8 Métodos de Cálculo de Tensões e Deformações

8.1 Introdução

O emprego dos métodos de cálculo em conformação plástica tem por objetivo determinar os esforços, tensões e deformações a que estão submetidas a peça conformada e as ferramentas a fim de:

• prever possíveis falhas durante o processamento tais como: imperfeições de escoamento, acúmulo de tensões em regiões críticas, defeitos nos produtos;

• definir o tipo e a capacidade dos equipamentos a empregar;• definir o número de etapas necessárias ao processamento de uma dada peça metálica.

Um processo de conformação pode ser analisado como um sistema que envolve parâmetros do material a conformar, do processo propriamente dito, do equipamento, bem como de características do “tarugo” e do produto conformado. A figura 8.1 apresenta a relação entre esses diversos parâmetros de processamento.

8.2 Hipóteses simplificadoras

A fim de simplificar os modelos aplicados aos métodos de cálculo, assume-se algumas hipóteses a respeito do material a conformar, das ferramentas e de algumas variáveis de processamento.

Sobre o material a conformar, assume-se que sejam:

• isotrópicos, ou seja, apresentam as mesmas propriedades mecânicas em todas as direções de solicitação;

• incompressíveis, não apresentam variação de volume durante o processo. Na realidade, ocorre um pequeno aumento de volume devido ao aumento da densidade de discordâncias;

• contínuos, não apresentam poros ou vazios que compromentam sua continuidade;• homogêneos e uniformes, apresentam a mesma composição química, morfologia de

grãos e distribuição de partículas ao longo de seu comprimento.

Outras hipóteses sobre o material referem-se ao comportamento mecânico. Na figura 8.2 apresenta-se seis modos de escoamento, relacionados aos campos elástico e plástico e à ocorrência ou não de encruamento.

Sobre as ferramentas, assume-se que sejam rígidas ou seja, que não sofram deformações elásticas durante o processo.

Sobre o processo, as hipóteses mais importantes referem-se ao coeficiente de atrito que é assumido como sendo constante ao longo de todo o processo e à velocidade que também é assumida constante.

A respeito da quantificação do coeficiente de atrito existente na interface ferramenta-tarugo, existem dois modelos propostos:

1. Modelo de Coulomb ou Amontons, estabelece que a tensão cisalhante (τ) necessária para provocar o movimento relativo entre as superfícies em contato, é diretamente proporcional à pressão aplicada (p):

τ = µ.p

O coeficiente de proporcionalidade µ.é constante ao longo do processo, dependendo apenas das propriedades dos materiais em contato e do lubrificante, sendo

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independente da geometria e da velocidade com que se efetua o movimento relativo. Esse modelo apresenta resultados confiáveis quando aplicado a processos em que a lubrificação é eficiente e os níveis de pressão na interface são reduzidos. Para níveis de pressão elevados, onde o contato entre as superfícies é elevado, o valor de τ necessário para ocorrer o movimento atinge um valor máximo igual à tensão limite de escoamento sob cisalhamento do material da peça (k).Assim, a expressão anterior torna-se

p

k=µ

A partir da aderência total, quanto maior a pressão aplicada, menor o coeficiente de atrito entre as superfícies, o que é fisicamente incorreto.

2. Num segundo modelo, denominado fator de atrito constante, define-se um fator m que independe da pressão aplicada e que relaciona a tensão cisalhante necessária ao movimento relativo à tensão limite de escoamento sob cisalhamento do material menos resistente em contacto (k), geralmente, o material do tarugo.

τ = m.k

O valor de m pode variar de valores próximos de zero (deslizamento quase perfeito) a valores próximos da unidade (aderência total - cisalhamento sob a interface peça-ferramenta).

A aplicação de um desses dois modelos depende dos fatores como o nível de pressão desenvolvido na interface e à maior ou menor eficiência dos lubrificantes.

Figura 8.1 - Interrelacionamento dos parâmetros de processamento em conformação

57

Figura 8.2 - Comportamento mecânico de materiais conformados plasticamente.

