mestrado integrado em engenharia biomédica -...
TRANSCRIPT
1
Slide 1 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Slide 1 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Sinais e Sistemas Licenciatura em Engenharia Física
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Slide 2 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Tópicos:
Representação de Sinais por Funções Contínuas no Tempo: Transformada de Laplace
Introdução
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace Unilateral e suas Propriedades
Propriedades da Transformada Bilateral de Laplace
Propriedades da Região de Convergência
A Função de Transferência
Causalidade e Estabilidade
Resposta em Frequência
Slide 2 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
2
Slide 3 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Introdução : A transformada de Laplace permite a caracterização de SLITs e é
especialmente adequada para analisar sistemas que envolvam sinais contínuos no tempo que não sejam absolutamente integráveis.
A transformada de Laplace, em semelhança à FT, possui um conjunto de propriedades que são úteis na análise de sinais e SLITs.
Caracterizando um SLIT usando a transformada de Laplace, a saída de um sistema resulta da multiplicação da transformada de Laplace do sinal de entrada pela transformada de Laplace da resposta a impulso do sistema.
A transformada de Laplace é expressa de duas formas:
Unilateral – adequada para obter soluções de equações diferenciais com condições iniciais.
Bilateral – adequada para análise de estabilidade, causalidade e resposta em frequência de sistemas.
A transformada de Laplace permite caracterizar funções próprias de um sistema
Em análise de SLITs uma função própria corresponde a um sinal aplicado à entrada de um sistema que gera um sinal de saída correspondente à entrada, mas modificado por um escalar.
Slide 3 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 4 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Se é uma exponencial complexa com frequência complexa
A é um co-seno
exponencialmente amortecido
A é um seno
exponencialmente amortecido
Em ambos os casos o valor de é considerado negativo.
Slide 4 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
3
Slide 5 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : A função própria
Considerando um SLIT com resposta a impulso e ao qual é aplicado um sinal de entrada
Definindo a função de transferência
Podendo ser expresso por
Função Própria Valor Próprio
Slide 5 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 6 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Sendo
Com podemos reescrever a equação
O sinal de saída corresponde ao sinal de entrada
- Alterado em amplitude e fase
- Não é alterada a frequência do sinal, nem o factor de amortecimento
Slide 6 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
4
Slide 7 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Representação da Transformada:
Utilizando e utilizando como variável de integração
Que mostra que é a transformada de Fourier do sinal
Considerando um sinal arbitrário a relação anterior é mantida, sendo a transformada de Laplace definida através de
com
Slide 7 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 8 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Representação da Transformada:
O sinal pode ser recuperado pela transformada inversa de Fourier
Usando a mudança de variável e
Com os limites do integral ajustados à mudança de variável.
A transformada inversa vem Par da Transformada
Slide 8 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
5
Slide 9 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Convergência:
A condição necessária para a convergência da transformada de Laplace é a convergência do integral de que se expressa por
A gama de valores de para a qual a transformada de Laplace converge designa-se região de convergência (ROC).
Fourier não convergente Laplace é convergente
Vantagem!
Slide 9 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 10 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Plano complexo (plano-S):
Se a transformada de Laplace de é convergente então a transformada de Fourier pode ser obtida da transformada de Laplace com (no plano-S corresponde ao eixo imaginário).
O eixo divide o plano-S em duas metades (semi-plano esquerdo e semi-plano direito).
Slide 10 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
6
Slide 11 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Polos e Zeros no plano-S:
A razão entre dois polinómios
é a forma mais comum da transformada de Laplace.
Polos
Zeros
Zeros
Polos
Slide 11 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 12 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Exemplo: Transformada de Laplace de um Sinal Causal
Determinar a transformada de Laplace do sinal
e desenhar no plano-S os respectivos zeros e os polos.
Sendo
Se então quando
A transformada não existe se .
Slide 12 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
7
Slide 13 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Exemplo: Transformada de Laplace de um Sinal
Determinar a transformada de Laplace do sinal
e desenhar no plano-S os respectivos zeros e os polos.
Slide 13 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 14 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace : Transformadas de Laplace de um Sinal
Slide 14 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
8
Slide 15 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Unilateral: Se uma entrada é aplicada a um sistema é nula para então a saída
será também nula para . Nestes sistemas assumimos que o sinal é aplicado à entrada quando e é possível estudar o seu comportamento para com a transformada de Laplace Unilateral (baseada só na parte do sinal).
A transformada de Laplace Unilateral de um sinal define-se por
com
A transformada unilateral e bilateral são equivalentes para sinais nulos para .
Slide 15 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 16 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Unilateral: As propriedades da transformada de Laplace
São similares às das transformada de Fourier
As transformadas de Laplace Unilateral e Bilateral partilham propriedades.
Sendo
Uma das propriedades é a linearidade
e a escala
Slide 16 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
9
Slide 17 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Unilateral: As propriedades da transformada de Laplace Unilateral
Slide 17 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 18 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Unilateral: Exemplo: Aplicação de Propriedades
Determinar a transformada de Laplace Unilateral do sinal de saída do circuito quando o sinal de entrada é
Como neste sistema as transformadas
unilaterais são iguais às bilaterais
utilizando as tabelas da transformada
obtemos
Considerando a propriedades da transformada
de Laplace para a convolução obtemos
h(t) é conhecida
Slide 18 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
10
Slide 19 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Unilateral: Exemplo: Aplicação de Propriedades
Determinar a transformada de Laplace Unilateral do sinal
Utilizando as tabelas da transformada
Considerando que e
as propriedades da transformada unilateral
para a convolução obtemos
Slide 19 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 20 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Bilateral: A transformada bilateral de Laplace envolve sinais com valores para
e para sendo expressa por
As propriedades da transformada bilateral podem alterar as propriedades da região de convergência (ROC) de um sinal composto de vários sinais.
