos que SCT = SCTr + SCE y Ademas, puede demostrarse que

SCT

σ2∼ χ2

N−1 (3.9)

Si H0 es verdadera, y de acuerdo al teorema de Cochran es posible definir dos

estadısticos chi-cuadrados independientes

SCTr

σ2∼ χ2

k−1 (3.10)

SCE

σ2∼ χ2

N−k (3.11)

Por lo tanto, el estadıstico

F0 =SCTr

σ2 /k − 1SCE

σ2 /N − k=

CMTr

CME

(3.12)

sigue una distribucion F con k − 1 y N − k grados de libertad.

Estos resultados pueden ser resumidos bajo el formato general de la tabla de

ANDEVA, como se muestra en la tabla 3.2.

Tabla 3.2: Tabla de Analisis de Varianza

Fuente de Suma de Grado de Cuadrado F

Variacion Cuadrados Libertad Medio

Tratamiento SCTr k-1 CMTrF0

Error SCE N-k CME

Total SCT N-1

Rechazamos H0 sı y solo sı: F > F1−α,k−1,N−k


Ejemplo 3.2 Los datos que figuran en la tabla 3.3 son los resultados de un diseno

completamente aleatorizado para el cual la respuesta son los kilowats hora, empleados

por los sistemas de calentamiento (en cientos de kilowats hora) para casa muy similares

en un lugar dado, como funcion de cinco aislamientos termicos (en pulgadas). Con

base en esta informacion, ¿Existe alguna razon para creer que por lo menos algunos

consumos de energıa promedio para los cinco niveles de aislamiento son diferentes?.

Suponga un nivel de significacion igual a 0.01. Se desea probar la hipotesis

Tabla 3.3: Calor empleado para cinco niveles de aislamiento

Espesor del aislamiento del techo (pulgadas)

4 6 8 10 12

14.4 14.5 13.8 13.0 13.1

14.8 14.1 14.1 13.4 12.8

15.2 14.6 13.7 13.2 12.9

14.3 14.2 13.6 13.2

14.6 14.0 13.3

12.7

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µ5 = µ

H1 : µi = µj para algun i = j (3.13)

o de manera equivalente

H0 : τ1 = τ2 = · · · = τ5 = 0

H1 : τj = 0 para algun j (3.14)


El numero de observaciones y los totales se encuentran en la tabla 3.4.

Tabla 3.4: Calculos del ejemplo 3.2Tratamiento

1 2 · · · k14.4 14.5 13.8 13.0 13.114.8 14.1 14.1 13.4 12.815.2 14.6 13.7 13.2 12.914.3 14.2 13.6 13.214.6 14.0 13.3

12.7Total 73.3 57.4 69.2 39.6 78nj n1 = 5 n2 = 4 n2 = 5 n4 = 3 n5 = 6

Por lo tanto, las sumas de los cuadrados son las siguientes:

SCT = 14,42 + 14,82 + ...+ 12,72 − 317,52

23= 11,05

SCTr =73,32

5+ 57,42

4+ 69,22

5+ 39,62

3+ 782

6− 317,52

23= 9,836

SCE = 11,05− 9,836 = 1,214

La informacion se ha agrupado en una tab;a de analisis de varianza que se muestra en

la tabla 3.5

Tabla 3.5: Tabla de Analisis de Varianza para el ejemplo 3.2



Tratamiento 9.836 4 2.45936.48

Error 1.214 18 0.0674

Total 11.05 22

Dado que F = 36,48 > F0,99,4,18 = 4,58 se rechaza la hipotesis nula de que no existe

ningun efecto debido a los tratamientos. En relacion con lo anterior, existe una razon


para creer que parte de los consumos promedios de energıa son diferentes para los cinco

niveles de aislamiento.


3.4. Metodos A posteriori

En algunas investigaciones, sus objetivos o la naturaleza propia del problema

indican que debe someterse a prueba la significacion de determinados tratamientos o de

una combinacion de los mismos. Esto es, existen situaciones en las que los tratamiento

bajo investigacion tienen alguna relacion lo cual incide en que unas comparaciones

son de mas interes que otras. A esto nos referimos como comparaciones a priori o,

preplaneadas.

Ahora bien, si una vez realizado el experimento y analizada la informacion,

rechazamos la hipotesis nula, significa que por lo menos una de las medias de los

tratamientos es diferente del resto o, que al menos un efecto de tratamiento difiere

significativamente de cero. Sin embargo, el rechazar la hipotesis nula no ofrece ninguna

informacion que permita dar respuesta a la siguiente interrogante; ¿Cual o cuales

medias difieren?

En esta seccion se van a desarrollar procedimientos que permiten probar la

significacion de algunas comparaciones entre los efectos de tratamientos o entre todas

las posible parejas entre tratamientos, en el primer caso se dice que son comparaciones

por contraste y en el segundo comparaciones multiples. Veamos a continuacion dichos

procedimientos:

3.4.1. Comparaciones por Contrastes

Aunque por lo general, se esta interesado en la comparacion de los tratamientos

agrupados por parejas, lo que se traduce en contrastar hipotesis del tipo H0 : µ1 = µ2,

o de manera equivalente H0 : µ1 − µ2 = 0, dando como consecuencia un total de(k2

)comparaciones, existen situaciones en las que es de interes comparar una combinacion

3.4. METODOS A POSTERIORI 115

lineal de tratamientos, las cuales se traducen en contrastar hipotesis de la forma

H0 :m∑j=1

cjµj = 0. La ecuacion que se presenta en la hipotesis antes planteada se

conoce como contraste.

Definicion 3.9 (Contraste) Un contraste (L) es una combinacion lineal de las

medias poblacionales de interes, es decir,

L =m∑j=1

cjµj (3.15)

donde

cj son numeros reales que cumplen con la condicionm∑j=1

cj = 0

µj es la media del j-esimo tratamiento.

Por ejemplo, las hipotesis nulas del tipo H0 : µi = µj, se pueden escribir como

H0 : µi − µj = 0, definen el contraste L = c1µ1 − c2µ2 donde c1 = 1 y c2 = −1. La

hipotesis H0 :µ1+µ2

2= µ3 define un contraste con c1 =

12, c2 =

12y c3 = −1.

Para probar dichas hipotesis, bajo el supuesto que la distribucion de las poblaciones

son N(µj, σ2), se usa como estimador L =

m∑j=1

cjµj =m∑j=1

cjYj, el cual se distribuye

normal con parametros

E[L] =m∑j=1

cjµj y V ar[L] = σ2

m∑j=1

c2jnj

L0 =

L−m∑j=1

cjµj√√√√σ2

m∑j=1

c2jnj

(3.16)


sigue una distribucion normal con media igual a cero y varianza igual a 1.

Como por lo general σ2 es desconocida, usamos CME como su estimador, de manera

que,

L0 =

L−m∑j=1

cjµj√√√√CME

m∑j=1

c2jnj

(3.17)

el cual se distribuye t-student con N − k grados de libertad. De esta forma la

expresion

L± tα/2,N−k

√√√√CME

m∑j=1

c2jnj

(3.18)

constituye un intervalo de confianza del 100(1− α)% para L.

Si el intervalo contiene el cero, se concluye que L es estadısticamente igual a cero.

Podemos indicar que rechazamos cuando |L0| > tα/2,N−k.

Metodo de Scheffe

Es un metodo alternativo del t-student para probar contrastes. En este caso

Scheffe propone el siguiente intervalo de confianza para el contraste L.

L± A

√√√√CME

m∑j=1

c2jnj

(3.19)

donde

A =√(k − 1)Fα,k−1,N−k


Nuevamente si el intervalo de confianza no contiene al cero, entonces decimos que

la prueba es significativa, es decir que se rechaza la hipotesis de que el contraste sea

igual a cero.

3.4.2. Comparaciones Multiples

Metodo de la Diferencia Mınima Significativa (LSD)

Procedimiento propuesto por Fisher en el ano 1.935 y que consiste en realizar todas

las posibles comparaciones entre pares de medias, es decir, todos las(k2

)pruebas de la

forma:

H0 : µi = µj

H1 : µi = µj∀i = j (3.20)

Para probar dicha hipotesis se usa como estadıstico de prueba la diferencia entre los

valores estimados de las medias (medias muestrales), es decir Y.j−Y.k, cuya distribucion

(suponiendo que las poblaciones son N(µj, σ2)) es N [µj − µj′ , σ

2(1/nj + 1/nj′)]. Por

lo tanto, bajo la hipotesis nula cierta el estadıstico

Z =Y.j − Y.k

σ√

1/nj + 1/nk

(3.21)

se distribvuye normal estandar. Pro como σ2 es desconocido, se usa el CME para

estimarlo. asi, el estadıstico

T =Y.j − Y.k√

CME(1/nj + 1/nk)(3.22)


se distribuye t-student con N − k grados de libertad. Por lo tanto, se rechaza H0 si

|T | > tα/2,N−k, lo cual es equivalente a rechazar H0 si

|Y.j − Y.k| > tα/2,N−k

√CME(1/nj + 1/nk)

Otra manera de contrastar la hipotesis es construyendo el intervalo de confianza

para µj − µk el cual es

|Y.j − Y.k| ± tα/2,N−k

√CME(1/nj + 1/nk)

Si el intervalo no contiene el cero rechazamos H0.

Esta prueba es conocida

como LSD, pues segun Gutierrez(2006), tα/2,N−k

√CME(1/nj + 1/nk) es la mınima

diferencia que debe haber entre dos medias muestrales para poder considerar que los

tratamientos correspondientes son significativamente diferentes.

Metodo de los Rangos Estudentizados o Metodo de Tukey

Procedimiento aplicado para probar hipotesis de la forma H0 : µj − µk = 0,

inicialmente en disenos balanceados. Este metodo hace uso de la Distribucion del Rango

Estudentizado, el cual se define a continuacion.

Definicion 3.10 Sean Z1, ..., Zm y U variables aleatorias independientes, tales que

Zi ∼ N(0; 1)(i = 1, 2, ...m) y U ∼ χ2m. Sea ademas,

q = maxi =j

|Zi − Zj|√U/m

(3.23)

Decimos que q tiene una distribucion de rango estudentizado , lo que se denota,


q ∼ qk;m.

Para probar H0 , se debe calcular:

T = qα;k,N−k

√CME/n (3.24)

donde qα;k,N−k es el punto superior α de la distribucion de rango estudentizado.

Existen tablas de estos valores que pueden ser consultadas en libros de disenos de

experimentos o modelos lineales.

Si |Y.j − Y.k| > T concluimos que µj y µk son diferentes, en otro caso, se consideran

iguales.

Para el caso no balanceado, Kramer (1.956) propone el siguiente cambio en 3.24

T = qα;k,fE

√1

2

(1

nj

+1

nk

)CME/n (3.25)

donde fE son los grados de libertad para el error. Este metodo es referido como el

metodo de Tukey-Kramer.

Metodo de los Rangos Multiples de Duncan

Test disenado para comparar todos los posibles pares de medias [k(k − 1)/2]. A

diferencia del test de Tukey, este usa diferentes valores crıticos, los cuales dependen del

rango de |Y.j y Y.k. Esto es, dependen del numero de medias entre ellas, una vez que

han sido ordenadas en forma ascendente.

Sean Y(,1), ..., Y(.k) las medias de tratamientos ordenadas en forma ascendente. Si

entre Y(.j) y Y(.k) hay p medias, entonces un test rango estudentizado de tamano α,

es conducido comparando Y(.j) − Y(.k) con Dp = rα(p, fε)√

CME

n, donde rα(p, fε) es el


rango significativo de la tabla de Duncan para el nivel α. Si Y(.j)− Y(.k) > Dp, entonces

µj y µk son significativamente diferentes.

El procedimiento de Duncan se desarrolla de la siguiente manera:

1. Ordenar las medias en forma ascendente.

2. Obtener las diferencias entre cada par de medias de la siguiente manera:

Y.(k) − Y.(1), Y.(k) − Y.(2), ..., Y.(k) − Y.(k−1), ..., Y.(2) − Y.(1)

3. Obtener rα(p, fε) y comparar Y.(k) − Y.(1) con Dk. Si esta diferencia no es

significativa, debemos considerar las diferencias Y.(k) − Y.(2) y Y.(k−1) − Y.(1)

y compararlas con Dk−1 , y ası sucesivamente hasta comparar las diferencias

Y.(k) − Y.(k−1), Y.(k−1) − Y.(k−2) con D2.