Como exemplo, em processos onde o acesso do lubrificante à interface de contato é dificultado e os níveis de pressão são elevados (forjamento a quente em matriz fechada), o uso do modelo do fator de atrito fornece resultados mais confiáveis do que o modelo de Coulomb. Já em processos onde os níveis de pressão são menores e a presença de lubrificante na região de deformação é constante, pode-se aplicar o modelo de Coulomb.

8.3 Teoria da plasticidade

A fim de avaliar o início do escoamento plástico de um material metálico durante um processo de conformação, torna-se necessário relacionar os diversos estados de tensão e deformação aos esforços externos desenvolvidos. Para tanto algumas definições são feitas:

• Estado de tensão plana, onde as tensões normais atuam num plano em direções perpendiculares entre si, sendo nula a tensão normal na terceira dimensão, como pode ser assumido no caso de uma chapa fina submetida a tensões no plano da chapa.

• Estado de deformação plana, onde o escoamento ocorre em planos paralelos a um dado plano. Na direção normal a esse plano a deformação é desprezível, como é o caso da torção pura e da laminação de chapas largas em que somente a espessura e o comprimento são deformados (Figura 8.3).

58

k

-k

σ

τ

τ τ

Figura 8.3 - Representação do estado plano de deformação.

No caso da laminação, como assume-se que não há mudança de volume, a deformação na espessura é igual à do comprimento porém de sinais contrários. No estado de deformação plana, existe o componente de tensão normal na terceira dimensão (z), como mostrado:

( )[ ] 01 =+−= yxzz E

σσνσε

assim,

( )yxz σσνσ +=

onde ν : módulo de Poisson.

Tensões principais: tensões normais que atuam em planos nos quais não ocorrem tensões tangenciais. São representadas por σ1, σ2 e σ3, sendo por convenção:

σ1 > σ2 > σ3

Estados de tensão presentes nos processos de conformação, representados por círculos de Mohr. A figura 8.4 apresenta os diversos estados de tensão que representam os processos de conformação.

59

Figura 8.4 - Representação dos estados de tensão para processos de conformação.

60

8.4 Critérios de escoamento

Os critérios de escoamento foram elaborados a fim de definir o estado limite de tensão que define o escoamento plástico dos materiais metálicos. Ou seja, a partir de qual valor de tensão aplicada, dar-se-á o início do processo de deformação plástica.

O primeiro critério foi desenvolvido por TRESCA (1865) e definia que o escoamento tem início quando a tensão de cisalhamento máxima (τmax) atinge um valor crítico, característico e constante para um dado material (condições definidas de microestrutura, velocidade e temperatura de trabalho) independentemente do estado de tensão aplicado.

Pela análise do círculo de Mohr, verifica-se que

Aminmaxmax =

−=

2

σστ

Ou seja, τmax = A (A constante para um dado material sob condições específicas de microestutura e propriedades) Assim, no ensaio de tração

22 01 σστ === Amax

onde σ0 é definida como tensão limite de escoamento sob tração, facilmente medida nos ensaios de tração convencionais.

Já no ensaio de torção, o valor da tensão limite de escoamento sob cisalhamento puro (k) não é facilmente obtido. Utilizando-se o critério de TRESCA, tem-se

2021 σσστ ===−== Akmax

ou20σ=k

O critério de TRESCA apresenta como erro o fato de não considerar a tensão intermediária, a qual apresenta influência significativa no comportamento plástico dos materiais.

Desta forma, von MISES propôs em 1.913, o critério denominado de critério de escoamento por energia de distorção, que define que o escoamento tem início quando a energia de distorção atinge um valor crítico B, constante para um dado material sob condições definidas e independente do estado de tensões.Equacionando:

( ) ( ) ( )[ ] B=−+−+− 231

232

2216

1 σσσσσσ

Assim, como no ensaio de tração:

0 e 3201 === σσσσ

tem-se:

( ) ( ) ( )[ ] 20

230

232

220 3

1

6

1 σσσσσσσ =−+−+−

61

donde 203

1σ=B

Já no ensaio de torção, como:

σ1 = +k σ2 = 0 e σ3 = -k

tem-se

( ) ( )( ) ( )( )[ ] 222222 006

1kkkkk =−−++−−+−

donde B = k2

como B foi obtido do ensaio de tração, tem-se que a tensão limite de escoamento sob cisalhamento puro, pelo critério de von MISES é dada por:

30σ

=k

O critério de von MISES apresenta resultados mais confiáveis visto que considera a tensão intermediária, porém, deve-se destacar que em estados cilíndricos de tensão, a aplicação de um ou outro critério fornece o mesmo resultado.

A comparação entre os dois critérios de escoamento pode ser feita traçando-se os mapas de escoamento para um estado bidimensional (figura 8.5), com

0 0 321 =≠≠ σσσ

Figura 8.5 - Comparação entre os critérios de TRESCA e von MISES.

62

Observa-se que:

para tensão uniaxial (ou 0 0 312 ==≠ σσσ ) e para tensão biaxial balanceada (

0 321 == σσσ ) os critérios apresentam o mesmo resultado.

para estados de cisalhamento puro ( 0 321 =−= σσσ ) ocorre a maior divergência, algo em torno de 15%.

Outras formas de comparação entre os dois critérios de escoamento podemser observadas em DIETER, pp. 73-76.

8.5 Métodos de cálculo aplicados aos processos de conformação

As hipóteses anteriormente definidas são hipóteses gerais empregadas na quase totalidade dos métodos desenvolvidos para cálculo de tensões e deformações. As hipóteses particulares de cada método serão proporcionalmente em menor número quanto maior for a precisão do método.

Os métodos teóricos e empíricos desenvolvidos para o estudo da conformação são os seguintes:

energia uniforme divisão e equilíbrio de elementos linhas de deslizamento limite superior de energia visioplasticidade simulação elementos finitos

Um método será tão mais preciso quanto mais parcelas de energia forem consideradas durante o cálculo. Num processo de conformação apresentam-se três parcelas de energia:

a energia uniforme ou de deformação homogênea, relacionada com a modificação das formas e/ou dimensões do corpo metálico;

a energia de atrito relativa à interação existente entre as superfícies da peça trabalhada e das ferramentas e,

a energia redundante relacionada às mudanças na direção de escoamento do material durante sua deformação.

Dessas três parcelas, as duas últimas não contribuem para a qualidade do produto final e dependem diretamente da qualidade e da geometria das ferramentas empregadas.

Como exemplo, através da figura 8.6 pode-se analisar o processo de trefilação com matrizes cônicas, mantendo-se a redução de área constante e variando-se o ângulo de conicidade da matriz.

63

W W

WW

W

α α

A

T

R

U

ótimo

Figura 8.6 - Variação das parcelas de energia em função do ângulo de conicidade da fieira de trefilação.

8.5.1 Método da energia uniforme

É o método mais simples e menos preciso de todos, pois assume uma série de hipóteses simplificadoras:

• coeficiente de atrito é considerado desprezível; a geometria das ferramentas não afeta o escoamento do material.

Essas duas hipóteses fazem com que tanto a parcela de energia de atrito quanto a de trabalho redundante sejam desprezadas. Isto obviamente acarreta um erro nos resultados de forma que esse método serve apenas para uma primeira análise, dando uma idéia da ordem de grandeza dos esforços e tensões.

Um exemplo de aplicação do método é o uso na trefilação de barras cilíndricas com matrizes de pequeno ângulo de conicidade (α ~ 0) e lubrificação efetiva (µ ~ 0). Assim, poder-se-ia calcular a força necessária para trefilação pelo seguinte procedimento.

O trabalho externo dispendido para trefilar uma barra de diâmetro ∅i e comprimento li até uma barra de diâmetro ∅f e comprimento lf é dado por:

fte lFW =dividindo pelo volume

tf

t

ff

ftfte

A

F

lA

lF

V

lF

V

W σ====

O trabalho interno desenvolvido durante a deformação pode ser definido por:

- com α ~ 0 e µ ~ 0, o estado de tensão na região de deformação apresenta-se como mostrado na figura 8.7.

64

Figura 8.7 – Estado de tensão na trefilação com atrito e ângulo de trabalho nulos.

