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TEORIA DAS ESTRUTURAS II Prof. Dr. Anselmo Monteiro Ilkiu

UNITAU – Universidade de Taubaté 1. DEFLEXÕES: MÉTODO DE ENERGIA 1.1. TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO A maioria dos métodos de energia é baseada no princípio da convervação de energia, que afirma que o trabalho realizado por todas as forças externas atuando sobre uma estrutura, Ue, é transformado em trabalho interno ou energia de deformação, Ui.

ie UU = 1.1 1.1.1. Trabalho externo – força Quando uma força F passa por um deslocamento dx na mesma direção que a força, o trabalho realizado é FdxdUe = . Se o deslocamento total é x, o trabalho torna-se

.0∫=x

e FdxU 1.2

Considere o efeita causado por uma força axial aplicada à extremidade de uma barra, conforme mostrado na Figura 1.1, à medida que a magnitude de F é gradualmente aumentada de zero para algum valor limite F = P, o alongamento final da barra torna-se ∆. Se o material tem resposta elástica linear, então F = (P/∆)x.

Figura 1.1

∆=∆

=

∆=

∆∆

∫ 22 0

2

0

Px

Pdxx

PUe 1.3

Suponha então que P já é aplicada à barra e que outra força F’ é aplicada, neste momento, de maneira que a barra deflete mais ainda por um montante ∆’ (Figura 1.2). O trabalho realizado por P (não F’) quando a barra passa por mais esta deflexão ∆’ é então

'.' ∆= PU e 1.4

2

Figura 1.2

( ) ( )( ).''21

'2

''2

∆+∆+=∆+∆

+∆

= FPPFP

U Totale 1.5

Exemplo: Cálcule o trabalho externo, para as condições representadas nas Figura 1.3 e 1.4.

Figura 1.3

( )( ) [ ]mNEUe •== 100102001,021 3

Figura 1.4

( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ]mNEEEUe •=++= 10010150025,01050025,021

10150075,021 333

3

1.1.2. Trabalho externo – Momento O trabalho de um momento é definido pelo produto da magnitude do momento M e o ângulo dθ através do qual ele gira, isto é, .θMddUe =

Figura 1.5

Se o ângulo total de rotação é θ radianos, o trabalho torna-se

.21

0

θθθ

MMdUe == ∫ 1.6

( ) ( )( ).''21

'''21

21

θθθθθ ++=++= MMMMMU Totale 1.7

1.1.3. Energia de deformação – Força axial Quando uma força axial N é aplicada gradualmente à barra, ela vai tracionar o material de tal maneira que o trabalho externo realizado por N será convertido em energia de deformação, que é armazenada na barra. Se o material é linearmente elástico, a lei de Hooke é válida, σ = Eε, e se a barra tem uma área da secção transversal constante A e comprimento L, a tensão normal é σ = N/A e a deformação axial é ε = ∆/L. Logo,

.AENL

LE

AN

E =∆⇒

∆

=⇒= εσ 1.8

Figura 1.6

Substituindo a Equação 1.8 na Equação 1.3, com P = N, a energia de deformação na barra é, portanto,

4

.2

2

AELN

U i = 1.9

Considerando a curva tensão deformação, representada na Figura 1.6, em que U0 = (σε)/2 que é denominada a energia de deformação por unidade de volume ou, simplesmente densidade de energia de deformação. Ou seja, é a área sob o diagrama tensão-deformação integrado no volume da barra. Pode-se então escrever a equação da energia de deformação da seguinte forma,

.21

22

0

dVE

dV

dVUU

V

V

Vi

=

=

=

∫

∫

∫

σ

σε 1.10

Lembrando que σ = Eε, logo ε = σ/E=N/(AE), portanto da Equação 1.10,

.2

21

21

2

2

2

dxEA

N

AdxAN

E

dVAN

EU

L

L

Vi

∫

∫

∫

=

=

=

1.11

1.1.4. Energia de deformação – Flexão Considere a viga mostrada na Figura 1.7, que é deformada pelo carregamento aplicado gradualmente P e w.

Figura 1.7

A tensão devido a flexão é dada por σ = (My)/I, sendo M o momento interno criado pelas forças externas P e w, y é a distância da linha neutra da seção transversal até o ponto onde deseja-se calcular a tensão e I o momento de inércia da secção transversal, portanto,

5

.21

21

21

21

22

2

2

22

2

2

0

dxdAyIM

E

dVI

yME

dVI

MyE

dVE

dVUU

AL

V

V

V

Vi

=

=

=

=

=

∫∫

∫

∫

∫

∫σ

1.12

Lembrando que IdAyA

=∫ 2 , logo, .2

2

dxEI

MU

Li ∫

= 1.13

1.1.5. Energia de deformação - Torção Frequentemente estruturas tridimensionais são sujeitas a cargas torcionais. Considere um elemento dx do elemento que é sujeito a um torque aplicado T, representado na Figura 1.8.