Si el modelo es no balanceado, n suele ser reemplazado por nh = kk∑

j=1

1

nj

.c

Metodo de Newman Keuls

Es un metodo restringido a la comparacion entre pares de medias. Es similar en

cuanto a su procedimiento, al Test de Rangos Multiples de Duncan, no ası en su

eficiencia, ya que la prueba de Duncan es mas eficaz. En este procedimiento las medias

deben ser ordenadas en forma ascendente y se requiere del calculo de todas las posibles

diferencias crıticas entre las medias. Estas diferencias crıticas estan dadas por:

NKp = qα;p,fE

√CME

np = 2, 3, ..., k (3.26)


donde qα es el valor critico de la tabla de rango estudentizado. µj y µk, se consideran

significativamente diferentes si y solo si (Y(.j) − Y(.k)) > NKp.

Metodo de Dunnet

Existen situaciones en las que dentro del grupo de k tratamientos se tiene un

tratamiento control, y el objetivo principal del experimento es comparar a los (k − 1)

tratamientos restantes con este. Esto es, si el tratamiento S es el control, entonces

estamos interesados en probar la hipotesis:

H0 : µS = µj j = 1, ..., k; j = S

Para hacer las (k − 1) comparaciones se usa el procedimiento desarrollado por

Dunnett y el cual consiste en comparar (Y(.S) − Y(.j)) con el valor crıtico

D =

(2CME

n

)−1/2

dk−1,α,f si H1 : µs > µj

D′ = −(2CME

n

)−1/2

dk−1,α,f si H1 : µs < µj

D′′ =

(2CME

n

)−1/2

dk−1,α/2,f si H1 : µs = µj

Luego, rechazamos H0 sı y solo sı:

D ≥ D si H1 : µs > µj

D ≤ D′ si H1 : µs < µj

|D| = D′′ si H1 : µs = µj


3.5. Ejercicios

1. Demuestre que la suma de los productos cruzados en la descomposicion de la

suma de cuadrados es cero.

2. Obtenga las formulas usuales del analisis de varianza a partir de las formulas

teoricas.

3. Demuestre que

E(CME) = σ2

E(CMTr) = σ2 +k∑

j=1

nj∑i=1

τ 2jk − 1

4. Demuestre que

SCT

σ2∼ χ2

N−1

SCTr

σ2∼ χ2

k−1

SCE

σ2∼ χ2

N−k

5. Demuestre que

F0 =CMTr

CME

∼ Fk−1,N−k.

Nota: Establezca los supuestos necesarios.

6. Los miembros de un equipo ciclista se dividen al azar en tres grupos que entrenan

con metodos diferentes. El primer grupo realiza largos recorridos a ritmo pausado,

el segundo grupo realiza series cortas de alta intensidad y el tercero trabaja en

el gimnasio con pesas y se ejercita en el pedaleo de alta frecuencia. Despues de

3.5. EJERCICIOS 123

un mes de entrenamiento se realiza un test de rendimiento consistente en un

recorrido cronometrado de 9 Km. Los tiempos empleados fueron los siguientes

Metodo I Metodo II Metodo III

15 14 13

16 13 12

14 15 11

15 16 14

17 14 11

A un nivel de confianza del 95% ¿Puede considerarse que los tres metodos

producen resultados equivalentes? O por el contrario ¿Hay algun metodo superior

a los demas?

7. Una lista de palabras sin sentido se presenta en la pantalla del ordenador

con cuatro procedimientos diferentes, asignados al azar a un grupo de sujetos.

Posteriormente se les realiza una prueba de recuerdo de dichas palabras,

obteniendose los siguientes resultados:

Proc. I Proc. II Proc. III Proc. IV

5 9 8 1

7 11 6 3

6 8 9 4

3 7 5 5

9 7 7 1

7 4 4

4 4

2


¿Que conclusiones pueden sacarse acerca de las cuatro formas de presentacion,

con un nivel de significacion del 5

8. Una egresada de contadurıa tiene ofertas de trabajo de cuatro empresas. Para

examinar un poco mas las propuestas, solicito a una muestra de personas de nuevo

ingreso, decirle cuantos meses trabajaron cada una para su compania, antes de

recibir un aumento de sueldo. La informacion muestral es:

A B C D

12 14 18 12

10 12 12 14

14 10 16 16

12 10

9 7 7 1

Al nivel de significancia de 0,05; existe alguna diferencia entre las cuatro empresas,

en el numero medio de meses antes de recibir un aumento de sueldo?

9. Cierta ciudad esta dividida en cuatro distritos. El jefe de policia quiere determinar

si hay alguna diferencia en el numero promedio de crımenes cometidos en cada

distrito. Registro el numero de crımenes reportados en cada distrito en una

muestra de seis dıas. Al nivel de significancia 0,05; puede el funcionario concluir

que hay diferencia en el numero promedio de crımenes?

3.5. EJERCICIOS 125

A B C D

13 21 12 16

15 13 14 17

14 18 15 18

15 19 13 15

14 18 12 20

15 19 15 18

10. En una empresa electronica se estudian cuatro tipos de circuitos para comparar la

cantidad de ruido de fondo asociado a cada circuito. Se han obtenido los siguientes

datos:

circuito Ruido observado

1 19 20 19 30 8

2 80 61 73 56 80

3 47 26 25 35 50

4 95 46 83 78 97

¿Es la cantidad media de ruido asociado a cada circuito la misma?, ¿que circuito

seleccionarıa?

Capıtulo 4

Diseno de Bloques Aleatorios

4.1. Introduccion.

Como se ha dicho antes, uno de los principales objetivos que se persigue al disenar

un experimento, es reducir el error aleatorio y de esta forma, incrementar la precision

de los resultados. En el diseno completamente aleatorio se supone que las unidades

experimentales son relativamente homogeneas con respecto a factores que afectan

la variable respuesta. Sin embargo algunas veces no tenemos disponibles suficientes

unidades experimentales homogeneas. Por lo tanto, cualquier factor que afecte la

variable respuesta y que varıe entre las unidades experimentales aumentara la varianza

del error experimental, disminuyendo ası la precision de las comparaciones.