A região de convergência (ROC) de um sinal composto por vários sinais pode ser maior que a intercepção das regiões de convergência (ROC) de cada sinal individual se os pólos e os zeros se cancelam na adição de
Slide 20 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
11
Slide 21 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Efeito do cancelamento pólo-zero
Considere o sinal e que podem ser compostos linearmente pela forma
A região de convergência (ROC) de cada sinal individual
cuja intercepção
Slide 21 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 22 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Efeito do cancelamento pólo-zero
Assumindo que os dois sinais são compostos da forma com e teremos
Neste caso a região de convergência alargou!
Porque os pólos e zeros se cancelaram
Slide 22 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
12
Slide 23 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Bilateral: As propriedades da transformada de Laplace Bilateral
Slide 23 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 24 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Efeito do deslocamento temporal
Considerando o sinal
calcule a sua transformada.
Slide 24 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
13
Slide 25 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Bilateral: Transformada de Laplace Inversa
Sendo a transformada de Laplace expressa pela razão de dois polinómios em S
com podemos inverte-la utilizando
Ou o par do lado direito
Ou o par do lado esquerdo
A ROC associada com determina a escolha do par esquerdo ou direito
Slide 25 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 26 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Transformada Inversa
Considerando o sinal
calcule a sua inversa da transformada de Laplace bilateral.
Usando a expansão em fracções parciais
cuja região de convergência é
Slide 26 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
14
Slide 27 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Transformada Inversa
Invertendo
para cada membro
Combinando os três termos
Slide 27 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 28 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
A Função de Transferência : A saída de um SLIT está relacionada com o sinal à entrada do sistema
pela convolução da resposta a impulso com o sinal de entrada
A função de transferência corresponde à razão entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada.
Esta definição aplica-se para valores de s em que
Mas sabemos que sendo uma função própria de um SLIT
Então
o que permite facilitar a função transferência.
Slide 28 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
15
Slide 29 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
A Função de Transferência : Considerando uma equação diferencial expressa por
Se então
sendo
então
Slide 29 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 30 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
A Função de Transferência : Exemplo: Função Transferência de Um Sistema de 2ª Ordem
Considerando a equação diferencial de um sistema de 2ª ordem
Determine a sua função de transferência.
Usando a expressão
Slide 30 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
16
Slide 31 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Causalidade e Estabilidade: A localização dos pólos plano-S permitem analisar a resposta a
impulso de um sistema.
Factos:
Se o sistema é causal então a sua resposta a impulso é zero para .
Um pólo em do semi-plano esquerdo do plano-S contribui para um decaimento exponencial da resposta a impulso.
Um pólo em do semi-plano direito do plano-S contribui para um crescimento exponencial da resposta a impulso.
Se um sistema é estável então a resposta a impulso é integrável e isso implica que exista transformada de Fourier. Logo o deverá estar incluído na região de convergência (ROC).
Slide 31 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 32 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Causalidade e Estabilidade: A localização dos pólos plano-S permitem analisar a resposta a
impulso de um sistema.
Os sistemas estáveis e causais devem ter os seus pólos no semi-plano esquerdo do plano-S.
Slide 32 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
17
Slide 33 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Resposta em Frequência: A localização dos pólos e zeros no plano-S permitem analisar a
resposta em frequência de um sistema.
A resposta em frequência é obtida a partir da função de transferência substituindo s por (que equivale a determinar a função de transferência ao longo do do plano-S.
Com substituído na expressão
Podemos analisar a resposta em amplitude para um valor fixo de frequência, por exemplo
Slide 33 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 34 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Resposta em Frequência:
Esta expressão envolve a razão entre produtos de termos da forma em que é um pólo ou um zero
O factor é um número complexo cujo comprimento é dado por .
O comprimento do vector altera à medida que se altera.
Isso mostra a contribuição de cada pólo ou zero na resposta em amplitude.
Slide 34 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
18
Slide 35 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Resposta em Frequência: Os pólos ou zeros da função transferência têm influências diferentes na
amplitude da resposta em frequência
Zeros
Pólos
Slide 35 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 36 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Resposta em Frequência: A fase da resposta em frequência pode ser determinada pela fase
associada a cada pólo ou a cada zero.
Slide 36 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
19
Slide 37 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Resposta em Frequência: Se os pólos e zeros da função transferência são reais então a amplitude
da resposta em frequência pode ser expressa em dB (diagrama de Bode).
com
Slide 37 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Slide 38 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
Un
ivers
idad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace
Sumário
o Transformada de Laplace
o Transformada de Laplace Unilateral e suas Propriedades
o Propriedades da Transformada Bilateral de Laplace
o Propriedades da Região de Convergência
o A Função de Transferência
o Causalidade e Estabilidade
o Resposta em Frequência
Slide 38 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias