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Slide 1 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias

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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos

Licenciatura em Engenharia Biomédica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de Coimbra

Sinais e Sistemas

Slide 1 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM

Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias


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Tópicos: Representações de Fourier de Sinais Compostos

Introdução

Transformada de Fourier de Sinais Periódicos

Convolução e Multiplicação por Composição de

Sinais Periódicos

Não- Periódicos

Transformada de Fourier de Sinais Discretos no Tempo

Amostragem

Reconstrução de Sinais a partir de Amostras

Processamento Discreto no Tempo de Sinais Contínuos



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Introdução: Em sistemas é muito comum coexistirem sinais que são representados de formas diferentes (DTFS, FS, DTFT, FT) e que se misturam.

Em particular as seguintes classes de sinais podem ser misturados:

Sinais Periódicos e não-periódicos

Sinais Contínuos e Discretos

Exemplos:

Um sinal periódico é aplicado a um SLIT e a saída corresponde à convolução da resposta a impulso (sinal não-periódico) e o sinal de entrada (sinal periódico).

Um sinal contínuo é amostrado e processado.




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TF’s de Sinais Periódicos : A representação de um sinal periódico é

Sendo a frequência fundamental do sinal. Aplicando o par seguinte

e a propriedade do deslocamento em frequência aplicado a um impulso

A expressão anterior obtemos

€

x t( ) = X k[ ]e jkω0t

k=−∞

∞

∑Frequência fundamental

€

x t( )

€


k=−∞

∞

∑ FT← → X jω( ) = 2π X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞

∞

∑



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TF’s de Sinais Periódicos : Podemos concluir que a FT de um sinal periódico é uma série de

impulsos espaçados da frequência fundamental

A expressão mostra como converter entre representações FT e FS de um sinal periódico.

€


k=−∞

∞

∑ FT← → X jω( ) = 2π X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞

∞

∑




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TF’s de Sinais Periódicos :

Exemplo: Representação de um co-seno

Substituindo os coeficientes em

Obtemos €

cos ω0t( ) FS,ω0← → X k[ ] =12 , k = ±10, k ≠ ±1

€

cos ω0t( ) FT← → X jω( ) = πδ ω −ω0( ) + πδ ω +ω0( )

€


k=−∞

∞

∑ FT← → X jω( ) = 2π X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞

∞

∑



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Exemplo: Representação de trem de impulsos Se é um trem de impulsos sinal de período e frequência

Os coeficientes FS são dados por

Substituindo em

Desse modo obtemos

um trem de impulsos no tempo é ainda um trem de impulsos na frequência.




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Exemplo: Representação de trem de impulsos Um trem de impulsos no tempo é ainda um trem de impulsos na

frequência.



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TF’s de Sinais Periódicos : A representação DTFS para um sinal N-periódico é

Sendo a frequência fundamental do sinal. De forma similar ao caso anterior obtemos uma expressão que relaciona a DTFS e a DTFT.

A partir dos coeficientes da DTFS e a frequência fundamental podemos obter a representação para a DTFT.

Frequência fundamental




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TF’s de Sinais Periódicos : A partir dos coeficientes da DTFS e a frequência fundamental

podemos obter a representação para a DTFT.



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Exemplo: Representação DTFT de um sinal Periódico Determinar a transformada inversa DTFT da representação espectral da figura abaixo

com

que se expressa por

Utilizando o par

Conclui-se

€

x n[ ] = X k[ ]e jkΩ0n

k= 0

N−1

∑ DTFT← → X e jΩ( ) = 2π X k[ ]δ Ω− kΩ0( )k=−∞

∞

∑

€

X k[ ] = 14πj ,k =1; X k[ ] = − 1

4πj ,k = −1; 0,outros−1≤ k ≤ N − 2( )




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Exemplo: Representação DTFT de um sinal Periódico A partir dos coeficientes

Podemos determinar o sinal original

€

x n[ ] = 12π

12 j e

jΩ1n − e− jΩ1n( )[ ] = 12π sin Ω1n( )



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Exemplo: Representação DTFT de um sinal Periódico Determinar a transformada inversa DTFT da representação espectral da

figura abaixo com

um trem de impulsos no tempo é ainda um trem de impulsos na frequência.




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Convolução de Sinais Compostos: Convolução de Sinais Periódico e Não- Periódicos

Utilizando as expressões anteriores que relaciona a FT de um sinal periódico e a propriedade de deslocamento para um trem de impulsos chegamos à relação

Este par permite estabelecer a relação, no domínio da frequência, entre a mistura de um sinal periódico e um sinal não-periódico .