Por ejemplo, consideramos el problema de determinar si distintas maquinas exhiben

diferente velocidad en el ensamblaje de un artıculo. El gerente de una empresa desea

comparar cuatro maquinas diferentes y tomar alguna decision acerca de cual maquina

adquirir de acuerdo a la velocidad de ensamblaje mostrada. El factor de interes es solo la

maquina, pero es importante tomar en cuenta que la operacion de las maquinas requiere

127

128 CAPITULO 4. DISENO DE BLOQUES ALEATORIOS

determinada destreza, pues operadores mas diestros pueden incidir en la disminucion

del tiempo de ensamblaje del artıculo. Esto implica que la velocidad de ensamblaje

no se debe solo a la diferencia entre los cuatro tipos de maquinas sino tambien a la

destreza de los operadores. En terminos de variabilidad, la variacion de los tiempos de

ensamblaje no se debe solo a la variacion producida por las maquinas sino tambien a

la variacion producida por los operadores.

Para disminuir tal variabilidad, su utilizan mecanismos conocidos como control

local. Uno de ellos es, disponer de unidades experimentales en varios grupos

homogeneos, llamados generalmente bloques, los cuales admiten variacion entre ellos.

En el ejemplo anterior se vio que hay dos factores que aportan sobre la variabilidad

de la respuesta, el tipo de maquina y el operador, pero como solo es de interes el

efecto que tiene la maquina, entonces es necesario controlar el efecto producido por

los operadores, esto se logra colocando los operadores como bloques, es decir, cada

operador debe usar las 4 maquinas, de esta manera la variabilidad producida por cada

operario se debera a la diferencia entre las maquinas.

Por lo tanto, los bloques se pueden definir como los valores de un factor que se

piensa influye sobre la respuesta pero que no es de interes en el estudio.

Usar bloques estratifica a las unidades experimentales en grupos homogeneos. Una

buena eleccion del criterio de bloqueo resulta en menor variacion entre las unidades

experimentales dentro de los bloques comparada con la variacion de las unidades

experimentales entre los bloques.

4.2. TIPOS DE DISENOS DE BLOQUES 129

4.2. Tipos de disenos de bloques

Dependiendo del tamano del bloque usado, existen dos tipos basicos de disenos de

bloques aleatorizados:

1. Diseno de bloque completo: Cada bloque contiene todos los tratamientos.

Esto es, el material experimental es dividido en b bloques de k unidades

experimentales cada uno, donde k representa el numero de tratamientos (Tabla

1)

2. Diseno de bloque incompleto: El tamano de al menos un bloque es menor

que el numero de tratamientos en el experimento. Existen dos tipos de bloques

aleatorizados incompletos:

a) b.1. Balanceado: Todos los bloques tienen el mismo tamano y el numero de

bloques en el que cualquier par de tratamientos aparece juntos, es constante.

Si ademas, el numero de tratamientos es igual al numero de bloques, decimos

que el diseno es simetrico. (Tabla 2)

b) No Balanceado: El numero de bloques que contiene cualquier par de

tratamientos no es constante, puede diferir de un par a otro. (Tabla 3)

4.3. Diseno de bloques aleatorizados con bloques

completos

Consideremos ahora en detalle el diseno de bloques aleatorizados con bloques

completos. La aleatorizacion se da de la siguiente manera: Los tratamientos son primero

numerados de 1 a k en cualquier orden. Las unidades en cada bloque son ademas


numeradas, convenientemente de 1 a k. Los k tratamientos son asignados en forma

aleatoria a las k unidades en cada bloque. La distribucion aleatoria puede ser hecha o

bien, consultando una tabla de numeros aleatorios, sorteos de lotes o el lanzamiento

de una moneda como se describe en el diseno completamente aleatorizado.

En este tipo de diseno, como se explico antes, sobre la variable respuesta influyen

tres factores: el factor de interes a traves de sus tratamientos, el factor que no es de

interes estudiar y el error experimental el cual contiene todas aquellas variables que no

han sido tomadas en cuenta. Por lo tanto la variable respuesta puede modelarse de la

siguiente manera:

Yij = µ+ βi + τj + εiji = 1, 2, · · · , b

j = 1, 2, · · · , k

donde

Yij es la observacion del j-esimo tratamiento en el i-esimo bloque.

µ es la media general

βi es el efecto del i-esimo bloque

τj es el efecto de j-esimo tratamiento

εij es el error aleatorio, los cuales se suponen N(0, σ2) e independientes

En este modelo, βi = µi. − µ y τj = µ.j − µ

Ademas suponiendo que el modelo es de efectos fijos se cumple que

b∑i=1

βi =k∑

j=1

τj = 0

4.3. DISENO DE BLOQUES ALEATORIZADOS CON BLOQUES COMPLETOS131

Un supuesto adicional a los ya considerados, es que el efecto de cada tratamiento es

el mismo en todos los bloques. Esto significa que no existe interaccion entre bloques y

tratamientos.

Ahora bien, los datos observados de un diseno en el cual los tratamientos son

arreglados en b bloques completos pueden presentase como en la tabla 4.1

Tabla 4.1: Datos para un DBCATratamiento Total

1 2 · · · k bloque

Bloque1 y11 y12 · · · y1k y1.2 y21 y22 · · · y2k y2....

......

. . ....

b yb1 yb2 · · · ybk yb.Total Trat y,1 y,2 · · · y.k y..

Al igual que en el diseno completamente aleatorizado la hipotesis a probar es:

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk (4.1)

H1 : µi = µj para algun i = j

que tambien se puede expresar como

H0 : τ1 = τ2 = · · · = τk = 0 (4.2)

H1 : τi = 0 para algun i

Para probar dicha hipotesis se realiza un analisis de varianza



La hipotesis dadas en (4.1) o (4.9) se prueba con un analisis de varianza con dos

criterios de clasificacion; se utilizan los dos criterios porque se controlan dos fuentes

de variacion: el factor de tratamientos y el factor de bloque.