Para um aumento de comprimento dl o incremento de energia necessária é dado por dWi:

dWi = σ.A.dl

dividindo pelo volume V = A.l:

Al

Adl

V

dWi σ=

assim,

l

dl

V

dWi σ=

integrando,

∫∫ =f

i

il

l

W

i

l

dl

V

dW σ0

como dl/l = dε e V é constante,

∫=f

i

dV

Wi

ε

ε

εσ

assumindo que o material de partida esteja recozido (εi = 0):

∫=f

dV

Wi

ε

εσ0

onde

=

=

f

i

i

ff A

Aln

l

llnε

e a integral é a área sob a curva σ x ε entre 0 e εf, como

65

f

f

d

ε

εσσ

ε

∫= 0

assim,

==

f

if

i

A

Aln

V

W σεσ

Igualando Wi a We tem-se:

=

f

i

f

t

A

Aln

A

F σ

ou ainda,

=

f

ift A

AlnAF σ

que é o resultado da força de trefilação considerando somente a energia de deformação homogênea.

Como Ft/Af é igual à tensão de trefilação σt, pode-se calcular a redução máxima por passe rmax para a condição de que σσ <t , obtendo-se rmax < 63%.

8.5.2 Método da divisão e equilíbrio de elementos

Também denominado “slab method” ou método de Sachs, considera o atrito na interface tarugo-ferramentas, bem como a geometria das ferramentas porém só como fator geométrico e não como influente na energia de trabalho redundante. O coeficiente de atrito é assumido constante.

O método consiste na divisão da região de deformação em elementos infinitesimais, seguindo-se o equilíbrio de esforços nas direções x, y e z.

Do equilíbrio de esforços pode-se determinar as tensões aplicadas em cada ponto do material deformado.

Como exemplo será analisada a trefilação de barras cilíndricas e empregado o esquema mostrado na figura 8.8.

Fazendo o equilíbrio de esforços na direção x ( 0=∑ xF ):

( ) ( ) 044

22

=−−++−α

απα

απµσσπσπcos

dxDsinp

cos

dxcosDpd

dDDDxxx

dividindo por π, por D e por -1:

042

=++ αµσσtanpdxpdx

DddD xx

66

µp

dxx

y

D DD+dD

α σ +dσ

0 Df

σ

µp

x xx

Figura 8.8 – Parâmetros da trefilação de barras cilíndricas para o MDEE.

como αtan

dDdx

2=

02242

=++ pdD

tan

pdDDddD xx

αµσσ

multiplicando por 4:

( )[ ] 012 =+++ αµσσ cotpdDDd xx (*)

Já o equilíbrio dos esforços em y ( 0=∑ yF ) relativos às tensões radiais, fornece:

( ) αα

πµαα

ππσ sincos

dxDpcos

cos

dxDpDdxy

+

−=

com α e µ pequenos tem-se: µtan α → 0

Assim, σ1 = σx e σ2 = σ3 = -p

Pelos critérios de Tresca e von Mises, σ1 - σ2 = σ0

ou σx + p = σ0

ou p = σ0 - σx

substituindo-se na equação (*):

( )[ ]αµσσσσ cotdDDd xxx +−+−= 12 0

ou

( ) D

dD

BB

d

x

x 2

10

=+−σσ

σ

67

com B = µcot α

Integrando entre D0 e Df, com as condições de contorno:

σx = 0 para D = D0

σx = σtref para D = Df

tem-se

( )[ ] DlnBBlnB x 211

0 =+−σσ

e finalmente,

( )

−+=

B

ftref

D

DB

B

2

00

111

σσ

Definindo r como redução de área:

2

00

11

−=−=

D

D

A

Ar ff donde r

D

D f −=

1

2

0

obtendo-se

( ) ( )[ ]Btref rBB

−−+= 1111

0σσ

A redução máxima pode ser calculada considerando-se que no limite σtref = σ0, o que leva à expressão:

( ) ( )[ ] 11111 =−−+ B

maxrBB

Adotando-se como valores adequados para a trefilação de fios µ = 0,05 e α = 10o, tem-se B = 0,28 e obtém-se rmax ≈ 55%, que é um valor menor que os 63% obtidos pelo método de energia uniforme que não considera as perdas por atrito nem a geometria da ferramenta.

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