Resposta a Impulso Sinal de Entrada

€

y t( ) = x t( )∗ h t( ) FT← → Y jω( ) = 2π H jkω0( )X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞

∞

∑



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Convolução de Sinais Compostos: Convolução de Sinais Periódico e Não- Periódicos




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TF’s de Sinais Periódicos:

Exemplo: Entrada Periódica a um SLIT Considere um SLIT com a seguinte resposta a impulso

ao qual é aplicado o sinal periódico seguinte

Pretende-se determinar a saída do sistema recorrendo às propriedades da convolução.

€


∞

∑



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TF’s de Sinais Periódicos: Exemplo: Entrada Periódica a um SLIT

A resposta em frequência do SLIT é

Pela expressão

Como

O produto é dado por

mostrando que actua como um filtro passa - baixo.

€


∞

∑




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TF’s de Sinais Periódicos: Exemplo: Entrada Periódica a um SLIT

Sendo o produto expresso graficamente por

Utilizando a FT inversa obtemos a saída.



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Multiplicação de Sinais Compostos: Multiplicação de Sinais Periódico e Não- Periódicos

Sendo periódico e tendo em atenção a propriedade de deslocamento da função impulso chegamos à relação

A multiplicação de com a função periódica dá origem a uma FT que é uma soma pesada de versões deslocadas de .

Sinal “Gate”

Sinal de Entrada

€

y t( ) = g t( )x t( ) FT← → Y jω( ) = 12π G jω( )∗ X jω( )

€

y t( ) = g t( )x t( ) FT← → Y jω( ) = X k[ ]G j ω − kω0( )( )k=−∞

∞

∑




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Multiplicação de Sinais Compostos: Multiplicação de Sinais Periódico e Não- Periódico

Sinal “Gate” Sinal de Entrada

€

y t( ) = g t( )x t( ) FT← → Y jω( ) = X k[ ]G j ω − kω0( )( )k=−∞

∞

∑

A multiplicação com a função periódica dá origem a uma FT que é uma soma pesada de versões deslocadas do espectro do sinal periódico.



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TFs de Sinais Discretos no Tempo: Considerando a representação DTFT de um sinal discreto arbitrário

Pretendemos obter o par correspondente ao par DTFT em que é o sinal contínuo no tempo que corresponde a e corresponde à DTFT de .

€

X e jΩ( ) = x n[ ]e− jΩnk=−∞

∞

∑

€

x n[ ] DTFT← → X e jΩ( )

€

xδ t( ) DTFT← → Xδ jω( )




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TFs de Sinais Discretos no Tempo: A representação contínua no tempo e correspondente a

corresponde a uma descrição amostrada do sinal com período cuja relação com a frequência discreta através de

€

x n[ ]

€

Ω =ωTs

€

xδ t( ) = x n[ ]δ t − nTs( )n=−∞

∞

∑ FT← → Xδ jω( ) = x n[ ]e− jωTs nn=−∞

∞

∑

€

xδ t( ) = x n[ ]δ t − nTs( )n=−∞

∞

∑



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Amostragem: A amostragem de um sinal contínuo no tempo é uma operação

que gera um sinal discreto no tempo e permite operações de processamento do sinal por computadores.

O sinal discreto corresponde a um conjunto de amostras do sinal que são múltiplos inteiros de um sinal amostrado

Sendo podemos estabelecer

com

representando o sinal amostrado como produto do sinal contínuo com um trem de impulsos.

Esta representação é designada amostragem impulsional.

€

x n[ ]

€

x n[ ] = x nTs( )

€

xδ t( ) = x n[ ]δ t − nTs( )n=−∞

∞

∑

€

xδ t( ) = x nTs( )δ t − nTs( )n=−∞

∞

∑

€

p t( ) = δ t − nT( )n=−∞

∞

∑

€

xδ t( ) = x t( )p t( )€

x nTs( )δ t − nTs( ) = x t( )δ t − nTs( )




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Amostragem: A multiplicação corresponde à convolução no

domínio da frequência dada por

Como a relação vem

com a frequência de amostragem

A convolução final vem

O espectro FT de um sinal amostrado é uma soma infinita de versões deslocadas do espectro do sinal antes da sua amostragem

€

P jω( ) = 2πTs

δ ω − kω0( )k=−∞

∞

∑

€

Xδ jω( ) = 12π X jω( )∗P jω( )

€

Xδ jω( ) = 1Ts

X j ω − kωs( )( )k=−∞

∞

∑



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Amostragem:

Banda do Sinal




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Amostragem:

aliasing

O “aliasing” é um fenómeno em que as componentes de alta-frequência do sinal continuo amostrado se identificam com as componentes de baixa frequência do sinal discreto. Ocorre sempre que a frequência de amostragem é inferior a 2xW.