Una medida de la desviacion de las observaciones con respecto a la media esta dada

pork∑

j=1

b∑i=1

(yij− y..)2, la cual restandole y sumandole los promedios de los tratamientos

y los bloques y el promedio general y ordenandolo convenientemente se tiene que

k∑j=1

b∑i=1

(yij − y..)2 =k∑

j=1

b∑i=1

[(yi. − y..) + (y.j − y..) + (yij − yi. − y.j + y..)]2 (4.3)

Al desarrollar el segundo miembro de la ecuacion 4.3, se obtiene

k∑j=1

b∑i=1

(yij − y..)2 =k∑

j=1

b∑i=1

(yi. − y..)2 +

k∑j=1

b∑i=1

(y.j − y..)2 +

k∑j=1

b∑i=1

(yij − yi. − y.j + y..)2

+ 2k∑

j=1

b∑i=1

(yi. − y..)(y.j − y..) + 2k∑

j=1

b∑i=1

(yi. − y..)(yij − yi. − y.j + y..)

= 2k∑

j=1

b∑i=1

(y.j − y..)(yij − yi. − y.j + y..)

Se puede probar que las sumatorias que contienen productos cruzados son iguales a

cero. Por lo tanto,

k∑j=1

b∑i=1

(yij − y..)2 =k∑

j=1

b∑i=1

(yi. − y..)2 +

k∑j=1

b∑i=1

(y.j − y..)2 +

k∑j=1

b∑i=1

(yij − yi. − y.j + y..)2

representa la descomposicion de la suma de cuadrados total. La cual se puede expresar


de la siguiente manera

SCT = SCB + SCTr + SCE (4.4)

Para efecto de calculos, las formulas anteriores usualmente se desarrollan y reescriben

de la forma siguiente

SCT =k∑

j=1

b∑i=1

y2ij −y2..bk

SCB =b∑

i=1

y2i.k

− y2..bk

SCTr =k∑

j=1

y2.jb

− y2..bk

SCE = SCT − SCB − SCTr

Ahora bien, si el bloqueo es usado para reducir el error experimental, comparando los

modelos para los disenos completamente aleatorizados y de bloques completamente

aleatorizados para la i-esima observacion bajo el j-esimo tratamiento se tiene que:

ε∗ij = εij + βi (4.5)

donde ε∗ij es el error aleatorio del diseno completamente aleatorizado, εij el error para

el diseno de bloques completamente aleatorizado y βi el efecto de bloque. Esta igualdad

implica que la suma de cuadrados del Error en el Diseno Completamente Aleatorizado

es igual a la Suma de Cuadrados de Bloques mas la Suma de Cuadrados del Error en

el Diseno de Bloques, es decir :

SCE(DCA) = SCB + SCE(DBCA) (4.6)


Las sumas de cuadrados divididas por sus grados de libertad proveen otros estadısticos,

llamados cuadrados medios.

CMTr =SCTr

k − 1CMB =

SCB

b− 1CME =

SCE

(k − 1)(b− 1)(4.7)

Si la varianza de los errores se supone constante, sigma2, y ademas βi y τj son fijos,

entonces los valores esperados de estos cuadrados medios estan dados por:

E(CME) = σ2

E(CMTr) = σ2 +

bk∑

j=1

τ 2j

k − 1

E(CMB) = σ2 +

kn∑

i=1

β2i

b− 1

Si H0, en (4.1) o (4.9), es verdadera, el valor esperado del cuadrado medio de los

tratamientos esta dado por:

E(CMTr) = σ2

Por consiguiente, bajo la hipotesis nula cierta, el estadıstico

F 1c =

CMTr

CME

(4.8)

sigue una distribucion F con k − 1 y (b− 1)(k − 1) grados de libertad.

De aquı podemos indicar que cuando la hipotesis nula H0 no es verdadera, se espera

que ocurra un valor grande para F 1c , es decir, H0 debe ser rechazada. F

1c es chequeado

contra el valor crıtico Fα,k−1,(k−1)(b−1); si F1c es mayor que este valor crıtico, rechazamos


H0.

Otra hipotesis de interes es medir el efecto del bloque, es decir, medir se el bloque

es o no necesario, la cual puede plantearse de la siguiente manera:

H20 : β1 = β2 = · · · = βb = 0 (4.9)

H21 : βi = 0 para algun i

Al igual que para el desarrollo anterior, si H20 es verdadera, el valor esperado del

cuadrado medio de los bloques esta dado por:

E(CMB) = σ2

Bajo H20 cierta, el cociente

F 2c =

CMB

CME

(4.10)

y H20 se rechaza si F 2

c es mayor que el valor crıtico Fα,k−1,(k−1)(b−1).

Todo este desarrollo lo podemos resumir como se muestra en la Tabla 4.2. Esta

tabla recibe el nombre de Tabla de Analisis de Varianza para el Diseno de Bloques

Completamente Aleatorizado.

Tabla 4.2: Tabla de Analisis de Varianza para el DBCA



Tratamiento SCTr k-1 CMTrF 1c

Bloque SCB b-1 CMBF 2c

Error SCE (k-1)(b-1) CME

Total SCT N-1


Ejemplo 4.1 Se realiza un experimento para determinar el efecto que tiene el grado

de trabajo (vueltas por pulgada) en la resistencia del algodon. Se decide utilizar cinco

niveles para el grado de trabajo; 150, 163, 169, 178 y 10 vueltas por pulgadas. Se

sabe que ademas de este factor, existen otras posibles fuentes de variacion, como las

maquinas, operadores, material experimental, entre otros. Despues de una discusion

se decide ignorar el efecto de estos factores, excepto el factor maquinas, el cual

sera controlado. La variable respuesta medida es el numero de roturas por cada cien

libras de material. La tabla 3-1 muestra los resultados obtenidos:

Tabla 4.3: Numero de Rupturas por cada cien libras

Grados de Trabajo

10 163 169 178 190

Maquina

1 9 24 42 29 68

2 12 27 23 49 34

3 12 22 22 17 60

4 31 16 47 45 50

5 22 25 17 39 57

6 10 24 23 44 37

Probar la hipotesis de que no existen efectos de tratamientos a un nivel de

significacion del 5%.