Figura 1.8

Este torque produz uma tensão de cisalhamento τ = (Tc)/J. Sendo T o torque interno no elemento devido as cargas externas aplicadas, c o raio onde deseja-se calcular a tensão de cisalhamento (considerando-se a secção transversal circular) e J o momento polar de inércia, que para a secção transversal considerad será J = (πc4)/2. Contando que o material tem resposta elástica linear, então γ = τ/G, portanto,

.2

21

21

21

2

22

2

2

2

0

dxGJT

U

dxdAcJT

G

dVJ

TcG

dVG

dVUU

Li

AL

V

V

Vi

∫

∫∫

∫

∫

∫

=

=

=

=

=

τ

1.14

Onde G é o módulo de elasticidade transversal do material.

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1.1.6. Energia de deformação – Cortante Considere um elemento que sofre distorção devido ao esforço cortante, representado na Figura 1.9.

Figura 1.9

Se o material tem resposta elástica linear, logo γ = τ/G.

( )

.2

2

21

21

21

2

22

2

2

0

dxGAV

KU

dxdAIt

QG

V

dVIt

VQG

dVG

dV

dVUU

Li

AL

V

V

V

Vi

∫

∫∫

∫

∫

∫

∫

=

=

=

=

=

=

τ

τγ

1.15

Sendo: V o esforço cortante interno devido as cargas externas; A a área da secçaõ transversal; K o fator de forma para a área da seção transversal, que pode ser calculado pela

equação, dAIt

QK

A∫

=

2

, onde Q é o momento estático da área da secção transversal; I o

momento de inércia da secção transversal e t a espessura da secção transversal onde deseja-se calcular a tensão de cisalhamento ou o fator de forma. Para alguma secções temos: K = 1,2 para secções transversais retangulares; K = 10/9 para secções transversais circulares; K = 1 para perfis de abas largas e vigas I, onde A é a área da alma.

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1.2. PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA Considere uma viga esgastada sujeita a uma carga concentrada P, conforme representado na Figura 1.10.

Figura 1.10

Considerando um corte em x, tem-se:

∑ = 0Mx , Positivo no sentido anti-horário, logo: -M – Px = 0 → M = -Px. Do princípio da conservação de energia, tem-se ie UU = , logo:

( )EI

PLEIxP

PdxEIPx

PdxEI

MP

LLL

3621

221

221 3

0

32

0

2

0

2

=∆⇒

=∆⇒

−=∆⇒=∆ ∫∫

1.3. PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL O princípio do trabalho virtual foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717 e é às vezes referido como o método da carga unitária. Ele proporciona um meio geral de obter o deslocamento e a inclinação em um ponto específico em uma estrutura, seja ela uma viga, pórtico, arco ou treliça. Considerando uma estrutura deformável qualquer onde aplicamos uma série de cargas externas P a ela, isto vai provocar cargas internas u em pontos através da estrutura. As cargas externas e externas serão relacionadas pelas equações de equilíbrio. Como consequência destas cargas deslocamentos ∆ ocorrerão nas cargas P e deslocamentos internos δ ocorrerão em cada ponto da carga interna u. Os deslocamentos internos e externos tem de ser relacionados pela compatibilidade dos deslocamentos, se os deslocamentos externos são conhecidos logo, os deslocamentos internos correspondentes são definidos.

Figura 1.11

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O princípio do trabalho e energia anuncia: Trabalho das cargas externas = Trabalho das carga internas, ou seja: ∑ ∑=∆ δuP .

∑∫ •+=∆•+

∆

=

dLudVUP

UU ie

011 121

δδ

Sendo: (P1∆1)/2 = dVU∫ 0 são os trabalho reais e serão anulados, resultando, logo:

∑ •=∆• dLu1

Sendo: 1 é a carga externa virtual;

u é a carga interna virtual; ∆ é o deslocamento externo causado pelas cargas reais; dL é o deslocamento interno do elemento causado pelas cargas reais.

Demaneira similar:

∑ •=• dLuθθ1 Sendo: 1 é o momento binário unitário virtual externo atuando na direção de θ;

uθ é a carga interna virtual; θ é o deslocamento angular externo causado pelas cargas reais; dL é o deslocamento interno do elemento causado pelas cargas reais.