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Amostragem: A frequência de amostragem deve ser sempre o que implica

que a condição

deve ser satisfeita para ser possível obter um espectro “limpo” e recuperar o sinal posteriormente.




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Amostragem: Para sinais discretos

A DTFT do sinal amostrado é obtido de utilizando a relação com

com a variável independente

o que implica



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Amostragem:

Espectro periódico




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Amostragem: Exemplo: Amostragem de uma sinusóide

Considere o sinal

Determine a FT do sinal amostrado para os intervalos de amostragem

A FT do sinal é

Graficamente:



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Amostragem: Exemplo: Amostragem de uma sinusóide

Sendo

e substituindo em:

Obtemos

sendo um par de impulsos separados de mas centrados numa frequência que é um múltiplo inteiro da frequência de amostragem .

Sendo as respectivas frequências de amostragem serão €

Xδ jω( )




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Amostragem:



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Reconstrução de Sinais: A reconstrução de um sinal contínuo no tempo envolve a mistura de sinais discretos

no tempo e contínuos no tempo.

O problema da reconstrução revela-se difícil e é necessário que determinadas condições se cumpram para que a reconstrução seja possível.

Notar que as amostras, por si, não revelam nada sobre o comportamento do sinal entre o intervalo das amostras




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Reconstrução de Sinais:

Uma das restrições é assegurar que o sinal reconstruído realize uma transição entre as diferentes amostras. Esta restrição está relacionada com a frequência máxima do sinal e corresponde a limitar a largura de banda do sinal.

Seja a representação de um sinal de banda limitada tal que para . Se ,com a frequência de amostragem, então o sinal pode ser reconstruído a partir das amostras .



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Reconstrução de Sinais: Exemplo: Selecção do intervalo de Amostragem

Sendo determine a condição para o intervalo de amostragem de forma que exista uma única solução para a reconstrução de .

Fazendo a FT do sinal podemos determinar a máxima frequência presente no sinal .

Sendo a respectiva frequência de amostragem deverá ser

€

Ts

€

x t( ) = sin 10πt( ) πt

€

x t( )

€

x t( )




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Reconstrução de Sinais: Reconstrução Ideal

Se o par existe então a representação do sinal amostrado é

O objectivo da reconstrução é aplicar uma operação a que permita obter . Isso equivale a realizar a multiplicação do espectro pelo filtro

€

X jω( ) = Xδ jω( )Hr jω( )



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Sendo a multiplicação do espectro dada por

com e .

Sendo o resultado da convolução dado por

€

x t( ) = hr t( )∗ xδ t( ) = hr t( )∗ x n[ ]δ t − nTs( )n=−∞

∞

∑

= x n[ ]hr t − nTs( )n=−∞

∞

∑ = x n[ ]sinc ωs t − nTs( ) 2π( )n=−∞

∞

∑

Soma pesada de espectros




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€

x t( ) = hr t( )∗ xδ t( ) = x n[ ]sinc ωs t − nTs( ) 2π( )n=−∞

∞

∑



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A operação descrita por

é ideal e não pode ser realizada na prática porque:

- É não- causal (depende de valores de valores futuros da entrada x[n]

- A influência de cada amostra tem extensão temporal infinita.

Reconstrução Prática – Sample & Hold

Causa transições abruptas na saída e uma aproximação “em escada” do sinal de saída

€

x t( ) = hr t( )∗ xδ t( ) = x n[ ]sinc ωs t − nTs( ) 2π( )n=−∞

∞

∑




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Reconstrução de Sinais: Reconstrução Prática – Sample & Hold

O sistema “Sample & Hold” ou “Zero-order hold” pode ser representado por uma composição de sinais de pulso deslocados de múltiplos inteiros do intervalo de amostragem.

A convolução da entrada pelo sistema “sample & hold” é



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De forma equivalente

Cujo espectro é

Que introduz modificações no

sinal

-  Imagens atenuadas

-  Distorção na amplitude

-  Fase linear




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A compensação destas modificações é feita com um filtro especial cujo espectro é



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Processamento Discreto de Sinais: O sistema típico de conversão de sinais contínuos e

processamento discreto tem vários blocos de processamento




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Processamento Discreto de Sinais: Sobre amostragem



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Sumário

Transformada de Fourier de Sinais Periódicos

Convolução e Multiplicação por Composição de

Sinais Periódicos

Não- Periódicos

Transformada de Fourier de Sinais Discretos no Tempo

Amostragem

Reconstrução de Sinais a partir de Amostras

Processamento Discreto no Tempo de Sinais Contínuos



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