Solucion:

El diseno utilizado en esta investigacion es un diseno de bloques completos, donde:

Tratamientos: Grados de Trabajo

Bloques: Maquinas

Variable Respuesta: Numero de roturas por cada cien libras de material


La primera hipotesis a probar es:

H10 : τ1 = τ2 = τ3 = τ4 = τ5 = 0

Bajo el supuesto de normalidad se puede hacer uso de la tecnica de analisis de varianza

para probar dicha hipotesis.

Tabla 4.4: Tabla de totales

TratamientoTotal bloque

10 163 169 178 190

Bloque

1 9 24 42 29 68 172

2 12 27 23 49 34 145

3 12 22 22 17 60 133

4 31 16 47 45 50 189

5 22 25 17 39 57 160

6 10 24 23 44 37 138

Total Tratamiento 96 138 174 224 305 937

Ademas,6∑

j=1

5∑i=1

Y 2ij = 36475. Entonces

SCT = 36475− 9372

30= 7209, 367

SCB = 29732, 600− 9372

30= 466, 967

SCTr = 33,650, 167− 9372

30= 4384, 533

SCE = 7209, 367− 466, 967− 4384, 533 = 2357, 867

De aquı se puede construir la siguiente tabla de Analisis de Varianza: Si se usa un nivel


Tabla 4.5: Tabla de Analisis de Varianza para el DBCA



Tratamiento 4384,533 4 1096,1339,298

Bloque 466,967 5 93,3930,792

Error 2357,867 20 93,393

Total 7209,367 29

de significacion del 5%, el valor crıtico es F4,20,0,05 = 2, 87 y dado que 9,298 es mayor

que 2,87, entonces se rechaza la hipotesis, es decir, se concluye que existe efectos del

grado de trabajo sobre el numero de roturas.

Al observar el valor de la Fc asociada con los bloques, 0.792, podemos concluir que

no existen diferencias significativas entre las maquinas, lo que implica que el diseno de

bloques no se justifica.

4.4. Preguntas y Ejercicios

1. ¿Que es un diseno de bloques completamente aleatorios?

2. ¿Cuando es apropiado utilizar un diseno de bloques completamente aleatorios?.

3. ¿Cual es el modelo de un diseno de bloques completamente aleatorios?

4. ¿Que diferencia hay entre un diseno completamente aleatorizado y uno de bloques

completos?.

5. Apoyandose en el modelo estadıstico para un diseno en bloques, ¿por que a traves

de este diseno se reduce el error aleatorio?.

4.4. PREGUNTAS Y EJERCICIOS 139

6. Explique por que el adjetivo aleatorios en el nombre del diseno de bloques

completamente aleatorios

7. Demuestre que los productos cruzados obtenidos en la particion de las sumas de

cuadrados son iguales a cero.

8. A continuacion se muestra una parte del ANOVA para un diseno en bloques, que

tiene tres tratamientos y cinco bloques, con una sola repeticion en tratamiento-

bloque.


Variacion Cuadrados Libertad Medio calculado

Tratamiento 600

Bloque 850

Error 500

Total

a) Complete la tabla.

b) Escriba el modelo estadıstico y las hipotesis pertinentes.

c) Apoyandose en tablas de la distribucion F, decida i se aceptan o se rechazan

las hipotesis.

9. Realice el problema anterior, pero ahora suponga que no se hay bloqueado. ¿Se

hubiese obtenido las mismas conclusiones?. Argumente.

10. Una companıa farmaceutica realizo un experimento para comprobar los tiempos

promedio (en dıas) necesarios para que una persona se recupere d elos efectos

y complicaciones que siguen a un resfriado comun. En este experimento se


compararon las personas que tomaron distintas dosis diarias de vitamina C.

Para hacer el experimento se contacto a un numero determinado de personas,

que en cuanto les daba el resfriado empezaban a recibir algun tipo de dosis (las

cuales se iban rotando). Si la edad de estas es una posible fuente de variabilidad,

explique con detalle como aplicarıa la idea de bloqueo para controlar tal fuente

de variabilidad.

11. A continuacion se muestran los datos para un diseno en bloques al azar.

Tratamiento Total bloque

A B C

Bloque

1 3 7 4 y1. =

2 4 9 6 y2. =

3 2 3 3 yb. =

4 6 10 7 yb. =

Total Trat y,1 = y,2 = y,3 = y.. =

a) Complete los totales que se4 piden en la tabla anterior.

b) Calcule las sumas de cuadrados correspondientes.

c) Obtenga la tabla de analisis de varianza y anote las principales conclusiones.

d) De ser necesario realice el analisis a posteriori usando el metodo de la

diferencia mınima significativa.

12. Se hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de atomizador para matar

moscas. Para ello, cada atomizador se aplica a un grupo de 100 moscas y se cuenta

el numero de moscas muertas, expresado en porcentajes. Se hicieron seis replicas,

pero estas se hicieron en dıas diferentes, por ello se sospecha que puede haber


algun efecto importante debido a esta fuente de variacion. Los datos obtenidos

se muestran a continuacion.

Marca de atomizadorNumero de replica (dıa)

1 2 3 4 5 6

1 72 65 67 75 62 73

2 55 59 68 70 53 50

3 64 74 61 58 51 69

a) Formule las hipotesis adecuadas y el modelo estadıstico.

b) ¿Existe diferencia entre la efectividad promedio de los atomizadores?.

c) ¿Hay algun atomizador mejor?.

d) ¿Hay diferencias significativas en los resultados de diferentes dıas en que se

realizo el experimento?. Argumente.

13. En una empresa lechera se tienen varios silos para almacenar leche (ciusternas de

60.000 L). Un aspecto crıtico para que se conserve la leche es la temperatura de

almacenamiento. Se sospecha que en algunos silos hay problemas, por ello durante

cinco dıas se decide registrar la temperatura a cierta hora crıtica. Obviamente la

temperatura de un dıa a otro es una fuente de variabilidad que podrıa impactar

la variabilidad total.


SiloDıa

Lunes Martes Miercoles Jueves Viernes

A 4.0 4.0 5.0 0.5 3.0

B 5.0 6.0 2.0 4.0 4.0

C 4.5 4.0 3.5 2.0 3.0

D 2.5 4.0 6.5 4.5 4.0

E 4.0 4.0 3.5 2.0 4.0

a) En este problema, ¿cual es el factor de tratamiento y cual el factor de bloque?

b) Formule las hipotesis adecuadas y el modelo estadıstico

c) ¿Hay diferencia entre los silos?

d) La temperatura de un dıa a otro es diferente?

14. Se diseno un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes. Las

siguientes lecturas de ”blancura”se obtuvieron con un equipo especial disenado

para doce cargas de lavado distribuidas en tres modelos de lavadoras.

Detergente Lavadora 1 Lavadora 2 Lavadora 3

A 45 43 51

B 47 44 52

C 50 49 57

D 42 37 49

a) Senale el nombre del diseno experimental utilizado.

b) Formule la hipotesis que se quiere probar, de acuerdo al problema.

c) Realice el analisis estadıstico apropiado a estos datos y obtenga conclusiones.


15. Una quımica desea probar el efecto que tienen cuatro agentes quımicos sobre

la resistencia de un tipo particular de tela. Como puede haber variabilidad

entre un rollo de tela y otro, decide utilizar un diseno aleatorizado por bloques,

considerando los rollos de tela como bloques. Ella selecciona 5 rollos y les aplica

los cuatro agentes quımicos en orden aleatorio. A continuacion, se proporcionan

los resultados de la resistencia a la tension. Analice estos datos y haga las

conclusiones apropiadas.

Agente quımicoRollo de tela

1 2 M3 4 5

1 73 68 74 71 67

2 73 67 75 72 70

3 75 68 78 73 68

4 73 71 75 75 69

Capıtulo 5

Diseno en Cuadrado Latino

5.1. Introduccion.

En la seccion anterior se vio que una manera de reducir el error experimental era

tomando en cuenta otros factores que se piensan influyen sobre la variable respuesta,

En ese caso, se supuso que solo existıa un solo factor al cual se le llamo factor de

bloqueo, pues su funcion era bloquear la variabilidad que se producıa sobre la variable

respuesta. En esta seccion vamos a estudiar situaciones en las que consideramos dos

factores de bloqueo, en cuyo caso decimos que se esta realizando un diseno en cuadrado

latino.

5.2. Diseno en Cuadrado Latino

En este tipo de diseno se tiene que sobre la variable respuesta influyen cuatro

factores: el factor de interes a traves de sus tratamientos, 2 factores de bloqueo y el

error experimental el cual contiene todas aquellas variables que no han sido tomadas

145

146 CAPITULO 5. DISENO EN CUADRADO LATINO

en cuenta. Los 2 factores de bloque son conocidos como bloque columna y bloque fila, o

simplemente, columna y fila, estos deben tener el mismo numero de niveles, es por ello

que se llama cuadrado. Los tratamientos se denotan con las letras latinas, razon por la

cual se llama latino, y solo aparece uno por cada combinacion de fila-columna, por lo

tanto el numero de tratamientos es igual al numero de filas y columnas y en cada fila

y columna deben estar presentes todos los tratamientos, los mismos son asignados de

manera aleatoria en cada fila o columna.

Por lo tanto la variable respuesta, de un diseno con k tratamientos, k filas y k

columnas, puede modelarse de la siguiente manera:

Yijr = µ+ τi + βj + γrεij; (i, j, r) = 1, 2, · · · , k (5.1)

donde

Yijr es la observacion del tratamiento i, en la fila j y la columna r.

µ es la media general

τi es el efecto de i-esimo tratamiento

βj es el efecto del j-esimo nivel del factor fila.

γr es el efecto del r-esimo nivel del factor columna.

εijr es el error aleatorio, los cuales se suponen N(0, σ2) e independientes

Suponiendo que el modelo es de efectos fijos se cumple que

b∑i=1

τi =k∑

j=1

βj =k∑

j=1

γk = 0

5.2. DISENO EN CUADRADO LATINO 147

Un supuesto adicional a los ya considerados, es que los factores afectan los resultados

en forma independiente, uno de otro. Esto es, la interaccion no es importante o, no

existe.

Ahora bien, los datos observados de un diseno en el cual los k tratamientos son

arreglados en k filas y k columnas pueden presentase como en la tabla 5.1

Tabla 5.1: Aspectos de los datos en un diseno de cuadrado latinoColumna

1 2 3 · · · k

Fila

1 A = y111 B = y212 C = y313 · · · K = yk1k2 B = y221 C = y322 D = y423 · · · A = y12k3 C = y331 D = y432 E = y533 · · · B = y23k...

......

.... . .

...k K = ykk1 A = y1k2 B = y2k3 · · · J = yjkk

Al igual que en los disenos anteriores la hipotesis a probar es:

H0 : τ1 = τ2 = · · · = τk = 0 (5.2)

H1 : τi = 0 para algun i (5.3)

Para probar dicha hipotesis se realiza un analisis de varianza.


La hipotesis dada se prueba con un analisis de varianza con tres criterios de

clasificacion; se utilizan los tres criterios porque se controlan tres fuentes de variacion:

el factor de tratamientos y los dos factores de bloque.

Una medida de la desviacion de las observaciones con respecto a la media


esta dada pork∑

i=1

k∑j=1

k∑r=1

(yijr − ¯y...)2, la cual restandole y sumandole los promedios

de los tratamientos, de las filas, las columnas y el promedio general y ordenandolo

convenientemente se tiene que

k∑i=1

k∑j=1

k∑r=1

(yijk − ¯y...)2 =k∑

i=1

k∑j=1

k∑r=1

[(yi.. − y...) + (y.j. − y...) + (y..r − y...)(5.4)

+ (yij − yi.. − y.j. − y..r + 2y..)]2 (5.5)

Al desarrollar el segundo miembro de la ecuacion, y teniendo en cuenta que las

sumatorias que contienen productos cruzados son iguales a cero se obtiene

k∑i=1

k∑j=1

k∑r=1

(yijk − ¯y...)2 =k∑

i=1

k∑j=1

k∑r=1

(yi.. − y...)2 +

k∑i=1

k∑j=1

k∑r=1

(y.j. − y...)2

+k∑

i=1

k∑j=1

k∑r=1

(y..r − y...)2 +

k∑i=1

k∑j=1

k∑r=1

(yij − yi.. − y.j. − y..r + 2y..)2

lo cual representa la descomposicion de la suma de cuadrados total. Esta ecuacion

se puede expresar de la siguiente manera

SCT = SCTr + SCF + SCC + SCE (5.6)

Para efecto de calculos, las formulas anteriores usualmente se desarrollan y

reescriben de la forma siguiente


SCT =k∑

i=1

k∑j=1

k∑r=1

y2ijr −y2...N

SCTr =k∑

i=1

y2i..k

− y2...N

SCF =k∑

j=1

y2.j.k

− y2...N

SCC =k∑

r=1

y2..rk

− y2...N

SCE = SCT − SCTr − SCF − SCC

los grados de libertad estan dados por

GLT = N − 1

GLTr = k − 1

GLF = k − 1

GLC = k − 1

GLE = GLT −GLTr −GLF −GLC = (k − 2)(k − 1)

los cuadrados medios en este caso son

CMTr =SCTr

k − 1CMF =

SCF

k − 1CMC =

SCC

k − 1CME =

SCE

(k − 2)(k − 1)

y el estadıstico de prueba es


F =CMTr

CME

(5.7)

La regla de decision es rechazar H0 si F > Fα;GLTr;GLE.

Otras hipotesis que pueden ser de interes son las siguientes

No existe efecto de fila

H0 : β1 = β2 = · · · = βk = 0 (5.8)

H1 : βj = 0 para algun j (5.9)

No existe efecto de columna

H0 : γ1 = γ2 = · · · = γk = 0 (5.10)

H1 : γr = 0 para algun r (5.11)

cuyos estadısticos de prueba son respectivamente

F F =CMF

CME

FC =CMC

CME

(5.12)

y las reglas de decision es rechazar H0 si F F > Fα;GLF ;GLEy FC > Fα;GLC ;GLE

.

Todo este desarrollo lo podemos resumir como se muestra en la Tabla 5.3. Esta

tabla recibe el nombre de Tabla de Analisis de Varianza para el Diseno de Cuadrados

Latinos.

Ejemplo 5.1 Se sospecha que cualquier estımulo produce cambios en la sensibilidad del

ojo humano adaptado a la oscuridad. Para investigar esto, se diseno un experimento


Tabla 5.2: Tabla de Analisis de Varianza para el DCL



Tratamiento SCTr k-1 CMTrFc

Fila SCF k-1 CMFF Fc

Columna SCC k-1 CMCFCc

Error SCE (k-1)(k-2) CME

Total SCT k2 − 1

el cual consistio en someter a cinco individuos durante cinco dıas seguidos a cinco

estımulos diferentes una vez que sus ojos se adaptaron a la oscuridad. Se registro como

resultado, sus sensibilidades a la prueba de bajo contraste de Luckiesh-Moss.

Tabla 5.3: Tabla de Analisis de Varianza para el DCL

Dıas

1 2 3 4 5

Sujetos

1 A=22 B=21 D=22 C=20 E=22

2 C=23 D=22 A=16 E=23 B=19

3 D=20 A=14 E=14 B=23 C=24

4 B=28 E=29 D=24 C=24 A=24

5 E=4 C=2 B=3 A=8 D=8


5.3. Preguntas y Ejercicios

1. ¿Que es un diseno de cuadrados latinos?

2. ¿Cuando es apropiado utilizar un diseno de cuadrados latinos ?.

3. ¿Cual es el modelo de un diseno de de cuadrados latinos?

4. ¿Que diferencia hay entre un diseno completamente aleatorizado, uno de bloques

completos y uno de cuadrados latinos?.

5. Apoyandose en el modelo estadıstico para un diseno de cuadrados latinos, ¿por

que a traves de este diseno se reduce el error aleatorio?.

6. Explique por que el el nombre de cuadrados latinos.

7. Demuestre que los productos cruzados obtenidos en la particion de las sumas de

cuadrados son iguales a cero.

8. Una companıa de mensajerıa esta interesada en determinar cual marca de llantas

tiene mayor duracion, la medida esta en terminos del desgaste. Para ella se planea

un experimento en el que se comparan las cuatro marcas de llantas sometiendolas

a una prueba de 32.000 kilometros de recorrido, utilizando cuatro diferentes tipos

de auto y las cuatro posiciones posibles de las llantas en el auto.

Carro

Posicion 1 2 3 4

1 C=12 D=11 A=13 B=8

2 B=14 C=12 D=11 A=3

3 A=17 B=14 C=10 D=9

4 D=13 A=14 B=13 C=9


a) Anote la ecuacion del modelo y las hipotesis estadısticas correspondientes.

b) ¿Existen diferencias entre los tratamientos? ¿Cuales tratamientos son

diferentes entre sı?.

c) ¿Los factores de marca de llanta, tipo de auto y posiciones influyen en la

duracion?

9. Se quiere estudiar el efecto de cinco diferentes catalizadores (A,B,C,D y E) sobre

el tiempo de reaccion de un proceso quımico. Cada lote de material solo permite

cinco corridas y cada corrida requiere aproximadamente de 1.5 horas, por lo que

solo se pueden realizar cinco corridas diarias. El experimentador, decide correr

los experimentos con un diseno en cuadrado latino, para controlar activamente a

los lotes y dıas. Los datos obtenidos son:

Dıa

1 2 3 4 5

Lote

1 A=8 B=7 D=1 C=7 E=3

2 C=11 E=2 A=7 D=3 B=8

3 B=4 A=9 C=10 E=1 D=5

4 D=6 C=8 E=6 B=6 A=10

5 E=4 D=2 B=3 A=8 C=8

a) Anote la ecuacion del modelo y las hipotesis estadısticas correspondientes.

b) ¿Existen diferencias entre los tratamientos? ¿Cuales tratamientos son

diferentes entre sı?.

c) ¿Los factores de ruido, lote y dıa afectan el tiempo de reaccion del proceso?

métodos ii estadisticas

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